Kuidas leida lim näiteid. Kuidas lahendada mannekeenide piire

Piirteooria - üks matemaatilise analüüsi sektsioonidest, mida üks suudab kaptenina käsitada, teised vaevalt piire arvutavad. Piiride leidmise küsimus on üsna üldine, kuna tehnikaid on kümneid lahenduste piirid erinevat tüüpi. Samad piirid on nii L'Hôpitali reegli kohaselt kui ka ilma selleta. Juhtub, et lõpmata väikeste funktsioonide ajakava võimaldab teil soovitud tulemuse kiiresti saavutada. Mis tahes keerukusega funktsiooni piiri leidmiseks on mitmeid tehnikaid ja nippe. Selles artiklis proovime mõista peamisi piirtüüpe, millega praktikas kõige sagedamini kokku puututakse. Me ei esita siin piiri teooriat ja määratlust, Internetis on palju ressursse, kus seda närida. Seetõttu laskem minna praktiliste arvutuste juurde, just siin: "Ma ei tea! Ma ei tea, kuidas! Meid ei õpetatud!"

Arvutamise limiidid asendamise abil

Näide 1. Leidke funktsiooni piir
Lim ((x ^ 2-3 * x) / (2 * x + 5), x \u003d 3).
Lahendus: sedalaadi näited arvutatakse teoreetiliselt tavalise asendamise teel

Limiit on 18/11.
Sellistes piirides pole midagi keerulist ja tarka - nad asendasid arvutatud väärtuse, kirjutasid vastuseks piiri. Selliste piiride alusel õpetatakse aga kõigile, et kõigepealt tuleb väärtus asendada funktsiooniga. Lisaks on piirid keerulised, tutvustatakse lõpmatuse, ebakindluse jms mõistet.

Jagage piir määramatusega nagu lõpmatus lõpmatusega. Ebakindluse avalikustamise tehnikad

Näide 2. Leidke funktsiooni piir
Lim ((x ^ 2 + 2x) / (4x ^ 2 + 3x-4), x \u003d lõpmatus).
Lahendus: seatud on polünoomi vormi jagatud piir polünoomiga ja muutuja kipub lõpmatuseni

Väärtuse lihtne asendamine, milleni muutuja tuleks piiride leidmiseks leida, ei aita, saame vormi lõpmatuse määramatuse jagatud lõpmatusega.
Higi piiride teooria Limiidi arvutamise algoritm on leida lugejast või nimetajast suurim aste "x". Lisaks lihtsustatakse sellega lugejat ja nimetajat ning leitakse funktsiooni piir

Kuna väärtus kipub muutujaga lõpmatuseni olema , jäetakse need tähelepanuta või kirjutatakse lõpplauses nullide kujul

Vahetult praktikast saate kaks järeldust, mis on vihje arvutustes. Kui muutuja kipub lõpmatuseni ja lugeja aste on suurem kui nimetaja aste, siis võrdub piir lõpmatusega. Muul juhul, kui nimetaja polünoom on kõrgem järjekord kui lugeja, on piir null.
Limiidi saab valemiga kirjutada järgmiselt

Kui meil on funktsioon tavalise, ilma murdudeta logi kujul, võrdub selle piir lõpmatusega

Järgmine tüüpi piir puudutab nulli lähedal olevate funktsioonide käitumist.

Näide 3. Leidke funktsiooni piir
Lim ((x ^ 2 + 3x-5) / (x ^ 2 + x + 2), x \u003d 0).
Lahendus: siin ei pea välja võtma polünoomi kõrgeimat tegurit. Vastupidi, peate leidma lugeja ja nimetaja väikseima astme ning arvutama piiri

X väärtus ^ 2; x kipub nulli muutuma, kui muutuja kaldub nulli. Seetõttu jäetakse nad tähelepanuta, seega saame

et piir on 2,5.

Nüüd sa tead kuidas leida funktsiooni piir vormi polünoomi jagatud polünoomiga, kui muutuja kipub olema lõpmatus või 0. Kuid see on vaid väike ja lihtne näidete osa. Järgmisest materjalist saate teada kuidas avaldada funktsiooni piiride ebakindlust.

Tüübi 0/0 ja selle arvutusmeetodite määramatusega piir

Kõik mäletavad kohe reeglit, mille kohaselt te ei saa nulliga jagada. Piiride teooria tähendab selles kontekstis aga lõpmatuseni funktsioone.
Vaatame selguse huvides mõnda näidet.

Näide 4. Leidke funktsiooni piir
Limiit ((3x ^ 2 + 10x + 7) / (x + 1), x \u003d -1).
Lahendus: Asendades muutuja x \u003d -1 väärtuse nimetajaga, saame nulli, sama, mis saame lugejas. Nii et meil on vormi määramatus 0/0.
Sellise määramatusega toimetulemine on lihtne: peate polünoomi välja arvestama või pigem valima teguri, mis muudab funktsiooni nulliks.

Pärast lagunemist saab funktsiooni piiri kirjutada järgmiselt

See on kogu funktsioon funktsiooni piiri arvutamiseks. Me teeme sama, kui polünoomi vormil, mis on jagatud polünoomiga, on piir.

Näide 5. Leidke funktsiooni piir
Limiit ((2x ^ 2-7x + 6) / (3x ^ 2-x-10), x \u003d 2).
Lahendus: edasisuunaline asendamine näitab
2*4-7*2+6=0;
3*4-2-10=0
mis meil on määramatuse tüüp 0/0.
Jagage polünoomid ainsust tutvustava teguriga


On õpetajaid, kes õpetavad, et teise astme polünoomid, st vormis "ruutvõrrandid" tuleks lahendada diskrimineeriva vahendi kaudu. Kuid tegelik praktika näitab, et see on pikem ja segasemaks muutuv, nii et vabaneda määratletud algoritmi funktsioonidest. Seega kirjutame funktsiooni algtegurite kujul ja loetleme piiri

Nagu näete, pole selliste piiride arvutamisel midagi keerulist. Limiitide uurimise ajal teate, kuidas polünoome jagada, vähemalt vastavalt sellele, mille olete juba pidanud läbima.
Üks järgmistest ülesannetest: määramatuse tüüp 0/0on neid, kus peate rakendama lühendatud korrutamisvalemeid. Kuid kui te ei tunne neid, saate polünoomi monomiaaliga jagades saada vajaliku valemi.

