Metodes skaitļu reizināšanai dažādās valstīs. Metodes skaitļu reizināšanai
Darba mērķis: Izpētiet un parādiet neparastus reizināšanas veidus Mērķi: Atrodiet neparastus reizināšanas veidus. Iemācieties tos pielietot. Izvēlieties sev interesantākos vai vieglākos nekā piedāvātie skolā, un izmantojiet tos, skaitot. Māciet klasesbiedriem izmantot jaunu pavairošanas veidu
Metodes: meklēšanas metode, izmantojot zinātnisko un mācību literatūru, kā arī nepieciešamās informācijas meklēšana internetā; praktiska metode aprēķinu veikšanai, izmantojot nestandarta skaitīšanas algoritmus; pētījuma gaitā iegūto datu analīze Šīs tēmas nozīme ir tajā, ka nestandarta metožu izmantošana skaitļošanas prasmju veidošanā palielina skolēnu interesi par matemātiku un veicina matemātisko spēju attīstību
Matemātikas stundās mēs uzzinājām neparastu veidu, kā reizināt ar kolonnu. Mums tas patika, un mēs nolēmām uzzināt citus veidus, kā pavairot dabiskos skaitļus. Mēs pajautājām klasesbiedriem, vai viņi zina citus skaitīšanas veidus? Visi runāja tikai par metodēm, kuras māca skolā. Izrādījās, ka visi mūsu draugi neko nezina par citām metodēm. Matemātikas vēsturē ir aptuveni 30 reizināšanas metodes, kas atšķiras pēc rakstīšanas shēmas vai paša aprēķina gaitā. Kolonnu reizināšanas metode, kuru mēs mācāmies skolā, ir viens no veidiem. Bet vai tas ir visefektīvākais veids? Apskatīsim! Ievads
Šī ir viena no izplatītākajām metodēm, kuru krievu tirgotāji ir veiksmīgi izmantojuši daudzus gadsimtus. Šīs metodes princips: vienciparu skaitļu pavairošana uz pirkstiem no 6 līdz 9. Pirksti šeit kalpoja kā papildu skaitļošanas ierīce. Lai to izdarītu, no vienas puses, viņi izstiepa tik daudz pirkstu, cik pirmais faktors pārsniedz skaitli 5, un, otrkārt, viņi darīja to pašu attiecībā uz otro faktoru. Pārējie pirksti bija saliekti. Tad tika paņemts izstiepto pirkstu skaits (kopējais) un reizināts ar 10, pēc tam skaitļi tika reizināti, parādot, cik pirkstu bija saliekti uz rokām, un rezultāti tika pievienoti. Piemēram, reiziniet 7 ar 8. Šajā piemērā 2 un 3 pirksti būs saliekti. Ja summējat saliekto pirkstu skaitu (2 + 3 \u003d 5) un reiziniet nesaliekto pirkstu skaitu (23 \u003d 6), iegūstat vajadzīgā produkta desmitus un vienības attiecīgi 56. Tātad jūs varat aprēķināt visu vienciparu skaitļu, kas lielāki par 5, reizinājumu.
Skaitļa 9 reizināšana ir ļoti viegli atveidojama "uz pirkstiem". Izklājiet pirkstus abās rokās un pagrieziet rokas ar plaukstām prom no sevis. Garīgi secīgi piešķiriet skaitļus no 1 līdz 10 pirkstiem, sākot ar kreisās rokas mazo pirkstu un beidzot ar labās rokas mazo pirkstu. Pieņemsim, ka mēs vēlamies reizināt 9 ar 6. Saliekt pirkstu ar skaitli, kas vienāds ar skaitli, ar kuru mēs reizināsim deviņus. Mūsu piemērā jums ir jāsaliek pirksta numurs 6. Pirkstu skaits, kas atrodas kreisajā pusē no saritinātā pirksta, mums parāda atbildes desmitnieku skaitu, labajā pusē esošo pirkstu skaits ir viens. Kreisajā pusē mums ir 5 nesaliekti pirksti, labajā pusē - 4 pirksti. Tātad 9 6 \u003d 54.
Reizināšanas metode "Mazā pils" Reizināšanas metodes "Mazā pils" priekšrocība ir tā, ka vissvarīgākie cipari tiek noteikti jau pašā sākumā, kas ir svarīgi, ja jums ir nepieciešams ātri novērtēt vērtību. Augšējā skaitļa ciparus, sākot ar nozīmīgāko ciparu, pārmaiņus reizina ar apakšējo skaitli un raksta kolonnā, pievienojot vajadzīgo nulļu skaitu. Pēc tam rezultāti tiek summēti.
"Greizsirdība" vai "režģa reizināšana" Vispirms tiek uzzīmēts taisnstūris, kas sadalīts kvadrātos, un taisnstūra malu izmēri atbilst decimāldaļu skaitam reizinātājā un reizinātājā. Raksta Pacioli. - Šādas žalūzijas tika pakārtas uz venēciešu māju logiem ...
Režģa reizinājums \u003d +1 +2
Zemnieku veids Tas ir lielo krievu zemnieku veids. Tās būtība ir tajā, ka jebkuru skaitļu reizināšana tiek samazināta līdz virknei secīgu viena skaitļa dalījumu uz pusēm, vienlaikus dubultojot citu skaitli ……… .32 74 ……… ……… .8 296 ……… .4 592 ……… ……… 1 3732 \u003d 1184
Zemnieku veids (nepāra skaitļi) 47 x \u003d 1645
1. solis. Pirmais skaitlis 15: uzzīmējiet pirmo skaitli - ar vienu līniju. Mēs uzzīmējam otro numuru ar piecām līnijām. 2. solis. Otrais skaitlis 23: velciet pirmo numuru ar divām līnijām. Mēs uzzīmējam otro numuru ar trim līnijām. 3. solis. Skaitiet punktu skaitu grupās. 4. solis. Rezultāts - 345. Reiziniet divus divciparu skaitļus: 15 * 23
Indijas reizināšanas metode (krusts) 24 un X 3 2 1) 4x2 \u003d 8 - rezultāta pēdējais cipars; 2) 2x2 \u003d 4; 4x3 \u003d 12; 4 + 12 \u003d 16; 6 - priekšpēdējā rezultāta figūra, mēs atceramies vienību; 3) 2x3 \u003d 6 un pat skaitlis, kas tiek paturēts prātā, mums ir 7 - šī ir pirmā rezultāta figūra. Mēs iegūstam visus produkta numurus: 7,6,8. Atbilde: 768.
Indijas reizināšanas veids \u003d \u003d \u003d \u003d 3822 Šīs metodes pamatā ir ideja, ka viens un tas pats skaitlis apzīmē vienības, desmitus, simtus vai tūkstošus atkarībā no tā, kur šis skaitlis aizņem. Aizņemto vietu, ja nav ciparu, nosaka nulles, kas piešķirtas cipariem. mēs sākam reizināšanu ar visnozīmīgāko bitu un pa daļai pierakstām nepilnos produktus tikai reizinot ar daudzkārtu. Šajā gadījumā vissvarīgākais produkta bits ir uzreiz redzams un tiek izslēgta jebkura cipara izlaišana. Reizināšanas zīme vēl nebija zināma, tāpēc starp faktoriem tika atstāts neliels attālums
Atsauces numurs reizināt 18 * 19 20 (atsauces numurs) * 2 1 (18-1) * 20 \u003d atbilde: 342 Īss apzīmējums: 18 * 19 \u003d 20 * 17 + 2 \u003d 342
Jauns veids, kā reizināt X \u003d, 5 + 2, 5 + 3, 0 + 2, 0 + 3, 5
Secinājums: iemācījušies skaitīt visos uzrādītajos veidos, mēs nonācām pie secinājuma: ka visvienkāršākās ir tās metodes, kuras mēs mācāmies skolā, vai varbūt vienkārši pie tām esam pieraduši. No visām aplūkotajām neparastajām skaitīšanas metodēm grafiskā reizināšanas metode šķita interesantāka. Mēs parādījām viņu klasesbiedriem, un arī viņiem viņš ļoti patika. Šķiet, ka vienkāršākā bija metode "dubultot un dubultot", kuru izmantoja krievu zemnieki. Strādājot ar literatūru un materiāliem internetā, mēs sapratām, ka esam apsvēruši ļoti nelielu skaitu reizināšanas metožu, kas nozīmē, ka mūs gaida daudzas interesantas lietas.
Secinājums Aprakstot senās aprēķinu metodes un mūsdienu ātrās skaitīšanas metodes, mēs centāmies parādīt, ka gan agrāk, gan nākotnē nevar iztikt bez matemātikas, zinātnes, ko radījis cilvēka prāts. Seno reizināšanas metožu izpēte parādīja, ka šī aritmētiskā darbība bija grūta un sarežģīta metožu daudzveidības un to apgrūtinošās ieviešanas dēļ. Mūsdienu reizināšanas metode ir vienkārša un pieejama visiem. Bet, mēs domājam, ka mūsu veids, kā reizināt kolonnā, nav ideāls, un mēs varam nākt klajā ar vēl ātrākiem un uzticamākiem veidiem. Iespējams, ka pirmo reizi daudzi nespēs ātri, pārvietojoties veikt šos vai citus aprēķinus. Tas nav svarīgi. Jums nepieciešama pastāvīga skaitļošanas apmācība. Tas palīdzēs jums iegūt noderīgas verbālās skaitīšanas prasmes!
