Kāds ir vienādsānu trijstūra augstums? Zīmes, kas veido vienādsānu trijstūra elementus un īpašības

Vienkārši sakot, šie ir dārzeņi, kas sagatavoti ūdenī pēc īpašas receptes. Es ņemšu vērā divus avota komponentus (dārzeņu salātus un ūdeni), un gatavais rezultāts ir borščs. Ģeometriski to var attēlot kā taisnstūri, kurā viena puse apzīmē salātus, otra puse apzīmē ūdeni. Šo abu pušu summa apzīmēs boršču. Šāda "borscht" taisnstūra diagonāle un laukums ir tīri matemātiski jēdzieni, un to nekad neizmanto boršča pagatavošanas receptēs.

Kā salāti un ūdens no matemātikas viedokļa pārvēršas borščos? Kā divu segmentu summa var pārvērsties trigonometrijā? Lai to saprastu, mums ir vajadzīgas lineāras leņķiskās funkcijas.

Matemātikas mācību grāmatās jūs neko neatradīsit par lineāro leņķa funkcijām. Bet bez viņiem nevar būt matemātika. Matemātikas likumi, tāpat kā dabas likumi, darbojas neatkarīgi no tā, vai mēs zinām par to esamību vai nē.

Lineāras leņķiskās funkcijas ir papildināšanas likumi. Skatiet, kā algebra pārvēršas par ģeometriju un ģeometrija - par trigonometriju.

Vai ir iespējams iztikt bez lineārām leņķiskām funkcijām? Tas ir iespējams, jo matemātiķi joprojām izturas bez viņiem. Matemātiķu viltība ir tā, ka viņi vienmēr mums stāsta tikai par tām problēmām, kuras viņi paši var atrisināt, un nekad nerunā par tām problēmām, kuras viņi nevar atrisināt. Paskaties. Ja mēs zinām saskaitīšanas un viena vārda rezultātu, cita vārda meklēšanai izmantojam atņemšanu. Visi. Mēs nezinām citus uzdevumus un nespējam tos atrisināt. Ko darīt, ja mēs zinām tikai pievienošanas rezultātu un abi termini nav zināmi? Šajā gadījumā pievienošanas rezultāts jāsadala divos veidos, izmantojot lineārās leņķiskās funkcijas. Turklāt mēs paši izvēlamies, kāds var būt viens termins, un lineārās leņķiskās funkcijas parāda, kādam vajadzētu būt otrajam terminam, lai pievienošanas rezultāts būtu tieši tas, kas mums vajadzīgs. Šādu terminu pāru var būt bezgalīgs skaits. IN ikdiena mums veicas labi, nesadalot summu, mums ir nepieciešams tikai atskaitījums. Bet, kad zinātniskie pētījumi Dabas likumi var būt ļoti noderīgi summas sadalīšanai terminos.

Cits papildināšanas likums, par kuru matemātiķi nepatīk runāt (vēl viens triks), prasa, lai terminiem būtu vienādas vienības. Salātiem, ūdenim un borščam tas var būt svara, tilpuma, vērtības vai vienības vienības.

Attēlā parādīti matemātikas divu līmeņu atšķirības. Pirmais līmenis ir norādītās atšķirības skaitļu laukā a, b, c. To dara matemātiķi. Otrais līmenis ir atšķirības mērvienību laukā, kuras parādītas kvadrātiekavās un apzīmētas ar burtu U. Fiziķi to dara. Mēs varam saprast trešo līmeni - atšķirības aprakstīto objektu laukā. Dažādiem objektiem var būt vienāds vienādu vienību skaits. Cik tas ir svarīgi, mēs varam redzēt boršča trigonometrijas piemēru. Ja pievienojam abonentus vienam un tam pašam dažādu objektu mērvienību apzīmējumam, mēs varam precīzi pateikt, kurš matemātiskā vērtība apraksta noteiktu objektu un kā tas mainās laika gaitā vai saistībā ar mūsu darbībām. Vēstule W Es norīkošu vēstuli S Es izraudzīšos salātus un vēstuli B - borščs. Lūk, kā izskatīsies boršča lineārās leņķiskās funkcijas.

Ja mēs ņemam daļu ūdens un kādu daļu salātu, kopā tie pārvērtīsies par vienu boršča porciju. Šeit es iesaku atpūsties no boršča un atcerēties savu tālo bērnību. Atcerieties, kā mums mācīja salikt zaķus un pīles? Bija jāatrod, cik daudz dzīvnieku iznāca. Ko mēs tad mācījām darīt? Mums tika mācīts nodalīt no skaitļiem mērvienības un pievienot skaitļus. Jā, jebkuru numuru var pievienot otram. Šis ir tiešs ceļš uz mūsdienu matemātikas autismu - mēs neko nesaprotam, nav skaidrs, kāpēc un ļoti slikti saprotam, kā tas attiecas uz realitāti, trīs atšķirību līmeņu dēļ matemātika darbojas tikai vienā. Pareizāk būs iemācīties pāriet no vienas mērvienības uz otru.

Zaķus, pīles un dzīvniekus var saskaitīt gabalos. Viena kopēja mērvienība dažādiem objektiem ļauj mums tos salikt. Šī ir uzdevuma versija bērniem. Apskatīsim līdzīgu uzdevumu pieaugušajiem. Kas notiek, ja pievienojat zaķus un naudu? Šeit jūs varat piedāvāt divus risinājumus.

Pirmais variants. Mēs nosakām zaķu tirgus vērtību un pievienojam to pieejamai naudas summai. Kopējo bagātību vērtību esam saņēmuši skaidrā naudā.

Otrais variants. Zaķu skaitu varat pievienot mūsu banknošu skaitam. Mēs iegūsim kustamās mantas daudzumu gabalos.

Kā redzat, viens un tas pats papildināšanas likums ļauj iegūt atšķirīgus rezultātus. Viss atkarīgs no tā, ko vēlamies uzzināt.

Bet atpakaļ pie mūsu boršča. Tagad mēs varam redzēt, kas notiks ar dažādām lineāro leņķa funkciju leņķa vērtībām.

Leņķis ir nulle. Mums ir salāti, bet nav ūdens. Mēs nevaram gatavot boršču. Arī boršča daudzums ir vienāds ar nulli. Tas nenozīmē, ka nulles boršs ir vienāds ar nulles ūdeni. Boršs bez nulles var atrasties pie nulles salātiem (taisnā leņķī).

Man personīgi tas ir galvenais matemātiskais pierādījums tam, ka. Nulle nemaina numuru, kad tas tiek pievienots. Tas ir tāpēc, ka pievienošana pati par sevi nav iespējama, ja ir tikai viens termins un trūkst otrā termina. Varat ar to saistīties, kā vēlaties, bet atcerieties - visas matemātikas operācijas ar nulli izgudroja paši matemātiķi, tāpēc atmetiet matemātiķu izgudrotās loģikas un muļķīgās definīcijas: “dalīt ar nulli nav iespējams”, “jebkurš skaitlis, kas nulle ir nulle, ir nulle , "pārsniedz nulles punktu" un citas muļķības. Pietiek vienreiz atcerēties, ka nulle nav skaitlis, un jums nekad nebūs jautājums, vai nulle ir naturāls skaitlis vai nē, jo šādam jautājumam parasti nav jēgas: kā var uzskatīt skaitli par kaut ko tādu, kas nav skaitlis. Tas ir tāpat kā jautāt, kāda krāsa ir neredzama krāsa. Numura pievienošana skaitlim ir tāda pati kā gleznošana ar krāsu, kas neeksistē. Viņi pamāja ar sausu suku un visiem teica, ka "mēs gleznojām". Bet es biju mazliet apjucis.

Leņķis ir lielāks par nulli, bet mazāks par četrdesmit pieciem grādiem. Mums ir daudz salātu, bet nepietiek ūdens. Rezultātā mēs iegūstam biezu boršču.

Leņķis ir četrdesmit pieci grādi. Mums ir vienāds ūdens un salātu daudzums. Šis ir ideāls borščs (piedodiet, pavāri ir tikai matemātika).

Leņķis ir vairāk nekā četrdesmit pieci grādi, bet mazāks par deviņdesmit grādiem. Mums ir daudz ūdens un nedaudz salātu. Iegūstiet šķidru boršču.

Pareizā leņķī. Mums ir ūdens. No salātiem palika tikai atmiņas, jo mēs turpinām mērīt leņķi no līnijas, kas kādreiz bija salātiem. Mēs nevaram gatavot boršču. Borshtas daudzums ir nulle. Šajā gadījumā turieties un dzeriet ūdeni, kamēr tas ir)))

Šeit. Kaut kas tamlīdzīgs. Es šeit varu pateikt citus stāstus, kas šeit būs vairāk nekā piemēroti.

