Funkcijas cos x integrālis ir. Kompleksi integrāļi

Kompleksi integrāļi

Šis raksts pabeidz tēmu par nenoteiktiem integrāļiem un ietver integrālus, kas man šķiet diezgan grūti. Nodarbība tika izveidota pēc atkārtotiem apmeklētāju pieprasījumiem, kuri izteica vēlmi, lai vietnē tiktu analizēti arī grūtāki piemēri.

Tiek pieņemts, ka šī teksta lasītājs ir labi sagatavojies un zina, kā piemērot integrācijas pamatmetodes. Manekeniem un cilvēkiem, kuri nav ļoti pārliecināti par integrāļiem, vajadzētu atsaukties uz pirmo stundu - Nenoteikts integrālis. Risinājumu piemēri, kur tēmu var apgūt praktiski no nulles. Pieredzējušāki studenti var iepazīties ar integrācijas paņēmieniem un metodēm, kuras manos rakstos vēl nav izpildītas.

Kādi integrāļi tiks apsvērti?

Pirmkārt, mēs apsvērsim integrālus ar saknēm, kuru risināšanai mēs secīgi izmantojam mainīga aizstāšana un integrācija pa daļām... Tas ir, vienā piemērā vienlaikus tiek apvienotas divas metodes. Un vēl vairāk.

Tad mēs iepazīsimies ar interesantu un oriģinālu metode integrāļa samazināšanai sevī... Šādi tiek atrisināti ne tik maz integrāļu.

Trešais programmas numurs tiks piešķirts sarežģīto frakciju integrāļiem, kas iepriekšējos rakstos aizlidoja garām kasēm.

Ceturtkārt, tiks analizēti papildu trigonometrisko funkciju integrāļi. Jo īpaši ir metodes, lai izvairītos no laikietilpīgas universālās trigonometriskās aizstāšanas.

(2) Integrandā mēs dalām skaitītāju ar saucēja terminu pēc termina.

(3) Mēs izmantojam nenoteikta integrāla linearitātes īpašību. Tūlīt pēdējā neatņemamajā daļā mēs ievedam funkciju zem diferenciālās zīmes.

(4) Paņemiet atlikušos integrālus. Ņemiet vērā, ka logaritmā var izmantot iekavas, nevis moduli.

(5) Mēs veicam reverso aizstāšanu, izsakot no tiešās aizvietošanas "te":

Mazohistiskie studenti var atšķirt atbildi un iegūt sākotnējo integrandu, kā es tikko izdarīju. Nē, nē, es veicu pārbaudi pareizajā nozīmē \u003d)

Kā redzat, risinājuma laikā bija jāizmanto pat vairāk nekā divas risinājuma metodes, tādējādi, lai tiktu galā ar šādiem integrāļiem, ir vajadzīgas pārliecinošas integrācijas prasmes un ne mazākā pieredze.

Praksē, protams, kvadrātsakne ir biežāk sastopama, šeit ir trīs piemēri neatkarīgs lēmums:

2. piemērs

Atrodiet nenoteiktu integrāli

3. piemērs

Atrodiet nenoteiktu integrāli

4. piemērs

Atrodiet nenoteiktu integrāli

Šie piemēri ir viena veida, tāpēc pilnīgs risinājums raksta beigās būs tikai 2. piemēram, 3.-4. Piemērā - viena atbilde. Kuru aizstājēju izmantot risinājumu sākumā, es domāju, ka tas ir acīmredzams. Kāpēc es izvēlējos tāda paša veida piemērus? Viņi bieži tiekas savā lomā. Biežāk varbūt tikai kaut kas līdzīgs .

Bet ne vienmēr, kad zem arktangenta, sinusa, kosinusa, eksponenta un citām funkcijām ir saknes lineārā funkcija, jums jāpiemēro vairākas metodes vienlaikus. Vairākos gadījumos ir iespējams "viegli izkāpt", tas ir, tūlīt pēc nomaiņas tiek iegūts vienkāršs integrālis, kas tiek ņemts elementāri. Vieglākais no iepriekš piedāvātajiem uzdevumiem ir 4. piemērs, kurā pēc aizstāšanas tiek iegūts salīdzinoši vienkāršs integrālis.

Samazinot integrāli sevī

Ģeniāla un skaista metode. Nekavējoties apskatīsim žanra klasiku:

5. piemērs

Atrodiet nenoteiktu integrāli

Zem saknes ir kvadrātveida binoms, un, mēģinot integrēt šo piemēru, tējkanna var ciest stundām ilgi. Šāds integrālis tiek paņemts pa gabalu un samazināts līdz pašam. Principā nav grūti. Ja jūs zināt, kā.

Apzīmēsim aplūkojamo integrālu ar latīņu burtu un sāksim risinājumu:

Mēs integrējam pa gabalu:

(1) Sagatavojiet integranda funkciju terminu dalīšanai.

(2) Mēs sadalām integranda terminu pēc termina. Varbūt ne visi to saprot, es rakstīšu sīkāk:

(3) Mēs izmantojam nenoteikta integrāla linearitātes īpašību.

(4) Paņemiet pēdējo integrālo (“garo” logaritmu).

Tagad mēs aplūkojam pašu risinājuma sākumu:

Un beigās:

Kas notika? Mūsu manipulāciju rezultātā integrālis ir samazinājies pats par sevi!

