Sadalījuma atlikums ar 45. Veselu skaitļu dalīšana ar atlikumu, likumi, piemēri
Šajā rakstā mēs analizēsim veselu skaitļu dalīšana ar atlikumu... Sāksim ar vispārīgo veselu skaitļu dalīšanas principu ar atlikumu, formulēsim un pierādīsim teorēmu par veselu skaitļu dalāmību ar atlikumu, izsekosim saites starp dividenžu, dalītāju, nepilnīgu koeficientu un atlikumu. Tālāk mēs izskanēsim likumus, saskaņā ar kuriem tiek veikta veselu skaitļu dalīšana ar atlikumu, un apsvērsim šo noteikumu piemērošanu, risinot piemērus. Pēc tam mēs uzzināsim, kā pārbaudīt veselu skaitļu dalīšanas ar atlikumu rezultātu.
Lapas navigācija.
Izpratne par atlikušo veselo sadalījumu
Mēs uzskatīsim veselu skaitļu dalīšanu ar atlikumu kā dalīšanas vispārinājumu ar atlikušajiem dabiskajiem skaitļiem. Tas ir saistīts ar faktu, ka dabiskie skaitļi ir veselu skaitļu sastāvdaļa.
Sāksim ar aprakstā izmantotajiem terminiem un apzīmējumiem.
Pēc analoģijas ar dabisko skaitļu dalīšanu ar atlikumu pieņemsim, ka dalīšanas rezultāts ar divu veselu skaitļu a un b atlikumu (b nav vienāds ar nulli) ir divi veseli skaitļi c un d. Tiek saukti skaitļi a un b dalāms un dalītājs attiecīgi skaitlis d - atgādinājums no dalot a ar b, un tiek saukts vesels skaitlis c nepilnīgs privāts (vai vienkārši privātsja atlikums ir nulle).
Piekritīsim pieņemt, ka atlikums ir nenegatīvs vesels skaitlis un tā vērtība nepārsniedz b, tas ir, (mēs sastapāmies ar šādām nevienlīdzību ķēdēm, kad runājām par trīs vai vairāk veselu skaitļu salīdzināšanu).
Ja skaitlis c ir nepilnīgs koeficients un skaitlis d ir vesela skaitļa a dalīšanas ar veselu skaitli b atlikums, tad šo faktu īsi uzrakstīsim kā formas a vienādību: b \u003d c (atlikusī d).
Ņemiet vērā, ka, dalot veselu skaitli a ar veselu skaitli b, atlikums var būt nulle. Šajā gadījumā a tiek dalīts ar b bez atlikumiem (vai pilnībā). Tādējādi veselu skaitļu dalīšana bez atlikuma ir īpašs veselu skaitļu dalīšanas gadījums ar atlikumu.
Ir arī vērts teikt, ka, dalot nulli ar kādu veselu skaitli, mēs vienmēr nodarbojamies ar dalīšanu bez atlikuma, jo šajā gadījumā koeficients būs vienāds ar nulli (skat. Teorijas sadaļu par nulles dalīšanu ar veselu skaitli), un atlikusī daļa arī būs vienāda ar nulli.
Mēs esam izlēmuši par terminoloģiju un apzīmējumiem, tagad noskaidrosim, ko nozīmē veselu skaitļu dalīšana ar atlikumu.
Arī negatīva vesela skaitļa a dalīšana ar pozitīvu veselu skaitli b var būt jēga. Lai to izdarītu, uzskatiet negatīvu veselu skaitli par parādu. Iedomāsimies šādu situāciju. Parāds, kas veido posteņus, jāmaksā b cilvēkiem, veicot tādu pašu ieguldījumu. Šajā gadījumā nepilnīgas koeficienta c absolūtā vērtība noteiks katra no šiem cilvēkiem parāda summu, un atlikusī d parādīs, cik daudz priekšmetu paliks pēc parāda samaksas. Sniegsim piemēru. Pieņemsim, ka 2 cilvēkiem vajag 7 ābolus. Ja pieņemam, ka katrs no viņiem ir parādā 4 ābolus, tad pēc parāda samaksas viņiem būs 1 ābols. Šī situācija atbilst vienādībai (−7): 2 \u003d −4 (atpūta 1).
Mēs nedosim nekādu nozīmi dalījumam ar patvaļīga vesela skaitļa a atlikumu ar negatīvu veselu skaitli, bet mēs atstāsim to tiesības pastāvēt.
Dalāmības teorēma veseliem skaitļiem ar atlikumu
Kad mēs runājām par dabisko skaitļu dalīšanu ar atlikumu, mēs uzzinājām, ka dividendes a, dalītāja b, nepilnīga koeficienta c un atlikuma d ir saistītas ar vienādību a \u003d b c + d. Veseliem skaitļiem a, b, c un d ir viena un tā pati saistība. Šo savienojumu ir apstiprinājuši šādi atlikusī dalāmības teorēma.
Teorēma.
Jebkuru veselu skaitli a var unikāli attēlot ar veselu skaitli un nulles skaitli b formā a \u003d b q + r, kur q un r ir daži veseli skaitļi un.
Pierādījumi.
Pirmkārt, mēs pierādām iespēju attēlot a \u003d b q + r.
Ja veseli skaitļi a un b ir tādi, ka a ir vienmērīgi dalāms ar b, tad pēc definīcijas pastāv vesels skaitlis q tā, ka a \u003d b q. Šajā gadījumā vienādība a \u003d bq + r atbilst r \u003d 0.
Tagad mēs pieņemsim, ka b ir pozitīvs vesels skaitlis. Izvēlieties veselu skaitli q tā, lai reizinājums b q nepārsniegtu a, un reizinājums b (q + 1) jau būtu lielāks par a. Tas ir, mēs ņemam q tādu, ka nevienādības b q Atliek pierādīt iespēju attēlot a \u003d b q + r negatīvam b. Tā kā skaitļa b modulis šajā gadījumā ir pozitīvs skaitlis, tad šeit ir attēlojums, kur q 1 ir kāds vesels skaitlis un r ir vesels skaitlis, kas atbilst nosacījumiem. Tad, ņemot q \u003d −q 1, iegūstam nepieciešamo attēlojumu a \u003d b q + r negatīvajam b. Mēs pāriet uz unikalitātes pierādījumu. Pieņemsim, ka papildus attēlojumam a \u003d bq + r, q un r ir veseli skaitļi, un ir vēl viens attēlojums a \u003d bq 1 + r 1, kur q 1 un r 1 ir daži veseli skaitļi, un q 1 ≠ q un. Pēc pirmās vienādības kreisās un labās puses atņemšanas attiecīgi otrās vienādības kreisās un labās puses iegūstam 0 \u003d b (q - q 1) + r - r 1, kas ir vienāds ar vienādību r - r 1 \u003d b (q 1 - q) ... Tad formas vienādība No apstākļiem un mēs to varam secināt. Tā kā q un q 1 ir veseli skaitļi un q ≠ q 1, no tā mēs secinām Vienādība a \u003d b c + d ļauj atrast nezināmo dividendi a, ja zināt dalītāju b, nepilnīgo koeficientu c un atlikušo d. Apskatīsim piemēru. Piemērs. Kāda ir dividenža daļa, ja to dalot ar skaitli −21, tiek iegūts nepilnīgs koeficients 5 un atlikums - 12? Lēmums. Mums jāaprēķina dividende a, kad mēs zinām dalītāju b \u003d −21, daļējo koeficientu c \u003d 5 un atlikušo d \u003d 12. Pievēršoties vienādībai a \u003d b c + d, iegūstam a \u003d (- 21) 5 + 12. Novērojot, vispirms mēs reizinām veselos skaitļus −21 un 5 saskaņā ar veselu skaitļu reizināšanas likumu ar dažādām zīmēm, pēc kura mēs pievienojam skaitļus ar dažādām zīmēm: (−21) 5 + 12 \u003d −105 + 12 \u003d −93. Atbilde: −93
.
