Reālo skaitļu ģeometriskais attēlojums. Komplekso skaitļu ģeometriskais attēlojums un trigonometriskā forma Reālo skaitļu kopas ģeometriskais attēlojums
Pastāv šādas komplekso skaitļu formas: algebriskā(x + iy), trigonometrisks(r (cos + isin 
)),
indikatīvs(re i 
).
Jebkuru komplekso skaitli z = x + iy var attēlot XOU plaknē kā punktu A (x, y).
Plakni, uz kuras attēloti kompleksie skaitļi, sauc par kompleksā mainīgā z plakni (plaknē uzliekam simbolu z).
VĒRSIS ass ir īstā ass, t.i. tajā ir reāli skaitļi. ОУ - iedomātā ass ar iedomātiem skaitļiem.
x + iy- kompleksā skaitļa algebriskais apzīmējums.
Atvasināsim kompleksā skaitļa apzīmējuma trigonometrisko formu.
Aizstāt iegūtās vērtības sākotnējā formā:, t.i.
r (cos
+ isin
)
- kompleksā skaitļa apzīmējuma trigonometriskā forma.
Kompleksā skaitļa eksponenciālais apzīmējums izriet no Eilera formulas: 
,tad 
z = re i 
- kompleksā skaitļa eksponenciālais apzīmējums.
Darbības ar kompleksajiem skaitļiem.
1. papildinājums. z 1 + z 2 = (x1 + iy1) + (x2 + iy2) = (x1 + x2) + i (y1 + y2);
2 ... atņemšana. z 1 -z 2 = (x1 + iy1) - (x2 + iy2) = (x1-x2) + i (y1-y2);
3. reizināšana. z 1 z 2 = (x1 + iy1) * (x2 + iy2) = x1x2 + i (x1y2 + x2y1 + iy1y2) = (x1x2-y1y2) + i (x1y2 + x2y1);
4
... nodaļa. z 1 / z 2 = (x1 + iy1) / (x2 + iy2) = [(x1 + iy1) * (x2-iy2)] / [(x2 + iy2) * (x2-iy2)] = 
Divi kompleksie skaitļi, kas atšķiras tikai ar iedomātās vienības zīmi, t.i. z = x + iy (z = x-iy) sauc par konjugātiem.
Darbs.
z1 = r (cos 
+ isin 
); z2 = r (cos 
+ isin 
).
Tad komplekso skaitļu reizinājums z1 * z2 ir:, t.i. reizinājuma modulis ir vienāds ar moduļu reizinājumu, un reizinājuma arguments ir vienāds ar faktoru argumentu summu.
;
;
Privāts.
Ja kompleksie skaitļi ir trigonometriskā formā.
Ja kompleksie skaitļi ir eksponenciāli.
Paaugstināšana.
1. Tiek dots komplekss skaitlis algebriskā formā.
z = x + iy, tad z n tiek atrasts no binominālā Ņūtona formula:
- n elementu kombināciju skaits katrā no m (cik n elementu var ņemt no m).
; n = 1 * 2 * ... * n; 0 = 1; 
.
Mēs piesakāmies kompleksajam skaitlim.
Iegūtajā izteiksmē i pakāpes jāaizstāj ar to vērtībām:
i 0 = 1 Tādējādi vispārīgā gadījumā mēs iegūstam: i 4k = 1
i 1 = i i 4k + 1 = i
i 2 = -1 i 4k + 2 = -1
i 3 = -i i 4k + 3 = -i
Piemērs.
i 31 = i 28 i 3 = -i
i 1063 = i 1062 i = i
2. trigonometrisks formā.
z = r (cos 
+ isin 
), tad
- Moivre formula.
Šeit n var būt “+” vai “-” (vesels skaitlis).
3. Ja ir dots kompleksais skaitlis indikatīvs forma:
Saknes ekstrakcija.
Apsveriet vienādojumu: 
.
Tā risinājums būs kompleksā skaitļa z n-tā sakne: 
.
Kompleksā skaitļa n-tajai saknei ir tieši n atrisinājumi (vērtības). Efektīvas n-tās pakāpes saknei ir tikai viens risinājums. Kompleksā - n risinājumos.
Ja ir dots kompleksais skaitlis trigonometrisks forma:
z = r (cos 
+ isin 
), tad z n-to sakni atrod pēc formulas:
, kur k = 0,1 ... n-1.
Rindas. Skaitļu sērija.
Ļaujiet mainīgajam a secīgi ņemt vērtības a 1, a 2, a 3,…, a n. Šo pārnumurēto skaitļu kopu sauc par secību. Tas ir bezgalīgs.
Skaitļu sērija ir izteiksme a 1 + a 2 + a 3 + ... + a n + ... = 
... Skaitļi a 1, a 2, a 3,… un n ir sērijas dalībnieki.
Piemēram.
un 1 ir pirmais sērijas dalībnieks.
un n ir sērijas n-tais jeb kopīgais vārds.
Sērija tiek uzskatīta par dotu, ja ir zināma n-tā (kopējais sērijas termins).
Skaitliskajai sērijai ir bezgalīgs dalībnieku skaits.
Skaitītāji - aritmētiskā progresija (1,3,5,7…).
n-to terminu atrod pēc formulas a n = a 1 + d (n-1); d = a n -a n-1.
saucējs - ģeometriskā progresija... b n = b 1 q n-1; 
.
