Polinomu faktorizācijas piemērošana. "izmantojot dažādas polinoma faktorēšanas metodes" Izmantojot dažādas faktoringa metodes

NODARBĪBAS APRAKSTS

Nodarbības veids : nodarbība jauna materiāla apguvē, pamatojoties uz problēmu apguvi

9 Nodarbības mērķis

radīt apstākļus polinoma faktorēšanas prasmju un iemaņu praktizēšanai, izmantojot dažādas metodes.

10. Mērķi:

Izglītojošs

atkārtojiet darbību algoritmus: kopējā faktora izņemšana no iekavas, grupēšanas metode, saīsinātas reizināšanas formulas.

formas prasme:

– pielietot zināšanas par tēmu "polinoma faktorēšana faktoros dažādos veidos";

– veic uzdevumus atbilstoši izvēlētajai darbības metodei;

– izvēlēties racionālāko veidu, kā racionalizēt aprēķinus, pārveidot polinomus.

Attīstās

veicināt skolēnu kognitīvo spēju, uzmanības, atmiņas, domāšanas attīstību, izmantojot dažādus vingrinājumus;

attīstīt prasmes patstāvīgam darbam un grupveida darbam; uzturēt skolēnu interesi par matemātiku

Audzināšana

uzturēt skolēnu interesi par matemātiku

11. Formējams UUD

Personīgais: aktivitātes mērķa (gaidāmā rezultāta) apzināšanās, darbības metodes apzināšanās vai izvēle (Kā es to izdarīšu? Kā es iegūšu rezultātu?), rezultāta analīze un novērtēšana; viņu spēju novērtējums;

Normatīvie akti: ņemt vērā likumu, plānojot un kontrolējot risinājumu, plānojot, novērtējot darba rezultātus;

Kognitīvais: efektīvāko problēmu risināšanas veidu izvēle, zināšanu strukturēšana; informācijas pārveidošana no viena veida uz citu.

Komunikabls: plānošanaizglītības sadarbība ar skolotāju un vienaudžiem, runas uzvedības noteikumu ievērošana, spēja izteikties unpamato savu viedokli, ņem vērā dažādos viedokļus un cenšas sadarbībā saskaņot dažādas nostājas.

12. Metodes:

pēc zināšanu avotiem: verbāli, vizuāli;

attiecībā uz kognitīvās darbības raksturu: reproduktīva, daļēji izpētoša.

13. Studentu darba formas: frontāls, individuāls, grupa.

14. Nepieciešams Tehniskais aprīkojums: dators, projektors, interaktīvā tāfele, izdales materiāli (paškontroles lapa, kartes ar uzdevumiem), elektroniska prezentācija programmāJaudaPunkts

15. Plānotie rezultāti :

Personiski veicinot sevis un savstarpējas cieņas izjūtu; sadarbības attīstīšana, strādājot grupās;

Metasubjekts runas attīstība; studentu patstāvības attīstīšana; attīstot uzmanību, meklējot kļūdas.

Priekšmets prasmju attīstīšana darbam ar informāciju, risinājumu apgūšana

Nodarbību laikā:

1. Studentu apsveikumi. Skolotāja pārbauda klases gatavību stundai; uzmanības organizēšana; instrukcija, kā strādāt ar novērtējuma lapu1. pielikums , vērtēšanas kritēriju specifikācija.

Mājas darbu pārbaude un zināšanu atjaunināšana

1.3a + 6b \u003d 3 (a + 2b)

2.100 - 20s + s 2 \u003d (10 + s) 2

3.s 2 - 81 \u003d (s - 9) (s + 9)

4,6x 3 - 5x 4 \u003d x 4 (6x - 5)

5.ay - 3y - 4a + 12 \u003d y (a - 3) - 4 (a - 3)

6,09x 2 - 0,25 u 2 \u003d (0,03x - 0,05g) (0,03x + 0,05g)

7. s (x - 3) -d(x - 3) \u003d (x - 3) (c -d)

8.14x 2 - 7x \u003d 7x (7x - 1)

9.-1600 + a 12 \u003d (40 + a 6 ) (40 - a 6 )

10,9x 2 - 24 h + 16 g 2 \u003d (3x - 4g) 2

11.8s 3 - 2s 2 + 4s - 1 \u003d

2.c 2 (4s - 1) + (4s - 1) \u003d (4s - 1) 2s 2

12. b 4 + ar 2 – 2 b 2 c \u003d (b – c) 2

(mājasdarbi tiek ņemti no mācību grāmatas, iekļauj faktoringu dažādos veidos. Lai pabeigtu šo darbu, studentiem jāatceras iepriekš pētītais materiāls)

Slaidā rakstītās atbildes satur kļūdas, studenti mācās saskatīt veidus, kā arī pamanīt kļūdas, atcerēties darbības veidus,

Skolēni grupās, pārbaudot mājas darbus, piešķir punktus par paveikto darbu

2 relejs2. papildinājums (komandas locekļi pēc kārtas izpilda uzdevumu, bet, izmantojot bultiņu, savieno piemēru un tā sadalīšanas metodi)

3.a – 12.b \u003d 3 (a - 4 b)

2a + 2b + a 2 + ab \u003d (a + b) (2 + a)

