Kā uzzīmēt parasto piecstūri. Regulārs piecstūris: nepieciešamais informācijas minimums
Nevar iztikt bez šī procesa tehnikas apgūšanas. Ir vairākas iespējas, kā iegūt darbu. Tas, kā uzzīmēt zvaigzni, izmantojot lineālu, palīdzēs jums saprast slavenākās šī procesa metodes.
Zvaigžņu šķirnes
Formas, piemēram, zvaigznes, parādīšanās ir daudz iespēju.
Kopš seniem laikiem tās piecstaru šķirne tika izmantota, lai zīmētu pentagrammas. Tas ir saistīts ar tā īpašību, kas ļauj uzzīmēt zīmējumu, nepaceļot pildspalvu no papīra.
Ir arī sešstūru astes komētas.
Jūras zvaigznei tradicionāli ir piecas virsotnes. Ziemassvētku versijas attēlus bieži atrod ar tādu pašu formu.
Jebkurā gadījumā, lai pa posmiem uzzīmētu piecstaru zvaigzni, jums jāizmanto īpaši rīki, jo brīvas rokas attēls diez vai izskatīsies simetrisks un skaists.
Zīmējuma izpilde
Lai saprastu, kā uzzīmēt vienmērīgu zvaigzni, jums ir jāsaprot šī skaitļa būtība.
Tās kontūras pamats ir pārtraukta līnija, kuras gali saplūst sākuma punktā. Tas veido regulāru piecstūri - piecstūri.
Šāda skaitļa atšķirīgās īpašības ir spēja to ievietot gan aplī, gan arī apli šajā daudzstūrī.
Visas piecstūra malas ir vienādas. Izprotot, kā pareizi izpildīt zīmējumu, jūs varat saprast visu figūru, kā arī dažādu detaļu un mezglu shēmu konstruēšanas procesa būtību.
Lai sasniegtu šādu mērķi, kā uzzīmēt zvaigzni, izmantojot lineālu, jums jāzina vienkāršākās matemātiskās formulas, kurām ir galvenā nozīme ģeometrijā. Jums būs nepieciešama arī spēja rēķināties ar kalkulatoru. Bet vissvarīgākais ir loģiskā domāšana.
Darbs nav grūts, taču tam būs nepieciešama precizitāte un rūpība. Par ieguldītajām pūlēm tiks atalgots ar labu simetrisku un līdz ar to skaistu piecstaru zvaigznes attēlu.
Klasiskā tehnika
Slavenākais veids, kā uzzīmēt zvaigzni, izmantojot kompasu, lineālu un proraktoru, ir diezgan vienkāršs.
Lai izmantotu šo paņēmienu, jums būs nepieciešami vairāki rīki: kompass vai transportieris, lineāls, vienkāršs zīmulis, dzēšgumija un balta papīra lapa.
Lai saprastu, kā skaisti uzzīmēt zvaigzni, jums jārīkojas secīgi, soli pa solim.
Savā darbā varat izmantot īpašus aprēķinus.
Attēla aprēķins
Šajā pareizās zvaigznes zīmēšanas posmā parādās gatavās formas kontūras.
Ja tas izdarīts pareizi, iegūtais attēls būs līdzens. To var vizuāli pārbaudīt, pagriežot papīra lapu un novērtējot formu. Tas būs vienāds katrā solī.
Galvenās kontūras skaidrāk tiek vadītas ar lineālu un vienkāršu zīmuli. Visas celtniecības līnijas tiek noņemtas.
Lai saprastu, kā zvaigzni uzzīmēt pakāpeniski, visas darbības jāveic pārdomāti. Kļūdas gadījumā jūs varat labot zīmējumu ar dzēšgumiju vai veikt visas darbības vēlreiz.
Darba reģistrācija
Gatavo formu var dekorēt dažādos veidos. Galvenais ir nebaidīties eksperimentēt. Fantāzija ieteiks oriģinālu un skaistu attēlu.
Jūs varat krāsot uzzīmētu pat zvaigzni ar vienkāršu zīmuli vai izmantot visdažādākās krāsas un nokrāsas.
Lai izdomātu, kā uzzīmēt pareizo zvaigzni, jums visā pasaulē jāpaliek pie perfektām līnijām. Tāpēc vispopulārākais dizaina variants ir sadalīt katru formas staru divās vienādās daļās ar līniju, kas stiepjas no augšas līdz centram.
Zvaigznes malas nav jānodala ar līnijām. Atļauts vienkārši pārkrāsot katru figūras staru ar tumšāku nokrāsu no vienas puses.
Šī opcija būs arī atbilde uz jautājumu, kā uzzīmēt pareizo zvaigzni, jo visas tās līnijas būs simetriskas.
Ja vēlaties, ar figūras estētisko dizainu jūs varat pievienot rotājumu vai citus dažādus elementus. Pievienojot lokus virsotnēm, jūs varat iegūt šerifa zvaigzni. Pielietojot ēnu malu vienmērīgu apspalvojumu, jūs varat iegūt jūras zvaigzni.
Šis paņēmiens ir visizplatītākais, jo tas bez piepūles ļauj saprast, kā posmos uzzīmēt piecstaru zvaigzni. Neizmantojot sarežģīto matemātiskie aprēķini, ir iespējams iegūt pareizu, skaistu attēlu.
