Kopas Kopu teorijas elementi. Operācijas komplektos
Es neatceros, kad pirmo reizi uzzināju par topoloģiju, bet šī zinātne mani uzreiz ieinteresēja. Tējkanna pārvēršas par virtuli, sfēra apgriežas ar iekšpusi. Daudzi par to ir dzirdējuši. Bet tiem, kas vēlas šajā tēmā iedziļināties nopietnākā līmenī, bieži ir grūtības. Tas jo īpaši attiecas uz visvienkāršāko jēdzienu apgūšanu, kas pēc savas būtības ir ļoti abstrakti. Turklāt šķiet, ka daudzi avoti apzināti mēģina mulsināt lasītāju. Pieņemsim, ka krievu wiki sniedz ļoti neskaidru formulējumu par to, ko dara topoloģija. Tur teikts, ka tā ir zinātne, kas pēta topoloģiskās telpas. Rakstā par topoloģiskām telpām lasītājs var uzzināt, ka topoloģiskās telpas ir telpas, kas aprīkotas ar topoloģija. Šādi skaidrojumi Lemova sepulu stilā īsti neizskaidro tēmas būtību. Tālāk centīšos skaidrāk izklāstīt galvenos pamatjēdzienus. Manā piezīmē nebūs pārveidojošu tējkannu un bageļu, taču tiks sperti pirmie soļi, kas galu galā ļaus apgūt šo burvību.
Taču, tā kā neesmu matemātiķis, bet gan 100% humānists, tad pilnīgi iespējams, ka zemāk rakstītais ir meli! Nu, vai vismaz daļa no tā.
Vispirms es uzrakstīju šo piezīmi kā sākumu rakstu sērijai par topoloģiju saviem humanitārajiem draugiem, taču neviens no viņiem to nesāka lasīt. Es nolēmu publicēt laboto un paplašināto versiju Habr. Man likās, ka šeit ir zināma interese par šo tēmu un šāda veida raksti vēl nav bijuši. Jau iepriekš paldies par komentāriem par kļūdām un neprecizitātēm. Brīdinu, ka izmantoju daudz attēlu.
Sāksim ar īsu kopu teorijas kopsavilkumu. Es domāju, ka lielākā daļa lasītāju ir pazīstami ar to, bet tomēr es jums atgādināšu pamatus.
Tātad tiek uzskatīts, ka komplektam nav definīcijas un ka mēs intuitīvi saprotam, kas tas ir. Kantors teica šādi: “Zem “kopas” mēs domājam noteiktu mūsu kontemplācijas vai mūsu domāšanas objektu m apvienojumu noteiktā veselumā M (kurus sauksim par kopas M “elementiem”)”. Protams, tas ir tikai alegorisks apraksts, nevis matemātiska definīcija.
Kopu teorija ir pazīstama ar daudziem pārsteidzošiem paradoksiem (atvainojiet par vārdu spēli). Piemēram . Tas ir saistīts arī ar matemātikas krīzi 20. gadsimta sākumā.
Kopu teorija pastāv vairākos variantos, piemēram, ZFC vai NBG un citos. Teorijas variants ir tipu teorija, kas programmētājiem ir ļoti svarīga. Visbeidzot, daži matemātiķi iesaka izmantot kategoriju teoriju kā matemātikas pamatu kopu teorijas vietā, par kuru daudz ir rakstīts par Habrē. Tipu teorija un kopu teorija apraksta matemātiskos objektus it kā "no iekšpuses", savukārt kategoriju teoriju neinteresē to iekšējā struktūra, bet tikai tas, kā tie mijiedarbojas, t.i. piešķir to "ārējās" īpašības.
Mums ir svarīgi tikai paši kopu teorijas pamati.
Komplekti ir ierobežoti.
Tās ir bezgalīgas. Piemēram, veselu skaitļu kopa, kas tiek apzīmēta ar burtu ℤ (vai tikai Z, ja tastatūrā nav cirtainu burtu).
Visbeidzot, ir tukšs komplekts. Tas ir tieši viens visā Visumā. Šim faktam ir vienkāršs pierādījums, bet es to šeit nesniegšu.
Ja kopums ir bezgalīgs, tas notiek saskaitāms. Saskaitāmas - tās kopas, kuru elementus var pārnumurēt ar naturāliem skaitļiem. Arī pati naturālo skaitļu kopa, jūs uzminējāt, ir saskaitāma. Lūk, kā uzskaitīt veselus skaitļus.
Ar racionāliem skaitļiem ir grūtāk, bet tos var arī numurēt. Šo metodi sauc diagonāls process un izskatās kā attēlā zemāk.
Mēs zigzagojam pa racionālajiem skaitļiem, sākot no 1. Tajā pašā laikā katram iegūtajam skaitlim tiek piešķirts pāra skaitlis. Negatīvie racionālie skaitļi tiek skaitīti tādā pašā veidā, tikai skaitļi ir nepāra, sākot ar 3. Nulle tradicionāli iegūst pirmo skaitli. Tādējādi ir skaidrs, ka visus racionālos skaitļus var numurēt. Visi skaitļi, piemēram, 4,87592692976340586068 vai 1,00000000000001 vai -9092 vai pat 42, iegūst savu numuru šajā tabulā. Tomēr šeit nav iekļauti visi skaitļi. Piemēram, √2 nesaņems skaitli. Savulaik tas grieķus ļoti apbēdināja. Viņi saka, ka puisis, kurš atklāja neracionālus skaitļus, noslīka.
Kopu lieluma jēdziena vispārinājums ir jauda. Galīgo kopu kardinalitāte ir vienāda ar to elementu skaitu. Bezgalīgo kopu kardinalitāti apzīmē ar ebreju burtu aleph ar indeksu. Mazākais bezgalīgais spēks ir spēks ℵ 0 . Tas ir vienāds ar saskaitāmo kopu kardinalitāti. Tātad, kā mēs redzam, naturālo skaitļu ir tik daudz, cik veselu vai racionālu skaitļu. Dīvaini, bet patiesi. Nākamais ir spēks kontinuums. To apzīmē ar nelielu gotisko burtu c. Tā ir, piemēram, reālo skaitļu kopas ℝ kardinalitāte. Pastāv hipotēze, ka kontinuuma spēks ir vienāds ar jaudu ℵ 1 . Tas ir, ka šī ir nākamā kardinalitāte pēc saskaitāmo kopu kardinalitātes, un starp saskaitāmajām kopām un kontinuumu nav starpposma kardinalitātes.
Var veikt dažādas operācijas ar komplektiem un iegūt jaunas kopas.
1. Komplektus var kombinēt.
3. Varat meklēt kopu krustpunktu.
Patiesībā tas viss attiecas uz komplektiem, kas jums jāzina šīs piezīmes vajadzībām. Tagad mēs varam pāriet pie pašas topoloģijas.
Topoloģija ir zinātne, kas pēta kopas ar noteiktu struktūru. Šo struktūru sauc arī par topoloģiju.
Ļaujiet mums izveidot netukšu kopu S.
Lai šai kopai ir kāda struktūra, kas aprakstīta, izmantojot kopu, ko mēs sauksim par T. T ir kopas S apakškopu kopa, kurā:
1. Pats S un ∅ pieder T.
2. Jebkura patvaļīgu elementu saime T pieder pie T.
3. Patvaļīgas krustpunkts galīgais elementu saime T pieder pie T.
Ja šie trīs punkti ir spēkā, tad mūsu struktūra ir T topoloģija uz kopas S. Kopas T elementus sauc atvērts kopas uz S topoloģijā T. Papildinājums atvērtajām kopām ir slēgts komplekti. Ir svarīgi atzīmēt, ka, ja komplekts ir atvērts, tas nenozīmē, ka tas nav aizvērts un otrādi. Turklāt noteiktā kopā attiecībā uz kādu topoloģiju var būt apakškopas, kas nav ne atvērtas, ne slēgtas.
Ņemsim piemēru. Pieņemsim, ka mums ir komplekts, kas sastāv no trīs krāsainiem trīsstūriem.
Tiek saukta vienkāršākā topoloģija antidiskrēta topoloģija. Šeit viņa ir.
Šo topoloģiju sauc arī par topoloģiju lipīgi punktiņi. Tas sastāv no paša komplekta un tukšā komplekta. Tas patiešām apmierina topoloģijas aksiomas.
Vienā komplektā var definēt vairākas topoloģijas. Šeit ir vēl viena ļoti primitīva topoloģija, kas notiek. To sauc par diskrētu. Tā ir topoloģija, kas sastāv no visām noteiktās kopas apakškopām.
Un šeit ir topoloģija. Tas ir dots uz 7 daudzkrāsainu zvaigžņu komplekta S, ko esmu atzīmējis ar burtiem. Pārliecinieties, vai tā ir topoloģija. Es neesmu pārliecināts par šo, pēkšņi es palaidu garām kaut kādu savienību vai krustojumu. Šajā attēlā ir jābūt pašai kopai S, tukšajai kopai, visu pārējo topoloģijas elementu krustpunktiem un savienojumiem arī jābūt attēlā.
Pāris no topoloģijas un kopas, uz kuras tā ir dota, tiek izsaukta topoloģiskā telpa.
Ja komplektā ir daudz punktu (nemaz nerunājot par to, ka to var būt bezgalīgi daudz), tad visu atvērto kopu uzskaitīšana var būt problemātiska. Piemēram, lai izveidotu diskrētu topoloģiju trīs elementu kopai, jums ir jāizveido 8 kopu saraksts. Un 4 elementu kopai diskrētajā topoloģijā jau būs 16, 5 - 32, 6 -64 utt. Lai neuzskaitītu visas atvērtās kopas, tiek izmantots sava veida saīsinātais apzīmējums - tiek izrakstīti tie elementi, kuru savienības var dot visas atvērtās kopas. Tas tiek saukts bāze topoloģija. Piemēram, trīs trīsstūru diskrētai telpas topoloģijai tie būs trīs atsevišķi ņemti trīsstūri, jo, tos apvienojot, var iegūt visas pārējās atvērtās kopas šajā topoloģijā. Tiek uzskatīts, ka bāze ģenerē topoloģiju. Kopu, kuras elementi ģenerē bāzi, sauc par priekšbāzi.
Tālāk ir sniegts diskrētas topoloģijas bāzes piemērs piecu zvaigžņu kopai. Kā redzat, šajā gadījumā bāze sastāv tikai no pieciem elementiem, savukārt topoloģijai ir pat 32 apakškopas. Piekrītu, izmantot bāzi, lai aprakstītu topoloģiju, ir daudz ērtāk.
Kam paredzēti atvērtie komplekti? Savā ziņā tie sniedz priekšstatu par punktu "tuvumu" un atšķirību starp tiem. Ja punkti pieder divām dažādām atvērtām kopām vai ja viens punkts atrodas atvērtā kopā, kas nesatur otru, tad tie ir topoloģiski atšķirīgi. Antidiskrētajā topoloģijā visi punkti šajā ziņā nav atšķirami, šķiet, ka tie turas kopā. Un otrādi, diskrētajā topoloģijā Visi punkti ir dažādi.
Atvērtās kopas jēdziens ir nesaraujami saistīts ar jēdzienu apkārtne. Daži autori topoloģiju definē nevis kā atvērtās kopas, bet gan apkaimes. Punkta p apkārtne ir kopa, kurā atrodas šajā punktā centrēta atvērtā bumbiņa. Piemēram, zemāk esošajā attēlā ir parādīti punktu apkaimes un ne-apkaimes. Kopa S 1 ir punkta p apkārtne, bet kopa S 2 nav.
Attiecības starp atklāto kopu un oktestitāti var formulēt šādi. Atvērtā kopa ir tāda kopa, kuras katram elementam ir kāda apkārtne, kas atrodas dotajā kopā. Vai otrādi, var teikt, ka kopa ir atvērta, ja tā ir kāda tās punkta apkārtne.
