Eksponenciālie vienādojumi eksāmena profila līmenī. Eksponenciālie vienādojumi
Šī nodarbība ir paredzēta tiem, kas tikai sāk apgūt eksponenciālos vienādojumus. Kā vienmēr, sāksim ar definīciju un vienkāršiem piemēriem.
Ja jūs lasāt šo nodarbību, tad man ir aizdomas, ka jums jau ir vismaz minimāla izpratne par vienkāršākajiem vienādojumiem - lineārajiem un kvadrātveida: $ 56x-11 \u003d $ 0; $ ((x) ^ (2)) + 5x + 4 \u003d 0 $; $ ((x) ^ (2)) - 12x + 32 \u003d 0 $ utt. Ir absolūti nepieciešams spēt atrisināt šādas konstrukcijas, lai “neiespringtu” tēmā, par kuru tagad runāsim.
Tātad, eksponenciālie vienādojumi. Ļaujiet man uzreiz minēt dažus piemērus:
\\ [((2) ^ (x)) \u003d 4; \\ quad ((5) ^ (2x-3)) \u003d \\ frac (1) (25); \\ quad ((9) ^ (x)) \u003d - 3 \\]
Daži no tiem jums var šķist sarežģītāki, citi - gluži pretēji, pārāk vienkārši. Bet viņus visus vieno viena svarīga iezīme: viņu apzīmējumos ir eksponenciāla funkcija $ f \\ left (x \\ right) \u003d ((a) ^ (x)) $. Tādējādi mēs ieviešam definīciju:
Eksponenciālais vienādojums ir jebkurš vienādojums, kas satur eksponenciālo funkciju, t.i. izteiciens, piemēram, $ ((a) ^ (x)) $. Papildus norādītajai funkcijai šādos vienādojumos var būt arī jebkuras citas algebriskas konstrukcijas - polinomi, saknes, trigonometrija, logaritmi utt.
Nu labi. Mēs izdomājām definīciju. Tagad jautājums ir: kā atrisināt visu šo krāpšanos? Atbilde ir gan vienkārša, gan sarežģīta.
Sāksim ar labajām ziņām: no savas pieredzes, kas saistīta ar nodarbībām ar daudziem skolēniem, varu teikt, ka lielākajai daļai no tām eksponenciālos vienādojumus ir daudz vieglāk sniegt nekā vienus un tos pašus logaritmus, un vēl jo vairāk - trigonometriju.
Bet ir arī sliktas ziņas: dažreiz visu veidu mācību grāmatu un eksāmenu problēmu autori tiek "iedvesmoti", un viņu smadzenes, kas iekaisušas ar narkotikām, sāk izdot tik brutālus vienādojumus, ka to risināšana kļūst problemātiska ne tikai studentiem - pat daudzi skolotāji iestrēgst šādās problēmās.
Tomēr nerunāsim par skumjām lietām. Un atpakaļ pie trim vienādojumiem, kas tika doti pašā stāsta sākumā. Mēģināsim atrisināt katru no tiem.
Pirmais vienādojums: $ ((2) ^ (x)) \u003d 4 $. Nu, cik lielā mērā vajadzētu paaugstināt skaitli 2, lai iegūtu numuru 4? Droši vien otrais? Galu galā $ ((2) ^ (2)) \u003d 2 \\ cdot 2 \u003d 4 $ - un mēs ieguvām pareizu skaitlisko vienādību, t.i. tiešām $ x \u003d 2 $. Nu, paldies, vāciņš, bet šis vienādojums bija tik vienkāršs, ka pat mans kaķis to varēja atrisināt. :)
Apskatīsim šādu vienādojumu:
\\ [((5) ^ (2x-3)) \u003d \\ frac (1) (25) \\]
Un šeit tas jau ir nedaudz sarežģītāk. Daudzi studenti zina, ka $ ((5) ^ (2)) \u003d 25 $ ir reizināšanas tabula. Daži arī domā, ka $ ((5) ^ (- 1)) \u003d \\ frac (1) (5) $ būtībā ir negatīvo spēku definīcija (līdzīgi kā formulai $ ((a) ^ (- n)) \u003d \\ frac (1) (((a) ^ (n))) $).
Visbeidzot, tikai daži cilvēki zina, ka šos faktus var apvienot, un iznākumā var iegūt šādu rezultātu:
\\ [\\ frac (1) (25) \u003d \\ frac (1) (((5) ^ (2))) \u003d ((5) ^ (- 2)) \\]
Tādējādi mūsu sākotnējais vienādojums tiks pārrakstīts šādi:
\\ [((5) ^ (2x-3)) \u003d \\ frac (1) (25) \\ Rightarrow ((5) ^ (2x-3)) \u003d ((5) ^ (- 2)) \\]
Bet tas jau ir diezgan atrisināms! Vienādojuma kreisajā pusē ir eksponenciāla funkcija, vienādojuma labajā pusē ir eksponenciāla funkcija, nekur citur nekas cits kā nav. Tāpēc jūs varat "nomest" bāzes un muļķīgi pielīdzināt rādītājus:
Mēs saņēmām vienkāršāko lineāro vienādojumu, ko jebkurš students var atrisināt tikai pāris rindās. Labi, četrās rindās:
\\ [\\ sākt (izlīdzināt) & 2x-3 \u003d -2 \\\\ & 2x \u003d 3-2 \\\\ un 2x \u003d 1 \\\\ & x \u003d \\ frac (1) (2) \\\\\\ beigas (izlīdzināt) \\]
Ja jūs nesaprotat, kas notika pēdējās četrās rindās, noteikti atgriezieties pie tēmas "lineārie vienādojumi" un atkārtojiet to. Tā kā bez skaidras šīs tēmas izpratnes jums ir pāragri risināt eksponenciālos vienādojumus.
\\ [((9) ^ (x)) \u003d - 3 \\]
Nu kā to atrisināt? Pirmā doma: 9 USD \u003d 3 \\ cdot 3 \u003d ((3) ^ (2)) $, tāpēc sākotnējo vienādojumu var pārrakstīt šādi:
\\ [((\\ pa kreisi (((3) ^ (2)) \\ pa labi)) ^ (x)) \u003d - 3 \\]
Tad mēs atceramies, ka, paaugstinot varu uz varu, rādītāji tiek reizināti:
\\ [((\\ pa kreisi (((3) ^ (2)) \\ pa labi)) ^ (x)) \u003d ((3) ^ (2x)) \\ labās puses bultiņa ((3) ^ (2x)) \u003d - (( 3) ^ (1))]
\\ [\\ sākt (izlīdzināt) & 2x \u003d -1 \\\\ & x \u003d - \\ frac (1) (2) \\\\\\ beigas (izlīdzināt) \\]
Un par šādu lēmumu mēs saņemsim godīgi pelnītu dravu. Jo mēs ar pokemonu vienādību nosūtījām mīnusa zīmi trīs priekšā līdz šī trijnieka pakāpei. Un jūs to nevarat izdarīt. Un tāpēc. Apskatiet trīskāršojuma dažādās spējas:
\\ [\\ sākt (matrica) ((3) ^ (1)) \u003d 3 & ((3) ^ (- 1)) \u003d \\ frac (1) (3) & ((3) ^ (\\ frac (1) ( 2))) \u003d \\ sqrt (3) \\\\ ((3) ^ (2)) \u003d 9 & ((3) ^ (- 2)) \u003d \\ frac (1) (9) & ((3) ^ (\\ 3) ^ (- \\ frac (1) (2))) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (3)) \\\\\\ beigas (matrica) \\]
Sastādot šo planšetdatoru, tiklīdz es netiku sagrozīts: es uzskatīju pozitīvos grādus, negatīvos un pat dalītos ... labi, kur šeit ir vismaz viens negatīvs skaitlis? Viņš ir prom! Un tā nevar būt, jo eksponenciālā funkcija $ y \u003d ((a) ^ (x)) $, pirmkārt, vienmēr ņem tikai pozitīvas vērtības (neatkarīgi no tā, cik daudz reizina vai sadala ar divām, tas joprojām būs pozitīvs skaitlis), un, otrkārt, šādas funkcijas bāze - skaitlis $ a $ - pēc definīcijas ir pozitīvs skaitlis!
Nu kā tad atrisināt vienādojumu $ ((9) ^ (x)) \u003d - 3 $? Bet nekādā gadījumā: nav sakņu. Un šajā ziņā eksponenciālie vienādojumi ir ļoti līdzīgi kvadrātvienādojumiem - tur arī var nebūt saknes. Bet, ja kvadrātvienādojumos sakņu skaitu nosaka diskriminants (pozitīvs diskriminants - 2 saknes, negatīvs - nav sakņu), tad eksponenciālajos vienādojumos viss ir atkarīgs no tā, kas atrodas pa labi no vienādības zīmes.
