Ootusnäited. Rahvastiku keskmine on
Eelmises andsime mitmeid valemeid, mis võimaldavad meil leida funktsioonide arvulisi karakteristikuid, kui argumentide jaotusseadused on teada. Kuid paljudel juhtudel ei pea funktsioonide arvuliste tunnuste leidmiseks isegi teadma argumentide jaotusseadusi, vaid piisab vaid osade nende arvuliste omaduste tundmisest; samal ajal kui me üldiselt ei tee ühtegi turustusseadust. Funktsioonide numbriliste omaduste määramine argumentide antud numbriliste tunnuste järgi on tõenäosusteoorias laialdaselt kasutusel ja võimaldab paljude probleemide lahendamist oluliselt lihtsustada. Enamasti on sellised lihtsustatud meetodid lineaarsed funktsioonid; samas võimaldavad ka mõned elementaarsed mittelineaarsed funktsioonid sarnast lähenemist.
Käesolevas leiutises esitame funktsioonide numbriliste karakteristikute kohta mitmeid teoreeme, mis kokku moodustavad nende omaduste arvutamiseks väga lihtsa seadme, mis on rakendatav paljudes tingimustes.
1. Matemaatiline ootus ei ole juhuslik muutuja
Sõnastatud omadus on piisavalt ilmne; seda saab tõestada, kui arvestada juhusliku väärtuse mittejuhuslikku väärtust ühe võimaliku väärtuse puhul ühe tõenäosusega üks; siis matemaatilise ootuse üldvalemi abil:
.
2. Mittehariliku koguse hajutamine
Kui tegemist on harvaesineva kogusega, siis
3. Matemaatilise ootuse märgi mittejuhusliku väärtuse väljavõtmine
, (10.2.1)
see tähendab, et juhusliku väärtuse saab võtta väljaspool matemaatilise ootuse märki.
Tõendid.
a) Katkendlike koguste korral
b) Pidevate koguste korral
.
4. Dispersioonimärgi ja standardhälbe juhusliku väärtuse lahutamine
Kui on juhuslik väärtus ja on juhuslik väärtus, siis
, (10.2.2)
see tähendab, et juhusliku suuruse saab dispersiooni märgist välja võtta selle ruudu jagamise teel.
Tõendid. Dispersiooni määratluse järgi
Tagajärg
,
see tähendab, et juhusliku väärtuse saab standardhälbe märgist välja võtta selle absoluutse väärtuse järgi. Selle tõendi saamiseks ekstraheeritakse valemi (10.2.2) ruutjuur ja võetakse arvesse, et r.m.s. on sisuliselt positiivne väärtus.
5. Juhuslike muutujate summa matemaatiline ootus
Tõestagem, et iga kahe juhusliku muutuja ja
see tähendab, et kahe juhusliku muutuja summa matemaatiline ootus võrdub nende matemaatiliste ootuste summaga.
Seda omadust nimetatakse ootuste liitmise teoreemiks.
Tõendid.
a) Laskma olema katkendlike juhuslike muutujate süsteem. Kasutage juhuslike muutujate summa suhtes üldvalem (10.1.6) kahe argumendi funktsiooni matemaatiliseks ootuseks:
.
Ho tähistab muud kui tõenäosust, et väärtus võtab väärtuse:
;
seega
.
Tõestagem seda sarnasel viisil
,
ja teoreem on tõestatud.
b) Laskma olema pidevate juhuslike muutujate süsteem. Vastavalt valemile (10.1.7)
. (10.2.4)
Muutame esimest integraalidest (10.2.4):
;
samamoodi
,
ja teoreem on tõestatud.
Eriti tuleks märkida, et matemaatiliste ootuste liitmise teoreem kehtib kõigi juhuslike muutujate suhtes, nii sõltuvate kui ka sõltumatute muutujate korral.
Matemaatiliste ootuste liitmise teoreem on üldistatud suvalise arvu tingimustega:
, (10.2.5)
see tähendab, et mitmete juhuslike muutujate summa matemaatiline ootus võrdub nende matemaatiliste ootuste summaga.
Tõestuseks piisab täieliku induktsiooni meetodi rakendamisest.
6. Lineaarse funktsiooni matemaatiline ootus
Vaatleme mitme juhusliku argumendi lineaarset funktsiooni:
kus on juhuslikud koefitsiendid. Tõestagem seda
, (10.2.6)
see tähendab, et lineaarse funktsiooni matemaatiline ootus on võrdne argumentide matemaatiliste ootuste sama lineaarse funktsiooniga.
Tõendid. Kasutades liitmisteoreemi m jaoks. ja juhusliku väärtuse paigutamise märk väljaspool märgi tähist, saame:
.
7. dispepneed on juhuslike muutujate summad
Kahe juhusliku muutuja summa dispersioon võrdub nende dispersioonide ja kahekordse korrelatsioonimomendi summaga:
Tõendid. Me tähistame
Matemaatiliste ootuste liitmise teoreemi järgi
Liigume juhuslikest muutujatest vastavatele tsentreeritud väärtustele. Lahutades võrdsusest (10.2.8) võrdsusest (10.2.9) tähtaja järel, saame:
Dispersiooni määratluse järgi
q.E.D.
Summa dispersiooni valemi (10.2.7) võib üldistada mis tahes arvule tingimustele:
,
(10.2.10)
kus on suuruste korrelatsioonimoment, tähistab summa all olev märk, et summeerimine kehtib juhuslike muutujate kõigi võimalike paaride kombinatsioonide kohta 
.
Tõestus on sarnane eelmisega ja tuleneb polünoomi ruudu valemist.
Valemi (10.2.10) võib kirjutada teisel kujul:
, (10.2.11)
kus topeltsumma kehtib suurussüsteemi korrelatsioonimaatriksi kõigi elementide kohta mis sisaldavad nii korrelatsioonimomente kui ka dispersiooni.
Kui kõik juhuslikud muutujad süsteemi sisenemine on korreleerimata (s.o at), valem (10.2.10) on järgmine:
, (10.2.12)
see tähendab, et korreleerimata juhuslike muutujate summa dispersioon on võrdne terminite dispersioonide summaga.
Seda väidet nimetatakse dispersiooni lisamise teoreemiks.
8. Lineaarse funktsiooni dispersioon
Vaatleme mitme juhusliku muutuja lineaarset funktsiooni.
kus on juhuslikud väärtused.
Tõestagem, et selle lineaarse funktsiooni dispersioon on väljendatud valemiga
, (10.2.13)
kus on koguste korrelatsioonimoment,.
Tõendid. Tutvustame märget:
. (10.2.14)
Rakendades väljendi (10.2.14) valemi (10.2.10) parempoolset osa dispersiooni summeerimiseks ja võttes arvesse seda, saame:
kus on koguste korrelatsioonimoment:
.
Arvutame selle hetke. Meil on:
;
samamoodi
Asendades selle avalduse (10.2.15), saame valemi (10.2.13).
Erijuhul, kui kõik kogused korreleerimata, on valem (10.2.13) järgmine:
, (10.2.16)
see tähendab, et korreleerimata juhuslike muutujate lineaarse funktsiooni dispersioon võrdub koefitsientide ruutide korrutiste ja vastavate argumentide dispersioonide summaga.
9. Juhuslike muutujate korrutise matemaatiline ootus
Kahe juhusliku muutuja korrutise matemaatiline ootus võrdub nende matemaatiliste ootuste korrutisega pluss korrelatsioonimoment:
Tõendid. Lähtume korrelatsioonimomendi määratlusest:
Muutame seda avaldist, kasutades matemaatilise ootuse omadusi:
mis on ilmselgelt samaväärne valemiga (10.2.17).
Kui juhuslikud muutujad ei ole korreleerunud, on valem (10.2.17) järgmine:
see tähendab, et kahe korreleerimata juhusliku muutuja korrutis on võrdne nende matemaatiliste ootuste korrutisega.
Seda väidet nimetatakse ootuste korrutusteoreemiks.
Valem (10.2.17) pole midagi muud kui süsteemi teise segatud keskmomendi väljendus teise segatud algmomendi ja matemaatiliste ootuste kaudu:
. (10.2.19)
Seda väljendit kasutatakse praktikas sageli korrelatsioonimomendi arvutamisel samal viisil, nagu ühe juhusliku muutuja puhul arvutatakse dispersioon sageli teise algmomendi ja matemaatilise ootuse kaudu.
Matemaatiliste ootuste korrutamise teoreem on üldistatud suvalisele arvule teguritele, ainult sel juhul selle rakendamiseks ei piisa sellest, et kogused pole korrelatsioonis, vaid nõutakse, et ka mõned kõrgemad segahetked, mille arv sõltub tootes sisalduvate terminite arvust, kaoksid. Need tingimused on kindlasti täidetud, kui tootes sisalduvad juhuslikud muutujad on sõltumatud. Sel juhul
, (10.2.20)
see tähendab, et sõltumatute juhuslike muutujate korrutuste matemaatiline ootus on võrdne nende matemaatiliste ootuste korrutisega.
Seda väidet saab hõlpsasti tõestada täieliku induktsiooni meetodil.
