Kas ir atvasinājums e. Tipiskas kļūdas atvasinājuma aprēķināšanā

Kā atrast atvasinājumu, kā ņemt atvasinājumu? Uz šī nodarbība mēs iemācīsimies atrast funkciju atvasinājumus. Bet pirms šīs lapas izpētes ļoti iesaku iepazīties ar metodisko materiāluKarstas formulas skolas kurss matemātika. Atsauces rokasgrāmatu var atvērt vai lejupielādēt lapāMatemātiskās formulas un tabulas . Arī no turienes mums vajagAtvasināta tabula, labāk to izdrukāt; bieži vien pie tā būs jāvēršas ne tikai tagad, bet arī bezsaistē.

Tur ir? Sāksim. Man jums ir divi jaunumi: labs un ļoti labs. Labās ziņas ir: lai iemācītos atrast atvasinājumus, nav jāzina un jāsaprot, kas ir atvasinājums. Turklāt atvasinājuma funkcijas definīciju, atvasinājuma matemātisko, fizisko, ģeometrisko nozīmi ir vairāk lietderīgi sagremot vēlāk, jo teorijas kvalitatīvs pētījums, manuprāt, prasa daudz citu tēmu izpēti, kā arī zināmu praktisko pieredzi.

Un tagad mūsu uzdevums ir tehniski apgūt šos ļoti atvasinājumus. Ļoti labā ziņa ir tā, ka iemācīties ņemt atvasinājumus nav tik grūti, jo ir diezgan skaidrs algoritms šī uzdevuma risināšanai (un skaidrošanai), piemēram, integrāļiem vai ierobežojumiem, to ir grūtāk apgūt.

Tēmas izpētei es iesaku šādu procedūru: pirmkārt, Šis raksts. Tad jums jāizlasa vissvarīgākā nodarbība.Atvasināts sarežģīta funkcija. Šīs divas pamata klases ļaus jums paaugstināt savas prasmes no nulles. Tālāk rakstā būs iespējams iepazīties ar sarežģītākiem atvasinājumiemSarežģīti atvasinājumi.

Logaritmiskais atvasinājums. Ja josla ir pārāk augsta, tad vispirms izlasiet lietu Vienkāršākie tipiskie uzdevumi ar atvasinājumu. Papildus jaunajam materiālam nodarbībā tika apskatīti citi, vienkāršāki atvasinājumu veidi, un ir lieliska iespēja uzlabot savu diferenciācijas paņēmienu. Bez tam, iekšā kontrole darbojas gandrīz vienmēr ir uzdevumi atvasinātu funkciju atrašanai, kas ir netieši vai parametriski definēti. Šāda mācība ir arī tur: Netieši un parametriski definētu funkciju atvasinājumi.

Es centīšos pieejamā formā, soli pa solim, iemācīt jums atrast funkciju atvasinājumus. Visa informācija ir sniegta sīki, vienkāršos vārdos.

Faktiski tūlīt apskatīsim piemēru: 1. piemērs

Atrodiet atvasināto funkciju risinājumu:

tā vienkāršākais piemērslūdzu, atrodiet to atvasinājumu tabulā elementārās funkcijas. Tagad apskatīsim risinājumu un analizēsim notikušo? Un notika šāda lieta:

mums bija funkcija, kas risinājuma rezultātā pārvērtās par funkciju.

Pavisam vienkārši:lai atrastu atvasinājumu

funkciju, jums saskaņā ar noteiktiem noteikumiem tas jāpārvērš citā funkcijā . Vēlreiz apskatiet atvasinājumu tabulu - tur funkcijas pārvēršas citās funkcijās. Vienīgais

izņēmums ir eksponenciālā funkcija, kas

pārvēršas par sevi. Tiek saukta atvasinājuma operācijadiferenciācija.

Apzīmējumi: Atvasināts apzīmējums vai.

UZMANĪBU, SVARĪGI! Lai aizmirstu ievietot gājienu (ja nepieciešams) vai uzzīmētu papildu gājienu (kur tas nav nepieciešams) - BIG KĻŪDA! Funkcija un tās atvasinājums ir divas dažādas funkcijas!

Atpakaļ pie mūsu atvasinājumu tabulas. No šī galda tas ir vēlams iegaumēt: diferencēšanas noteikumi un dažu pamatfunkciju atvasinājumi, īpaši:

atvasinātā konstante:

Kur ir nemainīgs skaitlis; atvasinājums jaudas funkcija:

It īpaši: , , .