Apsveriet sērijas pirmo n vārdu summu un apzīmējiet to ar Sn.
Sn = a1 + a2 +… + a n.
Sn ir rindas n-tā daļējā summa.
Apsveriet ierobežojumu: 
S ir sērijas summa.
Skaits saplūst ja šī robeža ir ierobežota (pastāv ierobežota robeža S).
Rinda atšķiras ja šī robeža ir bezgalīga.
Nākotnē mūsu uzdevums ir šāds: noteikt, kura rinda.
Viena no vienkāršākajām, bet bieži sastopamajām sērijām ir ģeometriskā progresija.
, C = konst.
Ģeometriskā progresija irsaplūst
tuvumā, ja 
, un atšķiras, ja 
.
Arī atrasts harmoniskā sērija(rinda 
). Šī rinda atšķiras
.
Ģeometriski reālos skaitļus, kā arī racionālos skaitļus attēlo taisnas līnijas punkti.
Ļaujiet l - patvaļīga līnija, bet O - kāds no tās punkta (58. att.). Katram pozitīvam reālajam skaitlim α Mēs saliekam punktu A, kas atrodas pa labi no O attālumā no α garuma vienības.
Ja, piemēram, α = 2,1356 ..., tad
2 < α
< 3
2,1 < α
< 2,2
2,13 < α
< 2,14
un tā tālāk Acīmredzot punktam A šajā gadījumā jāatrodas uz taisnes l pa labi no punktiem, kas atbilst skaitļiem
2; 2,1; 2,13; ... ,
bet pa kreisi no skaitļiem atbilstošajiem punktiem
3; 2,2; 2,14; ... .
Var parādīt, ka šie nosacījumi nosaka līnijā l vienīgais punkts A, kuru mēs uzskatām par reāla skaitļa ģeometrisku attēlu α = 2,1356... .
Tāpat katram negatīvam reālajam skaitlim β mēs sakārtojam punktu B, kas atrodas pa kreisi no O attālumā | β | garuma vienības. Visbeidzot, mēs piešķiram punktu O skaitlim "nulle".
Tātad rindā tiks parādīts skaitlis 1 l punkts A, kas atrodas pa labi no O vienas garuma vienības attālumā (59. att.), skaitlis - √2 - punkts B, kas atrodas pa kreisi no O √2 garuma vienību attālumā utt.
Parādīsim, kā uz taisnas līnijas l izmantojot kompasu un lineālu, jūs varat atrast punktus, kas atbilst reālajiem skaitļiem √2, √3, √4, √5 utt. Lai to izdarītu, vispirms mēs parādīsim, kā var izveidot segmentus, garumus no kuriem izteikti ar šiem skaitļiem. Lai AB ir segments, kas ņemts par garuma vienību (60. att.).
Punktā A mēs paceļam perpendikulu šim segmentam un uzliekam nogriezni AC, kas vienāds ar segmentu AB. Tad, piemērojot Pitagora teorēmu taisnleņķa trijstūrim ABC, iegūstam; ВС = √АВ 2 + АС 2 = √1 + 1 = √2
Līdz ar to segmenta BC garums ir √2. Tagad mēs atjaunosim perpendikulu nogriežam BC punktā C un izvēlēsimies tajā punktu D, lai segments CD būtu vienāds ar garuma vienību AB. Tad no taisnstūra trīsstūra BCD mēs atrodam:
ВD = √ВC 2 + СD 2 = √2 + 1 = √3
Tāpēc segmenta BD garums ir √3. Turpinot aprakstīto procesu tālāk, varētu iegūt nogriežņus BE, BF, ..., kuru garumus izsaka ar skaitļiem √4, √5 utt.
Tagad pa taisno l ir viegli atrast tos punktus, kas kalpo kā skaitļu √2, √3, √4, √5 utt. ģeometrisks attēlojums.
Noliekot, piemēram, pa labi no punkta O nogriezni BC (61. att.), iegūstam punktu C, kas kalpo kā skaitļa √2 ģeometrisks attēls. Tādā pašā veidā, novietojot segmentu BD pa labi no punkta O, mēs iegūstam punktu D ", kas ir skaitļa √3 ģeometriskais attēls un tā tālāk.
Tomēr nevajadzētu domāt, ka ar kompasa un lineāla palīdzību uz skaitļu līnijas l jūs varat atrast punktu, kas atbilst jebkuram reālam skaitlim. Piemēram, ir pierādīts, ka, ja mūsu rīcībā ir tikai kompass un lineāls, nav iespējams izveidot nogriezni, kuras garums ir izteikts ar skaitli π = 3,14 .... Tāpēc uz skaitļu līnijas l ar šādu konstrukciju palīdzību nav iespējams norādīt šim skaitlim atbilstošu punktu.Tomēr tāds punkts pastāv.
Tātad katrs reālais skaitlis α var saistīt ar kādu labi definētu taisnes punktu l ... Šis punkts tiks izvietots no sākuma punkta O attālumā | α | garuma vienībām un jāatrodas pa labi no O, ja α > 0, un pa kreisi no О, ja α < 0. Очевидно, что при этом двум неравным действительным числам будут соответствовать две различные точки прямой l ... Patiešām, ļaujiet skaitlim α atbilst punktam A un skaitlim β - punkts B. Tad, ja α > β , tad A būs pa labi no B (62. att., a); ja α < β , tad A atradīsies pa kreisi no B (62. att., b).
