Divu plakņu relatīvais novietojums telpā Divu plakņu paralēlisma pazīmes. Nodarbība “Paralēlās plaknes Kā pierādīt, ka 2 plaknes ir paralēlas

Šajā nodarbībā mēs definēsim paralēlas plaknes un atgādināsim aksiomu par divu plakņu krustojumu. Tālāk pierādīsim teorēmu - plakņu paralēlisma zīmi un, paļaujoties uz to, atrisināsim vairākas plakņu paralēlisma problēmas.

Tēma: Līniju un plakņu paralēlisms

Nodarbība: Paralēlas plaknes

Šajā nodarbībā mēs definēsim paralēlas plaknes un atgādināsim aksiomu par divu plakņu krustojumu.

Definīcija. Divas plaknes sauc par paralēlām, ja tās nekrustojas.

Apzīmējums: .

Paralēlu plakņu ilustrācija(1. att.)

1. Kādas plaknes sauc par paralēlām?

2. Vai plaknes, kas iet caur neparalēlām taisnēm, var būt paralēlas?

3. Kas tas varētu būt savstarpēja vienošanās divas taisnes, no kurām katra atrodas vienā no divām dažādām paralēlām plaknēm?

4. Ģeometrija. 10.-11.klase: mācību grāmata skolēniem izglītības iestādēm(pamata un profila līmeņi) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnovs. - 5. izdevums, labots un paplašināts - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 lpp.: ill.

1., 2., 5. uzdevums 29. lpp

Lekcija Nr.4.

Virsmu formas un izvietojuma novirzes.

GOST 2.308-79

Analizējot detaļu ģeometrisko parametru precizitāti, tiek izšķirtas nominālās un reālās virsmas un profili; nominālais un faktiskais virsmu un profilu izvietojums. Nominālās virsmas, profilus un virsmu izvietojumus nosaka pēc nominālajiem izmēriem: lineāra un leņķiskā.

Faktiskās virsmas, profili un virsmu izvietojumi tiek iegūti izgatavošanas rezultātā. Viņiem vienmēr ir novirzes no nominālajām.

Formu pielaides.

Virsmu formas noviržu veidošanās un kvantitatīvā novērtējuma pamats ir blakus elementu princips.

Blakus esošais elements, tas ir elements, kas saskaras ar reālo virsmu un atrodas ārpus detaļas materiāla, lai attālumam no tā reālās virsmas tālākajā punktā normalizētajā laukumā būtu minimālā vērtība.

Blakus esošais elements var būt: taisna līnija, plakne, aplis, cilindrs utt. (1., 2. att.).

1 - blakus esošais elements;

2 – reālā virsma;

L ir standartizētās sekcijas garums;

Δ - formas novirze, kas noteikta no blakus esošā elementa, kas ir normāls pret virsmu.

T - formas tolerance.

2. att. 1

Pielaides lauks- telpa telpā, ko ierobežo divas vienlīdz attālas virsmas, kas atrodas viena no otras attālumā, kas vienāds ar pielaidi T, kas no blakus elementa tiek nogulsnēts detaļas korpusā.

Formas kvantitatīvā novirze tiek novērtēta pēc lielākā attāluma no reālās virsmas (profila) punktiem līdz blakus esošajai virsmai (profilam) pa normālu līdz pēdējai (2. att.). Blakus esošās virsmas ir: darba plākšņu darba virsmas, interferences stikli, raksta lineāli, mērinstrumenti, vadības stieņi utt.

Formas tolerance sauc par lielāko pieļaujamo novirzi Δ (2. att.).

Virsmu formas novirzes.

1. Novirze no taisnuma plaknē– tas ir lielākais no reālā profila punktiem līdz blakus esošajai taisnei. (3.a att.).

Rīsi. 3

Apzīmējums uz zīmējuma:

Taisnuma pielaide 0,1 mm uz pamatnes garuma 200 mm

2. Plakanuma tolerance- tas ir lielākais pieļaujamais attālums () no reālās virsmas punktiem līdz blakus plaknei normalizētajā laukumā (3.b att.).

Apzīmējums uz zīmējuma:

Plakanuma pielaide (ne vairāk kā) 0,02 mm uz pamatnes virsmas 200-100 mm.

Kontroles metodes.

Nelīdzenuma mērīšana, izmantojot rotējošu plaknes mērierīci.
5.a attēls.

5.b attēls. Shēma nelīdzenuma mērīšanai.

Kontrole shēmā 6b

veikta gaismā vai

izmantojot sensoru

(kļūda 1-3 µm)

6. attēls. Netaisnuma mērīšanas shēmas.

Līdzenuma kontrole tiek veikta:

Izmantojot “Krāsas” metodi atbilstoši plankumu skaitam rāmī, kura izmērs ir 25-25 mm

Izmantojot interferences plāksnes (virsmām līdz 120mm) (7. att.).

Uzliekot plāksni ar nelielu slīpumu uz pārbaudāmās taisnstūra daļas virsmas, parādās traucējumu bārkstis un uz apaļas daļas virsmas parādās traucējumu gredzeni.

Vērojot baltā gaismā, attālums starp svītrām ir V= 0,3 µm (puse no baltās gaismas viļņa garuma).

Rīsi. 7.

Nelīdzenumu novērtē traucējumu robežu intervāla daļās. Pēc attēla mikrons. µm

Taisnuma tolerance cirvji cilindrs 0,01 mm (formas pielaides bultiņa balstās uz 20f 7 izmēra bultiņu). (8. attēls)

Mērīšanas shēma

Virsmas taisnuma pielaides ir iestatītas uz vadotnēm; līdzenums - plakanām gala virsmām, lai nodrošinātu hermētiskumu (virsbūves daļu atdalīšanas plakne); darbojas ar augstu spiedienu (gala sadalītāji) utt.

Cirvju taisnuma pielaides - garām cilindriskām virsmām (piemēram, stieņiem), kas pārvietojas horizontālā virzienā; cilindriskas vadotnes; daļām, kas samontētas ar savienojošām virsmām uz vairākām virsmām.

Cilindrisko virsmu formas pielaides un novirzes.

1. Apaļuma tolerance- maksimāli pieļaujamā novirze no apaļuma lielākais attālums i no reālās virsmas punktiem līdz blakus esošajam aplim.

Pielaides lauks- laukums, ko ierobežo divi koncentriski apļi plaknē, kas ir perpendikulāra rotācijas virsmas asij.

Virsmas apaļuma pielaide 0,01 mm.

Apaļie mērītāji

9. att. Shēmas noviržu no apaļuma mērīšanai.

Īpaši novirzes no apaļuma veidi ir ovāls un griešana (10. att.).

Ovalitātes griezums

Dažādiem griezumiem indikatora galviņa ir uzstādīta leņķī (9.b att.).

2. Cilindriskuma pielaides- šī ir lielākā pieļaujamā reālā profila novirze no blakus esošā cilindra.

Tas sastāv no novirzes no apaļuma (mērīts vismaz trīs punktos) un novirzes no ass taisnuma.

3. Garenprofila pielaide- šī ir reālās virsmas profila vai formas lielākā pieļaujamā novirze no blakus esošā profila vai virsmas (norādīta zīmējumā) plaknē, kas iet caur virsmas asi.

Garengriezuma profila pielaide ir 0,02 mm.
Īpaši garengriezuma profila novirzes veidi:

Konusveida mucas segli

11. att. Garengriezuma profila a, b, c, d novirze un mērījumu shēma d.

Pielaides apaļumam un garengriezuma profilam ir noteiktas, lai nodrošinātu vienmērīgu atstarpi atsevišķos posmos un visā detaļas garumā, piemēram, slīdgultņos, virzuļa-cilindru pāra daļām, spoļu pāriem; cilindriskums virsmām, kurām nepieciešams pilnīgs detaļu kontakts (savienotas ar traucējumiem un pārejas savienojumiem), kā arī garām daļām, piemēram, “stieņiem”.