Vienādosim sākumu un beigas:

Pārvietojieties pa kreisi ar zīmes maiņu:

Un mēs nesam deucu uz labo pusi. Rezultātā:

Pastāvīgais, stingri sakot, bija jāpievieno agrāk, bet beigās to pievienoja. Es ļoti iesaku izlasīt to, kas šeit ir stingrs:

Piezīme: Stingrāk sakot, risinājuma pēdējais posms izskatās šādi:

Pa šo ceļu:

Konstantu var pārveidot kā. Kāpēc jūs varat atkārtoti iecelt? Jo tas joprojām pieņem jebkurš vērtības, un šajā ziņā starp konstantēm un.
Rezultātā:

Līdzīgs pastāvīgas pārprojektēšanas triks tiek plaši izmantots diferenciālvienādojumi... Un tur es būšu stingra. Un šeit šādu brīvību es atļauju tikai tāpēc, lai nemulsinātu jūs ar nevajadzīgām lietām un koncentrētos uz pašu integrācijas metodi.

6. piemērs

Atrodiet nenoteiktu integrāli

Vēl viens tipisks neatkarīga risinājuma neatņemams elements. Pilnīgs risinājums un atbilde apmācības beigās. Atšķirība ar atbildi no iepriekšējā piemēra būs!

Ja zem kvadrātsakne tiek atrasts kvadrātveida trinoms, tad risinājums jebkurā gadījumā tiek samazināts līdz diviem analizētajiem piemēriem.

Piemēram, apsveriet integrālo ... Viss, kas jums jādara, ir iepriekš atlasiet pilnu kvadrātu:
.
Tālāk tiek veikta lineāra nomaiņa, kas tiek iztērēta "bez jebkādām sekām":
, kā rezultātā veidojas neatņemama sastāvdaļa. Kaut kas pazīstams, vai ne?

Vai arī šāds piemērs ar kvadrātveida binomiālu:
Atlasiet pilnu kvadrātu:
Un pēc lineāras nomaiņas mēs iegūstam integrālu, kas arī tiek atrisināts pēc jau aplūkotā algoritma.

Apsveriet vēl divus tipiskus piemērus, kā samazināt sevis sastāvdaļu:
- eksponenta integrālis, kas reizināts ar sinusu;
Vai eksponenta integrālis tiek reizināts ar kosinusu.

Uzskaitītajos integrālos pa daļām būs nepieciešams integrēt jau divas reizes:

7. piemērs

Atrodiet nenoteiktu integrāli

Integrands ir eksponents, kas reizināts ar sinusu.

Mēs divreiz integrējam pa daļām un samazinām integrālu sevī:

Divkāršas detaļu integrācijas rezultātā integrālis samazinājās līdz pašam. Vienādosim risinājuma sākumu un beigas:

Pārvietojieties pa kreisi ar zīmes maiņu un izsakiet mūsu neatņemamo daļu:

Gatavs. Pa ceļam ieteicams ķemmēt labo pusi, t.i. ielieciet eksponentu ārpus iekavām un iekavās sakārtojiet sinusu un kosinusu "jaukā" secībā.

Tagad atgriezīsimies pie piemēra sākuma vai drīzāk pie integrācijas pa daļām:

Jo mēs atzīmējām izstādes dalībnieku. Rodas jautājums, vai tieši eksponentu vienmēr vajadzētu apzīmēt ar? Nav nepieciešams. Patiesībā uzskatāmajā neatņemamajā fundamentāli nav atšķirībasko apzīmēt, jūs varētu iet citu ceļu:

Kāpēc tas ir iespējams? Tā kā eksponenciālais pārvēršas pats par sevi (gan diferencēšanas laikā, gan integrācijas laikā), sinus un kosinuss savstarpēji pārveidojas (atkal diferenciācijas un integrācijas laikā).

Tas ir, jūs varat arī noteikt trigonometrisko funkciju. Bet aplūkotajā piemērā tas nav tik racionāli, jo parādīsies frakcijas. Ja vēlaties, varat mēģināt atrisināt šo piemēru otrajā veidā, atbildēm jābūt vienādām.

8. piemērs

Atrodiet nenoteiktu integrāli

Šis ir piemērs pašdarinātam risinājumam. Pirms lēmuma pieņemšanas padomājiet par to, ko šajā gadījumā ir izdevīgāk noteikt, eksponenta vai trigonometrisko funkciju? Pilnīgs risinājums un atbilde apmācības beigās.

Un, protams, neaizmirstiet, ka lielākā daļa atbilžu šo nodarbību pietiekami viegli pārbaudīt ar diferenciāciju!

Piemēri netika uzskatīti par visgrūtākajiem. Praksē biežāk sastopami integrāļi, kur konstante ir gan eksponentā, gan trigonometriskās funkcijas argumentā, piemēram: Daudziem būs jāpazūd šādā neatņemamībā, un es pats bieži apjuku. Fakts ir tāds, ka šķīdumā ir liela frakciju iespējamība, un ir ļoti viegli kaut ko zaudēt neuzmanības dēļ. Turklāt zīmēs ir liela kļūdu iespējamība, ņemiet vērā, ka eksponentam ir mīnus zīme, un tas rada papildu grūtības.

