Grādu pievienošana ar to pašu eksponentu. Noteikumi grādu reizināšanai ar dažādām bāzēm
Mēs jums to atgādinām šo nodarbību saprast jaudas īpašības ar dabiskiem rādītājiem un nulli. Grādi ar racionāli rādītāji un to īpašības tiks apskatītas nodarbībās 8 klasēm.
Dabiskajam eksponentam ir vairākas svarīgas īpašības, kas atvieglo aprēķināšanu eksponentu piemēros.
Īpašuma numurs 1
Grādu reizinājums
Atcerieties!
Reizinot grādus ar vienādām bāzēm, bāze paliek nemainīga, un eksponenti tiek pievienoti.
a m · a n \u003d a m + n, kur "a" ir jebkurš skaitlis, un "m", "n" ir jebkurš dabiskais skaitlis.
Šī grādu īpašība ietekmē arī trīs vai vairāk grādu reizinājumu.
- Vienkāršojiet izteicienu.
b b 2 b 3 b 4 b 5 \u003d b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 \u003d b 15 - Klāt kā grāds.
6 15 36 \u003d 6 15 6 2 \u003d 6 15 6 2 \u003d 6 17 - Klāt kā grāds.
(0,8) 3 (0,8) 12 \u003d (0,8) 3 + 12 \u003d (0,8) 15
Svarīgs!
Lūdzu, ņemiet vērā, ka norādītajā īpašumā tas bija tikai par pilnvaru reizināšanu ar uz tā paša pamata ... Tas neattiecas uz to pievienošanu.
Summu (3 3 + 3 2) nevar aizstāt ar 3 5. Tas ir saprotams, ja
skaits (3 3 + 3 2) \u003d (27 + 9) \u003d 36 un 3 5 \u003d 243
Īpašuma numurs 2
Privātie grādi
Atcerieties!
Dalot grādus ar vienādām bāzēm, bāze paliek nemainīga, un dalītāja eksponents tiek atņemts no dividenžu eksponenta.
\u003d 11 3 - 2 4 2 - 1 \u003d 11 4 \u003d 443 8: t \u003d 3 4
T \u003d 3 8 - 4
Atbilde: t \u003d 3 4 \u003d 81Izmantojot rekvizītus # 1 un # 2, jūs varat viegli vienkāršot izteiksmes un veikt aprēķinus.
- Piemērs. Vienkāršojiet izteicienu.
4 5m + 6,4 m + 2: 4 4m + 3 \u003d 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 \u003d 4 6m + 8 - 4m - 3 \u003d 4 2m + 5 - Piemērs. Izmantojot pakāpes īpašības, atrodiet izteiksmes vērtību.
= = =
=2 9 + 2 2 5
= 2 11 − 5 = 2 6 = 642 11 2 5 Svarīgs!
Ņemiet vērā, ka 2. īpašība bija tikai grādu dalīšana ar vienādām bāzēm.
Atšķirību (4 3 −4 2) nevar aizstāt ar 4 1. Tas ir saprotams, ja skaita (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 un 4 1 \u003d 4
Esi uzmanīgs!
Īpašuma numurs 3
PaaugstināšanaAtcerieties!
Paaugstinot grādu līdz pakāpei, pakāpes bāze paliek nemainīga, un eksponenti tiek reizināti.
(a n) m \u003d a n · m, kur "a" ir jebkurš skaitlis, un "m", "n" ir jebkurš dabiskais skaitlis.
Īpašības 4
Darba pakāpeAtcerieties!
Paaugstinot līdz produkta jaudai, katrs no faktoriem tiek paaugstināts līdz jaudai. Pēc tam rezultāti tiek reizināti.
(a · b) n \u003d a n · b n, kur "a", "b" ir kādi racionāli skaitļi; "N" ir jebkurš dabiskais skaitlis.
- 1. piemērs.
(6 a 2 b 3 s) 2 \u003d 6 2 a 2 2 b 3 2 s 1 2 \u003d 36 a 4 b 6 s 2 - 2. piemērs.
(−x 2 y) 6 \u003d ((−1) 6 x 2 6 y 1 6) \u003d x 12 y 6
Svarīgs!
Ņemiet vērā, ka rekvizīts # 4, tāpat kā citas pakāpes īpašības, tiek izmantots pretēji.
(a n b n) \u003d (a b) nTas ir, lai reizinātu jaudas ar vieniem un tiem pašiem rādītājiem, jūs varat reizināt bāzes, un eksponentu var atstāt nemainīgu.
- Piemērs. Aprēķiniet.
2 4 5 4 \u003d (2 5) 4 \u003d 10 4 \u003d 10 000 - Piemērs. Aprēķiniet.
0,5 16 2 16 \u003d (0,5 2) 16 \u003d 1
Sarežģītākos piemēros var būt gadījumi, kad reizināšana un dalīšana jāveic pa grādiem ar dažādām bāzēm un dažādiem eksponentiem. Šajā gadījumā iesakām rīkoties šādi.
Piemēram, 4 5 3 2 \u003d 4 3 4 2 3 2 \u003d 4 3 (4 3) 2 \u003d 64 12 2 \u003d 64 144 \u003d 9216
Piemērs paaugstināšanai līdz decimāldaļai.
4 21 (−0,25) 20 \u003d 4 4 20 (−0,25) 20 \u003d 4 (4 (−0,25)) 20 \u003d 4 (−1) 20 \u003d 4 1 \u003d 4Īpašības 5
Dalījuma pakāpe (frakcija)Atcerieties!
Lai palielinātu koeficientu līdz spēkam, jūs varat savākt šai jaudai atsevišķu dividenžu un dalītāju un pirmo rezultātu dalīt ar otro.
(a: b) n \u003d a n: b n, kur “a”, “b” ir jebkurš racionāls skaitlis, b ≠ 0, n ir jebkurš dabisks skaitlis.
- Piemērs. Uzrādīt izteicienu privātu grādu formā.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12
Atgādinām, ka koeficientu var attēlot kā daļu. Tāpēc nākamajā lappusē sīkāk pakavēsimies pie frakcijas palielināšanas līdz jaudai.
- 1. piemērs.
Ko mēs šeit redzam, izņemot astoto pakāpi? Mēs atceramies 7. klases programmu. Tātad, atceries? Šī ir saīsinātas reizināšanas formula, proti, kvadrātu starpība! Mēs iegūstam:
Mēs uzmanīgi aplūkojam saucēju. Tas izskatās ļoti līdzīgs skaitītāja reizinātājiem, bet kas tur slikts? Nepareiza noteikumu secība. Ja tie tiktu mainīti, noteikumu varētu piemērot.
Bet kā to izdarīt? Tas izrādās ļoti viegli: mums šeit palīdz vienmērīga saucēja pakāpe.
Termini ir maģiski apgriezti. Šī "parādība" vienmērīgi piemērojama jebkuram izteicienam: mēs varam brīvi mainīt iekavās esošās zīmes.
Bet ir svarīgi atcerēties: visas zīmes mainās vienlaikus!
Atgriezīsimies pie piemēra:
Un atkal formula:
Vesels mēs saucam dabiskos skaitļus, kas atrodas pretī tiem (tas ir, ņemti ar zīmi ""), un skaitli.
pozitīvs vesels skaitlis, bet tas neatšķiras no dabiskā, tad viss izskatās tieši tāpat kā iepriekšējā sadaļā.
Tagad aplūkosim dažus jaunus gadījumus. Sāksim ar rādītāju, kas vienāds ar.
Jebkurš skaitlis nulles pakāpē ir vienāds ar vienu:
Kā vienmēr, uzdosim sev jautājumu: kāpēc tas tā ir?
Apsveriet grādu ar bāzi. Veikt, piemēram, un reizināt ar:
Tātad, mēs reizinājām skaitli ar, un mēs saņēmām tādu pašu, kāds tas bija -. Un kāds skaitlis jums jāreizina, lai nekas nemainītos? Pareizi, tālāk. Nozīmē.
Mēs varam darīt to pašu ar patvaļīgu numuru:
Atkārtosim noteikumu:
Jebkurš skaitlis nulles pakāpē ir vienāds ar vienu.
Bet daudziem noteikumiem ir izņēmumi. Un šeit tas ir arī tur - tas ir skaitlis (kā bāze).
No vienas puses, tam jābūt vienādam ar jebkuru pakāpi - neatkarīgi no tā, cik daudz jūs reizināt ar sevi, jūs joprojām saņemat nulli, tas ir skaidrs. Bet, no otras puses, tāpat kā jebkuram skaitlim nulles pakāpē, tam jābūt vienādam. Tātad, kas no tā ir taisnība? Matemātiķi nolēma neiesaistīties un atteicās paaugstināt nulli līdz nullei. Tas ir, tagad mēs varam ne tikai dalīt ar nulli, bet arī paaugstināt to līdz nullei.