Kāpēc atcerēties? Šīs zināšanas ir pamatzināšanas par atvasinājumiem. Un, ja jūs nevarat atbildēt skolotājam uz jautājumu “Kas ir skaitļa atvasinājums?”, Tad studijas universitātē jums var beigties (es esmu personīgi iepazinies ar diviem reāli gadījumi no dzīves). Turklāt šīs ir visizplatītākās formulas, kuras mums gandrīz katru reizi jāizmanto, saskaroties ar atvasinājumiem.

IN realitātes, vienkārši tabulas piemēri ir reti sastopami, parasti, atrodot atvasinājumus, vispirms tiek izmantoti diferenciācijas noteikumi un pēc tam elementāru funkciju atvasinājumu tabula.

IN ņemot vērā šo savienojumu, mēs pārdomājamdiferenciācijas noteikumi:

1) Konstantu skaitli var (un vajadzētu) izņemt no atvasinājuma zīmes

Kur ir konstants skaitlis (nemainīgs) 2. piemērs

Atrodiet atvasināto funkciju

Mēs skatāmies atvasinājumu tabulā. Kosinusa atvasinājums ir tur, bet pie mums.

Ir pienācis laiks izmantot kārtulu, mēs atņemam nemainīgo koeficientu ar atvasinājuma zīmi:

Un tagad mēs pagriežam savu kosinusu pēc tabulas:

Labāk, ja rezultāts ir vēlamais “ķemme” - vispirms ielieciet mīnusu, vienlaikus atbrīvojoties no iekavām:

2) Summas atvasinājums ir vienāds ar atvasinājumu summu

Atrodiet atvasināto funkciju

Mēs izlemjam. Kā jūs, iespējams, jau pamanījāt, pirmā darbība, kas vienmēr tiek veikta, atrodot atvasinājumu, ir tāda, ka mēs visu izteicienu ieskauj iekavās un augšējā labajā stūrī ievietojam taktu:

Mēs piemērojam otro noteikumu:

Ņemiet vērā, ka diferencēšanai visas saknes, grādi ir jāatspoguļo formā, un, ja tie ir saucējā, tad

pārvietot tos uz augšu. Kā to izdarīt, ir runāts manos mācību materiālos.

Tagad mēs atceramies pirmo diferenciācijas noteikumu - nemainīgos faktorus (skaitļus) mēs atņemam no atvasinājuma zīmes:

Parasti lēmuma pieņemšanas laikā šie divi noteikumi tiek piemēroti vienlaicīgi (lai vairs nerakstītu garo izteiksmi).

Visas taktu funkcijas ir elementāras tabulas funkcijas, izmantojot tabulu, kurā mēs veicam transformāciju:

Jūs varat atstāt visu šādā formā, jo vairs nav nekādu insultu un tiek atrasts atvasinājums. Tomēr šādi izteicieni parasti vienkāršo:

Ir vēlams, lai visas sugas pakāpes atkal tiktu parādītas kā saknes,

grādi ar negatīviem indikatoriem - atiestatīt saucējam. Lai gan to var nedarīt, tā nebūs kļūda.

Atrodiet atvasināto funkciju

Mēģiniet pats atrisināt šo piemēru (atbilde ir stundas beigās).

3) Funkciju atvasināts produkts

Liekas, ka pēc analoģijas formula rodas ...., bet pārsteigums ir šāds:

Šis neparastais noteikums(kā faktiski citi) izriet no atvasinājumu definīcijas. Bet ar teoriju mēs pagaidīsim kādu laiku - tagad svarīgāk ir iemācīties risināt:

Atrodiet atvasināto funkciju

Šeit mums ir atkarīgs no divām funkcijām. Pirmkārt, mēs piemērojam savādo noteikumu, un pēc tam mēs pārveidojam funkcijas atbilstoši atvasinājumu tabulai:

Sarežģīti? Nemaz, tas ir diezgan pieejams pat tējkannai.

Atrodiet atvasināto funkciju

Šī funkcija satur divu funkciju - kvadrātveida trinomāla un logaritma - summu un reizinājumu. Jau no skolas mēs atceramies, ka reizināšana un dalīšana ir prioritāra nekā saskaitīšana un atņemšana.

Šeit viss ir vienāds. PIRMĀK, mēs izmantojam produktu diferenciācijas noteikumu:

Iekavās mēs izmantojam pirmos divus noteikumus:

Tā kā diferencēšanas noteikumi tiek piemēroti zem taktiem, mums ir palikušas tikai elementāras funkcijas; saskaņā ar atvasinājumu tabulu mēs tos pārvēršam citās funkcijās:

Ar nelielu pieredzi atvasinājumu atrašanā, šķiet, ka vienkāršiem atvasinājumiem nav jābūt tik sīkiem. Parasti tos parasti risina mutiski un nekavējoties to reģistrē .

