Pitagora bikses visos virzienos ir vienādas kāpēc. Interesanti fakti par Pitagora teorēmu: mēs uzzinām jaunas lietas par labi zināmo teorēmu (15 foto)
Romiešu arhitekts Vitruviuss īpaši uzsvēra Pitagora teorēmu “no daudzajiem atklājumiem, kas sniedza pakalpojumus cilvēka dzīves attīstībai”, un aicināja izturēties pret to ar lielu cieņu. Tas bija atpakaļ 1. gadsimtā pirms mūsu ēras. e. XVI-XVII gadsimtu mijā slavenais vācu astronoms Johanness Keplers to sauca par vienu no ģeometrijas dārgumiem, kas ir salīdzināms ar zelta izmēru. Maz ticams, ka visā matemātikā ir nozīmīgāks un nozīmīgāks apgalvojums, jo Pitagora teorēmai nav vienādu zinātnisko un praktisko pielietojumu skaita.
Pitagora teorēma vienādsānu labā trīsstūra gadījumam.
Zinātne un dzīve // \u200b\u200bIlustrācijas
Ilustrācija Pitagora teorēmai no traktāta par mērīšanas stabu (Ķīna, III gadsimts pirms mūsu ēras) un pierādījumiem, kas rekonstruēti uz tā pamata.
Zinātne un dzīve // \u200b\u200bIlustrācijas
S. Perkins. Pitagors.
Zīmējums uz iespējamiem Pitagoras pierādījumiem.
Pitagora mozaīka un trīs kvadrātu an-Nayrizi sadalījums Pitagora teorēmas pierādījumā.
P. de Hočs. Saimniece un kalpone pagalmā. Ap 1660. gadu
J. Ochtervelt. Klīst mūziķi pie bagātīgas mājas durvīm. 1665. gads.
Pitagora bikses
Pitagora teorēma, iespējams, ir visatpazīstamākā un, bez šaubām, slavenākā matemātikas vēsturē. Ģeometrijā to lieto burtiski uz katra soļa. Neskatoties uz apgalvojuma vienkāršību, šī teorēma nekādā ziņā nav acīmredzama: apskatot taisnu trīsstūri ar malām a< b < c, усмотреть соотношение a 2 + b 2 = c 2 невозможно. Однажды известный американский логик и популяризатор науки Рэймонд Смаллиан, желая подвести учеников к открытию теоремы Пифагора, начертил на доске прямоугольный треугольник и по квадрату на каждой его стороне и сказал: «Представьте, что эти квадраты сделаны из кованого золота и вам предлагают взять себе либо один большой квадрат, либо два маленьких. Что вы выберете?» Мнения разделились пополам, возникла оживлённая дискуссия. Каково же было удивление учеников, когда учитель объяснил им, что никакой разницы нет! Но стоит только потребовать, чтобы катеты были равны, - и утверждение теоремы станет явным (рис. 1). И кто после этого усомнится, что «пифагоровы штаны» во все стороны равны? А вот те же самые «штаны», только в «сложенном» виде (рис. 2). Такой чертёж использовал герой одного из диалогов Платона под названием «Менон», знаменитый философ Сократ, разбирая с мальчиком-рабом задачу на построение квадрата, площадь которого в два раза больше площади данного квадрата. Его рассуждения, по сути, сводились к доказательству теоремы Пифагора, пусть и для конкретного треугольника.
Attēlos parādītie skaitļi 1. un 2. attēls atgādina vienkāršāko kvadrātu un to vienlīdzīgo rotājumu - ģeometrisko rakstu, kas pazīstams kopš neatminamiem laikiem. Viņi var pilnībā segt plakni. Matemātiķis šādu plakņu daudzstūru segumu dēvē parkets vai flīzēšana. Kāds sakars Pitagoram ar to? Izrādās, ka viņš bija pirmais, kurš atrisināja pareizā grīdas seguma problēmu, ar kuru viņš sāka dažādu virsmu flīžu izpēti. Tātad Pitagors parādīja, ka plakni ap punktu var pārklāt bez atstarpēm ar vienādiem regulāriem daudzstūriem, kas ir tikai trīs tipi: seši trīsstūri, četri kvadrāti un trīs sešstūri.
4000 gadus vēlāk
Pitagora teorēmas vēsture aizsākās senatnē. Tās pieminēšana ir ietverta karaļa Hammurabi (XVIII gadsimtā pirms mūsu ēras) Babilonijas zilās formas tekstos, tas ir, 1200 gadus pirms Pitagora dzimšanas. Teorēma tika izmantota kā gatavs noteikums daudzās problēmās, no kurām vienkāršākā ir kvadrāta diagonāles atrašana sānos. Iespējams, ka babilonieši ieguva sakarību a 2 + b 2 \u003d c 2 patvaļīgam taisnleņķa trīsstūrim, vienkārši “vispārinot” vienādību a 2 + a 2 \u003d c 2. Bet tas viņiem ir atvainojams - seno cilvēku praktiskajai ģeometrijai, kas tika samazināta līdz mērījumiem un aprēķiniem, stingrs pamatojums nebija vajadzīgs.
Tagad, gandrīz 4000 gadus vēlāk, mēs saskaramies ar rekordlielu teorēmu, kas attiecas uz visa veida pierādījumiem. Starp citu, to vākšana ir sena tradīcija. Intereses kulminācija par Pitagora teorēmu kritās 19. gadsimta otrajā pusē - 20. gadsimta sākumā. Un, ja pirmajās kolekcijās bija ne vairāk kā divi vai trīs desmiti pierādījumu, tad līdz XIX gadsimta beigām to skaits tuvojās 100 un pēc vēl pusgadsimta pārsniedza 360, un tas ir tikai tas, kas tika savākts no dažādiem avotiem. Kurš tikai nepieņēma šī mūžīgā uzdevuma risinājumu - no izciliem zinātniekiem un zinātnes popularizētājiem līdz kongresmeņiem un skolniekiem. Un kas ir ievērojams, risinājuma oriģinalitātē un vienkāršībā citi cienītāji nebija zemāki par profesionāļiem!
Vecākais pierādījums, kas pie mums nonācis, ir Pitagora teorēma, kas bija aptuveni 2300 gadus veca. Viens no tiem - stingri aksiomātisks - pieder sengrieķu matemātiķim Eiklidam, kurš dzīvoja IV-III gadsimtos pirms mūsu ēras. e. Pirmajā grāmatas “Sākums” grāmatā Pitagora teorēma ir minēta kā “47. priekšlikums”. Acīmredzamākie un skaistākie pierādījumi balstās uz "Pitagora bikses" pārzīmēšanu. Tie izskatās kā ģeniāls kvadrātā sagriezts mīkla. Bet lieciet skaitļiem kustēties pareizi - un viņi jums atklās slavenās teorēmas noslēpumu.
Elegants pierādījums tiek iegūts, pamatojoties uz zīmējumu no viena senā ķīniešu traktāta (3. att.), Un nekavējoties tiek noskaidrota tā saistība ar uzdevumu divkāršot kvadrāta laukumu.
Tieši šo pierādījumu septiņgadīgais Guido, Anglijas rakstnieka Aldousa Hukslija Mazā arhimēda noveles sašutuma varonis, mēģināja paskaidrot savam jaunākajam draugam. Ir ziņkārīgi, ka stāstītājs, kurš novēroja šo attēlu, atzīmēja pierādījumu vienkāršību un pārliecību, tāpēc viņš to attiecināja uz pašu Pitagorsu. Bet Jevgeņija Veltistova fantastiskā romāna “Elektronika ir zēns no kofera” varonis zināja 25 Pitagora teorēmas pierādījumus, ieskaitot Eiklida sniegto; Tiesa, viņš kļūdaini nosauca to par vienkāršāko, lai gan patiesībā mūsdienu “Sākuma” izdevumā tas prasa pusotru lappusi!