Atrašanās vietas pielaides

Atrašanās vietas pielaides- tās ir virsmas (profila), ass, simetrijas plaknes faktiskās atrašanās vietas lielākās pieļaujamās novirzes no tās nominālās atrašanās vietas.

Novērtējot atrašanās vietas novirzes, formas novirzes (aplūkojamajām virsmām un pamata virsmām) ir jāizslēdz no izskatīšanas (12. attēls). Šajā gadījumā reālās virsmas tiek aizstātas ar blakus esošām, un asis, simetrijas plaknes un blakus esošo elementu centri tiek ņemti par asīm, simetrijas plaknēm.

Plaknes paralēlisma pielaides- šī ir lielākā pieļaujamā atšķirība starp lielāko un mazāko attālumu starp blakus esošajām plaknēm normalizētajā zonā.

Lai normalizētu un izmērītu pielaides un novietojuma novirzes, tiek ieviestas pamatvirsmas, asis, plaknes utt.. Tās ir virsmas, plaknes, asis u.c., kas nosaka detaļas pozīciju montāžas (izstrādājuma darbības) laikā un attiecībā pret kurām tiek noteikta pozīcija. ir precizēts no aplūkotajiem elementiem. Pamatelementi ieslēgti

zīmējumā ir norādīti ar zīmi; tiek izmantoti lielie burti Krievu alfabēts.

Pamatņu un sekciju apzīmējumus (A-A) nevajadzētu dublēt. Ja pamatne ir simetrijas ass vai plakne, zīmi novieto uz izmēru līnijas pagarinājuma:

Paralēlitātes pielaide 0,01 mm attiecībā pret pamatni

virsma A.

Virsmas izlīdzināšanas pielaide iekšā

diametrāli 0,02 mm

attiecībā pret virsmas pamatasi

Gadījumā, ja konstrukcija, tehnoloģiskā (detaļas stāvokļa noteikšana izgatavošanas laikā) vai mērījums (detaļas stāvokļa noteikšana mērīšanas laikā) nesakrīt, veiktie mērījumi ir jāpārrēķina.

Noviržu mērīšana no paralēlām plaknēm.

(divos punktos noteiktā virsmas garumā)

Novirze tiek definēta kā starpība starp galvas rādījumiem noteiktā intervālā viens no otra (galvas uz “0” ir iestatītas saskaņā ar standartu).

Pielaide cauruma ass paralēlumam attiecībā pret atskaites plakni A garumā L.

14. attēls. (Mērīšanas ķēde)

Cirvju paralēlisma tolerance.

Novirze no asu paralēlisma telpā- asu projekciju ģeometriskā summa noviržu no paralēlisma divās savstarpēji perpendikulārās plaknēs. Viena no šīm plaknēm ir asu kopējā plakne (tas ir, tā iet caur vienu asi un punktu uz otras ass). Novirze no paralēlisma in kopējā plakne - novirze no paralēlisma asu projekcijām uz to kopējo plakni. Ass novirze- novirze no asu projekcijām uz plakni, kas ir perpendikulāra asu kopējai plaknei un iet caur vienu no asīm.

Pielaides lauks-Šo kuboīds ar sekciju malām - , sānu sejas paralēli atskaites asij. Vai cilindrs

15. attēls. Mērīšanas ķēde

20H7 cauruma ass paralēlisma pielaide attiecībā pret 30H7 cauruma asi.

Izlīdzināšanas tolerance.

Novirze no koaksialitātes attiecībā pret kopējo asi ir lielākais attālums starp aplūkojamās apgriezienu virsmas asi un divu vai vairāku virsmu kopējo asi.

Izlīdzināšanas pielaides lauks- šī ir telpa telpā, ko ierobežo cilindrs, kura diametrs ir vienāds ar koaksiālo pielaidi diametrālā izteiksmē ( F = T) vai dubulto izlīdzināšanas pielaidi rādiusā: R=T/2(16. att.)

Koaksialitātes pielaide virsmu rādiusa izteiksmē un attiecībā pret caurumu A kopējo asi.

16. attēls. Izlīdzināšanas pielaides lauks un mērījumu shēma

(ass novirze attiecībā pret bāzes asi A-ekscentriskums); Pirmā urbuma R-rādiuss (R+e) – attālums līdz pamatasi pirmajā mērīšanas pozīcijā; (R-e) – attālums līdz pamata asij otrajā pozīcijā pēc detaļas vai indikatora pagriešanas par 180 grādiem.

Indikators reģistrē rādījumu starpību (R+e)-(R-e)=2e=2 - novirzi no līdzinājuma diametrāli.

Vārpstas tapu izlīdzināšanas pielaide diametrālā izteiksmē ir 0,02 mm (20 µm) attiecībā pret AB kopējo asi. Šāda veida vārpstas ir uzstādītas (pamatojoties) uz velmētiem vai bīdāmiem balstiem. Pamatne ir ass, kas iet caur vārpstas kakliņu vidu (slēptā pamatne).

17. attēls. Vārpstas kakliņa novirzes diagramma.

Vārpstas tapu asu pārvietošana izraisa vārpstas izkropļojumus un visa izstrādājuma darbības īpašību traucējumus kopumā.

18. attēls. Shēma vārpstas kakliņa novirzes mērīšanai

Pamatne tiek veikta uz nažu balstiem, kas novietoti vārpstas kakliņu vidusdaļās. Mērot novirzi iegūst diametrālā izteiksmē D Æ = 2e.

Novirze no koaksialitātes attiecībā pret pamatvirsmu parasti tiek noteikta, mērot pārbaudāmās virsmas noplūdi noteiktā sekcijā vai galējos posmos – kad daļa griežas ap pamatnes virsmu. Mērījumu rezultāts ir atkarīgs no virsmas neapaļuma (kas ir aptuveni 4 reizes mazāka nekā novirze no izlīdzinājuma).

19. attēls. Shēma divu caurumu izlīdzinājuma mērīšanai

Precizitāte ir atkarīga no tā, cik precīzi serdeņi iederas caurumā.

Atkarīgo pielaidi var izmērīt, izmantojot mērinstrumentu (20. att.).

Virsmas izlīdzināšanas pielaide attiecībā pret virsmas pamatasi diametrālā izteiksmē ir 0,02 mm, pielaide ir atkarīga.

Simetrijas tolerance

Simetrijas pielaide attiecībā pret atskaites plakni– lielākais pieļaujamais attālums starp aplūkojamo virsmas simetrijas plakni un simetrijas pamatplakni.

21. attēls. Simetrijas pielaides, mērījumu shēmas

Simetrijas pielaide rādiusa izteiksmē ir 0,01 mm attiecībā pret simetrijas A pamatplakni (21.b att.).

Novirze D.R.(rādiusa izteiksmē) ir vienāds ar pusi no starpības starp attālumiem A un B.

Diametālā izteiksmē DT = 2e = A-B.

Izlīdzināšanas un simetrijas pielaides tiek piešķirtas tām virsmām, kas ir atbildīgas par izstrādājuma precīzu montāžu un funkcionēšanu, kur nav pieļaujamas būtiskas asu un simetrijas plakņu nobīdes.

Asu krustojuma pielaide.

Asu krustojuma pielaide– lielākais pieļaujamais attālums starp aplūkojamo un atskaites asi. Tas ir definēts asīm, kurām jākrustojas to nominālajā vietā. Pielaide norādīta diametrāli vai radiāli (22.a att.).

Aplūkota plakņu paralēlisma saistība, tās īpašības un pielietojumi.

Abu atrašanās vietas vizuāls attēlojums

Modelēšana dod plaknes, izmantojot blakus esošo sienu virsmu plaknes, istabas griestus un grīdu, divstāvu gultas, divas piestiprinātas papīra loksnes

burvji u.c. (242.–244. att.).

