Nevienādību grafiki ar diviem mainīgajiem. Vienādojumi un nevienādības ar diviem mainīgajiem
Ļaujiet f(x,y) Un g(x, y)- divas izteiksmes ar mainīgajiem X Un plkst un darbības jomu X. Tad formas nevienādības f(x, y) > g(x, y) vai f(x, y) < g(x, y) sauca nevienādība ar diviem mainīgajiem .
Mainīgo nozīme x, y no daudziem X, pie kuras nevienādība pārvēršas patiesā skaitliskā nevienādībā, to sauc lēmumu un ir norādīts (x, y). Atrisiniet nevienlīdzību - tas nozīmē atrast daudzus šādus pārus.
Ja katrs skaitļu pāris (x, y) no risinājumu kopas līdz nevienādībai, saskaņojiet punktu M(x, y), mēs iegūstam punktu kopu plaknē, ko nosaka šī nevienādība. Viņu sauc šīs nevienlīdzības grafiks . Nevienādības grafiks parasti ir plaknes laukums.
Attēlot nevienlīdzības risinājumu kopu f(x, y) > g(x, y), rīkojieties šādi. Vispirms nomainiet nevienlīdzības zīmi ar vienādības zīmi un atrodiet līniju, kurā ir vienādojums f(x,y) = g(x,y). Šī līnija sadala plakni vairākās daļās. Pēc tam pietiek paņemt vienu punktu katrā daļā un pārbaudīt, vai šajā punktā ir izpildīta nevienlīdzība f(x, y) > g(x, y). Ja tas tiek izpildīts šajā punktā, tas tiks izpildīts visā daļā, kurā atrodas šis punkts. Apvienojot šādas detaļas, mēs iegūstam daudz risinājumu.
Uzdevums. y > x.
Risinājums. Pirmkārt, mēs aizvietojam nevienlīdzības zīmi ar vienādības zīmi un taisnstūra koordinātu sistēmā izveidojam līniju, kurai ir vienādojums y = x.
Šī līnija sadala plakni divās daļās. Pēc tam katrā daļā paņemiet vienu punktu un pārbaudiet, vai šajā punktā ir izpildīta nevienlīdzība y > x.
Uzdevums. Grafiski atrisiniet nevienādību
X 2 + plkst 2 25 £.
|
Risinājums. Vispirms nomainiet nevienlīdzības zīmi ar vienādības zīmi un novelciet līniju X 2 + plkst 2 = 25. Šis ir aplis, kura centrs ir sākuma punktā un rādiuss ir 5. Iegūtais aplis sadala plakni divās daļās. Nevienlīdzības apmierināmības pārbaude X 2 + plkst 2 £ 25 katrā daļā, mēs atklājam, ka grafiks ir apļa punktu kopa un plaknes daļas apļa iekšpusē. Dotas divas nevienādības f 1(x, y) > g 1(x, y) Un f 2(x, y) > g 2(x, y).
Nevienādību kopu sistēmas ar diviem mainīgajiem
Nevienlīdzību sistēma ir sevi šo nevienlīdzību savienojums. Sistēmas risinājums ir katra nozīme (x, y), kas katru no nevienādībām pārvērš patiesā skaitliskā nevienādībā. Daudzi risinājumi sistēmas nevienādības ir nevienādību risinājumu kopu krustpunkts, kas veido noteiktu sistēmu.
Nevienādību kopa ir sevi šo atdalīšana nevienlīdzības Iestatiet risinājumu ir katra nozīme (x, y), kas vismaz vienu no nevienādību kopas pārvērš patiesā skaitliskā nevienādībā. Daudzi risinājumi kopums ir nevienādību risinājumu kopu savienība, kas veido kopu.
Uzdevums. Grafiski atrisiniet nevienādību sistēmu 
Risinājums. y = x Un X 2 + plkst 2 = 25. Atrisinām katru sistēmas nevienādību.
Sistēmas grafiks būs plaknes punktu kopa, kas ir pirmās un otrās nevienādības atrisinājumu kopu krustpunkts (dubultā izšķilšanās).