Pirmais matemātiķis
Samosas Pitagorsu (570.-495. Gadā pirms mūsu ēras), kura vārds jau sen ir nesaraujami saistīts ar ievērojamu teorēmu, savā ziņā var saukt par pirmo matemātiķi. Tieši ar viņu matemātika sākas kā eksakta zinātne, kur visas jaunās zināšanas nav vizuālu atveidojumu un noteikumu, kas iegūti no pieredzes, bet loģiskas spriešanas un secinājumu rezultāts. Tikai šādā veidā var vienreiz un uz visiem laikiem noskaidrot jebkura matemātiskā teikuma patiesumu. Pirms Pitagora deduktīvo metodi izmantoja tikai seno grieķu filozofs un zinātnieks Thales Miletus, kurš dzīvoja 7. – 6. Gadsimtu mijā pirms mūsu ēras. e. Viņš pauda pašu pierādījuma ideju, bet to sistemātiski, selektīvi, kā likums, nepiemēroja tādiem acīmredzamiem ģeometriskiem apgalvojumiem kā “diametrs šķērsoja apli”. Pitagors ir pavirzījies daudz tālāk. Tiek uzskatīts, ka viņš iepazīstināja ar pirmajām definīcijām, aksiomām un pierādīšanas metodēm, kā arī izveidoja pirmo ģeometrijas kursu, kas senie grieķi bija pazīstams ar nosaukumu "Pitagora tradīcija". Viņš arī stāvēja pie skaitļu teorijas un stereometrijas pirmsākumiem.
Vēl viens svarīgs Pitagora nopelns ir krāšņās matemātiķu skolas pamats, kas vairāk nekā gadsimtu noteica šīs zinātnes attīstību Senajā Grieķijā. Arī termins “matemātika” tiek saistīts ar viņa vārdu (no grieķu vārda μαθημa - doktrīna, zinātne), apvienojot četras saistītās disciplīnas, kuras izveidoja Pitagors un viņa piekritēji - pitagorieši - zināšanu sistēmas: ģeometrija, aritmētika, astronomija un harmonikas.
Pitagora sasniegumus nav iespējams atdalīt no viņa audzēkņu sasniegumiem: ievērojot paražu, viņi savam skolotājam piedēvēja savas idejas un atklājumus. Agrīnie pitagorieši neatstāja nevienu darbu, viņi visu informāciju pārsūtīja mutiski. Tātad 2500 gadus vēlāk vēsturniekiem nav citas izvēles kā rekonstruēt zaudētās zināšanas no citu, vēlāku autoru izkārtojumiem. Mēs piešķiram atzinību grieķiem: lai arī viņi apņēma Pitagora vārdu ar daudzām leģendām, viņi viņam neko nepiešķīra, ko viņš nevarēja atklāt vai izvērst teorijā. Un teorēma, uz kuras ir viņa vārds, nav izņēmums.
Tik vienkāršs pierādījums
Nav zināms, vai pats Pitagors atklāja attiecības starp sāniem garumā taisnstūrī vai aizņēmās šīs zināšanas. Senie autori apgalvoja, ka viņš pats mīlēja stāstīt leģendu par to, kā par godu savam atklājumam Pitagors upurēja vērsi. Mūsdienu vēsturnieki sliecas uzskatīt, ka viņš par šo teoriju uzzināja, iepazīstoties ar babiloniešu matemātiku. Mēs nezinām, kādā formā Pitagors formulēja teorēmu: aritmētiski, kā tas ir ierasts mūsdienās, hipotenūza kvadrāts ir vienāds ar kāju kvadrātu summu vai ģeometriski senču garā kvadrāts, kas uzbūvēts uz taisna trīsstūra hipotenūza, ir tāds pats kā uzcelto kvadrātu summa. viņa kājas.
Tiek uzskatīts, ka tieši Pitagors sniedza pirmos pierādījumus par teorēmu, kurā bija viņa vārds. Protams, tas nav saglabājies. Saskaņā ar vienu versiju Pitagors varēja izmantot savā skolā izstrādāto proporciju doktrīnu. It īpaši tā balstījās uz līdzības teoriju, uz kuru balstās argumentācija. Taisnstūra trijstūrī ar kājām a un b pievelciet hipotenūzes c augstumu. Mēs iegūstam trīs šādus trīsstūrus, ieskaitot oriģinālo. Viņu attiecīgās malas ir proporcionālas, a: c \u003d m: a un b: c \u003d n: b, no kurienes a 2 \u003d c · m un b 2 \u003d c · n. Tad a 2 + b 2 \u003d \u003d c · (m + n) \u003d c 2 (4. att.).
Šī ir tikai rekonstrukcija, ko ierosinājis viens no zinātnes vēsturniekiem, taču pierādījums, jūs redzat, ir ļoti vienkāršs: tas prasa tikai dažas rindiņas, jums nav jāpabeidz celtniecība, pārzīmēšana, aprēķināšana ... Nav pārsteidzoši, ka tas tika atkārtoti atklāts. Tas ir ietverts, piemēram, Leonardo Pisansky geometrijas praksē (1220), un tas joprojām tiek minēts mācību grāmatās.
Šis pierādījums nebija pretrunā pitagoriešu idejām par samērojamību: sākotnēji viņi uzskatīja, ka jebkura divu segmentu garuma attiecību un līdz ar to arī taisnleņķa skaitļu laukumu attiecību var izteikt, izmantojot naturālos skaitļus. Viņi neuzskatīja nevienu citu skaitli, pat nepieļāva frakcijas, aizstājot tos ar koeficientiem 1: 2, 2: 3 utt. Tomēr ironiski, ka tieši Pitagora teorēma lika pitagoriešiem atklāt kvadrāta un tā sānu diagonāles nesavienojamību. Visi mēģinājumi skaitliski attēlot šīs diagonāles garumu - kvadrāta vienībai tas ir √2 - ir neveiksmīgi. Vieglāk bija pierādīt, ka problēma nav atrisināma. Šādā gadījumā matemātiķiem ir pārbaudīta metode - pierādījums ar pretrunām. Starp citu, viņš tiek attiecināts arī uz Pitagorsu.
Attiecību esamība, ko neizsaka ar naturāliem skaitļiem, izbeidza daudzos pitagoriešu attēlojumus. Kļuva skaidrs, ka viņu zināmie skaitļi nebija pietiekami, lai atrisinātu pat vienkāršas problēmas, nemaz nerunājot par visu ģeometriju! Šis atklājums bija pagrieziena punkts grieķu matemātikas attīstībā, kas bija tās galvenā problēma. Pirmkārt, tas noveda pie atšķirīgu daudzumu - iracionalitātes - doktrīnas izstrādes un pēc tam - skaitļa jēdziena paplašināšanas. Citiem vārdiem sakot, ar to sākās daudzu reālu skaitļu izpētes gadsimtiem ilga vēsture.
Pitagora mozaīka
Ja jūs pārklājat plakni ar divu dažādu izmēru kvadrātiem, apņemot katru mazo kvadrātu ar četriem lieliem, jūs iegūsit Pitagora mozaīkas parketu. Šāds attēls jau sen rotā akmens grīdas, atgādinot senos pierādījumus par Pitagora teorēmu (līdz ar to arī tās vārdu). Pielietojot kvadrātveida režģi parketam dažādos veidos, var iegūt kvadrātu starpsienas, kas uzceltas uz taisnstūra trīsstūriem un kuras ierosinājuši dažādi matemātiķi. Piemēram, ja jūs sakārtojat režģi tā, lai visi tā mezgli sakristu ar mazo kvadrātu augšējām labajām virsotnēm, zīmējuma fragmenti parādīsies viduslaiku persiešu matemātiķa al-Nairisi pierādījumam, kuru viņš ievietoja Eiklida "Sākumu" komentāros. Ir viegli redzēt, ka lielo un mazo kvadrātu laukumu summa, kas ir parketa sākotnējie elementi, ir vienāda ar režģa viena kvadrāta laukumu, kas uz tā ir uzlikts. Un tas nozīmē, ka norādītais nodalījums ir patiešām piemērots parketa ieklāšanai: apvienojot iegūtos daudzstūrus kvadrātā, kā parādīts attēlā, jūs varat tos aizpildīt bez spraugām un pārklāt visu plakni.
»Vorikas universitātes cienītais matemātikas profesors, pazīstamais zinātnes popularizētājs Īans Stjuarts, veltīja skaitļu nozīmei cilvēces vēsturē un viņu pētījumu nozīmīgumam mūsu laikā.
Pitagora hipotenūza
Pitagora trīsstūriem ir taisns leņķis un veseli skaitļi. Vienkāršākajā no tām garākās puses garums ir 5, pārējās - 3 un 4. Kopā ir 5 parastās daudzskaldnes. Piektās pakāpes vienādojumu nevar atrisināt ar piektās pakāpes saknēm - vai citām saknēm. Režģiem plaknē un trīsdimensiju telpā nav piecu ziedlapu pagrieziena simetrijas, tāpēc šādas simetrijas nav arī kristālos. Tomēr tie var atrasties režģos četrdimensiju telpā un uzjautrinošās struktūrās, kuras sauc par kvazkristāliem.