Pēdējā posmā bieži izrādās kaut kas līdzīgs šim:

Pat šķīduma beigās jums jābūt ļoti uzmanīgam un pareizi jārīkojas ar frakcijām:

Salikto frakciju integrēšana

Mēs lēnām tuvojamies stundas ekvatoram un sākam apsvērt frakciju integrāļus. Atkal, ne visi no tiem ir ļoti sarežģīti, tikai viena vai otra iemesla dēļ citos rakstos piemēri bija nedaudz "ārpus tēmas".

Turpinot sakņu tēmu

9. piemērs

Atrodiet nenoteiktu integrāli

Saucējā zem saknes ir kvadrātveida trīsvienības plus ārpus saknes "piedēklis" "x" formā. Šāda veida neatņemama sastāvdaļa tiek atrisināta, izmantojot standarta aizstāšanu.

Mēs nolemjam:

Aizstāšana ir vienkārša:

Mēs skatāmies uz dzīvi pēc nomaiņas:

(1) Pēc aizstāšanas termini saknē tiek novirzīti uz kopsaucēju.
(2) Mēs izņemam no saknes.
(3) Samaziniet skaitītāju un saucēju par. Tajā pašā laikā zem saknes es pārkārtoju noteikumus ērtā secībā. Ņemot vērā zināmu pieredzi, darbības (1), (2) var izlaist, veicot komentētās darbības mutiski.
(4) Iegūtais integrālis, kā jūs atceraties no stundas Dažu frakciju integrācija, atrisināts pilna kvadrāta izvēles metode... Atlasiet pilnu kvadrātu.
(5) Integrējot mēs iegūstam parastu "garu" logaritmu.
(6) Mēs veicam reverso nomaiņu. Ja sākotnēji, tad atpakaļ:
(7) Pēdējā darbība ir vērsta uz rezultāta frizūru: zem saknes mēs atkal novedam terminus pie kopsaucēja un izņemam tos no saknes.

10. piemērs

Atrodiet nenoteiktu integrāli

Šis ir piemērs pašdarinātam risinājumam. Šeit vientuļajam X ir pievienota konstante, un aizstāšana ir gandrīz tāda pati:

Vienīgais, kas jādara papildus, ir izteikt "X" no aizstājēja:

Pilnīgs risinājums un atbilde apmācības beigās.

Dažreiz šādā integrālī zem saknes var būt kvadrātveida binoms, tas nemaina risinājumu, tas būs vēl vienkāršāk. Sajūti atšķirību:

11. piemērs

Atrodiet nenoteiktu integrāli

12. piemērs

Atrodiet nenoteiktu integrāli

Īsi risinājumi un atbildes stundas beigās. Jāatzīmē, ka 11. piemērs ir tieši tāds binomālais integrālis, kuras risināšanas metode tika apsvērta nodarbībā Iracionālo funkciju integrāļi.

Nesadalāma 2. pakāpes polinoma pakāpē

(polinoms saucējā)

Retāk, bet tomēr praktiskajos piemēros sastopamā neatņemamā forma.

13. piemērs

Atrodiet nenoteiktu integrāli

Bet, atgriežoties pie piemēra ar laimīgo skaitli 13 (godīgi sakot, es nenojautu pareizi). Šis neatņemamais ir arī no to kategorijas, ar kuriem jūs varat diezgan mocīties, ja nezināt, kā to atrisināt.

Risinājums sākas ar mākslīgu pārveidošanu:

Es domāju, ka visi jau saprot, kā sadalīt skaitītāju ar saucēja vārdu pēc termina.

Iegūtais integrālis tiek ņemts pa gabalu:

Formas integrālim (ir dabisks skaitlis) atkārtojas Grādu samazināšanas formula:
kur - grādu zemāks integrālis.

Pārbaudīsim šīs formulas derīgumu atrisinātajam integrālim.
Šajā gadījumā: ,, mēs izmantojam formulu:

Kā redzat, atbildes ir vienādas.

14. piemērs

Atrodiet nenoteiktu integrāli

Šis ir piemērs pašdarinātam risinājumam. Parauga šķīdumā iepriekšminētā formula tiek izmantota divas reizes pēc kārtas.

Ja zem grāda ir nesaliekams kvadrātveida trinoms, tad šķīdums tiek samazināts līdz binomālam, atlasot pilnu kvadrātu, piemēram:

Ko darīt, ja skaitītājā ir papildu polinoms? Šajā gadījumā tiek izmantota nedefinētu koeficientu metode, un integrands tiek paplašināts frakciju summā. Bet manā praksē šāds piemērs nekad nav sanācis, tāpēc rakstā izlaidu šo lietu Daļējas racionālas funkcijas integrāļi, Tagad to izlaidīšu. Ja šāds neatņemams elements joprojām pastāv, skatiet apmācību - tur viss ir vienkārši. Es neuzskatu par lietderīgu iekļaut materiālu (pat vienkāršu), kura tikšanās varbūtība mēdz būt nulle.

Sarežģītu trigonometrisko funkciju integrācija

Lielākajā daļā piemēru īpašības vārds “grūti” atkal lielā mērā ir nosacīts. Sāksim ar pieskārieniem un kotangentiem augstos grādos. No pieskares un kotangenta risināšanai izmantoto metožu viedokļa tās ir gandrīz vienādas, tāpēc es runāšu vairāk par pieskārienu, norādot, ka demonstrētā integrāļa risināšanas metode ir derīga arī kotangentam.