9.a 2 - 16.b 2 = ( 3.a – 4 b) (3.a + 4.b)

16.a 2 - 8ab + b 2 \u003d (4а - b) 2

7.a 2 b - 14ab 2 + 7ab \u003d 7ab (a - 2b + 1)

a 2 + ab- a - ac- bc + c \u003d (a + b - 1) (a - c)

25.a 2 + 70ab + 49b 2 = ( 5.a + 7 b) 2

5x 2 - 45u 2 \u003d 5 (x - 3 g) (x + 3 g)

Nefaktorizē

Grupēšanas metode

Slaids tiek izmantots, lai pārbaudītu paveikto darbu, vienlaikus pievēršot uzmanību faktam, ka pēdējais piemērs ir jāapvieno ar divām paplašināšanas metodēm (kopējā faktora iekavas un samazinātas reizināšanas formulu)

Studenti novērtē paveikto, ievada rezultātus vērtēšanas lapās un formulē arī stundas tēmu

3. Uzdevumu izpilde (studenti tiek aicināti izpildīt uzdevumu. Apspriežot risinājumu grupā, bērni nonāk pie secinājuma, ka ir nepieciešami vairāki veidi, kā šos polinomus faktorizēt. Komandai, kas vispirms piedāvā pareizu sadalījumu, ir tiesības rakstīt pierakstiet tā risinājumu uz tāfeles, pārējie pierakstiet to piezīmju grāmatiņā. Komanda ir izveidojusi darbu, lai palīdzētu studentiem, kuriem ir grūti tikt galā ar uzdevumu)

1) 2a 2 - 2.b 2

5) 5m 2 + 5n 2 - 10mn

9) 84 - 42y - 7xy + 14x

13) x 2 y + 14xy 2 + 49g 3

2) 3.a 2 + 6ab + 3b 2

6) cx 2 - cy 2

10) -7b 2 - 14bc - 7c 2

14) 3ab 2 - 27.a

3) x 3 - 4x

7) -3x 2 + 12x - 12

11) 3x 2 - 3

15) -8a 3 b + 56a 2 b 2 - 98ab 3

4) 3ab + 15b - 3a - 15

8) x 4 - x 2

12) c 4 - 81

16) 0 , 09t 4 - t 6

4. Pēdējais posms -

Polinoma faktors

Kopējā faktora ņemšana vērā

Grupēšanas metode

Saīsināta reizināšanas formula

Nodarbības kopsavilkums. Studenti atbild uz jautājumiem: Kādu uzdevumu mēs izvirzījām? Vai mēs varējām atrisināt uzdoto uzdevumu? Kā? Kādi ir rezultāti? Kādā veidā tiek polinoms faktorizēts? Kādiem uzdevumiem šīs zināšanas var pielietot? Ko jūs nodarbībā izdarījāt labi? Pie kā vēl jāpiestrādā?

Stundas laikā skolēni sevi novērtēja, stundas beigās viņiem tiek lūgts saskaitīt saņemtos punktus un piešķirt vērtējumu atbilstoši piedāvātajai skalai.

Skolotāja pēdējais vārds: Šodien stundā mēs iemācījāmies noteikt, kādas metodes būtu jāizmanto, lai aprēķinātu polinomus. Lai konsolidētu paveikto darbu

Mājas darbs: 19.§, 708. nr., 710. nr

Papildu uzdevums:

Atrisiniet vienādojumu x 3 + 4x 2 \u003d 9x + 36

• Iemaņu veidošana dažādu faktoru izmantošanas metožu pielietošanai.
• Veicināt runas kultūras, ierakstīšanas precizitātes, neatkarības izglītošanu.
• Prasmju veidošana daļējas meklēšanas aktivitātēs: izprast problēmu, analizēt, izdarīt secinājumus.

Aprīkojums: mācību grāmata, tāfele, piezīmju grāmatiņa, kartes ar uzdevumiem.

Nodarbības veids: ZUN lietošanas nodarbība.

Mācību metode: problemātiska, daļēji izpētoša.

Izglītības aktivitāšu organizācijas forma: grupa, frontālā, individuālā, darbs divatā.

Ilgums: 1 nodarbība (45 min)

Nodarbības plāns:

1. Nodarbības sākuma organizēšana. (1 min)
2. Mājas darbu pārbaude. (2 minūtes)
3. Atjaunināšana. (5 minūtes)
4. Mācīties jaunu materiālu. (10 minūtes)
5. Jauna materiāla nodrošināšana. (15 minūtes)
6. Zināšanu kontrole un pašpārbaude. (8 minūtes)
7. Apkopojot. (2 minūtes)
8. Mājasdarbs. (2 minūtes)

Nodarbību laikā

I. Organizatoriskais moments

Sveiki puiši.

Nodarbības tēma ir “Dažādu faktoru izmantošanas metožu izmantošana”. Šodien mēs būsim kopā ar jums, lai veidotu prasmes izmantot dažādas faktoringa metodes un vēlreiz pārliecinātos par polinoma faktora izmantošanas spējas lietderību.

Es novēlu jums aktīvi strādāt stundā. (Uzrakstiet tēmu piezīmju grāmatiņā).