Näide 6. Leidke funktsiooni piir
Limiit ((x ^ 2-9) / (x-3), x \u003d 3).
Lahendus: meil on määramatuse tüüp 0/0. Lugejas rakendame vähendatud korrutamise valemit

ja arvutage vajalik piirmäär

Määramatuse avaldamise meetod, korrutades selle konjugaadiga

Meetodit rakendatakse piirides, milles määramatused tekitavad irratsionaalseid funktsioone. Lugeja või nimetaja muutub arvutushetkel nulliks ja piiri leidmine pole teada.

Näide 7. Leidke funktsiooni piir
Lim ((sqrt (x + 2) -sqrt (7x-10)) / (3x-6), x \u003d 2).
Otsus:Esitame muutuja piirvalemis

Asendamine annab tüübi 0/0 määramatuse.
Piiride teooria kohaselt on selle tunnuse vältimise skeemiks irratsionaalse avalduse korrutamine konjugaadiga. Selleks, et avaldis ei muutuks, tuleb nimetaja jagada sama väärtusega

Ruutude erinevuse reegli järgi lihtsustame lugejat ja arvutame funktsiooni piiri

Lihtsustame termineid, mis loovad piires ainsuse ja teostavad asendamist

Näide 8. Leidke funktsiooni piir
Lim ((sqrt (x-2) -sqrt (2x-5)) / (3-x), x \u003d 3).
Lahendus. Edasine asendamine näitab, et limiidi tunnusjoon on vorm 0/0.

Laiendamiseks korrutame ja jagame konjugaadiga lugejaga

Ruutide erinevuse kirjutamine

Lihtsustame ainsuse tutvustavaid termineid ja leiame funktsiooni piiri

Näide 9. Leidke funktsiooni piir
Lim ((x ^ 2 + x-6) / (sqrt (3x-2) -2), x \u003d 2).
Lahendus: asendage valem 2

Saame määramatus 0/0.
Nimetaja tuleb korrutada konjugeeritud avaldisega ja lugejas lahendada ruutkeskmise võrrand või korrutada see teguriteks, võttes arvesse singulaarsust. Kuna on teada, et 2 on juur, leiame teise juuri Kaani teoreemi järgi

Seega kirjutame lugeja kujul

ja asendada piires

Vähendades ruutude erinevust, vabaneme lugeja ja nimetaja ainsusest

Sel viisil saate paljudes näidetes singulaarsusest lahti saada ja kohaldamist tuleks märkida kõikjal, kus antud juurierinevus muutub asendamisel nulliks. Muud tüüpi piirid puudutavad eksponentsiaalseid funktsioone, lõpmatu funktsioone, logaritme, eripiire ja muid tehnikaid. Kuid selle kohta saate lugeda järgmistes artiklites piiride kohta.

