Īsumā pilnīgs un nepilnīgs dominance. Alēle
Skaitļu sistēma ir metožu kopums skaitļu atzīmēšanai (reģistrēšanai). Vai vispār šis īpaša valoda, kura alfabēts ir simboli, ko sauc par cipariem, un sintakse ir noteikumi, kas ļauj unikāli veidot skaitļu ierakstu. Skaitļa ierakstīšanu noteiktā skaitļu sistēmā sauc par ciparu kodu. Īsumā numuru raksta šādi!
Atsevišķu pozīciju skaitļa attēlā parasti sauc par ciparu, un pozīcijas numuru sauc par cipara skaitli. Ciparu skaitu skaitļā sauc par bitu dziļumu, un tas sakrīt ar tā garumu. Tehniskā ziņā skaitļa garums tiek interpretēts kā bitu režģa garums. Ja alfabētam ir dažādas nozīmes, tad cipars ciparā tiek uzskatīts par -ārciparu, kuram var piešķirt katru no nozīmēm.
Katrs dotā skaitļa A cipars unikāli atbilst tā kvantitatīvajam (skaitliskajam) ekvivalentam - Skaitļa A kvantitatīvais ekvivalents, kas dots noteiktā skaitļu sistēmā, ir noteikta visu tā ciparu skaitlisko ekvivalentu funkcija,
Ir skaidrs, ka jebkuram galīgu ciparu režģim skaitļa A kvantitatīvais ekvivalents atkarībā no atsevišķu ciparu kvantitatīvajiem ekvivalentiem pieņems vērtības no līdz
Skaitļu attēlojuma diapazons noteiktā skaitļu sistēmā ir skaitliskās ass intervāls, kas atrodas starp maksimālo un minimālo skaitļu skaitu, ko attēlo noteikts bitu dziļums (bitu režģa garums):
Ir neskaitāmi veidi, kā rakstīt ciparus, izmantojot ciparu simbolus. Tomēr jebkura skaitļu sistēma, kas paredzēta praktiska izmantošana, ir jānodrošina:
1) spēja attēlot jebkuru skaitli noteiktā skaitļu diapazonā;
2) izklāsta nepārprotamība;
3) skaitļu rakstīšanas īsums un vienkāršība;
4) sistēmas apgūšanas vienkāršība, kā arī tās darbības vienkāršība un ērtība.
Atkarībā no pielietojuma mērķa tiek izmantotas dažādas sistēmas. Piemēram, cilvēks izmanto decimālo skaitļu sistēmu, lai skaitītu un veiktu darbības ar skaitļiem, lai aprēķinātu laiku - laika skaitļu sistēmu, numerācijai - romiešu skaitļu sistēmu, datortehnikā parasti izmanto bināro skaitļu sistēmu utt. skaitļu rakstīšanas metodi un To kvantitatīvā ekvivalenta skaitļu sistēmas aprēķināšanas metodi var klasificēt šādi (2.1. att.).
Būtībā numuru sistēmas tiek veidotas pēc šāda principa:
kur ir skaitļa ieraksts sistēmā ar bāzi - skaitļu sistēmas bāze vai ciparu secība ar -ar alfabētu; - skaitļu sistēmas bāze (sistēmas atsevišķu ciparu svaru kopa).
Skaitļu sistēmas bāze var būt pozitīva, un tad tā izmanto ciparu kopu kā ciparu vērtības
To var arī sajaukt un pēc tam kopā ar pozitīvajiem skaitļiem satur arī negatīvos. Piemēram, simetriskai bāzei ar nulli pozitīvo ciparu vērtību skaits ir vienāds ar negatīvo vērtību skaitu. Alfabēta ciparu vērtības šajā gadījumā ar (t.i., ar nepāra bāzi) veido šādas sērijas:
Ciparu sistēmas bāze ir dažādu simbolu (ciparu) skaits, ko izmanto katrā no skaitļa cipariem, lai attēlotu to noteiktā skaitļu sistēmā.
Skaitļu sistēmas ar jauktu bāzi var būt arī ar pāra bāzi, bet tad var izmantot vai nu simetriskus alfabētus bez nulles (piemēram, ar iespējamu alfabētu vai alfabētus, kuros negatīvo ciparu vērtību skaits nav vienāds ar pozitīvo skaits (piemēram, ar iespējamo alfabētu -1, 0 , 1,2).
Skaitļu sistēmas pamatā ir atsevišķu skaitļu sistēmas ciparu svaru kopa. Piemēram, decimālzīme
ir secība: skaitļa cipara svars jebkurā skaitļu sistēmā ir attiecība Tāpēc cipara ar lielāku skaitli sauc par nozīmīgāku nekā cipara ar mazāku ciparu.
Nepozicionālas ir tās skaitļu sistēmas, kuru alfabēts satur neierobežotu skaitu rakstzīmju (ciparu), un jebkura cipara kvantitatīvais ekvivalents ir nemainīgs un ir atkarīgs tikai no tā kontūras, bet ne no tā atrašanās vietas ciparā. Šādas sistēmas ir veidotas pēc summitātes principa, t.i., skaitļa kvantitatīvais ekvivalents tiek definēts kā blakus esošo ciparu summa!
kur ir simboli, kas veido sistēmas pamatu
Slavenākie nepozicionālo skaitļu sistēmu pārstāvji ir hieroglifi un alfabētiski. Hieroglifi ir skaitļu sistēmas, kurās katrs skaitlis ir attēlots ar savu simbolu, ikonu vai hieroglifu. Slavenākā no tām ir romiešu skaitļu sistēma.
Rakstīta skaitļa vērtība romiešu sistēmā tiek definēta kā rindā ierakstītu ciparu summa, un, ja pa kreisi no cipara ir mazāks, tad pēdējā vērtība tiek ņemta ar mīnusa zīmi, jo piemērs, t.i., ir novirze no noteikuma, ka cipara vērtība nav atkarīga no tā pozīcijas skaitļā. Pašlaik romiešu sistēma tiek izmantota galvenokārt numerācijas nolūkos. Ciparu rakstīšana alfabētiskajās sistēmās notiek pēc tāda paša principa.
Galvenie nepozicionālo skaitļu sistēmu trūkumi ir:
1) nulles neesamība;
2) nepieciešamība saturēt bezgalīgu skaitu rakstzīmju;
3) aritmētisko darbību sarežģītība ar skaitļiem.
Skaitļu sistēmas – kas tās ir? Pat nezinot atbildi uz šo jautājumu, katrs no mums savā dzīvē neizbēgami lieto skaitļu sistēmas un to neapzinās. Tieši tā, iekšā daudzskaitlis! Tas ir, nevis viens, bet vairāki. Pirms sniegt piemērus nepozicionālām skaitļu sistēmām, sapratīsim šo problēmu un runāsim arī par pozicionālajām sistēmām.
Nepieciešams konts
Kopš seniem laikiem cilvēkiem ir bijusi vajadzība skaitīt, tas ir, viņi intuitīvi saprata, ka viņiem ir kaut kā jāpauž kvantitatīvs redzējums par lietām un notikumiem. Smadzenes man teica, ka skaitīšanai ir jāizmanto objekti. Ērtākie vienmēr ir bijuši pirksti, un tas ir saprotams, jo tie vienmēr ir pieejami (ar retiem izņēmumiem).
Tātad senajiem cilvēku rases pārstāvjiem bija jāsaliek pirksti tiešā nozīmē – jānorāda, piemēram, nogalināto mamutu skaits. Šādiem konta elementiem vēl nebija nosaukumu, bet tikai vizuāls attēls, salīdzinājums.
Mūsdienu pozīciju skaitļu sistēmas
Skaitļu sistēma ir metode (veids), kā attēlot kvantitatīvās vērtības un daudzumus, izmantojot noteiktas zīmes (simbolus vai burtus).