10. Sõltumatute juhuslike muutujate korrutine
Tõestagem seda sõltumatute koguste puhul
Tõendid. Tähistagem. Dispersiooni määratluse järgi
Kuna kogused on sõltumatud, ja
Iseseisvate väärtuste juures on ka sõltumatud; seega
,
Kuid pole midagi muud kui teine \u200b\u200balgne suurusjärk ja see väljendub seega dispersiooni kaudu:
;
samamoodi
.
Asendades need avaldised valemiga (10.2.22) ja viies sarnased mõisted, jõuame valemini (10.2.21).
Kui tsentreeritud juhuslikud muutujad korrutatakse (väärtused, mille matemaatilised ootused on võrdsed nulliga), on valem (10.2.21) järgmine:
, (10.2.23)
see tähendab, et sõltumatute tsentreeritud juhuslike muutujate korrutus on võrdne nende dispersioonide korrutisega.
11. Juhuslike muutujate summa suuremad hetked
Mõnel juhul on vaja arvutada sõltumatute juhuslike muutujate summa suurimad momendid. Tõestagem mõned sellega seotud suhted.
1) Kui kogused on sõltumatud, siis
Tõendid.
sellest tulenevalt matemaatiliste ootuste korrutamise teoreemiga
Kuid mis tahes koguse esimene keskmoment on null; kaks keskmõistet kaovad ja valem (10.2.24) on tõestatud.
Suhet (10.2.24) saab hõlpsasti üldistada, indutseerides suvalise arvu sõltumatuid termineid:
. (10.2.25)
2) kahe sõltumatu juhusliku muutuja summa neljas keskmoment väljendatakse valemiga
kus on koguste dispersioon ja.
Tõestus on täiesti sarnane eelmisega.
Täieliku induktsiooni meetodit kasutades on lihtne tõendada valemi (10.2.26) üldistust suvalise arvu sõltumatute tingimustega.
Ootus on juhusliku muutuja tõenäosusjaotus
Diskreetsete ja pidevate juhuslike muutujate ootus, määratlus, matemaatiline ootus, valim, tingimuslik ootus, arvutamine, omadused, ülesanded, ootuslikkuse hinnang, dispersioon, jaotusfunktsioon, valemid, arvutusnäited
Laiendage sisu
Ahenda sisu
Matemaatiline ootus on, määratlus
Üks matemaatilise statistika ja tõenäosusteooria olulisemaid mõisteid, mis iseloomustab juhusliku muutuja väärtuste või tõenäosuste jaotust. Tavaliselt väljendatakse juhusliku muutuja kõigi võimalike parameetrite kaalutud keskmisena. Seda kasutatakse laialdaselt tehnilises analüüsis, uurimistöös numbriseeriad, pidevate ja pidevate protsesside uurimine. See on oluline riskide hindamisel, finantsnäitajate prognoosimisel finantsturgudel ning seda kasutatakse hasartmängude teooria strateegiate ja meetodite väljatöötamisel.
Matemaatiline ootus onjuhusliku muutuja keskväärtus, võetakse tõenäosusteoorias arvesse juhusliku muutuja tõenäosusjaotust.
Matemaatiline ootus onjuhusliku muutuja keskmise väärtuse mõõt tõenäosusteoorias. Juhusliku muutuja matemaatiline ootus x tähistatud M (x).
Matemaatiline ootus on
Matemaatiline ootus on tõenäosusteoorias kõigi võimalike väärtuste kaalutud keskmine, mida see juhuslik muutuja võib võtta.
Matemaatiline ootus onjuhusliku muutuja kõigi võimalike väärtuste korrutis nende väärtuste tõenäosustega.
Matemaatiline ootus on keskmine kasu ühest või teisest lahendusest, eeldusel, et sellist lahendust saab käsitleda suurte arvude ja pikamaa teooria raames.
Matemaatiline ootus onhasartmängude teoorias võitude summa, mida mängija saab iga panuse kohta keskmiselt teenida või kaotada. Mängurite keeles nimetatakse seda mõnikord "mängija eeliseks" (kui see on mängija jaoks positiivne) või "kasiino eeliseks" (kui see on mängija jaoks negatiivne).
Matemaatiline ootus on protsent võidetud kasumist, mis on korrutatud keskmise kasumiga, millest lahutatakse kahju tõenäosus korrutatuna keskmise kahjumiga.
Juhusliku muutuja matemaatiline ootus matemaatilises teoorias
Juhusliku muutuja üks olulisi numbrilisi omadusi on matemaatiline ootus. Tutvustame juhuslike muutujate süsteemi kontseptsiooni. Vaatleme juhuslike muutujate kogumit, mis on sama juhusliku eksperimendi tulemused. Kui - üks süsteemi võimalikest väärtustest, siis vastab sündmus teatud tõenäosusele, mis vastab Kolmogorovi aksioomidele. Juhuslike muutujate võimalike väärtuste jaoks määratletud funktsiooni nimetatakse ühiseks jaotusseaduseks. See funktsioon võimaldab teil arvutada sündmuste tõenäosuse alates. Eelkõige antakse tõenäosuste abil juhuslike muutujate jagunemise ühine seadus, mis võtab väärtused kogumist ja.
Mõiste "matemaatiline ootus" võttis kasutusele Pierre Simon Marquis de Laplace'i (1795) ja see tulenes mõiste "võit eeldatav väärtus" kontseptsioonist, mis ilmus esmakordselt 17. sajandil hasartmängude teoorias Blaise Pascali ja Christian Huygeni kirjutistes. Selle kontseptsiooni esimese täieliku teoreetilise mõistmise ja hinnangu andis siiski Pafnutii Lvovitš Tšebõšev (19. sajandi keskpaik).
Juhuslike arvväärtuste jaotusseadus (jaotusfunktsioon ja jaotuse seeriad või tõenäosustihedus) kirjeldab täielikult juhusliku muutuja käitumist. Kuid paljude probleemide korral piisab esitatud küsimusele vastamiseks teadmisest uuritud koguse mõnest numbrilisest tunnusest (näiteks selle keskmine väärtus ja võimalik kõrvalekalle sellest). Juhuslike muutujate peamised arvnäitajad on matemaatiline ootus, dispersioon, režiim ja mediaan.
Diskreetse juhusliku muutuja matemaatiline ootus on selle võimalike väärtuste korrutis kõigi vastavate tõenäosustega. Mõnikord nimetatakse matemaatilist ootust kaalutud keskmiseks, kuna see on ligikaudu võrdne juhusliku muutuja täheldatud väärtuste aritmeetilise keskmisega suure hulga katsete korral. Matemaatilise ootuse määratlusest järeldub, et selle väärtus ei ole väiksem kui juhusliku muutuja väikseim võimalik väärtus ja mitte suurem kui suurim. Juhusliku muutuja matemaatiline ootus on juhuslik (konstantne) väärtus.
Matemaatilisel ootusel on lihtne füüsiline tähendus: kui ühiku mass asetatakse sirgjoonele, paigutades massi mingitesse punktidesse (diskreetse jaotuse jaoks), või "määrides" seda teatud tihedusega (absoluutselt pideva jaotuse korral), siis on matemaatilisele ootusele vastav punkt koordinaat. "Raskuskese" on sirge.
Juhusliku muutuja keskmine väärtus on teatud arv, mis on justkui selle "representatiivne" ja asendab selle umbkaudsete ligikaudsete arvutuste abil. Kui me ütleme: “lambi keskmine tööaeg on 100 tundi” või “löögi keskpunkti nihutatakse sihtmärgi suhtes 2 m võrra paremale”, siis osutame juhusliku muutuja teatud numbrilisele karakteristikule, mis kirjeldab selle asukohta arvteljel, s.o. Msgstr "Positsiooni kirjeldus".
Positsiooni omadustest tõenäosusteoorias mängib kõige olulisemat rolli juhusliku muutuja matemaatiline ootus, mida mõnikord nimetatakse lihtsalt juhusliku muutuja keskmiseks väärtuseks.
Vaatleme juhuslikku muutujat Xvõimalike väärtustega x1, x2, ..., xn tõenäosustega p1, p2, ..., pn... Peame mingi numbri abil iseloomustama juhusliku muutuja väärtuste asukohta abstsissil, võttes arvesse asjaolu, et neil väärtustel on erinev tõenäosus. Sel eesmärgil on loomulik kasutada väärtuste niinimetatud "kaalutud keskmist" xi, ja xi iga väärtust keskmistamise ajal tuleks kaaluda "kaaluga", mis on võrdeline selle väärtuse tõenäosusega. Seega arvutame juhusliku muutuja keskmise Xmida me tähistame M | X |:
Seda kaalutud keskmist nimetatakse juhusliku muutuja matemaatiliseks ootuseks. Seega oleme kaalutluseks sisse viinud ühe olulisima tõenäosusteooria mõiste - matemaatilise ootuse mõiste. Juhusliku muutuja matemaatiline ootus on juhusliku muutuja kõigi võimalike väärtuste korrutis nende väärtuste tõenäosustega.