Diviem draugiem bija savas daļas vispārējā biznesā. Pēc viena no viņiem nogalināšanas viss pārgāja citā.

Matemātikas parādīšanās uz mūsu planētas.

Visi šie stāsti matemātikas valodā tiek stāstīti, izmantojot lineārās leņķiskās funkcijas. Kādu citu reizi es jums parādīšu šo funkciju patieso vietu matemātikas struktūrā. Pa to laiku atgriezieties pie boršča trigonometrijas un apsveriet projekciju.

sestdien, 2019. gada 26. oktobrī

trešdien, 2019. gada 7. augustā

Noslēdzot sarunu par, jums jāņem vērā bezgalīgs skaits. Fakts ir tāds, ka jēdziens "bezgalība" darbojas uz matemātiķiem, tāpat kā boa sašaurinātājs uz truša. Trīcošas bezgalības šausmas atņem matemātiķiem veselo saprātu. Šeit ir piemērs:

Avots atrodas. Alfa apzīmē reālu skaitli. Vienādības zīme iepriekšminētajos izteicienos norāda, ka, ja jūs pievienojat skaitli vai bezgalību bezgalībai, nekas nemainīsies, rezultāts būs tāds pats bezgalīgums. Ja par piemēru ņemsim bezgalīgu skaitu dabisko skaitļu, tad aplūkotos piemērus var attēlot šādā formā:

Lai parādītu savu viedokli, matemātiķi ir nākuši klajā ar daudzām dažādām metodēm. Personīgi es aplūkoju visas šīs metodes kā šamaņu dejas ar tamburīniem. Patiesībā viņi visi nodomā faktu, ka kāda no istabām nav aizņemta un tajās tiek uzņemti jauni viesi, vai arī daļa apmeklētāju tiek izmesti koridorā, lai viesiem būtu vietas (ļoti cilvēcīgi). Es izklāstīju savu viedokli par šādiem lēmumiem fantastiska stāsta par blondīni veidā. Uz ko balstās mana argumentācija? Pārvietošana bezgalīgam apmeklētāju skaitam prasa bezgalīgi ilgu laiku. Pēc tam, kad būsim atvēruši viesim pirmo istabu, viens no apmeklētājiem līdz gadsimta beigām vienmēr staigās pa gaiteni no savas istabas uz nākamo. Protams, laika faktoru var muļķīgi ignorēt, taču tas jau būs no kategorijas "muļķi nav likumu uzrakstījuši". Viss atkarīgs no tā, ko mēs darām: pielāgojam realitāti matemātikas teorijām vai otrādi.

Kas ir "bezgalīga viesnīca"? Bezgalīga viesnīca ir viesnīca, kurā vienmēr ir neierobežots skaits pieejamo gultu neatkarīgi no tā, cik istabu aizņem. Ja visas telpas bezgalīgajā koridorā viesiem ir aizņemtas, ir vēl viens bezgalīgs koridors ar numuriem viesiem. Būs bezgalīgs skaits šādu koridoru. Turklāt "bezgalīgajai viesnīcai" ir bezgalīgs stāvu skaits bezgalīgā skaitā ēku uz bezgalīga skaita planētu bezgalīgā skaitā Visumu, ko rada bezgalīgs skaits dievu. Matemātiķi nespēj norobežoties no ikdienišķām ikdienas problēmām: Dievs-Allah-Buda vienmēr ir tikai viens, viesnīca ir viena, koridors ir tikai viens. Tieši matemātiķi mēģina žonglēt viesnīcu numuru numurus, pārliecinot mūs, ka jūs varat “nospiest neiespiežamo”.

Es jums parādīšu manas spriešanas loģiku, izmantojot bezgalīgu dabisko skaitļu skaitu. Vispirms jums jāatbild uz ļoti vienkāršu jautājumu: cik dabisko skaitļu komplektu pastāv - viens vai vairāki? Pareizā atbilde uz šo jautājumu neeksistē, jo mēs paši izdomājām skaitļus, dabā skaitļu nav. Jā, daba zina, kā skaitīt, bet tam viņa izmanto citus matemātiskos rīkus, kas mums nav pazīstami. Tā kā Daba tic, es jums pastāstīšu citu reizi. Tā kā mēs nācām klajā ar skaitļiem, mēs izlemsim, cik dabisko skaitļu kopu pastāv. Apsveriet abas iespējas, jo tas ir piemērots reālam zinātniekam.

Pirmais variants. "Ļaujiet mums dot" vienu dabisko skaitļu komplektu, kas mierīgi atrodas uz plaukta. Mēs ņemam šo komplektu no plaukta. Viss, plauktā nav citu dabisko numuru, un nav kur tos ņemt. To nevar pievienot šai kopai, jo tāda jau ir. Un, ja jūs patiešām vēlaties? Nekādu problēmu. Mēs varam ņemt vienību no komplekta, kuru jau esam paņēmuši, un atgriezt to plauktā. Pēc tam mēs varam paņemt vienību no plaukta un pievienot to, kas mums ir palicis. Tā rezultātā mēs atkal iegūstam bezgalīgu skaitu dabisko skaitļu. Visas mūsu manipulācijas var uzrakstīt šādi:

Darbības ierakstīju algebriskajā apzīmējumā un aprakstā, kas pieņemts kopas teorijā, detalizēti uzskaitot kopas elementus. Apakšindekss norāda, ka pozitīvo skaitļu kopums ir viens un vienīgais. Izrādās, ka dabisko skaitļu kopa paliek nemainīga tikai tad, ja no tās atņemsi vienu un pievienosi to pašu vienību.

Otrais variants. Mums plauktā ir daudz dažādu bezgalīgu dabisko skaitļu komplektu. Es uzsveru - DAŽĀDI, neskatoties uz to, ka tie praktiski nav atšķirami. Mēs ņemam vienu no šiem komplektiem. Tad mēs ņemam vienu no otra dabisko skaitļu komplekta un pievienojam to komplektam, kuru mēs jau esam paņēmuši. Mēs pat varam saskaitīt divas dabisko skaitļu kopas. Lūk, ko mēs iegūstam:

Parakstītāji “viens” un “divi” norāda, ka šie elementi piederēja dažādām kopām. Jā, ja jūs pievienojat to bezgalīgam komplektam, rezultāts būs arī bezgalīgs komplekts, taču tas nebūs tāds pats kā sākotnējais komplekts. Ja mēs pievienojam vēl vienu bezgalīgu komplektu vienai bezgalīgai kopai, rezultāts ir jauns bezgalīgais komplekts, kas sastāv no pirmo divu kopu elementiem.

Daudzus naturālos skaitļus izmanto skaitīšanai tāpat kā lineālu mērījumiem. Tagad iedomājieties, ka jūs pievienojāt lineālam vienu centimetru. Šī būs vēl viena līnija, kas nav vienāda ar oriģinālu.

Jūs varat pieņemt vai nepieņemt manu pamatojumu - tas ir jūsu pašu bizness. Bet, ja jūs kādreiz sastopaties ar matemātiskām problēmām, padomājiet par to, vai jūs ejat uz maldīgas domāšanas ceļa, kuru nomoka matemātiķu paaudzes. Galu galā, matemātikas stundas, pirmkārt, veido mūsos stabilu domāšanas stereotipu, un tikai tad viņi mūs papildina garīgās spējas (vai otrādi, atņem mums brīvu domāšanu).

pozg.ru

svētdien, 2019. gada 4. augustā

Es pievienoju postscript rakstam par un redzēju šo brīnišķīgo tekstu Wikipedia:

Mēs lasām: "... bagātīgajam Bābeles matemātikas teorētiskajam pamatam nebija holistiska rakstura un tas nonāca līdz atšķirīgu paņēmienu kopumam, kam nebija kopīgas sistēmas un pierādījumu bāzes."

Oho! Cik gudri mēs esam un cik labi mēs varam redzēt citu trūkumus. Vai mums ir vāji aplūkot mūsdienu matemātiku tajā pašā kontekstā? Nedaudz pārfrāzējot iepriekš minēto tekstu, man personīgi izdevās rīkoties šādi:

Mūsdienu matemātikas bagātīgais teorētiskais pamats nav holistisks, un tas nonāk līdz atšķirīgu sadaļu kopumam, kam nav kopīgas sistēmas un pierādījumu bāzes.