Ejam tālāk. Papildus dabiskajiem skaitļiem un skaitļiem negatīvie skaitļi pieder veseliem skaitļiem. Lai saprastu, kas ir negatīvs pakāpe, darīsim to pašu, ko pēdējo reizi: reiziniet kādu normālu skaitli ar to pašu negatīvo pakāpi:
No šejienes jau ir viegli izteikt to, ko meklējat:
Tagad mēs paplašinām iegūto likumu patvaļīgā pakāpē:
Tātad, formulēsim noteikumu:
Negatīvās jaudas skaitlis ir apgriezts ar tādu pašu skaitli pozitīvajā. Bet tajā pašā laikā bāze nevar būt nulle: (jo jūs nevarat dalīt ar).
Apkoposim:
I. Izteiksme nav norādīta gadījumā. Ja tad.
II. Jebkurš skaitlis līdz nullei ir vienāds ar vienu:.
III. Skaitlis, kas nav nulle, ir negatīvā jauda, \u200b\u200bapgriezta pret to pašu skaitli pozitīvajā :.
Uzdevumi neatkarīgam risinājumam:
Nu, kā parasti, neatkarīga risinājuma piemēri:
Uzdevumu analīze neatkarīgam risinājumam:
Es zinu, es zinu, skaitļi ir briesmīgi, bet eksāmenā jums jābūt gatavam uz visu! Atrisiniet šos piemērus vai analizējiet to risinājumu, ja jūs tos nevarējāt atrisināt, un jūs uzzināsiet, kā ar tiem viegli tikt galā eksāmenā!
Turpināsim paplašināt skaitļu loku, kas "piemērots" kā eksponents.
Tagad apsveriet racionāli skaitļi. Kādus skaitļus sauc par racionāliem?
Atbilde: viss, ko var attēlot kā daļu, kur un ir veseli skaitļi.
Lai saprastu, kas ir Daļēja pakāpe, apsveriet daļu:
Pacelsim abas vienādojuma puses līdz jaudai:
Tagad atcerēsimies noteikumu par "Grāds līdz grāds":
Kāds skaitlis jāpaaugstina, lai iegūtu?
Šis formulējums ir th saknes definīcija.
Ļaujiet man jums atgādināt: skaitļa () spēka sakne () ir skaitlis, kas, paaugstināts līdz jaudai, ir vienāds ar.
Tas ir, th spēka sakne ir eksponēšanas darbības apgrieztā vērtība:.
Izrādās. Acīmredzot šo konkrēto gadījumu var pagarināt:
Tagad mēs pievienojam skaitītāju: kas tas ir? Atbildi var viegli iegūt, izmantojot pakāpi pakāpei:
Bet vai bāze var būt jebkurš skaitlis? Galu galā sakni nevar iegūt no visiem skaitļiem.
Neviens!
Atcerieties noteikumu: jebkurš skaitlis, kas tiek paaugstināts līdz vienādai pakāpei, ir pozitīvs skaitlis. Tas ir, jūs nevarat no negatīviem skaitļiem iegūt vienmērīgas pakāpes saknes!
Tas nozīmē, ka šādus skaitļus nevar palielināt līdz daļskaitlim ar pat saucēju, tas ir, izteicienam nav nozīmes.
Kā ar izteicienu?
Bet šeit nāk problēma.
Skaitli var attēlot citu, piemēram, atceļamu daļu vai.
Un izrādās, ka tas patiešām pastāv, bet neeksistē, bet tie ir tikai divi dažādi viena un tā paša numura ieraksti.
Vai cits piemērs: vienreiz, tad jūs varat rakstīt. Bet, ja mēs pierakstām rādītāju citā veidā, un atkal mēs saņemam traucēkli: (tas ir, mēs saņēmām pilnīgi atšķirīgu rezultātu!).
Lai izvairītos no šādiem paradoksiem, apsveriet tikai pozitīvs radikss ar daļēju eksponentu.
Tātad ja:
- - dabiskais skaitlis;
- - vesels skaitlis;
Piemēri:
Racionālie eksponenti ir ļoti noderīgi, lai pārveidotu saknes izteiksmes, piemēram:
5 piemēri apmācībai
5 apmācības piemēru analīze
1. Neaizmirstiet par parastajām grādu īpašībām:
2 .. Šeit mēs atceramies, ka esam aizmirsuši apgūt grādu tabulu:
galu galā - tas ir vai. Risinājums tiek atrasts automātiski:.
Un tagad grūtākais. Tagad mēs analizēsim iracionāls grāds.
Visi grādu likumi un īpašības šeit ir tieši tādi paši kā grādam ar racionālu eksponentu, izņemot
Patiešām, pēc definīcijas iracionālie skaitļi ir skaitļi, kurus nevar attēlot kā daļu, kur un tie ir veseli skaitļi (tas ir, visi iracionālie skaitļi ir reālie skaitļi, izņemot racionālos).
Studējot grādus ar dabisku, veselu un racionālu rādītāju, katru reizi mēs izveidojām sava veida "tēlu", "līdzību" vai aprakstu pazīstamāk.
Piemēram, dabiskais eksponents ir skaitlis, kas pats reizināts reizināts;
...nulles jaudas skaitlis - tas ir it kā skaitlis, kas reizināts pats ar sevi, tas ir, tas vēl nav sācis reizināt, kas nozīmē, ka pats skaitlis pat nav parādījies - tāpēc rezultāts ir tikai sava veida "tukšs skaitlis", proti, skaitlis;
...negatīvs vesels skaitlis - it kā notiktu kaut kāds "apgrieztais process", tas ir, skaitlis netika reizināts ar sevi, bet gan sadalīts.
Starp citu, zinātnē bieži tiek izmantots grāds ar sarežģītu rādītāju, tas ir, rādītājs nav pat reāls skaitlis.
Bet skolā mēs nedomājam par šādām grūtībām, jums būs iespēja izprast šos jaunos jēdzienus institūtā.
Kur mēs esam pārliecināti, ka jūs dosities! (ja jūs uzzināsiet, kā risināt šādus piemērus :))
Piemēram:
Izlemiet pats:
Risinājumu analīze:
1. Sāksim ar jau ierasto likumu varas celšanai spēkam:
Tagad apskatiet indikatoru. Vai viņš jums kaut ko atgādina? Mēs atgādinām samazinātas reizināšanas formulu, kvadrātu starpību:
Šajā gadījumā,
Izrādās, ka:
Atbilde: .
2. Samaziniet eksponentu frakcijas līdz tāda paša veida: vai nu abi cipari aiz komata, vai abi normāli. Iegūsim, piemēram:
Atbilde: 16
3. Nekas īpašs, mēs izmantojam parastās grādu īpašības:
Paaugstināts līmenis
Pakāpes noteikšana
Grāds ir formas izpausme :, kur:
- — grāda bāze;
- - eksponents.
Grāds ar dabisko eksponentu (n \u003d 1, 2, 3, ...)
Skaitļa paaugstināšana līdz dabiskajai jaudai n nozīmē skaitļa reizināšanu ar reizēm:
Vesels skaitlis (0, ± 1, ± 2, ...)
Ja eksponents ir pozitīvi numurs:
Erekcija līdz nullei grādam:
Izteiksme ir nenoteikta, jo, no vienas puses, jebkurā pakāpē - tas ir, un, no otras puses, jebkurš skaitlis līdz pakāpei - tas.
Ja eksponents ir viss negatīvs numurs:
(jo jūs nevarat dalīt ar).
Vēlreiz par nullēm: izteiksme gadījumā nav definēta. Ja tad.
Piemēri:
Racionāla pakāpe
- - dabiskais skaitlis;
- - vesels skaitlis;
Piemēri:
Jaudas īpašības
Lai atvieglotu problēmu risināšanu, mēģināsim saprast: no kurienes šīs īpašības radās? Pierādīsim tos.
Apskatīsim: kas ir un?
A-priory:
Tātad šīs izteiksmes labajā pusē mēs iegūstam šādu produktu:
Bet pēc definīcijas tas ir skaitļa spēks ar eksponentu, tas ir:
Q.E.D.
Piemērs : Vienkāršojiet izteicienu.
Lēmums : .
Piemērs : Vienkāršojiet izteicienu.