Lai gan ir bezgalīgs komplekts dažādu plakņu relatīvā izvietojuma iespējas, lai noteiktu un raksturotu, kuri leņķu un attālumu mērījumi tiks izmantoti turpmāk, vispirms pievērsīsimies tiem, kur klasifikācija (kā arī taisnes ar plaknēm) balstās uz plakņu skaitu. to kopējie punkti.

1. Divām plaknēm ir vismaz trīs kopīgi punkti, kas neatrodas vienā taisnē. Šādas plaknes sakrīt (aksioma C 2, §7).

2. Divu plakņu kopējie punkti atrodas uz vienas taisnes, kas ir šo plakņu krustošanās līnija (aksioma C 3, §7). Šādas plaknes krustojas.

3. Abām plaknēm nav kopīgu punktu.

IN šajā gadījumā tos sauc paralēli -

Divas plaknes sauc par paralēlām, ja tām nav kopīgu punktu.

Plakņu paralēlismu norāda zīme ||: α || β.

Kā vienmēr, ieviešot ģeometriskos jēdzienus,

Ar to eksistenci nav nekādu problēmu. Krustojuma esamība

Xia lidmašīnas ir raksturīga iezīme telpa,

un mēs to jau esam izmantojuši daudzas reizes. Mazāk skaidrs ir

Tiek atklāta paralēlu plakņu esamība. Tur nav

šaubās, ka, piemēram, pretēju grafiku plaknes

Kubi ir paralēli, tas ir, tie nekrustojas. Bet tieši

Patiešām, pēc definīcijas to nevar noteikt. Atrisināšanai

izpratne par uzdoto jautājumu, kā arī citi jautājumi, kas saistīti ar

plakņu paralēlisms, ir jābūt paralēlisma zīmei.

Lai meklētu zīmi, ieteicams apsvērt lidmašīnu,

“austi” no taisnām līnijām. Ir skaidrs, ka katra taisne ir viena no

paralēlām plaknēm jābūt paralēlām otrai.

Pretējā gadījumā lidmašīnām būs kopīgs punkts. Pietiekami

Vai plakne β ir tieši paralēla tai pašai taisnei α

lai plaknes α un β būtu paralēlas? Pilnīgi noteikti

bet, nē (pamatojiet to!). Praktiskā pieredze norāda uz to

pietiek ar divām šādām krustojošām līnijām. Nodrošināt

uz masta ir platforma paralēli zemei, vienkārši novietojiet to

uz divām sijām, kas piestiprinātas pie masta, paralēli
zemes (245. att.). Ir daudz vairāk
šī nodrošinājuma tehnikas izmantošanas piemēri
reālu plakanu virsmu paralēlisms
objekti (izmēģiniet šo!).
Iepriekš minētie apsvērumi ļauj formulēt
lira šādu apgalvojumu.
		(paralēlu plakņu zīme).
		kas krustojas vienas plaknes taisnes

Ja plaknes ir paralēlas otrajai plaknei, tad šīs plaknes ir paralēlas.

 Plaknes α krustojošās taisnes a un b ir paralēlas plaknei β. Pierādīsim, ka plaknes α un β ir paralēlas ar pretrunu. Lai to izdarītu, pieņemsim, ka plaknes α un β krustojas pa taisnu līniju

t (246. att.). Taisnes a un b nevar krustot taisni t saskaņā ar nosacījumu. Taču tad plaknē α caur vienu punktu tiek novilktas divas taisnes, kas nekrusto taisni m, tas ir, tai paralēlas. Tā ir pretruna

un pabeidz teorēmas pierādījumu.

Plakņu paralēlisma zīmi izmanto, horizontāli novietojot plakanas konstrukcijas (betona plātnes, grīdas, goniometru ierīču disku u.c.), izmantojot divus līmeņus, kas novietoti konstrukcijas plaknē uz krustojošām taisnēm. Pamatojoties uz šo pazīmi, ir iespējams uzbūvēt tai paralēlu plakni.

1. uzdevums. Caur punktu, kas atrodas ārpus dotās plaknes, uzzīmējiet plakni, kas ir paralēla dotajai plaknei.

 Dota plakne β un punkts M ārpus plaknes (247. att., a). Novelkam caur punktu M divas krustojošas taisnes a un b, kas ir paralēlas plaknei β. Lai to izdarītu, β plaknē ir jāņem divas krustojošas taisnes c un d (247. att., b). Pēc tam caur punktu M novelciet taisnes a un b, kas ir paralēlas taisnēm c un d.

bet (247. att., c).

Krustošas ​​līnijas a un b paralēli plaknei β, pamatojoties uz taisnes un plaknes paralēlismu (1. teorēma 11.§). Tie unikāli definē plakni α. Saskaņā ar pārbaudīto kritēriju α || β.

Piemērs 1. Dots kubs ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, punkti M, N, P ir attiecīgi malu BC, B 1 C 1, A 1 D 1 viduspunkti. Nosakiet plakņu relatīvo stāvokli: 1) ABB 1 un PNM; 2) NMA un A 1 C 1 C; 3) 1 jūgs

un PC 1 C; 4) MAD 1 un DB 1 C.

 1) Plaknes ABB 1 un PNM (248. att.) ir paralēlas, balstoties uz plakņu paralēlismu (1. teorēma). Patiešām, taisnes PN un NM krustojas un ir paralēlas plaknei ABB 1, pamatojoties uz taisnes un plaknes paralēlismu (1. teorēma §11), jo nogriežņi PN un NM savieno kvadrātu pretējo malu viduspunktus. , tāpēc tie ir paralēli kvadrātu malām:

РN || A 1 B 1 , NM || B 1 B.

2) Plaknes NMA un A 1 C 1 C krustojas pa taisni AA 1 (249. att.). Patiešām, taisnes AA 1 un CC 1 ir paralēlas, pamatojoties uz līniju paralēlismu (AA 1 || ВB 1, ВB 1 || СC 1). Tāpēc taisne AA 1 atrodas plaknē A 1 C 1 C. Līdzīgi ir pamatota arī taisnes AA 1 piederība NMA plaknei.

3) Plaknes A 1 NM un PC 1 C (250. att.) ir paralēlas, pamatojoties uz plakņu paralēlismu. Patiešām, NM || C 1 C . Tāpēc taisne NM ir paralēla plaknei PC 1 C. Arī segmenti PC 1 un A 1 N ir paralēli, jo četrstūris PC 1 NA 1 ir paralelograms (A 1 P || NC 1, A 1 P = NC 1). Tādējādi taisne A 1 N ir paralēla plaknei PC 1 C. Taisnes A 1 N un NM krustojas.

4) Plaknes MAD 1 un DB 1 C krustojas (251. att.). Lai gan to krustpunkta līniju nav viegli uzbūvēt, nav grūti norādīt vienu šīs līnijas punktu. Patiešām, taisnes A 1 D un B 1 C ir paralēlas, jo četrstūris A 1 B 1 CD ir paralelograms (A 1 B 1 = AB = CD, A 1 B 1 || AB, AB || CD). Tāpēc taisne A 1 D pieder plaknei DB 1 C. Taisnes A 1 D un AD 1 krustojas punktā, kas kopīgs plaknēm MAD 1 un DB 1 C.

		Dotā plakņu paralēlisma zīme
		dažreiz tas ir ērtāk izmantot nedaudz savādāk
	1′ (paralēlu plakņu zīme).

Ja divas vienas plaknes krustošanās taisnes ir attiecīgi paralēlas divām citas plaknes taisnēm, tad šīs plaknes ir paralēlas.

Izmantojot taisnes un plaknes paralēlisma kritēriju (1. teorēma §11), ir viegli konstatēt, ka 1. teorēmas nosacījums izriet no 1. teorēmas nosacījumiem. taisne un plakne (2. teorēma §11) pabeidz 1. un 1. teorēmas ′ nosacījumu līdzvērtības pamatojumu.

