Peamised piirangute tüübid. Veebikalkulaator: piiride lahendamine
Vaatame illustreerivaid näiteid.
Olgu x arvuline muutuja, X selle variatsiooni piirkond. Kui igale X-le kuuluvale numbrile x omistatakse kindel arv y, siis öeldakse, et funktsioon on määratletud komplekti X ja kirjutatakse y \u003d f (x).
Komplekt X on sel juhul tasapind, mis koosneb kahest koordinaatteljest - 0X ja 0Y. Näiteks kujutame funktsiooni y \u003d x 2. Teljed 0X ja 0Y moodustavad X - muutuste piirkonna. Joonis näitab selgelt, kuidas see funktsioon käitub. Sel juhul öeldakse, et komplekti X korral on funktsioon y \u003d x 2 määratletud.
Funktsiooni kõigi osaliste väärtuste kogumit Y nimetatakse väärtuste kogumiks f (x). Teisisõnu, väärtuste kogum on tühik mööda 0Y-telge, kus funktsioon on määratletud. Kujutatud parabool näitab selgelt, et f (x)\u003e 0, sest x2\u003e 0. Seetõttu on väärtuste vahemik. Vaatame paljusid väärtusi 0Y võrra.
Kõigi x kogumit nimetatakse f (x) määratluse domeeniks. Vaatleme 0X suhtes palju määratlusi ja meie puhul on lubatud väärtuste vahemik [-; +].
Punkti a (a kuulub või X) nimetatakse hulga X piirpunktiks, kui a mõnes naabruskonnas on hulga X muid punkte peale a.
On aeg aru saada - mis on funktsiooni piir?
Puhtalt b, millele funktsioon kipub, kui x läheneb arvule a, nimetatakse funktsiooni piir. See on kirjutatud järgmiselt:
Näiteks f (x) \u003d x 2. Peame välja selgitama, millele funktsioon kaldub (pole võrdne) väärtusega x 2. Esiteks kirjutame limiidi:
Vaatame diagrammi.
Joonistage 0Y-teljega paralleelne joon läbi 0X-telje punkti 2. Ta ületab meie graafiku punktis (2; 4). Me kukutame sellest punktist risti 0Y-teljele ja jõuame punkti 4. See on see, mille eesmärk on meie funktsioon x 2. Kui funktsiooni f (x) abil asendame väärtuse 2, on vastus sama.
Nüüd enne edasi liikumist piirmäärade arvutamine, tutvustame põhimääratlusi.
Tutvustas 19. sajandil prantsuse matemaatik Augustin Louis Cauchy.
Oletame, et funktsioon f (x) on määratletud teatud intervalliga, milles punkt x \u003d A sisaldub, kuid väärtuse f (A) määramine pole vajalik.
Siis vastavalt Cauchy määratlusele funktsiooni piir f (x) on x jaoks kindel arv B, kipub olema A, kui iga C\u003e 0 jaoks on arv D\u003e 0, mille jaoks
St. kui funktsioon f (x) x A juures on piiratud B-ga, kirjutatakse see järgmiselt
Järjestuse piir teatud arvu A kutsutakse juhul, kui mõne suvaliselt väikese positiivse arvu B\u003e 0 korral on olemas arv N, nii et kõik väärtused juhul n\u003e N vastavad ebavõrdsusele
Sellisel piiril on vorm.
Jada, millel on piir, nimetatakse konvergentseks, kui mitte, lahknevaks.
Nagu juba märkasite, tähistab piire lim ikoon, mille all kirjutatakse muutujale mingid tingimused ja siis on funktsioon ise juba kirjutatud. Sellist kogumit loetakse "pakutavate funktsioonide piiriks ...". Näiteks:
on funktsiooni piir, kuna x kipub olema 1.
Väljend "kipub 1" tähendab, et x võtab järjestikku väärtused, mis on lõpmata lähedal 1-le.