Lēmums : Ir svarīgi atzīmēt, ka mūsu likumā obligātijābūt vienādām bāzēm. Tāpēc mēs apvienojam grādus ar bāzi, bet paliekam kā atsevišķs faktors:
Vēl viena svarīga piezīme: šis noteikums ir - tikai grādu reizinājumam!
Nekādā gadījumā es to nedrīkstu rakstīt.
Tāpat kā ar iepriekšējo īpašumu, mēs pievēršamies pakāpes definīcijai:
Pārkārtosim šo gabalu šādi:
Izrādās, ka izteiksme tiek reizināta ar sevi vienreiz, tas ir, saskaņā ar definīciju, šī ir skaitļa trešā jauda:
Būtībā to var saukt par “rādītāja iekavās”. Bet jums to nekad nevajadzētu darīt kopā :!
Atcerēsimies saīsināto reizināšanas formulu: cik reizes mēs gribējām rakstīt? Bet galu galā tā nav taisnība.
Grāds ar negatīvu bāzi.
Līdz šim mēs esam tikai apsprieduši, kā tam vajadzētu būt indekss grāds. Bet kādam jābūt pamatam? Grādos ar dabiski indikators pamats var būt jebkurš skaitlis .
Patiešām, mēs varam reizināt visus skaitļus viens ar otru, neatkarīgi no tā, vai tie ir pozitīvi, negatīvi vai pat. Padomāsim, kurām zīmēm ("" vai "") būs pozitīvu un negatīvu skaitļu spēks?
Piemēram, vai skaitlis būs pozitīvs vai negatīvs? A? ?
Ar pirmo viss ir skaidrs: neatkarīgi no tā, cik daudz pozitīvu skaitļu mēs reizinām viens ar otru, rezultāts būs pozitīvs.
Bet negatīvais ir nedaudz interesantāks. Galu galā mēs atceramies vienkāršu noteikumu no 6. klases: “mīnus mīnus dod plus”. Tas ir, vai. Bet, ja mēs reizinām ar (), mēs iegūstam -.
Un tā līdz bezgalībai: ar katru nākamo reizinājumu zīme mainīsies. Jūs varat formulēt šādus vienkāršus noteikumus:
- pat grāds, - skaitlis pozitīvs.
- Negatīvais skaitlis palielināts līdz nepāra grāds, - skaitlis negatīvs.
- Pozitīvs skaitlis jebkurā pakāpē - pozitīvs skaitlis.
- Nulle jebkurai jaudai ir nulle.
Pats izlemiet, kura zīme būs šādiem izteicieniem:
| 1. | 2. | 3. |
| 4. | 5. | 6. |
Vai jūs pārvaldījāt? Šeit ir atbildes:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
Pirmajos četros piemēros es ceru, ka viss ir skaidrs? Mēs vienkārši aplūkojam pamatu un eksponentu un piemērojam atbilstošo likumu.
5. piemērā) arī viss nav tik biedējoši, kā šķiet: nav svarīgi, kam bāze ir vienāda - pakāpe ir vienmērīga, kas nozīmē, ka rezultāts vienmēr būs pozitīvs. Nu, ja vien bāze nav nulle. Pamats nav vienāds, vai ne? Acīmredzot nē, jo (tāpēc).
6. piemērs) vairs nav tik vienkārši. Šeit jums jānoskaidro, kas ir mazāks: vai? Ja jūs to atceraties, kļūst skaidrs, ka un līdz ar to bāze ir mazāka par nulli. Tas ir, mēs piemērojam 2. kārtulu: rezultāts būs negatīvs.
Un atkal mēs izmantojam pakāpes definīciju:
Viss notiek kā parasti - mēs pierakstām grādu definīciju un, sadalām tos savā starpā, sadalām pa pāriem un iegūstam:
Pirms pēdējā noteikuma izskatīšanas atrisināsim dažus piemērus.
Aprēķiniet izteiksmju vērtības:
Risinājumi :
Ko mēs šeit redzam, izņemot astoto pakāpi? Mēs atceramies 7. klases programmu. Tātad, atceries? Šī ir saīsinātas reizināšanas formula, proti, kvadrātu starpība!
Mēs iegūstam:
Mēs uzmanīgi aplūkojam saucēju. Tas izskatās ļoti līdzīgs skaitītāja reizinātājiem, bet kas tur slikts? Nepareiza noteikumu secība. Ja tos nomainītu, varētu piemērot 3. noteikumu. Bet kā to izdarīt? Tas izrādās ļoti viegli: mums šeit palīdz vienmērīga saucēja pakāpe.
Ja jūs to reizināt ar, nekas nemainās, vai ne? Bet tagad izrādās šādi:
Termini ir maģiski apgriezti. Šī "parādība" vienmērīgi piemērojama jebkuram izteicienam: mēs varam brīvi mainīt iekavās esošās zīmes. Bet ir svarīgi atcerēties: visas zīmes mainās vienlaicīgi!To nevar aizstāt, mainot tikai vienu trūkumu, ko mēs nevēlamies!
Atgriezīsimies pie piemēra:
Un atkal formula:
Tātad tagad pēdējais noteikums:
Kā mēs to pierādīsim? Protams, kā parasti: paplašināsim grāda jēdzienu un vienkāršosim:
Tagad atveram iekavas. Cik burtu būs? reizes ar reizinātājiem - kā tas izskatās? Tas nav nekas cits kā operācijas definīcija pavairošana: bija tikai reizinātāji. Tas ir, pēc definīcijas tas ir skaitļa pakāpe ar eksponentu:
Piemērs:
Iracionāla pakāpe
Papildus informācijai par vidējā līmeņa grādiem mēs analizēsim pakāpi ar iracionālu rādītāju. Visi grādu likumi un īpašības šeit ir tieši tādi paši kā grādam ar racionālu eksponentu, izņemot - galu galā iracionālie skaitļi ir skaitļi, kurus nevar attēlot kā daļu, kur un ir veseli skaitļi (tas ir, iracionālie skaitļi ir visi reālie skaitļi, izņemot racionālos).
Studējot grādus ar dabisku, veselu un racionālu rādītāju, katru reizi mēs izveidojām sava veida "tēlu", "līdzību" vai aprakstu pazīstamāk. Piemēram, dabiskais eksponents ir skaitlis, kas pats reizināts reizināts; skaitlis līdz nullei ir it kā skaitlis, kas reizināts ar sevi vienreiz, tas ir, to vēl nav sācis reizināt, kas nozīmē, ka pats skaitlis pat nav parādījies - tāpēc rezultāts ir tikai sava veida "tukšs skaitlis", proti, skaitlis; grāds ar negatīvu veselā skaitļa eksponentu ir tāds, it kā notiktu kaut kāds "apgrieztais process", tas ir, skaitlis netiktu reizināts ar sevi, bet gan dalīts.
Ir ārkārtīgi grūti iedomāties grādu ar iracionālu eksponentu (tāpat kā grūti iedomāties 4-dimensiju telpu). Tas drīzāk ir tīri matemātisks objekts, kuru matemātiķi radīja, lai pakāpes jēdzienu attiecinātu uz visu skaitļu telpu.
Starp citu, zinātnē bieži tiek izmantots grāds ar sarežģītu rādītāju, tas ir, rādītājs nav pat reāls skaitlis. Bet skolā mēs nedomājam par šādām grūtībām, jums būs iespēja izprast šos jaunos jēdzienus institūtā.
Tātad, ko mēs darām, kad redzam neracionālu eksponentu? Mēs cenšamies no visa spēka atbrīvoties no tā! :)
Piemēram:
Izlemiet pats:
| 1) | 2) | 3) |
Atbildes:
- Mēs atgādinām kvadrātu starpības formulu. Atbilde :.
- Mēs nodrošinām frakcijas vienā un tajā pašā formā: vai nu abas aiz komata, vai arī abas parastās. Mēs iegūstam, piemēram:
- Nekas īpašs, mēs izmantojam parastās grādu īpašības:
SADAĻAS KOPSAVILKUMS UN PAMATFORMULAS
Grāds sauc par formas izteiksmi :, kur:
Vesels grāds
pakāpe, kuras eksponents ir dabisks skaitlis (t.i. vesels un pozitīvs).
Racionāla pakāpe
pakāpe, kuras eksponents ir negatīvs un daļskaitlis.
Iracionāla pakāpe
pakāpe, kuras eksponents ir bezgalīga decimāldaļa vai sakne.
Jaudas īpašības
Grādu pazīmes.
- Negatīvais skaitlis palielināts līdz pat grāds, - skaitlis pozitīvs.
- Negatīvais skaitlis palielināts līdz nepāra grāds, - skaitlis negatīvs.
- Pozitīvs skaitlis jebkurā pakāpē ir pozitīvs skaitlis.