Izmantotie materiāli: html enciklopēdija bērniem. "Matemātika". - M.: Avanta +, - 688 lpp. Enciklopēdija “Es iepazīstu pasauli. Matemātika ". - M.: Astrels Ermaks, Perelman Ya.I. Ātra skaitīšana. Trīsdesmit vienkāršas verbālās skaitīšanas metodes. L., lpp.
Senajā Indijā tika izmantotas divas reizināšanas metodes: režģi un kambīzes.
No pirmā acu uzmetiena tie šķiet ļoti grūti, taču, ja jūs soli pa solim sekojat ierosinātajiem vingrinājumiem, redzēsiet, ka tas ir pavisam vienkārši.
Pavairosim, piemēram, skaitļus 6827 un 345:
1. Uzzīmējiet kvadrātveida režģi un uzrakstiet vienu no skaitļiem virs kolonnām un otro augstumā. Piedāvātajā piemērā varat izmantot vienu no šiem režģiem. 
2. Izvēloties režģi, mēs reizinām katras rindas numuru pēc kārtas ar katras kolonnas numuriem. Šajā gadījumā mēs secīgi reizinām 3 ar 6, ar 8, ar 2 un ar 7. Apskatiet šo diagrammu, kā darbs tiek rakstīts attiecīgajā šūnā. 
3. Skatiet, kā tīkls izskatās ar visām polsterētajām šūnām.
4. Visbeidzot pievienojiet skaitļus pēc diagonālajām svītrām. Ja vienas diagonāles summa satur desmitus, tad mēs tos pievienojam nākamajai diagonālei.
Skatiet, kā skaitlis 2355315 tiek sastādīts no ciparu pievienošanas gar diagonālēm rezultātiem (tie ir izcelti dzeltenā krāsā), kas ir skaitļu 6827 un 345 reizinājums.
Pašvaldības izglītības iestāde
Staromaksimkinskas pamatskola
Rajona zinātniskā un praktiskā konference par matemātiku
"Solis zinātnē"
Pētnieciskais darbs
"Nestandarta skaitīšanas algoritmi vai ātra skaitīšana bez kalkulatora"
Galva :,
matemātikas skolotājs
no. Art. Maksimkino, 2010. gads
Ievads ………………………………………………………………… .. …………… .3
1. nodaļa. Konta vēsture
1.2. Brīnums - skaitītāji ………………………………………………………………… ... 9
2. nodaļa. Senās reizināšanas metodes
2.1. Krievijas zemnieku pavairošanas veids… .. ……………. ………………. …… .. “Režģa” metode ………………. …… .. …………………………… ……. ……… .13
2.3. Indijas reizināšanas veids ………………………………………………… .15
2.4. Ēģiptes reizināšanas veids ………………………………………………… .16
2.5. Pavairošana uz pirkstiem …………………………………………………………… .17
3. nodaļa. Mutiskā skaitīšana - prāta vingrošana
3.1. Reizināšana un dalīšana ar 4 …………… .. ………………………. ………………… .19
3.2. Reizināt un dalīt ar 5 …………………………………… ... ………………… .19
3.3. Reizināt ar 25 …………………………………………………………………… 19
3.4. Reizināt ar 1,5 …………………………………………………………… ... 20
3.5. Reizināt ar 9 ………. ………………………………………………………… .20
3.6. Reizināt ar 11 ……………………………………………… .. …………….… .20
3.7. Reizinot trīsciparu skaitli ar 101 …………………………………………… 21
3.7. Rādīt ar cipariem, kas beidzas ar 5 ……………………… 21
3.8. Ievietojiet kvadrātu tuvu skaitlim 50 ………………. ……………………… 22
3.9. Spēles ……………………………………………………………………………… .22
Secinājums ………………………………………………………………………….… 24
Izmantotās literatūras saraksts ……………………………………………… ... 25
Ievads
Vai jūs varat iedomāties pasauli bez skaitļiem? Bez numuriem jūs neveicat pirkumu, nezināt laiku un neizzvanīsit tālruņa numuru. Un kā ar kosmosa kuģiem, lāzeriem un visiem citiem tehniskajiem sasniegumiem? Tie būtu vienkārši neiespējami, ja ne zinātne par skaitļiem.
Matemātikā dominē divi elementi - skaitļi un skaitļi ar to bezgalīgo īpašību un attiecību dažādību. Mūsu darbā priekšroka tiek dota skaitļu elementam un darbībām ar tiem.
Tagad, straujas informātikas un datortehnoloģijas attīstības stadijā, mūsdienu skolēni nevēlas mocīties ar prāta aritmētiku. Tāpēc mēs apsvērām ir svarīgi parādīt ne tikai to, ka pats darbības veikšanas process var būt interesants, bet arī to, ka, labi apgūstot ātrās skaitīšanas paņēmienus, var strīdēties ar datoru.
Objektspētījumi ir skaitīšanas algoritmi.
Priekšmets pētījumi veicina skaitļošanas procesu.
Mērķis:izpētīt nestandarta aprēķinu metodes un eksperimentāli noteikt iemeslu atteikumam izmantot šīs metodes, mācot matemātiku mūsdienu skolēniem.
Uzdevumi:
Atklājiet konta vēsturi un fenomenu "Brīnums - skaitītāji";
Aprakstiet vecās reizināšanas metodes un eksperimentāli identificējiet grūtības to lietošanā;
Apsveriet dažus orālās pavairošanas paņēmienus un ar konkrētiem piemēriem parādiet to izmantošanas priekšrocības.
Hipotēze:vecos laikos viņi teica: "Pavairošana ir manas mokas." Tas nozīmē, ka agrāk to bija grūti un grūti pavairot. Vai mūsu mūsdienu reizināšanas metode ir vienkārša?
Strādājot ar ziņojumu, es izmantoja šādas metodes :
Ø meklēt metode, izmantojot zinātnisko un mācību literatūru, kā arī nepieciešamās informācijas meklēšana internetā;
Ø praktiski metode aprēķinu veikšanai, izmantojot nestandarta skaitīšanas algoritmus;
Ø analīze pētījuma laikā iegūtie dati.
Atbilstība Šī tēma ir tāda, ka nestandarta metožu izmantošana skaitļošanas prasmju veidošanā palielina skolēnu interesi par matemātiku un veicina matemātisko spēju attīstību.
Vienkāršā reizināšanas darbība slēpj matemātikas vēstures noslēpumus. Interesanti bija vārdi “reizinājums ar režģi”, “šaha metode”, kurus dzirdēju nejauši. Es gribēju uzzināt šīs un citas reizināšanas metodes, salīdzināt tās ar mūsu šodienas reizināšanas darbību.
Lai noskaidrotu, vai mūsdienu skolēni papildus reizināšanai ar kolonnu un dalīšanai ar "stūri" zina citus aritmētisko darbību veikšanas veidus un vēlētos apgūt jaunus veidus, tika veikta mutiska aptauja. Tika intervēti 20 5.-7. Klases skolēni. Šī aptauja parādīja, ka mūsdienu skolēni nezina citus veidus, kā veikt darbības, jo viņi reti atsaucas uz materiālu ārpus skolas programmas.
Aptaujas rezultāti:
(Diagrammas attēlo studentu apstiprinošo atbilžu procentuālo daļu).
1) Vai mūsdienu cilvēkam ir jāspēj veikt aritmētiskās darbības ar naturāliem skaitļiem?
2) a) Vai jūs zināt, kā reizināt, pievienot,
b) Vai jūs zināt citus veidus, kā veikt aritmētiskās darbības?
3) vai vēlaties uzzināt?
1. nodaļa. Konta vēsture
1.1. Kā radās skaitļi
Cilvēki iemācījās skaitīt priekšmetus senajā akmens laikmetā - paleolītā, pirms desmitiem tūkstošu gadu. Kā tas notika? Sākumā cilvēki salīdzināja tikai vienu un to pašu priekšmetu dažādus daudzumus ar aci. Viņi varēja noteikt, kurā no abām kaudzēm bija vairāk augļu, kurā ganāmpulkā bija vairāk briežu utt. Ja viena cilts noķertās zivis apmainīja pret otras cilts cilvēku darinātiem akmens nažiem, nebija vajadzības skaitīt, cik daudz zivju tika atvestas un cik daudz nažu. Pietika ar to, ka pie katras zivis nolika nazi, lai notiktu apmaiņa starp ciltīm.
Lai gūtu panākumus lauksaimniecībā, jums bija nepieciešamas aritmētiskās zināšanas. Neskaitot dienas, bija grūti noteikt, kad sēt laukus, kad sākt laistīt, kad gaidīt pēcnācējus no dzīvniekiem. Jums bija jāzina, cik aitu bija ganāmpulkā, cik graudu maisus novietoja kūtīs.
Un pirms vairāk nekā astoņiem tūkstošiem gadu senie gani sāka izgatavot krūzes no māla - pa vienai katrai aitai. 
