Vai ir iespējams pievienot dažādas saknes? Kas ir kvadrātsaknes un kā tās summējas? Kādi ir saskaitīšanas un atņemšanas noteikumi?

Skaitļa kvadrātsakne X izsauktais numurs A, kas vairošanās procesā pati par sevi ( A*A) var dot skaitli X.
Tie. A * A = A 2 = X, Un √X = A.

Virs kvadrātsaknēm ( √x), tāpat kā citus skaitļus, varat veikt aritmētiskas darbības, piemēram, atņemšanu un saskaitīšanu. Lai atņemtu un pievienotu saknes, tās ir jāsavieno, izmantojot zīmes, kas atbilst šīm darbībām (piemēram, √x - √y ).
Un pēc tam nogādājiet saknes to vienkāršākajā formā - ja starp tām ir līdzīgas, ir nepieciešams veikt samazinājumu. Tas sastāv no līdzīgu terminu koeficientu ņemšanas ar atbilstošo terminu zīmēm, pēc tam ievietojot tos iekavās un izslēdzot kopējo sakni ārpus faktora iekavām. Iegūtais koeficients ir vienkāršots saskaņā ar parastajiem noteikumiem.

1. darbība: kvadrātsakņu iegūšana

Pirmkārt, par papildinājumu kvadrātsaknes Vispirms jums ir nepieciešams iegūt šīs saknes. To var izdarīt, ja skaitļi zem saknes zīmes ir ideāli kvadrāti. Piemēram, ņemiet doto izteiksmi √4 + √9 . Pirmais numurs 4 ir skaitļa kvadrāts 2 . Otrais numurs 9 ir skaitļa kvadrāts 3 . Tādējādi mēs varam iegūt šādu vienādību: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
Tas ir viss, piemērs ir atrisināts. Bet tas ne vienmēr notiek tik viegli.

2. solis. Skaitļa reizinātāja izvilkšana no zem saknes

Ja zem saknes zīmes nav ideālu kvadrātu, varat mēģināt noņemt skaitļa reizinātāju no zem saknes zīmes. Piemēram, ņemsim izteiksmi √24 + √54 .

Nosakiet skaitļus:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

Starp 24 mums ir reizinātājs 4 , to var izņemt zem kvadrātsaknes zīmes. Starp 54 mums ir reizinātājs 9 .

Mēs iegūstam vienlīdzību:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

Ņemot vērā šo piemēru, mēs iegūstam reizinātāja noņemšanu no zem saknes zīmes, tādējādi vienkāršojot doto izteiksmi.

3. darbība: saucēja samazināšana

Apsveriet šādu situāciju: divu kvadrātsakņu summa ir frakcijas saucējs, piemēram, A/(√a + √b).
Tagad mēs saskaramies ar uzdevumu “atbrīvoties no iracionalitātes saucējā”.
Izmantosim šādu metodi: reiziniet daļskaitļa skaitītāju un saucēju ar izteiksmi √a - √b.

Tagad saucējā mēs iegūstam saīsinātu reizināšanas formulu:
(√a + √b) * (√a - √b) = a - b.

Līdzīgi, ja saucējam ir saknes atšķirība: √a - √b, daļskaitļa skaitītājs un saucējs tiek reizināts ar izteiksmi √a + √b.

Kā piemēru ņemsim daļskaitli:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 - √5) / (-2) = 2 * (√5 - √3) .

Kompleksā saucēja samazināšanas piemērs

Tagad mēs apsvērsim diezgan sarežģītu piemēru, kā atbrīvoties no iracionalitātes saucējā.

Piemēram, ņemsim daļu: 12 / (√2 + √3 + √5) .
Jums jāņem tā skaitītājs un saucējs un jāreizina ar izteiksmi √2 + √3 - √5 .

Mēs iegūstam:

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.

