Kā atrast ierobežotus piemērus. Kā atrisināt manekenu ierobežojumus

Limitu teorija - viena no matemātiskās analīzes sadaļām, kuru var apgūt, citi diez vai aprēķina robežas. Jautājums par robežu atrašanu ir diezgan vispārīgs, jo ir desmitiem paņēmienu risinājumu robežas dažāda veida. Tās pašas robežas var atrast gan saskaņā ar L'Hôpital likumu, gan bez tā. Gadās, ka grafiks bezgalīgi mazu funkciju virknē ļauj ātri iegūt vēlamo rezultātu. Lai atrastu jebkuras sarežģītības funkcijas robežu, ir vairākas metodes un triki. Šajā rakstā mēs centīsimies izprast galvenos ierobežojumu veidus, ar kuriem visbiežāk saskaras praksē. Mēs šeit nedosim robežas teoriju un definīciju, internetā ir daudz resursu, kur tas tiek košļāts. Tāpēc ķeramies pie praktiskiem aprēķiniem, tieši šeit: "Es nezinu! Es nezinu, kā! Mums netika mācīts!"

Limitu aprēķināšana, izmantojot aizstāšanu

1. piemērs. Atrodiet funkcijas robežu
Lim ((x ^ 2-3 * x) / (2 * x + 5), x \u003d 3).
Risinājums: šāda veida piemērus teorētiski aprēķina, izmantojot parasto aizstāšanu

Ierobežojums ir 18/11.
Šādās robežās nav nekas sarežģīts un gudrs - viņi aizstāja aprēķināto vērtību, atbildot pierakstīja robežu. Tomēr, pamatojoties uz šādām robežām, visiem tiek mācīts, ka vispirms ir jānomaina vērtība funkcijā. Turklāt robežas ir sarežģītas, tiek ieviests bezgalības, nenoteiktības un tamlīdzīgu jēdziens.

Daliet robežu ar nenoteiktību kā bezgalību ar bezgalību. Nenoteiktības atklāšanas paņēmieni

2. piemērs. Atrodiet funkcijas robežu
Lim ((x ^ 2 + 2x) / (4x ^ 2 + 3x-4), x \u003d bezgalība).
Risinājums: tiek noteikts formas polinoma ierobežojums, kas dalīts ar polinomu, un mainīgais mēdz būt bezgalīgs

Vienkārša vērtības aizstāšana, kurai jāatrod mainīgais, lai atrastu robežas, nepalīdzēs, mēs iegūstam nenoteiktību par formu bezgalība dalīta ar bezgalību.
Sviedru limita teorija Limita aprēķināšanas algoritms ir atrast skaitītājā vai saucējā lielāko grādu "x". Turklāt tas vienkāršo skaitītāju un saucēju, un tiek atrasta funkcijas robeža

Tā kā vērtība mēdz būt nulle ar mainīgo līdz bezgalībai, tā tiek atstāta novārtā vai ierakstīta galīgajā izteiksmē nulles formā

Tūlīt no prakses jūs varat iegūt divus secinājumus, kas ir mājiens aprēķinos. Ja mainīgais mēdz būt bezgalīgs un skaitītāja pakāpe ir lielāka par saucēja pakāpi, tad robeža ir vienāda ar bezgalību. Pretējā gadījumā, ja saucēja polinoma vērtība ir augstāka nekā skaitītājā, robeža ir nulle.
Limitu var uzrakstīt ar formulām šādi

Ja mums ir parastā žurnāla formas funkcija bez frakcijām, tad tā robeža ir vienāda ar bezgalību

Nākamais ierobežojuma veids attiecas uz funkciju uzvedību tuvu nullei.

3. piemērs. Atrodiet funkcijas robežu
Lim ((x ^ 2 + 3x-5) / (x ^ 2 + x + 2), x \u003d 0).
Risinājums: Šeit nav nepieciešams izņemt polinoma augstāko koeficientu. Tieši pretēji, jums jāatrod mazākā skaitītāja un saucēja pakāpe un jāaprēķina robeža

X vērtība ^ 2; x mēdz būt nulle, kad mainīgais mēdz būt nulle. Tāpēc tie tiek atstāti novārtā, tādējādi mēs iegūstam

ka robeža ir 2,5.

Tagad Tu zini kā atrast funkcijas robežu formas polinoma dalīts ar polinomu, ja mainīgais mēdz būt bezgalīgs vai 0. Bet šī ir tikai neliela un vienkārša piemēru daļa. No šī materiāla jūs uzzināsiet kā atklāt funkcijas robežu nenoteiktību.

Ierobežot ar 0/0 tipa nenoteiktību un tā aprēķināšanas metodēm

Visi uzreiz atceras likumu, saskaņā ar kuru jūs nevarat dalīt ar nulli. Tomēr robežu teorija šajā kontekstā nozīmē bezgalīgi mazas funkcijas.
Apskatīsim dažus piemērus skaidrības labad.

4. piemērs. Atrodiet funkcijas robežu
Lim ((3x ^ 2 + 10x + 7) / (x + 1), x \u003d -1).
Risinājums: aizstājot mainīgā x \u003d -1 vērtību saucējā, mēs iegūstam nulli, to pašu, ko mēs iegūstam skaitītājā. Tātad mums ir formas 0/0 nenoteiktība.
Šādas nenoteiktības novēršana ir vienkārša: jums jāfaktorizē polinoms, pareizāk sakot, jāizvēlas faktors, kas funkciju pagriež uz nulli.

Pēc sadalīšanās funkcijas robežu var uzrakstīt kā

Tas ir viss funkcijas robežas aprēķināšanas paņēmiens. Mēs darām to pašu, ja ir polinoma formas robeža, kas dalīta ar polinomu.

5. piemērs. Atrodiet funkcijas robežu
Lim ((2x ^ 2-7x + 6) / (3x ^ 2-x-10), x \u003d 2).
Risinājums: Uz priekšu aizvietošana parāda
2*4-7*2+6=0;
3*4-2-10=0
kas mums ir nenoteiktības tips 0/0.
Sadaliet polinomus ar koeficientu, kas ievada singularitāti


Ir skolotāji, kuri māca, ka 2. kārtas polinomi, tas ir, formas "kvadrātvienādojumi", jāatrisina, izmantojot diskriminantu. Bet reālā prakse rāda, ka tā ir garāka un mulsinošāka, tāpēc atbrīvojieties no norādītā algoritma īpašībām. Tādējādi mēs uzrakstām funkciju galveno faktoru formā un uzskaitām ierobežojumā

Kā redzat, aprēķināt šādas robežas nav nekas grūts. Robežu izpētes laikā jūs zināt, kā sadalīt polinomus, vismaz saskaņā ar programmu, kuru jums jau vajadzēja nokārtot.
Starp uzdevumiem nenoteiktības tips 0/0ir tādi, kuros jāpielieto saīsinātās reizināšanas formulas. Bet, ja jūs tos nezināt, tad, dalot polinomu ar monomālu, jūs varat iegūt nepieciešamo formulu.

