Leņķa kosinuss ir vienāds ar attiecību. Akūta leņķa sinuss, kosinuss, tangenss, kotangenss
Jēdzieni sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss ir galvenās trigonometrijas kategorijas - matemātikas nozare, un tās ir nesaraujami saistītas ar leņķa definīciju. Šīs matemātiskās zinātnes pārvaldīšanai nepieciešama formulu un teorēmu iegaumēšana un izpratne, kā arī attīstīta telpiskā domāšana. Tāpēc trigonometriskie aprēķini nereti sagādā grūtības skolēniem un studentiem. Lai tos pārvarētu, jums vajadzētu vairāk iepazīties ar trigonometriskajām funkcijām un formulām.
Jēdzieni trigonometrijā
Lai saprastu trigonometrijas pamatjēdzienus, vispirms jāizlemj, kas ir taisnleņķa trīsstūris un leņķis aplī, un kāpēc visi pamata trigonometriskie aprēķini ir saistīti ar tiem. Trijstūris, kurā viens no leņķiem ir 90 grādi, ir taisnleņķa trīsstūris. Vēsturiski šo figūru bieži izmantoja cilvēki arhitektūrā, navigācijā, mākslā, astronomijā. Attiecīgi, pētot un analizējot šī skaitļa īpašības, cilvēki nonāca pie atbilstošo tā parametru attiecību aprēķināšanas.
Galvenās kategorijas, kas saistītas ar taisnstūriem, ir hipotenūza un kājas. Hipotenūza ir trijstūra mala, kas atrodas pretī taisnajam leņķim. Kājas, attiecīgi, ir pārējās divas puses. Jebkura trīsstūra leņķu summa vienmēr ir 180 grādi.
Sfēriskā trigonometrija ir trigonometrijas sadaļa, kas netiek apgūta skolā, bet lietišķajās zinātnēs, piemēram, astronomijā un ģeodēzijā, zinātnieki to izmanto. Trīsstūra iezīme sfēriskajā trigonometrijā ir tāda, ka tā leņķu summa vienmēr ir lielāka par 180 grādiem.
Trijstūra leņķi
Taisnleņķa trijstūrī leņķa sinuss ir vēlamajam leņķim pretējās kājas attiecība pret trijstūra hipotenūzu. Attiecīgi kosinuss ir blakus esošās kājas un hipotenūzas attiecība. Abām šīm vērtībām vienmēr ir mazāka vērtība par vienu, jo hipotenūza vienmēr ir garāka par kāju.
Leņķa tangenss ir vērtība, kas vienāda ar pretējās kājas attiecību pret vajadzīgā leņķa blakus posmu vai sinusu pret kosinusu. Savukārt kotangenss ir vēlamā leņķa blakus esošās kājas attiecība pret pretējo kaktetu. Leņķa kotangensu var iegūt arī dalot vienību ar pieskares vērtību.
vienības aplis
Vienības aplis ģeometrijā ir aplis, kura rādiuss ir vienāds ar vienu. Šāds aplis tiek konstruēts Dekarta koordinātu sistēmā, apļa centram sakrītot ar sākuma punktu, un rādiusa vektora sākotnējo stāvokli nosaka X ass pozitīvais virziens (abscisu ass). Katram apļa punktam ir divas koordinātas: XX un YY, tas ir, abscisu un ordinātu koordinātas. Izvēloties jebkuru apļa punktu XX plaknē un nometot no tā perpendikulu uz abscisu asi, iegūstam taisnleņķa trīsstūri, ko veido rādiuss līdz izvēlētajam punktam (apzīmēsim to ar burtu C), kas ir novilkts uz X ass (krustošanās punkts ir apzīmēts ar burtu G) un abscisu ass segments starp sākumpunktu (punktu apzīmē ar burtu A) un krustošanās punktu G. Rezultātā iegūtais trīsstūris ACG ir taisnleņķa trijstūris, kas ierakstīts aplis, kur AG ir hipotenūza, un AC un GC ir kājas. Leņķi starp apļa rādiusu AC un abscisu ass segmentu ar apzīmējumu AG mēs definējam kā α (alfa). Tātad, cos α = AG/AC. Ņemot vērā, ka AC ir vienības apļa rādiuss un tas ir vienāds ar vienu, izrādās, ka cos α=AG. Tāpat sin α=CG.
Turklāt, zinot šos datus, ir iespējams noteikt apļa punkta C koordinātas, jo cos α=AG, un sin α=CG, kas nozīmē, ka punktam C ir dotās koordinātes (cos α; sin α). Zinot, ka tangenss ir vienāds ar sinusa attiecību pret kosinusu, mēs varam noteikt, ka tg α \u003d y / x un ctg α \u003d x / y. Ņemot vērā leņķus negatīvā koordinātu sistēmā, var aprēķināt, ka dažu leņķu sinusa un kosinusa vērtības var būt negatīvas.
Aprēķini un pamatformulas
Trigonometrisko funkciju vērtības
Apsverot trigonometrisko funkciju būtību caur vienības apli, mēs varam iegūt šo funkciju vērtības dažiem leņķiem. Vērtības ir norādītas zemāk esošajā tabulā.
Vienkāršākās trigonometriskās identitātes
Vienādojumus, kuros zem trigonometriskās funkcijas zīmes ir nezināma vērtība, sauc par trigonometriskiem. Identitātes ar vērtību sin x = α, k ir jebkurš vesels skaitlis:
- sin x = 0, x = πk.
- 2. sin x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk.
- sin x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk.
- sin x = a, |a| > 1, nav risinājumu.
- sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.
Identitātes ar vērtību cos x = a, kur k ir jebkurš vesels skaitlis:
- cos x = 0, x = π/2 + πk.
- cos x = 1, x = 2πk.
- cos x \u003d -1, x \u003d π + 2πk.
- cos x = a, |a| > 1, nav risinājumu.
- cos x = a, |a| ≦ 1, х = ±arccos α + 2πk.
Identitātes ar vērtību tg x = a, kur k ir jebkurš vesels skaitlis:
- tg x = 0, x = π/2 + πk.
- tg x \u003d a, x \u003d arctg α + πk.
Identitātes ar vērtību ctg x = a, kur k ir jebkurš vesels skaitlis:
- ctg x = 0, x = π/2 + πk.
- ctg x \u003d a, x \u003d arcctg α + πk.
Lietās formulas
Šī konstantu formulu kategorija apzīmē metodes, ar kurām jūs varat pāriet no formas trigonometriskām funkcijām uz argumenta funkcijām, tas ir, konvertēt jebkuras vērtības leņķa sinusu, kosinusu, tangensu un kotangensu uz attiecīgajiem leņķa rādītājiem. intervāls no 0 līdz 90 grādiem lielākai aprēķinu ērtībai.
Leņķa sinusa funkciju samazināšanas formulas izskatās šādi:
- sin(900 — α) = α;
- sin(900 + α) = cos α;
- sin(1800 - α) = grēks α;
- sin(1800 + α) = -sin α;
- sin(2700 - α) = -cos α;
- sin(2700 + α) = -cos α;
- sin(3600 - α) = -sin α;
- sin(3600 + α) = grēks α.