Tādējādi mēs formulējam galveno secinājumu: formas $ ((a) ^ (x)) \u003d b $ vienkāršākajam eksponences vienādojumam ir sakne tikai tad, ja $ b \\ gt 0 $. Zinot šo vienkāršo faktu, jūs varat viegli noteikt, vai jums piedāvātajam vienādojumam ir saknes vai nav. Tie. vai ir vērts to vispār atrisināt vai vienkārši pierakstīt, ka sakņu nav.
Šīs zināšanas mums daudzkārt palīdzēs, kad mums būs jāatrisina sarežģītākas problēmas. Pagaidām pietiek ar dziesmu tekstiem - ir pienācis laiks izpētīt eksponenciālo vienādojumu risināšanas pamatalgoritmu.
Kā atrisināt eksponenciālos vienādojumus
Tātad, formulēsim problēmu. Nepieciešams atrisināt eksponenciālo vienādojumu:
\\ [((a) ^ (x)) \u003d b, \\ quad a, b \\ gt 0 \\]
Saskaņā ar "naivo" algoritmu, saskaņā ar kuru mēs rīkojāmies agrāk, skaitlis $ b $ ir jāatspoguļo kā skaitļa $ a $ jauda:
Turklāt, ja mainīgā $ x $ vietā būs kāda izteiksme, mēs iegūsim jaunu vienādojumu, kuru jau var atrisināt. Piemēram:
\\ [\\ sākt (izlīdzināt) & ((2) ^ (x)) \u003d 8 \\ labā virziena bultiņa ((2) ^ (x)) \u003d ((2) ^ (3)) \\ labā labā bulta x \u003d 3; \\\\ & ((3) ^ (- x)) \u003d 81 \\ Rightarrow ((3) ^ (- x)) \u003d ((3) ^ (4)) \\ Rightarrow -x \u003d 4 \\ Rightarrow x \u003d -4; \\\\ & ((5) ^ (2x)) \u003d 125 \\ Rightarrow ((5) ^ (2x)) \u003d ((5) ^ (3)) \\ Rightarrow 2x \u003d 3 \\ Rightarrow x \u003d \\ frac (3) ( 2). \\\\\\ beigas (izlīdzināt) \\]
Un dīvainā kārtā šī shēma darbojas aptuveni 90% laika. Kā tad būtu ar atlikušajiem 10%? Atlikušie 10% ir formas "šizofrēnijas" eksponenciālie vienādojumi:
\\ [((2) ^ (x)) \u003d 3; \\ quad ((5) ^ (x)) \u003d 15; \\ quad ((4) ^ (2x)) \u003d 11 \\]
Nu, cik lielā mērā 2 jāpaaugstina, lai iegūtu 3? Pirmais? Bet nē: $ ((2) ^ (1)) \u003d 2 $ - nepietiek. Otrais? Arī ne: $ ((2) ^ (2)) \u003d 4 $ - mazliet par daudz. Kurš tad?
Zinoši studenti, iespējams, jau ir uzminējuši: šādos gadījumos, kad nav iespējams atrisināt “skaisti”, lietā tiek iesaistīta “smagā artilērija” - logaritmi. Atgādināšu, ka, izmantojot logaritmus, jebkuru pozitīvu skaitli var attēlot kā jebkura cita pozitīva skaitļa jaudu (izņemot vienu):
Vai atceries šo formulu? Kad stāstu saviem studentiem par logaritmiem, es vienmēr jūs brīdinu: šī formula (tā ir arī pamata logaritmiskā identitāte vai, ja jums patīk, logaritma definīcija) jūs ļoti ilgi vajās un "uznirs" visnegaidītākajās vietās. Nu viņa uzklājās. Apskatīsim mūsu vienādojumu un šo formulu:
\\ [\\ sākt (izlīdzināt) & ((2) ^ (x)) \u003d 3 \\\\ & a \u003d ((b) ^ (((\\ log) _ (b)) a)) \\\\\\ beigas (izlīdzināt) \\]
Ja mēs pieņemam, ka $ a \u003d 3 $ ir mūsu sākotnējais skaitlis labajā pusē un $ b \u003d 2 $ ir pati eksponenciālās funkcijas bāze, kurai mēs vēlamies samazināt labo pusi, tad iegūstam sekojošo:
\\ [\\ sākt (izlīdzināt) & a \u003d ((b) ^ (((\\ log) _ (b)) a)) \\ Labās bultiņas 3 \u003d ((2) ^ (((\\ log) _ (2)) 3 )); \\\\ & ((2) ^ (x)) \u003d 3 \\ Rightarrow ((2) ^ (x)) \u003d ((2) ^ (((\\ log) _ (2)) 3)) \\ Rightarrow x \u003d ( (\\ log) _ (2)) 3. \\\\\\ beigas (izlīdzināt) \\]
Mēs saņēmām nedaudz dīvainu atbildi: $ x \u003d ((\\ log) _ (2)) 3 $. Veicot kādu citu uzdevumu, daudzi ar šādu atbildi būtu šaubījušies un sākuši vēlreiz pārbaudīt savu lēmumu: kas būtu, ja kaut kur būtu kļūda? Es steidzos jums iepriecināt: šeit nav pieļauta kļūda, un logaritmi eksponenciālo vienādojumu saknēs ir diezgan tipiska situācija. Tāpēc pierod. :)
Tagad atrisināsim atlikušos divus vienādojumus pēc analoģijas:
\\ [\\ sākt (izlīdzināt) & ((5) ^ (x)) \u003d 15 \\ Rightarrow ((5) ^ (x)) \u003d ((5) ^ (((\\ log) _ (5) 15)) \\ Labā bultiņa x \u003d ((\\ log) _ (5)) 15; \\\\ & ((4) ^ (2x)) \u003d 11 \\ Rightarrow ((4) ^ (2x)) \u003d ((4) ^ (((\\ log) _ (4)) 11)) \\ Rightarrow 2x \u003d ( (\\ log) _ (4)) 11 \\ Rightarrow x \u003d \\ frac (1) (2) ((\\ log) _ (4)) 11. \\\\\\ beigas (izlīdzināt) \\]
Tas ir viss! Starp citu, pēdējo atbildi var uzrakstīt savādāk:
Mēs ieviesām koeficientu ar logaritma argumentu. Bet neviens mūs netraucē ieviest šo faktoru bāzē:
Turklāt visas trīs iespējas ir pareizas - tās ir vienkārši viena un tā paša numura rakstīšanas dažādas formas. Kurš izvēlēties un pierakstīt šajā risinājumā, ir atkarīgs no jums.
Tādējādi mēs esam iemācījušies, kā atrisināt visus eksponenciālos vienādojumus formā $ ((a) ^ (x)) \u003d b $, kur skaitļi $ a $ un $ b $ ir stingri pozitīvi. Tomēr skarbā mūsu pasaules realitāte ir tāda, ka tik vienkārši uzdevumi jums nāksies saskarties ļoti reti. Daudz biežāk jūs saskarsities ar kaut ko līdzīgu:
\\ [\\ sākt (izlīdzināt) & ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x-1)) \u003d ((4) ^ (x + 1)) - 11; \\\\ & ((7) ^ (x + 6)) \\ cdot ((3) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (3x)); \\\\ & ((100) ^ (x-1)) \\ cdot ((2,7) ^ (1-x)) \u003d 0,09. \\\\\\ beigas (izlīdzināt) \\]
Nu kā to atrisināt? Vai to vispār var atrisināt? Un ja jā, kā?
Nelieciet panikā. Visi šie vienādojumi ātri un viegli tiek samazināti līdz tām vienkāršajām formulām, kuras mēs jau esam apsvēruši. Jums vienkārši jāzina, lai atcerētos pāris paņēmienus no algebras kursa. Un, protams, nekur nav noteikumu par darbu ar grādiem. Es jums visu pastāstīšu tagad. :)
Eksponenciālo vienādojumu konvertēšana
Pirmais, kas jāatceras: jebkurš eksponenciālais vienādojums, lai cik sarežģīts tas arī nebūtu, kaut kādā veidā jāsamazina līdz vienkāršākajiem vienādojumiem - tiem pašiem, kurus mēs jau esam apsvēruši un kurus mēs zinām, kā atrisināt. Citiem vārdiem sakot, jebkura eksponenciālā vienādojuma atrisināšanas shēma izskatās šādi:
- Pierakstiet sākotnējo vienādojumu. Piemēram: $ ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x-1)) \u003d ((4) ^ (x + 1)) - 11 $;
- Padarīt kaut kādu nesaprotamu crap. Vai pat daži crap sauc par "pārveidot vienādojumu";
- Rezultātā iegūstiet vienkāršākos izteicienus, piemēram, $ ((4) ^ (x)) \u003d 4 $ vai kaut ko citu. Turklāt viens oriģinālais vienādojums var dot vairākus šādus izteicienus vienlaikus.