Pirms sniegt nepozicionālo skaitļu sistēmu piemērus, ir jāsaprot, kas ir pozicionalitāte un nepozicionalitāte skaitīšanā. Ir daudz pozicionālo skaitļu sistēmu. Tagad dažādās zināšanu jomās tiek izmantotas šādas: binārais (ietver tikai divus nozīmīgus elementus: 0 un 1), sešdecimāls (rakstzīmju skaits - 6), oktāls (8 rakstzīmes), divpadsmitnieks (divpadsmit rakstzīmes), heksadecimāls (ietver sešpadsmit rakstzīmes). ). Turklāt katra rakstzīmju rinda sistēmās sākas no nulles. ir balstīti uz bināro kodu izmantošanu - bināro pozicionālo skaitļu sistēmu.
Decimālskaitļu sistēma
Pozicionalitāte ir dažādas pakāpes nozīmīgu pozīciju klātbūtne, kurā atrodas skaitļa zīmes. To vislabāk var parādīt, izmantojot decimālo skaitļu sistēmu kā piemēru. Galu galā tas ir tas, ko mēs esam pieraduši lietot kopš bērnības. Šajā sistēmā ir desmit zīmes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ņemsim skaitli 327. Tam ir trīs zīmes: 3, 2, 7. Katra no tām atrodas savā pozīcijā (vietā). Septiņi ieņem vietu, kas rezervēta atsevišķām vērtībām (vienībām), divi - desmiti un trīs - simti. Tā kā skaitlis ir trīsciparu, tāpēc tajā ir tikai trīs pozīcijas.
Pamatojoties uz iepriekš minēto, šādu trīsciparu decimālo skaitli var raksturot šādi: trīs simti, divi desmiti un septiņas vienības. Turklāt pozīciju nozīmīgums (svarīgums) tiek skaitīts no kreisās puses uz labo, no vājas pozīcijas (viens) uz spēcīgāku (simtiem).
Mēs jūtamies ļoti ērti decimālo pozīciju skaitļu sistēmā. Mums ir desmit pirksti uz rokām un tikpat labi uz kājām. Pieci plus pieci – tātad, pateicoties mūsu pirkstiem, kopš bērnības varam viegli iedomāties desmit. Tāpēc bērniem ir viegli apgūt pieci un desmit reizināšanas tabulas. Ir arī tik vienkārši iemācīties skaitīt banknotes, kuras visbiežāk ir reizinātas (tas ir, dalāmas bez atlikuma) ar pieci un desmit.
Citas pozicionālo skaitļu sistēmas
Daudziem par pārsteigumu jāsaka, ka ne tikai in decimālā sistēma Mūsu smadzenes ir pieradušas veikt noteiktus aprēķinus. Līdz šim cilvēce izmanto sešu un divpadsmitdaļu skaitļu sistēmas. Tas nozīmē, ka šādā sistēmā ir tikai sešas rakstzīmes (sešos): 0, 1, 2, 3, 4, 5. Divpadsmitajā skaitlī ir divpadsmit no tām: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 , 7, 8, 9 , A, B, kur A - apzīmē skaitli 10, B - skaitli 11 (jo jābūt vienai zīmei).
Spriediet paši. Mēs laiku skaitam sešos, vai ne? Viena stunda ir sešdesmit minūtes (seši desmiti), viena diena ir divdesmit četras stundas (divas reizes divpadsmit), gads ir divpadsmit mēneši un tā tālāk... Visi laika intervāli viegli iekļaujas heksadecimālajās un divpadsmitajās rindās. Bet mēs pie tā esam tik ļoti pieraduši, ka, skaitot laiku, par to pat nedomājam.
Nepozicionālās skaitļu sistēmas. Unārs
Ir jāizlemj, kas tas ir - nepozicionāla skaitļu sistēma. Šī ir zīmju sistēma, kurā skaitļu zīmēm nav pozīciju, vai arī skaitļa “nolasīšanas” princips nav atkarīgs no pozīcijas. Tam ir arī savi ierakstīšanas vai aprēķinu noteikumi.
Sniegsim nepozicionālu skaitļu sistēmu piemērus. Atgriezīsimies senatnē. Cilvēkiem vajadzēja skaitīt un nāca klajā ar visvienkāršāko izgudrojumu – mezgliem. Nepozicionālā skaitļu sistēma ir mezglains. Viena prece (rīsu maiss, bullis u.c.) tika saskaitīta, piemēram, pērkot vai pārdodot, un uz aukliņas tika uzsiets mezgls.
Rezultātā uz virves bija tik daudz mezglu, cik iegādāto rīsu maisu (kā piemērs). Bet tie varētu būt arī robi uz koka nūjas, uz akmens plātnes utt. Šī skaitļu sistēma kļuva pazīstama kā mezglu sistēma. Tam ir otrs nosaukums - unārs jeb vienība (“uno” latīņu valodā nozīmē “viens”).
Kļūst acīmredzams, ka šī skaitļu sistēma nav pozicionāla. Galu galā, par kādām pozīcijām var runāt, ja ir tikai viena (pozīcija)! Savādi, bet dažos Zemes nostūros joprojām tiek izmantota unāra nepozicionālā skaitļu sistēma.
Arī nepozicionālās skaitļu sistēmas ietver:
- romiešu (burti - latīņu simboli tiek izmantoti ciparu rakstīšanai);
- seno ēģiptiešu (līdzīgi romiešu valodai, tika izmantoti arī simboli);
- alfabētiski (tika lietoti alfabēta burti);
- babiloniešu (ķīļraksts - viņi izmantoja taisnu un apgrieztu “ķīli”);
- Grieķu valoda (klasificēta arī kā alfabēta).
Romiešu skaitļu sistēma
Senā Romas impērija, kā arī tās zinātne bija ļoti progresīva. Romieši deva pasaulei daudz noderīgu zinātnes un mākslas izgudrojumu, tostarp to skaitīšanas sistēmu. Pirms divsimt gadiem romiešu cipari tika izmantoti, lai norādītu summas biznesa dokumentos (tādējādi izvairoties no viltošanas).
Nepozicionālas skaitļu sistēmas piemērs mums tagad ir zināms. Arī romiešu sistēma tiek aktīvi izmantota, bet ne matemātiskiem aprēķiniem, bet šauri mērķētām darbībām. Piemēram, izmantojot romiešu ciparus, ir ierasts apzīmēt vēsturiskie datumi, gadsimts, sējumu, sadaļu un nodaļu numuri grāmatu izdevumos. Pulksteņu ciparnīcu dekorēšanai bieži izmanto romiešu zīmes. Un arī romiešu numerācija ir nepozicionālas skaitļu sistēmas piemērs.
Romieši apzīmēja ciparus, izmantojot latīņu burtus. Turklāt viņi pierakstīja skaitļus saskaņā ar noteiktiem noteikumiem. Ir saraksts galvenās rakstzīmes romiešu skaitļu sistēmā tie tika izmantoti, lai ierakstītu visus skaitļus bez izņēmuma.
Skaitļu sastādīšanas noteikumi
Nepieciešamais skaitlis tika iegūts, saskaitot zīmes (latīņu burtus) un aprēķinot to summu. Apskatīsim, kā simboliski tiek rakstītas zīmes romiešu sistēmā un kā tās “lasīt”. Uzskaitīsim skaitļu veidošanās pamatlikumus romiešu nepozicionālajā skaitļu sistēmā.
- Cipars četri - IV, sastāv no divām zīmēm (I, V - viena un piecas). To iegūst, atņemot mazāko zīmi no lielākās, ja tā atrodas pa kreisi. Kad mazākā zīme atrodas labajā pusē, jums jāpievieno, tad jūs saņemat numuru seši - VI.
- Blakus jāpievieno divas identiskas zīmes. Piemēram: SS ir 200 (C ir 100) vai XX ir 20.
- Ja skaitļa pirmais cipars ir mazāks par otro, tad trešais šajā rindā var būt simbols, kura vērtība ir pat mazāka par pirmo. Lai izvairītos no neskaidrībām, sniegsim piemēru: CDX - 410 (decimāldaļās).
- Var būt attēloti daži lieli skaitļi dažādos veidos, kas ir viens no romiešu skaitīšanas sistēmas trūkumiem. Šeit ir daži piemēri: MVM (romiešu sistēma) = 1000 + (1000 - 5) = 1995 (decimālā sistēma) vai MDVD = 1000 + 500 + (500 - 5) = 1995. Un šīs nav visas metodes.