Visi šie ir visvienkāršākie topoloģijas jēdzieni. No šejienes vēl nav skaidrs, kā pagriezt sfēras uz āru. Varbūt nākotnē man izdosies tikt līdz šāda veida tēmām (ja pati izdomāšu).
UPD. Manas runas neprecizitātes dēļ radās zināma neskaidrība par komplektu kardinalitātēm. Esmu nedaudz izlabojis savu tekstu un šeit vēlos sniegt paskaidrojumu. Kantors, veidojot savu kopu teoriju, ieviesa kardinalitātes jēdzienu, kas ļāva salīdzināt bezgalīgas kopas. Kantors konstatēja, ka saskaitāmo kopu (piemēram, racionālo skaitļu) un kontinuuma (piemēram, reālo skaitļu) kardinalitātes atšķiras. Viņš ierosināja, ka kontinuuma kardinalitāte ir nākamā pēc saskaitāmo kopu kardinalitātes, t.i. ir vienāds ar aleph-one. Kantors mēģināja pierādīt šo minējumu, taču nesekmīgi. Vēlāk kļuva skaidrs, ka šo hipotēzi nevar nedz atspēkot, nedz pierādīt.
Komplekta jēdziens ir sākotnējais, stingri nedefinēts jēdziens. Sniegsim šeit G. Kantoram piederošās kopas definīciju (precīzāk, kopas idejas skaidrojumu): “Zem šķirnes vai kopas es domāju kopumā visas daudzās lietas, par kurām var domāt. no kā vienota, t.i., tādu noteiktu elementu kopumu, ko ar viena likuma palīdzību var savienot vienā veselumā."
Kopas, kā likums, tiks apzīmētas ar latīņu alfabēta lielajiem burtiem, bet to elementus ar mazajiem burtiem, lai gan dažreiz no šīs konvencijas būs jāatkāpjas, jo noteiktas kopas elementi var būt citas kopas. Fakts, ka elements a pieder kopai, tiek rakstīts kā .
Matemātikā mēs nodarbojamies ar visdažādākajām kopām. Šo kopu elementiem mēs izmantojam divus galvenos apzīmējumu veidus: konstantes un mainīgos.
Individuāla konstante (vai tikai konstante) ar diapazonu apzīmē fiksētu kopas elementu. Tādi, piemēram, ir reālo skaitļu apzīmējumi (ieraksti noteiktā skaitļu sistēmā):. Divām konstantēm un ar vērtību diapazonu mēs rakstīsim , kas nozīmē ar tām apzīmēto kopas elementu sakritību.
Atsevišķs mainīgais (vai tikai mainīgais) ar diapazonu apzīmē patvaļīgu, nevis iepriekš noteiktu kopas elementu. Šajā gadījumā viņi saka, ka mainīgais iet cauri kopai vai mainīgais komplektā iegūst patvaļīgas vērtības. Varat labot mainīgā lieluma vērtību, rakstot , kur ir konstante ar tādu pašu diapazonu kā . Šajā gadījumā viņi saka, ka mainīgā vietā tika aizstāta tā īpašā vērtība vai tā vietā tika veikta aizstāšana, vai mainīgais ieguva vērtību .
Mainīgo vienlīdzība tiek saprasta šādi: ikreiz, kad mainīgais iegūst patvaļīgu vērtību, mainīgais iegūst to pašu vērtību un otrādi. Tādējādi vienādi mainīgie "sinhroni" vienmēr iegūst vienas un tās pašas vērtības.
Parasti konstantes un mainīgos, kuru diapazons ir noteikta skaitliskā kopa, proti, viena no kopām un , sauc attiecīgi par naturālām, veselām (vai veselām) konstantēm, reālajām un kompleksajām konstantēm un mainīgajiem. Diskrētās matemātikas gaitā izmantosim dažādas konstantes un mainīgos, kuru diapazons ne vienmēr ir skaitliska kopa.
Lai saīsinātu ierakstu, mēs izmantosim loģisko simboliku, kas ļauj īsi rakstīt apgalvojumus, piemēram, formulas. Izteikuma jēdziens nav definēts. Ir tikai norādīts, ka jebkurš apgalvojums var būt patiess vai nepatiess (protams, ne abi vienlaicīgi!).
Loģiskās darbības (iesiešanas) uz kopām
Lai izveidotu jaunus paziņojumus no esošajiem paziņojumiem, tiek izmantotas šādas loģiskās darbības (vai loģiskie savienojumi).
1. Disjunkcija: apgalvojums (lasi: "vai") ir patiess tad un tikai tad, ja vismaz viens no apgalvojumiem un ir patiess.
2. Saiklis: apgalvojums (lasi: "un") ir patiess tad un tikai tad, ja abi apgalvojumi un ir patiesi.
3. Noliegums: apgalvojums (lasi: "nē") ir patiess tad un tikai tad, ja tas ir nepatiess.
4. Implikācija: apgalvojums (lasi: "ja, tad" vai "nozīmē") ir patiess tad un tikai tad, ja apgalvojums ir patiess vai abi apgalvojumi ir nepatiesi.
5. Ekvivalence (vai ekvivalence): apgalvojums (lasīt: "ja un tikai tad, ja") ir patiess tad un tikai tad, ja abi apgalvojumi un ir vai nu vienlaikus patiesi, vai vienlaikus nepatiesi. Jebkurus divus apgalvojumus un tādus, kas ir patiesi, sauc par loģiski ekvivalentiem vai ekvivalentiem.
Rakstot paziņojumus, izmantojot loģiskās darbības, mēs pieņemam, ka secību, kādā visas darbības tiek veiktas, nosaka iekavu izvietojums. Lai vienkāršotu pierakstu, iekavas bieži tiek izlaistas, vienlaikus pieņemot noteiktu darbību secību ("prioritātes konvenciju").
Noliegšanas darbība vienmēr tiek veikta vispirms, un tāpēc tā netiek ievietota iekavās. Otrais veic konjunkcijas, pēc tam disjunkcijas un visbeidzot implikācijas un ekvivalences darbību. Piemēram, paziņojums ir uzrakstīts šādi: Šis apgalvojums ir divu apgalvojumu disjunkcija: pirmais ir noliegums, bet otrais ir. Turpretim priekšlikums ir noliegums no priekšlikumiem un .
Piemēram, paziņojumam pēc iekavās ievietošanas atbilstoši prioritātēm būs forma
Ļaujiet mums sniegt dažus komentārus par iepriekš ieviestajiem loģiskajiem savienojumiem. Disjunkcijas, konjunkcijas un nolieguma jēgpilnai interpretācijai nav nepieciešami īpaši skaidrojumi. Implikācija pēc definīcijas ir patiesa ikreiz, kad apgalvojums ir patiess (neatkarīgi no patiesības), un abi ir nepatiesi. Tādējādi, ja norāde ir patiesa, tad, kad tā ir patiesa, patiesība notiek, bet pretējais var nebūt patiess, t.i. ja apgalvojums ir nepatiess, apgalvojums var būt patiess vai nepatiess. Tas motivē implikācijas lasīšanu "ja , tad" formā. Ir arī viegli saprast, ka priekšlikums ir līdzvērtīgs priekšlikumam un tādējādi jēgpilni "ja , tad" tiek identificēts ar "ne vai".
Ekvivalence nav nekas cits kā "divpusēja implikācija", t.i. ir līdzvērtīgs . Tas nozīmē, ka patiesība izriet no patiesības un, otrādi, patiesība izriet no patiesības.
Piemērs 1.1. Sarežģīta apgalvojuma patiesuma vai nepatiesuma noteikšanai atkarībā no tajā ietverto apgalvojumu patiesuma vai nepatiesības tiek izmantotas patiesuma tabulas.
Tabulas pirmajās divās kolonnās ir visas iespējamās vērtību kopas, kuras var pieņemt paziņojumos un. Apgalvojuma patiesumu norāda burts "I" jeb cipars 1, bet nepatiesību - burts "L" vai cipars 0. Pārējās ailes aizpilda no kreisās uz labo pusi. Tātad katrai vērtību kopai un atrodiet atbilstošās paziņojumu vērtības.
Loģisko darbību patiesības tabulām ir visvienkāršākā forma (1.1.-1.5. tabula).
Apskatīsim sarežģītu apgalvojumu. Aprēķinu ērtībai mēs apgalvojumu apzīmējam ar , paziņojumu ar , un sākotnējo paziņojumu rakstām kā . Šī apgalvojuma patiesuma tabula sastāv no kolonnām un (1.6. tabula).
Predikāti un kvantori
Saliktie apgalvojumi tiek veidoti ne tikai ar loģisku savienojumu palīdzību, bet arī ar predikātu un kvantoru palīdzību.
Predikāts ir paziņojums, kas satur vienu vai vairākus atsevišķus mainīgos. Piemēram, "ir pāra skaitlis" vai "ir Baumaņa vārdā nosaukts Maskavas Valsts tehniskās universitātes students, kurš iestājās 1999. gadā". Pirmajā predikātā ir vesels skaitlis mainīgais, otrajā - mainīgais, kas iet cauri "cilvēku indivīdu" kopai. Predikāta, kurā ir vairāki atsevišķi mainīgie, piemērs ir: "ir dēls", "un mācās vienā grupā", "dalās ar", "ir mazāks par" utt. Predikāti tiks rakstīti formā , pieņemot, ka visi mainīgie, kas iekļauti dotajā predikātā, ir uzskaitīti iekavās.
Katram predikātā iekļautajam mainīgajam aizvietojot konkrētu vērtību, t.i. fiksējot vērtības, kur ir dažas konstantes ar atbilstošo vērtību diapazonu, mēs iegūstam paziņojumu, kas nesatur mainīgos. Piemēram, "2 ir pāra skaitlis", "Īzaks Ņūtons ir Baumaņa vārdā nosauktās Maskavas Valsts tehniskās universitātes students, kurš iestājās 1999. gadā", "Ivanovs ir Petrova dēls", "5 dalās ar 7", utt. Atkarībā no tā, vai šādi iegūtais apgalvojums ir patiess vai nepatiess, tiek uzskatīts, ka predikāts ir izpildīts vai nav apmierināts mainīgo lielumu vērtību kopā. Predikātu, kas ir apmierināts ar jebkuru tajā iekļauto mainīgo lielumu kopu, sauc par identiski patiesu, un predikātu, kas nav apmierināts nevienai tā mainīgo vērtību kopai, sauc par identiski nepatiesu.
Paziņojumu no predikāta var iegūt ne tikai, aizstājot tā mainīgo vērtības, bet arī ar kvantoru palīdzību. Tiek ieviesti divi kvantori - esamība un universālums, ko attiecīgi apzīmē ar un.
Priekšlikums ("katram kopas elementam ir patiess" vai, īsāk sakot, "visam ir patiess") pēc definīcijas ir patiess tad un tikai tad, ja predikāts ir patiess katrai mainīgā vērtībai.
Apgalvojums ("ir vai ir tāds kopas elements, kas ir patiess", arī "dažiem ir patiess") pēc definīcijas ir patiess tad un tikai tad, ja predikāts ir apmierināts ar dažām kopas vērtībām. mainīgais.
Predikātu mainīgo saistīšana ar kvantoriem
Kad apgalvojums tiek veidots no predikāta ar kvantatora palīdzību, tiek teikts, ka predikāta mainīgais ir saistīts ar kvantoru. Tāpat mainīgie ir saistīti predikātos, kas satur vairākus mainīgos. Vispārīgā gadījumā formas izteiksmes
kur jebkuru no kvantoriem vai katru burtu var aizstāt ar indeksu.
Piemēram, apgalvojums skan šādi: "katram ir tas, kas ir patiess". Ja kopas, kas iet cauri predikātu mainīgajiem, ir fiksētas (kas nozīmē "pēc noklusējuma"), tad kvantori tiek rakstīti saīsinātā formā: vai .