Ar pirmo punktu viss ir skaidrs - pat mans kaķis vienādojumu var uzrakstīt uz papīra. Šķiet, ka ar trešo punktu ir arī vairāk vai mazāk skaidrs - mēs jau esam atrisinājuši veselu virkni šādu vienādojumu.
Bet kā ir ar otro punktu? Kāda veida pārveidošana? Ko konvertēt uz ko? Un kā?
Nu izdomāsim. Pirmkārt, es vēlētos atzīmēt sekojošo. Visi eksponenciālie vienādojumi ir sadalīti divos veidos:
- Vienādojumu veido eksponenciālās funkcijas ar vienu un to pašu bāzi. Piemērs: $ ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x-1)) \u003d ((4) ^ (x + 1)) - 11 $;
- Formula satur eksponenciālās funkcijas ar dažādām bāzēm. Piemēri: $ ((7) ^ (x + 6)) \\ cdot ((3) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (3x)) $ un $ ((100) ^ (x-1) ) \\ cdot ((2.7) ^ (1-x)) \u003d 0,09 USD.
Sāksim ar pirmā tipa vienādojumiem - tos ir visvieglāk atrisināt. Un to risināšanā mums palīdzēs tāda tehnika kā stabilu izteicienu izcelšana.
Izceļot stabilu izteiksmi
Apskatīsim šo vienādojumu vēlreiz:
\\ [((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x-1)) \u003d ((4) ^ (x + 1)) - 11 \\]
Ko mēs redzam? Četri tiek paaugstināti dažādās pakāpēs. Bet visas šīs pilnvaras ir vienkāršas mainīgā lieluma $ x $ summas ar citiem skaitļiem. Tāpēc jums ir jāatceras noteikumi darbam ar grādiem:
\\ [\\ sākt (izlīdzināt) & ((a) ^ (x + y)) \u003d ((a) ^ (x)) \\ cdot ((a) ^ (y)); \\\\ & ((a) ^ (xy)) \u003d ((a) ^ (x)): ((a) ^ (y)) \u003d \\ frac (((a) ^ (x)))) (((a ) ^ (y))). \\\\\\ beigas (izlīdzināt) \\]
Vienkārši sakot, eksponentu pievienošanu var pārveidot par jaudu reizinājumu, un atņemšanu var viegli pārveidot par dalījumu. Mēģināsim piemērot šīs formulas mūsu vienādojuma vērtībām:
\\ [\\ sākt (izlīdzināt) & ((4) ^ (x-1)) \u003d \\ frac (((4) ^ (x))) (((4) ^ (1))) \u003d ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ frac (1) (4); \\\\ & ((4) ^ (x + 1)) \u003d ((4) ^ (x)) \\ cdot ((4) ^ (1)) \u003d ((4) ^ (x)) \\ cdot 4. \\ Pārrakstīsim sākotnējo vienādojumu, ņemot vērā šo faktu, un pēc tam apkoposim visus kreisajā pusē esošos terminus:
\\ [\\ sākt (izlīdzināt) & ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ frac (1) (4) \u003d ((4) ^ (x)) \\ cdot 4 -vienpadsmit; \\\\ & ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ frac (1) (4) - ((4) ^ (x)) \\ cdot 4 + 11 \u003d 0. \\\\\\ beigas (izlīdzināt) \\]
Pirmie četri termini satur elementu $ ((4) ^ (x)) $ - izņemsim to no iekavās:
\\ [\\ sākt (izlīdzināt) & ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ pa kreisi (1+ \\ frac (1) (4) -4 \\ pa labi) + 11 \u003d 0; \\\\ & ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ frac (4 + 1-16) (4) + 11 \u003d 0; \\\\ & ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ pa kreisi (- \\ frac (11) (4) \\ right) \u003d - 11. \\\\\\ beigas (izlīdzināt) \\]
Atliek sadalīt abas vienādojuma puses frakcijā $ - \\ frac (11) (4) $, t.i. būtībā reiziniet ar apgrieztu daļu - $ - \\ frac (4) (11) $. Mēs iegūstam:
\\ [\\ sākt (izlīdzināt) & ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ pa kreisi (- \\ frac (11) (4) \\ pa labi) \\ cdot \\ pa kreisi (- \\ frac (4) (11) \\ pa labi ) \u003d - 11 \\ cdot \\ pa kreisi (- \\ frac (4) (11) \\ labajā pusē); \\\\ & ((4) ^ (x)) \u003d 4; \\\\ & ((4) ^ (x)) \u003d ((4) ^ (1)); \\\\ & x \u003d 1. \\\\\\ beigas (izlīdzināt) \\]
Tas ir viss! Mēs samazinājām sākotnējo vienādojumu līdz vienkāršākajam un saņēmām galīgo atbildi.
Tajā pašā laikā risināšanas procesā mēs atradām (un pat izņēmām no iekavās) kopējo koeficientu $ ((4) ^ (x)) $ - tā ir stabila izteiksme. To var apzīmēt kā jaunu mainīgo, vai arī to var vienkārši precīzi izteikt un atbildēt. Jebkurā gadījumā galvenais risinājums ir šāds:
Sākotnējā vienādojumā atrodiet stabilu izteiksmi, kurā ir mainīgais, kuru var viegli atšķirt no visām eksponenciālajām funkcijām.
Labā ziņa ir tā, ka praktiski katrs eksponenciālais vienādojums ļauj iegūt tik stabilu izteiksmi.
Bet sliktā ziņa ir tāda, ka šādi izteicieni var būt sarežģīti, un tos var būt sarežģīti izvēlēties. Tāpēc mēs analizēsim vēl vienu uzdevumu:
\\ [((5) ^ (x + 2)) + ((0,2) ^ (- x-1)) + 4 \\ cdot ((5) ^ (x + 1)) \u003d 2 \\]
Varbūt kādam tagad būs jautājums: “Pasha, vai tu esi nomētāts ar akmeņiem? Šeit ir dažādas bāzes - 5 un 0,2 ”. Bet mēģināsim konvertēt grādu no bāzes 0.2. Piemēram, atbrīvosimies no decimāldaļas, pārnesot to uz parasto:
\\ [((0,2) ^ (- x-1)) \u003d ((0,2) ^ (- \\ pa kreisi (x + 1 \\ pa labi)))) \u003d ((\\ pa kreisi (\\ frac (2) (10) ) \\ pa labi)) ^ (- \\ pa kreisi (x + 1 \\ pa labi))) \u003d \u003d ((\\ pa kreisi (\\ frac (1) (5) \\ pa labi)) ^ (- \\ pa kreisi (x + 1 \\ pa labi)) ) \\]
{!LANG-46123ff60704d8c73690bbc4e3eb44b8!}
Kā redzat, numurs 5 joprojām parādījās, kaut arī saucējā. Tajā pašā laikā rādītājs tika pārrakstīts kā negatīvs. Tagad atcerēsimies vienu no vissvarīgākajiem noteikumiem darbam ar grādiem:
\\ [((a) ^ (- n)) \u003d \\ frac (1) (((a) ^ (n))) \\ Rightarrow ((\\ kreisā (\\ frac (1) (5) \\ right)) ^ ( - \\ pa kreisi (x + 1 \\ pa labi))) \u003d ((\\ pa kreisi (\\ frac (5) (1) \\ pa labi)) ^ (x + 1)) \u003d ((5) ^ (x + 1)) \\ Šeit es, protams, mazliet apkrāpjos. Tā kā pilnīgai izpratnei, formula, kā atbrīvoties no negatīvajiem rādītājiem, bija jāraksta šādi:
\\ [((a) ^ (- n)) \u003d \\ frac (1) (((a) ^ (n))) \u003d ((\\ pa kreisi (\\ frac (1) (a) \\ pa labi)) ^ (n )) \\ Labā bultiņa ((\\ kreisā (\\ frac (1) (5) \\ right)) ^ (- \\ left (x + 1 \\ right)))) \u003d ((\\ kreisā (\\ frac (5) (1) \\ No otras puses, nekas neliedza mums strādāt tikai ar vienu daļu:
\\ [((\\ pa kreisi (\\ frac (1) (5) \\ labi)) ^ (- \\ pa kreisi (x + 1 \\ pa labi))) \u003d ((\\ pa kreisi (((5) ^ (- 1)) \\ )) \u003d ((5) ^ (x + 1)) \\]
Bet šajā gadījumā jums jāspēj paaugstināt pakāpi citā pakāpē (atcerieties: šajā gadījumā rādītāji saskaita). Bet man nevajadzēja “apgāzt” frakcijas - varbūt kādam būs vieglāk :)
Jebkurā gadījumā oriģinālo eksponenciālo vienādojumu pārraksta šādi:
\\ [\\ sākt (izlīdzināt) & ((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (x + 1)) + 4 \\ cdot ((5) ^ (x + 1)) \u003d 2; \\\\ & ((5) ^ (x + 2)) + 5 \\ cdot ((5) ^ (x + 1)) \u003d 2; \\\\ & ((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (1)) \\ cdot ((5) ^ (x + 1)) \u003d 2; \\\\ & ((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (x + 2)) \u003d 2; \\\\ & 2 \\ cdot ((5) ^ (x + 2)) \u003d 2; \\\\ & ((5) ^ (x + 2)) \u003d 1. \\\\\\ beigas (izlīdzināt) \\]
Tātad izrādās, ka sākotnējo vienādojumu ir vēl vieglāk atrisināt nekā iepriekš uzskatīto: šeit jums pat nav nepieciešams izcelt stabilu izteiksmi - viss pats ir reducējies. Atliek tikai atcerēties, ka $ 1 \u003d ((5) ^ (0)) $, no kurienes mēs iegūstam:
\\ [\\ sākt (izlīdzināt) & ((5) ^ (x + 2)) \u003d ((5) ^ (0)); \\\\ & x + 2 \u003d 0; \\\\ & x \u003d -2. \\\\\\ beigas (izlīdzināt) \\]
Tas ir viss risinājums! Mēs saņēmām galīgo atbildi: $ x \u003d -2 $. Tajā pašā laikā es gribētu atzīmēt vienu paņēmienu, kas ievērojami vienkāršoja visus aprēķinus mums:
Eksponenciālajos vienādojumos noteikti atbrīvojieties no decimāldaļas, pārveidojiet tos par parastiem. Tas ļaus jums redzēt vienādas grādu bāzes un ievērojami vienkāršos risinājumu.