Runājot 37. § par racionālu skaitļu ģeometrisko attēlojumu, mēs uzdevām jautājumu: vai jebkuru līnijas punktu var uzskatīt par ģeometrisku attēlu racionāls skaitļi? Tad mēs nevarējām sniegt atbildi uz šo jautājumu; tagad mēs uz to varam atbildēt pavisam noteikti. Uz līnijas ir punkti, kas kalpo kā iracionālu skaitļu ģeometrisks attēlojums (piemēram, √2). Tāpēc ne katrs punkts uz līnijas ir racionāls skaitlis. Bet šajā gadījumā rodas cits jautājums: vai jebkuru skaitļu līnijas punktu var uzskatīt par dažu ģeometrisku attēlu faktiskais skaitļi? Šis jautājums jau tiek pozitīvi atrisināts.
Patiešām, lai A ir patvaļīgs taisnes punkts l atrodas pa labi no O (63. att.).
Segmenta OA garumu izsaka ar kādu pozitīvu reālo skaitli α (skat. 41. §). Tāpēc punkts A ir skaitļa ģeometriskais attēls α ... Tāpat tiek konstatēts, ka katru punktu B, kas atrodas pa kreisi no O, var uzskatīt par negatīva reālā skaitļa ģeometrisku attēlu - β , kur β ir VO segmenta garums. Visbeidzot, punkts O kalpo kā nulles skaitļa ģeometrisks attēlojums. Ir skaidrs, ka divi dažādi taisnes punkti l ģeometriski nevar būt vienāds reālais skaitlis.
Iepriekš minēto iemeslu dēļ taisni, uz kuras kāds punkts O ir norādīts kā "sākotnējais" (noteiktai garuma vienībai), sauc. skaitļa līnija.
Secinājums. Visu reālo skaitļu kopa un visu skaitļu līnijas punktu kopa atbilst viens pret vienu.
Tas nozīmē, ka katrs reālais skaitlis atbilst vienam, precīzi definētam skaitļu līnijas punktam, un, otrādi, katram skaitļu līnijas punktam ar šādu atbilstību atbilst viens, precīzi definēts reālais skaitlis.
Kompleksie skaitļi
Pamatjēdzieni
Sākotnējie dati par numuru datējami ar akmens laikmetu – paleomelītu. Tie ir "viens", "maz" un "daudzi". Tie tika ierakstīti iecirtumu, mezgliņu utt. veidā. Darba procesu attīstība un īpašuma rašanās piespieda cilvēku izdomāt skaitļus un to vārdus. Pirmie parādījās dabiskie skaitļi N saņemts, skaitot preces. Tad līdz ar skaitīšanas nepieciešamību cilvēkiem radās nepieciešamība izmērīt garumus, laukumus, apjomus, laiku un citus lielumus, kur bija jāņem vērā izmantotā mēra daļas. Tā radās frakcijas. Daļskaitļu un negatīvo skaitļu jēdzienu formālais pamatojums tika veikts 19. gs. Daudz veselu skaitļu Z Ir naturāli skaitļi, naturāli skaitļi ar mīnusa un nulles zīmēm. Veselie skaitļi un daļskaitļi veidoja racionālu skaitļu kopu J, bet arī tas izrādījās nepietiekams nepārtraukti mainīgo lielumu izpētei. Genesis atkal parādīja matemātikas nepilnības: neiespējamību atrisināt formas vienādojumu X 2 = 3, saistībā ar kuru parādījās neracionāli skaitļi es Racionālo skaitļu kopas savienība J un iracionālie skaitļi es- reālu (vai reālu) skaitļu kopa R... Rezultātā skaitļu līnija tika aizpildīta: punkts uz tās atbilda katram reālajam skaitlim. Bet filmēšanas laukumā R formas vienādojumu nevar atrisināt X 2 = – a 2. Līdz ar to atkal radās nepieciešamība paplašināt skaitļa jēdzienu. Tā 1545. gadā parādījās kompleksie skaitļi. Viņu radītājs J. Cardano tos sauca par "tīri negatīviem". Nosaukumu "imaginary" 1637. gadā ieviesa francūzis R. Dekarts, 1777. gadā Eilers ierosināja izmantot franču cipara pirmo burtu. i lai apzīmētu iedomātu vienību. Šis simbols vispārēji izmantots, pateicoties K. Gausam.
17. un 18. gadsimtā turpinājās diskusija par iztēles aritmētisko raksturu un to ģeometrisko interpretāciju. Dānis G. Vesels, francūzis J. Argans un vācietis K. Gauss neatkarīgi ierosināja attēlot komplekso skaitli ar punktu koordinātu plaknē. Vēlāk izrādījās, ka vēl ērtāk ir attēlot skaitli nevis pēc paša punkta, bet ar vektoru, kas no koordinātu sākuma dodas uz šo punktu.
Tikai 18. gadsimta beigās un 19. gadsimta sākumā kompleksie skaitļi ieņēma pienācīgo vietu matemātiskajā analīzē. Tos pirmo reizi izmantoja diferenciālvienādojumu teorijā un hidrodinamikas teorijā.