Leņķa kosinusam:
- cos(900 - α) = sin α;
- cos(900 + α) = -sin α;
- cos(1800 - α) = -cos α;
- cos(1800 + α) = -cos α;
- cos(2700 - α) = -sin α;
- cos(2700 + α) = sin α;
- cos(3600 - α) = cos α;
- cos(3600 + α) = cos α.
Iepriekš minēto formulu izmantošana ir iespējama, ievērojot divus noteikumus. Pirmkārt, ja leņķi var attēlot kā vērtību (π/2 ± a) vai (3π/2 ± a), funkcijas vērtība mainās:
- no grēka uz cos;
- no cos uz grēku;
- no tg līdz ctg;
- no ctg uz tg.
Funkcijas vērtība paliek nemainīga, ja leņķi var attēlot kā (π ± a) vai (2π ± a).
Otrkārt, samazinātās funkcijas zīme nemainās: ja tā sākotnēji bija pozitīva, tā arī paliek. Tas pats attiecas uz negatīvajām funkcijām.
Papildināšanas formulas
Šīs formulas izsaka divu griešanās leņķu summas un starpības sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa vērtības to trigonometrisko funkciju izteiksmē. Leņķus parasti apzīmē kā α un β.
Formulas izskatās šādi:
- sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
- cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
- iedegums(α ± β) = (tan α ± iedegums β) / (1 ∓ tan α * tan β).
- ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).
Šīs formulas ir derīgas visiem leņķiem α un β.
Divkāršā un trīskāršā leņķa formulas
Divkāršā un trīskāršā leņķa trigonometriskās formulas ir formulas, kas saista leņķu 2α un 3α funkcijas attiecīgi ar leņķa α trigonometriskajām funkcijām. Atvasināts no pievienošanas formulām:
- sin2α = 2sinα*cosα.
- cos2α = 1 - 2sin^2α.
- tg2α = 2tgα / (1 - tg^2 α).
- sin3α = 3sinα - 4sin^3α.
- cos3α = 4cos^3α - 3cosα.
- tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).
Pāreja no summas uz produktu
Ņemot vērā, ka 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), vienkāršojot šo formulu, iegūstam identitāti sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Līdzīgi sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tgα + tgβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).
Pāreja no produkta uz summu
Šīs formulas izriet no summas pārejas uz reizinājumu identitātēm:
- sinα * sinβ = 1/2*;
- cosα * cosβ = 1/2*;
- sinα * cosβ = 1/2*.
Samazināšanas formulas
Šajās identitātēs sinusa un kosinusa kvadrātveida un kubisko pakāpju var izteikt kā vairāku leņķu pirmā pakāpju sinusu un kosinusu:
- sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
- cos^2α = (1 + cos2α)/2;
- sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
- cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
- sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
- cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.
Universāla aizstāšana
Universālās trigonometriskās aizstāšanas formulas izsaka trigonometriskās funkcijas pusleņķa pieskares izteiksmē.
- sin x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2), savukārt x \u003d π + 2πn;
- cos x = (1 - tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), kur x = π + 2πn;
- tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2), kur x \u003d π + 2πn;
- ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), savukārt x \u003d π + 2πn.
Īpaši gadījumi
Īpaši vienkāršākā gadījumi trigonometriskie vienādojumi ir doti zemāk (k ir jebkurš vesels skaitlis).
Privāts priekš sinusa:
| sin x vērtība | x vērtība |
|---|---|
| 0 | pk |
| 1 | π/2 + 2πk |
| -1 | -π/2 + 2πk |
| 1/2 | π/6 + 2πk vai 5π/6 + 2πk |
| -1/2 | -π/6 + 2πk vai -5π/6 + 2πk |
| √2/2 | π/4 + 2πk vai 3π/4 + 2πk |
| -√2/2 | -π/4 + 2πk vai -3π/4 + 2πk |
| √3/2 | π/3 + 2πk vai 2π/3 + 2πk |
| -√3/2 | -π/3 + 2πk vai -2π/3 + 2πk |
Kosinusa koeficienti:
| cos x vērtība | x vērtība |
|---|---|
| 0 | π/2 + 2πk |
| 1 | 2πk |
| -1 | 2 + 2πk |
| 1/2 | ±π/3 + 2πk |
| -1/2 | ±2π/3 + 2πk |
| √2/2 | ±π/4 + 2πk |
| -√2/2 | ±3π/4 + 2πk |
| √3/2 | ±π/6 + 2πk |
| -√3/2 | ±5π/6 + 2πk |
Privāts pieskarei:
| tg x vērtība | x vērtība |
|---|---|
| 0 | pk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3/3 | π/6 + πk |
| -√3/3 | -π/6 + πk |
| √3 | π/3 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
Kotangentes koeficienti:
| ctg x vērtība | x vērtība |
|---|---|
| 0 | π/2 + πk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3 | π/6 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
| √3/3 | π/3 + πk |
| -√3/3 | -π/3 + πk |
Teorēmas
Sinus teorēma
Teorēmai ir divas versijas – vienkārša un paplašināta. Vienkāršā sinusa teorēma: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. Šajā gadījumā a, b, c ir trijstūra malas, un α, β, γ ir attiecīgi pretējie leņķi.
Paplašināta sinusa teorēma patvaļīgam trīsstūrim: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. Šajā identitātē R apzīmē apļa rādiusu, kurā ir ierakstīts dotais trīsstūris.
Kosinusa teorēma
Identitāte tiek parādīta šādi: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. Formulā a, b, c ir trijstūra malas, un α ir leņķis, kas atrodas pretējai malai a.
Pieskares teorēma
Formula izsaka attiecību starp divu leņķu pieskarēm un tām pretējo malu garumu. Malas ir apzīmētas ar a, b, c, un attiecīgie pretējie leņķi ir α, β, γ. Pieskares teorēmas formula: (a - b) / (a+b) = tg((α - β)/2) / tg((α + β)/2).
Kotangentes teorēma
Saista trijstūrī ierakstīta riņķa rādiusu ar tā malu garumu. Ja a, b, c ir trijstūra malas un attiecīgi A, B, C ir to pretējie leņķi, r ir ierakstītā riņķa rādiuss un p ir trijstūra pusperimetrs, šādas identitātes turēt:
- ctg A/2 = (p-a)/r;
- ctg B/2 = (p-b)/r;
- ctg C/2 = (p-c)/r.
Lietojumprogrammas
Trigonometrija ir ne tikai teorētiska zinātne, kas saistīta ar matemātiskām formulām. Tās īpašības, teorēmas un noteikumus praksē izmanto dažādas cilvēka darbības nozares – astronomija, gaisa un jūras navigācija, mūzikas teorija, ģeodēzija, ķīmija, akustika, optika, elektronika, arhitektūra, ekonomika, mašīnbūve, mērīšanas darbi, datorgrafika, kartogrāfija, okeanogrāfija un daudzas citas.
Sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss ir trigonometrijas pamatjēdzieni, ar kuriem jūs varat matemātiski izteikt attiecības starp leņķiem un malu garumiem trijstūrī un atrast vajadzīgos lielumus, izmantojot identitātes, teorēmas un noteikumus.