Lai uzzinātu, vai dienas laikā ir pazudusi vismaz viena aita, gans katru reizi, kad aizgaldā ienāca cits dzīvnieks, nolika krūzīti. Un tikai pārliecinājies, ka aitas atgriežas tik daudz, cik ir apļu, viņš mierīgi devās gulēt. Bet viņa ganāmpulkā nebija tikai aitas - viņš ganīja govis, kazas un ēzeļus. Tāpēc no māla bija jāpazūd citām figūriņām. Un zemnieki ar māla figūriņu palīdzību veica uzskaiti par novākto ražu, atzīmējot, cik daudz graudu maisu ievietoti klētī, cik eļļas krūzes izspiestas no olīvām, cik daudz auduma linu. Ja aitas dzemdēja pēcnācējus, gans pievienoja jaunus apļus, un, ja dažas aitas gāja pēc gaļas, bija jānoņem vairāki apļi. Tātad, vēl nezinot, kā skaitīt, senie cilvēki nodarbojās ar aritmētiku.
Tad cilvēku valodā parādījās cipari, un cilvēki varēja nosaukt objektu, dzīvnieku, dienu skaitu. Parasti šo skaitļu bija maz. Piemēram, Marejas upes cilts Austrālijā bija divi vienkārši cipari: Enea (1) un Petcheval (2). Viņi izteica citus skaitļus ar saliktiem cipariem: 3 \u003d "petcheval-ea", 4 "petcheval-petcheval" utt. Vēl vienai Austrālijas ciltij Kamiloroi bija vienkārši cipari mal (1), bulan (2), guliba (3). Un šeit tika iegūti citi skaitļi, pievienojot mazāk: 4 \u003d "bulan - bulan", 5 \u003d "bulan - guliba", 6 \u003d "guliba - guliba" utt.
Daudzām tautām skaitļa nosaukums bija atkarīgs no skaitāmajiem objektiem. Ja Fidži salu iedzīvotāji skaitīja laivas, tad skaitli 10 sauca par "bolo"; ja viņi skaitīja kokosriekstus, tad skaitli 10 sauca par "karo". To darīja arī Sahalīnā un Amūras krastos dzīvojošie nivhi. Pat pagājušajā gadsimtā viņi sauca to pašu numuru ar dažādiem vārdiem, ja skaitīja cilvēkus, zivis, laivas, tīklus, zvaigznes, spieķi.
Mēs joprojām izmantojam dažādus nenoteiktus skaitļus ar nozīmi "daudzi": "pūlis", "ganāmpulks", "ganāmpulks", "kaudze", "ķekars" un citi.
Attīstoties ražošanai un tirdzniecības apmaiņai, cilvēki sāka labāk saprast, kas kopīgs trim laivām un trim asīm, desmit bultām un desmit uzgriežņiem. Ciltis bieži apmainīja priekšmetus pret priekšmetiem; piemēram, viņi tirgoja 5 ēdamās saknes pret 5 zivīm. Kļuva skaidrs, ka 5 saknēm un zivīm ir vienāds; līdz ar to to var saukt vienā vārdā.
Līdzīgas skaitīšanas metodes izmantoja arī citas tautas. Tā radās numerācija, pamatojoties uz piecu, desmitu, divdesmit skaitīšanu.
Līdz šim mēs runājām par mutvārdu skaitīšanu. Kā tika reģistrēti skaitļi? Sākumā, pat pirms rakstīšanas parādīšanās, viņi izmantoja robus uz nūjām, robus uz kauliem, mezglus uz virvēm. Vilkaulā, kas atrasts Dolny Vestonice (Čehoslovākijā), pirms vairāk nekā 25 000 gadiem tika izgatavotas 55 iecirtumi.
Kad parādījās rakstīšana, cipari parādījās arī skaitļu rakstīšanai. Sākumā skaitļi atgādināja nūju izcirtņus: Ēģiptē un Babilonā, Etrūrijā un Datumos, Indijā un Ķīnā nelielus skaitļus rakstīja ar nūjām vai domuzīmēm. Piemēram, skaitlis 5 tika uzrakstīts ar piecām nūjām. Astekas un maiju indiāņi nūju vietā izmantoja punktus. Tad dažiem cipariem, piemēram, 5 un 10, bija īpašas zīmes.
Tajā laikā gandrīz visa numerācija nebija pozicionāla, bet līdzīga romiešu numerācijai. Tikai viena babiloniešu seksagesimālā numerācija bija pozicionāla. Bet pat tajā ilgu laiku nebija nulle, kā arī komats, kas atdalīja visu daļu no daļējās daļas. Tāpēc viens un tas pats skaitlis varētu nozīmēt 1, 60 vai 3600. Skaitļa nozīmi vajadzēja uzminēt atbilstoši problēmas nozīmei.
Vairākus gadsimtus pirms jaunās ēras tika izgudrots jauns skaitļu rakstīšanas veids, kurā parastās alfabēta burti kalpoja kā cipari. Pirmie 9 burti apzīmēja desmitus 10, 20,…, 90 un vēl 9 burti simtiem. Šī alfabētiskā numerācija tika izmantota līdz 17. gadsimtam. Lai atšķirtu "īstos" burtus no cipariem, virs burtiem-cipariem tika uzlikta domuzīme (Krievijā šo domuzīmi sauca par "titlo").
Visās šajās numerācijās bija ļoti grūti veikt aritmētiskās darbības. Tāpēc izgudrojums 6. gs. Indiāņi ar decimālo pozīciju numerāciju pamatoti tiek uzskatīti par vienu no lielākajiem cilvēces sasniegumiem. Indijas numerācija un indiešu cipari Eiropā kļuva zināmi no arābiem, un tos parasti sauc par arābu.
Uz ilgu laiku rakstot frakcijas, visa daļa tika rakstīta ar jaunu, decimālu numerāciju, bet frakcija - ar sešdesmit. Bet 15. gadsimta sākumā. Samarkandas matemātiķis un astronoms al Kaši savos aprēķinos sāka izmantot decimāldaļas.
Skaitļi, ar kuriem mēs strādājam, ir pozitīvi un negatīvi skaitļi. Bet izrādās, ka tie nav visi skaitļi, kurus izmanto matemātikā un citās zinātnēs. Un jūs varat uzzināt par tiem, negaidot vidusskolu, bet daudz agrāk, ja pētāt skaitļu parādīšanās vēsturi matemātikā.
1.2 "Brīnums - letes"
Viņš visu saprot no pirmā acu uzmetiena un nekavējoties formulē secinājumu, pie kura parasts cilvēks, iespējams, nonāks caur garām un sāpīgām pārdomām. Viņš absorbē grāmatas ar neticamu ātrumu, un viņa īsajā bestselleru sarakstā vispirms ir izklaidējošas matemātikas mācību grāmata. Sarežģītāko un neparastāko uzdevumu risināšanas brīdī viņa acīs deg iedvesmas uguns. Pieprasījumi doties uz veikalu vai mazgāt traukus tiek ignorēti vai tiek apmierināti ar lielu neapmierinātību. Labākā atlīdzība ir lekciju zāles apmeklējums, un visvērtīgākā dāvana ir grāmata. Viņš ir pēc iespējas praktiskāks un savā darbībā būtībā pakļaujas saprātam un loģikai. Viņš izturas pret apkārtējiem cilvēkiem auksti un priekšroku šaha spēlei ar datoru, nevis skrituļslidošanai. Bērnībā viņš apzinās savus trūkumus, kas pārsniedz viņa gadus, viņam raksturīga paaugstināta emocionālā stabilitāte un pielāgošanās ārējiem apstākļiem.
Šis portrets nekādā gadījumā netika krāsots ar CIP analītiķi.
Tātad, pēc psihologu domām, izskatās cilvēka kalkulators - indivīds ar unikālām matemātiskām spējām, kas ļauj viņam acu mirklī veikt vissarežģītākos aprēķinus.
Pārkāpjot apziņas slieksni, brīnums - grāmatvežiem, kuri bez kalkulatora var veikt neiedomājami sarežģītas aritmētiskās darbības, ir unikālas atmiņas iespējas, kas tos atšķir no citiem cilvēkiem. Parasti bez milzīgām formulu un aprēķinu rindām šie cilvēki (zinātnieki tos dēvē par mnemotiku - no grieķu vārda mnemonika, kas nozīmē "iegaumēšanas māksla") savās galvās glabā ne tikai draugu, bet arī ikdienišķu paziņu, kā arī daudzu organizāciju adrešu sarakstus. kādreiz bija jābūt.
Psihotehnoloģijas pētījumu institūta laboratorijā, kur viņi nolēma izpētīt parādību, viņi veica šādu eksperimentu. Viņi uzaicināja unikālu personu - Sanktpēterburgas Centrālā valsts arhīva darbinieku, kuram iegaumēšanai tika piedāvāti dažādi vārdi un numuri. Viņam vajadzēja tos atkārtot. Tikai dažu minūšu laikā viņš varēja salabot līdz septiņdesmit elementus savā atmiņā. Aleksandra atmiņā burtiski "ielādēja" desmitiem vārdu un skaitļu. Kad elementu skaits pārsniedza divus simtus, mēs nolēmām pārbaudīt tā iespējas. Par pārsteigumu eksperimenta dalībniekiem mega atmiņa nedeva nevienu neveiksmi. Uz sekundi pakustinot lūpas, viņš sāka pārsteidzoši precīzi atveidot visu elementu sēriju, it kā lasot.
