Grādu saturošu izteicienu konvertēšana. Izteicienu konvertēšana

Apsvērsim tēmu par izteicienu pārveidošanu ar pilnvarām, bet vispirms mēs pakavēsimies pie vairākām transformācijām, kuras var veikt ar jebkurām izteiksmēm, arī eksponenciālām. Mēs uzzināsim, kā atvērt iekavas, atvest šādus terminus, strādāt ar radix un eksponentu, izmantot grādu īpašības.

Kas ir eksponenciālie izteicieni?

IN skolas kurss maz cilvēku lieto frāzi "eksponenciālie izteicieni", taču šis termins pastāvīgi atrodams kolekcijās, lai sagatavotos eksāmenam. Vairumā gadījumu frāze apzīmē izteicienus, kuru ierakstos ir grādi. Mēs to atspoguļosim mūsu definīcijā.

1. definīcija

Eksponenciāla izteiksme Vai izteiksme satur grādus.

Šeit ir daži eksponenciālu izteicienu piemēri, sākot ar grādu ar dabisko eksponentu un beidzot ar pakāpi ar reālu eksponentu.

Par vienkāršākajām jaudas izteiksmēm var uzskatīt skaitļa spējas ar dabisko eksponentu: 3 2, 7 5 + 1, (2 + 1) 5, (- 0, 1) 4, 2 2 3 3, 3 a 2 - a + a 2, x 3 - 1, (a 2) 3. Un arī grādi ar nulles eksponentu: 5 0, (a + 1) 0, 3 + 5 2 - 3, 2 0. Un grādi ar veselu skaitli negatīvām jaudām: (0, 5) 2 + (0, 5) - 2 2.

Ir nedaudz grūtāk strādāt ar pakāpi, kurai ir racionāli un iracionāli rādītāji: 264 1 4 - 3 3 3 1 2, 2 3, 5 2 - 2 2 - 1, 5, 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 b 1 2, x π x 1 - π, 2 3 3 + 5.

Indikators var būt mainīgais 3 x - 54 - 7 3 x - 58 vai logaritms x 2 l g x - 5 x l g x.

Ar jautājumu par to, kas ir spēka izteicieni, mēs to izdomājām. Tagad veiksim to pārveidošanu.

Galvenie varas izpausmju pārveidojumu veidi

Pirmkārt, mēs aplūkosim izteicienu pamata identitātes pārveidojumus, kurus var veikt ar eksponenciālām izteiksmēm.

1. piemērs

Aprēķiniet eksponenciālās izteiksmes vērtību 2 3 (4 2–12).

Lēmums

Mēs veiksim visus pārveidojumus, ievērojot darbību kārtību. Šajā gadījumā mēs sāksim, veicot darbības iekavās: aizstājiet pakāpi ar skaitlisku vērtību un aprēķiniet starpību starp abiem skaitļiem. Mums ir 2 3 (4 2 - 12) \u003d 2 3 (16 - 12) \u003d 2 3 4.

Atliek mums aizstāt grādu 2 3 tā nozīme 8 un aprēķiniet produktu 8 4 \u003d 32... Šeit ir mūsu atbilde.

Atbilde: 2 3 (4 2 - 12) \u003d 32.

2. piemērs

Vienkāršojiet izteicienu ar pilnvarām 3 a 4 b - 7 - 1 + 2 a 4 b - 7.

Lēmums

Problēmas paziņojumā mums dotajā izteiksmē ir līdzīgi termini, kurus mēs varam dot: 3 a 4 b - 7 - 1 + 2 a 4 b - 7 \u003d 5 a 4 b - 7 - 1.

Atbilde: 3 a 4 b - 7 - 1 + 2 a 4 b - 7 \u003d 5 a 4 b - 7 - 1.

3. piemērs

Uzrādīt izteiksmi ar vērtību 9 - b 3 · π - 1 2 kā reizinājumu.

Lēmums

Pārstāvēsim skaitli 9 kā spēku 3 2 un izmantojiet saīsināto reizināšanas formulu:

9 - b 3 π - 1 2 \u003d 3 2 - b 3 π - 1 2 \u003d \u003d 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

Atbilde: 9 - b 3 π - 1 2 \u003d 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1.

Un tagad pāriesim pie identisku transformāciju analīzes, kuras var precīzi pielietot attiecībā uz varas izpausmēm.

Darbs ar pamatu un eksponentu

Bāzes vai eksponenta grādam var būt skaitļi, mainīgie un daži izteicieni. Piemēram, (2 + 0, 3 7) 5 - 3, 7 un ... Ir grūti strādāt ar šādiem ierakstiem. Ir daudz vieglāk aizstāt izteiksmi spēka bāzē vai izteicienu eksponentā ar to pašu vienāda izteiksme.

Pakāpes un eksponenta konvertēšana tiek veikta saskaņā ar mums zināmiem noteikumiem atsevišķi viens no otra. Vissvarīgākais ir tas, ka pārveidojumu rezultātā tiek iegūta sākotnējam identiska izteiksme.

Pārveidojumu mērķis ir vienkāršot sākotnējo izteicienu vai iegūt problēmas risinājumu. Piemēram, piemērā, kuru mēs sniedzām iepriekš (2 + 0, 3 7) 5 - 3, 7, varat izpildīt darbības, lai pārietu uz grādu 4 , 1 1 , 3 ... Paplašinot iekavas, mēs varam dot līdzīgus terminus grāda bāzē (a (a + 1) - a 2) 2 (x + 1) un iegūstiet vienkāršākas formas eksponenciālu izteiksmi a 2 (x + 1).

Izmantojot grādu īpašības

Jaudas īpašības, kas rakstītas kā vienādības, ir viens no galvenajiem instrumentiem jaudas izpausmju pārveidošanai. Šeit ir galvenie, ņemot vērā to a un b Vai ir kādi pozitīvi skaitļi, un r un s - patvaļīgi reālie skaitļi:

2. definīcija

• a r a s \u003d a r + s;
• a r: a s \u003d a r - s;
• (a b) r \u003d a r b r;
• (a: b) r \u003d a r: b r;
• (a r) s \u003d a r s.

Gadījumos, kad mums ir darīšana ar dabiskiem, veseliem, pozitīviem eksponentiem, skaitļu a un b ierobežojumi var būt daudz mazāk stingri. Tā, piemēram, ja ņemam vērā vienlīdzību a m a n \u003d a m + nkur m un n Vai tie ir dabiski skaitļi, tad tā būs taisnība visām pozitīvās un negatīvās a vērtībām, kā arī a \u003d 0.

Grādu īpašības bez ierobežojumiem ir iespējams piemērot gadījumos, kad grādu bāzes ir pozitīvas vai satur mainīgos, kuru pieļaujamo vērtību diapazons ir tāds, ka tā bāzes ņem tikai pozitīvas vērtības. Faktiski, iekšienē skolas mācību programma matemātikā studenta uzdevums ir izvēlēties piemērotu īpašumu un pareizi to pielietot.

Gatavojoties uzņemšanai augstskolās, var būt problēmas, kurās nepareiza īpašumu izmantošana novedīs pie ODZ sašaurināšanās un citām grūtībām ar risinājumu. Šajā sadaļā mēs apspriedīsim tikai divus šādus gadījumus. Plašāku informāciju par šo tēmu var atrast tēmā "Izteikumu pārveidošana, izmantojot enerģijas īpašības".

4. piemērs

Iedomājieties izteicienu a 2, 5 (a 2) - 3: a - 5, 5 kā grāds ar pamatu a.

Lēmums

Pirmkārt, mēs izmantojam eksponences īpašību un ar to pārveidojam otro faktoru (a 2) - 3 ... Tad mēs izmantojam spējas reizināšanas un dalīšanas īpašības ar to pašu bāzi:

a 2, 5 a - 6: a - 5, 5 \u003d a 2, 5 - 6: a - 5, 5 \u003d a - 3, 5: a - 5, 5 \u003d a - 3, 5 - (- 5, 5) \u003d a 2.

Atbilde: a 2, 5 (a 2) - 3: a - 5, 5 \u003d a 2.

Eksponenciālu izteiksmju pārveidošanu atbilstoši grādu īpašībai var veikt gan no kreisās uz labo, gan pretējā virzienā.

5. piemērs

Atrodiet eksponenciālās izteiksmes vērtību 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3.

Lēmums

Ja mēs piemērojam vienlīdzību (a b) r \u003d a r b r, no labās uz kreiso pusi, tad iegūstam produkta formu 3 · 7 1 3 · 21 2 3 un tālāk 21 1 3 · 21 2 3. Pievienojiet eksponentus, reizinot grādus ar vienādām bāzēm: 21 1 3 21 2 3 \u003d 21 1 3 + 2 3 \u003d 21 1 \u003d 21.

Ir vēl viens veids, kā veikt pārveidojumus:

3 1 3 7 1 3 21 2 3 \u003d 3 1 3 7 1 3 (3 7) 2 3 \u003d 3 1 3 7 1 3 3 2 3 7 2 3 \u003d \u003d 3 1 3 3 2 3 7 1 3 7 2 3 \u003d 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 \u003d 3 1 7 1 \u003d 21

Atbilde: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 \u003d 3 1 7 1 \u003d 21

6. piemērs

Tiek dota spēka izteiksme a 1, 5 - a 0, 5 - 6, ievadiet jaunu mainīgo t \u003d a 0, 5.

Lēmums

Iedomājieties pakāpi a 1, 5 kā a 0, 5 3 ... Mēs izmantojam grāda īpašību līdz pakāpei (a r) s \u003d a r s no labās uz kreiso pusi un mēs iegūstam (a 0, 5) 3: a 1, 5 - a 0, 5 - 6 \u003d (a 0, 5) 3 - a 0, 5 - 6. Rezultāta izteiksmē varat viegli ievadīt jaunu mainīgo t \u003d a 0, 5: mēs saņemam t 3 - t - 6.

Atbilde: t 3 - t - 6.

Pārvērš frakcijas, kas satur jaudas

Parasti mēs nodarbojamies ar diviem eksponenciālu izteicienu variantiem ar daļām: izteiksme ir frakcija ar jaudu vai satur šādu daļu. Šādas izteiksmes bez ierobežojumiem ir piemērojamas visas frakciju pamatpārvērtības. Tos var samazināt, samazināt līdz jaunam saucējam un strādāt atsevišķi ar skaitītāju un saucēju. Ilustrēsim to ar piemēriem.

7. piemērs

Vienkāršojiet eksponenciālo izteiksmi 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2.