- Nulle ir vienāda ar jebkuru pakāpi.
- Jebkurš skaitlis līdz nullei ir vienāds.
TAGAD TAVS VĀRDS ...
Kā jums patīk raksts? Pierakstiet komentāros, vai jums tas patika vai nē.
Pastāstiet mums par savu pieredzi ar grādu īpašībām.
Varbūt jums ir jautājumi. Vai arī ieteikumi.
Raksti komentāros.
Un veiksmi ar eksāmeniem!
Raksti par dabaszinātnēm un matemātiku
Grādu īpašības ar tādu pašu bāzi
Ir trīs grādu īpašības ar vienādu bāzi un dabas vērtībām. to
Esi uzmanīgs! Noteikumi attiecībā uz saskaitīšana un atņemšana grādos ar vienādām bāzēm neeksistē.
Uzrakstīsim šos rekvizītus-formulas formulu formā:
Tagad mēs tos izskatīsim ar konkrētiem piemēriem un mēģināsim tos pierādīt.
5 2 × 5 3 \u003d 5 5 - šeit mēs piemērojām likumu; Tagad iedomāsimies, kā mēs atrisinātu šo piemēru, ja nezinātu noteikumus:
5 2 × 5 3 \u003d 5 × 5 × 5 × 5 × 5 \u003d 5 5 - pieci kvadrāti ir piecas reizes pieci un kubi ir trīs piecu reizinājums. Rezultāts ir piecu piecu reizinājums, bet tas ir kaut kas cits nekā pieci līdz piektie spēki: 5 5.
3 9 ÷ 3 5 \u003d 3 9–5 \u003d 3 4. Uzrakstīsim dalījumu kā daļu:
To var saīsināt: 
Rezultātā mēs iegūstam: 
Tādējādi mēs pierādījām, ka, dalot divus grādus ar vienādām bāzēm, ir jāatņem to rādītāji.
Tomēr, dalot, dalītājam nav iespējams būt vienādam ar nulli (jo jūs nevarat dalīt ar nulli). Turklāt, tā kā grādus ņemam vērā tikai ar dabiskajiem eksponentiem, eksponentu atņemšanas rezultātā mēs nevaram iegūt skaitli, kas mazāks par 1. Tāpēc formulai a m ÷ a n \u003d a m - n tiek noteikti ierobežojumi: a ≠ 0 un m\u003e n.
Pārejam uz trešo īpašumu:
(2 2) 4 \u003d 2 2 × 4 \u003d 2 8
Uzrakstīsim paplašinātā formā:
(2 2) 4 \u003d (2 × 2) 4 \u003d (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) \u003d 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 \u003d 2 8
Jūs varat nonākt pie šāda secinājuma un pamatojuma loģiski. Četras reizes jāreizina divi kvadrāti. Bet katrā laukumā ir divi divnieki, kas nozīmē, ka kopā būs astoņi.
scienceland.info
Grādu īpašības
Atgādinām, ka šī nodarbība ir saprotama jaudas īpašības ar dabiskiem rādītājiem un nulli. Grādi ar racionāliem rādītājiem un to īpašības tiks apspriesti 8. klases nodarbībās.
Dabiskajam eksponentam ir vairākas svarīgas īpašības, kas atvieglo aprēķināšanu ar eksponentu piemēriem.
Īpašuma numurs 1
Grādu reizinājums
Reizinot grādus ar vienādām bāzēm, bāze paliek nemainīga, un eksponenti tiek pievienoti.
a m · a n \u003d a m + n, kur "a" ir jebkurš skaitlis, un "m", "n" ir jebkurš dabiskais skaitlis.
Šī grādu īpašība ietekmē arī trīs vai vairāk grādu reizinājumu.
b b 2 b 3 b 4 b 5 \u003d b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 \u003d b 15
6 15 36 \u003d 6 15 6 2 \u003d 6 15 6 2 \u003d 6 17
(0,8) 3 (0,8) 12 \u003d (0,8) 3 + 12 \u003d (0,8) 15
Lūdzu, ņemiet vērā, ka norādītajā īpašumā tas bija tikai par spēku reizināšanu ar vienādām bāzēm. ... Tas neattiecas uz to pievienošanu.
Summu (3 3 + 3 2) nevar aizstāt ar 3 5. Tas ir saprotams, ja
skaits (3 3 + 3 2) \u003d (27 + 9) \u003d 36 un 3 5 \u003d 243
Īpašuma numurs 2
Privātie grādi
Dalot grādus ar vienādām bāzēm, bāze paliek nemainīga, un dalītāja eksponents tiek atņemts no dividenžu eksponenta.
(2b) 5: (2b) 3 \u003d (2b) 5 - 3 \u003d (2b) 2
11 3 - 2 4 2 - 1 \u003d 11 4 \u003d 44
Piemērs. Atrisiniet vienādojumu. Mēs izmantojam privāto grādu īpašumu.
3 8: t \u003d 3 4
Atbilde: t \u003d 3 4 \u003d 81
Izmantojot rekvizītus # 1 un # 2, jūs varat viegli vienkāršot izteiksmes un veikt aprēķinus.
- Piemērs. Vienkāršojiet izteicienu.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 \u003d 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 \u003d 4 6m + 8 - 4m - 3 \u003d 4 2m + 5
Piemērs. Izmantojot pakāpes īpašības, atrodiet izteiksmes vērtību.
2 11 − 5 = 2 6 = 64
Ņemiet vērā, ka 2. īpašība bija tikai grādu dalīšana ar vienādām bāzēm.
Atšķirību (4 3 −4 2) nevar aizstāt ar 4 1. Tas ir saprotams, ja aprēķinām (4 3 −4 2) \u003d (64 - 16) \u003d 48 un 4 1 \u003d 4
Īpašuma numurs 3
Paaugstināšana
Paaugstinot grādu līdz pakāpei, pakāpes bāze paliek nemainīga, un eksponenti tiek reizināti.
(a n) m \u003d a n · m, kur "a" ir jebkurš skaitlis, un "m", "n" ir jebkurš dabiskais skaitlis.
Ņemiet vērā, ka 4. īpašība, tāpat kā citas pakāpes īpašības, tiek lietota apgrieztā secībā.
(a n b n) \u003d (a b) n
Tas ir, lai reizinātu grādus ar vieniem un tiem pašiem rādītājiem, jūs varat reizināt bāzes, un eksponentu var atstāt nemainīgu.
2 4 5 4 \u003d (2 5) 4 \u003d 10 4 \u003d 10 000
0,5 16 2 16 \u003d (0,5 2) 16 \u003d 1
Sarežģītākos piemēros var būt gadījumi, kad reizināšana un dalīšana jāveic pa grādiem ar dažādām bāzēm un dažādiem eksponentiem. Šajā gadījumā iesakām rīkoties šādi.
Piemēram, 4 5 3 2 \u003d 4 3 4 2 3 2 \u003d 4 3 (4 3) 2 \u003d 64 12 2 \u003d 64 144 \u003d 9216
Piemērs paaugstināšanai līdz decimāldaļai.
4 21 (−0,25) 20 \u003d 4 4 20 (−0,25) 20 \u003d 4 (4 (−0,25)) 20 \u003d 4 (−1) 20 \u003d 4 1 \u003d 4
Īpašības 5
Dalījuma pakāpe (frakcija)
Lai palielinātu koeficientu līdz spēkam, jūs varat savākt šai jaudai atsevišķu dividenžu un dalītāju un pirmo rezultātu dalīt ar otro.
(a: b) n \u003d a n: b n, kur “a”, “b” ir jebkurš racionāls skaitlis, b ≠ 0, n ir jebkurš dabisks skaitlis.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12
Atgādinām, ka koeficientu var attēlot kā daļu. Tāpēc nākamajā lappusē sīkāk pakavēsimies ar daļu no frakcijas palielināšanas līdz jaudai.
Skaitļu reizināšana un dalīšana ar jaudām
Ja jums ir nepieciešams veidot dažus konkrēts numurs pakāpē algebrā varat izmantot dabisko skaitļu pakāpju tabulu no 2 līdz 25. Un tagad mēs paliksim pie tā grādu īpašības.
Eksponenciālie skaitļi tie paver lielas iespējas, tie ļauj mums reizināšanu pārveidot par saskaitīšanu, un saskaitīšana ir daudz vieglāka nekā reizināšana. 
Piemēram, mums jāreizina 16 ar 64. Šo divu skaitļu reizināšanas reizinājums ir 1024. Bet 16 ir 4x4 un 64 ir 4x4x4. Tas ir, 16 ar 64 \u003d 4x4x4x4x4, kas arī ir 1024.