Es nedarīšu tālu savu vārdu apstiprināšanai - tam ir valoda un konvencijas, kas atšķiras no daudzu citu matemātikas nozaru valodas un konvencijām. Vieniem un tiem pašiem nosaukumiem dažādās matemātikas sadaļās var būt atšķirīga nozīme. Es gribu veltīt veselu virkni publikāciju mūsdienu matemātikas acīmredzamākajām kļūdām. Uz drīzu redzēšanos.

sestdien, 2019. gada 3. augustā

Kā sadalīt komplektu apakšgrupās? Šim nolūkam ir jāievieš jauna mērvienība, kas atrodas dažos atlasītās kopas elementos. Apsveriet piemēru.

Lai mums ir daudz UNkas sastāv no četriem cilvēkiem. Šis komplekts ir izveidots, pamatojoties uz “cilvēkiem”. Ar burtu mēs apzīmējam šī komplekta elementus un, apakšindekss ar numuru norāda katras šīs sērijas personas kārtas numuru. Mēs ieviešam jaunu mērvienību "dzimums" un apzīmējam to ar burtu b. Tā kā seksuālās īpašības ir raksturīgas visiem cilvēkiem, mēs reizinām katru komplekta elementu UN pēc dzimuma b. Lūdzu, ņemiet vērā, ka tagad mūsu “cilvēku” pulks ir kļuvis par “cilvēku ar seksuālām īpašībām” daudziem. Pēc tam dzimumu varam sadalīt vīriešu dzimumā bm un sievietes bw seksuālās īpašības. Tagad mēs varam pielietot matemātisko filtru: mēs izvēlamies vienu no šīm seksuālajām īpašībām neatkarīgi no tā, kurš - vīrietis vai sieviete. Ja tas atrodas cilvēkā, mēs to reizinām ar vienu; ja šādas zīmes nav, mēs to reizinām ar nulli. Un tad mēs izmantojam parasto skolas matemātiku. Redz, kas notika.

Pēc reizināšanas, samazināšanas un pārkārtojuma mēs ieguvām divas apakškopas: vīriešu apakškopu Bm un sieviešu apakškopa Bw. Matemātiķi spriež tāpat, kad praksē piemēro kopu teoriju. Viņi nevis velta mūs sīkāk, bet dod gala rezultātu - "daudz cilvēku sastāv no vīriešu apakškopas un sieviešu apakškopas". Protams, jums var rasties jautājums, cik pareizi matemātika tiek piemērota iepriekšminētajās pārvērtībās? Es uzdrošinos jums apgalvot, ka būtībā viss tika izdarīts pareizi, pietiek ar zināt aritmētikas, Būla algebras un citu matemātikas nozaru matemātisko pamatojumu. Kas tas ir? Kādu citu reizi es jums par to pastāstīšu.

Runājot par supersetām, ir iespējams apvienot divus komplektus vienā superset, izvēloties mērvienību, kas atrodas šo divu kopu elementos.

Kā redzat, mērvienības un parastā matemātika pārvērš noteikto teoriju par pagātnes relikviju. Zīme, ka ar teoriju viss nav kārtībā, ir tā, ka matemātiķi ir izvirzījuši savu valodu un savu apzīmējumu kopai. Matemātiķi darīja to, ko reiz darīja šamaņi. Tikai šamaņi zina, kā pareizi "pielietot" savas "zināšanas". Viņi māca mums šīs "zināšanas".

Noslēgumā es vēlos jums parādīt, kā matemātiķi manipulē ar.

pirmdien, 2019. gada 7. janvārī

Piektajā gadsimtā pirms mūsu ēras senās grieķu filozofs Zeno no Elejas formulēja savas slavenās aporijas, no kurām slavenākās ir Ahilleja un Bruņurupuča aporija. Lūk, kā tas izklausās:

Pieņemsim, ka Ahillejs skrien desmit reizes ātrāk nekā bruņurupucis un ir tūkstoš soļu aiz viņas. Laikā, kad Ahilejs skrien šo attālumu, bruņurupucis rāpo simts soļu tajā pašā virzienā. Kad Ahilejs noskrien simts soļus, bruņurupucis pārmeklēs vēl desmit soļus utt. Process turpināsies bezgalīgi, Ahillejs nekad nepieķersies bruņurupucim.

Šī argumentācija bija loģisks šoks visām nākamajām paaudzēm. Aristotelis, Diogēns, Kants, Hēgels, Hilberts ... Visi kaut kā uzskatīja par Zeno aporiju. Šoks bija tik spēcīgs, ka " ... diskusijas turpinās pašlaik, zinātnieku aprindām vēl nav izdevies panākt kopēju viedokli par paradoksu būtību ... jautājuma izpētē tika iesaistīta matemātiskā analīze, noteiktā teorija, jaunas fizikālās un filozofiskās pieejas; neviens no viņiem nekļuva par vispārpieņemtu jautājuma risinājumu ..."[Wikipedia, The Zeno Aporia]]. Visi saprot, ka tiek apmānīti, bet neviens nesaprot, kas ir krāpšana.

No matemātikas viedokļa Zenons savā aporijā skaidri parādīja pāreju no lieluma uz. Šī pāreja nozīmē piemērošanu, nevis konstantes. Cik es saprotu, matemātiskais aparāts mainīgu mērvienību piemērošanai vai nu vēl nav izstrādāts, vai arī tas nav ticis piemērots Zeno aporia. Parastās loģikas izmantošana mūs aiztur. Mēs ar domāšanas inerci apgrieztajai vērtībai piemērojam nemainīgas laika vienības. No fiziskā viedokļa tas izskatās kā laika palēnināšanās, līdz tas pilnībā apstājas brīdī, kad Ahillejs ir vienāds ar bruņurupuci. Ja laiks apstājas, Ahillejs vairs nevar apdzīt bruņurupuci.

Ja jūs vērsīsities pie parastās loģikas pret mums, tad viss nonāk vietā. Ahillejs brauc ar nemainīgu ātrumu. Katrs nākamais viņa ceļa segments ir desmit reizes īsāks nekā iepriekšējais. Attiecīgi laiks, kas vajadzīgs, lai to pārvarētu, ir desmit reizes mazāks nekā iepriekšējais. Ja jūs šajā situācijā piemērojat jēdzienu "bezgalība", tad būtu pareizi teikt: "Ahilejs bezgalīgi ātri panāk bruņurupučus."

Kā izvairīties no šī loģiskā slazda? Palieciet nemainīgās laika vienībās un neatgriezieties pie apgrieztajām vērtībām. Zeno valodā tas izskatās šādi:

Laikā, kurā Ahilejs skrien tūkstoš soļu, bruņurupucis rāpo simts soļu tajā pašā virzienā. Nākamajā laika posmā, kas ir vienāds ar pirmo, Ahillejs noskrien vēl tūkstoš soļu, un bruņurupucis pārmeklēs simts soļus. Tagad Ahillejs ir astoņsimt soļu priekšā bruņurupucim.

Šī pieeja adekvāti raksturo realitāti bez loģiskiem paradoksiem. Bet tas nav pilnīgs problēmas risinājums. Zenona aporija Ahillejs un bruņurupucis ir ļoti līdzīgs Einšteina paziņojumam par neatvairāmo gaismas ātrumu. Mums vēl ir jāizpēta, jāpārdomā un jāatrisina šī problēma. Un risinājums jāmeklē nevis bezgalīgi daudz, bet gan mērvienībās.

Vēl viena interesanta Zeno aporija stāsta par lidojošu bultu:

Lidojošā bultiņa ir nekustīga, jo katrā laika brīdī tā ir miera stāvoklī, un, tā kā tā atrodas katrā laika brīdī, tā vienmēr ir miera stāvoklī.

Šajā aporijā loģiskais paradokss tiek pārvarēts ļoti vienkārši - pietiek paskaidrot, ka katru brīdi lidojošā bultiņa balstās dažādos kosmosa punktos, kas patiesībā ir kustība. Šeit jāatzīmē vēl viens punkts. No vienas automašīnas, kas atrodas uz ceļa, fotoattēla nav iespējams noteikt ne tās kustības faktu, ne attālumu līdz tai. Lai noteiktu automašīnas pārvietošanās faktu, ir vajadzīgas divas fotogrāfijas, kas izgatavotas no viena un tā paša punkta dažādos laika punktos, bet jūs nevarat noteikt attālumu no tām. Lai noteiktu attālumu līdz automašīnai, jums ir nepieciešami divi fotoattēli, kas vienā brīdī izdarīti no dažādiem kosmosa punktiem, taču no tiem nevar noteikt kustības faktu (protams, jums joprojām ir nepieciešami papildu dati aprēķiniem, trigonometrija, kas jums palīdzēs). Es gribu pievērst īpašu uzmanību tam, ka divi laika punkti un divi punkti telpā ir dažādas lietas, kuras nevajadzētu sajaukt, jo tās sniedz dažādas pētījumu iespējas.
Es parādīšu procesu ar piemēru. Mēs izvēlamies "pūtīte sarkanā cietā krāsā" - tas ir mūsu "viss". Tajā pašā laikā mēs redzam, ka šīs lietas ir ar loku un ir bez priekšgala. Pēc tam mēs izvēlamies daļu no "visa" un veidojam komplektu "ar loku". Tas ir tas, kā šamaņi saņem ēdienu, sasaistot viņu noteikto teoriju ar realitāti.