Lēmums

Mums ir darīšana ar daļu, tāpēc veiksim pārveidojumus gan skaitītājā, gan saucējā:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 \u003d 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 \u003d \u003d 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 \u003d 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Ievietojiet mīnusu frakcijas priekšā, lai mainītu saucēja zīmi: 12 - 2 - x 2 \u003d - 12 2 + x 2

Atbilde: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 \u003d - 12 2 + x 2

Frakcijas, kas satur jaudas, tiek samazinātas līdz jaunam saucējam tāpat kā racionālās frakcijas. Lai to izdarītu, jums jāatrod papildu faktors un ar to reizina frakcijas skaitītāju un saucēju. Ir nepieciešams izvēlēties papildu faktoru tā, lai tas nezustu nevienai mainīgo vērtībai no sākotnējās izteiksmes ODZ mainīgajiem.

8. piemērs

Samaziniet frakcijas līdz jaunajam saucējam: a) a + 1 a 0, 7 - saucējam a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 līdz saucējam x + 8 y 1 2.

Lēmums

a) Izvēlēsimies koeficientu, kas ļaus mums samazināt jaunu saucēju. a 0,7 a 0, 3 \u003d a 0,7 + 0, 3 \u003d a,tādējādi kā papildu faktoru mēs ņemam a 0, 3... Mainīgā a derīgo vērtību diapazonā ietilpst visu pozitīvo reālo skaitļu kopa. Šajā jomā grāds a 0, 3 nepazūd.

Pavairosim frakcijas skaitītāju un saucēju ar a 0, 3:

a + 1 a 0, 7 \u003d a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 \u003d a + 1 a 0, 3 a

b) Pievērsiet uzmanību saucējam:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 \u003d \u003d x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

Reizinot šo izteicienu ar x 1 3 + 2 y 1 6, iegūstam kubu x 1 3 un 2 y 1 6 summu, t.i. x + 8 y 1 2. Tas ir mūsu jaunais saucējs, līdz kuram mums jāsamazina sākotnējā daļa.

Tātad mēs atradām papildu koeficientu x 1 3 + 2 · y 1 6. Par mainīgo pieļaujamo vērtību diapazonu x un y izteiksme x 1 3 + 2 y 1 6 nepazūd, tāpēc ar to varam reizināt frakcijas skaitītāju un saucēju:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 \u003d \u003d x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 \u003d \u003d x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 \u003d x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

Atbilde: a) a + 1 a 0, 7 \u003d a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 \u003d x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2.

9. piemērs

Samazināt daļu: a) 30 x 3 (x 0,5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0,5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

Lēmums

a) Mēs izmantojam lielāko kopsaucēju (GCD), par kuru skaitītāju un saucēju var samazināt. 30. un 45. skaitlim tas ir 15. Mēs varam arī samazināt x 0,5 + 1 un uz x + 2 x 1 1 3 - 5 3.

Mēs iegūstam:

30 x 3 (x 0,5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0,5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 \u003d 2 x 3 3 (x 0,5 + 1)

b) Šeit nav acīmredzama to pašu faktoru klātbūtne. Jums būs jāveic dažas transformācijas, lai skaitītājā un saucējā iegūtu tos pašus faktorus. Lai to izdarītu, mēs paplašinām saucēju, izmantojot kvadrātu starpības formulu:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 \u003d a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 \u003d \u003d a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 \u003d 1 a 1 4 + b 1 4

Atbilde:a) 30 x 3 (x 0,5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0,5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 \u003d 2 X 3 3 (x 0, 5 + 1), b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 \u003d 1 a 1 4 + b 1 4.

Galvenās darbības ar daļām ietver pārveidošanu par jaunu saucēju un frakciju samazināšanu. Abas darbības tiek veiktas, ievērojot vairākus noteikumus. Saskaitot un atņemot frakcijas, vispirms frakcijas tiek samazinātas līdz kopsaucējam, pēc kura ar skaitītājiem tiek veiktas darbības (saskaitīšana vai atņemšana). Saucējs paliek nemainīgs. Mūsu darbību rezultāts ir jauna daļa, kuras skaitītājs ir skaitītāju reizinājums, un saucējs ir saucēju reizinājums.

10. piemērs

Izpildiet x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 soļus.

Lēmums

Sāksim, atņemot iekavās esošās daļas. Novedīsim viņus pie kopsaucēja:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

Atņemiet skaitītājus:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 \u003d \u003d x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 \u003d \u003d x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 \u003d \u003d x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 \u003d \u003d 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

Tagad mēs reizinām frakcijas:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 \u003d \u003d 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

Samazināt par pakāpi x 1 2, mēs iegūstam 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1.

Turklāt jūs varat vienkāršot eksponenciālo izteiksmi saucējā, izmantojot kvadrātu starpības: kvadrātu formulu: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 \u003d 4 x 1 2 2 - 1 2 \u003d 4 x - 1.

Atbilde: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 \u003d 4 x - 1

11. piemērs

Vienkāršojiet eksponenciālo izteiksmi x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3.
Lēmums

Mēs varam samazināt daļu līdz (x 2, 7 + 1) 2... Mēs iegūstam daļu x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

Turpiniet x x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2, 7 + 1 grādu konvertēšanu. Tagad jūs varat izmantot varas dalīšanas īpašumu ar vienādiem pamatiem: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 \u003d x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 \u003d x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1.

Mēs pārejam no pēdējā produkta uz frakciju x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Atbilde: x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 \u003d x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Vairumā gadījumu reizinātājus ar negatīviem eksponentiem ir ērtāk pārsūtīt no skaitītāja uz saucēju un otrādi, mainot eksponenta zīmi. Šī darbība ļauj vienkāršot turpmāko risinājumu. Šeit ir piemērs: eksponenciālu izteiksmi (x + 1) - 0, 2 3 x - 1 var aizstāt ar x 3 (x + 1) 0, 2.

Izteicienu konvertēšana ar saknēm un pilnvarām

Problēmās ir spēka izteicieni, kas satur ne tikai pilnvaras ar daļēji rādītājibet arī saknes. Šādas izteiksmes ir vēlams samazināt tikai līdz saknēm vai tikai līdz pakāpēm. Vēlams pāriet uz grādiem, jo \u200b\u200bar tiem ir vieglāk strādāt. Šī pāreja ir īpaši vēlama, ja sākotnējā izteiksme mainīgo lielumu LDV ļauj aizstāt saknes ar pilnvarām bez nepieciešamības atsaukties uz moduli vai sadalīt LDV vairākos intervālos.

12. piemērs

Izrādi x 1 9 x x 3 6 pasniedz kā spēku.

Lēmums

Mainīgs diapazons x definē divas nevienlīdzības x ≥ 0 un x x 3 ≥ 0, kas nosaka kopu [ 0 , + ∞) .

Šajā komplektā mums ir tiesības pāriet no saknēm uz pilnvarām:

x 1 9 x x 3 6 \u003d x 1 9 x x x 1 3 1 6

Izmantojot grādu īpašības, mēs vienkāršojam iegūto eksponenciālo izteiksmi.

x 1 9 x x 1 3 1 6 \u003d x 1 9 x 1 6 x 1 3 1 6 \u003d x 1 9 x 1 6 x 1 1 3 6 \u003d \u003d x 1 9 x 1 6 X 1 18 \u003d x 1 9 + 1 6 + 1 18 \u003d x 1 3

Atbilde: x 1 9 x x 3 6 \u003d x 1 3.

Spēku konvertēšana ar eksponentu mainīgajiem

Šīs transformācijas ir diezgan vienkārši izpildāmas, ja pakāpes īpašības tiek izmantotas pareizi. Piemēram, 5 2 x + 1 - 3 5 x 7 x - 14 7 2 x - 1 \u003d 0.

Mēs varam aizstāt jaudas reizinājumu, kura izteiksmē ir mainīgā un skaitļa summa. Kreisajā pusē to var izdarīt ar pirmo un pēdējo vārdu izteiksmes kreisajā pusē:

5 2 x 5 1 - 3 5 x 7 x - 14 7 2 x 7 - 1 \u003d 0,5 5 2 x - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x \u003d 0.

Tagad mēs sadalām abas līdztiesības puses ar 7 2 x... Šī izteiksme mainīgā x ODZ ņem tikai pozitīvas vērtības:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x \u003d 0 7 2 x, 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x \u003d 0,5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x \u003d 0

Samazinot frakcijas ar jaudām, mēs iegūstam: 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x - 2 \u003d 0.

Visbeidzot, grādu attiecība ar tie paši rādītāji aizstāj ar attiecību koeficientiem, kas noved pie vienādojuma 5 · 5 7 2 · x - 3 · 5 7 x - 2 \u003d 0, kas ir ekvivalents 5 · 5 7 x 2 - 3 · 5 7 x - 2 \u003d 0.

Mēs ieviešam jaunu mainīgo t \u003d 5 7 x, kas samazina sākotnējā risinājumu eksponenciālais vienādojums kvadrātvienādojuma 5 · t 2 - 3 · t - 2 \u003d 0 risinājumam.

Pārvērst izteiksmes ar pilnvarām un logaritmiem

Problēmās atrodamas arī izteiksmes, kas satur grādus un logaritmus. Šādu izteicienu piemēri ir: 1 4 1 - 5 · log 2 3 vai log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) · log 5 3. Šādu izteicienu pārveidošana tiek veikta, izmantojot iepriekš apspriestās pieejas un logaritmu īpašības, kuras mēs detalizēti aplūkojām tēmā "Logaritmisko izteiksmju pārveidošana".

Ja tekstā pamanāt kļūdu, lūdzu, atlasiet to un nospiediet Ctrl + Enter

Temats: " Pārvērst izteicienus, kas satur daļskaitļus "

"Ļaujiet kādam mēģināt izdzēst grādus no matemātikas, un viņš redzēs, ka bez tiem jūs nevarat tālu iet." (M.V. Lomonosovs)

Nodarbības mērķi:

izglītojošs:vispārināt un sistematizēt studentu zināšanas par tēmu “Grāds ar racionāls rādītājs"; Kontrolēt materiāla asimilācijas līmeni; novērst nepilnības studentu zināšanās un prasmēs;

attīstot:veidot studentu paškontroles prasmes; radīt katra skolēna interesi par darbu, attīstīties izziņas darbība studenti;

izglītojošs:veicināt interesi par priekšmetu, matemātikas vēsturi.

Nodarbības veids: nodarbība zināšanu vispārināšanā un sistematizēšanā

Aprīkojums: vērtēšanas lapas, kartes ar uzdevumiem, dekoderi, krustvārdu vārdi katram studentam.

Iepriekšēja sagatavošanās: klase ir sadalīta grupās, katrā grupā vadītājs ir konsultants.

KLASES LAIKĀ

Es Laika organizēšana.