6. piemērs. Atrodiet funkcijas robežu
Lim ((x ^ 2-9) / (x-3), x \u003d 3).
Risinājums: mums ir 0/0 tipa nenoteiktība. Skaitītājā mēs izmantojam samazinātas reizināšanas formulu

un aprēķiniet nepieciešamo robežu

Nenoteiktības atklāšanas metode, reizinot ar konjugātu

Metodi piemēro robežām, kurās nenoteiktības rada neracionālas funkcijas. Skaitītājs vai saucējs aprēķina brīdī kļūst nulle, un nav zināms, kā atrast robežu.

7. piemērs. Atrodiet funkcijas robežu
Lim ((sqrt (x + 2) -sqrt (7x-10)) / (3x-6), x \u003d 2).
Lēmums:Mēs attēlojam mainīgo robežas formulā

Aizstāšana dod 0/0 tipa nenoteiktību.
Saskaņā ar robežu teoriju šīs pazīmes apiešanas shēma ir iracionālās izteiksmes reizināšana ar konjugātu. Lai izteiksme nemainītos, saucējs ir jāsadala ar to pašu vērtību

Ar kvadrātu starpības likumu mēs vienkāršojam skaitītāju un aprēķinām funkcijas robežu

Mēs vienkāršojam terminus, kas ierobežojumā rada vienskaitli, un veicam aizstāšanu

8. piemērs. Atrodiet funkcijas robežu
Lim ((sqrt (x-2) -sqrt (2x-5)) / (3-x), x \u003d 3).
Risinājums: Aizstāšana ar priekšu parāda, ka ierobežojumam ir formas 0/0 iezīme.

Lai paplašinātu, mēs reizinām un dalām ar konjugātu ar skaitītāju

Rakstot kvadrātu starpību

Mēs vienkāršojam terminus, kas ievieš singularitāti, un atrodam funkcijas robežu

9. piemērs. Atrodiet funkcijas robežu
Lim ((x ^ 2 + x-6) / (sqrt (3x-2) -2), x \u003d 2).
Risinājums: Formulā aizstājiet 2

Mēs iegūstam nenoteiktība 0/0.
Saucējs jāreizina ar konjugāta izteiksmi, un skaitītājā jāatrisina kvadrātvienādojums vai jāfaktorizē tas faktoros, ņemot vērā vienreizīgumu. Tā kā ir zināms, ka 2 ir sakne, otro sakni atrodam pēc Vietas teorēmas

Tādējādi mēs rakstām skaitītāju formā

un aizstāt limitu

Samazinot kvadrātu starpību, mēs atbrīvojamies no skaitītāja un saucēja vienskaitļiem

Tādā veidā daudzos piemēros varat atbrīvoties no īpatnības, un pielietojums jāatzīmē visur, kur dotā saknes starpība pēc aizstāšanas pārvēršas par nulli. Citi ierobežojumu veidi attiecas uz eksponenciālām funkcijām, bezgalīgi mazām funkcijām, logaritmiem, īpašiem ierobežojumiem un citām metodēm. Bet par to jūs varat lasīt tālāk uzskaitītajos rakstos par ierobežojumiem.

