Gaidīšanas piemēri. Iedzīvotāju vidējais ir
Iepriekšējā mēs sniedzām vairākas formulas, kas ļauj mums atrast funkciju skaitliskās īpašības, kad ir zināmi argumentu sadalījuma likumi. Tomēr daudzos gadījumos, lai atrastu funkciju skaitliskās īpašības, nav pat jāzina argumentu sadalījuma likumi, bet pietiek zināt tikai dažus to skaitliskos raksturlielumus; kamēr mēs parasti iztikt bez izplatīšanas likumiem. Funkciju skaitlisko raksturlielumu noteikšana ar norādītajiem argumentu skaitliskajiem raksturlielumiem tiek plaši izmantota varbūtību teorijā un ļauj ievērojami vienkāršot vairāku problēmu risināšanu. Lielākoties šīs vienkāršotās metodes ir lineāras funkcijas; tomēr dažas elementāras nelineāras funkcijas pieļauj arī līdzīgu pieeju.
Pašlaik mēs piedāvājam virkni teorēmu par funkciju skaitliskajiem raksturlielumiem, kas kopumā atspoguļo ļoti vienkāršu aparātu šo raksturlielumu aprēķināšanai, kas piemērojams visdažādākajos apstākļos.
1. Matemātiskā cerība nav izlases mainīgais
Formulētais īpašums ir pietiekami acīmredzams; to var pierādīt, uzskatot nejaušu lielumu par noteiktu nejaušas formas formu, ar vienu iespējamo vērtību ar varbūtību viena; tad pēc vispārējās matemātisko cerību formulas:
.
2. Nejauša daudzuma izkliede
Ja ir nejaušs lielums, tad
3. Ne-nejaušas vērtības ņemšana matemātiskās cerības zīmei
, (10.2.1)
tas ir, nejaušu vērtību var izņemt no matemātiskās cerības zīmes.
Pierādījumi.
a) Nepārtrauktam daudzumam
b) Nepārtrauktiem lielumiem
.
4. Atņemot nejaušas vērtības izkliedes zīmi un standartnovirzi
Ja vērtība nav nejauša, bet ir nejauša vērtība, tad
, (10.2.2)
tas ir, nejaušu lielumu var izņemt no dispersijas zīmes, to kvadrātā.
Pierādījumi. Pēc dispersijas definīcijas
Sekas
,
tas ir, nejaušu vērtību no standartnovirzes zīmes var izņemt ar tās absolūto vērtību. Pierādījumu iegūstam, iegūstot formulas (10.2.2) kvadrātsakni un ņemot vērā, ka r.s.s. ir būtiski pozitīva vērtība.
5. Gadījuma lielumu summas matemātiskā gaidīšana
Pierādīsim, ka jebkuriem diviem nejaušiem mainīgajiem lielumiem un
tas ir, divu nejaušo mainīgo summas matemātiskā cerība ir vienāda ar to matemātisko cerību summu.
Šis īpašums ir pazīstams kā gaidījumu pievienošanas teorēma.
Pierādījumi.
a) Ļaujiet būt nepārtrauktu nejaušo mainīgo sistēmai. Piemēro nejaušo mainīgo summai vispārīgā formula (10.1.6.) Divu argumentu funkcijas matemātiskai sagaidīšanai:
.
Ho nav nekas cits kā kopējā varbūtība, ka vērtība iegūs vērtību:
;
tātad
.
Pierādīsim līdzīgā veidā
,
un teorēma ir pierādīta.
b) Ļaut ir nepārtrauktu nejaušo mainīgo sistēma. Pēc formulas (10.1.7)
. (10.2.4)
Mēs pārveidojam pirmo no integrāļiem (10.2.4):
;
līdzīgi
,
un teorēma ir pierādīta.
Īpaši jāatzīmē, ka matemātisko cerību pievienošanas teorēma ir derīga visiem nejaušajiem mainīgajiem, gan atkarīgiem, gan neatkarīgiem.
Matemātisko cerību pievienošanas teorēma tiek vispārināta ar patvaļīgu terminu skaitu:
, (10.2.5)
tas ir, vairāku nejaušu mainīgo summas matemātiskā cerība ir vienāda ar to matemātisko cerību summu.
Lai pierādītu, pietiek ar pilnas indukcijas metodes piemērošanu.
6. Lineārās funkcijas matemātiskā cerība
Apsveriet vairāku nejaušu argumentu lineāro funkciju:
kur ir nejaušie koeficienti. Pierādīsim to
, (10.2.6)
tas ir, lineārās funkcijas matemātiskā cerība ir vienāda ar to pašu argumentu matemātisko cerību lineāro funkciju.
Pierādījumi. Izmantojot m pievienošanas teorēmu. un likumu nejaušas vērtības ievietošanai ārpus m.o. zīmes mēs iegūstam:
.
7. Dispeptās ir nejaušo mainīgo summas
Divu nejaušo mainīgo summas dispersija ir vienāda ar to dispersiju summu plus dubultoto korelācijas momentu:
Pierādījumi. Mēs apzīmējam
Pēc matemātisko cerību pievienošanas teorēmas
Pārejam no nejaušajiem mainīgajiem uz atbilstošajām centrētajām vērtībām. Atņemot vienlīdzību (10.2.9) no vienlīdzības (10.2.8), mums ir:
Pēc dispersijas definīcijas
q.E.D.
Formulu (10.2.7) summas dispersijai var vispārināt pēc jebkura terminu skaita:
,
(10.2.10)
kur ir lielumu korelācijas moments, zīme zem summas norāda, ka summēšana attiecas uz visām iespējamām nejaušo mainīgo pāri kombinācijām 
.
Pierādījums ir līdzīgs iepriekšējam un izriet no polinoma kvadrāta formulas.
Formulu (10.2.10) var uzrakstīt citā formā:
, (10.2.11)
kur dubultā summa attiecas uz visiem lielumu sistēmas korelācijas matricas elementiem satur gan korelācijas momentus, gan dispersiju.
Ja visi izlases mainīgie ievadot sistēmu, nav savstarpēji saistīti (t.i., pie), formula (10.2.10) ir šāda:
, (10.2.12)
tas ir, nekorelēto nejaušo mainīgo summas dispersija ir vienāda ar terminu dispersiju summu.
Šis apgalvojums ir pazīstams kā dispersijas pievienošanas teorēma.
8. Lineārās funkcijas dispersija
Apsveriet vairāku nejaušo mainīgo lineāro funkciju.
kur ir nejaušas vērtības.
Pierādīsim, ka šīs lineārās funkcijas dispersiju izsaka formula
, (10.2.13)
kur ir lielumu korelācijas moments ,.
Pierādījumi. Iepazīstināsim ar apzīmējumu:
. (10.2.14)
Piemērojot izteiksmes labajā pusē (10.2.14) formulu (10.2.10) summas dispersijai un ņemot to vērā, iegūstam:
kur ir lielumu korelācijas moments:
.
Aprēķināsim šo brīdi. Mums ir:
;
līdzīgi
Aizstājot šo izteicienu (10.2.15), mēs nonākam pie formulas (10.2.13).
Īpašajā gadījumā, kad visi daudzumi bez korelācijas formula (10.2.13) ir šāda:
, (10.2.16)
tas ir, nekorelēto nejaušo mainīgo lineārās funkcijas dispersija ir vienāda ar koeficientu kvadrātu reizinājumu summu ar atbilstošo argumentu dispersijām.
9. Izlases mainīgo reizinājuma matemātiskā gaidīšana
Divu nejaušo mainīgo lieluma matemātiskā cerība ir vienāda ar to matemātisko cerību reizinājumu ar korelācijas momentu:
Pierādījumi. Mēs turpināsim no korelācijas brīža definīcijas:
Mēs pārveidojam šo izteiksmi, izmantojot matemātiskās cerības īpašības:
kas acīmredzami ir ekvivalents formulai (10.2.17).
Ja nejaušie mainīgie nav savstarpēji saistīti, formula (10.2.17) ir šāda:
tas ir, divu nekorelētu nejaušo mainīgo reizinājuma reizinājums ar matemātiku ir vienāds ar viņu matemātisko gaidu reizinājumu.
Šis apgalvojums ir pazīstams kā gaidu reizināšanas teorēma.
Formula (10.2.17) ir nekas cits kā sistēmas otrā jauktā centrālā momenta izpausme, izmantojot otro jauktu sākotnējo momentu un matemātiskās cerības:
. (10.2.19)
Šo izteicienu bieži lieto praksē, aprēķinot korelācijas momentu tāpat kā vienam nejaušam mainīgajam, dispersiju bieži aprēķina, izmantojot otro sākuma momentu un matemātisko cerību.
Matemātisko cerību reizināšanas teorēma tiek vispārināta uz patvaļīgu skaitu faktoru, tikai šajā gadījumā tās piemērošanai nepietiek ar to, ka lielumi nav savstarpēji saistīti, bet ir nepieciešams, lai pazustu arī daži augstāki jaukti momenti, kuru skaits ir atkarīgs no produkta terminu skaita. Šie nosacījumi noteikti ir izpildīti, ja produktā iekļautie nejaušie mainīgie ir neatkarīgi. Šajā gadījumā
, (10.2.20)
tas ir, neatkarīgo nejaušo mainīgo lieluma produkta matemātiskā cerība ir vienāda ar viņu matemātisko gaidu reizinājumu.
Šis apgalvojums ir viegli pierādāms ar pilnīgas indukcijas metodi.
10. Neatkarīgu nejaušo mainīgo lieluma produkta izkliede
Pierādīsim, ka neatkarīgi lielumi
Pierādījumi. Apzīmēsim. Pēc dispersijas definīcijas
Tā kā daudzumi ir neatkarīgi, un
Pie neatkarīgām vērtībām arī ir neatkarīgas; tātad
,
Bet nekas cits kā otrais sākotnējais lieluma moments ir tāpēc izteikts dispersijās:
;
līdzīgi
.
Aizstājot šīs izteiksmes formulā (10.2.22) un ieviešot līdzīgus terminus, mēs nonākam pie formulas (10.2.21).