Saistības starp dividenžu, dalītāju, nepilnīgu koeficientu un atlikumu izsaka arī formas b \u003d (a - d) vienādības: c, c \u003d (a - d): b un d \u003d a - b · c. Šīs vienādības ļauj aprēķināt attiecīgi dalītāju, daļējo koeficientu un atlikumu. Mums bieži jāatrod atlikums dalīt veselu skaitli a ar veselu skaitli b, kad ir zināma dividenža, dalītāja un daļējā koeficients, izmantojot formulu d \u003d a - b · c. Lai izvairītos no turpmākiem jautājumiem, aplūkosim atlikuma aprēķināšanas piemēru. Piemērs. Atrodiet atlikušo skaitļa −19 dalīšanu ar skaitli 3, ja zināt, ka daļējais koeficients ir −7. Lēmums. Lai aprēķinātu dalījuma atlikumu, mēs izmantojam formulu d \u003d a - b · c. No nosacījuma mums ir visi nepieciešamie dati a \u003d −19, b \u003d 3, c \u003d −7. Iegūstam d \u003d a - b c \u003d −19−3 (−7) \u003d −19 - (- 21) \u003d - 19 + 21 \u003d 2 (starpība −19 - (- 21), ko aprēķinām pēc negatīvā vesela skaitļa atņemšanas kārtulas. ). Atbilde: Kā mēs esam atzīmējuši vairāk nekā vienu reizi, pozitīvi veseli skaitļi ir dabiski skaitļi. Tāpēc dalīšana ar atlikušajiem pozitīvajiem skaitļiem tiek veikta saskaņā ar visiem dalīšanas noteikumiem ar atlikušo dabisko skaitli. Ir ļoti svarīgi spēt viegli veikt dalīšanu ar atlikušo dabisko skaitļu skaitu, jo tieši šis dalījums ir pamatā ne tikai pozitīvo veselu skaitļu sadalījumam, bet arī visu dalīšanas noteikumu pamatam ar atlikušo patvaļīgo veselu skaitļu daļu. No mūsu viedokļa visērtāk ir veikt garu dalīšanu, šī metode ļauj iegūt gan nepilnīgo koeficientu (vai tikai koeficientu), gan atlikušo. Apsveriet dalīšanas piemēru ar atlikušajiem pozitīvajiem skaitļiem. Piemērs. Sadaliet 14 671 ar 54 ar atlikušo daļu. Lēmums. Sadalīsim šos pozitīvos skaitļus ar kolonnu: Daļējais koeficients izrādījās 271, bet pārējais ir 37. Atbilde: 14 671: 54 \u003d 271 (atpūta 37). Formulēsim likumu, kas ļauj veikt dalīšanu ar pozitīva vesela skaitļa atlikumu ar negatīvu veselu skaitli. Nepilnīgs pozitīva vesela skaitļa a dalīšanas ar negatīvu veselu skaitli b koeficients ir pretējs nepilnīgajam koeficientam a dalīšanai ar b moduli, un atlikušās dalīšanas a ar b atlikums ir vienāds ar atlikušo dalījuma ar. No šī noteikuma izriet, ka nepilnīgs pozitīva vesela skaitļa dalīšanas ar negatīvu veselu skaitli skaitlis nav pozitīvs. Pārveidosim noteikto kārtību dalīšanas algoritmā ar pozitīvā vesela skaitļa atlikumu ar negatīvu veselu skaitli: Sniegsim piemēru, kā izmantot algoritmu pozitīva vesela skaitļa dalīšanai ar negatīvu veselu skaitli. Piemērs. Daliet pozitīvo veselu skaitli 17 ar negatīvo veselu skaitli −5. Lēmums. Izmantosim dalīšanas algoritmu ar pozitīvā vesela skaitļa atlikumu ar negatīvu veselu skaitli. Dalīšana 3 pretstats ir −3. Tādējādi vēlamais daļējais koeficients, dalot 17 ar −5, ir −3, un atlikums ir 2. Atbilde: 17: (- 5) \u003d - 3 (atpūta 2). Piemērs. Sadaliet 45 līdz -15. Lēmums. Dividenžu un dalītāju moduļi ir attiecīgi 45 un 15. Skaitlis 45 dalās ar 15 bez atlikuma, savukārt koeficients ir 3. Tāpēc pozitīvais vesels skaitlis 45 bez atlikuma dalās ar negatīvo veselu skaitli −15, un koeficients ir vienāds ar pretējo skaitlim 3, tas ir, −3. Patiešām, saskaņā ar veselu skaitļu dalīšanas noteikumu ar dažādām zīmēm mums ir. Atbilde: 45:(−15)=−3
.
Sniegsim dalīšanas kārtulas formulējumu ar negatīvā vesela skaitļa atlikumu ar pozitīvu veselu skaitli. Lai iegūtu nepilnīgu koeficientu c, dalot negatīvu veselu skaitli a ar pozitīvu veselu skaitli b, jums jāņem skaitlis, kas ir pretējs nepilnīgajam koeficientam, no sākotnējo skaitļu moduļu dalīšanas un no tā atņemiet vienu, pēc tam aprēķiniet atlikušo d ar formulu d \u003d a - b c. No šī dalīšanas noteikuma ar atlikumu izriet, ka nepilnīga negatīvā vesela skaitļa dalīšanas ar pozitīvo veselu skaitlis ir negatīvs vesels skaitlis. No izskanējušā noteikuma izriet dalīšanas algoritms ar negatīvā vesela skaitļa a atlikumu ar pozitīvu veselu skaitli b: Analizēsim piemēra risinājumu, kurā mēs izmantojam rakstīto dalīšanas algoritmu ar atlikumu. Piemērs. Atrodiet nepilnīgo koeficientu un negatīvā veselā skaitļa -17 atlikumu, kas dalīts ar pozitīvo veselu skaitli 5. Lēmums. Dividenžu −17 modulis ir 17, un dalītāja 5 modulis ir 5. Dalīšana 17 ar 5, mēs iegūstam nepilnīgu koeficientu 3 un atlikumu 2. 3 pretstats ir −3. Atņemiet vienu no −3: −3−1 \u003d −4. Tātad nepieciešamais nepilnīgais koeficients ir −4. Atliek aprēķināt atlikumu. Mūsu piemērā a \u003d −17, b \u003d 5, c \u003d −4, tad d \u003d a - b c \u003d −17−5 (−4) \u003d −17 - (- 20) \u003d - 17 + 20 \u003d 3 ... Tādējādi daļējais koeficients, dalot negatīvo veselu skaitli -17 ar pozitīvo veselu skaitli 5, ir -4, bet atlikums ir 3. Atbilde: (−17): 5 \u003d −4 (pārējie 3). Piemērs. Sadaliet negatīvo veselu skaitli -1404 ar pozitīvo veselu skaitli 26. Lēmums. Dividenžu modulis ir 1 404, dalītāja modulis ir 26. Sadaliet 1 404 ar 26 ar kolonnu: Tā kā dividendes modulis tika dalīts ar dalītāja moduli bez atlikuma, sākotnējie veseli skaitļi ir dalāmi bez atlikuma, un vēlamais koeficients ir vienāds ar skaitli, kas ir pretējs 54, tas ir, −54. Atbilde: (−1 404):26=−54
.