pieteikums

Tiešsaistes ierobežojums studentu un skolēnu pilnīgai nokārtoto materiālu apvienošanai ir ierobežots tiešsaistē. Kā atrast limitu tiešsaistē, izmantojot mūsu resursus? To ir ļoti viegli izdarīt, jums vienkārši pareizi jāraksta oriģinālā funkcija ar x mainīgo, jāizvēlas no atlasītāja vēlamā bezgalība un jānospiež poga “Risinājums”. Gadījumā, ja kādā brīdī x jāaprēķina funkcijas robeža, tad jums ir jāprecizē šī punkta skaitliskā vērtība. Atbildi uz limita atrisināšanu jūs saņemsit dažu sekunžu laikā, citiem vārdiem sakot, uzreiz. Tomēr, ja jūs sniedzat nepareizus datus, pakalpojums automātiski jūs informēs par kļūdu. Izlabojiet iepriekš ievadīto funkciju un iegūstiet pareizo risinājumu līdz robežai. Lai atrisinātu robežas, tiek izmantoti visi iespējamie triki, jo īpaši tiek izmantota L'Hôpital metode, jo tā ir universāla un rada atbildi ātrāk nekā citas funkcijas ierobežojuma aprēķināšanas metodes. Ir interesanti apsvērt piemērus, kuros modulis atrodas. Starp citu, saskaņā ar mūsu resursa noteikumiem modulis tiek apzīmēts ar vertikālu līniju "|" vai Abs (f (x)) no latīņu absolūtā. Bieži vien ir nepieciešams risinājums robežai, lai aprēķinātu skaitļu kārtas summu. Kā visi zina, jums vienkārši ir pareizi jāpauž pētāmās secības daļējā summa, un tad viss ir daudz vienkāršāk, pateicoties mūsu bezmaksas vietnes pakalpojumam, jo \u200b\u200blimita aprēķināšana no daļējās summas ir skaitliskās secības beigu summa. Vispārīgi runājot, teorija par pāreju uz robežu ir visas matemātiskās analīzes pamatjēdziens. Viss precīzi balstās uz pāreju uz robežu, tas ir, robežu risinājums ir ielikts matemātiskās analīzes zinātnes pamatos. Integrācijā tiek izmantota arī pāreja uz robežu, kad integrālis saskaņā ar teoriju tiek attēlots kā neierobežota skaita laukumu summa. Ja kaut kas ir neierobežots, tas ir, objektu skaita tendence uz bezgalību, tad vienmēr stājas spēkā teorija par pāreju uz robežu, un vispārpieņemtā formā tas ir pazīstamo robežu risinājums. Vietnes ierobežojumu tiešsaistes risinājums Vietne ir unikāls pakalpojums, lai reālā laikā saņemtu precīzu un tūlītēju atbildi. Funkcijas robeža (funkcijas ierobežojošā vērtība) noteiktā punktā, funkcijas domēna ierobežojums, ir vērtība, kurai tiek pārsniegta apskatāmās funkcijas vērtība, kad tās argumentam ir tendence uz noteiktu punktu. Tas nav nekas neparasts, un mēs pat ļoti bieži teiktu, ka studentiem, studējot matemātisko analīzi, ir jautājums par tiešsaistes ierobežojumu risināšanu. Domājot par limita risināšanu tiešsaistē ar detalizētu risinājumu tikai īpašos gadījumos, kļūst skaidrs, ka nav iespējams tikt galā ar sarežģītu uzdevumu, neizmantojot aprēķinošo limitu kalkulatoru. Mūsu sniegtais ierobežojumu risinājums ir precizitātes un vienkāršības garantija. Funkcijas ierobežojums ir secības robežas jēdziena vispārinājums: sākotnēji funkcijas robeža vienā punktā tika saprasta kā funkcijas vērtību diapazona elementu secības robeža, kas sastāv no attēla, kurā norādīti funkcijas definīcijas domēna elementu secības punkti, kas saplūst ar noteiktu punktu (robežu). kas tiek apsvērts); ja šāds ierobežojums pastāv, tiek uzskatīts, ka funkcija saplūst ar norādīto vērtību; ja šāda robeža neeksistē, tiek uzskatīts, ka funkcija novirzās. Ierobežojumu samazināšana lietotājiem tiešsaistē kļūst par vienkāršu atbildi, ja viņi zina, kā tiešsaistē noteikt ierobežojumu, izmantojot vietni. Paliksim koncentrēti un neļausimies, lai kļūdas mūs sagādā grūtībās neapmierinošu vērtējumu veidā. Tāpat kā jebkurš tiešsaistes ierobežojumu risinājums, jūsu problēma tiks parādīta ērtā un saprotamā veidā ar detalizētu risinājumu, ievērojot visus noteikumus un noteikumus par risinājuma iegūšanu. Visbiežāk funkcijas robežas definīcija tiek formulēta apkaimju valodā. Šeit funkcijas robežas tiek ņemtas vērā tikai tajos punktos, kas ierobežo funkcijas definēšanas jomu, tas nozīmē, ka katrā noteiktā punkta apkārtnē ir punkti no šīs pašas funkcijas jomas. Tas ļauj mums runāt par funkcijas argumenta tendenci uz noteiktu punktu. Bet definīcijas domēna robežas punktam nav jāpieder pie pašas definīcijas domēna, un tas tiek pierādīts, atrisinot limitu: piemēram, var apsvērt funkcijas robežu atvērtā intervāla galos, uz kuriem funkcija tiek definēta. Šajā gadījumā pašas intervāla robežas nav iekļautas definīcijas apgabalā. Šajā nozīmē dotā punkta caurdurtās apkārtnes sistēma ir īpašs šādas kopas bāzes gadījums. Limitu atrisināšana tiešsaistē, izmantojot detalizētu risinājumu, tiek veikts reālā laikā un skaidri izteiktā formā izmantojot formulas. Jūs varat ietaupīt laiku, un pats galvenais, naudu, jo mēs nepieprasām samaksu. Ja kādā funkcijas laukā kādā brīdī pastāv ierobežojums un šīs robežas risinājums ir vienāds ar funkcijas vērtību šajā brīdī, tad funkcija tajā brīdī izrādās nepārtraukta. Mūsu vietnē limitu risinājums ir pieejams tiešsaistē divdesmit četras stundas dienā, katru dienu un katru minūti.Ļoti svarīgi ir izmantot limitu kalkulatoru, un galvenais ir to izmantot katru reizi, kad ir jāpārbauda savas zināšanas. Studenti gūst labumu no visas šīs funkcijas. Robežas aprēķināšana, izmantojot un piemērojot tikai teoriju, ne vienmēr būs tik vienkārša, kā saka pieredzējuši valsts universitāšu matemātisko fakultāšu studenti. Fakts paliek fakts ar mērķi. Parasti konstatēto robežu risinājums lokāli nav piemērojams problēmu formulēšanai. Students priecāsies, tiklīdz viņš internetā un brīvā piekļuvē atklās limitu kalkulatoru un ne tikai sev, bet visiem. Iecelšana parasti ir uzskatāma par matemātiku, tās izpratni. Ja internetā vaicājat, kā tiešsaistē detalizēti atrast ierobežojumu, vietņu skaits, kas parādās pieprasījuma rezultātā, nepalīdzēs tam, kā mēs to darīsim. Sānu atšķirības reizina ar atgadījuma ekvivalenci. Funkcijas primāri likumīgais ierobežojums jānosaka pēc tā paziņojuma par pašu matemātisko problēmu. Hamiltonam bija taisnība, taču jāņem vērā arī laikabiedri. Ierobežojumu aprēķināšana tiešsaistē nekādā ziņā nav tik grūts uzdevums, kā varētu šķist kādam no pirmā acu uzmetiena .. Lai neizjauktu nesatricināmo teoriju patiesību. Atgriežoties pie sākotnējās situācijas, ir nepieciešams ātri, efektīvi un glīti noformētā veidā aprēķināt robežu. Kā to varēja izdarīt citādi? Šī pieeja ir acīmredzama un pamatota. Limitu kalkulators ir paredzēts, lai palielinātu zināšanas, uzlabotu rakstīšanas kvalitāti mājasdarbs un paaugstinot vispārējo noskaņojumu studentu vidū, tas būs viņiem piemērots. Jums vienkārši jādomā pēc iespējas ātrāk, un prāts triumfēs. Skaidri pateikt tiešsaistes interpolācijas terminu robežas ir ļoti sarežģīta nodarbošanās profesionāļiem savā amatā. Mēs prognozējam neplānotu atšķirību sistēmas attiecību kosmosa punktos. Un atkal problēma tiek samazināta līdz nenoteiktībai, izejot no fakta, ka funkcijas robeža pastāv bezgalībā un noteiktā abscisu ass lokālā punkta noteiktā apkaimē pēc sākotnējās izteiksmes afinētas transformācijas. Būs vieglāk analizēt punktu kāpumu plaknē un kosmosa augšdaļā. IN vispārējā nostāja netiek runāts par matemātiskās formulas atvasināšanu gan dabā, gan teorētiski, tāpēc tiešsaistes limitu kalkulators šajā nozīmē tiek izmantots paredzētajam mērķim. Nedefinējot robežu tiešsaistē, man ir grūti veikt turpmākus aprēķinus izliekto kosmosa pētījumu jomā. Tas nebūtu vieglāk, lai atrastu patieso pareizo atbildi. Vai nav iespējams aprēķināt robežu, ja konkrētais punkts telpā nav iepriekš noteikts? Atspēkosim atbilžu pieejamību mācību jomai. Robežu risinājumu no matemātiskās analīzes viedokļa var uzskatīt par ass punktu secības izpētes sākumu. Pats fakts, ka aprēķins ir spēkā, var nebūt nozīmīgs. Skaitļi ir reprezentatīvi kā bezgalīga secība, un tos identificē ar sākotnējo apzīmējumu pēc tam, kad tiešsaistē saskaņā ar teoriju esam detalizēti atrisinājuši robežu. Tikai pamatots par labāko cenu. Funkciju ierobežojuma rezultāts kā acīmredzami kļūdaini nepareizi uzdota problēma var izkropļot ideju par nestabilas sistēmas reālo mehānisko procesu. Spēja izteikt nozīmi tieši redzamības laukā. Salīdzinot tiešsaistes ierobežojumu ar līdzīgu vienvirziena robežvērtības apzīmējumu, labāk ir izvairīties no tā izteikšanas tieši, izmantojot lietotas formulas. Papildus uzdevuma proporcionālas izpildes sākumam. Mēs paplašinām polinomu pēc tam, kad mums izdodas aprēķināt vienpusējo robežu un pierakstīt to bezgalībā. Vienkāršas pārdomas matemātiskajā analīzē noved pie patiesā rezultāta. Vienkāršs robežu lēmums bieži tiek samazināts līdz atšķirīgai veikto pretējo matemātisko ilustrāciju vienlīdzības