4. solis. Aprēķiniet aptuveno vērtību kalkulatorā

Ja nepieciešama tikai aptuvenā vērtība, to var izdarīt, izmantojot kalkulatoru, aprēķinot kvadrātsakņu vērtību. Vērtību aprēķina katram skaitlim atsevišķi un pieraksta ar nepieciešamo precizitāti, ko nosaka pēc decimālzīmju skaita. Tālāk tiek veiktas visas nepieciešamās darbības, tāpat kā ar parastajiem cipariem.

Aptuvenās vērtības aprēķināšanas piemērs

Ir nepieciešams aprēķināt aptuveno vērtību dotā izteiksme √7 + √5 .

Rezultātā mēs iegūstam:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

Lūdzu, ņemiet vērā: nekādā gadījumā nepievienojiet kvadrātsaknes kā pirmskaitļus, tas ir pilnīgi nepieņemami. Tas ir, ja mēs saskaitām kvadrātsakni no pieci un kvadrātsakni no trīs, mēs nevaram iegūt kvadrātsakni no astoņiem.

Noderīgs padoms: ja nolemjat faktorēt skaitli, lai atvasinātu kvadrātu zem saknes zīmes, jums ir jāveic apgrieztā pārbaude, tas ir, jāreizina visi aprēķinu rezultātā iegūtie faktori un tā gala rezultāts. matemātiskajam aprēķinam jābūt skaitlim, kas mums sākotnēji tika dots.

Tēma par kvadrātsaknes ir obligāta skolas mācību programma matemātikas kurss. Atrisinot kvadrātvienādojumus, bez tiem neiztikt. Un vēlāk kļūst nepieciešams ne tikai iegūt saknes, bet arī veikt ar tām citas darbības. Starp tiem ir diezgan sarežģīti: kāpināšana, reizināšana un dalīšana. Bet ir arī pavisam vienkārši: sakņu atņemšana un pievienošana. Starp citu, tie tādi šķiet tikai no pirmā acu uzmetiena. Tos izpildīt bez kļūdām ne vienmēr ir viegli kādam, kurš tikai sāk ar tiem iepazīties.

Kas ir matemātiskā sakne?

Šī darbība radās pretstatā paaugstināšanai. Matemātika ierosina divas pretējas darbības. Saskaitīšanai ir atņemšana. Reizināšana ir pretrunā ar dalīšanu. Pakāpes apgrieztā darbība ir atbilstošās saknes iegūšana.

Ja pakāpe ir divi, tad sakne būs kvadrātveida. Tas ir visizplatītākais skolas matemātikā. Tam pat nav norādes, ka tas ir kvadrāts, tas ir, blakus nav piešķirts skaitlis 2. Šī operatora (radikāļa) matemātiskais apzīmējums ir parādīts attēlā.

Tās definīcija vienmērīgi izriet no aprakstītās darbības. Lai iegūtu skaitļa kvadrātsakni, jums ir jānoskaidro, ko radikālā izteiksme dos, reizinot ar sevi. Šis skaitlis būs kvadrātsakne. Ja mēs to pierakstām matemātiski, mēs iegūstam sekojošo: x*x=x 2 =y, kas nozīmē √y=x.

Kādas darbības jūs varat veikt ar viņiem?

Sakne būtībā ir daļskaitlis ar vienu skaitītājā. Un saucējs var būt jebkas. Piemēram, kvadrātsaknei ir divi. Tāpēc visas darbības, kuras var veikt ar pilnvarām, būs derīgas arī saknēm.

Un prasības šīm darbībām ir vienādas. Ja reizināšana, dalīšana un kāpināšana skolēniem nesagādā grūtības, tad sakņu pievienošana, tāpat kā atņemšana, dažkārt rada neskaidrības. Un viss tāpēc, ka es vēlos veikt šīs darbības, neņemot vērā saknes zīmi. Un šeit sākas kļūdas.

Kādi ir saskaitīšanas un atņemšanas noteikumi?