Vismazākā Pitagora trīskāršā hipotenūza
Pitagora teorēma norāda, ka taisnleņķa trīsstūra (bēdīgi slavenā hipotenūza) garākā puse ļoti vienkārši un skaisti korelē ar šī trīsstūra abām divām pusēm: hipotenūza kvadrāts ir vienāds ar pārējo divu malu kvadrātu summu.
Parasti šo teorēmu mēs saucam par Pitagora vārdu, taču patiesībā tās vēsture ir diezgan neskaidra. Māla tabletes liek domāt, ka senie babilonieši Pitagora teorēmu zināja jau ilgi pirms Pitagora; atklājēja slavu viņam atnesa pitagoriešu matemātiskais kults, kura atbalstītāji uzskatīja, ka Visums balstās uz skaitliskiem likumiem. Senie autori piešķīra pitagoriešiem - un tāpēc arī Pitagoriem - dažādas matemātiskas teorēmas, taču patiesībā mums nav ne mazākās nojausmas, kādā matemātikā pats Pitagors bija iesaistīts. Mēs pat nezinām, vai pitagorieši varēja pierādīt pitagora teorēmu vai arī vienkārši uzskatīja, ka tā ir taisnība. Vai, visticamāk, viņiem bija pārliecinoši pierādījumi par tā patiesumu, ar kuriem tomēr nepietiks tam, ko mēs šodien uzskatām par pierādījumiem.
Pitagora pierādījumi
Pirmais zināmais Pitagora teorēmas pierādījums, ko atrodam Eiklida "Sākumos". Tas ir diezgan sarežģīts pierādījums, izmantojot zīmējumu, kurā Viktorijas laikmeta skolēni nekavējoties atpazīs "Pitagora bikses"; zīmējums patiešām atgādina apakšbikses žāvēšanu uz virves. Burtiski ir zināmi simtiem citu pierādījumu, no kuriem lielākā daļa paziņojuma pierādījumu padara acīmredzamāku.
// att. 33.Pitagora bikses
Viens no vienkāršākajiem pierādījumiem ir sava veida matemātiskā mīkla. Paņemiet jebkuru taisnleņķa trīsstūri, izveidojiet četrus tā eksemplārus un savāciet tos kvadrāta iekšpusē. Ar vienu klājumu mēs redzam kvadrātu uz hipotenūzes; ar otru - kvadrāti no abām trijstūra pusēm. Ir skaidrs, ka laukumi abos gadījumos ir vienādi.
// att. 34. Pa kreisi: kvadrāts uz hipotenūzes (plus četri trīsstūri). Pa labi: kvadrātu summa no abām divām pusēm (plus tie paši četri trīsstūri). Tagad izslēdziet trīsstūrus
Perigaljas dissekcija ir vēl viens mīkla pierādījums.
// att. 35. Periģiskā dissekcija
Ir arī teorēmas pierādījums, izmantojot plaknē sakraušanas kvadrātus. Varbūt tieši šādi pitagorieši vai viņu nezināmie priekšgājēji atklāja šo teorēmu. Ja paskatās, kā slīpais kvadrāts pārklājas ar pārējiem diviem kvadrātiem, varat redzēt, kā lielu kvadrātu sagriezt gabalos, un pēc tam no tiem pievienot divus mazākus kvadrātus. Var redzēt arī taisnstūrveida trīsstūrus, kuru malas norāda trīs iesaistīto kvadrātu izmērus.
// att. 36. Bruģēšanas pierādījums
Ir interesanti pierādījumi, izmantojot trigonometrijā līdzīgus trīsstūrus. Ir zināmi vismaz piecdesmit dažādi pierādījumi.
Pitagora trīskāršie
Skaitļu teorijā Pitagora teorēma ir kļuvusi par auglīgas idejas avotu: atrast algebrisko vienādojumu skaitļu risinājumus. Pitagora trīskāršais skaitlis ir a, b un c vesels skaitlis
Ģeometriski šāds trīskāršs nosaka taisnleņķa trīsstūri ar veselām malām.
Pitagora trīskārša mazākā hipotenūza ir 5.
Pārējās divas šī trīsstūra malas ir 3 un 4. Šeit
32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.
Nākamais lielākais hipotenūza ir 10, jo
62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102.
Tomēr tas būtībā ir viens un tas pats trīsstūris ar abām pusēm. Viņai nākamais lielākais un patiesi atšķirīgais hipotenūza ir 13 gadi
52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132.
Eiklids zināja, ka pastāv bezgalīgs skaits dažādu Pitagora trīskāršojumu variantu, un deva to, ko varētu saukt par formulu, kā tos visus atrast. Diaphantus no Aleksandrijas vēlāk ierosināja vienkāršu recepti, būtībā tādu pašu kā Eiklīda.
Ņem jebkurus divus naturālos skaitļus un aprēķini:
viņu dubultā darbs;
to kvadrātu atšķirība;
viņu kvadrātu summa.
Trīs iegūtie skaitļi būs Pitagora trīsstūra malas.
Ņem, piemēram, skaitļus 2 un 1. Aprēķini:
divkāršots produkts: 2 × 2 × 1 \u003d 4;
kvadrātu starpība: 22 - 12 \u003d 3;
kvadrātu summa: 22 + 12 \u003d 5,
un mēs ieguvām slaveno trīsstūri 3-4–5. Ja tā vietā ņemsim skaitļus 3 un 2, iegūstam:
divkāršots produkts: 2 × 3 × 2 \u003d 12;
kvadrātu starpība: 32 - 22 \u003d 5;
kvadrātu summa: 32 + 22 \u003d 13,
un mēs iegūstam nākamo slaveno trīsstūri 5 - 12 - 13. Mēģināsim paņemt ciparus 42 un 23 un iegūt:
divkāršots produkts: 2 × 42 × 23 \u003d 1932;
kvadrātu starpība: 422 - 232 \u003d 1235;
kvadrātu summa: 422 + 232 \u003d 2293,
neviens vēl nav dzirdējis par trīsstūri 1235–1932–2293.
Bet šie skaitļi arī darbojas:
12352 + 19322 = 1525225 + 3732624 = 5257849 = 22932.
Diophantine noteikumā ir vēl viena iezīme, uz kuru jau tika dots mājiens: saņēmuši trīs numurus, mēs varam ņemt vēl vienu patvaļīgu numuru un reizināt tos visus. Tādējādi trīsstūri no 3-4 līdz 5 var pārvērst par trīsstūri no 6 līdz 8 līdz 10, reizinot visas malas ar 2, vai trīsstūri ar 15–20–25, reizinot visu ar 5.
Ja pāriet uz algebras valodu, likumam ir šāda forma: lai u, v un k būtu naturāli skaitļi. Tad taisns trīsstūris ar sāniem
2kuv un k (u2 - v2) ir hipotenūza
Ir arī citi galvenās idejas pasniegšanas veidi, taču tie visi atbilst iepriekš aprakstītajam. Šī metode ļauj iegūt visus Pitagora trīskāršus.
Regulāri daudzskaldņi
Ir absolūti piecas regulāras daudzskaldnes. Parasts daudzskaldnis (vai daudzskaldnis) ir trīsdimensiju figūra ar ierobežotu skaitu plakanu seju. Sejas saplūst viena ar otru pa līnijām, kuras sauc par malām; malas ir atrodamas punktos, kurus sauc par virsotnēm.
Eiklīdijas "Beginnings" kulminācija ir pierādījums tam, ka var būt tikai piecas regulāras daudzskaldnes, tas ir, daudzskaldnis, kurā katra seja ir regulārs daudzstūris (vienādām pusēm, vienādiem leņķiem), visas sejas ir identiskas un visas virsotnes ir apņemtas ar vienādu skaitu vienādi izvietotām sejām. Šeit ir piecas parastās daudzskaldnes:
tetraedrs ar četrām trīsstūrveida sejām, četrām virsotnēm un sešām malām;
kubs vai sešstūris ar 6 kvadrātveida sejām, 8 virsotnēm un 12 malām;
oktaedrs ar 8 trīsstūrveida sejām, 6 virsotnēm un 12 malām;
dodekaedrs ar 12 piecstūrainām sejām, 20 virsotnēm un 30 malām;
icosahedron ar 20 trīsstūrveida sejām, 12 virsotnēm un 30 malām.