pakāpei. Fibonači līnijas un skaitļi atšifrēja tiešsaistes limitu kalkulatoru, atkarībā no tā, jūs varat pasūtīt neierobežotu aprēķinu, un varbūt sarežģītība samazināsies fonā. Notiek grafika atlocīšanas process plaknē trīsdimensiju telpas šķēlē. Tas noveda pie nepieciešamības pēc atšķirīgiem uzskatiem par sarežģītu matemātisku problēmu. Tomēr rezultāts ilgi nebūs jāgaida. Tomēr notiekošais augšupejošā darba realizācijas process izkropļo līniju laukumu un reģistrē tiešsaistes ierobežojumu iepazīšanai ar problēmas formulējumu. Problēmu uzkrāšanas procesa dabiskā gaita nosaka vajadzību pēc zināšanām visās matemātisko disciplīnu jomās. Lielisks limitu kalkulators kļūs par neaizstājamu instrumentu kvalificētu studentu rokās, un viņi novērtēs visas tā priekšrocības salīdzinājumā ar digitālā progresa analogiem. Skolās kaut ko tiešsaistes ierobežojumi sauc citādi nekā institūtos. Funkcijas vērtība pieaugs, mainot argumentu. Pat L'Hospital teica, ka funkcijas robežas atrašana ir tikai puse no cīņas, ir nepieciešams uzdevumu novest pie tā loģiskā secinājuma un atbildi pasniegt paplašinātā formā. Realitāte ir atbilstoša faktu esamībai lietā. Matemātisko disciplīnu vēsturiski svarīgi aspekti ir saistīti ar tiešsaistes robežu un veido skaitļu teorijas izpētes pamatu. Lapas kodējums matemātiskās formulās ir pieejams pārlūkā klienta valodā. Kā aprēķināt robežu ar pieņemamu juridisko metodi, nepiespiežot funkciju mainīt gar abscisas asi. Kopumā telpas realitāte ir atkarīga ne tikai no funkcijas izliekuma vai tās izliekuma. Noņemiet no problēmas visus nezināmos, un, atrisinot ierobežojumus, jūsu matemātiskie resursi tiks samazināti līdz viszemākajām izmaksām. Formulētās problēmas risinājums funkcionalitāti nosaka simtprocentīgi. Notiek paredzamā vērtība detalizēti atklās tiešsaistes ierobežojumu attiecībā uz novirzi no vismazāk nozīmīgajām attiecībām. Pagāja trīs dienas pēc pieņemtā matemātiskā lēmuma par labu zinātnei. Šī ir patiešām atalgojoša darbība. Bez iemesla, kāpēc nav ierobežojumu, tiešsaistē nozīmētu atšķirības vispārējā pieejā situācijas problēmu risināšanā. Labākais nosaukums vienpusējai robežai ar nenoteiktību 0/0 būs pieprasīts nākotnē. Resurss var būt ne tikai skaists un labs, bet arī noderīgs, ja tas var aprēķināt jums ierobežojumu. Lielais zinātnieks kā students pētīja rakstīšanas funkcijas zinātniskais darbs... Ir pagājuši desmit gadi. Pirms dažādām niansēm ir vērts viennozīmīgi komentēt matemātiskās cerības par labu tam, ka funkciju ierobežojums aizņemas principiālu atšķirības. Pēc pasūtījuma pārbaude atbildēja. Matemātikā izņēmuma pozīcija mācīšanā, dīvainā kārtā, ir tiešsaistes robežas izpēte ar savstarpējām ārējām attiecībām. Kā parasti gadījumos tas notiek. Jūs nevarat spēlēt neko. Izanalizējot studentu pieeju matemātiskajām teorijām, mēs pamatīgi atstāsim lēmumu par robežām pēc posma beigām. Šī ir tālāk minētā nozīme, pārbaudiet tekstu. Refrakcija matemātisko izteiksmi unikāli definē kā saņemtās informācijas būtību. tiešsaistes ierobežojums ir definīcijas būtība patiesā nostāja daudzvirzienu vektoru relativitātes matemātiskā sistēma. Šajā ziņā es domāju izteikt pats savu viedokli. Tāpat kā iepriekšējā problēmā. Tiešsaistes atšķirtspēja detalizēti paplašina tās ietekmi uz matemātisko skatu uz secīgu programmas analīzes pētījumu pētījumu jomā. Teorijas kontekstā matemātika ir kaut kas augstāks nekā tikai zinātne. Lojalitāti apstiprina ar darbību. Joprojām nav iespējams apzināti pārtraukt secīgu skaitļu ķēdi, sākot to kustību uz augšu, ja nepareizi aprēķināta robeža. Divpusējā virsma ir izteikta dabiskā formā pilnā izmērā. Lai varētu izpētīt matemātisko analīzi, funkcijas robeža ietver funkcionālās sērijas secību kā epsilona apkārtni noteiktā punktā. Atšķirībā no funkciju teorijas, kļūdas aprēķinos nav izslēgtas, bet to paredz situācija. Dalot ar tiešsaistes problēmas robežu, jūs varat uzzīmēt mainīgas divergences funkciju ātram nelineāras trīsdimensiju telpas sistēmas produktam. Triviālais gadījums ir operācijas pamatā. Lai analizētu šo gadījumu, jums nav jābūt studentam. Notiekošā aprēķina momentu kopums, sākotnēji, robežu risinājums tiek definēts kā visas progresa integrālās sistēmas darbība gar ordinātu asi uz vairākām skaitļu vērtībām. Par bāzes vērtību mēs ņemam mazāko matemātisko vērtību. Secinājums ir acīmredzams. Attālums starp lidmašīnām teorētiski palīdzēs paplašināties tiešsaistes ierobežojumi, jo nozīmīguma cirkumpolārā aspekta atšķirīgas aprēķināšanas metodes piemērošanai nav raksturīgas nozīmes. Lieliska izvēle, ja limitu kalkulators atrodas serverī, to var pieņemt, kā tas ir, netraucējot virsmas izmaiņu nozīmi apgabalos, pretējā gadījumā linearitātes problēma kļūs lielāka. Pilnīga matemātiskā analīze atklāja sistēmas nestabilitāti, kā arī tās aprakstu punkta mazākajā apkārtnē. Kā jebkura funkcijas robeža gar ordinātu un abscisu krustošanās asi, objektu skaitliskās vērtības ir iespējams iekļaut noteiktā minimālā pētniecības procesa funkcionalitātes sadalījuma apkārtnē. Pierakstīsim uzdevumu pa punktam. Ir sadalījums rakstīšanas posmos. Akadēmiskie apgalvojumi, ka robežas aprēķināšana ir patiešām grūta vai nemaz nav vienkārša, tiek atbalstīti, analizējot visu bez izņēmuma studentu un maģistrantu matemātiskos uzskatus. Iespējams starpposma rezultāti ilgi neturēs sevi gaidīt. Iepriekš minēto robežu tiešsaistē detalizēti pēta objektu sistēmas atšķirības absolūto minimumu, kuru pārsniedzot tiek sagrozīta matemātikas telpas linearitāte. Pēc tiešsaistes atņemšanas limita kalkulatora uzrakstīšanas studenti neizmanto lielu laukuma segmentāciju, lai aprēķinātu vairākus koeficientus. Pēc sākuma mēs aizliegsim studentiem pārskatīt uzdevumus matemātikas telpiskās vides izpētei. Tā kā mēs jau esam atraduši funkcijas robežu, izveidosim tās pētījuma grafiku plaknē. Atlasiet ordinātu asis ar īpašu krāsu un parādiet līniju virzienu. Ir stabilitāte. Atbildes rakstīšanas laikā nenoteiktība pastāv jau ilgu laiku. Aprēķiniet funkcijas robežu vienā punktā, vienkārši analizējot robežu starpību bezgalībā sākotnējie nosacījumi... Šī metode nav zināma katram lietotājam. Mums nepieciešama matemātiska analīze. Robežu lēmums uzkrāj pieredzi paaudžu prātos daudzus nākamos gadus. Procesu nav iespējams nesarežģīt. Par tā secinājumu ir atbildīgi visu paaudžu studenti. Viss iepriekš minētais var sākt mainīties, ja nav fiksējoša argumenta funkciju pozīcijai tuvu kādam punktam, kas skaitļošanas jaudas atšķirības ziņā atpaliek no limitu kalkulatoriem. Izpētīsim funkciju, lai iegūtu iegūto atbildi. Secinājums nav acīmredzams. Pēc matemātisko izteiksmju pārveidošanas no kopējā skaita izslēdzot netieši definētas funkcijas, pēdējais solis ir pareizi un ļoti precīzi atrast robežas tiešsaistē. Tas tika likts uz izdotā lēmuma pieņemamības pārbaudi. Process turpinās. Bloķējiet secību atsevišķi no funkcijām, un, pielietojot kolosālo pieredzi, matemātiķiem jāaprēķina robeža, kas attaisno pareizo virzienu pētījumā. Šādam rezultātam nav vajadzīgs teorētisks pieaugums. Mainiet skaitļu proporciju dažos abscisu ass nulles punkta apkaimēs virzienā uz tiešsaistes mainīgā telpiskā slīpuma leņķa robežu kalkulatoru zem rakstītās problēmas matemātikā. Savienosim divas zonas kosmosā. Izšķirošo domstarpības par to, kā funkcijas robeža iegūst vienpusēju vērtību īpašības telpā, nevar ignorēt, pastiprināti kontrolējot studentu sniegumu. Matemātikas tiešsaistes robežlīnija ir ieņēmusi vienu no vismazāk apstrīdētajām pozīcijām par nenoteiktību tieši šo robežu aprēķināšanā. Tiešsaistes ierobežojumu kalkulators vienādainu trijstūru un kubu augstumam ar trim apļa rādiusiem sānos palīdzēs studentam mācīties no galvas jau agrīnā zinātnes stadijā. Atstāsim uz studentu sirdsapziņas robežu risināšanu funkcionējošas matemātiski novājinātas sistēmas izpētē no pētījuma plaknes puses. Runājot par skaitļu teoriju, studenta viedoklis ir neskaidrs. Katram ir savs viedoklis. Pareizais virziens matemātikas studijās palīdzēs aprēķināt robežu patiesajā nozīmē, kā tas ir pieņemts attīstīto valstu universitātēs. Kotangents matemātikā tiek aprēķināts kā limitu kalkulators, un tas ir divu citu elementāru koeficients trigonometriskās funkcijas, proti, argumenta kosinuss un sinuss. Tas ir risinājums segmentu samazināšanai uz pusi. Cita pieeja, visticamāk, neatrisinās situāciju par labu pagājušajam brīdim. Mēs varam ilgi runāt, kā ir ļoti grūti un bezjēdzīgi detalizēti atrisināt tiešsaistes limitu, nedomājot, taču šī pieeja mēdz veidot studentu iekšējo disciplīnu uz labo pusi.