X seostatakse suure hulga katsete abil juhusliku muutuja täheldatud väärtuste aritmeetilise keskmise teatud tüüpi sõltuvusega. See sõltuvus on sama tüüpi kui sõltuvus sageduse ja tõenäosuse vahel, nimelt: suure hulga katsete korral juhusliku muutujaga lähenetud vaatluste väärtuste aritmeetiline keskmine (ühtlustub tõenäosuses) selle matemaatilise ootusega. Sageduse ja tõenäosuse vahelise seose olemasolust võib järeldada sarnase seose olemasolu aritmeetilise keskmise ja matemaatilise ootuse vahel. Tõepoolest, kaaluge juhuslikku muutujat X, mida iseloomustab jaotussari:
Las see toodetakse N sõltumatud katsed, millest igas väärtus Xomandab teatud tähenduse. Oletame väärtuse x1ilmus m1korda, väärtus x2ilmus m2korda, üldiselt tähenduses xiilmus mi korda. Arvutagem X-i vaadeldud väärtuste aritmeetiline keskmine, mis erinevalt matemaatilisest ootusest M | X |me tähistame M * | X |:
Katsete arvu suurenemisega Nsagedus piläheneb (läheneb tõenäosus) vastavatele tõenäosustele. Järelikult on juhusliku muutuja täheldatud väärtuste aritmeetiline keskmine M | X | katsete arvu suurenemisega läheneb see (läheneb tõenäosus) oma matemaatilisele ootusele. Ülaltoodud seos aritmeetilise keskmise ja matemaatilise ootuse vahel on suurte arvude seaduse ühe vormi sisu.
Me juba teame, et kõigi arvukate seaduste vormid kinnitavad tõsiasja, et mõnede katsete keskmised on stabiilsed. Siin räägime aritmeetilise keskmise stabiilsusest sama suurusega vaatluste seeria põhjal. Väikese arvu katsete korral on nende tulemuste aritmeetiline keskmine juhuslik; katsete arvu piisava suurenemisega muutub see "peaaegu juhuslikuks" ja stabiliseerudes läheneb konstantsele väärtusele - matemaatilisele ootusele.
Suure hulga katsetega keskmiste stabiilsuse omadust on katseliselt lihtne kontrollida. Näiteks kui kaalute keha laboris täpse kaaluga, saame kaalumise tulemusel iga kord uue väärtuse; vaatlusvea vähendamiseks kaalume keha mitu korda ja kasutame saadud väärtuste aritmeetilist keskmist. On lihtne näha, et katsete (kaalude) arvu täiendava suurenemise korral reageerib aritmeetiline keskmine sellele suurenemisele üha vähem ja piisavalt suure arvu katsete korral peatub see praktiliselt muutumast.
Tuleb märkida, et juhusliku muutuja positsiooni kõige olulisem omadus - matemaatiline ootus - puudub kõigi juhuslike muutujate puhul. Võimalik on koostada näiteid sellistest juhuslikest muutujatest, mille jaoks matemaatilist ootust ei eksisteeri, kuna vastav summa või integraal lahknevad. Kuid praktika jaoks pole sellised juhtumid märkimisväärset huvi pakkuvad. Tavaliselt on juhuslikel muutujatel, millega me tegeleme, piiratud vahemik võimalikke väärtusi ja loomulikult on neil matemaatiline ootus.
Lisaks juhusliku muutuja positsiooni karakteristikutele - matemaatilisele ootusele - kasutatakse praktikas mõnikord ka muid positsiooni tunnuseid, eriti juhusliku muutuja režiimi ja mediaani.
Juhusliku muutuja režiim on selle kõige tõenäolisem väärtus. Mõiste "kõige tõenäolisem väärtus" kehtib rangelt öeldes ainult katkendlike koguste kohta; pideva koguse korral on režiim väärtus, mille korral tõenäosustihedus on maksimaalne. Joonised näitavad vastavalt režiimi katkendlike ja pidevate juhuslike muutujate jaoks.
Kui jaotuspolügoonil (jaotuskõveral) on rohkem kui üks maksimum, nimetatakse jaotust polümodaalseks.
Mõnikord on jaotusi, mille keskel on minimaalne, mitte maksimaalne. Selliseid jaotusi nimetatakse "antimodaalseteks".
Üldjuhul ei lange juhusliku muutuja režiim ja matemaatiline ootus kokku. Erijuhul, kui jaotus on sümmeetriline ja modaalne (st omab režiimi) ja on olemas matemaatiline ootus, langeb see kokku jaotuse režiimi ja sümmeetriakeskmega.
Tihti kasutatakse positsiooni teist tunnust - juhusliku muutuja nn mediaani. Seda omadust kasutatakse tavaliselt ainult pidevate juhuslike muutujate jaoks, kuigi formaalselt saab seda määratleda ka katkendliku muutuja korral. Geomeetriliselt on mediaan abstsiss punktis, kus jaotuskõveraga piiratud piirkond pooleks langeb.
Sümmeetrilise modaaljaotuse korral langeb mediaan kokku matemaatilise ootuse ja režiimiga.
Matemaatiline ootus on juhusliku muutuja keskmine väärtus - juhusliku muutuja tõenäosusjaotuse arvuline tunnus. Kõige üldisemalt öeldes on juhusliku muutuja matemaatiline ootus X (w) defineeritakse Lebesgue'i integraalina tõenäosusmõõtme suhtes Ralgses tõenäosusruumis:
Matemaatilise ootuse saab arvutada kui Lebesgue'i integraal xtõenäosusjaotuse järgi pxsuurusjärgud X:
Looduslikul viisil saate määratleda juhusliku muutuja mõiste lõpmatu matemaatilise ootusega. Tagasipöördumisajad mõnel juhuslikul jalutuskäigul on tüüpilised näited.
Matemaatilist ootust kasutades määratakse jaotuse paljud numbrilised ja funktsionaalsed omadused (juhusliku muutuja vastavate funktsioonide matemaatilise ootusena), näiteks genereeriv funktsioon, iseloomulik funktsioon, suvalise järjekorra hetked, eriti dispersioon, kovariatsioon.
Matemaatiline ootus on iseloomulik juhusliku muutuja väärtuste asukohale (selle jaotuse keskmisele väärtusele). Selles mahus toimib matemaatiline ootus mõne "tüüpilise" jaotusparameetrina ja selle roll sarnaneb staatilise momendi - massjaotuse raskuskeskme koordinaatide - rolliga mehaanikas. Matemaatiline ootus erineb teistest asukohaomadustest, mille abil kirjeldatakse jaotust üldiselt, mediaane, režiime, selle suurema väärtuse järgi, mis sellel ja sellele vastaval hajumisomadusel - dispersioonil - on tõenäosusteooria piirteoreemides. Matemaatilise ootuse tähendus ilmneb kõige paremini suurte arvude seadusega (Tšebõševi ebavõrdsus) ja suurte arvude tugevdatud seadusega.
Diskreetse juhusliku muutuja matemaatiline ootus
Las on mõni juhuslik muutuja, mis võib võtta ühe mitmest arvväärtusest (näiteks täringu viskamisel võib punktide arv olla 1, 2, 3, 4, 5 või 6). Praktikas tekib sellise väärtuse osas sageli küsimus: millise väärtuse võtab see "keskmiselt" suure hulga testide korral? Kui suur on meie keskmine sissetulek (või kaotus) igast riskantsest toimingust?
Ütleme, et on mingi loterii. Tahame mõista, kas sellel osalemine on kasumlik või mitte (või isegi korduvalt, regulaarselt) osalemine. Ütleme nii, et iga neljas võidupilet on auhind 300 rubla ja mis tahes pileti hind 100 rubla. Lõpmatult suure osalejate arvuga just see juhtub. Kolmel neljandikul juhtudest, mille kaotame, maksavad iga kolm kaotust 300 rubla. Igal neljandal juhul võidame 200 rubla. (auhind miinus maksumus), see tähendab, et nelja osaluse korral kaotame keskmiselt 100 rubla, ühe eest - keskmiselt 25 rubla. Kokku on meie laost keskmine hind 25 rubla pileti kohta.
Me viskame täringut. Kui see pole petmine (raskuskeskme nihe ei muutu jne), siis mitu punkti me korraga keskmiselt mõõdame? Kuna iga variant on võrdselt tõenäoline, võtame rumala aritmeetilise keskmise ja saame 3,5. Kuna see on KESKMINE, ei pea olema nördinud, et ükski konkreetne viskus ei anna 3,5 punkti - noh, sellel kuubikul pole sellise numbriga serva!
Nüüd võtame kokku meie näited:
Vaatame äsja näidatud pilti. Vasakul on juhusliku muutuja jaotuse tabel. X väärtus võib võtta ühe n võimalikust väärtusest (näidatud ülemisel real). Muid väärtusi ei saa olla. Iga allpool esitatud võimalik väärtus on märgistatud selle tõenäosusega. Paremal on valem, kus M (X) nimetatakse matemaatiliseks ootuseks. Selle väärtuse tähendus on see, et suure hulga testide korral (suure valimi korral) kipub keskmine väärtus vastama väga matemaatilisele ootusele.
Läheme tagasi sama mängukuubi juurde. Viskamisel on punktide arvu matemaatiline eeldus 3,5 (arvutage ise valemi abil, kui te ei usu). Ütleme, et viskasite selle paar korda. Nad langesid 4 ja 6. Keskmine oli 5, mis on kaugel 3,5-st. Nad viskasid selle veel ühe korra, kukkusid 3, see tähendab keskmiselt (4 + 6 + 3) / 3 \u003d 4,3333 ... Kuidagi kaugel matemaatilisest ootusest. Nüüd tehke see hull katse - veeretage kuubikut 1000 korda! Ja kui keskmine pole täpselt 3,5, on see sellele lähedal.