Skaitli 16 var attēlot arī kā 2x2x2x2 un 64 kā 2x2x2x2x2x2, un, ja reizinām, tad atkal iegūstam 1024.
Tagad mēs izmantojam likumu, lai skaitli paceltu līdz jaudai. 16 \u003d 4 2 vai 2 4, 64 \u003d 4 3 vai 2 6, tajā pašā laikā 1024 \u003d 6 4 \u003d 4 5 vai 2 10.
Tāpēc mūsu problēmu var uzrakstīt atšķirīgi: 4 2 x4 3 \u003d 4 5 vai 2 4 x2 6 \u003d 2 10, un katru reizi mēs saņemam 1024.
Mēs varam atrisināt vairākus līdzīgus piemērus un redzēt, ka skaitļu reizināšana ar jaudām samazina līdz eksponentu pievienošana, vai eksponenciāli, protams, ar nosacījumu, ka faktoru bāzes ir vienādas.
Tādējādi, nevairojot, mēs uzreiz varam teikt, ka 2 4 x2 2 x2 14 \u003d 2 20.
Šis noteikums atbilst arī skaitļiem dalot ar jaudām, taču šajā gadījumā e dalītāja eksponents tiek atņemts no dividenžu eksponenta... Tādējādi 2 5: 2 3 \u003d 2 2, kas parastajos skaitļos ir 32: 8 \u003d 4, tas ir, 2 2. Apkoposim:
a m х a n \u003d a m + n, a m: a n \u003d a m-n, kur m un n ir veseli skaitļi.
No pirmā acu uzmetiena var šķist, kas ir skaitļu reizināšana un dalīšana ar pilnvarām nav ļoti ērti, jo vispirms skaitlis jāatspoguļo eksponenciālā formā. Šajā formā nav grūti attēlot skaitļus 8 un 16, tas ir, 2 3 un 2 4, bet kā to izdarīt ar skaitļiem 7 un 17? Vai kā rīkoties, ja skaitli var attēlot eksponenciālā formā, bet skaitļu eksponenciālās izteiksmes bāzes ir ļoti atšķirīgas. Piemēram, 8 x 9 ir 2 3 x 3 2, un tādā gadījumā mēs nevaram summēt eksponentus. Ne 2 5, ne 3 5 nav atbilde, un atbilde nav starp šiem diviem skaitļiem.
Tad vai vispār ir vērts apgrūtināt šo metodi? Noteikti tā vērts. Tas piedāvā milzīgas priekšrocības, īpaši sarežģītiem un laikietilpīgiem aprēķiniem.
Līdz šim mēs esam pieņēmuši, ka eksponents ir identisku faktoru skaits. Šajā gadījumā eksponenta minimālā vērtība ir 2. Tomēr, ja mēs veicam skaitļu dalīšanas vai eksponenciālu atņemšanas darbību, mēs varam iegūt arī skaitli, kas ir mazāks par 2, kas nozīmē, ka vecā definīcija mums vairs nevar būt piemērota. Vairāk lasiet nākamajā rakstā.
Pilnvaru saskaitīšana, atņemšana, reizināšana un sadalīšana
Saskaitiet un atņemiet pilnvaras
Acīmredzot skaitļus ar jaudām var pievienot, tāpat kā citus lielumus , pievienojot tos pa vienam ar viņu zīmēm.
Tātad 3 un b 2 summa ir 3 + b 2.
3 - b n un h 5-d 4 summa ir 3 - b n + h 5 - d 4.
Likmes mainīgo lielumu vienādas pakāpes var saskaitīt vai atņemt.
Tātad 2a 2 un 3a 2 summa ir 5a 2.
Ir arī skaidrs, ka, ja ņemat divus kvadrātus a, trīs kvadrātus a vai piecus kvadrātus a.
Bet grādi dažādi mainīgie un dažādās pakāpēs identiski mainīgie, jāpievieno, pievienojot tos ar zīmēm.
Tātad 2 un 3 summa ir 2 + a 3 summa.
Ir acīmredzams, ka a kvadrāts un a kubs nav vienāds ar divreiz lielāku kvadrātu kā a, bet divreiz lielāks par a kubu.
3 b n un 3a 5 b 6 summa ir 3 b n + 3a 5 b 6.
Atņemšana grādi tiek veikti tāpat kā saskaitīšana, izņemot to, ka attiecīgi jāmaina atņemto zīmes.
Vai arī:
2a 4 - (-6a 4) \u003d 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 \u003d 3 (a - h) 6
Grādu reizināšana
Skaitļus ar jaudām, tāpat kā citus lielumus, var pavairot, rakstot tos pa vienam, starp starp tiem vai reizināšanas zīmi.
Tātad, reizinot 3 ar b 2, rezultāts ir 3 b 2 vai aaabb.
Vai arī:
x -3 ⋅ a m \u003d a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) \u003d -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y \u003d a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
Rezultātu pēdējā piemērā var sakārtot, pievienojot tos pašus mainīgos.
Izteiksme būs šāda: a 5 b 5 y 3.
Salīdzinot vairākus skaitļus (mainīgos) ar jaudām, mēs varam redzēt, ka, ja divi no tiem tiek reizināti, rezultāts ir skaitlis (mainīgais), kura jauda ir vienāda ar summa terminu pakāpes.
Tātad, a 2 .a 3 \u003d aa.aaa \u003d aaaaa \u003d a 5.
Šeit 5 ir reizināšanas rezultāta jauda, \u200b\u200bkas vienāda ar 2 + 3, terminu spēku summa.
Tātad, a n .a m \u003d a m + n.
Attiecībā uz n n a tiek ņemts par koeficientu tik reižu, cik ir n jauda;
Un m tiek ņemts par koeficientu tik reižu, cik m ir;
Tāpēc grādus ar vienādiem kātiem var reizināt, saskaitot eksponentus.
Tātad, 2 .a 6 \u003d a 2 + 6 \u003d a 8. Un x 3 .x 2 .x \u003d x 3 + 2 + 1 \u003d x 6.
Vai arī:
4a n ⋅ 2a n \u003d 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y \u003d b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) \u003d (b + h - y) n + 1
Reiziniet (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Atbilde: x 4 - y 4.
Reiziniet (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Šis noteikums attiecas arī uz skaitļiem, kuru eksponenti ir: negatīvs.
1. Tātad, a -2 .a -3 \u003d a -5. To var rakstīt kā (1 / aa). (1 / aaa) \u003d 1 / aaaaa.
2.y -n .y -m \u003d y -n-m.
3.a -n .a m \u003d a m-n.
Ja a + b reizina ar a - b, rezultāts ir 2 - b 2: tas ir
Divu skaitļu summas vai starpības reizināšanas rezultāts ir vienāds ar to kvadrātu summu vai starpību.
Ja divu skaitļu summa un starpība ir paaugstināta līdz kvadrāts, rezultāts būs vienāds ar šo skaitļu summu vai starpību ceturtais grāds.
Tātad (a - y). (A + y) \u003d a 2 - y 2.
(a 2 - y 2) ⋅ (a 2 + y 2) \u003d a 4 - y 4.
(a 4 - y 4) ⋅ (a 4 + y 4) \u003d a 8 - y 8.
Grādu dalīšana
Jaudas skaitļus, tāpat kā citus skaitļus, var sadalīt, atņemot no dalītāja vai ievietojot tos dalītā formā.
Tātad a 3 b 2 dalīts ar b 2 ir vienāds ar 3.
5 dalīts ar 3 izskatās kā $ \\ frac $. Bet tas ir vienāds ar 2. Skaitļu virknē
a +4, a +3, a +2, +1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4.
jebkuru skaitli var dalīt ar citu, un eksponents būs vienāds ar atšķirība dalāmo skaitļu eksponenti.
Dalot grādus ar to pašu bāzi, tiek atņemti to rādītāji..
Tātad, y 3: y 2 \u003d y 3-2 \u003d y 1. Tas ir, $ \\ frac \u003d y $.
A n + 1: a \u003d a n + 1-1 \u003d a n. Tas ir, $ \\ frac \u003d a ^ n $.
Vai arī:
y 2m: y m \u003d y m
8a n + m: 4a m \u003d 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 \u003d 4 (b + y) n-3
Noteikums attiecas arī uz skaitļiem ar negatīvs grādu vērtības.
Rezultāts, dalot -5 ar -3, ir -2.