Tagad izdarīsim nelielu netīru triku. Paņemiet "cietu pūtī ar loku" un apvienojiet šos "veselos" pēc krāsas, atlasot sarkanos elementus. Mēs saņēmām daudz sarkanu. Tagad jautājums ir aizpildīšana: iegūtie komplekti "ar loku" un "sarkans" - vai tas ir tas pats komplekts vai divi dažādi komplekti? Tikai šamējie zina atbildi. Precīzāk, viņi paši neko nezina, bet, kā saka, tā tas būs.

Šis vienkāršais piemērs parāda, ka kopas teorija ir pilnīgi bezjēdzīga, kad runa ir par realitāti. Kāds ir noslēpums? Mēs izveidojām "sarkanās cietās vielas komplektu izciļņā ar loku". Veidošana notika četrās dažādās mērvienībās: krāsa (sarkana), stiprība (cieta), raupjums (izciļņā), rotājumi (ar loku). Tikai mērvienību kopums ļauj adekvāti aprakstīt reālos objektus matemātikas valodā. Lūk, kā tas izskatās.

Burts "a" ar dažādiem indeksiem norāda dažādas vienības. Iekavās tiek izceltas mērvienības, ar kurām sākotnējā posmā tiek izcelts "viss". Mērvienība, pēc kuras tiek izveidota kopa, tiek izņemta no iekavām. Pēdējā rindā tiek parādīts gala rezultāts - komplekta elements. Kā redzat, ja kopas veidošanai izmantojam mērvienības, tad rezultāts nav atkarīgs no mūsu darbību secības. Un tā ir matemātika, nevis šamaņu dejošana ar tamburīniem. Šamaņi var "intuitīvi" nonākt pie tāda paša rezultāta, apgalvojot par tā "pierādījumiem", jo mērvienības nav iekļautas viņu "zinātniskajā" arsenālā.

Izmantojot mērvienības, ir ļoti viegli sadalīt vienu vai apvienot vairākus komplektus vienā supersetā. Sīkāk apskatīsim šī procesa algebru.

LIETOT 4? Un nepārsprāgt ar laimi?

Jautājums, kā viņi saka, ir interesants ... Jūs varat, jūs varat nodot 4! Un, lai arī nesprāgst ... Galvenais nosacījums ir regulāri iesaistīties. Šeit ir galvenā sagatavošanās eksāmenam matemātikā. Ar visiem eksāmena noslēpumiem un noslēpumiem, kurus jūs nelasīsit mācību grāmatās ... Izpētiet šo sadaļu, atrisiniet vairāk uzdevumu no dažādiem avotiem - un viss izdosies! Domājams, ka būs pamatnodalījums "Pietiek ar jums un trim!" tas jums nerada grūtības. Bet, ja pēkšņi ... Sekojiet saitēm, neesiet slinks!

Un mēs sāksim ar lielu un briesmīgu tēmu.

Trigonometrija

Uzmanību!
Šai tēmai ir papildu tēmas.
materiāli iekšā Īpašā 555. sadaļa.
Tiem, kas ir stingri "ne pārāk ..."
Un tiem, kas ir "ļoti ...")

Šī tēma rada daudz problēmu studentiem. To uzskata par vienu no smagākajiem. Kas ir sinuss un kosinuss? Kas ir pieskares un kognanti? Kas ir ciparu aplis? Ir vērts uzdot šos nekaitīgos jautājumus, jo cilvēks kļūst bāls un mēģina sarunu novirzīt uz sāniem ... Bet velti. Tie ir vienkārši jēdzieni. Un šī tēma nav sarežģītāka par citām. Jums vienkārši ir skaidri jāsaprot atbildes uz šiem ļoti jautājumiem no paša sākuma. Tas ir ļoti svarīgi. Ja saprot - jums patiks trigonometrija. Tātad,

Kas ir sinuss un kosinuss? Kas ir pieskares un kognanti?

Sāksim no seniem laikiem. Neuztraucieties, mēs iziesim cauri visiem 20 trigonometrijas gadsimtiem apmēram 15 minūtēs.Un, sevi nepamanot, mēs atkārtosim ģeometrijas gabalu no 8. klases.

Zīmējiet labo trīsstūri ar sāniem a, b, s un leņķis x. Te tas ir.

Ļaujiet man jums atgādināt, ka malas, kuras veido taisnu leņķi, sauc par kājām. un iekšā - kājas. Ir divi no tiem. Atlikušo pusi sauc par hipotenūzi. no plkst - hipotenūza.

Trijstūris un trīsstūris, padomā! Ko ar viņu iesākt? Bet senie cilvēki zināja, ko darīt! Atkārtojiet viņu darbības. Izmēriet pusi iekšā. Attēlā šūnas ir speciāli uzzīmētas, kā parādīts pārbaudes tas notiek. Sānu iekšā vienāds ar četrām šūnām. Labi. Izmēriet pusi un. Trīs šūnas.

Tagad sadaliet sānu garumu un sānu garumā iekšā. Vai arī, kā saka, izturēties pret attieksmi un uz iekšā. a / c= 3/4.

To var sadalīt tieši pretēji iekšā uz un. Mēs iegūstam 4/3. Var iekšā dalīt ar no plkst. Hipotenūza no plkst šūnas neskaitās, bet tas ir 5. Mēs iegūstam v / s \u003d 4/5. Īsāk sakot, jūs varat sadalīt sānu garumus viens otram un iegūt dažus skaitļus.

Ko tad? Kāda jēga no šīs interesantās nodarbības? Vēl nē. Stulbi mācība, atklāti sakot.)

Tagad darīsim to. Palielināsim trīsstūri. Pagariniet puses iekšā un arbet tā, lai trīsstūris paliktu taisnstūrveida. Leņķis xdabiski nemainās. Lai to redzētu, pārvietojiet peles kursoru virs attēla vai pieskarieties tam (ja jums ir planšetdators). Ballītes a, b un c pārvērtīsies par m, n, k, un, protams, mainīsies sānu garumi.

Bet viņu attiecības - nē!

Attieksme a / c Tas bija: a / c \u003d 3/4, tā kļuva m / n \u003d 6/8 \u003d 3/4. Arī citu attiecīgo pušu attiecības ir nemainīsies . Jūs varat mainīt malu garumu taisnleņķa trīsstūrī, palielināt, samazināt, nemainot leņķi x – attiecīgo pušu attiecības nemainīsies . Jūs varat pārbaudīt, bet jūs varat ņemt vārdu senajiem cilvēkiem.

Bet tas jau ir ļoti svarīgi! Sānu leņķa trīsstūra malu attiecības nav atkarīgas no sāniem (vienā un tajā pašā leņķī). Ir tik svarīgi, lai pušu attiecības būtu izpelnījušās īpašos nosaukumus. Jūsu vārdi, tā sakot.) Iepazīstieties.

Kāds ir leņķa x sinuss ? Šī ir pretējās puses un hipotenūzes attiecība:

sinx \u003d a / s

Kāda ir leņķa x kosinuss ? Šī ir blakus esošās kājas un hipotenūzes attiecība:

no plkstosx= v / s

Kāda ir leņķa x pieskare ? Šī ir pretējās kājas un blakus esošās kājas attiecība:

tgx \u003da / c

Kas ir leņķa koaģents x ? Šī ir blakus esošās kājas un pretējās attiecības attiecība:

ctgx \u003d w / a

Viss ir ļoti vienkārši. Sinuss, kosinuss, tangents un kootāns ir daži no skaitļiem. Bezizmēra. Tikai skaitļi. Katram stūrītim - savs.

Kāpēc es atkārtoju visu tik garlaicīgi? Tad kas tas ir vajag atcerēties. Vilciens atcerēties. Iegaumēšanu var atvieglot. Vai frāze “Sāksim no tālienes ...” ir pazīstama? Tāpēc sāciet no tālienes.