Atrodiet atvasināto funkciju Šis ir piemērs patstāvīgs lēmums (atbilde nodarbības beigās)

4) privāto funkciju atvasinājums

Griestos ir atvērusies lūka, neuztraucieties, tā ir kļūda. Bet šī ir skarbā realitāte:

Atrodiet atvasināto funkciju

Kas tur ir tikai - summa, starpība, produkts, frakcija ... Kur sākt?! Ir šaubas, nav šaubu, bet, lai arī kur, starteriem, JEBKUR vietā izveidojiet iekavas un ielieciet taktu augšējā labajā stūrī:

Tagad mēs skatāmies izteiksmi iekavās, kā to vienkāršot? Šajā gadījumā mēs pamanām faktoru, kas saskaņā ar pirmo noteikumu ir ieteicams noņemt atvasinājumu kā zīmi:

Tajā pašā laikā mēs atbrīvojamies no skaitītāja iekavām, kas vairs nav vajadzīgas. Vispārīgi runājot, pastāvīgi atvasinājuma atrašanas faktori

jūs to nevarat izturēt, taču šajā gadījumā viņi “nokļūs zem kājām”, kas ir pārblīvēta un grūti atrisināma.

Mēs aplūkojam mūsu izteiksmi iekavās. Mums ir saskaitīšana, atņemšana un dalīšana. Jau no skolas mēs atceramies, ka vispirms tiek veikta dalīšana. Un šeit - vispirms mēs piemērojam koeficienta diferenciācijas likumu:

Tādējādi mūsu briesmīgais atvasinājums tika reducēts uz atvasinājumiem no diviem vienkāršas izteiksmes. Mēs piemērojam pirmo un otro noteikumu, šeit mēs to darīsim mutiski, es ceru, ka jūs jau esat mazliet apguvis atvasinājumus:

Vairāku rindu nav, uzdevums ir pabeigts.

Praksē atbildi parasti (bet ne vienmēr) vienkāršo ar "skolas" metodēm:

Atrodiet atvasināto funkciju

Šis ir neatkarīga risinājuma piemērs (atbilde ir stundas beigās). Laiku pa laikam ir sarežģītas mīklas:

Atrodiet atvasināto funkciju

Mēs skatāmies uz šo funkciju. Te atkal frakcija. Tomēr, pirms tiek izmantots koeficients, kas nosaka koeficienta diferencēšanu (un to var izmantot), vienmēr ir jēga noskaidrot, vai ir iespējams vienkāršot pašu frakciju vai pat atbrīvoties no tā?

Fakts ir tāds, ka formula pietiekami apjomīga, un es to nemaz nevēlos izmantot.

Šajā gadījumā skaitītāju var dalīt ar koeficientu. Funkcijas konvertēšana:

Tā ir pavisam cita lieta, tagad to ir patīkami un viegli atšķirt:

Atrodiet atvasināto funkciju

Šajā gadījumā situācija ir līdzīga, mēs pārveidosim savu frakciju par produktu, tāpēc mēs paceļam eksponentu uz skaitītāju, mainot indikatora zīmi:

Darbu ir vieglāk atšķirt:

Atrodiet funkcijas atvasinājumu - tas ir piemērs neatkarīgam risinājumam (atbilde ir stundas beigās).

5) Sarežģītas funkcijas atvasinājums

Šis noteikums notiek arī ļoti bieži. Bet par to jūs varat daudz pateikt, tāpēc es izveidoju atsevišķu nodarbību par tēmu Kompleksās funkcijas atvasinājumi.

Vēlu veiksmi!

4. piemērs: . Lēmuma pieņemšanas laikā

Šajā piemērā uzmanība jāpievērš faktam, ka un tie ir nemainīgi skaitļi neatkarīgi no tā, ar ko tie ir vienādi, ir svarīgi, lai tie būtu konstanti. Tāpēc tas tiek atveidots arī atvasinājuma zīmei.

7. piemērs:

9. piemērs:

Datums: 2015/10/05

Kā atrast atvasinājumu?

Diferencēšanas noteikumi.

Lai atrastu jebkuras funkcijas atvasinājumu, jums jāapgūst tikai trīs jēdzieni:

2. Diferencēšanas noteikumi.

3. Sarežģītas funkcijas atvasinājums.

Tādā secībā. Tas ir mājiens.)

Protams, būtu jauki, ja būtu priekšstats par atvasinājumu vispār). Par to, kas ir atvasinājums un kā strādāt ar atvasinājumu tabulu, ir aprakstīts iepriekšējā nodarbībā. Šeit mēs aplūkosim diferenciācijas noteikumus.

Diferenciācija ir atvasinājuma atrašanas operācija. Aiz šī termina nekas vairāk neatpaliek. Tie. izteicieni "atrast atvasinājuma funkciju" un diferencēt funkciju - Tas ir tas pats.