1. definīcija.Komplekss skaitlis sauc par formas izteiksmi, kur x un y Vai reāli skaitļi, un i Ir iedomāta vienība,.
Divi kompleksie skaitļi un ir vienādi ja un tikai tad,.
Ja, tad numuru izsauc tīri iedomāts; ja skaitlis ir reāls skaitlis, tas nozīmē, ka kopa R AR, kur AR- komplekso skaitļu kopa.
Konjugēts uz komplekso skaitli sauc par komplekso skaitli.
Komplekso skaitļu ģeometriskais attēlojums.
Jebkuru komplekso skaitli var attēlot ar punktu M(x, y) lidmašīna Oxy. Reālo skaitļu pāris apzīmē rādiusa vektora koordinātas 
, t.i. starp plaknes vektoru kopu un komplekso skaitļu kopu var izveidot atbilstību viens pret vienu:.
2. definīcija.Īstā daļa X.
Apzīmējums: x= Re z(no latīņu valodas Realis).
3. definīcija.Iedomātā daļa komplekso skaitli sauc par reālo skaitli y.
Apzīmējums: y= Es z(no latīņu Imaginarius).
Re z ir uzzīmēts uz ass ( Ak), ES esmu z ir uzzīmēts uz ass ( Oy), tad kompleksajam skaitlim atbilstošais vektors ir punkta rādiusa vektors M(x, y), (vai M(Re z, ES esmu z)) (1. att.).
4. definīcija. Tiek izsaukta plakne, kuras punktiem ir piešķirta komplekso skaitļu kopa sarežģīta plakne... Par abscisu asi sauc reālā ass jo tajā ir reāli skaitļi. Ordinātu asi sauc iedomātā ass, tajā ir tīri iedomāti kompleksie skaitļi. Tiek apzīmēta komplekso skaitļu kopa AR.
5. definīcija.Modulis kompleksais skaitlis z = (x, y) ir vektora garums:, t.i. 
.
6. definīcija.Arguments kompleksais skaitlis ir leņķis starp ass pozitīvo virzienu ( Ak) un vektors: 
.
Jēdzieni "kopa", "elements", "elementa piederība kopai" ir matemātikas primārie jēdzieni. ķekars- jebkura priekšmetu kolekcija (kolekcija). .
A ir kopas B apakškopa, ja katrs kopas A elements ir kopas B elements, t.i. AÌB Û (xÎA Þ xÎB).
Divi komplekti ir vienādi ja tie sastāv no vieniem un tiem pašiem elementiem. Tas ir par kopu teorētisko vienlīdzību (nejaukt ar vienlīdzību starp skaitļiem): A = B Û AÌB Ù BÌA.
Divu komplektu savienība sastāv no elementiem, kas pieder vismaz vienai no kopām, t.i. хÎАÈВ Û хÎАÚ хÎВ.
Šķērsojums sastāv no visiem elementiem, kas vienlaikus pieder gan kopai A, gan kopai B: xÎAÇB Û xÎA Ù xÎB.
Atšķirība sastāv no visiem elementiem A, kas nepieder pie B, t.i. xÎ A \ B Û xÎA ÙxÏB.
Dekarta produkts Kopu A un B C = A´B sauc par visu iespējamo pāru kopu ( x, y), kur pirmais elements X katrs pāris pieder pie A un tā otrajam elementam plkst pieder V.
Dekarta reizinājuma A´B apakškopu F sauc kopas A kartēšana kopai B ja nosacījums ir izpildīts: (" XОА) ($! Pāris ( xy) ÎF). Tajā pašā laikā viņi raksta: A.
Termini "displejs" un "funkcija" ir sinonīmi. Ja ("хÎА) ($! УÎВ): ( x, y) ÎF, tad elements plkstÎ V sauca veidā X parādot F un rakstiet to šādi: plkst= F ( X). Elements X tajā pašā laikā ir prototips (viens no iespējamiem) elements y.
Apsveriet racionālo skaitļu kopa Q - visu veselo skaitļu kopa un visu daļu kopa (pozitīvā un negatīvā). Katru racionālo skaitli var attēlot kā koeficientu, piemēram, 1 = 4/3 = 8/6 = 12/9 =…. Šādu ideju ir daudz, taču tikai viena no tām ir nereduģējama. .
V Jebkuru racionālu skaitli var unikāli attēlot kā daļskaitli p / q, kur pÎZ, qÎN, skaitļi p, q ir pirmskaitļi.
Komplekta Q īpašības:
1. Slēgtība attiecībā uz aritmētiskām darbībām. Racionālo skaitļu saskaitīšanas, atņemšanas, reizināšanas, paaugstināšanas līdz naturālajam pakāpēm, dalīšanas (izņemot dalīšanu ar 0) rezultāts ir racionāls skaitlis:; ; 
.
2. Pasūtīšana: (" x, yÎQ, huy)®( x
Turklāt: 1) a> b, b> c Þ a> c; 2)a -b.
3. Blīvums... Starp jebkuriem diviem racionāliem skaitļiem x, y ir trešais racionālais skaitlis (piemēram, c = ):
("x, yÎQ, x<y) ($ cÎQ): ( X
Komplektā Q var veikt 4 aritmētiskās darbības, risināt lineāro vienādojumu sistēmas, bet formas kvadrātvienādojumus x 2 = a, aÎ N ne vienmēr ir izšķirami komplektā Q.