Uzdevums. Grafiski atrisiniet nevienādību kopu 
Vingrinājumi patstāvīgam darbam
1. Grafiski atrisiniet nevienādības: a) plkst> 2x; b) plkst< 2x + 3;
V) x 2+ y 2 > 9; G) x 2+ y 2 4 £.
2. Grafiski atrisiniet nevienādību sistēmas:
a) b) 
Nevienādību sistēmas
ar diviem mainīgajiem
Uz mācību grāmatu Yu.N. Makarychev
Algebra, 9. klase, III nodaļa §
augstākās kategorijas matemātikas skolotājs
Pašvaldības izglītības iestāde "Upšinskas pamatskola"
Marijas Republikas Oršas apgabals
Nevienlīdzību sistēmas atrisināšana
ar diviem mainīgajiem
Risinājums nevienādību sistēmai ar diviem mainīgajiem ir šo mainīgo vērtību pāris, kas ir gan sistēmas pirmās, gan otrās nevienlīdzības risinājums.
(1; 2) – risinājums?
(2; 1) – risinājums?
(1; 2) – risinājums
(2; 1) nav risinājums
Nevienādības atrisinājumu kopas attēlojums divos mainīgajos koordinātu plaknē
Parabola sadala koordinātu plakni divos apgabalos. Nevienlīdzības risinājums ir reģions ar punktu A.
Atrisinājumu kopas attēlojums nevienādību sistēmai ar diviem mainīgajiem koordinātu plaknē
Atrisinājumu kopa nevienādību sistēmai ar diviem mainīgajiem ir sistēmā iekļauto nevienādību risinājumu kopu krustpunkts. Koordinātu plaknē nevienādību sistēmas risinājumu kopa ir attēlota ar punktu kopu, kas ir kopu, kas attēlo katras sistēmas nevienādības risinājumus, kopīga daļa.
X = 2
- Izveidosim taisnu līniju X = 2.
- Izveidosim taisnu līniju plkst = -3.
- Tas sadala plakni divās zonās, atlasiet vajadzīgo apgabalu un pielietojiet ēnojumu
plkst = -3
Šīs sistēmas risinājumi ir sistēmas nevienādību risinājumu kopu krustpunktu koordinātas (taisnā leņķa)
- Izveidosim taisnu līniju 2g + 3x = 6
- Tas sadala plakni divās zonās, atlasiet vajadzīgo apgabalu un pielietojiet ēnojumu
- Izveidosim taisnu līniju plkst- 2x = -3
- Tas sadala plakni divās zonās, atlasiet vajadzīgo apgabalu un pielietojiet ēnojumu
Dotās sistēmas risinājumi ir sistēmas nevienādību (leņķa) risinājumu kopu krustpunktu koordinātas.
- Izveidosim taisni y = 2 x + 1
- Tas sadala plakni divās zonās, atlasiet vajadzīgo apgabalu un pielietojiet ēnojumu
- Izveidosim taisni y = 2 x - 1
- Tas sadala plakni divās zonās, atlasiet vajadzīgo apgabalu un pielietojiet ēnojumu
Dotās sistēmas risinājumi ir sistēmas nevienādību atrisinājumu kopu krustpunktu koordinātas (joslas)
- Veidosim apli X 2 + y 2 = 1
- Tas sadala plakni divās zonās, atlasiet vajadzīgo apgabalu un pielietojiet ēnojumu
- Konstruēsim taisni 2x + y = 0
- Tas sadala plakni divās zonās, atlasiet vajadzīgo apgabalu un pielietojiet ēnojumu
Šīs sistēmas risinājumi ir pusloka punkti
- Konstruēsim parabolu y = (x - 1) 2 -2
- Tas sadala plakni divās zonās, atlasiet vajadzīgo apgabalu un pielietojiet ēnojumu
- Konstruēsim apli (x-1) 2 + (y+2) 2 =1
- Tas sadala plakni divās zonās, atlasiet vajadzīgo apgabalu un pielietojiet ēnojumu
Dotās sistēmas risinājumi ir sistēmas nevienādību risinājumu kopu krustpunkts
Uzzīmējiet punktu kopu, kas ir sistēmas risinājumi, un aprēķiniet iegūtā attēla laukumu
, un vēl jo vairāk nevienādību sistēmas ar diviem mainīgajiem, liekas diezgan grūts uzdevums. Tomēr ir vienkāršs algoritms, kas palīdz viegli un bez lielas piepūles atrisināt šķietami ļoti sarežģītas šāda veida problēmas. Mēģināsim to izdomāt.