Aritmētiskās metodes
Nepozicionāla skaitļu sistēma dažreiz ir sarežģīts noteikumu kopums skaitļu veidošanai, to apstrādei (darbībai ar tiem). Aritmētiskās darbības nepozicionālās skaitļu sistēmās nav vieglas mūsdienu cilvēki. Mēs neapskaužam seno romiešu matemātiķus!
Papildinājuma piemērs. Mēģināsim pievienot divus skaitļus: XIX + XXVI = XXXV,Šis uzdevums tiek veikts divos posmos:
- Pirmkārt, mēs ņemam un pievienojam mazākas skaitļu daļas: IX + VI = XV (I pēc V un I pirms X viņi “iznīcina” viens otru).
- Otrkārt, mēs saskaitām lielas divu skaitļu daļas: X + XX = XXX.
Atņemšana ir nedaudz sarežģītāka. Samazināmais skaits ir jāsadala veidojošie elementi, un pēc tam minējumā un apakšrindā samaziniet dublētās rakstzīmes. No skaitļa 500 mēs atņemam 263:
D - CCLXIII = CCCCLXXXXVIIIIII - CCLXIII = CCXXXVII.
Romiešu ciparu reizināšana. Starp citu, jāpiemin, ka romiešiem nebija zīmju aritmētisko darbību veikšanai, viņi tās vienkārši apzīmēja ar vārdiem.
Reizinātājs bija jāreizina ar katru atsevišķu reizinātāja simbolu, kā rezultātā tika iegūti vairāki produkti, kas bija jāpievieno. Tādā veidā tiek reizināti polinomi.
Runājot par dalīšanu, šis process romiešu skaitļu sistēmā bija un paliek vissarežģītākais. Šeit tika izmantots seno romiešu abakuss - abakuss. Cilvēki tika īpaši apmācīti strādāt ar to (un ne katrs cilvēks varēja apgūt šādu zinātni).
Par nepozicionālo sistēmu trūkumiem
Kā minēts iepriekš, nepozicionālajām skaitļu sistēmām ir savi trūkumi un lietošanas neērtības. Unārs ir pietiekami vienkāršs vienkāršiem aprēķiniem, bet aritmētiskiem un sarežģītiem aprēķiniem tas vispār nav piemērots.
Romiešu valodā nav vienotu veidošanās noteikumu lieli skaitļi un ir neskaidrības, un arī ir ļoti grūti veikt aprēķinus. Turklāt lielākā daļa, ko senie romieši varēja pierakstīt, izmantojot savu metodi, bija 100 000.
Skaitļu sistēmas ir veidi, kā rakstīt skaitļus formā, kas ir ērta lasīšanai un aritmētisko darbību veikšanai.
Jau paleolīta laikmetā cilvēki centās grupēt punktus, svītras un robus pa 3, 4, 5 vai 7. Šāda grupēšana atviegloja skaitīšanu. Senatnē cilvēki skaitīja uz pirkstiem, tāpēc objektus sāka grupēt pa 5 vai 10. Vēlāk desmit desmitnieki saņēma īpašu nosaukumu, desmit simti ieguva savu nosaukumu. Lai atvieglotu ierakstīšanu, skaitļus sāka apzīmēt ar īpašiem simboliem. Tā kā zīmes pozīcija šādā apzīmējumā nespēlē lomu, šādas skaitļu sistēmas sāka saukt par nepozicionālām. Nepozicionālās skaitļu sistēmas izmantoja senie ēģiptieši, grieķi un romieši. Nepozicionālās skaitļu sistēmas bija vairāk vai mazāk piemērotas saskaitīšanas un atņemšanas darbību veikšanai, bet nepavisam nebija ērtas reizināšanai un dalīšanai.
Lai atvieglotu darbu, viņi izmantoja skaitīšanas dēļus - abaci.
Pozīciju skaitļu sistēmas. Decimālskaitļu sistēma
Pozicionālo skaitļu sistēmās vienai un tai pašai ciparu zīmei (ciparam) skaitļa apzīmējumā ir dažādas nozīmes atkarībā no vietas (cipara), kur tā atrodas.
Babilonieši pārgāja uz pozicionālo seksagesimālo sistēmu. Babilonijas skaitīšanas sistēmā ilgu laiku nebija nulles, tas ir, trūkstoša cipara zīmes. Sākumā tas neradīja nekādas neērtības, bet, kad sāka apkopot plašas matemātiskās un astronomiskās tabulas, radās nepieciešamība pēc šādas zīmes. Līdz mūsdienām saglabājušās Babilonijas skaitļu sistēmas pēdas laika skaitīšanas kārtībā (1 stunda = 60 minūtes, 1 minūte = 60 sekundes).
V1 gadsimtā. , precīzāk 595. gadā. Indiāņi izveidoja ierakstīšanas metodi, kas izmanto tikai 9 ciparus. Nulles vietā tika atstāta tukša vieta, un vēlāk tika pievienots punkts vai mazs aplis. Īpaša nulles zīme parādījās 1. gadsimtā. tika izstrādāti noteikumi aritmētisku darbību veikšanai ar skaitļiem decimālo skaitļu sistēmā, kam nebija nepieciešams izmantot abacus, un šī ierakstīšanas metode izplatījās visā pasaulē. Vidusāzijas matemātiķis al-Khorezmi detalizēti runāja par decimālo skaitļu sistēmu. Kopš viņš rakstīja savu darbu arābu valoda, tad sistēmai Eiropā tika dots nepareizs nosaukums - “arābs”.
Pozicionālās sistēmas ar patvaļīgu bāzi.
Mēs esam pieraduši pie decimālskaitļu sistēmas. Binārā sistēma ir labākā izvēle datoram. Bet dažreiz tie var izrādīties ērtas sistēmas ar citiem iemesliem. Skaitīšana pa desmitiem ir lielisks piemērs tam. Šeit skaitļu bāze ir 12 pakāpes.
Vispārīgā gadījumā attēlot patvaļīgu skaitli N skaitļu sistēmā ar noteiktu bāzi d nozīmē to uzrakstīt formā, kur d ir jebkurš vesels skaitlis, kas lielāks par vienu. Koeficientus a0, a1, аn sauc par skaitļiem d – apzīmējumā N. Tie var pieņemt tikai d vērtības: 0, 1, vai 2, vai d-1. Ņemiet vērā, ka gadījumā, ja d > 10, mums būs jāizdomā jauni skaitļu simboli.
Lai atrastu skaitļa ciparus ar skaitli N un bāzi d, varat izmantot šādu metodi: vispirms atrodiet lielāko bāzes skaitli, kas nepārsniedz N. Pēc tam skaitli N dala ar d, iegūstot daļējo koeficientu an un atlikums r n-1, t.i., e.
Atlikušais r n-1 jau ir mazāks par bāzes skaitli, tāpēc r n-1 sadaliet ar d! Un mēs iegūstam nepilnīgo koeficientu an-1 un atlikušo r n-2:
Praksē N d-ary ciparu noteikšana, sākot no augstākā cipara, nav īpaši ērti. Šim nolūkam parasti izmanto citu metodi. Attēlosim skaitli N kā izteiksmi, kurā nav pakāpju:
Tas parāda, ka skaitļus an-1, a1 a0 var atrast secīgi, sākot no vismazāk nozīmīgākā cipara, sekojošā daudzpakāpju procesa rezultātā: a0 ir vienāds ar N dalīšanas ar d atlikumu; a1 ir vienāds ar iepriekšējā solī iegūtā nepilnīgā koeficienta atlikumu dalīšanai ar d; an ir vienāds ar iepriekšējā solī iegūtā nepilnīgā koeficienta atlikušo dalījumu ar d.
Tas. To, ka skaitlis N d-āru skaitļu sistēmā izsaka ar skaitļiem an-1, a1 a0, raksta šādi:
Piemēram: 26700 = (110100001001100)2 = (1323300)5.