Teorēma. Nav numura xÎQ kura kvadrāts ir 2.
g Ļaujiet pastāvēt daļai X= p / q, kur skaitļi p un q ir pirmskaitļi un X 2 = 2. Tad (p/q) 2 = 2. Tāpēc
(1) labā puse dalās ar 2, tāpēc p 2 ir pāra skaitlis. Tādējādi p = 2n (n-vesels skaitlis). Tad q ir jābūt nepāra.
Atgriežoties pie (1), mums ir 4n 2 = 2q 2. Tāpēc q 2 = 2n 2. Līdzīgi pārliecināmies, ka q dalās ar 2, t.i. q ir pāra skaitlis. Teorēma ir pierādīta ar pretrunu. N
racionālu skaitļu ģeometriskais attēls. Atliekot vienību segmentu no koordinātu sākuma 1, 2, 3… reizes pa labi, iegūstam koordinātu līnijas punktus, kas atbilst naturālajiem skaitļiem. Noliekot malā līdzīgi kā pa kreisi, iegūstam punktus, kas atbilst negatīviem veseliem skaitļiem. Ņemsim 1/q(q = 2,3,4 … ) vienības segmenta daļu, un mēs to atliksim abās izcelsmes pusēs R vienreiz. Mēs iegūstam taisnas līnijas punktus, kas atbilst formas skaitļiem ± p / q (pÎZ, qÎN). Ja p, q iet cauri visiem kopskaitļu pāriem, tad uz līnijas mums ir visi punkti, kas atbilst daļskaitļiem. Pa šo ceļu, katrs racionālais skaitlis saskaņā ar pieņemto metodi atbilst vienam koordinātu līnijas punktam.
Vai katram punktam var norādīt vienu racionālu skaitli? Vai taisne ir pilnībā piepildīta ar racionāliem skaitļiem?
Izrādās, ka uz koordinātu taisnes ir punkti, kas neatbilst nevienam racionālam skaitļam. Vienības segmentā izveidojiet vienādsānu taisnleņķa trīsstūri. Punkts N neatbilst racionālam skaitlim, jo, ja IESLĒGTS = x- tad racionāli x 2 = 2, kas nevar būt.
Ir bezgalīgi daudz punktu, kas ir līdzīgi punktam N uz taisnes. Paņemiet segmenta racionālās daļas x = IESL., tie. X... Ja mēs tos atliksim pa labi, neviens racionāls skaitlis neatbildīs nevienam no šāda segmenta galiem. Pieņemot, ka segmenta garums ir izteikts ar racionālu skaitli x =, mēs to sapratām x =- racionāls. Tas ir pretrunā ar iepriekš pierādīto.
Ar racionāliem skaitļiem nepietiek, lai saistītu kādu racionālu skaitli ar katru koordinātu līnijas punktu.
Celsim reālo skaitļu kopa R pāri bezgalīgas decimāldaļas.
Saskaņā ar "stūra" dalīšanas algoritmu jebkuru racionālu skaitli var attēlot kā ierobežotu vai bezgalīgu periodisku decimālo daļu. Ja daļai p / q nav citu primāro faktoru kā 2 un 5, t.i. q = 2 m × 5 k, tad rezultāts būs pēdējā decimāldaļdaļa p / q = a 0, a 1 a 2… a n. Pārējām daļām var būt tikai bezgalīgi decimāldaļas paplašinājumi.
Zinot bezgalīgo periodisko decimāldaļu, varat atrast racionālo skaitli, ko tas pārstāv. Taču jebkuru pēdējo decimālo daļu var attēlot kā bezgalīgu decimāldaļskaitli vienā no šiem veidiem:
a 0, a 1 a 2… a n = a 0, a 1 a 2… a n 000… = a 0, a 1 a 2… (a n -1) 999… (2)
Piemēram, bezgalīgai decimālzīmei X= 0, (9) mums ir 10 X= 9, (9). Ja no 10x atņemam sākotnējo skaitli, mēs iegūstam 9 X= 9 vai 1 = 1, (0) = 0, (9).
Atbilstība viens pret vienu tiek noteikta starp visu racionālo skaitļu kopu un visu bezgalīgo periodisko decimālo daļu kopu, ja bezgalīgā decimāldaļdaļa tiek identificēta ar ciparu 9 periodā ar atbilstošo bezgalīgo decimālo daļu ar ciparu 0 periods saskaņā ar noteikumu (2).
Vienosimies izmantot tādas bezgalīgas periodiskas daļskaitļus, kuriem periodā nav skaitļa 9. Ja spriešanas procesā rodas bezgalīga periodiska decimāldaļdaļa ar skaitli 9 periodā, tad to aizstāsim ar bezgalīgu decimāldaļu ar nulli periodā, t.i. 1.999 vietā ... ņemsim 2000 ...
Iracionālā skaitļa definīcija. Papildus bezgalīgām decimāldaļām periodiskām daļām ir arī neperiodiskas decimāldaļas. Piemēram, 0.1010010001 ... vai 27.1234567891011 ... (dabiskie skaitļi ir secīgi aiz komata).