Ļaujiet mums izveidot nevienādību ar diviem mainīgajiem vienā no šiem veidiem:
y > f(x); y ≥ f(x); y< f(x); y ≤ f(x).
Lai koordinātu plaknē attēlotu šādas nevienlīdzības risinājumu kopu, rīkojieties šādi:
- Mēs izveidojam funkcijas y = f(x) grafiku, kas sadala plakni divos apgabalos.
- Mēs izvēlamies jebkuru no iegūtajiem apgabaliem un apsveram tajā patvaļīgu punktu. Mēs pārbaudām sākotnējās nevienlīdzības iespējamību šim punktam. Ja testa rezultāts ir pareiza skaitliskā nevienādība, tad secinām, ka sākotnējā nevienādība ir izpildīta visā reģionā, kuram pieder izvēlētais punkts. Tādējādi nevienlīdzības risinājumu kopa ir reģions, kuram pieder izvēlētais punkts. Ja pārbaudes rezultātā tiek iegūta nepareiza skaitliskā nevienādība, tad nevienādības atrisinājumu kopa būs otrais apgabals, kuram nepieder izvēlētais punkts.
- Ja nevienādība ir stingra, tad apgabala robežas, tas ir, funkcijas y = f(x) grafika punkti, netiek iekļauti risinājumu kopā un robeža ir attēlota ar punktētu līniju. Ja nevienādība nav stingra, tad apgabala robežas, tas ir, funkcijas y = f(x) grafika punkti, tiek iekļauti šīs nevienlīdzības atrisinājumu kopā un robeža šajā gadījumā ir attēlota. kā cieta līnija. Tagad aplūkosim vairākas problēmas par šo tēmu.
1. uzdevums.
Kādu punktu kopu dod nevienādība x · y ≤ 4?
Risinājums.
1) Mēs izveidojam vienādojuma x · y = 4 grafiku. Lai to izdarītu, vispirms mēs to pārveidojam. Acīmredzot x šajā gadījumā nepārvēršas par 0, jo pretējā gadījumā mums būtu 0 · y = 4, kas ir nepareizi. Tas nozīmē, ka mēs varam dalīt mūsu vienādojumu ar x. Mēs iegūstam: y = 4/x. Šīs funkcijas grafiks ir hiperbola. Tas sadala visu plakni divos reģionos: starp diviem hiperbolas zariem un ārpus tiem.
2) Izvēlēsimies patvaļīgu punktu no pirmā apgabala, lai tas būtu punkts (4; 2). Pārbaudīsim nevienādību: 4 · 2 ≤ 4 – nepatiess.
Tas nozīmē, ka šī reģiona punkti neapmierina sākotnējo nevienlīdzību. Tad varam secināt, ka nevienlīdzības atrisinājumu kopa būs otrais apgabals, kuram izvēlētais punkts nepieder.
3) Tā kā nevienādība nav stingra, tad robežas punktus, tas ir, funkcijas y=4/x grafika punktus novelkam ar nepārtrauktu līniju.
Punktu kopu, kas nosaka sākotnējo nevienādību, nokrāsosim dzeltenā krāsā (1. att.).
2. uzdevums.
Uzzīmējiet laukumu, ko koordinātu plaknē nosaka sistēma
Risinājums.
Sākumā mēs izveidojam šādu funkciju grafikus (2. att.):
y = x 2 + 2 – parabola,
y + x = 1 – taisne
x 2 + y 2 = 9 – aplis.
Tagad apskatīsim katru nevienlīdzību atsevišķi.
1) y > x 2 + 2.
Mēs ņemam punktu (0; 5), kas atrodas virs funkcijas grafika. Pārbaudīsim nevienādību: 5 > 0 2 + 2 – taisnība.
Līdz ar to visi punkti, kas atrodas virs dotās parabolas y = x 2 + 2, apmierina sistēmas pirmo nevienādību. Krāsosim tos dzeltenus.