Vispirms jums jāatceras divi kategoriski “nedrīkst”:

• nav iespējams veikt sakņu saskaitīšanu un atņemšanu, kā ar pirmskaitļiem, tas ir, nav iespējams zem vienas zīmes uzrakstīt summas radikālas izteiksmes un veikt ar tām matemātiskas darbības;
• Jūs nevarat pievienot un atņemt saknes ar dažādiem eksponentiem, piemēram, kvadrātu un kubikmetru.

Spilgts pirmā aizlieguma piemērs: √6 + √10 ≠ √16, bet √(6 + 10) = √16.

Otrajā gadījumā labāk ir aprobežoties ar pašu sakņu vienkāršošanu. Un atstājiet to summu atbildē.

Tagad pie noteikumiem

1. Atrodiet un grupējiet līdzīgas saknes. Tas ir, tiem, kuriem zem radikāļa ir ne tikai vienādi skaitļi, bet arī viņiem pašiem ir tāds pats rādītājs.
2. Pirmajā darbībā veiciet vienā grupā apvienoto sakņu pievienošanu. To ir viegli ieviest, jo jums ir jāpievieno tikai vērtības, kas parādās radikāļu priekšā.
3. Izvelciet to terminu saknes, kuros radikālā izteiksme veido veselu kvadrātu. Citiem vārdiem sakot, neatstājiet neko zem radikāļa zīmes.
4. Vienkāršojiet radikālas izteiksmes. Lai to izdarītu, tie jāieskaita primārajos faktoros un jānoskaidro, vai tie dod kāda skaitļa kvadrātu. Ir skaidrs, ka tā ir taisnība, ja mēs runājam par kvadrātsakni. Ja eksponents ir trīs vai četri, tad pirmfaktoriem ir jādod kubs vai skaitļa ceturtā pakāpe.
5. Izņemiet no zem radikāļa zīmes faktoru, kas dod visu spēku.
6. Skatiet, vai līdzīgi vienumi atkal parādās. Ja jā, atkārtojiet otro darbību vēlreiz.

Situācijā, kad uzdevumam nav nepieciešama precīza saknes vērtība, to var aprēķināt, izmantojot kalkulatoru. Bezgalīgs decimālzīme, kas tiks parādīts tā logā, noapaļo uz augšu. Visbiežāk tas tiek darīts līdz simtdaļām. Un pēc tam veiciet visas darbības ar decimāldaļskaitļiem.

Šī ir visa informācija par to, kā pievienot saknes. Tālāk sniegtie piemēri ilustrēs iepriekš minēto.

Pirmais uzdevums

Aprēķiniet izteiksmju vērtību:

a) √2 + 3√32 + ½ √128 - 6√18;

b) √75 - √147 + √48 - 1/5 √300;

c) 275 √ √11 + 2√99 + 396.

a) Ja sekojat iepriekš minētajam algoritmam, varat redzēt, ka šajā piemērā pirmajām divām darbībām nav nekā. Bet jūs varat vienkāršot dažus radikālus izteicienus.

Piemēram, sadaliet 32 ​​divos faktoros 2 un 16; 18 būs vienāds ar 9 un 2 reizinājumu; 128 ir 2 pret 64. Ņemot to vērā, izteiksme tiks rakstīta šādi:

√2 + 3√ (2 * 16) + ½ √ (2 * 64) - 6 √ (2 * 9).

Tagad jums ir jānoņem no zem radikālas zīmes tie faktori, kas dod skaitļa kvadrātu. Tas ir 16 = 4 2, 9 = 3 2, 64 = 8 2. Izteiksmei būs šāda forma:

√2 + 3 * 4√2 + ½ * 8 √2 - 6 * 3√2.

Mums ir nedaudz jāvienkāršo ieraksts. Lai to izdarītu, reiziniet koeficientus pirms saknes zīmēm:

√2 + 12√2 + 4 √2 - 12√2.