Apsverot visus veidus, kā uzzīmēt zvaigzni, izmantojot lineālu, varat izvēlēties sev vispiemērotāko. Vispopulārākā ir ģeometriskā pakāpeniskā metode. Tas ir diezgan vienkārši un efektīvi. Izmantojot fantāziju un iztēli, tas ir iespējams no saņemtā pareizā, skaista forma izveidot oriģinālu kompozīciju. Attēlam ir ļoti daudz dizaina iespēju. Bet jūs vienmēr varat nākt klajā ar savu, neparastu un neaizmirstamu zemes gabalu. Galvenais, nebaidīties eksperimentēt!
Šī forma ir daudzstūris ar minimālu stūru skaitu, ko nevar bruģēt ar laukumu. Tikai piecstūrim ir tāds pats diagonāļu skaits kā tā malām. Izmantojot formulas patvaļīgam regulāram daudzstūrim, jūs varat noteikt visus nepieciešamos parametrus, kādi ir piecstūrim. Piemēram, lai to ierakstītu aplī ar noteiktu rādiusu vai veidotu, pamatojoties uz doto sānu.
Kā pareizi uzzīmēt staru un kādi zīmēšanas piederumi jums nepieciešami? Paņemiet papīra lapu un atzīmējiet punktu patvaļīgā vietā. Pēc tam piestipriniet lineālu un no norādītā punkta līdz bezgalībai novilkt līniju. Lai novilktu taisnu līniju, nospiediet taustiņu Shift un uzzīmējiet vajadzīgā garuma līniju. Tūlīt pēc zīmēšanas atveras cilne Formatēt. Noņemiet atlasi no līnijas, un līnijas sākumā parādīsies punkts. Lai izveidotu etiķeti, noklikšķiniet uz pogas "Draw Label" un izveidojiet lauku, kurā etiķete atradīsies.
Pirmā piecstūra konstruēšanas metode tiek uzskatīta par "klasiskāku". Iegūtā forma būs parasts piecstūris. Dodekagons nav izņēmums, tāpēc tā lietošana nebūs iespējama, neizmantojot kompasu. Regulārā piecstūra konstruēšanas uzdevums tiek samazināts līdz uzdevumam dalīt loku ar pieciem vienādās daļās... Jūs varat uzzīmēt pentagrammu, izmantojot vienkāršākos rīkus.
Es ilgi cīnījos, cenšoties to sasniegt un patstāvīgi atrast proporcijas un atkarības, taču man tas neizdevās. Izrādījās, ka pastāv vairākas dažādas iespējas regulāra piecstūra konstruēšanai, ko izstrādājuši slaveni matemātiķi. Interesants ir tas, ka šo problēmu aritmētiski var atrisināt tikai aptuveni precīzi, jo jums būs jāizmanto neracionāli skaitļi. Bet to var atrisināt ģeometriski.
Apļu dalīšana. Šo līniju un apļa krustošanās punkti ir kvadrāta virsotnes. Vertikālais diametrs jānovelk aplī ar rādiusu R (1. solis). Taisnas līnijas un apļa konjugācijas punktā N taisnā līnija ir pieskare riņķim.
Saņemšana ar papīra sloksni
Regulāru sešstūri var uzbūvēt, izmantojot sliedi un 30X60 ° kvadrātu. Šāda trīsstūra virsotnes var veidot, izmantojot kompasu un kvadrātu ar 30 un 60 ° leņķi vai tikai vienu kompasu. Lai izveidotu 2.-3. Malu, novietojiet sacīkšu ceļu pozīcijā ar punktētām līnijām un novilciet taisnu līniju caur punktu 2, kas definēs trīsstūra trešo virsotni. Mēs atzīmējam 1. punktu uz apļa un uztveram to kā vienu no piecstūra virsotnēm. Mēs savienojam atrastās virsotnes virknē viens ar otru. Heptagonu var izveidot, velkot starus no F pola un pa nepāra vertikālā diametra dalījumiem.
Un otrā pavediena galā iestatiet zīmuli un apsēstu. Ja jūs zināt, kā uzzīmēt zvaigzni, bet nezināt, kā uzzīmēt piecstūri, zīmējiet zvaigzni ar zīmuli, pēc tam savienojiet blakus esošos zvaigznes galus un pēc tam pats izdzēsiet zvaigzni. Tad ielieciet papīra lapu (labāk to nostiprināt uz galda ar četrām pogām vai adatām). Izmantojiet pogas vai adatas, lai šīs 5 svītras piestiprinātu pie papīra lapas, lai tās nekustētos. Pēc tam apļojiet iegūto piecstūri un noņemiet šīs svītras no lapas.
Piemēram, mums jānozīmē piecstaru zvaigzne (pentagramma) padomju pagātnes vai Ķīnas tagadnes attēlam. Tiesa, tam jums jāspēj perspektīvā izveidot zvaigznes zīmējumu. Līdzīgi jūs varat uzzīmēt formu ar zīmuli uz papīra. Kā pareizi uzzīmēt zvaigzni, lai tā izskatās gluda un skaista, jūs nevarat uzreiz atbildēt.