Iepriekš minētajā nodarbībā mēs to aplūkojām universāla trigonometriskā aizstāšana lai atrisinātu noteikta veida integrālus trigonometriskās funkcijas... Universālās trigonometriskās aizstāšanas trūkums ir tāds, ka, to lietojot, bieži rodas apgrūtinoši integrāļi ar sarežģītiem aprēķiniem. Dažos gadījumos var izvairīties no universālas trigonometriskās aizstāšanas!

Apsveriet vēl vienu kanonisku piemēru, vienotības integrālis dalīts ar sinusu:

17. piemērs

Atrodiet nenoteiktu integrāli

Šeit jūs varat izmantot vispārēju trigonometrisko aizstāšanu un saņemt atbildi, taču ir racionālāks veids. Es sniegšu pilnīgu risinājumu ar komentāriem par katru soli:

(1) Mēs izmantojam dubultleņķa sinusa trigonometrisko formulu.
(2) Mēs veicam mākslīgu pārveidošanu: saucējā daliet un reiziniet ar.
(3) Saskaņā ar saucējā plaši pazīstamo formulu mēs frakciju pārveidojam par pieskari.
(4) Mēs ievedam funkciju zem diferenciāļa zīmes.
(5) Ņem integrāli.

Pāris vienkārši piemēri lai iegūtu neatkarīgu risinājumu:

18. piemērs

Atrodiet nenoteiktu integrāli

Piezīme. Pats pirmais solis ir formāta izmantošana un uzmanīgi veiciet iepriekšējam piemēram līdzīgas darbības.

19. piemērs

Atrodiet nenoteiktu integrāli

Nu, tas ir ļoti vienkāršs piemērs.

Pilnīgi risinājumi un atbildes stundas beigās.

Es domāju, ka tagad nevienam nebūs problēmu ar integrāļiem:
utt.

Kāda ir metodes ideja? Ideja ir organizēt tikai tangentus un pieskares atvasinājumu integrandā, izmantojot transformācijas, trigonometriskās formulas. Tas ir, mēs runājam par nomaiņu: ... 17.-19. Piemērā mēs faktiski izmantojām šo aizstājēju, taču integrāļi bija tik vienkārši, ka jautājums tika apstrādāts ar līdzvērtīgu darbību - funkciju novedot zem diferenciālās zīmes.

Līdzīgu pamatojumu, kā jau minēju, var veikt kotangentam.

Iepriekš minētā aizstājēja piemērošanai ir arī formāls priekšnoteikums:

Kosinusa un sinusa spēku summa ir negatīvs vesels skaitlis Pāra skaitlis , piemēram:

integrālim - negatīvs vesels skaitlis PAT skaitlis.

! Piezīme : ja integrands satur TIKAI sinusu vai TIKAI kosinusu, tad integrālis tiek ņemts arī par negatīvu nepāra pakāpi (vienkāršākie gadījumi ir piemēros Nr. 17, 18).

Apsveriet pāris nozīmīgākus šī noteikuma uzdevumus:

20. piemērs

Atrodiet nenoteiktu integrāli

Sinusa un kosinusa spēku summa: 2 - 6 \u003d –4 ir negatīvs vesels skaitlis EVEN skaitlis, kas nozīmē, ka integrāli var reducēt līdz pieskarēm un tā atvasinājumu:

(1) Pārveidojiet saucēju.
(2) Ar labi zināmo formulu mēs iegūstam.
(3) Mēs pārveidojam saucēju.
(4) Mēs izmantojam formulu .
(5) Mēs ievedam funkciju zem diferenciālās zīmes.
(6) Mēs veicam nomaiņu. Pieredzējušāki studenti, iespējams, neveic aizstāšanu, bet pieskārienu tomēr labāk aizstāt ar vienu burtu - mazāks sajaukšanas risks.

21. piemērs

Atrodiet nenoteiktu integrāli

Šis ir piemērs pašdarinātam risinājumam.

Turies, sākas čempionu kārtas \u003d)

Bieži vien integrandā ir "hodgepodge":

22. piemērs

Atrodiet nenoteiktu integrāli

Šis integrālis sākotnēji satur pieskārienu, kas uzreiz liek pamudināt jau pazīstamu domu:

Mākslīgā pārveidošana pašā sākumā un pārējie soļi, kurus es atstāšu bez komentāriem, jo \u200b\u200bviss jau ir teikts iepriekš.

Pāris radošu piemēru pašrisināšanai:

23. piemērs

Atrodiet nenoteiktu integrāli

24. piemērs

Atrodiet nenoteiktu integrāli

Jā, tajos, protams, jūs varat pazemināt sinusa, kosinusa pakāpes, izmantot universālo trigonometrisko aizstājēju, taču risinājums būs daudz efektīvāks un īsāks, ja jūs to izvelciet caur pieskārieniem. Pilnīgs risinājums un atbildes stundas beigās

Lai integrētu formas R (sin x, cos x) racionālās funkcijas, tiek izmantota aizvietošana, ko sauc par universālu trigonometrisko aizstāšanu. Tad. Vispārēja trigonometriskā aizstāšana bieži noved pie lieliem aprēķiniem. Tāpēc, kad vien iespējams, izmantojiet šādas aizstāšanas.