Šajā izteiksmē visi termini izrādījās līdzīgi. Tāpēc jums tie vienkārši jāsaloka. Atbilde būs: 5√2.

b) Līdzīgi kā iepriekšējā piemērā, sakņu pievienošana sākas ar to vienkāršošanu. Radikālās izteiksmes 75, 147, 48 un 300 tiks attēlotas šādos pāros: 5 un 25, 3 un 49, 3 un 16, 3 un 100. Katrs no tiem satur skaitli, ko var izņemt no saknes zīmes. :

5√5 - 7√3 + 4√3 - 1/5 * 10√3.

Pēc vienkāršošanas atbilde ir: 5√5 - 5√3. To var atstāt šādā formā, bet labāk ir izņemt kopējo koeficientu 5 no iekavām: 5 (√5 - √3).

c) Un atkal faktorizācija: 275 = 11 * 25, 99 = 11 * 9, 396 = 11 * 36. Pēc faktoru noņemšanas zem saknes zīmes mēs iegūstam:

5√11 - 10√11 + 2 * 3√11 + 6√11. Pēc līdzīgu nosacījumu ienesšanas iegūstam rezultātu: 7√11.

Piemērs ar daļskaitļu izteiksmēm

√(45/4) - √20 - 5√(1/18) - 1/6 √245 + √(49/2).

Jums būs jāaprēķina šādi skaitļi: 45 = 5 * 9, 20 = 4 * 5, 18 = 2 * 9, 245 = 5 * 49. Līdzīgi tiem, kas jau tika apspriesti, jums ir jānoņem faktori no saknes zīmes. un vienkāršot izteiksmi:

3/2 √5 - 2√5 - 5/ 3 √(½) - 7/6 √5 + 7 √(½) = (3/2 - 2 - 7/6) √5 - (5/3 - 7) ) √(½) = - 5/3 √5 + 16/3 √(½).

Šis izteiciens prasa atbrīvoties no iracionalitātes saucējā. Lai to izdarītu, jums ir jāreizina otrais termins ar √2/√2:

5/3 √5 + 16/3 √(½) * √2/√2 = - 5/3 √5 + 8/3 √2.

Lai pabeigtu darbības, jums ir jāatlasa visa faktoru daļa sakņu priekšā. Pirmajam tas ir 1, otrajam tas ir 2.

Mūsdienās, izmantojot modernos elektroniskos datorus, skaitļa saknes aprēķināšana nešķiet grūts uzdevums. Piemēram, √2704=52, jebkurš kalkulators to aprēķinās jūsu vietā. Par laimi, kalkulators ir pieejams ne tikai Windows, bet arī parastā, pat visvienkāršākajā telefonā. Tiesa, ja pēkšņi (ar nelielu varbūtības pakāpi, kuras aprēķinā, starp citu, ietilpst arī sakņu pievienošana) attapsies bez pieejamiem līdzekļiem, tad diemžēl nāksies paļauties tikai uz savām smadzenēm.

Prāta apmācība nekad neizdodas. Īpaši tiem, kuri nestrādā ar skaitļiem tik bieži, vēl jo mazāk ar saknēm. Sakņu pievienošana un atņemšana ir labs treniņš garlaikotam prātam. Es arī parādīšu, kā soli pa solim pievienot saknes. Izteicienu piemēri var būt šādi.

Vienkāršojamais vienādojums:

√2+3√48-4×√27+√128

Tas ir neracionāls izteiciens. Lai to vienkāršotu, visas radikālas izteiksmes jāsamazina uz vispārējais izskats. Mēs to darām soli pa solim:

Pirmo numuru vairs nevar vienkāršot. Pāriesim pie otrā termiņa.