Arvutame matemaatilise ootuse ülalkirjeldatud loteriile. Plaat näeb välja selline:
Siis on matemaatiline ootus, nagu me eespool tõestasime:
Teine asi on see, et kui oleks rohkem võimalusi, oleks seda keeruline teha lihtsalt sõrmedel, ilma valemit kasutamata. Oletame, et kaotatud piletitest oleks 75%, võidetud piletitest 20% ja lisavõitudest 5%.
Nüüd mõned matemaatilise ootuse omadused.
Selle tõestamine on lihtne:
Matemaatilise ootuse märgist lubatakse välja võtta püsiv tegur, see on:
See on matemaatilise ootuse lineaarsuse omaduse erijuhtum.
Teine tagajärg matemaatilise ootuse lineaarsusele:
see tähendab, et juhuslike muutujate summa matemaatiline ootus võrdub juhuslike muutujate matemaatiliste ootuste summaga.
Olgu X, Y sõltumatud juhuslikud muutujad, siis:
Seda pole ka keeruline tõestada) XY ise on juhuslik muutuja, kui aga algväärtused võiksid võtta nja mväärtused vastavalt XYvõib võtta nm väärtusi. Iga väärtuse tõenäosus arvutatakse selle põhjal, et sõltumatute sündmuste tõenäosus korrutatakse. Selle tulemusel saame selle:
Pideva juhusliku muutuja matemaatiline ootus
Pidevatel juhuslikel muutujatel on selline omadus nagu jaotustihedus (tõenäosustihedus). Tegelikult iseloomustab see olukorda, kus juhuslik muutuja võtab mõned väärtused reaalarvude komplektist sagedamini, mõned harvemini. Mõelge näiteks järgmisele graafikule:
Siin Xon juhuslik muutuja ise, f (x)- jaotustihedus. Selle graafiku järgi hinnatakse katsetes väärtust Xon sageli nullilähedane arv. Võimalus ületada 3 või vähem -3 pigem puhtteoreetiline.
Oletame näiteks, et jaotumine on ühtlane:
See on üsna kooskõlas intuitiivse mõistmisega. Ütleme, et kui saame palju juhuslikke reaalseid numbreid ühtlase jaotusega, siis iga segment |0; 1| , siis peaks aritmeetiline keskmine olema umbes 0,5.
Ka siin on rakendatavad matemaatilise ootuse omadused - lineaarsus jne, mida saab kasutada diskreetsete juhuslike muutujate korral.
Matemaatilise ootuse ja muude statistiliste näitajate seos
Statistilises analüüsis on koos matemaatilise ootusega olemas üksteisest sõltuvate näitajate süsteem, mis kajastab nähtuste homogeensust ja protsesside stabiilsust. Variatsiooninäitajatel pole sageli iseseisvat tähendust ja neid kasutatakse andmete edasiseks analüüsiks. Erandiks on variatsioonikordaja, mis iseloomustab andmete homogeensust, mis on väärtuslik statistika.
Statistiliste teaduste protsesside varieeruvuse või stabiilsuse astet saab mõõta mitmete näitajate abil.
Juhusliku muutuja varieeruvust iseloomustav kõige olulisem näitaja on Dispersioon, mis on kõige tihedamalt ja otsesemalt seotud matemaatilise ootusega. Seda parameetrit kasutatakse aktiivselt muud tüüpi statistilises analüüsis (hüpoteesi testimine, põhjuse-tagajärje seoste analüüs jne). Sarnaselt lineaarsele keskmisele peegeldab dispersioon ka andmete levikut keskmise ümber.
Viipekeel on kasulik sõnade keelde tõlkimisel. Selgub, et dispersioon on kõrvalekallete keskmine ruut. See tähendab, et kõigepealt arvutatakse keskmine, seejärel võetakse iga originaali ja keskmise erinevus, ruututatakse, lisatakse ja jagatakse seejärel väärtuste arvuga populatsioonis. Individuaalse väärtuse ja keskmise erinevus kajastab kõrvalekalde suurust. See on ruudus nii, et kõik kõrvalekalded muutuvad eranditult positiivseteks numbriteks ja positiivsete ja negatiivsete kõrvalekallete vastastikuse hävimise vältimiseks nende summeerimisel. Seejärel arvutame kõrvalekallete ruutudega lihtsalt aritmeetilise keskmise. Keskmine - ruut - kõrvalekalded. Kõrvalekalded on ruudus ja arvestatakse keskmist. Võlusõna "dispersioon" lahendus peitub vaid kolmes sõnas.
Puhtal kujul, näiteks aritmeetilist keskmist või indeksit, dispersiooni siiski ei kasutata. See on pigem lisa- ja vaheindikaator, mida kasutatakse muud tüüpi statistilise analüüsi jaoks. Tal pole isegi normaalset mõõtühikut. Valemi järgi otsustades on see algandmete mõõtühiku ruut.
Mõõdame juhusliku muutuja Nkorda, näiteks mõõdame tuule kiirust kümme korda ja tahame leida keskmise väärtuse. Kuidas on keskmine jaotusfunktsiooniga seotud?
Või veeretame täringut mitu korda. Iga rulliga stantsilt väljalangevate punktide arv on juhuslik väärtus ja selle väärtus võib olla vahemikus 1 kuni 6. Kõigil täringurullidel arvutatud langenud punktide aritmeetiline keskmine on samuti juhuslik väärtus, kuid suure Nsee kipub täielikult konkreetne number - matemaatiline ootus Mx... Sel juhul Mx \u003d 3,5.
Kuidas see väärtus tekkis? Lase sisse Nkohtuprotsessid n1kord langes 1 punkt, n2korda - 2 punkti ja nii edasi. Siis tulemuste arv, milles üks punkt langes:
Samamoodi tulemuste korral, kui veeretatakse 2, 3, 4, 5 ja 6 punkti.
Oletame nüüd, kui me teame juhusliku muutuja x jaotusseadust, see tähendab, et juhuslik muutuja x võib võtta väärtusi x1, x2, ..., xk tõenäosustega p1, p2, ..., pk.
Juhusliku muutuja x matemaatiline ootus Mx on:
Matemaatiline ootus ei ole alati mõne juhusliku muutuja mõistlik hinnang. Niisiis, keskmise palga hindamiseks on mõistlikum kasutada mediaani mõistet, see tähendab sellist väärtust, et vähem kui mediaanpalk ja rohkem saavad inimesed sama.
Tõenäosus p1, et juhuslik muutuja x on väiksem kui x1 / 2, ja tõenäosus p2, et juhuslik muutuja x on suurem kui x1 / 2, on samad ja võrdsed 1/2. Mediaani ei määrata kõigi jaotuste osas üheselt.
Standardhälve või standardhälve statistikas - see, mil määral vaatlusandmed või kogumid keskmisest erinevad. Seda tähistatakse tähtedega s või s. Väike standardhälve näitab, et andmed on koondatud keskmise ümber, samal ajal kui suur standardhälve näitab, et algsed andmed on sellest kaugel. Standardhälve on ruutjuur kogus, mida nimetatakse dispersiooniks. See on keskväärtusest erinev lähteandmete ruutude erinevuste keskmine. Juhusliku muutuja standardhälvet nimetatakse dispersiooni ruutjuureks:
Näide. Katsetingimustes sihtkohalt tulistades arvutage juhusliku muutuja dispersioon ja standardhälve:
Variatsioon- tunnuse väärtuse varieeruvus, varieeruvus populatsiooni ühikutes. Objekti individuaalseid arvväärtusi, mis esinevad uuritud populatsioonis, nimetatakse väärtusvõimalusteks. Keskmise väärtuse ebapiisavus elanikkonna täieliku karakteristiku jaoks tingib vajaduse keskmisi väärtusi täiendada näitajatega, mis võimaldavad hinnata nende keskmiste tüüpilisust, mõõtes uuritava tunnuse varieeruvust (variatsiooni). Variatsioonikordaja arvutatakse järgmise valemi abil:
Pühkimise variatsioon (R) on tunnuse maksimaalse ja minimaalse väärtuse erinevus uuritud populatsioonis. See indikaator annab kõige üldisema ülevaate uuritava tunnuse varieeruvusest, kuna see näitab erinevust ainult võimaluste piirväärtuste vahel. Sõltuvus tunnuse äärmuslikest väärtustest annab variatsioonivahemikule ebastabiilse, juhusliku iseloomu.
Keskmine lineaarne kõrvalekalleon uuritud populatsiooni kõigi väärtuste absoluutsete (modulo) kõrvalekallete aritmeetiline keskmine nende keskmisest:
Oodatav väärtus hasartmängude teoorias
Matemaatiline ootus onkeskmine rahasumma, mille mängija saab antud panuse korral võita või kaotada. See on mängija jaoks väga oluline kontseptsioon, kuna enamiku mänguolukordade hindamisel on see põhiline. Ootus on ka optimaalne vahend põhiliste kaardipaigutuste ja mänguolukordade analüüsimiseks.
Oletame, et mängite sõbraga mündi, panustades iga kord võrdselt 1 dollarit, olenemata sellest, mis tuleb. Sabad - võidad, pead - kaotad. Sabade tuleku tõenäosus on üks kuni üks ja panustate 1 kuni 1 dollar. Seega on teie matemaatiline ootus , sest matemaatiliselt öeldes ei saa teada, kas juhid või kaotad pärast kahte viset või pärast 200.