Sinus leņķis ir attiecība tālu no kājas leņķa līdz hipotenūzei. Kosinuss - kaimiņa un hipotenūzes attiecība.

Pieskares leņķis ir attiecība tālu no kājas stūra uz tuvējo. Kotāns - gluži pretēji.

Jau vieglāk, vai ne?

Nu, ja jūs atceraties, ka pieskares un kogances stāvoklī sēž tikai kājas, un hipotenūza parādās sinusā un kosinusā, tad viss kļūs ļoti vienkāršs.

Tiek saukta arī visa šī jaukā ģimene - sinuss, kosinuss, pieskare un kogants trigonometriskās funkcijas.

Un tagad jautājums izskatīšanai.

Kāpēc mēs sakām sinusu, kosinusu, tangenci un kootagentu? leņķis? Tas ir par pušu attiecībām, sava veida ... Kāda tam sakara ar to? leņķis?

Mēs skatāmies uz otro attēlu. Tieši tāds pats kā pirmais.

Virziet kursoru virs attēla. Es mainīju leņķi x. Palielināja to ar no x līdz x Visas attiecības ir mainījušās! Attieksme a / c bija 3/4, un atbilstošā attiecība t / in kļuva par 6/4.

Un visas pārējās attiecības ir kļuvušas atšķirīgas!

Līdz ar to pušu attiecības nav atkarīgas no to garuma (vienā leņķī x), bet tās ir ļoti atkarīgas no šī paša leņķa! Un tikai no viņa. Tāpēc termini sine, kosinuss, pieskare un koagents attiecas uz stūra. Leņķis šeit ir galvenais.

Ironiski jāsaprot, ka leņķis ir nesaraujami saistīts ar tā trigonometriskajām funkcijām. Katrā stūrī ir savs sinuss un kosinuss. Un gandrīz ikvienam ir savs pieskares un kogants. Tas ir svarīgi. Tiek uzskatīts, ka, ja mums tiek dots leņķis, tad tā sinuss, kosinuss, pieskare un kodogents mēs zinām ! Un otrādi. Tiek piešķirts sinuss vai jebkura cita trigonometriskā funkcija - tas nozīmē, ka mēs zinām leņķi.

Ir speciālas tabulas, kur katram leņķim ir nokrāsotas tā trigonometriskās funkcijas. Tiek saukti Bradis galdi. Tie ir ļoti ilgi sastādīti. Kad nebija kalkulatoru, nebija datoru ...

Protams, nevar atcerēties visu leņķu trigonometriskās funkcijas. Jums tie jāzina tikai dažos leņķos, vairāk par to vēlāk. Bet burvestība " es zinu leņķi, kas nozīmē, ka es zinu tā trigonometriskās funkcijas ”-vienmēr darbojas!

Tātad mēs atkārtojām ģeometrijas gabalu no 8. klases. Vai mums tas ir vajadzīgs eksāmenam? Tas ir nepieciešams. Šeit ir raksturīga eksāmena mīkla. Risinājumam, kuram pietiek ar 8. klasi. Dots attēls:

Visi. Nav vairāk datu. Ir jāatrod gaisa kuģa sānu garums.

Šūnas palīdz slikti, trīsstūris ir kaut kā nepareizi novietots .... Īpaši dodieties ... No informācijas ir hipotenūzes garums. 8 šūnas. Kādu iemeslu dēļ tiek norādīts leņķis.

Šeit ir nepieciešams nekavējoties atsaukt atmiņā trigonometriju. Ir leņķis, kas nozīmē, ka mēs zinām visas tā trigonometriskās funkcijas. Kura no četrām funkcijām ir jāīsteno? Un redzēsim, ko mēs zinām? Mēs zinām hipotenūzi, leņķi, bet mums tas jāatrod blakus uz šo stūri brauc! Skaidrs bizness, biznesā jāuzsāk kosinuss! Šeit mēs sākam. Vienkārši pēc definīcijas uzrakstiet kosinusu (sakarība blakus katete līdz hipotenūzei):

cosC \u003d BC / 8

Leņķis C ir 60 grādi, tā kosinuss ir 1/2. Tas jāzina bez tabulām! Tas ir:

1/2 \u003d saule / 8

Elementārais lineārais vienādojums. Nezināms - Saule. Kurš ir aizmirsis kā atrisināt vienādojumus , sekojiet saitei, pārējie izlemj:

Saule \u003d 4

Kad senie cilvēki saprata, ka katram stūrim ir savs komplekts trigonometriskās funkcijas, viņiem ir pamatots jautājums. Bet vai sinusa, kosinuss, pieskare un kootāns ir kaut kādā veidā savienoti?Lai, zinot viena leņķa funkciju, varētu atrast citus? Vai pats nerēķina leņķi?

Šeit viņi bija nemierīgi ...)

Attiecības starp viena leņķa trigonometriskajām funkcijām.

Protams, viena un tā paša leņķa sinuss, kosinuss, tangents un kootāns ir savstarpēji savienoti. Katrs savienojums starp izteiksmēm matemātikā tiek dots pēc formulām. Trigonometrijas formulās - milzīgs daudzums. Bet šeit mēs apsvērsim visvienkāršākos. Šīs formulas sauc: pamata trigonometriskās identitātes. Šeit tie ir:

Šīs formulas jāzina vilcienā. Bez viņiem trigonometrijā nav ko darīt. No šīm pamata identitātēm izriet vēl trīs papildidentitātes:

Uzreiz brīdinu, ka pēdējās trīs formulas ātri pazūd no atmiņas. Kādu iemeslu dēļ.) Jūs, protams, varat iegūt šīs formulas no pirmajām trim. Bet grūtos laikos ... Jūs saprotat.)

Standarta uzdevumos, piemēram, zemāk uzskaitītajos, ir veids, kā iztikt bez šīm neaizmirstamajām formulām. UN krasi samaziniet kļūdas aizmirstību un arī skaitļošanu. Šī prakse ir aprakstīta 555. sadaļā, nodarbībā. "Attiecības starp viena leņķa trigonometriskajām funkcijām."

Kādos uzdevumos un kā tiek izmantotas galvenās trigonometriskās identitātes? Populārākais uzdevums ir atrast kādu leņķa funkciju, ja tiek piešķirta cita. USE šāds uzdevums pastāv katru gadu.) Piemēram:

Atrodiet sinx vērtību, ja x ir akūts leņķis un cosx \u003d 0,8.

Uzdevums ir gandrīz elementārs. Mēs meklējam formulu, kur ir sinuss un kosinuss. Šeit tā ir šī formula:

sin 2 x + cos 2 x \u003d 1

Mēs šeit aizstājam zināmo vērtību, proti, 0,8, nevis kosinusu:

sin 2 x + 0,8 2 \u003d 1

Nu, kā parasti, mēs uzskatām:

grēks 2 x + 0,64 \u003d 1

sin 2 x \u003d 1 - 0,64

Tas ir praktiski viss. Mēs aprēķinājām sinusa kvadrātu, tas paliek jānoņem kvadrātsakne un atbilde ir gatava! 0,36 sakne būs 0,6.

Uzdevums ir gandrīz elementārs. Bet vārds "gandrīz" šeit nav veltīgs ... Fakts ir tāds, ka ir piemērota arī atbilde sinx \u003d - 0,6 ... (-0,6) 2 būs arī 0,36.

Tiek iegūtas divas atšķirīgas atbildes. Un jums tāds ir vajadzīgs. Otrais ir nepareizs. Kā būt !? Jā, kā parasti.) Rūpīgi izlasiet uzdevumu. Kādu iemeslu dēļ teikts: ... ja x ir akūts leņķis ... Un uzdevumos katram vārdam ir nozīme, jā ... Šī frāze ir papildu informācija risinājumam.

Akūts leņķis ir leņķis, kas mazāks par 90 °. Un tādos stūros visiem trigonometriskās funkcijas - un sinuss, un kosinuss, un pieskare ar koaģentu - pozitīvs. Tie. mēs šeit vienkārši noraidām noraidošo atbildi. Mums ir tiesības.

Patiesībā astotajiem klasētājiem šādas smalkumus nevajag. Tie darbojas tikai ar taisnleņķa trīsstūriem, kur stūri var būt tikai asi. Un viņi nezina, priecīgi, ka ir negatīvi leņķi un 1000 ° leņķi ... Un visiem šiem murgainajiem leņķiem ir savas trigonometriskās funkcijas ar plusu un mīnusu ...