Funkciju integrācija racionāli atkarībā no trigonometriskajām funkcijām

1. Formas ∫ sin n xdx, ∫ cos n xdx integrāļi, n\u003e 0
a) Ja n ir nepāra, tad zem diferenciālzīmes jāievada viena sinxa (vai cosx) pakāpe, un no atlikušās pāra pakāpes jādodas uz pretējo funkciju.
b) Ja n ir pāra, tad mēs izmantojam grādu samazināšanas formulas
2. Formas Integr tg n xdx, ∫ ctg n xdx integrāļi, kur n ir vesels skaitlis.
Jums jāizmanto formulas

3. Formas als sin n x · cos m x dx integrāļi
a) Ļaujiet m un n būt atšķirīgai paritātei. Mēs izmantojam aizstāšanu t \u003d sin x, ja n ir nepāra vai t \u003d cos x, ja m ir nepāra.
b) Ja m un n ir pāra, tad mēs izmantojam grādu samazināšanas formulas
2sin 2 x \u003d 1-cos2x, 2cos 2 x \u003d 1 + cos2x.
4. Formas integrāļi
Ja skaitļiem m un n ir vienāda paritāte, tad mēs izmantojam aizstāšanu t \u003d tg x. Bieži vien ir ērti izmantot trigonometriskās vienības tehniku.
5.∫ grēks (nx) cos (mx) dx, ∫ cos (mx) cos (nx) dx, ∫ grēks (mx) sin (nx) dx

Mēs izmantosim formulas, lai pārveidotu trigonometrisko funkciju reizinājumu to summā:

• sin α cos β \u003d ½ (grēks (α + β) + grēks (α-β))
• cos α cos β \u003d ½ (cos (α + β) + cos (α-β))
• sin α · sin β \u003d ½ (cos (α-β) -cos (α + β))

Piemēri
1. Novērtējiet integrālu ∫ cos 4 x · sin 3 xdx.
Mēs veicam aizstāšanu cos (x) \u003d t. Tad ∫ cos 4 x sin 3 xdx \u003d
2. Aprēķiniet integrāli.
Veicot izmaiņas sin x \u003d t, mēs iegūstam

3. Atrodiet integrāli.
Mēs veicam izmaiņas tg (x) \u003d t. Aizstājot, mēs iegūstam

Tādu izteicienu kā R (sinx, cosx) integrācija

1. piemērs. Aprēķiniet integrālus:

Lēmums.
a) Formas R (sinx, cosx) izteiksmju integrācija, kur R ir sin x un cos x racionāla funkcija, tiek pārveidotas par racionālu funkciju integrāļiem, izmantojot universālo trigonometrisko aizstāšanu tg (x / 2) \u003d t.
Tad mums ir

Universālā trigonometriskā aizstāšana ļauj pāriet no formas ∫ R (sinx, cosx) dx integrāļa uz frakcionālas racionālas funkcijas integrālu, taču bieži šāda aizstāšana noved pie apgrūtinošām izteiksmēm. Noteiktos apstākļos efektīvākas ir vienkāršākas aizstāšanas:

• Ja vienādība R (-sin x, cos x) \u003d -R (sin x, cos x) dx ir spēkā, tad tiek izmantota aizstāšana cos x \u003d t.
• Ja vienādība R (sin x, -cos x) \u003d -R (sin x, cos x) dx ir spēkā, tad aizstāšana sin x \u003d t.
• Ja vienādība R (-sin x, -cos x) \u003d R (sin x, cos x) dx ir spēkā, tad aizstāšana tgx \u003d t vai ctg x \u003d t.

Šajā gadījumā, lai atrastu neatņemamo
piemērot universālo trigonometrisko aizstāšanu tg (x / 2) \u003d t.
Tad atbildiet:

Antivielu tabula ("integrāļi"). Neatņemama tabula. Tabulā nenoteikti integrāļi. (Visvienkāršākie integrāļi un integrāļi ar parametru). Integrācijas formulas pa daļām. Ņūtona-Leibnica formula.

Antivielu tabula ("integrāļi"). Tabulā nenoteikti integrāļi. (Visvienkāršākie integrāļi un integrāļi ar parametru).
Jaudas funkcijas integrāls.	Jaudas funkcijas integrāls.
Integrālis, kas reducējas līdz jaudas funkcijas integrālim, ja x tiek virzīts zem diferenciālās zīmes.
	Eksponenta integrālis, kur a ir nemainīgs skaitlis.
Sarežģītas eksponenciālās funkcijas integrāls.	Eksponenciālās funkcijas integrāls.
Integāls vienāds ar dabisko logotipu.	Neatņemams: "Garais logaritms".
	Neatņemams: "Garais logaritms".
Neatņemams: "Augsts logaritms".	Integrālis, kur skaitītājā x tiek ievadīts zem diferenciāļa zīmes (konstanti zem zīmes var vai nu saskaitīt, vai atņemt), galu galā ir līdzīgs integrālim, kas vienāds ar dabisko logotipu.
Neatņemams: "Augsts logaritms".
Kosinusa neatņemama sastāvdaļa.	Sinusa neatņemama sastāvdaļa.
Integāls vienāds ar pieskārienu.	Integral vienāds ar kotangentu.
Integrāli vienāds gan arcsine, gan arcsine
Integāls ir vienāds ar apgriezto sinusu un apgriezto kosinusu.	Integāls ir vienāds ar loka tangensu un loka kotangentu.
Integrāli vienāds ar kosekantu.	Integral vienāds ar secant.
Integrāli vienāds ar arkececant.	Integrāli vienāds ar arkececant.
Integrāli vienāds ar arkececant.	Integrāli vienāds ar arkececant.
Integrāli vienāds ar hiperbolisko sinusu.	Integrāli vienāds ar hiperbolisko kosinusu.
Integral vienāds ar hiperbolisko sinusu, kur sinhx ir hiperboliskais sinuss angļu valodas versijā.	Integrāli vienāds ar hiperbolisko kosinusu, kur sinhx ir hiperboliskais sinuss angļu valodas versijā.
Integral vienāds ar hiperbolisko tangensu.	Integral vienāds ar hiperbolisko kotangentu.
Integrāli vienāds ar hiperbolisko sekantu.	Integrāli vienāds ar hiperbolisko kosekantu.