Nüüd saab selgeks, et selle piiri arvutamiseks piisab, kui x asemel asendatakse väärtus 1:
Lisaks konkreetsele arvulisele väärtusele võib x kalduda lõpmatuseni. Näiteks:
Lause x tähendab, et x kasvab pidevalt ja on lõpmatuseni lõpmatu. Seetõttu, asendades x asemel lõpmatuse, saab ilmsiks, et funktsioon 1-x kipub, kuid vastupidise märgiga:
Sel viisil limiidi arvutamine Selle limiidi piires tuleb leida selle konkreetne väärtus või konkreetne piirkond, kuhu funktsioon kuulub.
Eelnevale tuginedes järeldub, et limiitide arvutamisel on oluline kasutada mitmeid reegleid:
Mõistes limiidi olemus ja põhireeglid limiidi arvutused, saate olulise ülevaate nende lahendamiseks. Kui see piir tekitab teile raskusi, kirjutage kommentaaridesse ja aitame teid kindlasti.
Märkus. Õigusteadus on teadusteadus, mis aitab konfliktide ja muude eluraskuste korral.
Piirteooria on üks matemaatilise analüüsi harusid. Piiride lahendamise küsimus on üsna ulatuslik, kuna mitmesuguseid piiride lahendamise meetodeid on kümneid. Selle või selle piiri lahendamiseks on kümneid nüansse ja nippe. Sellegipoolest püüame ikkagi mõista põhilisi piirtüüpe, mida praktikas kõige sagedamini ette tuleb.
Alustame piiride kontseptsioonist. Kuid kõigepealt lühike ajalooline taust. Kunagi elas 19. sajandil prantslane Augustin Louis Cauchy, kes pani aluse matemaatilisele analüüsile ja andis täpsed määratlused, eriti piiri määratluse. Pean ütlema, et see sama Cauchy unistas, unistab ja unistab kõigi füüsika- ja matemaatikaosakondade tudengite õudusunenägudes, kuna ta tõestas tohutul hulgal matemaatilise analüüsi teoreeme ja üks lause on vastikum kui teine. Sellega seoses ei võta me arvesse piiri ranget määratlust, vaid proovime teha kahte asja:
1. Saage aru, mis on piir.
2. Õppige lahendama peamisi piirtüüpe.
Vabandan mõne ebateadusliku seletuse pärast, on oluline, et materjal oleks arusaadav isegi teekannule, mis on tegelikult projekti ülesanne.
Mis on piir?
Ja kohe näide sellest, mida vanaema tükeldab ....
Igal piiril on kolm osa.:
1) Kõik teavad piiranguikooni.
2) Sel juhul kanded piiranguikooni all. Plaadi tekst on "X püüdleb ühtsuse poole." Kõige sagedamini - see on küll, kuigi praktikas on X-i asemel ka teisi muutujaid. Praktilistes ülesannetes võib ühiku asemel olla absoluutselt ükskõik milline arv, aga ka lõpmatus ().
3) Sel juhul funktsioonid piirimärgi all.
Salvestage ise 
sõnastatakse järgmiselt: "funktsiooni piir, kui x kipub olema ühtsus".
Uurime järgmist olulist küsimust - mida tähendab väljend “X”? otsib ühtsusele? Ja milleks „pürgitakse“?
Limiidi mõiste on niiöelda mõiste, dünaamiline. Koostage jada: kõigepealt, siis ,, ..., 
, ….
See tähendab, et väljend "x otsib ühtsuseks "tuleks mõista järgmiselt -" x "võtab järjestikku väärtusi, mis on lõpmatuseni lähedal ühtsusele ja langevad sellega praktiliselt kokku.
Kuidas lahendada ülaltoodud näide? Eelnevale tuginedes peate funktsiooni ühiku lihtsalt asendama piirimärgi all:
Esimene reegel: Kui mingi piirang on antud, proovime kõigepealt funktsioonis arvu asendada.
Kaalusime kõige lihtsamat piiri, kuid selliseid leidub praktikas, pealegi mitte nii harva!