Tagad pāriesim pie sarežģītākiem vienādojumiem, kuros ir dažādas bāzes, kuras, izmantojot pilnvaras, viena otrai parasti nav reducējamas.
Izmantojot grādu īpašumu
Ļaujiet man jums atgādināt, ka mums ir vēl divi īpaši skarbi vienādojumi:
\\ [\\ sākt (izlīdzināt) & ((7) ^ (x + 6)) \\ cdot ((3) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (3x)); \\\\ & ((100) ^ (x-1)) \\ cdot ((2,7) ^ (1-x)) \u003d 0,09. \\\\\\ beigas (izlīdzināt) \\]
{!LANG-3219a6d83d2b7a9f94abbf6d558f5830!}
{!LANG-9803c2cf2500b8a8ec8e4af7795d1a5a!}
Galvenās grūtības šeit rada tas, ka nav skaidrs, ko un kāda iemesla dēļ vadīt. Kur ir iestatītie izteicieni? Kur ir tie paši iemesli? Tādu nav.
Bet mēģināsim iet citu ceļu. Ja nav gatavu identisku bāzu, varat mēģināt tās atrast, faktorizējot esošās bāzes.
Sāksim ar pirmo vienādojumu:
\\ [\\ sākt (izlīdzināt) & ((7) ^ (x + 6)) \\ cdot ((3) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (3x)); \\\\ & 21 \u003d 7 \\ cdot 3 \\ Rightarrow ((21) ^ (3x)) \u003d ((\\ kreisā (7 \\ cdot 3 \\ right)) ^ (3x)) \u003d ((7) ^ (3x)) \\ \\\\\\ beigas (izlīdzināt) \\]
Bet jūs varat rīkoties pretēji - izdariet ciparu 21 no cipariem 7 un 3. To ir īpaši viegli izdarīt kreisajā pusē, jo abu grādu rādītāji ir vienādi:
\\ [\\ sākt (izlīdzināt) & ((7) ^ (x + 6)) \\ cdot ((3) ^ (x + 6)) \u003d ((\\ pa kreisi (7 \\ cdot 3 \\ pa labi)) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (x + 6)); \\\\ & ((21) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (3x)); \\\\ & x + 6 \u003d 3x; \\\\ & 2x \u003d 6; \\\\ & x \u003d 3. \\\\\\ beigas (izlīdzināt) \\]
Tas ir viss! Jūs pārvietojāt eksponentu ārpus izstrādājuma un uzreiz saņēmāt skaistu vienādojumu, ko var atrisināt pāris rindās.
Tagad aplūkosim otro vienādojumu. Šeit viss ir daudz sarežģītāk:
\\ [((100) ^ (x-1)) \\ cdot ((2,7) ^ (1-x)) \u003d 0,09 \\]
\\ [((100) ^ (x-1)) \\ cdot ((\\ pa kreisi (\\ frac (27) (10) \\ pa labi)) ^ (1-x)) \u003d \\ frac (9) (100) \\]
Šajā gadījumā frakcijas izrādījās nesadalāmas, bet, ja kaut ko varēja samazināt, noteikti samaziniet to. Bieži vien tas radīs interesantus pamatus, ar kuriem strādāt.
Diemžēl mūsu valstī nekas īsti neparādījās. Bet mēs redzam, ka eksponenti, kas atrodas izstrādājuma kreisajā pusē, ir pretēji:
Ļaujiet man jums atgādināt: lai atbrīvotos no indikatora mīnusa zīmes, jums vienkārši ir “jāaplūko” frakcija. Pārrakstīsim sākotnējo vienādojumu:
\\ [\\ sākt (izlīdzināt) & ((100) ^ (x-1)) \\ cdot ((\\ pa kreisi (\\ frac (10) (27) \\ pa labi)) ^ (x-1)) \u003d \\ frac (9 )(simts); \\\\ & ((\\ pa kreisi (100 \\ cdot \\ frac (10) (27) \\ pa labi)) ^ (x-1)) \u003d \\ frac (9) (100); \\\\ & ((\\ pa kreisi (\\ frac (1000) (27) \\ labi)) ^ (x-1)) \u003d \\ frac (9) (100). \\\\\\ beigas (izlīdzināt) \\]
Otrajā rindā mēs vienkārši pārvietojām kopējo eksponentu no izstrādājuma ārpus iekavās saskaņā ar noteikumu $ ((a) ^ (x)) \\ cdot ((b) ^ (x)) \u003d ((\\ pa kreisi (a \\ cdot b \\ pa labi)) ^ (x)) $, un pēdējā viņi vienkārši reizināja skaitli 100 ar daļu.
Tagad ņemiet vērā, ka skaitļi kreisajā pusē (pie pamatnes) un labajā pusē ir nedaudz līdzīgi. Nekā? Jā, tas ir acīmredzams: tās ir viena skaitļa pilnvaras! Mums ir:
\\ [\\ sākt (izlīdzināt) & \\ frac (1000) (27) \u003d \\ frac (((10) ^ (3))) (((3) ^ (3))) \u003d ((\\ pa kreisi (\\ frac ( 10) (3) \\ labā)) ^ (3)); \\\\ & \\ frac (9) (100) \u003d \\ frac (((3) ^ (2))) (((10) ^ (3))) \u003d ((\\ pa kreisi (\\ frac (3) (10)) \\ labā)) ^ (2)). \\\\\\ beigas (izlīdzināt) \\]
Tādējādi mūsu vienādojumu pārrakstīs šādi:
\\ [((\\ pa kreisi (((\\ pa kreisi (\\ frac (10) (3) \\ pa labi)) ^ (3)) \\ pa labi)) ^ (x-1)) \u003d ((\\ pa kreisi (\\ frac (3) ) (10) \\ labā)) ^ (2)) \\]
\\ [((\\ pa kreisi (((\\ pa kreisi (\\ frac (10) (3) \\ pa labi)) ^ (3)) \\ pa labi)) ^ (x-1)) \u003d ((\\ pa kreisi (\\ frac (10) ) (3) \\ pa labi)) ^ (3 \\ pa kreisi (x-1 \\ pa labi)))) \u003d ((\\ pa kreisi (\\ frac (10) (3) \\ pa labi)) ^ (3x-3)) \\]
Šajā gadījumā labajā pusē varat arī iegūt grādu ar tādu pašu bāzi, par kuru pietiek, lai vienkārši “pārlaistu” frakciju:
\\ [((\\ pa kreisi (\\ frac (3) (10) \\ right)) ^ (2)) \u003d ((\\ left (\\ frac (10) (3) \\ right)) ^ (- 2)) \\]
Visbeidzot, mūsu vienādojums būs šāds:
\\ [\\ sākt (izlīdzināt) & ((\\ pa kreisi (\\ frac (10) (3) \\ pa labi)) ^ (3x-3)) \u003d ((\\ pa kreisi (\\ frac (10) (3) \\ labi)) ^ (- 2)); \\\\ & 3x-3 \u003d -2; \\\\ & 3x \u003d 1; \\\\ & x \u003d \\ frac (1) (3). \\\\\\ beigas (izlīdzināt) \\]
Tas ir viss risinājums. Tās galvenā ideja ir saistīta ar faktu, ka pat ar dažādiem pamatiem mēs cenšamies ar āķa vai ķēdes palīdzību samazināt šos pamatus līdz tiem pašiem. Tajā mums palīdz elementāras vienādojumu pārvērtības un noteikumi darbam ar grādiem.