Pozitīvi racionāls skaitlis(parasta pozitīva daļa) ir skaitlis, ko var uzrakstīt kā
kur p, q-dabiskie skaitļi. Skaitli p sauc par daļskaitļa skaitītāju, un skaitli q sauc par tā saucēju.
Mēs zinām, ka daļa nemainīsies, ja tās skaitītāju un saucēju reizina ar vienu un to pašu naturālo skaitli n; citiem vārdiem sakot, jebkuram naturālam skaitlim n vienādība ir patiesa
Ja skaitļiem p un q nav kopīgu pirmkoeficientu, tad daļu sauc par nereducējamu vai pareizu.
Ja daļskaitļa saucējs q ir 10 vai 100, vai 1000 utt., tad parasto daļu var uzrakstīt kā pēdējo decimāldaļskaitli, no kurām katru sauc par atbilstošās decimāldaļskaitļa izvērsumu. kopējā frakcija.
Ir arī skaidrs, ka jebkuru galīgu decimāldaļskaitli var ierakstīt kā parastu daļskaitli, kur p-dabiskais skaitlis, un q ir 10 pakāpe.
Ja kopējās daļskaitļa saucējs q ir 10, tad šo daļu var izdalīt pēdējā decimāldaļdaļā. Ir arī otrādi: pēdējā decimāldaļdaļa ir parastas daļskaitļa decimāldaļskaitļa paplašinājums, kura saucējs ir 10.
Oktālo skaitļu sistēma
Astoņtālo skaitļu sistēma ir pozicionāla veselu skaitļu sistēma ar 8. bāzi. Tā izmanto skaitļus no 0 līdz 7, lai attēlotu skaitļus.
Oktālo sistēmu bieži izmanto jomās, kas saistītas ar digitālajām ierīcēm. To raksturo viegla oktālo skaitļu pārvēršana bināros un otrādi, aizstājot oktālos skaitļus ar binārajām triādēm. Iepriekš tas tika plaši izmantots programmēšanā un datoru dokumentācijā kopumā, bet tagad tas ir gandrīz pilnībā aizstāts ar heksadecimālu.
Ja mēs atsaucamies uz oktālo skaitļu sistēmu, tas nozīmē, ka mēs varam izmantot daudz vairāk ciparu nekā ierasts binārajā, bet mazāk nekā decimāldaļā, proti, mēs varam darboties ar astoņiem cipariem: 0, 1, 2, 3, 4, 5 , 6, 7 - un ne vairāk.
Loģika decimālo skaitļu pārveidošanai oktālā (kodēšana oktālo skaitļu sistēmā) ir pilnīgi identiska iepriekš minētajai.
Sīkāka informācija sadaļā. Šīs nodaļas "Veselu skaitļu rakstīšana bināro skaitļu sistēmā".
Patiešām, noteiktā brīdī skaitļi izsīkst (sākas “pārejas perioda krīze”).
Decimālskaitlis "8" kļūst par oktālo skaitli "10" ("astoņskaitlis desmit"). Skaitlis "9" būs oktālais skaitlis "11", skaitlis "10" būs oktālais skaitlis "12". Un tā tālāk līdz decimālajam skaitlim "15", kas oktālā formā ir vienāds ar skaitli "17". Kas tālāk?
Cipari atkal ir beigušies. Kā decimālskaitlis "16" tiks attēlots oktālo skaitļu sistēmā?
178 + 1 =. , bet summa “78 + 1” ir vienāda ar “10” oktālo skaitļu sistēmā, un tāpēc oktālais “desmit” ir jāsaskaita ar jau pieejamo “desmit”, t.i., oktālajā sistēmā esošo summu. tiek iegūts: "1 + 1 = 2". Rezultāts ir tāds
Iesniegsim šo informāciju tabulas veidā (4. 4. tabula).
4. tabula. 4. Decimālskaitļu un oktālo skaitļu atbilstība
Decimālskaitļi Octālie skaitļi Decimālskaitļi Astoņskaitļi
0-7 0-7 25-63 31-77
9-15 11-17 128 200
17-23 21-27 512 1000
Bet pat šādi skaitļi joprojām nav īpaši ekonomiski, vismaz to ciparu ietilpība nav zemāka par decimālo sistēmu, tāpēc datortehnoloģijas Tiek izmantota cita skaitļu sistēma, ko sauc par heksadecimālo.
Ciparu sistēma ir īpašs skaitļu rakstīšanas veids un atbilstošie skaitļu darbības noteikumi.
Skaitļu sistēmas var būt pozicionālas vai nepozicionālas.
Pozicionālā skaitļu sistēmā vērtība, ko cipars attēlo skaitļā, ir atkarīga no cipara atrašanās vietas šajā ciparā. Dažādu ciparu kopu, ko pozicionālajā skaitļu sistēmā izmanto skaitļu rakstīšanai, sauc par skaitļu sistēmas alfabētu. Lai attēlotu skaitļus, kas ir lielāki par 10, tiek izmantoti latīņu burti (A=10, B=11). Ciparu sistēmas pamats ir alfabēta lielums. Skaitli pozicionālā sistēmā var attēlot kā to veidojošo ciparu reizinājumu summu ar atbilstošajiem sistēmas bāzes pakāpēm.
Jebkura pozicionēšanas sistēma tiek ieviesta šādi. Bāze p ir vesels skaitlis un p ciparu alfabēts: O, 1, 2,. , p-1. Tad jebkurš skaitlis X šajā sistēmā tiek attēlots kā produktu summa:
Х = аn*рn + an-1*pn-1 + + a0*p0
Šeit X ir skaitlis sistēmā ar bāzi p, kura veselajā daļā ir n+1 cipari - tie ir skaitļi no sistēmas alfabēta.
Skaitļu pārvēršana no vienas pozicionālās sistēmas citā
Pārvēršot skaitļus no decimālās sistēmas uz p-āru sistēmu, decimālskaitlis ir jāsadala terminos, kas satur skaitļa p pakāpes. Vesela decimālskaitļa konvertēšana tiek veikta, secīgi dalot skaitli ar bāzi p, atdalot atlikumus no dalīšanas, līdz koeficients kļūst mazāks par dalītāju. Izrakstot dalījuma atlikumus no labās uz kreiso pusi, iegūstam p-bagātu decimālskaitļa apzīmējumu.
Pozicionālās sistēmās vesela skaitļa rakstīšanas vērtību nosaka šāds noteikums: lai a na n-1a n-2a 1a 0 ir skaitļa A rakstīšana, un i ir cipari, tad
A = a n·pn+a n-1·pn-1 +a n-2·pn-2+. +a 1·p1+ a0·p0 (1), kur p ir vesels skaitlis, kas lielāks par 1, ko sauc par skaitļu sistēmas bāzi
Lai uz doto p jebkuru nenegatīvu veselu skaitli varētu uzrakstīt saskaņā ar formulu (1) un turklāt unikālā veidā dažādu ciparu skaitliskajām vērtībām jābūt dažādiem veseliem skaitļiem, kas pieder segmentam no 0 uz p-1.
1) Decimālā sistēma p = 10 cipari: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 skaitlis 5735 = 5·103+7·102+3·101+8·100
2) Trīskāršā sistēma p = 3 cipari: 0,1,2 skaitlis 2013 = 2·32+0·31+1·30
Piezīme: skaitļa apakšindekss norāda skaitļu sistēmas bāzi, kurā skaitlis ir rakstīts. Decimālskaitļu sistēmai indekss nav jāraksta.