Izteiksme "diferenciācijas noteikumi" attiecas uz atvasinājuma atrašanu no aritmētiskām operācijām. Šī izpratne palīdz izvairīties no labības rašanās galvā.

Koncentrēsimies un atcerēsimies visas aritmētiskās operācijas. Viņu ir četri). Saskaitīšana (summa), atņemšana (starpība), reizināšana (reizinājums) un dalīšana (koeficients). Šeit viņi ir, diferencēšanas noteikumi:

Plāksne rāda pieci noteikumi par četri aritmētiskās operācijas. Es nepareizi aprēķinu.) Tikai 4. noteikums ir 3. noteikuma elementāras sekas. Bet tas ir tik populārs, ka ir jēga to uzrakstīt (un atcerēties!) Kā neatkarīgu formulu.

Zem notācijas U un V ir domātas dažas (pilnīgi jebkuras!) funkcijas U (x) un V (x).

Apskatīsim dažus piemērus. Sākumā - vienkāršākais.

Atrodiet funkcijas y \u003d sinx - x 2 atvasinājumu

Šeit mums ir atšķirība divas elementāras funkcijas. Mēs piemērojam 2. noteikumu. Mēs pieņemam, ka sinx ir funkcija U, un x 2 ir funkcija V. Mums ir visas tiesības rakstīt:

y "\u003d (sinx - x 2)" \u003d (sinx) "- (x 2)"

Jau labāk, vai ne?) Atliek atrast sinusa un kvadrāta x atvasinājumus. Tam ir atvasinātu tabula. Mēs tabulā tikai meklējam nepieciešamās funkcijas ( sinx un x 2), apskatiet to atvasinājumus un pierakstiet atbildi:

y "\u003d (sinx)" - (x 2) "\u003d cosx - 2x

Tas ir viss. 1. noteikums par summas diferencēšanu darbojas tieši tāpat.

Un ja mums ir vairāki termini? Tas ir labi.) Mēs sadalām funkciju terminos un neatkarīgi no pārējiem meklējam katra termina atvasinājumu. Piemēram:

Atrodiet funkcijas y \u003d sinx - x 2 + cosx - x +3 atvasinājumu

Jūtieties brīvi rakstīt:

y "\u003d (sinx)" - (x 2) "+ (cosx)" - (x) "+ (3)"

Nodarbības beigās es došu padomus, kā padarīt dzīvi vieglāku diferenciācijā.

Praktiski padomi:

1. Pirms diferenciācijas pārbaudiet, vai ir iespējams vienkāršot sākotnējo funkciju.

2. Neskaidros piemēros mēs detalizēti aprakstām risinājumu ar visām iekavām un gājieniem.

3. Atšķirot frakcijas ar konstantu skaitli saucējā, dalījumu pārvēršam reizināšanā un izmantojam 4. noteikumu.

Epigrafs: Reiz viņa vaicāja: "Kā atvasinājums atšķiras no darba?" “Atvasinājums tiek pētīts matemātikas stundā, un darbs tiek pētīts literatūras stundā,” sekoja studenta atbilde.

Epigrāfs apraksta reālo situāciju no manas prakses. Jautājums radās, kad students apjuka funkciju diferenciācijas noteikumos, jo īpaši nespēja noteikt darba atvasinājums divas funkcijas. Lai izvairītos no šādas šī raksta interpretācijas, ļaujiet man jums atgādināt, ka mēs nodarbojamies ar matemātiku, un šeit termins “produkts” attiecas uz reizināšanas operācijas rezultātu, un “atvasinājums” ir funkcijas pieauguma un argumenta pieauguma attiecības robeža, kad pēdējam ir tendence uz nulli. Atvasinājuma aprēķināšanas procesu sauc par diferenciāciju.

Pamatfunkciju atvasinājumi pēc definīcijas, t.i. caur limitu to aprēķina tikai vienu reizi lekcijā (stundā), lai nostiprinātu saikni starp atvasinājumu un limitu. Nākotnē mūs interesē tikai praktiska pielietošana tāpēc, lai aprēķinātu atvasinājumu, tiek izmantotas gatavas formulas un noteikumi funkciju diferencēšanai.

Šeit mēs redzēsim kā vajadzētu un kā nē aprēķiniet atvasinājumus, bet diemžēl daudzi skolēni un pat studenti to dara.