II. Mājas darbu pārbaude

Pirms stundas sākuma studenti iesniedz pārskatīšanai burtnīcas ar pabeigtiem mājas darbiem. Tiek apspriesti jautājumi, kas radīja grūtības.

III. Pamatzināšanu atjaunināšana.

Pirms sākam risināt problēmas, pārbaudīsim, cik esam tam gatavi. Atcerēsimies, ko mēs zinām par stundas tēmu.

3.1. Frontālā aptauja:

a) Ko nozīmē polinoma faktors?
b) Kādas ir galvenās metodes, kā jūs zināt polinomu faktoros?
c) Jebkuru polinomu var faktorizēt? Piemēram?
d) Kādos uzdevumos dažreiz ir lietderīgi izmantot faktorizāciju?

3.2. Ar līnijām savienojiet polinomus ar attiecīgajām faktorizācijas metodēm.

3.3. Atrodiet nepareizu paziņojumu:

a) a 2 + b 2 - 2ab \u003d (a - b) 2

b) m 2 + 2 mn - n 2 \u003d (m - n) 2

c) –2pt + p 2 + t 2 \u003d (p - t) 2

d) 25 - 16 s 2 \u003d (5 - 4 s) (5 - 4 s) (kļūdas b, d)

3.4. Klāt kā darbs:a) 64x2-1; b) (d - 3) 2 - 36;

3.5. Atrisiniet vienādojumu x 2 - 16 \u003d 0 (4; –4)

3.5. Atrodiet izteiksmes vērtību 34 2 – 24 2 (580)

IV. Materiāla izpēte

Lai koeficientētu polinomus, mēs izmantojām iekavas, grupēšanu un saīsinātas reizināšanas formulas.

Vai jūs domājat, ka ir situācijas, kurās ir iespējams faktorizēt polinomu, izmantojot vairākas metodes pēc kārtas?

Šis uzdevums palīdzēs mums atrast atbildi uz šo jautājumu:

Faktors polinoms un norāda, kuras metodes tika izmantotas. ( Darbs divatā, pēc tam lēmums valdē)

1.9x 3 - 36x piemērā izmantotas 2 metodes:

2.a piemērā 2 + 2ab + b 2 - c 2 pielietotas 2 metodes:

• grupēšana;
• izmantojot saīsinātas reizināšanas formulas.

Piemērs 3.y 3 - 3y 2 + 6y - 18 izmantoja 3 metodes:

• grupēšana;
• izmantojot saīsinātas reizināšanas formulas;
• kopējās faktora izņemšana no iekavām.

Piemērs 4.x 3 + 3x 2 + 2x lietotas 3 metodes:

• kopīgā faktora izņemšana no iekavām;
• iepriekšēja pārveidošana;
• grupēšana.

Mēs secinām: dažreiz ir iespējams aprēķināt polinomu, pēc kārtas piemērojot vairākas metodes. Lai veiksmīgi risinātu šos piemērus, šodien izstrādāsim plānu to konsekventai piemērošanai:

1. Izņemiet kopējo faktoru (ja tāds ir).
2. Mēģiniet faktorizēt polinomu, izmantojot saīsinātās reizināšanas formulas.
3. Mēģiniet pielietot grupēšanas metodi (ja iepriekšējās metodes nav novedušas pie mērķa).

V. Vingrinājumi, lai nostiprinātu norādīto tēmu

5.1. Dažādu faktorizācijas metožu kombinācija ļauj ērti un graciozi veikt aritmētiskos aprēķinus, atrisināt formas ax 2 + bx + c \u003d 0 (a ≠ 0) vienādojumus (šādus vienādojumus sauc par kvadrātiskiem, tos pētīsim 8. klasē) .

* Atrisiniet vienādojumu: a) x 2 - 17x + 72 \u003d 0, b) x 2 + 10x + 21 \u003d 0

Padoms: Daži polinoma termini tiek sadalīti vajadzīgajos terminos vai tiek papildināti, pievienojot tam kādu terminu. Pēdējā gadījumā, lai polinoms nemainītos, no tā tiek atņemts viens un tas pats termins.

(Divi studenti piezīmju grāmatiņā neatkarīgi risina vienādojumus. Atbilde: a) 8; 9; b) - 1; - pieci).

Veiciet vingrinājumu no mācību grāmatas Nr. 1016 (c), 1017 (c), 186. lpp

(Divi studenti risina uz tāfeles, pārējie - pēc piezīmju grāmatiņā esošajām iespējām).

5.2. Atrisināt vienādojumus ( Studenti strādā pāros, pēc tam veic pašpārbaudi)

Nr. 949, 177. lpp. A) x 3 - x \u003d 0 b) 9x - x 3 \u003d 0 c) x 3 + x 2 \u003d 0 d) 5x 4 - 2x 2 \u003d 0

** (Individuālie uzdevumi sagatavotākiem studentiem)

1. karte	2. karte	3. karte
Atrisiniet vienādojumu un norādiet sakņu summu x 2 + 3x + 6 + 2x \u003d 0		Atrisiniet vienādojumu un norādiet sakņu summu

x (x + 3) +2 (3 + x) \u003d 0 summa ir -5

Šī vienādojuma sakņu summa:

Vienādojuma sakņu summa:

Vi. Zināšanu kontrole un pašpārbaude.