Teie tunnikasum on null. Tunnivõit on rahasumma, mida loodetakse tunnis võita. Saate tunni aja jooksul mündi 500 korda ümber pöörata, kuid te ei võida ega kaota, sest teie võimalused pole ei positiivsed ega negatiivsed. Tõsise mängija seisukohast pole selline kihlveosüsteem halb. Kuid see on lihtsalt ajaraiskamine.
Kuid oletame, et keegi soovib sama mängu pealt panustada 2 dollarit teie 1 dollari vastu. Siis on teil kohe positiivne ootus 50 senti iga panuse kohta. Miks 50 senti? Keskmiselt võidad ühe panuse ja kaotad teise. Panustage esimesele dollarile ja kaotage 1 dollar, teise panustage ja võidage 2 dollarit. Panustad kaks korda 1 dollariga ja oled 1 dollar ees. Nii et iga teie ühe dollari panus andis teile 50 senti.
Kui münt langeb ühe tunni jooksul välja 500 korda, on teie tunnivõit juba 250 dollarit, sest keskmiselt kaotasite 1250 dollarit ja võitsite 2250 korda. 500 dollarit miinus 250 dollarit võrdub 250 dollariga, mis on koguvõit. Pange tähele, et eeldatav väärtus, mis on summa, mille võitsite ühe panuse korral keskmiselt, võrdub 50 senti. Sa võitsid 250 dollarit, kui panite dollarikorraldust 500 korda, mis võrdub 50 senti panusest.
Ootustel pole lühiajaliste tulemustega mingit pistmist. Teie vastane, kes otsustas teie vastu panustada 2 dollarit, võis teid võita esimesel kümnel viskel järjest, kuid kui teil on 2: 1 panustamise eelis, kui kõik muud asjad on võrdsed, teenite igal juhul 50 senti iga 1-dollarise panuse kohta. Pole vahet, kas võidad või kaotad ühe panuse või mitu panust, vaid ainult siis, kui sul on piisavalt raha, et kulusid hõlpsalt kompenseerida. Kui jätkate panustamist samal viisil, siis jõuavad teie võidud pikema aja jooksul eraldi visketes ootuste summani.
Iga kord, kui teete parima tulemusega panuse (panus, mis võib pikas perspektiivis osutuda kasumlikuks), kui koefitsiendid on teie kasuks, võidate kindlasti midagi selle kohta ja pole vahet, kas kaotate selle käes või mitte. Ja vastupidiselt, kui teete panuse halvima tulemusega (panus, mis pole pikas perspektiivis kasumlik), kui koefitsiendid pole teie kasuks, kaotate midagi, sõltumata sellest, kas võidate või kaotate antud käes.
Panustate parima tulemusega, kui teie ootused on positiivsed, ja positiivsed, kui koefitsiendid on teie poolel. Halvima tulemusega panuse tegemisel on teil negatiivsed ootused, mis juhtub siis, kui koefitsiendid on teie vastu. Tõsised mängurid panustavad ainult parima tulemuse korral, halvimal juhul nad loobuvad. Mida koefitsient teie kasuks tähendab? Võite lõpuks võita rohkem, kui tõelised koefitsiendid kaasa toovad. Sabade tulemise tegelikud koefitsiendid on 1 kuni 1, kuid panuste suhte tõttu saate 2: 1. Sel juhul on koefitsiendid teie kasuks. Parima tulemuse saate kindlasti positiivse ootusega 50 senti panuse kohta.
Siin on keerulisem näide eeldatavast väärtusest. Teie sõber kirjutab numbrid ühelt viieni ja panustab teie dollari vastu 5 dollarit, et te ei tee varjatud arvu kindlaks. Kas peaksite sellise panusega nõustuma? Mis siin ootuses on?
Keskmiselt saate seda valesti neli korda. Selle põhjal on tõenäosus, et numbri arvamine on 4 kuni 1. Koefitsiendid on sellised, et kaotate ühel proovil dollari. Võidad siiski 5: 1, kui võid kaotada 4: 1. Seega koefitsiendid on sinu kasuks, võid panustada ja loota paremale tulemusele. Kui teete selle panuse viis korda, kaotate keskmiselt neli korda 1 dollari ja võidate ühe korra 5 dollarit. Selle põhjal teenite kõigi viie proovimise eest $ 1 positiivse eeldatava väärtusega 20 senti panuse kohta.
Mängija, kes soovib võita rohkem, kui panustab, nagu ülaltoodud näites, püüab koefitsiendid kinni. Vastupidi, ta hävitab koefitsiendid, kui loodab võita vähem, kui panustab. Panuse teinud mängijal võib olla kas positiivne või negatiivne ootus, mis sõltub sellest, kas ta koefitsiendid püüab või rikub.
Kui panustate 50 dollarit, et võita 10 dollarit 4: 1 võidutõenäosusega, saate negatiivse ootuse 2 dollarit, kuna keskmiselt võidad neli korda 10 dollarit ja kaotad ühe korra 50 dollarit, mis näitab, et ühe panuse kaotus on 10 dollarit. Kuid kui panustate 30 dollarit, et võita 10 dollarit, samade võiduvõimalustega 4: 1, siis on teil sel juhul positiivne ootus 2 dollarit, sest võidate jälle neli korda 10 dollari eest ja kaotate üks kord 30 dollarit 10 dollari kasumi saamiseks. Need näited näitavad, et esimene panus on halb ja teine \u200b\u200bhea.
Ootus on kõigi mängude keskpunkt. Kui kihlvedude valmistaja julgustab jalgpallifänne panustama 10 dollarit, et 10 dollarit võita, on neil positiivne ootus 50 senti iga 10 dollari kohta. Kui kasiino maksab crapsis kuluvast liinist võrdselt raha, on kasiino positiivne ootus umbes 1,40 dollarit iga 100 dollari kohta, kuna See mäng on loodud nii, et kõik, kes sellel real panustavad, kaotavad keskmiselt 50,7% ja võidavad 49,3% koguajast. Kahtlemata toob just see näiliselt minimaalne positiivne ootus kasiinoomanikele kogu maailmas kolossaalse kasumi. Nagu märkis Vegas Worldi kasiino omanik Bob Stupak, "tuhandikprotsendiline negatiivne tõenäosus piisavalt pika vahemaa tagant rikub rikkaima inimese maailmas."
Matemaatiline ootus pokkerit mängides
Pokkerimäng on kõige illustratiivsem ja illustreerivam näide matemaatilise ootuse teooria ja omaduste kasutamise osas.
Matemaatiline ootus (ingliskeelne eeldatav väärtus) pokkeris on konkreetsest lahendusest saadav keskmine eeldus, eeldusel, et sellist lahendust saab kaaluda suurte arvude ja pikamaa teooria raames. Edukas pokkerimäng tähendab alati positiivsete ootustega käikude aktsepteerimist.
Matemaatilise ootuse matemaatiline tähendus pokkerit mängides seisneb selles, et otsuse langetamisel puutume sageli kokku juhuslike muutujatega (me ei tea, millised kaardid on vastase käes, millised kaardid tulevad järgmistel panustamisringidel). Me peame kõiki lahendusi kaaluma suurte arvude teooria seisukohast, mis väidab, et piisavalt suure valimi korral kaldub juhusliku muutuja keskmine väärtus selle matemaatilisse ootusesse.
Matemaatilise ootuse arvutamise konkreetsete valemite seas on pokkeris kõige sobivam:
Pokkerit mängides saab eeldatava väärtuse arvutada nii panuste kui ka kõnede jaoks. Esimesel juhul tuleb arvestada fold omakapitaliga, teisel - poti enda koefitsiendiga. Hinnates käigu matemaatilist ootust, pidage meeles, et voldil on alati null ootusi. Seega on kaartide loobumine alati parem lahendus kui negatiivne käik.
Ootus ütleb teile, mida võite oodata (kasumit või kahjumit) iga dollari kohta, mida riskite. Kasiinod teenivad raha, kuna kõigi neis harjutatavate mängude matemaatiline ootus on kasiino kasuks. Piisavalt pika mänguseeria korral võib klient oodata oma raha kaotamist, kuna "tõenäosus" on kasiino kasuks. Professionaalsed kasiinomängijad piiravad oma mänge siiski lühikese ajaga, suurendades seeläbi koefitsiente nende kasuks. Sama kehtib ka investeerimise kohta. Kui teie ootused on positiivsed, saate rohkem teenida, kui teete lühikese aja jooksul palju tehinguid. Ootus on teie võidetud protsent kasumist, mis on korrutatud keskmise kasumiga, millest lahutatakse teie kaotuse tõenäosus korrutatuna keskmise kahjumiga.
Pokkerit saab vaadata ka matemaatiliste ootuste osas. Võite eeldada, et teatud kolimine on kasumlik, kuid mõnel juhul ei pruugi see olla kõige parem, sest mõni teine \u200b\u200bkolimine on kasumlikum. Oletame, et tabasite viie kaardi loosimispokkeriga terve maja. Teie vastane panustab. Teate, et kui te oma pakkumist tõstate, vastab ta. Seetõttu näib tõstmine parim taktika. Kuid kui panust tõstate, siis ülejäänud kaks mängijat kindlasti voltisid. Kuid kui helistate, olete täiesti kindel, et kaks teist mängijat teevad pärast seda sama. Panuse tõstmisel saate ühe ühiku ja lihtsalt helistate - kaks. Seega annab võrdsustamine kõrgema positiivse matemaatilise ootuse ja on parim taktika.