2) y + x > 1.
Mēs ņemam punktu (0; 3), kas atrodas virs funkcijas grafika. Pārbaudīsim nevienādību: 3 + 0 > 1 – taisnība.
Līdz ar to visi punkti, kas atrodas virs taisnes y + x = 1, apmierina sistēmas otro nevienādību. Krāsosim tos ar zaļu ēnojumu.
3) x 2 + y 2 ≤ 9.
Ņemam punktu (0; -4), kas atrodas ārpus apļa x 2 + y 2 = 9. Pārbaudām nevienādību: 0 2 + (-4) 2 ≤ 9 – nepareizi.
Līdz ar to visi punkti, kas atrodas ārpus apļa x 2 + y 2 = 9, neapmierina sistēmas trešo nevienādību. Tad varam secināt, ka visi punkti, kas atrodas apļa x 2 + y 2 = 9 iekšpusē, apmierina sistēmas trešo nevienādību. Krāsosim tos ar violetu ēnojumu.
Neaizmirstiet, ka, ja nevienlīdzība ir stingra, tad atbilstošā robežlīnija jānovelk ar punktētu līniju. Mēs iegūstam šādu attēlu (3. att.).
Vēlamais laukums ir laukums, kurā visi trīs krāsainie laukumi krustojas viens ar otru (4. att.).
Jautājumi piezīmēm
Uzrakstiet nevienādību, kuras atrisinājums ir aplis un punkti apļa iekšpusē: 
Atrodiet punktus, kas atrisina nevienlīdzību:
1) (6;10)
2) (-12;0)
3) (8;9)
4) (9;7)
5) (-12;12)
https://accounts.google.com
Slaidu paraksti:
Nevienādības ar diviem mainīgajiem un to sistēmām 1. nodarbība
Nevienādības ar diviem mainīgajiem Nevienādības 3x – 4y 0; un ir nevienādības ar diviem mainīgajiem x un y. Divu mainīgo nevienlīdzības risinājums ir mainīgo vērtību pāris, kas to pārvērš patiesā skaitliskā nevienādībā. Ja x = 5 un y = 3, nevienādība 3x - 4y 0 pārvēršas par pareizo skaitlisko nevienādību 3 0. Skaitļu pāris (5;3) ir šīs nevienādības atrisinājums. Skaitļu pāris (3;5) nav tā risinājums.
Vai skaitļu pāris (-2; 3) ir nevienādības atrisinājums: Nr. 482 (b, c) Vai nav Ir
Nevienlīdzības risinājums ir sakārtots reālu skaitļu pāris, kas nevienlīdzību pārvērš patiesā skaitliskā nevienādībā. Grafiski tas atbilst punkta norādīšanai koordinātu plaknē. Atrisināt nevienlīdzību nozīmē atrast tai daudzus risinājumus.
Nevienādībām ar diviem mainīgajiem ir šāda forma: Nevienādības atrisinājumu kopa ir visu koordinātu plaknes punktu kopa, kas apmierina doto nevienādību.
Atrisinājumu kopas nevienādībai F(x,y) ≥ 0 x y F(x,y)≤0 x y
F(x, y)>0 F(x, y)
Izmēģinājuma punkta noteikums Konstruēt F(x ; y)=0 Ņemot izmēģinājuma punktu no jebkura apgabala, noteikt, vai tā koordinātas ir nevienādības atrisinājums Izdarīt secinājumu par nevienādības atrisinājumu x y 1 1 2 A(1;2) F (x ; y) =0
Lineārās nevienādības ar diviem mainīgajiem Lineāro nevienādību ar diviem mainīgajiem sauc par nevienādību formā ax + bx +c 0 vai ax + bx +c
Atrodi kļūdu! Nr. 484 (b) -4 2 x 2 -6 y 6 -2 0 4 -2 - 4
Grafiski atrisiniet nevienādību: -1 -1 0 x 1 -2 y -2 2 2 1 Uzzīmējam grafikus ar cietām līnijām:
Noteiksim nevienlīdzības zīmi katrā no apgabaliem -1 -1 0 x 1 -2 y -2 2 2 1 3 4 - + 1 + 2 - 7 + 6 - 5 +
Nevienādības atrisinājums ir punktu kopa no apgabaliem, kuros ir plus zīme, un vienādojuma atrisinājumi -1 -1 0 x 1 -2 y -2 2 2 1 3 4 - + 1 + 2 - 7 + 6 - 5 +
Atrisināsim kopā Nr. 485 (b) Nr. 486 (b, d) Nr. 1. Uzstādiet nevienādību un uz koordinātu plaknes uzzīmēsim punktu kopu, kurai: a) abscisa ir lielāka par ordinātu; b) abscisu un ordinātu summa ir lielāka par to dubulto starpību.