Apskatāmais temats ir neatņemama GIA matemātikā. Lai kontrolētu un pārbaudītu zināšanas par šo tēmu, jūs esat aicināts izpildīt pārbaudes uzdevumus no GIA apmācības uzdevumiem. Apļojiet atbildi testa vienumos.

Individuāls darbs ar kartēm: (Studenti veic pārbaudes uzdevumus GIA, + pašpārbaude)

Kuras no šīm izteiksmēm ir identiski vienādas ar 4x-10y 2 (2x-5g) -2 (5g-2x) -10u-4x -10g + 4x? a) 1; 3; b) viss; c) 1; 2; 4; apspiešana	Kuras no šīm izteiksmēm ir identiski vienādas - 3 (-2a + y) -3 (-y + 2a) 6.a – 3g 3 (2a-y) 3u-6a? un viss; b) 2; y) 2; 3; c) 1; 4	Kuras no šīm izteiksmēm ir identiski vienādas ar -6a + 12p -6 (a-2p) 12p-6a 6 (-a + 2p) -6 (-p + a)? a) 1; pavisam; c) 2; 4; d) 1; 3
3a 3 -3a 2 -5a + 5. a) (a-1) (3a2 +5); b) (a + 1) (3a2 -5); c) (a-1) (5-3a2); f) (a-1) (3a 2 +5).	Pārstāvēt kā polinomu produktu 13ax-26x-5av + 10v. e) (a-2) (13x-5c); b) (a + 2) (3x-5c); c) (3a-6) (4x-c); d) (a-2) (5c-3x).	Pārstāvēt kā polinomu produktu bу-6b-5y 2 + 30y. a) (6-y) (b-5y); b) (y -6) (b + 5y); c) (y -6) (b-5y); d) (y -6) (5y-b).
Veiciet darbības: (5.a-c) 2. a) 25a2 + 10ac + s2; b) 25a2 + 10ac-s2; p) 25a2 -10ac + c2; d) 25a2 -5ac + s2.	Izpildiet darbības: (5x + 2g) 2. a) 25x2 + 20xy + 4y2; panākumi

Skolotājs: Pārbaudīsim atbildes. Izlasiet saņemtos vārdus. Tieši šie ir vārdi, kas pavada septītās klases skolēnus, gatavojoties GIA 9. klasē.

Vii. Nodarbības kopsavilkums

Skolotājs veic priekšstatu par stundas galvenajiem posmiem, novērtē skolēnu darbu un vada studentus viņu mājas darbos.

VIII. Mājasdarbs:38. lpp., Nr. 950 (177. lpp.), Nr. 1016 (g), 1017 (g), 186. lpp.

** Atrodiet izteiksmes (x + 3) 2 -2 (x + 3) (x-3) + (x-3) 2 vērtību pie x \u003d 100.

Šīs izteiksmes vērtība nav atkarīga no x izvēles.

Nodarbība ir beigusies. Paldies par nodarbību un atcerieties, ka zināšanas, kuras katru dienu netiek papildinātas, katru dienu samazinās.

Lietotas grāmatas:

1. Mācību grāmata "Algebra 7. klase". Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk et al. Ed. S.A. Telyakovsky. - M.; Apgaismība, 2009.
2. Testa priekšmetu kolekcija tematiskai un galīgai kontrolei. Algebra 7.I.L. Guseva un citi - M.; Intelektu centrs, 2009.
3. Valsts galīgā apliecība (jaunā formā): 9. pakāpe. Tematiskie apmācības uzdevumi. Algebra / FIPI autors-sastādītājs: V.L. Kuzņecova. - M.: Eksmo, 2010. gads.

Polinomi ir vissvarīgākais matemātiskās izteiksmes veids. Pamatojoties uz polinomiem, tiek konstruēts daudz vienādojumu, nevienādību, funkciju. Dažādas sarežģītības pakāpes problēmas bieži satur daudzpusīgu polinomu pārveidošanas posmus. Tā kā matemātiski jebkurš polinoms ir vairāku monomālu algebriska summa, visradikālākās un nepieciešamākās izmaiņas ir polinomu virknes pārveidošana divu (vai vairāku) faktoru reizinājumā. Vienādojumos, kuriem ir iespēja nulles vienā no daļām, polinoma pārveidošana faktoros ļauj kādu daļu pielīdzināt nullei un tādējādi atrisināt visu vienādojumu.

Iepriekšējās video konsultācijas mums parādīja, ka ir trīs galvenie veidi, kā pārveidot polinomus par faktoriem lineārajā algebrā. Tas ir kopējā faktora noņemšana no iekavām, pārgrupēšana pēc līdzīgiem terminiem, saīsinātu reizināšanas formulu izmantošana. Ja visiem polinoma noteikumiem ir kāda kopīga bāze, tad to var viegli izņemt no iekavām, iekavās atstājot atlikumus no dalījumiem modificēta polinoma veidā. Bet biežāk viens faktors neatbilst visiem monomāliem, ietekmējot tikai daļu no tiem. Turklāt otrai monomāļu daļai var būt savs kopīgais pamats. Šādos gadījumos tiek izmantota grupēšanas metode - faktiski vairāku faktoru iekavās un sarežģītas izteiksmes izveidošana, kuru var pārveidot citos veidos. Un, visbeidzot, ir vesela virkne īpašu formulu. Tos visus veido abstrakti aprēķini, izmantojot vienkāršāko terminu pa reizināšanai reizināšanas metodi. Aprēķinu laikā daudzi sākotnējās izteiksmes elementi tiek atcelti, atstājot mazus polinomus. Lai katru reizi netiktu veikti apjomīgi aprēķini, varat izmantot gatavas formulas, to reversās versijas vai vispārīgus šo formulu secinājumus.