Protams, rodas jautājums par 1. uzdevumā dotās konstrukcijas unikalitāti. Tā kā šī īpašība mums būs jāizmanto vairāk nekā vienu reizi, mēs to izcelsim kā atsevišķu teorēmu. Tomēr vispirms apskatīsim citu apgalvojumu.

2. teorēma (par divu paralēlu plakņu krustpunktu ar trešo).

Ja divas paralēlas plaknes krusto trešā plakne, tad plakņu krustošanās taisnes ir paralēlas.

 Dotas paralēlas plaknes α, β un plakne γ, kas tās krusto (252. att.). Apzīmēsim krustojuma līnijas

caur a un b. Šīs līnijas atrodas γ plaknē un nekrustojas, jo α un β plaknēm nav kopīgu punktu. Tāpēc tieši

a un b ir paralēli.

3. teorēma (par tai paralēlas plaknes esamību un unikalitāti).

Caur punktu, kas atrodas ārpus dotās plaknes, var uzzīmēt vienu plakni, kas ir paralēla dotajai plaknei.

 Šādas plaknes uzbūve tika veikta 1. uzdevumā. Konstrukcijas unikalitāti pierādīsim pretrunīgi. Pieņemsim, ka caur punktu M ir novilktas divas dažādas plaknes α un γ, pa-

paralēlas plaknes β (253. att.), un taisne t ir to krustpunkta līnija. Nozīmēsim plakni δ caur punktu M, kas krustojas ar taisni

m un β plakne (kā to var izdarīt?). Apzīmēsim ar a un b

plaknes δ krustošanās līnija ar plaknēm α un γ, un caur c - plakņu δ un β krustošanās līnija (253. att.). Saskaņā ar 2. teorēmu un || Ar

un b || Ar. Tas ir, δ plaknē cauri

punkts M iet garām divām taisnēm, kas ir paralēlas taisnei c. Pretruna norāda, ka pieņēmums ir nepareizs.

Plakņu paralēlisma attiecībai ir vairākas īpašības, kurām ir analogi planimetrijā.

4. teorēma (par paralēlu līniju segmentiem starp paralēlām plaknēm).

Paralēlu līniju segmenti, kas nogriezti ar paralēlām plaknēm, ir vienādi viens ar otru.

 Dotas divas paralēlas plaknes α un β un segmenti AB

un CD no paralēlām taisnēm a un d, kas nogrieztas ar šīm plaknēm (254. att., a). Novelkam plakni γ caur taisnēm a un d (254. att., b). Tas krusto plaknes α un β pa taisnēm AC un BD, kas saskaņā ar 2. teorēmu ir paralēlas. Tāpēc četrstūris ABCD ir paralelograms, tā pretējās puses AC un BD ir vienādi.

No iepriekš minētās īpašības izriet, ka, ja mēs uzzīmējam no visiem plaknes punktiem

Vienā plaknes pusē ir vienāda garuma paralēli segmenti, tad šo segmentu gali veido divas paralēlas plaknes. Tieši uz šo īpašību balstās paralēlskaldņa konstrukcija, izmantojot segmentu uzklāšanu (255. att.).

5. teorēma (par plakņu paralēlisma attiecības tranzitivitāti).

Ja katra no divām plaknēm ir paralēla trešajai, tad abas plaknes ir paralēlas viena otrai.

 Lai plaknes α un β ir paralēlas plaknei γ. Pieņemsim, ka

α un β nav paralēli. Tad plaknēm α un β ir kopīgs punkts, un caur šo punktu iet divas dažādas plaknes paralēli plaknei γ, kas ir pretrunā ar 3. teorēmu. Tāpēc plaknēm α un β nav kopīgu punktu, tas ir, tās ir paralēlas. .

5. teorēma ir vēl viena plakņu paralēlisma pazīme. To plaši izmanto gan ģeometrijā, gan praktiskās darbībās. Piemēram, daudzstāvu ēkā grīdas un griestu plakņu paralēlisms katrā stāvā garantē to paralēlismu dažādos stāvos.

2. uzdevums. Pierādīt, ka, ja taisne a krusto plakni α, tad tā arī krusto katru plakni, kas ir paralēla plaknei α.

 Ļaujiet plaknēm α un β būt paralēlām un taisni šķērso plakni α punktā A. Pierādīsim, ka tas arī šķērso plakni

β. Pieņemsim, ka tas tā nav. Tad taisne a ir paralēla plaknei β. Nozīmēsim plakni γ caur taisni a un plaknes β patvaļīgu punktu (256. att.).

Šī plakne krusto paralēlas plaknes α un β pa taisnēm b un c. līdz-

saskaņā ar 2. teorēmu, b || c, tas ir, γ plaknē divas taisnes a un b iet caur punktu A, paralēli taisnei c . Šī pretruna pierāda apgalvojumu.

Mēģiniet patstāvīgi pierādīt, ka, ja plakne α šķērso plakni β, tad tā krusto arī katru plakni, kas ir paralēla plaknei β.

2. piemērs. Tetraedrā ABCD punkti K, F, E ir malu DA, DC, DB viduspunkti, un M un P ir attiecīgi ABD un BCD plakņu masas centri.

1) Noteikt plakņu KEF un ABC relatīvo stāvokli;

DEF un ABC.

2) Izveidojiet AFB un KEC plakņu krustošanās līniju.

3) Atrodiet tetraedra šķērsgriezuma laukumu ar plakni, kas ir paralēla plaknei ABD un iet caur punktu P, ja visas tetraedra malas ir vienādas ar a.

 Konstruēsim zīmējumu, kas atbilst nosacījumam (257. att., a). 1) Plaknes KEF un ABC ir paralēlas, pamatojoties uz plakņu paralēlismu (1' teorēma): KEF plaknes krustojošās taisnes KE un KF ir paralēlas ABC plaknes krustojošām taisnēm AB un AC ( atbilstošās viduslīnijas

esošie trīsstūri).

Plaknes DEF un ABC krustojas pa taisni BC, jo taisne BC pieder abām plaknēm, un tās nevar sakrist - punkti A, B, C, D neatrodas vienā plaknē.

2) Plakne AFB krustojas ar plakni KEC pa taisni, kurā atrodas punkts P, jo šajās plaknēs esošās taisnes CE un BF atrodas plaknē BCD un krustojas punktā P. Vēl viens punkts ir taisnu līniju AF un CK krustošanās punkts Q ACD plaknē (257. att., b). Acīmredzot šis punkts ir ACD sejas masas centrs. Nepieciešamais krustojums ir līnija PQ.

3) Konstruē nosacījumā norādīto griezumu, izmantojot plakņu paralēlisma zīmi. Novelkam taisnes caur punktiem P un Q paralēli taisnēm DB un DA attiecīgi (257. att., c). Šīs līnijas krusto segmentu CD punktā L. Pēdējais izriet no trijstūra masas centra īpašības - tas dala trijstūra mediānas attiecībā 2: 1, skaitot no virsotnes. Atliek piemērot Thales teorēmu. Tādējādi PLQ un BDA plaknes ir paralēlas. Nepieciešamā sadaļa ir trīsstūris LSN.

Pēc uzbūves trijstūri BCD un SCL ir līdzīgi ar līdzības koeficientu CE CP = 3 2 . Tāpēc LS = 3 2 BD. Līdzīgi izveidotajam

tiek pieskaitītas vienādības: LN = 3 2 AD, NS = 3 2 AB. No tā izriet, ka trijstūri LSN un ABD ir līdzīgi ar līdzības koeficientu 3 2. Saskaņā ar līdzīgu trīsstūru laukumu īpašībām,

S LNS = 4 9 S ABD . Atliek atrast trīsstūra ABD laukumu. Pēc-

tā kā pēc nosacījuma visas tetraedra malas ir vienādas ar a, tad S ABD = 4 3 a 2.

Nepieciešamā platība ir 3 1 3 a 2 .