Matemaatiline ootus võib anda ka ettekujutuse sellest, millised taktikad on pokkeris vähem kasumlikud ja millised rohkem. Näiteks kui arvate, et teatud käe mängimisel on teie kaotused keskmiselt 75 senti, sealhulgas ante, siis tuleks seda kätt mängida, kuna see on parem kui voltimine, kui ante on 1 dollar.
Teine oluline põhjus matemaatiliste ootuste olemuse mõistmiseks on see, et see annab teile rahu tunde, kas võitsite panuse või mitte: kui tegite hea panuse või panite õigeaegselt paika, saate teada, et olete teeninud või säästnud teatud summa raha, mis nõrgem mängija ei suutnud päästa. Palju keerulisem on voltimine, kui olete ärritunud, et teie vastane on vahetuses tugevama käe teinud. Selle kõige korral lisandub panustamise asemel raha, mille salvestasite ilma mängimiseta, võitudele öö või kuu kohta.
Pidage ainult meeles, et kui vahetate oma käed, helistab teie vastane teile ja nagu näete artiklis "Pokkeri põhiteoreem", on see vaid üks teie eelistest. Kui see juhtub, peaksite olema õnnelik. Võite isegi õppida kaotatud käest rõõmu tundma, sest teate, et teised teie asemel asuvad mängijad kaotaksid palju rohkem.
Nagu alguses mündimängu näites öeldud, on tunnikasumi suhe seotud eeldatava väärtusega ja seda kontseptsiooni eriti oluline profimängijate jaoks. Kui kavatsete pokkerit mängida, peate vaimselt hindama, kui palju võite tunni jooksul mängides võita. Enamikul juhtudel peate tuginema oma intuitsioonile ja kogemustele, kuid võite kasutada ka mõnda matemaatikat. Näiteks kui mängite loosimatši ja näete, et kolm mängijat panustavad 10 dollarit ja vahetavad siis kaks kaarti, mis on väga halb taktika, võite arvata, et iga kord, kui panustavad 10 dollarit, kaotavad nad umbes 2 dollarit. Igaüks neist teeb seda kaheksa korda tunnis, mis tähendab, et kõik kolm kaotavad tunnis umbes 48 dollarit. Olete üks ülejäänud neljast mängijast, kes on umbes võrdsed, seega peavad need neli mängijat (ja ka teie nende seas) jagama 48 dollarit ja iga kasum on 12 dollarit tunnis. Teie tunnitasu on sel juhul lihtsalt teie osa rahast, mille tunnis kaotavad kolm halba mängijat.
Pika aja jooksul on mängija koguväljamakse tema üksikute käte käes olevate matemaatiliste ootuste summa. Mida rohkem mängite positiivsete ootustega, seda rohkem võidate ja vastupidi, mida rohkem on negatiivsete ootustega käsi, seda rohkem kaotate. Seetõttu peaksite valima mängu, mis võib teie positiivseid ootusi maksimeerida või negatiivse eitada, et saaksite oma tunnivõite maksimeerida.
Mängustrateegia positiivne matemaatiline ootus
Kui teate kaarte arvestada, võib teil olla kasiinode ees serv, kui nad teid ei märka ja löövad välja. Kasiinod armastavad purjus mängijaid ega suuda kaardiloendurit seista. Eelis võimaldab teil aja jooksul võita rohkem kordi kui kaotate. Hea rahahaldus matemaatiliste ootuste arvutuste abil aitab teil eelistest rohkem kasu saada ja kahjumit vähendada. Ilma eeliseta on parem annetada raha heategevuseks. Börsil kauplemisel annab eelise mängusüsteem, mis loob rohkem kasumit kui kahjumid, hinnaerinevused ja vahendustasud. Ükski rahahaldus ei päästa halba mängusüsteemi.
Positiivset ootust määratleb väärtus, mis on suurem kui null. Mida suurem see arv, seda tugevam on statistiline ootus. Kui väärtus on väiksem kui , on ka matemaatiline ootus negatiivne. Mida suurem on negatiivse väärtuse moodul, seda halvem on olukord. Kui tulemus on , siis on ootused purunenud. Võita saab ainult siis, kui sul on positiivne matemaatiline ootus, mõistlik mängusüsteem. Intuitsiooni järgi mängimine viib katastroofini.
Ootused ja börsidega kauplemine
Matemaatiline ootus on üsna laialt nõutud ja populaarne statistiline näitaja börsikaubanduse rakendamisel finantsturgudel. Seda parameetrit kasutatakse peamiselt kaubanduse edukuse analüüsimiseks. Pole raske arvata, et mida suurem on antud väärtus, seda enam on põhjust uuritud kaubandust edukaks pidada. Muidugi ei saa kaupleja töö analüüsi teha ainult selle parameetri abil. Kuid arvutatud väärtus koos muude töökvaliteedi hindamise meetoditega võib analüüsi täpsust märkimisväärselt parandada.
Matemaatilist ootust arvestatakse sageli kauplemiskontode jälgimise teenustes, mis võimaldab teil hoiusega tehtud tööd kiiresti hinnata. Eranditena võib nimetada strateegiaid, mis kasutavad tehingute kaotamisest välja istumist. Kauplejal võib mõnda aega õnne olla ja seetõttu ei pruugi tema töö üldse kahju olla. Sel juhul pole võimalik navigeerida ainult ootuste järgi, sest töös kasutatud riske ei võeta arvesse.
Turul kauplemisel kasutatakse ootust kõige sagedamini kauplemisstrateegia kasumlikkuse ennustamisel või kaupleja sissetuleku ennustamisel tema varasemate tehingute statistika põhjal.
Rahahalduse osas on väga oluline mõista, et negatiivsete ootustega tehingute tegemisel puudub rahahaldusskeem, mis võib kindlasti tuua suurt kasumit. Kui jätkate nendel tingimustel börsil mängimist, kaotate oma konto hoolimata sellest, kuidas te oma raha haldate, ükskõik kui suur see alguses oli.
See aksioom ei kehti ainult mängude või negatiivsete ootustega tehingute kohta, vaid kehtib ka võrdsete koefitsientidega mängude kohta. Seetõttu on ainus juhtum, kus teil on võimalus pikas perspektiivis kasu saada, siis, kui teete tehinguid oodatava positiivse väärtusega.
Erinevus negatiivse ootuse ja positiivse ootuse vahel on erinevus elu ja surma vahel. Pole tähtis, kui positiivne või kui negatiivne on ootus; oluline on see, kas see on positiivne või negatiivne. Seetõttu peate enne rahahaldusküsimuste kaalumist leidma positiivsete ootustega mängu.
Kui teil sellist mängu pole, siis ei päästa teid maailmas ükski summa rahahaldus. Teisest küljest, kui teil on positiivne ootus, saate hea rahahalduse kaudu muuta selle eksponentsiaalseks kasvufunktsiooniks. Pole tähtis, kui väike see positiivne ootus on! Teisisõnu, pole tähtis, kui kasumlik on üks lepinguga kauplemise süsteem. Kui teil on süsteem, mis võidab ühe tehingu kohta 10 dollarit lepingu kohta (pärast komisjonitasude ja libeduse mahaarvamist), saate rahahaldusmeetodeid kasutada kasumlikumaks kui süsteem, mis näitab keskmist kasumit 1000 dollarit kaubanduse kohta (pärast komisjonitasude mahaarvamine ja libisemine).
Oluline pole mitte see, kui kasulik süsteem oli, vaid see, kui kindlalt võib öelda, et süsteem näitab tulevikus vähemalt minimaalset kasumit. Seetõttu on kaupleja jaoks kõige olulisem ettevalmistus veenduda, et süsteem näitab tulevikus positiivseid matemaatilisi ootusi.
Positiivse matemaatilise ootuse tekkimiseks tulevikus on väga oluline mitte piirata oma süsteemi vabadusastmeid. See saavutatakse mitte ainult optimeeritavate parameetrite arvu kõrvaldamise või vähendamise kaudu, vaid ka võimalikult paljude süsteemireeglite vähendamisega. Iga lisatud parameeter, iga teie tehtud reegel ja iga pisike süsteemi tehtud muudatus vähendab vabadusastmete arvu. Ideaalis peate ehitama üsna primitiivse ja lihtsa süsteemi, mis teenib peaaegu igal turul pidevalt väikest kasumit. Jällegi on oluline, et te mõistaksite, et pole tähtis, kui kasumlik süsteem on, kui see on kasumlik. Kauplemisel teenitud raha teenitakse tõhusa rahahalduse abil.
Kauplemissüsteem on lihtsalt vahend, mis annab teile positiivse matemaatilise ootuse, et saaksite kasutada rahahaldust. Süsteemid, mis töötavad (näitavad vähemalt minimaalset kasumit) ainult ühel või paaril turul või millel on erinevate turgude jaoks erinevad reeglid või parameetrid, ei tööta tõenäoliselt reaalajas piisavalt kaua. Enamiku asjatundlikele kauplejatele on probleemiks see, et nad kulutavad liiga palju aega ja vaeva kauplemissüsteemi erinevate reeglite ja parameetrite väärtuste optimeerimisele. See annab täiesti vastupidised tulemused. Selle asemel, et kulutada energiat ja arvutiaega kauplemissüsteemi kasumi suurendamiseks, keskenduge oma energiale minimaalse kasumi teenimise usaldusväärsuse suurendamiseks.