rakendus

Lubatud on ainult selle saidi veebis, kus õpilased ja kooliõpilased saavad läbitud materjali täielikult konsolideerida. Kuidas meie ressursi abil veebist limiiti leida? Seda on väga lihtne teha, peate lihtsalt korrektselt kirjutama algfunktsiooni x muutujaga, valima valijast soovitud lõpmatuse ja vajutama nuppu "Lahendus". Kui funktsiooni piir tuleb mingil hetkel x arvutada, peate täpsustama selle punkti arvväärtuse. Limiidi lahendamiseks saate vastuse mõne sekundi jooksul, teisisõnu, kohe. Kui esitate valed andmed, teavitab teenus teid tõrkest automaatselt. Parandage varem sisestatud funktsioon ja saate õige lahenduse piirini. Piirangute lahendamiseks kasutatakse kõiki võimalikke trikke, eriti kasutatakse L'Hôpitali meetodit, kuna see on universaalne ja annab vastuse kiiremini kui muud funktsiooni limiidi arvutamise meetodid. Huvitav on kaaluda näiteid, milles moodul on olemas. Muide, vastavalt meie ressursi reeglitele tähistatakse moodulit vertikaalse joonega "|" või Abs (f (x)) ladina absoluudist. Sageli on numbrijadade summa arvutamiseks vaja lahendust limiidile. Nagu kõik teavad, peate lihtsalt õigesti väljendama uuritava jada osalist summat ja siis on kõik tänu meie tasuta saiditeenusele palju lihtsam, kuna osalise summa limiidi arvutamine on numbrilise jada lõppsumma. Üldiselt on kogu matemaatilise analüüsi põhimõiste piirini jõudmise teooria. Kõik põhineb täpselt läbimisel piirini, see tähendab, et piiride lahendus pannakse matemaatilise analüüsi teaduse alusesse. Integreerimisel kasutatakse ka piiriületust, kui teooria kohaselt olev integraal on esitatud piiramatu arvu pindalade summana. Kui midagi on piiramatu arv, see tähendab objektide arvu kalduvust lõpmatuseni, siis piiride üleminekute teooria jõustub alati ja üldiselt aktsepteeritud kujul on see lahendus tuttavatele piiridele. Veebisaidi piiridelahendus saidil Sait on ainulaadne teenus täpse ja kohese reageerimise saamiseks reaalajas. Funktsiooni piirväärtus (funktsiooni piirväärtus) antud punktis, funktsiooni domeeni piirav väärtus on väärtus, millele vaadeldava funktsiooni väärtus kaldub, kui selle argument kaldub antud punkti. See pole sugugi haruldane ja ütleme isegi väga sageli, et õpilastel on matemaatilise analüüsi õppimisel küsimus veebipiiride lahendamisest. Mõeldes veebis limiidi lahendamise kohta üksikasjaliku lahendusega ainult erijuhtudel, saab selgeks, et keeruka ülesandega pole võimatu hakkama saada ilma arvutuslimiidi kalkulaatorit kasutamata. Piirangute lahendus meie teenusega on täpsuse ja lihtsuse garantii.Funktsiooni piiriks on jada piiride kontseptsiooni üldistamine: algselt mõisteti funktsiooni piirpunktina funktsiooni väärtuste vahemiku elementide jada limiiti, mis koosnes funktsiooni määratlemise valdkonna elementide jada punktide piltidest, mis ühtlustuvad antud punktiga (piirväärtus on). mida kaalutakse); kui selline piir on olemas, siis öeldakse, et funktsioon läheneb määratletud väärtusele; kui sellist piiri ei eksisteeri, siis öeldakse, et funktsioon erineb. Limiitide veebis lahendamine muutub kasutajatele lihtsaks vastuseks, kui nad teavad, kuidas limiidi veebisaidi abil lahendada. Olgem keskendunud ja ärgem laske vigadel end ebarahuldavate hinnangute vormis hätta jätta. Nagu iga veebipõhine lahendus limiitidele, esitatakse teie probleem mugaval ja arusaadaval kujul koos üksikasjaliku lahendusega, järgides kõiki lahendusi lahenduste saamiseks. Enamasti sõnastatakse funktsiooni piiri määratlus linnaosade keeles. Funktsiooni piire käsitletakse siin ainult nendes punktides, mis piiravad funktsiooni määratluse valdkonda, st et antud punkti igas naabruskonnas on punkte selle funktsiooni domeenist. See võimaldab meil rääkida funktsiooni argumendi kalduvusest antud punktile. Kuid määratluse domeeni piirpunkt ei pea kuuluma määratluse enda valdusesse ja seda tõestatakse piiri lahendamisega: näiteks võib kaaluda funktsiooni piiri avatud intervalli otstes, millel funktsioon on määratletud. Sel juhul ei kuulu intervalli enda piirid määratluspiirkonda. Selles mõttes on antud punkti läbistatud piirkondade süsteem sellise komplektibaasi erijuhtum. Limiitide lahendamine veebis üksikasjaliku lahendusega toimub reaalajas ja kasutades selgesõnalisi valemeid. Saate kokku hoida aega ja mis kõige tähtsam - raha, kuna me ei küsi tasu. Kui funktsiooni domeeni mingil hetkel on piir ja selle piiri lahendus võrdub funktsiooni väärtusega sellel hetkel, siis osutub funktsioon sellel hetkel pidevaks. Meie veebisaidil on limiitide lahendus veebis saadaval ööpäevaringselt, iga päev ja iga minut. On väga oluline kasutada limiidikalkulaatorit ja peamine on kasutada seda iga kord, kui peate oma teadmisi proovile panema. Õpilased saavad sellest funktsionaalsusest kasu. Limiidi arvutamine, kasutades ja rakendades ainult teooriat, ei ole alati nii lihtne, nagu väidavad riigi ülikoolide matemaatikateaduskondade kogenud üliõpilased. Fakt jääb eesmärgiga eesmärgiks. Tavaliselt ei ole leitud piiride lahendus probleemide sõnastamisel lokaalselt rakendatav. Õpilane rõõmustab niipea, kui ta avastab Internetis ja tasuta juurdepääsu korral limiitide kalkulaatori ja mitte ainult endale, vaid kõigile. Ametisse astumist tuleks üldiselt mõista matemaatikana. Kui küsite Internetis, kuidas Internetist limiiti üksikasjalikult leida, siis ei aita päringu tulemusel ilmuvate saitide mass seda, kuidas me seda teeme. Külgede erinevus korrutatakse juhtumi ekvivalentsusega. Funktsiooni esmaselt seaduslik piir tuleb kindlaks määrata nende matemaatilise probleemi enda väitega. Hamiltonil oli õigus, kuid arvestada tuleks ka kaasaegsetega. Limiitide arvutamine veebis pole kaugeltki nii keeruline ülesanne, kui see võib esmapilgul kellelegi tunduda. Selleks, et mitte kõigutada kõigutamatute teooriate tõde. Algse olukorra juurde naastes on vaja piir kiiresti, tõhusalt ja kenasti kujundatud kujul välja arvutada. Kuidas oleks saanud seda teisiti teha? See lähenemisviis on ilmne ja õigustatud. Limiidikalkulaator on mõeldud teadmiste suurendamiseks, kirjutamise kvaliteedi parandamiseks kodutöö ja õpilaste üldise meeleolu tõstmine, see sobib neile. Peate lihtsalt võimalikult kiiresti mõtlema ja meel triumfeerib. Veebipõhise interpoleerimise tingimuste piiride otsesõnu ütlemine on oma käsitöö spetsialistidele väga keeruline tegevus. Ennustame planeerimata erinevuste süsteemi suhet kosmose punktides. Ja jälle taandatakse probleem ebakindluseni, lähtudes asjaolust, et funktsiooni piir eksisteerib antud abstsisstelje telje lõpmatuses ja lokaalse punkti teatud naabruses pärast algse avalduse afiinset teisendamist. Punktide tõusu tasapinnal ja ruumi ülaosas on lihtsam analüüsida. IN üldine seisukoht matemaatilise valemi tuletamise kohta ei räägita nii looduses kui teoorias, nii et veebipõhist piirkalkulaatorit kasutatakse selles mõttes sihtotstarbeliselt. Ilma Internetis piirmäära määratlemata on mul kõverjoonelise kosmoseuuringute valdkonnas keeruline täiendavaid arvutusi teha. Tõelise õige vastuse leidmine poleks lihtsam. Kas on võimatu piirmäära arvutada, kui antud punkt ruumis on eelnevalt määratlemata? Lükkame ümber õppeala vastuste kättesaadavuse. Piiride lahendust võib pidada matemaatilise analüüsi seisukohast teljel asuvate punktide jada uurimise alguseks. Fakt, et arvutus on kehtiv, võib olla ebaoluline. Numbrid on esindatud lõpmatu jadana ja identifitseeritakse esialgse kirjega pärast seda, kui oleme veebis limiidi üksikasjalikult vastavalt teooriale lahendanud. Just õigustatud parima hinna kasuks. Funktsioonipiirangu tulemus kui valesti püstitatud probleemi ilmne viga võib moonutada ettekujutust ebastabiilse süsteemi tegelikust mehaanilisest protsessist. Võimalus väljendada tähendust otse vaatevälja. Võrreldes veebipiiri sarnase ühesuunalise piirväärtuse märkusega, on parem hoiduda selle selgesõnalisest väljendamisest valemi abil. Lisaks ülesande proportsionaalse täitmise algusele. Laiendame polünoomi pärast seda, kui meil on õnnestunud arvutada ühekülgne piir ja kirjutada see lõpmatuseni üles. Lihtsad peegeldused viivad matemaatilises analüüsis tõelise tulemuseni. Piirangute lihtne otsus taandub sageli vastandlike matemaatiliste illustratsioonide erinevale võrdsusastmele. Fibonacci read ja numbrid dešifreerisid veebipõhise kalkulaatori, sõltuvalt sellest saate tellida piiranguteta arvutuse ja võib-olla taandub keerukus tagaplaanile. Käimas on graafiku