Praksē bieži gadās, ka vienā vingrinājumā jums jāapvieno vairākas metodes, ieskaitot tās, kas ietilpst polinomu pārveidošanas kategorijā. Apskatīsim piemēru. Faktors ar binomu:

Izņemiet kopējo koeficientu 3x:

3x3 - 3xy2 \u003d 3x (x2 - y2)

Kā redzat videoklipā, otrajā iekavās ir kvadrātu starpība. Mēs izmantojam apgriezto formulu samazinātai reizināšanai, iegūstot:

3x (x2 - y2) \u003d 3x (x + y) (x - y)

Vēl viens piemērs. Mēs pārveidojam formas izteiksmi:

18a2 - 48a + 32

Mēs samazinām skaitliskos koeficientus, no iekavām izņemot divus:

18a2 - 48a + 32 \u003d 2 (9a2 - 24a + 16)

Lai atrastu piemērotu formulu saīsinātai reizināšanai šim gadījumam, ir nedaudz jālabo izteiksme, pielāgojot to formulas nosacījumiem:

2 (9a2 - 24a + 16) \u003d 2 ((3a) 2 - 2 (3a) 4 + (4) 2)

Dažreiz nav tik viegli redzēt formulu neskaidros vārdos. Jums jāizmanto izteiksmes sadalīšanas metodes tās elementos vai jāpievieno iedomāti konstrukciju pāri, piemēram, + x-x. Labojot izteicienu, mums jāievēro zīmju nepārtrauktības un izteiksmes nozīmes saglabāšanas noteikumi. Tajā pašā laikā jums jācenšas panākt, lai polinoms pilnībā atbilstu formulas abstraktajai versijai. Piemēram, mēs izmantojam formulu starpības kvadrātam:

2 ((3а) 2 - 2 (3а) 4 + (4) 2) \u003d 2 (3а - 4)

Atrisināsim grūtāku vingrinājumu. Faktors polinoms:

Y3 - 3y2 + 6y - 8

Vispirms izveidosim ērtu grupēšanu - pirmais un ceturtais elements vienā grupā, otrais un trešais otrajā:

Y3 - 3y2 + 6y - 8 \u003d (y3 - 8) - (3y2 - 6y)

Ņemiet vērā, ka zīmes otrajās iekavās ir mainītas, jo mīnusu esam pārvietojuši ārpus izteiksmes. Pirmajās iekavās mēs varam rakstīt šādi:

(y3 - (2) 3) - (3y2 - 6y)

Tas ļauj jums izmantot saīsināto reizināšanas formulu, lai atrastu atšķirību starp kubiem:

(y3 - (2) 3) - (3y2 - 6y) \u003d (y - 2) (y2 + 2y + 4) - (3y2 - 6y)

No otrajām iekavām mēs izņemam kopējo koeficientu 3y, pēc kura mēs izņemam iekavas (y - 2) no visas izteiksmes (binomālā), mēs dodam līdzīgus terminus:

(y - 2) (y2 + 2y + 4) - (3y2 - 6y) \u003d (y - 2) (y2 + 2y + 4) - 3y (y - 2) \u003d
\u003d (y - 2) (y2 + 2y + 4 - 3y) \u003d (y - 2) (y2 - y + 4)

Vispārējā tuvinājumā ir noteikts darbību algoritms, risinot šādus vingrinājumus.
1. Mēs meklējam kopējus faktorus visai izteiksmei;
2. Mēs grupējam līdzīgus monomālus, meklējot tiem kopīgus faktorus;
3. Mēs cenšamies piemērotāko izteicienu ievietot iekavās;
4. Mēs izmantojam samazinātas reizināšanas formulas;
5. Ja kādā posmā process nenotiek - mēs ievadām iedomātu izteicienu pāri, piemēram, -x + x, vai citas sevis atcelšanas konstrukcijas;
6. Mēs dodam līdzīgus noteikumus, samazinām nevajadzīgos elementus

Visi algoritma punkti reti ir piemērojami vienā uzdevumā, bet jebkura uzdevuma risināšanas vispārīgo gaitu var ievērot noteiktā secībā.