No centra nolaidiet 2 starus uz apkārtmēru tā, lai leņķis starp tiem būtu 72 grādi (aizsargs). Apļa sadalīšana piecās daļās tiek veikta, izmantojot parasto kompasu vai proraktoru. Tā kā parastais piecstūris ir viens no skaitļiem, kas satur zelta proporcijas proporcijas, gleznotāji un matemātiķi jau sen ir ieinteresēti tā uzbūvē. Šie uzbūves principi, izmantojot kompasu un lineālu, tika izklāstīti Eiklīda principos.
Ja pie rokas nav kompasa, tad jūs varat uzzīmēt vienkāršu zvaigzni ar pieciem stariem un pēc tam vienkārši savienot šos starus. kā redzat attēlā zemāk, tiek iegūts absolūti regulārs piecstūris.
Matemātika ir grūta zinātne, un tai ir daudz savu noslēpumu, no kuriem daži ir diezgan uzjautrinoši. Ja jums patīk šādas lietas, iesaku jums atrast grāmatu Smieklīgā Matemātika.
Apli var uzzīmēt ne tikai ar kompasu. Varat, piemēram, izmantot zīmuli un diegu. Mēs izmērām nepieciešamo diametru uz vītnes. Vienu galu cieši iespiežam uz papīra lapas, kur mēs uzzīmēsim apli. Un otrā pavediena galā iestatiet zīmuli un apsēstu. Tagad tas darbojas tāpat kā ar kompasu: mēs izvelkam pavedienu un ap apkārtmēru, nedaudz nospiežot ar zīmuli, mēs zīmējam apli.
Apļa iekšpusē zīmējiet zemniekus: vertikālu līniju un horizontālu līniju. Vertikālās līnijas un apļa krustojums būs piecstūra virsotne (1. punkts). Tagad horizontālās līnijas labo pusi sadaliet uz pusēm (2. punkts). Mēs izmērām attālumu no šī punkta līdz piecstūra virsotnei, un šis segments ir novietots pa kreisi no 2. punkta (3. punkts). Izmantojot diegu un zīmuli, no 1. punkta ar rādiusu līdz punktam 3 uzvelciet loka, kas krustojas ar pirmo apli kreisajā un labajā pusē - krustošanās punkti būs piecstūra virsotnes. Norādīsim viņu 4. un 5. punktu.
Tagad no 4. punkta mēs izgatavojam loka, kas šķērso apli apakšā, ar rādiusu, kas vienāds ar garumu no 1. līdz 4. punktam - tas būs punkts 6. Tādā pašā veidā no 5. punkta - mēs apzīmējam ar 7. punktu.
Atliek savienot mūsu piecstūri ar 1., 5., 7., 6., 4. virsotni.
Es zinu, kā, izmantojot kompasu, izveidot vienkāršu piecstūri: Uzzīmējiet apli, atzīmējiet piecus punktus, savienojiet tos. Jūs varat izveidot piecstūri ar vienādās pusēs, mums tas joprojām ir vajadzīgs, lai aizstātu. Mēs tikai ievietojām tos pašus 5 punktus gar protraktoru. Lai to izdarītu, atzīmējiet 72 grādu leņķi. Tad mēs arī savienojamies ar segmentiem un iegūstam vajadzīgo formu.
Zaļo apli var novilkt ar patvaļīgu rādiusu. Šajā lokā mēs ierakstīsim regulāru piecstūri. Nevar precīzi uzzīmēt apli bez kompasa, bet tas nav nepieciešams. Apli un visu turpmāko konstrukciju var veikt ar rokām. Tālāk caur apļa O centru jums jāzīmē divas savstarpēji perpendikulāras līnijas un viens no līnijas un apļa krustošanās punktiem, apzīmējot A. Punkts A būs piecstūra virsotne. Mēs sadalām OB rādiusu uz pusēm un ielieciet punktu C. No punkta C mēs zīmējam otro apli ar rādiusu AC. No punkta A mēs uzzīmējam trešo apli ar rādiusu AD. Trešā apļa un pirmā (E un F) krustošanās punkti būs arī piecstūra virsotnes. No punktiem E un F ar rādiusu AE mēs izveidojam iegriezumus uz pirmā apļa un iegūstam atlikušās piecstūra G un H virsotnes.
Melnās mākslas adepti: lai vienkārši, skaisti un ātri uzzīmētu piecstūri, jums vajadzētu uzzīmēt pareizu, harmonisku pentagrammas (piecstaru zvaigzne) pamatu un savienot šīs zvaigznes staru galus ar taisnām, vienmērīgām līnijām. Ja viss tika izdarīts pareizi, savienojošā līnija ap pamatni būs vēlamais piecstūris.
(attēlā - aizpildīta, bet neaizpildīta pentagramma)
Tiem, kuri nav pārliecināti par pentagrammas pareizību: par pamatu ņemiet Vitruvas vīru Da Vinči (skat. Zemāk)
Ja jums ir nepieciešams piecstūris - nejauši salaidiet 5 punktus, un to ārējā kontūra būs piecstūris.