Kā aprēķināt atvasinājumus

Tas ir rakstīts visur, visās mācību grāmatās un daudzās tīkla vietnēs.
Lai atrastu atvasinājumus, jums joprojām ir jāmācās, izmantojot vienu vai citu avotu Formulas elementāro funkciju diferenciācija. Piemēram, skatiet detalizētu rakstu par Sarežģītākām nekā tabulas kombinētajām funkcijām tiek piemēroti atvasinātās summas, produkta, frakcijas aprēķināšanas noteikumi. Attiecīgās matemātiskās izteiksmes var atrast arī jebkur. Bet manuprāt noteikumiem funkciju diferenciāciju labāk formulēt un iegaumēt ar vārdiem:

1. Pastāvīgo koeficientu var noņemt ar atvasinājuma zīmi.
2. Summas atvasinājums ir vienāds ar atvasinājumu summu.
3. Produkta atvasinājums ir "pirmā koeficienta atvasinājums, reizināts ar otro, plus otrā koeficienta atvasinājums, reizināts ar pirmo".
4. Frakcionētais atvasinājums ir vienāds ar "skaitītāja atvasinājums reizināts ar saucēju, atņemot saucēja atvasinājumu, reizinot skaitītāju ar dalītāja dalītāju ar kvadrātu."
5. Sarežģītas funkcijas atvasinājums ir vienāds ar ārējās funkcijas atvasinājumu, kas reizināts ar iekšējā atvasinājumu, un tiek aprēķināts "turpināts" tabulā.

Pēdējais noteikums ir visgrūtāk piemērojams. Šeit ir atļauts liels skaits kļūdu, tāpēc vairāk par to zemāk.

Kā NAV aprēķināt atvasinājumus

1. Pirmkārt, nesarežģiet vienkāršo.
2. Nejauciet jaudu x un un indikatīvs a x funkcijas.

Lielākajā daļā no šiem piemēriem ir sniegti atvasinātie aprēķini, kuros

1. aprēķini tika veikti ļoti slikti, ar acīmredzamām kļūdām;
2. pareizi, bet ne optimāli, t.i. garš un ar iespējamām neuzmanības kļūdām;
3. ļoti labi.

Nav nepieciešams sarežģīt vienkāršo.

Pievērsiet uzmanību noteikumam, kuru es ievēroju numur viens.

Ja produktā viens no faktoriem ir nemainīgs, tad absolūti nav nepieciešams izmantot atvasinātā produkta likumu. Turklāt jums tas nav jādara, jo bieži vien šāda darbība tiek saistīta ar kļūdām.

1. piemērs

Ja skaitītājs vai saucējs ir frakcijas konstante, tad atvasinātās frakcijas noteikums nav jāizmanto. Skolēniem un studentiem šo darbību vēl biežāk pavada kļūdas. Pastāvīgo koeficientu var noņemt ar atvasinājuma zīmi!

2. piemērs

3. piemērs

Biežākā kļūda šādos piemēros ir aizmirst likt takts (atvasinājuma apzīmējums) pār skaitli vai arī to ievietot un neredzēt nākamās darbības laikā, t.i. neņem vērā to, ka konstantes (skaitļa) atvasinājums ir vienāds ar nulli.

Pirmajam un trešajam piemēram ir acīmredzama pieejas vienkāršība un kvalitāte ar skaitļa koeficienta izlikšanu no iekavām. Bet ne viss ir tik vienkārši attiecībā uz otro piemēru, kur trigonometriskā funkcija atrodas saucējā. Turklāt es piekrītu, ka studentiem, kuriem ir sliktas zināšanas par sarežģītas funkcijas atvasinājumu (5. noteikums), šajā piemērā var būt labāks frakcijas diferenciācijas noteikums.

Tomēr vairākām citām funkcijām, it īpaši jaudas funkcijām, saucējs ir vienkārši “jāpārvērš” skaitītājā, bet saknes - grādos, jo šajā gadījumā mēs varam izmantot vienkāršāko un neaizmirstamāko tabulas formulu. (x α) " = α x α - 1.

4. piemērs

5. piemērs

Šajos divos piemēros tiek parādītas izplatītas kļūdas, diferencējot frakciju ar konstanti, un nākamajā piemērā ir nepieciešama pāreja no saknes uz frakcionētu pakāpi, jo pretējā gadījumā bieži tiek aizmirsts, ka šāda funkcija nav tabulas formā un tā ir jānošķir pēc noteikuma par sarežģītu funkciju.

6. piemērs

Nejauciet nosacījumus un faktorus (summu un produktu).

Atšķirot, nemainīgais termiņš tiek nulle, diferencēšanas laikā nemainīgais koeficients tiek saglabāts.

Turklāt kaut kādu iemeslu dēļ daudziem studentiem atvasināšanas funkcija y = x 2 + 0,1 vieglāk aprēķināms nekā tas pats formas atvasinājums (0,1 + x 2) " . Un atvasinātai funkcijai y = 0,1x 2 bieži uzminēt par pirmā noteikuma esamību, un par (x 2 · 0,1) " nē.
Ja pieļaujat šāda veida kļūdas, atcerieties, ka, pārveidojot terminu vietas, summa nemainās, un no faktoru pārkārtojuma produkts nemainās. Pārkārtojiet tos, kā vēlaties, un uzmanīgi piemērojiet pirmo vai otro diferenciācijas noteikumu.