Ņemiet vērā, ka daudzas matemātiskās teorēmas var uzrakstīt tādā formā, kas ir līdzīga apgalvojumiem ar tikko dotajiem kvantoriem, piemēram: "tas ir taisnība visiem un visiem: ja funkcija ir diferencējama punktā, tad funkcija ir nepārtraukta punkts".
Kopu norādīšanas veidi
Apsprieduši loģiskās simbolikas izmantošanas iezīmes, atgriezīsimies pie kopu izskatīšanas.
Divas kopas un tiek uzskatītas par vienādām, ja kāds kopas elements ir kopas elements un otrādi. No iepriekš minētās vienādu kopu definīcijas izriet, ka kopu pilnībā nosaka tās elementi.
Apskatīsim veidus, kā norādīt betona komplektus. Galīgai kopai, kuras elementu skaits ir salīdzinoši neliels, var izmantot elementu tiešās uzskaitīšanas metodi. Ierobežotas kopas elementi ir uzskaitīti cirtainos iekavās patvaļīgā fiksētā secībā. Uzsveram, ka, tā kā kopu pilnībā nosaka tās elementi, tad, norādot galīgo kopu, tās elementu uzskaites secībai nav nozīmes. Tāpēc ieraksti utt. visi definē vienu un to pašu kopu. Turklāt dažkārt kopu apzīmējumos tiek izmantoti elementu atkārtojumi. Mēs pieņemsim, ka ieraksts definē to pašu kopu kā ieraksts .
Vispārīgā gadījumā ierobežotai kopai izmanto apzīmējumu. Kā likums, elementu atkārtošanās tiek novērsta. Tad ar apzīmējumu dotā galīgā kopa sastāv no elementiem. To sauc arī par n-elementu kopu.
Tomēr kopas noteikšanas metode, tieši uzskaitot tās elementus, ir piemērojama ļoti šaurā ierobežoto kopu diapazonā. Vispārīgākais veids, kā norādīt konkrētas kopas, ir norādīt kādu īpašību, kam jābūt visiem aprakstītās kopas elementiem un tikai tiem.
Šī ideja tiek īstenota sekojošā veidā. Ļaujiet mainīgajam diapazonam pāri noteiktai kopai, ko sauc par universālo kopu. Mēs pieņemam, ka tiek uzskatītas tikai tādas kopas, kuru elementi ir arī kopas elementi. Šajā gadījumā īpašību, kas piemīt tikai noteiktas kopas elementiem, var izteikt ar predikāta palīdzību, kas tiek izpildīts tad un tikai tad, ja mainīgais no kopas iegūst patvaļīgu vērtību. Citiem vārdiem sakot, taisnība tad un tikai tad, ja individuālā konstante ir aizstāta ar .
Predikātu šajā gadījumā sauc par kopas raksturīgo predikātu, un īpašību, kas izteikta ar šī predikāta palīdzību, sauc par raksturīgo īpašību jeb kolektivizējošo īpašību.
Kopa, kas definēta, izmantojot raksturīgo predikātu, ir uzrakstīta šādā formā:
Piemēram, tas nozīmē, ka "ir kopa, kas sastāv no visiem elementiem tā, ka katrs no tiem ir pāra naturāls skaitlis".
Termins "īpašuma kolektivizācija" ir motivēts ar to, ka šis īpašums ļauj apkopot atšķirīgus elementus vienā veselumā. Tādējādi īpašums, kas definē kopu (skatīt zemāk), burtiski veido sava veida "kolektīvu":
Ja atgriežamies pie Kantora kopas definīcijas, tad kopas raksturīgais predikāts ir likums, ar kuru elementu kopa tiek apvienota vienotā veselumā. Predikāts, kas norāda kolektivizējošo īpašību, var būt identiski nepatiess. Šādi definētai kopai nebūs elementu. To sauc par tukšo kopu un apzīmē ar .
Turpretim identiski patiess raksturīgs predikāts definē universālu kopu.
Ņemiet vērā, ka ne katrs predikāts izsaka kādu kolektivizējošo īpašību.
Piezīme 1.1. Universālās kopas jēdziena konkrēto saturu nosaka konkrētais konteksts, kurā mēs pielietojam kopu teorētiskās idejas. Piemēram, ja mēs nodarbojamies tikai ar dažādām skaitliskām kopām, tad visu reālo skaitļu kopa var parādīties kā universāla. Katra matemātikas nozare nodarbojas ar salīdzinoši ierobežotu kopu kopu. Tāpēc ir ērti pieņemt, ka katras šīs kopas elementi ir arī kādas universālas kopas elementi, kas tos "aptver". Fiksējot universālo kopu, mēs tādējādi fiksējam visu mainīgo un konstantu vērtību diapazonu, kas parādās mūsu matemātiskajā argumentācijā. Šajā gadījumā var precīzi nenorādīt kvantoros to kopu, kas iet cauri kvantatora piesaistītajam mainīgajam. Turpinājumā tiksimies ar dažādiem betona universālo komplektu piemēriem.
1. definīcija.daudzi ir dažu objektu kopums, kas apvienoti vienā veselumā pēc kāda ‒ vai atribūta.
Objektus, kas veido kopu, sauc par kopu elementi.
Tos apzīmē ar latīņu alfabēta lielajiem burtiem: A, B, …, X, Y, … un to elementus apzīmē ar atbilstošajiem lielajiem burtiem: a, b, …, x, y.
Definīcija 1.1. Tiek izsaukta kopa, kas nesatur nevienu elementu tukšs un to apzīmē ar simbolu Ø.
Komplektu var norādīt uzskaitot un aprakstot.
Piemērs:; 
.
Definīcija 1.2. daudzi A sauc par apakškopu B ja katrs kopas elements A ir komplekta elements B. Simboliski tas tiek izteikts šādi: AB (A ietverts B).
Definīcija 1.3. Divi komplekti A Un B sauca vienāds, ja tie sastāv no vieniem un tiem pašiem elementiem :( A =B).
Operācijas komplektos.
Definīcija 1.4. Savienība vai komplektu summa A Un B ir kopa, kas sastāv no elementiem, no kuriem katrs pieder vismaz vienai no šīm kopām.
Kopu savienība ir apzīmēta AB(vai A +B). Īsumā var rakstīt AB = .
AB= A +B
Ja ba, Tas A +B=A
Definīcija 1.5. Kopu krustpunkts vai reizinājums A Un B sauc par kopu, kas sastāv no elementiem, no kuriem katrs pieder kopai A un daudzi B vienlaikus. Kopu krustpunkts ir apzīmēts AB(vai A· B). Īsumā varat rakstīt:
AB= 
.
AB =A · B
Ja B A, Tas A · B=B
Definīcija 1.6. iestatīt atšķirību A Un B tiek izsaukta kopa, kuras katrs elements ir kopas elements A
un nav komplekta elements B. Tiek apzīmēta kopu atšķirība A\B. A-prior A\B
=
.
A\B = A–B
Tiek izsauktas kopas, kuru elementi ir skaitļi skaitliski.
Skaitļu kopu piemēri ir:
N
=
ir naturālu skaitļu kopa.
Z= - veselu skaitļu kopa.
J=
ir racionālu skaitļu kopa.
R ir reālo skaitļu kopa.
ķekars R satur racionālos un iracionālos skaitļus. Jebkurš racionāls skaitlis tiek izteikts vai nu kā galīga decimālā daļa, vai kā bezgalīga periodiska daļa. Tādējādi ;… ir racionāli skaitļi.
Iracionāls skaitlis tiek izteikts kā bezgalīga neperiodiska decimāldaļdaļa. Tātad = 1,41421356...; = 3,14159265.... ir iracionāls skaitlis.
K ir komplekso skaitļu kopa (formas Z=a+ bi)
RK
Definīcija 1.7.Ɛ ‒ punkta apkārtne x 0 sauc par simetrisku intervālu ( x 0 – Ɛ; x 0 + Ɛ), kas satur punktu x 0 .
Jo īpaši, ja intervāls ( x 0 –Ɛ; x 0 +Ɛ), tad nevienādība x 0 –Ɛ<x<x 0 +Ɛ vai līdzvērtīgi │ x– x 0 │<Ɛ. Izpildīt pēdējo nozīmē sasniegt punktu x in Ɛ – punkta apkārtne x 0 .
1. piemērs:
(2 - 0,1; 2 + 0,1) vai (1,9; 2,1) - Ɛ - apkārtne.
│x– 2│< 0,1
–0,1<x – 2<0,1
2 –0,1<x< 2 + 0,1
1,9<x< 2,1
2. piemērs:
A– dalītāju kopa 24;
B ir dalītāju kopa 18.
Pēc izglītības esmu teorētiskais fiziķis, taču man ir labas matemātikas zināšanas. Maģistratūrā viens no priekšmetiem bija filozofija, bija jāizvēlas tēma un jāiesniedz par to darbs. Tā kā lielākā daļa iespēju bija vairāk nekā vienu reizi obmusoleny, es nolēmu izvēlēties kaut ko eksotiskāku. Es nepretendēju uz novitāti, man vienkārši izdevās uzkrāt visu / gandrīz visu pieejamo literatūru par šo tēmu. Filozofi un matemātiķi var mest ar akmeņiem, būšu tikai pateicīgs par konstruktīvu kritiku.P.S. Ļoti "sausa valoda", bet diezgan lasāma pēc augstskolas programmas. Lielākoties paradoksu definīcijas tika ņemtas no Vikipēdijas (vienkāršots formulējums un gatavs TeX marķējums).
Ievads
Gan pati kopu teorija, gan tai raksturīgie paradoksi parādījās ne tik sen, tikai pirms simts gadiem. Tomēr šajā periodā ir noiets garš ceļš, kopu teorija tā vai citādi faktiski kļuva par pamatu lielākajai daļai matemātikas sadaļu. Tās paradoksi, kas saistīti ar Kantora bezgalību, pusgadsimta laikā tika veiksmīgi izskaidroti burtiski.Jums vajadzētu sākt ar definīciju.
Kas ir daudzums? Jautājums ir diezgan vienkāršs, atbilde uz to ir diezgan intuitīva. Kopa ir elementu kopa, ko attēlo viens objekts. Kantors savā darbā Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre sniedz definīciju: ar “kopu” mēs saprotam noteiktu mūsu kontemplācijas vai mūsu domāšanas labi definētu objektu m apvienošanu noteiktā veselumā (kas tiks saukti par “elementiem”). komplekts M). Kā redzams, būtība nav mainījusies, atšķirība ir tikai tajā daļā, kas ir atkarīga no noteicēja pasaules redzējuma. Kopu teorijas vēsture gan loģikā, gan matemātikā ir ļoti pretrunīga. Faktiski Kantors tam lika pamatus 19. gadsimtā, pēc tam Rasels un pārējie turpināja darbu.
Paradoksi (loģika un kopu teorija) - (grieķu - negaidīts) - formālas loģiskas pretrunas, kas rodas jēgpilnajā kopu teorijā un formālajā loģikā, saglabājot argumentācijas loģisko pareizību. Paradoksi rodas, ja divi viens otru izslēdzoši (pretrunīgi) priekšlikumi ir vienlīdz pierādāmi. Paradoksi var parādīties gan zinātniskajā teorijā, gan parastā spriešanā (piemēram, Rasela paradokss par visu normālo kopu kopu, ko sniedza Rasela: "Ciema bārddzinis skūst visus un tikai tos sava ciema iedzīvotājus, kuri neskujas. Vai viņam vajadzētu noskūties?"). Tā kā formālā loģiskā pretruna iznīcina argumentāciju kā patiesības atklāšanas un pierādīšanas līdzekli (teorijā, kurā parādās paradokss, ir pierādāms jebkurš teikums, gan patiess, gan nepatiess), tad rodas problēmas identificēt šādu pretrunu avotus un atrast. veidi, kā tos novērst. Konkrētu paradoksu risinājumu filozofiskās izpratnes problēma ir viena no svarīgākajām formālās loģikas un matemātikas loģisko pamatu metodoloģiskajām problēmām.