Ja jums ir nepieciešams parasts piecstūris, tad bez matemātiska kompasa šī konstrukcija nav iespējama, jo bez tā nav iespējams uzzīmēt divus identiskus, bet ne paralēlus segmentus. Jebkurš cits rīks, kas ļauj novilkt divas identiskas, bet ne paralēlas līnijas, ir līdzvērtīgs matemātiskajam kompasam.
Vispirms jānozīmē aplis, tad vadotnes, tad otrais punktētais aplis, atrodiet augšējo punktu, pēc tam izmēriet divus augšējos stūrus, no tiem novelciet apakšējos. Ņemiet vērā, ka kompasa rādiuss visā konstrukcijā ir vienāds.
Viss atkarīgs no tā, kurš piecstūris jums ir nepieciešams. Ja ir, tad ielieciet piecus punktus un savienojiet tos savā starpā (protams, mēs neliekam punktus taisnā līnijā). Un, ja jums ir nepieciešams pareizas formas piecstūris, paņemiet jebkuru piecu garumu (papīra sloksnes, sērkociņi, zīmuļi utt.), Izklājiet piecstūri un izkliedējiet to.
Piecstūri var novilkt, piemēram, no zvaigznes. Ja jūs zināt, kā uzzīmēt zvaigzni, bet nezināt, kā uzzīmēt piecstūri, zīmējiet zvaigzni ar zīmuli, pēc tam savienojiet blakus esošos zvaigznes galus un pēc tam pats izdzēsiet zvaigzni.
Otrais ceļš. Izgrieziet papīra sloksni, kuras garums ir vienāds ar vajadzīgo piecstūra pusi un šauru platumu, teiksim, 0,5–1 cm. Kā veidni, nogrieziet gar šo sloksni vēl četras vienādas svītras, lai kopā būtu 5.
Tad ielieciet papīra lapu (labāk to nostiprināt uz galda ar četrām pogām vai adatām). Tad novietojiet šīs 5 svītras uz papīra lapas tā, lai tās veidotu piecstūri. Izmantojiet pogas vai adatas, lai šīs 5 svītras piestiprinātu pie papīra lapas, lai tās nekustētos. Pēc tam apļojiet iegūto piecstūri un noņemiet šīs svītras no lapas.
Ja nav kompasa un jums ir jāveido piecstūris, tad es varu ieteikt sekojošo. Es pats to uzcēlu. Jūs varat uzzīmēt parastu piecstaru zvaigzni. Un pēc tam, lai iegūtu piecstūri, jums vienkārši jāpieslēdz visas zvaigznes virsotnes. Šādi izrādīsies piecstūris. Lūk, ko mēs iegūstam
Ar gludām melnām līnijām mēs savienojām zvaigznes virsotnes un ieguvām piecstūri.
5.3. Zelta Pentagons; Eiklida būve.
Brīnišķīgs "zelta attiecības" piemērs ir parasts piecstūris - izliekts un zvaigznes formas (5. att.).
Lai izveidotu pentagrammu, jums jāveido parasts piecstūris.
Ļaujiet O apļa centram, A ir apļa punkts un E segmenta OA viduspunktam. Perpendikulārs rādiuss OA, kas atjaunots punktā O, krustojas ar apli punktā D. Izmantojot kompasu, mēs atlikām segmentu CE \u003d ED uz diametru. Lokā ierakstīta regulāra piecstūra sānu garums ir DC. Mēs noliekam malā segmentus DC uz apļa un iegūstam piecus punktus parastā piecstūra zīmēšanai. Mēs savienojam piecstūra stūrus caur vienu diagonāli un iegūstam pentagrammu. Visas piecstūra diagonāles sadala viena otrai daiviņās, kuras savieno zelta proporcija.
Katrs piecstūra zvaigznes gals ir zelta trīsstūris. Tās malas veido 36 ° leņķi virsotnē un pamatni, kas ir uzlikta pusē, to dala proporcijā zelta proporcija.
Ir arī zelta kuboids - tas taisnstūra paralēlskaldnis ar ribām, kuru garums ir 1,618, 1 un 0,618.
Tagad apsveriet Eiklida piedāvāto pierādījumu sadaļā "Elementi".
| |
no aprakstāmā apļa centra. Sāksim ar
segments ABE, sadalīts vidēji un
Tātad, ļaujiet AC \u003d AE. Mēs apzīmējam ar a vienādi leņķi EMS un SEB. Tā kā AC \u003d AE, arī ACE leņķis ir vienāds ar a. Teorēma, ka trīsstūra leņķu summa ir 180 grādi, ļauj atrast leņķi VISU: tas ir 180–2a, bet leņķis EAC - 3a –180. Bet tad leņķis ABC ir 180 a. Apkopojot trijstūra ABC leņķus, iegūstam
180 \u003d (3a –180) + (3a – 180) + (180 – a)
No kurienes 5a \u003d 360, tad a \u003d 72.
Tātad katrs no trīsstūra pamatnes leņķiem ir divreiz lielāks par leņķi 36 grādu leņķī. Tāpēc, lai izveidotu regulāru piecstūri, ir jānozīmē tikai jebkurš aplis, kas ir centrā E, krustojot EC punktā X un sānu EB punktā Y: segments XY kalpo kā viena no regulārā piecstūra malām, kas ierakstītas aplī; Apbraucot visu apli, jūs varat atrast visas pārējās puses.