7. piemērs

Nejauciet jaudu x un un indikatīvs a x funkcijas.

Pirmajā gadījumā mainīgais atrodas pakāpes pamatnē, mēs lasām: "X pakāpē a." Otrajā - mainīgais eksponentā, mēs lasām "un ar pakāpi x". Funkcijas ir atšķirīgas, atvasinājumu aprēķināšanas formulas ir atšķirīgas. Cm.

8. piemērs

9. piemērs

Šis ir piemērs uzlabotajiem. Padomājiet par to, kā jūs aprēķinātu funkcijas atvasinājumu y = x x , kurā mainīgais tika novietots gan pie pamatnes, gan pie eksponenta.
Labi domājot, bet ne agrāk, noklikšķiniet uz lai atklātu manu atbildi.

Šī ir sarežģīta funkcija, kas tieši neattiecas ne uz enerģijas klasi, ne uz eksponenciālo klasi. Lai aprēķinātu atvasinājumu šādos gadījumos, bieži ir jāveic provizoriskas pārvērtības. Piemēram, šeit izteiksme vispirms tika logaritmizēta, pēc tam tika atrasti vienādojuma abu pušu atvasinājumi attiecībā uz to mainīgajiem un, visbeidzot, tika izveidots vienādojums, lai atrastu vēlamo atvasinājumu attiecībā uz mainīgo. x.

Neaizmirstiet, ka sarežģītas funkcijas atvasinājums tiek aprēķināts "ar turpinājumu", līdz tiek iegūta tabulas formula.

Sarežģīta funkcija ir funkcija, kas tieši nav atkarīga no noteiktā mainīgā, bet gan no citas funkcijas. Citiem vārdiem sakot, tā vērtību nevar aprēķināt vienā darbībā. Piemēram, funkcijas y \u003d grēks x 2 un y \u003d grēks 2 x ir sarežģīti. Redzēsim, kā tiek aprēķinātas viņu vērtības, piemēram, kad x = 2.

Funkcijai y \u003d grēks x 2 vispirms jāveido x kvadrātā: 2 2 \u003d 4, un pēc tam aprēķina 4-ex sinusa vērtību. Mēs to darām, izmantojot kalkulatoru: sin4 \u003d −0,75680249530792825 ... ≈ −0,76 (neaizmirstiet, ka trigonometrisko funkciju argumenti tiek uzskatīti par rādītājiem).

Funkcijai y \u003d grēks 2 x Vispirms, izmantojot kalkulatoru, mēs nosakām divu sinusu: sin2 \u003d 0,9092974268256816 ... un pēc tam kvadrātā šo vērtību sin2 2 \u003d (0,9092974268256816 ...) 2 \u003d 0,82682181043180595 ... ≈ 0, 83.

Tādējādi vispirms mēs aprēķinām iekšējās funkcijas vērtību un pēc tam izmantojam to kā argumentu ārējai.
Saskaņā ar piekto diferenciācijas noteikumu, nosakot atvasinājumu, ir jārīkojas tieši pretēji - vispirms aprēķini ārējās funkcijas atvasinājumu pēc tā argumenta, un tad reizini to ar iekšējās atvasinājumu.

Kā es jau minēju, šī operācija visbiežāk tiek kļūdaina. Kļūdas var būt ļoti atšķirīgas, bieži sastopamas trīs.

1. kļūda) Jūs varat vienkārši nepiemērot vēlamo noteikumu, "nepamanot", ka funkcija ir sarežģīta.
Šajā piemērā jaudas un trigonometriskās funkcijas tiek izmantots nevis secīgi, bet tajā pašā laikā atvasinājums vienā darbībā tiek nepareizi aprēķināts.

10. piemērs

2. kļūda) Nevar izdomāt, kur ir iekšējā, bet kur ārējā funkcija.
Šajā piemērā eksponents atrodas augstāk x, t.i. tāpēc strāvas funkcija ir iekšēja, bet sinusa - ārēja. Studente to uztvēra savādāk, nolēma, ka sinuss ir kvadrātā, un pieļāva kļūdu.

11. piemērs

Lai atbrīvotos no šāda veida kļūdām, iemācītos analizēt sarežģītu funkciju, atdalīt iekšējo un ārējo, jums vienkārši jāmeklē, kādā secībā jūs veiktu aprēķinus, un jānošķir pretējā secībā. Šajā gadījumā jūs varat ievietot trūkstošās iekavas un, ja joprojām rodas grūtības, ievadiet papildu notāciju. Runājot par grādiem, jūs varat atcerēties sekojošo - pār kuru apzīmējumu ir eksponents, tad tas ir tā pamats (pacelts uz grādu).