Bet kādus noteikumus un kad lietot? Kā saprast, ka vienā vienādojumā ir nepieciešams ar kaut ko sadalīt abas puses, bet otrā - izdalīt eksponenciālās funkcijas pamatus?
Atbilde uz šo jautājumu nāks ar pieredzi. Sākumā izmēģiniet savu roku, izmantojot vienkāršus vienādojumus, un pēc tam pakāpeniski sarežģiet problēmas - un ļoti drīz jūsu prasmes būs pietiekamas, lai atrisinātu jebkuru eksponenciālo vienādojumu no tā paša eksāmena vai jebkuru neatkarīgu / testa darbu.
Un, lai palīdzētu jums šajā sarežģītajā uzdevumā, es savā vietnē piedāvāju lejupielādēt vienādojumu komplektu neatkarīgam risinājumam. Uz visiem vienādojumiem ir atbildes, tāpēc jūs vienmēr varat pārbaudīt sevi.
Kopumā novēlu veiksmīgu apmācību. Tiekamies nākamajā nodarbībā - tur mēs analizēsim patiešām sarežģītus eksponenciālos vienādojumus, kur iepriekš aprakstītajām metodēm vairs nepietiek. Un arī ar vienkāršu treniņu nepietiks. :)
Mūsu vietnes youtube kanālā varat sekot līdzi visām jaunajām video nodarbībām.
Sākumā atgādināsim grādus un to īpašības.
Numura reizinājums a notiek pats par sevi n reizes, mēs varam šo izteicienu uzrakstīt kā a ... a \u003d a n
1.a 0 \u003d 1 (a ≠ 0)
3.a n a m \u003d a n + m
4. (a n) m \u003d a nm
5.a n b n \u003d (ab) n
7.a n / a m \u003d a n - m
Jaudas vai eksponenciālie vienādojumi - tie ir vienādojumi, kuros mainīgie ir ar jaudu (vai eksponentiem), un bāze ir skaitlis.
Eksponenciālo vienādojumu piemēri:
Šajā piemērā skaitlis 6 ir bāze, tas vienmēr ir apakšā, un mainīgais x grāds vai indikators.
Šeit ir vēl daži eksponenciālo vienādojumu piemēri.
2 x * 5 \u003d 10
16 x - 4 x - 6 \u003d 0
Tagad redzēsim, kā tiek atrisināti eksponenciālie vienādojumi?
Ņemsim vienkāršu vienādojumu:
2 x \u003d 2 3
Šādu piemēru var atrisināt pat prātā. Ir redzams, ka x \u003d 3. Galu galā, lai kreisā un labā puse būtu vienāda, jums ir jāievieto skaitlis 3, nevis x.
Tagad redzēsim, kā šis risinājums jāformalizē:
2 x \u003d 2 3
x \u003d 3
Lai atrisinātu šādu vienādojumu, mēs noņemām identisks pamats (tas ir, divi) un pierakstīja, kas bija palicis, tie ir grādi. Mēs saņēmām vēlamo atbildi.
Tagad apkoposim mūsu lēmumu.
Eksponenciālā vienādojuma risināšanas algoritms:
1. Nepieciešamība pārbaudīt tas pats vai vienādojumam ir pamati labajā un kreisajā pusē. Ja pamatojums nav vienāds, mēs meklējam iespējas, kā atrisināt šo piemēru.
2. Pēc tam, kad pamatnes ir vienādas, pielīdzināt pakāpi un atrisināt iegūto jauno vienādojumu.
Tagad atrisināsim dažus piemērus:
Sāksim vienkārši.
Pamatnes kreisajā un labajā pusē ir vienādas ar skaitli 2, tāpēc mēs varam izmest pamatni un pielīdzināt to grādus.
x + 2 \u003d 4 Šis ir vienkāršākais vienādojums.
x \u003d 4 - 2
x \u003d 2
Atbilde: x \u003d 2
Šajā piemērā jūs varat redzēt, ka bāzes ir atšķirīgas, tās ir 3 un 9.
3 3x - 9x + 8 \u003d 0
Sākumā mēs pārvietojam deviņus uz labo pusi, mēs iegūstam:
Tagad jums ir jāveic tie paši pamati. Mēs zinām, ka 9 \u003d 3 2. Izmantosim grādu formulu (a n) m \u003d a nm.
3 3x \u003d (3 2) x + 8
Mēs iegūstam 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2x + 16
3 3x \u003d 3 2x + 16 tagad jūs varat redzēt, ka pamatnes kreisajā un labajā pusē ir vienādas un vienādas ar trim, tāpēc mēs varam tos izmest un pielīdzināt grādus.
3x \u003d 2x + 16 ieguva vienkāršāko vienādojumu
3x - 2x \u003d 16
x \u003d 16
Atbilde: x \u003d 16.
Skatiet šo piemēru:
2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4
Pirmkārt, mēs skatāmies uz pamatiem, bāzes ir atšķirīgas divas un četras. Un mums jābūt - vienādiem. Mēs pārveidojam četrus pēc formulas (a n) m \u003d a nm.
4 x \u003d (2 2) x \u003d 2 2x
Un mēs izmantojam arī vienu formulu a n a m \u003d a n + m:
2 2x + 4 \u003d 2 2x 2 4
Pievienot vienādojumam:
2 2x 2 4 - 10 2 2x \u003d 24
Mēs šo piemēru esam norādījuši uz tiem pašiem pamatiem. Bet mūs kavē citi skaitļi 10 un 24. Ko ar viņiem darīt? Ja ielūkojaties cieši, redzat, ka kreisajā pusē mēs atkārtojam 2 2x, šeit ir atbilde - 2 2x mēs varam izņemt no iekavām:
2 2x (2 4 - 10) \u003d 24
Aprēķināsim izteiksmi iekavās:
2 4 — 10 = 16 — 10 = 6
Visu vienādojumu daliet ar 6:
Iedomāsimies 4 \u003d 2 2:
2 2x \u003d 2 2 bāzes ir vienādas, izmetiet tās un pielīdziniet spēkus.
2x \u003d 2 izrādās vienkāršākais vienādojums. Mēs to sadalām ar 2, ko iegūstam
x \u003d 1
Atbilde: x \u003d 1.
Atrisināsim vienādojumu:
9 x 12 * 3 x + 27 \u003d 0
Pārveidosim:
9 x \u003d (3 2) x \u003d 3 2x
Mēs iegūstam vienādojumu:
3 2x - 12 3x +27 \u003d 0
Mūsu bāzes ir vienādas ar 3. Šajā piemērā jūs varat redzēt, ka pirmajiem trim ir pakāpe divreiz (2x) nekā otrajai (tikai x). Šajā gadījumā jūs varat atrisināt aizvietošanas metode... Mēs aizstājam numuru ar mazāko pakāpi:
Tad 3 2x \u003d (3x) 2 \u003d t 2
Aizstāt visas jaudas ar x vienādojumā ar t:
t 2 - 12t + 27 \u003d 0
Mēs iegūstam kvadrātvienādojumu. Mēs risinām ar diskriminētāja palīdzību, un mēs iegūstam:
D \u003d 144-108 \u003d 36
t 1 \u003d 9
t 2 \u003d 3
Atpakaļ pie mainīgā x.
Mēs ņemam t 1:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x
Tas ir,
3 x \u003d 9
3 x \u003d 3 2
x 1 \u003d 2
Atrada vienu sakni. Mēs meklējam otro, sākot no t 2:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x \u003d 3 1
x 2 \u003d 1
Atbilde: x 1 \u003d 2; x 2 \u003d 1.
Vietnē jūs varat uzdot interesējošus jautājumus sadaļā PALĪDZĪBA RISINĀT, mēs noteikti jums atbildēsim.
Pievienojieties grupai
Atpakaļ uz priekšu
Uzmanību! Slaida priekšskatījums tiek izmantots tikai informatīvos nolūkos, un tas var neatspoguļot visas prezentācijas iespējas. Ja jūs interesē šis darbs, lūdzu, lejupielādējiet pilno versiju.
Nodarbības tips
: vispārināšanas un zināšanu, prasmju un iemaņu sarežģītas pielietošanas stunda par tēmu "Eksponenciālie vienādojumi un to risināšanas veidi".Nodarbības mērķi.
Aprīkojums:
datoru un multimediju projektors.Stunda izmanto informāciju tehnoloģijas : metodiskais atbalsts nodarbībai - prezentācija Microsoft Power Point programmā.
Nodarbību laikā
Katru prasmi piešķir darbs
I. Nodarbības mērķu noteikšana(Slaida numurs 2 )
Šajā nodarbībā mēs apkoposim un vispārināsim tēmu “Eksponenciālie vienādojumi, to risinājumi”. Iepazīsimies ar tipiskiem USE uzdevumiem no dažādiem gadiem par šo tēmu.