Apsveriet formas bezgalīgu decimālo daļu ± a 0, a 1 a 2 ... a n ... (3)
Šo daļskaitli nosaka, norādot zīmi "+" vai "-", nenegatīvu veselu skaitli 0 un decimālzīmju secību a 1, a 2, ..., an, ... (aiz komata zīmju kopa sastāv no desmit skaitļiem: 0, 1, 2, ..., 9).
Tiek izsaukta jebkura formas (3) daļa reālais (reālais) skaitlis. Ja daļskaitļa (3) priekšā ir zīme "+", to parasti izlaiž un raksta 0, a 1 a 2 ... a n ... (4).
Tiks izsaukts veidlapas numurs (4). nenegatīvs reālais skaitlis, un gadījumā, ja vismaz viens no skaitļiem a 0, a 1, a 2, ..., a n atšķiras no nulles, - pozitīvs reālais skaitlis... Ja izteiksmē (3) tiek ņemta zīme "-", tad tas ir negatīvs skaitlis.
Racionālo un iracionālo skaitļu kopu savienība veido reālo skaitļu kopu (QÈJ = R). Ja bezgalīgā decimāldaļdaļa (3) ir periodiska, tad tas ir racionāls skaitlis, ja daļa ir neperiodiska, tā ir iracionāla.
Divi nenegatīvi reālie skaitļi a = a 0, a 1 a 2… a n…, b = b 0, b 1 b 2… b n…. tiek saukti vienāds(rakstiet a = b), ja a n = b n plkst n = 0,1,2 ... Skaitlis a ir mazāks par skaitli b(rakstiet a<b), ja nu a 0 vai a 0 = b 0 un ir tāds numurs m, kas a k = b k (k = 0,1,2, ... m-1), a a m , t.i. a Û (a 0 Ú ($mÎN: a k = b k (k =), a m ). Jēdziens " a>b».
Lai salīdzinātu patvaļīgus reālos skaitļus, mēs ieviešam jēdzienu " skaitļa a modulis» . Pēc reāla skaitļa moduļa a = ± a 0, a 1 a 2 ... a n ... tiek saukts tāds nenegatīvs reālais skaitlis, kas attēlots ar to pašu bezgalīgo decimāldaļu, bet ņemts ar zīmi "+", t.i. ½ a½= a 0, a 1 a 2 ... a n ... un 1/2 a½³0. Ja a - nenegatīvs, b Ja skaitlis ir negatīvs, tas tiek uzskatīts a> b... Ja abi skaitļi ir negatīvi ( a<0, b<0 ), tad pieņemsim, ka: 1) a = b ja ½ a½ = ½ b½; 2) a ja ½ a½ > ½ b½.
Komplekta R īpašības:
es Pasūtiet rekvizītus:
1. Katram reālo skaitļu pārim a un b ir viena un tikai viena saistība: a = b, a
2. Ja a
3. Ja a , tad ir cipars c tāds, ka a< с .
II. Saskaitīšanas un atņemšanas darbību īpašības:
4. a + b = b + a(maināmība).
5. (a + b) + c = a + (b + c) (asociativitāte).
6. a + 0 = a.
7. a + (- a) = 0.
8.no a Þ a + c
III. Reizināšanas un dalīšanas darbību īpašības:
9. a × b = b × a .
10. (a × b) × c = a × (b × c).
11. a × 1 = a.
12. a × (1/a) = 1 (a¹0).
13. (a + b) × c = ac + bc(izplatīšana).
14.ja a un c> 0, tad a × c
IV. Arhimēda īpašums("cÎR) ($ nÎN): (n> c).
Lai kāds būtu cÎR, ir tāds nÎN, ka n> c.
V. Reālu skaitļu nepārtrauktības īpašība. Lai divas netukšas kopas АÌR un BÌR ir tādas, ka jebkurš elements aÎА vairs nebūs ( a£ b) jebkura elementa bÎB. Tad Dedekind nepārtrauktības princips apgalvo, ka pastāv šāds numurs ar to visiem aОА un bÎB stāvoklis a£ c £ b:
("AÌR, BÌR) :(" aÎA, bÎB ® a£ b) ($ cÎR): (" aÎA, bÎB® a£ c £ b).
Kopu R identificēsim ar reālās līnijas punktu kopu un reālos skaitļus nosauksim par punktiem.
1. NODAĻA. Mainīgie un funkcijas§1.1. Reāli skaitļi
Pirmā iepazīšanās ar reālajiem skaitļiem notiek skolas matemātikas kursā. Jebkurš reāls skaitlis tiek attēlots ar ierobežotu vai bezgalīgu decimālo daļu.
Reālos (reālos) skaitļus iedala divās klasēs: racionālo un iracionālo skaitļu klasē. Racionāli ir skaitļi, kuriem ir forma, kur m un n Vai koprime veseli skaitļi, bet 
... (Racionālo skaitļu kopa tiek apzīmēta ar burtu J). Pārējie reālie skaitļi tiek izsaukti neracionāli... Racionālie skaitļi tiek attēloti ar galīgu vai bezgalīgu periodisku daļskaitli (tādu pašu kā parastās daļas), tad iracionāli būs tie un tikai tie reālie skaitļi, kurus var attēlot ar bezgalīgām neperiodiskām daļām.