Trigonometrija ir matemātikas nozare, kas pēta trigonometriskās funkcijas un to izmantošanu ģeometrijā. Trigonometrijas attīstība sākās senās Grieķijas dienās. Viduslaikos Tuvo Austrumu un Indijas zinātnieki sniedza nozīmīgu ieguldījumu šīs zinātnes attīstībā.
Šis raksts ir par pamatjēdzieni un trigonometrijas definīcijas. Tajā aplūkotas galveno trigonometrisko funkciju definīcijas: sinusa, kosinusa, pieskares un kotangensa. To nozīme ģeometrijas kontekstā ir izskaidrota un ilustrēta.
Sākotnēji trigonometrisko funkciju definīcijas, kuru arguments ir leņķis, tika izteiktas ar taisnleņķa trijstūra malu attiecību.
Trigonometrisko funkciju definīcijas
Leņķa sinuss (sin α) ir šim leņķim pretējās kājas attiecība pret hipotenūzu.
Leņķa kosinuss (cos α) ir blakus esošās kājas attiecība pret hipotenūzu.
Leņķa tangenss (t g α) ir pretējās kājas attiecība pret blakus esošo.
Leņķa kotangenss (c t g α) ir blakus esošās kājas attiecība pret pretējo.
Šīs definīcijas ir dotas taisnleņķa trijstūra asam leņķim!
Sniegsim ilustrāciju.
Trijstūrī ABC ar taisnleņķi C leņķa A sinuss ir vienāds ar kājas BC attiecību pret hipotenūzu AB.
Sinusa, kosinusa, tangensa un kotangenta definīcijas ļauj aprēķināt šo funkciju vērtības no zināmajiem trijstūra malu garumiem.
Svarīgi atcerēties!
Sinusu un kosinusu vērtību diapazons: no -1 līdz 1. Citiem vārdiem sakot, sinusa un kosinusa vērtības ir no -1 līdz 1. Tangensu un kotangensu vērtību diapazons ir visa skaitļa līnija, tas ir, šīs funkcijām var būt jebkura vērtība.
Iepriekš sniegtās definīcijas attiecas uz asajiem leņķiem. Trigonometrijā tiek ieviests griešanās leņķa jēdziens, kura vērtību atšķirībā no akūtā leņķa neierobežo kadri no 0 līdz 90 grādiem Rotācijas leņķi grādos vai radiānos izsaka ar jebkuru reālu skaitli no - ∞ līdz + ∞.
Šajā kontekstā var definēt patvaļīga lieluma leņķa sinusu, kosinusu, tangensu un kotangensu. Iedomājieties vienības apli, kura centrs ir Dekarta koordinātu sistēmas sākumpunkts.
Sākumpunkts A ar koordinātām (1 , 0) griežas ap vienības apļa centru par kādu leņķi α un iet uz punktu A 1 . Definīcija tiek dota, izmantojot punkta A 1 (x, y) koordinātas.
Rotācijas leņķa sinuss (sin).
Rotācijas leņķa α sinuss ir punkta A 1 (x, y) ordināta. sinα = y
Rotācijas leņķa kosinuss (cos).
Rotācijas leņķa α kosinuss ir punkta A 1 (x, y) abscisa. cos α = x
Rotācijas leņķa pieskare (tg).
Rotācijas leņķa pieskare α ir punkta A 1 (x, y) ordinātu attiecība pret tā abscisu. t g α = y x
Rotācijas leņķa kotangenss (ctg).
Rotācijas leņķa α kotangenss ir punkta A 1 (x, y) abscisu attiecība pret tā ordinātām. c t g α = x y
Sinuss un kosinuss ir definēti jebkuram griešanās leņķim. Tas ir loģiski, jo punkta abscisu un ordinātu pēc rotācijas var noteikt jebkurā leņķī. Situācija ir atšķirīga ar tangensu un kotangensu. Pieskares nav definēta, ja punkts pēc rotācijas iet uz punktu ar nulles abscisu (0 , 1) un (0 , - 1). Šādos gadījumos pieskares izteiksmei t g α = y x vienkārši nav jēgas, jo tajā ir dalījums ar nulli. Līdzīga situācija ir ar kotangensu. Atšķirība ir tāda, ka kotangenss nav definēts gadījumos, kad punkta ordināta pazūd.
Svarīgi atcerēties!
Sinuss un kosinuss ir definēti jebkuram leņķim α.
Pieskares ir noteiktas visiem leņķiem, izņemot α = 90° + 180° k , k ∈ Z (α = π 2 + π k , k ∈ Z)
Kotangente ir noteikta visiem leņķiem, izņemot α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)
Izlemjot praktiski piemēri nesaki "griešanās leņķa sinuss α". Vārdi "rotācijas leņķis" ir vienkārši izlaisti, kas nozīmē, ka kontekstā jau ir skaidrs, kas ir uz spēles.
Skaitļi
Kā ar skaitļa sinusa, kosinusa, pieskares un kotangensa definīciju, nevis griešanās leņķi?
Skaitļa sinuss, kosinuss, tangenss, kotangenss
Skaitļa sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss t tiek izsaukts skaitlis, kas ir attiecīgi vienāds ar sinusu, kosinusu, tangensu un kotangensu in t radiāns.
Piemēram, 10 π sinuss ir vienāds ar 10 π rad griešanās leņķa sinusu.
Ir vēl viena pieeja skaitļa sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa definīcijai. Apsvērsim to sīkāk.
Jebkurš reāls skaitlis t punktu uz vienības apļa saliek korespondencē ar centru taisnstūra Dekarta koordinātu sistēmas sākumā. Sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss tiek definēti kā šī punkta koordinātas.
Apļa sākuma punkts ir punkts A ar koordinātām (1 , 0).
pozitīvs skaitlis t
Negatīvs skaitlis t atbilst punktam, uz kuru pārvietosies sākuma punkts, ja tas virzīsies pretēji pulksteņrādītāja virzienam ap apli un šķērsos ceļu t .
Tagad, kad ir izveidota saikne starp skaitli un apļa punktu, mēs pārejam pie sinusa, kosinusa, pieskares un kotangensa definīcijas.
Skaitļa t sinuss (grēks).
Skaitļa sinuss t- skaitlim atbilstošā vienības apļa punkta ordināta t. sin t = y
Kosinuss (cos) no t
Skaitļa kosinuss t- skaitlim atbilstošā vienības apļa punkta abscisa t. cos t = x
Pieskares (tg) no t
Skaitļa tangenss t- skaitlim atbilstošā vienības apļa punkta ordinātu attiecību pret abscisu t. t g t = y x = sin t cos t
Pēdējās definīcijas atbilst un nav pretrunā ar šīs sadaļas sākumā sniegto definīciju. Punkts uz apļa, kas atbilst skaitlim t, sakrīt ar punktu, līdz kuram iet sākuma punkts pēc pagrieziena cauri leņķim t radiāns.