tasapinnalise lahtirullimise protsess kolmemõõtmelises ruumis. See tõi kaasa vajaduse erinevate seisukohtade järele keeruka matemaatilise probleemi osas. Kuid tulemust ei saa kaua oodata. Käimasoleva tõuseva töö realiseerimisprotsess moonutab aga ridade ruumi ja registreerib veebis limiidi probleemi sõnastamisega tutvumiseks. Probleemide kuhjumise protsessi loomulik kulg määrab teadmiste vajaduse kõigis matemaatiliste distsipliinide valdkondades. Suurepärasest limiidikalkulaatorist saab kvalifitseeritud üliõpilaste käes asendamatu tööriist ja nad hindavad kõiki selle eeliseid digitaalse arengu analoogide ees. Koolides nimetatakse veebipõhiseid piire teisiti kui instituutides. Funktsiooni väärtus kasvab argumendi muutmisest. Isegi L'Hospital ütles, et funktsiooni piiri leidmine on vaid pool võitlust, tuleb viia ülesanne selle loogilisele lõpule ja esitada vastus laiendatud kujul. Tegelikkus on adekvaatne juhtumi asjaolude olemasolu suhtes. Matemaatiliste distsipliinide ajalooliselt olulised aspektid on seotud veebipõhise limiidiga ja moodustavad numbriteooria uurimise aluse. Lehe kodeerimine matemaatilistes valemites on brauseris saadaval kliendi keeles. Kuidas piirmäära arvutada vastuvõetava seadusliku meetodi abil ilma, et sunnitaks funktsiooni muutuma piki abstsisstelge. Üldiselt ei sõltu ruumi reaalsus ainult funktsiooni kumerusest ega selle nõgususest. Kõrvaldage probleemist kõik tundmatud ja piiride lahendamine vähendab teil võimalikult vähe matemaatilisi ressursse. Sõnastatud probleemi lahendus fikseerib funktsionaalsuse sada protsenti. Juhtus oodatud väärtus avaldab veebipõhise limiidi üksikasjalikult kõige vähem olulisest suhtest kõrvalekaldumise osas. Pärast teaduse kasuks tehtud matemaatilist otsust möödus kolm päeva. See on tõeliselt rahuldust pakkuv tegevus. Ilma põhjuseta, miks limiiti pole, tähendaks veebipõhine erinevus üldist lähenemist situatsiooniprobleemide lahendamisele. Parima nimega ühepoolse limiidi määramatusega 0/0 on tulevikus vaja. Ressurss võib olla mitte ainult ilus ja hea, vaid ka kasulik, kui see suudab teie jaoks limiidi arvutada. Suur teadlane uuris üliõpilasena kirjutamise funktsioone teaduslik töö... Möödus kümme aastat. Enne erinevaid nüansse tasub ühemõtteliselt kommenteerida matemaatilist ootust selle kasuks, et funktsiooni piir laenaks printsipaalide lahknemist. Tellimusel test vastas. Matemaatikas on kummalisel kombel erandlik positsioon õppetöös veebipiiri uurimine vastastikuste välissuhetega. Nagu tavaliselt, juhtub. Sa ei saa midagi mängida. Olles analüüsinud õpilaste lähenemisviise matemaatilistele teooriatele, jätame põhjaliku otsuse lõppjärgu järgselt. See on järgmine tähendus, uurige teksti. Murdumine määratleb matemaatilise avaldise unikaalselt saadud teabe olemusena. veebipiirang on määratluse põhiolemus tegelik positsioon mitmesuunaliste vektorite relatiivsusteaduste matemaatiline süsteem. Selles mõttes mõtlen ma enda arvamuse avaldamist. Nagu eelmises probleemis. Veebipõhine eristatav piir laiendab üksikasjalikult selle mõju programmi analüüsi järjestikuse uurimise matemaatilisele vaatenurgale uurimisvaldkonnas. Teooria kontekstis on matemaatika midagi kõrgemat kui lihtsalt teadus. Lojaalsus valideeritakse tegevusega. Kui piir on valesti arvutatud, on endiselt võimatu tahtlikult katkestada järjestikuste numbrite ahel, mis alustab nende ülespoole liikumist. Kahepoolne pind on loomulikus vormis täissuuruses. Matemaatilise analüüsi uurimise jaoks ümbritseb funktsiooni piir funktsionaalse jada epsiloni naabrusena antud punktis. Vastupidiselt funktsioonide teooriale ei ole arvutuste vead välistatud, kuid see on ette nähtud olukorraga. Jagades võrguprobleemi piirmääraga, saate kolmemõõtmelise ruumi mittelineaarse süsteemi kiire toote jaoks värvida muutuva kõrvalekalde funktsiooni. Operatsiooni keskmes on triviaalne juhtum. Selle juhtumi analüüsimiseks ei pea te olema tudeng. Käimasoleva arvutuse hetkekomplekt määratletakse algselt piiride lahendusena kogu integraalsüsteemi toimimiseks piki ordinaattelge arvude arvu mitme väärtuse korral. Baasväärtusena võtame väikseima matemaatilise väärtuse. Järeldus on ilmne. Lennukite vaheline kaugus aitab teoreetiliselt laieneda veebipiirangud, kuna olulisuse ümmarguse aspekti divergentse arvutamise meetodi rakendamine ei oma olemuslikku tähendust. Suurepärane valik, kui piirkalkulaator asub serveris, võib seda võtta nii, et see ei moonuta pindala muutuse olulisust aladel, vastasel juhul tõuseb lineaarsuse probleem. Täielik matemaatiline analüüs näitas süsteemi ebastabiilsust koos selle kirjeldusega punkti väikseima naabruskonna piirkonnas. Kuna mis tahes funktsiooni piiriks ordinaatide ja abstsisside ristumiteljel, on võimalik ümbritseda objektide arvväärtusi uurimisprotsessi funktsionaalsuse jaotuse teatud minimaalses naabruskonnas. Kirjutame ülesande punkthaaval üles. Kirjutamine jaguneb etappideks. Akadeemilisi väiteid, et limiidi arvutamine on tõesti keeruline või pole üldse kerge, toetab kõigi eranditeta bakalaureuse- ja magistriõppe üliõpilaste matemaatiliste vaadete analüüs. Võimalik vahetulemused ei pea end kaua ootama. Ülaltoodud piiri uuritakse veebis üksikasjalikult objektide süsteemierinevuse absoluutset miinimumi, mille ületamisel on matemaatika ruumi lineaarsus moonutatud. Pärast veebipõhise lahutamise piirkalkulaatori kirjutamist ei kasuta õpilased pindala suurt segmenteerimist mitme koefitsiendi arvutamiseks. Pärast algust keelame õpilastel vaadata läbi matemaatika ruumikeskkonna uurimise ülesandeid. Kuna funktsiooni piiri oleme juba leidnud, ehitame selle uurimise graafiku tasapinnale. Valige spetsiaalse värviga ordinaatteljed ja näidake joonte suunda. Seal on stabiilsus. Vastuse kirjutamise ajal on pikka aega olnud ebakindlust. Arvutage funktsiooni piirpunkt punktis, analüüsides piiride erinevust lõpmatuseni algtingimused... Seda meetodit ei tea kõik kasutajad. Vajame matemaatilist analüüsi. Piirangute üle otsustamine kogub paljude aastate jooksul põlvkondade mõtetes kogemusi. Protsessi keeruliseks muutmine on võimatu. Selle sõlmimise eest vastutavad kõigi põlvkondade õpilased. Kõik ülaltoodu võib muutuda, kui funktsioonide asukohta ei ole fikseeritud, kuna arvutusvõimsuse erinevuse osas jääb piirkalkulaatoritest maha jääva punkti lähedal fikseeriv argument. Uurime saadud vastuse saamiseks funktsiooni. Järeldus pole ilmne. Kui kaudselt määratletud funktsioonid koguarvust välja jätta pärast matemaatiliste avaldiste teisendamist, jääb viimane samm piiride korrektseks ja suure täpsusega leidmiseks. Selle ülesandeks oli tehtud otsuse vastuvõetavuse kontrollimine. Protsess jätkub. Lukusta jada funktsioonidest eraldi ja oma kolossaalset kogemust rakendades peavad matemaatikud arvutama uuringus õige suuna õigustamiseks vajaliku piiri. Selline tulemus ei vaja teoreetilist tõusu. Muutke numbrite osakaalu abstsisselje telje nullpunktist erineva punkti mingis naabruskonnas matemaatikas kirjaliku ülesande alusel võrgus oleva muutuva ruumilise kaldenurga piiride kalkulaatori suunas. Ühendame kaks ala kosmoses. Üliõpilaste intensiivsematel kontrollitud sooritustel ei saa mööda vaadata resolutsioonide lahkarvamustest selle üle, kuidas funktsiooni piir saavutab ruumis ühepoolsete väärtuste omadused. Matemaatika veebipõhise piiri joon on võtnud ühe kõige vähem vaidlustatud seisukoha ebakindluse kohta just nende piiride arvutamisel. Veebipõhine piirkalkulaator ruudukujuliste kolmnurkade ja kuubikute kõrguse kohta, mille külg on kolme ringi raadius, aitab õpilasel teaduse varases staadiumis õppida südame abil. Jätame õpilaste südametunnistusele piire lahenduse toimiva matemaatilise nõrgendatud süsteemi uurimisel õppetasapinna küljest. Numbriteooria osas on õpilase seisukoht mitmetähenduslik. Igal neist on oma arvamus. Õige suund matemaatika õppimisel aitab piirmäära arvutada selle otseses mõttes, nagu arenenud riikide ülikoolides tavaks. Cotangent matemaatikas arvutatakse piirkalkulaatorina ja see on kahe muu elemendi suhe trigonomeetrilised funktsioonid, nimelt argumendi koosinus ja siinus. See on lahendus segmentide vähendamiseks poole võrra. Teine lähenemisviis ei lahenda tõenäoliselt olukorda mineviku kasuks. Me võime pikka aega rääkida, kuidas on väga keeruline ja kasutu onlain-limiidi üksikasjalik lahendamine ilma mõtlemiseta, kuid selline lähenemine kipub üles ehitama õpilaste sisemise distsipliini paremaks.

