Galvenie ierobežojumu veidi. Tiešsaistes kalkulators

Apskatīsim ilustratīvus piemērus.

Ļaujiet x būt skaitliskam mainīgajam, X ir tā variācijas apgabals. Ja katram skaitlim x, kas pieder X, tiek piešķirts noteikts skaitlis y, tad viņi saka, ka funkcija ir definēta kopai X, un raksta y \u003d f (x).
  Komplekts X šajā gadījumā ir plakne, kas sastāv no divām koordinātu asīm - 0X un 0Y. Piemēram, mēs attēlojam funkciju y \u003d x 2. Asis 0X un 0Y veido X - tās izmaiņu reģionu. Attēlā skaidri redzams, kā šī funkcija uzvedas. Šajā gadījumā viņi saka, ka kopai X ir definēta funkcija y \u003d x 2.

Funkcijas visu daļējo vērtību Y kopu sauc par vērtību kopu f (x). Citiem vārdiem sakot, vērtību kopa ir atstarpe gar 0Y asi, kur funkcija ir definēta. Attēlotā parabola skaidri parāda, ka f (x)\u003e 0, jo x2\u003e 0. Tāpēc vērtību diapazons būs. Mēs aplūkojam daudzas vērtības ar 0Y.

Visu x kolekciju sauc par f (x) definīcijas domēnu. Mēs aplūkojam daudz definīciju attiecībā uz 0X, un mūsu gadījumā pieļaujamo vērtību diapazons ir [-; +].

Punktu a (a pieder vai X) sauc par kopas X robežpunktu, ja kādā a apkārtnē ir X kopas punkti, kas nav a.

Ir pienācis laiks saprast - kāda ir funkcijas robeža?

Tīri sauc b, kam funkcija ir tendence, kad x tuvojas skaitlim a funkciju robeža. Tas ir rakstīts šādi:

Piemēram, f (x) \u003d x 2. Mums jānoskaidro, kādai funkcijai ir tendence (nav vienāda ar) pie x 2. Pirmkārt, mēs uzrakstām robežu:

Apskatīsim diagrammu.

Caur 2. punktu uz 0X ass novelciet līniju paralēli 0Y asij. Viņa šķērsos mūsu grafiku punktā (2; 4). Mēs nolaižam perpendikulu no šī punkta uz 0Y asi un nonākam līdz punktam 4. Tieši to mūsu mērķis tiecas uz x 2. Ja funkcijā f (x) mēs aizstājam vērtību 2, atbilde būs tāda pati.

Tagad, pirms pāriet uz limitu aprēķins, mēs ieviešam pamatdefinīcijas.

Ieviesa franču matemātiķis Augustīns Luiss Kaučijs 19. gadsimtā.

Pieņemsim, ka funkcija f (x) ir noteikta ar noteiktu intervālu, kurā ir ietverts punkts x \u003d A, bet nav nepieciešams noteikt vērtību f (A).

Pēc tam, pēc Kaučija definīcijas, funkciju robeža   f (x) būs noteikts skaitlis B x, tiecoties uz A, ja katram C\u003e 0 ir skaitlis D\u003e 0, kuram

T. i. ja funkciju f (x) pie x A ierobežo robeža B, to raksta kā

Secības robeža   tiek izsaukts noteikts skaitlis A, ja jebkuram patvaļīgi mazam pozitīvam skaitlim B\u003e 0 ir skaitlis N tāds, ka visas vērtības gadījumā n\u003e N apmierina nevienādību

Šādam ierobežojumam ir forma.

Secību, kurai ir robeža, sauks par konverģentu, ja nē, par atšķirīgu.

Kā jūs jau pamanījāt, robežas tiek apzīmētas ar lim ikonu, saskaņā ar kuru tiek uzrakstīti daži mainīgā nosacījumi, un tad pati funkcija jau ir uzrakstīta. Šādu kopu lasīs kā "sniegtās funkcijas robežu ...". Piemēram:

  ir funkcijas robeža, jo x ir 1.

Izteiciens "tiecas uz 1" nozīmē, ka x secīgi uzņem vērtības, kas ir bezgalīgi tuvu 1.