Atrisināsim kopā Nr. 2. Ar nevienādību definējam atvērtu pusplakni, kas atrodas virs taisnes AB, kas iet caur punktiem A(1;4) un B(3;5). Atbilde: y 0,5x +3,5 Nr. 3. Kādām b vērtībām nevienādības 3x – b y + 7 0 atrisinājumu kopa ir atvērta pusplakne, kas atrodas virs taisnes 3x – b y + 7 = 0. Atbilde: b 0.
Mājas darbs 21. lpp., 483.nr.; Nr.484(c,d); Nr.485(a); Nr.486(c).
Priekšskatījums:
Lai izmantotu prezentāciju priekšskatījumus, izveidojiet Google kontu un piesakieties tajā: https://accounts.google.com
Slaidu paraksti:
Nevienādības ar diviem mainīgajiem un to sistēmām 2. nodarbība
Nevienādību sistēmas ar diviem mainīgajiem
Risinājums nevienādību sistēmai ar diviem mainīgajiem ir mainīgo vērtību pāris, kas katru sistēmas nevienādību pārvērš patiesā skaitliskā nevienādībā. Nr. 1. Uzzīmējiet nevienādību sistēmu risinājumu kopu. Nr. 496 (mutiski)
a) x y 2 2 x y 2 2 b)
Atrisināsim kopā Nr. 1. Pie kādām k vērtībām nevienādību sistēma nosaka trīsstūri koordinātu plaknē? Atbilde: 0
Kopā atrisinām x y 2 2 2 2 Nr.2. Attēlā redzams trijstūris ar virsotnēm A(0;5), B(4;0), C(1;-2), D(-4;2). Definējiet šo četrstūri ar nevienādību sistēmu. A B C D
Atrisināsim kopā Nr.3. Kam k un b ir nevienādību sistēmas definētā koordinātu plaknes punktu kopa: a) josla; b) leņķis; c) tukšs komplekts. Atbilde: a) k= 2,b 3; b) k ≠ 2, b – jebkurš skaitlis; c) k = 2; b
Kopā atrisināsim skaitli 4. Kādu skaitli dod vienādojums? (mutiski) 1) 2) 3) Nr. 5. Uzzīmējiet uz koordinātu plaknes ar nevienādību norādīto punktu atrisinājumu kopu.
Atrisināsim kopā Nr. 497 (c, d), 498 (c)
Mājas darbs P.22 Nr.496, Nr.497 (a, b), Nr.498 (a,b), Nr.504.