Formulēsim dalīšanas kārtulu ar atlikušajiem negatīvajiem skaitļiem. Lai iegūtu nepilnīgu koeficientu c, dalot negatīvu veselu skaitli a ar veselu skaitli negatīvu skaitli b, jums jāaprēķina nepilnīgais koeficients no sākotnējo skaitļu moduļu dalīšanas un tam jāpievieno viens, pēc tam aprēķiniet atlikušo d ar formulu d \u003d a - b c. No šī noteikuma izriet, ka nepilnīgs negatīvo veselu skaitļu dalīšanas koeficients ir pozitīvs vesels skaitlis. Pārrakstīsim noteikto likumu kā algoritmu negatīvo veselu skaitļu dalīšanai: Apsveriet algoritma piemērošanu negatīvo veselu skaitļu dalīšanai, risinot piemēru. Piemērs. Atrodiet negatīvā veselā skaitļa -17 daļējo koeficientu un atlikumu, kas dalīts ar negatīvo veselu skaitli -5. Lēmums. Izmantosim atbilstošo sadalījumu ar atlikušo algoritmu. Dividenžu modulis ir 17, dalītāja modulis ir 5. Nodaļa 17 ar 5 dod nepilnīgu koeficientu 3 un atlikumu 2. Pievienojiet vienu nepilnīgajam koeficientam 3: 3 + 1 \u003d 4. Tāpēc vēlamais daļējais koeficients, dalot −17 ar −5, ir 4. Atliek aprēķināt atlikumu. Šajā piemērā a \u003d −17, b \u003d −5, c \u003d 4, tad d \u003d a - b c \u003d −17 - (- 5) 4 \u003d −17 - (- 20) \u003d - 17 + 20 \u003d 3 ... Tātad negatīvā veselā skaitļa -17 dalīšanas ar negatīvo veselu skaitli -5 nepilnīga koeficients ir 4, bet atlikums ir 3. Atbilde: (−17): (- 5) \u003d 4 (atlikušais 3). Pēc veselo skaitļu dalīšanas ar atlikumu ir lietderīgi pārbaudīt rezultātu. Pārbaudi veic divos posmos. Pirmajā posmā tiek pārbaudīts, vai atlikušais d ir skaitlis, kas nav negatīvs, un tiek pārbaudīts arī stāvoklis. Ja ir izpildīti visi verifikācijas pirmā posma nosacījumi, varat pāriet uz otro verifikācijas posmu, pretējā gadījumā var apgalvot, ka sadalīšanas laikā kaut kur tika pieļauta kļūda ar atlikušo daļu. Otrajā posmā tiek pārbaudīts vienādības a \u003d b c + d derīgums. Ja šī vienlīdzība ir patiesa, tad dalīšana ar atlikušo daļu tika veikta pareizi, pretējā gadījumā kaut kur tika pieļauta kļūda. Apskatīsim tādu piemēru risinājumus, kuros tiek pārbaudīts veselu skaitļu dalīšanas rezultāts ar atlikumu. Piemērs. Dalot skaitli −521 ar −12, iegūts nepilnīgs koeficients 44 un atlikums 7, pārbaudiet rezultātu. Lēmums. −2, ja b \u003d −3, c \u003d 7, d \u003d 1. Mums ir b c + d \u003d −3 7 + 1 \u003d −21 + 1 \u003d −20... Tādējādi vienādība a \u003d b c + d ir nepareiza (mūsu piemērā a \u003d −19). Tāpēc dalīšana ar atlikušo daļu tika veikta nepareizi. Sadalāmības testi skaitļiem- tie ir noteikumi, kas ļauj salīdzinoši ātri bez dalīšanas uzzināt, vai šis skaitlis dalās ar doto bez atlikuma. Šis ir viens no vienkāršākajiem dalāmības testiem. Tas izklausās šādi: ja dabiskā skaitļa ierakstīšana beidzas ar pāra ciparu, tad tā ir pāra (dalāma ar 2 bez atlikuma), un, ja skaitļa ierakstīšana beidzas ar nepāra ciparu, tad šis skaitlis ir nepāra. Šim dalāmības kritērijam ir pilnīgi atšķirīgi noteikumi: ja skaitļa ciparu summa dalās ar 3, tad skaitlis dalās arī ar 3; ja skaitļa ciparu summa nav dalāma ar 3, tad arī skaitlis nav dalāms ar 3. Šis dalāmības kritērijs būs sarežģītāks. Ja skaitļa pēdējie 2 cipari veido skaitli, kas dalās ar 4, vai tas ir 00, tad skaitlis dalās ar 4, pretējā gadījumā šis skaitlis bez atlikuma nedalās ar 4. Un atkal mums ir diezgan vienkārša dalāmības zīme: ja dabiskā skaitļa ieraksts beidzas ar ciparu 0 vai 5, tad šis skaitlis dalās bez atlikuma ar 5. Ja skaitļa ieraksts beidzas ar citu ciparu, tad skaitlis nav dalāms ar 5 bez atlikuma. Pirms mums ir salikts skaitlis 6, kas ir skaitļu 2 un 3 reizinājums. Tāpēc dalāmība ar 6 ir arī salikta: lai skaitlis būtu dalāms ar 6, tam vienlaikus jāatbilst divām dalāmības pazīmēm: dalāmības pazīmei ar 2 un dalāmības pazīmei ar 3. Tajā pašā laikā ņemiet vērā, ka tādam saliktam skaitlim kā 4 ir individuāla dalāmības zīme, jo tas pats par sevi ir skaitļa 2 reizinājums. Bet atgriežamies pie dalāmības ar 6 kritēriju. Šī dalāmības zīme ir sarežģītāka: skaitlis dalās ar 7, ja rezultāts, atņemot pēdējo divkāršo ciparu no šī skaitļa desmitiem, dalās ar 7 vai ir vienāds ar 0. Dalāmība ar 8 ir šāda: ja pēdējie 3 cipari veido skaitli, kas dalās ar 8 vai 000, tad dotais skaitlis dalās ar 8. Šī dalāmības zīme ir līdzīga dalāmības zīmei ar 3: ja skaitļa ciparu summa dalās ar 9, tad arī skaitlis dalās ar 9; ja skaitļa ciparu summa nav dalāma ar 9, tad arī skaitlis nav dalāms ar 9. Es apvienoju šīs dalāmības zīmes, jo tās var aprakstīt vienādi: skaitlis tiek dalīts ar bitu vienību, ja nulles skaits skaitļa beigās ir lielāks vai vienāds ar nulles skaitu dotajā bitu vienībā. Lai uzzinātu, vai skaitlis dalās ar 11, jums jāsaņem starpība starp šī skaitļa pāra un nepāra ciparu summām. Ja šī starpība ir vienāda ar 0 vai dalās ar 11 bez atlikuma, tad pats skaitlis dalās ar 11 bez atlikuma. Skaitlis 12 ir salikts. Tās dalāmības kritērijs ir atbilstība dalāmības kritērijiem ar 3 un 4 vienlaicīgi. Dalāmības pazīme ar 13 ir tāda, ka, ja skaitļa desmitu skaits, kas saskaitīts ar šī skaitļa vienībām, kas reizinātas ar 4, ir 13 