Leņķiskā un skaitliskā argumenta trigonometriskās funkcijas
Katra leņķa α vērtība atbilst noteiktai šī leņķa sinusa un kosinusa vērtībai. Tāpat kā visi leņķi α, izņemot α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) atbilst noteiktai pieskares vērtībai. Kotangenss, kā minēts iepriekš, ir definēts visiem α, izņemot α = 180 ° k , k ∈ Z (α = π k , k ∈ Z).
Var teikt, ka sin α , cos α , t g α , c t g α ir leņķa alfa funkcijas jeb leņķa argumenta funkcijas.
Līdzīgi var runāt par sinusu, kosinusu, tangensu un kotangensu kā skaitliskā argumenta funkcijām. Katrs reālais skaitlis t atbilst noteiktai skaitļa sinusa vai kosinusa vērtībai t. Visi skaitļi, izņemot π 2 + π · k , k ∈ Z, atbilst pieskares vērtībai. Kotangenss ir līdzīgi definēts visiem skaitļiem, izņemot π · k , k ∈ Z.
Trigonometrijas pamatfunkcijas
Sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss ir trigonometriskās pamatfunkcijas.
No konteksta parasti ir skaidrs, ar kuru trigonometriskās funkcijas argumentu (leņķa argumentu vai skaitlisko argumentu) mēs runājam.
Atgriezīsimies pie datiem definīciju pašā sākumā un leņķa alfa, kas atrodas diapazonā no 0 līdz 90 grādiem. Trigonometriskās definīcijas sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss pilnībā atbilst ģeometriskajām definīcijām, kas sniegtas, izmantojot taisnleņķa trijstūra malu attiecības. Parādīsim to.
Paņemiet vienības apli, kura centrā ir taisnstūrveida Dekarta koordinātu sistēma. Pagriezīsim sākuma punktu A (1, 0) par leņķi līdz 90 grādiem un no iegūtā punkta A 1 (x, y) zīmēsim perpendikulāri x asij. Iegūtajā taisnleņķa trijstūrī leņķis A 1 O H ir vienāds ar griešanās leņķi α, kājas O H garums ir vienāds ar punkta A 1 abscisu (x, y) . Stūrim pretī esošās kājas garums ir vienāds ar punkta A 1 (x, y) ordinātu, un hipotenūzas garums ir vienāds ar vienu, jo tas ir vienības apļa rādiuss.
Saskaņā ar ģeometrijas definīciju leņķa α sinuss ir vienāds ar pretējās kājas attiecību pret hipotenūzu.
sin α \u003d A 1 H O A 1 \u003d y 1 \u003d y
Tas nozīmē, ka akūtā leņķa sinusa definīcija taisnleņķa trijstūrī caur malu attiecību ir līdzvērtīga griešanās leņķa α sinusa definīcijai, un alfa atrodas diapazonā no 0 līdz 90 grādiem.
Līdzīgi definīciju atbilstību var parādīt kosinusam, tangensam un kotangensam.
Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter
Es domāju, ka esat pelnījis vairāk. Šeit ir mana trigonometrijas atslēga:
- Uzzīmējiet kupolu, sienu un griestus
- Trigonometriskās funkcijas nav nekas cits kā šo trīs formu procentuālā daļa.
Metafora sinusam un kosinusam: kupols
Tā vietā, lai skatītos tikai uz pašiem trijstūriem, iedomājieties tos darbībā, atrodot kādu konkrētu reālās dzīves piemēru.
Iedomājieties, ka atrodaties kupola vidū un vēlaties piekārt filmas projektora ekrānu. Jūs norādāt ar pirkstu uz kupolu kādā "x" leņķī, un no šī punkta vajadzētu piekārt ekrānu.
Leņķis, uz kuru norādāt, nosaka:
- sinusa(x) = sin(x) = ekrāna augstums (no grīdas līdz kupola montāžas vietai)
- kosinuss(x) = cos(x) = attālums no jums līdz ekrānam (stāvā)
- hipotenūza, attālums no jums līdz ekrāna augšdaļai, vienmēr vienāds, vienāds ar kupola rādiusu
Vai vēlaties, lai ekrāns būtu pēc iespējas lielāks? Pakariet to tieši virs jums.
Vai vēlaties, lai ekrāns karātos maksimāli gara distance no tevis? Pakariet to taisni perpendikulāri. Ekrāna augstums šajā pozīcijā būs nulle, un tas karājas tik tālu atpakaļ, cik prasījāt.
Augstums un attālums no ekrāna ir apgriezti proporcionāli: jo tuvāk ekrāns karājas, jo augstāks būs tā augstums.
Sinuss un kosinuss ir procenti
Diemžēl neviens manos studiju gados man nepaskaidroja, ka trigonometriskās funkcijas sinuss un kosinuss nav nekas cits kā procenti. To vērtības svārstās no +100% līdz 0 līdz -100% vai no pozitīva maksimuma līdz nullei līdz negatīvam maksimumam.
Teiksim, es samaksāju 14 rubļu nodokli. Jūs nezināt, cik tas ir. Bet, ja jūs sakāt, ka es samaksāju 95% nodoklī, jūs sapratīsit, ka mani vienkārši nodīrāja kā lipīgu.
Absolūtais augstums neko nenozīmē. Bet, ja sinusa vērtība ir 0,95, tad es saprotu, ka televizors karājas gandrīz virs jūsu kupola. Ļoti drīz tas sasniegs maksimālo augstumu kupola centrā un pēc tam atkal sāks kristies.
Kā mēs varam aprēķināt šo procentuālo daļu? Ļoti vienkārši: sadaliet pašreizējo ekrāna augstumu ar maksimālo iespējamo (kupola rādiusu, ko sauc arī par hipotenūzu).
Tāpēc mums saka, ka "kosinuss = pretējā kāja / hipotenūza". Tas viss, lai iegūtu procentus! Labākais veids, kā definēt sinusu, ir “pašreizējā augstuma procentuālā daļa no maksimālā iespējamā”. (Sinuss kļūst negatīvs, ja jūsu leņķis ir "pazemē". Kosinuss kļūst negatīvs, ja leņķis norāda uz kupola punktu aiz jums.)
Vienkāršosim aprēķinus, pieņemot, ka esam vienības apļa centrā (rādiuss = 1). Mēs varam izlaist dalījumu un vienkārši ņemt sinusu, kas vienāds ar augstumu.
Katrs aplis faktiski ir viens, palielināts vai samazināts līdz vajadzīgajam izmēram. Tāpēc nosakiet attiecības vienības aplī un izmantojiet rezultātus savam konkrētajam apļa izmēram.
Eksperiments: paņemiet jebkuru stūri un skatiet, cik procentu no augstuma pret platumu tas parāda:
Sinusa vērtības pieauguma grafiks nav tikai taisna līnija. Pirmie 45 grādi aizņem 70% no augstuma, bet pēdējie 10 grādi (no 80° līdz 90°) – tikai 2%.
Tas jums padarīs skaidrāku: ja jūs ejat pa apli, 0 ° jūs paceļaties gandrīz vertikāli, bet, tuvojoties kupola augšai, augstums mainās arvien mazāk.