Teades, et rahahaldus on vaid numbriline mäng, mis nõuab positiivsete ootuste kasutamist, võib kaupleja lõpetada aktsiatega kauplemise "püha graali" otsimise. Selle asemel võib ta hakata oma kauplemismeetodit katsetama, välja selgitama, kui loogiline see meetod on, kas see annab positiivseid ootusi. Kõigi, isegi keskpäraste kauplemismeetodite korral rakendatavad õiged rahahaldusmeetodid teevad ülejäänud töö ise.
Kõigil kauplejatel oma töö õnnestumiseks on vaja lahendada kolm kõige olulisemat ülesannet:. Veenduge, et edukate tehingute arv ületaks paratamatuid vigu ja valearvestusi; Seadke oma kauplemissüsteem üles nii, et võimalus raha teenida oleks võimalikult sageli; Saavutage oma toimingute positiivse tulemuse stabiilsus.
Ja siin saab meid, töötavaid kauplejaid, aidata matemaatiline ootus. See termin tõenäosusteoorias on üks peamisi. Tema abiga saate anda keskmise juhusliku väärtuse keskmise hinnangu. Juhusliku muutuja matemaatiline ootus on sarnane raskuskeskmega, kui kujutleme kõiki võimalikke tõenäosusi erineva massiga punktidena.
Kauplemisstrateegia rakendamisel kasutatakse selle tõhususe hindamiseks kõige sagedamini kasumi (või kahjumi) matemaatilist ootust. See parameeter on määratletud kasumi ja kahjumitaseme korrutiste ja nende esinemise tõenäosuse summa. Näiteks eeldatakse väljatöötatud kauplemisstrateegiaga, et 37% kõigist tehingutest toob kasumit ja ülejäänud - 63% - on kahjumlikud. Samal ajal on keskmine tulu õnnestunud tehingust 7 dollarit ja keskmine kahjum 1,4 dollarit. Arvutame kauplemise matemaatilise ootuse järgmise süsteemi abil:
Mida see number tähendab? Selles öeldakse, et selle süsteemi reegleid järgides saame keskmiselt 1,708 dollarit iga suletud tehingu eest. Kuna saadud efektiivsuse hinnang on suurem kui , saab sellist süsteemi kasutada reaalseks tööks. Kui arvutamise tulemusel osutub matemaatiline ootus negatiivseks, siis see juba räägib keskmisest kahjumist ja selline tehing toob kaasa hävingu.
Kaubanduse kasumi suurust saab väljendada ka suhtelise väärtusena protsentides. Näiteks:
- ühe tehingu tulu protsent - 5%;
- edukate kauplemistehingute protsent - 62%;
- kahju protsent ühe tehingu kohta - 3%;
- ebaõnnestunud tehingute protsent - 38%;
See tähendab, et keskmine kaubandus annab 1,96%.
On võimalik välja töötada süsteem, mis hoolimata kahjumlike tehingute levimusest annab positiivse tulemuse, kuna selle MO\u003e 0.
Ainuüksi ootamisest siiski ei piisa. Raha on keeruline teenida, kui süsteem annab väga vähe kauplemissignaale. Sel juhul on selle kasumlikkus võrreldav pangaintressiga. Las iga tehing annab keskmiselt vaid 0,50 dollarit, kuid mis siis, kui süsteem eeldab 1000 tehingut aastas? See on suhteliselt lühikese aja jooksul väga tõsine summa. Sellest järeldub loogiliselt, et hea kauplemissüsteemi veel üheks eristavaks tunnuseks võib pidada positsioonide hoidmise lühikest perioodi.
Allikad ja lingid
dic.academic.ru - akadeemiline Interneti-sõnastik
matemaatika.ru - matemaatika hariv sait
nsu.ru - Novosibirski Riikliku Ülikooli haridusalane veebisait
webmath.ru - haridusportaal õpilastele, taotlejatele ja koolilastele.
exponenta.ru hariduslik matemaatiline veebisait
ru.tradimo.com - tasuta veebikool kauplemine
crypto.hut2.ru - multidistsiplinaarne teabeallikas
poker-wiki.ru - tasuta pokkeri entsüklopeedia
sernam.ru - Teaduslik raamatukogu valitud loodusteaduslikud väljaanded
reshim.su - veebisait LÕPETAKSE KOHTA kursuse kontrolli ülesandeid
unfx.ru - Forex UNFXis: koolitus, kauplemissignaalid, usaldushaldus
slovopedia.com - suur entsüklopeediline sõnaraamat Slovopedia
pokermansion.3dn.ru - Sinu pokkerimaailma teejuht
statanaliz.info - infoblogi “ Statistiline analüüs andmed "
forex-trader.rf - portaal Forex-Trader
megafx.ru - ajakohane Forexi analüüs
fx-by.com - kõik kaupleja jaoks
Matemaatiline ootus on, määratlus
Mati ootus on matemaatilise statistika ja tõenäosusteooria üks olulisemaid mõisteid, mis iseloomustab väärtuste jaotust või tõenäosused juhuslik muutuja. Tavaliselt väljendatakse juhusliku muutuja kõigi võimalike parameetrite kaalutud keskmisena. Seda kasutatakse laialdaselt tehnilises analüüsis, numbriliste seeriate uurimisel, pidevate ja pikaajaliste protsesside uurimisel. See on oluline riskide hindamisel, finantsturgudel kauplemisel hinnanäitajate prognoosimisel, mida kasutatakse mängude taktika strateegiate ja meetodite väljatöötamisel hasartmängude teooria.
Kontrollimees ootab - see onjuhusliku muutuja keskmine väärtus, jaotus tõenäosused juhuslikku muutujat vaadeldakse tõenäosusteoorias.
Mati ootus onjuhusliku muutuja keskmise väärtuse mõõt tõenäosusteoorias. Juhusliku muutuja matemaatikaootus x tähistatud M (x).
Rahvastiku keskmine on
Mati ootus on
Mati ootus on tõenäosusteoorias kõigi võimalike väärtuste kaalutud keskmine, mida see juhuslik muutuja võib võtta.
Mati ootus onjuhusliku muutuja kõigi võimalike väärtuste korrutis nende väärtuste tõenäosustega.
Rahvastiku keskmine on
Mati ootus on keskmine kasu ühest või teisest lahendusest, eeldusel, et sellist lahendust saab käsitleda suurte arvude ja pikamaa teooria raames.
Mati ootus onhasartmängude teoorias võitude summa, mida spekulant saab keskmiselt iga panuse eest teenida või kaotada. Hasartmängude keeles spekulandid seda nimetatakse mõnikord eeliseks spekulant"(Kui see on spekulaatori jaoks positiivne) või" kasiino eelis "(kui spekulandi jaoks on see negatiivne).
Rahvastiku keskmine on
Iga eraldi võetud väärtus on täielikult määratud selle jaotusfunktsiooniga. Samuti piisab praktiliste probleemide lahendamiseks mitme numbrilise karakteristiku tundmisest, tänu millele on võimalik lühikese vormis esitada juhusliku muutuja peamised omadused.
Need väärtused hõlmavad peamiselt oodatud väärtus ja hajutatus .
Oodatud väärtus - juhusliku muutuja keskmine väärtus tõenäosusteoorias. See on tähistatud kui.
Kõige lihtsal viisil juhusliku muutuja matemaatiline ootus X (w)leida kui lahutamatuLebesgue tõenäosusmõõdu suhtes R originaalne tõenäosusruum
Väärtuse matemaatilise ootuse leiate ka kui lebesgue'i integraal alates x tõenäosusjaotuse järgi P X suurusjärgud X:
kus on kõigi võimalike väärtuste kogum X.
Juhusliku muutuja funktsioonide matemaatiline ootus X toimub levitamise kaudu P X. näiteks, kui a X - juhuslik muutuja väärtustega ja f (x) - ühemõtteline borelfunktsiooni X , siis:
Kui a F (x) - jaotusfunktsioon X, siis on matemaatiline ootus representatiivne lahutamatuLebesgue - Stieltjes (või Riemann - Stieltjes):
pealegi integreeritavus X osas ( * ) vastab integraali lõplikkusele
Erijuhtudel kui X omab diskreetse jaotuse tõenäoliste väärtustega x k, k \u003d 1,2,. ja tõenäosused, siis
kui a X on absoluutselt pideva jaotusega tõenäosustihedusega p (x)siis
sel juhul on matemaatilise ootuse olemasolu samaväärne vastava rea \u200b\u200bvõi integraali absoluutse lähenemisega.
Juhusliku muutuja matemaatilise ootuse omadused.
- Konstantse väärtuse matemaatiline ootus võrdub selle väärtusega:
C- konstantne;
- M \u003d C.M [X]
- Juhuslikult võetud väärtuste summa matemaatiline ootus võrdub nende matemaatiliste ootuste summaga:
- Sõltumatult juhuslikult võetud suuruste korrutise matemaatiline ootus \u003d nende matemaatiliste ootuste korrutis:
M \u003d M [X] + M [Y]
kui a X ja Y iseseisev.
kui seeriad lähenevad:
Matemaatilise ootuse arvutamise algoritm.