Arī $ \\ frac: \\ frac \u003d \\ frac. \\ Frac \u003d \\ frac \u003d \\ frac $.
h 2: h -1 \u003d h 2 + 1 \u003d h 3 vai $ h ^ 2: \\ frac \u003d h ^ 2. \\ frac \u003d h ^ 3 $
Ir ļoti labi jāapgūst pilnvaru reizināšana un sadalīšana, jo šādas darbības algebrā tiek izmantotas ļoti plaši.
Piemēri ar frakcijām saturošiem skaitļiem ar jaudām
1. Samaziniet eksponentus $ \\ frac $ Atbilde: $ \\ frac $.
2. Samaziniet eksponentus $ \\ frac $. Atbilde: $ \\ frac $ vai 2x.
3. Samaziniet eksponentus a 2 / a 3 un a -3 / a -4 un nogādājiet tos kopsaucējā.
a 2 .a -4 ir -2 pirmais skaitītājs.
a 3 .a -3 ir 0 \u003d 1, otrais skaitītājs.
a 3 .a -4 ir -1, kopējais skaitītājs.
Pēc vienkāršošanas: a -2 / a -1 un 1 / a -1.
4. Samaziniet eksponentus 2a 4 / 5a 3 un 2 / a 4 un nogādājiet tos pie kopsaucēja.
Atbilde: 2a 3 / 5a 7 un 5a 5 / 5a 7 vai 2a 3 / 5a 2 un 5 / 5a 2.
5. Reiziniet (a 3 + b) / b 4 ar (a - b) / 3.
6. Reiziniet (a 5 + 1) / x 2 ar (b 2 - 1) / (x + a).
7. Reiziniet b 4 / a -2 ar h -3 / x un a n / y -3.
8. Daliet 4 / y 3 ar 3 / y 2. Atbilde: a / y.
Pakāpe un tās īpašības. Vidējais līmenis.
Vai vēlaties pārbaudīt savus spēkus un uzzināt rezultātu, cik esat gatavs Vienotajam valsts eksāmenam vai OGE?
Grāds sauc par formas izteiksmi :, kur:
Vesels grāds
pakāpe, kuras eksponents ir dabisks skaitlis (tas ir, vesels skaitlis un pozitīvs).
Racionāla pakāpe
pakāpe, kuras eksponents ir negatīvs un daļskaitlis.
Iracionāla pakāpe
pakāpe, kuras eksponents ir bezgalīga decimāldaļa vai sakne.
Jaudas īpašības
Grādu pazīmes.
Kāda ir skaitļa pakāpe?
Eksponēšana ir tā pati matemātiskā darbība kā saskaitīšana, atņemšana, reizināšana vai dalīšana.
Tagad es visu ļoti izskaidrošu cilvēku valodā vienkārši piemēri... Esi uzmanīgs. Piemēri ir elementāri, taču tie izskaidro svarīgas lietas.
Sāksim ar papildinājumu.
Nav ko izskaidrot. Jūs jau visu zināt: mēs esam astoņi. Katrā ir divas kolas pudeles. Cik daudz kolas ir? Pareizi - 16 pudeles.
Tagad pavairošana.
To pašu kolas piemēru var uzrakstīt atšķirīgi:. Matemātiķi ir viltīgi un slinki cilvēki. Viņi vispirms pamana dažus modeļus un pēc tam izdomā, kā tos ātri “saskaitīt”. Mūsu gadījumā viņi pamanīja, ka katram no astoņiem cilvēkiem ir vienāds kolas pudeļu skaits, un viņi nāca klajā ar tehniku, ko sauc par pavairošanu. Piekrītu, tas tiek uzskatīts par vieglāku un ātrāku nekā.
Tātad, lai skaitītu ātrāk, vienkāršāk un bez kļūdām, jums vienkārši jāatceras reizināšanas tabula... Jūs, protams, varat darīt visu lēnāk, grūtāk un ar kļūdām! Bet ...
Šeit ir reizināšanas tabula. Atkārtojiet.
Un vēl viens, skaistāks:
Kādus vēl gudrus skaitīšanas trikus ir radījuši slinki matemātiķi? Pa labi - skaitļa paaugstināšana līdz spēkam.
Skaitļa paaugstināšana līdz jaudai.
Ja piecas reizes jāreizina skaitlis pats par sevi, tad matemātiķi saka, ka šis skaitlis jāpaaugstina līdz piektajai pakāpei. Piemēram, . Matemātiķi atceras, ka divi līdz piektais grāds ir. Un šādas problēmas viņi risina savā galvā - ātrāk, vieglāk un bez kļūdām.
Viss, kas jums jādara, ir atcerieties to, kas ir izcelts skaitļu spēku tabulā... Ticiet man, tas jūsu dzīvi padarīs daudz vieglāku.
Starp citu, kāpēc tiek saukta otrā pakāpe kvadrāts numuri, bet trešais - kubs? Ko tas nozīmē? Tas ir ļoti labs jautājums. Tagad jums būs gan kvadrāti, gan kubi.
Piemērs no dzīves Nr. 1.
Sāksim ar kvadrātu vai skaitļa otro jaudu.
Iedomājieties baseinu kvadrātmetru metrā. Baseins atrodas jūsu lauku mājā. Ir karsts, un es ļoti vēlos peldēt. Bet ... baseins bez dibena! Jums jāaptver baseina dibens ar flīzēm. Cik daudz flīžu jums vajag? Lai to noteiktu, jums jāzina baseina dibena platība.
Jūs varat vienkārši saskaitīt, bakstot ar pirkstu, ka baseina dibens sastāv no metru pa metram kubiem. Ja jums ir flīžu metrs pa metram, jums būs nepieciešami gabali. Tas ir viegli ... Bet kur tu esi redzējis šādas flīzes? Flīze drīzāk būs cm uz cm. Un tad jūs mocīs "pirkstu skaits". Tad jums ir jāreizina. Tātad vienā baseina dibena pusē mēs ievietosim flīzes (gabalus), bet otrā - arī flīzes. Reizinot ar, jūs saņemat flīzes ().
Vai esat pamanījuši, ka mēs paši reizinājām to pašu skaitli, lai noteiktu baseina dibena laukumu? Ko tas nozīmē? Kad viens un tas pats skaitlis ir reizināts, mēs varam izmantot "eksponēšanas" tehniku. (Protams, ja jums ir tikai divi skaitļi, tie joprojām ir jāpavairo vai jāpaaugstina līdz spēkam. Bet, ja jums to ir daudz, tad paaugstināt līdz jaudai ir daudz vieglāk, un aprēķinos ir arī mazāk kļūdu. LIETOŠANAI tas ir ļoti svarīgi).
Tātad trīsdesmit otrajā pakāpē būs (). Vai arī jūs varat teikt, ka būs trīsdesmit kvadrāti. Citiem vārdiem sakot, skaitļa otro spēku vienmēr var attēlot kā kvadrātu. Un otrādi, ja redzat kvadrātu, tas VIENMĒR ir skaitļa otrais spēks. Kvadrāts ir skaitļa otrās pakāpes attēlojums.
2. dzīves piemērs.
Lūk, uzdevums jums, saskaitot, cik kvadrātu ir uz šaha galdiņa, izmantojot skaitļa kvadrātu. Šūnu vienā pusē un arī otrā. Lai saskaitītu viņu skaitu, jums jāreizina astoņi ar astoņiem vai ... ja pamanāt, ka šaha galds ir kvadrāts ar sānu, tad jūs varat kvadrātveida astoņus. Jūs saņemsiet šūnas. () Tātad?
3. dzīves piemērs.
Tagad kubs vai skaitļa trešā jauda. Tas pats baseins. Bet tagad jums jānoskaidro, cik daudz ūdens jums jālej šajā baseinā. Jums jāaprēķina tilpums. (Starp citu, apjomus un šķidrumus mēra kubikmetros. Pārsteidzoši, vai ne?) Uzzīmējiet baseinu: dibens ir metru liels un metru dziļš, un mēģiniet aprēķināt, cik kubikmetru metru pa metram iekļūs jūsu baseinā.
Rādi ar pirkstu un skaiti! Viens, divi, trīs, četri ... divdesmit divi, divdesmit trīs ... Cik tas izrādījās? Nav pazudis? Vai ir grūti skaitīt ar pirkstu? Tā ka! Ņemiet piemēru no matemātiķiem. Viņi ir slinki, tāpēc viņi pamanīja, ka, lai aprēķinātu baseina tilpumu, jums jāreizina tā garums, platums un augstums. Mūsu gadījumā baseina tilpums būs vienāds ar kubiem ... Vieglāk, vai ne?