Pieskares un sekants. Siena
Kādu dienu kaimiņš uzcēla sienu tieši mugura pret muguru uz savu kupolu. Raudāja jūsu loga skats un laba tālākpārdošanas cena!
Bet vai šajā situācijā ir iespējams kaut kā uzvarēt?
Protams, jā. Ko darīt, ja mēs piekārtu filmas ekrānu tieši pie kaimiņa sienas? Jūs mērķējat uz stūri (x) un iegūstat:
- iedegums (x) = iedegums (x) = ekrāna augstums uz sienas
- attālums no jums līdz sienai: 1 (tas ir jūsu kupola rādiuss, siena nekur no jums nepārvietojas, vai ne?)
- secant(x) = sec(x) = "kāpņu garums" no jums, kas stāv kupola centrā līdz piekārtā ekrāna augšdaļai
Noskaidrosim dažas lietas par pieskares jeb ekrāna augstumu.
- tas sākas ar 0 un var būt bezgalīgi augsts. Varat izstiept ekrānu arvien augstāk pie sienas, lai iegūtu tikai nebeidzamu audeklu savas iecienītākās filmas skatīšanai! (Par tik milzīgu, protams, jums būs jātērē daudz naudas).
- tangenss ir tikai palielināta sinusa versija! Un, kamēr sinusa augšana palēninās, virzoties uz kupola augšdaļu, tangenss turpina augt!
Sekansu ir arī ar ko lepoties:
- sekants sākas no 1 (kāpnes atrodas uz grīdas, prom no jums pret sienu) un sākas no turienes augšup
- Sekants vienmēr ir garāks par tangensu. Slīpajām kāpnēm, ar kurām pakarināt ekrānu, ir jābūt garākām par pašu ekrānu, vai ne? (Nereālos izmēros, kad ekrāns ir ļoooti garš un kāpnes jānovieto gandrīz vertikāli, to izmēri ir gandrīz vienādi. Bet arī tad sekants būs nedaudz garāks).
Atcerieties, ka vērtības ir procentiem. Ja nolemjat pakārt ekrānu 50 grādu leņķī, iedegums(50)=1,19. Jūsu ekrāns ir par 19% lielāks nekā attālums līdz sienai (kupola rādiuss).
(Ievadiet x=0 un pārbaudiet savu intuīciju — tan(0) = 0 un sec(0) = 1.)
Kotangente un kosekante. Griesti
Neticami, jūsu kaimiņš tagad ir nolēmis uzcelt griestus virs jūsu kupola. (Kas ar viņu notiek? Acīmredzot viņš nevēlas, lai tu viņu lūrētu, kamēr viņš kails staigā pa pagalmu...)
Nu laiks būvēt izeju uz jumtu un aprunāties ar kaimiņu. Jūs izvēlaties slīpuma leņķi un sāciet būvēt:
- vertikālais attālums starp jumta izeju un grīdu vienmēr ir 1 (kupola rādiuss)
- kotangenta (x) = cot (x) = attālums starp kupola augšdaļu un izejas punktu
- kosekants(x) = csc(x) = jūsu ceļa garums uz jumtu
Tangenss un sekants raksturo sienu, bet kotangenss un kosekants raksturo grīdu.
Mūsu intuitīvie secinājumi šoreiz ir līdzīgi iepriekšējiem:
- Ja paņemat 0° leņķi, jūsu izeja uz jumtu ilgs mūžīgi, jo tā nekad nesasniegs griestus. Problēma.
- Īsākās “kāpnes” uz jumtu tiks iegūtas, ja tās uzbūvēsiet 90 grādu leņķī pret grīdu. Kotangenss būs vienāds ar 0 (mēs vispār nepārvietojamies pa jumtu, izejam stingri perpendikulāri), un kosekants būs vienāds ar 1 (“kāpņu garums” būs minimāls).
Vizualizējiet savienojumus
Ja visi trīs korpusi tiek uzzīmēti kupola-siena-grīdas kombinācijā, tiks iegūts:
Nu, oh, tas viss ir viens un tas pats trīsstūris, palielināts, lai sasniegtu sienu un griestus. Mums ir vertikālās puses (sinuss, tangenss), horizontālās puses (kosinuss, kotangenss) un “hipotenūzas” (sekants, kosekants). (No bultiņām var redzēt, cik tālu katrs elements sasniedz. Kosekants ir kopējais attālums no jums līdz jumtam).
Mazliet maģijas. Visiem trijstūriem ir vienādas vienādības:
No Pitagora teorēmas (a 2 + b 2 = c 2) redzam, kā ir savienotas katra trijstūra malas. Turklāt augstuma un platuma attiecībām jābūt vienādām visiem trijstūriem. (Vienkārši atkāpieties no lielākā trīsstūra uz mazāko. Jā, izmērs ir mainījies, bet malu proporcijas paliks nemainīgas).
Zinot, kura mala katrā trīsstūrī ir 1 (kupola rādiuss), mēs varam viegli aprēķināt, ka "sin/cos = tan/1".
Es vienmēr esmu centies atcerēties šos faktus, izmantojot vienkāršu vizualizāciju. Attēlā jūs varat skaidri redzēt šīs atkarības un saprast, no kurienes tās rodas. Šis paņēmiens ir daudz labāks nekā sauso formulu iegaumēšana.
Neaizmirstiet citus leņķus
Shh… Nav nepieciešams palikt pie viena grafika, domājot, ka tangenss vienmēr ir mazāks par 1. Ja palielināsiet leņķi, jūs varat sasniegt griestus, nesasniedzot sienu:
Pitagora savienojumi vienmēr darbojas, taču relatīvie izmēri var būt dažādi.
(Jūs droši vien esat pamanījuši, ka sinusa un kosinusa attiecība vienmēr ir mazākā, jo tie ir ietverti kupolā.)
Rezumējot: kas mums jāatceras?
Lielākajai daļai no mums es teiktu, ka ar to pietiks:
- trigonometrija izskaidro matemātisko objektu, piemēram, apļu un atkārtojošos intervālu, anatomiju
- kupola/sienu/jumta analoģija parāda saistību starp dažādām trigonometriskām funkcijām
- trigonometrisko funkciju rezultāts ir procenti, ko mēs izmantojam savam scenārijam.
Jums nav jāiegaumē tādas formulas kā 1 2 + gultiņa 2 = csc 2 . Tie ir piemēroti tikai muļķīgiem testiem, kuros zināšanas par faktu tiek pasniegtas kā tā izpratne. Veltiet minūti, lai uzzīmētu pusloku kupola, sienas un jumta formā, parakstītu elementus, un visas formulas tiks lūgtas jums uz papīra.
Pielietojums: apgrieztās funkcijas
Jebkura trigonometriskā funkcija izmanto leņķi kā ievadi un atgriež rezultātu procentos. grēks(30) = 0,5. Tas nozīmē, ka 30 grādu leņķis aizņem 50% no maksimālā augstuma.
Apgrieztā trigonometriskā funkcija ir uzrakstīta kā sin -1 vai arcsin (“arksīns”). Ir arī ierasts rakstīt asin in dažādas valodas programmēšana.