Nodarbības mērķis:  prasmju veidošana polinoma sadalīšanai faktoros dažādos veidos;  audzināt precizitāti, neatlaidību, smagu darbu, spēju strādāt divatā. Aprīkojums: multimediju projektors, dators, mācību materiāli. Nodarbības plāns: 1. Organizācijas brīdis; 2. Mājas darbu pārbaude; 3. mutvārdu darbs; 4. Mācīties jaunu materiālu; 5. Fiziskā izglītība; 6. Pētāmā materiāla konsolidācija; 7. Darbs divatā; 8. Mājas darbs; 9. Apkopojot. Nodarbības kurss: 1. Organizatoriskais moments. Virziet studentus uz stundu. Izglītība sastāv nevis no zināšanu apjoma, bet gan no visa zināma pilnīgas izpratnes un prasmīgas pielietošanas. (Georgs Hegels) 2. Mājas darbu pārbaude. Uzdevumu analīze, kuru risināšanā studentiem ir grūtības. 3. Mutisks darbs.  koeficients: 1) 2) 3); četri).  Saskaņojiet kreisās un labās kolonnas izteicienus: a. 1.b. 2.c. 3. d. 4. d. 5. ..  Atrisiniet vienādojumus: 1. 2. 3. 4. Mācīties jaunu materiālu. Lai koeficientētu polinomus, mēs izmantojām iekavas, grupēšanu un saīsinātas reizināšanas formulas. Dažreiz polinomu var izdalīt, izmantojot vairākas metodes pēc kārtas. Ja iespējams, konvertēšana jāsāk, kopējo faktoru izslēdzot iekavās. Lai veiksmīgi pievērstos šādiem piemēriem, šodien mēs centīsimies izstrādāt plānu to konsekventai piemērošanai.

150 000 rubļu balvu fonds 11 goda dokumenti Paziņojums par publicēšanu plašsaziņas līdzekļos

Šis ir viens no vienkāršākajiem izteiksmes vienkāršošanas veidiem. Lai piemērotu šo metodi, atcerēsimies reizināšanas izplatības likumu attiecībā pret saskaitīšanu (nebaidieties no šiem vārdiem, jūs noteikti zināt šo likumu, iespējams, ka esat aizmirsis tā nosaukumu).

Likumā teikts: lai reizinātu divu skaitļu summu ar trešo skaitli, jums katrs skaitlis jāreizina ar šo skaitli un jāpievieno iegūtie rezultāti, citiem vārdiem sakot.

Jūs varat arī veikt reverso darbību, un tieši šī reversā darbība mūs interesē. Kā redzams no izlases, kopējo faktoru a var izņemt no iekavas.

Līdzīgu darbību var veikt gan ar mainīgajiem, piemēram, un, piemēram, gan ar skaitļiem :.

Jā, tas ir pārāk elementārs piemērs, tāpat kā iepriekš minētais piemērs, ar skaitļa paplašināšanu, jo visi zina, ka skaitļi ir dalāmi ar, bet ja nu jūs saņemat sarežģītāku izteicienu:

Kā zināt, ar ko, piemēram, skaitli dala, nē, ar kalkulatoru var jebkurš, bet bez tā tas ir vājš? Un tam ir dalāmības zīmes, šīs zīmes patiešām ir vērts zināt, tās palīdzēs ātri saprast, vai ir iespējams ņemt vērā kopīgo faktoru.

Dalāmības kritēriji

Atcerēties tos nav tik grūti, visticamāk, lielākā daļa no viņiem jau bija jums pazīstami, bet kaut kas būs jauns noderīgs atklājums, sīkāka informācija tabulā:

Piezīme: Tabulā trūkst dalāmības ar 4 kritēriju. Ja pēdējie divi cipari dalās ar 4, tad viss skaitlis dalās ar 4.

Kā jums patīk zīme? Iesaku to atcerēties!

Nu, atgriežoties pie izteiciena, vai varat to izņemt no iekavas un ar to pietiek? Nē, matemātiķiem ir pieņemts vienkāršot, tāpēc pilnībā izņem visu, kas tiek izņemts!

Un tāpēc ar spēli viss ir skaidrs, bet kā ir ar izteiksmes skaitlisko daļu? Abi skaitļi ir nepāra, tāpēc jūs nevarat dalīt ar,

Jūs varat izmantot dalāmības zīmi pēc ciparu summas un, no kuras sastāv skaitlis, ir vienāda un dalīta ar, kas nozīmē, ka tā ir dalīta ar.

Zinot to, jūs varat droši sadalīt kolonnā, kā rezultātā iegūstam dalījumu (dalāmības kritēriji noderēja!). Tādējādi mēs varam ievietot numuru ārpus iekavas, tāpat kā y, un kā rezultātā mums ir:

Lai pārliecinātos, ka viss ir pareizi izvērsts, varat pārbaudīt paplašināšanu, reizināšanu!

Arī kopīgo faktoru var izņemt no varas izteiksmēm. Piemēram, šeit jūs redzat kopīgo faktoru?

Visiem šīs izteiksmes locekļiem ir x - mēs izņemam, viss tiek dalīts ar - mēs atkal izņemam, redzam, kas notika :.

2. Saīsinātās reizināšanas formulas

Saīsinātās reizināšanas formulas jau ir minētas teorētiski, ja jūs gandrīz neatceraties, kas tas ir, tad jums vajadzētu to atkal uzlabot.

Nu, ja jūs uzskatāt sevi par ļoti gudru un esat slinks, lai lasītu šādu informācijas mākoni, tad vienkārši lasiet tālāk, apskatiet formulas un nekavējoties ņemiet piemērus.