Tagad iedomājieties, cik slinki un viltīgi ir matemātiķi, ja arī viņi to vienkāršotu. Viņi visu samazināja līdz vienai darbībai. Viņi pamanīja, ka garums, platums un augstums ir vienādi un tas pats skaitlis tiek reizināts ar sevi ... Ko tas nozīmē? Tas nozīmē, ka jūs varat izmantot grādu. Tātad, ko jūs kādreiz saskaitījāt ar pirkstu, viņi dara vienā darbībā: trīs kubā ir vienādi. Tas ir rakstīts šādi:
Tikai paliek atcerieties grādu tabulu... Ja vien, protams, jūs neesat tik slinks un viltīgs kā matemātiķi. Ja jums patīk smagi strādāt un kļūdīties, varat turpināt skaitīt ar pirkstu.
Nu, lai jūs beidzot pārliecinātu, ka grādus ir izdomājuši dīkdieņi un viltīgi, lai tos atrisinātu dzīves problēmas, un nevis lai radītu jums problēmas, šeit ir vēl pāris piemēru no dzīves.
Reālās dzīves piemērs Nr. 4.
Jums ir miljons rubļu. Katra gada sākumā jūs nopelkat vēl vienu miljonu no katra miljona. Tas ir, jūsu katrs miljons katra gada sākumā dubultojas. Cik daudz naudas tev būs pēc gadiem? Ja jūs tagad sēžat un “skaitāt ar pirkstu”, tad jūs esat ļoti strādīgs cilvēks un .. stulbs. Bet visticamāk, ka atbildi sniegsi pāris sekunžu laikā, jo esi gudrs! Tātad pirmajā gadā - divas reizes divas ... otrajā gadā - notika vēl divi, trešajā gadā ... Stop! Jūs pamanījāt, ka skaitlis tiek reizināts pats par sevi. Tātad divi līdz piektā jauda ir miljons! Tagad iedomājieties, ka jums ir konkurss un tos miljonus saņems tas, kurš aprēķina ātrāk ... Vai ir vērts atcerēties skaitļu pakāpes, kā jūs domājat?
Dzīves piemērs # 5.
Jums ir miljons. Katra gada sākumā jūs nopelnāt vēl divus no katra miljona. Lieliski, vai ne? Katrs miljons trīskāršojas. Cik daudz naudas tev būs pēc gadiem? Skaitīsim. Pirmais gads - reiziniet ar, pēc tam rezultātu ar citu ... Tas jau ir garlaicīgi, jo jūs jau visu sapratāt: trīs reizes reizina pats no sevis. Tātad ceturtā jauda ir vienāda ar miljonu. Jums vienkārši jāatceras, ka trīs līdz ceturtā jauda ir vai.
Tagad jūs zināt, ka, paaugstinot skaitli līdz lielumam, jūs ievērojami atvieglosiet savu dzīvi. Apskatīsim tuvāk, ko jūs varat darīt ar grādiem un kas jums jāzina par tiem.
Termini un jēdzieni.
Tātad, vispirms definēsim jēdzienus. Ko tu domā, kas ir eksponents? Tas ir ļoti vienkārši - tas ir skaitlis, kas atrodas skaitļa jaudas augšpusē. Nav zinātniska, bet saprotama un viegli iegaumējama ...
Nu, tajā pašā laikā šāda līmeņa pakāpe? Vēl vienkāršāks ir skaitlis, kas atrodas apakšā, apakšā.
Lai pārliecinātos, šeit ir zīmējums.
Nu, vispārīgi runājot, lai vispārinātu un labāk atcerētos ... Grāds ar pamatu "" un rādītāju "" tiek lasīts kā "pakāpēs" un tiek rakstīts šādi:
"Skaita ar dabisko eksponentu pakāpe"
Jūs droši vien jau uzminējāt: jo eksponents ir dabisks skaitlis. Jā, bet kas ir dabiskais skaitlis? Elementāri! Dabiskie skaitļi ir tie skaitļi, kurus izmanto skaitīšanai, uzskaitot objektus: viens, divi, trīs ... Kad mēs skaitām objektus, mēs nesakām: "mīnus pieci", "mīnus seši", "mīnus septiņi". Mēs arī nesakām: "viena trešdaļa" vai "nulle punkts, piecas desmitdaļas". Tie nav dabiski skaitļi. Kādi skaitļi, jūsuprāt, ir?
Uz tādiem skaitļiem kā “mīnus pieci”, “mīnus seši”, “mīnus septiņi” attiecas veseli skaitļi. Kopumā veseli skaitļi ietver visus dabiskos skaitļus, skaitļus, kas ir pretēji dabiskajiem skaitļiem (tas ir, ņemti ar mīnus zīmi), un skaitli. Nulli ir viegli saprast - tas ir tad, kad nekā nav. Ko nozīmē negatīvie ("mīnus") skaitļi? Bet tie tika izgudroti galvenokārt, lai norādītu parādus: ja jūsu tālrunī ir rubļi, tas nozīmē, ka esat parādā operatoram rubļus.
Visas daļas ir racionāli skaitļi. Kā jūs domājat, kā tie radās? Ļoti vienkārši. Pirms vairākiem tūkstošiem gadu mūsu senči atklāja, ka viņiem trūkst dabisko skaitļu, lai izmērītu garumu, svaru, platību utt. Un viņi nāca klajā racionāli skaitļi... Interesanti, vai ne?
Ir arī neracionāli skaitļi. Kādi ir šie skaitļi? Īsāk sakot, bezgalīga decimāldaļa. Piemēram, ja dalāt apļa apkārtmēru pēc tā diametra, iegūstat iracionālu skaitli.
Grāds ar dabisko rādītāju
Definēsim pakāpes jēdzienu, kura eksponents ir naturāls skaitlis (tas ir, vesels skaitlis un pozitīvs).
- Jebkurš skaitlis pirmajā jaudā ir vienāds ar sevi:
- Lai kvadrātiņotu skaitli, to reiziniet ar sevi:
- Skaitļa kubēšana nozīmē to trīs reizes reizināt ar sevi:
Definīcija. Skaitļa paaugstināšana līdz dabiskajam spēkam nozīmē skaitļa reizināšanu ar reizēm:
Ja jums ir jāpaaugstina noteikts skaitlis līdz jaudai, varat to izmantot. Un tagad mēs paliksim pie tā grādu īpašības.
Eksponenciālie skaitļi tie paver lielas iespējas, tie ļauj mums reizināšanu pārveidot par saskaitīšanu, un saskaitīšana ir daudz vieglāka nekā reizināšana.
Piemēram, mums jāreizina 16 ar 64. Šo divu skaitļu reizināšanas reizinājums ir 1024. Bet 16 ir 4x4 un 64 ir 4x4x4. Tas ir, 16 ar 64 \u003d 4x4x4x4x4, kas arī ir 1024.
Skaitli 16 var attēlot arī kā 2x2x2x2 un 64 kā 2x2x2x2x2x2, un, ja reizinām, tad atkal iegūstam 1024.
Tagad izmantosim likumu. 16 \u003d 4 2 vai 2 4, 64 \u003d 4 3 vai 2 6, tajā pašā laikā 1024 \u003d 6 4 \u003d 4 5 vai 2 10.
Tāpēc mūsu problēmu var uzrakstīt atšķirīgi: 4 2 x4 3 \u003d 4 5 vai 2 4 x2 6 \u003d 2 10, un katru reizi mēs saņemam 1024.
Mēs varam atrisināt vairākus līdzīgus piemērus un redzēt, ka skaitļu reizināšana ar jaudām samazina līdz eksponentu pievienošana, vai eksponenciāli, protams, ar nosacījumu, ka faktoru bāzes ir vienādas.
Tādējādi, nevairojot, mēs uzreiz varam teikt, ka 2 4 x2 2 x2 14 \u003d 2 20.
Šis noteikums atbilst arī skaitļiem dalot ar jaudām, taču šajā gadījumā e dalītāja eksponents tiek atņemts no dividenžu eksponenta... Tādējādi 2 5: 2 3 \u003d 2 2, kas parastajos skaitļos ir 32: 8 \u003d 4, tas ir, 2 2. Apkoposim:
a m х a n \u003d a m + n, a m: a n \u003d a m-n, kur m un n ir veseli skaitļi.
No pirmā acu uzmetiena var šķist, kas ir skaitļu reizināšana un dalīšana ar pilnvarām nav ļoti ērti, jo vispirms skaitlis jāatspoguļo eksponenciālā formā. Šajā formā nav grūti attēlot skaitļus 8 un 16, tas ir, 2 3 un 2 4, bet kā to izdarīt ar skaitļiem 7 un 17? Vai kā rīkoties, ja skaitli var attēlot eksponenciālā formā, bet skaitļu eksponenciālās izteiksmes bāzes ir ļoti atšķirīgas. Piemēram, 8 x 9 ir 2 3 x 3 2, un tādā gadījumā mēs nevaram summēt eksponentus. Ne 2 5, ne 3 5 nav atbilde, un atbilde nav starp šiem diviem skaitļiem.