12. piemērs


Šeit beigās lietots trigonometriskā formula lai atbildi ierakstītu viskompaktākajā formā.

13. piemērs


Beigās arī faktori tiek pārkārtoti, lai atbildi pierakstītu kompaktākā un lasāmākā formā.

3. kļūda) Noteikums netiek pilnībā izmantots.
Reiz mēs ņēmām vērā, ka funkcija ir sarežģīta un pietiekama. Un ja funkcija tiek ligzdota vairākas reizes? Piemēram, divu logaritmu summas kvadrātsakne ar dažādi iemesli, no kuriem pirmais ir atkarīgs no grēka x, un otrais no cos x. Vai arktangents, atkarībā no dabiskā logaritma, kas, savukārt, ir atkarīgs no x kvadrātā.

14. piemērs


15. piemērs

Nekautrējieties likt iekavas.

Iepriekšējais piemērs demonstrē izeju, ieviešot papildu notāciju. Bet, manuprāt, tas joprojām nav optimālākais veids, kā veikt lielus aprēķinus. Labākā pieeja sarežģītas funkcijas diferencēšanai ir iekavas, kuras var pievienot skaidri vai, stiprinot prasmes, iztēloties garīgi.
Mēs novietojam stiprinājumus un pakāpeniski tos atveram no iekšpuses uz āru. Nākamās iekavas saturs ir mainīgs lielums, saskaņā ar kuru diferenciācija tiek veikta pēc formulas f u " ·( u)" . Atvasināts f u " atrodiet atvasinājumu tabulu, aizstājot ar formulu x uz u. Ja viss tiek izdarīts pareizi, process beidzas ar to, ka pēdējās, visdziļākās iekavas saturs precīzi atbilst vienai no tabulas formulām atvasinājumiem.

16. piemērs

PS: 11. un 14. piemērā tika pieļautas kļūdas, kas tika pieminētas ne tikai komentāros par tām, bet arī vēl viena standarta kļūda. Vai pamanījāt, kuri no tiem?

Ir jautājumi vēlmes? komentāri?
Kontaktpersona -

Uzmanību © mateichka. Materiālu tieša kopēšana citās vietnēs ir aizliegta. Ielieciet hipersaiti.

Tiek saukts atvasinātās funkcijas atrašanas process diferenciācija. Atvasinājums jāatrod daudzās problēmās matemātiskās analīzes laikā. Piemēram, atrodot ekstremitāšu punktus un funkcijas grafika lēcienu.

Kā atrast?

Lai atrastu funkcijas atvasinājumu, jums jāzina elementāro funkciju atvasinājumu tabula un jāpiemēro diferenciācijas pamatnoteikumi:

1. Konstantes noņemšana ar atvasinājuma zīmi: $$ (Cu) "\u003d C (u)" $$
2. Funkciju summas / starpības atvasinājums: $$ (u \\ pm v) "\u003d (u)" \\ pm (v) "$$
3. Divu funkciju produkta atvasinājums: $$ (u \\ cdot v) "\u003d u" v + uv "$$
4. Frakcijas atvasinājums: $$ \\ bigg (\\ frac (u) (v) \\ bigg) "\u003d \\ frac (u" v - uv ") (v ^ 2) $$
5. Sarežģītas funkcijas atvasinājums: $$ (f (g (x))) "\u003d f" (g (x)) \\ cdot g "(x) $$

Risinājumu piemēri

1. piemērs

Atrodiet funkcijas $ y \u003d x ^ 3 - 2x ^ 2 + 7x - 1 $ atvasinājumu

Lēmums

Funkciju summas / starpības atvasinājums ir vienāds ar atvasinājumu summu / starpību: $$ y "\u003d (x ^ 3 - 2x ^ 2 + 7x - 1)" \u003d (x ^ 3) "- (2x ^ 2)" + (7x) "- (1)" \u003d $$ Izmantojot jaudas funkcijas $ (x ^ p) atvasinājuma likumu "\u003d px ^ (p-1) $, mums ir: $ $ y "\u003d 3x ^ (3-1) - 2 \\ cdot 2 x ^ (2-1) + 7 - 0 \u003d 3x ^ 2 - 4x + 7 $$ Tika arī ņemts vērā, ka konstantes atvasinājums ir vienāds ar nulli. Ja nevarat atrisināt savu problēmu, atsūtiet to mums. Mēs sniegsim detalizētu risinājumu. Jūs varēsit iepazīties ar aprēķinu procesu un uzzīmēt informāciju. Tas palīdzēs savlaicīgi saņemt kredītu no skolotāja!