Eksponenciālo vienādojumu risināšanas uzdevumus var atrast jebkurā eksāmena uzdevumu daļā. Daļā “ IN " parasti viņi piedāvā atrisināt vienkāršākos eksponenciālos vienādojumus. Daļā “ NO " jūs varat atrast sarežģītākus eksponenciālos vienādojumus, kuru risinājums parasti ir viens no uzdevuma posmiem.
Piemēram ( Slaida numurs 3 ).
- Vienotais valsts eksāmens - 2007. gads
Q 4 - atrodiet lielāko izteiksmes vērtību x ykur ( x; plkst) - sistēmas risinājums:
B 1 - atrisināt vienādojumus:
un) x 6 3x – 36 6 3x = 0;
b) 4 x +1 + 8 4 x= 3.
Q 4 - Atrodiet izteiksmes nozīmi x + ykur ( x; plkst) - sistēmas risinājums:
- Vienotais valsts eksāmens - 2010. gads
II. Pamatzināšanu atjaunošana. Atkārtojums
(Slaida numurs 4 - 6 prezentācijas nodarbībai)Ekrānā tiek parādīts teorētiskā materiāla pamata kopsavilkums par šo tēmu.
Tiek apspriesti šādi jautājumi:
- Kādi vienādojumi tiek saukti indikatīvs?
- Nosauciet galvenos to risināšanas veidus. Sniedziet to veidu piemērus ( Slaida numurs 4 )
- Kura teorēma tiek izmantota, lai atrisinātu vienkāršākos formas eksponenciālos vienādojumus: un f (x) \u003d a g (x)?
- Kādas citas eksponenciālo vienādojumu risināšanas metodes pastāv? ( Slaida numurs 5 )
(Atrisiniet katras metodes piedāvātos vienādojumus neatkarīgi un veiciet pašpārbaudi, izmantojot slaidu)
- Faktoringa metode (pamatojoties uz grādiem ar tās pašas bāzes, uzņemšana: grādu ar mazāko eksponentu izņem no iekavās).
- Dalīšanas (reizināšanas) saņemšana ar eksponenciālu izteiksmi, kas nav nulle, risinot viendabīgus eksponenciālos vienādojumus .
- Padoms:
-
Vienādojumu risināšana ar pēdējām divām metodēm, kam seko komentāri
(Slaida numurs 6 ).
. 4 x+ 1 – 2 4 x– 2 = 124, 4 x– 2 (4 3 - 2) = 124, 4 x– 2 62 = 124,4 x– 2 = 2, 4 x– 2 = 4 0,5 , x– 2 = 0,5, x \u003d 2,5 .
2 2 2x - 3 2 x 5 x - 5 5 2x \u003d 0¦: 5 2 x0,2 (2/5) 2x - 3 (2/5) x - 5 = 0,
t \u003d (2/5) x, t > 0, 2t 2 - 3 t - 5 = 0, t= -1(?...), t \u003d 5/2; 5/2 \u003d (2/5) x, x= ?...
III. 2010. gada eksāmena uzdevumu risināšana
Studenti patstāvīgi risina stundas sākumā piedāvātos uzdevumus par 3. slaidu, izmantojot risinājuma instrukcijas, pārbauda viņu risinājumu kursu un atbildes uz tiem, izmantojot prezentāciju ( Slaida numurs 7 ). Darba gaitā tiek apspriestas iespējas un risināšanas veidi, uzmanība tiek vērsta uz iespējamām kļūdām risinājumā.
: a) 7 x- 2 \u003d 49, b) (1/6) 12 - 7 x = 36. Atbilde: un) x\u003d 4, b) x = 2. : 4 x2 + 3x – 2 - 0,5 2x2 + 2x - 1 \u003d 0. (Jūs varat aizstāt 0,5 \u003d 4 - 0,5)Lēmums. ,
x 2 + 3x – 2 = -x 2 - 4x + 0,5 …
Atbilde: x= -5/2, x = 1/2.
: 5 5 tg y + 4 \u003d 5 -tg y , ar cos y< 0.Norāde uz šķīdumu
... 5 5 tg y + 4 \u003d 5 -tg y ¦ 5 tg y 0,5 5 2g y + 4 5 tg y - 1 \u003d 0. Ļaujiet x\u003d 5 tg y , …
5 tg y = -1 (?...), 5 tg y \u003d1/5.
Kopš tg y\u003d -1 un cos y< 0, tad plkst II koordinātu ceturksnis
Atbilde: plkst= 3/4 + 2k, k N.
IV. Sadarbojieties pie tāfeles
Tiek apsvērts augsta līmeņa apmācības uzdevums - Slaida numurs 8 ... Ar šī slaida palīdzību notiek dialogs starp skolotāju un studentiem, kas veicina risinājuma attīstību.
- Pēc kāda parametra un vienādojums 2 2 x – 3 2 x + un 2 – 4un \u003d 0 ir divas saknes?Ļaujiet būt t= 2 x kur t > 0 ... Mēs iegūstam t 2 – 3t + (un 2 – 4un) = 0 .
1). Tā kā vienādojumam ir divas saknes, D\u003e 0;
2). Kā t 1,2\u003e 0, tad t 1 t 2\u003e 0, tas ir un 2 – 4un> 0 (?...).
Atbilde: un(- 0,5; 0) vai (4; 4,5).
V. Pārbaudes darbs
(Slaida numurs 9 )Studenti uzstājas verifikācijas darbs uz papīra, veicot paškontroli un veiktā darba pašnovērtējumu ar prezentācijas palīdzību, apstiprinot tēmu. Viņi patstāvīgi nosaka zināšanu regulēšanas un labošanas programmu, pamatojoties uz kļūdām darba burtnīcās. Lapas ar pabeigtu patstāvīgo darbu tiek nodotas skolotājam pārbaudei.
Pasvītrotie skaitļi - pamatlīmenis ar zvaigznīti - palielina grūtības.
Risinājums un atbildes.
3. 2 x– 1 (5 2 4 - 4) = 19, 2 x– 1 76 = 19, 2 x– 1 = 1/4, 2 x– 1 = 2 – 2 , x– 1 = -2,
x \u003d -1.
4 * .3 9 x \u003d 2 3 x 5 x+ 5 25 x | : 25 x ,
3 (9/25) x \u003d 2 (3/5) x+ 5,
3 (9/27) x = 2 (3/5) x + 5 = 0,
3 (3/5) 2x – 2 (3/5) x - 5 = 0,…, (3/5) x = -1 (neder),
(3/5) x = 5, x \u003d -1.
Vi. Mājasdarbs
(Slaida numurs 10 )- Atkārtojiet 11., 12. punktu.
- No Vienotā valsts eksāmena 2008 - 2010 materiāliem atlasiet uzdevumus par tēmu un atrisiniet tos.
- Mājas pārbaudes darbs :
Nebaidieties no maniem vārdiem, jūs jau saskārāties ar šo metodi 7. klasē, kad studējāt polinoma.
Piemēram, ja jums nepieciešams:
Grupēsim: pirmo un trešo terminu, kā arī otro un ceturto.
Ir skaidrs, ka pirmais un trešais ir kvadrātu atšķirības:
un otrajam un ceturtajam ir kopīgs koeficients trīs:
Tad sākotnējais izteiciens ir līdzvērtīgs šim:
Kur izņemt kopējo faktoru, vairs nav grūti:
Tātad,
Aptuveni tā mēs rīkosimies, risinot eksponenciālos vienādojumus: meklējiet terminu “kopīgumu” un ievietojiet to ārpus iekavām, labi, tad - nāc, kas var, es ticu, ka mums paveiksies \u003d))
14. piemērs
Labajā pusē ir tālu no septiņu grādu atzīmes (es to pārbaudīju!), Bet kreisajā pusē - nav daudz labāk ...
Protams, jūs varat "atkapāt" reizinātāju a no otrā no pirmā termiņa un pēc tam rīkoties ar saņemto, bet darīsim to saprātīgāk ar jums.
Es nevēlos nodarboties ar frakcijām, kuras neizbēgami rodas no “atlases”, tāpēc vai nebūtu labāk, ja es izturētu?
Tad man nebūs frakciju: kā saka, abi vilki ir paēduši, un aitas ir drošas:
Saskaitiet izteiksmi iekavās.
Maģiskā, maģiskā veidā tas izrādās (pārsteidzoši, lai gan ko gan citu mēs varam sagaidīt?).
Tad ar šo koeficientu mēs atcelsim abas vienādojuma puses. Mēs iegūstam: kur.
Šeit ir sarežģītāks piemērs (diezgan nedaudz, tiešām):
Kādas nepatikšanas! Mums šeit nav viena kopīga pamata!
Nav pilnībā skaidrs, ko darīt tagad.
Darīsim, ko varam: vispirms pārvietojamies četrrāpus uz vienu pusi, bet "piecus" uz otru:
Tagad pārcelsim "parasto" pa kreisi un pa labi:
Nu ko tagad?