Skolotājs: Mēs esam pabeiguši tēmas "Grāds ar racionālu eksponentu un tā īpašības" pētījumu. Jūsu uzdevums šajā nodarbībā ir parādīt, kā jūs iemācījāties apgūto materiālu un kā spējat iegūtās zināšanas pielietot konkrētu problēmu risināšanā. Katram no jums uz galda ir rezultātu lapa. Tajā jūs ievadīsit savu atzīmi par katru nodarbības posmu. Nodarbības beigās jūs atmaskot vidējais rezultāts vienā nodarbībā.

Novērtēšanas dokuments

	Krustvārdu mīkla	Iesildīties	Strādāt piezīmjdatori	Vienādojumi	Pārbaudiet sevi (s)

II. Pārbaudiet mājasdarbs.

Savstarpēja pārbaude ar zīmuli rokā, atbildes skolēni nolasa.

III. Studentu zināšanu atjaunināšana.

Skolotājs: Slavenais franču rakstnieks Anatole Francija vienā reizē teica: "Mācībām jābūt jautrai. ... Lai absorbētu zināšanas, tās jāapgūst ar apetīti."

Krustvārdu mīklas risināšanas gaitā atkārtosim nepieciešamo teorētisko informāciju.

Horizontāli:

1. Darbība, ar kuras palīdzību tiek aprēķināta pakāpes vērtība (erekcija).

2. Produkts, kas sastāv no tiem pašiem faktoriem (jauda).

3. Eksponentu ietekme, paaugstinot grādu līdz pakāpei (sastāvs).

4. To grādu darbība, ar kuriem tiek atņemti eksponenti (sadalīšana).

Vertikāli:

5. Visu to pašu faktoru skaits (indekss).

6. Grāds ar nulles indikatoru (vienība).

7. Dublikāts reizinātājs (bāze).

8. Vērtība 10 5: (2 3 5 5) (četras).

9. Eksponents, kuru parasti neraksta (vienība).

IV. Matemātiskā iesildīšanās.

Skolotājs. Atkārtosim pakāpes definīciju ar racionālu eksponentu un tā īpašībām, mēs veiksim šādus uzdevumus.

1. Attēlo x 22 kā divu grādu reizinājumu ar pamatu x, ja viens no faktoriem ir: x 2, x 5,5, x 1 \\ 3, x 17,5, x 0

2. Vienkāršojiet:

b) y 5 \\ 8 y 1 \\ 4: y 1 \\ 8 \u003d y

c) s 1,4 s -0,3 s 2,9

3. Aprēķiniet un izveidojiet vārdu, izmantojot dekodētāju.

Pēc šī uzdevuma izpildīšanas jūs, puiši, uzzināsiet vācu matemātiķa vārdu, kurš ieviesa terminu “eksponents”.

1) (-8) 1\3 2) 81 1\2 3) (3\5) -1 4) (5\7) 0 5) 27 -1\3 6) (2\3) -2 7) 16 1\2 * 125 1\3

Vārds: 1234567 (piespraude)

V. Rakstisks darbs piezīmjdatoros (atbildes ir atklātas uz tāfeles) .

Uzdevumi:

1. Vienkāršojiet izteicienu:

(x-2): (x 1 \\ 2 -2 1 \\ 2) (y-3): (y 1 \\ 2 - 3 1 \\ 2) (x-1): (x 2 \\ 3 -x 1 \\ 3 +1)

2. Atrodiet izteiksmes vērtību:

(x 3 \\ 8 x 1 \\ 4 :) 4 pie x \u003d 81

Vi. Darbs grupās.

Uzdevums. Atrisiniet vienādojumus un izveidojiet vārdu, izmantojot dekodētāju.

Kartes numurs 1

Vārds: 1234567 (Diophantus)

Kartes numurs 2

Kartes numurs 3

Vārds: 123451 (Ņūtona)

Dekoders

Skolotājs. Visi šie zinātnieki ir veicinājuši jēdziena "grāds" attīstību.

Vii. Vēsturiska informācija par grāda jēdziena attīstību (studenta vēstījums).

Grāda ar dabisko rādītāju jēdziens veidojās pat seno tautu vidū. Laukumu un tilpumu aprēķināšanai tika izmantoti kvadrātu un kubu numuri. Dažu skaitļu grādus zinātnieki izmantoja noteiktu problēmu risināšanai Senā Ēģipte un Babilona.

III gadsimtā tika publicēta grieķu zinātnieka Diophantus grāmata "Aritmētika", kurā tika uzsākta alfabētiskās simbolikas ieviešana. Diophantus ievieš simbolus pirmajiem sešiem nezināmā spēkiem un to savstarpējām vērtībām. Šajā grāmatā kvadrātu apzīmē ar zīmi ar indeksu r; kubs ir ar zīmi k ar indeksu r utt.

Sākot no sarežģītāku algebrisko problēmu risināšanas un darbības ar grādiem, kļuva nepieciešams vispārināt grāda jēdzienu un paplašināt to, ieviešot nulles, negatīvā un daļskaitļus kā eksponentu. Ideja par grāda jēdziena vispārināšanu pakāpē ar nedabisku matemātikas eksponentu radās pakāpeniski.

Frakcionālie eksponenti un vienkāršākie rīcības noteikumi pār pilnvarām ar frakcionētiem eksponentiem ir atrodami franču matemātiķa Nikolaja Orema (1323–1382) darbā “Proporciju algoritms”.

Vienlīdzību un 0 \u003d 1 (par un nav vienāds ar 0) viņa darbos 15. gadsimta sākumā izmantoja Samarkandas zinātnieks Gijadasadins Kaši Džamshids. Neatkarīgi no viņa, nulles rādītāju 15. gadsimtā ieviesa Nikolajs Šuke. Ir zināms, ka Nikolajs Šuke (1445–1500) grādus uzskatīja ar negatīvu un nulles eksponentu.

Vēlāk daļēji un negatīvi eksponenti ir atrodami vācu matemātiķa M. Stiefela grāmatā “Pilnīga aritmētika” (1544) un Simonā Stēvinā. Saimons Stēvins ieteica domāt 1 / n sakni.

Vācu matemātiķis M. Stiefels (1487–1567) definēja 0 \u003d 1 pie un ieviesa eksponenta nosaukumu (tas ir burtisks tulkojums no vācu eksponenta). Vācu potenzieren nozīmē eksponenci.

XVI gadsimta beigās Fransuā Vjets ieviesa burtus, lai apzīmētu ne tikai mainīgos, bet arī to koeficientus. Viņš izmantoja saīsinājumus: N, Q, C - pirmajam, otrajam un trešajam grādam. Bet mūsdienu apzīmējumus (piemēram, 4, 5) XVII ieviesa Renē Dekarts.

Mūsdienu grādu definīcijas un apzīmējumi ar nulles, negatīvo un frakcionēto eksponentu cēlušies no angļu matemātiķu Džona Volisa (1616-1703) un Īzaka Ņūtona (1643-1727) darba.

Par nulles, negatīvo un daļēju rādītāju ieviešanas vēlamību un mūsdienu simboli pirmo reizi sīki 1665. gadā rakstīja angļu matemātiķis Džons Voliss. Viņa biznesu pabeidza Īzaks Ņūtons, kurš sāka sistemātiski pielietot jaunus simbolus, pēc tam viņi sāka lietot vispār.

Grāda ar racionālu eksponentu ieviešana ir viens no daudziem matemātiskās darbības jēdzienu vispārināšanas piemēriem. Pakāpe ar nulles, negatīvo un frakcionālo eksponentu tiek noteikta tā, ka tai tiek piemēroti tie paši darbības noteikumi, kas notiek pakāpei ar dabisko eksponentu, t.i. lai saglabātu sākotnēji definētā grāda jēdziena pamatīpašības.

Jaunā pakāpes definīcija ar racionālu eksponentu nav pretrunā ar veco grāda definīciju ar dabisko eksponentu, tas ir, jaunas pakāpes ar racionālu eksponentu definīcijas nozīme tiek saglabāta konkrētajam grāda gadījumam ar dabisko eksponentu. Šo principu, kas tiek ievērots, vispārinot matemātiskos jēdzienus, sauc par pastāvības principu (nemainības saglabāšana). Nepilnīgā formā to 1830. gadā izteica angļu matemātiķis Dž. Pāvoks; to pilnībā un skaidri noteica vācu matemātiķis G. Hankels 1867. gadā.

VIII. Pārbaudiet sevi.

Patstāvīgais darbs ar kartēm (atbildes atvērtas uz tāfeles) .

1. variants

1. Aprēķiniet: (1 punkts)

(a + 3a 1 \\ 2): (a 1 \\ 2 +3)

2. variants

1. Aprēķiniet: (1 punkts)

2. Vienkāršojiet izteicienu: katrs pa 1 punktam

a) x 1,6 x 0,4 b) (x 3 \\ 8) -5 \\ 6

3. Atrisiniet vienādojumu: (2 punkti)

4. Vienkāršojiet izteicienu: (2 punkti)

5. Atrodiet izteiksmes vērtību: (3 punkti)

IX. Apkopojot stundu.

Kādas formulas un noteikumus jūs atcerējāties stundā?

Analizējiet savu darbu nodarbībā.

Tiek vērtēts skolēnu darbs stundā.