Ir lietderīgi atzīmēt, ka atbilde ir atkarīga tikai no ABD sejas zonas. Tāpēc visu malu vienādība ir tikai līdzeklis šīs zonas atrašanai. Tādējādi šo problēmu var būtiski vispārināt.

Atbilde. 1) KEF || ABC ; 3) 3 1 3 a 2 .

 Testa jautājumi

1. Vai tā ir taisnība, ka divas plaknes ir paralēlas, ja katra taisne, kas atrodas vienā plaknē, ir paralēla otrai plaknei?

2. Plaknes α un β ir paralēlas. Vai šajās plaknēs ir šķības līnijas?

3. Trijstūra divas malas ir paralēlas noteiktai plaknei. Vai trijstūra trešā mala ir paralēla šai plaknei?

4. Paralelograma divas malas ir paralēlas noteiktai plaknei. Vai taisnība, ka paralelograma plakne ir paralēla dotajai plaknei?

5. Vai divu taisnu līniju nogriežņi, ko nogriež paralēlas plaknes, var būt nevienlīdzīgi?

6. Vai kuba šķērsgriezums var būt vienādsānu trapece? Vai kuba šķērsgriezums var būt regulārs piecstūris? Vai tā ir taisnība, ka divas plaknes, kas ir paralēlas vienai un tai pašai taisnei, ir paralēlas viena otrai?

Plakņu α un β krustošanās līnijas ar plakni γ ir paralēlas viena otrai. Vai plaknes α un β ir paralēlas?

Vai kuba trīs skaldnes var būt paralēlas vienai un tai pašai plaknei?

Grafiskie vingrinājumi

1. 258. attēlā parādīts kubs ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, punkti M, N, K, L, P ir atbilstošo malu viduspunkti. Aizpildiet tabulu atbilstoši dotajam piemēram, izvēloties vajadzīgo α un β plakņu atrašanās vietu.

Savstarpēja

atrašanās vieta

α || β α = β

α × β α || β α = β

A1 B1 C1			D 1 KP
un ADC	un BB1 D	un MNP	un BMN
	B 1 KP	A1 DC1	A1 C1 C
un PLN	un DMN	un AB1 C	un MKP

2. Zīm. 259 parādīts tetraedrs ABCD, punkti K, F, M, N, Q ir atbilstošo šķautņu viduspunkti. Lūdzu, norādiet:

1) plakne, kas iet caur punktu K paralēli plaknei ABC;

2) plakne, kas iet caur taisni BD paralēli plaknei MNQ.

3. Nosakiet, kāda ir figūras daļa no plaknes, kas iet caur dotajiem trīs attēlā parādītajiem punktiem.

kah 260, a)–e) un 261, a)–d).

4. Konstruēt zīmējumu, pamatojoties uz dotajiem datiem.

1) No paralelograma ABCD virsotnēm, kas atrodas vienā no divām paralēlām plaknēm, tiek novilktas paralēlas taisnes, kas krusto otro plakni attiecīgi punktos A 1 , B 1 , C 1 , D 1 .

2) Trijstūris A 1 B 1 C 1 ir trijstūra ABC projekcija uz tai paralēlo plakni α. Punkts M ir saules vidus, M 1 ir punkta M projekcija uz α plakni.

207. Kubā ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 punkti O, O 1 ir attiecīgi skaldņu ABCD un A 1 B 1 C 1 D 1 centri, M ir malas AB vidus.

1°) Nosakiet plakņu MO 1 O relatīvo stāvokli

un ADD 1, ABD 1 un CO 1 C 1.

2°) Izveidojiet DCC 1 plaknes un taisnes MO 1 krustošanās punktu un MCC 1 un A 1 D 1 C 1 plakņu krustošanās līniju.

3) Atrodiet kuba šķērsgriezuma laukumu ar plakni, kas ir paralēla plaknei AD 1 C 1 un iet caur punktu O 1, ja kuba mala ir vienāda ar a.

208. Tetraedrā ABCD punkti K, L, P ir attiecīgi plakņu ABD, BDC, ABC masas centri, bet M ir malas AD vidus.

1°) Nosakiet ACD plakņu relatīvo stāvokli

un KLP; MLK un ABC.

2°) Konstruē plaknes ABC un taisnes ML krustpunktu un plakņu MKL un ABC krustpunktu.

3) Atrodiet tetraedra šķērsgriezuma laukumu plaknē, kas iet caur punktiem K, L un M paralēli taisnei AD, ja visas tetraedra malas ir vienādas ar a.

209. Dots kubs ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Punkti L, M, M 1 ir attiecīgi šķautņu AB, AD un A 1 D 1 viduspunkti.

1°) Nosakiet plakņu B 1 D 1 D relatīvo stāvokli

un LMM1.

2) Izveidojiet plakni, kas iet caur punktu M paralēli plaknei ACC 1.

3) Izveidojiet kuba posmu ar plakni, kas iet caur punktu M 1 paralēli plaknei CDD 1.

4) Nosakiet plakņu MA 1 B 1 relatīvo stāvokli

un CDM1.

5) Konstruē plakni, kas iet caur taisni C 1 D 1 paralēli plaknei CDM 1.

210. Pareizā veidā četrstūra piramīda SABCD visas malas ir vienādas viena ar otru. Punkti L, M un N ir attiecīgi šķautņu AS, BS, CS viduspunkti.

1°) Noteikt relatīvo stāvokli: taisnēm LM un BC; taisna LN un plakne ABD; lidmašīnas LMN un BDC.

2°) Pierādīt, ka trijstūri ABC un LMN ir līdzīgi.

3) Uzbūvēt piramīdas posmu, izmantojot plakni AMN; plakne LMN; lidmašīna LBC.

4*) Kuram no piramīdas posmiem, kas iet caur virsotni S, ir lielākais laukums?

Līniju un plakņu paralēlisms

SABC tetraedrā visas skaldnes ir regulāri trīsstūri. Punkti L, M un N ir attiecīgi šķautņu AS, BS, CS viduspunkti. 1°) Nosakiet taisnes LM un BC relatīvo stāvokli. 2°) Nosakiet taisnes LN un plaknes ABC relatīvo stāvokli.

3) Pierādīt, ka trijstūri LMN un ABC ir līdzīgi.

No paralelograma ABCD virsotnēm, kas atrodas vienā no
divas paralēlas plaknes, kas novilktas pa pāriem paralēli
lineāras taisnes, kas krustojas ar otro plakni, kas atbilst
īpaši punktos A 1, B 1, C 1, D 1.
1°) Pierādīt, ka četrstūris A 1 B 1 C 1 D 1 ir paralēls
2°) Pierādīt, ka paralelogrami ABCD un A 1 B 1 C 1 D 1
ir vienādi viens ar otru.
3°) Nosakiet plakņu ABB 1 relatīvo stāvokli
un DD1 C1.
4) Novelciet plakni 1 caur segmenta AA vidu tā
lai tas krustotu šīs līnijas punktos, kas ir
paralelograma virsotnes, kas vienādas ar paralelogramu
mu ABCD.
Dotas divas paralēlas plaknes un punkts O, kas nepieder
piespiežoties pret kādu no šīm plaknēm un neguļot starp tām
viņiem. No punkta O		ir novilkti trīs stari, kas krustojas plaknē
kauli attiecīgi punktos A, B, C un A 1, B 1, C 1 un neguļ
guļ vienā plaknē.
1°) Nosakiet šo plakņu relatīvo stāvokli
un plakne, kas iet cauri nogriežņu AA 1, BB 1, CC 1 viduspunktiem.
2) Atrodiet trijstūra A 1 B 1 C 1 perimetru, ja OA = m,
AA 1 = n, AB = c, AC = b, BC = a.
Trijstūris A 1 B 1 C 1 ir trijstūra ABC projekcija
uz tai paralēlās plaknes α. Punkts M - simta vidus
roņa saule; M 1 - punkta M projekcija			uz α plakni. Punkts N
sadala malu AB		proporcijā 1:2.	plakne M 1 MN un taisna
1) Izveidojiet krustojuma punktu N 1
mans A 1 B 1 .
2) Noteikt četrstūra formu M 1 N 1 NM.
	M atrodas ārpus trapeces ABCB plaknes no pamatnes-
mi AD	un B.C. Izveidojiet plakņu krustošanās līniju:
1°) ABM un CDM;		2) CBM un ADM.