3√48 mēs koeficientu 48: 48=2×24 vai 48=3×16. no 24 nav vesels skaitlis, t.i. ir daļēja atlikums. Tā kā mums ir vajadzīga precīza vērtība, aptuvenās saknes mums nav piemērotas. Kvadrātsakne no 16 ir 4, izņemiet to no apakšas Mēs iegūstam: 3 × 4 × √3 = 12 × √3

Mūsu nākamā izteiksme ir negatīva, t.i. rakstīts ar mīnusa zīmi -4×√(27.) Mēs koeficientu 27. Mēs iegūstam 27 = 3 × 9. Mēs neizmantojam daļskaitļus, jo ir grūtāk aprēķināt daļu kvadrātsakni. No zem zīmes izņemam 9, t.i. aprēķināt kvadrātsakni. Iegūstam šādu izteiksmi: -4×3×√3 = -12×√3

Nākamais termins √128 aprēķina daļu, kuru var izņemt no saknes. 128=64×2, kur √64=8. Ja tas jums atvieglo, varat iedomāties šo izteiksmi šādi: √128=√(8^2×2)

Mēs pārrakstām izteiksmi ar vienkāršotiem terminiem:

√2+12×√3-12×√3+8×√2

Tagad mēs pievienojam skaitļus, izmantojot to pašu radikālo izteiksmi. Jūs nevarat pievienot vai atņemt izteiksmes ar dažādām radikālām izteiksmēm. Lai pievienotu saknes, ir jāievēro šis noteikums.

Mēs saņemam šādu atbildi:

√2+12√3-12√3+8√2=9√2

√2=1×√2 - Ceru, ka tas, ka algebrā ir pieņemts šādus elementus izlaist, tev nebūs jaunums.

Izteiksmes var attēlot ne tikai ar kvadrātsakni, bet arī ar kubu vai sakni n-tā pakāpe.

Sakņu saskaitīšana un atņemšana ar dažādiem eksponentiem, bet ar līdzvērtīgu radikālu izteiksmi, notiek šādi:

Ja mums ir izteiksme formā √a+∛b+∜b, tad šo izteiksmi varam vienkāršot šādi:

∛b+∜b=12×√b4 +12×√b3

12√b4 +12×√b3=12×√b4 + b3

Mēs atvedām divus līdzīgus dalībniekus kopējais rādītājs sakne Šeit tika izmantota sakņu īpašība, kas nosaka: ja radikālas izteiksmes pakāpes skaitli un saknes eksponenta skaitli reizina ar vienu un to pašu skaitli, tad tā aprēķins paliks nemainīgs.

Piezīme: eksponenti saskaita tikai reizinot.

Apskatīsim piemēru, kad izteiksmē ir daļskaitļi.

5√8-4×√(1/4)+√72-4×√2

Mēs izlemsim pa posmiem:

5√8=5*2√2 - izņemam no saknes apakšas izvilkto daļu.

4√(1/4)=-4 √1/(√4)= - 4 *1/2= - 2

Ja saknes ķermeni attēlo daļskaitlis, tad bieži šī daļa nemainīsies, ja ņemat dividendes un dalītāja kvadrātsakni. Rezultātā mēs saņēmām iepriekš aprakstīto vienlīdzību.

√72-4√2=√(36×2)- 4√2=2√2

10√2+2√2-2=12√2-2

Lūk, atbilde.

Galvenais, kas jāatceras, ir tas, ka sakni ar pāra eksponentu nevar iegūt no negatīviem skaitļiem. Ja pāra pakāpes radikālā izteiksme ir negatīva, tad izteiksme nav atrisināma.

Sakņu pievienošana ir iespējama tikai tad, ja radikālās izteiksmes sakrīt, jo tie ir līdzīgi termini. Tas pats attiecas uz atšķirību.

Sakņu pievienošana ar dažādiem skaitliskiem eksponentiem tiek veikta, samazinot abus terminus līdz kopējai saknes pakāpei. Šis likums darbojas tāpat kā samazināšana līdz kopsaucējam, saskaitot vai atņemot daļskaitļus.