Šīs sadalīšanās būtība ir pamanīt izteiksmē sev priekšā kādu noteiktu formulu, pielietot to un tādējādi iegūt kaut ko un kaut ko, tas ir, visu sadalījumu. Šīs ir formulas:

Tagad mēģiniet faktorizēt šādus izteicienus, izmantojot iepriekš minētās formulas:

Lūk, kam vajadzēja notikt:

Kā jūs pamanījāt, šīs formulas ir ļoti efektīvs faktoringa veids, tās ne vienmēr ir piemērotas, taču var būt ļoti noderīgas!

3. Grupēšanas vai grupēšanas metode

Un šeit ir vēl viens piemērs jums:

nu, ko jūs ar viņu darīsit? Šķiet, ka tas ir sadalīts kaut ko un uz, un kaut ko uz un uz

Bet jūs nevarat sadalīt visu kopā vienā lietā nav kopīga faktora, kā nemeklēt ko, un aiziet bez faktoringa?

Šeit jums jāparāda sava atjautība, un šīs atjautības nosaukums ir grupa!

To lieto tieši tad, kad ne visiem dalībniekiem ir kopīgi dalītāji. Grupēšanai jums ir nepieciešams atrast terminu grupas, kurām ir kopīgi dalītāji un pārkārtojiet tos tā, lai no katras grupas varētu iegūt vienu un to pašu reizinātāju.

Protams, tas nav jāpārkārto vietās, bet tas dod skaidrību, skaidrības labad jūs varat ievietot atsevišķas izteiksmes daļas iekavās, nav aizliegts tos ievietot tik daudz, cik vēlaties, galvenais nav sajaukt zīmes.

Nav ļoti skaidrs par šo visu? Ļaujiet man paskaidrot ar piemēru:

Polinomā - terminu ieliekam - pēc termiņa - iegūstam

mēs sagrupējam pirmos divus terminus kopā atsevišķās iekavās un arī sagrupējam trešo un ceturto terminu, ņemot mīnusa zīmi ārpus iekavām, mēs iegūstam:

Un tagad mēs atsevišķi aplūkojam katru no diviem "kaudzēm", kuros mēs sadalām izteiksmi ar iekavām.

Viltība ir ielauzties tādās kaudzēs, no kurām jūs varat izņemt pēc iespējas lielāku faktoru, vai, kā šajā piemērā, mēģiniet grupēt dalībniekus tā, lai pēc faktoru noņemšanas no faktoru kaudzēm no iekavas mums būtu vienādi izteiksmes iekavās.

No abām iekavām mēs izņemam kopīgos nosacījumu faktorus no iekavām, no pirmās iekavas un no otrās:

Bet tas nav sadalīšanās!

Pēzelis paplašināšanās, jāpaliek tikai reizināšanai, bet pagaidām polinoms ir vienkārši sadalīts divās daļās ...

BET! Šim polinomam ir kopīgs faktors. to

iekavās un iegūstiet galaproduktu

Bingo! Kā redzat, jau ir produkts un ārpus iekavām nav saskaitīšanas vai atņemšanas, sadalīšanās ir pilnīga, jo mums vairs nav ko izņemt no iekavām.

Var šķist brīnums, ka pēc faktoru ievietošanas ārpus iekavām mums joprojām ir tās pašas izteiksmes iekavās, kuras atkal esam izņēmuši no iekavām.

Un tas nepavisam nav brīnums, fakts ir tāds, ka mācību grāmatās un eksāmenā esošie piemēri ir speciāli izgatavoti tā, lai lielākā daļa izteicienu vienkāršošanas vai faktorizācija ar pareizo pieeju tiem, tos nospiežot pogu, tie ir viegli vienkāršojami un strauji sabrūk kā lietussargs, tāpēc katrā izteiksmē meklējiet to pašu pogu.

Kaut ko es novirzīšu, kas mums tur ir ar vienkāršošanu? Sarežģītais polinoms ieguva vienkāršāku formu:.

Piekrītu, nav tik apjomīgs kā tas bija?

4. Pilnīga kvadrāta izvēle.

Dažreiz, lai piemērotu samazinātas reizināšanas formulas (atkārtojiet tēmu), ir nepieciešams pārveidot esošo polinomu, vienu no tā nosacījumiem uzrādot kā divu terminu summu vai starpību.

Šajā gadījumā jums tas jādara, jūs mācāties no piemēra:

Polinomu šajā formā nevar sadalīt, izmantojot saīsinātas reizināšanas formulas, tāpēc tas ir jāpārveido. Varbūt sākumā jums nebūs acīmredzams, kurā termiņā ielauzties, bet laika gaitā jūs iemācīsities uzreiz redzēt saīsinātās reizināšanas formulas, pat ja tās nav pilnīgi klāt, un jūs ātri noteiksit, kas šeit trūkst pilna formula, bet pagaidām - mācies, students, pareizāk sakot, skolnieks.

Lai iegūtu pilnīgu formulu, šeit ir nepieciešams atšķirības kvadrāts, nevis. Mēs pārstāvam trešo terminu kā starpību, mēs iegūstam: Starpības kvadrāta formulu var izmantot izteiksmei iekavās (nejaukt ar kvadrātu starpību !!!), mums ir :, šai izteiksmei jūs varat izmantot kvadrātu starpības formulu (nejaukt ar starpības kvadrātu !!!), iepazīstinot ar to, kā mēs iegūstam:.