Tagad kļūst skaidrs, ka, lai aprēķinātu šo robežu, pietiek ar to, ka x vietā aizstāj vērtību 1:

Papildus noteiktai skaitliskai vērtībai x var būt tendence uz bezgalību. Piemēram:

Izteiciens x nozīmē, ka x pastāvīgi palielinās un bezgalīgi tuvu bezgalībai. Tāpēc, aizstājot bezgalību x vietā, kļūs skaidrs, ka funkcijai 1-x būs tendence, bet ar pretēju zīmi:

Tādā veidā limita aprēķins   Ir jāatrod tā īpašā vērtība vai īpaša joma, kurā funkcija ietilpst, un to ierobežo ierobežojums.

Balstoties uz iepriekš minēto, izriet, ka, aprēķinot limitus, ir svarīgi izmantot vairākus noteikumus:

Saprotot robežas būtība   un pamatnoteikumi limita aprēķini, jūs iegūsit galveno ieskatu to risināšanā. Ja kāda robeža radīs jums grūtības, rakstiet komentāros, un mēs noteikti jums palīdzēsim.

Piezīme: Jurisprudence ir likumu zinātne, kas palīdz konfliktos un citās dzīves grūtībās.

Robežu teorija ir viena no matemātiskās analīzes nozarēm. Jautājums par robežu risināšanu ir diezgan plašs, jo ir desmitiem dažādu limitu risināšanas metožu. Ir desmitiem nianšu un triku, lai atrisinātu šo vai citu robežu. Neskatoties uz to, mēs joprojām cenšamies izprast pamata veidus, ar kuriem praksē saskaras visbiežāk.

Sāksim ar pašu limita jēdzienu. Bet vispirms īss vēsturisks fons. Savulaik 19. gadsimtā dzīvoja francūzis Augustīns Luiss Kaučijs, kurš lika pamatus matemātiskajai analīzei un sniedza precīzas definīcijas, it īpaši robežas definīciju. Man jāsaka, ka šī pati Kaučija sapņoja, sapņoja un sapņos visu fizikas un matemātikas nodaļu studentu murgos, jo viņš pierādīja ļoti daudz matemātiskās analīzes teorēmu, un viena teorēma ir pretīgāka par otru. Šajā sakarā mēs neuzskatīsim par stingru robežas definīciju, bet mēģināsim izdarīt divas lietas:

1. Saprast, kāda ir robeža.
2. Iemācieties atrisināt galvenos ierobežojumu veidus.

Es atvainojos par dažiem nezinātniskiem skaidrojumiem, ir svarīgi, lai materiāls būtu saprotams pat tējkannai, kas patiesībā ir projekta uzdevums.

Tātad, kāda ir robeža?

Un uzreiz piemērs tam, ko sagrauj vecmāmiņa ....

Jebkuram ierobežojumam ir trīs daļas.:

1) Ikviens zina ierobežojuma ikonu.
   2) Šajā gadījumā ieraksti zem ikonas Ierobežojums. Ierakstā skan "X tiecas pēc vienotības". Visbiežāk - tā ir, kaut arī “X” vietā praksē ir arī citi mainīgie. Praktiskos uzdevumos vienības vietā var būt absolūti jebkurš skaitlis, kā arī bezgalība ().
   3) Šajā gadījumā funkcijas zem robežzīmes.

Ierakstiet pats   skan šādi: "funkcijas robeža ar x, kas sliecas uz vienotību".

Izpētīsim šo svarīgo jautājumu - ko nozīmē izteiciens “X”? meklē   uz vienotību? Un uz ko “tiekties”?
   Robežas jēdziens ir jēdziens, tā sakot, dinamisks. Veidojiet secību: vispirms, tad ,, ..., , ….
   Tas ir, izteiciens “x meklē   vienotībai "būtu jāsaprot šādi -" x "secīgi ņem vērtības, kas ir bezgalīgi tuvu vienotībai un praktiski sakrīt ar to.

Kā atrisināt iepriekš minēto piemēru? Balstoties uz iepriekš teikto, vienība funkcijā ir jāaizvieto zem robežzīmes:

Tātad, pirmais noteikums:   Kad tiek noteikts kāds ierobežojums, vispirms mēs mēģinām funkcijā aizstāt skaitli.

Mēs uzskatījām par vienkāršāko robežu, taču tāda ir arī praksē, turklāt ne tik reti!

Piemērs ar bezgalību:

Mēs saprotam, kas ir? Šis ir gadījums, kad tas aug neierobežoti, tas ir: vispirms, tad, tad, tad un tā tālāk līdz bezgalībai.