Mēs turpinām analizēt gatavas atbildes par robežu teoriju un šodien pievērsīsimies tikai gadījumam, kad mainīgais funkcijā vai skaitlis secībā tiecas līdz bezgalībai. Norādījums robežas aprēķināšanai ar mainīgo, kas tiecas uz bezgalību, tika dots iepriekš, šeit mēs pakavēsimies tikai pie atsevišķiem gadījumiem, kas nav visiem acīmredzami un vienkārši.

35. piemērs. Mums ir secība daļas veidā, kur skaitītājs un saucējs ir saknes funkcijas.
Ir jāatrod robeža, kad skaitlis tiecas līdz bezgalībai.
Šeit skaitītājā nav nepieciešams atklāt iracionalitāti, bet tikai rūpīgi analizēt saknes un atrast, kur atrodas skaitļa augstākā pakāpe.
Pirmajā skaitītāja saknēm ir koeficients n ^ 4, tas ir, no iekavām var izņemt n ^ 2.
Darīsim to pašu ar saucēju.
Tālāk mēs novērtējam radikālo izteicienu vērtību pārejā uz robežu.

Dabūja dalījumu ar nulli, kas ir nepareizi skolas kurss, bet tas ir pieļaujams, pārejot uz robežu.
Tikai ar grozījumu "lai novērtētu, kur funkcija ir vērsta".
Tāpēc ne visi skolotāji var interpretēt norādīto ierakstu kā pareizu, lai gan viņi saprot, ka iegūtais ieraksts no tā nemainīsies.
Apskatīsim atbildi, kas apkopota atbilstoši skolotāju prasībām pēc teorijas.
Vienkāršības labad mēs novērtēsim tikai galvenos dodankas zem saknes

Turklāt skaitītājā grāds ir 2, saucējā 2/3, tāpēc skaitītājs aug ātrāk, kas nozīmē, ka robeža mēdz būt bezgalīga.
Tās zīme ir atkarīga no n ^ 2, n ^ (2/3) faktoriem, tāpēc tā ir pozitīva.

36. piemērs. Apsveriet eksponenciālu funkciju dalīšanas ierobežojuma piemēru. Tiek apsvērti daži šādi praktiski piemēri, tāpēc ne visi studenti var viegli saprast, kā atklāt neskaidrības, kas rodas.
Maksimālais skaitītāja un saucēja koeficients ir 8 ^ n, un mēs to vienkāršojam

Tālāk mēs novērtējam katra termina ieguldījumu
Termini 3/8 mēdz būt nulle, mainīgajam nonākot līdz bezgalībai, jo 3/8<1 (свойство степенно-показательной функции).

37. piemērs. Secības ar faktoriāliem ierobežojums tiek paplašināts, piešķirot faktoriālu skaitītājam un saucējam lielākajam kopējam faktoram.
Tad mēs to samazinām un novērtējam robežu pēc skaitļa un saucēja skaitļa rādītāju vērtības.
Mūsu piemērā saucējs aug ātrāk, tāpēc robeža ir nulle.


Šeit tiek izmantots šāds

faktoriālais īpašums.

38. piemērs. Nepiemērojot L'Hôpital likumus, mēs salīdzinām mainīgā lieluma rādītājus frakcijas skaitītājā un saucējā.
Tā kā saucējā ir mainīgā lieluma 4\u003e 2 augstākais rādītājs, tas aug ātrāk.
Tādējādi mēs secinām, ka funkcijas robeža mēdz būt nulle.

39. piemērs. Mēs atklājam formas bezgalības, kas dalīta ar bezgalību, singularitāti, izmantojot metodi x ^ 4 pārnešanai no frakcijas skaitītāja un saucēja.
Ejot uz robežu, mēs iegūstam bezgalību.