Cits, piemēram, viens zinātnieks - pētnieks veica eksperimentu ar Mademoiselle Osaka. Priekšmets tika aicināts uz kvadrātu 97, lai iegūtu šī skaitļa desmito jaudu. Viņa to izdarīja uzreiz.
Arons Čikašvili dzīvo Van reģionā Gruzijas rietumos. Viņš ātri un precīzi savā prātā veic sarežģītus aprēķinus. Kaut kā draugi nolēma pārbaudīt "brīnumu skaitītāja" iespējas. Uzdevums bija grūts: cik vārdus un burtus teicējs teiks, komentējot futbola spēles "Spartak" (Maskava) - "Dynamo" (Tbilisi) otro pusi. Tajā pašā laikā tika ieslēgts magnetofons. Atbilde nāca, tiklīdz diktors teica pēdējo vārdu: 17427 burti, 1835 vārdi. Pagāja ... 5 stundas, lai to pārbaudītu. Atbilde izrādījās pareiza.
Mēdz teikt, ka Gausa tēvs nedēļas beigās kādreiz maksāja saviem darbiniekiem, katrai dienai pieskaitot algas par virsstundām. Kādu dienu pēc tam, kad tēvs bija beidzis Gausu, bērns, kurš bija trīs gadus vecs, sekoja tēva operācijām un iesaucās: “Tēt, skaitīšana nav pareiza! Tam vajadzētu būt summai. " Aprēķini tika atkārtoti un bija pārsteigti, lai pārliecinātos, ka mazulis ir norādījis pareizo summu.
Interesanti, ka daudziem "brīnumu skaitītājiem" vispār nav ne jausmas, kā viņi skaita. “Mēs skaitām, tas arī viss! Un, kā mēs domājam, Dievs viņu pazīst. " Daži “letes” bija pilnīgi neizglītoti cilvēki. Anglis Buxtons, "virtuozs skaitītājs", nekad nemācījās lasīt; Amerikāņu "negro counter" Tomass Fulers nomira analfabēts 80 gadu vecumā.
Konkursi notika Ukrainas Zinātņu akadēmijas Kibernetikas institūtā. Sacensībās piedalījās jaunais "pretfenomens" Igors Šeluškovs un dators "Mir". Iekārta dažās sekundēs veica daudzas sarežģītas matemātiskas darbības. Par uzvarētāju šajās sacensībās kļuva Igors Šeluškovs.
Lielākajai daļai šo cilvēku ir izcilas atmiņas un dāvanas. Bet dažiem no viņiem nav nekādas matemātikas. Viņi zina noslēpumu! Un šis noslēpums ir tas, ka viņi labi apguvuši ātrās skaitīšanas paņēmienus, iegaumējuši vairākas īpašas formulas. Bet beļģu darbinieks, kurš 30 sekunžu laikā saskaņā ar viņam piedāvāto daudzciparu skaitli, kas iegūts, reizinot noteiktu skaitli 47 reizes, izsauc šo numuru (viņš izvelk 47. sakni
grāds no daudzciparu skaitļa), daudzu gadu apmācības rezultātā kontā ir guvis tik milzīgus panākumus.
Tātad, daudzi "parādību skaitītāji" izmanto īpašas ātras skaitīšanas metodes un īpašas formulas. Tāpēc mēs varam izmantot arī dažas no šīm metodēm.
NodaļaII ... Vecie reizināšanas veidi.
2.1. Krievu zemnieku pavairošanas veids.
Krievijā pirms 2-3 gadsimtiem dažu provinču zemnieku vidū bija izplatīta metode, kurai nebija vajadzīgas zināšanas par visu reizināšanas tabulu. Bija tikai jāspēj reizināt un dalīt ar 2. Šī metode tika saukta zemnieks (pastāv viedoklis, ka tas cēlies no ēģiptieša).
Piemērs: reiziniet 47 ar 35,
Uzrakstīsim skaitļus uz vienas līnijas, starp tām uzzīmēsim vertikālu līniju;
Kreisais skaitlis tiks dalīts ar 2, labais skaitlis tiks reizināts ar 2 (ja dalīšanas laikā rodas atlikums, tad atlikumu mēs izmetam);
Sadalīšana beidzas, kad viens parādās kreisajā pusē;
Izsvītro tās līnijas, kurās kreisajā pusē ir pāra skaitļi;
35 + 70 + 140 + 280 + 1120 = 1645.
2.2. Režģa metode.
1). Bagdādē dzīvoja un strādāja ievērojams arābu matemātiķis un astronoms Abu Moussa al-Khorezmi. "Al - Khorezmi" burtiski nozīmē "no Horezmas", tas ir, viņš ir dzimis Horezmas pilsētā (tagad daļa no Uzbekistānas). Zinātnieks strādāja Gudrības namā, kur bija bibliotēka un observatorija, šeit strādāja gandrīz visi lielākie arābu zinātnieki.
Ir ļoti maz informācijas par Muhameda al-Horezmi dzīvi un darbu. Ir saglabājušies tikai divi viņa darbi - par algebru un aritmētiku. Pēdējā no šīm grāmatām sniedz četrus aritmētisko darbību noteikumus, gandrīz tādus pašus kā mūsdienās.
2). Tā "Indijas kontu grāmata" zinātnieks aprakstīja senajā Indijā izgudroto metodi, kuru vēlāk sauca "Režģa metode" (viņš ir "greizsirdība"). Šī metode ir vēl vienkāršāka nekā mūsdienās izmantotā.
Pavairosim 25 un 63.
Uzzīmēsim tabulu, kurā divas šūnas ir garumā un divas platumā, mēs pierakstām vienu skaitli garumā un otru platumā. Šūnās mēs pierakstām šo skaitļu reizināšanas rezultātu, to krustojumā desmitus un vienus atdala ar diagonāli. Mēs pievienojam iegūtos skaitļus pa diagonāli, un rezultātu var nolasīt pa bultiņu (uz leju un pa labi).
Mēs esam apsvēruši vienkāršu piemēru, tomēr šo metodi var izmantot, lai reizinātu visus daudzciparu skaitļus.
Apsveriet vēl vienu piemēru: reiziniet 987 un 12:
Uzzīmējiet taisnstūri 3 x 2 (pēc katra reizinātāja aiz komata);
Tad mēs sadalām kvadrātveida šūnas pa diagonāli;
Tabulas augšdaļā ierakstiet skaitli 987;
Tabulas kreisajā pusē ir skaitlis 12 (skat. Attēlu);
Tagad katrā kvadrātā mēs ierakstām skaitļu reizinājumu - faktori, kas atrodas vienā rindā un vienā kolonnā ar šo kvadrātu, desmitiem virs diagonāles, zemāk esošie;
Pēc visu trijstūru aizpildīšanas tajos esošie skaitļi tiek pievienoti gar katru diagonāli;
Mēs uzrakstām rezultātu tabulas labajā pusē un apakšā (skat. Attēlu);
987 ∙ 12=11844
Šis divu dabisko skaitļu reizināšanas algoritms bija izplatīts viduslaikos Austrumos un Itālijā.
Mēs atzīmējām šīs metodes neērtības taisnstūra galda sagatavošanas darbietilpībā, lai gan pats aprēķina process ir interesants, un tabulas aizpildīšana atgādina spēli.
2.3 Indijas reizināšanas metode
Daži pieredzējuši skolotāji pagājušajā gadsimtā uzskatīja, ka šai metodei vajadzētu aizstāt mūsu skolā vispārpieņemto pavairošanas metodi.
Amerikāņiem tas tik ļoti patika, ka viņi to pat sauca par “Amerikas ceļu”. Tomēr Indijas iedzīvotāji to izmantoja vēl 6. gadsimtā. n. e., un pareizāk to saukt par "Indijas ceļu". Reiziniet jebkurus divus divciparu skaitļus, teiksim 23 ar 12. Es uzreiz rakstu, kas notiek.
Redzi: atbilde tika saņemta ļoti ātri. Bet kā tas tiek iegūts?
Pirmais solis: x23 es saku: "2 x 3 \u003d 6"
Otrais solis: x23 es saku: "2 x 2 + 1 x 3 \u003d 7"
Trešais solis: x23 es saku: "1 x 2 \u003d 2".
12 Es rakstu 2 pa kreisi no skaitļa 7
276 mēs saņemam 276.
Mēs iepazināmies ar šo metodi, izmantojot ļoti vienkāršu piemēru, nešķērsojot izlādi. Tomēr mūsu pētījumi ir parādījuši, ka to var izmantot arī reizinot skaitļus ar pāreju caur ciparu, kā arī reizinot daudzciparu skaitļus. Šeit ir daži piemēri:
x528 x24 x15 x18 x317
123 30 13 19 12
Krievijā šī metode bija pazīstama kā krustdūriena reizināšanas metode.