Näide lõpmatusest:
Me saame aru, mis see on? See kehtib juhul, kui see kasvab piiramatult, see tähendab: kõigepealt, siis, siis, siis ja nii edasi lõpmatuseni.
Ja mis funktsiooniga sel ajal juhtub?
, , 
, …
Niisiis: kui, siis funktsioon kipub miinus lõpmatuseni:
Ligikaudu öeldes asendame vastavalt oma esimesele reeglile funktsiooni “x” lõpmatuse ja saame vastuse.
Veel üks näide lõpmatusest:
Jällegi hakkame tõusma lõpmatuseni ja vaatame funktsiooni käitumist: 
Järeldus: kui funktsioon suureneb piiramatult:
Ja rida näiteid:
Proovige iseseisvalt analüüsida järgmist ja pidage meeles lihtsaimaid piirtüüpe:
, , , , 
, , , , 
,
Kui kuskil on mingeid kahtlusi, siis võite kalkulaatori hankida ja natuke harjutada.
Sel juhul proovige luua jada ,,. Kui, siis ,,.
Märkus: rangelt öeldes on selline lähenemisviis mitmest numbrist koosnevate järjestuste konstrueerimisel vale, kuid see on üsna sobiv lihtsamate näidete mõistmiseks.
Pöörake tähelepanu ka järgmisele asjale. Isegi kui limiit antakse suure arvu ülaosas ja isegi miljoni :, korral, siis ikkagi 
, kuna varem või hiljem võtab “X” sellised hiiglaslikud väärtused, et miljon nendega võrreldes on tõeline mikroob.
Mida peate ülaltoodust meeles pidama ja mõistma?
1) Kui limiit on antud, proovime kõigepealt funktsioonis arvu asendada.
2) Peate mõistma ja viivitamatult otsustama kõige lihtsamad piirid, näiteks 
,, jne
Nüüd kaalume piiride rühma siis, kui funktsioon on murdosa, lugeja ja nimetaja polünoomidena
Näide:
Arvutage piir 
Meie reegli kohaselt üritame lõpmatuse funktsiooniks asendada. Mida me ületame? Lõpmatus. Ja mis juhtub allpool? Samuti lõpmatus. Seega on meil nn liikide määramatus. Võib arvata, et vastus on valmis, kuid üldiselt pole see sugugi nii ja tuleb rakendada mõnda lahendust, mida me nüüd kaalume.
Kuidas lahendada seda tüüpi piire?
Esiteks vaatame lugejat ja leiame kõrgemal tasemel: 
Lugeja kõrgeim aste on kaks.
Nüüd vaatame nimetajat ja leiame ka kõrgeimal tasemel: 
Nimetaja kõrgeim aste on kaks.
Seejärel valime lugeja ja nimetaja vanima astme: selles näites langevad nad kokku ja on kahega võrdsed.
Niisiis, lahendusmeetod on järgmine: määramatuse paljastamiseks tuleb jagada lugeja ja nimetaja kõrgeima astmega.
Siin see on, vastus ja üldse mitte lõpmatus.
Mis on lahenduse kavandamisel põhimõtteliselt oluline?
Esiteks märkige ebakindlus, kui seda on.
Teiseks on vaheotsuste tegemiseks soovitatav otsus katkestada. Ma kasutan tavaliselt märki, sellel pole matemaatilist tähendust, kuid see tähendab, et vahepealse selgituse saamiseks otsustamine katkestatakse.
Kolmandaks, piirides on soovitav märkida, mida ja kuhu ta soovib. Kui töö valmib käsitsi, on seda mugavam teha: 
Märkmete jaoks on parem kasutada lihtsat pliiatsit.
Muidugi ei saa te sellega midagi teha, kuid siis võib-olla märkab õpetaja otsuses vigu või hakkab ülesande kohta esitama lisaküsimusi. Kas vajate seda?
Näide 2
Leia limiit 
Taas lugejast ja nimetajast leiame kõrgema astme: 
Lugeja maksimaalne aste: 3
Maksimaalne kraad nimetajas: 4
Valige suurim väärtus, antud juhul neli.