reizinājums vai vienāds ar 0, tad pats skaitlis dalās ar 13. Kā redzams no iepriekš minētā, var pieņemt, ka jebkuram no dabiskajiem skaitļiem jūs varat izvēlēties savu individuālo dalāmības kritēriju vai "salikto" pazīmi, ja skaitlis ir vairāku dažādu skaitļu daudzkārtne. Bet, kā liecina prakse, jo lielāks skaitlis, jo sarežģītāka tā zīme. Varbūt laiks, kas pavadīts dalāmības kritērija pārbaudei, var būt vienāds vai lielāks par pašu dalījumu. Tāpēc mēs parasti izmantojam vienkāršākos dalāmības kritērijus. Rakstā ir apspriests veselu skaitļu dalīšanas jēdziens ar atlikušo daļu. Pierādīsim teorēmu par veselu skaitļu dalāmību ar atlikušo daļu un pārbaudīsim saiknes starp dividendēm un dalītājiem, nepilnīgiem koeficientiem un atlikumiem. Apsvērsim noteikumus, kad tiek veikta veselu skaitļu dalīšana ar atlikumiem, detalizēti aplūkojot piemērus. Risinājuma beigās pārbaudīsim. Veselu skaitļu dalīšana ar atlikumu tiek uzskatīta par vispārinātu dalījumu ar atlikušo dabisko skaitļu daļu. Tas tiek darīts tāpēc, ka dabiskie skaitļi ir veselu skaitļu sastāvdaļa. Dalīšana ar patvaļīga skaitļa atlikumu nozīmē, ka vesels skaitlis a dalās ar skaitli b, kas nav nulle. Ja b \u003d 0, atlikušais dalījums netiek veikts. Tāpat kā dabisko skaitļu dalīšanu ar atlikumu, veselu skaitļu a un b dalīšanu, ja b atšķiras no nulles, veic c un d. Šajā gadījumā a un b sauc par dividenžu un dalītāju, un d ir atlikusī dalījuma daļa, c ir vesels skaitlis vai nepilnīgs koeficients. Ja pieņemam, ka atlikums ir vesels skaitlis, kas nav negatīvs, tad tā vērtība nav lielāka par skaitļa b moduli. Uzrakstīsim šādi: 0 ≤ d ≤ b. Šo nevienlīdzību ķēdi izmanto, salīdzinot 3 vai vairāk skaitļus. Ja c ir nepilnīgs koeficients, tad d ir vesela skaitļa a dalīšanas ar b atlikums, jūs varat īsi noteikt: a: b \u003d c (atlikušais d). Atlikums, dalot skaitļus a ar b, ir iespējams nulle, tad viņi saka, ka a ir pilnīgi dalāms ar b, tas ir, bez atlikuma. Dalīšana bez atlikuma tiek uzskatīta par īpašu dalīšanas gadījumu. Ja dalām nulli ar kādu skaitli, rezultātā iegūstam nulli. Arī atlikusī dalīšana būs nulle. To var izsekot teorijai par nulles dalīšanu ar veselu skaitli. Tagad aplūkosim veselu skaitļu dalīšanas ar atlikumu nozīmi. Ir zināms, ka pozitīvi veseli skaitļi ir dabiski, tad, dalot ar atlikumu, jūs iegūstat to pašu nozīmi, kas, dalot dabiskos skaitļus ar atlikumu. Sadalot negatīvu veselu skaitli a ar pozitīvu veselu skaitli b, ir jēga. Apskatīsim piemēru. Iedomājoties situāciju, kad mums ir priekšmetu parāds summā a, kas jāatmaksā b cilvēkiem. Tas prasa, lai visi piedalītos vienādi. Lai noteiktu parāda summu katram, jums jāpievērš uzmanība privāto s summai. Atlikušajā d teikts, ka priekšmetu skaits ir zināms pēc parādu dzēšanas. Ņemsim piemēru ar āboliem. Ja 2 cilvēkiem vajag 7 ābolus. Ja jūs saskaitāt, ka visiem jāatgriež 4 āboli, pēc pilnīgas aprēķināšanas viņiem būs 1 ābols. Uzrakstīsim to vienlīdzības formā: (- 7): 2 \u003d - 4 (o ar 1. punktu). Jebkura skaitļa a dalīšanai ar veselu skaitli nav jēgas, bet tas ir iespējams kā opcija. Mēs noskaidrojām, ka a ir dividende, tad b ir dalītājs, c ir nepilnīgs koeficients un d ir atlikums. Viņi ir saistīti viens ar otru. Mēs parādīsim šo savienojumu, izmantojot vienādību a \u003d b c + d. Savienojumu starp tiem raksturo atlikusī dalāmības teorēma. Teorēma Jebkuru veselu skaitli šādā veidā var attēlot tikai ar veselu skaitli un nulles skaitli b: a \u003d b q + r, kur q un r ir daži veseli skaitļi. Šeit mums ir 0 ≤ r ≤ b. Pierādīsim a \u003d b q + r pastāvēšanas iespēju. Pierādījumi Ja ir divi skaitļi a un b, un a dalās ar b bez atlikuma, tad definīcija nozīmē, ka pastāv skaitlis q, kas būs taisnība vienādība a \u003d b q. Tad vienādību var uzskatīt par patiesu: a \u003d b q + r - r \u003d 0. Tad ir nepieciešams ņemt q tādu, ko dod nevienlīdzība b q< a < b · (q + 1) было верным. Необходимо вычесть b · q из всех частей выражения. Тогда придем к неравенству такого вида: 0 < a − b · q < b . Mums ir tāds, ka izteiksmes a - b q vērtība ir lielāka par nulli un nav lielāka par skaitļa b vērtību, no tā izriet, ka r \u003d a - b q. Mēs iegūstam, ka skaitli a var attēlot kā a \u003d b q + r. Tagad jāapsver iespēja attēlot a \u003d b q + r negatīvām b vērtībām. Skaitļa absolūtā vērtība izrādās pozitīva, tad iegūstam a \u003d b q 1 + r, kur vērtība q 1 ir kāds vesels skaitlis, r ir vesels skaitlis, kas atbilst nosacījumam 0 ≤ r< b . Принимаем q = − q 1 , получим, что a = b · q + r для отрицательных b . Unikalitātes pierādījums Pieņemsim, ka a \u003d bq + r, q un r ir veseli skaitļi ar patieso nosacījumu 0 ≤ r< b , имеется еще одна форма записи в виде a = b · q 1 + r 1 , где q 1 un r 1 ir daži skaitļi, kur q 1 ≠ q , 0 ≤ r 1< b . Kad nevienādība tiek atņemta no kreisās un labās puses, iegūstam 0 \u003d b · (q - q 1) + r - r 1, kas ir ekvivalents r - r 1 \u003d b · q 1 - q. Tā kā tiek izmantots modulis, iegūstam vienādību r - r 1 \u003d b q 1 - q. Dotais nosacījums saka, ka 0 ≤ r< b и 0 ≤ r 1 < b запишется в виде r - r 1 < b . Имеем, что qun q 1- veseli skaitļi un q ≠ q 1, tad q 1 - q ≥ 1. Tādējādi mums ir, ka b q 1 - q ≥ b. Rezultātā radušās nevienlīdzības r - r 1< b и b · q 1 - q ≥ b указывают на то, что такое равенство в виде r - r 1 = b · q 1 - q невозможно в данном случае. No tā izriet, ka skaitli a nevar attēlot citādi, izņemot ar šādu apzīmējumu a \u003d b q + r. Izmantojot vienādību a \u003d b c + d, jūs varat atrast nezināmo dividendi a, kad zināt dalītāju b ar nepilnīgu koeficientu c un atlikušo d. 1. piemērs Nosakiet dividenžu, ja dalījumā mēs iegūstam - 21, nepilnīgu koeficientu 5 un atlikušo 12. Lēmums