Jätkame piiride teooria kohta valmis vastuste analüüsimist ja keskendume täna vaid juhtumile, kui funktsiooni muutuja või jada number kaldub lõpmatusse. Juhised piirmäära arvutamiseks lõpmatuseni kalduva muutujaga anti varem, siin käsitleme ainult üksikjuhtumeid, mis pole kõigile ilmsed ja lihtsad.

Näide 35. Meil \u200b\u200bon murdarvuline jada, kus lugeja ja nimetaja on juurfunktsioonid.
On vaja leida piir, kui arv kipub lõpmatuseni.
Siin ei pea lugejas ilmutama irratsionaalsust, vaid tuleb hoolikalt analüüsida juuri ja leida, kus asub numbri kõrgem aste.
Esimeses on lugeja juurtes tegur n ^ 4, see tähendab, et n ^ 2 saab sulgudest välja võtta.
Teeme sama nimetajaga.
Järgmisena hindame radikaalsete avaldiste väärtust möödasõidul piirini.

Sai jagatud nulliga, mis on valesti koolikursus, kuid see on piiril läbimisel lubatud.
Ainult muudatusettepanekuga "hinnata, kuhu funktsioon on suunatud."
Seetõttu ei saa kõik õpetajad antud kirjet õigeks tõlgendada, ehkki nad mõistavad, et tulemuseks olev kirje sellest ei muutu.
Vaatame vastust, mis on koostatud vastavalt õpetajate nõudmistele teooria järgi.
Lihtsuse huvides hindame juure all ainult peamisi dodankasid

Lisaks on lugejas aste 2, nimetajas 2/3, seetõttu kasvab lugeja kiiremini, mis tähendab, et piir kipub lõppema.
Selle märk sõltub teguritest n ^ 2, n ^ (2/3), seega on see positiivne.

Näide 36. Vaatleme eksponentsiaalsete funktsioonide jagunemispiiri näidet. Selliseid praktilisi näiteid kaalutakse vähe, nii et mitte kõik õpilased ei saa hõlpsasti aru, kuidas tekkivat ebakindlust paljastada.
Lugeja ja nimetaja maksimaalne tegur on 8 ^ n ja me lihtsustame seda

Järgmisena hindame iga ametiaja panust
Termineid 3/8 kipub null muutujaga minema lõpmatuseni, kuna 3/8<1 (свойство степенно-показательной функции).

Näide 37. Faktoriaalidega jada piire laiendatakse, määrates faktoriaali lugeja ja nimetaja suurimale ühisele tegurile.
Siis vähendame seda ja hindame piirmäära lugeja ja nimetaja numbrinäitajate väärtuse järgi.
Meie näites kasvab nimetaja kiiremini, seega on piir null.


Siin kasutatakse järgmist

faktuaalne omadus.

Näide 38. Ilma L'Hôpitali reegleid rakendamata võrdleme muutuja maksimumnäitajaid murdarvu lugejas ja nimetajas.
Kuna nimetaja sisaldab muutuja 4\u003e 2 kõrgeimat indikaatorit, kasvab see kiiremini.
Seega järeldame, et funktsiooni piir kipub olema null.

Näide 39. Me paljastame lõpmatuse vormi ainsuse jagatuna lõpmatusega meetodiga, mille abil x ^ 4 kantakse murru lugejast ja nimetajast.
Piirini jõudmise tulemusel saame lõpmatuse.