Konstruē kuba griezumu, kas ir: 1°) vienādmalu trīsstūris; 2) piecstūris.

217. Izveidojiet tetraedra posmu, kas ir paralelograms.

218°. Pierādīt, ka paralēlskaldņa pretējās skaldnes ir paralēlas.

219. Pierādīt, ka visu caurejošo līniju kopa šis punkts un paralēli noteiktai plaknei, veido plakni, kas ir paralēla dotajai plaknei.

220. Doti četri punkti A, B, C, D, kas neatrodas vienā plaknē. Pierādīt, ka katra plakne, kas ir paralēla taisnēm AB un CD, paralelograma virsotnēs krusto taisnes AC, AD, BD, BC.

221. Pierādīt, ka plakne un taisne, kas nepieder šai plaknei, ir paralēlas viena otrai, ja abas ir paralēlas vienai un tai pašai plaknei.

222. Caur kuba ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 diagonāļu krustpunkta punktu O tiek novilkta plakne paralēli sejai ABCD. Šī plakne krusto malas BB 1 un CC 1 attiecīgi punktos M un N. Pierādiet, ka leņķis MON ir taisns leņķis.

223. Pierādīt, ka divas plaknes ir paralēlas viena otrai tad un tikai tad, ja katra taisne, kas krusto vienu no plaknēm, krusto arī otro.

224*. IN trīsstūrveida piramīda SABC caur segmentiem AD un CE, kur D ir SB viduspunkts un E ir SA viduspunkts, uzzīmējiet piramīdas sekcijas paralēli viena otrai.

225. Atrast ģeometriskās vietas:

1) visu nogriežņu viduspunktus ar galiem uz divām noteiktām paralēlām plaknēm; 2*) nogriežņu viduspunkti ar galiem uz divām noteiktām krustojošām taisnēm.

226*. Trijstūra ABC mala AB, kas atrodas plaknē α, ir paralēla plaknei β. Vienādmalu trijstūris A 1 B 1 C 1 ir trijstūra ABC paralēla projekcija uz plakni β; AB = 5, BC = 6, AC = 9.

1) Nosakiet taisnu līniju AB un A 1 B 1 relatīvo stāvokli,

BC un B1 C1, A1 C1 un AC.

2) Atrodiet trīsstūra A 1 B 1 C 1 laukumu.

227*. Dotas divas krustojošas līnijas. Norādiet visu telpas punktu kopu, caur kuru var novilkt līniju, kas krusto katru no divām dotajām taisnēm.

Pamata definīcija

Abas lidmašīnas sauc

ir paralēli,

ja tiem nav kopīgu punktu.

Galvenie apgalvojumi

Paralēlā zīme — ja plaknes vienas plaknes divas krustojošas taisnes ir attiecīgi paralēlas divām otrās plaknes taisnēm, tad šīs plaknes

kauli ir paralēli.

Teorēma par krustojumu Ja divas paralēlas plaknes krusto divas paralēlas plaknes un šķērso trešo plakni, tad plaknes trešā krustojuma taisnes

tie ir paralēli.

a α,b α,a ×b ,c β, d β, a || c , b || d α || β

α || β, a = γ∩α, b = γ∩β a || b

M α

β: α || β, M β

Gatavojamies tematiskajam darbam

vērtējumam par tēmu “Līniju un plakņu paralēlisms”

Paškontroles uzdevumi

1. Četri punkti nepieder vienai un tai pašai plaknei. Vai kādi trīs no viņiem var atrasties uz vienas taisnes?

2. Vai trim dažādām plaknēm var būt tieši divi kopīgi punkti?

3. Vai divas šķības līnijas var vienlaikus būt paralēlas trešajai līnijai?

4. Vai tā ir taisnība, ka taisni a un b nav paralēli, ja a un b nav paralēlas taisnes c?

5. Vai vienādiem segmentiem var būt nevienlīdzīgas projekcijas?

6. Vai stars var būt taisnes paralēla projekcija?

7. Vai kvadrāts var būt kuba attēls?

8. Vai tā ir taisnība, ka caur noteiktu telpas punktu var novilkt tikai vienu plakni paralēli noteiktai taisnei?

9. Vai vienmēr ir iespējams novilkt līniju caur noteiktu punktu paralēli divām noteiktām plaknēm, kas nesatur šo punktu?

10. Vai ir iespējams novilkt paralēlas plaknes caur divām krustojošām taisnēm?

Atbildes uz uzdevumiem paškontrolei

Testa paraugs

Divi paralelogrami ABCD un ABC 1 D 1 atrodas dažādās plaknēs.

1°) Nosakiet taisnes CD un C 1 D 1 relatīvo stāvokli.

2°) Nosakiet taisnes C 1 D 1 un plaknes relatīvo stāvokli

3°) Izveidojiet plakņu DD 1 C 1 un ВСС 1 krustošanās līniju.

4°) Nosakiet plakņu ADD 1 un BCC 1 relatīvo stāvokli.

5) Caur punktu M, sadalot nogriezni AB proporcijā 2:1, skaitot no punkta A, uzzīmē plakni α, kas ir paralēla plaknei C 1 BC. 6) Izveidojiet taisnes AC krustošanās punktu ar plakni α un atrodiet attiecību, kādā šis punkts dala nogriezni AC.

		Līniju un plakņu paralēlisms
Līniju relatīvais novietojums telpā
			21. tabula
	Kopīgo punktu skaits
Vismaz divas
		gulēt vienā	nemelo vienā
		lidmašīna	lidmašīna

Taisnu līniju un plakņu relatīvais novietojums telpā

			22. tabula
	Kopīgo punktu skaits
Vismaz divas		Nav

a atrodas α	un krustojas ar α	un i α - paralēli
(a α)	(a × α)	ny (a || α)
Plakņu savstarpēja izkārtošanās telpā
		23. tabula
	Kopīgo punktu skaits
Vismaz trīs	Vismaz viens, bet	Nav
neguļot	nav kopīgu punktu, nav
viena taisna līnija	nospiežot uz vienas taisnas līnijas

Trigonometrisks

Jūs jau esat nodarbojies ar trigonometriskajām funkcijām ģeometrijas stundās. Līdz šim viņu pielietojumi galvenokārt aprobežojās ar trijstūra risināšanu, tas ir, mēs runājām par dažu trīsstūra elementu atrašanu no citiem. No matemātikas vēstures ir zināms, ka trigonometrijas rašanās ir saistīta ar garumu un leņķu mērīšanu. Tomēr tagad sfēra

viņa pielietojums ir daudz plašāks nekā senos laikos.

Vārds "trigonometrija" cēlies no grieķu valodas τριγωνον

(trigonons) – trīsstūris un µετρεω (metreo) – mērs, mērs-

es reju. Burtiski tas nozīmē trīsstūru mērīšanu.

IN Šajā nodaļā sistematizēts jums jau zināms materiāls no ģeometrijas kursa un turpināts pētījums trigonometriskās funkcijas un to lietojumi, lai raksturotu pakešu procesus, jo īpaši rotācijas kustība, svārstību procesi utt.