Jāaprēķina dividende a ar zināmo dalītāju b \u003d - 21, nepilnīgs koeficients c \u003d 5 un atlikums d \u003d 12. Mums jāvēršas pie vienādības a \u003d b c + d, no kuras iegūstam a \u003d (- 21) 5 + 12. Saskaņā ar darbību veikšanas kārtību mēs reizinām - 21 ar 5, pēc tam iegūstam (- 21) 5 + 12 \u003d - 105 + 12 \u003d - 93. Atbilde: - 93 . Saikni starp dalītāju un nepilnīgo koeficientu un atlikumu var izteikt, izmantojot vienādības: b \u003d (a - d): c, c \u003d (a - d): b un d \u003d a - b c. Ar viņu palīdzību mēs varam aprēķināt dalītāju, daļējo koeficientu un atlikumu. Tas noved pie tā, ka pastāvīgi atrod atlikumu pēc veselā skaitļa a dalīšanas ar b ar zināmu dividenžu, dalītāju un nepilnīgu koeficientu. Formula attiecas uz d \u003d a - b c. Apsvērsim risinājumu detalizēti. 2. piemērs Atrodiet atlikušo daļu, dalot veselu skaitli - 19 ar skaitli 3 ar zināmu nepilnīgu koeficientu, kas vienāds ar - 7. Lēmums
Lai aprēķinātu atlikušo dalījuma daļu, izmantojiet tādu formulu kā d \u003d a - b · c. Pēc stāvokļa visi dati ir pieejami a \u003d - 19, b \u003d 3, c \u003d - 7. No tā mēs iegūstam d \u003d a - b c \u003d - 19 - 3 (- 7) \u003d - 19 - (- 21) \u003d - 19 + 21 \u003d 2 (starpība ir 19 - (- 21). Šo piemēru aprēķina pēc atņemšanas kārtulas vesels skaitlis negatīvs skaitlis. Atbilde: 2 . Visi pozitīvie skaitļi ir dabiski. No tā izriet, ka dalīšana tiek veikta saskaņā ar visiem dalīšanas noteikumiem ar atlikušo dabisko skaitļu daļu. Svarīgi ir dalīšanas ātrums ar atlikušo dabisko skaitļu skaitu, jo uz tā balstās ne tikai pozitīvo skaitļu dalīšana, bet arī noteikumi patvaļīgu veselu skaitļu dalīšanai. Ērtākā dalīšanas metode ir kolonna, jo ir vieglāk un ātrāk iegūt nepilnīgu vai tikai koeficientu ar atlikumu. Apsvērsim risinājumu sīkāk. 3. piemērs Padaliet 14671 ar 54. Lēmums
Šis sadalījums jāveic kolonnā: Tas ir, nepilnīgais koeficients izrādās 271, bet pārējais ir 37. Atbilde: 14 671: 54 \u003d 271. (pietura 37) Lai dalītu ar pozitīvu atlikumu ar negatīvu veselu skaitli, jums jāformulē kārtula. 1. definīcija Nepilnīgs koeficients, dalot pozitīvu veselu skaitli a ar negatīvu veselu skaitli b, iegūstam skaitli, kas ir pretējs nepilnīgajam koeficientam, skaitļu a absolūtās vērtības dalot ar b. Tad atlikums ir vienāds ar atlikumu, kad a tiek dalīts ar b. Tādējādi mums ir tāds, ka nepilnīgs veselā skaitļa pozitīvā skaitļa dalīšanas koeficients ar veselu skaitļa negatīvo skaitli tiek uzskatīts par pozitīvu veselu skaitli. Mēs iegūstam algoritmu: Apsvērsim pozitīva vesela skaitļa dalīšanas ar negatīvu veselu skaitli algoritma piemēru. 4. piemērs Sadaliet ar atlikumu 17 ar - 5. Lēmums
Pielietosim dalīšanas algoritmu ar pozitīvā vesela skaitļa atlikumu ar negatīvu veselu skaitli. Jums jāsadala 17 ar - 5 modulo. No tā mēs iegūstam, ka nepilnīgais koeficients ir 3, bet atlikums ir 2. Nepieciešamo skaitli iegūstam, dalot 17 ar - 5 \u003d - 3 ar atlikumu 2. Atbilde: 17: (- 5) \u003d - 3 (atpūta 2). 5. piemērs Sadaliet 45 ar - 15. Lēmums
Ir nepieciešams sadalīt skaitļus modulo. Sadaliet skaitli 45 ar 15, iegūstam koeficientu 3 bez atlikuma. Tas nozīmē, ka skaitlis 45 bez atlikuma dalās ar 15. Atbildē mēs iegūstam - 3, jo dalīšana tika veikta modulo. 45: (- 15) = 45: - 15 = - 45: 15 = - 3 Atbilde: 45: (− 15) = − 3 . Dalīšanas noteikuma formulējums ar atlikušo daļu ir šāds. 2. definīcija Lai iegūtu nepilnīgu koeficientu c, dalot negatīvu veselu skaitli a ar pozitīvu b, jums jāpielieto pretējais dotajam skaitlim un no tā jāatņem 1, tad atlikušo d aprēķinās pēc formulas: d \u003d a - b · c. Pamatojoties uz likumu, mēs varam secināt, ka, dalot, mēs iegūstam nenegatīvu veselu skaitli. Risinājuma precizitātei tiek izmantots algoritms a dalīšanai ar b ar atlikumu: Apsvērsim risinājuma piemēru, kur tiek piemērots šis algoritms. 6. piemērs Atrodiet nepilnīgo koeficientu un atlikušo dalījuma daļu - 17 ar 5. Lēmums
Daliet dotos skaitļus modulo. Mēs to saprotam, dalot koeficientu 3, bet atlikumu - 2. Tā kā mēs saņēmām 3, pretējais ir 3. Jums jāatņem 1. − 3 − 1 = − 4 . Mēs iegūstam vēlamo vērtību, kas vienāda ar - 4. Lai aprēķinātu atlikumu, jums vajag a \u003d - 17, b \u003d 5, c \u003d - 4, tad d \u003d a - b c \u003d - 17 - 5 (- 4) \u003d - 17 - (- 20) \u003d - 17 + 20 \u003d 3. Tas nozīmē, ka nepilnīgs dalīšanas koeficients ir skaitlis - 4 ar atlikumu, kas vienāds ar 3. Atbilde: (- 17): 5 \u003d - 4 (atpūta. 3). 7. piemērs Sadaliet negatīvo veselu skaitli 1404 ar pozitīvo 26. Lēmums