Kāds ir ieguvums no tik stulbas grupas? No pirmā acu uzmetiena tas nemaz nav redzams, bet palūkosimies dziļāk:
Nu, izdarīsim tā, lai kreisajā pusē mums būtu tikai izteiksme ar, bet labajā pusē - viss pārējais.
Kā mēs to darām?
Lūk, kā: Vispirms sadaliet abas vienādojuma puses (šādā veidā mēs atbrīvojamies no pakāpes labajā pusē), pēc tam abas puses sadalām ar (šādā veidā mēs atbrīvojamies no skaitliskā koeficienta kreisajā pusē).
Mēs beidzot iegūstam:
Neticami!
Kreisajā pusē mums ir izteiciens, bet labajā pusē - vienkāršs.
Tad mēs tūlīt to secinām
Piemērs Nr. 15
Es došu viņa īso risinājumu (pārāk neuztraucos ar skaidrojumiem), mēģināšu pats izdomāt visas risinājuma "smalkumus".
Tagad nodotā \u200b\u200bmateriāla galīgā konsolidācija.
Septiņu 7 problēmu patstāvīga risināšana (ar atbildēm)
- Izņemsim kopējo iekavu no iekavām:
- Mēs pārstāvam pirmo izteiksmi formā:, sadaliet abas daļas un iegūstiet to
- , tad sākotnējais vienādojums tiek pārveidots šādā formā: Nu, tagad ir mājiens - paskatieties, kur jūs un es jau esam atrisinājuši šo vienādojumu!
- Iedomājieties, kā, kā, un, tad sadaliet abas daļas ar, lai iegūtu vienkāršāko eksponenciālo vienādojumu.
- Izņemiet stiprinājumus.
- Izņemiet stiprinājumus.
PĒTĪJUMA IZVĒLES. VIDUS LĪMENIS
Es pieņemu, ka pēc pirmā raksta izlasīšanas, kurā stāstīts kas ir eksponenciālie vienādojumi un kā tos atrisināt, jūs esat apguvis nepieciešamo zināšanu minimumu, kas nepieciešams vienkāršāko piemēru risināšanai.
Tagad es analizēšu citu metodi eksponenciālo vienādojumu risināšanai, šo ...
Metode jauna mainīgā ieviešanai (vai aizstāšanai)
Viņš atrisina lielāko daļu "sarežģīto" problēmu par eksponenciālo vienādojumu (un ne tikai vienādojumu) tēmu.
Šī metode ir viena no visbiežāk tiek izmantots praksē. Pirmkārt, iesaku iepazīties ar tēmu.
Kā jūs jau sapratāt no nosaukuma, šīs metodes būtība ir ieviest tādas mainīgā lieluma izmaiņas, ka jūsu eksponenciālais vienādojums brīnumainā kārtā pārvēršas tādā, kuru jūs jau varat viegli atrisināt.
Pēc šī ļoti vienkāršotā vienādojuma atrisināšanas jums atliek tikai veikt “apgrieztu nomaiņu”: tas ir, atgriezties no aizstātā uz aizstāto.
Ilustrēsim to, ko mēs tikko teicām, ar ļoti vienkāršu piemēru:
16. piemērs. Vienkārša nomaiņas metode
Šis vienādojums tiek atrisināts, izmantojot "Vienkārša nomaiņa", kā matemātiķi to nicinoši sauc.
Patiešām, aizstāšana šeit ir visredzamākā. Tas ir tikai jāredz
Tad sākotnējais vienādojums pārvērtīsies par šādu:
Ja jūs papildus iedomājaties, kā, tad ir pilnīgi skaidrs, kas jāaizstāj ...
Protams, .
Kāds tad pārvērtīsies sākotnējais vienādojums? Un šeit ir kas:
Tās saknes varat viegli atrast pats:.
Kas mums tagad jādara?
Ir pienācis laiks atgriezties pie sākotnējā mainīgā.
Ko es aizmirsu norādīt?
Proti: aizvietojot noteiktu grādu ar jaunu mainīgo (tas ir, mainot skatu), es ieinteresēšu tikai pozitīvas saknes!
Jūs pats varat viegli atbildēt, kāpēc.
Tādējādi jūs un mani neinteresē, bet otrā sakne mums ir diezgan piemērota:
Tad kur.
Atbilde:
Kā redzat, iepriekšējā piemērā aizvietotājs prasīja mūsu rokas. Diemžēl ne vienmēr tas tā ir.
Tomēr nevērsīsimies tieši pie skumjām, bet praktizēsimies ar vēl vienu piemēru ar diezgan vienkāršu nomaiņu
17. piemērs. Vienkārša nomaiņas metode
Ir skaidrs, ka, visticamāk, tas būs jāaizstāj (tas ir mazākais no grādiem, kas iekļauti mūsu vienādojumā).
Tomēr pirms aizstāšanas ieviešanas mūsu vienādojums tam ir "jāsagatavo", proti:,.
Tad jūs varat aizstāt, kā rezultātā es saņemu šādu izteiksmi:
Ak, šausmas: kubiskais vienādojums ar pilnīgi rāpojošām tā risinājuma formulām (labi, runājot vispārīgi).
Bet tūlīt necerēsim, bet domāsim, kā rīkoties.
Es ierosināšu krāpties: mēs zinām, ka, lai iegūtu “jauku” atbildi, mums tā ir jāsaņem trīskārša spēka formā (kāpēc tas tā būtu, vai ne?).
Mēģināsim uzminēt vismaz vienu mūsu vienādojuma sakni (sākšu uzminēt ar trīs lielumiem).
Pirmais pieņēmums. Tā nav sakne. Diemžēl un ah ...
.
Kreisā puse ir vienāda.
Labā daļa:!
Tur ir! Jūs uzminējāt pirmo sakni. Tagad viss kļūs vieglāk!
Vai jūs zināt par “stūra” dalīšanas shēmu? Protams, jūs zināt, ka izmantojat to, sadalot vienu numuru ar otru.
Bet tikai daži cilvēki zina, ka to pašu var izdarīt ar polinomiem.
Ir viena lieliska teorēma:
Piemērots manai situācijai, tas man saka, ar ko var dalīt.
Kā tiek veikta dalīšana? Tā:
Es skatos, kuru monomiju man vajadzētu reizināt, lai iegūtu
Ir skaidrs, ka tad:
Atņem iegūto izteiksmi no, iegūst:
Kas man jāreizina, lai iegūtu?
Ir skaidrs, ka pēc tam es saņemu:
un atkal atņem iegūto izteiksmi no atlikušās:
Pēdējo soli es reizināšu ar un atņemšu no atlikušās izteiksmes:
Urā, šķelšanās ir beigusies! Ko mēs ietaupījām privāti?
Viens pats: .
Tad mēs saņēmām šādu sākotnējā polinoma sadalīšanos:
Atrisināsim otro vienādojumu:
Tam ir saknes:
Tad sākotnējais vienādojums:
ir trīs saknes:
Mēs, protams, izmetīsim pēdējo sakni, jo tā ir mazāka par nulli.
Pirmie divi pēc apgrieztas nomaiņas mums dos divas saknes:
Atbilde: ..
Ar šo piemēru es negribēju tevi nobiedēt!
Tieši pretēji, mans mērķis bija parādīt, ka, kaut arī mums bija diezgan vienkārša aizstāšana, tas tomēr noveda pie diezgan sarežģīta vienādojuma, kura risinājums prasīja no mums dažas īpašas prasmes.
No tā neviens nav imūns. Bet aizstāšana šajā gadījumā bija diezgan acīmredzama.
18. piemērs (ar mazāk acīmredzamu aizstāšanu)
Nemaz nav skaidrs, kas mums būtu jādara: problēma ir tā, ka mūsu vienādojumā ir divas dažādas bāzes un vienu bāzi nevar iegūt no otras, paaugstinot to uz kādu (saprātīgu, dabiski) pakāpi.
Tomēr ko mēs redzam?
Abas bāzes atšķiras tikai ar zīmēm, un to reizinājums ir kvadrātu starpība, kas vienāda ar vienu:
Definīcija:
Tādējādi skaitļi, kas ir pamati mūsu piemērā, ir konjugēti.
Šajā gadījumā būtu gudrs gājiens reiziniet abas vienādojuma puses ar konjugāta numuru.
Piemēram, ieslēgts, tad vienādojuma kreisā puse kļūst vienāda, bet labā -.
Ja mēs veicam aizstāšanu, tad mūsu sākotnējais vienādojums ar jums kļūst šāds:
tā saknes, un, atceroties to, mēs to iegūstam.
Atbilde:,.
Parasti aizvietošanas metode ir pietiekama, lai atrisinātu lielāko daļu "skolas" eksponenciālo vienādojumu.
Tālāk norādīti paaugstināta sarežģītības līmeņa uzdevumi, kas ņemti no USE versijām.