Näide 40. Meil \u200b\u200bon polünoomide jaotus, tuleb kindlaks määrata piir, kuna muutuja kipub lõpmatuseni.
Muutuja suurim võimsus lugejas ja nimetajas on 3, mis tähendab, et piir on olemas ja on võrdne terasega.
Võtke välja x ^ 3 ja viige läbi piirini

Näide 41. Meil \u200b\u200bon tüübi 1 ainsus lõpmatuse astmeni.
Ja see tähendab, et sulgudes olevat väljendit ja indikaatorit tuleb teise olulise piiri all vähendada.
Kirjutame lugeja alla, et valida nimetajaga identne avaldis.
Järgmisena pöördume avaldise poole, mis sisaldab ühte pluss terminit.
Astet tuleb eristada teguriga 1 / (ametiaeg).
Seega saame eksponendi murdarvu funktsiooni piiri võimsuses.

Funktsioonide avamiseks kasutati teist piiri:

Näide 42. Meil \u200b\u200bon tüübi 1 ainsus lõpmatuse astmeni.
Selle avalikustamiseks tuleks funktsiooni vähendada teise tähelepanuväärse piirini.
Kuidas seda teha, on üksikasjalikult näidatud allolevas valemis.


Võite leida palju sarnaseid ülesandeid. Nende põhiolemus on saada eksponendis soovitud aste ja see on võrdne sulgudes oleva termini vastastikkusega.
Seda meetodit kasutades saame eksponendi. Edasine arvutamine taandub eksponentskraadi piiri arvutamisele.
Siin kipub eksponentsiaalfunktsioon lõpmatuseni, kuna väärtus on suurem kui üks e \u003d 2,72\u003e 1.

Näide 43 Murdarvu nimetajas on meil lõpmatuse tüübi määramatus miinus lõpmatus, tegelikult võrdne jagunemine nullini.
Juurest vabanemiseks korrutame konjugeeritud avaldisega ja kirjutame nimetaja ümber, kasutades ruutude erinevuse valemit.
Lõpmatuse määramatus jagatakse lõpmatusega, seega võtame muutuja suures osas välja ja vähendame selle võrra.
Järgmisena hindame iga termini panust ja leiame funktsiooni piiri lõpmatuseni

Konstantne arv ja kutsus piir järjestused(x n) suvaliselt väikese positiivse arvu korralε > 0 seal on arv N, mis kõik väärtused x n , mille jaoks n\u003e N, vastavad ebavõrdsusele

| x n - a |< ε. (6.1)

Nad kirjutavad selle järgmiselt: või x n → a.

Ebavõrdsus (6.1) võrdub kahekordse ebavõrdsusega

a- ε< x n < a + ε, (6.2)

mis tähendab, et punktid x n, alustades numbrist n\u003e N, asuvad intervalli sees (a-ε, a + ε ), s.t. langeda igasse väikesesseε -punkti naabrus ja.

Jada, millel on piir, nimetatakse ühtlustub, muidu - lahknevad.

Funktsiooni piiri mõiste on jada piiri mõiste üldistus, kuna jada piiriks võib pidada täisargumendi funktsiooni piiri x n \u003d f (n). n.

Andke funktsioon f (x) ja laske a - piirpunkt selle funktsiooni domeen D (f), s.t. punkt, mille naabrus sisaldab punkte D (f), mis erinevad a... Punkt a võib kuuluda rühma D (f) või mitte.

1. määratlus. Konstantseks numbriks A nimetatakse piir funktsiooni f (x) kellx →a, kui argumendiväärtuste mis tahes jada (x n) kalduvad ja, on vastavatel jadadel (f (x n)) sama A piir.

Seda määratlust nimetatakse funktsiooni Heine piiri määratlus, või " jadakeeles”.

2. määratlus... Konstantseks numbriks A nimetatakse piir funktsiooni f (x) kell x →a, kui, määrates suvaliselt suvaliselt väikese positiivne arv ε , võib sellise δ leida \u003e 0 (sõltuvalt ε), mis kõigile xlamades sisseArvu ε-naabruskonnad ja, s.t. jaoks xebavõrdsuse rahuldamine
0 < x-a< ε , funktsiooni f (x) väärtused asuvadarvu A naabruskond, s.o.| f (x) -A |< ε.

Seda määratlust nimetatakse funktsiooni Cauchy piiri määratlus,või “Keeles ε - δ “.

Definitsioonid 1 ja 2 on samaväärsed. Kui funktsioon f (x) on x → a on piirvõrdne A-ga, kirjutatakse see järgmiselt

. (6.3)

Juhul kui jada (f (x n)) suureneb (või väheneb) määramata ajaks mis tahes lähenemismeetodi korral x oma piirini ja, siis ütleme, et funktsioonil f (x) on lõputu piir, ja kirjutage see järgmiselt:

Muutujat (s.o jada või funktsiooni), mille piir on , nimetatakse lõpmata väike väärtus.

Muutujat, mille piir on võrdne lõpmatusega, nimetatakse lõpmata suur.

Praktikas piiri leidmiseks kasutage järgmisi teoreeme.

Teoreem 1 ... Kui on iga piir

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Kommenteeri... Väljendid nagu 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - on ebakindlad, näiteks kahe lõpmata väikse või lõpmatult suure koguse suhe, ja seda laadi piiri leidmist nimetatakse "määramatuste avalikustamiseks".

Teoreem 2. (6.7)

neid. võite astme piirini minna konstantse eksponendiga, eriti ;

(6.8)

(6.9)

Teoreem 3.

(6.10)

(6.11)

kus e » 2.7 on naturaalse logaritmi alus. Valemid (6.10) ja (6.11) nimetatakse esimesteks imeline piirja teine \u200b\u200btähelepanuväärne piir.

Valemi (6.11) tagajärgi kasutatakse ka praktikas:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

eriti piir

Kui x → a ja samal ajal x\u003e a, siis kirjutavad nad x → a + 0. Kui eriti a \u003d 0, kirjutage sümboli 0 + 0 asemel +0. Samamoodi, kui x →a ja pealegi x a-0. Numbrid ja neid kutsutakse vastavalt õige piir ja vasakpoolne piir funktsiooni f (x) punktis ja... Funktsiooni f (x) piiriks on x →a on vajalik ja piisav selleks ... Funktsiooni f (x) kutsutakse pidev punktisx 0 kui piir

. (6.15)

Tingimuse (6.15) saab ümber kirjutada järgmiselt:

,

see tähendab, et funktsiooni märgi all olev piirini jõudmine on võimalik, kui see on antud punktis pidev.

Kui võrdsust (6.15) rikutakse, öeldakse seda kell x \u003d x o funktsiooni f (x) sellel on murda.Vaatleme funktsiooni y \u003d 1 / x. Selle funktsiooni domeen on komplekt R, välja arvatud x \u003d 0. Punkt x \u003d 0 on hulga D (f) piirpunkt, kuna mis tahes selle naabruskonnas, see tähendab, iga avatud intervall, mis sisaldab punkti 0, sisaldab punkte punktist D (f), kuid see ise ei kuulu sellesse rühma. Väärtus f (x o) \u003d f (0) on määratlemata, seega on funktsioonil punktis x o \u003d 0 katkevus.

Funktsiooni f (x) kutsutakse pidev paremal punktis x o, kui piir

,

ja jäetud punkti pidevaks x o, kui piir

.

Funktsiooni järjepidevus punktis x o on samaväärne selle järjepidevusega sel hetkel nii paremal kui vasakul.

Et funktsioon oleks punktis pidev x onäiteks paremal pool on esiteks vajalik, et oleks piiratud piir, ja teiseks, et see piir oleks võrdne f (x o). Seega, kui vähemalt üks neist kahest tingimusest ei ole täidetud, on funktsioonil tühimik.

1. Kui piir on olemas ja ei ole võrdne f (x o) -ga, siis nad ütlevad seda funktsiooni f (x) punktis x o on esimese liigi katkemine, või hüpe.

2. Kui piir on + ∞ või -∞ või seda pole olemas, siis öeldakse, et punkt x o funktsioonil on lünk teine \u200b\u200bliik.

Näiteks x jaoks funktsioon y \u003d ctg x→ +0 piir on võrdne + ∞, seega punktis x \u003d 0 on sellel teist laadi katkevus. Funktsioon y \u003d E (x) (täisarvu osa x) täisarvuga abstsissidega punktides on esimest tüüpi katkendused või hüpped.

Kutsutakse intervalli igas punktis pidev funktsioon pidev sisse Pidevat funktsiooni näidatakse kindla kõverana.

Paljud probleemid, mis on seotud mis tahes koguse pideva kasvuga, viivad teise märkimisväärse piirini. Selliste ülesannete hulka kuuluvad näiteks: sissemakse suurendamine vastavalt liitintressi seadusele, riigi elanikkonna kasv, radioaktiivsete ainete lagunemine, bakterite paljunemine jne.

Mõelge ya.I Perelmani näidenumbri tõlgendamine e liitintresside probleemis. Arv eon piir ... Hoiupankades lisatakse põhikapitalile igal aastal intressiraha. Kui ühendust luuakse sagedamini, siis kasvab kapital kiiremini, kuna intressi moodustamisega on seotud suur summa. Võtame puhtteoreetilise, väga lihtsustatud näite. Las pank paneb 100 denti. ühikut määraga 100% aastas. Kui intressiraha lisatakse põhikapitalile alles aasta pärast, siis selleks kuupäevaks on 100 den. ühikut muutub 200 rahaühikuks. Vaatame nüüd, mis muutub 100 deniks. osakud, kui põhikapitalile lisatakse intressiraha iga kuue kuu tagant. Poole aasta pärast 100 den. ühikut kasvab 100-ni× 1,5 \u003d 150 ja kuus kuud hiljem - 150× 1,5 \u003d 225 (rahaühikud). Kui ühendus toimub iga 1/3 aasta tagant, siis pärast aastat 100 den. ühikut muutuda 100-ks× (1 +1/3) 3 " 237 (rahaühikud). Kiirendame intressi teeniva raha liitumise tingimusi 0,1 aastani, 0,01 aastani, 0,001 aastani jne. Siis alates 100 den. ühikut aasta pärast selgub:

100 × (1 +1/10) 10 "259 (rahaühikud),

100 × (1 + 1/100) 100 * 270 (rahaühikud),

100 × (1 + 1/1000) 1000 * 271 (rahaühikud).

Intresside kinnipidamise tingimuste piiramatu vähendamisega ei suurene kogunenud kapital lõpmatuseni, vaid läheneb teatud limiidile, mis võrdub umbes 271. 100% aastas eraldatav kapital ei saa suureneda rohkem kui 2,71 korda, isegi kui kogunenud intress liidetakse kapitaliga igaüks teine, sest piir

Näide 3.1. Numbrijada piiri määratlust kasutades tõestage, et jada x n \u003d (n-1) / n piir on võrdne 1-ga.

Otsus.Peame seda kõike tõestamaε Me ei võtnud väärtust\u003e 0, sest selle jaoks on olemas naturaalarv N, nii et kõigi n N puhul on ebavõrdsus | x n -1 |< ε.

Võtke ükskõik milline e\u003e 0. Kuna; x n -1 \u003d (n + 1) / n - 1 \u003d 1 / n, siis N leidmiseks piisab ebavõrdsuse lahendamiseks 1 / n< e. Seega n\u003e 1 / e ja seetõttu võib N võtta täisarvuga 1 /e, N \u003d E (1 / e ). Seega oleme tõestanud, et piir.

Näide 3.2 ... Leidke jada piir, mille annab ühine termin .

Otsus.Rakendame summalimiidi teoreemi ja leiame iga termini piiri. N jaoks→ ∞, kipub iga termini lugeja ja nimetaja lõpmatuseni ja jagamispiiride teoreemi ei saa me otse rakendada. Seetõttu muudame kõigepealt ümber x njagades esimese termini lugeja ja nimetaja arvuga n 2ja teine \u200b\u200bpeal n... Siis, kasutades jagamispiiri ja summalimiidi teoreemi, leiame:

.

Näide 3.3. ... Leidma .

Otsus. .

Siin kasutasime kraadi piiri teoreemi: kraadi piir on võrdne baaspiiri astmega.

Näide 3.4 ... Leidma ( ).

Otsus.Piirte erinevuse teoreemi ei saa rakendada, kuna meil on vormi ebakindlus ∞-∞ ... Muutame tavalise liikme valemit:

.

Näide 3.5 ... Antakse funktsioon f (x) \u003d 2 1 / x. Tõesta, et piirangut pole.

Otsus.Kasutagem funktsiooni limiidi definitsiooni 1 jada kaudu. Tehke jada (x n), mis koondub 0-ni, s.o. Näitame, et väärtus f (x n) \u003d käitub erinevate jadade puhul erinevalt. Olgu x n \u003d 1 / n. Ilmselt siis piir Valime nüüd x n jada ühise terminiga x n \u003d -1 / n, mis samuti kaldub nulli. Seetõttu pole mingit piirangut.

Näide 3.6 ... Tõesta, et piirangut pole.

Otsus.Olgu x 1, x 2, ..., x n, ... jada, mille jaoks
... Kuidas käitub jada (f (x n)) \u003d (sin x n) erinevate x n → ∞ korral

Kui x n \u003d p n, siis sin x n \u003d sin p n \u003d 0 kõigi jaoks n ja limiit If
x n \u003d 2p n + p / 2, siis sin x n \u003d sin (2 p n + p / 2) \u003d sin p / 2 \u003d 1 kõigi jaoks n ja seega ka piir. Nii et seda pole olemas.

Vidin on-line limiitide arvutamiseks

Ülemises aknas sisestage sin (x) / x asemel funktsioon, mille piiri soovite leida. Sisestage alumises aknas number, kuhu x kipub, ja klõpsake nuppu Calular, siis saate soovitud piiri. Ja kui klõpsate tulemuste aknas paremas ülanurgas nupul Kuva sammud, saate üksikasjaliku lahenduse.

Funktsiooni sisestamise reeglid: sqrt (x) - ruutjuur, cbrt (x) - kuubi juur, exp (x) - eksponent, ln (x) - naturaalne logaritm, sin (x) - siinus, cos (x) - koosinus, tan (x) - puutuja, võrevoodi (x) - kootagent, arcsin (x) - arcsine, arccos (x) - arccosine, arctan (x) - arctangent. Märgid: * asemel korrutamine, jagamine, ^ laiendamine lõpmatus Lõpmatus. Näide: funktsioon sisestatakse nagu see sqrt (tan (x / 2)).

Limiidid on probleemiks kõigile matemaatikaõpilastele. Limiidi lahendamiseks peate mõnikord kasutama palju trikke ja valima mitmesuguste lahendusmeetodite hulgast täpselt selle, mis sobib konkreetse näite jaoks.

Selles artiklis ei aita me teil mõista oma võimete piire ega kontrolli piire, vaid proovime vastata küsimusele: kuidas mõista piire kõrgemas matemaatikas? Mõistmine tuleb kogemustega, nii et samal ajal anname koos selgitustega mitu üksikasjalikku näidet piiride lahendamise kohta.

Matemaatika piirmõiste

Esimene küsimus: mis see piir on ja mis on see piir? Saame rääkida numbriliste jadade ja funktsioonide piiridest. Oleme huvitatud funktsiooni piiri kontseptsioonist, kuna just nemad puutuvad õpilastega kõige sagedamini kokku. Kuid kõigepealt piirmäära kõige üldisem määratlus:

Ütleme, et on mõni muutuja. Kui see väärtus muutuste protsessis läheneb piiramatult teatud arvule a siis a Kas selle väärtuse piir on.

Teatud intervalliga määratletud funktsiooni jaoks f (x) \u003d y piiriks on selline arv A , millele funktsioon kaldub x kaldudes teatud punkti ja ... Punkt ja kuulub intervalli hulka, millel funktsioon on määratletud.

See kõlab kohmakalt, kuid kirjutada on väga lihtne:

Lim - inglise keelest piir on piir.

Piiri määratlemiseks on olemas ka geomeetriline seletus, kuid siin me ei lähe teooriasse, kuna meid huvitab pigem küsimuse praktiline kui teoreetiline külg. Kui me seda ütleme x kaldub mingile väärtusele, see tähendab, et muutuja ei võta arvu väärtust, vaid on sellele lõpmata lähedal.

Toogem konkreetne näide. Väljakutse on leida piir.

Selle näite lahendamiseks asendage väärtus x \u003d 3 funktsiooniks. Saame:

Muide, kui olete huvitatud, lugege selle teema kohta eraldi artiklit.

Näidetes x võib püüelda mis tahes väärtuse poole. See võib olla ükskõik milline arv või lõpmatus. Siin on näide sellest, millal x kipub lõpmatuseni:

On intuitiivselt selge, et mida suurem on nimetaja number, seda väiksemat väärtust funktsioon võtab. Niisiis, piiramatu kasvuga x väärtus 1 / x väheneb ja läheneb nullile.

Nagu näete, peate limiidi lahendamiseks lihtsalt asendama väärtuse, mille poole funktsiooni poole püüelda x ... See on aga kõige lihtsam juhtum. Limiidi leidmine pole sageli nii ilmne. Sellised ebakindlused nagu 0/0 või lõpmatus / lõpmatus ... Mida teha sellistel juhtudel? Trikkide poole pöörduda!

Ebakindlus

Vormi lõpmatuse / lõpmatuse ebakindlus

Olgu piir:

Kui proovime funktsioonis lõpmatust asendada, saame lõpmatuse nii lugejas kui nimetajas. Üldiselt tasub öelda, et selliste ebakindluste lahendamisel on teatud osa kunstist: tuleb märkida, kuidas funktsiooni saab muuta nii, et ebakindlus kaob. Meie puhul jagame lugeja ja nimetaja jagatud väärtusega x vanemas astmes. Mis juhtub?

Ülaltoodud näitest teame, et nimetaja x-i sisaldavad terminid kipuvad olema nullid. Siis on lahendus piirile:

Ebakindluste avalikustamiseks nagu lõpmatus / lõpmatus jaga lugeja ja nimetaja arvuga x kõrgeimasse astmesse.

Muideks! Meie lugejate jaoks on nüüd 10% allahindlus

Teine ebakindluse tüüp: 0/0

Nagu alati, asendamine väärtusfunktsioonis x \u003d -1 annab 0 lugejas ja nimetajas. Vaadake veidi lähemalt ja märkate, et lugejas on ruutvõrrand. Leidke juured ja kirjutage:

Lühendame ja saame:

Niisiis, kui olete silmitsi ebakindlusega nagu 0/0 - arvestage lugeja ja nimetaja välja.

Näidete lahendamise hõlbustamiseks anname mõne funktsiooni piiridega tabeli:

L'Hôpitali reegel sees

Veel üks võimas tehnika mõlemat tüüpi ebakindluse kõrvaldamiseks. Mis on meetodi olemus?

Kui limiidis on ebakindlust, võtame lugeja ja nimetaja tuletise, kuni mõõtemääramatus kaob.

Lopitali reegel näeb välja selline:

Oluline punkt : peab olema olemas piir, kus lugeja ja nimetaja asemel on lugeja ja nimetaja tuletised.

Ja nüüd tõelise näite jaoks:

Tüüpiline ebakindlus 0/0 ... Võtame lugeja ja nimetaja tuletised:

Voila, ebaselgus lahendatakse kiiresti ja elegantselt.

Loodame, et saate seda teavet praktiliselt rakendada ja leiate vastuse küsimusele "kuidas lahendada piire kõrgemas matemaatikas". Kui peate mingil hetkel arvutama jada või funktsiooni piiri ja sellel tööl pole aega sõnast "üldse", pöörduge kiire ja üksikasjaliku lahenduse saamiseks professionaalse tudengiteeninduse poole.