Atbilde

$$ y "\u003d 3x ^ 2 - 4x + 7 $$

Fizisko problēmu vai piemēru risināšana matemātikā ir pilnīgi neiespējama bez zināšanām par atvasinājumu un tā aprēķināšanas metodēm. Atvasinājums ir viens no svarīgākajiem matemātiskās analīzes jēdzieniem. Mēs nolēmām veltīt šo rakstu šai pamattēmai. Kas ir atvasinājums, kāda ir tā fiziskā un ģeometriskā nozīme, kā aprēķināt funkcijas atvasinājumu? Visus šos jautājumus var apvienot vienā: kā saprast atvasinājumu?

Atvasinājuma ģeometriskā un fiziskā nozīme

Lai ir kāda funkcija f (x) noteikts kādā intervālā (a, b) . Punkti x un x0 pieder pie šī intervāla. Kad mainās x, mainās pati funkcija. Argumenta maiņa - tā vērtību atšķirība xx0 . Šī atšķirība ir uzrakstīta kā delta x un to sauc par argumenta pieaugumu. Funkcijas maiņu vai palielinājumu sauc par funkciju vērtību atšķirību divos punktos. Atvasināta definīcija:

Funkcijas atvasinājums kādā punktā ir funkcijas pieauguma attiecība noteiktā punktā pret argumenta pieaugumu, ja pēdējam ir tendence uz nulli.

Pretējā gadījumā to var uzrakstīt šādi:

Kāda jēga atrast šādu robežu? Un šeit ir tas, kas:

funkcijas atvasinājums punktā ir vienāds ar leņķa tangenci starp OX asi un funkcijas grafika tangenti šajā punktā.

Atvasinājuma fiziskā nozīme: ceļa laika atvasinājums ir vienāds ar taisnās kustības ātrumu.

Kopš skolas laikiem visi zina, ka ātrums ir īpašs veids x \u003d f (t) un laiks t . Vidējais ātrums noteiktā laika posmā:

Vienlaicīgi zināt ātrumu t0 jāaprēķina robeža:

Pirmais noteikums: mēs izdodam konstanti

Konstantu var izņemt no atvasinājuma zīmes. Turklāt - tas ir jādara. Risinot matemātikas piemērus, padariet to par noteikumu - ja jūs varat vienkāršot izteicienu, noteikti vienkāršojiet .

Piemērs. Mēs aprēķinām atvasinājumu:

Otrais noteikums: funkciju summas atvasinājums

Divu funkciju summas atvasinājums ir vienāds ar šo funkciju atvasinājumu summu. Tas pats attiecas uz funkciju atšķirības atvasinājumu.

Mēs nesniegsim šīs teorēmas pierādījumu, bet drīzāk apsvērsim praktisku piemēru.

Atrodiet funkcijas atvasinājumu:

Trešais noteikums: Funkciju atvasināts produkts

Divu diferencējamu funkciju reizinājuma atvasinājumu aprēķina pēc formulas:

Piemērs: atrodiet funkcijas atvasinājumu:

Lēmums:

Šeit ir svarīgi pateikt par sarežģītu funkciju atvasinājumu aprēķināšanu. Sarežģītas funkcijas atvasinājums ir vienāds ar šīs funkcijas atvasinājuma reizinājumu ar starpposma argumentu un starpposma argumenta atvasinājumu attiecībā uz neatkarīgo mainīgo.

Iepriekš minētajā piemērā mēs sastopamies ar izteicienu:

Šajā gadījumā starpposma arguments ir 8x līdz piektajai pakāpei. Lai aprēķinātu šādas izteiksmes atvasinājumu, vispirms mēs apsveram ārējās funkcijas atvasinājumu attiecībā pret starpposma argumentu, un tad mēs reizinām ar pašas starpfunkcijas atvasinājumu attiecībā uz neatkarīgo mainīgo.

Ceturtais noteikums: Divu funkciju koeficienta atvasinājums

Divu funkciju koeficienta atvasinājuma noteikšanas formula:

Mēs mēģinājām no nulles runāt par atvasinājumiem manekeniem. Šī tēma nav tik vienkārša, kā šķiet, tāpēc mēs brīdinām jūs: slazdos bieži sastopami piemēri, tāpēc, aprēķinot atvasinājumus, jābūt uzmanīgiem.

Ja jums ir kādi jautājumi par šo un citām tēmām, varat sazināties ar studentu dienestu. Īsā laikā mēs jums palīdzēsim atrisināt visgrūtāko kontroli un tikt galā ar uzdevumiem, pat ja jūs nekad iepriekš neesat iesaistījies atvasinājumu aprēķināšanā.