Piemēram, numurs 
- racionāls un 
, 
, 
utt. - neracionāli skaitļi.
Reālos skaitļus var iedalīt arī algebriskajos - polinoma saknēs ar racionāliem koeficientiem (tie jo īpaši ietver visus racionālos skaitļus - vienādojuma saknes 
) — un pārpasaulīgajā — viss pārējais (piemēram, skaitļi 
cits).
Visu dabisko, veselo un reālo skaitļu kopas tiek apzīmētas šādi: NZ, R
(vārdu Naturel, Zahl, Reel sākuma burti).
§1.2. Reālo skaitļu attēlošana uz skaitļu ass. Intervāli
Ģeometriski (skaidrības labad) reālie skaitļi ir attēloti kā punkti uz bezgalīgas (abos virzienos) taisnas līnijas, ko sauc skaitliski
ass... Šim nolūkam uz apskatāmās taisnes tiek ņemts punkts (izcelsme ir punkts 0), tiek norādīts pozitīvs virziens, kas attēlots ar bultiņu (parasti pa labi) un tiek izvēlēta mēroga mērvienība, kuru uz nenoteiktu laiku noliek malā. abos virzienos no punkta 0. Šādi tiek attēloti veseli skaitļi. Lai attēlotu skaitli ar vienu zīmi aiz komata, katrs segments ir jāsadala desmit daļās utt. Tādējādi katrs reālais skaitlis tiks attēlots ar punktu uz skaitļa ass. Un otrādi, uz katru punktu 
atbilst reālam skaitlim, kas vienāds ar segmenta garumu 
un ņemts ar zīmi "+" vai "-", atkarībā no tā, vai punkts atrodas pa labi vai pa kreisi no izcelsmes. Tādējādi tiek noteikta atbilstība viens pret vienu starp visu reālo skaitļu kopu un visu skaitliskās ass punktu kopu. Termini "reālais skaitlis" un "skaitliskās ass punkts" tiek lietoti kā sinonīmi.
Simbols 
apzīmēsim gan reālo skaitli, gan tam atbilstošo punktu. Pozitīvie skaitļi atrodas pa labi no punkta 0, negatīvie - pa kreisi. Ja 
, tad uz skaitliskās ass punkts 
atrodas pa kreisi no punkta 
... Ļaujiet punktu 
atbilst skaitlim, tad skaitli sauc par punkta koordinātu, viņi raksta 
; biežāk pats punkts tiek apzīmēts ar tādu pašu burtu kā skaitlis. Punkts 0 ir izcelsme. Asi apzīmē arī ar burtu 
(1.1. attēls).
Rīsi. 1.1. Skaitļa ass.
Visu melo skaitļu kolekcija starp doti skaitļi un tiek saukts par intervālu vai intervālu; gali var piederēt viņam vai arī nepiederēt. Noskaidrosim šo. Ļaujiet 
... Ciparu kolekcija, kas atbilst nosacījumam 
, sauc par intervālu (šaurā nozīmē) vai atvērtu intervālu, ko apzīmē ar simbolu 
(1.2. attēls).
Rīsi. 1.2. Intervāls
Tādu skaitļu kolekcija, ka 
sauc par slēgtu intervālu (segmentu, segmentu) un apzīmē ar 
; uz skaitļu ass ir atzīmēts šādi:
Rīsi. 1.3. Slēgts intervāls
No atvērtas spraugas tas atšķiras tikai ar diviem punktiem (galiem) un. Bet šī atšķirība ir fundamentāla, būtiska, kā to redzēsim vēlāk, piemēram, pētot funkciju īpašības.
Izlaižot vārdus "visu skaitļu (punktu) kopa" x tā, ka "u.c., mēs atzīmējam tālāk:
un 
, apzīmēts 
un 
daļēji atvērti vai daļēji slēgti intervāli (dažkārt: pusintervāli);
vai 
nozīmē: 
vai 
un apzīmēts 
vai 
;
vai 
nozīmē 
vai 
un apzīmēts 
vai 
;
, apzīmēts 
visu reālo skaitļu kopa. Nozīmītes 
"bezgalības" simboli; tos sauc par nepareiziem vai ideāliem skaitļiem. 
§1.3. Reāla skaitļa absolūtā vērtība (vai modulis).
Definīcija. Absolūtā vērtība (vai modulis) skaitļus sauc par pašu numuru, ja 
vai 
ja 
... Absolūtā vērtība ir norādīta ar simbolu 
... Tātad, 
Piemēram, 
, 
, 
.
Ģeometriski nozīmē punktu attālumu a uz izcelsmi. Ja mums ir divi punkti un, tad attālumu starp tiem var attēlot kā 
(vai 
). Piemēram, 
attālums 
.
Absolūto vērtību īpašības.
1. No definīcijas izriet, ka 
, 
, tas ir 
.
2. Summas un starpības absolūtā vērtība nepārsniedz absolūto vērtību summu: 
.
1) Ja 
, tad 
... 2) Ja 
, tad. ▲
3. 
.
, pēc tam pēc 2. īpašuma: 
, t.i. 
... Līdzīgi, ja iedomājamies 
, tad nonākam pie nevienlīdzības 
▲
4. 
- izriet no definīcijas: apsvērt gadījumus 
un 
.
5. 
, ar nosacījumu, ka 
Tas arī izriet no definīcijas.