Bet vidusskolēni, neņemot vērā zīmi - nekādā veidā. Daudzas zināšanas reizina bēdas, jā ...) Un, lai pareizi izlemtu uzdevumu, papildus informācijai obligāti ir klāt (ja nepieciešams). Piemēram, to var norādīt ar šādu ierakstu:

Vai kā citādi. Skatīt piemērus zemāk.) Lai atrisinātu šos piemērus, jums jāzina kurā ceturksnī ietilpst dotais leņķis x un kāda ir vēlamā trigonometriskā funkcija šajā ceturksnī.

Šie trigonometrijas pamati tiek apskatīti stundās. kas ir trigonometriskais aplis, saskaitot šī apļa leņķus, radiāna leņķa mērs. Dažreiz jums jāzina un pieskares un koaģentu kosinusu sinusu tabula.

Tātad, mēs atzīmējam vissvarīgāko:

Praktiski padomi:

1. Atcerieties sinusa, kosinusa, pieskares un koaģenta definīcijas. Ļoti noderīgs.

2. Mēs skaidri asimilējamies: sinuss, kosinuss, tangents un kootāns ir stingri savienoti ar stūriem. Mēs zinām vienu lietu - tas nozīmē, ka mēs zinām citu.

3. Mēs skaidri asimilējamies: viena leņķa sinusu, kosinusu, tangenci un kodolenti savstarpēji savieno pamata trigonometriskās identitātes. Mēs zinām vienu funkciju - tas nozīmē, ka mēs varam (ja mums ir nepieciešamā papildu informācija) aprēķināt visas pārējās.

Un tagad mēs izlemjam, kā parasti. Pirmie uzdevumi 8. klases apjomā. Bet vidusskolēni var arī ...)

1. Aprēķina tgA vērtību, ja ctgA \u003d 0,4.

2. β ir leņķis taisnstūrī. Atrodiet tgβ vērtību, ja sinβ \u003d 12/13.

3. Nosakiet akūtā leņķa x sinusu, ja tgx \u003d 4/3.

4. Atrodiet izteiksmes vērtību:

6sin 2 5 ° - 3 + 6cos 2 5 °

5. Atrodiet izteiksmes vērtību:

(1-cosx) (1 + cosx), ja sinx \u003d 0,3

Atbildes (atdalītas ar semikolu, atšķirībā):

0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5

Notika? Labi! Iespējams, ka astotie greideri seko viņu pieciniekiem.)

Vai viss neizdevās? 2. un 3. uzdevums kaut kā nav pārāk ...? Nekādu problēmu! Šādiem uzdevumiem ir viens skaists triks. Viss ir atrisināts, praktiski, bez jebkādām receptēm! Nu un tāpēc bez kļūdām. Šis triks nodarbībā: “Saistība starp viena leņķa trigonometriskajām funkcijām” 555. sadaļā aprakstīts. Tur tiek izjaukti arī visi citi uzdevumi.

Tās bija mīklas. eksāmena veidsbet atvienotā versijā. Vienotais valsts eksāmens - viegls). Un tagad ir gandrīz tie paši uzdevumi, bet pilnvērtīgā kešatmiņas formātā. Vidusskolēniem, kuri apgrūtināti ar zināšanām.)

6. Atrodiet tgβ vērtību, ja sinβ \u003d 12/13, un

7. Nosakiet sinksu, ja tgx \u003d 4/3, un x pieder intervālam (- 540 °; - 450 °).

8. Atrodiet izteiksmes sinβ · cosβ vērtību, ja ctgβ \u003d 1.

Atbildes (nekārtībā):

0,8; 0,5; -2,4.

Šeit, 6. uzdevumā, leņķis kaut kā tiek noteikts ne pārāk viennozīmīgi ... Bet 8. uzdevumā tas vispār nav noteikts! Tas ir īpašs). Papildu informācija tiek ņemta ne tikai no uzdevuma, bet arī no galvas.) Bet, ja jūs nolemjat - tiek garantēts viens pareizais uzdevums!

Un ja neesat izlēmis? Hm ... Nu, lūk 555. sadaļa palīdzēs. Tur visu šo uzdevumu risinājumi ir sīki izstrādāti, ir grūti to neizdomāt.

Šajā nodarbībā sniegts ļoti ierobežots trigonometrisko funkciju jēdziens. 8. klases ietvaros. Un vecākiem ir jautājumi ...

Piemēram, ja leņķis x (skatiet otro attēlu šajā lapā) - padariet mēms !? Trijstūris sabruks! Un ko darīt? Nebūs kāju, nebūs hipotenūzes ... Sinusa ir pazudusi ...

Ja senie cilvēki nebūtu atraduši izeju no šīs situācijas, mums nebūtu mobilo tālruņu, televizora vai elektrības. Jā jā! Teorētiskais pamats no visām šīm lietām bez trigonometriskām funkcijām - nulle bez zizļa. Bet senie cilvēki nelika vilties. Kā viņi izkāpa - nākamajā nodarbībā.

Ja jums patīk šī vietne ...

Starp citu, man ir vēl pāris interesantas vietnes.)

Jūs varat praktizēt piemēru risināšanu un uzzināt savu līmeni. Pārbaude ar tūlītēju verifikāciju. Mācības - ar interesi!)

Jūs varat iepazīties ar funkcijām un atvasinājumiem.

Kā redzat, šis aplis ir iebūvēts Dekarta koordinātu sistēmā. Apļa rādiuss ir vienotība, bet apļa centrs atrodas pie sākuma, rādiusa vektora sākotnējā pozīcija tiek fiksēta pa ass pozitīvo virzienu (mūsu piemērā tas ir rādiuss).

Katrs apļa punkts atbilst diviem skaitļiem: koordināta gar asi un koordināta gar asi. Un kādi ir šie koordinātu skaitļi? Un vispār, kāds viņiem sakars ar apspriežamo tēmu? Lai to izdarītu, mums jāatceras par aplūkoto labo trīsstūri. Iepriekš redzamajā attēlā varat pamanīt pat divus taisna leņķa trīsstūrus. Apsveriet trīsstūri. Tas ir taisnstūrveida, jo ir perpendikulārs asij.

Kas ir vienāds no trīsstūra? Tieši tā. Turklāt mēs to zinām - tas ir vienības apļa rādiuss, un tāpēc. Mēs aizstājam šo vērtību savā kosinusa formulā. Rezultāts:

Un kas ir vienāds ar no trīsstūra? Nu, protams! Aizvietojiet rādiusa vērtību šajā formulā un iegūstiet:

Tātad, vai jūs varat pateikt, kādas ir koordinātas lokam piederošajā punktā? Nu, nekādā veidā? Un ja jūs to saprotat - tie ir tikai cipari? Kura koordināta atbilst? Nu, protams, jāsaskaņo! Un kādai koordinātei tas atbilst? Tieši tā, saskaņojiet! Tātad jēga.

Un kas tad ir vienādi un? Tieši tā, mēs izmantojam atbilstošās pieskares un koalentas definīcijas un iegūstam to, a.

Bet ko tad, ja leņķis ir lielāks? Piemēram, šeit, piemēram, šajā attēlā:

Kas ir mainījies šajā piemērā? Izdomāsim to. Lai to izdarītu, mēs atkal pagriežamies uz labo trīsstūri. Apsveriet taisnstūra trīsstūri: leņķi (kā blakus stūrim). Kāda ir sinusa, kosinusa, pieskares un koaģences vērtība leņķim? Tieši tā, mēs ievērojam atbilstošās trigonometrisko funkciju definīcijas:

Nu, kā redzat, leņķa sinusa vērtība joprojām atbilst koordinātei; leņķa kosinuss ir koordināta; un tangences un koaģentes vērtības ir atbilstošas \u200b\u200battiecības. Tādējādi šīs attiecības ir piemērojamas jebkurai rādiusa vektora rotācijai.

Jau tika minēts, ka rādiusa vektora sākotnējā pozīcija atrodas gar ass pozitīvo virzienu. Līdz šim mēs esam šo vektoru pagriezuši pretēji pulksteņrādītāja virzienam, bet kas notiek, ja to pagriežat pulksteņrādītāja virzienā? Nekas ārkārtējs, tas izrādīsies tāds pats kā noteikta izmēra leņķis, bet tikai tas būs negatīvs. Tādējādi, kad rādiusa vektors griežas pretēji pulksteņrādītāja virzienam, pozitīvi leņķi, un pagriežot pulksteņrādītāja virzienā - negatīvs.