// att. 37. Pieci regulāri daudzskaldņi
Pareizā daudzskaldne var atrast dabā. 1904. gadā Ernsts Hekkels publicēja sīku organismu, kas pazīstami kā radiolari, zīmējumus; daudzi no tiem pēc formas atgādina šīs piecas regulārās daudzskaldnes. Varbūt tā ir taisnība, ka viņš nedaudz laboja dabu, un zīmējumi pilnībā neatspoguļo konkrētu dzīvo būtņu formu. Pirmās trīs struktūras tiek novērotas arī kristālos. Jūs neatradīsit kristālos dodekaedru un ikozaedru, lai gan dažreiz tur sastopas nepareizi dodekaedri un ikosaedri. Īsti dodekaedri var rasties kvazikristālu formā, kas visos aspektos ir līdzīgi kristāliem, izņemot to, ka to atomi neveido periodisku režģi.
// att. 38. Hakela zīmējumi: radioaktīvie parastie daudzskaldņi
// att. 39. Regulāru daudzskaldņu attīstība
Var būt interesanti izgatavot no papīra regulāru daudzskaldņu modeļus, iepriekš izgriežot savstarpēji savienotu seju komplektu - to sauc par daudzskaldņu skenēšanu; skenēšana tiek salocīta gar ribām un atbilstošās ribas ir salīmētas kopā. Katra šāda pāra malām ir lietderīgi pievienot papildu līmes spilventiņu, kā parādīts 1. attēlā. 39. Ja šādas vietas nav, varat izmantot līmlenti.
Piektās pakāpes vienādojums
Nav algebriskas formulas 5. pakāpes vienādojumu risināšanai.
Kopumā piektās pakāpes vienādojums izskatās šādi:
ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f \u003d 0.
Problēma ir jāatrod šāda vienādojuma risinājumu formula (tam var būt līdz pieciem risinājumiem). Pieredze, kas saistīta ar kvadrātisko un kubisko vienādojumu, kā arī ar ceturtās pakāpes vienādojumiem, liek domāt, ka šādai formulai vajadzētu pastāvēt piektās pakāpes vienādojumos, un teorētiski tajā vajadzētu parādīties piektās, trešās un otrās pakāpes saknes. Atkal mēs varam droši pieņemt, ka šāda formula, ja tāda pastāv, būs ļoti, ļoti sarežģīta.
Šis pieņēmums galu galā izrādījās kļūdains. Faktiski šāda formula nepastāv; vismaz nav formulas, kas sastāv no koeficientiem a, b, c, d, e un f, kas sastādīta, izmantojot saskaitīšanu, atņemšanu, reizināšanu un dalīšanu, kā arī sakņu ekstrakciju. Tādējādi 5. skaitlī ir kaut kas pilnīgi īpašs. Šīs piecas neparastās izturēšanās iemesli ir ļoti dziļi, un to izdomāšana prasīja daudz laika.
Pirmā problēmas pazīme bija tā, ka neatkarīgi no tā, cik grūti matemātiķi mēģināja atrast šādu formulu, neatkarīgi no tā, cik gudri viņi bija, viņi vienmēr cieta neveiksmi. Kādu laiku visi uzskatīja, ka iemesli slēpjas formulas neticamā sarežģītībā. Tika uzskatīts, ka neviens vienkārši nespēj pareizi saprast šo algebru. Tomēr laika gaitā daži matemātiķi sāka šaubīties, vai šāda formula vispār pastāv, un 1823. gadā Nīlam Hendrikam Ābelam izdevās pierādīt pretējo. Šāda formula nepastāv. Drīz pēc tam ervarists Galois atrada veidu, kā noteikt, vai vienas vai otras pakāpes vienādojumu - 5., 6., 7. vai kādu citu - var atrisināt, izmantojot šāda veida formulu.
Secinājums tam visam ir vienkāršs: skaitlis 5 ir īpašs. Ir iespējams atrisināt algebriskos vienādojumus (izmantojot n-tās pakāpes saknes dažādām n vērtībām) 1., 2., 3. un 4. pakāpei, bet ne 5. pakāpei. Šeit beidzas acīmredzamais modelis.
Nevienu nepārsteidz, ka grādu vienādojumi, kas lielāki par 5, izturas vēl sliktāk; jo īpaši tās pašas grūtības ir saistītas ar viņiem: viņu risinājumam nav vispārīgu formulu. Tas nenozīmē, ka vienādojumiem nav risinājumu; tas arī nenozīmē, ka nav iespējams atrast ļoti precīzas šo risinājumu skaitliskās vērtības. Tas viss attiecas uz tradicionālo algebras rīku ierobežojumiem. Tas atgādina par neiespējamību noskaidrot leņķi ar lineālu un kompasu. Atbilde pastāv, taču uzskaitītās metodes ir nepietiekamas un neļauj mums noteikt, kas tā ir.
Kristalogrāfiskais ierobežojums
Kristāliem divās un trīs dimensijās nav 5-staru rotācijas simetrijas.
Atomos kristālā veido režģi, tas ir, struktūru, kas periodiski atkārtojas vairākos neatkarīgos virzienos. Piemēram, tapetes raksts tiek atkārtots visā ruļļa garumā; Turklāt to parasti atkārto horizontālā virzienā, dažreiz ar pāreju no viena tapetes gabala uz nākamo. Būtībā tapetes ir divdimensiju kristāls.
Plaknē ir 17 tapešu varianti (sk. 17. nodaļu). Tie atšķiras pēc simetrijas veidiem, tas ir, ar veidiem, kā stingri novirzīt modeli tā, lai tas precīzi atrastos uz tā sākotnējā stāvoklī. Simetrijas veidi jo īpaši ietver dažādas rotācijas simetrijas versijas, kurās modelis ir jāpagriež noteiktā leņķī ap noteiktu punktu - simetrijas centru.
Rotācijas simetrijas secība ir tā, cik reizes jūs varat pagriezt ķermeni uz pilnu apli, lai visas attēla detaļas atgrieztos sākotnējās pozīcijās. Piemēram, 90 ° rotācija ir ceturtās kārtas rotācijas simetrija *. Kristāla režģa iespējamo rotācijas simetrijas veidu saraksts atkal norāda neparasto numuru 5: tā tur nav. Ir varianti ar 2., 3., 4. un 6. kārtas rotācijas simetriju, bet ne vienam fonu modelim ir 5. kārtas rotācijas simetrija. Arī kristālos nav rotācijas simetrijas, kas ir lielākas par 6, bet secības pirmais pārkāpums joprojām notiek ar numuru 5.
Tas pats notiek ar kristalogrāfiskajām sistēmām trīsdimensiju telpā. Šeit režģis atkārtojas trīs neatkarīgos virzienos. Pastāv 219 dažādu veidu simetrijas jeb 230, ja mēs uzskatām attēla spoguļattēlu kā atsevišķu tā versiju - neskatoties uz to, ka šajā gadījumā nav spoguļa simetrijas. Atkal tiek novērota 2., 3., 4. un 6. kārtas rotācijas simetrija, bet ne 5. Šis fakts tiek saukts par kristalogrāfisko ierobežojumu.
Četru dimensiju telpā pastāv režģi ar 5. kārtas simetriju; kopumā pietiekami augsta izmēra režģiem ir iespējama jebkura iepriekš noteikta rotācijas simetrijas secība.
// att. 40. Galda sāls kristāla režģis. Tumšās bumbiņas apzīmē nātrija atomus, gaišās bumbiņas apzīmē hlora atomus
Kvazkristāli
Kaut arī divdimensiju un trīsdimensiju režģos 5. kārtas rotācijas simetrija nav iespējama, tā var pastāvēt nedaudz mazāk regulārās struktūrās, kuras sauc par kvazkristāliem. Izmantojot Keplera skices, Rodžers Penrozs atklāja plakņu sistēmas ar vispārīgāku pieckārtīgu simetrijas veidu. Tos sauc par kvazkristāliem.