40. piemērs. Mums ir polinomu dalījums, ir jānosaka robeža, jo mainīgais mēdz būt bezgalīgs.
Lielākā mainīgā jauda skaitītājā un saucējā ir 3, kas nozīmē, ka robeža pastāv un ir vienāda ar tēraudu.
Izņemiet x ^ 3 un veiciet pāreju līdz robežai

41. piemērs. Mums ir viena veida vienskaitlis līdz bezgalības pakāpei.
Tas nozīmē, ka izteiksme iekavās un pats rādītājs jāsamazina zem otrās svarīgās robežas.
Pierakstīsim skaitītāju, lai izvēlētos izteicienu, kas ir identisks tajā esošajam saucējam.
Tālāk mēs pievērsīsimies izteiksmei, kas satur vienu plus vārdu.
Pakāpe jānošķir ar koeficientu 1 / (termins).
Tādējādi mēs iegūstam eksponentu frakcionētās funkcijas robežas jaudā.

Funkciju atvēršanai tika izmantots otrais ierobežojums:

42. piemērs. Mums ir viena veida vienskaitlis līdz bezgalības pakāpei.
Lai to atklātu, funkcija jāsamazina līdz otrajam ievērojamajam līmenim.
Kā to izdarīt, detalizēti parādīts zemāk esošajā formulā.


Jūs varat atrast daudz līdzīgu uzdevumu. To būtība ir iegūt vēlamo grādu eksponentā, un tas ir vienāds ar termina abpusējo iekavās vienotībā.
Izmantojot šo metodi, mēs iegūstam eksponentu. Turpmākais aprēķins tiek samazināts līdz eksponenta pakāpes robežas aprēķināšanai.
Šeit eksponenciālā funkcija mēdz būt bezgalīga, jo vērtība ir lielāka par vienu e \u003d 2,72\u003e 1.

43. piemērs Frakcijas saucējā mums ir nenoteiktība tipa bezgalība mīnus bezgalība, faktiski vienāds dalījums līdz nullei.
Lai atbrīvotos no saknes, mēs reizinām ar konjugāta izteiksmi un pēc tam pārrakstām saucēju, izmantojot kvadrātu starpības formulu.
Mēs iegūstam nenoteiktības bezgalību, kas dalīta ar bezgalību, tāpēc mēs vislielākajā mērā izņemam mainīgo un ar to samazinām.
Tālāk mēs novērtējam katra termina ieguldījumu un atrodam funkcijas robežu bezgalībā

Pastāvīgais skaitlis un sauca ierobežot secības(x n) ja ir kāds patvaļīgi mazs pozitīvs skaitlisε > 0 ir skaitlis N, kas ir visas vērtības x n , kuriem n\u003e N, apmierina nevienādību

| x n - a |< ε. (6.1)

Viņi to raksta šādi: vai x n → a.

Nevienlīdzība (6.1.) Ir līdzvērtīga divkāršai nevienādībai

a- ε< x n < a + ε, (6.2)

kas nozīmē, ka punkti x n, sākot ar skaitli n\u003e N, atrodas intervālā (a-ε, a + ε ), t.i. iekrist jebkuros mazosε - punkta apkārtne un.

Tiek saukta secība, kurai ir ierobežojums saplūst, citādi - atšķirīgi.

Funkcijas robežas jēdziens ir sekvences limita jēdziena vispārinājums, jo sekvences robežu var uzskatīt par veselu argumentu funkcijas x n \u003d f (n) robežu. n.

Ļaujiet dot funkcijai f (x) un ļaut a - robežpunkts šīs funkcijas domēns D (f), t.i. punkts, kura jebkura apkaime satur kopas D (f) punktus, kas atšķiras no a... Punkts a var vai nevar piederēt pie kopas D (f).

1. definīcija Tiek izsaukts pastāvīgais skaitlis A ierobežot funkcija f (x) plkstx →a ja jebkurai argumentu vērtību sekvencei (x n) ir tendence uz un, atbilstošajām sekvencēm (f (x n)) ir tāda pati A robeža.

Šī definīcija tiek saukta funkcijas Heine robežas noteikšanu, vai " secības valodā”.

2. definīcija... Tiek izsaukts pastāvīgais skaitlis A ierobežot funkcija f (x) plkst x →a ja, nosakot patvaļīgu patvaļīgi mazu pozitīvs skaitlis ε , var atrast šādu δ \u003e 0 (atkarībā no), kas visiem xguļ iekšāSkaitļa ε apkārtne un, t.i. priekš xnevienlīdzības apmierināšana
0 < x-a< ε , funkcijas f (x) vērtības atradīsiescipara ε apkārtne, t.i.| f (x) -A |< ε.

Šī definīcija tiek saukta funkcijas Cauchy robežas definīciju,vai “Valodā ε - δ “.

1. un 2. definīcija ir līdzvērtīgas. Ja funkcija f (x) kā x → a ir ierobežotvienāds ar A, tas tiek rakstīts kā

. (6.3)

Ja secība (f (x n)) palielinās (vai samazinās) uz nenoteiktu laiku jebkurai tuvināšanas metodei x līdz jūsu robežai un, tad mēs sakām, ka funkcijai f (x) ir bezgalīgs ierobežojums, un pierakstiet to kā:

Tiek saukts mainīgais (t.i., secība vai funkcija), kura robeža ir nulle bezgala maza vērtība.

Tiek saukts mainīgais, kura robeža ir vienāda ar bezgalību bezgala liels.

Lai praksē atrastu robežu, izmantojiet šādas teorēmas.

1. teorēma ... Ja ir visas robežas

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Komentārs... Izteicieni, piemēram, 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - ir nenoteikti, piemēram, divu bezgalīgi mazu vai bezgalīgi lielu daudzumu attiecība, un šāda veida robežas atrašanu sauc par “nenoteiktību atklāšanu”.

2. teorēma. (6.7)

tiem. jo īpaši ar pastāvīgu eksponentu, jūs varat nokļūt līdz robežai pakāpes pamatnē, ;

(6.8)

(6.9)

3. teorēma.

(6.10)

(6.11)

kur e » 2.7 ir dabiskā logaritma bāze. Formulas (6.10.) Un (6.11.) Sauc par pirmajām brīnišķīga robežaun otrā ievērojamā robeža.

Praksē tiek izmantotas arī formulas (6.11) sekas:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

it īpaši robeža

Ja x → a un vienlaikus x\u003e a, tad viņi raksta x → a + 0. Ja it īpaši a \u003d 0, tad simbola 0 + 0 vietā rakstiet +0. Līdzīgi, ja x →a un, turklāt, x a-0. Cipari un tiek attiecīgi saukti pareizā robeža un kreisā robeža funkcija f (x) punktā un... Lai funkcijai f (x) būtu robeža kā x →a ir nepieciešams un pietiekams, lai ... Tiek izsaukta funkcija f (x) nepārtraukts punktāx 0, ja robeža

. (6.15)

Nosacījumu (6.15.) Var pārrakstīt šādi:

,

tas ir, pāreja uz robežu zem funkcijas zīmes ir iespējama, ja tā noteiktā punktā ir nepārtraukta.

Ja tiek pārkāpta vienlīdzība (6.15.), Tad to saka plkst x \u003d x o funkcija f (x) tam ir pārtraukums.Apsveriet funkciju y \u003d 1 / x. Šīs funkcijas domēns ir noteikts Rpunkts, izņemot x \u003d 0. Punkts x \u003d 0 ir kopas D (f) robežpunkts, jo jebkurā no tā apkaimēm, tas ir, jebkurš atvērts intervāls ar punktu 0 satur punktus no D (f), bet pats par sevi nepieder pie šīs kopas. Vērtība f (x o) \u003d f (0) nav definēta, tāpēc punktā x o \u003d 0 funkcijai ir pārtraukums.