Gadījumā, ja centrētie nejaušie mainīgie tiek reizināti (vērtības ar matemātiskām cerībām, kas vienādas ar nulli), formula (10.2.21) ir šāda:
, (10.2.23)
tas ir, neatkarīgo centrēto nejaušo mainīgo reizinājums ir vienāds ar to dispersiju reizinājumu.
11. Nejaušo mainīgo summas augstākie momenti
Dažos gadījumos ir jāaprēķina neatkarīgo nejaušo mainīgo lielumu summas augstākie momenti. Pierādīsim dažas ar to saistītas attiecības.
1) Ja daudzumi ir neatkarīgi, tad
Pierādījumi.
no kurienes pēc matemātisko cerību reizināšanas teorēmas
Bet pirmais centrālais moments jebkuram daudzumam ir nulle; abi vidējie termini pazūd, un ir pierādīta formula (10.2.24).
Attiecību (10.2.24) var viegli vispārināt, ievadot patvaļīgu skaitu neatkarīgu terminu:
. (10.2.25)
2) Divu neatkarīgo nejaušo mainīgo summas ceturto centrālo momentu izsaka formula
kur ir lielumu dispersijas un.
Pierādījums ir pilnīgi līdzīgs iepriekšējam.
Izmantojot pilnīgas indukcijas metodi, ir viegli pierādīt formulas (10.2.26) vispārinājumu patvaļīgam skaitam neatkarīgu terminu.
Gaidījums ir nejauša lieluma varbūtības sadalījums
Diskrētu un nepārtrauktu nejaušo mainīgo lieluma sagaidīšana, definīcija, matemātiskā gaidīšana, izlase, nosacītā cerība, aprēķins, īpašības, uzdevumi, sagaidāmības novērtējums, dispersija, sadalījuma funkcija, formulas, aprēķinu piemēri
Izvērsiet saturu
Sakļaut saturu
Matemātiskā cerība ir definīcija
Viens no svarīgākajiem matemātiskās statistikas un varbūtību teorijas jēdzieniem, kas raksturo nejauša mainīgā lielumu vērtību vai varbūtību sadalījumu. Parasti izsaka kā vidējo svērto nejaušā lieluma visu iespējamo parametru lielumu. To plaši izmanto tehniskajā analīzē, pētniecībā ciparu sērija, nepārtrauktu un nepārtrauktu procesu izpēte. Tas ir svarīgi, novērtējot riskus, prognozējot cenu rādītājus, tirgojoties finanšu tirgos, un tiek izmantots spēļu taktikas stratēģiju un metožu izstrādē azartspēļu teorijā.
Matemātiskā cerība irnejaušā lieluma vidējā vērtība, varbūtības teorijā tiek ņemts vērā nejauša mainīgā varbūtības sadalījums.
Matemātiskā cerība irnejaušības lieluma vidējās vērtības mērs varbūtības teorijā. Gadījuma mainīgā matemātiskā cerība x apzīmēts M (x).
Matemātiskā cerība ir
Matemātiskā cerība ir varbūtības teorijā visu iespējamo vērtību svērtā vidējā vērtība, ko šis nejaušais mainīgais var iegūt.
Matemātiskā cerība irvisu iespējamo nejaušā lieluma vērtību reizinājumu summa ar šo vērtību varbūtībām.
Matemātiskā cerība ir vidējais ieguvums no konkrēta risinājuma ar nosacījumu, ka šādu risinājumu var aplūkot lielu skaitļu un tālsatiksmes teorijas ietvaros.
Matemātiskā cerība irazartspēļu teorijā - laimestu summa, ko spēlētājs var nopelnīt vai zaudēt vidēji par katru likmi. Spēlmaņu valodā to dažkārt sauc par “spēlētāja priekšrocību” (ja tā spēlētājam ir pozitīva) vai “kazino priekšrocību” (ja spēlētājam tā ir negatīva).
Matemātiskā cerība ir laimesta peļņas procentuālā daļa, kas reizināta ar vidējo peļņu mīnus zaudējumu iespējamība, kas reizināta ar vidējiem zaudējumiem.
Gadījuma mainīgā matemātiskā cerība matemātiskajā teorijā
Viena no izlases mainīgā svarīgām skaitliskajām īpašībām ir matemātiskā cerība. Iepazīstināsim ar nejaušo mainīgo sistēmas jēdzienu. Apsveriet izlases mainīgo lielumu kolekciju, kas ir tā paša nejaušā eksperimenta rezultāti. Ja - viena no iespējamām sistēmas vērtībām, tad notikums atbilst noteiktai varbūtībai, kas apmierina Kolmogorova aksiomas. Funkciju, kas definēta jebkurām iespējamām nejaušo mainīgo vērtībām, sauc par kopīga sadalījuma likumu. Šī funkcija ļauj aprēķināt visu notikumu varbūtību no. Jo īpaši nejaušo mainīgo lielumu sadalījuma kopīgais likums, kas ņem vērtības no kopas un, tiek dots ar varbūtībām.
Terminu "matemātiskā cerība" ieviesa Pjērs Saimons Markiss de Laplass (1795), un tas radās no jēdziena "paredzamā uzvaras vērtība", kas pirmo reizi 17. gadsimtā parādījās azartspēļu teorijā Blēzes Paskalas un Kristiana Huigensa darbos. Tomēr pirmo pilnīgo teorētisko izpratni un novērtējumu par šo jēdzienu sniedza Pafnutii Lvovičs Čebiševs (19. gadsimta vidus).
Gadījuma skaitlisko vērtību sadalījuma likums (sadalījuma funkcija un sadalījuma sērija vai varbūtības blīvums) pilnībā raksturo nejaušā mainīgā lieluma uzvedību. Bet, lai atbildētu uz uzdoto jautājumu, pietiek ar vairākām problēmām, lai zinātu dažus pētītā daudzuma skaitliskos raksturlielumus (piemēram, tā vidējo vērtību un iespējamo novirzi no tā). Galvenie nejaušo mainīgo skaitliskie raksturlielumi ir matemātiskā cerība, dispersija, režīms un mediāna.
Diskrēta nejauša mainīgā lieluma matemātiskā cerība ir tā iespējamo vērtību reizinājumu summa ar attiecīgajām varbūtībām. Dažreiz matemātisko cerību sauc par vidējo svērto, jo tā ir aptuveni vienāda ar izlases mainīgā lielo eksperimentu novēroto vērtību aritmētisko vidējo. No matemātiskās cerības definīcijas izriet, ka tā vērtība nav mazāka par nejaušā mainīgā iespējamo mazāko vērtību un nav lielāka par lielāko. Gadījuma mainīgā matemātiskā cerība ir nejauša (nemainīga) vērtība.
Matemātiskajam gaidījumam ir vienkārša fiziskā nozīme: ja masas vienību novieto uz taisnas līnijas, dažos punktos ievietojot kādu masu (diskrētam sadalījumam) vai "iesmērējot" to ar noteiktu blīvumu (absolūti nepārtrauktam sadalījumam), tad matemātiskajai gaidai atbilstošais punkts būs koordināta "Smaguma centrs" ir taisns.
Gadījuma mainīgā vidējā vērtība ir noteikts skaitlis, kas it kā ir tā “reprezentatīvais” un aizstāj to aptuvenos aptuvenos aprēķinos. Kad mēs sakām: "luktura vidējais darbības laiks ir 100 stundas" vai "trieciena viduspunkts tiek pārvietots attiecībā pret mērķi par 2 m pa labi", mēs norādām noteiktu nejauša mainīgā skaitlisko raksturlielumu, kas raksturo tā atrašanās vietu uz skaitliskās ass, t.i. "Pozīcijas apraksts".
No pozīcijas raksturojuma varbūtības teorijā vissvarīgākā loma ir nejauša mainīgā matemātiskajam gaidījumam, ko dažkārt sauc vienkārši par nejauša mainīgā vidējo vērtību.
Apsveriet nejaušu mainīgo Xar iespējamām vērtībām x1, x2, ..., xn ar varbūtībām p1, p2, ..., pn... Mums ar kādu skaitli jāraksturo nejauša mainīgā lielumu atrašanās vieta uz abscisu ass, ņemot vērā faktu, ka šīm vērtībām ir atšķirīgas varbūtības. Šim nolūkam ir dabiski izmantot tā dēvēto vērtību “vidējo svērto vērtību” xi, un katra xi vērtība vidējās vērtības noteikšanas laikā jāņem vērā ar "svaru", kas proporcionāls šīs vērtības varbūtībai. Tādējādi mēs aprēķināsim nejaušā lieluma vidējo lielumu Xko mēs apzīmēsim M | X |:
Šo vidējo svērto sauc par nejauša mainīgā matemātisko cerību. Tādējādi mēs esam apsvēruši vienu no vissvarīgākajiem varbūtības teorijas jēdzieniem - matemātisko cerību jēdzienu. Gadījuma mainīgā matemātiskā cerība ir visu nejaušā mainīgā iespējamo vērtību reizinājumu summa ar šo vērtību varbūtībām.
X kas saistīts ar savdabīgu saistību ar izlases mainīgā lieluma novēroto vērtību aritmētisko vidējo ar lielu eksperimentu skaitu. Šī atkarība ir tāda paša veida kā atkarība starp biežumu un varbūtību, proti: ar lielu eksperimentu skaitu nejaušā mainīgā lieluma novēroto vērtību aritmētiskais vidējais lielums tuvojas (varbūtībai saplūst) tā matemātiskajām gaidām. No sakarības starp biežumu un varbūtību var secināt kā līdzīgas attiecības klātbūtni starp vidējo aritmētisko un matemātisko cerību. Patiešām, ņem vērā nejaušo mainīgo X, ko raksturo izplatīšanas sērija:
Lai to ražo N neatkarīgi eksperimenti, kuros katrā vērtība Xiegūst noteiktu nozīmi. Pieņemsim, ka vērtība x1parādījās m1reizes, vērtība x2parādījās m2reizes, parasti nozīmē xiparādījās mi reizes. Aprēķināsim novēroto X vērtību aritmētisko vidējo vērtību, kas atšķirībā no matemātiskās cerības M | X |mēs apzīmējam M * | X |:
Palielinoties eksperimentu skaitam Nbiežums pituvosies (saplūdīs varbūtībā) atbilstošajām varbūtībām. Tādējādi nejaušā lieluma novēroto vērtību vidējais aritmētiskais M | X | palielinoties eksperimentu skaitam, tas tuvosies (saplūdīs varbūtībā) savai matemātiskajai cerībai. Iepriekšminētā saikne starp vidējo aritmētisko un matemātisko cerību ir vienas no lielo skaitļu likuma formām saturs.