Šis "krustojums" ir pavairošanas neērtības, to ir viegli sajaukt, turklāt ir grūti paturēt prātā visus starpproduktus, kuru rezultāti pēc tam jāpievieno.
2.4. Ēģiptes reizināšanas veids
Senatnē izmantotie skaitļu apzīmējumi vairāk vai mazāk bija piemēroti skaitīšanas rezultāta reģistrēšanai. Bet ar to palīdzību bija ļoti grūti veikt aritmētiskās darbības, it īpaši attiecībā uz reizināšanas darbību (mēģiniet, reiziniet: ξφß * τδ). Ēģiptieši atrada izeju no šīs situācijas, tāpēc metode tika izsaukta Ēģiptiešu. Viņi aizstāja reizināšanu ar jebkuru skaitli, dubultojot, tas ir, pievienojot skaitli sev.
Piemērs: 34 ∙ 5 \u003d 34 ∙ (1 + 4) \u003d 34 ∙ (1 + 2 ∙ 2) \u003d 34 ∙ 1+ 34 ∙ 4.
Tā kā 5 \u003d 4 + 1, tad, lai iegūtu atbildi, atlika skaitļus labajā slejā pievienot skaitļiem 4 un 1, t.i., 136 + 34 \u003d 170.
2.5. Reizināšana uz pirkstiem
Senie ēģiptieši bija ļoti reliģiozi un uzskatīja, ka mirušā dvēsele pēcnāves dzīvē tika pakļauta pirkstu skaitīšanas pārbaudei. Tas jau runā par nozīmi, kādu senie cilvēki piešķīra šai dabisko skaitļu reizināšanas metodei (tā saņēma nosaukumu pirkstu skaitīšana).
Uz pirkstiem tika reizināti vienciparu skaitļi no 6 līdz 9. Lai to izdarītu, no vienas puses, viņi izstiepa tik daudz pirkstu, cik pirmais faktors pārsniedz skaitli 5, un, otrkārt, viņi darīja to pašu arī otrajam faktoram. Pārējie pirksti bija saliekti. Pēc tam viņi paņēma tik daudz desmitus, cik izstiepti pirksti uz abām rokām, un šim skaitlim pievienoja pirmās un otrās rokas saliekto pirkstu produktu.
Piemērs: 8 ∙ 9 \u003d 72
Vēlāk tika uzlabota pirkstu skaitīšana - viņi iemācījās ar pirkstiem rādīt skaitļus līdz 10 000.
Pirkstu kustība
Un šeit ir vēl viens veids, kā palīdzēt atmiņai: ar pirkstu palīdzību iegaumējiet reizināšanas tabulu ar 9. Liekot abas rokas blakus uz galda, mēs abu roku pirkstus numurējam šādā secībā: pirmais pirksts kreisajā pusē būs 1, otrais aiz tā būs 2, tad 3 , 4 ... līdz desmitajam pirkstam, kas nozīmē 10. Ja jums ir jāreizina kāds no pirmajiem deviņiem skaitļiem ar 9, tad, lai to izdarītu, nepārvietojot rokas no galda, jums ir jāpaceļ šis pirksts, kura skaitlis nozīmē skaitli, ar kuru deviņi tiek reizināti; tad pirkstu skaits, kas atrodas pa kreisi no paceltā pirksta, nosaka desmitu skaitu, un pirkstu skaits, kas atrodas pa labi no paceltā pirksta, norāda iegūtā produkta vienību skaitu.
Piemērs. Pieņemsim, ka jums jāatrod 4x9 produkts.
Ar abām rokām uz galda paceliet ceturto pirkstu, skaitot no kreisās uz labo. Tad pirms paceltā pirksta ir trīs pirksti (desmitiem), bet pēc paceltā - 6 pirksti (viens). Tāpēc reizinājums ar 4 pret 9 ir 36.
Vēl viens piemērs:
Pieņemsim, ka vēlaties reizināt 3 * 9.
No kreisās uz labo pusi atrodiet trešo pirkstu, šis pirksts tiks iztaisnots 2 pirkstus, tie nozīmēs 2 desmitus.
Pa labi no saliektā pirksta tiks iztaisnoti 7 pirksti, tie nozīmē 7 vienības. Pievienojiet 2 desmitiem un 7 vienībām 27.
Paši pirksti parādīja šo skaitli.
// // /////
Tātad vecās reizināšanas metodes, kuras mēs uzskatījām, parāda, ka algoritms, ko skolā izmanto dabisko skaitļu reizināšanai, nav vienīgais, un tas ne vienmēr bija zināms.
Tomēr tas ir pietiekami ātrs un ērtākais.
3. nodaļa. Mutiskā skaitīšana - prāta vingrošana
3.1. Reizināšana un dalīšana ar 4.
Lai reizinātu skaitli ar 4, jūs divkāršojat to divreiz.
Piemēram,
214 * 4 = (214 * 2) * 2 = 428 * 2 = 856
537 * 4 = (537 * 2) * 2 = 1074 * 2 = 2148
Lai skaitli dalītu ar 4, divreiz daliet to ar 2.
Piemēram,
124: 4 = (124: 2) : 2 = 62: 2 = 31
2648: 4 = (2648: 2) : 2 = 1324: 2 = 662
3.2. Reizināšana un dalīšana ar 5.
Lai reizinātu skaitli ar 5, jums tas jāreizina ar 10/2, tas ir, reiziniet ar 10 un daliet ar 2.
Piemēram,
138 * 5 = (138 * 10) : 2 = 1380: 2 = 690
548 * 5 (548 * 10) : 2 = 5480: 2 = 2740
Lai skaitli dalītu ar 5, jums tas jāreizina ar 0,2, tas ir, divkāršotajā sākotnējā skaitlī atdaliet pēdējo ciparu ar komatu.
Piemēram,
345: 5 = 345 * 0,2 = 69,0
51: 5 = 51 * 0,2 = 10,2
3.3. Reizināt ar 25.
Lai reizinātu skaitli ar 25, jums tas jāreizina ar 100/4, tas ir, reiziniet ar 100 un daliet ar 4.
Piemēram,
348 * 25 = (348 * 100) : 4 = (34800: 2) : 2 = 17400: 2 = 8700
3.4. Reizināt ar 1,5.
Lai reizinātu skaitli ar 1,5, puse no tā jāpievieno sākotnējam skaitlim.
Piemēram,
26 * 1,5 = 26 + 13 = 39
228 * 1,5 = 228 + 114 = 342
127 * 1,5 = 127 + 63,5 = 190,5
3.5. Reizināt ar 9.
Lai reizinātu skaitli ar 9, tam tiek piešķirts 0 un tiek atņemts sākotnējais numurs. Piemēram,
241 * 9 = 2410 – 241 = 2169
847 * 9 = 8470 – 847 = 7623
3.6. Reizināt ar 11.
1 veids... Lai reizinātu skaitli ar 11, tam tiek piešķirts 0 un tiek pievienots sākotnējais numurs. Piemēram:
47 * 11 = 470 + 47 = 517
243 * 11 = 2430 + 243 = 2673
2. metode. Ja vēlaties reizināt skaitli ar 11, rīkojieties šādi: pierakstiet skaitli, kuru vēlaties reizināt ar 11, un ievietojiet šo skaitļu summu starp sākotnējā skaitļa cipariem. Ja summa ir divciparu skaitlis, tad sākotnējā skaitļa pirmajam ciparam pievieno 1. Piemēram:
45 * 11 = * 11 = 967
Šī metode ir piemērota tikai divciparu skaitļu reizināšanai.
3.7. Reiziniet trīsciparu skaitli ar 101.
Piemēram, 125 * 101 \u003d 12625
(mēs palielinām pirmo faktoru par tā simtu skaitu un piešķiram labajam pirmā faktora divus pēdējos ciparus)
125 + 1 = 126 12625
Bērni šo tehniku \u200b\u200bviegli apgūst, kolonnā pierakstot aprēķinu.
|
x x125 |
x x348 |
Vēl viens piemērs: 527 * 101 = (527+5)27 = 53227
3.8. Kvadrātveida skaitlis, kas beidzas ar 5
Lai noapaļotu skaitli, kas beidzas ar ciparu 5 (piemēram, 65), reiziniet tā desmitu skaitu (6) ar desmitnieku skaitu, kas palielināts par 1 (ar 6 + 1 \u003d 7), un iegūtajam skaitlim piešķiriet 25
(6 * 7 \u003d 42 atbilde: 4225)
Piemēram:
3.8. Rādīt kvadrātu tuvu 50.
Ja vēlaties noapaļot skaitli, kas ir tuvu 50, bet lielāks par 50, rīkojieties šādi:
1) no šī skaitļa atņem 25;
2) Rezultātam ar diviem cipariem pievienojiet šī skaitļa pārsnieguma kvadrātu virs 50.
Paskaidrojums: 58 - 25 \u003d 33, 82 \u003d 64, 582 \u003d 3364.
Paskaidrojums: 67 - 25 \u003d 42, 67 - 50 \u003d 17, 172 \u003d 289,
672 = 4200 + 289 = 4489.
Ja vēlaties noapaļot skaitli, kas ir tuvu 50, bet mazāks par 50, rīkojieties šādi:
1) no šī skaitļa atņem 25;
2) rezultātam ar diviem cipariem pievienojiet noteikta skaitļa trūkuma kvadrātu līdz 50.