Trīs paaugstinātas sarežģītības uzdevumi, ņemot vērā eksāmena iespējas
Jūs jau esat pietiekami kompetents, lai patstāvīgi atrisinātu šos piemērus. Es sniegšu tikai nepieciešamo nomaiņu.
- Atrisiniet vienādojumu:
- Atrodiet vienādojuma saknes:
- Atrisiniet vienādojumu:. Atrodiet visas šī vienādojuma saknes, kas pieder segmentam:
Tagad īsi paskaidrojumi un atbildes:
19. piemērs
Šeit pietiek ar to, ka atzīmējam to un.
Tad sākotnējais vienādojums būs līdzvērtīgs šim:
Šis vienādojums tiek atrisināts, aizstājot
Turpmākos aprēķinus veiciet pats.
Galu galā jūsu uzdevums tiks samazināts līdz vienkāršākā trigonometriskā risinājuma atrisināšanai (atkarībā no sinusa vai kosinusa). Mēs analizēsim šādu piemēru risinājumu citās sadaļās.
20. piemērs
Šeit jūs pat varat iztikt bez nomaiņas ...
Pietiek, ja atņemto atvelk pa labi un abas bāzes attēlo ar divu lielumu palīdzību:, un tad dodieties tieši uz kvadrātvienādojumu.
Piemērs Nr. 21
Tas tiek atrisināts arī diezgan standarta veidā: iedomājieties, kā.
Tad aizstājot, mēs iegūstam kvadrātvienādojumu:
Vai jūs jau zināt, kas ir logaritms? Vai ne? Tad steidzami izlasiet tēmu!
Pirmā sakne acīmredzami nepieder pie segmenta, un otrā ir nesaprotama!
Bet mēs to uzzināsim pavisam drīz!
Kopš tā laika (tas ir logaritma īpašums!)
Atņem no abām daļām, tad iegūstam:
Kreiso pusi var attēlot šādi:
mēs reizinām abas daļas ar:
tad var reizināt ar
Tad salīdzināsim:
kopš tā laika:
Tad otrā sakne pieder pie nepieciešamā intervāla
Atbilde:
Kā tu redzi, eksponenciālo vienādojumu sakņu izvēlei nepieciešamas pietiekami dziļas zināšanas par logaritmu īpašībāmtāpēc iesaku būt pēc iespējas uzmanīgākam, risinot eksponenciālos vienādojumus.
Kā jūs varat iedomāties, matemātikā viss ir savstarpēji saistīts!
Kā mans matemātikas skolotājs mēdza teikt: "matemātika, tāpat kā vēsture, jūs nevarat lasīt pa nakti."
Kā likums, visi grūtības atrisināt paaugstināta sarežģītības līmeņa problēmas ir tieši vienādojuma sakņu izvēle.
Vēl viens apmācības piemērs ...
22. piemērs
Ir skaidrs, ka pats vienādojums ir diezgan vienkārši atrisināms.
Veicot aizstāšanu, mēs saīsināsim sākotnējo vienādojumu līdz šādam:
Vispirms apsvērsim pirmā sakne.
Salīdziniet un: kopš tā laika. (logaritmiskās funkcijas īpašība, at).
Tad ir skaidrs, ka arī pirmā sakne nepieder pie mūsu intervāla.
Tagad otrā sakne:. Ir skaidrs, ka (jo funkcija pie palielinās).
Atliek salīdzināt un.
kopš tā laika tajā pašā laikā.
Tādā veidā es varu "vadīt piesaisti" starp un.
Šis piesaistes skaitlis.
Pirmais izteiciens ir mazāks, bet otrais - lielāks.
Tad otrā izteiksme ir lielāka nekā pirmā, un sakne pieder intervālam.
Atbilde:.
Noslēgumā apskatīsim citu vienādojuma piemēru, kurā aizstāšana ir diezgan nestandarta.
23. piemērs (vienādojums ar nestandarta aizstāšanu!)
Sāksim uzreiz ar to, ko jūs varat darīt, un to, ko jūs varat darīt, bet labāk to nedarīt.
Jūs varat iedomāties visu, izmantojot trīs, divu un sešu spēkus.
Kur tas ved?
Un tas neko nenovedīs: grādu kņadu, un no dažiem no tiem būs diezgan grūti atbrīvoties.
Un kas tad vajadzīgs?
Atzīmēsim, ka a
Un ko tas mums dos?
Un tas, ka mēs varam reducēt šī piemēra risinājumu uz diezgan vienkārša eksponenciālā vienādojuma risinājumu!
Vispirms pārrakstīsim vienādojumu šādi:
Tagad mēs dalām iegūtā vienādojuma abas puses ar:
Eureka! Tagad mēs varam aizstāt, mēs iegūstam:
Nu, tagad ir jūsu kārta risināt demonstrācijas problēmas, un es viņiem sniegšu tikai īsus komentārus, lai jūs nekļūdītos! Veiksmi!
24. piemērs
Visgrūtāk!
Šeit nav viegli atrast aizstājēju! Bet, neskatoties uz to, šis piemērs ir pilnībā atrisināms, izmantojot pilna laukuma izvēle.
Lai to atrisinātu, pietiek atzīmēt, ka:
Tad šeit ir jūsu aizvietotājs:
(Lūdzu, ņemiet vērā, ka šeit mūsu nomaiņas laikā mēs nevaram nomest negatīvo sakni !!! Un kāpēc jūs domājat?)
Tagad, lai atrisinātu piemēru, jums jāatrisina divi vienādojumi:
Abas no tām ir atrisinātas ar "standarta nomaiņu" (bet otrā ir viena piemēra gadījumā!)
Piemērs Nr. 25
2. Ņemiet to vērā un nomainiet to.
Piemērs Nr. 26
3. Sadaliet skaitli autortiesību faktoros un vienkāršojiet iegūto izteiksmi.
Piemērs Nr. 27
4. Dalījuma skaitītāju un saucēju daliet ar (vai, ja vēlaties) un nomainiet vai.
Piemērs Nr. 28
5. Ņemiet vērā, ka skaitļi un ir konjugēti.
IZTEIKŠANAS LĪDZEKĻU RISINĀJUMS AR LOGARITHM METODI. PAPILDINĀTS LĪMENIS
Turklāt apsvērsim citu iespēju - eksponenciālo vienādojumu risinājums ar logaritma metodi.
Es nevaru teikt, ka eksponenciālo vienādojumu risinājums ar šo metodi ir ļoti populārs, bet tikai dažos gadījumos tas var mūs novest pie pareizā mūsu vienādojuma risinājuma.
Īpaši bieži to izmanto, lai atrisinātu tā saukto " jaukti vienādojumi»: Tas ir, tie, kur tiekas dažādu veidu funkcijas.
Piemērs Nr. 29
vispārīgā gadījumā to var atrisināt, tikai ņemot abu pušu logaritmu (piemēram, ar pamatni), kurā sākotnējais vienādojums pārvēršas sekojošā:
Apsvērsim šādu piemēru:
Ir skaidrs, ka saskaņā ar logaritmiskās funkcijas ODZ mūs interesē tikai.
Tomēr tas izriet ne tikai no logaritma ODZ, bet arī cita iemesla dēļ.
Es domāju, ka jums nebūs grūti uzminēt, kurš no tiem.
Reģistrēsim pamatnei abas mūsu vienādojuma puses:
Kā redzat, mūsu sākotnējā vienādojuma logaritma ņemšana pietiekami ātri noveda mūs pie pareizās (un skaistās!) Atbildes.
Praktizēsimies ar vēl vienu piemēru.
Piemērs Nr. 30
Arī šeit nav par ko uztraukties: mēs logaritmējam abas vienādojuma puses pa bāzi, tad iegūstam:
Izgatavosim nomaiņu:
Tomēr mums kaut kā pietrūkst! Vai esat pamanījis, kur es nogāju greizi? Galu galā tad:
kas neatbilst prasībai (domājiet, no kurienes tas nāca!)
Atbilde:
Mēģiniet pats pierakstīt eksponenciālo vienādojumu risinājumu:
Tagad pārbaudiet savu lēmumu, ņemot vērā šo:
31. piemērs
Logaritms abās pusēs pret pamatni, ņemot vērā, ka:
(otrā sakne mums nav piemērota nomaiņas dēļ)
Piemērs Nr. 32
Logaritma bāze:
Iegūto izteiksmi pārveidojam šādā formā:
PĒTĪJUMA IZVĒLES. Īss apraksts un pamatformulas
Eksponenciālais vienādojums
Veidlapas vienādojums:
sauca vienkāršākais eksponenciālais vienādojums.
Jaudas īpašības
Risinājumu pieeja
- Piespiešana uz to pašu bāzi
- Pārveidošana uz to pašu eksponentu
- Mainīga nomaiņa
- Viena no iepriekšminēto izteiciena vienkāršošana un piemērošana.