Kvaikristāli pastāv dabā. 1984. gadā Daniels Schechtmans atklāja, ka alumīnija un mangāna sakausējums var veidot kvazikristālus; kristalogrāfi viņa vēstījumu sākotnēji sastapa ar zināmu skepsi, taču vēlāk atklājums tika apstiprināts, un 2011. gadā Šehtmanam tika piešķirta Nobela prēmija ķīmijā. 2009. gadā zinātnieku grupa Lūkas Bindi vadībā atklāja kvazkristālus minerālā no Krievijas Korjakas augstienes - alumīnija, vara un dzelzs savienojumā. Mūsdienās šo minerālu sauc par ikosaedriju. Izmērot ar masas spektrometru dažādu skābekļa izotopu saturu minerālā, zinātnieki parādīja, ka šī minerāla izcelsme nav uz Zemes. Tā izveidojās pirms apmēram 4,5 miljardiem gadu, laikā, kad Saules sistēma bija tikai sākumstadijā, un lielāko daļu laika pavadīja asteroīda joslā, riņķojot apkārt saulei, līdz daži traucējumi mainīja orbītu un galu galā nogādāja to Zeme.
// att. 41. Pa kreisi: viena no divām kvazikristāliskajām režģēm ar precīzu pieckārtīgu simetriju. Pa labi: ikosaedriskā alumīnija-pallādija-mangāna kvazikristāla atomu modelis
Pitagora teorēmas humoristisks pierādījums; arī joks par draugs baggy biksēm.
- - pozitīvu skaitļu trīskāršotāji x, y, z, kas atbilst vienādojumam x2 + y 2 \u003d z2 ...
Matemātiskā enciklopēdija
- - trīskārši ar naturāliem skaitļiem, ka, piemēram, trīsstūris, kura malu garums ir proporcionāls šiem skaitļiem, ir taisnstūris. trīs cipari: 3, 4, 5 ...
Dabas vēsture. enciklopēdiskā vārdnīca
- - skat. glābšanas raķete ...
Jūras vārdnīca
- - naturālo skaitļu trīskārši, ka trīsstūris, kura sānu garums ir proporcionāls šiem skaitļiem, ir taisnstūrveida ...
Lielā padomju enciklopēdija
- - mil. Neisms. Izteiciens, ko izmanto, lai uzskaitītu vai pretstatītu divus faktus, parādības, apstākļus ...
Izglītības frazeoloģiskā vārdnīca
- - No angļu rakstnieka Džordža Orvela distopiskā romāna Animal Farm ...
- - Pirmoreiz atrodams Mihaila Evgrafoviča Saltikova-Ščedrina satīrā "Liberālā dienasgrāmata Sanktpēterburgā", kurš tik tēlaini raksturoja krievu liberāļu divkāršo, gļēvo nostāju - viņa ...
Spārnoto vārdu un frāžu vārdnīca
- - Tas tiek teikts gadījumā, kad sarunu biedrs ilgi mēģināja un nekompetenti kaut ko komunicēt, pārblīvējot galveno ideju ar sekundārām detaļām ...
Tautas frazeoloģijas vārdnīca
- - Pogu skaits ir zināms. Kāpēc gaiļi ir tuvu? - Par biksēm un vīrieša dzimumorgānu. . Lai to pierādītu, ir jānoņem un jāparāda 1) Pitagora teorēma; 2) par platām biksēm ...
Dzīva runa. Sarunvalodas izteicienu vārdnīca
- - trešdien Nav dvēseles nemirstības, tāpēc nav tikumības, "tas nozīmē, ka viss ir atļauts" ... Vilinoša skandāla teorija ... Bumbuļotājs, bet būtība ir visa: no vienas puses, var tikai piekrist, bet no otras - nevar, bet atzīsties ...
Miķelsona skaidrojošā frāzes vārdnīca
- - briesmoņu Piagorova bikses. par cilvēku apdāvinātu. Trešdien Tie ir neapšaubāmi gudrie. Senatnē viņš būtu izgudrojis piѣagorovy bikses ... Saltykov. Krāsaini burti ...
- - No vienas puses - no otras puses. Trešdien Nav dvēseles nemirstības, tāpat kā nē un tikumiem, "nozīmē, ka viss ir atļauts" ... Pavedinoša teorija par skandāliem .....
Miķelsona skaidrojošā frāzes vārdnīca (oriģinālrakstība)
- - Pitagora teorēmas komiskais nosaukums, kas rodas no tā, ka taisnstūra sānos uzbūvētie un dažādos virzienos nobīdītie kvadrāti atgādina bikses sagrieztus ...
- - uz vienas rokas uz otras rokas. Rezervēt ...
Krievu literārās valodas frazeoloģiskā vārdnīca
- - Skatīt virsrakstus -...
IN UN. Dahl. Krievu tautas sakāmvārdi
- - Žargs. skola Shuttle. Pitagors. ...
Lieliska krievu teicienu vārdnīca
Grāmatās "Pitagora bikses ir vienādas visos virzienos"
11. Pitagora bikses
No grāmatas Friedl Autors Makarova Jeļena Grigorjevna11. Pitagora bikses.Mana laba meitene! Vispirms - karstākais paldies Dvorakam; viņš ir ļoti interesants, ne tik viegli lasāms, bet es viņu ļoti priecājos. Es jums uzrakstīšu sīkāk, lasot dažas nodaļas. Jūs nevarat iedomāties, kāds prieks mani sagādā man
III “Vai visas vietas ir vienādas?”
No Batjuškova grāmatas Autors Sergeeva-Klyatis Anna JurjevnaIII “Vai visas vietas ir vienādas?” Amata beigās, negaidot Lieldienas, kas notika 1815. gada 18. aprīlī, Batjuškovs Svētajā nedēļā pameta Sanktpēterburgu uz sava tēva Danilovskojas muižu. Tomēr pirms šī notikuma notika vēl viens notikums, kas nav minēts Batjuškova vēstulēs,
Pitagora bikses
No grāmatas No Doberman līdz kauslim. No pareizvārdiem līdz parastajiem lietvārdiem Autors Blau Marks GrigorjevičsPitagora bikses Faktu, ka “Pitagora bikses ir vienādas visos virzienos”, zināja pirmsrevolūcijas ģimnāzijas skolēni, un viņi sastādīja šo poētisko apkrāptu lapu. Kāpēc tur ģimnāzijas audzēkņi! Droši vien jau lielais Lomonosovs, kurš pētīja ģeometriju savā slāvu-grieķu-latīņu valodā
1.16. Pagaidu pasākumi gan no nodokļu iestādēm, gan no nodokļu maksātājiem
No grāmatas Nodokļu audits. Kā ar cieņu izturēt inspektoru apmeklējumu Autors Semenihins Vitālijs Viktorovičs1.16. Pagaidu pasākumi gan no nodokļu administrācijas, gan nodokļu maksātāju puses.Nodokļu maksātāji reti piekrīt nodokļu iestāžu secinājumiem, kuru pamatā ir nodokļu auditi. Un, lai arī lielāko daļu strīdu tiesā risina par labu
Pirms aizdevuma visi ir vienādi
No grāmatas Nauda. Kredīts. Bankas: lekciju piezīmes Autors Ševčuks Deniss AleksandrovičsPirms aizdevuma saņemšanas visi ir vienlīdzīgi. Amerikā ārkārtas kreditēšanas oficiālā vēsture aizsākās 1968. gadā, kad tur tika pieņemts Likums par patēriņa kredītu. Jo īpaši tas nosaka taisnīgus noteikumus aizdevumu piešķiršanai, procentu likmju augšējos ierobežojumus, noteikumus
SVID analīze (stiprās un vājās puses, iespējas, draudi)
No grāmatas Trenning. Trenera rokasgrāmata autore Thorne KaySVID analīze (stiprās un vājās puses, iespējas, draudi) Šī metode ir papildinājums “prāta vētras” struktūrai. Sadaliet tāfeles lapu četrās daļās un nosauciet tās: stiprās un vājās puses, iespējas, draudi. Grupa var analizēt uzņēmējdarbību,
Ne visi pircēji ir vienādi
No grāmatas Kā strādāt četras stundas nedēļā autors Ferris TimothyNe visi pircēji ir vienādi.Kad esat sasniedzis trešo pakāpi un līdzekļu plūsma ir kļuvusi vairāk vai mazāk izveidota, ir pienācis laiks novērtēt klientu sastāvu un izzāģēt šo gultu. Viss pasaulē ir sadalīts labajā un sliktajā: \u200b\u200bpārtika, filmas, sekss ir labs un slikts. Tas ir