6. Nevienlīdzība 
,
nozīmē 
... Šo nevienlīdzību apmierina punkti, kas atrodas starp tiem 
un 
.
7. Nevienlīdzība 
līdzvērtīgi nevienlīdzībai 
, t.i. ... Šis ir intervāls, kura centrs ir garuma punktā 
... To sauc par 
punkta (skaitļa) apkārtne. Ja 
, tad apkaimi sauc par caurdurtu: šo vai 
... (1.4. att.).
8. 
no kā izriet, ka nevienlīdzība 
(
) ir līdzvērtīgs nevienlīdzībai 
vai 
; un nevienlīdzība 
definē punktu kopu, kurai 
, t.i. tie ir punkti, kas atrodas ārpus segmenta 
, tieši tā: 
un 
.
§1.4. Daži jēdzieni, apzīmējumi
Šeit ir daži bieži lietoti jēdzieni, apzīmējumi no kopu teorijas, matemātiskās loģikas un citām mūsdienu matemātikas nozarēm.
1 ... Koncepcija ļaudīm ir viens no matemātikas pamatiem, oriģināls, universāls un tāpēc neatbilst definīcijai. To var tikai aprakstīt (aizstāt ar sinonīmiem): tā ir kolekcija, dažu priekšmetu, lietu kolekcija, ko vieno jebkādas zīmes. Šos objektus sauc elementi komplekti. Piemēri: daudz smilšu graudu krastā, zvaigznes Visumā, skolēni klasē, vienādojuma saknes, taisnes punkti. Tiek izsauktas kopas, kuru elementi ir skaitļi ciparu kopas... Dažiem standarta komplektiem tiek ieviesti īpaši apzīmējumi, piemēram, N,Z,R - skatīt 1.1.
Ļaujiet A- iestatīt un x ir tā elements, viņi raksta: 
; skan" x pieder A» ( 
elementu iekļaušanas zīme). Ja objekts x nav iekļauts A tad raksti 
; skan: " x nepieder A". Piemēram, 
N; 8,51
N; bet 8.51 
R.
Ja x ir kopuma elementu vispārīgs apzīmējums A tad raksti 
... Ja ir iespējams pierakstīt visu elementu apzīmējumu, tad rakstiet 
, 
utt. Kopu, kas nesatur nevienu elementu, sauc par tukšu kopu un apzīmē ar simbolu ; piemēram, vienādojuma sakņu kopa (reālā). 
ir tukša.
Komplektu sauc fināls ja tas sastāv no ierobežota elementu skaita. Ja jebkuram naturālajam skaitlim N ņemam, kopā A tad elementu ir vairāk nekā N A sauca bezgalīgs komplekts: tajā ir bezgala daudz elementu.
Ja katrs komplekta elements ^ A pieder komplektam B, tad 
ko sauc par kopas daļu vai apakškopu B un rakstiet 
; skan" A ietverts B» ( 
ir komplektu iekļaušanas zīme). Piemēram, NZR. Ja 
, tad viņi saka, ka komplekti A un B vienādi un rakstiet 
... Pretējā gadījumā rakstiet 
... Piemēram, ja 
, a 
vienādojuma sakņu kopa 
, tad.
Abu komplektu elementu kolekcija A un B sauca apvienošana komplekti un apzīmēti 
(dažreiz 
). Elementu kolekcija, kas pieder un A un B tiek saukts krustojums komplekti un apzīmēti 
... Visu komplekta elementu kolekcija ^ A kas nav ietverti B tiek saukts atšķirība komplekti un apzīmēti 
... Šīs darbības shematiski var attēlot šādi:
Ja starp kopu elementiem var noteikt atbilstību viens pret vienu, tad viņi saka, ka šīs kopas ir līdzvērtīgas un raksta 
... Katrs bars A, ekvivalents naturālo skaitļu kopai N= sauc skaitīšana vai saskaitāms. Citiem vārdiem sakot, kopu sauc par saskaitāmu, ja tās elementus var numurēt, sakārtot bezgalīgā skaitā secība 
, kuras visi dalībnieki ir atšķirīgi: 
plkst 
, un to var uzrakstīt kā. Tiek sauktas citas bezgalīgas kopas nesaskaitāms... Saskaitāms, izņemot pašu komplektu N, būs, piemēram, komplekti 
, Z. Izrādās, ka visu racionālo un algebrisko skaitļu kopas ir saskaitāmas, un visu iracionālo, transcendentālo, reālo skaitļu un jebkura intervāla punktu ekvivalentās kopas ir nesaskaitāmas. Viņi saka, ka pēdējiem ir kontinuuma kardinalitāte (kardinalitāte ir bezgalīgas kopas elementu skaita (skaita) jēdziena vispārinājums).
2
... Lai ir divi apgalvojumi, divi fakti: un 
... Simbols 
nozīmē: "ja ir taisnība, tad taisnība un" vai "no sekojošā", "nozīmē, ka vienādojuma saknei ir īpašība no angļu valodas Pastāv- pastāvēt.
Ieraksts: 
, vai 
, nozīmē: ar īpašumu ir (vismaz viens) objekts 
... Un rekords 
, vai 
, nozīmē: visiem ir īpašums. Jo īpaši mēs varam rakstīt: 
un .