Mēs jau zinām, ka visās lielo skaitļu likumu formās ir norādīts, ka noteikti vidējie rādītāji ir stabili daudziem eksperimentiem. Šeit mēs runājam par vidējā aritmētiskā stabilitāti no viena un tā paša lieluma novērojumu sērijas. Ar nelielu eksperimentu skaitu to rezultātu vidējais aritmētiskais ir nejaušs; ar pietiekamu eksperimentu skaita pieaugumu tas kļūst "gandrīz nejaušs" un, stabilizējoties, tuvojas nemainīgai vērtībai - matemātiskajai cerībai.
Vidēji stabilu īpašību ar lielu eksperimentu skaitu ir viegli pārbaudīt eksperimentāli. Piemēram, nosverot ķermeni laboratorijā ar precīzu līdzsvaru, svēršanas rezultātā mēs katru reizi iegūstam jaunu vērtību; lai samazinātu novērošanas kļūdu, mēs vairākas reizes nosveram ķermeni un izmantojam iegūto vērtību vidējo aritmētisko. Ir viegli pārliecināties, ka, palielinoties eksperimentu (svērumu) skaitam, vidējais aritmētiskais uz šo pieaugumu reaģē arvien mazāk un ar pietiekami lielu eksperimentu skaitu tas praktiski pārstāj mainīties.
Jāatzīmē, ka vissvarīgākais nejaušā mainīgā stāvokļa raksturojums - matemātiskā cerība - nepastāv visiem nejaušajiem mainīgajiem. Ir iespējams sastādīt tādu nejaušu mainīgo piemērus, kuriem matemātiskās cerības nepastāv, jo attiecīgā summa vai integrālis atšķiras. Tomēr praksē šādi gadījumi nav nozīmīga. Parasti nejaušajiem mainīgajiem, ar kuriem mēs nodarbojamies, ir ierobežots iespējamo vērtību diapazons, un, protams, tiem ir matemātiskas cerības.
Papildus svarīgākajiem no nejaušā mainīgā stāvokļa raksturlielumiem - matemātiskajai cerībai - praksē dažreiz tiek izmantotas arī citas pozīcijas īpašības, jo īpaši nejaušā mainīgā lieluma režīms un mediāna.
Gadījuma mainīgā režīms ir tā iespējamākā vērtība. Termins "visticamākā vērtība", stingri runājot, attiecas tikai uz pārtrauktajiem lielumiem; nepārtrauktam lielumam režīms ir tā vērtība, kurā varbūtības blīvums ir maksimāls. Attēlos parādīts režīms attiecīgi nepārtrauktiem un nepārtrauktiem nejaušiem mainīgajiem.
Ja sadalījuma daudzstūrim (sadalījuma līknei) ir vairāk nekā viens maksimums, sadalījumu sauc par "polimodālu".
Dažreiz ir sadalījumi, kuru vidū ir minimums, nevis maksimums. Šādus sadalījumus sauc par "antimodāliem".
Parasti nejaušā mainīgā lieluma režīms un matemātiskā cerība nesakrīt. Īpašajā gadījumā, kad sadalījums ir simetrisks un modāls (t.i., tam ir režīms) un ir matemātiska cerība, tad tas sakrīt ar sadalījuma simetrijas režīmu un centru.
Bieži tiek izmantota vēl viena pozīcijas īpašība - tā sauktais nejaušā mainīgā mediāns. Šo raksturlielumu parasti izmanto tikai nepārtrauktiem nejaušiem mainīgajiem, lai gan formāli to var noteikt nepārtrauktam mainīgajam. Ģeometriski mediāna ir tā punkta abscisa, kurā sadalījuma līknes ierobežotā platība tiek samazināta uz pusi.
Simetriska modālā sadalījuma gadījumā mediāna sakrīt ar matemātisko cerību un režīmu.
Matemātiskā cerība ir nejaušā mainīgā vidējā vērtība - nejaušā lieluma varbūtības sadalījuma skaitliskais raksturlielums. Vispārīgākajā veidā nejauša mainīgā matemātiskā gaidīšana X (w) ir definēts kā Lebesgue integrālis attiecībā uz varbūtības mēru Rsākotnējā varbūtības telpā:
Matemātiskās cerības var aprēķināt kā Lebesgue integrāli xpēc varbūtības sadalījuma pxlielumi X:
Dabiskā veidā jūs varat definēt nejauša mainīgā jēdzienu ar bezgalīgu matemātisku cerību. Atgriešanās laiks dažos gadījuma pastaigās ir tipiski piemēri.
Izmantojot matemātisko cerību, tiek noteikti daudzi sadalījuma skaitliskie un funkcionālie raksturlielumi (kā nejauša mainīgā atbilstošo funkciju matemātiskā cerība), piemēram, ģenerējošā funkcija, raksturīgā funkcija, jebkuras kārtas momenti, it īpaši dispersija, kovariācija.
Matemātiskā cerība ir nejauša mainīgā lielumu atrašanās vietas raksturojums (tā sadalījuma vidējā vērtība). Šajā spējā matemātiskā cerība kalpo kā kaut kāds "tipisks" sadalījuma parametrs, un tā loma ir līdzīga statiskā momenta - masas sadalījuma smaguma centra koordinātu - lomai mehānikā. Matemātiskā cerība atšķiras no citiem atrašanās vietas raksturlielumiem, ar kuru palīdzību sadalījums tiek aprakstīts vispārīgi, mediāni, režīmi, ar lielāku vērtību, kāda tam un attiecīgajai izkliedes īpašībai - izkliedei - ir varbūtības teorijas robežteoremās. Ar vislielāko pilnību matemātisko cerību nozīmi atklāj lielu skaitļu likums (Čebiševa nevienlīdzība) un nostiprināts lielu skaitļu likums.
Diskrēta nejauša lieluma matemātiskā cerība
Lai ir kāds nejaušs mainīgais, kas var iegūt vienu no vairākām skaitliskām vērtībām (piemēram, metot kauliņu punktu skaits var būt 1, 2, 3, 4, 5 vai 6). Praksē bieži rodas jautājums par šādu vērtību: kādu vērtību tas prasa "vidēji" lielam skaitam testu? Kādi būs mūsu vidējie ienākumi (vai zaudējumi) no katras riskantās darbības?
Pieņemsim, ka ir kāda veida loterija. Mēs vēlamies saprast, vai ir izdevīgi tajā piedalīties (vai pat atkārtoti, regulāri piedalīties). Teiksim, katra ceturtā laimētā biļete, balva ir 300 rubļu, un jebkuras biļetes cena ir 100 rubļu. Tā kā ir bezgala liels dalības skaits, tas notiek. Trīs ceturtdaļās gadījumu mēs zaudēsim, katrs trīs zaudējums maksās 300 rubļu. Katrā ceturtajā gadījumā mēs laimēsim 200 rubļus. (balva mīnus izmaksas), tas ir, par četrām dalībām mēs zaudējam vidēji 100 rubļus, par vienu - vidēji 25 rubļus. Kopumā mūsu pazudināšanas vidējā likme būs 25 rubļi / biļete.
Mēs metam kauliņus. Ja tā nav krāpšanās (nav smaguma centra nobīdes utt.), Cik punktu mums būs vidēji vienā reizē? Tā kā katra iespēja ir vienlīdz iespējama, mēs ņemam stulbu vidējo aritmētisko un iegūstam 3,5. Tā kā tas ir VIDĒJS, nevajag sašutumu, ka neviens konkrēts metiens nedos 3,5 punktus - labi, šim kubam nav malas ar šādu skaitli!
Tagad apkoposim savus piemērus:
Apskatīsim tikko parādīto attēlu. Kreisajā pusē ir nejauša mainīgā sadalījuma tabula. Vērtībai X var būt viena no n iespējamām vērtībām (parādīta augšējā rindā). Citas vērtības nevar būt. Katra iespējamā vērtība zemāk ir apzīmēta ar tās varbūtību. Labajā pusē ir formula, kur M (X) sauc par matemātisko cerību. Šīs vērtības nozīme ir tāda, ka, izmantojot lielu skaitu testu (ar lielu izlasi), vidējai vērtībai būs tendence uz šo pašu matemātisko cerību.
Atgriezīsimies pie tā paša spēles kuba. Matemātiskā cerība par punktu skaitu metot ir 3,5 (aprēķiniet sevi, izmantojot formulu, ja neticat). Pieņemsim, ka jūs to iemetāt pāris reizes. Viņi nokrita 4 un 6. Vidēji izrādījās 5, tas ir, tālu no 3,5. Viņi to iemeta vēl vienu reizi, nokrita 3, tas ir, vidēji (4 + 6 + 3) / 3 \u003d 4,3333 ... Kaut kā tālu no matemātiskās cerības. Tagad veic šo trako eksperimentu - ripini kubu 1000 reizes! Un, ja vidējais rādītājs nav precīzi 3,5, tas būs tuvu tam.
Aprēķināsim iepriekš aprakstītās loterijas matemātiskās cerības. Plāksne izskatīsies šādi:
Tad matemātiskās cerības būs tādas, kā mēs to noteicām iepriekš:
Cita lieta, ka to būtu grūti izdarīt tikai uz pirkstiem, bez formulas, ja būtu vairāk iespēju. Pieņemsim, ka jums bija 75% zaudēto biļešu, 20% laimēto biļešu un 5% papildu uzvarēto biļešu.