VII nodaļa "Pitagora bikses" - asīriešu un babiloniešu matemātiķu atklājums
No grāmatas Kad runāja cuneiform Autors Matvejevs Konstantīns PetrovičsVII nodaļa "Pitagora bikses" - asīriešu un babiloniešu matemātiķu atklājums. Asīriešu un babiloniešu matemātika, tāpat kā astronomija, bija nepieciešama galvenokārt praktiskajā dzīvē - māju, pilu, ceļu, kalendāru, kanālu celtniecībā,
“Zem maskas visas pakāpes ir vienādas”
No grāmatas Petersburg arabesques Autors Aspidovs Alberts Pavlovičs“Zem maskas visas pakāpes ir vienādas.” Starp Jaungada pirkumiem - eglīšu rotājumiem un citām lietām - var būt arī maska. To nēsājot, mēs uzreiz kļūstam atšķirīgi - kā pasakā. Un kurš nevēlas vismaz reizi gadā pieskarties maģijai - uz tās dzīvespriecīgajām un nekaitīgajām pusēm,
Pitagora skaitļi
No autora grāmatas Great Soviet Encyclopedia (PI) TSBVisi ir vienādi, bet daži ir vienlīdzīgāki par citiem
No grāmatas Enciklopēdiskā spārnoto vārdu un izteicienu vārdnīca Autors Serovs Vadims VasiļjevičsVisi ir vienādi, bet daži ir vienlīdzīgāki par citiem No angļu rakstnieka Džordža Orvela diskotiskā romāna “Lauku sēta” (1945) (pseidonīms Ēriks Blērs, 1903–1950). Noteiktas saimniecības dzīvnieki reiz gāza savu nežēlīgo saimnieku un nodibināja republiku, pasludinot principu: “Visi
Dalība sarunās kā pusei vai kā partijas palīgam
No grāmatas Alternatīvo strīdu izšķiršanas lasītājs Autors Autoru komandaDalība sarunās kā pusei vai partijas asistentam Cits sarunu veids, kas radies starpniecības rezultātā, ir starpnieka līdzdalība sarunās ar partiju (vai bez tās) kā partijas pārstāvim.Šī metode būtiski atšķiras no
Spēki bija vienādi
No grāmatas Lielais karš nav beidzies. Pirmā pasaules kara rezultāti Autors Mlečins Leonīds MihailovičsSpēki bija vienādi - neviens negaidīja, ka karš ievilksies. Bet ģenerāldirektora rūpīgi izstrādātie plāni sabruka jau pirmajos mēnešos. Pretējo bloku spēki bija aptuveni vienādi. Jaunās militārās tehnikas ziedonis palielināja upuru skaitu, taču neļāva sasmalcināt ienaidnieku un
Visi dzīvnieki ir vienādi, bet daži ir vienlīdzīgāki par citiem.
No grāmatas par fascizofrēniju Autors Sysoev Genādijs BorisovičsVisi dzīvnieki ir vienādi, bet daži ir vienlīdzīgāki par citiem, un, visbeidzot, es gribētu atgādināt cilvēkus, kuri domā, ka Kosova tur var kļūt par kaut kādu precedentu. Piemēram, ja Kosovas iedzīvotāji, "globālā kopiena" (ti, ASV un ES) nodrošinās tiesības izlemt savu likteni par
Gandrīz vienāds
No grāmatas Literārā avīze 6282 (2010. gada 27. nr.) Autors Literārā avīzeGandrīz vienādi Club 12 krēsli Gandrīz vienādi IRONIC PROSE Nāve nāca vienam nabaga vīrietim. Un tas bija kurls. Tik normāli, bet nedaudz kurli ... Un viņš slikti redzēja. Es gandrīz neko neredzēju. - Ak, mums ir viesi! Lūdzu, nokārtojiet. Nāve saka: - Pagaidi, priecājies,
Bikses - saņemiet darba kuponu, lai saņemtu Akadēmiķa atlaidi Papīra veikalā, vai iegādājieties izdevīgi bikses ar bezmaksas piegādi, nopērkot Papīra veikalā
Žargs. skola Shuttle. Pitagora teorēma, kas nosaka sakarības starp hipotenūzei izveidoto kvadrātu kvadrātu un taisnā trīsstūra kājām. BTS, 835 ... Lieliska krievu teicienu vārdnīca
Pitagora bikses - Pitagora teorēmas komiskais nosaukums, kas radās tāpēc, ka taisnstūra sānos uzbūvētie un dažādos virzienos nobīdītie kvadrāti atgādina bikses griezumu. Man patika ģeometrija ... un iestājeksāmenā uz universitāti es pat to saņēmu no ... Krievu literārās valodas frazeoloģiskā vārdnīca
pitagora bikses - Smieklīgs nosaukums Pitagora teorēmai, kas nosaka attiecības starp kvadrātveida kvadrātiem, kas veidoti uz hipotenūzes, un taisnā trīsstūra kājām, kas skaitļos izskatās kā bikses sagriezts ... Daudzu izteicienu vārdnīca
Mūks: par apdāvinātu cilvēku Tas ir pārliecības gudrais. Senatnē viņš droši vien būtu izgudrojis Pitagora bikses ... Saltykovs. Krāsaini burti. Pitagora bikses (ģeometriski.): Taisnstūrī hipotenūzes kvadrāts ir vienāds ar kāju kvadrātu (mācot ... Miķelsona lielā interpretāciju vārdnīca
Pitagora bikses ir vienādas no visām pusēm - Pogu skaits ir zināms. Kāpēc gaiļi ir tuvu? (aptuveni) par biksēm un vīrieša dzimumorgānu. Pitagora bikses ir vienādas no visām pusēm. Lai to pierādītu, ir jānoņem un jāparāda 1) Pitagora teorēma; 2) par platām biksēm ... Dzīva runa. Sarunvalodas izteicienu vārdnīca
Piagorova bikses (lai izgudrotu) mūks. par cilvēku apdāvinātu. Trešdien Tie ir neapšaubāmi gudrie. Senatnē viņš būtu izgudrojis piѣagorovy bikses ... Saltykov. Motley vēstules. Piagorova bikses (geom.): Taisnstūrī kvadrātveida hipotenūžā ... Miķelsona lielā skaidrojumu vārdnīca (oriģinālrakstība)
Pitagora bikses ir vienādas visos virzienos - Pitagora teorēmas jokojošs pierādījums; arī jocīgi par draudzenes bagijajām biksēm ... Tautas frazeoloģijas vārdnīca
Pril., Rupjš ...
Pitagora bikses ir no visām pusēm vienādas (pogu skaits ir zināms. Kāpēc ir tikpat stingri? / Lai to pierādītu, ir nepieciešams noņemt un parādīt) - pril., rupjš ... Mūsdienu sarunvalodu frazeoloģisko vienību un teicienu skaidrojošā vārdnīca
Pastāv., Pl., Izmantojiet. sal. bieži morfoloģija: pl. kas? bikses, (nē) ko? bikses, kāpēc? bikses, (skat) ko? bikses, ko? bikses par ko? par biksēm 1. Bikses ir apģērba gabals, kuram ir divas īsas vai garas bikses un kas sedz apakšējo daļu ... Dmitrijeva skaidrojošā vārdnīca
Grāmatas
- Pitagora bikses. Šajā grāmatā atradīsit daiļliteratūru un piedzīvojumus, brīnumus un daiļliteratūru. Smieklīgi un skumji, parasti un noslēpumaini ... Un kas vēl ir vajadzīgs izklaidējošai lasīšanai? Galvenais ir ...
- Brīnumi uz riteņiem, Markuss Anatolijs. Miljoniem riteņu griežas ap zemi - tie velmē automašīnas, mēra laiku stundās, piesit zem vilcieniem, veic neskaitāmus darbus mašīnās un dažādos mehānismos. Viņi…
Var simtprocentīgi būt drošs, ka uz jautājumu, kāds ir hipotenūzes kvadrāts, jebkurš pieaugušais droši atbildēs: "Kāju kvadrātu summa." Šī teorēma ir stingri iesakņojusies ikviena izglītota cilvēka prātā, taču jums vienkārši jālūdz kādam to pierādīt, un tas var radīt grūtības. Tāpēc atcerēsimies un apsvērsim dažādus Pitagora teorēmas pierādīšanas veidus.