Tiek izsaukta funkcija f (x) nepārtraukts labajā pusē punktā x o, ja robeža

,

un atstāts nepārtraukts punktā x o, ja robeža

.

Funkcijas nepārtrauktība punktā x o ir līdzvērtīgs tā nepārtrauktībai šajā brīdī gan labajā, gan kreisajā pusē.

Lai funkcija būtu nepārtraukta punktā x o, piemēram, labajā pusē, pirmkārt, ir nepieciešams ierobežots ierobežojums, un, otrkārt, lai šī robeža būtu vienāda ar f (x o). Tāpēc, ja vismaz viens no šiem diviem nosacījumiem nav izpildīts, funkcijai būs nepilnības.

1. Ja robeža pastāv un nav vienāda ar f (x o), tad viņi to saka funkcija f (x) punktā x o ir pirmā veida pārtraukums, vai lēciens.

2. Ja robeža ir + ∞ vai -∞ vai neeksistē, tad viņi to saka punkts x o funkcijai ir plaisa otrais veids.

Piemēram, funkcija y \u003d ctg x x→ +0 ir robeža, kas vienāda ar + ∞, tātad, punktā x \u003d 0 tam ir otrā veida pārtraukums. Funkcija y \u003d E (x) (skaitļa vesela daļa) x) punktos ar skaitli abscissas ir pirmā veida pārtraukumi vai lec.

Tiek izsaukta funkcija, kas ir nepārtraukta katrā intervāla punktā nepārtraukts iekšā Nepārtraukta funkcija tiek parādīta kā cieta līkne.

Daudzas problēmas, kas saistītas ar nepārtrauktu jebkura daudzuma pieaugumu, noved pie otrās ievērojamās robežas. Šādi uzdevumi, piemēram, ietver: iemaksas pieaugumu saskaņā ar kombinēto procentu likumiem, valsts iedzīvotāju skaita pieaugumu, radioaktīvo vielu samazinājumu, baktēriju pavairošanu utt.

Apsveriet ya.I. Perelman piemērssniedzot numura interpretāciju e salikto procentu problēmā. Skaits eir robeža ... Krājbankās procentu nauda ik gadu tiek pievienota pamatkapitālam. Ja savienojums tiek izveidots biežāk, tad kapitāls aug ātrāk, jo interešu veidošanā tiek iesaistīts liels daudzums. Ņemsim tīri teorētisku, ļoti vienkāršotu piemēru. Ļaujiet bankai ievietot 100 den. vienības ar likmi 100% gadā. Ja procentu nauda pamatkapitālam tiks pievienota tikai pēc gada, tad līdz šim datumam 100 den. vienības pārvērtīsies par 200 naudas vienībām. Tagad redzēsim, kas pārvērtīsies par 100 den. vienības, ja pamatkapitālam ik pēc sešiem mēnešiem tiek pievienota procentu nauda. Pēc pusgada 100 den. vienības pieaugs līdz 100× 1,5 \u003d 150, bet sešus mēnešus vēlāk - 150× 1,5 \u003d 225 (naudas vienības). Ja savienojums tiek veikts reizi 1/3 gadā, tad pēc gada - 100 den. vienības pārvērsties 100× (1 +1/3) 3 " 237 (naudas vienības). Mēs paātrināsim procentus nesošās naudas pievienošanās nosacījumus līdz 0,1 gadam, līdz 0,01 gadam, līdz 0,001 gadam utt. Tad no 100 den. vienības pēc gada izrādīsies:

100 × (1 +1/10) 10 "259 (naudas vienības),

100 × (1 + 1/100) 100 * 270 (naudas vienības),

100 × (1 + 1/1000) 1000 * 271 (naudas vienības).

Ar neierobežotu procentu piesaistīšanas nosacījumu samazināšanu uzkrātais kapitāls nepieaug bezgalīgi, bet tuvojas noteiktai robežai, kas vienāda ar aptuveni 271. Kapitāls, ko piešķir 100% gadā, nevar palielināties vairāk kā 2,71 reizes, pat ja uzkrātie procenti katram kapitālam tika pievienoti otrais tāpēc, ka robeža

3.1. Piemērs. Izmantojot ciparu secības ierobežojuma definīciju, pierādiet, ka sekvencei x n \u003d (n-1) / n ir robeža, kas vienāda ar 1.

Lēmums.Mums tas jāpierāda neatkarīgi no tāε Mēs neņēmām\u003e 0, jo tam ir naturālais skaitlis N tāds, ka visiem n N ir nevienādība | x n -1 |< ε.

Veikt jebkuru e\u003e 0. Kopš; x n -1 \u003d (n + 1) / n - 1 \u003d 1 / n, tad, lai atrastu N, ir pietiekami, lai atrisinātu nevienādību 1 / n< e. Tādējādi n\u003e 1 / e un tāpēc N var uzskatīt par skaitļa 1 / veselu daļue, N \u003d E (1 / e ). Tādējādi mēs esam pierādījuši, ka robeža.

3. piemērs.2 ... Atrodiet virknes robežu, ko piešķir kopīgs termins .

Lēmums.Mēs izmantojam summas limita teorēmu un atrodam katra termina robežu. Par n→ ∞ katra termina skaitītājam un saucējam ir tendence uz bezgalību, un mēs nevaram tieši piemērot koeficienta robežas teorēmu. Tāpēc vispirms mēs pārveidojam x ndalot pirmā termina skaitītāju un saucēju ar n 2, un otrais ieslēgts n... Tad, piemērojot koeficienta limitu un summas limita teorēmu, mēs atrodam:

.

3.3. Piemērs. ... Atrast .

Lēmums. .

Šeit mēs izmantojām grādu robežas teorēmu: grādu robeža ir vienāda ar pamatnes robežas pakāpi.

3. piemērs.4 ... Atrast ( ).

Lēmums.Robežu starpības teorēmu nevar piemērot, jo mums ir formas nenoteiktība ∞-∞ ... Mēs pārveidojam parastā locekļa formulu:

.

3. piemērs.5 ... Dota funkcija f (x) \u003d 2 1 / x. Pierādiet, ka nav nekādu ierobežojumu.

Lēmums.Izmantosim funkcijas 1. robežas definīciju secībā. Veiciet secību (x n), kas saplūst ar 0, t.i. Parādīsim, ka f (x n) \u003d vērtība dažādām sekvencēm uzvedas atšķirīgi. Ļaujiet x n \u003d 1 / n. Acīmredzot, tad robeža Mēs tagad izvēlamies kā x n secība ar kopēju apzīmējumu x n \u003d -1 / n, arī tiecoties uz nulli. Tāpēc nav ierobežojumu.

3. piemērs.6 ... Pierādiet, ka nav nekādu ierobežojumu.

Lēmums.Ļaujiet x 1, x 2, ..., x n, ... būt kādai secībai
... Kā secība (f (x n)) \u003d (sin x n) uzvedas dažādiem x n → ∞

Ja x n \u003d p n, tad grēks x n \u003d sin p n \u003d 0 visiem n un ierobežojumu If
x n \u003d 2p n + p / 2, tad sin x n \u003d sin (2 p n + p / 2) \u003d sin p / 2 \u003d 1 visiem n un līdz ar to arī robeža. Tātad tas neeksistē.