Lielākā daļa trigonometrijas lietojumu ir īpaši saistīti ar periodiskiem procesiem, tas ir, procesiem, kas atkārtojas ar regulāriem laika intervāliem. Saullēkts un saulriets, gadalaiku maiņa, riteņa rotācija – tie ir vienkāršākie šādu procesu piemēri. Mehāniskās un elektromagnētiskās vibrācijas ir arī svarīgi periodisku procesu piemēri. Tāpēc periodisko procesu izpēte ir svarīgs uzdevums. Un matemātikas loma tās risināšanā ir izšķiroša.

gatavojamies apgūt tēmu “Trigonometriskās funkcijas”

Tēmas “Trigonometriskās funkcijas” apguvi vēlams sākt, pārskatot trijstūra leņķu trigonometrisko funkciju definīcijas un īpašības un to pielietojumu gan taisnleņķa, gan patvaļīgu trijstūri risināšanai.

Taisnstūra leņķu sinuss, kosinuss, tangenss, kotangenss

trīsstūris

24. tabula

Akūtā leņķa sinuss ir pretējās malas attiecība pret hipotenūzu:

sin α = a c .

Akūtā leņķa kosinuss ir blakus esošās kājas attiecība pret hipotenūzu:

cosα = b c .

Akūtā leņķa tangenss ir pretējās malas attiecība pret blakus esošo pusi:

tg α = a b .

Akūtā leņķa kotangenss ir blakus esošās malas attiecība pret pretējo pusi:

ctgα = a b .

Sinuss, kosinuss, tangenss, leņķu kotangenss no 0° līdz 180°

25. tabula

sin α = R y ; cosα = R x ;

tg α = x y ; gultiņa α = x y.

(X; plkst) - punktu koordinātas A atrodas augšējā puslokā, α - leņķis, ko veido rādiuss OA aplis ar asi X.

Sinusa, kosinusa, tangensa, kotangenta vērtības

daži stūri

26. tabula

Stūris t

0°

90°

180°

grēks t

cos t

tg t

ctg t

Trigonometriskās funkcijas

Patvaļīgu trīsstūru risināšana

27. tabula

Sinusu teorēma

Trijstūra malas ir proporcionālas pretējo leņķu sinusiem:

grēks aα = grēks bβ = grēks cγ .

Kosinusa teorēma

Trijstūra patvaļīgas malas kvadrāts ir vienāds ar pārējo divu malu kvadrātu summu bez šo malu divkāršas reizinājuma ar leņķa starp tām kosinusu:

c2 = a2 + b2 − 2 ab cos γ ,b2 = a2 + c2 − 2 ac cos β , a2 = b2 + c2 − 2 bc cos α .

Trijstūra laukums ir vienāds ar pusi no tā divu malu reizinājuma un leņķa sinusa starp tām:

S= 1 2 abgrēksγ = 1 2 acgrēksβ = 1 2 bcgrēksα .

Pamata trigonometriskās identitātes

28. tabula

0 ° ≤ α ≤ 180°

grēks 2 α + cos 2 α = 1

0 ° ≤ α ≤ 180°, α ≠ 90°

1 + tgα = cos2 α

Dots trīsstūris ABC, AR= 90°, Sv= 3 , AB= 2. Kas ir vienāds ar

IN ?

B. 45 °.

IN. 60 °.

A. 30 °.

G. Bez skaitļošanas rīkiem nav iespējams aprēķināt.

Dots trīsstūris

ABC , AR

Sv= 3,

IN= 60°. Kas ir vienāds ar

AB ?

A. 3

B. 6.

3 .

Saskaņā ar šīm partijām taisnleņķa trīsstūris atrast

tā mazākā leņķa kosinuss: A= 3, b= 4, c

A. 0,8.

Kura no dotajām vērtībām nevar pieņemt šķībs-

nus no asa leņķa?

7 − 1

7 2

A.

5. Salīdziniet patvaļīga taisnleņķa trijstūra akūto leņķu sinusu summu (apzīmējiet to arA) ar vienu.

< 1. B.A= 1.

> 1. G. Tas nav iespējams salīdzināt. Sakārtojiet skaitļus augošā secībā: A= grēks 30°, b= cos 30°,

= tg 30°.

< b< c. B.a< c< b. IN.c< a< b. G.b< a< c.

Salīdziniet akūtos leņķus α un β bez skaitļošanas instrumentiem, 7.

Ja: co sα =

,co sβ =

2 .

A.α < β. Kuriem asajiem leņķiem sinuss ir mazāks par kosinusu?

Visiem.

Mazākiem 45°.

Lieliem 45°.

G. Nevienam.

Kāpēc vienāds ar cos

α, ja α - ass stūris taisnstūra trīs-

kvadrātveida un grēksα =

12 .

Koka ēnas garums ir 15 m Saules stari veido leņķi

30° ar Zemes virsmu. Kāds ir aptuvenais augstums?

koks? Izvēlieties visprecīzāko rezultātu.

B. 13 m.

IN. 7 m.

Kāda ir izteiksmes vērtība

1 − x2

plkst X= – 0,8?

B.–0,6.

G.≈ 1,34.

No formulas a2 +b2 = 4 izteikt b< 0 через a.

A.b= 4 − a2 .

B.b= a2 − 4 .

b= − a2

− 4 .

b= − 4 − a2 .

Punkts A

atrodas trešajā ceturksnī 3 attālumā no ass X Un

uz attālumu

10 no izcelsmes. Kādas ir koordinātas

ir punkts A?

B.(−1; 3).

IN.(−1; −3).

G.(−3; −1).

nākamie punkti

pieder

aplis

x 2 + y 2

= 1?

B.(0,5; 0,5).

. G.

15. Norādiet punkta koordinātasA, guļot uz apļa ar rādiusu 1 (skat. attēlu).

(−1; 0). B.(1; 0).

(0; − 1). G.(0; 1).A.IN.

Jebkuru tehnoloģisku darbību var veikt ar noteiktu precizitāti, kas nozīmē, ka apstrādes rezultātā iegūtās detaļas izmēri nebūs ideāli tie var svārstīties noteiktā diapazonā. Lai izpildītu montāžas nosacījumus un nodrošinātu uzticamu detaļas darbību dotajos apstākļos, ir jānosaka pieņemams intervāls, kurā jāiekrīt galīgajam izmēram. Šis intervāls var regulēt ne tikai lineāros vai diametrālos izmērus, bet arī virsmu formu vai relatīvo stāvokli.

Formas un atrašanās vietas pielaides nosaka projektētājs, pamatojoties uz montāžas apstākļiem un mehānisma daļas darbības īpašībām.

Formu pielaides veidi

Formas tolerance sauc par maksimāli pieļaujamo formas novirzes vērtību.

Formas pielaides lauks- tas ir laukums plaknē vai telpā, kurā visiem apskatāmā elementa punktiem jāatrodas normalizētajā laukumā, kura platumu vai diametru nosaka pielaides vērtība, un atrašanās vieta attiecībā pret reālo elementu blakus esošais elements.

Formu novirzes un pielaides

Izšķir šādas formas noviržu pielaides:

• Novirze no taisnuma plaknē
• izliekts
• ieliekums
• Novirze no plaknes un plakanuma pielaide
• Izliekta
• Ieliekums
• Apaļuma novirze un apaļuma tolerance
• Ovalitāte
• Griezt
• Cilindriskuma novirze un cilindriskuma pielaide
• Cilindriskas virsmas garengriezuma profila novirze un pielaide
• Garengriezuma profila novirze
• Konusveida
• Muca
• Seglu

Pieļaujamās novirzes ir norādītas ar īpašiem simboliem.

Vietas pielaides veidi

Vietas tolerance- limits, kas ierobežo atrašanās vietas novirzes pieļaujamo vērtību.

Ir atrašanās vietas pielaides un orientācijas pielaides.

Atrašanās vietas pielaides lauks- laukums plaknē vai telpā, kurā jāatrodas blakus elementam vai simetrijas plaknei, ass, centrs normalizētajā zonā, kura diametru vai platumu nosaka pielaides vērtība, un atrašanās vieta attiecībā pret attiecīgā elementa nominālo atrašanās vietu.