Faktoros sadalīta izteiksme ne vienmēr izskatās vienkāršāka un mazāka nekā pirms sadalīšanās, taču šajā formā tā kļūst mobilāka tādā ziņā, ka jūs nevarat uztraukties par zīmju maiņu un citām matemātiskām nejēdzībām. Nu, šeit jums, lai iegūtu neatkarīgu risinājumu, ir jāņem vērā šādi izteicieni.

Piemēri:

Atbildes:

5. Kvadrātveida trinomiāla faktoring

Kvadrātveida trinomija faktorizācijai skatiet citus sadalīšanās piemērus.

5 polinomu faktorēšanas metožu piemēri

1. Izņemot kopīgo faktoru no iekavām. Piemēri.

Vai atceraties, kas ir izplatīšanas likums? Šis ir noteikums:

Piemērs:

Faktors polinoms.

Lēmums:

Vēl viens piemērs:

Faktors.

Lēmums:

Ja termins ir pilnīgi ārpus iekavām, viens paliek iekavās!

2. Saīsinātās reizināšanas formulas. Piemēri.

Visbiežāk mēs izmantojam formulas kvadrātu starpība, kubu starpība un kubu summa. Vai atceraties šīs formulas? Ja nē, steidzami atkārtojiet tēmu!

Piemērs:

Faktors izteiksme.

Lēmums:

Šajā izteiksmē ir viegli uzzināt atšķirību starp kubiem:

Piemērs:

Lēmums:

3. Grupēšanas metode. Piemēri

Dažreiz ir iespējams samainīt terminus tā, lai no katra blakus esošo terminu pāra varētu izvēlēties vienu un to pašu faktoru. Šo kopējo faktoru var izņemt no iekavas, un sākotnējais polinoms kļūst par produktu.

Piemērs:

Faktors polinoms.

Lēmums:

Terminus mēs sagrupējam šādi:
.

Pirmajā grupā mēs izņemam kopējo faktoru ārpus iekavas, bet otrajā -:
.

Tagad kopīgo faktoru var izņemt arī no iekavām:
.

4. Pilnīga kvadrāta izcelšanas metode. Piemēri.

Ja polinomu var attēlot kā divu izteiksmju kvadrātu starpību, atliek tikai piemērot samazinātas reizināšanas (kvadrātu starpības) formulu.

Piemērs:

Faktors polinoms.

Lēmums:Piemērs:

\\ begin (masīvs) (* (35) (l))
((x) ^ (2)) + 6 (x) -7 \u003d \\ underbrace (((x) ^ (2)) + 2 \\ cdot 3 \\ cdot x + 9) _ (kvadrāts \\ summa \\ ((pa kreisi (x + 3 \\ pa labi)) ^ (2))) - 9-7 \u003d ((pa kreisi (x + 3 \\ pa labi)) ^ (2)) - 16 \u003d \\\\
\u003d \\ pa kreisi (x + 3 + 4 \\ pa labi) \\ pa kreisi (x + 3-4 \\ pa labi) \u003d \\ pa kreisi (x + 7 \\ pa labi) \\ pa kreisi (x-1 \\ pa labi) \\\\
\\ end (masīvs)

Faktors polinoms.

Lēmums:

\\ begin (masīvs) (* (35) (l))
((x) ^ (4)) - 4 ((x) ^ (2)) - 1 \u003d \\ underbrace (((x) ^ (4)) - 2 \\ cdot 2 \\ cdot ((x) ^ (2) ) +4) _ (kvadrāts \\ starpība ((pa kreisi (((x) ^ (2)) - 2 pa labi)) ^ (2))) - 4-1 \u003d ((pa kreisi (((x) ^ (2)) - 2 \\ pa labi)) ^ (2)) - 5 \u003d \\\\
\u003d \\ pa kreisi (((x) ^ (2)) - 2+ \\ sqrt (5) \\ pa labi] \\ pa kreisi (((x) ^ (2)) - 2- \\ sqrt (5) \\ pa labi) \\\\
\\ end (masīvs)

5. Kvadrātveida trinomiāla faktorēšana. Piemērs.

Kvadrātveida trinoms ir formas polinoms, kur nav zināms, ir daži skaitļi un.

Mainīgā vērtības, kas kvadrātveida trinomu paver uz nulli, sauc par trinomiālajām saknēm. Tāpēc trinoma saknes ir kvadrātvienādojuma saknes.

Teorēma.

Piemērs:

Veiksim faktorus kvadrātveida trinomālam:.

Pirmkārt, mēs atrisinām kvadrātvienādojumu: Tagad jūs varat uzrakstīt šī kvadrātiskā trinomija faktorizāciju:

Tagad jūsu viedoklis ...

Mēs esam sīki aprakstījuši, kā un kāpēc ņemt vērā polinomu.

Mēs sniedzām daudz piemēru, kā to izdarīt praksē, norādījām uz kļūmēm, sniedzām risinājumus ...

Ko jūs sakāt?

Kā jums patīk šis raksts? Vai izmantojat šīs metodes? Vai jūs saprotat viņu būtību?

Raksti komentāros un ... gatavojies eksāmenam!

Līdz šim viņš ir vissvarīgākais jūsu dzīvē.