Tagad dažas matemātiskās cerības īpašības.
To pierādīt ir vienkārši:
Pastāvīgu koeficientu ir atļauts izņemt no matemātiskās cerības zīmes, tas ir:
Šis ir matemātiskās cerības linearitātes īpašības īpašs gadījums.
Citas matemātiskās cerības linearitātes sekas:
tas ir, izlases lielumu summas matemātiskās cerības ir vienādas ar izlases mainīgo matemātisko cerību summu.
Ļaujiet X, Y būt neatkarīgiem izlases lielumiem, tad:
To arī nav grūti pierādīt) XY pats par sevi ir nejaušs mainīgais, ja sākotnējās vērtības varētu aizņemt nun mvērtības attiecīgi, tad XYvar ņemt nm vērtības. Katras vērtības varbūtība tiek aprēķināta, pamatojoties uz faktu, ka tiek reizinātas neatkarīgu notikumu varbūtības. Rezultātā mēs iegūstam šo:
Nepārtraukta izlases lieluma matemātiskās cerības
Nepārtrauktiem nejaušiem mainīgajiem ir tāds raksturlielums kā sadalījuma blīvums (varbūtības blīvums). Faktiski tas raksturo situāciju, ka nejaušs mainīgais lielākoties ņem dažas vērtības no reālo skaitļu kopas, dažas - retāk. Piemēram, ņemiet vērā šo diagrammu:
Šeit Xpats par sevi ir izlases lielums, f (x)- izplatības blīvums. Spriežot pēc šī grafika, eksperimentos vērtība Xbieži būs skaitlis, kas ir tuvu nullei. Izredzes pārsniegt 3 vai mazāk -3 drīzāk tīri teorētiski.
Piemēram, ļaujiet būt vienmērīgam sadalījumam:
Tas diezgan saskan ar intuitīvo izpratni. Sakiet, ja mēs iegūstam daudz nejaušu reālo skaitļu ar vienmērīgu sadalījumu, katrs no segmentiem |0; 1| , tad vidējam aritmētiskajam jābūt apmēram 0,5.
Šeit tiek piemērotas arī matemātiskās cerības īpašības - linearitāte utt., Kas piemērojamas diskrētiem nejaušiem mainīgajiem.
Saistība starp matemātiskajām gaidām un citiem statistiskajiem rādītājiem
Statistiskajā analīzē līdztekus matemātiskajām cerībām pastāv savstarpēji atkarīgu indikatoru sistēma, kas atspoguļo parādību viendabīgumu un procesu stabilitāti. Variāciju rādītājiem bieži nav neatkarīgas nozīmes, un tos izmanto turpmākai datu analīzei. Izņēmums ir variācijas koeficients, kas raksturo datu viendabīgumu, kas ir vērtīga statistika.
Procesa mainīguma vai stabilitātes pakāpi statistikas zinātnē var izmērīt, izmantojot vairākus rādītājus.
Vissvarīgākais rādītājs, kas raksturo izlases lieluma mainīgumu, ir Izkliede, kas ir vistiešāk un vistiešāk saistīts ar matemātiskajām cerībām. Šis parametrs tiek aktīvi izmantots cita veida statistiskajā analīzē (hipotēžu pārbaude, cēloņu un seku attiecību analīze utt.). Tāpat kā lineārais vidējais, dispersija atspoguļo arī datu izplatības ap vidējo lielumu.
Zīmju valoda ir noderīga tulkošanai vārdu valodā. Izrādās, ka dispersija ir noviržu vidējais kvadrāts. Tas ir, vispirms tiek aprēķināts vidējais lielums, pēc tam tiek ņemta starpība starp katru oriģinālu un vidējo, sakārtota kvadrātā, pievienota un pēc tam dalīta ar vērtību skaitu populācijā. Starpība starp individuālo vērtību un vidējo atspoguļo novirzes lielumu. Tas ir sadalīts kvadrātā tā, lai visas novirzes kļūtu tikai par pozitīvajiem skaitļiem un lai izvairītos no pozitīvu un negatīvu noviržu savstarpējas iznīcināšanas, kad tās tiek summētas. Tad ar noviržu kvadrātiem mēs vienkārši aprēķinām vidējo aritmētisko. Vidējās - kvadrāta - novirzes. Novirzes ir sašūtas kvadrātā un ņem vērā vidējo. Atbilde uz burvju vārdu "dispersija" ir tikai trīs vārdi.
Tomēr tā tīrā formā, piemēram, vidējais aritmētiskais vai indekss, dispersija netiek izmantota. Tas drīzāk ir papildu un starpposma rādītājs, ko izmanto citiem statistiskās analīzes veidiem. Viņai pat nav normālas mērvienības. Spriežot pēc formulas, tas ir sākotnējo datu mērvienības kvadrāts.
Izmērīsim izlases mainīgo Nreizes, piemēram, mēs desmit reizes izmērām vēja ātrumu un vēlamies atrast vidējo vērtību. Kā vidējais lielums ir saistīts ar sadalījuma funkciju?
Vai arī mēs kauliņu ripināsim vairākas reizes. To punktu skaits, kas nokrīt uz veidnes ar katru rullīti, ir nejaušs mainīgais lielums, un tam var būt jebkuras dabiskās vērtības no 1 līdz 6. Visiem kauliņu ruļļiem aprēķināto kritušo punktu vidējais aritmētiskais arī ir nejaušs lielums, bet lieliem Ntas mēdz pilnībā konkrēts numurs - matemātiskas cerības Mx... Šajā gadījumā Mx \u003d 3,5.
Kā šī vērtība radās? Ielaist Nizmēģinājumi n1vienreiz nokritis par 1 punktu, n2reizes - 2 punkti un tā tālāk. Tad iznākumu skaits, par kuriem kritās viens punkts:
Tāpat par rezultātiem, kad tiek iesisti 2, 3, 4, 5 un 6 punkti.
Pieņemsim, ka tagad, kad mēs zinām izlases mainīgā x sadalījuma likumu, tas ir, mēs zinām, ka izlases mainīgais x var ņemt vērtības x1, x2, ..., xk ar varbūtībām p1, p2, ..., pk.
Nejauša mainīgā x matemātiskā cerība Mx ir:
Matemātiskās cerības ne vienmēr ir saprātīgas dažu izlases lielumu aplēses. Tātad, lai novērtētu vidējo algu, ir saprātīgāk izmantot vidējās vērtības jēdzienu, tas ir, tādu vērtību, ka to cilvēku skaits, kuri saņem mazāk par vidējo algu un vairāk, ir vienāds.
Varbūtība p1, ka izlases mainīgais x būs mazāks par x1 / 2, un varbūtība p2, ka nejaušais mainīgais x būs lielāks par x1 / 2, ir vienāda un vienāda ar 1/2. Mediāna nav unikāli noteikta visiem sadalījumiem.
Standarta vai standarta novirze statistikā ir pakāpe, kādā novērojamie dati vai kopas atšķiras no vidējā. To apzīmē ar burtiem s vai s. Neliela standartnovirze norāda, ka dati ir sagrupēti ap vidējo, savukārt liela standarta novirze norāda, ka sākotnējie dati ir tālu no tā. Standarta novirze ir kvadrātsakne daudzums, ko sauc par dispersiju. Tas ir sākotnējo datu atšķirību kvadrātā vidējais lielums, kas atšķiras no vidējā. Nejauša mainīgā lieluma vidējās kvadrātiskās novirzes sauc par dispersijas kvadrātsakni:
Piemērs. Pārbaudes apstākļos, fotografējot ar mērķi, aprēķina izlases lieluma dispersiju un standartnovirzi:
Variācija- pazīmes vērtības mainīgums, mainīgums populācijas vienībās. Objekta individuālās skaitliskās vērtības, kas rodas pētāmajā populācijā, tiek sauktas par vērtību opcijām. Vidējās vērtības nepietiekamība pilnīgai populācijas īpašībai liek papildināt vidējās vērtības ar rādītājiem, kas ļauj novērtēt šo vidējo rādītāju raksturīgumu, izmērot pētāmās pazīmes mainīgumu (variācijas). Varianta koeficientu aprēķina pēc formulas:
Pārvelciet variācijas (R) ir atšķirība starp pazīmes maksimālo un minimālo vērtību pētāmajā populācijā. Šis rādītājs sniedz vispāratzītāko priekšstatu par pētāmās pazīmes mainīgumu, jo tas parāda atšķirību tikai starp iespēju robežvērtībām. Atkarība no pazīmes galējām vērtībām variācijas diapazonam piešķir nestabilu, nejaušu raksturu.
Vidējā lineārā novirzeir visu analizētās populācijas vērtību absolūto (modulo) noviržu no vidējās aritmētiskais:
Cerības azartspēļu teorijā
Matemātiskā cerība irvidējā naudas summa, kuru spēlētājs var laimēt vai zaudēt uz doto likmi. Šis ir ļoti svarīgs spēlētāja jēdziens, jo tas ir būtisks, lai novērtētu lielāko daļu spēles situāciju. Gaidīšana ir arī optimāls rīks pamatkaršu un spēles situāciju analīzei.
Teiksim, ka jūs spēlējat monētu ar draugu, katru reizi izdarot likmes 1 USD vienādi neatkarīgi no tā, kas rodas. Astes - jūs uzvarējat, galvas - jūs zaudējat. Izredzes uz nākamo astīti ir viens pret vienu, un jūs veicat likmes no USD 1 līdz USD 1. Tādējādi jūsu matemātiskās cerības ir nulle, jo matemātiski runājot, jūs nevarat zināt, vai vadīsit vai zaudēsit pēc divām mētāšanām vai pēc 200.
Jūsu stundas ieguvums ir nulle. Stundas uzvara ir naudas summa, kuru jūs sagaidāt laimēt stundā. Stundas laikā vari 500 reizes aplocīt monētu, bet neuzvarēsi un nezaudēsi tāpēc jūsu izredzes nav ne pozitīvas, ne negatīvas. No nopietna spēlētāja viedokļa šāda derību sistēma nav slikta. Bet tas ir vienkārši laika izšķiešana.