Biogrāfijas pārskats
Pitagora teorēma ir pazīstama gandrīz visiem, taču kaut kādu iemeslu dēļ tā cilvēka biogrāfija, kas to ražoja, nav tik populāra. Tas ir labojams. Tāpēc, pirms izpētīt dažādus Pitagora teorēmas pierādīšanas veidus, jums īsi jāiepazīstas ar viņa personību.
Pitagors - filozofs, matemātiķis, domātājs sākotnēji no Mūsdienām, ir ļoti grūti atšķirt viņa biogrāfiju no leģendām, kas izveidojušās šī lielā cilvēka atmiņā. Bet, kā izriet no viņa sekotāju darbiem, Samosas salā dzimis Samosas Pitagors. Viņa tēvs bija parasts akmens cirtējs, bet māte nāca no dižciltīgas ģimenes.
Saskaņā ar leģendu Pitagora dzimšanu paredzēja sieviete ar nosaukumu Pythia, kuras godā zēns tika nosaukts. Pēc viņas pareģojuma, dzimušam zēnam bija jāsniedz cilvēcei daudz labuma un labuma. Ko viņš patiesībā izdarīja.
Teorēmas dzimšana
Jaunībā Pitagors pārcēlās uz dzīvi Ēģiptē, lai tur satiktos ar slavenajiem Ēģiptes gudrajiem. Pēc tikšanās ar viņiem viņam tika atļauts studēt, kur viņš zināja visus lielos Ēģiptes filozofijas, matemātikas un medicīnas sasniegumus.
Droši vien Ēģiptē Pitagorsu iedvesmoja piramīdu majestātiskums un skaistums un radīja viņa lielisko teoriju. Tas var šokēt lasītājus, taču mūsdienu vēsturnieki uzskata, ka Pitagors nav pierādījis savu teoriju. Viņš savas zināšanas nodeva tikai saviem sekotājiem, kuri vēlāk veica visus nepieciešamos matemātiskos aprēķinus.
Lai kā arī būtu, šodien nav zināms neviens paņēmiens, kā pierādīt šo teorēmu, bet gan vairāki uzreiz. Mūsdienās var tikai uzminēt, cik precīzi senie grieķi veica savus aprēķinus, tāpēc šeit mēs apsvērsim dažādus Pitagora teorēmas pierādīšanas veidus.
Pitagora teorēma
Pirms jebkādu aprēķinu veikšanas jums jāizdomā, kāda teorija jāpierāda. Pitagora teorēma skan šādi: "Trijstūrī, kurā viens no leņķiem ir 90 °, kāju kvadrātu summa ir vienāda ar hipotenūzes kvadrātu."
Ir 15 dažādi veidi, kā pierādīt Pitagora teorēmu. Tas ir diezgan liels skaits, tāpēc mēs pievērsīsim uzmanību populārākajiem no tiem.
Pirmais veids
Vispirms dariet mums zināmu, kas mums tiek dots. Šie dati attieksies arī uz citām Pitagora teorēmas pierādīšanas metodēm, tāpēc ir vērts nekavējoties atcerēties visu pieejamo apzīmējumu.
Pieņemsim, ka tiek dots taisnstūris ar kājām a, b un hipotenūzi, kas vienāda ar c. Pirmās pierādīšanas metodes pamatā ir fakts, ka kvadrāts jāveido no labā trīsstūra.
Lai to izdarītu, jums jānozīmē kājas garums un jānozīmē segments, kas vienāds ar kājas iekšpusi, un otrādi. Tātad tam vajadzētu izrādīties divās vienādās laukuma pusēs. Atliek tikai novilkt divas paralēlas līnijas, un kvadrāts ir gatavs.
Iegūtās figūras iekšpusē jums jāzīmē vēl viens kvadrāts ar malu, kas vienāda ar sākotnējā trīsstūra hipotenūzi. Lai to izdarītu, no virsotnēm ac un cb jāizvelk divi paralēli segmenti, kas ir vienādi ar c. Tādējādi mēs iegūstam trīs kvadrāta malas, no kurām viena ir sākotnējo taisnstūra trīsstūru hipotenūza. Atliek tikai uzzīmēt ceturto segmentu.
Balstoties uz iegūto skaitli, mēs varam secināt, ka ārējā kvadrāta laukums ir (a + c) 2. Ja paskatās figūrā, jūs varat redzēt, ka papildus iekšējam kvadrātam tajā ir arī četri taisnstūra trīsstūri. Katra laukums ir 0,5av.
Tāpēc laukums ir: 4 * 0,5av + s 2 \u003d 2av + s 2
Tātad (a + c) 2 \u003d 2av + c 2
Un tāpēc ar 2 \u003d a 2 + 2
Teorēma ir pierādīta.
Otrā metode: līdzīgi trīsstūri
Šī Pitagora teorēmas pierādīšanas formula tika iegūta, pamatojoties uz paziņojumu no līdzīgu trīsstūru ģeometrijas sadaļas. Tajā teikts, ka taisnstūra trīsstūris ir proporcionāls tā hipotenūzei un hipotenūza segmentam, sākot no 90 ° leņķa augšdaļas.
Sākotnējie dati nemainās, tāpēc mēs nekavējoties sākam ar pierādījumiem. Uzzīmējiet segmentu perpendikulāri gaismas diodes AB pusei. Balstoties uz iepriekš minēto, trijstūru kājas ir vienādas:
AC \u003d √ AB * HELL, CB \u003d √ AB * DW.
Lai atbildētu uz jautājumu par to, kā pierādīt Pitagora teorēmu, pierādījums jāizklāsta, sašķeļot abas nevienlīdzības.
AC 2 \u003d AB * HELL un CB 2 \u003d AB * LW
Tagad mums jāpieskaita radītā nevienlīdzība.
AC 2 + CB 2 \u003d AB * (HELL * LW), kur HELL + LW \u003d AB
Izrādās, ka:
AC 2 + CB 2 \u003d AB * AB
Un tāpēc:
AC 2 + CB 2 \u003d AB 2
Pitagora teorēmas pierādījumiem un dažādām tās risināšanas metodēm ir nepieciešama daudzpusīga pieeja šai problēmai. Tomēr šī iespēja ir viena no vienkāršākajām.
Vēl viena aprēķina metode
Dažādu Pitagora teorēmas pierādīšanas veidu apraksts neko nevar pateikt, kamēr pats neesi sācis praktizēt. Daudzas metodes ietver ne tikai matemātiskus aprēķinus, bet arī jaunu formu veidošanu no sākotnējā trīsstūra.
Šajā gadījumā no gaisa kuģa kājas ir jāveido vēl viens IRR taisnstūra trīsstūris. Tādējādi tagad ir divi trīsstūri ar kopēju sānu kāju.
Zinot, ka šādu figūru laukumi ir saistīti kā to līdzīgo lineāro izmēru kvadrāti, tad:
S avs * s 2 - S avd * 2 \u003d S avd * a 2 - S vsd * a 2
S avs * (s 2-v 2) \u003d a 2 * (S avd-S vsd)
ar 2-in 2 \u003d a 2
c 2 \u003d a 2 + līdz 2
Tā kā šī opcija diez vai ir piemērota 8. klasei no dažādām Pitagora teorēmas pierādīšanas metodēm, mēs varam izmantot šādu metodoloģiju.
Vieglākais veids, kā pierādīt Pitagora teorēmu. Atsauksmes
Pēc vēsturnieku domām, šī metode pirmo reizi tika izmantota, lai pierādītu teorēmu senajā Grieķijā. Tas ir vienkāršākais, jo tas neprasa absolūti nekādus aprēķinus. Ja zīmējat zīmējumu pareizi, tad skaidri redzams pierādījums apgalvojumam, ka 2 + 2 \u003d c 2.
Šīs metodes nosacījumi nedaudz atšķirsies no iepriekšējās. Lai pierādītu teorēmu, pieņemsim, ka taisnstūris ABC ir vienādsānu.
Mēs ņemam hipotenūza AC kā laukuma malu un meitu trīs no tā malām. Turklāt iegūtajā kvadrātā ir nepieciešams novilkt divas diagonāles līnijas. Tādējādi, lai tajā iegūtu četrus vienādsānu trijstūrus.