Negatīvu un daļskaitļu attēlojums:
Visās pozicionālajās sistēmās zīmi “–” izmanto, lai rakstītu negatīvus skaitļus, tāpat kā decimālajā sistēmā. Komatu izmanto, lai atdalītu skaitļa veselo skaitļu daļu no daļdaļas. Skaitļa A ieraksta a na n-1a n-2a 1a 0, a -1 a -2a m-2 a m-1a m vērtību nosaka pēc formulas, kas ir formulas (1) vispārinājums:
A = an pn+a n-1 p n-1+a n-2 p n-2++a1 p1+a0 p0+a-1 p-1+a -2 p-2 ++am-2·p –(m–2)+am–1·p–(m–1)+amp–m (2),
75,6 = 7 101+5 100+6 10–1
–2,3145 = – (2,50+3,5–1+1,5–2+4,5–3)
Skaitļu konvertēšana no patvaļīga sistēma skaitļi aiz komata:
Jāsaprot, ka, pārtulkojot skaitli no vienas skaitļu sistēmas citā, skaitļa kvantitatīvā vērtība nemainās, bet mainās tikai skaitļa rakstīšanas forma, tāpat kā tulkojot skaitļa nosaukumu, piemēram, no plkst. krievu valodā angļu valodā.
Skaitļu konvertēšana no patvaļīgas skaitļu sistēmas decimāldaļās tiek veikta ar tiešu aprēķinu, izmantojot formulu (1) veseliem skaitļiem un formulu (2) daļskaitļiem.
Skaitļu pārvēršana no decimālskaitļu sistēmas uz patvaļīgu skaitļu sistēmu.
Skaitļa pārvēršana no decimāldaļas sistēmā ar bāzi p nozīmē koeficientu atrašanu formulā (2). Dažreiz to ir viegli izdarīt ar vienkāršu atlasi. Piemēram, pieņemsim, ka jums ir jāpārvērš skaitlis 23,5 oktālajā sistēmā. Ir viegli redzēt, ka 23,5 = 16 + 7 + 0,5 = 2 · 8 + 7 + 4/8 = 2 · 81 + 7 · 80 + 4 · 8–1 = 27,48. Ir skaidrs, ka atbilde ne vienmēr ir tik acīmredzama. Kopumā tiek izmantota skaitļa veselo skaitļu un daļskaitļu daļas pārvēršana atsevišķi.
Lai pārvērstu veselus skaitļus, tiek izmantots šāds algoritms (iegūts, pamatojoties uz formulu (1)):
1. Atrodiet koeficientu un atlikumu, dalot skaitli ar p. Atlikušais būs skaitļa nākamais cipars ai (j=0,1,2). jauna sistēma Izrēķināšanās.
2. Ja koeficients ir vienāds ar nulli, tad skaitļa tulkošana ir pabeigta, pretējā gadījumā koeficientam piemērojam punktu 1.
1. piezīme. Cipari ai skaitļu apzīmējumā ir numurēti no labās puses uz kreiso.
2. piezīme. Ja p>10, tad jāievieš apzīmējumi skaitļiem, kuru skaitliskās vērtības ir lielākas vai vienādas ar 10.
Pārvērtiet skaitli 165 starpsienas skaitļu sistēmā.
165:7 = 23 (atlikušais 4) => a0 = 4
23:7 = 3 (atlikušais 2) => a1 = 2
3:7 = 0 (atlikušais 3) => a2 = 3
Pierakstīsim rezultātu: a2a1a0, t.i., 3247.
Pārbaudot, izmantojot formulu (1), mēs pārliecināsimies, vai tulkojums ir pareizs:
3247 = 3 · 72 + 2 · 71 + 4 · 70 = 3 · 49 + 2 · 7 + 4 = 147 + 14 + 4 = 165.
Lai pārvērstu skaitļu daļdaļas, tiek izmantots algoritms, kas iegūts, pamatojoties uz formulu (2):
1. Skaitļa daļējo daļu reiziniet ar p.
2. Rezultāta veselā daļa būs jaunajā skaitļu sistēmā ierakstītā skaitļa nākamais cipars am (m = –1, –2, –3). Ja rezultāta daļējā daļa ir nulle, tad skaitļa tulkošana ir pabeigta, pretējā gadījumā mēs tam piemērojam 1. darbību.
1. piezīme. Cipari am skaitļu apzīmējumā ir sakārtoti no kreisās puses uz labo augošā secībā pēc m absolūtās vērtības.
2. piezīme. Parasti daļskaitļu skaits jaunā skaitļa ierakstā ir iepriekš ierobežots. Tas ļauj veikt aptuvenu tulkojumu ar noteiktu precizitāti. Bezgalīgu daļskaitļu gadījumā šāds ierobežojums nodrošina algoritma galīgumu.
Pārvērtiet skaitli 0,625 uz bināro skaitļu sistēmu.
0,625 2 = 1,25 (vesels skaitlis 1. daļa) => a-1 =1
0,25 2 = 0,5 (vesela skaitļa daļa 0) => a-2 = 0
0,5 2 = 1,00 (vesels skaitlis 1. daļa) => a-3 = 1
Tātad 0,62510 = 0,1012
Pārbaudot, izmantojot formulu (2), mēs pārliecināsimies, ka tulkojums ir pareizs:
0,1012=1·2-1+0·2-2+1·2-3=1/2+1/8 = 0,5+0,125 = 0,625.
Pārvērtiet skaitli 0,165 ceturtdaļskaitļu sistēmā, ierobežojot to līdz četriem ceturtdaļskaitļiem.
0,165 4 = 0,66 (vesela skaitļa daļa 0) => a-1=0
0,66 4 = 2,64 (vesels skaitlis 2. daļa) => a-2 = 2
0,64 4 = 2,56 (vesels skaitlis 2. daļa) => a-3 = 2
0,56 4 = 2,24 (vesels skaitlis 2. daļa) => a-4 = 2
Tātad 0,16510" 0,02224
Veicam atpakaļtulkojumu, lai pārliecinātos, ka absolūtā kļūda nepārsniedz 4–4:
0,02224 = 0,4-1+2,4-2+2,4-3+2,4-4= 2/16+2/64+2/256 = 1/8+1/32+1/ 128 = 21/128 = 0,1640625
0,1640625–0,165 = 0,00094
Skaitļu pārvēršana no vienas patvaļīgas sistēmas citā
Šajā gadījumā vispirms skaitlis ir jāpārvērš decimālajā sistēmā un pēc tam no decimālās sistēmas uz vajadzīgo.
Sistēmām ar vairākām bāzēm skaitļu konvertēšanai tiek izmantota īpaša metode.
Ļaujiet p un q būt divu skaitļu sistēmu bāzēm. Šīs sistēmas sauksim par skaitļu sistēmām ar vairākām bāzēm, ja p = qn vai q = pn, kur n ir naturāls skaitlis. Tā, piemēram, skaitļu sistēmas ar bāzi 2 un 8 ir vairāku bāzes skaitļu sistēmas.
Ļaujiet p = qn, un jums ir jāpārvērš skaitlis no skaitļu sistēmas ar bāzi q uz skaitļu sistēmu ar bāzi p. Sadalīsim skaitļa veselās un daļējās daļas grupās ar n secīgi rakstītiem cipariem pa kreisi un pa labi no komata. Ja ciparu skaits skaitļa veselajā daļā nav n reizināts, tad pa kreisi jāpievieno atbilstošais nulles skaits. Ja skaitļa daļējā daļā ciparu skaits nav n reizinājums, tad pa labi tiek pievienotas nulles. Katra šāda skaitļa ciparu grupa vecajā skaitļu sistēmā atbildīs vienam skaitļa ciparam jaunajā skaitļu sistēmā.
Pārveidosim 1100001.1112 ceturtdaļskaitļu sistēmā.
Saskaitot nulles un atlasot skaitļu pārus, iegūstam 01100001.11102.
Tagad tulkosim katru ciparu pāri atsevišķi, izmantojot sadaļu Ciparu tulkošana no vienas patvaļīgas sistēmas citā.
Tātad 1100001.1112 = 01100001.11102 = 1201.324.
Pieņemsim, ka tagad ir nepieciešams veikt pāreju no sistēmas ar lielāku bāzi q uz sistēmu ar mazāku bāzi p, t.i., q = pn. Šajā gadījumā viens skaitļa cipars vecajā skaitļu sistēmā atbilst n skaitļa cipariem jaunajā skaitļu sistēmā.
Piemērs: pārbaudīsim iepriekšējo skaitļa tulkojumu.