Bet pieņemsim, ka kāds tajā pašā spēlē vēlas likt 2 USD pret jūsu 1 USD. Tad jums uzreiz ir pozitīvas cerības uz 50 centiem no katras likmes. Kāpēc 50 centi? Vidēji laimēsi vienu likmi, bet otru - zaudē. Veiciet likmi par pirmo dolāru un zaudējiet USD 1, bet otro un laimējiet 2 USD. Jūs veicat likmi USD 1 divreiz un esat USD 1 priekšā. Tātad katra no jūsu viena dolāra likmēm jums deva 50 centus.
Ja monēta izkrīt 500 reizes vienā stundā, jūsu stundas laimests jau būs USD 250, jo vidēji jūs zaudējāt 1 250 reizes un 2 250 reizes ieguvāt. 500 USD mīnus 250 USD ir vienāds ar 250 USD, kas ir kopējais laimests. Lūdzu, ņemiet vērā, ka paredzamā vērtība, kas ir summa, kuru jūs vidēji laimējāt uz vienas likmes, ir 50 centi. Jūs laimējāt USD 250, ievietojot dolāra likmi 500 reizes, kas ir vienāda ar 50 centiem no likmes.
Gaidīšanai nav nekā kopīga ar īstermiņa rezultātiem. Jūsu pretinieks, kurš nolēma likt likmi USD 2 pret jums, varēja pārspēt jūs pirmajos desmit mētāšanās pēc kārtas, bet jūs, kam ir 2: 1 derības priekšrocība, ja visas pārējās lietas visos gadījumos ir vienādas, jūs nopelnāt 50 centus no katras USD 1 likmes. Nav nozīmes tam, vai jūs uzvarējat vai zaudējat vienu vai vairākas likmes, bet tikai tad, ja jums ir pietiekami daudz naudas, lai mierīgi kompensētu izmaksas. Ja jūs turpināsit derēt tāpat, tad ilgā laika posmā jūsu laimests sasniegs jūsu cerību summu atsevišķos metienos.
Katru reizi, kad veicat likmi ar vislabāko iznākumu (derība, kas ilgtermiņā var izrādīties rentabla), kad izredzes ir jūsu labā, jūs esat pārliecināts, ka kaut ko tajā uzvarēsit, un nav nozīmes tam, vai pazaudējat vai nē. Un otrādi, ja jūs veicat likmi ar sliktāko iznākumu (likme, kas ilgtermiņā nav rentabla), kad izredzes nav jūsu labā, jūs kaut ko zaudējat neatkarīgi no tā, vai uzvarējat vai zaudējat dotajā rokā.
Jūs derējat ar vislabāko iznākumu, ja jūsu cerības ir pozitīvas, un tas ir pozitīvs, ja izredzes ir jūsu pusē. Veicot likmi ar sliktāko iznākumu, jums ir negatīvas cerības, kas notiek, ja izredzes ir pret jums. Nopietni spēlētāji veic derības tikai ar vislabāko iznākumu, sliktākajā gadījumā viņi izlozē. Ko izredzes nozīmē jūsu labā? Iespējams, ka jūs laimēsit vairāk, nekā nes reālās izredzes. Reālās izredzes uz nākamajām astēm ir 1 pret 1, bet likmju attiecības dēļ jūs saņemat 2 pret 1. Šajā gadījumā izredzes ir jūsu labā. Jūs noteikti iegūsit labāko rezultātu ar pozitīvām cerībām - 50 centiem par derību.
Šeit ir sarežģītāks gaidāmās vērtības piemērs. Jūsu draugs raksta skaitļus no viena līdz pieciem un izdara likmes 5 USD pret jūsu 1 USD, lai jūs nenosakītu slēpto numuru. Vai jums vajadzētu piekrist šādai derībai? Kādas ir cerības šeit?
Vidēji jūs četras reizes kļūdāties. Balstoties uz to, koeficienti pret jums, uzminot skaitli, ir no 4 līdz 1. Likmes ir tādas, ka vienā mēģinājumā jūs pazaudējat dolāru. Tomēr jūs uzvarēsit ar 5 pret 1, ja varat zaudēt ar 4 pret 1. Tātad koeficienti ir jūsu labā, varat veikt likmi un cerēt uz labāku iznākumu. Ja veicat šo likmi piecas reizes, vidēji jūs zaudēsit četras reizes 1 USD un vienu reizi laimēsit 5 USD. Balstoties uz to, par visiem pieciem mēģinājumiem jūs nopelnīsit 1 USD ar pozitīvu paredzamo vērtību - 20 centus par derību.
Spēlētājs, kurš iegūs vairāk, nekā derēs, tāpat kā iepriekšminētajā piemērā, noķer koeficientu. Un otrādi, viņš sabojā izredzes, kad viņš cer uzvarēt mazāk, nekā liek. Spēlētājam, kurš veic likmi, var būt gan pozitīvas, gan negatīvas cerības, kas ir atkarīgs no tā, vai viņš noķer vai iznīcina izredzes.
Ja jūs derēsit 50 USD, lai laimētu 10 USD ar laimesta varbūtību 4: 1, jūs iegūsit negatīvas cerības 2 USD vērtībā, jo vidēji jūs vinnējat četras reizes 10 USD un vienu reizi zaudējat 50 USD, kas parāda, ka zaudējumi vienai likmei ir 10 USD. Bet, ja jūs veicat likmi 30 USD apmērā, lai iegūtu 10 USD, ar vienādām iespējām laimēt 4 pret 1, šajā gadījumā jums ir pozitīvas cerības uz 2 USD, jo jūs atkal uzvarējat četras reizes par 10 ASV dolāriem un vienu reizi zaudējat 30 ASV dolārus, lai nopelnītu 10 ASV dolārus. Šie piemēri parāda, ka pirmā likme ir slikta, bet otrā - laba.
Jebkuras spēles situācijas centrā ir matemātiskās cerības. Kad bukmeikeris mudina futbola līdzjutējus veikt likmes 11 USD apmērā, lai laimētu 10 USD, viņiem ir pozitīvas cerības uz 50 centiem par katriem 10 USD. Ja kazino izmaksā vienādu naudu no garlaicīgās līnijas craps, tad kazino pozitīvās cerības ir aptuveni 1,40 USD par katriem 100 USD, jo Šī spēle ir veidota tā, ka visi, kas veic likmes šajā līnijā, zaudē vidēji 50,7% un uzvar 49,3% no kopējā laika. Neapšaubāmi, ka tieši šīs šķietami minimālās pozitīvās cerības rada kolosālu peļņu kazino īpašniekiem visā pasaulē. Kā atzīmēja Vegas World kazino īpašnieks Bobs Stupaks: "Tūkstoš procenta negatīva varbūtība pietiekami lielā attālumā sabojās bagātāko cilvēku pasaulē."
Paredzamā vērtība, spēlējot pokeru
Pokera spēle ir uzskatāmākais un ilustratīvākais piemērs matemātisko cerību teorijas un īpašību izmantošanā.
Paredzamā vērtība pokerā ir vidējais ieguvums no konkrēta lēmuma, ar nosacījumu, ka šādu lēmumu var apsvērt liela skaita un tālsatiksmes teorijas ietvaros. Veiksmīga pokera spēle nozīmē vienmēr pieņemt pārmaiņas ar pozitīvām cerībām.
Matemātisko cerību matemātiskā nozīme, spēlējot pokeru, ir tāda, ka, pieņemot lēmumu, mēs bieži sastopamies ar nejaušiem mainīgajiem (mēs nezinām, kuras kārtis ir mūsu pretinieka rokās, kuras kartes nāks nākamajās derību kārtās). Mums ir jāapsver katrs no risinājumiem no lielo skaitļu teorijas viedokļa, kurā teikts, ka ar pietiekami lielu izlasi nejauša mainīgā lieluma vidējai vērtībai būs tendence uz tā matemātiskajām cerībām.
Starp konkrētajām formulām matemātisko cerību aprēķināšanai pokerā visvairāk piemērojams:
Spēlējot pokeru, paredzamo vērtību var aprēķināt gan likmēm, gan zvaniem. Pirmajā gadījumā ir jāņem vērā kārtējais kapitāls, otrajā - paša poda izredzes. Novērtējot gājiena matemātiskās cerības, atcerieties, ka krokām vienmēr ir nulle. Tādējādi karšu izmešana vienmēr būs izdevīgāks lēmums nekā jebkurš negatīvs gājiens.
Gaidīšana jums pateiks, ko jūs varat sagaidīt (peļņu vai zaudējumus) par katru dolāru, kuru riskējat. Kazino pelna naudu, jo cerības uz visām spēlēm, kuras tajās tiek praktizētas, atbalsta kazino. Izmantojot pietiekami garu spēļu sēriju, jūs varat sagaidīt, ka klients zaudēs naudu, jo "varbūtība" ir par labu kazino. Tomēr profesionāli kazino spēlētāji ierobežo savas spēles uz īsu laika periodu, tādējādi palielinot koeficientu viņu labā. Tas pats attiecas uz ieguldījumiem. Ja jūsu cerības ir pozitīvas, jūs varat nopelnīt vairāk naudas, veicot daudzus darījumus īsā laika posmā. Gaidīšana ir jūsu peļņas procents, kas iegūts no uzvaras, reizināts ar vidējo peļņu, no kuras atņem jūsu zaudējumu varbūtību, kas reizināta ar vidējo zaudējumu.
Pokeru var aplūkot arī matemātisko cerību izteiksmē. Jūs varat pieņemt, ka noteikts gājiens ir rentabls, taču dažos gadījumos tas var izrādīties tālu no labākā, jo cits solis ir izdevīgāks. Pieņemsim, ka jūs piecu kāršu pokerā trāpījāt pilnu māju. Jūsu pretinieks liek derības. Jūs zināt, ka, ja jūs paaugstināsit cenu, viņš atbildēs. Tāpēc paaugstināšana izskatās pēc labākās taktikas. Bet, ja jūs paaugstināsit likmi, atlikušie divi spēlētāji noteikti nāks klajā. Bet, ja jūs piezvanīsit, jūs būsiet pilnīgi pārliecināts, ka divi citi spēlētāji pēc jums izdarīs to pašu. Paaugstinot likmi, jūs saņemat vienu vienību, un vienkārši piezvaniet - divas. Tādējādi izlīdzināšana dod augstākas pozitīvas matemātiskas cerības un ir vislabākā taktika.