Paskaidrojums: 48 - 25 \u003d 23, 50 - 48 \u003d 2, 22 \u003d 4, 482 \u003d 2304.
Paskaidrojums: 37 - 25 \u003d 12, \u003d 13, 132 \u003d 169,
372 = 1200 + 169 = 1369.
3.9. Spēles
Uzminot iegūto skaitli.
1. Iedomājieties skaitli. Pievienojiet tam 11; reiziniet iegūto daudzumu ar 2; no šī darba atņem 20; Reiziniet iegūto starpību ar 5 un atņemiet no jaunā produkta 10 reizes lielāku skaitli, kādu esat iecerējis.
Es domāju, ka jums ir 10. Vai ne?
2. Iedomājieties skaitli. No rīta. Atņemiet no saņemtā 1. Saņemto reiziniet ar 5. Pievienojiet saņemto saņemtajam 20. Saņemto daliet ar 15. Atņemiet no saņemtā.
Jūs saņemat 1.
3. Iedomājieties skaitli. Reiziniet to ar 6. Atņemiet 3. Reiziniet ar 2. Pievienojiet 26. Divreiz atņemiet plānu. Sadaliet ar 10. Atņemiet plānu.
Jūs saņemat 2.
4. Iedomājieties skaitli. Trīskāršojiet to. Atņemiet 2. Reiziniet ar 5. Pievienojiet 5. Daliet ar 5. Pievienojiet 1. Daliet ar savu plānu. Jūs saņemat 3.
5. Iedomājieties skaitli, dubultojiet to. Pievienojiet 3. Reiziniet ar 4. Atņemiet 12. Daliet ar savu plānu.
Jūs saņemat 8.
Paredzēto skaitļu uzminēšana.
Uzaiciniet draugus izdomāt visus skaitļus. Ļaujiet visiem pievienot 5 savam paredzētajam skaitlim.
Ļaujiet iegūto summu reizināt ar 3.
Ļaujiet viņam no darba atņemt 7.
Ļaujiet viņam no rezultāta atņemt vēl 8.
Ļaujiet visiem sniegt jums gala rezultātu lapu. Aplūkojot papīra gabalu, jūs uzreiz visiem sakāt, kādu numuru viņi domā.
(Lai uzminētu plānoto skaitu, daliet uz papīra uzrakstītu vai mutiski runātu rezultātu ar 3)
Secinājums
Mēs esam iegājuši jaunajā tūkstošgadē! Lieliski cilvēces atklājumi un sasniegumi. Mēs daudz ko zinām, varam daudz. Šķiet, ka tas ir kaut kas pārdabisks, ka ar skaitļu un formulu palīdzību var aprēķināt kosmosa kuģa lidojumu, “ekonomisko situāciju valstī”, laika apstākļus “rītdienai”, aprakstīt piezīmju skaņu melodijā. Mēs zinām senā grieķu matemātiķa, filozofa, kurš dzīvoja 4. gadsimtā pirms mūsu ēras, - Pitagora - paziņojumu "Viss ir skaitlis!"
Saskaņā ar šī zinātnieka un viņa sekotāju filozofisko viedokli skaitļi kontrolē ne tikai mēru un svaru, bet arī visas parādības, kas notiek dabā, un ir pasaulē valdošās harmonijas būtība, kosmosa dvēsele.
Aprakstot senās aprēķinu metodes un mūsdienu ātrās skaitīšanas metodes, mēs centāmies parādīt, ka gan pagātnē, gan nākotnē nevar iztikt bez matemātikas, zinātnes, ko radījis cilvēka prāts.
Seno reizināšanas metožu izpēte parādīja, ka šī aritmētiskā darbība bija sarežģīta un sarežģīta metožu daudzveidības un to apgrūtinošās ieviešanas dēļ.
Mūsdienu pavairošanas veids ir vienkāršs un pieejams visiem.
Iepazīstoties ar zinātnisko literatūru, viņi atklāja ātrākas un uzticamākas pavairošanas metodes. Tāpēc pavairošanas darbības izpēte ir daudzsološa tēma.
Iespējams, ka pirmo reizi daudzi nespēs ātri veikt šos vai citus aprēķinus lidojuma laikā. Ļaujiet darbā parādītajai tehnikai sākumā izgāzties. Nekādu problēmu. Jums nepieciešama pastāvīga skaitļošanas apmācība. No stundas uz stundu, no gada uz gadu. Tas palīdzēs jums iegūt noderīgas mutes skaitīšanas prasmes.
Izmantotās literatūras saraksts
1. Wangqiang: Mācību grāmata 5. klasei. - Samara: Izdevniecība
"Fedorovs", 1999. gads.
2., Ahadova skaitļu pasaule: Studentu grāmata, - M. Apgaismība, 1986.
3. "No spēles uz zināšanām", M., "Izglītība" 1982.
4. Svechnikov, skaitļi, uzdevumi M., Apgaismība, 1977.
5. http: // matsievsky. ***** / sys-schi / file15.htm
6. http: // ***** / mod / 1/6506 / histērija. html
Indijas reizināšanas veids
Vērtīgākais ieguldījums matemātikas zināšanu kasē tika veikts Indijā. Hinduisti ieteica veidu, kā mēs rakstījām ciparus, izmantojot desmit rakstzīmes: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.
Šīs metodes pamatā ir ideja, ka viens un tas pats skaitlis apzīmē vienības, desmitiem, simtiem vai tūkstošiem, atkarībā no tā, kur šis skaitlis aizņem. Aizņemto vietu, ja nav ciparu, nosaka nulles, kas piešķirtas cipariem.
Hinduļi domāja ļoti labi. Viņi nāca klajā ar ļoti vienkāršu pavairošanas veidu. Viņi veica reizināšanu, sākot ar nozīmīgāko kategoriju, un pa daļai pierakstīja nepilnīgus darbus tieši virs reizināmā. Šajā gadījumā vissvarīgākais produkta cipars bija uzreiz redzams un turklāt tika izslēgta jebkura cipara izlaišana. Reizināšanas zīme vēl nebija zināma, tāpēc viņi atstāja nelielu attālumu starp faktoriem. Piemēram, reizināsim tos 537 veidā ar 6:
Reizināšana ar metodi "LITTLE CASTLE"
Tagad skolas pirmajā klasē tiek mācīta skaitļu reizināšana. Bet viduslaikos pavairošanas mākslu apguva ļoti maz. Rets aristokrāts varēja lepoties, ka zina reizināšanas tabulu, pat ja viņš ir pabeidzis Eiropas universitāti.
Tūkstošgades matemātikas attīstības laikā skaitļu reizināšanai ir izgudrots daudz veidu. Itāļu matemātiķis Luka Pacioli traktātā Zināšanu summa aritmētikā, attiecībās un proporcionalitātē (1494) sniedz astoņas dažādas reizināšanas metodes. Pirmais no tiem saucas "Mazā pils", un otrais ir ne mazāk romantisks nosaukums "Greizsirdība vai režģu reizināšana".
"Mazās pils" reizināšanas metodes priekšrocība ir tā, ka vissvarīgākie cipari tiek noteikti jau pašā sākumā, kas ir svarīgi, ja jums ir nepieciešams ātri novērtēt vērtību.
Augšējā skaitļa ciparus, sākot ar nozīmīgāko ciparu, pārmaiņus reizina ar apakšējo skaitli un raksta kolonnā, pievienojot nepieciešamo nulļu skaitu. Pēc tam rezultāti tiek summēti.
Vasilijs Krestņikovs
Darba tēma "Neparasti skaitļošanas veidi" ir interesanta un aktuāla, jo studenti pastāvīgi veic skaitļu aritmētiskās darbības, un spēja ātri aprēķināt, palielina akadēmiskos panākumus un attīsta prāta elastību.
Vasilijs varēja skaidri norādīt iemeslus, kāpēc viņš pievērsās šai tēmai, pareizi formulēja darba mērķi un uzdevumus. Izpētījis dažādus informācijas avotus, es atradu interesantus un neparastus veidus, kā vairoties, un uzzināju, kā tos pielietot praksē. Students pārdomāja katras metodes plusus un mīnusus un izdarīja pareizu secinājumu. Secinājuma ticamību apstiprina jauna reizināšanas metode. Tajā pašā laikā skolēns prasmīgi izmanto īpašu terminoloģiju un zināšanas ārpus skolas matemātikas programmas. Darba tēma atbilst saturam, materiāls tiek pasniegts skaidri un viegli.
Darba rezultātiem ir praktiska nozīme, un tie var interesēt plašu cilvēku loku.
Lejupielādēt:
Priekšskatījums:
SM "Kurovskaja 6. vidusskola"
KOPSAVILKUMS PAR MATEMATIKU TĒMĀ:
"Neparasti daudzveidības veidi".
Aizpilda 6 "b" klases skolēns
Vasilijs Krestņikovs.
Vadītājs:
Smirnova Tatjana Vladimirovna.