Ja mūsu augstums ir 25% no kupola augstuma, kāds ir mūsu leņķis?
Mūsu proporciju tabulā jūs varat atrast attiecību, kur sekants tiek dalīts ar 1. Piemēram, sekants ar 1 (hipotenūza pret horizontāli) būs vienāds ar 1, dalīts ar kosinusu:
Pieņemsim, ka mūsu secants ir 3,5, t.i. 350% no vienības apļa rādiusa. Kādam slīpuma leņķim pret sienu šī vērtība atbilst?
Pielikums: Daži piemēri
Piemērs: atrodiet leņķa x sinusu.
Garlaicīgs uzdevums. Sarežģīsim banālo “atrast sinusu” līdz “Kāds ir augstums procentos no maksimuma (hipotenūza)?”.
Pirmkārt, ievērojiet, ka trīsstūris ir pagriezts. Šeit nav nekā slikta. Trīsstūrim ir arī augstums, attēlā tas ir parādīts zaļā krāsā.
Ar ko ir vienāda hipotenūza? Pēc Pitagora teorēmas mēs zinām, ka:
3 2 + 4 2 = hipotenūza 2 25 = hipotenūza 2 5 = hipotenūza
Labi! Sinuss ir procentuālā daļa no augstuma no trijstūra garākās malas jeb hipotenūzas. Mūsu piemērā sinuss ir 3/5 vai 0,60.
Protams, mēs varam iet vairākos veidos. Tagad mēs zinām, ka sinuss ir 0,60, un mēs varam vienkārši atrast arcsinusu:
Asin(0,6)=36,9
Un šeit ir cita pieeja. Ņemiet vērā, ka trīsstūris ir "aci pret aci ar sienu", tāpēc sinusa vietā varam izmantot tangensu. Augstums ir 3, attālums līdz sienai ir 4, tātad tangenss ir ¾ jeb 75%. Mēs varam izmantot loka tangensu, lai pārietu no procentiem atpakaļ uz leņķi:
Tan = 3/4 = 0,75 atan(0,75) = 36,9 Piemērs: vai tu peldēsi uz krastu?
Jūs esat laivā un jums ir pietiekami daudz degvielas, lai nobrauktu 2 km. Tagad jūs esat 0,25 km attālumā no krasta. Kādā maksimālā leņķī pret krastu var piepeldēt līdz tai, lai pietiktu degvielas? Papildinājums problēmas nosacījumam: mums ir tikai loka kosinusa vērtību tabula.
Kas mums ir? Piekrastes līniju var attēlot kā "sienu" mūsu slavenajā trīsstūrī, un pie sienas piestiprināto "kāpņu garumu" var attēlot kā maksimālo iespējamo attālumu ar laivu līdz krastam (2 km). Parādās sekants.
Pirmkārt, jums ir jāpārslēdzas uz procentiem. Mums ir 2 / 0,25 = 8, kas nozīmē, ka mēs varam peldēt 8 reizes taisni līdz krastam (vai līdz sienai).
Rodas jautājums “Kas ir 8. sekants?”. Bet mēs nevaram uz to atbildēt, jo mums ir tikai loka kosinuss.
Mēs izmantojam mūsu iepriekš atvasinātās atkarības, lai kartētu sekantu ar kosinusu: “sec/1 = 1/cos”
8 sekants ir vienāds ar ⅛ kosinusu. Leņķis, kura kosinuss ir ⅛, ir acos(1/8) = 82,8. Un tas ir lielākais leņķis, ko varam atļauties laivā ar norādīto degvielas daudzumu.
Nav slikti, vai ne? Bez kupola-siena-griestu analoģijas es apjuktu virknē formulu un aprēķinu. Problēmas vizualizācija ievērojami vienkāršo risinājuma meklēšanu, turklāt ir interesanti redzēt, kura trigonometriskā funkcija galu galā palīdzēs.
Katram uzdevumam padomājiet šādi: vai mani interesē kupols (sin/cos), siena (tan/sec) vai griesti (gultiņa/csc)?
Un trigonometrija kļūs daudz patīkamāka. Viegli aprēķini jums!
Trigonometrija ir matemātikas nozare, kas pēta trigonometriskās funkcijas, kā arī to izmantošanu praksē. Šīs funkcijas ietver sinusa, kosinuss, tangenss un kotangenss.
Sinuss ir trigonometriska funkcija, pretējās kājas lieluma attiecība pret hipotenūzas lielumu.
Sinuss trigonometrijā.
Kā minēts iepriekš, sinusa ir tieši saistīta ar trigonometriju un trigonometriskajām funkcijām. Tās funkciju nosaka
- palīdzēt aprēķināt leņķi, ja ir zināmi trijstūra malu izmēri;
- palīdziet aprēķināt trijstūra malas izmēru, ja ir zināms leņķis.
Jāatceras, ka sinusa vērtība vienmēr būs vienāda jebkuram trijstūra izmēram, jo sinuss nav mērījums, bet gan attiecība.
Līdz ar to, lai šo konstanto vērtību nerēķinātu katram konkrēta uzdevuma risinājumam, tika izveidotas speciālas trigonometriskās tabulas. Tajos jau ir aprēķinātas un fiksētas sinusu, kosinusu, pieskares un kotangenšu vērtības. Parasti šīs tabulas ir norādītas algebras un ģeometrijas mācību grāmatu lapā. Tos var atrast arī internetā.
Sinuss ģeometrijā.
Ģeometrijai ir nepieciešama vizualizācija, tāpēc, lai praksē saprastu, kāds ir leņķa sinuss, jums ir jāuzzīmē trīsstūris ar taisnu leņķi.
Pieņemsim, ka malas, kas veido taisnu leņķi, ir nosauktas a, c, pretējais leņķis X.
Parasti uzdevumos ir norādīts sānu garums. Teiksim a=3, b=4. Šajā gadījumā malu attiecība izskatīsies kā ¾. Turklāt, ja mēs pagarinām trijstūra malas, kas atrodas blakus asajam leņķim X, tad sāni palielināsies A Un V, un hipotenūza ir taisnleņķa trijstūra trešā mala, kas nav taisnā leņķī pret pamatni. Tagad trijstūra malas var saukt citādi, piemēram: m, n, k.
Ar šo modifikāciju darbojās trigonometrijas likums: mainījās trijstūra malu garumi, bet to attiecība ne.
To, ka, mainot trijstūra malu garumu tik reižu, cik vēlaties un saglabājot leņķa x vērtību, tā malu attiecība joprojām paliks nemainīga, pamanīja senie zinātnieki. Mūsu gadījumā sānu garums varētu mainīties šādi: a / b \u003d ¾, kad sāns ir pagarināts A līdz 6 cm, un V- līdz 8 cm mēs iegūstam: m/n = 6/8 = 3/4.
Taisnleņķa trīsstūra malu attiecības šajā sakarā sauc:
- leņķa x sinuss ir pretējās kājas attiecība pret hipotenūzu: sinx = a/c;
- leņķa x kosinuss ir blakus esošās kājas attiecība pret hipotenūzu: cosx = w/s;
- leņķa x tangenss ir pretējās kājas attiecība pret blakus esošo: tgx \u003d a / b;
- leņķa x kotangenss ir blakus esošās kājas attiecība pret pretējo: ctgx \u003d in / a.