Ja radikālā izteiksme satur skaitli, kas palielināts līdz pakāpei, tad šo izteiksmi var vienkāršot ar nosacījumu, ka starp saknes eksponentu un pakāpju ir kopsaucējs.

Matemātikā saknes var būt kvadrātveida, kubiskas vai ar jebkuru citu eksponentu (pakāpju), ko raksta pa kreisi virs saknes zīmes. Izteicienu zem saknes zīmes sauc par radikālu izteiksmi. Sakņu pievienošana ir līdzīga algebriskās izteiksmes terminu pievienošanai, tas ir, ir nepieciešams identificēt līdzīgas saknes.

Soļi

1. daļa no 2: sakņu noteikšana

Sakņu apzīmējums. Izteiksme zem saknes zīmes () nozīmē, ka no šīs izteiksmes ir jāizņem noteiktas pakāpes sakne.

• Sakni norāda ar zīmi.
• Saknes eksponents (grāds) tiek rakstīts pa kreisi virs saknes zīmes. Piemēram, skaitļa 27 kuba sakne ir rakstīta šādi: (27)
• Ja saknei nav eksponenta (pakāpes), tad eksponents tiek uzskatīts par vienādu ar 2, tas ir, tā ir kvadrātsakne (vai otrās pakāpes sakne).
• Skaitli, kas rakstīts pirms saknes zīmes, sauc par reizinātāju (tas ir, šis skaitlis tiek reizināts ar sakni), piemēram, 5 (2)
• Ja saknes priekšā nav faktora, tad tas ir vienāds ar 1 (atcerieties, ka jebkurš skaitlis, kas reizināts ar 1, ir vienāds ar sevi).
• Ja pirmo reizi strādājat ar saknēm, veiciet atbilstošas ​​piezīmes par reizinātāju un saknes eksponentu, lai izvairītos no neskaidrībām un labāk izprastu to mērķi.

Atcerieties, kuras saknes var salocīt un kuras nevar. Tāpat kā jūs nevarat pievienot dažādus izteiksmes terminus, piemēram, 2a + 2b 4ab, jūs nevarat pievienot dažādas saknes.

Jūs nevarat pievienot saknes ar dažādām radikālām izteiksmēm, piemēram, (2) + (3) (5). Bet jūs varat pievienot skaitļus zem vienas saknes, piemēram, (2 + 3) = (5) (2 kvadrātsakne ir aptuveni 1,414, kvadrātsakne no 3 ir aptuveni 1,732 un kvadrātsakne no 5 ir aptuveni 2,236 ).

Jūs nevarat pievienot saknes ar vienādām radikālām izteiksmēm, bet dažādiem eksponentiem, piemēram, (64) + (64) (šī summa nav vienāda ar (64), jo 64 kvadrātsakne ir 8, kubsakne no 64 ir 4, 8 + 4 = 12, kas ir daudz lielāks par 64 piekto sakni, kas ir aptuveni 2,297).

2. daļa no 2: Vienkāršošana un sakņu pievienošana

Identificējiet un grupējiet līdzīgas saknes. Līdzīgas saknes ir saknes, kurām ir vienādi rādītāji un tādas pašas radikālas izteiksmes. Piemēram, apsveriet izteicienu:
2 (3) + (81) + 2 (50) + (32) + 6 (3)

• Vispirms pārrakstiet izteiksmi tā, lai saknes būtu tas pats rādītājs atradās secīgi.
  2 (3) + 2 (50) + (32) + 6 (3) + (81)
• Pēc tam pārrakstiet izteiksmi tā, lai saknes ar vienādu eksponentu un ar to pašu radikālo izteiksmi atrastos secīgi.
  2 (50) + (32) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

Vienkāršojiet saknes. Lai to izdarītu, sadaliet (ja iespējams) radikālas izteiksmes divos faktoros, no kuriem viens tiek izņemts no saknes. Šajā gadījumā tiek reizināts noņemtais skaitlis un saknes koeficients.