Šī darba mērķis ir izpētīt kopu teorijas paradoksus kā seno antinomiju mantiniekus un diezgan loģiskas sekas pārejai uz jaunu abstrakcijas līmeni - bezgalību. Uzdevums ir apsvērt galvenos paradoksus, to filozofisko interpretāciju.
Kopu teorijas pamata paradoksi
Frizieris skūst tikai tos, kuri paši neskujas. Vai viņš pats skūst?
Turpināsim ar nelielu ekskursiju vēsturē.Daži no loģiskajiem paradoksiem ir zināmi kopš seniem laikiem, taču, ņemot vērā to, ka matemātikas teorija aprobežojās tikai ar aritmētiku un ģeometriju, tos nebija iespējams saistīt ar kopu teoriju. 19. gadsimtā situācija radikāli mainījās: Kantors savos darbos sasniedza jaunu abstrakcijas līmeni. Viņš ieviesa bezgalības jēdzienu, tādējādi radot jaunu matemātikas nozari un tādējādi ļaujot salīdzināt dažādas bezgalības, izmantojot jēdzienu "kopas spēks". Tomēr, to darot, viņš radīja daudz paradoksu. Pirmais ir tā sauktais Burali-Forti paradokss. Matemātiskajā literatūrā ir dažādi formulējumi, kuru pamatā ir atšķirīga terminoloģija un pieņemts labi zināmu teorēmu kopums. Šeit ir viena no formālajām definīcijām.
Var pierādīt, ka, ja x ir patvaļīga kārtas skaitļu kopa, tad summas kopa ir kārtas skaitlis, kas ir lielāks vai vienāds ar katru no elementiem x. Pieņemsim, ka tagad tā ir visu kārtas skaitļu kopa. Tad ir kārtas skaitlis, kas ir lielāks vai vienāds ar jebkuru no skaitļiem . Bet tad un ir kārtas skaitlis, turklāt tas jau ir stingri lielāks un tāpēc nav vienāds ar nevienu no skaitļiem. Bet tas ir pretrunā ar nosacījumu, kas ir visu kārtas skaitļu kopa.
Paradoksa būtība ir tāda, ka, veidojot visu kārtas skaitļu kopu, veidojas jauns kārtas tips, kas vēl nebija starp “visiem” transfinitajiem kārtas skaitļiem, kas pastāvēja pirms visu kārtas skaitļu kopas izveidošanas. Šo paradoksu atklāja pats Kantors, neatkarīgi atklāja un publicēja itāļu matemātiķis Burali-Forti, pēdējā kļūdas izlaboja Rasels, pēc tam formulējums ieguva galīgo formu.
No visiem mēģinājumiem izvairīties no šādiem paradoksiem un zināmā mērā mēģināt tos izskaidrot, jau pieminētā Rasela ideja ir pelnījusi vislielāko uzmanību. Viņš ierosināja no matemātikas un loģikas izslēgt impredikatīvus teikumus, kuros kopas elementa definīcija ir atkarīga no pēdējās, kas izraisa paradoksus. Noteikums izklausās šādi: "nevienā kopā C nevar būt elementi m, kas definēti tikai kopas C izteiksmē, kā arī elementi n, pieņemot šo kopu savā definīcijā" . Šāds kopas definīcijas ierobežojums ļauj izvairīties no paradoksiem, bet tajā pašā laikā būtiski sašaurina tās pielietojuma jomu matemātikā. Turklāt ar to nepietiek, lai izskaidrotu to būtību un parādīšanās iemeslus, kas sakņojas domas un valodas dihotomijā, formālās loģikas iezīmēs. Zināmā mērā šo ierobežojumu var izsekot līdzībai ar to, ko vēlāk kognitīvie psihologi un valodnieki sāka saukt par "pamata līmeņa kategorizēšanu": definīcija ir reducēta līdz visvieglāk saprotamai un pētāmai koncepcijai.
Pieņemsim, ka pastāv visu kopu kopa. Šajā gadījumā tā ir taisnība, tas ir, jebkura kopa t ir V apakškopa. Bet no tā izriet, ka nevienas kopas jauda nepārsniedz V spēku. Bet saskaņā ar visu kopas aksiomu apakškopas, V, kā arī jebkurai kopai ir visu apakškopu kopa , un pēc Kantora teorēmas, kas ir pretrunā ar iepriekšējo apgalvojumu. Tāpēc V nevar pastāvēt, kas ir pretrunā ar "naivu" hipotēzi, ka jebkurš sintaktiski pareizs loģiskais nosacījums definē kopu, t.i., ka jebkurai formulai A, kas nesatur y brīvi. Ievērojamu pierādījumu tam, ka šādas pretrunas nav, pamatojoties uz aksiomatizēto Zermelo-Frenkela kopu teoriju, sniedz Poters.
No loģikas viedokļa abi iepriekš minētie paradoksi ir identiski "Melim" vai "Bārddziņam": izteiktais spriedums ir vērsts ne tikai uz kaut ko objektīvu attiecībā pret viņu, bet arī uz viņu pašu. Tomēr jāpievērš uzmanība ne tikai loģiskajai pusei, bet arī bezgalības jēdzienam, kas šeit ir klātesošs. Literatūra atsaucas uz Puankarē darbu, kurā viņš raksta: "ticība faktiskās bezgalības esamībai ... padara šīs nepredikatīvās definīcijas par nepieciešamas"" .
Kopumā galvenie punkti ir:
- šajos paradoksos tiek pārkāpts noteikums skaidri nodalīt predikāta un subjekta “sfēras”; neskaidrības pakāpe ir tuvu viena jēdziena aizstāšanai ar citu;
- parasti loģikā tiek pieņemts, ka argumentācijas procesā subjekts un predikāts saglabā savu apjomu un saturu, šajā gadījumā
pāreja no vienas kategorijas uz citu, kā rezultātā rodas neatbilstība; - vārda "visi" klātbūtnei ir jēga ierobežotam elementu skaitam, bet bezgalīgi daudzu elementu gadījumā var būt tāds, kas
lai sevi definētu, būtu nepieciešama kopas definīcija; - tiek pārkāpti loģiskie pamatlikumi:
- tiek pārkāpts identitātes likums, kad atklājas subjekta un predikāta neidentitāte;
- pretrunu likums - kad ar vienādām tiesībām ir atvasināti divi pretrunīgi spriedumi;
- izslēgtās trešās likums - kad šī trešdaļa ir jāatzīst, nevis jāizslēdz, jo ne pirmo, ne otro nevar atpazīt vienu bez otra, jo tie ir vienlīdz derīgi.
Lai K ir visu kopu kopa, kas nesatur sevi kā savu elementu. Vai K ietver sevi kā elementu? Ja tā, tad pēc K definīcijas tam nevajadzētu būt K elementam - pretruna Ja nē - tad pēc K definīcijas tam jābūt K elementam - atkal pretrunai. Šis apgalvojums loģiski izriet no Kantora paradoksa, kas parāda viņu attiecības. Tomēr filozofiskā būtība izpaužas skaidrāk, jo jēdzienu “paškustība” notiek tieši “mūsu acu priekšā”.
Tristrama Šandija paradokss:
Sterna grāmatā The Life and Opinions of Tristram Shandy, Gentleman, varonis atklāj, ka viņam vajadzēja veselu gadu, lai atstāstītu savas dzīves pirmās dienas notikumus, un vēl viens gads, lai aprakstītu otro dienu. Šajā sakarā varonis sūdzas, ka viņa biogrāfijas materiāls uzkrāsies ātrāk, nekā viņš to spēs apstrādāt, un viņš to nekad nevarēs pabeigt. “Tagad es uzskatu,” iebilst Rasels, “ja viņš dzīvotu mūžīgi un darbs viņam nekļūtu par nastu, pat ja viņa dzīve turpinātu būt tikpat notikumiem bagāta kā sākumā, tad no viņa biogrāfijas nepaliktu neviena daļa. nerakstīts.
Patiešām, Šendijs varēja n-to gadu aprakstīt n-tās dienas notikumus, un tādējādi viņa autobiogrāfijā tiktu iemūžināta katra diena.
Citiem vārdiem sakot, ja dzīve ilgtu bezgalīgi, tad tai būtu tikpat daudz gadu kā dienu.
Rasels velk analoģiju starp šo romānu un Zenonu ar savu bruņurupuci. Viņaprāt, risinājums slēpjas tajā, ka veselums ir līdzvērtīgs savai daļai bezgalībā. Tie. tikai “veselā saprāta aksioma” noved pie pretrunas. Tomēr problēmas risinājums ir tīrās matemātikas jomā. Acīmredzot ir divas kopas - gadi un dienas, starp kuru elementiem ir savstarpēja atbilstība - bijekcija. Tad galvenā varoņa bezgalīgās dzīves apstākļos ir divas bezgalīgas vienādas jaudas kopas, kas, ja jaudu uzskatām par kopas elementu skaita jēdziena vispārinājumu, atrisina paradoksu.
Banaha-Tarski paradokss (teorēma) jeb bumbas dubultošanas paradokss- kopu teorijas teorēma, kurā teikts, ka trīsdimensiju lode vienādi sastāv no divām tās kopijām.
Divas Eiklīda telpas apakškopas sauc par vienādi saliktām, ja vienu var sadalīt ierobežotā skaitā daļu, tās pārvietot un no tām izveidot otro.
Precīzāk, divas kopas A un B ir vienādi veidotas, ja tās var attēlot kā ierobežotu nesavienotu apakškopu savienību tā, ka katrai i apakškopa ir kongruenta.
Ja mēs izmantojam izvēles teorēmu, definīcija izklausās šādi:
Izvēles aksioma nozīmē, ka ir vienības sfēras virsmas nodalījums ierobežotā skaitā detaļu, kuras, pārveidojot trīsdimensiju eiklīda telpu, kas nemaina šo komponentu formu, var tikt saliktas divās daļās. vienības rādiusa sfēras.
Acīmredzot, ņemot vērā prasību šīm daļām būt izmērāmām, šis apgalvojums nav izpildāms. Slavenais fiziķis Ričards Feinmens savā biogrāfijā stāstīja, kā savulaik viņam izdevās uzvarēt strīdā par apelsīna sadalīšanu ierobežotā skaitā un pārkomponēšanu.
Dažos punktos šis paradokss tiek izmantots, lai atspēkotu izvēles aksiomu, taču problēma ir tā, ka tas, ko mēs uzskatām par elementāru ģeometriju, nav būtisks. Tie jēdzieni, kurus mēs uzskatām par intuitīviem, ir jāattiecina uz transcendentālo funkciju īpašību līmeni.
Lai vēl vairāk vājinātu to cilvēku pārliecību, kuri uzskata, ka izvēles aksioma ir nepareiza, jāpiemin Mazurkeviča un Sierpinska teorēma, kas nosaka, ka pastāv netukša Eiklīda plaknes E apakškopa, kurai ir divas nesavienotas apakškopas, katra no kuras var sadalīt ierobežotā skaitā daļu, lai tās ar izometriju palīdzību varētu pārvērst kopas E pārklājumā.
Pierādīšanai nav jāizmanto izvēles aksioma.
Turpmākās konstrukcijas, kas balstītas uz noteiktības aksiomu, dod risinājumu Banaha-Tarska paradoksam, taču tās neinteresē.