Un kas šajā laikā notiek ar funkciju?
, , , …

Tātad: ja, tad funkcijai ir tendence mīnus bezgalība:

Aptuveni runājot, saskaņā ar mūsu pirmo noteikumu, mēs aizstājam bezgalību ar funkciju “x” un saņemam atbildi.

Vēl viens piemērs ar bezgalību:

Atkal mēs sākam palielināties līdz bezgalībai un skatāmies uz funkcijas izturēšanos:

Secinājums: kad funkcija palielinās neierobežoti:

Un virkne piemēru:

Lūdzu, mēģiniet patstāvīgi analizēt šādus jautājumus un atcerieties vienkāršāko veidu ierobežojumus:

, , , , , , , , ,
   Ja kaut kur rodas šaubas, tad varat paņemt kalkulatoru un nedaudz trenēties.
   Tādā gadījumā mēģiniet izveidot secību,. Ja, tad,.

Piezīme. Stingri sakot, šāda pieeja ar vairāku numuru secību konstruēšanu nav pareiza, taču tā ir diezgan piemērota, lai izprastu vienkāršākos piemērus.

Pievērsiet uzmanību arī šādai lietai. Pat ja robeža tiek piešķirta ar lielu skaitu augšpusē un pat ar miljonu:, tad jebkurā gadījumā , jo agrāk vai vēlāk “X” ņems tik gigantiskas vērtības, ka miljons, salīdzinot ar tām, būs īsts mikrobs.

Kas jums jāatceras un jāsaprot no iepriekšminētā?

1) Kad ir noteikts kāds ierobežojums, vispirms mēs mēģinām funkcijā aizstāt skaitli.

2) Jums ir jāsaprot un nekavējoties jāizlemj vienkāršākās robežas, piemēram ,, utt.

Tagad mēs uzskatām robežu grupu, kad, un funkcija ir frakcija, kuras skaitītājā un saucējā ir polinomi

Piemērs:

Aprēķiniet robežu

Saskaņā ar mūsu likumu mēs mēģināsim aizstāt bezgalību funkcijā. Ko mēs iegūstam augstāk? Bezgalība. Un kas notiek tālāk? Arī bezgalība. Tādējādi mums ir tā saucamā sugu nenoteiktība. Varētu domāt, ka atbilde ir gatava, bet parasti tas tā nav un ir jāpiemēro kāds risinājums, ko mēs tagad apsvērsim.

Kā atrisināt šāda veida robežas?

Pirmkārt, mēs aplūkojam skaitītāju un augstāk atrodam:

   Augstākā pakāpe skaitītājā ir divas.

Tagad mēs skatāmies uz saucēju un arī visaugstākajā mērā atrodam:

   Saucēja augstākā pakāpe ir divas.

Tad mēs izvēlamies skaitītāja un saucēja vecāko pakāpi: šajā piemērā tie sakrīt un ir vienādi ar diviem.

Tātad, risināšanas metode ir šāda: lai atklātu nenoteiktību, skaitītājs un saucējs ir jāsadala ar augstāko pakāpi.

Šeit tā ir atbilde, un tā nemaz nav bezgalība.

Kas ir ārkārtīgi svarīgi, izstrādājot risinājumu?

Vispirms norādiet uz nenoteiktību, ja tāda ir.

Otrkārt, ieteicams pārtraukt lēmumu starpposma paskaidrojumiem. Es parasti lietoju zīmi, tai nav nekādas matemātiskas nozīmes, bet tas nozīmē, ka lēmums tiek pārtraukts starpposma skaidrojumam.

Treškārt, ierobežojumā ir vēlams atzīmēt, ko un kur tas meklē. Kad darbs tiek pabeigts ar rokām, to ir ērtāk izdarīt:

   Piezīmēm labāk ir izmantot vienkāršu zīmuli.

Protams, jūs neko nevarat izdarīt, bet tad, iespējams, skolotājs pamanīs lēmuma trūkumus vai sāks uzdot papildu jautājumus par uzdevumu. Vai jums to vajag?