1201,324 = 1100001,11102=1100001,1112
Heksadecimālajā sistēmā ir cipari ar skaitliskām vērtībām 10,11,12, 13,14,15. Lai tos apzīmētu, izmantojiet pirmos sešus latīņu alfabēta burtus A, B, C, D, E, F.
Šeit ir skaitļu tabula no 0 līdz 16, kas uzrakstīta skaitļu sistēmās ar bāzēm 10, 2, 8 un 16.
Skaitlis decimālo skaitļu sistēmā 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 16 astoņstūrī 0 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 15 binārs 10 20 1 1 1 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 10000 Heksadecimālā 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 Lai rakstītu latīņu burtus, var izmantot arī mazākos heksadecimālos burtus.
Piemērs: pārveidosim skaitli 110101001010101010100.112 par heksadecimālo skaitļu sistēmu.
Izmantosim skaitļu sistēmu bāzu daudzkārtību (16=24). Sagrupēsim skaitļus pa četriem, pa kreisi un pa labi saskaitot vajadzīgo nulles
000110101001010101010100,11002 un, pārbaudot tabulu, iegūstam: 1A9554,C16
Kurā skaitļu sistēmā vislabāk rakstīt skaitļus, tas ir ērtības un tradīciju jautājums. No tehniskā viedokļa bināro sistēmu ir ērti izmantot datorā, jo tā skaitļa ierakstīšanai izmanto tikai divus ciparus 0 un 1, ko var attēlot ar diviem viegli atšķiramiem stāvokļiem “nav signāla” un “ir signāls."
Gluži pretēji, personai ir neērti rīkoties ar binārajiem skaitļiem, jo tie ir garāki par decimālskaitļiem un tajos ir daudz ciparu, kas atkārtojas. Tāpēc, ja nepieciešams, strādājiet ar skaitļu mašīnu attēlojumiem, izmantojiet oktālo vai heksadecimālo skaitļu sistēmas. Šo sistēmu pamati ir veseli skaitļi no diviem, un tāpēc skaitļus no šīm sistēmām var viegli pārveidot par bināriem un otrādi.
Binārā skaitļu sistēma. Bits un baits. Atmiņas segmentācija.
Apskatīsim, kā dati tiek glabāti datora atmiņā.
Kā vispār datorā var saglabāt, piemēram, vārdu “disks”? Galvenais princips ir viena trases magnetizācija un atmagnetizācija (sauksim to tā). Viena atmiņas mikroshēma, rupji runājot, ir milzīgs ierakstu skaits. Tagad mēģināsim to izdomāt. Piemēram: nulle tiks apzīmēta kā 0000 (četras nulles), viens 0001, divi 0010,
(t.i., labo aizstājam ar 0 un otro iestatām uz 1).
Vai jūs sapratāt principu? "0" un "1" ir tā sauktie. biti. Viens bits, kā jau pamanījāt, var būt nulle vai viens, t.i., viens vai otrs celiņš ir demagnetizēts vai magnetizēts (“0” un “1” ir simboli). Ja paskatīsities tuvāk, pamanīsit, ka katrs nākamais komplekta bits (sākot no labās puses) dubulto skaitli: 0001 mūsu piemērā = 1; 0010 divi; 0100 četri; 1000 astoņi utt Tas ir tā sauktais. datu attēlojuma binārā forma.
Tas. lai attēlotu skaitļus no 0 līdz 9, mums nepieciešami četri biti (lai gan tie nav pilnībā izmantoti. Varētu turpināt: desmit 1010, vienpadsmit 1011, piecpadsmit 1111).
Tādā veidā dators saglabā datus atmiņā. Lai apzīmētu rakstzīmi (ciparus, burtus, komatus, punktus), dators izmanto noteiktu bitu skaitu. Dators "atpazīst" 256 (no 0 līdz 255) dažādas rakstzīmes pēc to koda. Tas ir pietiekami, lai ievietotu visus ciparus (0 - 9), latīņu alfabēta burtus (a - z, A - Z), krievu (a - z, A - Z), kā arī citas rakstzīmes. Lai attēlotu rakstzīmi ar maksimālo iespējamo kodu (255), ir nepieciešami 8 biti. Šos 8 bitus sauc par baitu. Tas. Jebkura rakstzīme vienmēr ir 1 baits.
Tas. vārds "disks" aizņems 4 baitus vai 4*8 = 32 bitus. Kā jūs jau saprotat, dators atmiņā saglabā nevis pašus vārda burtus, bet gan “vieninieku” un “nulles” secību. "Kāpēc tad mēs redzam tekstu uz ekrāna, nevis "vieniniekus un nulles" - jūs jautājat, lai apmierinātu jūsu ziņkāri, es paskrienu nedaudz uz priekšu un teikšu, ka viss darbs pie paša varoņa parādīšanas ekrānā. un nevis bitus) veic videokarte (video adapteris), kas atrodas jūsu datorā. Un, ja tās tur nebūtu, tad mēs, protams, neko neredzētu, kas notiek mūsu ekrānā.
Asamblejā aiz bināra skaitļa vienmēr ir jāpievieno burts "b". Tas ir nepieciešams, lai, sastādot mūsu programmu, montētājs varētu atšķirt decimālos, heksadecimālos un bināros skaitļus. Piemēram: 10 ir "desmit", 10h ir "sešpadsmit" un 10b ir "divi" decimālajā sistēmā.
Tas. Reģistros var ielādēt bināros, decimālos un heksadecimālos skaitļus.
Piemēram: mov ax,20 mov bh,10100b mov cl,14h
Rezultātā AX, BH un CL reģistros būs viens un tas pats numurs, tikai mēs to ielādējam dažādās sistēmās. Dators to saglabās binārā formātā (kā BH reģistrā).
Tātad, apkoposim. Datorā visa informācija tiek glabāta binārā formātā (binārā sistēma) aptuveni šādā formā: 10101110 10010010 01111010 11100101 (protams, bez atstarpēm. Ērtības labad bitus sadalīju grupās). Astoņi biti ir viens baits. Viena rakstzīme aizņem vienu baitu, t.i., astoņus bitus. Manuprāt, nekas sarežģīts. Ir ļoti svarīgi izprast šo tēmu, jo mēs pastāvīgi izmantosim binārā sistēma, un jums tas ir jāzina perfekti.
Kāpēc ir vajadzīgas dažādas pozicionēšanas sistēmas?
Ciparu īpašību pētīšanai simtiem gadu tiek izmantotas pozicionālās sistēmas ar dažādām bāzēm. Piemēram, ierakstot veselus skaitļus dažādas sistēmas var iegūt dalāmības pazīmes. Dažu citu dalāmības teorijas jautājumu izskatīšanu veicina arī nedecimālo pozicionālo sistēmu izmantošana.
Taču šis jautājums nodarbināja tikai salīdzinoši šauru cilvēku loku, galvenokārt speciālistus tā sauktās augstākās aritmētikas – skaitļu teorijas jomā. Taču situācija ir mainījusies kopš datoru parādīšanās un plašas izmantošanas.
Digitālo datoru dizains ir cieši saistīts ar pieņemto skaitļu sistēmu.
Skaitļošanas ierīces.
Vienkāršākā digitālā skaitļošanas ierīce ir plaši pazīstamais krievu abakuss. Tajos skaitļa attēlošanai tiek izmantotas adāmadatas ar kauliem. Spieķu skaits atbilst ciparu skaitam, kas piešķirts skaitļa attēlošanai. Katra adāmadata var būt dažādos stāvokļos, ko nosaka nolaisto kaulu skaits. Tā kā decimālajā sistēmā ir desmit dažādi cipari, lai tos attēlotu, ir jābūt desmit dažādiem stāvokļiem. Lai to izdarītu, uz katras adāmadatas tiek uzlikti desmit kauli.
Krievu abakuss
Vēl viens digitālā datora piemērs ir pievienošanas iekārta. Šeit tiek izmantots zobrats, lai attēlotu dažādus skaitļus katrā ciparā. Riteņa apkārtmērs, no kura izgatavots šis pārnesums, ir sadalīts 10 daļās. Katrai daļai ir zobrata zobs. Rotējoties ap savu asi, zobrats var apstāties tikai tādās pozīcijās, kad kāds no tā zobiem ir uzstādīts pret lodziņu pievienošanas mašīnas korpusā. Uz katra zobrata zoba ir uzrakstīts atbilstošs numurs.