Tagad pierādīsim, ka AC \u003d AE. Pieņemsim, ka virsotni C savieno taisns līnijas segments ar BE segmenta viduspunktu N. Ņemiet vērā, ka, tā kā CB \u003d CE, leņķis СNЕ ir taisns. Pēc Pitagora teorēmas:
CN 2 \u003d a 2 - (a / 2j) 2 \u003d a 2 (1-4j 2)
Tātad mums ir (AC / a) 2 \u003d (1 + 1 / 2j) 2 + (1-1 / 4j 2) \u003d 2 + 1 / j \u003d 1 + j \u003d j 2
Tātad, AC \u003d jа \u003d jAB \u003d AE, kā jāpierāda
5.4 Arhimēdas spirāle.
Secīgi nogriežot kvadrātus no zelta taisnstūriem līdz bezgalībai, katru reizi savienojot pretējos punktus ar ceturtdaļas apli, mēs iegūstam diezgan graciozu līkni. Pirmais, kas viņai pievērsa uzmanību, bija seno grieķu zinātnieks Arhimēds, kura vārdu viņa nes. Viņš to izpētīja un atvasināja šīs spirāles vienādojumu.
Pašlaik Archimedes spirāli plaši izmanto tehnoloģijās.
6. Fibonači skaitļi.
Itāļu matemātiķa Leonardo vārds no Pizas, kurš labāk pazīstams ar savu iesauku Fibonači (Fibonači ir saīsināts filius Bonacci, tas ir, Bonacci dēls), ir netieši saistīts ar zelta attiecību.
1202. gadā. viņš uzrakstīja grāmatu "Liber abacci", tas ir, "Abaka grāmata". "Liber abacci" ir apjomīgs darbs, kas satur gandrīz visu tā laika aritmētisko un algebrisko informāciju, un tam bija nozīmīga loma matemātikas attīstībā Rietumeiropa nākamo vairāku gadsimtu laikā. Proti, caur šo grāmatu eiropieši iepazinās ar hindu (“arābu”) numuriem.
Grāmatā aprakstītais materiāls ir izskaidrots par daudzām problēmām, kas veido nozīmīgu šī traktāta daļu.
Apsveriet vienu no šādām problēmām:
"Cik trušu pāri piedzimst no viena pāra vienā gadā?
Kāds noteiktā vietā ievieto trušu pāri, kas no visām pusēm ir iežogots ar sienu, lai noskaidrotu, cik trušu pāri piedzims šī gada laikā, ja trušu raksturs ir tāds, ka mēnesī trušu pāris atveidos citu, un truši dzemdēs no otrā mēneša pēc viņu piedzimšanas "
| Mēneši | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| Trušu pāris | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | 144 | 233 | 377 |
Pārejam no trušiem uz skaitļiem un apsverim šādu skaitļu secību:
u 1, u 2 ... u n
kurā katrs termins ir vienāds ar iepriekšējo divu summu, t.i. jebkuram n\u003e 2
u n \u003d u n -1 + u n -2.
Šī secība asimptotiski (tuvojas arvien lēnāk) mēdz sasniegt zināmu nemainīgu attiecību. Tomēr šī attiecība ir neracionāla, tas ir, tas ir skaitlis ar bezgalīgu, neparedzamu decimālo ciparu secību frakcionētajā daļā. Precīzi to nav iespējams izteikt.
Ja kāds Fibonači secības loceklis tiek dalīts ar to, kas atrodas pirms tā (piemēram, 13: 8), rezultāts būs vērtība, kas svārstās ap iracionālo vērtību 1,61803398875 ... un dažreiz to pārspēj vai nesasniedz.
Asimptotiska sekvences izturēšanās, slāpējot tās attiecības svārstības ap neracionālu skaitli Ф, var kļūt skaidrāka, ja parādīsim vairāku pirmo sekvences locekļu attiecības. Šis piemērs parāda otrā vārda attiecības ar pirmo, trešo līdz otro, ceturto līdz trešo un tā tālāk:
1: 1 \u003d 1,0000, kas ir par 0,6180 mazāk phi
2: 1 \u003d 2,0000, kas ir par 0,3820 vairāk phi
3: 2 \u003d 1,5000, kas ir par 0,1180 mazāk phi
5: 3 \u003d 1,6667, kas ir par 0,0486 phi vairāk
8: 5 \u003d 1,6000, kas ir par 0,0180 mazāku phi
Virzoties pa Fibonači summēšanas secību, katrs jaunais termins sadalīs nākamo ar lielāku un lielāku tuvinājumu nepieejamajam F.
Cilvēks zemapziņā meklē dievišķo proporciju: tas ir nepieciešams, lai apmierinātu viņa vajadzību pēc ērtībām.
Sadalot jebkuru Fibonači secības locekli ar nākamo, jūs iegūstat tieši pretēju 1,618 vērtībai (1: 1,618 \u003d 0,618). Bet šī ir arī ļoti neparasta, pat ievērojama parādība. Tā kā sākotnējās attiecības ir bezgalīgas, arī šīm attiecībām nevajadzētu būt beigām.