H. Mājasdarbs... К: Р IV (atkārtojums) 156. – 157. Pants Nr. 4 (a-c), Nr. 7 (a-c),

Papildus: Nr. 16

pieteikumu

Novērtēšanas dokuments

F / I / students __________________________________________

	Krustvārdu mīkla	Iesildīties	Strādāt piezīmjdatori	Vienādojumi	Pārbaudiet sevi (s)

Kartes numurs 1

1) X 1 \\ 3 \u003d 4; 2) y-1 \u003d 3 \\ 5; 3) a 1 \\ 2 \u003d 2 \\ 3; 4) x -0,5 x 1,5 \u003d 1; 5) y1 \\ 3 \u003d 2; 6) a 2 \\ 7 un 12 \\ 7 \u003d 25; 7) a 1 \\ 2: a \u003d 1 \\ 3

Dekoders

Kartes numurs 2

1) X 1 \\ 3 \u003d 4; 2) y-1 \u003d 3; 3) (x + 6) 1 \u003d 2 \u003d 3; 4) y1 \\ 3 \u003d 2; 5) (y-3) 1 \\ 3 \u003d 2; 6) a 1 \\ 2: a \u003d 1 \\ 3

Dekoders

Kartes numurs 3

1) a 2 \\ 7 un 12 \\ 7 \u003d 25; 2) (x-12) 1 \\ 3 \u003d 2; 3) x -0,7 x 3,7 \u003d 8; 4) a 1 \\ 2: a \u003d 1 \\ 3; 5) a 1 \\ 2 \u003d 2 \\ 3

Dekoders

Kartes numurs 1

1) X 1 \\ 3 \u003d 4; 2) y-1 \u003d 3 \\ 5; 3) a 1 \\ 2 \u003d 2 \\ 3; 4) x -0,5 x 1,5 \u003d 1; 5) y1 \\ 3 \u003d 2; 6) a 2 \\ 7 un 12 \\ 7 \u003d 25; 7) a 1 \\ 2: a \u003d 1 \\ 3

Dekoders

Kartes numurs 2

1) X 1 \\ 3 \u003d 4; 2) y-1 \u003d 3; 3) (x + 6) 1 \u003d 2 \u003d 3; 4) y1 \\ 3 \u003d 2; 5) (y-3) 1 \\ 3 \u003d 2; 6) a 1 \\ 2: a \u003d 1 \\ 3

Dekoders

Kartes numurs 3

1) a 2 \\ 7 un 12 \\ 7 \u003d 25; 2) (x-12) 1 \\ 3 \u003d 2; 3) x -0,7 x 3,7 \u003d 8; 4) a 1 \\ 2: a \u003d 1 \\ 3; 5) a 1 \\ 2 \u003d 2 \\ 3

Dekoders

Kartes numurs 1

1) X 1 \\ 3 \u003d 4; 2) y-1 \u003d 3 \\ 5; 3) a 1 \\ 2 \u003d 2 \\ 3; 4) x -0,5 x 1,5 \u003d 1; 5) y1 \\ 3 \u003d 2; 6) a 2 \\ 7 un 12 \\ 7 \u003d 25; 7) a 1 \\ 2: a \u003d 1 \\ 3

Dekoders

Kartes numurs 2

1) X 1 \\ 3 \u003d 4; 2) y-1 \u003d 3; 3) (x + 6) 1 \u003d 2 \u003d 3; 4) y1 \\ 3 \u003d 2; 5) (y-3) 1 \\ 3 \u003d 2; 6) a 1 \\ 2: a \u003d 1 \\ 3

Dekoders

Kartes numurs 3

1) a 2 \\ 7 un 12 \\ 7 \u003d 25; 2) (x-12) 1 \\ 3 \u003d 2; 3) x -0,7 x 3,7 \u003d 8; 4) a 1 \\ 2: a \u003d 1 \\ 3; 5) a 1 \\ 2 \u003d 2 \\ 3

Dekoders

1. variants 1. Aprēķiniet: (1 punkts) 2. Vienkāršojiet izteicienu: katrs pa 1 punktam a) x 1 \\ 2 x 3 \\ 4 b) (x -5 \\ 6) -2 \\ 3 c) x -1 \\ 3: x 3 \\ 4 d) (0,04x 7 \\ 8) -1 \\ 2 3. Atrisiniet vienādojumu: (2 punkti) 4. Vienkāršojiet izteicienu: (2 punkti) (a + 3a 1 \\ 2): (a 1 \\ 2 +3) 5. Atrodiet izteiksmes vērtību: (3 punkti) (Y 1 \\ 2 -2) -1 - (Y 1 \\ 2 +2) -1 pie y \u003d 18

2. variants 1. Aprēķiniet: (1 punkts) 2. Vienkāršojiet izteicienu: katrs pa 1 punktam a) x 1,6 x 0,4 b) (x 3 \\ 8) -5 \\ 6 c) x 3 \\ 7: x -2 \\ 3 d) (0,008x -6 \\ 7) -1 \\ 3 3. Atrisiniet vienādojumu: (2 punkti) 4. Vienkāršojiet izteicienu: (2 punkti) (pēc 1,5 s - saulē 1,5): (pēc 0,5 - s 0,5) 5. Atrodiet izteiksmes vērtību: (3 punkti) (x 3 \\ 2 + x 1 \\ 2): (x 3 \\ 2 -x 1 \\ 2) pie x \u003d 0,75

Pašvaldības valsts izglītības iestāde

galvenais vispārizglītojošā skola № 25

Algebras stunda

Temats:

« Izteikumu, kas satur spējas, konvertēšana ar daļējiem eksponentiem "

Izstrādāja:

,

matemātikas skolotājs

augstākā līdzvalidācijas kategorija

Mezgls

2013

Nodarbības tēma: Konvertēt izteiksmes, kurās ir frakcionēti eksponenti

Nodarbības mērķis:

1. Turpmāka prasmju, zināšanu, izpausmju pārveidošanas prasmju veidošana, kas satur grādus ar frakcionētiem rādītājiem

2. Kļūdu atrašanas spējas attīstīšana, domāšanas, radošuma, runas, skaitļošanas iemaņu attīstība

3. Neatkarības izglītība, interese par mācību priekšmetu, uzmanīgums, precizitāte.

PSO: magnētiskajam dēlim, kontrolkartēm, galdiem, individuālajām kartēm, skolēniem ir tukšas parakstītas lapas individuālam darbam uz galda, krustvārdu mīkla, galdi matemātiskai iesildīšanai, multimediju projektors.

Nodarbības tips: ZUN nodrošināšana.

Stundas plāns laikā

1. Organizatoriski momenti (2 min)

2. Mājasdarbu pārbaude (5 min)

3. Krustvārdu mīklas risināšana (3 min)

4. Matemātikas iesildīšanās (5 minūtes)

5. Frontālās stiprināšanas vingrinājumu risinājums (7 min)

6. Patstāvīgais darbs (10 min)

7. Atkārtojuma vingrinājumu risinājums (5 min)

8. Nodarbības kopsavilkums (2 min)

9. Mājas darbs (1 min)

Nodarbību laikā

1) Mājas darbu pārbaude savstarpējās pārbaudes veidā ... Labi studenti pārbauda vāju bērnu piezīmju grāmatiņas. Un vājie puiši pārbauda stipros, izmantojot vadības kartes modeli. Mājas darbs ir dots divās versijās.

Es variants nav grūts uzdevums

II varianta uzdevums grūti

Pārbaudes rezultātā puiši ar vienkāršu zīmuli pasvītro kļūdas un piešķir atzīmi. Visbeidzot es pārbaudu darbu pēc tam, kad puiši pēc nodarbības nodod piezīmju grāmatiņas. Es lūdzu puišus par viņu pārbaudes rezultātiem un savā kopsavilkuma tabulā ievietoju atzīmes par šāda veida darbu.

2) Lai pārbaudītu teorētisko materiālu, tiek piedāvāts krustvārdu mīkla.

Vertikāli:

1. Reizināšanas īpašība, ko izmanto, reizinot monomu ar polinomu?

2. Eksponentu ietekme, paaugstinot pakāpi eksponentam?

3. Nulles pakāpe?

4. Produkts, kas sastāv no tiem pašiem faktoriem?

Horizontāli:

5. Saknes n - negatīvā skaitļa pakāpe?

6. Eksponentu darbība, reizinot grādus?

7. Eksponentu ietekme, dalot grādus?

8. Visu to pašu faktoru skaits?

3) Matemātikas iesildīšanās

a) veiciet aprēķinu un izmantojiet šifru, lai lasītu uzdevumā paslēpto vārdu.

Uz tāfeles jūsu priekšā ir galds. Tabulā 1. kolonnā ir piemēri, kas jāaprēķina.

Galda atslēga

491/2
27-1/3
4*81/3
5*25-1/2
7*82/3
(49/144)1/2	7/12
(27*64)1/3

7/12

Un atbildē uzrakstiet atbildiII un III slejā ielieciet šai atbildei atbilstošo burtu.

Skolotājs: Tātad, šifrēts vārds "grāds". Nākamajā uzdevumā mēs strādājam ar 2. un 3. pakāpi

b) Spēle "Neuztraucieties"

Punktu vietā ielieciet numuru

a) x \u003d (x ...) 2; b) a3 / 2 \u003d (a1 / 2) ...; c) a \u003d (a1 / 3) ...; d) 5 ... \u003d (51/4) 2; e) 34/3 \u003d (34/9) ...; f) 74/5 \u003d (7 ...) 2; g) x1 / 2 \u003d (x ...) 2; h) y1 / 2 \u003d (y ...) 2

Atradīsim kļūdu:

A1 / 4 - 2a1 / 2 + 1 \u003d (a1 /

Puiši, kas jums bija jāpiesakās, lai izpildītu šo uzdevumu:

Grādu īpašība: paaugstinot grādu pie varas, rādītāji tiek reizināti;

4) Tagad pievērsīsimies frontālajam rakstīšanas darbam izmantojot iepriekšējā darba rezultātus. Atveriet piezīmju grāmatiņas, pierakstiet numuru, stundas tēmu.

№ 000

a) a - b \u003d (a1 / 2) 2 - (b1 / 2) 2 \u003d (a1 / 2 - b1 / 2) * (a1 / 2 + b1 / 2)

b) a - c \u003d (a1 / 3) 3 - (b1 / 3) 3 \u003d (a1 / 3 - b1 / 3) * (a2 / 3 + a1 / 3 b1 / 3 + b2 / 3)

Nr. 000 (a, c, d, e)

un ) m2 - 5 \u003d m2 - (m1 / 2) 2 \u003d (m - 51/2) * (m + 51/2)

c) a3 - 4 \u003d (a3 / 2) 2 - 22 \u003d (a3 / 2 - 2) * (a3 / 2 +2)

d) x2 / 5 - y4 / 5 \u003d (x1 / 5) 2 - (y2 / 5) 2 \u003d (x1 / 5 - y2 / 5) * (x1 / 5 + y2 / 5)

e) 4 - a \u003d 22 - (a1 / 2) 2 \u003d (2 - a1 / 2) * (2 + a1 / 2)

Nr. 000 (a, d, f)

a) x3 - 2 \u003d x3 - (21/3) 3 \u003d (x - 21/3) * (x2 + 21/3 x + 22/3)

d) a6 / 5 + 27 \u003d (a2 / 5) 3 + 33 \u003d (a2 / 5 + 3) * (a4 / 3 - 3 a2 / 5 + 9)

f) 4 + y \u003d (41/3) 3 + (y1 / 3) 3 \u003d (41/3 + y1 / 3) * (42/3 + 41/3 y1 / 3 + y2 / 3)

Novērtējums

5) Darbs ar atsevišķām kartēm četrās opcijās uz atsevišķām lapām

Uzdevumi ar dažādu grūtības pakāpi tiek veikti bez skolotāja ieteikuma.

Es uzreiz pārbaudu darbu un ievietoju atzīmes manā galdā un puišu lapās.