Kas ir leņķa sinuss, kosinuss, tangenss, kotangenss, palīdzēs jums saprast taisnleņķa trīsstūri.
Kā sauc taisnleņķa trīsstūra malas? Tieši tā, hipotenūza un kājas: hipotenūza ir puse, kas atrodas pretī taisnajam leņķim (mūsu piemērā tā ir puse \ (AC \) ); kājas ir divas atlikušās puses \ (AB \) un \ (BC \) (tās, kas atrodas blakus pareizā leņķī), turklāt, ja ņemam vērā kājas attiecībā pret leņķi \ (BC \) , tad kāja \ (AB \) ir blakus esošā kāja, bet kāja \ (BC \) ir pretēja. Tātad, tagad atbildēsim uz jautājumu: kas ir leņķa sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss?
Leņķa sinuss- šī ir pretējās (tālās) kājas attiecība pret hipotenūzu.
Mūsu trīsstūrī:
\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]
Leņķa kosinuss- šī ir blakus esošās (tuvās) kājas attiecība pret hipotenūzu.
Mūsu trīsstūrī:
\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]
Leņķa tangenss- šī ir pretējās (tālās) kājas attiecība pret blakus esošo (tuvu).
Mūsu trīsstūrī:
\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]
Leņķa kotangenss- šī ir blakus esošās (tuvās) kājas attiecība pret pretējo (tālo).
Mūsu trīsstūrī:
\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]
Šīs definīcijas ir vajadzīgas atceries! Lai būtu vieglāk atcerēties, ar ko kāju dalīt, jums tas ir skaidri jāsaprot pieskares Un kotangenss sēž tikai kājas, un hipotenūza parādās tikai iekšā sinusa Un kosinuss. Un tad jūs varat izdomāt asociāciju ķēdi. Piemēram, šis:
kosinuss→pieskāriens→pieskāriens→blakus;
Kotangente→pieskāriens→pieskāriens→blakus.
Pirmkārt, jāatceras, ka sinusa, kosinuss, tangenss un kotangenss kā trijstūra malu attiecības nav atkarīgas no šo malu garumiem (vienā leņķī). Neticu? Tad pārliecinieties, apskatot attēlu:
Apsveriet, piemēram, leņķa \(\beta \) kosinusu. Pēc definīcijas no trīsstūra \(ABC \) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), bet mēs varam aprēķināt leņķa \(\beta \) kosinusu no trijstūra \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Redziet, malu garumi ir dažādi, bet viena leņķa kosinusa vērtība ir vienāda. Tādējādi sinusa, kosinusa, pieskares un kotangences vērtības ir atkarīgas tikai no leņķa lieluma.
Ja jūs saprotat definīcijas, tad uz priekšu un labojiet tās!
Trijstūrim \(ABC \) , kas parādīts attēlā zemāk, mēs atrodam \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).
\(\begin(masīvs)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0,8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0,6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\end(masīvs) \)
Nu, vai tu saprati? Pēc tam izmēģiniet to pats: aprēķiniet to pašu leņķim \(\beta \) .
Atbildes: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).
Vienības (trigonometriskais) aplis
Izprotot pakāpes un radiāna jēdzienus, mēs uzskatījām apli, kura rādiuss ir vienāds ar \ (1 \) . Tādu apli sauc viens. Tas ir ļoti noderīgi trigonometrijas izpētē. Tāpēc mēs pie tā pakavēsimies nedaudz sīkāk.
Kā redzat, šis aplis ir veidots Dekarta koordinātu sistēmā. Apļa rādiuss ir vienāds ar vienu, kamēr apļa centrs atrodas sākumā, rādiusa vektora sākotnējā pozīcija ir fiksēta \(x \) ass pozitīvā virzienā (mūsu piemērā tas ir rādiuss \(AB \) ).
Katrs apļa punkts atbilst diviem skaitļiem: koordinātei pa asi \(x \) un koordinātei pa asi \(y \) . Kādi ir šie koordinātu skaitļi? Un vispār, kāds viņiem sakars ar aplūkojamo tēmu? Lai to izdarītu, atcerieties par uzskatīto taisnleņķa trīsstūri. Augšējā attēlā jūs varat redzēt divus veselus taisnstūra trīsstūrus. Apsveriet trīsstūri \(ACG \) . Tas ir taisnstūrveida, jo \(CG \) ir perpendikulāra \(x \) asij.
Kas ir \(\cos \ \alpha \) no trīsstūra \(ACG \)? Pareizi \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Turklāt mēs zinām, ka \(AC \) ir vienības apļa rādiuss, tāpēc \(AC=1 \) . Aizstājiet šo vērtību mūsu kosinusa formulā. Lūk, kas notiek:
\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).
Un kas ir \(\sin \ \alpha \) no trīsstūra \(ACG \)? Nu protams, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC) \)! Aizvietojiet rādiusa vērtību \ (AC \) šajā formulā un iegūstiet:
\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)
Tātad, vai varat man pateikt, kādas ir apļa punkta \(C \) koordinātas? Nu, nekādā gadījumā? Bet ko darīt, ja saprotat, ka \(\cos \ \alpha \) un \(\sin \alpha \) ir tikai skaitļi? Kādai koordinātei atbilst \(\cos \alpha \)? Nu, protams, koordināte \(x \) ! Un kādai koordinātei atbilst \(\sin \alpha \)? Tieši tā, \(y \) koordināte! Tātad punkts \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).
Kas tad ir \(tg \alpha \) un \(ctg \alpha \)? Tieši tā, izmantosim atbilstošās pieskares un kotangensa definīcijas un iegūsim to \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).
Ko darīt, ja leņķis ir lielāks? Šeit, piemēram, kā šajā attēlā:
Kas šajā piemērā ir mainījies? Izdomāsim. Lai to izdarītu, mēs atkal vēršamies pie taisnleņķa trīsstūra. Apsveriet taisnleņķa trīsstūri \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : leņķi (kā blakus leņķim \(\beta \) ). Kāda ir sinusa, kosinusa, pieskares un kotangensa vērtība leņķim \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Tieši tā, mēs ievērojam atbilstošās trigonometrisko funkciju definīcijas:
\(\begin(masīvs)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\angle ((C) )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(masīvs) \)
Nu, kā redzat, leņķa sinusa vērtība joprojām atbilst koordinātei \ (y \) ; leņķa kosinusa vērtība - koordināte \ (x \) ; un pieskares un kotangences vērtības attiecīgajām attiecībām. Tādējādi šīs attiecības ir piemērojamas jebkurai rādiusa vektora rotācijai.