Matemātiskās cerības var arī dot priekšstatu par to, kura taktika pokerā ir mazāk izdevīga un kura - vairāk. Piemēram, spēlējot noteiktu roku, jūs domājat, ka jūsu zaudējumi būs vidēji 75 centi, ieskaitot skudras, tad šī roka jāspēlē tāpēc, ka tas ir labāk nekā salocīt, ja ante ir USD 1.
Vēl viens svarīgs iemesls, lai izprastu matemātisko cerību būtību, ir tāds, ka tas dod jums miera sajūtu neatkarīgi no tā, vai uzvarējāt derību vai nē: ja izdarījāt labu likmi vai saliecāt laiku, jūs zināt, ka esat nopelnījis vai ietaupījis noteiktu naudas summu, kas vājāko spēlētāju nevarēja glābt. Ir daudz grūtāk salocīt, ja esat sajukums, ka pretinieks ir izdarījis spēcīgāku roku apmaiņā. Ar visu to nauda, \u200b\u200bkuru ietaupījāt, nespēlējot, nevis derības, tiek pievienota jūsu laimestiem par nakti vai mēnesi.
Tikai atceraties, ka, ja jūs nomainījāt savas rokas, pretinieks jums piezvanīs, un kā jūs redzēsit rakstā "Pokera pamatteorema", tā ir tikai viena no jūsu priekšrocībām. Jums vajadzētu būt priecīgam, kad tas notiek. Jūs pat varat iemācīties izbaudīt zaudēto roku, jo jūs zināt, ka citi spēlētāji jūsu vietā būtu zaudējuši daudz vairāk.
Kā sākumā norādīts monētu spēles piemērā, stundas peļņas likme ir saistīta ar paredzamo vērtību, un šī koncepcija īpaši svarīgi profesionāliem spēlētājiem. Kad jūs gatavojaties spēlēt pokeru, jums garīgi jānovērtē, cik daudz jūs varat laimēt stundas spēlē. Vairumā gadījumu jums būs jāpaļaujas uz savu intuīciju un pieredzi, taču varat izmantot arī kādu matemātiku. Piemēram, jūs spēlējat izlozes zemo bumbiņu un redzat, ka trīs spēlētāji izdara likmes 10 USD un pēc tam apmainās ar divām kārtīm, kas ir ļoti slikta taktika, jūs varētu domāt, ka katru reizi, kad viņi izdara likmi 10 USD, viņi zaudē apmēram 2 USD. Katrs no viņiem to dara astoņas reizes stundā, kas nozīmē, ka visi trīs zaudē apmēram 48 USD stundā. Jūs esat viens no atlikušajiem četriem spēlētājiem, kuri ir aptuveni vienādi, tāpēc šiem četriem spēlētājiem (un jums starp tiem) ir jāsadala 48 USD, un katra peļņa būs USD 12 stundā. Jūsu stundas likme šajā gadījumā ir tikai jūsu naudas daļa, ko stundas laikā zaudē trīs slikti spēlētāji.
Ilgā laika posmā spēlētāja kopējā samaksa ir viņa matemātisko cerību summa atsevišķās rokās. Jo vairāk jūs spēlējat ar pozitīvām cerībām, jo \u200b\u200bvairāk jūs uzvarēsit, un otrādi, jo vairāk roku ar negatīvām cerībām spēlējat, jo vairāk zaudēsit. Tā rezultātā jums vajadzētu izvēlēties spēli, kas var maksimizēt jūsu pozitīvās cerības vai noliegt negatīvās, lai jūs varētu maksimāli palielināt stundas laimestus.
Pozitīvas matemātiskas cerības spēles stratēģijā
Ja jūs zināt, kā skaitīt kārtis, jums var būt mala pār kazino, ja viņi to neredz un izsit jūs. Kazino mīl iereibušus spēlētājus un nevar stāvēt pie kāršu skaitītājiem. Priekšrocība ļauj uzvarēt vairāk reizes laika gaitā nekā zaudējat. Laba naudas pārvaldīšana, izmantojot matemātiskos cerību aprēķinus, var palīdzēt jums labāk izmantot jūsu priekšrocības un samazināt zaudējumus. Bez priekšrocībām labāk ziedot naudu labdarībai. Tirdzniecībā biržā priekšrocības dod spēļu sistēma, kas rada lielāku peļņu nekā zaudējumus, cenu atšķirības un komisijas. Neviena naudas pārvaldīšana neglābs sliktu spēļu sistēmu.
Pozitīvas cerības nosaka ar vērtību, kas ir lielāka par nulli. Jo lielāks šis skaitlis, jo spēcīgākas ir statistiskās cerības. Ja vērtība ir mazāka par nulli, arī matemātiskās cerības būs negatīvas. Jo lielāks ir negatīvās vērtības modulis, jo sliktāka ir situācija. Ja rezultāts ir nulle, tad cerības tiek pārtrauktas. Jūs varat uzvarēt tikai tad, ja ir pozitīvas matemātiskas cerības, saprātīga spēles sistēma. Spēlēšana ar intuīciju noved pie katastrofas.
Cerības un biržas tirdzniecība
Matemātiskās cerības ir diezgan plaši pieprasīts un populārs statistikas rādītājs, veicot biržas tirdzniecību finanšu tirgos. Šis parametrs galvenokārt tiek izmantots, lai analizētu tirdzniecības panākumus. Nav grūti uzminēt, ka jo augstāka ir dotā vērtība, jo vairāk iemeslu uzskatīt pētāmo tirdzniecību par veiksmīgu. Protams, tirgotāja darba analīzi nevar veikt tikai ar šī parametra palīdzību. Tomēr aprēķinātā vērtība kombinācijā ar citām darba kvalitātes novērtēšanas metodēm var ievērojami uzlabot analīzes precizitāti.
Matemātiskās cerības bieži tiek aprēķinātas tirdzniecības kontu uzraudzības pakalpojumos, kas ļauj ātri novērtēt darbu, kas veikts ar depozītu. Kā izņēmumus var minēt stratēģijas, kurās tiek zaudēta darījuma zaudēšana. Tirgotājam kādu laiku var būt paveicies, un tāpēc viņa darbā zaudējumi var nebūt. Šajā gadījumā nav iespējams orientēties tikai pēc cerībām, jo \u200b\u200bdarbā izmantotie riski netiks ņemti vērā.
Tirgojoties tirgū, matemātiskas cerības visbiežāk izmanto, prognozējot tirdzniecības stratēģijas rentabilitāti vai prognozējot tirgotāja ienākumus, pamatojoties uz viņa iepriekšējo darījumu statistiskajiem datiem.
Naudas pārvaldības jomā ir ļoti svarīgi saprast, ka, veicot darījumus ar negatīvām cerībām, nav tādas naudas pārvaldības shēmas, kas noteikti var dot lielu peļņu. Ja jūs turpināsit spēlēt biržā ar šiem nosacījumiem, tad neatkarīgi no tā, kā pārvaldāt savu naudu, jūs pazaudēsit visu savu kontu neatkarīgi no tā, cik liels tas bija sākumā.
Šī aksioma attiecas ne tikai uz spēlēm vai darījumiem ar negatīvām cerībām, bet arī uz spēlēm ar vienādām izmaiņām. Tāpēc vienīgais gadījums, kad jums ir iespēja gūt labumu ilgtermiņā, ir tad, ja jūs noslēdzat darījumus ar pozitīvu paredzamo vērtību.
Atšķirība starp negatīvajām un pozitīvajām gaidām ir atšķirība starp dzīvību un nāvi. Nav svarīgi, cik pozitīvas vai cik negatīvas ir cerības; svarīgi ir tas, vai tas ir pozitīvs vai negatīvs. Tāpēc, pirms apsverat naudas pārvaldības jautājumus, jums jāatrod spēle ar pozitīvām cerībām.
Ja jums šādas spēles nav, tad neviena naudas pārvaldīšanas summa pasaulē jūs neglābs. No otras puses, ja jums ir pozitīvas cerības, tad, izmantojot labu naudas pārvaldību, jūs to varat pārvērst eksponenciālā izaugsmes funkcijā. Nav svarīgi, cik maz ir šo pozitīvo cerību! Citiem vārdiem sakot, nav svarīgi, cik rentabla ir vienota līgumu tirdzniecības sistēma. Ja jums ir sistēma, kas laimē 10 USD par līgumu par vienu tirdzniecību (pēc komisiju atskaitīšanas un novirzes), varat izmantot naudas pārvaldības paņēmienus, lai padarītu to rentablāku nekā sistēma, kas uzrāda vidējo peļņu 1000 USD par tirdzniecību (pēc komisiju atskaitīšana un samazinājums).
Svarīgi nav tas, cik sistēma bija rentabla, bet gan tas, cik droši var apgalvot, ka nākotnē sistēma rādīs vismaz minimālo peļņu. Tāpēc vissvarīgākais sagatavošanās darbs, ko tirgotājs var veikt, ir pārliecināties, ka sistēma nākotnē parādīs pozitīvas matemātiskas cerības.
Lai nākotnē būtu pozitīvas matemātiskas cerības, ir ļoti svarīgi neierobežot jūsu sistēmas brīvības pakāpes. Tas tiek panākts ne tikai novēršot vai samazinot optimizējamo parametru skaitu, bet arī samazinot pēc iespējas vairāk sistēmas noteikumu. Katrs pievienotais parametrs, visi jūsu veiktie noteikumi, visas mazākās izmaiņas, ko veicat sistēmā, samazina brīvības pakāpi. Ideālā gadījumā jums jāveido diezgan primitīva un vienkārša sistēma, kas gandrīz vienmēr ienesīs nelielu peļņu. Atkal ir svarīgi saprast, ka nav svarīgi, cik sistēma ir rentabla, ja vien tā ir rentabla. Tirdzniecībā nopelnītā nauda tiks nopelnīta, efektīvi pārvaldot naudu.