Nr. 000 (a, c, d, h)

a) 4 * 31/2 / (31/2 - 3) \u003d 4 * 31/2/31/2 * (1 - 31/2) \u003d 4 / (1 - 31/2)

c) x + x1 / 2 / 2x \u003d x1 / 2 * (x1 / 2 + 1) / 2 * (x1 / 2) 2 \u003d (x1 / 2 + 1) / 2x1 / 2

e) (a2 / 3 - b2 / 3) / (a1 / 3 + b1 / 3) \u003d (a1 / 3) 2 - (b1 / 3) 2 / (a1 / 3 + b1 / 3) \u003d (a1 / 3 + b1 / 3) * (a1 / 3 - b1 / 3) / (a1 / 3 + b1 / 3) \u003d a1 / 3 - b1 / 3

h) (x2 / 3 - x1 / 3 y1 / 3 + y2 / 3) / (x + y) \u003d ((x1 / 3) 2 - x1 / 3 y1 / 3 + (y1 / 3) 2) / (( x1 / 3) 3 + (y1 / 3) 3) \u003d ((x1 / 3) 2 - x1 / 3 y1 / 3 + (y1 / 3) 2) / (x1 / 3 + y1 / 3) * ((x1 / 3) 2 - x1 / 3 y1 / 3 + (y1 / 3) 2) \u003d 1 / (x1 / 3 + y1 / 3)

7) Darbs ar atsevišķām kartēm ar dažādu grūtības pakāpi... Dažos vingrinājumos ir skolotāju ieteikumi, jo materiāls ir sarežģīts un vājiem bērniem ir grūti tikt galā ar darbu

Ir arī četras iespējas. Novērtēšana notiek nekavējoties. Es visas atzīmes ievietoju tabulā.

Problēmas numurs no kolekcijas

Skolotājs uzdod jautājumus:

1. Kas jāatrod problēmā?

2. Kas jums jāzina par to?

3. Kā izteikt 1 gājēja un 2 gājēju laiku?

4. Salīdziniet 1. un 2. gājēja laiku atbilstoši problēmas stāvoklim un izveidojiet vienādojumu.

Problēmas risinājums:

Ļaujiet x (km / h) būt 1 gājēja ātrumam

X +1 (km / h) - 2 gājēju ātrums

4 / x (h) - gājēja laiks

4 / (x +1) (h) - otrā gājēja laiks

Pēc problēmas stāvokļa 4 / x\u003e 4 / (x +1) 12 minūtes

12 minūtes \u003d 12/60 stundas \u003d 1/5 stundas

Mēs veidojam vienādojumu

X / 4 - 4 / (x +1) \u003d 1/5

NOZ: 5x (x +1) ≠ 0

5 * 4 * (x + 1) - 5 * 4x \u003d x * (x + 1)

20x + 20 - 20x - x2 - x \u003d 0

X2 + x –20 \u003d 0

D \u003d 1 - 4 * (- 20) \u003d 81,81\u003e 0,2 k

х1 \u003d (-1 -√81) / (- 2) \u003d 5 km / h - 1 gājēja ātrums

x2 \u003d (-1 + √81) / (- 2) \u003d 4 - neietilpst problēmas nozīmē, jo x\u003e 0

Atbilde: 5 km / h - 2 gājēju ātrums

9) Nodarbības kopsavilkums: Tātad, puiši, šodien stundā mēs esam konsolidējuši zināšanas, prasmes, prasmes pārveidot izteiksmes, kas satur grādus, izmantoja formulas saīsinātai reizināšanai, izņemot kopējo koeficientu no iekavām un atkārtojam segto materiālu. Es uzsveru priekšrocības un trūkumus.

Apkopojot nodarbību tabulā.

		Krustvārdu mīkla	Paklājs. iesildīšanās	Priekšpusē. Ījabs	Ind. darbs K-1	Ind. darbs K-2

10) Es izsludinu atzīmes. Mājasdarbs

Atsevišķas kartes K - 1 un K - 2

Es mainu B - 1 un B - 2; B - 3 un B - 4, jo tie ir līdzvērtīgi

Nodarbības pielikumi.

1) Mājas darbu kartītes

1.vienkāršot

a) (x1 / 2 - y1 / 2) 2 + 2x1 / 2 y1 / 2

b) (a3 / 2 + 5a1 \\ 2) 2 - 10a2

2.pastāv kā summa

a) a1 / 3 c1 \\ 4 * (b2 / 3 + c3 / 4)

b) (a1 / 2 - b1 / 2) * (a + a1 / 2 b1 \\ 2 + c)

3.Izvelciet kopējo koeficientu

c) 151/3 +201/3

1.vienkāršot

a) √m + √n - (m1 / 4 - n1 / 4) 2

b) (a1 / 4 + b1 / 4) * (a1 / 8 + b1 / 8) * (a1 \\ 8 - b1 / 8)

2.pastāv kā summa

a) x0,5 y0,5 * (x-0,5 - y1,5)

b) (x1 / 3 + y1 / 3) * (x2 \\ 3 - x1 / 3 y1 \\ 3 + y2 / 3)

3. Izņemiet iekavās kopējo koeficientu

b) c1 \\ 3 - c

c) (2а) 1/3 - (5а) 1 \\ 3

2) B - 2 kontrolkarte

a) √m + √n - (m 1 | 4 - n 1 | 4) 2 \u003d m 1 | 2 + n 1 | 2 - ((m 1 | 2) 2 - 2 m 1/4 n 1/4 + (n 1/2) 2) \u003d m 1/2 + n 1/2 - m 1/2 + 2 m 1/4 n 1/4 - n 1/2 \u003d 2 m 1/4 n 1/4

b) (a1 / 4 + b1 / 4) * (a1 / 8 + b1 / 8) * (a1 / 8 - b1 / 8) \u003d (a1 / 4 + b1 / 4) * (a1 / 8) 2 - ( b1 / 8) 2 \u003d (a1 / 4 + b1 / 4) * (a1 / 4 - b1 / 4) \u003d (a1 / 4) 2 - (b1 / 4) 2 \u003d a1 / 2 - b1 / 2

a) x0.5 y0.5 * (x-0.5- y1.5) \u003d x0.5 y0.5 x-0.5 - x0.5 y0.5y1.5 \u003d x0 y0.5 - x0.5 y2 \u003d y0,5 - x0,5 y2

b) (x1 / 3 + y1 / 3) * (x2 / 3 - x1 / 3 y1 \\ 3 + y2 / 3) \u003d (x1 \\ 3 + y1 / 3) * ((x1 / 3) 2 - x1 / 3 y1 \\ 3 + (y1 / 3) 2) \u003d (x1 / 3) 2 + (y1 / 3) 2 \u003d x + y

a) 3 - 31/2 \u003d 31/2 * (31/2 - 1)

b) 1,1 / 3 - 1,1 / 3 * (1 - 2/3)

c) (2а) 1/3 - (5а) 1/3 \u003d а1 / 3 * (21/3 - 51/3)

3) Kartes pirmajam individuālajam darbam

a) a - y, x ≥ 0, y ≥ 0

b) a - u, a ≥ 0

1. Faktors, uzrādot kā kvadrātu starpību

a) a1 / 2 - b1 / 2

2. Faktors, atveidojot kā starpību vai kubu summu

a) c1 / 3 + d1 / 3

1. Faktors, uzrādot kā kvadrātu starpību

a) X1 / 2 + Y1 / 2

b) X1 / 4 - Y1 / 4

2. Faktors, atveidojot kā starpību vai kubu summu

4) kārtis otrajam individuālajam darbam

a) (x - x1 / 2) / (x1 / 2 - 1)

Norāde: x1 / 2 izliek skaitītājus no iekavās

b) (a - c) / (a1 / 2 - b1 / 2)

Piezīme: a - b \u003d (a1 / 2) 2 - (b1 / 2) 2

Samaziniet frakciju

a) (21/4 - 2) / 5 * 21/4

Piezīme: novietojiet 21/4 ārpus iekavas

b) (a - c) / (5a1 / 2 - 5v1 / 2)

Piezīme: a - b \u003d (a1 / 2) 2– (b1 / 2) 2

3. variants

1. Samaziniet frakciju

a) (x1 / 2 - x1 / 4) / x3 / 4

Piezīme: x1 / 4, lai novietotu ārpus balsteņa

b) (а1 / 2 - в1 / 2) / (4а1 / 4 - 4в1 / 4)

4. variants

Samaziniet frakciju

a) 10 / (10–101 / 2)

b) (a - c) / (a2 / 3 + a1 \\ 3b1 / 3 + B 1/3)

Izteiksmes, izteiksmes konvertēšana

Spēka izteiksmes (izteiksmes ar pilnvarām) un to pārvēršana

Šajā rakstā mēs runāsim par jaudas izteiksmju konvertēšanu. Pirmkārt, mēs pievērsīsimies transformācijām, kas tiek veiktas ar jebkura veida izteiksmēm, ieskaitot eksponenciālus izteicienus, piemēram, iekavu paplašināšana, līdzīgu terminu liešana. Un tad mēs analizēsim transformācijas, kas raksturīgas izteiksmēm ar pilnvarām: darbs ar pamatni un eksponentu, grādu īpašību izmantošana utt.

Lapas navigācija.

Kas ir eksponenciālās izteiksmes?

Termins "eksponenciālās izteiksmes" praktiski nav atrodams skolas matemātikas mācību grāmatās, taču tas diezgan bieži parādās problēmu kolekcijās, it īpaši tajās, kas paredzētas, piemēram, lai sagatavotos Vienotajam valsts eksāmenam un OGE. Izanalizējot uzdevumus, kuros jums jāveic jebkuras darbības ar eksponenciāliem izteicieniem, kļūst skaidrs, ka izteikumi tiek saprasti kā izteicieni, kas viņu pilnvarās satur pilnvaras. Tādēļ jūs pats varat pieņemt šādu definīciju:

Definīcija.

Spēka izteicieni Vai izteicieni satur grādus.

Ļaujiet mums dot varas izpausmju piemēri... Turklāt mēs tos pārstāvēsim atkarībā no tā, kā viedokļu attīstība notiek no pakāpes ar dabisku rādītāju līdz pakāpei ar reālu rādītāju.

Kā jūs zināt, vispirms ir jāiepazīstas ar skaitļa jaudu, kam ir dabiskais eksponents, šajā posmā tiek parādīti pirmie vienkāršākie eksponenciālie izteiksmes, kas ir tipi 3 2, 7 5 +1, (2 + 1) 5, (−0,1) 4, 3 a 2. −a + a 2, x 3−1, (a 2) 3 utt.