Iepriekš minētajā piemērā aprēķina skaitli 50 ar 2*25 un skaitli 32 ar 2*16. No 25 un 16 varat ņemt kvadrātsaknes (attiecīgi 5 un 4) un izņemt no saknes 5 un 4, reizinot tos attiecīgi ar koeficientiem 2 un 1. Tādējādi jūs iegūstat vienkāršotu izteiksmi: 10 (2) + 4 (2) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

Skaitli 81 var skaitīt 3*27, un no skaitļa 27 var ņemt kuba sakni no 3. Šo skaitli 3 var izņemt no apakšas saknes. Tādējādi jūs iegūstat vēl vienkāršāku izteiksmi: 10 (2) + 4 (2) + 2 (3) + 6 (3) + 3 (3)

Pievienojiet līdzīgu sakņu faktorus. Mūsu piemērā ir līdzīgas kvadrātsaknes no 2 (tās var pievienot) un līdzīgas kvadrātsaknes no 3 (tās var arī pievienot). 3. kuba saknei šādu sakņu nav.

10 (2) + 4 (2) = 14 (2).

2 (3)+ 6 (3) = 8 (3).

Galīgā vienkāršotā izteiksme: 14 (2) + 8 (3) + 3 (3)

• Nav vispārpieņemtu noteikumu par sakņu rakstīšanas secību izteiksmē. Tāpēc jūs varat rakstīt saknes to rādītāju augošā secībā un radikālo izteiksmju augošā secībā.

Uzmanību, tikai ŠODIEN!

Viss interesants

Skaitlis, kas atrodas zem saknes zīmes, bieži traucē vienādojuma risināšanai un ar to ir neērti strādāt. Pat ja tas ir palielināts līdz pakāpei, daļskaitlim vai nevar tikt attēlots kā vesels skaitlis līdz noteiktai pakāpei, varat mēģināt to atvasināt no...

Skaitļa x sakne ir skaitlis, kas, palielinot līdz saknes pakāpei, ir vienāds ar x. Reizinātājs ir skaitlis, kas tiek reizināts. Tas nozīmē, ka izteiksmē formā x*ª-&radic-y zem saknes jāievada x. Norādījumi 1. Nosakiet grādu...

Ja radikālā izteiksme satur matemātisko operāciju kopu ar mainīgajiem, tad dažkārt tās vienkāršošanas rezultātā var iegūt samērā vienkāršu vērtību, no kuras daļu var izņemt no saknes apakšas. Šī vienkāršošana var būt noderīga...

Aritmētiskās darbības ar dažādu pakāpju saknēm var būtiski vienkāršot aprēķinus fizikā un tehnoloģijā un padarīt tos precīzākus. Reizinot un dalot, ērtāk ir neizvilkt katra faktora sakni jeb dividendi un dalītāju, bet vispirms...

Skaitļa x kvadrātsakne ir skaitlis a, kuru reizinot ar sevi, iegūst skaitli x: a * a = a^2 = x, x = a. Tāpat kā ar jebkuriem skaitļiem, jūs varat veikt saskaitīšanas un atņemšanas aritmētiskās darbības ar kvadrātsaknēm. Norādījumi...

Matemātikā saknei var būt divas nozīmes: tā ir aritmētiskā darbība un katrs no vienādojuma risinājumiem, algebriskais, parametriskais, diferenciālis vai jebkura cita. Norādījumi 1 No a n-tā sakne ir skaitlis, kas...

Veicot dažādas aritmētiskas darbības ar saknēm, bieži vien ir nepieciešama spēja transformēt radikālas izteiksmes. Lai vienkāršotu aprēķinus, iespējams, vajadzēs pārvietot reizinātāju ārpus radikālas zīmes vai pievienot to zem tās. Šī darbība var...