Ir nepieciešams dalīt ar kolonnu un mūli. Mēs saņēmām skaitļu absolūto vērtību dalījumu bez atlikuma. Tas nozīmē, ka dalīšana tiek veikta bez atlikuma, un vēlamais koeficients \u003d - 54. Atbilde: (− 1 404) : 26 = − 54 . Nepieciešams formulēt dalīšanas kārtulu ar atlikušajiem negatīvajiem skaitļiem. 3. definīcija Lai iegūtu nepilnīgu koeficientu c, dalot negatīvu veselu skaitli a ar veselu skaitli negatīvu b, nepieciešams veikt aprēķinus modulo, pēc tam pievienot 1, tad mēs varam veikt aprēķinus, izmantojot formulu d \u003d a - b · c. No tā izriet, ka nepilnīgais negatīvo veselu skaitļu dalījuma koeficients būs pozitīvs skaitlis. Formulēsim šo kārtulu algoritma formā: Apskatīsim šo algoritmu, izmantojot piemēru. 8. piemērs Atrodot nepilnīgo koeficientu un atlikumu, dalot - 17 ar - 5. Lēmums
Risinājuma pareizībai izmantosim dalīšanas algoritmu ar atlikumu. Vispirms sadaliet skaitļus modulo. No šejienes mēs iegūstam, ka nepilnīgais koeficients \u003d 3, un atlikums ir 2. Saskaņā ar noteikumu ir jāpievieno nepilnīgais koeficients un 1. Mēs iegūstam, ka 3 + 1 \u003d 4. No tā mēs iegūstam, ka nepilnīgais dalīto skaitļu dalījuma koeficients ir 4. Lai aprēķinātu atlikumu, mēs izmantosim formulu. Pēc hipotēzes mums ir, ka a \u003d - 17, b \u003d - 5, c \u003d 4, tad, izmantojot formulu, iegūstam d \u003d a - b c \u003d - 17 - (- 5) 4 \u003d - 17 - (- 20) \u003d - 17 + 20 \u003d 3. Vēlamā atbilde, tas ir, atlikusī daļa ir 3, un nepilnīgā koeficients ir 4. Atbilde: (- 17): (- 5) \u003d 4 (atlikušais 3). Pēc skaitļu dalīšanas ar atlikušo daļu jums jāpārbauda. Šī pārbaude ietver 2 posmus. Vispirms pārbauda atlikušo d nedegativitāti, nosacījums 0 ≤ d< b . При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a = b · c + d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка. Apskatīsim dažus piemērus. 9. piemērs Sadalījums tika veikts - 521 līdz - 12. Dalījums ir 44, pārējais ir 7. Pārbaudiet. Lēmums
Tā kā atlikums ir pozitīvs skaitlis, tā vērtība ir mazāka par dalītāja moduli. Dalītājs ir - 12, kas nozīmē, ka tā modulis ir 12. Jūs varat pāriet uz nākamo pārbaudes punktu. Pēc hipotēzes mums ir, ka a \u003d - 521, b \u003d - 12, c \u003d 44, d \u003d 7. No šejienes mēs aprēķinām b c + d, kur b c + d \u003d - 12 44 + 7 \u003d - 528 + 7 \u003d - 521. No tā izriet, ka vienlīdzība ir patiesa. Pārbaude nokārtota. 10. piemērs Veikt dalīšanas pārbaudi (- 17): 5 \u003d - 3 (atpūta - 2). Vai taisnība ir taisnība? Lēmums
Pirmā posma būtība ir tāda, ka jāpārbauda veselu skaitļu sadalījums ar atlikumu. No tā ir skaidrs, ka darbība tika veikta nepareizi, jo atlikusī daļa ir vienāda ar - 2. Atlikums nav negatīvs. Mums ir tāds, ka otrais nosacījums ir izpildīts, bet nepietiekams šajā gadījumā. Atbilde: Nē. 11. piemērs Skaitlis - 19 dalīts ar - 3. Nepabeigtais koeficients ir 7, bet atlikums ir 1. Pārbaudiet, vai aprēķins ir pareizs. Lēmums
Tiek dota atlikusī 1. Viņš ir pozitīvs. Tas ir mazāks par dalītāja moduli, kas nozīmē, ka tiek veikts pirmais posms. Pārejam uz otro posmu. Aprēķināsim izteiksmes b c + d vērtību. Pēc hipotēzes mums ir, ka b \u003d - 3, c \u003d 7, d \u003d 1, tāpēc, aizstājot skaitliskās vērtības, mēs iegūstam b c + d \u003d - 3 7 + 1 \u003d - 21 + 1 \u003d - 20. No tā izriet, ka a \u003d b c + d vienādība nav spēkā, jo a \u003d - 19 ir norādīts nosacījumā. Līdz ar to secinājums, ka sadalīšana tika veikta ar kļūdu. Atbilde: Nē. Ja tekstā pamanāt kļūdu, lūdzu, atlasiet to un nospiediet Ctrl + Enter Apskatīsim vienkāršu piemēru: Dažreiz dabisko skaitli nevar pilnībā sadalīt. Piemēram, apsveriet uzdevumu: Lēmums: Mēs zinām, ka 16 ar 5 nav dalāmi. Tuvākais mazākais skaitlis, kas dalās ar 5, ir 15 un 1 atlikušajā. Skaitli 15 mēs varam uzrakstīt kā 5⋅3. Rezultātā (16 - dividendes, 5 - dalītājs, 3 - nepilnīgs koeficients, 1 - atlikums). Saņemts formula dalīšana ar atlikušo daļu,ar kuru jūs varat padarīt pārbaudot lēmumu. a=
b⋅
c+
d Atbilde: katrs bērns paņems 3 rotaļlietas, un viena rotaļlieta paliks. Atlikumam vienmēr jābūt mazākam par dalītāju. Ja dalot atlikušo daļu ir nulle, tas nozīmē, ka dividendes ir jāsadala pilnībā vai nav atlikuma uz dalītāju. Ja dalot atlikušais ir lielāks par dalītāju, tas nozīmē, ka atrastais skaitlis nav lielākais. Ir lielāks skaits, kas sadalīs dividendes, un atlikusī daļa būs mazāka par dalītāju. Jautājumi par tēmu "Dalīšana ar atlikumu":
Vai atlikusī daļa var būt vienāda ar dalītāju? Kā atrast dividenžu pēc nepilnīgas koeficienta, dalītāja un atlikuma? 1. piemērs:
Lēmums: 258 - dividendes, b) Mēs dalām ar kolonnu: 1873. gads - dividendes, Aizstāsim formulu un pārbaudīsim, vai piemērs ir atrisināts pareizi: 2. piemērs:
Atbilde: 3. piemērs:
Atbilde: 4. piemērs:
Lēmums: b) Atrisināsim, izmantojot formulu: Uzdevums:
Vads 4m. nepieciešams sagriezt gabalos 13cm. Cik no šiem gabaliem jūs iegūsiet? Lēmums: Atbilde: izrādīsies 30 gabali un paliks 10 cm stieples.
un, pateicoties skaitļa moduļa īpašībām, vienādībai 
.