Nedaudz vēlāk tiek pētīta skaitļa ar veselu skaitli eksponenta jauda, \u200b\u200bkas noved pie enerģijas izteiksmju parādīšanās ar negatīvām veselām spējām, piemēram: 3 −2, , a −2 + 2 b −3 + c 2.

Vidusskolā viņi atkal atgriežas grādos. Tur tiek ieviesta pakāpe ar racionālu eksponentu, kas nozīmē atbilstošo jaudas izteiksmju parādīšanos: , , utt. Visbeidzot, tiek ņemti vērā grādi ar neracionāliem rādītājiem un izteikumus, kas tos satur:,.

Lieta nav ierobežota ar uzskaitītajām jaudas izteiksmēm: mainīgais iekļūst tālāk eksponendā, un, piemēram, šādas izteiksmes 2 x 2 +1 vai ... Pēc iepazīšanās sāk parādīties izpausmes ar pilnvarām un logaritmiem, piemēram, x 2 · lgx −5 · x lgx.

Tātad, mēs izdomājām jautājumu par to, kas ir eksponenciālās izteiksmes. Tālāk mēs uzzināsim, kā tos pārveidot.

Galvenie varas izpausmju pārveidojumu veidi

Izmantojot eksponenciālās izteiksmes, jūs varat veikt jebkuru no izteiksmju identiskajām pamata transformācijām. Piemēram, jūs varat paplašināt iekavas, aizstāt ciparu izteiksmes ar to vērtībām, sniegt līdzīgus terminus utt. Protams, šajā gadījumā ir nepieciešams ievērot pieņemto procedūru darbību veikšanai. Šeit ir daži piemēri.

Piemērs.

Novērtējiet eksponenciālās izteiksmes vērtību 2 3 · (4 2 −12).

Lēmums.

Saskaņā ar darbību veikšanas kārtību mēs vispirms veicam darbības iekavās. Tur, pirmkārt, 4 2 grādu mēs aizstājam ar tā vērtību 16 (sk., Ja nepieciešams), un, otrkārt, mēs aprēķinām starpību 16−12 \u003d 4. Mums ir 2 3 (4 2 −12) \u003d 2 3 (16 −12) \u003d 2 3 4.

Iegūtajā izteiksmē nomainiet 2 3 jaudu ar tās vērtību 8 un tad aprēķiniet reizinājumu 8 4 \u003d 32. Šī ir vēlamā vērtība.

Tātad, 2 3 (4 2 - 12) \u003d 2 3 (16 - 12) \u003d 2 3 4 \u003d 8 4 \u003d 32.

Atbilde:

2 3 (4 2 −12) \u003d 32.

Piemērs.

Vienkāršojiet jaudas izteiksmes 3 a 4 b −7 −1 + 2 a 4 b −7.

Lēmums.

Acīmredzami šajā izteicienā ir līdzīgi termini 3 · a 4 · b −7 un 2 · a 4 · b −7, un mēs tos varam atnest:

Atbilde:

3 a 4 b −7 −1 + 2 a 4 b −7 \u003d 5 a 4 b −7 −1.

Piemērs.

Iedomājieties produkta izpausmi ar jaudām.

Lēmums.

Lai tiktu galā ar uzdevumu, skaitļa 9 attēlojums kā jauda 3 2 un sekojoša formulas izmantošana saīsinātai reizināšanai ir kvadrātu starpība:

Atbilde:

Ir arī vairākas identiskas pārvērtības, kas raksturīgas jaudas izteiksmēm. Tad mēs tos analizēsim.

Darbs ar pamatu un eksponentu

Ir grādi, kuru bāze un / vai eksponents nav tikai skaitļi vai mainīgie, bet arī daži izteikumi. Kā piemēru mēs piedāvājam ierakstus (2 + 0,37) 5-3,7 un (a (a + 1) -a 2) 2 (x + 1).

Strādājot ar šādām izteiksmēm, jūs varat aizstāt gan izteiksmi, pamatojoties uz pakāpi, gan izteiksmi eksponentā ar identiski vienādu izteiksmi ODZ tās mainīgajiem. Citiem vārdiem sakot, saskaņā ar mums zināmiem noteikumiem mēs varam atsevišķi pārveidot grāda bāzi un atsevišķi - rādītāju. Ir skaidrs, ka šīs pārveidošanas rezultātā tiks iegūta izteiksme, kas ir identiska sākotnējai.

Šādas pārvērtības ļauj mums vienkāršot izteikšanu ar pilnvarām vai sasniegt citus mums vajadzīgos mērķus. Piemēram, iepriekš minētajā eksponenciālajā izteiksmē (2 + 0,3 · 7) 5-3,7 jūs varat veikt darbības ar cipariem pamatnē un eksponentu, kas ļaus jums pāriet uz jaudu 4.1 1.3. Un pēc iekavu paplašināšanas un līdzīgu terminu samazināšanas pakāpes pamatnē (a (a + 1) - a 2) 2 (x + 1) mēs iegūstam vienkāršākas formas 2 (x + 1) jaudas izteiksmi.

Izmantojot grādu īpašības

Viens no galvenajiem instrumentiem, lai pārveidotu izteikumus ar jaudu, ir atspoguļojošās vienādības. Atgādināsim galvenos. Jebkuram pozitīvi skaitļi a un b un patvaļīgi reālie skaitļi r un s, ir patiesas šādas jaudas īpašības:

• a r a s \u003d a r + s;
• a r: a s \u003d a r - s;
• (a b) r \u003d a r b r;
• (a: b) r \u003d a r: b r;
• (a r) s \u003d a r s.

Ņemiet vērā, ka naturāliem, veseliem skaitļiem un arī pozitīviem eksponentiem skaitļu a un b ierobežojumi var nebūt tik stingri. Piemēram, dabiskajiem skaitļiem m un n vienādība a m a n \u003d a m + n ir taisnība ne tikai pozitīvajiem a, bet arī negatīvajiem un a \u003d 0.

Skolā, pārveidojot spēka izpausmes, galvenā uzmanība tiek pievērsta tieši spējai izvēlēties piemērotu īpašumu un to pareizi pielietot. Šajā gadījumā grādu bāzes parasti ir pozitīvas, kas ļauj bez ierobežojumiem izmantot grādu īpašības. Tas pats attiecas uz izteicienu, kas satur mainīgos lielumus, pārveidošanu pakāpju bāzēs - mainīgo pieļaujamo vērtību diapazons parasti ir tāds, ka uz tā bāzes ņem tikai pozitīvas vērtības, kas ļauj brīvi izmantot grādu īpašības. Parasti jums pastāvīgi jājautā sev, vai šajā gadījumā ir iespējams piemērot kādu grādu īpašību, jo nepareiza īpašību izmantošana var izraisīt ODV sašaurināšanos un citas nepatikšanas. Šie punkti ir detalizēti un ar piemēriem aplūkoti rakstā par izteiksmju pārvēršanu, izmantojot pakāpes īpašības. Šeit mēs aprobežojamies ar dažiem vienkāršiem piemēriem.

Piemērs.

Iedomājieties izteiksmi a 2,5 · (a 2) −3: a −5,5 kā spēku ar bāzi a.

Lēmums.

Pirmkārt, mēs pārveidojam otro koeficientu (a 2) −3 ar īpašību, kas palielina jaudu: (a 2) −3 \u003d a 2 (−3) \u003d a −6... Sākotnējā eksponenciālā izteiksme būs formātā 2,5 · a – 6: a –5,5. Acīmredzot atliek izmantot reizināšanas un varas dalīšanas īpašības ar to pašu bāzi, kas mums ir
a 2,5 a −6: a −5,5 \u003d
a 2,5−6: a −5,5 \u003d a −3,5: a −5,5 \u003d
a −3,5 - (- 5,5) \u003d a 2.

Atbilde:

a 2,5 (a 2) −3: a −5,5 \u003d a 2.

Pārveidojot eksponenciālās izteiksmes, jaudas īpašības tiek izmantotas gan no kreisās uz labo, gan no labās uz kreiso.

Piemērs.

Atrodiet eksponenciālās izteiksmes vērtību.

Lēmums.

Vienādība (a b) r \u003d a r b r, ko piemēro no labās uz kreiso, ļauj pāriet no sākotnējās izteiksmes uz formas produktu un tālāk. Reizinot grādus ar vienādām bāzēm, rādītāji tiek summēti: .

Sākotnējās izteiksmes pārveidi bija iespējams veikt citā veidā:

Atbilde:

.

Piemērs.

Ņemot vērā eksponenciālo izteiksmi a 1,5 −a 0,5 −6, ievadiet jauno mainīgo t \u003d a 0,5.

Lēmums.

Grādi a 1,5 var attēlot kā 0,5 · 3 un tālāk, pamatojoties uz pakāpes īpašību pakāpei (a r) s \u003d a r · s, ko piemēro no labās uz kreiso pusi, pārveidojot to formā (a 0,5) 3. Tādējādi a 1,5 −a 0,5 −6 \u003d (a 0,5) 3 −a 0,5 −6... Tagad ir viegli ieviest jaunu mainīgo t \u003d a 0,5, mēs iegūstam t 3 –t – 6.

Atbilde:

t 3 − t - 6.

Pārvērš frakcijas, kas satur jaudas

Jaudas izteiksmēs var būt frakcijas ar pilnvarām vai arī tās var būt frakcijas. Jebkura no frakciju pamata transformācijām, kas raksturīga jebkura veida frakcijām, ir pilnībā piemērojama šādām frakcijām. Tas ir, frakcijas, kas satur pilnvaras, var atcelt, reducēt uz jaunu saucēju, strādāt atsevišķi ar to skaitītāju un atsevišķi ar saucēju utt. Lai ilustrētu izteiktos vārdus, apsveriet vairāku piemēru risinājumus.

Piemērs.

Vienkāršojiet eksponenciālo izteiksmi .

Lēmums.

Šī eksponenciālā izteiksme ir daļa. Strādāsim ar tā skaitītāju un saucēju. Mēs atveram iekavās skaitītājā un vienkāršojam pēc tam iegūto izteiksmi, izmantojot grādu īpašības, un saucējā mēs sniedzam līdzīgus terminus:

Mēs arī mainām saucēja zīmi, frakcijas priekšā novietojot mīnusu: .

Atbilde:

.

Frakciju, kas satur pilnvaras, reducēšana uz jaunu saucēju tiek veikta līdzīgi kā racionālu frakciju reducēšana uz jaunu saucēju. Šajā gadījumā tiek atrasts arī papildu koeficients, un frakcijas skaitītājs un saucējs tiek reizināts ar to. Veicot šo darbību, ir vērts atcerēties, ka reducēšana uz jaunu saucēju var izraisīt ODV sašaurināšanos. Lai tas nenotiktu, ir nepieciešams, lai papildu faktors nezustu nevienai mainīgo vērtībai no ODZ mainīgajiem sākotnējās izteiksmes gadījumā.