2. piemērs

Atrodi limitu
   Atkal skaitītājā un saucējā mēs atrodam augstāku pakāpi:

   Maksimālais grādu skaitītāja grāds: 3
   Maksimālais grāds saucējā: 4
   Izvēlieties vislielākais   vērtību, šajā gadījumā četras.
   Saskaņā ar mūsu algoritmu, lai atklātu nenoteiktību, skaitītāju un saucēju dalām ar.
   Pilns uzdevuma dizains var izskatīties šādi:

Sadaliet skaitītāju un saucēju ar

3. piemērs

Atrodi limitu
   Maksimālā "X" pakāpe skaitītājā: 2
   Maksimālā “x” pakāpe saucējā: 1 (var uzrakstīt kā)
   Lai atklātu nenoteiktību, skaitītājs un saucējs ir jāsadala ar. Tīrs risinājums varētu izskatīties šādi:

Sadaliet skaitītāju un saucēju ar

Ieraksts nozīmē nevis dalīšanu ar nulli (jūs nevarat dalīt ar nulli), bet dalīšanu ar bezgalīgi mazu skaitli.

Tādējādi, atklājot sugas nenoteiktību, mēs varam iegūt ierobežots skaitlis, nulle vai bezgalība.

Ierobežojumi ar tipa nenoteiktību un to novēršanas metode

Šī robežu grupa ir nedaudz līdzīga nupat apskatītajām robežām: polinomi atrodas skaitītājā un saucējā, bet “X” vairs nemēdz uz bezgalību, bet gan uz gala numurs.

4. piemērs

Izlemiet limitu
   Vispirms mēģiniet aizstāt -1 frakcijā:

   Šajā gadījumā tiek iegūta tā saucamā nenoteiktība.

Vispārīgais noteikums: ja skaitītājā un saucējā ir polinomi un ir nenoteiktības par formu, tad par tā atklāšanu jums jāaprēķina skaitītājs un saucējs.

Lai to izdarītu, visbiežāk jāatrisina kvadrātvienādojums un (vai) jāizmanto saīsinātās reizināšanas formulas. Ja šīs lietas aizmirst, apmeklējiet lapu Matemātiskās formulas un tabulas   un lasīt mācību materiālu Karstas matemātikas skolas formulas. Starp citu, vislabāk to izdrukāt, tas tiek pieprasīts ļoti bieži, un informācija no papīra tiek labāk absorbēta.

Tātad, mēs izlemjam savu robežu

Faktors skaitītājs un saucējs

Lai faktorētu koeficientu, jums jāatrisina kvadrātvienādojums:

   Vispirms mēs atrodam diskriminējošo:

   Un tā kvadrātsakne:.

Ja diskriminējošais elements ir liels, piemēram, 361, mēs izmantojam kalkulatoru, kvadrātsaknes ekstrakcijas funkcija ir vienkāršākajā kalkulatorā.

! Ja sakne nav pilnībā iegūta (ar komatu izrādās frakcionēts skaitlis), ļoti iespējams, ka diskriminants tika aprēķināts nepareizi vai typo uzdevumā.

Tālāk mēs atrodam saknes:

Tādā veidā:

Tas arī viss. Skaitītājs tiek faktorizēts.

Saucējs. Saucējs jau ir vienkāršākais faktors, un to nekādā veidā nevar vienkāršot.

Acīmredzot to var samazināt ar:

Tagad mēs aizstājam -1 ar izteicienu, kas paliek zem robežas zīmes:

Protams, pārbaudījumā, pārbaudījumā, eksāmenā lēmums nekad nav tik sīki aprakstīts. Galīgajā versijā dizainam vajadzētu izskatīties apmēram šādi:

Faktors skaitītājs.

5. piemērs

Aprēķiniet robežu

Pirmkārt, “apdares” risinājums

Faktors skaitītājs un saucējs.

Skaitītājs:
   Saucējs:



,

Kas ir svarīgi šajā piemērā?
   Pirmkārt, jums ir jābūt labai izpratnei par to, kā tiek parādīts skaitītājs, vispirms mēs izlikām 2 no iekavās un pēc tam izmantojām kvadrātu starpības formulu. Šī formula ir jāzina un jāredz.

Tipa un sugu nenoteiktība ir visizplatītākā nenoteiktība, kas jāatklāj, risinot robežas.

Lielākajai daļai uzdevumu, ar kādiem nākas saskarties studentiem, ir tikai šādas neskaidrības. Lai tos atklātu vai, precīzāk, izvairītos no neskaidrībām, ir vairākas mākslīgas metodes, kā pārveidot izteiksmes veidu zem robežas zīmes. Šīs metodes ir šādas: skaitītāja un saucēja dalīšana ar mainīgā lieluma pakāpi, reizināšana ar konjugācijas izteiksmi un faktorizācija sekojošai reducēšanai, izmantojot kvadrātisko vienādojumu risinājumus un saīsinātās reizināšanas formulas.