- Ričarda paradokss: ir jānosauc "mazākais skaitlis, kas nav nosaukts šajā grāmatā". Pretruna ir tāda, ka, no vienas puses, to var izdarīt, jo šajā grāmatā ir nosaukts mazākais skaitlis. Izejot no tā, var nosaukt arī mazāko nenosaukto. Bet šeit rodas problēma: kontinuums ir nesaskaitāms, starp jebkuriem diviem skaitļiem var ievietot bezgalīgu skaitu starpskaitļu. No otras puses, ja mēs varētu nosaukt šo numuru, tas automātiski pārietu no klasē, kas nav minēta grāmatā, uz minēto klasi.
- Grelinga-Nilsona paradokss: vārdi vai zīmes var apzīmēt īpašību un tajā pašā laikā to iegūt vai nē. Triviālākais formulējums izklausās šādi: vai vārds “heteroloģisks” (kas nozīmē “nav attiecināms uz sevi”) ir heteroloģisks?.. Tas ir ļoti līdzīgs Rasela paradoksam, jo pastāv dialektiska pretruna: formas un satura dualitāte. tiek pārkāpts. Attiecībā uz vārdiem, kuriem ir augsts abstrakcijas līmenis, nav iespējams izlemt, vai šie vārdi ir heteroloģiski.
- Skolema paradokss: izmantojot Gēdela pilnības teorēmu un Lēvenheimas-Skolema teorēmu, mēs iegūstam, ka aksiomātiskā kopu teorija paliek patiesa pat tad, ja tās interpretācijai tiek pieņemta (pieejama) tikai saskaitāma kopu kopa. Tajā pašā laikā
aksiomātiskā teorija ietver jau minēto Kantora teorēmu, kas noved mūs pie neskaitāmām bezgalīgām kopām.
Paradoksu atrisināšana
Kopu teorijas radīšana izraisīja to, ko uzskata par trešo matemātikas krīzi, kas vēl nav visiem apmierinoši atrisināta.Vēsturiski pirmā pieeja bija kopteorētiska. Tas bija balstīts uz faktiskās bezgalības izmantošanu, kad tika uzskatīts, ka jebkura bezgalīga secība tiek pabeigta bezgalībā. Ideja bija tāda, ka kopu teorijā bieži bija jāoperē komplekti, kas varētu būt citu, lielāku kopu daļas. Veiksmīgas darbības šajā gadījumā bija iespējamas tikai vienā gadījumā: dotās kopas (galīgās un bezgalīgās) ir pabeigtas. Zināmi panākumi bija acīmredzami: Zermelo-Fraenkel aksiomātiskā kopu teorija, visa Nikolasa Burbaki matemātikas skola, kas pastāv jau vairāk nekā pusgadsimtu un joprojām izraisa daudz kritikas.
Loģisms bija mēģinājums reducēt visu zināmo matemātiku līdz aritmētikas terminiem un pēc tam reducēt aritmētikas terminus līdz matemātiskās loģikas jēdzieniem. Frege to rūpīgi aplūkoja, taču pēc darba pabeigšanas viņš bija spiests norādīt uz savu nekonsekvenci pēc tam, kad Rasels norādīja uz teorijas pretrunām. Tas pats Rasels, kā minēts iepriekš, ar "tipa teorijas" palīdzību mēģināja novērst impredikatīvu definīciju izmantošanu. Tomēr viņa kopas un bezgalības jēdzieni, kā arī reducējamības aksioma izrādījās neloģiski. Galvenā problēma bija tā, ka netika ņemtas vērā formālās un matemātiskās loģikas kvalitatīvās atšķirības, kā arī lieku, arī intuitīva rakstura jēdzienu klātbūtne.
Rezultātā loģisma teorija nevarēja novērst ar bezgalību saistīto paradoksu dialektiskās pretrunas. Bija tikai principi un metodes, kas ļāva atbrīvoties no vismaz nepredikatīvām definīcijām. Pēc viņa paša domām, Rasels bija Kantora mantinieks.
XIX beigās - XX gadsimta sākumā. formālistiskā matemātikas viedokļa izplatība bija saistīta ar aksiomātiskās metodes un matemātikas pamatojuma programmas izstrādi, ko izvirzīja D. Hilberts. Par šī fakta svarīgumu liecina fakts, ka pirmā no divdesmit trim problēmām, ko viņš iepazīstināja ar matemātikas kopienu, bija bezgalības problēma. Formalizācija bija nepieciešama, lai pierādītu klasiskās matemātikas konsekvenci, "vienlaikus izslēdzot no tās visu metafiziku". Ņemot vērā Hilberta izmantotos līdzekļus un metodes, viņa mērķis izrādījās principiāli neiespējams, taču viņa programmai bija milzīga ietekme uz visu turpmāko matemātikas pamatu attīstību. Hilberts ilgu laiku strādāja pie šīs problēmas, vispirms izveidojot ģeometrijas aksiomatiku. Tā kā uzdevuma risinājums izrādījās diezgan veiksmīgs, viņš nolēma pielietot aksiomātisko metodi naturālo skaitļu teorijā. Lūk, ko viņš rakstīja saistībā ar šo: "Es tiecos pēc svarīga mērķa: tieši es vēlētos risināt jautājumus par matemātikas pamatu kā tādu, pārvēršot katru matemātisko apgalvojumu par stingri atvasināmu formulu." Tajā pašā laikā tika plānots atbrīvoties no bezgalības, samazinot to līdz noteiktam ierobežotam darbību skaitam. Lai to izdarītu, viņš pievērsās fizikai ar tās atomismu, lai parādītu visu bezgalīgo daudzumu neatbilstību. Patiesībā Hilberts izvirzīja jautājumu par teorijas un objektīvās realitātes attiecībām.
Vairāk vai mazāk pilnīgu priekšstatu par ierobežotajām metodēm sniedz Hilberta students J. Herbrans. Ar ierobežotu spriešanu viņš saprot tādu spriešanu, kas atbilst šādiem nosacījumiem: loģiski paradoksi "- vienmēr tiek ņemts vērā tikai ierobežots un noteikts skaits objektu un funkciju;
Funkcijām ir precīza definīcija, un šī definīcija ļauj aprēķināt to vērtību;
Tā nekad neapgalvo: "Šis objekts pastāv", ja vien nav zināms veids, kā to uzbūvēt;
Jebkuras bezgalīgas kolekcijas visu objektu kopa X nekad netiek ņemta vērā;
Ja ir zināms, ka kāds arguments vai teorēma ir patiesa visiem šiem X, tad tas nozīmē, ka šo vispārīgo spriešanu var atkārtot katram konkrētajam X, un pati šī vispārīgā spriešana ir uzskatāma tikai par modeli šādam konkrētam spriešanai.
Tomēr pēdējās publikācijas laikā šajā jomā Gēdels jau bija saņēmis savus rezultātus, būtībā viņš atkal atklāja un apstiprināja dialektikas klātbūtni izziņas procesā. Būtībā matemātikas tālākā attīstība demonstrēja Hilberta programmas neveiksmi.
Ko tieši Gēdels pierādīja? Ir trīs galvenie rezultāti:
1. Gēdels parādīja, ka nav iespējams matemātiski pierādīt jebkuras sistēmas konsekvenci, kas ir pietiekami liela, lai ietvertu visu aritmētisko, pierādījumu, kas neizmantotu citus secinājumus, kā vien tos, kas atrodami pašā sistēmā. Šāds pierādījums, kas izmanto spēcīgāku secinājumu likumu, var būt noderīgs. Bet, ja šie secinājumu noteikumi ir spēcīgāki par aritmētiskā aprēķina loģiskajiem līdzekļiem, tad nebūs pārliecības par pierādīšanā izmantoto pieņēmumu konsekvenci. Jebkurā gadījumā, ja izmantotās metodes nav finītiskas, tad Hilberta programma izrādīsies nepraktiska. Gēdels tikai parāda aprēķinu nekonsekvenci, lai atrastu finitisku aritmētikas konsekvences pierādījumu.
2. Godels norādīja uz aksiomātiskās metodes iespēju fundamentālajiem ierobežojumiem: Principia Mathematica sistēma, tāpat kā jebkura cita sistēma, ar kuru tiek veidota aritmētika, būtībā ir nepilnīga, t.i., jebkurai konsekventai aritmētisko aksiomu sistēmai ir patiesi aritmētiski teikumi, kas ir nav atvasināts no šīs sistēmas aksiomām.
3. Gēdeļa teorēma parāda, ka neviens aritmētiskās sistēmas paplašinājums nevar padarīt to pilnīgu, un pat tad, ja mēs to aizpildām ar bezgalīgu aksiomu kopu, tad jaunajā sistēmā vienmēr būs patiesa, bet ar šīs sistēmas palīdzību neizsecināma. pozīcijas. Aksiomātiskā pieeja naturālo skaitļu aritmētikai nevar aptvert visu patieso aritmētisko apgalvojumu jomu, un tas, ko mēs saprotam ar matemātiskās pierādīšanas procesu, neaprobežojas tikai ar aksiomātiskās metodes izmantošanu. Pēc Godeļa teorēmas kļuva bezjēdzīgi gaidīt, ka pārliecinoša matemātiskā pierādījuma jēdzienu varēs sniegt vienreiz un uz visiem laikiem.
Jaunākais šajā kopu teorijas skaidrošanas mēģinājumu sērijā bija intuīcija.
Viņš savā evolūcijā ir izgājis cauri vairākiem posmiem - daļēji intuīcionisms, īsts intuīcija, ultraintuīcija. Dažādos posmos matemātiķus uztrauca dažādas problēmas, bet viena no galvenajām matemātikas problēmām ir bezgalības problēma. Bezgalības un nepārtrauktības matemātiskie jēdzieni ir bijuši filozofiskās analīzes priekšmets kopš to pirmsākumiem (atomistu idejas, Elejas Zenona aporijas, bezgalīgi mazas metodes senatnē, bezgalīgi mazi aprēķini mūsdienās utt.). Vislielākās pretrunas izraisīja dažādu bezgalības veidu (potenciālo, faktisko) kā matemātisko objektu izmantošana un to interpretācija. Visas šīs problēmas, mūsuprāt, radīja dziļāka problēma - subjekta loma zinātnes atziņās. Fakts ir tāds, ka matemātikas krīzes stāvokli rada epistemoloģiska nenoteiktība objekta pasaules (bezgalības) un subjekta pasaules salīdzinājumam. Matemātiķim kā subjektam ir iespēja izvēlēties izziņas līdzekļus - vai nu potenciālo, vai faktisko bezgalību. Potenciālās bezgalības kā tapšanas izmantošana dod viņam iespēju veikt, uzbūvēt bezgalīgu konstrukciju kopumu, ko var uzcelt virsū galīgajām, bez galīga pakāpiena, nepabeidzot konstrukciju, tas ir tikai iespējams. Faktiskās bezgalības izmantošana dod viņam iespēju strādāt ar bezgalību kā jau realizējamu, pabeigtu tās konstrukcijā, kā faktiski tajā pašā laikā dotu.
Daļēji intuīcijas stadijā bezgalības problēma vēl nebija neatkarīga, bet tika ieausta matemātisko objektu konstruēšanas un tās attaisnošanas veidos. Pret brīvas izvēles aksiomas akceptēšanu bija vērsts A. Puankarē un Parīzes funkciju teorijas skolas pārstāvju Bēra, Lēbesga un Borela pusintuīcija, ar kuras palīdzību tiek pierādīta Cermelo teorēma, kurā teikts jebkuru kopu var izveidot pilnībā sakārtotu, taču nenorādot teorētisko veidu, kā noteikt jebkuras nepieciešamo kopu apakškopas elementus. Nav iespējams konstruēt matemātisko objektu, un nav arī paša matemātiskā objekta. Matemātiķi uzskatīja, ka teorētiskās metodes esamība vai neesamība pētījumu objektu secības konstruēšanai var kalpot par pamatu šīs aksiomas pamatošanai vai atspēkošanai. Krievu versijā daļēji intuicionistiskā koncepcija matemātikas filozofiskajos pamatos tika izstrādāta tādā virzienā kā efektīvisms, ko izstrādāja N. N. Lūzins. Efektīvisms ir opozīcija Kantora bezgalīgā doktrīnas galvenajām abstrakcijām – aktualitātei, izvēlei, transfinītai indukcijai utt.