Tātad, mēs zinām, ka visa rādiusa vektora apgriešanās aplī ir vai. Vai ir iespējams ieslēgt vai ieslēgt rādiusa vektoru? Nu, protams, jūs varat! Pirmajā gadījumā rādiusa vektors veiks vienu pilnu apgriezienu un apstāsies pie vai.

Otrajā gadījumā, tas ir, rādiusa vektors veiks trīs pilnus pagriezienus un apstāsies pie vai.

Tādējādi no iepriekšminētajiem piemēriem mēs varam secināt, ka leņķi, kas atšķiras par vai (kur ir vesels skaitlis), atbilst tai pašai rādiusa vektora pozīcijai.

Zemāk redzamais attēls parāda leņķi. Tas pats attēls atbilst stūrim utt. Šis saraksts turpinās un turpinās. Visus šos leņķus var uzrakstīt kā vispārīgu formulu vai (kur - jebkurš vesels skaitlis)

Tagad, zinot trigonometrisko pamatfunkciju definīcijas un izmantojot vienības apli, mēģiniet atbildēt, kādas vērtības ir vienādas ar:

Šeit būs viens aplis, kas jums palīdzēs:

Ir problēmas? Tad izdomāsim. Tātad mēs zinām, ka:

No šejienes mēs nosakām punktu koordinātas, kas atbilst noteiktiem leņķa izmēriem. Nu, sāksim secībā: punkts koordinātēs atbilst stūrim pie, tāpēc:

Neeksistē;

Tālāk, ievērojot to pašu loģiku, mēs uzzinām, ka stūri attiecīgi atbilst punktiem ar koordinātām. Zinot to, ir viegli noteikt trigonometrisko funkciju vērtības attiecīgajos punktos. Vispirms izmēģiniet to pats un pēc tam pārbaudiet atbildes.

Atbildes:

Neeksistē

Neeksistē

Neeksistē

Neeksistē

Tādējādi mēs varam izgatavot šādu plāksni:

Nav nepieciešams atcerēties visas šīs nozīmes. Pietiek atcerēties vienību loka punktu koordinātu un trigonometrisko funkciju vērtību atbilstību:

Bet leņķu trigonometrisko funkciju vērtības iekšā un, kas dotas tabulā zemāk, vajag atcerēties:

Nebaidieties, tagad mēs parādīsim vienu piemēru diezgan vienkārša atbilstošo vērtību iegaumēšana:

Lai izmantotu šo metodi, ir svarīgi atcerēties sinusa vērtības visiem trim leņķa izmēriem (), kā arī leņķa b pieskares vērtību. Zinot šīs vērtības, ir diezgan vienkārši atjaunot visu tabulu kopumā - kosinusa vērtības tiek pārsūtītas saskaņā ar bultiņām, tas ir:

Zinot to, jūs varat atjaunot vērtības. Skaitītājs "" sakrīt, un saucējs "" sakrīt. Kotāniskās vērtības tiek pārnestas saskaņā ar bultiņām, kas norādītas attēlā. Ja jūs to saprotat un atceraties diagrammu ar bultiņām, tad pietiks atcerēties visas vērtības no tabulas.

Apļa punkta koordinātas

Vai ir iespējams atrast punktu (tā koordinātas) uz apļa, zinot apļa centra koordinātas, tā rādiusu un griešanās leņķi?

Nu, protams, jūs varat! Izdarīsim to ārā vispārīga formula punkta koordinātu atrašanai.

Piemēram, šeit mums ir šāds loks:

Mums tiek dots, ka punkts ir apļa centrs. Apļa rādiuss ir vienāds. Ir jāatrod iegūtā punkta koordinātas, pagriežot punktu par grādiem.

Kā redzams attēlā, punkta koordināta atbilst segmenta garumam. Segmenta garums atbilst apļa centra koordinātēm, tas ir, ir vienāds ar. Segmenta garumu var izteikt, izmantojot kosinusa definīciju:

Tad mums ir tas, kas norāda punktu koordinātu.

Pēc tās pašas loģikas mēs atrodam punkta y koordinātu vērtību. Tādējādi

Tātad kopumā punktu koordinātas nosaka pēc formulas:

Apļa centra koordinātas,

Apļa rādiuss

Vektoru rādiusa rotācijas leņķis.

Kā redzat, vienības aplim, kuru mēs apsveram, šīs formulas ir ievērojami samazinātas, jo centra koordinātas ir nulle un rādiuss ir vienots:

Nogaršosim šīs formulas, praktizējot punktu atrašanu uz apļa?

1. Atrodiet punkta koordinātas uz apļa vienības, kas iegūts, ieslēdzot punktu.

2. Atrodiet punkta koordinātas vienības aplī, kas iegūts, ieslēdzot punktu.

3. Atrodiet punkta koordinātas uz apļa vienības, kas iegūts, ieslēdzot punktu.

4. Punkts ir apļa centrs. Apļa rādiuss ir vienāds. Ir jāatrod iegūtā punkta koordinātas, pagriežot sākotnējā rādiusa vektoru par.

5. Punkts ir apļa centrs. Apļa rādiuss ir vienāds. Ir jāatrod iegūtā punkta koordinātas, pagriežot sākotnējā rādiusa vektoru par.

Vai jums ir grūtības atrast apļa punkta koordinātas?

Atrisiniet šos piecus piemērus (vai labi izdomājiet tos risinājumā), un jūs iemācīsities tos atrast!

1.

Jūs to varat pamanīt. Bet mēs zinām, ka tas atbilst sākumpunkta pilnīgai revolūcijai. Tādējādi vēlamais punkts atradīsies tādā pašā stāvoklī kā ieslēdzot. To zinot, mēs atrodam vēlamās punkta koordinātas:

2. Vienības aplis ir centrēts uz punktu, kas nozīmē, ka mēs varam izmantot vienkāršotas formulas:

Jūs to varat pamanīt. Mēs zinām, ka tas atbilst diviem pilniem sākuma punkta apgriezieniem. Tādējādi vēlamais punkts atradīsies tādā pašā stāvoklī kā ieslēdzot. To zinot, mēs atrodam vēlamās punkta koordinātas:

Sinuss un kosinuss ir tabulas vērtības. Atgādiniet viņu vērtības un iegūstiet:

Tādējādi vēlamajam punktam ir koordinātas.

3. Vienības aplis ir centrēts uz punktu, kas nozīmē, ka mēs varam izmantot vienkāršotas formulas:

Jūs to varat pamanīt. Attēlā mēs parādīsim aplūkoto piemēru:

Rādiuss veido leņķus, kas vienādi ar asi un ar asi. Zinot, ka kosinusa un sinusa tabulas vērtības ir vienādas, un nosakot, ka kosinuss šeit saņem negatīvu vērtību, un sinuss ir pozitīvs, mums ir:

Šādi piemēri sīkāk apskatīti, izpētot formulas, kā tēmai pievērst trigonometriskās funkcijas.

Tādējādi vēlamajam punktam ir koordinātas.

4.

Vektora rādiusa rotācijas leņķis (pēc stāvokļa)

Lai noteiktu atbilstošās sinusa un kosinusa pazīmes, mēs konstruējam vienības apli un leņķi:

Kā redzat, nozīme, tas ir, ir pozitīva, un nozīme, tas ir, ir negatīva. Zinot attiecīgo trigonometrisko funkciju tabulas vērtības, iegūstam, ka:

Aizstājiet iegūtās vērtības mūsu formulā un atrodiet koordinātas:

Tādējādi vēlamajam punktam ir koordinātas.

5. Lai atrisinātu šo problēmu, mēs izmantojam formulas vispārīgā formā, kur

Apļa centra koordinātas (mūsu piemērā

Apļa rādiuss (pēc stāvokļa)

Vektora rādiusa rotācijas leņķis (pēc stāvokļa).

Aizstājiet visas formulas vērtības un iegūstiet:

un ir tabulas vērtības. Atcerieties un aizstājiet tos formulā:

Tādējādi vēlamajam punktam ir koordinātas.

KOPSAVILKUMS UN PAMAT formulas

Leņķa sinuss ir pretējās (attālās) kājas attiecība pret hipotenūzi.

Leņķa kosinuss ir blakus esošās (tuvās) kājas un hipotenūzes attiecība.

Leņķa pieskare ir pretējās (tālās) kājas attiecība pret blakus esošo (tuvu).

Leņķa koģents ir blakus esošās (tuvās) kājas un pretējās (tālās) kājas attiecība.