Sadalot katru skaitli ar nākamo pēc tā, mēs iegūstam skaitli 0,382
Šādi izvēloties koeficientus, iegūstam galveno Fibonači koeficientu kopu: 4.235, 2.618, 1.618,0.618,0.382,0.236. Pieminēsim arī 0.5.Visiem no tiem ir īpaša loma dabā un, jo īpaši, tehniskajā analīzē.
Šeit jāpiebilst, ka Fibonači tikai atgādināja cilvēcei par savu secību, jo tā bija zināma jau in senie laiki ko sauc par Zelta attiecību.
Zelta attiecība, kā mēs redzējām, rodas saistībā ar parasto piecstūri, tāpēc Fibonači skaitļiem ir nozīme visā, kas ir saistīts ar regulārajiem piecstūriem - izliektiem un zvaigznēm.
Fibonači sērija varētu palikt tikai par matemātisku atgadījumu, ja ne par to, ka visi augu un dzīvnieku pasaules zelta dalījuma pētnieki, nemaz nerunājot par mākslu, vienmēr nonāca šajā sērijā kā zelta dalīšanas likuma aritmētiskā izpausme. Zinātnieki turpināja aktīvi attīstīt Fibonači skaitļu teoriju un zelta attiecību. Yu Matiyasevich, izmantojot Fibonači skaitļus, atrisina Hilberta 10. problēmu (par diopantīna vienādojumu risināšanu). Ir sarežģītas metodes daudzu kibernētisko problēmu risināšanai (meklēšanas teorija, spēles, programmēšana), izmantojot Fibonači skaitļus un zelta attiecību. ASV pat tiek izveidota Mathematical Fibonacci Association, kas kopš 1963. gada izdod īpašu žurnālu.
Viens no sasniegumiem šajā jomā ir vispārinātu Fibonači skaitļu un vispārinātu zelta koeficientu atklāšana. Fibonači sērijas (1, 1, 2, 3, 5, 8) un "binārā" sērija ar skaitļiem 1, 2, 4, 8, 16 ... (tas ir, skaitļu virkne līdz n, kur jebkurš dabiskais skaitlis ir mazāks par n var attēlot kā dažu skaitļu summu šajā sērijā), no pirmā acu uzmetiena, ir pilnīgi atšķirīgi. Bet to uzbūves algoritmi ir ļoti līdzīgi viens otram: pirmajā gadījumā katrs skaitlis ir iepriekšējā skaitļa summa ar sevi 2 \u003d 1 + 1; 4 \u003d 2 + 2 ..., otrajā - tā ir divu iepriekšējo skaitļu summa 2 \u003d 1 + 1, 3 \u003d 2 + 1, 5 \u003d 3 + 2 .... Vai ir iespējams atrast vispārīgu matemātisko formulu, no kuras un " bināro ”un Fibonači sēriju?
Patiešām, uzstādīsim skaitlisku parametru S, kam var būt jebkuras vērtības: 0, 1, 2, 3, 4, 5 ... Apsveriet numuru sērijas, S + 1, kuru pirmie locekļi ir vienības, un katrs no nākamajiem ir vienāds ar divu iepriekšējo un S soļu, kas atrodas attālumā no iepriekšējā, summu. Ja n termiņš no šīm sērijām, kuras mēs apzīmējam ar S (n), tad iegūstam vispārējā formula S (n) \u003d S (n - 1) + S (n - S - 1).
Acīmredzot, ja S \u003d 0 no šīs formulas, mēs iegūstam "bināro" sēriju, S \u003d 1 - Fibonači sēriju ar S \u003d 2, 3, 4. jaunas skaitļu sērijas, kuras sauc par S-Fibonači skaitļiem.
Kopumā zelta S proporcija ir zelta S sekcijas vienādojuma x S + 1 - x S - 1 \u003d 0 pozitīvā sakne.
Ir viegli parādīt, ka tad, kad S \u003d 0, segments tiek sadalīts uz pusēm un kad S \u003d 1, pazīstamā klasiskā zelta attiecība.
Blakusesošo Fibonači S skaitļu attiecības sakrīt ar absolūto matemātisko precizitāti, kas robežojas ar zelta S proporcijām! Tas ir, zelta S koeficienti ir Fibonači S skaitļu skaitliskie invarianti.
7.Zelta attiecība mākslā.
7.1. Zelta attiecība glezniecībā.
Pārejot pie "zelta attiecības" piemēriem glezniecībā, nevar pievērst uzmanību Leonardo da Vinči darbam. Viņa personība ir viena no vēstures noslēpumiem. Pats Leonardo da Vinči sacīja: "Lai neviens, nebūdams matemātiķis, neuzdrošināsies lasīt manus darbus."
Nav šaubu, ka Leonardo da Vinči bija lielisks mākslinieks, un to jau atzina viņa laikabiedri, taču viņa personība un aktivitātes paliks noslēpumā noslēptas, jo viņš atstāja pēcnācējus nevis saskaņotu savu ideju izklāstu, bet tikai neskaitāmas ar roku rakstītas skices, piezīmes, kas saka “par” viss pasaulē. "
Monnas Lizas (La Gioconda) portrets daudzus gadus ir piesaistījis pētnieku uzmanību, kuri atklāja, ka zīmējuma kompozīcija ir balstīta uz zelta trīsstūriem, kas ir regulāra zvaigžņu formas piecstūra daļas ..