Efektīvismam potenciālās iespējamības abstrakcija ir epistemoloģiskā ziņā vērtīgāka nekā faktiskās bezgalības abstrakcija. Pateicoties tam, kļūst iespējams ieviest transfinītu kārtas skaitļu (bezgalīgu kārtas skaitļu) jēdzienu, pamatojoties uz efektīvu funkciju pieauguma koncepciju. Efektivitātes epistemoloģiskais uzstādījums nepārtrauktā (kontinuuma) attēlošanai tika balstīts uz diskrētiem līdzekļiem (aritmētiku) un aprakstošo kopu (funkciju) teoriju, ko radīja N. N. Luzins. Nīderlandiešu L. E. Ya. Brouwer, G. Weyl, A. Geyting intuitīvisms uzskata, ka brīvi rodas dažāda veida sekvences kā tradicionāls izpētes objekts. Šajā posmā, risinot matemātikas problēmas, tostarp visas matemātikas pārstrukturēšanu uz jauna pamata, intuīcijas speciālisti izvirzīja filozofisku jautājumu par matemātiķa kā izziņas subjekta lomu. Kāda ir viņa pozīcija, kur viņš ir brīvāks un aktīvāks izziņas līdzekļu izvēlē? Intuīcijas piekritēji bija pirmie (un pusintuīcijas stadijā), kas kritizēja faktiskās bezgalības jēdzienu, Kantora kopu teoriju, saskatot tajā subjekta spēju ietekmēt konstruktīvas problēmas risinājuma zinātnisko meklējumu procesu. . Potenciālās bezgalības izmantošanas gadījumā subjekts nemaldina sevi, jo viņam ideja par potenciālo bezgalību ir intuitīvi daudz skaidrāka nekā faktiskās bezgalības ideja. Intuicionistam objekts tiek uzskatīts par pastāvošu, ja tas ir tieši dots matemātiķim vai ja ir zināma tā konstruēšanas metode. Jebkurā gadījumā subjekts var sākt vairāku viņa komplekta elementu uzbūves pabeigšanu. Nekonstruētais objekts neeksistē intuicionistiem. Tajā pašā laikā subjektam, kas strādā ar faktisko bezgalību, šī iespēja tiks liegta un viņš izjutīs pieņemtās pozīcijas dubulto ievainojamību:
1) nekad nav iespējams veikt šo bezgalīgo konstrukciju;
2) viņš nolemj darboties ar faktisko bezgalību kā ar ierobežotu objektu un šajā gadījumā zaudē savu bezgalības jēdziena specifiku. Intuīcionisms apzināti ierobežo matemātiķa iespējas ar to, ka viņš var konstruēt matemātiskos objektus tikai ar līdzekļiem, kas, lai arī iegūti ar abstraktu jēdzienu palīdzību, ir efektīvi, pārliecinoši, pierādāmi, funkcionāli precīzi praktiski konstruktīvi un paši intuitīvi skaidri kā konstrukcijas, konstrukcijas, par kuru uzticamību praksē nav šaubu. Intuīcionisms, paļaujoties uz potenciālās bezgalības jēdzienu un konstruktīvām izpētes metodēm, nodarbojas ar tapšanas matemātiku, kopu teorija attiecas uz esamības matemātiku.
Intuicionistam Brouveram kā matemātiskā empīrisma pārstāvim loģika ir sekundāra, viņš kritizē to un izslēgtā vidus likumu.
Savos daļēji mistiskajos darbos viņš nenoliedz bezgalības esamību, bet nepieļauj tās aktualizāciju, tikai potenciālu. Viņam galvenais ir praktiski izmantoto loģisko līdzekļu un matemātiskās argumentācijas interpretācija un pamatojums. Intuīcijas piekritēju pieņemtais ierobežojums pārvar bezgalības jēdziena lietojuma nenoteiktību matemātikā un pauž vēlmi pārvarēt matemātikas pamatu krīzi.
Ultraintuītisms (A.N. Kolmogorovs, A.A.Markovs u.c.) ir intuīcijas attīstības pēdējais posms, kurā tiek modernizētas, būtiski papildinātas un pārveidotas tā galvenās idejas, nemainot būtību, bet pārvarot trūkumus un nostiprinot pozitīvos aspektus, vadoties no matemātiskā stingrība. Intuīcijas pieejas vājums bija šaura izpratne par intuīcijas lomu kā vienīgo matemātisko metožu pareizības un efektivitātes pamatojumu. Ņemot "intuitīvo skaidrību" par patiesības kritēriju matemātikā, intuīcijas piekritēji metodoloģiski noplicināja matemātiķa kā zināšanu subjekta iespējas, reducēja viņa darbību tikai uz intuīcijā balstītām prāta operācijām un neiekļāva praksi matemātikas zināšanu procesā. Matemātikas pamatojuma ultraintuīcijas programma ir Krievijas prioritāte. Tāpēc pašmāju matemātiķi, pārvarot intuīcijas ierobežojumus, pieņēma efektīvu materiālistiskās dialektikas metodoloģiju, atzīstot cilvēka praksi gan matemātisko jēdzienu, gan matemātisko metožu (secinājumu, konstrukciju) veidošanās avotu. Matemātisko objektu eksistences problēmu risināja ultraintuīcijas piekritēji, paļaujoties nevis uz nedefinētu subjektīvo intuīcijas jēdzienu, bet gan uz matemātisko praksi un konkrētu matemātiska objekta konstruēšanas mehānismu – algoritmu, ko izsaka izskaitļojama, rekursīva funkcija.
Ultra-intuitionisms pastiprina intuīcijas priekšrocības, kas ietver iespēju sakārtot un vispārināt jebkura virziena matemātiķu izmantotās konstruktīvo problēmu risināšanas metodes. Tāpēc pēdējā posma intuīcionisms (ultraintuītisms) matemātikā ir tuvs konstruktīvismam. Epistemoloģiskajā aspektā ultraintuīcijas galvenās idejas un principi ir sekojoši: klasiskās loģikas aksiomātikas kritika; identifikācijas abstrakcijas (mentāla abstrakcija no objektu atšķirīgām īpašībām un vienlaicīga objektu vispārējo īpašību izolēšana) lomas izmantošana un būtiska nostiprināšana (pēc A. A. Markova skaidriem norādījumiem) kā abstrakta konstruēšanas un konstruktīvas izpratnes veids. jēdzieni, matemātiskie spriedumi; konsekventu teoriju konsekvences pierādījums. Formālajā aspektā identifikācijas abstrakcijas pielietojumu pamato tās trīs vienlīdzības īpašības (aksiomas) - refleksivitāte, tranzitivitāte un simetrija.
Atrisināt galveno matemātikas pretrunu par bezgalības problēmu, kas izraisīja tās pamatu krīzi, ultraintuīcijas stadijā A. N. darbos. Kolmogorovs ierosināja izejas no krīzes, risinot klasiskās un intuīcionistiskās loģikas, klasiskās un intuīcionistiskās matemātikas attiecību problēmu. Brouwer intuitionism kopumā noliedza loģiku, bet, tā kā jebkurš matemātiķis nevar iztikt bez loģikas, loģiskās spriešanas prakse joprojām tika saglabāta intuīcijā, tika pieļauti daži klasiskās loģikas principi, kuru pamatā bija aksiomātika. S.K. Kleene, R. Veslijs pat atzīmē, ka intuicionistisko matemātiku var raksturot kā sava veida aprēķinus, bet aprēķins ir veids, kā sakārtot matemātikas zināšanas, pamatojoties uz loģiku, formalizāciju un tās formu - algoritmizāciju. Jauna loģikas un matemātikas attiecību versija intuitīvisma prasību ietvaros par spriedumu intuitīvu skaidrību, īpaši to, kas ietvēra noliegumu, A.N. Kolmogorovs ierosināja šādi: viņš iepazīstināja ar intuīcijas loģiku, kas ir cieši saistīta ar intuicionistisko matemātiku, kā aksiomātisku implicatīvu priekšlikumu un predikātu minimālo aprēķinu. Tādējādi zinātnieks iepazīstināja ar jaunu matemātisko zināšanu modeli, pārvarot intuīcijas ierobežojumus, atzīstot tikai intuīciju kā izziņas līdzekli un loģisma ierobežojumus, kas absolutizē loģikas iespējas matemātikā. Šī pozīcija ļāva matemātiskā formā demonstrēt intuitīvā un loģiskā sintēzi kā elastīgas racionalitātes un tās konstruktīvās efektivitātes pamatu.
Secinājumi. Tādējādi matemātikas zināšanu epistemoloģiskais aspekts ļauj izvērtēt revolucionārās pārmaiņas matemātikas pamatu krīzes stadijā 19.-20.gadsimta mijā. no jaunām pozīcijām izziņas procesa izpratnē, subjekta būtību un lomu tajā. Tradicionālās zināšanu teorijas epistemoloģiskais priekšmets, kas atbilst kopu teorētiskās pieejas dominēšanas periodam matemātikā, ir abstrakts, nepilnīgs, “daļējs” subjekts, kas attēlots subjekta un objekta attiecībās, ko norauj abstrakcijas, loģika, formālisms no realitātes, racionāli, teorētiski zinot savu objektu un saprotot kā spoguli, precīzi atspoguļojot un kopējot realitāti. Faktiski subjekts tika izslēgts no izziņas kā reāls process un mijiedarbības ar objektu rezultāts. Intuīcijas ienākšana matemātikas filozofisko tendenču cīņas arēnā radīja jaunu izpratni par matemātiķi kā zināšanu subjektu – cilvēku, kurš zina, kura filozofiskā abstrakcija jābūvē it kā no jauna. Matemātiķis parādījās kā empīrisks subjekts, kas jau tika saprasts kā neatņemama reāla persona, iekļaujot visas tās īpašības, no kurām epistemoloģiskajā subjektā tika abstrahētas - empīriskā konkrētība, mainīgums, vēsturiskums; tā ir darbošanās un izzināšana reālajā izziņā, radošs, intuitīvs, izgudrojošs priekšmets. Intuitionistiskās matemātikas filozofija ir kļuvusi par pamatu, pamatu mūsdienu epistemoloģiskajai paradigmai, kas balstīta uz elastīgas racionalitātes koncepciju, kurā cilvēks ir neatņemams (holistisks) izziņas subjekts, kam piemīt jaunas izziņas īpašības, metodes, procedūras; viņš sintezē savu abstrakti-epistemoloģisko un loģiski-metodoloģisko dabu un formu un vienlaikus saņem eksistenciāli-antropoloģisku un "vēsturiski-metafizisku" izpratni.
Svarīgs punkts ir arī intuīcija izziņā un jo īpaši matemātisko jēdzienu veidošanā. Atkal notiek cīņa ar filozofiju, mēģinājumi izslēgt izslēgtā vidus likumu, kam matemātikā nav nozīmes un kas tajā ienāk no filozofijas. Tomēr pārmērīgs uzsvars uz intuīciju un skaidru matemātisku pamatojumu trūkums neļāva pārnest matemātiku uz stabiliem pamatiem.
Taču pēc stingrās algoritma koncepcijas parādīšanās 20. gadsimta 30. gados stafeti no intuīcijas pārņēma matemātiskais konstruktīvisms, kura pārstāvji sniedza būtisku ieguldījumu mūsdienu aprēķināšanas teorijā. Turklāt 70. un 80. gados tika atklātas būtiskas sakarības starp dažām intuīcijas piekritēju idejām (pat tām, kas iepriekš šķita absurdas) un toposa matemātisko teoriju. Matemātika, kas atrodama dažos topoi, ir ļoti līdzīga tai, ko centās radīt intuīcijas piekritēji.