Tirdzniecības sistēma ir vienkārši rīks, kas dod pozitīvas matemātiskas cerības, lai varētu izmantot naudas pārvaldību. Sistēmas, kas darbojas (rāda vismaz minimālu peļņu) tikai vienā vai dažos tirgos vai kurām ir atšķirīgi noteikumi vai parametri dažādiem tirgiem, visticamāk, nedarbosies reālajā laikā pietiekami ilgi. Lielākajai daļai tehnoloģiju lietpratēju tirgotāju problēma ir tā, ka viņi pavada pārāk daudz laika un pūļu, lai optimizētu dažādus tirdzniecības sistēmas noteikumus un parametru vērtības. Tas dod pilnīgi pretējus rezultātus. Tā vietā, lai tērētu enerģiju un datoru laiku, lai palielinātu tirdzniecības sistēmas peļņu, koncentrējiet savu enerģiju uz minimālās peļņas gūšanas uzticamības līmeņa paaugstināšanu.
Zinot, ka naudas pārvaldīšana ir tikai skaitliska spēle, kurā nepieciešama pozitīvu cerību izmantošana, tirgotājs var pārtraukt meklēt akciju tirdzniecības „svēto Grālu”. Tā vietā viņš var sākt pārbaudīt savu tirdzniecības metodi, uzzināt, cik loģiski šī metode ir, vai tā dod pozitīvas cerības. Pareizās naudas pārvaldības metodes, kas tiek piemērotas jebkurām, pat viduvējām tirdzniecības metodēm, pārējo darbu veiks paši.
Lai jebkurš tirgotājs gūtu panākumus savā darbā, ir jāatrisina trīs vissvarīgākie uzdevumi:. Pārliecinieties, ka veiksmīgu darījumu skaits pārsniedz neizbēgamas kļūdas un nepareizus aprēķinus; Iestatiet savu tirdzniecības sistēmu tā, lai iespēja nopelnīt būtu pēc iespējas biežāka; Panāciet savu darbību pozitīvā rezultāta stabilitāti.
Un šeit mums, strādājošiem tirgotājiem, var palīdzēt matemātiskās cerības. Šis termins varbūtības teorijā ir viens no galvenajiem. Ar tās palīdzību jūs varat dot noteiktas izlases vērtības vidējo novērtējumu. Nejauša mainīgā matemātiskās cerības ir līdzīgas smaguma centram, ja visas iespējamās varbūtības iedomājamies kā punktus ar dažādām masām.
Saistībā ar tirdzniecības stratēģiju, lai novērtētu tās efektivitāti, visbiežāk izmanto matemātiskas cerības uz peļņu (vai zaudējumiem). Šis parametrs tiek definēts kā iegūtā peļņas un zaudējumu līmeņa produktu summa un to rašanās varbūtība. Piemēram, izstrādātajā tirdzniecības stratēģijā tiek pieņemts, ka 37% no visiem darījumiem nesīs peļņu, bet pārējie - 63% - būs nerentabli. Tajā pašā laikā vidējie ienākumi no veiksmīga darījuma būs 7 USD, bet vidējie zaudējumi - 1,4 USD. Aprēķināsim matemātiskās cerības uz tirdzniecību, izmantojot šādu sistēmu:
Ko nozīmē šis skaitlis? Tajā teikts, ka, ievērojot šīs sistēmas noteikumus, vidēji no katras slēgtās tirdzniecības mēs saņemsim 1,708 USD. Tā kā iegūtais efektivitātes novērtējums ir lielāks par nulli, tad šādu sistēmu var izmantot reālam darbam. Ja aprēķina rezultātā matemātiskās cerības izrādās negatīvas, tad tas jau runā par vidējiem zaudējumiem, un šāda tirdzniecība novedīs pie sagraušanas.
Peļņas daudzumu par vienu tirdzniecību var izteikt arī kā relatīvo vērtību procentos. Piemēram:
- ienākumu procentuālais daudzums uz 1 darījumu - 5%;
- veiksmīgu tirdzniecības operāciju procents - 62%;
- zaudējumu procents uz 1 darījumu - 3%;
- neveiksmīgu darījumu procentuālais daudzums - 38%;
Tas ir, vidējā tirdzniecība radīs 1,96%.
Ir iespējams izveidot sistēmu, kas, neskatoties uz nerentablo darījumu izplatību, sniegs pozitīvu rezultātu, jo tā MO\u003e 0.
Tomēr ar gaidīšanu vien nepietiek. Ir grūti nopelnīt naudu, ja sistēma dod ļoti maz tirdzniecības signālu. Šajā gadījumā tā rentabilitāte būs salīdzināma ar bankas procentiem. Ļaujiet katram darījumam dot vidēji USD 0,50, bet ko darīt, ja sistēma uzņemas 1000 darījumus gadā? Šī būs ļoti nopietna summa salīdzinoši īsā laikā. No tā loģiski izriet, ka vēl viena labas tirdzniecības sistēmas atšķirīga iezīme ir īss pozīciju turēšanas periods.
Avoti un saites
dic.academic.ru - akadēmiskā interneta vārdnīca
matemātika.ru - vietne matemātikā
nsu.ru - Novosibirskas Valsts universitātes izglītības vietne
webmath.ru - izglītības portāls studentiem, pretendentiem un skolniekiem.
vietne exponenta.ru
ru.tradimo.com - bez maksas tiešsaistes skola tirdzniecība
crypto.hut2.ru - daudznozaru informācijas resurss
poker-wiki.ru - bezmaksas pokera enciklopēdija
sernam.ru - Zinātniskā bibliotēka atlasītas dabaszinātņu publikācijas
reshim.su - vietne LET'S SOLVE kursa kontroles uzdevumus
unfx.ru - Forex UNFX: apmācība, tirdzniecības signāli, uzticības pārvaldība
slovopedia.com - liels enciklopēdiskā vārdnīca Slovopedia
pokermansion.3dn.ru - jūsu ceļvedis pokera pasaulē
statanaliz.info - informācijas emuārs « Statistiskā analīze dati "
forex-trader.rf - portāls Forex-Trader
megafx.ru - aktuāla Forex analīze
fx-by.com - viss tirgotājam
Matemātiskā cerība ir definīcija
Mate cerības ir viens no svarīgākajiem jēdzieniem matemātiskajā statistikā un varbūtību teorijā, kas raksturo vērtību sadalījumu vai varbūtības izlases mainīgais. Parasti izsaka kā nejauša mainīgā visu iespējamo parametru vidējo svērto lielumu. To plaši izmanto tehniskajā analīzē, skaitlisko sēriju izpētē, nepārtrauktu un ilgtermiņa procesu izpētē. Tas ir svarīgi, novērtējot riskus, prognozējot cenu rādītājus, tirgojoties finanšu tirgos, tas tiek izmantots, izstrādājot stratēģiju un spēles taktikas metodes azartspēļu teorija.
Čeka draudzene gaida - tas irizlases lieluma vidējā vērtība, sadalījums varbūtības izlases lielums tiek ņemts vērā varbūtības teorijā.
Mate cerības irizlases lieluma vidējās vērtības mērs varbūtības teorijā. Matemātikas cerības uz nejaušu mainīgo x apzīmēts M (x).
Iedzīvotāju vidējais ir
Mate cerības ir
Mate cerības ir varbūtības teorijā visu iespējamo vērtību svērtā vidējā vērtība, ko šis nejaušais mainīgais var iegūt.
Mate cerības irvisu iespējamo nejaušā lieluma vērtību reizinājumu summa ar šo vērtību varbūtībām.
Iedzīvotāju vidējais ir
Mate cerības ir vidējais ieguvums no konkrēta risinājuma ar nosacījumu, ka šādu risinājumu var aplūkot lielu skaitļu un tālsatiksmes teorijas ietvaros.
Mate cerības irazartspēļu teorijā laimestu summa, ko spekulants var nopelnīt vai zaudēt vidēji par katru likmi. Azartspēļu valodā spekulanti to dažreiz sauc par "priekšrocību spekulants"(Ja spekulantam tas ir pozitīvs) vai" kazino priekšrocība "(ja spekulantam tas ir negatīvs).
Iedzīvotāju vidējais ir
Katru atsevišķi ņemto vērtību pilnībā nosaka tā sadalījuma funkcija. Arī praktisku problēmu risināšanai ir pietiekami zināt vairākus skaitliskos raksturlielumus, pateicoties kuriem kļūst iespējams īsā formā parādīt izlases mainīgā galvenās iezīmes.
Šīs vērtības galvenokārt ietver paredzamā vērtība un izkliede .
Paredzētā vērtība - nejauša mainīgā lieluma vidējā vērtība varbūtību teorijā. Tas tiek norādīts kā.
Visvairāk vienkāršā veidā nejauša mainīgā matemātiskās cerības X (w)atrast kā neatņemamaLebesgue attiecībā uz varbūtības mēru R oriģināls varbūtības telpa
Jūs varat arī atrast matemātiskas cerības uz vērtību kā lebesgue integrālis no plkst x pēc varbūtības sadalījuma P X lielumi X:
kur ir visu iespējamo vērtību kopums X.
Nejauša mainīgā funkciju matemātiskā cerība X notiek caur izplatīšanu P X. piemēram, ja X - izlases mainīgais ar vērtībām un f (x) - nepārprotami borelsfunkcija X , tad:
Ja F (x) - sadales funkcija X, tad matemātiskās cerības ir reprezentablas neatņemamaLebesgue - Stieltjes (vai Riemann - Stieltjes):
turklāt integrējamība X attiecībā uz ( * ) atbilst integrala galīgumam
Īpašos gadījumos, ja X ir diskrēts sadalījums ar iespējamām vērtībām x k, k \u003d 1, 2,. , un varbūtības, tad
ja X ir absolūti nepārtraukts sadalījums ar varbūtības blīvumu p (x)tad
šajā gadījumā matemātiskas cerības esamība ir līdzvērtīga attiecīgās sērijas vai integrāļa absolūtai konverģencei.