Sugas nenoteiktība

1. piemērs

n   ir vienāds ar 2. Tāpēc dalītāju un saucēju daliet ar:

.

Komentārs izteiksmes labajā pusē. Bultas un cipari norāda, ko frakcija meklē pēc aizstāšanas, nevis n   bezgalības vērtības. Šeit, tāpat kā 2. piemērā, grāds n   saucējā ir vairāk nekā skaitītājā, kā rezultātā visai daļai ir tendence uz bezgalīgu vērtību vai "super mazu skaitli".

Mēs saņemam atbildi: šīs funkcijas robeža mainīgajam, kas sliecas uz bezgalību, ir vienāda.

2. piemērs .

Risinājums. Šeit ir mainīgā augstākā pakāpe x   ir vienāds ar 1. Tāpēc skaitītāju un saucēju izbeidzam ar galu x:

Komentārs par lēmuma gaitu. Skaitītājā mēs braucam ar “X” zem trešās pakāpes saknes un tā, lai tā sākotnējā pakāpe (1) paliktu nemainīga, piešķiriet tai tādu pašu pakāpi kā saknei, tas ir 3. Šāvēja un papildu skaitļu šajā ierakstā vairs nav, tāpēc mēģiniet garīgi, bet pēc analoģijas ar iepriekšējo piemēru, lai noteiktu, kādām izteiksmēm skaitītājā un saucējā ir tendence pēc bezgalības aizstāšanas ar "x".

Mēs saņēmām atbildi: šīs funkcijas robeža mainīgajam, kas sliecas uz bezgalību, ir nulle.

Sugas nenoteiktība

3. piemērsAtklājiet nenoteiktību un atrodiet robežu.

Risinājums. Skaitītājā ir kubu starpība. Mēs to sadalām faktoros, izmantojot saīsinātu reizināšanas formulu no skolas matemātikas kursa:

Saucējā ir kvadrātiskā trinomija, kuru mēs faktorējam, atrisinot kvadrātisko vienādojumu (atkal atsauce uz kvadrātvienādojumu risinājumu):

Mēs pierakstām pārvērtību rezultātā iegūto izteiksmi un atrodam funkcijas robežu:

4. piemērs   Atklājiet nenoteiktību un atrodiet robežu

Risinājums. Kopš robežas teorēma šeit nav piemērojama, jo

Tāpēc mēs frakciju pārveidojam identiski: reizinot skaitītāju un saucēju ar binomālo konjugātu ar saucēju, un reducējam ar x   +1 Atbilstoši 1. teorēmas secinājumam mēs iegūstam izteiksmi, to atrisinot, mēs atrodam vēlamo robežu:

5. piemērs   Atklājiet nenoteiktību un atrodiet robežu

Risinājums. Tieša aizstāšana x   \u003d 0 noteiktā funkcijā rada formas 0/0 nenoteiktību. Lai to atklātu, mēs veicam identiskas pārvērtības un rezultātā iegūstam vēlamo robežu:

6. piemērs   Aprēķināt

Risinājums:   mēs izmantojam limitu teorēmas

Atbilde ir: 11

7. piemērs   Aprēķināt

Risinājums:   šajā piemērā skaitītāja un saucēja robežas ir 0:

;   . Tāpēc iegūto teorēmu uz koeficienta robežu nevar piemērot.

Mēs sadalām skaitītāju un saucēju faktoros, lai frakciju samazinātu par kopējo koeficientu, kas sliecas uz nulli, un tāpēc dod iespēju piemērot 3. teorēmu.

Mēs sadalām kvadrātveida trinomu skaitītājā pēc formulas, kur x 1 un x 2 ir trinomāla saknes. Faktorizējot un saucēju, mēs samazinām frakciju par (x-2), pēc tam pielietojam 3. teorēmu.

Atbilde ir:

8. piemērs   Aprēķināt

Risinājums:   Ja skaitītājam un saucējam ir tendence uz bezgalību, tāpēc, tieši piemērojot 3. teorēmu, mēs iegūstam izteiksmi, kas attēlo nenoteiktību. Lai atbrīvotos no šāda veida nenoteiktības, skaitītājs un saucējs jāsadala argumentācijas augstākajā pakāpē. Šajā piemērā jums jāsadala ar x:

Atbilde ir:

9. piemērs   Aprēķināt

Risinājums: x 3:

Atbilde ir: 2

10. piemērs   Aprēķināt

Risinājums: Kad skaitītājam un saucējam ir tendence uz bezgalību. Sadaliet skaitītāju un saucēju ar argumenta augstāko pakāpi, t.i. x 5:

=

frakcijas skaitītājam ir tendence uz 1, saucējs uz 0, tāpēc frakcijai ir tendence uz bezgalību.