Sakne ir ikona, kas apzīmē skaitļa atrašanas matemātisko darbību, kuru paaugstinot līdz jaudai, kas norādīta saknes zīmes priekšā, vajadzētu dot skaitli, kas norādīts zem šīs zīmes. Bieži vien, lai atrisinātu problēmas, kas saistītas ar...

Matemātiskajās zinātnēs saknes zīme ir sakņu simbols. Skaitli zem saknes zīmes sauc par radikālu izteiksmi. Ja eksponenta nav, sakne ir kvadrātsakne, pretējā gadījumā cipars norāda...

Aritmētika n-tā sakne reāla skaitļa pakāpes a ir nenegatīvs skaitlis x, n-tā pakāpe kas ir vienāds ar skaitli a. Tie. (n) a = x, x^n = a. Ir dažādi veidi pievienojot aritmētisko sakni un racionālo skaitli...

Reāla skaitļa a n-tā sakne ir skaitlis b, kuram ir spēkā vienādība b^n = a. Negatīvām un nepāra saknēm pastāv pozitīvi skaitļi, un pāra grādu saknes ir tikai pozitīvajiem.…

Teorija

Sakņu saskaitīšana un atņemšana tiek pētīta matemātikas ievadkursā. Mēs pieņemam, ka lasītājs zina pakāpes jēdzienu.

1. definīcija

Reālā skaitļa $a$ sakne $n$ ir reāls skaitlis$b$, kura $n$th jauda ir vienāda ar $a$: $b=\sqrt[n]a, b^n=a.$ Šeit $a$ ir radikālā izteiksme, $n$ ir saknes eksponents, $b $ - saknes vērtība. Saknes zīmi sauc par radikālu.

Sakņu ekstrakcijas apgrieztā puse ir eksponenci.

Pamatoperācijas ar aritmētiskajām saknēm:

1. attēls. Pamatoperācijas ar aritmētiskajām saknēm. Avtor24 - tiešsaistes studentu darbu apmaiņa

Kā redzam, uzskaitītajās darbībās nav saskaitīšanas un atņemšanas formulas. Šīs darbības ar saknēm tiek veiktas transformāciju veidā. Šīm transformācijām jāizmanto saīsinātas reizināšanas formulas:

$(\sqrt a - \sqrt b)(\sqrt a + \sqrt b)=a-b;$

$(\sqrta-\sqrtb)(\sqrt(a^2)+\sqrt(ab)+\sqrt(b^2))=a-b;$

$(\sqrta+\sqrtb)(\sqrt(a^2)-\sqrt(ab)+\sqrt(b^2))=a+b;$

$a\sqrt a+b\sqrt b=(\sqrt a)^3+(\sqrt b)^3=(\sqrt a+\sqrt b)(a-\sqrt(ab)+b);$

$a\sqrt a-b\sqrt b=(\sqrt a)^3-(\sqrt b)^3=(\sqrt a-\sqrt b)(a+\sqrt(ab)+b).$

Ir vērts atzīmēt, ka saskaitīšanas un atņemšanas darbības notiek neracionālu izteiksmju piemēros: $ab\sqrt(m-n); 1+\sqrt3.$

Piemēri

Apskatīsim piemērus gadījumiem, kad ir piemērojama iracionalitātes “iznīcināšana” saucējā. Kad transformāciju rezultātā gan skaitītājā, gan saucējā parādās iracionāla izteiksme, tad saucējā iracionalitāte ir “jāiznīcina”.

1. piemērs

$\frac(1)(\sqrt7-\sqrt6)=\frac(\sqrt7+\sqrt6)((\sqrt7-\sqrt6)(\sqrt7+\sqrt6))=\frac(\sqrt7+\sqrt6)(7-6 )=\frac(\sqrt7+\sqrt6)(1)=\sqrt7+\sqrt6.$

Šajā piemērā mēs reizinājām daļas skaitītāju un saucēju ar saucēja konjugātu. Tādējādi saucējs tiek pārveidots, izmantojot kvadrātu starpības formulu.