... No iegūtajām nevienlīdzībām un no tā izriet, ka formas vienlīdzība mūsu pieņēmumā nav iespējams. Tāpēc nav cita skaitļa a attēlojuma, izņemot a \u003d b q + r.Saikne starp dividenžu, dalītāju, nepilnīgu koeficientu un atlikumu
Dalīšana ar atlikušajiem pozitīvajiem skaitļiem, piemēri
Dalīšanas noteikums ar pozitīva vesela skaitļa atlikumu ar negatīvu veselu skaitli, piemēri
Dalīšana ar atlikušo negatīvā veselā skaitļa daļu ar pozitīvo veselu skaitli, piemēri
Dalīšanas kārtula ar atlikušajiem negatīvajiem skaitļiem, piemēri
Veselu skaitļu dalīšanas rezultāta pārbaude ar atlikumu
Daži no dalāmības kritēriji diezgan vienkārši, daži grūtāk. Šajā lapā jūs atradīsit gan dalāmības kritērijus galvenajiem skaitļiem, piemēram, 2, 3, 5, 7, 11, gan salikto skaitļu, piemēram, 6 vai 12, dalāmības kritērijus.
Es ceru, ka šī informācija jums būs noderīga.
Laimīgu mācīšanos! Dalāmība ar 2
Citiem vārdiem sakot, ja skaitļa pēdējais cipars ir 2
, 4
, 6
, 8
vai 0
- skaitlis dalās ar 2, ja nē, tad tas nedalās
Piemēram, skaitļi: 23 4
, 8270
, 1276
, 9038
, 502
ir dalāmi ar 2, jo tie ir pat.
Un skaitļi: 23 5
, 137
, 2303
nav dalāmi ar 2, jo ir nepāra. Dalāmība ar 3
Tātad, lai saprastu, vai skaitlis dalās ar 3, jums vienkārši jāapvieno skaitļi, no kuriem tas sastāv.
Tas izskatās šādi: 3987 un 141 dalās ar 3, jo pirmajā gadījumā 3 + 9 + 8 + 7 \u003d 27
(27: 3 \u003d 9 - dalās ar 3 bez ostaka), bet otrajā 1 + 4 + 1 \u003d 6
(6: 3 \u003d 2 - arī dalās ar 3 bez ostaka).
Bet skaitļi: 235 un 566 nav dalāmi ar 3, jo 2 + 3 + 5 \u003d 10
un 5 + 6 + 6 \u003d 17
(un mēs zinām, ka ne 10, ne 17 nedalās ar 3 bez atlikuma). Dalāmība ar 4
Piemēram: 1 00
un 3 64
tiek dalīti ar 4, jo pirmajā gadījumā skaitlis beidzas ar 00
, un otrajā 64
, kas savukārt dalās ar 4 bez atlikuma (64: 4 \u003d 16)
Skaitļi 3 57
un 8 86
nav dalāmi ar 4, jo ne viens, ne otrs 57
ne arī 86
nav dalāmi ar 4, kas nozīmē, ka tie neatbilst norādītajam dalāmības kritērijam. Dalāmība ar 5
Tas nozīmē, ka visi skaitļi, kas beidzas ar cipariem 0
un 5
piemēram, 1235. gads 5
un 43. lpp 0
, pakļaujas likumam un dalās ar 5.
Un, piemēram, 1549. gads 3
un 56. lpp 4
nebeidzas ar 5 vai 0, kas nozīmē, ka bez atlikuma tos nevar dalīt ar 5. Dalāmība ar 6
Skaitļi 138 un 474 ir pāra skaitļi un atbilst dalāmības kritērijiem ar 3 (1 + 3 + 8 \u003d 12, 12: 3 \u003d 4 un 4 + 7 + 4 \u003d 15, 15: 3 \u003d 5), kas nozīmē, ka tie dalās ar 6. Bet 123 un 447, lai arī tie ir dalāmi ar 3 (1 + 2 + 3 \u003d 6, 6: 3 \u003d 2 un 4 + 4 + 7 \u003d 15, 15: 3 \u003d 5), bet tie ir nepāra, kas nozīmē, ka tie neatbilst dalāmības kritērijam ar 2, un tāpēc neatbilst dalāmības kritērijam ar 6. Dalāmība ar 7
Izklausās diezgan mulsinoši, bet praksē vienkārši. Pārliecinieties pats: skaitlis 95
9 dalās ar 7, jo 95
-2 * 9 \u003d 95-18 \u003d 77, 77: 7 \u003d 11 (77 dalās ar 7 bez atlikuma). Turklāt, ja rodas grūtības ar skaitli, kas iegūts pārveidojumu laikā (tā lieluma dēļ ir grūti saprast, vai tas dalās ar 7, vai nē, tad šo procedūru var turpināt tik reižu, cik uzskatāt par nepieciešamu).
Piemēram, 45
5 un 4580
1 ir dalāmības pazīmes ar 7. Pirmajā gadījumā viss ir pavisam vienkārši: 45
-2 * 5 \u003d 45-10 \u003d 35, 35: 7 \u003d 5. Otrajā gadījumā mēs to darīsim: 4580
-2 * 1 \u003d 4580-2 \u003d 4578. Mums ir grūti saprast, ja 457
8 līdz 7, tāpēc atkārtosim procesu: 457
-2 * 8 \u003d 457-16 \u003d 441. Un atkal mēs izmantosim dalāmības kritēriju, jo mums joprojām ir trīsciparu skaitlis 44
1. Tātad, 44
-2 * 1 \u003d 44-2 \u003d 42, 42: 7 \u003d 6, t.i. 42 dalās ar 7 bez atlikuma, kas nozīmē, ka 45801 dalās ar 7.
Bet cipari 11
1 un 34
5 nav dalāms ar 7, jo 11
-2 * 1 \u003d 11 - 2 \u003d 9 (9 nav vienmērīgi dalāms ar 7) un 34
-2 * 5 \u003d 34-10 \u003d 24 (24 nav vienmērīgi dalāms ar 7). Dalāmība ar 8
Skaitļi 1 000
vai 1 088
dalās ar 8: pirmais beidzas ar 000
, otrais 88
: 8 \u003d 11 (dalāms ar 8 bez atlikuma).
Bet skaitļi 1 100
vai 4 757
nav dalāmi ar 8, jo skaitļi 100
un 757
nav vienmērīgi dalāmi ar 8. Dalāmība ar 9
Piemēram: 3987 un 144 dalās ar 9, jo pirmajā gadījumā 3 + 9 + 8 + 7 \u003d 27
(27: 9 \u003d 3 - dalās ar 9 bez ostaka), bet otrajā 1 + 4 + 4 \u003d 9
(9: 9 \u003d 1 - arī dalās ar 9 bez ostaka).