Integrācijas formulas pa daļām. Integrācijas noteikumi.

Integrācijas formulas pa daļām. Ņūtona-Leibnica formula. Integrācijas noteikumi.
Produkta (funkcijas) integrācija ar konstanti:
Funkciju summas integrācija:
nenoteiktie integrāļi:
Integrācijas pa daļām formula noteikti integrāļi:
Ņūtona-Leibnica formula noteikti integrāļi:	Kur F (a), F (b) ir antivielas attiecīgi punktos b un a.

Atvasinājumu tabula. Tabulveida atvasinājumi. Darba atvasinājums. Dalījuma atvasinājums. Sarežģītas funkcijas atvasinājums.

Ja x ir neatkarīgs mainīgais, tad:

Atvasinājumu tabula. Galda atvasinājumi. "Galda atvasinājums" - jā, diemžēl šādi viņi tiek meklēti internetā
	Jaudas funkcijas atvasinājums
	Eksponenta atvasinājums
Sarežģītas eksponenciālās funkcijas atvasinājums	Eksponenciālās funkcijas atvasinājums
Logaritmiskās funkcijas atvasinājums	Dabiskā logaritma atvasinājums
	Funkcijas dabiskā logaritma atvasinājums
Sinusa atvasinājums	Kosinusa atvasinājums
Kosekanta atvasinājums	Secant atvasinājums
Arcsine atvasinājums	Arkozīna atvasinājums
Arcsine atvasinājums	Arkozīna atvasinājums
Pieskares atvasinājums	Kotangenta atvasinājums
Arktangentais atvasinājums	Loka kotangenta atvasinājums
Arktangentais atvasinājums	Loka kotangenta atvasinājums
Arkčeka atvasinājums	Arksekanta atvasinājums
Arkčeka atvasinājums	Arksekanta atvasinājums
Hiperboliskā sinusa atvasinājums Hiperboliskā sinusa atvasinājums angļu valodas versijā	Hiperboliskā kosinusa atvasinājums Hiperboliskā kosinusa atvasinājums angļu valodas versijā
Hiperboliskā tangenta atvasinājums	Hiperboliskā kotangenta atvasinājums
Hiperboliskā sekanta atvasinājums	Hiperboliskā kosekanta atvasinājums

Diferencēšanas noteikumi. Darba atvasinājums. Dalījuma atvasinājums. Sarežģītas funkcijas atvasinājums.
Produkta (funkcijas) atvasinājums ar konstanti:
Summas atvasinājums (funkcijas):
Produkta atvasinājums (funkcijas):
Dalījuma (funkciju) atvasinājums:
Sarežģītas funkcijas atvasinājums:

Logaritmu īpašības. Logaritmu pamatformulas. Decimāldaļa (lg) un dabiskie logaritmi (ln).

Pamata logaritmiskā identitāte
Parādīsim, kā jebkuru formas b funkciju var padarīt par eksponenciālu. Tā kā formas ex funkciju sauc par eksponenciālu, tad
Jebkuru formas a b funkciju var attēlot kā desmit spēku

Dabiskais logaritms ln (logaritma pamatne e \u003d 2,718281828459045 ...) ln (e) \u003d 1; ln (1) \u003d 0

Teilora sērija. Teilora sērijas funkcijas paplašināšana.

Izrādās, ka lielākā daļa praktiski notiek matemātiskās funkcijas var attēlot ar jebkuru precizitāti punkta tuvumā jaudas sēriju veidā, kas satur mainīgā pakāpes augošā secībā. Piemēram, punkta x \u003d 1 tuvumā:

Lietojot izsauktās rindas pēc Teilora rindām, jauktas funkcijas, kas satur, teiksim, algebriskās, trigonometriskās un eksponenciālās funkcijas, var izteikt kā tīri algebriskas funkcijas. Izmantojot sērijas, diferenciāciju un integrāciju bieži var izdarīt ātri.

Teilora sērijai punkta a tuvumā ir šādas formas:

1) , kur f (x) ir funkcija, kurai ir visu x \u003d a pasūtījumu atvasinājumi. R n - atlikumu Teilora sērijā nosaka izteiksme

2)

sērijas k-to koeficientu (pie x k) nosaka pēc formulas

3) Īpašs Teilora sērijas gadījums ir Maclaurin (\u003d McLaren) sērija (izplešanās notiek ap punktu a \u003d 0)

par a \u003d 0

sērijas dalībniekus nosaka formula

Teilora sērijas piemērošanas nosacījumi.