Tad vai vispār ir vērts apgrūtināt šo metodi? Noteikti tā vērts. Tas piedāvā milzīgas priekšrocības, īpaši sarežģītiem un laikietilpīgiem aprēķiniem.
Acīmredzot skaitļus ar jaudām var pievienot, tāpat kā citus lielumus , pievienojot tos pa vienam ar viņu zīmēm.
Tātad 3 un b 2 summa ir 3 + b 2.
3 - b n un h 5-d 4 summa ir 3 - b n + h 5 - d 4.
Likmes mainīgo lielumu vienādas pakāpes var saskaitīt vai atņemt.
Tātad 2a 2 un 3a 2 summa ir 5a 2.
Ir arī skaidrs, ka, ja ņemat divus kvadrātus a, trīs kvadrātus a vai piecus kvadrātus a.
Bet grādi dažādi mainīgie un dažādās pakāpēs identiski mainīgie, jāpievieno, pievienojot tos ar zīmēm.
Tātad 2 un 3 summa ir 2 + a 3 summa.
Ir acīmredzams, ka a kvadrāts un a kubs nav vienāds ar divreiz lielāku kvadrātu kā a, bet divreiz lielāks par a kubu.
3 b n un 3a 5 b 6 summa ir 3 b n + 3a 5 b 6.
Atņemšana grādi tiek veikti tāpat kā saskaitīšana, izņemot to, ka attiecīgi jāmaina atņemto zīmes.
Vai arī:
2a 4 - (-6a 4) \u003d 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 \u003d -h 2 b 6
5 (a - h) 6 - 2 (a - h) 6 \u003d 3 (a - h) 6
Grādu reizināšana
Skaitļus ar jaudām, tāpat kā citus lielumus, var pavairot, rakstot tos pa vienam, starp starp tiem vai reizināšanas zīmi.
Tātad, reizinot 3 ar b 2, rezultāts ir 3 b 2 vai aaabb.
Vai arī:
x -3 ⋅ a m \u003d a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) \u003d -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y \u003d a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
Rezultātu pēdējā piemērā var sakārtot, pievienojot tos pašus mainīgos.
Izteiksme būs šāda: a 5 b 5 y 3.
Salīdzinot vairākus skaitļus (mainīgos) ar jaudām, mēs varam redzēt, ka, ja divi no tiem tiek reizināti, rezultāts ir skaitlis (mainīgais), kura jauda ir vienāda ar summa terminu pakāpes.
Tātad, a 2 .a 3 \u003d aa.aaa \u003d aaaaa \u003d a 5.
Šeit 5 ir reizināšanas rezultāta jauda, \u200b\u200bkas vienāda ar 2 + 3, terminu spēku summa.
Tātad, a n .a m \u003d a m + n.
Attiecībā uz n n a tiek ņemts par koeficientu tik reižu, cik ir n jauda;
Un m tiek ņemts par koeficientu tik reižu, cik m ir;
Tāpēc grādus ar vienādiem kātiem var reizināt, saskaitot eksponentus.
Tātad, 2 .a 6 \u003d a 2 + 6 \u003d a 8. Un x 3 .x 2 .x \u003d x 3 + 2 + 1 \u003d x 6.
Vai arī:
4a n ⋅ 2a n \u003d 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y \u003d b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) \u003d (b + h - y) n + 1
Reiziniet (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Atbilde: x 4 - y 4.
Reiziniet (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Šis noteikums attiecas arī uz skaitļiem, kuru eksponenti ir: negatīvs.
1. Tātad, a -2 .a -3 \u003d a -5. To var rakstīt kā (1 / aa). (1 / aaa) \u003d 1 / aaaaa.
2.y -n .y -m \u003d y -n-m.
3.a -n .a m \u003d a m-n.
Ja a + b reizina ar a - b, rezultāts ir 2 - b 2: tas ir
Divu skaitļu summas vai starpības reizināšanas rezultāts ir vienāds ar to kvadrātu summu vai starpību.
Ja divu skaitļu summa un starpība ir paaugstināta līdz kvadrāts, rezultāts būs vienāds ar šo skaitļu summu vai starpību ceturtais grāds.
Tātad (a - y). (A + y) \u003d a 2 - y 2.
(a 2 - y 2) ⋅ (a 2 + y 2) \u003d a 4 - y 4.
(a 4 - y 4) ⋅ (a 4 + y 4) \u003d a 8 - y 8.
Grādu dalīšana
Jaudas skaitļus, tāpat kā citus skaitļus, var sadalīt, atņemot no dalītāja vai ievietojot tos dalītā formā.
Tātad a 3 b 2 dalīts ar b 2 ir vienāds ar 3.
Vai arī:
$ \\ frac (9a ^ 3y ^ 4) (- 3a ^ 3) \u003d -3y ^ 4 $
$ \\ frac (a ^ 2b + 3a ^ 2) (a ^ 2) \u003d \\ frac (a ^ 2 (b + 3)) (a ^ 2) \u003d b + 3 $
$ \\ frac (d \\ cdot (a - h + y) ^ 3) ((a - h + y) ^ 3) \u003d d $
5 dalīts ar 3 izskatās kā $ \\ frac (a ^ 5) (a ^ 3) $. Bet tas ir vienāds ar 2. Skaitļu virknē
a +4, a +3, a +2, +1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4.
jebkuru skaitli var dalīt ar citu, un eksponents būs vienāds ar atšķirība dalāmo skaitļu eksponenti.
Dalot grādus ar to pašu bāzi, tiek atņemti to rādītāji..
Tātad, y 3: y 2 \u003d y 3-2 \u003d y 1. Tas ir, $ \\ frac (yyy) (yy) \u003d y $.
A n + 1: a \u003d a n + 1-1 \u003d a n. Tas ir, $ \\ frac (aa ^ n) (a) \u003d a ^ n $.
Vai arī:
y 2m: y m \u003d y m
8a n + m: 4a m \u003d 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 \u003d 4 (b + y) n-3
Noteikums attiecas arī uz skaitļiem ar negatīvs grādu vērtības.
Rezultāts, dalot -5 ar -3, ir -2.
Arī $ \\ frac (1) (aaaaa): \\ frac (1) (aaa) \u003d \\ frac (1) (aaaaa). \\ Frac (aaa) (1) \u003d \\ frac (aaa) (aaaaa) \u003d \\ frac (1) (aa) $.
h 2: h -1 \u003d h 2 + 1 \u003d h 3 vai $ h ^ 2: \\ frac (1) (h) \u003d h ^ 2. \\ frac (h) (1) \u003d h ^ 3 $
Ir ļoti labi jāapgūst pilnvaru reizināšana un sadalīšana, jo šādas darbības algebrā tiek izmantotas ļoti plaši.
Piemēri ar frakcijām saturošiem skaitļiem ar jaudām
1. Samaziniet eksponentus $ \\ frac (5a ^ 4) (3a ^ 2) $ Atbilde: $ \\ frac (5a ^ 2) (3) $.
2. Samaziniet eksponentus $ \\ frac (6x ^ 6) (3x ^ 5) $. Atbilde: $ \\ frac (2x) (1) $ vai 2x.
3. Samaziniet eksponentus a 2 / a 3 un a -3 / a -4 un nogādājiet tos kopsaucējā.
a 2 .a -4 ir -2 pirmais skaitītājs.
a 3 .a -3 ir 0 \u003d 1, otrais skaitītājs.
a 3 .a -4 ir -1, kopējais skaitītājs.
Pēc vienkāršošanas: a -2 / a -1 un 1 / a -1.
4. Samaziniet eksponentus 2a 4 / 5a 3 un 2 / a 4 un nogādājiet tos pie kopsaucēja.
Atbilde: 2a 3 / 5a 7 un 5a 5 / 5a 7 vai 2a 3 / 5a 2 un 5 / 5a 2.
5. Reiziniet (a 3 + b) / b 4 ar (a - b) / 3.
6. Reiziniet (a 5 + 1) / x 2 ar (b 2 - 1) / (x + a).
7. Reiziniet b 4 / a -2 ar h -3 / x un a n / y -3.
8. Daliet 4 / y 3 ar 3 / y 2. Atbilde: a / y.
9. Daliet (h 3 - 1) / d 4 ar (d n + 1) / h.