Apskatītie piemēri parāda, ka pozicionālā skaitļu sistēma, ko izmanto skaitļu ierakstīšanai, izvirza savas prasības datoru konstrukcijai: desmit kauli uz spieķa, desmit zobi uz zobrata un desmit pakāpieni uz veltņa ir izskaidrojami ar to, ka skaitlis ir attēlots. decimālo skaitļu sistēmā.
Vienību numuru sistēma
Vajadzība rakstīt skaitļus sāka rasties starp cilvēkiem senatnē pēc tam, kad viņi iemācījās skaitīt. Par to liecina arheoloģiskie atradumi nometņu vietās primitīvi cilvēki, kas datēti ar paleolīta periodu ($10$-$11$ tūkstoš gadu pirms mūsu ēras). Sākotnēji priekšmetu skaits tika attēlots, izmantojot noteiktas zīmes: svītras, robus, apļus, kas iezīmēti uz akmeņiem, koka vai māla, kā arī mezglus uz virvēm.
1. attēls.
Zinātnieki šo skaitļu atzīmēšanas sistēmu sauc vienība (unāra), jo skaitlis tajā veidojas, atkārtojoties vienai zīmei, kas simbolizē vienu.
Sistēmas trūkumi:
rakstot lielu skaitu, ir nepieciešams izmantot lielu skaitu nūju;
Lietojot nūjas, var būt viegli pieļaut kļūdas.
Vēlāk, lai atvieglotu skaitīšanu, cilvēki sāka kombinēt šīs zīmes.
1. piemērs
Vienību skaitļu sistēmas izmantošanas piemērus var atrast mūsu dzīvē. Piemēram, mazi bērni mēģina uz pirkstiem parādīt, cik viņiem ir gadu, vai arī skaitīšanas kociņi tiek izmantoti, lai mācītu skaitīt pirmajā klasē.
Vienību sistēma nav gluži ērti, jo ieraksti izskatās ļoti gari un to rakstīšana ir diezgan apnicīga, tāpēc laika gaitā sāka parādīties praktiskākas skaitļu sistēmas.
Šeit ir daži piemēri.
Senās Ēģiptes decimālā nepozicionālā skaitļu sistēma
Šī skaitļu sistēma parādījās ap 3000. gadu pirms mūsu ēras. kā rezultātā iedzīvotāji Senā Ēģipte nāca klajā ar savu ciparu sistēmu, kurā, apzīmējot atslēgas numurus $1$, $10$, $100$ utt. tika izmantoti hieroglifi, kas bija ērti, rakstot uz māla plāksnēm, kas aizstāja papīru. No tiem tika izveidoti citi skaitļi, izmantojot saskaitīšanu. Vispirms tika pierakstīts augstākās kārtas numurs, bet pēc tam zemākais. Ēģiptieši reizināja un dalīja, secīgi dubultojot skaitļus. Katrs cipars var tikt atkārtots līdz pat $9$ reizēm. Šīs sistēmas numuru piemēri ir sniegti zemāk.
2. attēls.
Romiešu skaitļu sistēma
Šī sistēma būtībā daudz neatšķiras no iepriekšējās un ir saglabājusies līdz mūsdienām. Tas ir balstīts uz šādām pazīmēm:
$I$ (viens pirksts) skaitlim $1$;
$V$ (atvērta plauksta) skaitlim $5$;
$X$ (divas salocītas plaukstas) par 10$;
lai apzīmētu ciparus $100$, $500$ un $1000$, tika izmantoti atbilstošo latīņu vārdu pirmie burti ( Сentum- simts, Demimille- pustūkstotis, Mille- tūkstoši).
Sastādot skaitļus, romieši izmantoja šādus noteikumus:
Skaitlis ir vienāds ar vairāku vienādu “ciparu” vērtību summu, kas atrodas rindā, veidojot pirmā tipa grupu.
Skaitlis ir vienāds ar starpību starp divu “ciparu” vērtībām, ja mazākais atrodas pa kreisi no lielākā. Šajā gadījumā mazākā vērtība tiek atņemta no lielākās vērtības. Kopā tie veido otrā tipa grupu. Šajā gadījumā kreisais “cipars” var būt mazāks par labo, maksimums $1 $: tikai $X(10$) var būt $L(50)$ un $C(100$) priekšā, starp “zemākajiem” tikai $X(10$) var būt $D(500$ ) priekšā un $M(1000$) – tikai $C(100$), pirms $V(5) – I( 1) $.
Skaitlis ir vienāds ar grupu vērtību un “ciparu” summu, kas nav iekļautas $1$ vai $2$ grupās.
3. attēls.
Romiešu cipari ir izmantoti kopš seniem laikiem: tie norāda datumus, sējumu numurus, sadaļas un nodaļas. Es kādreiz domāju, ka parastos arābu ciparus var viegli viltot.
Alfabētiskās skaitļu sistēmas
Šīs numuru sistēmas ir uzlabotas. Tie ietver grieķu, slāvu, feniķiešu, ebreju un citus. Šajās sistēmās skaitļi no $ 1 $ līdz $ 9 $, kā arī desmiti (no $ 10 $ līdz 90 $), simti (no $ 100 $ līdz 900 $) tika apzīmēti ar alfabēta burtiem.
Sengrieķu alfabēta skaitļu sistēmā skaitļus $1, 2, ..., 9$ apzīmēja ar grieķu alfabēta pirmajiem deviņiem burtiem utt. Sekojošie $9$ burti tika izmantoti, lai apzīmētu ciparus $10, 20, ..., 90$, un pēdējie $9$ burti tika izmantoti, lai apzīmētu ciparus $100, 200, ..., 900$.
U slāvu tautas burtu skaitliskās vērtības tika noteiktas saskaņā ar slāvu alfabēta secību, kurā sākotnēji tika izmantots glagolīta un pēc tam kirilicas alfabēts.
4. attēls.
1. piezīme
gadā tika izmantota arī alfabētiskā sistēma senā krievija. Līdz 17. gadsimta beigām $27 $ kirilicas burti tika izmantoti kā cipari.
Nepozicionālām skaitļu sistēmām ir vairāki būtiski trūkumi:
Pastāvīgi ir nepieciešams ieviest jaunus simbolus lielu skaitļu ierakstīšanai.
Nav iespējams attēlot daļskaitļus un negatīvus skaitļus.
Ir grūti veikt aritmētiskās darbības, jo nav algoritmu to veikšanai.
T.V. Sarapulova, I.E. Trofimovs
NEPOZICIONĀLS UN JAUKTS
NUMURĀLĀS SISTĒMAS
norādes 230700.62 " Lietišķā datorzinātne» kā vadlīnijas patstāvīgs darbs
disciplīnā" Informācijas sistēmas un tehnoloģija"
Kemerova 2012
Recenzenti:
1. Prokopenko Jevgeņija Viktorovna, fizisko un matemātikas zinātņu kandidāte, lietišķās katedras asociētā profesore informācijas tehnoloģijas.
2. Sokolovs Igors Aleksandrovičs, tehnisko zinātņu kandidāts, asociētais profesors, Lietišķo informācijas tehnoloģiju katedras vadītājs, virziena 230700.62 “Lietišķā informātika” Izglītības un apmācības komisijas priekšsēdētājs.
Sarapulova Tatjana Viktorovna, Trofimovs Ivans Jevgeņevičs. Nepozicionālās un jauktās skaitļu sistēmas: metode. instrukcijas patstāvīgajam darbam disciplīnā “Informācijas sistēmas un tehnoloģijas” [elektroniskais resurss]: studentiem bakalaura apmācības jomā 230700.62 “Lietišķā informātika” / T. V. Sarapulova, I. E. Trofimov. - Elektrons. Dan. – Kemerova: KuzGTU, 2012. – 1 elektrons. vairumtirdzniecība disks (CD-ROM); skaņu ; krāsa ; 12 cm – Sistēma. prasības: RAM 64 MB; Windows XP/Vista/7; (CD-ROM diskdzinis). - Vāciņš. no ekrāna.