Piemērs.

Samaziniet frakcijas līdz jaunam saucējam: a) līdz saucējam a, b) uz saucēju.

Lēmums.

a) Šajā gadījumā ir diezgan viegli izdomāt, kurš papildu faktors palīdz sasniegt vēlamo rezultātu. Tas ir koeficients 0,3, jo 0,7 · a 0,3 \u003d 0,7 + 0,3 \u003d a. Ņemiet vērā, ka mainīgā a pieļaujamo vērtību diapazonā (tas ir visu pozitīvo reālo skaitļu kopums) pakāpe a 0,3 neizzūd, tāpēc mums ir tiesības reizināt dotās frakcijas skaitītāju un saucēju ar šo papildu koeficientu:

b) Aplūkojot saucēju, jūs to varat atrast

un reizinot šo izteiksmi ar, tiks iegūta kubu summa, un tas ir,. Un tas ir jaunais saucējs, kuram mums jāsamazina sākotnējā frakcija.

Tādējādi mēs atradām papildu faktoru. Mainīgo x un y pieļaujamo vērtību diapazonā izteiksme neizzūd, tāpēc frakcijas skaitītāju un saucēju varam reizināt ar to:

Atbilde:

un) , b) .

Arī to frakciju saīsinājums, kas satur pilnvaras, nav nekas jauns: skaitītājs un saucējs ir attēloti kā vairāki faktori, un tie paši skaitītāja un saucēja faktori tiek atcelti.

Piemērs.

Samaziniet frakciju: a) , b).

Lēmums.

a) Pirmkārt, skaitītāju un saucēju var samazināt ar cipariem 30 un 45, kas ir 15. Acīmredzot var samazināt arī par x 0.5 +1 un ... Lūk, kas mums ir:

b) Šajā gadījumā tie paši faktori skaitītājā un saucējā nav uzreiz redzami. Lai tos iegūtu, jums būs jāveic sākotnējie pārveidojumi. Šajā gadījumā tos sauc, dalot faktoru faktoros, izmantojot kvadrātu starpības formulu:

Atbilde:

un)

b) .

Frakciju samazināšana līdz jaunam saucējam un frakciju samazināšana galvenokārt tiek izmantota, lai veiktu darbības ar frakcijām. Darbības tiek veiktas saskaņā ar zināmiem noteikumiem. Pievienojot (atņemot) frakcijas, tās tiek novestas pie kopsaucēja, pēc kura tiek pievienoti (atņemti) skaitītāji, un saucējs paliek tāds pats. Rezultāts ir frakcija, kuras skaitītājs ir skaitītāju reizinājums, un saucējs ir saucēju produkts. Dalīšana ar frakciju ir reizināšana ar tās apgriezto vērtību.

Piemērs.

Veiciet darbības .

Lēmums.

Pirmkārt, mēs atņemam frakcijas iekavās. Lai to izdarītu, mēs viņus nonākam pie kopsaucēja, kas ir , pēc kura mēs atņemam skaitītājus:

Tagad mēs reizinām frakcijas:

Acīmredzot ir iespējams atcelt ar grādu x 1/2, pēc kura mums ir .

Jūs varat arī vienkāršot eksponenciālo izteiksmi saucējā, izmantojot kvadrātu starpības formulu: .

Atbilde:

Piemērs.

Vienkāršojiet eksponenciālo izteiksmi .

Lēmums.

Acīmredzot šo frakciju var atcelt ar (x 2,7 +1) 2, tas dod frakciju ... Ir skaidrs, ka kaut kas cits ir jādara ar x grādiem. Lai to izdarītu, iegūto frakciju mēs pārveidojam par produktu. Tas ļauj mums izmantot grādu dalīšanas īpašību ar vienādām bāzēm: ... Un procesa beigās mēs pārejam no pēdējā produkta uz daļu.

Atbilde:

.

Un mēs arī piebilstam, ka reizinātājus ar negatīviem eksponentiem no skaitītāja uz saucēju vai no saucēja uz skaitītāju var pārnest, mainot eksponenta zīmi. Šādas pārvērtības bieži vienkāršo turpmākās darbības. Piemēram, eksponenciālo izteiksmi var aizstāt ar.

Izteicienu konvertēšana ar saknēm un pilnvarām

Bieži vien saknēs ir arī izteiksmēs, kurās nepieciešami daži pārveidojumi, kā arī pilnvarām ar frakcionētiem eksponentiem. Lai pārveidotu šādu izteiksmi vēlamajā formā, vairumā gadījumu pietiek tikai iet uz saknēm vai tikai pie pilnvarām. Bet, tā kā ir ērtāk strādāt ar grādiem, tie parasti notiek no saknēm līdz grādiem. Tomēr ir ieteicams veikt šādu pāreju, kad sākotnējās izteiksmes mainīgo ODZ ļauj aizstāt saknes ar pilnvarām, nenorādot uz moduli vai sadalīt ODV vairākos intervālos (mēs to detalizēti apspriedām rakstā par pāreju no saknēm uz pilnvarām un atpakaļ). tiek ieviests grāds ar neracionālu indikatoru, kas ļauj runāt par grādu ar patvaļīgu reālu indikatoru.Šajā posmā skola sāk mācīties eksponenciālā funkcija, kuru analītiski nosaka grāds, kura pamatnē ir skaitlis, bet indikatorā - mainīgais. Tātad mēs saskaramies ar eksponenciāliem izteicieniem, kas satur skaitļus pakāpes pamatnē, bet eksponentā - ar izteiksmēm ar mainīgiem, un, protams, ir jāveic šādu izteiksmju pārveidojumi.

Jāteic, ka šāda veida izteiksmju transformācija parasti jāveic, risinot eksponenciālie vienādojumi un eksponenciālā nevienlīdzībaun šie reklāmguvumi ir diezgan vienkārši. Lielākajā daļā gadījumu tie ir balstīti uz pakāpes īpašībām un galvenokārt ir vērsti uz jauna mainīgā lieluma ieviešanu nākotnē. Mēs tos varam parādīt ar vienādojumu 5 2 x + 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x - 1 \u003d 0.

Pirmkārt, pakāpes, kurās tiek atrasta mainīgā lieluma (vai izteiksmju ar mainīgiem) un skaitļa summa, tiek aizstāti ar produktiem. Tas attiecas uz izteiksmes pirmo un pēdējo terminu kreisajā pusē:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 \u003d 0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x \u003d 0.

Tālāk tiek veikts vienādības abu pušu dalījums ar izteiksmi 7 2 x, kas sākotnējā vienādojuma mainīgā x ODZ ņem tikai pozitīvas vērtības (šī ir standarta tehnika šāda veida vienādojumu risināšanai, mēs par to nerunājam tagad, tāpēc koncentrējamies uz sekojošajām izteiksmju transformācijām ar jaudu: ):

Frakcijas ar pilnvarām tagad tiek atceltas, kas dod .

Visbeidzot, grādu attiecība ar tiem pašiem eksponentiem tiek aizstāta ar attiecību grādiem, kas noved pie vienādojuma kas ir līdzvērtīgs ... Veiktās transformācijas ļauj ieviest jaunu mainīgo, kas samazina sākotnējā eksponenciālā vienādojuma risinājumu kvadrātiskā vienādojuma risinājumam.

I. V. Boikovs, L. D. Romanova Uzdevumu apkopojums, lai sagatavotos eksāmenam. 1. daļa. Penza 2003.

Aritmētiskā operācija, kas tiek veikta pēdējā, aprēķinot izteiksmes vērtību, ir "galvenā".

Tas ir, ja burtu vietā aizstājat dažus (jebkādus) skaitļus un mēģināt aprēķināt izteiksmes vērtību, tad, ja pēdējā darbība ir reizināšana, tad mums ir produkts (izteiksme tiek faktorizēta).

Ja pēdējā darbība ir saskaitīšana vai atņemšana, tas nozīmē, ka izteiksme netiek faktorizēta (un tāpēc to nevar atcelt).

Lai pats labotu risinājumu, ņemiet dažus piemērus:

Piemēri:

Risinājumi:

1. Es ceru, ka jūs nesteidzāties griezt u uzreiz? Joprojām nebija pietiekami, lai "sagrieztu" vienības šādi:

Pirmajai darbībai vajadzētu būt faktoringam:

4. Frakciju saskaitīšana un atņemšana. Frakciju apvienošana kopsaucējā.

Parasto frakciju pievienošana un atņemšana ir ļoti pazīstama darbība: mēs meklējam kopsaucēju, reizinām katru frakciju ar trūkstošo koeficientu un saskaitām / atņemam skaitītājus.

Atcerēsimies:

Atbildes:

1. Saucēji un ir savstarpēji nozīmīgi, tas ir, tiem nav kopīgu faktoru. Tāpēc šo skaitļu LCM ir vienāds ar to reizinājumu. Tas būs kopsaucējs:

2. Šeit kopējais saucējs ir:

3. Šeit, pirmkārt, mēs pārvēršam jauktas frakcijas nepareizajās, un pēc tam - pēc parastās shēmas:

Tas ir pavisam cits jautājums, ja frakcijās ir burti, piemēram:

Sāksim vienkārši:

a) Saucēji nesatur burtus

Šeit viss ir tāds pats kā ar parastajām skaitliskajām frakcijām: mēs atrodam kopsaucēju, reizinām katru daļu ar trūkstošo koeficientu un saskaitām / atņemam skaitītājus:

tagad skaitītājā jūs varat ienest līdzīgus, ja tādi ir, un sadalīties faktoros:

Izmēģiniet pats:

Atbildes:

b) Saucēji satur burtus

Atcerēsimies principu par kopsaucēja atrašanu bez burtiem:

· Pirmkārt, mēs nosakām kopīgos faktorus;

· Pēc tam vienreiz izrakstiet visus izplatītos faktorus;

· Un reiziniet tos ar visiem citiem faktoriem, kas nav bieži.

Lai noteiktu saucēju kopīgos faktorus, vispirms tos sadalām galvenajos faktoros:

Uzsvērsim kopējos faktorus:

Tagad vienreiz izrakstīsim kopējos faktorus un pievienosim tiem visus neparastos (nevis pasvītrotos) faktorus:

Tas ir kopsaucējs.

Atgriezīsimies pie vēstulēm. Saucēji tiek parādīti tieši tādā pašā veidā:

· Mēs sadalām saucējus faktoros;

· Mēs nosakām kopīgos (identiskos) faktorus;

· Vienreiz izrakstiet visus izplatītos faktorus;

· Mēs tos reizinām ar visiem citiem faktoriem, kas nav izplatīti.