2011. gads
- Ievads …………………………………………………………………… ...... 2
- Galvenā daļa. Neparasti reizināšanas veidi ……………………… ... 3
2.1. Mazliet vēstures …………………………………………………………… ..3
2.2. Pavairošana uz pirkstiem …………………………………………………… ... 4
2.3. Reizināt ar 9 ………………………………………………………………… 5
2.4. Indijas reizināšanas veids …………………………………………… .6
2.5. Reizināšana ar "Mazās pils" metodi ………………………………… 7
2.6. Reizināšana ar “Greizsirdības” metodi ………………………………………… ... 8
2.7. Zemnieku reizināšanas veids ……………………………………… ..... 9
2.8 Jauna metode ……………………………………………………………… ..10
- Secinājums ………………………………………………………………… ... 11
- Atsauces ………………………………………………………… .12
I. Ievads.
Ikdienā cilvēkam nav iespējams iztikt bez aprēķiniem. Tāpēc matemātikas stundās mūs galvenokārt māca veikt darbības ar skaitļiem, tas ir, skaitīt. Mēs reizinām, dalām, saskaitām un atņemam parastajos veidos, kas tiek mācīti skolā.
Reiz es nejauši uzgāju S. N. Olehnikna, Ju. V. Ņesterenko un M. K. Potapova grāmatu "Vecie izklaidējošie uzdevumi". Pārlūkojot šo grāmatu, manu uzmanību piesaistīja lapa ar nosaukumu "Pavairošana uz pirkstiem". Izrādījās, ka pavairot ir iespējams ne tikai tā, kā viņi mums iesaka matemātikas mācību grāmatās. Es prātoju, vai ir kādi citi aprēķināšanas veidi. Galu galā spēja ātri veikt aprēķinus ir atklāti pārsteidzoša.
Mūsdienu skaitļošanas tehnoloģiju pastāvīga izmantošana noved pie tā, ka studentiem ir grūti veikt jebkādus aprēķinus, ja viņu rīcībā nav tabulu vai rēķināšanas mašīnas. Zināšanas par vienkāršotām aprēķinu metodēm ļauj ne tikai ātri veikt prātā vienkāršus aprēķinus, bet arī kontrolēt, novērtēt, atrast un labot kļūdas mehanizētu aprēķinu rezultātā. Turklāt skaitļošanas prasmju apgūšana attīsta atmiņu, paaugstina domāšanas matemātiskās kultūras līmeni un palīdz pilnībā apgūt fizikas un matemātikas cikla priekšmetus.
Mērķis:
Parādiet neparastus pavairošanas veidus.
Uzdevumi:
- Atrodiet pēc iespējas vairāk neparastu skaitļošanas veidu.
- Iemācieties tos pielietot.
- Izvēlieties sev interesantākos vai vieglākos nekā piedāvātie skolā, un izmantojiet tos, skaitot.
II. Galvenā daļa. Neparasti pavairošanas veidi.
2.1. Mazliet vēstures.
Skaitļošanas metodes, kuras mēs tagad izmantojam, ne vienmēr ir bijušas tik vienkāršas un ērtas. Agrāk viņi izmantoja apgrūtinošākas un lēnākas metodes. Un, ja 21. gadsimta skolnieks varētu ceļot piecus gadsimtus atpakaļ, viņš būtu pārsteidzis mūsu senčus ar savu aprēķinu ātrumu un precizitāti. Baumas par viņu būtu izplatījušās ap apkārtējām skolām un klosteriem, aptumšojot šī laikmeta prasmīgāko skaitītāju godu, un cilvēki nāktu no visām pusēm, lai mācītos no jaunā lielā meistara.
Veicināšanas un dalīšanas darbības bija īpaši sarežģītas vecos laikos. Tajā laikā katrai darbībai nebija vienas prakses izstrādātas tehnikas. Gluži pretēji, vienlaikus tika izmantoti gandrīz duci dažādu reizināšanas un dalīšanas metožu - viena otras metodes ir mulsinošākas, kuras vidējo spēju cilvēks nevarēja atcerēties. Katrs skaitīšanas skolotājs pieturējās pie savas iemīļotās tehnikas, katrs “dalīšanas meistars” (tādi speciālisti bija) uzslavēja savu veidu, kā to izdarīt.
V. Bellustina grāmatā "Kā cilvēki pamazām nonāca līdz reālai aritmētikai" ir izklāstītas 27 reizināšanas metodes, un autore atzīmē: "Pilnīgi iespējams, ka grāmatu glabātuvju kešatmiņās ir paslēptas citas metodes, kas izkaisītas daudzos, galvenokārt rokrakstu krājumos".
Un visas šīs reizināšanas metodes - "šahs vai orgāns", "locīšana", "krusts", "režģis", "aizmugure uz priekšu", "dimants" un citi sacentās savā starpā un tika absorbēti ar lielām grūtībām.
Apskatīsim interesantākos un vienkāršākos pavairošanas veidus.
2.2. Reizināšana uz pirkstiem.
Veckrievu pavairošanas metode uz pirkstiem ir viena no izplatītākajām metodēm, kuru krievu tirgotāji ir veiksmīgi izmantojuši daudzus gadsimtus. Viņi iemācījās uz pirkstiem reizināt vienciparu skaitļus no 6 līdz 9. Tajā pašā laikā ar to bija pietiekami, lai apgūtu sākotnējās prasmes skaitīt “vienus”, “pārus”, “trijniekus”, “četriniekus”, “pieciniekus” un “desmitos”. Pirksti šeit kalpoja kā papildu skaitļošanas ierīce.
Lai to izdarītu, no vienas puses, viņi izvilka tik daudz pirkstu, cik pirmais faktors pārsniedz skaitli 5, un, otrkārt, viņi izdarīja to pašu attiecībā uz otro faktoru. Pārējie pirksti bija saliekti. Tad tika paņemts pagarināto pirkstu skaits (kopējais) un reizināts ar 10, pēc tam skaitļi tika reizināti, parādot, cik pirkstu bija saliekti uz rokām, un rezultāti tika pievienoti.
Piemēram, reiziniet 7 ar 8. Šajā piemērā 2 un 3 pirksti būs saliekti. Ja saskaitīsit saliekto pirkstu skaitu (2 + 3 \u003d 5) un reizināsiet nesaliekto pirkstu skaitu (2 3 \u003d 6), iegūsiet attiecīgi vēlamo produktu desmitus un vienības 56. Tādā veidā jūs varat aprēķināt visu vienciparu skaitļu, kas lielāki par 5, reizinājumu.
2.3. Reizināt ar 9.
Reizināšana skaitlim 9 - 9 · 1, 9 · 2 ... 9 · 10 - vieglāk pazūd no atmiņas, un to ir grūtāk manuāli pārrēķināt, izmantojot saskaitīšanas metodi, tomēr tieši skaitlim 9 reizinājums tiek viegli atveidots "uz pirkstiem". Izklājiet pirkstus abās rokās un pagrieziet plaukstas no sevis. Garīgi secīgi piešķiriet skaitļus no 1 līdz 10 pirkstiem, sākot ar kreisās rokas mazo pirkstu un beidzot ar labās rokas mazo pirkstu (tas parādīts attēlā).
Pieņemsim, ka mēs vēlamies reizināt 9 ar 6. Saliekt pirkstu ar skaitli, kas vienāds ar skaitli, ar kuru mēs reizināsim deviņus. Mūsu piemērā jums jāpieliek pirksta numurs 6. Pirkstu skaits, kas atrodas kreisajā pusē no saritinātā pirksta, mums parāda atbildes desmitnieku skaitu, labajā pusē esošo pirkstu skaits ir viens. Kreisajā pusē mums ir 5 nesaliekti pirksti, labajā pusē - 4 pirksti. Tātad 9 6 \u003d 54. Zemāk redzamajā attēlā detalizēti parādīts viss "aprēķina" princips.
Vēl viens piemērs: jums jāaprēķina 9 8 \u003d?. Pa ceļam pieņemsim, ka roku pirksti ne vienmēr darbojas kā "rēķināšanas mašīna". Veikt, piemēram, 10 šūnas piezīmju grāmatiņā. Izsvītrojiet 8. lodziņu. Kreisajā pusē ir 7 šūnas, labajā pusē - 2 šūnas. Tātad 9 8 \u003d 72. Viss ir ļoti vienkārši.
7 šūnas 2 šūnas.
2.4. Indijas pavairošanas veids.
Vērtīgākais ieguldījums matemātikas zināšanu kasē tika veikts Indijā. Hinduisti ieteica veidu, kā mēs rakstījām ciparus, izmantojot desmit rakstzīmes: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.
Šīs metodes pamatā ir ideja, ka viens un tas pats skaitlis apzīmē vienības, desmitus, simtus vai tūkstošus atkarībā no tā, kur šis skaitlis aizņem. Aizņemto vietu, ja nav ciparu, nosaka nulles, kas piešķirtas cipariem.