Jau minēts, ka rādiusa vektora sākuma pozīcija ir pa \(x \) ass pozitīvo virzienu. Līdz šim mēs esam pagriezuši šo vektoru pretēji pulksteņrādītāja virzienam, bet kas notiek, ja mēs to pagriežam pulksteņrādītāja virzienā? Nekas ārkārtējs, iegūsi arī noteikta izmēra leņķi, bet tikai tas būs negatīvs. Tādējādi, pagriežot rādiusa vektoru pretēji pulksteņrādītāja virzienam, mēs iegūstam pozitīvie leņķi, un, griežot pulksteņrādītāja virzienā - negatīvs.
Tātad, mēs zinām, ka viss rādiusa vektora apgrieziens ap apli ir \(360()^\circ \) vai \(2\pi \) . Vai ir iespējams pagriezt rādiusa vektoru par \(390()^\circ \) vai par \(-1140()^\circ \)? Nu, protams, ka vari! Pirmajā gadījumā \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), tāpēc rādiusa vektors veiks vienu pilnu apgriezienu un apstāsies pie \(30()^\circ \) vai \(\dfrac(\pi )(6) \) .
Otrajā gadījumā \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), tas ir, rādiusa vektors veiks trīs pilnus apgriezienus un apstāsies pozīcijā \(-60()^\circ \) vai \(-\dfrac(\pi )(3) \) .
Tādējādi no iepriekš minētajiem piemēriem mēs varam secināt, ka leņķi, kas atšķiras par \(360()^\circ \cdot m \) vai \(2\pi \cdot m \) (kur \(m \) ir jebkurš vesels skaitlis ) atbilst vienai un tai pašai rādiusa vektora pozīcijai.
Zemāk redzamajā attēlā redzams leņķis \(\beta =-60()^\circ \) . Tas pats attēls atbilst stūrim \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) utt. Šo sarakstu var turpināt bezgalīgi. Visus šos leņķus var uzrakstīt ar vispārīgo formulu \(\beta +360()^\circ \cdot m \) vai \(\beta +2\pi \cdot m \) (kur \(m \) ir jebkurš vesels skaitlis)
\(\begin(masīvs)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(masīvs) \)
Tagad, zinot trigonometrisko pamatfunkciju definīcijas un izmantojot vienības apli, mēģiniet atbildēt, ar ko vērtības ir vienādas:
\(\begin(masīvs)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(masīvs) \)
Šeit ir vienības aplis, kas jums palīdzēs:
Vai ir kādas grūtības? Tad izdomāsim. Tātad mēs zinām, ka:
\(\begin(masīvs)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(masīvs) \)
No šejienes mēs nosakām to punktu koordinātas, kas atbilst noteiktiem leņķa mēriem. Nu, sāksim secībā: stūris iekšā \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) atbilst punktam ar koordinātām \(\left(0;1 \right) \) , tāpēc:
\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;
\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;
\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\RightArrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- neeksistē;
\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).
Turklāt, ievērojot to pašu loģiku, mēs atklājam, ka stūri ir iekšā \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) atbilst punktiem ar koordinātām \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \pa labi) \), attiecīgi. Zinot to, ir viegli noteikt trigonometrisko funkciju vērtības attiecīgajos punktos. Vispirms izmēģiniet to pats, pēc tam pārbaudiet atbildes.
Atbildes:
\(\displaystyle \sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)
\(\displaystyle \cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =-1 \)
\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\bultiņa pa labi \text(ctg)\ \pi \)- neeksistē
\(\sin \ 270()^\circ =-1 \)
\(\cos \ 270()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\bultiņa pa labi \text(tg)\ 270()^\circ \)- neeksistē
\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\sin \ 360()^\circ =0 \)
\(\cos \ 360()^\circ =1 \)
\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\bultiņa pa labi \text(ctg)\ 2\pi \)- neeksistē
\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)
\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Labā bultiņa \text(tg)\ 450()^\circ \)- neeksistē
\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).
Tādējādi mēs varam izveidot šādu tabulu:
Nav nepieciešams atcerēties visas šīs vērtības. Pietiek atcerēties atbilstību starp punktu koordinātām uz vienības apļa un trigonometrisko funkciju vērtībām:
\(\left. \begin(masīvs)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(masīvs) \right\)\ \text(Jāatceras vai jāspēj izvadīt!! \) !}
Un šeit ir un leņķu trigonometrisko funkciju vērtības \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4) \) norādīts zemāk esošajā tabulā, jums jāatceras:
Nav jābaidās, tagad mēs parādīsim vienu no piemēriem diezgan vienkāršai atbilstošo vērtību iegaumēšanai:
Lai izmantotu šo metodi, ir svarīgi atcerēties sinusa vērtības visiem trim leņķa mēriem ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3) \)), kā arī leņķa pieskares vērtību \(30()^\circ \) . Zinot šīs \(4\) vērtības, ir diezgan viegli atjaunot visu tabulu - kosinusa vērtības tiek pārsūtītas saskaņā ar bultiņām, tas ir:
\(\begin(masīvs)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3) ))(2)\ \end(masīvs) \)
\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), to zinot, ir iespējams atjaunot vērtības priekš \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Skaitītājs “\(1 \) ” atbildīs \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) , un saucējs “\(\sqrt(\text(3)) \) ” atbildīs \ (\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . Kotangentes vērtības tiek pārsūtītas saskaņā ar attēlā redzamajām bultiņām. Ja jūs to saprotat un atceraties shēmu ar bultiņām, tad no tabulas pietiks atcerēties tikai \(4 \) vērtības.
Apļa punkta koordinātas
Vai ir iespējams atrast apļa punktu (tā koordinātes), zinot apļa centra koordinātas, tā rādiusu un griešanās leņķi? Nu, protams, ka vari! Izcelsim vispārējā formula lai atrastu punkta koordinātas. Šeit, piemēram, ir šāds aplis:
Mums ir dots šis punkts \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \) ir apļa centrs. Apļa rādiuss ir \(1,5 \) . Jāatrod punkta \(P \) koordinātas, kas iegūtas, pagriežot punktu \(O \) par \(\delta \) grādiem.
Kā redzams no attēla, punkta \ (P \) koordināte \ (x \) atbilst segmenta \ garumam (TP=UQ=UK+KQ \) . Nozares garums \ (UK \) atbilst apļa centra koordinātei \ (x \), tas ir, tas ir vienāds ar \ (3 \) . Segmenta \(KQ \) garumu var izteikt, izmantojot kosinusa definīciju:
\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).
Tad mums ir šī punkta \(P \) koordināte \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).
Ar to pašu loģiku mēs atrodam punkta \(P \) y koordinātas vērtību. Tādējādi
\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).
Tātad iekšā vispārējs skats punktu koordinātas nosaka pēc formulas:
\(\begin(masīvs)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(masīvs) \), Kur
\(((x)_(0)),(y)_(0)) \) - apļa centra koordinātas,
\(r\) - apļa rādiuss,
\(\delta \) - vektora rādiusa rotācijas leņķis.
Kā redzat, aplūkojamajam vienības aplim šīs formulas ir ievērojami samazinātas, jo centra koordinātas ir nulle un rādiuss ir vienāds ar vienu:
\(\begin(masīvs)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(masīvs) \)
Javascript jūsu pārlūkprogrammā ir atspējots.Lai veiktu aprēķinus, ir jāiespējo ActiveX vadīklas!