Kājām AB un CB ir nepieciešams arī uzzīmēt kvadrātu un katrā no tiem uzzīmēt vienu diagonālo līniju. Pirmo līniju mēs zīmējam no virsotnes A, otro - no C.
Tagad jums rūpīgi jāaplūko iegūtais zīmējums. Tā kā AS hipotenūžā ir četri trīsstūri, kas vienādi ar oriģinālu, un divi - uz kājām, tas norāda uz šīs teorēmas patiesumu.
Starp citu, pateicoties šai Pitagora teorēmas pierādīšanas tehnikai, dzima slavenā frāze: "Pitagora bikses ir vienādas visos virzienos."
J. Garfīlda pierādījums
Džeimss Garfīlds ir divdesmitais Amerikas Savienoto Valstu prezidents. Papildus tam, ka viņš bija atstājis savas pēdas vēsturē kā ASV valdnieks, viņš bija arī apdāvināts pašmācības pilns cilvēks.
Karjeras sākumā viņš bija parasts skolotājs valsts skolā, bet drīz kļuva par vienas no augstākās izglītības iestādēm direktoru. Vēlme pašattīstīties un ļāva viņam ierosināt jaunu Pitagora teorēmas pierādīšanas teoriju. Teorēma un tās risinājuma piemērs ir šādi.
Vispirms uz papīra jānozīmē divi taisnstūrveida trīsstūri, lai viena no tiem kāja būtu otrā turpinājums. Šo trīsstūru virsotnes jāsavieno, lai galu galā izveidotu trapecveida.
Kā jūs zināt, trapecveida laukums ir vienāds ar reizinājumu ar pusi no tā pamatnes summas pēc augstuma.
S \u003d a + b / 2 * (a + b)
Ja mēs uzskatām iegūto trapecveida kā figūru, kas sastāv no trim trīsstūriem, tad tās laukumu var atrast šādi:
S \u003d AB / 2 * 2 + s 2/2
Tagad jums ir jāizlīdzina divu avotu izteiksmes
2av / 2 + s / 2 \u003d (a + c) 2/2
c 2 \u003d a 2 + līdz 2
Par Pitagora teorēmu un tās pierādīšanas metodēm var uzrakstīt vairāk nekā vienu mācību grāmatas sējumu. Bet vai ir jēga, kad šīs zināšanas nevar izmantot praksē?
Pitagora teorēmas praktiskā pielietošana
Diemžēl mūsdienu skolu mācību programmas paredz šo teorēmu izmantot tikai ģeometriskās problēmās. Absolventi drīz pamet skolas sienas, nekad nezinot, kā viņi var izmantot savas zināšanas un prasmes praksē.
Faktiski ikviens var izmantot Pitagora teorēmu savā ikdienas dzīvē. Un ne tikai profesionālajā darbībā, bet arī parastos mājsaimniecības darbos. Mēs uzskatām vairākus gadījumus, kad Pitagora teorēma un tās pierādīšanas metodes var būt ārkārtīgi nepieciešamas.
Saikne starp teorēmām un astronomiju
Šķiet, kā var savienot zvaigznes un trīsstūrus uz papīra. Faktiski astronomija ir zinātnes nozare, kurā Pitagora teorēma tiek plaši izmantota.
Piemēram, apsveriet gaismas staru kustību telpā. Ir zināms, ka gaisma pārvietojas abos virzienos ar vienādu ātrumu. Tiek izsaukta trajektorija AB, pa kuru pārvietojas gaismas stars l. Tiek izsaukts puse no laika, kas nepieciešams gaismai, lai nokļūtu no punkta A uz punktu B t. Un stara ātrums - c. Izrādās, ka: c * t \u003d l
Ja skatāties uz šo pašu staru no citas plaknes, piemēram, no kosmosa oderes, kas pārvietojas ar ātrumu v, tad ar šādu ķermeņu novērošanu to ātrums mainīsies. Šajā gadījumā pat nekustīgie elementi sāks kustēties ar ātrumu v pretējā virzienā.
Teiksim, ka komiksu lidmašīna peld pa labi. Tad punkti A un B, starp kuriem ir iezīmēts stars, sāks virzīties pa kreisi. Turklāt, kad staru kūlis virzās no punkta A uz punktu B, punktam A izdodas pārvietoties, un attiecīgi gaisma jau nonāks jaunā punktā C. Lai atrastu pusi no attāluma, pa kuru A punkts ir nobīdījies, jums jāreizina oderes ātrums ar pusi no staru kūļa pārvietošanās laika (t ").
Un, lai atrastu, kādā attālumā gaismas stars šajā laikā varētu noiet, jums jānorāda puse no jauno dižskābarža ceļa un jāsaņem šāda izteiksme:
Ja iedomājamies, ka gaismas punkti C un B, kā arī telpas atstarpe ir vienādsānu trijstūra virsotnes, tad segments no punkta A līdz līnijai to sadalīs divos taisnleņķa trīsstūros. Tāpēc, pateicoties Pitagora teorēmai, var atrast attālumu, kuru varētu novirzīt gaismas stars.
Šis piemērs, protams, nav visveiksmīgākais, jo tikai dažiem var būt paveicies to izmēģināt praksē. Tāpēc mēs apsveram vairāk šīs teorijas ikdienišķus lietojumus.
Mobilā signāla pārraides rādiuss
Mūsdienu dzīvi nav iespējams iedomāties bez viedtālruņu esamības. Bet cik daudz no tā būtu, ja viņi nevarētu savienot abonentus, izmantojot mobilos sakarus ?!
Mobilo sakaru kvalitāte tieši ir atkarīga no tā, cik augsta ir mobilā operatora antena. Lai aprēķinātu, cik tālu tālrunis var uztvert signālu no mobilā torņa, var izmantot Pitagora teorēmu.
Pieņemsim, ka jums jāatrod stacionārā torņa aptuvenais augstums, lai tas varētu izplatīt signālu 200 kilometru rādiusā.
AB (torņa augstums) \u003d x;
BC (signāla pārraides rādiuss) \u003d 200 km;
OS (zemeslodes rādiuss) \u003d 6380 km;
OB \u003d OA + ABOW \u003d r + x
Piemērojot Pitagora teorēmu, mēs uzzinām, ka torņa minimālajam augstumam jābūt 2,3 kilometriem.
Pitagora teorēma ikdienas dzīvē
Savādi, ka Pitagora teorēma var būt noderīga pat ikdienas lietās, piemēram, piemēram, nosakot garderobes augstumu. No pirmā acu uzmetiena nav nepieciešams izmantot šādus sarežģītus aprēķinus, jo jūs varat vienkārši veikt mērījumus, izmantojot mērlenti. Bet daudzi ir pārsteigti, kāpēc montāžas procesā rodas noteiktas problēmas, ja visi mērījumi tika veikti vairāk nekā precīzi.
Fakts ir tāds, ka drēbju skapis ir samontēts horizontālā stāvoklī un tikai pēc tam paceļas un uzstādās pret sienu. Tāpēc konstrukcijas pacelšanas procesā skapja sānu sienai vajadzētu brīvi iziet gan telpas augstumā, gan pa diagonāli.
Pieņemsim, ka jums ir bīdāms skapis ar 800 mm dziļumu. Attālums no grīdas līdz griestiem ir 2600 mm. Pieredzējis mēbeļu ražotājs teiks, ka skapja augstumam jābūt par 126 mm mazākam par telpas augstumu. Bet kāpēc tieši 126 mm? Apsveriet piemēru.
Ar ideāliem skapja izmēriem mēs pārbaudām Pitagora teorēmas darbību:
AC \u003d √AB 2 + √BC 2
AC \u003d √2474 2 +800 2 \u003d 2600 mm - viss saplūst.
Pieņemsim, ka skapja augstums nav 2474 mm, bet 2505 mm. Tad:
AC \u003d √2505 2 + √800 2 \u003d 2629 mm.
Tāpēc šis skapis nav piemērots uzstādīšanai šajā telpā. Tā kā tā pacelšana vertikālā stāvoklī var sabojāt tā ķermeni.
Varbūt, apsverot dažādus zinātnieku dažādus Pitagora teorēmas pierādīšanas veidus, mēs varam secināt, ka tā ir vairāk nekā patiesa. Tagad jūs varat izmantot saņemto informāciju savā ikdienas dzīvē un būt pilnīgi pārliecināts, ka visi aprēķini būs ne tikai noderīgi, bet arī pareizi.