Bet skaitļi: 235 un 141 nav dalāmi ar 9, jo 2 + 3 + 5 \u003d 10
un 1 + 4 + 1 \u003d 6
(un mēs zinām, ka ne 10, ne 6 nedalās ar 9 bez atlikuma). Dalāmība ar 10, 100, 1000 un citām bitu vienībām
Citiem vārdiem sakot, piemēram, mums ir šādi skaitļi: 654 0
, 46400
, 867000
, 6450
... no kuriem visi dalās ar 1 0
; 46400
un 867. lpp 000
tiek dalīti arī ar 1 00
; un tikai viens no tiem - 867 000
dalās ar 1 000
.
Visi skaitļi, kuru beigās ir mazāk nulles nekā bitu vienībai, nav dalāmi ar šo bitu vienību, piemēram, 600 30
un 7 93
nedalāms 1 00
.Dalāmība ar 11
Lai tas būtu skaidrāks, es iesaku apsvērt piemērus: 2
35
4 dalās ar 11, jo ( 2
+5
)-(3+4)=7-7=0. 29
19
4 arī dalās ar 11, jo ( 9
+9
)-(2+1+4)=18-7=11.
Bet 1 1
1 vai 4
35
4 nav dalāms ar 11, jo pirmajā gadījumā mēs iegūstam (1 + 1) - 1
\u003d 1, un otrajā ( 4
+5
)-(3+4)=9-7=2.Dalāmība ar 12
Piemēram, 300 un 636 atbilst dalāmības zīmēm ar 4 (pēdējie 2 cipari ir nulles vai dalās ar 4) un dalāmības zīmēm ar 3 (ciparu un pirmās un trīs reizes skaitļa summa dalās ar 3), un znit, tie dalās ar 12 bez atlikuma.
Bet 200 vai 630 nedalās ar 12, jo pirmajā gadījumā skaitlis atbilst tikai dalāmības kritērijam ar 4, bet otrajā - tikai dalāmības kritērijam ar 3. bet abām zīmēm vienlaikus nav. Dalāmība ar 13
Piemēram 70
2. Tātad, 70
+ 4 * 2 \u003d 78, 78: 13 \u003d 6 (78 dalās ar 13 bez atlikuma), kas nozīmē 70
2 dalās ar 13 bez atlikuma. Cits piemērs ir skaitlis 114
4. 114
+ 4 * 4 \u003d 130, 130: 13 \u003d 10. Skaitlis 130 dalās ar 13 bez atlikuma, kas nozīmē, ka norādītais skaitlis atbilst dalāmības kritērijam ar 13.
Ja ņemam skaitļus 12
5 vai 21
2, tad mēs iegūstam 12
+ 4 * 5 \u003d 32 un 21
+ 4 * 2 \u003d 29, attiecīgi, un ne 32, ne 29 nedalās ar 13 bez atlikuma, kas nozīmē, ka dotie skaitļi nav vienmērīgi dalāmi ar 13.Skaitļu dalāmība
Izpratne par veselu skaitļu dalīšanu ar atlikumiem
Dalāmības teorēma veseliem skaitļiem ar atlikumu
Saistība starp dividenžu, dalītāju, nepilnīgu koeficientu un atlikumu
Dalīšanas noteikums ar pozitīva vesela skaitļa atlikumu ar negatīvu veselu skaitli, piemēri
Dalīšanas kārtula ar atlikušajiem negatīvajiem skaitļiem, piemēri
Veselu skaitļu dalīšanas rezultāta pārbaude ar atlikumu
15:5=3
Šajā piemērā dabiskais skaitlis 15 ir sadalīts pilnībālīdz 3, atlikušo daļu nav.
Skapī bija 16 rotaļlietas. Grupā bija pieci bērni. Katrs bērns paņēma vienādu rotaļlietu skaitu. Cik rotaļlietu ir katram bērnam?
Sadaliet skaitli 16 ar 5 ar kolonnu un iegūstiet:
a - dalāmais,
b - dalītājs,
c - nepilnīgs koeficients,
d Ir atlikušais.Pārējā dalījuma daļa
Vai atlikusī daļa var būt lielāka par dalītāju?
Atbilde ir nē.
Atbilde ir nē.
Atbilde: nepilnīgas koeficienta, dalītāja un atlikuma vērtības tiek aizstātas ar formulu, un mēs atrodam dividenžu. Formula:
a \u003d b⋅c + d
Veiciet dalīšanu ar atlikušo daļu un pārbaudiet: a) 258: 7 b) 1873: 8
a) Sadaliet ar kolonnu: 
7 - dalītājs,
36 - nepilnīgs koeficients,
6 ir atlikums. Atlikums mazāks par dalītāju 6<7.
7⋅36+6=252+6=258
8 - dalītājs,
234 - nepilnīgs koeficients,
1 ir atlikums. Atlikums mazāks par dalītāju 1<8.
8⋅234+1=1872+1=1873
Kādi ir atlikumi, kas iegūti, dalot dabiskos skaitļus: a) 3 b) 8?
a) Atlikums ir mazāks par dalītāju, līdz ar to mazāks par 3. Mūsu gadījumā atlikums var būt 0, 1 vai 2.
b) Atlikums ir mazāks par dalītāju, līdz ar to mazāks par 8. Mūsu gadījumā atlikums var būt 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 vai 7.
Kāds ir lielākais atlikums, ko var iegūt, dalot dabiskos skaitļus: a) 9 b) 15?
a) Atlikums ir mazāks par dalītāju, līdz ar to mazāks par 9. Bet mums jānorāda lielākais atlikums. Tas ir, tuvākais skaitlis dalītājam. Šis skaitlis ir 8.
b) Atlikums ir mazāks par dalītāju, līdz ar to mazāks par 15. Bet mums jānorāda lielākais atlikums. Tas ir, tuvākais skaitlis dalītājam. Šis skaitlis ir 14.
Atrodiet dividendes: a) a: 6 \u003d 3 (pārējie 4) b) c: 24 \u003d 4 (pārējie 11)
a) Atrisināsim, izmantojot formulu:
a \u003d b⋅c + d
(a - dividendes, b - dalītājs, c - nepilnīgs koeficients, d - atlikums.)
a: 6 \u003d 3 (pārējie 4)
(a - dividende, 6 - dalītājs, 3 - nepilnīga koeficients, 4 - atlikusī.) Aizstāj skaitļus formulā:
a \u003d 6⋅3 + 4 \u003d 22
Atbilde: a \u003d 22
a \u003d b⋅c + d
(a - dividendes, b - dalītājs, c - nepilnīgs koeficients, d - atlikums.)
no: 24 \u003d 4 (atlikušais 11)
(c - dividendes, 24 - dalītājs, 4 - nepilnīgs koeficients, 11 - atlikums.) Aizstāj skaitļus formulā:
c \u003d 24⋅4 + 11 \u003d 107
Atbilde: c \u003d 107
Pirmkārt, jums jāpārvērš metri centimetros.
4m. \u003d 400cm.
Jūs varat to sadalīt pēc kolonnas vai domājam, ka mēs to iegūstam:
400: 13 \u003d 30 (pārējie 10)
Pārbaudīsim:
13⋅30+10=390+10=400