Vadlīnijas paredzēts pašmācība nepozicionālās un jauktās skaitļu sistēmas. Vadlīnijas ietver teorētisko ietvaru un testa jautājumus.
Ó Sarapulova T.V., Trofimovs I.E.
IEVADS.. 4
1. NEPOZICIONĀLĀS SKAITĻU SISTĒMAS... 5
1.1. Romiešu skaitļu sistēma. 6
1.2. Atlikušo klašu sistēma (RSS) 6
1.3. Stern-Brocaw numuru sistēma. 8
2. JAUKTĀS SKAITĻU SISTĒMAS... 9
2.1. Maiju skaitļu sistēma. 10
2.2. Faktoru skaitļu sistēma. 10
2.3. Fibonači skaitļu sistēma. 11
Šī patstāvīgā darba mērķis ir nepozicionālu un jauktu skaitļu sistēmu izpēte.
IEVADS
Viena no obligātajām prasībām informācijas tehnoloģiju jomas speciālistam ir zināšanas par darba ar skaitļiem principiem. Sabiedrības attīstības sākumposmā cilvēki gandrīz nezināja, kā skaitīt. Viņi atšķīra divu un trīs priekšmetu kopas; jebkura kolekcija, kurā bija lielāks objektu skaits, tika apvienota jēdzienā “daudzi”. Skaitot objektus parasti salīdzināja ar roku un kāju pirkstiem. Civilizācijai attīstoties, cilvēka vajadzība skaitīt kļuva nepieciešama. Sākotnēji naturālie skaitļi tika attēloti, izmantojot noteiktu skaitu domuzīmju vai nūju, pēc tam to attēlošanai sāka izmantot burtus vai īpašas zīmes.
Novelkam līniju starp skaitli un skaitli. Skaitlis ir kaut kāda abstrakta vienība, lai aprakstītu daudzumu. Cipari ir zīmes, ko izmanto skaitļu rakstīšanai. Ir dažādi skaitļi, visizplatītākie ir arābu skaitļi, kurus apzīmē mums zināmās zīmes no nulles (0) līdz deviņām (9); Romiešu cipari ir retāk sastopami; tos dažkārt varam atrast uz pulksteņa ciparnīcas vai gadsimta apzīmējumā (XIX gs.).
Tātad, atcerēsimies: numuru – tas ir sava veida abstrakts daudzuma mērs, numuru – šī ir zīme (zīmējums) skaitļa rakstīšanai.
Visus daudzos veidus, kā rakstīt ciparus, izmantojot ciparus, var iedalīt trīs daļās:
1. pozicionālās skaitļu sistēmas;
2. jauktas skaitļu sistēmas;
3. nepozicionālās skaitļu sistēmas.
Banknotes ir spilgts jauktas skaitļu sistēmas piemērs. Pašlaik Krievijā tiek izmantotas šādu nominālu monētas un banknotes: 1 kapeika, 5 kapeikas, 10 kapeikas, 50 kapeikas, 1 rublis, 2 rubļi, 5 rubļi, 10 rubļi, 50 rubļi, 100 rubļi, 500 rubļi, 1000 rubļi. . un 5000 rubļu. Lai iegūtu noteiktu summu rubļos, mums ir jāizmanto noteikts skaits dažādu nominālu banknošu. Pieņemsim, ka mēs pērkam putekļu sūcēju, kas maksā 6379 rubļus. Lai samaksātu, mums vajag sešu tūkstošu rubļu, trīs simtu rubļu, vienu piecdesmit rubļu, divus desmitus, vienu piecu rubļu monētu un divas divu rubļu monētas. Ja mēs pierakstām banknošu vai monētu skaitu, sākot no 1000 rubļiem. un beidzot ar vienu kapeiku, aizstājot trūkstošos nominālvērtības ar nullēm, iegūstam skaitli, kas attēlots jauktā skaitļu sistēmā; mūsu gadījumā – 603121200000.
Nepozicionālā skaitļu sistēmā skaitļa lielums nav atkarīgs no cipara atrašanās vietas skaitļa attēlojumā. Spilgts nepozicionālas skaitļu sistēmas piemērs ir romiešu sistēma. Neskatoties uz savu cienījamo vecumu, šī sistēma joprojām tiek izmantota, lai gan to parasti neizmanto.
NEPOZICIONĀLĀS SKAITĻU SISTĒMAS
Nepozicionālajās skaitļu sistēmāsvērtība, ko apzīmē cipars, nav atkarīga no tā atrašanās vietas ciparā.Šajā gadījumā sistēma var noteikt ierobežojumus skaitļu novietojumam.
Kopš seniem laikiem cilvēki ir plaši izmantojuši nepozicionālās skaitļu sistēmas. Dzīvnieku skaitīšanai tika izmantoti populācijas, krājumi, dažādi burti, piktogrammas un citi ģeometriskās formas. Laika gaitā nepozicionālās sistēmas ir kļuvušas mazāk populāras mūsdienu pasaule sastopam tipisku nepozicionālo sistēmu pārstāvi - romiešu skaitļu sistēmu, vairāk kā eksotisku burtu, nevis reāli funkcionējošu sistēmu. Iemesls atteikšanās no nepozicionālām skaitļu sistēmām bija pozicionālo sistēmu rašanās, kas ļāva izmantot ievērojami mazākus ciparu alfabētus, lai apzīmētu pat ļoti lielus skaitļus un, vēl svarīgāk, nodrošinātu vienkāršu aritmētisko darbību veikšanu ar skaitļiem.
Romiešu skaitļu sistēma
Praktiski nepozicionālas skaitļu sistēmas kanoniskais piemērs ir romiešu sistēma, kurā kā skaitļi tiek izmantoti latīņu burti:
I apzīmē 1, V 5, X 10, L 50, C 100, D 500, M 1000.
Piemēram, II = 1 + 1 = 2, šeit simbols I apzīmē 1 neatkarīgi no tā vietas skaitļā.
Lūdzu, ņemiet vērā, ka šajā skaitļu sistēmā, tāpat kā citās nepozicionālajās sistēmās, nav nulles simbola, jo tas nav nepieciešams.
Nav ticamas informācijas par romiešu ciparu izcelsmi. Cipars V sākotnēji varēja kalpot kā rokas attēls, un skaitlis X varēja veidot no diviem pieciniekiem. Romiešu numerācijā skaidri redzamas pieckāršu skaitļu sistēmas pēdas.
Patiesībā romiešu sistēma nav pilnīgi nepozicionāla, jo no tā tiek atņemts mazākais cipars pirms lielākā, piemēram:
VI = 6, t.i. 5 + 1, savukārt IV = 4, t.i. 5 – 1;
XL = 40, t.i. 50 – 10, savukārt LX = 60, t.i. 50+10.
To pašu skaitli romiešu sistēmā ievieto ne vairāk kā trīs reizes pēc kārtas: LXX = 70; LXXX = 80; skaitlis 90 ir rakstīts XC (nevis LXXXX).
Pirmos 12 skaitļus raksta ar romiešu cipariem šādi: I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI, XII.
Citus skaitļus raksta, piemēram, šādi: XXVIII = 28; XXXIX = 39; CCCXCVII = 397; MDCCCXVIII = 1818. gads.
Kad jautājam sev, cik skaitļus var ierakstīt romiešu sistēmā, mēs ātri atklājam, ka to diapazons ir no 1 (I) līdz 3999 (MMMCMXCIX). Šāds šaurs skaitļu diapazons nopietni ierobežo sistēmas izmantošanu mūsdienu dzīve, kur skaitās miljonos.
Tagad romiešu skaitļu sistēma tiek izmantota, lai apzīmētu jubilejas, numurējot dažas grāmatas lappuses (piemēram, priekšvārda lappuses), nodaļas grāmatās, stanzas dzejoļos utt.
Saistītā informācija.