Arī Šiškina gleznā parādās zelta proporcijas proporcija. Šajā slavenajā I.I.Šiškina gleznā skaidri redzami zelta sekcijas motīvi. Priedes koks, ko spoži apgaismo saule (priekšplānā), gleznas garumu sadala pa zelta proporciju. Priedes labajā pusē atrodas saules apspīdēts paugurs. Attēla labo pusi viņš horizontāli sadala pa zelta proporciju.
Rafaēla gleznā "Zīdaiņu sišana" ir redzams vēl viens zelta proporcijas elements - zelta spirāle. Uz Rafaela sagatavojošās skices no kompozīcijas semantiskā centra tiek novilktas sarkanas līnijas - vietas, kur karavīra pirksti aizvērās ap bērna potīti - gar bērna figūrām, sieviete tur viņu tuvu, karotājs ar novilktu zobenu un pēc tam gar tās pašas grupas figūrām skices labajā pusē. ... Nav zināms, vai Rafaels uzcēla vai sajuta zelta spirāli.
T. Kuks izmantoja zelta sadaļu Sandro Botičeli gleznas "Venēras dzimšana" analīzē.
7.2. Zelta proporcijas piramīdas.
Piramīdu medicīniskās īpašības, īpaši zelta attiecība, ir plaši zināmas. Saskaņā ar dažiem visizplatītākajiem viedokļiem telpa, kurā atrodas šāda piramīda, šķiet lielāka, un gaiss ir caurspīdīgāks. Sapņi labāk paliek atmiņā. Ir arī zināms, ka zelta attiecība tika plaši izmantota arhitektūrā un tēlniecībā. Tā piemērs bija Panteons un Partenons Grieķijā, arhitektu Bažeņova un Malēviča ēkas
8. Secinājums.
Jāsaka, ka zelta attiecībai ir liela nozīme mūsu dzīvē.
Ir pierādīts, ka cilvēka ķermenis tiek sadalīts zelta proporcijā ar jostas līniju.
Nautilus apvalks ir savīti kā zelta spirāle.
Pateicoties zelta attiecībai, starp Marsu un Jupiteru tika atklāta asteroīda josta - atbilstoši proporcijai vajadzētu būt citai planētai.
Virknes ierosināšana vietā, kas to sadala attiecībā pret zelta sadalījumu, neradīs virknes vibrāciju, tas ir, tas ir kompensācijas punkts.
Uz lidmašīnas ar elektromagnētiskiem enerģijas avotiem tiek izveidotas taisnstūrveida šūnas ar zelta proporcijas proporciju.
La Gioconda ir veidota uz zelta trīsstūriem, zelta spirāle atrodas Rafaela gleznā "Zīdaiņu sišana".
Proporcija, kas atrasta Sandro Botticelli gleznā "Venēras dzimšana"
Ir daudz arhitektūras pieminekļu, kas būvēti, izmantojot zelta proporciju, ieskaitot Panteonu un Partenonu Atēnās, arhitektu Bažeņova un Malēviča ēkas.
Džons Keplers, kurš dzīvoja pirms pieciem gadsimtiem, sacīja: "Ģeometrijai ir divi lieliski dārgumi. Pirmais ir Pitagora teorēma, otrais ir segmenta sadalījums galējā un vidējā attiecībās."
Atsauču saraksts
1.D Pidvova. Ģeometrija un māksla. - M .: Mir, 1979. gads.
2. Žurnāls "Science and Technology"
3. Žurnāls "Kvant", 1973, 8. nr.
4. Žurnāls "Matemātika skolā", 1994, Nr. 2; 3. numurs.
5. Kovaļevs F.V. Zelta attiecība glezniecībā. K .: Vyscha skola, 1989. gads.
6. Stakhov A. Zelta koeficienta kodi.
7.Vorobjovs N.N. "Fibonači skaitļi" - Maskava: Zinātne 1964
8. "Matemātika - enciklopēdija bērniem" M .: Avanta +, 1998
9. Informācija no interneta.
Fibonači matricas un tā saucamās "zelta" matricas, jauna datora aritmētika, jauna kodēšanas teorija un jaunā teorija kriptogrāfija. Jaunās zinātnes būtība pārskatīšanā no visas matemātikas zelta attiecības viedokļa, sākot ar Pitagorsu, kas, protams, teorijā radīs jaunus un, iespējams, ļoti interesantus matemātiskos rezultātus. Praktiski - "zelta" datorizācija. Un tā kā ...
Neietekmēs šo rezultātu. Zelta koeficienta pamatā ir 4. un 6. rekursīvo attiecību invariants. Tā ir zelta proporcijas “stabilitāte”, kas ir viens no dzīvo matēriju organizācijas principiem. Arī zelta proporcijas pamatā ir divu eksotisku rekursīvu secību risinājums (4. att.) 4 rekursīvas Fibonači secības ...