Novirzes un atrašanās vietas pielaides

Izšķir šādus atrašanās vietas pielaides veidus:

• Paralēlisma novirze un paralēlisma tolerance
• Novirzes un perpendikularitātes pielaide
• Novirzes un slīpuma pielaide
• Noviržu un izlīdzināšanas pielaide
• Pielaide rādiusa izteiksmē
• Noviržu un simetrijas tolerance
• Pozicionālā novirze un pozicionālā tolerance
• Tolerance diametrālā izteiksmē
• Pielaide rādiusa izteiksmē
• Krustojuma novirze un asu krustojuma pielaide
• Tolerance diametrālā izteiksmē
• Pielaide rādiusa izteiksmē

Kopējās pielaides

Pastāv vairāku veidu kopējās formas un atrašanās vietas pielaides.

• Radiālais izskrējiens
• Kopējais radiālais izskrējiens
• Aksiālais izskrējiens
• Pilna aksiālā izplūde
• Skriešana noteiktā virzienā
• Dotā profila formas novirze un tolerance
• Dotās virsmas formas novirze un tolerance

Šīs pielaides ir norādītas ar simboliem.

Formas un atrašanās vietas pielaides apzīmējums rasējumos

Formas un atrašanās vietas pielaides zīmējumos attēlotas rāmja veidā, kas sadalīts vairākās daļās. Pirmajā daļā parādīts pielaides grafiskais apzīmējums, otrajā daļā parādīta pielaides skaitliskā vērtība, trešajā un turpmākajās daļās ir parādīts vienas vai vairāku bāzu burtu apzīmējums.

Ja nav pielaides bāzes, rāmis sastāv tikai no divām daļām. Formas un atrašanās vietas pielaides rāmju piemēri ir parādīti attēlā.

Kreisajā attēlā redzams rāmis ar formas pielaidi (pieļaujamā novirze no taisnuma), labajā pusē ar pozīcijas pielaidi (pieļaujamā novirze no paralēlisma).

Rāmis ir izgatavots ar plānām līnijām. Teksta augstumam rāmī jābūt vienādam ar izmēru skaitļu fonta lielumu. Līnija, kas beidzas ar bultiņu, tiek novilkta no pielaides rāmja uz virsmu vai līderi.

Pirms skaitliskās pielaides vērtības var norādīt šādas zīmes:

• f - ja cilindrisks vai apļveida pielaides lauks ir norādīts ar diametru
• R - ja cilindrisks vai apļveida lauks ir norādīts ar rādiusu
• T - ja asu krustpunkta pielaides lauks, simetrija, ir ierobežots līdz divām paralēlām taisnēm vai plaknēm diametrālā izteiksmē.
• T/2 - tādā pašā gadījumā kā T, tikai rādiusa izteiksmē
• Sfēra - sfēriskajam pielaides laukam.

Ja pielaide nav jāpiemēro visai virsmai, bet tikai noteiktai vietai, tad to norāda ar punktētu līniju.

Vienam elementam var norādīt vairākas pielaides, kadri tiek parādīti viens virs otra.

Papildus informācija var norādīt virs vai zem rāmja.

Informāciju par formas un atrašanās vietas pielaidēm var norādīt.

Nenoteiktas izlīdzināšanas pielaides saskaņā ar GOST 25069-81.

Atkarīgās pielaides

Atkarīgās atrašanās vietas pielaides ir norādītas ar šādu simbolu.

Šo simbolu var novietot aiz skaitliskās pielaides vērtības, ja atkarīgā pielaide ir saistīta ar attiecīgā elementa faktiskajiem izmēriem. Tāpat simbolu var novietot aiz burtu apzīmējuma (ja tā nav, tad kadra trešajā laukā), ja atkarīgā pielaide ir saistīta ar pamatelementa faktiskajiem izmēriem.

Formas un atrašanās vietas pielaides piešķiršana

Jo precīzāk tiks izgatavota detaļa, jo precīzāki instrumenti būs nepieciešami tās izgatavošanai un izmēru kontrolei. Tas automātiski palielinās tā izmaksas. Izrādās, ka detaļas izgatavošanas izmaksas lielā mērā ir atkarīgas no nepieciešamās precizitātes tās izgatavošanas laikā. Tas nozīmē, ka projektētājam jānorāda tikai tās pielaides, kas faktiski ir nepieciešamas mehānisma montāžai un drošai darbībai. Pieņemamie intervāli arī jānosaka, pamatojoties uz savākšanas un izpildes nosacījumiem.

Skaitliskās formas pielaides vērtības

Atkarībā no precizitātes klases tiek noteiktas standarta formas pielaides vērtības.

Plakanuma un taisnuma pielaides

Šajā gadījumā par nominālo izmēru uzskata standartizētās sekcijas nominālo garumu.

Apaļuma, cilindriskuma, garengriezuma profila pielaides

Šīs pielaides tiek piešķirtas gadījumos, kad tām jābūt mazākām par izmēra pielaidi.

Nominālais izmērs ir virsmas nominālais diametrs.

Perpendikularitātes, paralēlisma, slīpuma, aksiālā izskrējiena pielaides

Piešķirot paralēlisma, perpendikularitātes un slīpuma pielaides, ar nominālo izmēru saprot standartizētās sekcijas nominālo izmēru vai visas kontrolētās virsmas nominālo garumu.

Pielaides radiālajai nolaišanai, simetrijai, asu krustpunkta koaksialitātei diametrālā izteiksmē

Piešķirot radiālās noplūdes pielaides, par nominālo izmēru uzskata attiecīgās virsmas nominālo diametru.

Ja tiek piešķirtas simetrijas pielaides, izlīdzināšanas ass krustpunkts, nominālais izmērs tiek uzskatīts par virsmas nominālo diametru vai nominālo izmēru starp virsmām, kas veido attiecīgo elementu.

Video kursā “Iegūt A” ir iekļautas visas jums nepieciešamās tēmas veiksmīga pabeigšana Vienotais valsts eksāmens matemātikā par 60-65 ballēm. Pilnīgi visas problēmas 1-13 Profila vienotais valsts eksāmens matemātika. Piemērots arī matemātikas vienotā valsts eksāmena kārtošanai. Ja vēlies vienoto valsts eksāmenu nokārtot ar 90-100 punktiem, 1.daļa jāatrisina 30 minūtēs un bez kļūdām!

Sagatavošanas kurss Vienotajam valsts eksāmenam 10.-11.klasei, kā arī skolotājiem. Viss nepieciešamais, lai atrisinātu Vienotā valsts eksāmena 1. daļu matemātikā (pirmie 12 uzdevumi) un 13. uzdevumu (trigonometrija). Un tas ir vairāk nekā 70 punkti vienotajā valsts eksāmenā, un bez tiem nevar iztikt ne 100 ballu students, ne humanitāro zinātņu students.

Visa nepieciešamā teorija. Vienotā valsts eksāmena ātrie risinājumi, kļūmes un noslēpumi. Ir analizēti visi aktuālie FIPI uzdevumu bankas 1. daļas uzdevumi. Kurss pilnībā atbilst Vienotā valsts eksāmena 2018 prasībām.

Kursā ir 5 lielas tēmas, katra 2,5 stundas. Katra tēma ir dota no nulles, vienkārši un skaidri.

Simtiem vienotā valsts eksāmena uzdevumu. Vārdu uzdevumi un varbūtību teorija. Vienkārši un viegli iegaumējami algoritmi problēmu risināšanai. Ģeometrija. Teorija, izziņas materiāls, visu veidu vienotā valsts pārbaudījuma uzdevumu analīze. Stereometrija. Viltīgi risinājumi, noderīgas krāpšanās lapas, telpiskās iztēles attīstība. Trigonometrija no nulles līdz problēmai 13. Sapratne, nevis pieblīvēšanās. Sarežģītu jēdzienu skaidri skaidrojumi. Algebra. Saknes, pakāpes un logaritmi, funkcija un atvasinājums. Pamats Vienotā valsts eksāmena 2. daļas sarežģītu problēmu risināšanai.