Priekšskatījums:
Lai izmantotu prezentāciju priekšskatījumus, izveidojiet Google kontu un piesakieties tajā: https://accounts.google.com
Slaidu paraksti:
Nevienādības ar diviem mainīgajiem un to sistēmām 3. nodarbība
Atrodi kļūdu! -4 2 x 2 -6 y 6 -2 0 4 -2 - 4
Atrodi kļūdu! | | | | | | | | | | | | | | | | | | 1 x y 2
Nosakiet nevienlīdzību 0 - 6 - 1 5 3 1 2 y x - 3 - 2 1 -3 4
0 - 6 - 1 5 3 1 2 y x - 3 - 2 1 -3 4 Nosakiet nevienlīdzību
0 - 3 - 1 5 3 1 2 y x - 3 - 2 1 Nosakiet nevienlīdzības zīmi ≤
Grafiski atrisiniet nevienādību sistēmu -1 -1 0 x 1 -2 y -2 2 2 1
Augstāku pakāpju nevienādības un nevienādību sistēmas ar diviem mainīgajiem Nr. 1. Uzzīmējiet uz koordinātu plaknes nevienādību sistēmas norādīto punktu kopu
Nevienādības un augstāku pakāpju nevienādību sistēmas ar diviem mainīgajiem Nr. 2. Uzzīmējiet uz koordinātu plaknes nevienādību sistēmas norādīto punktu kopu
Nevienādības un augstāku nevienādību sistēmas ar diviem mainīgajiem Nr. 3. Uzzīmēsim uz koordinātu plaknes nevienādību sistēmas norādīto punktu kopu Pārveidosim sistēmas pirmo nevienādību:
Nevienādības un augstāku pakāpju nevienādību sistēmas ar diviem mainīgajiem Iegūstam ekvivalentu sistēmu
Nevienādības un augstāku pakāpju nevienādību sistēmas ar diviem mainīgajiem Nr. 4. Uzzīmējiet uz koordinātu plaknes nevienādību sistēmas norādīto punktu kopu
Izlemsim kopā Nr.502 Galitska kolekcija. Nr. 9,66 b) y ≤ |3x -2| 0 - 6 - 1 5 3 1 2 g x - 3 - 2 1 -3 4
. Nr. 9.66(c) Atrisiniet kopā 0 - 6 - 1 5 3 1 2 g x - 3 - 2 1 -3 4 |y| ≥ 3x - 2
Mēs kopā risinām Nr. 9.66(g) 0 - 6 - 1 5 3 1 2 y x - 3 - 2 1 -3 4 |y|
Atrisiniet nevienādību: x y -1 -1 0 1 -2 -2 2 2 1
0 - 6 - 1 5 3 1 2 y x - 3 - 2 1 -3 4 Pierakstiet nevienādību sistēmu
11:11 3) Kādu skaitli nosaka nevienlīdzību sistēmas risinājumu kopa? Atrodiet katras figūras laukumu. 6) Cik naturālu skaitļu pāru ir nevienādību sistēmas atrisinājumi? Aprēķiniet visu šādu skaitļu summu. Apmācības vingrinājumu risinājums 2) Uzrakstiet nevienādību sistēmu ar diviem mainīgajiem, kuras atrisinājumu kopa parādīta 0 2 x y 2 attēlā 1) Uzzīmējiet sistēmas atrisinājumu kopu uz koordinātu plaknes: 4) Definējiet gredzenu. attēlā parādīta kā nevienlīdzību sistēma. 5) Atrisiniet nevienādību sistēmu y x 0 5 10 5 10
Apmācības vingrinājumu risinājums 7) Aprēķiniet nevienādību sistēmas atrisinājumu kopas norādītās figūras laukumu un atrodiet lielāko attālumu starp šī attēla punktiem 8) Pie kādas m vērtības nevienādību sistēmai ir tikai viens risinājums? 9) Norādiet dažas k un b vērtības, pie kurām koordinātu plaknē definē nevienādību sistēma: a) josla; b) leņķis.
Tas ir interesanti Angļu matemātiķis Tomass Hariots (Harriot T., 1560-1621) ieviesa pazīstamo nevienlīdzības zīmi, argumentējot to šādi: “Ja divi paralēli segmenti kalpo kā vienlīdzības simbols, tad krustojošiem segmentiem ir jābūt nevienlīdzības simbolam. ”. 1585. gadā jauno Hariotu Anglijas karaliene nosūtīja izpētes ekspedīcijā uz Ziemeļameriku. Tur viņš ieraudzīja indiešu vidū populāru tetovējumu formā. Iespējams, tāpēc Hariots piedāvāja nevienlīdzības zīmi divās formās: “>” ir lielāka par... un “.
Tas ir interesanti Simbolus ≤ un ≥ neprecīzam salīdzinājumam piedāvāja Volisa 1670. gadā. Sākotnēji līnija atradās virs salīdzināšanas zīmes, nevis zem tās, kā tas ir tagad. Šie simboli kļuva plaši izplatīti pēc franču matemātiķa Pjēra Būvē (1734) atbalsta, no kura tie ieguva savu mūsdienu formu.