Auss ir j5, un attālums no auss līdz vainagam ir j6. Tādējādi šajā statujā mēs redzam ģeometrisko progresiju ar saucēju j: 1, j, j2, j3, j4, j5, j6. (9. att.). Tādējādi zelta attiecība ir viens no senās Grieķijas mākslas pamatprincipiem. Sirds un smadzeņu ritmi. Cilvēka sirds pukst vienmērīgi - miera stāvoklī apmēram 60 sitieni minūtē. Sirds saspiež kā virzulis ...
Ožegova skaidrojošā vārdnīca vēsta, ka piecstūri ierobežo piecas krustojošās taisnas līnijas, kas veido piecus iekšējos stūrus, kā arī jebkurš līdzīgas formas objekts. Ja dotajam daudzstūrim ir visas malas un leņķi vienādi, tad to sauc par parasto (piecstūris).
Kas ir interesanti no regulārā piecstūra?
Tieši šādā formā tika uzcelta labi zināmā ASV Aizsardzības departamenta ēka. No regulārā tilpuma daudzskaldņu tikai dodekaedram ir piecstūra formas sejas. Un dabā pilnīgi nav kristālu, kuru sejas atgādinātu parasto piecstūri. Turklāt šī forma ir daudzstūris ar minimālu stūru skaitu, ko nevar bruģēt ar laukumu. Tikai piecstūrim ir tāds pats diagonāļu skaits kā tā malām. Piekrītu, tas ir interesanti!
Pamatīpašības un formulas
Izmantojot formulas patvaļīgam regulāram daudzstūrim, jūs varat noteikt visus nepieciešamos parametrus, kādi ir piecstūrim.
- Centrālais leņķis α \u003d 360 / n \u003d 360/5 \u003d 72 °.
- Iekšējais leņķis β \u003d 180 ° * (n-2) / n \u003d 180 ° * 3/5 \u003d 108 °. Attiecīgi iekšējo leņķu summa ir 540 °.
- Diagonāles un sānu attiecība ir (1 + √5) / 2, kas ir (aptuveni 1,618).
- Parastās piecstūra malas garumu var aprēķināt, izmantojot vienu no trim formulām, atkarībā no tā, kurš parametrs jau ir zināms:
- ja ap to ir aprakstīts aplis un ir zināms tā rādiuss R, tad a \u003d 2 * R * sin (α / 2) \u003d 2 * R * sin (72 ° / 2) ≈1,1756 * R;
- ja aplis ar rādiusu r ir ierakstīts regulārā piecstūrī, a \u003d 2 * r * iedegums (α / 2) \u003d 2 * r * iedegums (α / 2) ≈ 1,453 * r;
- gadās, ka rādiusu vietā ir zināma diagonāles D vērtība, tad malu nosaka šādi: a ≈ D / 1,618.
- Atkal tiek noteikts regulārā piecstūra laukums atkarībā no tā, kuru parametru mēs zinām:
- ja ir aplis vai aplis, tad izmanto vienu no divām formulām:
S \u003d (n * a * r) / 2 \u003d 2,5 * a * r vai S \u003d (n * R 2 * sin α) / 2 ≈ 2,33776 * R 2;
- laukumu var noteikt arī, zinot tikai sānu malas garumu a:
S \u003d (5 * a 2 * tg54 °) / 4 ≈ 1,7205 * a 2.
Regulārais piecstūris: uzbūve
Šis ģeometriskā forma var būvēt dažādos veidos. Piemēram, lai to ierakstītu aplī ar noteiktu rādiusu vai veidotu, pamatojoties uz doto sānu. Darbību secība tika aprakstīta jau Eiklida grāmatā “Sākumi” apmēram 300. gadā pirms mūsu ēras. Jebkurā gadījumā mums ir nepieciešams kompass un lineāls. Apsveriet būvniecības metodi, izmantojot doto apli.
1. Izvēlieties patvaļīgu rādiusu un uzzīmējiet apli, atzīmējot tā centru ar punktu O.
2. Apļa līnijā atlasiet punktu, kas kalpos par vienu no mūsu piecstūra virsotnēm. Ļaujiet tam būt punktam A. Savienojiet punktus O un A ar taisnu līniju.
3. Novilkt līniju caur punktu O perpendikulāri līnijai OA. Šīs taisnās līnijas un apļa līnijas krustojums tiek apzīmēts kā punkts B.
4. Attāluma vidū starp punktiem O un B zīmējiet punktu C.
5. Tagad uzzīmējiet apli, kura centrs atradīsies punktā C un kas šķērsos punktu A. Tā krustošanās vieta ar līniju OB (tā atradīsies pašā pirmajā aplī) būs punkts D.
6. Izveidojiet apli, kas iet caur D, kura centrs atradīsies A. Tā krustošanās vietas ar sākotnējo apli jānorāda ar punktiem E un F.
7. Tagad uzzīmējiet apli, kura centrs atrodas E. Tas jādara tā, lai tas šķērsotu A. Jāizzīmē tā otra sākotnējā apļa krustošanās vieta.
8. Visbeidzot novelciet apli caur punktu A, kas centrēts punktā F. Atzīmējiet otru sākotnējā apļa krustojumu ar punktu H.
9. Tagad atliek tikai savienot virsotnes A, E, G, H, F. Mūsu parastais piecstūris būs gatavs!