Atbilde ir:

11. piemērs   Aprēķināt

Risinājums: Kad skaitītājam un saucējam ir tendence uz bezgalību. Sadaliet skaitītāju un saucēju ar argumenta augstāko pakāpi, t.i. x 7:

Atbilde ir: 0

Atvasināts.

Funkcijas y \u003d f (x) atvasinājums attiecībā uz argumentu xtā pieauguma y un robežas x pieauguma x robežu sauc tad, kad argumenta pieaugumam ir tendence uz nulli:. Ja šī robeža ir ierobežota, tad funkcija y \u003d f (x)tiek saukts par diferencējamu punktā x. Ja šī robeža pastāv, viņi saka, ka funkcija y \u003d f (x)   ir bezgalīgs atvasinājums pie x.

Pamatfunkciju atvasinājumi:

1. (const) \u003d 09.

3. 11.

4. 12.

5. 13.

6. 14.

Diferencēšanas noteikumi:

a)

c)

1. piemērs   Atrodiet atvasināto funkciju

Risinājums:   Ja mēs atrodam otrā termina atvasinājumu pēc frakcijas diferenciācijas likuma, tad pirmais termins ir sarežģīta funkcija, kuras atvasinājumu var atrast pēc formulas:

Kur tad

Risinot, tika izmantotas formulas: 1,2,10, a, c, d.

Atbilde ir:

21. piemērs   Atrodiet atvasināto funkciju

Risinājums:   abi termini ir sarežģītas funkcijas, kur pirmajam ,, un otrajam ,, tad

Atbilde ir:

Atvasinātie lietojumi.

1. Ātrums un paātrinājums

Ļaujiet funkcijai s (t) aprakstīt pozīcija   objekts kādā koordinātu sistēmā laikā t. Tad pirmais funkcijas s (t) atvasinājums ir tūlītējs ātrums   objekts:
  v \u003d s ′ \u003d f ′ (t)
  Funkcijas s (t) otrais atvasinājums ir momentānais paātrinājums   objekts:
  w \u003d v ′ \u003d s ′ ′ \u003d f ′ ′ (t)

2. Pieskares vienādojums
  y - y0 \u003d f ′ (x0) (x - x0),
  kur (x0, y0) ir pieskares punkta koordinātas, f ′ (x0) ir funkcijas f (x) atvasinājuma vērtība tangences punktā.

3. Normāls vienādojums
  y - y0 \u003d −1f ′ (x0) (x - x0),

kur (x0, y0) ir tā punkta koordinātas, kurā norobežo normu, f ′ (x0) ir funkcijas f (x) atvasinājuma vērtība dotajā punktā.

4. Funkciju palielināšana un samazināšana
  Ja f (x0)\u003e 0, tad funkcija palielinās punktā x0. Zemāk redzamajā attēlā funkcija palielinās pie x x2.
  Ja f (x0)<0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1   Ja f (x0) \u003d 0 vai atvasinājums neeksistē, tad šī īpašība neļauj mums noteikt funkcijas monotoniskuma raksturu punktā x0.

5. Vietējās funkcijas galējības
  Funkcijai f (x) ir vietējais maksimums   pie x1, ja eksistē x1 apkaime tāda, ka f (x1) ≥f (x) visiem x no šīs apkaimes.
  Līdzīgi funkcijai f (x) ir vietējais minimums   pie x2, ja eksistē x2 apkaime tāda, ka f (x2) ≤f (x) visiem x no šīs apkaimes.

6. Kritiskie punkti
  Punkts x0 ir kritiskais punkts   funkcija f (x), ja atvasinājums f ′ (x0) tajā ir vienāds ar nulli vai nepastāv.

7. Pirmā pietiekamā pazīme par ekstremitātes esamību
  Ja funkcija f (x) palielinās (f ′ (x)\u003e 0) visiem x noteiktā intervālā (a, x1] un samazinās (f ′ (x)<0) для всех x в интервале и возрастает (f′(x)>0) visiem x no intervāla)