Diskreetsete juhuslike muutujate omadused: kõiki nende väärtusi saab nummerdada naturaalarvudega; võrdsustage iga väärtus nulliga tõenäosusega.
1. Korrutage paarid kordamööda: x i kohta p i.
2. Lisage iga paari toode x i p i.
Näiteks, jaoks n = 4 :
Diskreetse juhusliku muutuja jaotusfunktsioon järk-järgult suureneb järsult nendes punktides, mille tõenäosusel on positiivne märk.
Näide:Leidke valemi järgi eeldatav väärtus.
Oodatud väärtus - juhusliku muutuja (statsionaarse juhusliku muutuja tõenäosusjaotuse) keskmine väärtus, kui proovide arv või mõõtmiste arv (mõnikord öeldakse testide arv) kaldub lõpmatusse.
Tavaliselt nimetatakse piiratud arvu testide ühemõõtmelise juhusliku muutuja aritmeetilist keskmist matemaatilise ootuse hinnang... Kui statsionaarse juhusliku protsessi testide arv kipub lõpmatuseni, siis matemaatilise ootuse hinnang kaldub matemaatilisele ootusele.
Ootus on tõenäosusteooria üks põhimõisteid).
Entsüklopeediline YouTube
1 / 5
✪ Ootus ja mitmekesisus - bezbotvy
✪ Tõenäosusteooria 15: ootus
✪ Ootus
Matemaatiline ootus ja dispersioon. Teooria
✪ Eeldatav väärtus kauplemisel
Subtiitrid
Definitsioon
Andke tõenäosusruum (Ω, A, P) (\\ displaystyle (\\ Omega, (\\ mathfrak (A)), \\ mathbb (P))) ja sellel määratletud juhuslik muutuja X (\\ displaystyle X)... See tähendab definitsiooni järgi X: Ω → R (\\ displaystyle X \\ koolon \\ Omega \\ kuni \\ mathbb (R)) on mõõdetav funktsioon. Kui on olemas Lebesgue'i integraal X (\\ displaystyle X) kosmoses Ω (\\ displaystyle \\ Omega), siis nimetatakse seda matemaatiliseks ootuseks ehk keskmiseks (eeldatavaks) väärtuseks ja seda tähistatakse M [X] (\\ ekraanistiil M [X]) või E [X] (\\ displaystyle \\ mathbb (E) [X]).
M [X] \u003d ∫ Ω X (ω) P (d ω). (\\ displaystyle M [X] \u003d \\ int \\ piirid _ (\\ Omega) \\! X (\\ omega) \\, \\ mathbb (P) (d \\ omega).)Matemaatilise ootuse põhivalemid
M [X] \u003d ∫ - ∞ d x d F X (x); x ∈ R (\\ displaystyle M [X] \u003d \\ int \\ piirid _ (- \\ infty) ^ (\\ infty) \\! x \\, dF_ (X) (x); x \\ in mathbb (R)).
Diskreetse jaotuse matemaatiline ootus
P (X \u003d xi) \u003d pi, ∑ i \u003d 1 ∞ pi \u003d 1 (\\ displaystyle \\ mathbb (P) (X \u003d x_ (i)) \u003d p_ (i), \\; \\ summa \\ piirid _ (i \u003d 1 ) ^ (\\ infty) p_ (i) \u003d 1),siis tuleneb Lebesgue'i integraali määratlusest otseselt see, et
M [X] \u003d ∑ i \u003d 1 ∞ x i p i (\\ displaystyle M [X] \u003d \\ summa \\ piirid _ (i \u003d 1) ^ (\\ infty) x_ (i) \\, p_ (i)).Täisarvu eeldatav väärtus
P (X \u003d j) \u003d pj, j \u003d 0, 1,. ... ... ; ∑ j \u003d 0 ∞ pj \u003d 1 (\\ displaystyle \\ mathbb (P) (X \u003d j) \u003d p_ (j), \\; j \u003d 0,1, ...; \\ quad \\ summa \\ piirid _ (j \u003d 0 ) ^ (\\ infty) p_ (j) \u003d 1)siis saab selle matemaatilist ootust väljendada jada genereerimisfunktsiooni abil (p i) (\\ displaystyle \\ (p_ (i) \\))
P (s) \u003d ∑ k \u003d 0 ∞ p k s k (\\ displaystyle P (s) \u003d \\ summa _ (k \u003d 0) ^ (\\ infty) \\; p_ (k) s ^ (k))esimese tuletise väärtusena ühikus: M [X] \u003d P ′ (1) (\\ ekraanistiil M [X] \u003d P "(1))... Kui matemaatiline ootus X (\\ displaystyle X) siis lõputult lim s → 1 P ′ (s) \u003d ∞ (\\ displaystyle \\ lim _ (s \\ kuni 1) P "(s) \u003d \\ infty) ja me kirjutame P '(1) \u003d M [X] \u003d ∞ (\\ displaystyle P "(1) \u003d M [X] \u003d \\ imiku)
Nüüd võtame genereerimisfunktsiooni Q (s) (\\ displaystyle Q (s)) jaotuse sabajadad (q k) (\\ displaystyle \\ (q_ (k) \\))
q k \u003d P (X\u003e k) \u003d ∑ j \u003d k + 1 ∞ p j; Q (s) \u003d ∑ k \u003d 0 ∞ q k s k. (\\ displaystyle q_ (k) \u003d \\ mathbb (P) (X\u003e k) \u003d \\ summa _ (j \u003d k + 1) ^ (\\ infty) (p_ (j)); \\ quad Q (s) \u003d \\ summa _ (k \u003d 0) ^ (\\ infty) \\; q_ (k) s ^ (k).)See genereerimisfunktsioon on seotud eelnevalt määratletud funktsiooniga P (s) (\\ displaystyle P (s)) vara: Q (s) \u003d 1 - P (s) 1 - s (\\ displaystyle Q (s) \u003d (\\ frac (1-P (s)) (1-s))) kell | s |< 1 {\displaystyle |s|<1} ... Sellest, keskmise väärtuse teoreemi järgi, järeldub, et matemaatiline ootus on lihtsalt võrdne selle funktsiooni väärtusega ühtsuses:
M [X] \u003d P ′ (1) \u003d Q (1) (\\ ekraanistiil M [X] \u003d P "(1) \u003d Q (1))Absoluutselt pideva jaotuse ootus
M [X] \u003d ∫ - ∞ ∞ xf X (x) dx (\\ displaystyle M [X] \u003d \\ int \\ piirid _ (- \\ infty) ^ (\\ infty) \\! Xf_ (X) (x) \\, dx ).Juhusliku vektori matemaatiline ootus
Las olla X \u003d (X 1,…, X n) ⊤: Ω → R n (\\ displaystyle X \u003d (X_ (1), \\ punktid, X_ (n)) ^ (\\ ülemine) \\ koolon \\ Omega \\ kuni \\ mathbb ( R) ^ (n)) on juhuslik vektor. Siis definitsiooni järgi
M [X] \u003d (M [X 1],…, M [X n]) ⊤ (\\ displaystyle M [X] \u003d (M, \\ punktid, M) ^ (\\ ülemine),see tähendab, et vektori matemaatiline ootus määratakse komponentide kaupa.
Juhusliku muutuja teisendamise matemaatiline ootus
Las olla g: R → R (\\ displaystyle g \\ koolon \\ mathbb (R) \\ kuni \\ mathbb (R)) on selline Boreli funktsioon, mis on juhuslik muutuja Y \u003d g (X) (\\ ekraanistiil Y \u003d g (X)) on piiratud matemaatilise ootusega. Siis kehtib selle jaoks valem
M [g (X)] \u003d ∑ i \u003d 1 ∞ g (xi) pi, (\\ displaystyle M \\ vasak \u003d \\ summa \\ piirid _ (i \u003d 1) ^ (\\ infty) g (x_ (i)) p_ ( i),)kui a X (\\ displaystyle X) omab diskreetset jaotust;
M [g (X)] \u003d ∫ - ∞ ∞ g (x) f X (x) dx, (\\ displaystyle M \\ vasak \u003d \\ int \\ piirid _ (- \\ infty) ^ (\\ infty) \\! G (x ) f_ (X) (x) \\, dx,)kui a X (\\ displaystyle X) omab absoluutselt pidevat jaotust.
Kui jaotus P X (\\ displaystyle \\ mathbb (P) ^ (X)) juhuslik muutuja X (\\ displaystyle X) siis üldvorm
M [g (X)] \u003d ∫ - ∞ ∞ g (x) P X (d x). (\\ displaystyle M \\ vasak \u003d \\ int \\ piirid _ (- \\ infty) ^ (\\ infty) \\! g (x) \\, \\ mathbb (P) ^ (X) (dx).)Erijuhul kui g (X) \u003d X k (\\ ekraanistiil g (X) \u003d X ^ (k)), oodatud väärtus M [g (X)] \u003d M [X k] (\\ ekraanistiil M \u003d M) kutsus k (\\ displaystyle k)juhusliku muutuja kolmas hetk.
Matemaatilise ootuse lihtsaimad omadused
- Arvu matemaatiline ootus on number ise.
- Matemaatiline ootus on lineaarne, see tähendab