Trigonometrijas kā zinātnes izcelsme bija Senajos Austrumos. Pirmās trigonometriskās attiecības secināja astronomi, lai izveidotu precīzu kalendāru un orientāciju pa zvaigznēm. Šie aprēķini attiecās uz sfērisko trigonometriju, kamēr skolas kurss izpētiet plakanā trīsstūra malu attiecību un leņķi.

Trigonometrija ir matemātikas nozare, kas aplūko trigonometrisko funkciju īpašības un attiecības starp trijstūru malām un leņķiem.

1. gadsimta AD kultūras un zinātnes uzplaukumā zināšanas izplatījās no Seniem Austrumiem līdz Grieķijai. Bet galvenie trigonometrijas atklājumi ir arābu kalifāta vīru nopelni. Proti, Turkmenistānas zinātnieks al-Marazvi ieviesa tādas funkcijas kā pieskare un kognanti, sastādīja pirmās sinusu, pieskares un koaģentu vērtību tabulas. Sinusa un kosinusa jēdzienus ievieš Indijas zinātnieki. Trigonometrijai tiek pievērsta liela uzmanība tik lielu senatnes figūru kā Eiklida, Arhimēda un Eratosthenes rakstos.

Galvenās trigonometrijas vērtības

Skaitliska argumenta galvenās trigonometriskās funkcijas ir sinuss, kosinuss, tangents un kootagens. Katram no tiem ir savs grafiks: sinusa vilnis, kosinusa vilnis, tangences vilnis un koorganiskais vilnis.

Šo lielumu vērtību aprēķināšanas formulas ir balstītas uz Pitagora teorēmu. Skolēni to labāk zina formulējumā: “ Pitagora biksesir vienādi visos virzienos ”, jo pierādījums ir sniegts uz vienādsānu piemēra taisnais trīsstūris.

Sinusoze, kosinuss un citas atkarības izveido savienojumu starp asiem leņķiem un jebkura taisnstūra malām. Mēs sniedzam formulas šo lielumu aprēķināšanai leņķim A un izsekojam trigonometrisko funkciju attiecību:

Kā redzat, tg un ctg ir apgrieztas funkcijas. Ja iedomājamies kāju a kā grēka A un hipotenūzes s produktu, bet kāju b kā cos A * c, tad mēs iegūstam šādas formulas tangentam un koagentantam:

Trigonometriskais aplis

Grafiski minēto vērtību attiecību var attēlot šādi:

Aplis šajā gadījumā apzīmē visas iespējamās leņķa α vērtības - no 0 ° līdz 360 °. Kā redzams attēlā, katrai funkcijai ir negatīva vai pozitīva vērtība atkarībā no leņķa lieluma. Piemēram, sin α būs ar “+” zīmi, ja α pieder apļa I un II ceturtdaļai, tas ir, ir diapazonā no 0 ° līdz 180 °. Pie α no 180 ° līdz 360 ° (III un IV ceturtdaļa) sin α var būt tikai negatīva vērtība.

Mēģināsim izveidot trigonometriskas tabulas noteiktiem leņķiem un noskaidrosim vērtību nozīmi.

Α vērtības, kas vienādas ar 30 °, 45 °, 60 °, 90 °, 180 ° un tā tālāk, sauc par īpašiem gadījumiem. Tiem tiek aprēķinātas trigonometrisko funkciju vērtības un parādītas speciālu tabulu veidā.

Šie leņķi netika izvēlēti nejauši. Apzīmējums π tabulās apzīmē radiānus. Rads ir leņķis, kurā apļa loka garums atbilst tā rādiusam. Šī vērtība tika ieviesta, lai noteiktu universālo atkarību; aprēķinos radiānos nav nozīmes faktiskajam rādiusa garumam cm.

Trigonometrisko funkciju tabulās norādītie leņķi atbilst radiānu vērtībām:

Tātad, nav grūti uzminēt, ka 2π ir pilns aplis vai 360 °.

Trigonometrisko funkciju īpašības: sinuss un kosinuss

Lai apskatītu un salīdzinātu sinusa un kosinusa, pieskares un koagentānas pamatīpašības, ir nepieciešams uzzīmēt to funkcijas. To var izdarīt līknes formā, kas atrodas divdimensiju koordinātu sistēmā.

Apsveriet sinusoidālā un kosinusa viļņa īpašību salīdzinošo tabulu:

Sinusa vilnis	Kosinusa vilnis
y \u003d sin x	y \u003d cos x
ODZ [-1; 1]	ODZ [-1; 1]
sin x \u003d 0, ja x \u003d πk, kur k ϵ Z	cos x \u003d 0, ja x \u003d π / 2 + πk, kur k ϵ Z
sin x \u003d 1, ja x \u003d π / 2 + 2πk, kur k ϵ Z	cos x \u003d 1, ja x \u003d 2πk, kur k ϵ Z
sin x \u003d - 1, ja x \u003d 3π / 2 + 2πk, kur k ϵ Z	cos x \u003d - 1, ja x \u003d π + 2πk, kur k ϵ Z
sin (-x) \u003d - sin x, t.i., funkcija ir nepāra	cos (-x) \u003d cos x, t.i., funkcija ir vienmērīga
	periodiskā funkcija, īsākais periods - 2π
sin x\u003e 0, x, kas pieder I un II ceturksnim vai no 0 ° līdz 180 ° (2πk, π + 2πk)	cos x\u003e 0, x, kas pieder I un IV ceturksnim vai no 270 ° līdz 90 ° (- π / 2 + 2πk, π / 2 + 2πk)
sin x ‹0, x, kas pieder III un IV ceturksnim vai ir no 180 ° līdz 360 ° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹0, x, kas pieder II un III ceturksnim vai no 90 ° līdz 270 ° (π / 2 + 2πk, 3π / 2 + 2πk)
palielinās intervāls [- π / 2 + 2πk, π / 2 + 2πk]	palielinās intervāls [-π + 2πk, 2πk]
samazinās intervālos [π / 2 + 2πk, 3π / 2 + 2πk]	samazinās ar intervālu
atvasinājums (sin x) ’\u003d cos x	atvasinājums (cos x) '\u003d - sin x

Ļoti vienkārši ir noteikt, vai funkcija ir vienmērīga vai nē. Pietiek iedomāties trigonometrisko apli ar trigonometrisko lielumu pazīmēm un garīgi “salocīt” grafiku attiecībā pret asi OX. Ja zīmes sakrīt, funkcija ir vienmērīga, pretējā gadījumā tā ir nepāra.

Radiānu ieviešana un sinusoīda un kosinusa pamata īpašību uzskaitījums var radīt šādu modeli:

Pārbaudīt formulas pareizību ir ļoti vienkārši. Piemēram, x \u003d π / 2 sinuss ir 1, kā arī kosinuss x \u003d 0. Pārbaudi var veikt, pagriežoties uz tabulām vai sekojot dotajām vērtībām funkciju līknēm.

Tangentoīdu un cotangentoids īpašības

Pieskares un koordinējošās funkcijas grafiki ievērojami atšķiras no sinusa un kosinusa. Tg un ctg vērtības ir apgrieztas viena otrai.

1. Y \u003d tg x.
2. Tangentoīdam ir tendence uz y vērtībām pie x \u003d π / 2 + πk, bet nekad tās nesasniedz.
3. Tangentoīda mazākais pozitīvais periods ir π.
4. Tg (- x) \u003d - tg x, t.i., funkcija ir nepāra.
5. Tg x \u003d 0, ja x \u003d πk.
6. Funkcija palielinās.
7. Tg x\u003e 0, x ϵ (πk, π / 2 + πk).
8. Tg x ‹0, x ϵ (- π / 2 + πk, πk).
9. Atvasinājums (tg x) '\u003d 1 / cos 2 \u2061x.

Apsveriet zemāk redzamo cotangensoids grafisko attēlu.

Cotangentoids galvenās īpašības:

1. Y \u003d ctg x.
2. Atšķirībā no sinusa un kosinusa funkcijām tangentoidā Y var ņemt visu reālo skaitļu kopas vērtības.
3. Cotangentoid mēdz y vērtības pie x \u003d πk, bet nekad tās nesasniedz.
4. Mazākais pozitīvais cotangentoids periods ir π.
5. Ctg (- x) \u003d - ctg x, t.i., funkcija ir nepāra.
6. Ctg x \u003d 0, ja x \u003d π / 2 + πk.
7. Funkcija samazinās.
8. Ctg x\u003e 0, x ϵ (πk, π / 2 + πk).
9. Ctg x ‹0, x ϵ (π / 2 + πk, πk).
10. Atvasinājums (ctg x) '\u003d - 1 / sin 2 Fixx Fix