Rezultātā var izdarīt apgalvojumu: lielākā daļa iepriekš minēto paradoksu vienkārši nepastāv teorijā par kopām ar pašīpašumu. Tas, vai šāda pieeja ir galīga, ir apstrīdams, rādīs turpmākais darbs šajā jomā.
Secinājums
Dialektiski materiālistiskā analīze parāda, ka paradoksi ir valodas un domāšanas dihotomijas sekas, dziļas dialektikas (Gēdeļa teorēma ļāva dialektiku izpaust izziņas procesā) un epistemoloģisko grūtību izpausme, kas saistīta ar objekta un subjekta jēdzieniem. apgabals formālajā loģikā, kopa (klase) loģikā un kopu teorijā, izmantojot abstrakcijas principu, kas ļauj ieviest jaunus (abstraktus) objektus (bezgalību), ar metodēm abstraktu objektu definēšanai zinātnē u.c. nevar dot universālu veidu, kā novērst visus paradoksus.Vai trešā matemātikas krīze ir beigusies (jo tā bija cēloņsakarībās ar paradoksiem; tagad paradoksi ir neatņemama sastāvdaļa) - šeit viedokļi atšķiras, lai gan formāli zināmie paradoksi tika likvidēti līdz 1907. gadam. Tomēr tagad matemātikā ir arī citi apstākļi, kurus var uzskatīt vai nu par krīzi, vai par tiem, kas paredz krīzi (piemēram, ceļa integrāļa stingra pamatojuma trūkums).
Kas attiecas uz paradoksiem, tad matemātikā ļoti svarīgu lomu spēlēja labi zināmais melo paradokss, kā arī vesela virkne paradoksu tā sauktajā naivajā (iepriekšējā aksiomātiskajā) kopu teorijā, kas izraisīja pamatu krīzi (viens no šiem paradoksiem nospēlēja liktenīga loma G. Freges dzīvē) . Taču, iespējams, viena no visvairāk nenovērtētajām parādībām mūsdienu matemātikā, ko var saukt gan par paradoksālu, gan par krīzi, ir Pola Koena 1963. gadā piedāvātais Hilberta pirmās problēmas risinājums. Precīzāk, nevis pats lēmuma fakts, bet šī lēmuma būtība.
Literatūra
- Georgs Kantors. Beiträge zur begründung der transfiniten mengenlehre. Mathematische Annalen, 46:481-512, 1895.
- I.N. Burova. Kopu teorijas un dialektikas paradoksi. Zinātne, 1976.
- M.D. Poters. Kopu teorija un tās filozofija: kritisks ievads. Oxford University Press, reģistrēts, 2004.
- Žukovs N.I. Matemātikas filozofiskie pamati. Minska: Universitetskoe, 1990.
- Feinmens R.F., S. Iļjins. Protams, jūs jokojat, Feinmena kungs!: pārsteidzoša vīrieša piedzīvojumi, ko viņš stāstīja R. Leitonam. Kolibri, 2008.
- O. M. Miževičs. Divi veidi, kā pārvarēt paradoksus G. Kantora kopu teorijā. Loģiskie un filozofiskie pētījumi, (3):279--299, 2005.
- S. I. Masalova. INTUĪCIONISTĀS MATEMĀTIKAS FILOZOFIJA. DSTU biļetens, (4), 2006.
- Čečulins V.L. Kopu ar pašīpašumu teorija (pamati un daži pielietojumi). Perm. Valsts un-t. - Perma, 2012.
- S. N. Tronins. Īss lekciju kopsavilkums par disciplīnu "Matemātikas filozofija". Kazaņa, 2012.
- Grišins V.N., Bočvars D.A. Kopu teorijas un neklasiskās loģikas studijas. Zinātne, 1976.
- Hofstadter D. Gödel, Ešers, Bahs: šī nebeidzamā vītne. Bahrakh-M, 2001.
- Kabakovs F.A., Mendelsons E. Ievads matemātiskajā loģikā. Apgāds "Nauka", 1976.g.
- JĀ. Bochvar. Par jautājumu par matemātiskās loģikas un kopu teorijas paradoksiem. Matemātiskais krājums, 57(3):369--384, 1944.
I. Kopu teorijas pamatjēdzieni un aksiomas
Tūkstošiem gadu pastāvēšanas laikā matemātika no vienkāršākajām idejām par skaitli un skaitli ir nonākusi līdz daudzu jaunu jēdzienu un metožu veidošanai. Tas ir kļuvis par spēcīgu instrumentu dabas izpētei un elastīgu prakses instrumentu. 20. gadsimts matemātikā ienesa jaunas idejas un teorijas, un paplašinājās tās pielietojuma apjoms. Matemātika zinātņu sistēmā ieņem īpašu vietu – to nevar attiecināt ne uz humanitārajām, ne dabas zinātnēm. Bet viņa iepazīstināja ar tajos lietotajiem pamatjēdzieniem. Šāds jēdziens ir "kopas" jēdziens, kas vispirms radās matemātikā un tagad ir vispārīgs zinātnisks.
Pirmais kopu teorijas melnraksts ir Bernards Bolcāno (Paradoxes of the Infinite, 1850). Šajā darbā aplūkotas patvaļīgas (skaitliskās) kopas, un to salīdzināšanai definēts jēdziens "viens pret vienu" atbilstība.
19. gadsimta beigās Georgs Kantors, vācu matemātiķis un kopu teorijas pamatlicējs, intuitīvi definēja jēdzienu "kopa" šādi: "Daudzi domā kopumā". Šāda kopas definīcija prasīja ievadu trīs rakstzīmes.
Pirmkārt no tiem jāattēlo daudzums kā kaut kas “viens”, t.i. reprezentē daudzus. Kā šādu simbolu ir ierasts izmantot jebkuru jebkura alfabēta lielo burtu: piemēram, lai apzīmētu kopas ar latīņu alfabēta A, B, ..., X lielajiem burtiem vai jebkura cita pēc vienošanās.
Otrkārt simbolam ir jāatspoguļo "daudz", tas ir, jāuzskata par kopas elementu. Kā šo simbolu ir ierasts izmantot viena un tā paša alfabēta mazos burtus: a, b, ..., z.
Trešais simbolam viennozīmīgi jāsaista elements ar kopu. Zīme tiek definēta kā atbilstošs simbols, kas nāk no grieķu vārda (būt) pirmā burta. Ieraksts nosaka attiecības: x ir X elements. Lai norādītu, ka x nav X elements, ierakstiet .
Jāpiebilst, ka šāda kopas jēdziena definīcija noved pie vairākām teorijas iekšējām pretrunām – tā sauktajiem paradoksiem.
Piemēram, apsveriet Rasela paradoksu. Frizieris
(elements x) dzīvo kādā ciematā, kuri neskujas (lai X ir visu to un tikai to dotā ciema iedzīvotāju kopums, kuri neskujas). Vai frizieris pats skūst? Tas ir, vai? Uz jautājumu nav iespējams atbildēt, jo, piemēram, pieņemot, ka , mēs uzreiz nonākam pie pretrunas: , un otrādi.
Skolas matemātikas kursā kopas jēdzienu skolēni uzskata par nenosakāmu jēdzienu, kas tiek saprasts kā mums apkārt esošās realitātes objektu kopums, kas uztverts kā vienots veselums. Un katrs šīs kolekcijas objekts tiek saukts šī komplekta elements.
Pašlaik ir vairākas kopu teorijas aksiomātiskās sistēmas:
Cermelo aksiomu sistēma. Šī aksiomu sistēma bieži tiek papildināta ar izvēles aksiomu, un to sauc par Zermelo-Fraenkel sistēmu ar izvēles aksiomu (ZFC).
NBG teorijas aksiomas. Šo fon Neimana ierosināto aksiomu sistēmu vēlāk pārskatīja un vienkāršoja Robinsons, Bernejs un Gēdels.
Zermelo sistēma (Z-sistēma) sastāv no 7 aksiomām. Aprakstīsim šīs aksiomas tajā ietvaros, kādā tās tiek izmantotas skolas matemātikas kursā.
Tilpuma aksioma (Z1). Ja visi kopas A elementi pieder kopai B, un visi kopas B elementi arī pieder kopai A, tad A=B.
Lai precizētu šo aksiomu, mums ir jāizmanto termins "apakškopa": Ja katrs kopas A elements ir kopas Z elements, tad mēs sakām, ka A ir apakškopa Z un rakstiet . Simbols tiek saukts par "ieslēgts". Ja nav izslēgta situācijas iespējamība, kad Z=A, tad, lai uz to koncentrētos, viņi raksta.
Ieviešot terminu "apakškopa", mēs formulējam aksiomu 1 simboliskā formā: .
Pāra aksioma (Z2). Patvaļīgam a un b ir kopa, kuras vienīgie elementi ir (a,b).
Šī aksioma tiek izmantota, lai izskaidrotu kopu Dekarta reizinājumu, kur sākotnējais jēdziens ir "sakārtots pāris". Zem pasūtīts pāris saprast divu elementu kopumu, no kuriem katrs ierakstā ieņem noteiktu vietu. Sakārtots pāris tiek apzīmēts šādi: (a, b).
Summas aksioma (Z3). Patvaļīgām kopām A un B ir unikāla kopa C, kuras elementi ir visi kopas A elementi un visi kopas B elementi un kurā vairs nav citu elementu.
Simboliskā formā aksiomu Z3 var uzrakstīt šādi: . Pamatojoties uz šo aksiomu un no tās izrietošajām teorēmām, ir norādītas kopu operāciju īpašības, kuru apraksts tiks sniegts 3. sadaļā. Aksiomas Z1 un Z2 ļauj iepazīstināt ar savienojuma, krustojuma, saskaitīšanas darbības jēdzienu. , komplektu atšķirība.
Pakāpes aksioma (Z4). Jebkurai kopai X ir visu tās apakškopu kopa P(X).
Bezgalības aksioma (Z6). Ir vismaz viena bezgalīga kopa - naturālā skaitļu virkne.
Izvēles aksioma (Z7). Jebkurai kopu saimei, kas nav tukša, ir funkcija, kas ar katru saimes kopu saista vienu no šīs kopas elementiem. Funkcija tiek izsaukta atlases funkcija konkrētai ģimenei.
Ir vērts atzīmēt atbilstošo aksiomu nozīmi, jo kopas un attiecības starp tām ir jebkuras matemātikas disciplīnas izpētes priekšmets.
Mēs norādām uz vēl vienu svarīgu atklājumu kopu teorijā - attiecību tēlu starp apakškopām vizuālai attēlošanai. Viens no pirmajiem, kas izmantoja šo metodi, bija izcilais vācu matemātiķis un filozofs Gotfrīds Vilhelms Leibnics. Tad šo metodi diezgan pamatīgi izstrādāja Leonhards Eilers. Pēc Eilera to pašu metodi izstrādāja čehu matemātiķis Bernards Bolcāno. Tikai atšķirībā no Eilera viņš zīmēja nevis apļveida, bet taisnstūrveida diagrammas. Eilera apļa metodi izmantoja arī vācu matemātiķis Ernests Šrēders. Taču grafiskās metodes savu vislielāko uzplaukumu sasniedza angļu loģiķa Džona Venna rakstos. Par godu Vennam Eilera apļu vietā atbilstošās figūras dažkārt sauc par Venna diagrammām, un dažās grāmatās tās sauc arī par Eilera-Vena diagrammām. Eilera-Vena diagrammas tiek izmantotas ne tikai matemātikā un loģikā, bet arī pārvaldībā un citās lietišķās jomās.