Logrīks tiešsaistes limitu aprēķināšanai

Augšējā logā sin (x) / x vietā ievadiet funkciju, kuras robežu vēlaties atrast. Apakšējā logā ievadiet numuru, uz kuru tiek mēģināts x, un noklikšķiniet uz pogas Kalkulārs, iegūstiet vēlamo limitu. Un, ja rezultātu logā augšējā labajā stūrī noklikšķināsit uz Rādīt darbības, iegūsit detalizētu risinājumu.

Funkcijas ievadīšanas noteikumi: sqrt (x) - kvadrātsakne, cbrt (x) - kuba sakne, exp (x) - eksponents, ln (x) - dabiskais logaritms, sin (x) - sinuss, cos (x) - kosinuss, tan (x) - pieskare, gultiņa (x) - koaģents, arcsin (x) - arcsine, arccos (x) - arccosine, arctan (x) - arctangent. Pazīmes: * reizināšanas, dalīšanas, ^ eksponēšanas vietā bezgalība Bezgalība. Piemērs: funkcija tiek ievadīta šādi: (sqrt (tan (x / 2)).

Robežas ir apgrūtinājums visiem matemātikas studentiem. Lai atrisinātu ierobežojumu, dažreiz ir jāizmanto daudz triku un no dažādām risinājumu metodēm jāizvēlas tieši tā, kas piemērota konkrētam piemēram.

Šajā rakstā mēs nepalīdzēsim jums izprast jūsu spēju robežas vai izprast kontroles robežas, bet mēs centīsimies atbildēt uz jautājumu: kā saprast robežas augstākajā matemātikā? Saprašana nāk ar pieredzi, tāpēc tajā pašā laikā mēs sniegsim vairākus detalizētus ierobežojumu risināšanas piemērus ar paskaidrojumiem.

Robežkoncepcija matemātikā

Pirmais jautājums: kāda ir šī robeža un kāda ir šī robeža? Mēs varam runāt par skaitlisko secību un funkciju robežām. Mūs interesē funkcijas robežas jēdziens, jo studenti visbiežāk sastopas ar viņiem. Bet, pirmkārt, vispārīgākā robežas definīcija:

Teiksim, ka ir kāds mainīgais. Ja šī vērtība pārmaiņu procesā neierobežoti tuvojas noteiktam skaitlim a tad a Vai šīs vērtības robeža ir

Funkcijai, kas noteikta noteiktā intervālā f (x) \u003d y ierobežojums ir tāds skaitlis A , uz kuru funkcija tiecas x tieksme uz noteiktu punktu un ... Punkts un pieder intervālam, kurā funkcija tiek definēta.

Tas izklausās apgrūtinoši, taču to rakstīt ir ļoti vienkārši:

Lim - no angļu valodas ierobežot ir robeža.

Robežas definīcijai ir arī ģeometrisks skaidrojums, taču šeit neiedziļināsimies teorijā, jo mūs vairāk interesē praktiskā, nevis teorētiskā jautājuma puse. Kad mēs to sakām x ir tendence uz kādu vērtību, tas nozīmē, ka mainīgais neuztver skaitļa vērtību, bet ir bezgalīgi tuvu tam.

Sniegsim konkrētu piemēru. Izaicinājums ir atrast robežu.

Lai atrisinātu šo piemēru, aizstājiet vērtību x \u003d 3 funkcijā. Mēs iegūstam:

Starp citu, ja jūs interesē, izlasiet atsevišķu rakstu par šo tēmu.

Piemēros x var tiekties pēc jebkuras vērtības. Tas var būt jebkurš skaitlis vai bezgalība. Šeit ir piemērs, kad x tiecas uz bezgalību:

Intuitīvi ir skaidrs, ka, jo lielāks skaitlis saucējā, jo zemāku vērtību šī funkcija uzņems. Tātad, ar neierobežotu izaugsmi x vērtību 1 / x samazināsies un tuvosies nullei.

Kā redzat, lai atrisinātu robežu, jums vienkārši jāaizstāj vērtība, uz kuru tiekties, lai sasniegtu funkciju x ... Tomēr šis ir vienkāršākais gadījums. Robežas atrašana bieži nav tik acīmredzama. Tādas neskaidrības kā 0/0 vai bezgalība / bezgalība ... Ko darīt šādos gadījumos? Lai ķertos pie trikiem!

Neskaidrības iekšienē

Formas bezgalības / bezgalības nenoteiktība

Jābūt ierobežojumam:

Ja mēģinām funkcijā aizstāt bezgalību, mēs iegūstam bezgalību gan skaitītājā, gan saucējā. Kopumā jāsaka, ka šādu nenoteiktību risināšanā ir noteikts mākslas elements: ir jāņem vērā, kā jūs varat pārveidot funkciju tā, lai nenoteiktība pazustu. Mūsu gadījumā dalītāju un dalītāju dalām ar x vecākajā pakāpē. Kas notiek?

No iepriekš apskatītā piemēra mēs zinām, ka terminiem, kuru saucējā ir x, būs tendence uz nulli. Tad risinājums robežai ir:

Atklāt tādas neskaidrības kā bezgalība / bezgalība dala skaitītāju un saucēju ar x visaugstākajā pakāpē.

Starp citu! Mūsu lasītājiem tagad ir 10% atlaide

Cita veida nenoteiktība: 0/0

Kā vienmēr, vērtības funkcijas aizstāšana x \u003d -1 dod 0 skaitītājā un saucējā. Paskatieties nedaudz rūpīgāk, un jūs pamanīsit, ka skaitītājā ir kvadrātvienādojums. Atrodiet saknes un rakstiet:

Saīsināsim un iegūsim:

Tātad, ja jūs saskaras ar tādu nenoteiktību kā 0/0 - izslēdz skaitītāju un saucēju.

Lai jums būtu vieglāk atrisināt piemērus, mēs piedāvājam tabulu ar dažu funkciju ierobežojumiem:

L'Hôpital noteikums iekšienē

Vēl viens spēcīgs paņēmiens abu veidu nenoteiktības novēršanai. Kāda ir metodes būtība?

Ja robežvērtībā ir nenoteiktība, mēs ņemam no skaitītāja un saucēja atvasinājumu, līdz nenoteiktība pazūd.

Lopital likums izskatās šādi:

Svarīgs punkts : ir jābūt robežai, kurā skaitītāja un saucēja vietā ir skaitītāja un saucēja atvasinājumi.

Un tagad par īstu piemēru:

Tipiska nenoteiktība 0/0 ... Ņemsim skaitītāja un saucēja atvasinājumus:

Voila, neskaidrība tiek atrisināta ātri un eleganti.

Mēs ceram, ka jūs varat lietderīgi izmantot šo informāciju praksē un atrast atbildi uz jautājumu "kā atrisināt robežas augstākajā matemātikā". Ja jums jāaprēķina secības vai funkcijas robeža kādā brīdī un šim vārdam nav laika no vārda "vispār", sazinieties ar profesionālu studentu dienestu, lai iegūtu ātru un detalizētu risinājumu.