Nejauša mainīgā matemātiskās cerības īpašības.
- Pastāvīgas vērtības matemātiskās cerības ir vienādas ar šo vērtību:
C- nemainīgs;
- M \u003d C.M [X]
- Nejauši ņemtu vērtību summas matemātiskās cerības ir vienādas ar to matemātisko cerību summu:
- Neatkarīgi nejauši ņemtu lielumu reizinājuma matemātiskās cerības \u003d to matemātisko cerību reizinājums:
M \u003d M [X] + M [Y]
ja X un Y neatkarīgs.
ja sērija saplūst:
Matemātiskās cerības aprēķināšanas algoritms.
Diskrētu nejaušu mainīgo īpašības: visas to vērtības var numurēt ar naturāliem skaitļiem; pielīdziniet katru vērtību ar nulles varbūtību.
1. Sareiziniet pārus pēc kārtas: x i uz p i.
2. Pievienojiet katra pāra produktu x i p i.
Piemēram, priekš n = 4 :
Diskrēta nejauša mainīgā sadalījuma funkcija pakāpeniski tas pēkšņi palielinās tajos punktos, kuru varbūtībām ir pozitīva zīme.
Piemērs:Pēc formulas atrodiet paredzamo vērtību.
Paredzētā vērtība - nejauša mainīgā lieluma vidējā vērtība (stacionāra nejauša mainīgā varbūtības sadalījums), kad paraugu skaitam vai mērījumu skaitam (dažreiz viņi saka - testu skaits) ir tendence uz bezgalību.
Parasti tiek saukts ierobežota skaita viendimensiju izlases lieluma aritmētiskais vidējais matemātisko cerību novērtējums... Ja stacionāra nejauša procesa testu skaitam ir tendence uz bezgalību, matemātisko cerību aprēķins mēdz matemātiskās cerības.
Gaidīšana ir viens no varbūtības teorijas pamatjēdzieniem).
Enciklopēdisks YouTube
1 / 5
✪ Gaidīšana un dispersija - bezbotvy
✪ Varbūtību teorija 15: Gaidīšana
✪ Gaidīšana
✪ Matemātiskās cerības un dispersija. Teorija
✪ Paredzētā vērtība tirdzniecībā
Subtitri
Definīcija
Ļaujiet norādīt varbūtības atstarpi (Ω, A, P) (\\ displaystyle (\\ Omega, (\\ mathfrak (A)), \\ mathbb (P))) un tajā definēts izlases mainīgais X (\\ displaystyle X)... Tas ir, pēc definīcijas, X: Ω → R (\\ displeja stils X \\ kols \\ Omega \\ uz \\ mathbb (R)) ir izmērāma funkcija. Ja ir Lebesgue integrālis X (\\ displaystyle X) kosmosā Ω (\\ displaystyle \\ Omega), tad to sauc par matemātisko cerību jeb vidējo (paredzamo) vērtību un apzīmē M [X] (\\ displaystyle M [X]) vai E [X] (\\ displaystyle \\ mathbb (E) [X]).
M [X] \u003d ∫ Ω X (ω) P (d ω). (\\ displaystyle M [X] \u003d \\ int \\ limits _ (\\ Omega) \\! X (\\ omega) \\, \\ mathbb (P) (d \\ omega).)Matemātiskās cerības pamatformulas
M [X] \u003d ∫ - ∞ d x d F X (x); x ∈ R (\\ displaystyle M [X] \u003d \\ int \\ limits _ (- \\ infty) ^ (\\ infty) \\! x \\, dF_ (X) (x); x \\ in \\ mathbb (R)).
Diskrētā sadalījuma matemātiskās cerības
P (X \u003d xi) \u003d pi, ∑ i \u003d 1 ∞ pi \u003d 1 (\\ displaystyle \\ mathbb (P) (X \u003d x_ (i)) \u003d p_ (i), \\; \\ summa \\ robežas _ (i \u003d 1 ) ^ (\\ infty) p_ (i) \u003d 1),tad no Lebesgue integrala definīcijas tieši izriet, ka
M [X] \u003d ∑ i \u003d 1 ∞ x i p i (\\ displaystyle M [X] \u003d \\ summa \\ robežas _ (i \u003d 1) ^ (\\ infty) x_ (i) \\, p_ (i)).Paredzamā veselas vērtības vērtība
P (X \u003d j) \u003d p j, j \u003d 0, 1,. ... ... ; ∑ j \u003d 0 ∞ pj \u003d 1 (\\ displaystyle \\ mathbb (P) (X \u003d j) \u003d p_ (j), \\; j \u003d 0,1, ...; \\ quad \\ summa \\ ierobežojumi _ (j \u003d 0 ) ^ (\\ infty) p_ (j) \u003d 1)tad tās matemātiskās cerības var izteikt ar secības ģenerējošo funkciju (p i) (\\ displaystyle \\ (p_ (i) \\))
P (s) \u003d ∑ k \u003d 0 ∞ p k s k (\\ displaystyle P (s) \u003d \\ summa _ (k \u003d 0) ^ (\\ infty) \\; p_ (k) s ^ (k))kā pirmā atvasinājuma vērtību vienībā: M [X] \u003d P ′ (1) (\\ displeja stils M [X] \u003d P "(1))... Ja matemātiskās cerības X (\\ displaystyle X) bezgalīgi tad lim s → 1 P ′ (s) \u003d ∞ (\\ displaystyle \\ lim _ (s \\ to 1) P "(s) \u003d \\ infty) un mēs rakstīsim P ′ (1) \u003d M [X] \u003d ∞ (\\ displaystyle P "(1) \u003d M [X] \u003d \\ infty)
Tagad pieņemsim ģenerēšanas funkciju Q (s) (\\ displaystyle Q (s)) sadales astes secības (q k) (\\ displaystyle \\ (q_ (k) \\))
q k \u003d P (X\u003e k) \u003d ∑ j \u003d k + 1 ∞ p j; Q (s) \u003d ∑ k \u003d 0 ∞ q k s k. (\\ displeja stils q_ (k) \u003d \\ mathbb (P) (X\u003e k) \u003d \\ summa _ (j \u003d k + 1) ^ (\\ infty) (p_ (j)); \\ quad Q (s) \u003d \\ summa _ (k \u003d 0) ^ (\\ infty) \\; q_ (k) s ^ (k).)Šī ģenerēšanas funkcija ir saistīta ar iepriekš definētu funkciju P (s) (\\ displaystyle P (s)) īpašums: Q (s) \u003d 1 - P (s) 1 - s (\\ displaystyle Q (s) \u003d (\\ frac (1-P (s)) (1-s))) plkst | s |< 1 {\displaystyle |s|<1} ... No tā vidējās vērtības teorēma izriet, ka matemātiskās cerības ir vienkārši vienādas ar šīs funkcijas vērtību vienotībā:
M [X] \u003d P ′ (1) \u003d Q (1) (\\ displaystyle M [X] \u003d P "(1) \u003d Q (1))Cerības uz absolūti nepārtrauktu izplatīšanu
M [X] \u003d ∫ - ∞ ∞ xf X (x) dx (\\ displaystyle M [X] \u003d \\ int \\ limits _ (- \\ infty) ^ (\\ infty) \\! Xf_ (X) (x) \\, dx ).Nejauša vektora matemātiskās cerības
Ļaujiet būt X \u003d (X 1,…, X n) ⊤: Ω → R n (\\ displaystyle X \u003d (X_ (1), \\ punkti, X_ (n)) ^ (\\ top) \\ kols \\ Omega \\ līdz \\ mathbb ( R) ^ (n)) ir izlases vektors. Tad pēc definīcijas
M [X] \u003d (M [X 1],…, M [X n]) ⊤ (\\ displaystyle M [X] \u003d (M, \\ punkti, M) ^ (\\ top)),tas ir, vektora matemātiskās cerības tiek noteiktas komponentu veidā.
Nejauša mainīgā pārveidošanas matemātiskās cerības
Ļaujiet būt g: R → R (\\ displeja stils g \\ kols \\ mathbb (R) \\ līdz \\ mathbb (R)) ir tāda Borela funkcija, ka izlases mainīgais Y \u003d g (X) (\\ displeja stils Y \u003d g (X)) ir ierobežotas matemātiskas cerības. Tad formula tam ir derīga
M [g (X)] \u003d ∑ i \u003d 1 ∞ g (xi) pi, (\\ displaystyle M \\ left \u003d \\ summa \\ limits _ (i \u003d 1) ^ (\\ infty) g (x_ (i)) p_ ( i),)ja X (\\ displaystyle X) ir diskrēts sadalījums;
M [g (X)] \u003d ∫ - ∞ ∞ g (x) f X (x) dx, (\\ displaystyle M \\ left \u003d \\ int \\ limits _ (- \\ infty) ^ (\\ infty) \\! G (x ) f_ (X) (x) \\, dx,)ja X (\\ displaystyle X) ir absolūti nepārtraukta izplatīšana.
Ja sadalījums P X (\\ displaystyle \\ mathbb (P) ^ (X)) izlases mainīgais X (\\ displaystyle X) tad vispārējā forma
M [g (X)] \u003d ∫ - ∞ ∞ g (x) P X (d x). (\\ displaystyle M \\ left \u003d \\ int \\ limits _ (- \\ infty) ^ (\\ infty) \\! g (x) \\, \\ mathbb (P) ^ (X) (dx).)Īpašajā gadījumā, kad g (X) \u003d X k (\\ displeja stils g (X) \u003d X ^ (k)), paredzamā vērtība M [g (X)] \u003d M [X k] (\\ displaystyle M \u003d M) sauca k (\\ displaystyle k)-gadījuma mainīgā lieluma moments.
Vienkāršākās matemātiskās cerības īpašības
- Skaitļa matemātiskās cerības ir pats skaitlis.
- Matemātiskās cerības ir lineāras, tas ir