Tātad, secībā:

1) saucējus mēs sadalām faktoros:

2) mēs nosakām kopīgos (identiskos) faktorus:

3) mēs vienreiz izrakstām visus kopējos faktorus un reizinām tos ar visiem pārējiem (neuzsvērtie) faktoriem:

Tātad šeit ir kopsaucējs. Pirmā frakcija jāreizina ar otro, izmantojot:

Starp citu, ir viens triks:

Piemēram: .

Saucējos mēs redzam tos pašus faktorus, tikai visiem ir atšķirīgi rādītāji. Kopsaucējs būs:

tādā mērā

tādā mērā

tādā mērā

pakāpē.

Sarežģīsim uzdevumu:

Kā jūs veidojat frakcijas par vienu saucēju?

Atcerēsimies frakcijas pamatīpašību:

Nekur nav teikts, ka to pašu skaitli var atņemt (vai pievienot) no frakcijas skaitītāja un saucēja. Jo tā nav taisnība!

Skatiet pats: ņemiet, piemēram, jebkuru frakciju un, piemēram, pievienojiet skaitītājam un saucējam kādu numuru. Ko tu iemācījies?

Tātad, vēl viens nesatricināms noteikums:

Nesot frakcijas kopējam saucējam, izmantojiet tikai reizināšanu!

Bet kas jums jāreizina, lai iegūtu?

Šeit un reiziniet. Un reiziniet ar:

Izteicienus, kurus nevar sadalīt faktoros, sauksim par “elementāriem faktoriem”.

Piemēram, ir elementārs faktors. - arī. Bet - nē: tas tiek faktorizēts.

Ko jūs domājat par izteiksmi? Vai tas ir elementāri?

Nē, jo to var faktorizēt:

(jūs jau lasījāt par faktorizāciju tēmā "").

Tātad, elementārie faktori, kuros jūs paplašināt izteiksmi ar burtiem, ir analogi galvenajiem faktoriem, kuros jūs izvērstat skaitļus. Un mēs ar viņiem tiksim galā tāpat.

Mēs redzam, ka abiem saucējiem ir faktors. Tas nonāks pie kopsaucēja pie varas (atcerieties, kāpēc?).

Faktors ir elementārs, un tas viņiem nav raksturīgs, kas nozīmē, ka pirmā daļa būs vienkārši jāpareizina ar to:

Vēl viens piemērs:

Lēmums:

Pirms šo saucēju reizināšanas panikā, jums ir jādomā par to, kā tos sadalīt faktoros? Viņi abi pārstāv:

Labi! Tad:

Vēl viens piemērs:

Lēmums:

Kā parasti, ņem vērā saucējus. Pirmajā saucējā mēs to vienkārši ievietojam ārpus iekavām; otrajā - kvadrātu starpība:

Šķiet, ka nav kopīgu faktoru. Bet, ja jūs skatāties uzmanīgi, tad viņi ir tik līdzīgi ... Un patiesība:

Tātad, rakstīsim:

Tas ir, tas izrādījās šādi: iekavās mēs apmainījāmies ar terminiem, un tajā pašā laikā zīme frakcijas priekšā mainījās uz pretējo. Ņemiet vērā, jums tas būs jādara bieži.

Tagad mēs nonākam pie kopsaucēja:

Sapratu? Pārbaudīsim tagad.

Neatkarīga risinājuma uzdevumi:

Atbildes:

Šeit mums jāatceras vēl viena - atšķirība starp klucīšiem:

Lūdzu, ņemiet vērā, ka otrās frakcijas saucējs nav formula "summas kvadrāts"! Summas kvadrāts izskatās šādi:.

A ir tā sauktais nepilnīgais summas kvadrāts: otrais termins tajā ir pirmā un pēdējā reizinājums, nevis to divkāršotais reizinājums. Nepilnīgais summas kvadrāts ir viens no faktoriem, kas palielina kubu starpību:

Ko darīt, ja jau ir trīs frakcijas?

Jā, tas pats! Pirmkārt, pārliecināsimies, vai saucējos maksimālais faktoru skaits ir vienāds:

Pievērsiet uzmanību: ja maināt zīmes vienā iekavās, zīmes priekšā frakcija mainās uz pretējo. Kad mainām zīmes otrajā iekavā, frakcijas priekšā esošā zīme atkal tiek apgriezta. Rezultātā tas (apzīmējums pirms frakcijas) nav mainījies.

Kopsaucējā pilnībā izrakstiet pirmo saucēju un pēc tam pievienojiet visus faktorus, kas vēl nav uzrakstīti, sākot ar otro un pēc tam no trešā (un tā tālāk, ja ir vairāk frakciju). Tas ir, izrādās šādi:

Hmm ... Ar frakcijām ir skaidrs, ko darīt. Bet kā ar deu?

Tas ir vienkārši: jūs zināt, kā pievienot frakcijas, vai ne? Tātad, mums jāpārliecinās, ka šie divi kļūst par daļu! Atcerieties: frakcija ir dalīšanas operācija (skaitītājs tiek dalīts ar saucēju, ja pēkšņi aizmirsāt). Un nekas nav vienkāršāks par skaitļa dalīšanu ar. Šajā gadījumā pats skaitlis nemainīsies, bet pārvērtīsies frakcijā:

Tieši tas, kas vajadzīgs!

5. Frakciju reizināšana un dalīšana.

Nu, vissmagākā daļa ir beigusies. Un priekšā mums ir vienkāršākais, bet tajā pašā laikā vissvarīgākais:

Procedūra

Kāda ir skaitliskās izteiksmes aprēķināšanas procedūra? Atcerieties, saskaitot šī izteiciena nozīmi:

Vai jūs to skaitījāt?

Tam vajadzētu darboties.

Tātad, es jums atgādinu.

Pirmais solis ir aprēķināt pakāpi.

Otrais ir reizināšana un dalīšana. Ja vienlaikus ir vairākas reizināšanas un dalīšanas, varat tos izdarīt jebkurā secībā.

Visbeidzot, mēs darām saskaitīšanu un atņemšanu. Atkal, jebkurā secībā.

Bet: izteiksme iekavās tiek vērtēta nepareizi!

Ja vairākas iekavas tiek reizinātas vai dalītas viena ar otru, vispirms aprēķiniet izteiksmi katrā no iekavām un pēc tam reiziniet vai daliet tās.

Ko darīt, ja iekavās ir vairāk iekavu? Nu, padomāsim: iekavās ir ierakstīts kāds izteiciens. Un, kas ir pirmais, kas jādara, novērtējot izteiksmi? Tieši tā, aprēķiniet iekavas. Nu mēs to izdomājām: vispirms mēs aprēķinām iekšējās iekavas, pēc tam visu pārējo.

Tātad, iepriekšminētās izteiksmes darbību secība ir šāda (pašreizējā darbība ir iezīmēta sarkanā krāsā, tas ir, darbība, kuru es šobrīd veicu):

Labi, tas viss ir vienkārši.

Bet tas nav tas pats, kas izteiciens ar burtiem?

Nē, tas pats! Tikai aritmētisko operāciju vietā jums jāveic algebriski, tas ir, iepriekšējā sadaļā aprakstītās darbības: atnesot līdzīgu, frakciju pievienošana, frakciju samazināšana utt. Vienīgā atšķirība ir faktoringa polinomu ietekme (ko mēs bieži izmantojam, strādājot ar frakcijām). Faktorēšanai visbiežāk jāizmanto i vai vienkārši jāievieto kopējais faktors ārpus iekavām.

Parasti mūsu mērķis ir prezentēt izteicienu darba vai konkrēta formā.

Piemēram:

Vienkāršosim izteicienu.

1) Pirmkārt, mēs vienkāršojam izteiksmi iekavās. Tur mums ir atšķirība starp frakcijām, un mūsu mērķis ir to parādīt kā produktu vai koeficientu. Tātad, frakcijas tiek nogādātas kopsaucējā un pievienotas:

Šo izteicienu vairs nav iespējams vienkāršot, visi faktori šeit ir elementāri (vai jūs joprojām atceraties, ko tas nozīmē?).

2) Mēs iegūstam:

Frakciju reizināšana: kas varētu būt vienkāršāks.

3) Tagad jūs varat saīsināt:

Tieši tā. Nekas sarežģīts, vai ne?

Vēl viens piemērs:

Vienkāršojiet izteicienu.

Vispirms mēģiniet pats to atrisināt, un tikai pēc tam redziet risinājumu.

Lēmums:

Pirmkārt, definēsim darbību secību.

Pirmkārt, mēs pievienojam frakcijas iekavās, mēs iegūstam vienu, nevis divas frakcijas.

Tad mēs sadalīsim frakcijas. Nu, pievienojiet rezultātu ar pēdējo frakciju.

Darbības uzskaitīšu shematiski:

Tagad es parādīšu visu procesu, krāsojot pašreizējo darbību sarkanā krāsā:

1. Ja ir līdzīgi, tie nekavējoties jānogādā. Jebkurā brīdī, kad mums ir līdzīgi, ieteicams tos nekavējoties nogādāt.

2. Tas pats attiecas uz frakciju samazināšanu: tiklīdz ir iespēja samazināt, tā ir jāizmanto. Izņēmums ir frakcijas, kuras jūs pievienojat vai atņemat: ja tām tagad ir tie paši saucēji, tad samazinājums ir jāatstāj vēlākai.

Šie ir daži uzdevumi, kas jums pašiem jāatrisina:

Un jau pašā sākumā solīja:

Atbildes:

Risinājumi (kodolīgi):

Ja esat ticis galā vismaz ar pirmajiem trim piemēriem, tad esat apguvis šo tēmu.

Tagad gaidu mācīšanos!

IZTEIKUMU TRANSFORMĀCIJA. KOPSAVILKUMS UN PAMAT formulas

Vienkāršošanas pamatdarbības:

• Nes līdzīgu: lai pievienotu (atnestu) šādus terminus, jāpievieno to koeficienti un jāpiešķir burta daļa.
• Faktorizācija:kopējā faktora izskaidrošana, pielietojums utt.
• Frakcijas samazināšana: frakcijas skaitītāju un saucēju var reizināt vai dalīt ar to pašu skaitli, kas nav nulle, un tas nemaina frakcijas vērtību.
  1) skaitītājs un saucējs faktors ārā
  2) ja skaitītājā un saucējā ir kopīgi faktori, tos var izsvītrot.

  SVARĪGI: var samazināt tikai reizinātājus!

• Frakciju saskaitīšana un atņemšana:
  ;
• Frakciju reizināšana un dalīšana:
  ;