II. Kopu attiecības un to definēšanas veidi
Tātad kopas tiek saprastas kā jebkuru objektu kopums, kas ir iedomājams kā vienots veselums. Komplekti var sastāvēt no ļoti dažāda rakstura priekšmetiem. To elementi var būt burti, atomi, cipari, vienādojumi, punkti, leņķi utt. Tas izskaidro kopu teorijas ārkārtīgo plašumu un tās pielietojumu visdažādākajās zināšanu jomās (matemātika, fizika, ekonomika, valodniecība utt.).
Tiek uzskatīts, ka kopu nosaka tās elementi, tas ir, kopa ir dota, ja var teikt, ka kāds objekts pieder šai kopai vai nē. Ir divi veidi, kā norādīt kopas.
- elementu uzskaitījumi.
Piemēram, ja kopa A sastāv no elementiem a, b, c, tad tie raksta: A = (a, b, c).
Ne katru kopu var norādīt, izmantojot elementu uzskaitījumu. Kopas, kuru visus elementus var uzskaitīt, sauc par galīgām. Kopas, kuru visus elementus nevar uzskaitīt, sauc par bezgalīgām. Tos nevar norādīt, izmantojot elementu uzskaitījumu. Izņēmums ir bezgalīgas kopas, kurās ir skaidra katra nākamā elementa veidošanas secība, pamatojoties uz iepriekšējo. Piemēram, naturālo skaitļu kopa ir bezgalīga. Bet ir zināms, ka tajā katrs nākamais skaitlis, sākot no otrā, ir par 1 vairāk nekā iepriekšējais. Tāpēc jūs varat iestatīt N = (1, 2, 3, 4, ...) šādi.
- Komplektu var norādīt, izmantojot raksturīgās īpašības norāde.
raksturīga īpašība dotās kopas ir īpašība, kas piemīt visiem šīs kopas elementiem un nav nevienam no tai nepiederošajiem elementiem. To apzīmē: A = (x|…), kur aiz vertikālās joslas raksta šīs kopas elementu raksturīgo īpašību.
Piemēram, B=(1,2,3). Ir viegli redzēt, ka katrs kopas B elements ir naturāls skaitlis, kas mazāks par 4. Tieši šī kopas B elementu īpašība ir tai raksturīga. Šajā gadījumā viņi raksta: un lasa: “Kopa B sastāv no elementiem x tā, ka x pieder naturālo skaitļu kopai un x ir mazāks par četriem” vai kopa B sastāv no naturāliem skaitļiem, kas mazāki par 4. Kopa B var norādīt arī citā veidā: vai utt.
Turklāt, ja elements nepakļaujas kopas raksturīgajai īpašībai, tad tas nepieder pie šīs kopas. Ir kopas, kuras var norādīt, tikai norādot raksturīgu īpašību, piemēram, .
Īpaša nozīme skolas matemātikas kursā ir numuru komplekti, t.i. kopa, kuras elementi ir skaitļi. Skaitlisko kopu nosaukumiem matemātikā tiek pieņemts īpašs apzīmējums:
N = (1, 2, 3, 4, …) - naturālu skaitļu kopa;
Z = (…,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …) - veselu skaitļu kopa (satur visus naturālos skaitļus un to pretstatus);
Q = (x | x=p/q, kur p∈Z, q∈N) - racionālo skaitļu kopa (sastāv no skaitļiem, kurus var attēlot kā parastu daļskaitli);
J - iracionālu skaitļu kopa (kopa, kas sastāv no bezgalīgām decimāldaļām neperiodiskām daļām, piemēram: 1,23456342 …; un utt.)
R = (-∞; +∞) - reālo skaitļu kopa.
Visu reālo skaitļu kopa L. Eilers, kas attēlots, izmantojot apļus. (1. att.)
Jāņem vērā, ka visas skaitliskās kopas var norādīt, izmantojot skaitlisko intervālu. (2. att.)
Skaitlisko diapazonu veidi
Kopa C, kas tika apspriesta iepriekš, ir skaitļu kopa, un to var norādīt, izmantojot ciparu atstarpi (3. att.)
3. attēls — skaitļu atstarpe
Norādīsim vēl vienu svarīgu noteikumu skaitlisko kopu norādīšanai: ierobežotas skaitliskās kopas tiek attēlotas uz reālās līnijas ar atsevišķiem punktiem.
Matemātikā dažreiz ir jāņem vērā kopas, kurās ir tikai viens elements, un pat kopas, kurām nav viena elementa. Tiek izsaukta kopa, kas nesatur nevienu elementu tukšs. To apzīmē ar zīmi ∅. Piemēram, dota kopa A=(x|x∈N∧-2
Ir vērts atzīmēt, ka, runājot par divām vai vairākām kopām, starp tām var būt vai var nebūt nekādas attiecības. Ja komplekti ir kādās attiecībās, tad runa ir par attiecībām vienlīdzība vai attiecības iekļaušana.
Iestatiet A ieslēdzas kopai B, ja katrs kopas A elements pieder kopai B. Šo sakarību apzīmē šādi: A⊂B. Vai arī citā veidā viņi saka, ka kopa A ir kopas B apakškopa.
Tiek izsauktas kopas A un B vienāds, ja un tikai tad, ja katrs kopas A elements pieder kopai B un tajā pašā laikā katrs kopas B elements pieder kopai A. Šo sakarību apzīmē šādi: A \u003d B
Piemēram:
1) A=(a,b,c,d) un B=(b,d), šīs kopas ir saistībā ar iekļaušanu B⊂A, jo Katrs kopas B elements pieder kopai A.
2) M=(x|x∈R∧x<6}=(-∞;6) и K{x|x∈R∧x≤8}=(-∞;8], эти множества находятся в отношении включения M⊂K, т.к. каждый элемент множества M принадлежит множеству K (Рис. 4)
4. attēls – skaitļu atstarpe
3) A=(x|x∈N∧x:2)=(2,4,6,8,10,...) un B=(x|x∈N∧x:3)=(3,6) ,9,12,...), šīs divas kopas nav nevienā saistībā A⊄B, jo kopai A ir elements 2, kas nepieder kopai B
un B⊄A, jo kopā B ir elements 3, kas nepieder kopai A.
Tāpēc šiem komplektiem nav nekādas attiecības.
III. Operācijas un operāciju īpašības kopās
Def.1. krustojums kopas A un B ir darbība, kuras rezultāts ir kopa, kas sastāv no tiem un tikai tiem elementiem, kas vienlaikus pieder gan A, gan B.
A∩B=(x|x∈A∧x∈B)
Def.2.asociācija kopas A un B ir darbība, kuras rezultāts ir kopa, kas sastāv no tiem un tikai tiem elementiem, kas pieder kopai A vai kopai B (ti, vismaz vienai no šīm kopām).
A∪B=(x|x∈A∨x∈B)
Def.3. atšķirība kopas A un B sauc par operāciju, kuras rezultāts ir kopa, kas sastāv no tiem un tikai tiem elementiem, kuri vienlaikus pieder A un nepieder B.
A\ B =(x∈A∧x∉B)
Def.4. Komplekta A papildināšana universālajam komplektam Kopu sauc par kopu, kuras katrs elements pieder pie universālā un nepieder pie A.
Iestatiet izteiksmes
No kopām var izveidot uz tām veikto darbību zīmes un, iespējams, iekavās, izteiksmes. Piemēram, A∩B\C.
Ir jāzina darbību secība šādās izteiksmēs un jāprot tās lasīt.
Operāciju kārtība
ja nav iekavu, tad vispirms tiek veikta vienkāršās kopas pievienošana universālajai kopai, tad krustojums un savienojums (tie ir vienādi viens ar otru), un visbeidzot - atšķirība;
ja izteiksmē ir iekavas, tad vispirms veiciet darbības iekavās 1. punktā norādītajā secībā un pēc tam visas darbības ārpus iekavām.
Piemēram, a) A∩B\C; b) A∩(B\C); c) A∩(B\C)" .
Izteiksmes nolasīšana sākas no pēdējās darbības rezultāta. Piemēram, izteiksme a) tiek lasīta šādi: divu kopu starpība, no kurām pirmā ir kopu A un B krustpunkts, bet otrā ir kopa C.
Eilera apļi
Operācijas ar kopām un attiecības starp tām var attēlot, izmantojot Eilera apļus. Tie ir īpaši zīmējumi, kuros parastās kopas ir attēlotas ar apļiem, universālais - ar taisnstūri.
Uzdevums. Uzzīmējiet kopu (A∪B)"∩C, izmantojot Eilera apļus.
Risinājums. Sakārtosim operāciju izpildes secību šajā izteiksmē: (A∪B) "∩C. Noēnojiet operāciju rezultātus atbilstoši to izpildes secībai
Iestatiet darbības rekvizītus(5. att.)
Īpašības I - 8 un 1 0 - 8 0 ir savstarpēji saistītas ar tā saukto dualitātes principu:
ja kādā no divām īpašību kolonnām zīmes ∩→∪, ∪→∩, ∅→U, U→∅ ir apgrieztas, tad tiks iegūta cita īpašību kolonna.
IV. Komplekta sadalīšana klasēs
Tiek uzskatīts, ka kopa X tiek sadalīta pa pāriem nesaistītās apakškopās vai klasēs, ja ir izpildīti šādi nosacījumi:
1) jebkuru divu apakškopu krustpunkts ir tukšs;
2) visu apakškopu savienība sakrīt ar kopu X.
Kopas iedalījumu klasēs sauc par klasifikāciju.
V. Kopu Dekarta reizinājums
Kopu A un B Dekarta reizinājums ir pāru kopa, no kurām katra pirmā sastāvdaļa pieder kopai A, bet otrā - kopai B. Kopu A un B Dekarta reizinājums tiek apzīmēts ar A x B. Tādējādi A×B=((x,y)|x ∈A˄y∈B). Kopu A un B Dekarta reizinājuma atrašanas operāciju sauc par šo kopu Dekarta reizinājumu. Ja A un B ir skaitļu kopas, tad šo kopu Dekarta reizinājuma elementi tiks sakārtoti skaitļu pāros.
VI. Summas un produkta noteikumi
Galīgas kopas A elementu skaitu apzīmē ar n(A). Ja kopas A un B nekrustojas, tad n(AUB)= n(A) + n(B). Ja kopas A un B krustojas, tad n(A U B) = n (A) + n (B) - n (A ∩ B).
Kopu A un B Dekarta reizinājuma elementu skaitu aprēķina pēc formulas n (A X B) = n (A) . n(B).
Kombinatorikas disjunktu galīgo kopu savienības elementu skaita skaitīšanas noteikumu sauc par summas likumu, ja elementu x var izvēlēties k veidos, bet elementu y var izvēlēties m veidos, un neviens no veidiem, kā izvēlēties elements x sakrīt ar elementa y izvēles veidu, tad izvēli "x vai y" var izdarīt k + m veidos.
Noteikumu par galīgo kopu Dekarta reizinājuma elementu skaita skaitīšanu kombinatorikā sauc par reizinājuma likumu: ja elementu x var izvēlēties k veidos, bet elementu y — m veidos, tad pāris (x, y) var izvēlēties km veidos.
VII. Izmantoto avotu saraksts
Asejevs G.G. Abramovs O.M., Sitņikovs D.E. Diskrētā matemātika: mācību grāmata. - Rostova n / a: "Fēnikss", Harkova: "Torsing", 2003, -144s.
Viļenkins N. Ja. Algebra. Mācību grāmata vidusskolu IX - X klasēm ar matemātikas specializāciju, 1968.g
Viļenkins N.Ya. Iestatiet stāstus. M.: Izdevniecība "Zinātne". - 1965. - 128s
Eilera diagrammas — Venn.URL: http://studopedia.net/1_5573_diagrammi-eylera-venna.html
Kireenko S.G., Grinshpon I.E. Kopu teorijas elementi (mācību grāmata). - Tomska, 2003. - 42 lpp.
Kuratovskis K., Mostovskis A. Kopu teorija. - M.: Mir, 1970, - 416s.