1. Lai funkcija f (x) tiktu izvērsta Teilora sērijā intervālā (-R; R), ir nepieciešams un pietiekams, lai atlikums Teilora formulā (Maklaurins (\u003d McLarens)) šai funkcijai pie k → ∞ norādītajā intervālā (-R; R).

2. Ir nepieciešams, lai šai funkcijai būtu atvasinājumi vietā, kuras tuvumā mēs izveidosim Teilora sēriju.

Teilora sērijas īpašības.

Ja f ir analītiska funkcija, tad tā Teilora sērija jebkurā f apgabala punktā a saplūst ar f dažos a kaimiņos.

Ir bezgalīgi diferencējamas funkcijas, kuru Teilora sērijas saplūst, bet atšķiras no funkcijas jebkurā a apkaimē. Piemēram:

Taylor sērijas tiek izmantotas tuvināšanai (tuvināšana - zinātniska metode, kas sastāv no dažu objektu aizstāšanas ar citiem vienā vai otrā nozīmē tuvu sākotnējām, bet vienkāršākām) funkcijām ar polinomiem. Jo īpaši linearizācija ((no linearis - lineāra), kas ir viena no slēgto nelineāro sistēmu aptuvenas attēlojuma metodēm, kurā nelineārās sistēmas izpēti aizstāj ar lineāras sistēmas analīzi, savā ziņā līdzvērtīgu sākotnējai. pirmais pasūtījums.

Tādējādi gandrīz jebkuru funkciju var attēlot kā polinomu ar noteiktu precizitāti.

Dažu izplatītu paplašinājumu piemēri jaudas funkcijas Maklaurina sērijā (\u003d Maklarens, Teilors 0 punkta tuvumā) un Teilors 1. punkta tuvumā. Teilora un Maklarena sērijas galveno funkciju paplašināšanas pirmie noteikumi.

Dažu izplatītu jaudas funkciju paplašinājumu piemēri Maclaurin sērijās (\u003d Maklarens, Teilors 0 punkta tuvumā)

Dažu izplatītu Teilora sērijas paplašinājumu piemēri 1. punkta tuvumā

Detalizēti tiek aplūkoti integrāļu risinājumu piemēri pa daļām, kuru integrands ir eksponenta (e x izteiksmē) vai sinusa (sin x) vai kosinusa (cos x) polinoma reizinājums.

Saturs

Skatīt arī: Integrācija pa daļām
Nenoteikta integrālā tabula
Beztermiņa integrāļu aprēķināšanas metodes
Pamata pamatfunkcijas un to īpašības

Integrācijas pa daļām formula

Atrisinot šīs sadaļas piemērus, tiek izmantota integrācijas pa daļām formula:
;
.

Integrālu piemēri, kas satur polinoma un sin x, cos x vai e x reizinājumu

Šeit ir šādu integrālu piemēru piemēri:
, , .

Lai integrētu šādus integrālus, polinomu apzīmē ar u, bet pārējo - ar v dx. Tālāk tiek izmantota integrācijas formula pa daļām.

Detalizēts šo piemēru risinājums ir sniegts zemāk.

Integrētu risinājumu piemēri

Piemērs ar eksponentu, e līdz x jaudai

Nosakiet integrāli:
.

Ļaujiet mums ieviest eksponentu zem diferenciālās zīmes:
e - x dx \u003d - e - x d (-x) \u003d - d (e - x).

Mēs integrējam pa daļām.

šeit
.
Atlikušais integrālis ir integrējams arī pa daļām.
.
.
.
Visbeidzot, mums ir:
.

Integrāla ar sinusu definēšanas piemērs

Aprēķiniet integrāli:
.

Ieviesīsim sinusu zem diferenciāļa zīmes:

Mēs integrējam pa daļām.

šeit u \u003d x 2, v \u003d cos (2 x + 3), du \u003d ( x 2 )′ dx

Atlikušais integrālis ir integrējams arī pa daļām. Šim nolūkam mēs ieviešam kosinusu zem diferenciālās zīmes.


šeit u \u003d x, v \u003d grēks (2 x + 3), du \u003d dx

Visbeidzot, mums ir:

Polinoma un kosinusa reizinājuma piemērs

Aprēķiniet integrāli:
.

Ieviesīsim kosinusu zem diferenciālās zīmes:

Mēs integrējam pa daļām.

šeit u \u003d x 2 + 3 x + 5, v \u003d grēks 2 x, du \u003d ( x 2 + 3 x + 5 )′ dx

Galvenais trigonometriskās formulas un pamata aizstājēji. Tiek pasniegtas metodes trigonometrisko funkciju integrēšanai - racionālo funkciju integrācija, sin x un cos x jaudas funkciju reizinājums, polinoma, eksponenta un sinusa vai kosinusa produkts, apgriezto trigonometrisko funkciju integrācija. Tiek ietekmētas nestandarta metodes.

Saturs

Trigonometrisko funkciju integrēšanas standarta metodes

Vispārēja pieeja

Pirmkārt, ja nepieciešams, integrands ir jāpārveido tā, lai trigonometriskās funkcijas būtu atkarīgas no viena argumenta, kas sakristu ar integrācijas mainīgo.