Meie algoritmi järgi jagame määramatuse avalikustamiseks lugeja ja nimetaja arvuga.
Ülesande täielik kujundus võib välja näha järgmine:
Jagage lugeja ja nimetaja arvuga
Näide 3
Leia limiit 
Maksimaalne "X" aste lugejas: 2
Maksimaalne “x” aste nimetajas: 1 (võib kirjutada nii)
Ebamäärasuse paljastamiseks tuleb lugeja ja nimetaja jagada arvuga. Puhas lahendus võib välja näha selline:
Jagage lugeja ja nimetaja arvuga
Rekord tähendab mitte jagamist nulliga (nulliga jagada ei saa), vaid jagamist lõpmata väikese arvuga.
Seega liikide ebakindluse avalikustamisel võime saada lõplik arv, null või lõpmatus.
Tüübi määramatusega piirid ja nende lahendamise meetod
Järgmine piiride rühm on mõnevõrra sarnane äsja vaadeldud piiridega: polünoomid asuvad lugejas ja nimetajas, kuid “X” ei kaldu enam lõpmatusse, vaid lõplik number.
Näide 4
Otsustage limiit 
Esiteks proovige murdosas asendada -1: 
Sel juhul saadakse niinimetatud määramatus.
Üldreegel: kui lugeja ja nimetaja sisaldavad polünoome ja vormi osas on ebaselgus, siis selle avaldamiseks peate arvestama lugeja ja nimetajaga.
Selleks peate kõige sagedamini lahendama ruutvõrrandi ja (või) kasutama lühendatud korrutamise valemeid. Kui need asjad ununevad, külastage seda lehte Matemaatilised valemid ja tabelid ja lugege õppematerjale Kuumad matemaatikakooli kursuste valemid. Muide, kõige parem on see printida, seda nõutakse väga sageli ja paberist saadav teave imendub paremini.
Niisiis, otsustame oma piiri 
Tegur lugeja ja nimetaja
Lugeja arvestamiseks peate lahendama ruutvõrrandi: 
Kõigepealt leiame diskrimineeriva isiku:
Ja selle ruutjuur:.
Kui eristaja on suur, näiteks 361, kasutame kalkulaatorit, ruutjuure ekstraheerimise funktsioon on kõige lihtsamal kalkulaatoril.
! Kui juuri ei ekstraheerita täielikult (komaga osutub murdarv), on väga tõenäoline, et diskrimineerija arvutati valesti või trükiviga ülesannetes.
Järgmisena leiame juured: 
Sel viisil:
See on kõik. Lugeja võetakse arvesse.
Nimetaja. Nimetaja on juba kõige lihtsam tegur ja seda ei saa kuidagi lihtsustada.
Ilmselt saab seda vähendada:
Asendame nüüd väljendi, mis jääb piirimärgi alla, -1:
Loomulikult ei kirjeldata testis, katses, eksamis kunagi otsust nii detailselt. Lõplikus versioonis peaks kujundus välja nägema umbes selline:
Tegur lugeja. 
Näide 5
Arvutage piir 
Esiteks lahendus „viimistlus”
Tegur lugeja ja nimetaja.
Lugeja:
Nimetaja: 
, 
Mis on selles näites oluline?
Kõigepealt peaks teil olema hea arusaam sellest, kuidas lugeja avalikustatakse, kõigepealt panime sulust 2 välja ja seejärel kasutasime ruutude erinevuse valemit. Seda valemit tuleb teada ja näha.
Tüübi ja liigi määramatused on levinumad määramatused, mis tuleb piiride lahendamisel avalikustada.
Enamik ülesandeid, mis õpilastega kokku puutub, kannavad lihtsalt sellist ebakindlust. Nende avalikustamiseks või täpsemalt ebakindluste vältimiseks on piirimärgi all oleva väljendi tüübi muutmiseks mitmeid kunstlikke tehnikaid. Need meetodid on järgmised: lugeja ja nimetaja jagamine muutuja kõrgeima astmega, korrutamine konjugaadi avaldisega ja faktoriseerimine järgnevaks redutseerimiseks, kasutades ruutkeskmise võrrandite lahendusi ja lühendatud korrutamise valemeid.
Liigi ebakindlus
Näide 1
n võrdub kahega. Seetõttu jagage lugeja ja nimetaja:
.
Kommentaar väljendi paremal küljel. Nooled ja numbrid näitavad, mida murdosa pärast asendamist otsib n lõpmatuse väärtused. Siin, nagu näites 2, kraad n nimetajas on rohkem kui lugejas, mille tagajärjel kipub kogu murdosa jõudma lõpmatu väärtuseni või "üliväikese arvuni".
Saame vastuse: lõpmatuseni kalduva muutuja selle funktsiooni piir on võrdne.
Näide 2 .
Lahendus. Siin on muutuja kõrgeim aste x võrdub 1. Seetõttu jagame lugeja ja nimetaja lõplikult jagatud väärtusega x:
Kommentaar otsuse edusammude kohta. Lugejas liigume tähega X kolmanda astme juure all ja nii, et selle algkraad (1) jääb muutumatuks, määrake sellele sama aste, mis juur, see on 3. Laskurit ja lisanumbreid selles kirjes enam pole, seega proovige vaimselt, kuid analoogselt eelmise näitega, et kindlaks teha, millised väljendid lugejas ja nimetajas kipuvad olema, kui asendada "x" asemel lõpmatus.
Saime vastuse: lõpmatuseni kalduva muutuja selle funktsiooni piir on null.
Liigi ebakindlus
Näide 3Avastage ebakindlus ja leidke piir.
Lahendus. Lugejas on kuupide erinevus. Jaotame selle teguriteks, kasutades kooli matemaatika kursuse lühendatud korrutamise valemit:
Nimetaja on ruutkeskmine trinomiaal, mida me arvestame ruutkeskmise võrrandi lahendamisega (taas kord viide ruutkeskmise võrrandi lahendile):
Kirjutame ümber teisenduste tulemusel saadud avalduse ja leiame funktsiooni piiri:
Näide 4 Avastage ebakindlus ja leidke piir
Lahendus. Jaotise piirteoreem ei ole siin kohaldatav, kuna
Seetõttu teisendame murdosa identselt: korrutades lugeja ja nimetaja binominaalse konjugaadiga nimetajaks ja vähendame x +1 Teoreemi 1 järelduse kohaselt saame avalduse, mille lahendades leiame soovitud piiri:
Näide 5 Avastage ebakindlus ja leidke piir
Lahendus. Otsene asendamine x \u003d 0 antud funktsiooni korral põhjustab vormi 0/0 määramatuse. Selle paljastamiseks viime läbi identsed teisendused ja saame tulemuseks soovitud piiri: 
Näide 6 Arvuta 
Lahendus: kasutame piiriteoreeme
Vastus on: 11
Näide 7 Arvuta 
Lahendus: selles näites on lugeja ja nimetaja piirid 0:
; 
. Seetõttu ei saanud teoreemi jagatise piiril kohaldada.
Jagame lugeja ja nimetaja teguriteks, et murdarvu vähendada tavalise koefitsiendiga, mis kipub olema , ja seetõttu on võimalik teoreemi 3 rakendada.
Me lagundame ruudukujulise trinoomi lugejas valemi järgi, kus x 1 ja x 2 on trinomi juured. Faktooringu ja nimetaja abil vähendame murdosa (x-2) võrra, seejärel rakendame teoreemi 3.
Vastus on:
Näide 8 Arvuta
Lahendus: Kui lugeja ja nimetaja kipuvad lõpmatuseni, saame teoreemi 3 otse rakendades avalduse, mis tähistab ebakindlust. Sellistest ebakindlustest vabanemiseks tuleks lugeja ja nimetaja jagada argumendi kõrgeimaks astmeks. Selles näites peate jagama x:
Vastus on:
Näide 9 Arvuta 
Lahendus: x 3:
Vastus on: 2
Näide 10 Arvuta 
Lahendus: Kui lugeja ja nimetaja kipuvad lõpmatuseni. Jagage lugeja ja nimetaja argumendi kõrgeima astmega, s.t. x 5:
= 
murdosa lugeja kipub olema 1, nimetaja nulli, nii et murdosa kaldub lõpmatuseni.
Vastus on:
Näide 11 Arvuta
Lahendus: Kui lugeja ja nimetaja kipuvad lõpmatuseni. Jagage lugeja ja nimetaja argumendi kõrgeima astmega, s.t. x 7:
Vastus on: 0
Tuletisinstrument.
Funktsiooni y \u003d f (x) tuletis argumendi x suhtesselle juurdekasvu y ja argumendi x juurdekasvu x suhte piiri nimetatakse siis, kui argumendi juurdekasv kaldub nulli:. Kui see piir on piiratud, siis funktsioon y \u003d f (x)nimetatakse diferentseeritavaks punktis x. Kui see piir on olemas, siis nad ütlevad, et funktsioon y \u003d f (x) omab lõpmatut tuletist punktis x.
Põhifunktsioonide tuletised:
1. (const) \u003d 09.
3. 11. 
4. 
12. 
5. 13. 
6. 
14. 
Diferentseerimise reeglid:
a) 
c) 
Näide 1 Leidke tuletatud funktsioon 
Lahendus: Kui leiame teise termini tuletise fraktsionaalse diferentseerimise reegli järgi, siis on esimene termin kompleksfunktsioon, mille tuletis leitakse valemiga:
Kus siis
Lahendamisel kasutati valemeid: 1,2,10, a, c, d.
Vastus on:
Näide 21 Leidke tuletatud funktsioon 
Lahendus: mõlemad terminid on keerulised funktsioonid, kus esimese jaoks ja teise jaoks siis
Vastus on: 
Tuletisinstrumendid.
1. Kiirus ja kiirendus
Kirjeldage funktsiooni s (t) positsioon objekt mõnes koordinaatsüsteemis ajahetkel t. Siis on funktsiooni s (t) esimene tuletis hetkeline kiirus objekt:
v \u003d s ′ \u003d f ′ (t)
Funktsiooni s (t) teine \u200b\u200btuletis on hetkeline kiirendus objekt:
w \u003d v ′ \u003d s ′ ′ \u003d f ′ ′ (t)
2. Puutuja võrrand
y - y0 \u003d f '(x0) (x - x0),
kus (x0, y0) on puutuja punkti koordinaadid, f ′ (x0) on funktsiooni f (x) tuletise väärtus puutujapunktis.
3. Normaalne võrrand
y - y0 \u003d −1f ′ (x0) (x - x0),
kus (x0, y0) on normi joonistamise punkti koordinaadid, f ′ (x0) on funktsiooni f (x) tuletise väärtus antud punktis.
4. Funktsiooni suurendamine ja vähenemine
Kui f (x0)\u003e 0, siis funktsioon suureneb punktis x0. Alloleval joonisel suureneb funktsioon x-ga
Kui f (x0)<0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1
5. Kohaliku funktsiooni äärmused
Funktsioonil f (x) on kohalik maksimum x1 juures, kui x1 naabrus on selline, et f (x1) ≥f (x) kõigi selle naabruse x korral.
Samamoodi on funktsioonil f (x) kohalik miinimum x2 juures, kui x2 naabrus on selline, et f (x2) ≤f (x) kõigi selle naabruse x korral.
6. Kriitilised punktid
Punkt x0 on kriitiline punkt funktsioon f (x), kui tuletis f ′ (x0) on selles võrdne nulliga või seda pole olemas.
7. Esimene piisav märk jäseme olemasolust
Kui funktsioon f (x) suureneb (f '(x)\u003e 0) kõigi x jaoks teatud intervalliga (a, x1] ja väheneb (f' (x))<0) для всех x в интервале и возрастает (f′(x)>0) kõigi x vahemikus)