Hinduļi domāja ļoti labi. Viņi nāca klajā ar ļoti vienkāršu pavairošanas veidu. Viņi veica reizināšanu, sākot no nozīmīgākā cipara, un pa daļai pierakstīja nepilnīgus darbus tieši virs reizināmā. Šajā gadījumā vissvarīgākais produkta cipars bija uzreiz redzams un turklāt tika izslēgta jebkura cipara izlaišana. Reizināšanas zīme vēl nebija zināma, tāpēc viņi atstāja nelielu attālumu starp faktoriem. Piemēram, reizināsim tos 537 veidā ar 6:
537 6
(5 ∙ 6 =30) 30
537 6
(300 + 3 ∙ 6 = 318) 318
537 6
(3180 +7 ∙ 6 = 3222) 3222
2.5. Reizināšana ar metodi "LITTLE CASTLE".
Tagad skolas pirmajā klasē tiek mācīta skaitļu reizināšana. Bet viduslaikos pavairošanas mākslu apguva ļoti maz. Rets aristokrāts varēja lepoties, ka zina reizināšanas tabulu, pat ja viņš ir pabeidzis Eiropas universitāti.
Tūkstošgades matemātikas attīstības laikā skaitļu reizināšanai ir izgudrots daudz veidu. Itāļu matemātiķis Luka Pacioli savā traktātā Zināšanu summa aritmētikā, attiecībās un proporcionalitātē (1494) sniedz astoņas dažādas reizināšanas metodes. Pirmais no tiem saucas "Mazā pils", un otrais ir ne mazāk romantisks nosaukums "Greizsirdība vai režģu reizināšana".
"Mazās pils" reizināšanas metodes priekšrocība ir tā, ka vissvarīgākie cipari tiek noteikti jau pašā sākumā, kas ir svarīgi, ja jums ir nepieciešams ātri novērtēt vērtību.
Augšējā skaitļa ciparus, sākot ar nozīmīgāko ciparu, pārmaiņus reizina ar apakšējo skaitli un raksta kolonnā, pievienojot nepieciešamo nulļu skaitu. Pēc tam rezultāti tiek summēti.
2.6. Skaitļu reizināšana ar "greizsirdības" metodi.
Otro metodi romantiski sauc par greizsirdību jeb režģa reizināšanu.
Pirmkārt, tiek uzzīmēts taisnstūris, kas sadalīts kvadrātos, un taisnstūra malu izmēri atbilst reizinātāja un reizinātāja decimālzīmju skaitam. Pēc tam kvadrātveida šūnas tiek sadalītas pa diagonāli, un "... attēls izskatās kā režģa aizvara slēģis," raksta Pacioli. "Šādas žalūzijas tika pakarinātas uz venēciešu māju logiem, apgrūtinot ielu garāmgājējus redzēt pie logiem sēdošās dāmas un mūķenes."
Šādi pavairosim 347. Ar 29. Uzzīmējiet tabulu, pierakstiet skaitli 347 virs tās un skaitli 29. labajā pusē.
Katrā rindā mēs ierakstām skaitļu reizinājumu virs šīs šūnas un pa labi no tās, savukārt produkta desmitu skaits ir ierakstīts virs slīpsvītras, bet vienību skaits - zem tā. Tagad mēs pievienojam numurus katrā slīpajā sloksnē, veicot šo darbību, no labās uz kreiso pusi. Ja summa ir mazāka par 10, tad mēs to ierakstām zem sloksnes zemākā numura. Ja izrādās, ka tas ir lielāks par 10, tad mēs uzrakstām tikai summas vienību skaitu un nākamajai summai pievienojam desmitu skaitu. Rezultātā mēs iegūstam vēlamo produktu 10063.
3 4 7
10 0 6 3
2.7. Zemniecisks vairošanās veids.
Visvairāk, manuprāt, "vietējais" un vienkāršais pavairošanas veids ir krievu zemnieku izmantotā metode. Šis paņēmiens neprasa zināšanas par reizināšanas tabulu, kas pārsniedz skaitli 2. Tās būtība ir tāda, ka jebkuru divu skaitļu reizināšana tiek samazināta līdz secīgai viena skaitļa dalīšanas sērijai uz pusi, vienlaikus vienlaikus dubultojot otru skaitli. Dalīšana uz pusēm tiek turpināta, līdz koeficients ir 1, vienlaikus paralēli dubultojot citu skaitli. Pēdējais dubultotais skaitlis dod vēlamo rezultātu.
Nepāra skaitļa gadījumā izmetiet vienu un pārējo sadaliet uz pusēm; bet, no otras puses, labās kolonnas pēdējam skaitlim būs jāpievieno visi šīs kolonnas numuri, kas atrodas pretī kreisās kolonnas nepāra skaitļiem: summa būs vēlamais produkts
37……….32
74……….16
148……….8
296……….4
592……….2
1184……….1
Tāpēc visu atbilstošo skaitļu pāru reizinājums ir vienāds
37 ∙ 32 = 1184 ∙ 1 = 1184
Ja viens no skaitļiem ir nepāra vai abi skaitļi ir nepāra, rīkojieties šādi:
24 ∙ 17
24 ∙ 16 =
48 ∙ 8 =
96 ∙ 4 =
192 ∙ 2 =
384 ∙ 1 = 384
24 ∙ 17 = 24∙(16+1)=24 ∙ 16 + 24 = 384 + 24 = 408
2.8. Jauns veids, kā vairoties.
Interesants jauns pavairošanas veids, par kuru nesen bija ziņas. Jaunās mutiskās skaitīšanas sistēmas izgudrotājs, filozofijas kandidāts Vasilijs Okoņņikovs apgalvo, ka cilvēks spēj iegaumēt milzīgu informācijas daudzumu, galvenais ir tas, kā šo informāciju sakārtot. Pēc paša zinātnieka domām, šajā ziņā visizdevīgākā ir deviņkārtīgā sistēma - visi dati tiek vienkārši ievietoti deviņās šūnās, kas atrodas kā pogas kalkulatorā.
No šādas tabulas ir ļoti viegli saskaitīt. Piemēram, reizināsim skaitli 15647 ar 5. Tabulas daļā, kas atbilst pieciem, secībā atlasiet skaitļus, kas atbilst skaitļa cipariem: viens, pieci, seši, četri un septiņi. Mēs saņemam: 05 25 30 20 35
Mēs atstājam kreiso ciparu (mūsu piemērā - nulle) nemainītu un pa pāriem pievienojam šādus skaitļus: pieci ar diviem, pieci ar trim, nulle ar diviem, nulle ar trim. Arī pēdējais skaitlis nav mainīts.
Rezultātā iegūstam: 078235. Skaitlis 78235 ir reizināšanas rezultāts.
Ja, pievienojot divus ciparus, tiek iegūts skaitlis, kas pārsniedz deviņus, tad tā pirmais cipars tiek pievienots rezultāta iepriekšējam ciparam, bet otrais ir ierakstīts tā "pareizajā" vietā.
III. Secinājums.
Starp visām manis atrastajām neparastajām skaitīšanas metodēm interesantāka bija metode “režģa reizināšanas vai greizsirdības” metode. Es to parādīju klasesbiedriem, un arī viņiem tas ļoti patika.
Vienkāršākā metode man šķita “dubultošanas un dubultošanas” metode, kuru izmantoja krievu zemnieki. Es to izmantoju, reizinot ne pārāk lielus skaitļus (to ir ļoti ērti izmantot, reizinot divciparu skaitļus).
Mani interesēja jauns reizināšanas veids, jo tas man ļauj “pārvietoties” ar milzīgiem skaitļiem prātā.
Es domāju, ka mūsu ilgās reizināšanas metode nav perfekta, un mēs varam nākt klajā ar vēl ātrākām un uzticamākām metodēm.
- Literatūra.
- Depmans I. "Stāsti par matemātiku". - Ļeņingrada.: Izglītība, 1954. - 140 lpp.
- A.A.Korņejevs Krievu pavairošanas fenomens. Vēsture. http://numbernautics.ru/
- Olekhnik S. N., Nesterenko Yu. V., Potapov M. K. "Senie izklaidējošie uzdevumi". - M.: Zinātne. Fizikālās un matemātiskās literatūras galvenais izdevums, 1985. - 160 lpp.
- Perelman Ya.I. Ātra skaitīšana. Trīsdesmit vienkāršas verbālās skaitīšanas metodes. L., 1941. - 12 lpp.
- Perelman Ya.I. Izklaidējoša aritmētika. M. Rusanovs, 1994.-205.https://accounts.google.com
Slaidu paraksti:
Darbu veica 6 "B" klases skolnieks Vasilijs Krestņikovs. Galva: Smirnova Tatjana Vladimirovna Neparasti pavairošanas veidi
Darba mērķis: Parādīt neparastus reizināšanas veidus. Mērķi: atrodiet neparastus veidus, kā vairoties. Iemācieties tos pielietot. Izvēlieties sev interesantākos vai vieglākos un izmantojiet tos, skaitot.
Reizināšana uz pirkstiem.
Reizināt ar 9
Itālijas matemātiķe Luka Pacioli dzimusi 1445. gadā.
Reizināšana ar metodi "Mazā pils"
Reizināšana ar metodi "greizsirdība"
Reizināšana ar režģa metodi. 3 4 7 2 9 6 8 1 4 3 6 6 3 7 2 3 6 0 10 347 29 \u003d 10063
Krievu zemnieku veids 37 32 37 ……… .32 74 ……… .16 148…
Paldies par jūsu uzmanību