Piemēram, ja integrands ir atkarīgs no grēks (x + a) un cos (x + b), tad jums vajadzētu veikt transformāciju:
cos (x + b) \u003d cos (x + a - (a-b)) \u003d cos (x + a) cos (b-a) + grēks (x + a) grēks (b-a).
Pēc tam veiciet izmaiņas z \u003d x + a. Rezultātā trigonometriskās funkcijas būs atkarīgas tikai no integrācijas z mainīgā lieluma.

Kad trigonometriskās funkcijas ir atkarīgas no viena argumenta, kas sakrīt ar integrācijas mainīgo (pieņemsim, ka tas ir z), tas ir, integrands sastāv tikai no šāda veida funkcijām grēks z, cos z, tg z, ctg z, tad jums jāmaina
.
Šāda aizstāšana noved pie racionālu vai iracionālu funkciju integrācijas (ja ir saknes) un ļauj aprēķināt integrālu, ja tas integrējas pamatfunkcijas.

Tomēr jūs bieži varat atrast citas metodes, kas ļauj aprēķināt integrālu īsākā veidā, pamatojoties uz integranda specifiku. Tālāk ir sniegts galveno šādu metožu kopsavilkums.

Integrācijas metodes sin x un cos x racionālām funkcijām

Racionālas funkcijas no grēks x un cos x ir funkcijas, kas atvasinātas no grēks x, cos x un jebkuras konstantes, izmantojot saskaitīšanas, atņemšanas, reizināšanas, dalīšanas un paaugstināšanas līdz veselam skaitlim darbības. Tos apzīmē šādi: (sin x, cos x)... Tas var ietvert arī tangentus un kotangentus, jo tie tiek veidoti, dalot sinusu ar kosinusu un otrādi.
Racionālo funkciju integrāļi ir:
.

Racionālo trigonometrisko funkciju integrēšanas metodes ir šādas.
1) Aizstāšana vienmēr noved pie racionālās frakcijas integrāļa. Tomēr dažos gadījumos ir aizvietojumi (tie ir parādīti zemāk), kas noved pie īsākiem aprēķiniem.
2) Ja R (sin x, cos x) cos x → - cos x grēks x.
3) Ja R (sin x, cos x) reizinot ar -1, nomainot grēks x → - grēks x, tad aizstāšana t \u003d cos x.
4) Ja R (sin x, cos x) nemainās kā ar vienlaicīgu nomaiņu cos x → - cos xun grēks x → - grēks x, tad aizstāšana t \u003d tg x vai t \u003d ctg x.

Piemēri:
, , .

Cos x un sin x jaudas funkciju reizinājums

Formas integrāļi

ir racionālu trigonometrisko funkciju integrāļi. Tāpēc uz tām var attiecināt iepriekšējā sadaļā aprakstītās metodes. Zemāk mēs aplūkojam metodes, kuru pamatā ir šādu integrāļu specifika.

Ja m un n ir racionāli skaitļi, tad viena no aizstāšanām t \u003d grēks x vai t \u003d cos x integrālis reducējas līdz diferenciālbinoma integrālim.

Ja m un n ir veseli skaitļi, integrāciju veic, izmantojot reducēšanas formulas:

;
;
;
.

Piemērs:
.

Polinoma un sinusa vai kosinusa reizinājuma integrāļi

Formas integrāļi:
, ,
kur P (x) ir polinoms x, tiek integrēti pa daļām. Šajā gadījumā tiek iegūtas šādas formulas:

;
.

Piemēri:
, .

Polinoma, eksponenta un sinusa vai kosinusa produkta integrāļi

Formas integrāļi:
, ,
kur P (x) ir polinoms x, tiek integrēti, izmantojot Eulera formulu
e iax \u003d cos cirvis + isin cirvis (kur i 2 \u003d - 1 ).
Šim nolūkam pēc iepriekšējā punktā aprakstītās metodes tiek aprēķināts integrālis
.
Atdalot reālo un iedomāto daļu no rezultāta, tiek iegūti sākotnējie integrāļi.

Piemērs:
.

Nestandarta trigonometrisko funkciju integrēšanas metodes

Zemāk ir norādītas vairākas nestandarta metodes, kuras var izmantot, lai veiktu vai vienkāršotu trigonometrisko funkciju integrāciju.

Atkarība no (sin x + b cos x)

Ja integrands ir atkarīgs tikai no a grēks x + b cos x, tad ir lietderīgi izmantot formulu:
,
kur.

piemēram

Frakcijas no sinusa un kosinusa sadalīšanās vienkāršākās frakcijās

Apsveriet integrālo
.
Vieglākais veids, kā integrēt, ir paplašināt daļu vienkāršākos, izmantojot transformāciju:
grēks (a - b) \u003d grēks (x + a - (x + b)) \u003d grēks (x + a) cos (x + b) - cos (x + a) grēks (x + b)

Pirmās pakāpes frakciju integrācija

Aprēķinot integrāli
,
ir ērti izvēlēties daļskaitļa veselu skaitli un saucēja atvasinājumu
a 1 grēks x + b 1 cos x \u003d A (grēks x + b cos x) + B (grēks x + b cos x) ′ .
Konstantes A un B tiek atrastas, salīdzinot kreiso un labo pusi.

Atsauces:
N.M. Ginters, R.O. Kuzmins, Augstākās matemātikas problēmu apkopojums, "Lan", 2003.

Skatīt arī: