Stūra mala 2 3 pamatnes augstums. Trīsstūra augstums

Risinot ģeometriskos uzdevumus, ir lietderīgi ievērot šo algoritmu. Lasot uzdevuma izklāstu, tas ir nepieciešams

• Izveidojiet zīmējumu. Zīmējumam pēc iespējas jāatbilst problēmas stāvoklim, tāpēc tā galvenais uzdevums ir palīdzēt rast risinājumu
• Lietojiet visus datus no uzdevuma nosacījuma uz zīmējumu
• Uzrakstiet visus ģeometriskos jēdzienus, kas rodas uzdevumā
• Atgādiniet visas teorēmas, kas attiecas uz šo jēdzienu
• Uzzīmējiet zīmējumā visas attiecības starp ģeometriskās figūras elementiem, kas izriet no šīm teorēmām

Piemēram, ja uzdevums satur vārdus trijstūra leņķa bisektrise, jums ir jāatceras bisektora definīcija un īpašības un zīmējumā jānorāda vienādi vai proporcionāli segmenti un leņķi.

Šajā rakstā jūs atradīsiet trīsstūra pamatīpašības, kas jums jāzina, lai veiksmīgi atrisinātu problēmas.

Trijstūris.

Trijstūra laukums.

1. ,

šeit - patvaļīga trīsstūra mala, - augstums pazemināts uz šo pusi.

2. ,

šeit un ir patvaļīgas trijstūra malas, ir leņķis starp šīm malām:

3. Gārņa formula:

Šeit - trijstūra malu garumi, - trijstūra pusperimetrs,

4. ,

šeit - trijstūra pusperimetrs, - ierakstītā apļa rādiuss.

Ļaut ir pieskares segmentu garumi.

Tad Herona formulu var uzrakstīt šādā formā:

5.

6. ,

šeit - trijstūra malu garumi, - ierobežotā apļa rādiuss.

Ja uz trijstūra malu ņem punktu, kas dala šo malu attiecībā m:n, tad segments, kas savieno šo punktu ar pretējā leņķa virsotni, sadala trijstūri divos trīsstūros, kuru laukumi ir saistīti kā m :n:

Līdzīgu trīsstūru laukumu attiecība ir vienāda ar līdzības koeficienta kvadrātu.

Trīsstūra mediāna

Šis ir līnijas segments, kas savieno trijstūra virsotni ar pretējās malas viduspunktu.

Trijstūra mediānas krustojas vienā punktā un sadaliet krustošanās punktu proporcijā 2:1, skaitot no augšas.

Regulāra trīsstūra mediānu krustpunkts sadala mediānu divos segmentos, no kuriem mazākais ir vienāds ar ierakstītā apļa rādiusu, bet lielākais ir vienāds ar ierobežotā apļa rādiusu.

Ierobežotā apļa rādiuss ir divreiz lielāks par ierakstītā apļa rādiusu: R=2r

Vidējais garums patvaļīgs trīsstūris

,

šeit - uz sāniem novilkta mediāna - trijstūra malu garumi.

Trijstūra bisektrise

Tas ir jebkura trijstūra leņķa bisektrise segments, kas savieno šī leņķa virsotni ar pretējo malu.

Trijstūra bisektrise sadala malu segmentos, kas ir proporcionāli blakus esošajām malām:

Trijstūra bisektrise krustojas vienā punktā, kas ir ierakstītā apļa centrs.

Visi leņķa bisektrise punkti atrodas vienādā attālumā no leņķa malām.

Trīsstūra augstums

Šis ir perpendikula segments, kas nolaists no trijstūra virsotnes uz pretējā puse, vai tā turpinājums. Strupā trijstūrī augstums, kas novilkts no asā leņķa virsotnes, atrodas ārpus trijstūra.

Trijstūra augstumi krustojas vienā punktā, ko sauc trijstūra ortocentrs.

Lai atrastu trīsstūra augstumu novilkta uz sāniem, jums jebkurā veidā jāatrod tā laukums un pēc tam jāizmanto formula:

Ap trijstūri norobežota apļa centrs, atrodas uz trijstūra malām novilkto perpendikulāro bisektoru krustpunktā.

Trijstūra ierobežotā apļa rādiuss var atrast, izmantojot šādas formulas:

Šeit ir norādīti trīsstūra malu garumi, trijstūra laukums.

,

kur ir trijstūra malas garums, ir pretējais leņķis. (Šī formula izriet no sinusa teorēmas).

trīsstūra nevienlīdzība

Katra trijstūra mala ir mazāka par summu un lielāka par pārējo divu starpību.

Jebkuru divu malu garumu summa vienmēr ir lielāka par trešās malas garumu:

Pretī lielākajai pusei atrodas lielāks leņķis; pretī lielākajam leņķim atrodas lielākā puse:

Ja , tad otrādi.

Sinus teorēma:

Trijstūra malas ir proporcionālas pretējo leņķu sinusiem:

Kosinusa teorēma:

trijstūra malas kvadrāts ir vienāds ar pārējo divu malu kvadrātu summu, nedubultojot šo malu reizinājumu ar leņķa kosinusu starp tām:

Taisns trīsstūris

- Tas ir trīsstūris, kura viens no leņķiem ir vienāds ar 90°.

Summa asi stūri taisnleņķa trīsstūris vienāds ar 90°.

Hipotenūza ir puse, kas atrodas pretī 90° leņķim. Hipotenūza ir garākā puse.

Pitagora teorēma:

hipotenūzas kvadrāts ir vienāds ar kāju kvadrātu summu:

Taisnleņķa trijstūrī ierakstīta riņķa rādiuss ir

,

šeit - ierakstītā apļa rādiuss, - kājas, - hipotenūza:

Ap taisnleņķa trīsstūri norobežota riņķa centrs atrodas hipotenūzas vidū:

Taisnleņķa trīsstūra mediāna, kas novilkta uz hipotenūzu vienāds ar pusi no hipotenūzas.

Taisnleņķa trijstūra sinusa, kosinusa, pieskares un kotangensa definīcija skat

Elementu attiecība taisnleņķa trijstūrī:

No virsotnes novilkta taisnleņķa trijstūra augstuma kvadrāts pareizā leņķī, ir vienāds ar hipotenūzas kāju projekciju reizinājumu:

Kājas kvadrāts ir vienāds ar hipotenūzas un kājas projekcijas pret hipotenūzu reizinājumu:

Kāja guļ pret stūri vienāds ar pusi no hipotenūzas:

Vienādsānu trīsstūris.

Bisektors vienādsānu trīsstūris pievilkta pie pamatnes ir mediāna un augstums.

Vienādsānu trijstūrī leņķi pie pamatnes ir vienādi.

Augšējais leņķis.

Es - sāni

Un - leņķi pie pamatnes.

Augstums, bisektrise un mediāna.

Uzmanību! Augstums, bisektrise un mediāna, kas novilkta uz sānu malu, nesakrīt.

taisnleņķa trīsstūris

(vai vienādmalu trīsstūris ) ir trīsstūris, kura visas malas un leņķi ir vienādi viens ar otru.

Vienādmalu trīsstūra laukums ir vienāds ar

kur ir trijstūra malas garums.

Apļa centrs, kas ierakstīts vienādmalu trīsstūrī, sakrīt ar ap vienādmalu trīsstūri norobežota riņķa centru un atrodas mediānu krustpunktā.

Vienādmalu trijstūra mediānu krustpunkts sadala mediānu divos segmentos, no kuriem mazākais ir vienāds ar ierakstītā apļa rādiusu, bet lielākais ir vienāds ar ierobežotā apļa rādiusu.

Ja viens no vienādsānu trijstūra leņķiem ir 60°, tad trijstūris ir regulārs.

Trijstūra vidējā līnija

Šis ir segments, kas savieno divu malu viduspunktus.

Attēlā DE ir trijstūra ABC viduslīnija.

Trijstūra viduslīnija ir paralēla trešajai malai un vienāda ar pusi no tās: DE||AC, AC=2DE

Trīsstūra ārējais stūris

Tas ir leņķis, kas atrodas blakus jebkuram trijstūra leņķim.

Trijstūra ārējais leņķis ir vienāds ar divu leņķu summu, kas nav tam blakus.

Ārējā leņķa trigonometriskās funkcijas:

Trīsstūru vienādības zīmes:

1 . Ja viena trijstūra divas malas un leņķis starp tām ir attiecīgi vienāds ar cita trijstūra divām malām un leņķi starp tām, tad šādi trīsstūri ir kongruenti.

2 . Ja viena trijstūra mala un divi blakus leņķi ir attiecīgi vienādi ar cita trijstūra malu un diviem blakus leņķiem, tad šādi trijstūri ir kongruenti.

3 Ja viena trijstūra trīs malas ir attiecīgi vienādas ar cita trijstūra trim malām, tad šādi trīsstūri ir kongruenti.

Svarīgs: tā kā taisnleņķa trijstūrī divi leņķi ir acīmredzami vienādi, tad par divu taisnleņķa trīsstūru vienādība tikai divi elementi ir vienādi: divas malas vai sānu un asais leņķis.

Trīsstūru līdzības pazīmes:

1 . Ja viena trijstūra divas malas ir proporcionālas cita trijstūra divām malām un starp šīm malām ietvertie leņķi ir vienādi, tad šie trīsstūri ir līdzīgi.

2 . Ja viena trijstūra trīs malas ir proporcionālas cita trijstūra trim malām, tad šie trīsstūri ir līdzīgi.

3 . Ja viena trijstūra divi leņķi ir vienādi ar cita trijstūra diviem leņķiem, tad šie trīsstūri ir līdzīgi.

Svarīgs: Līdzīgos trīsstūros līdzīgas malas atrodas pretī vienādiem leņķiem.

Menelausa teorēma

Ļaujiet taisnei krustot trijstūri , kur ir tās krustošanās punkts ar malu , ir tās krustošanās punkts ar malu un ir tā krustošanās punkts ar malas pagarinājumu . Tad

Jūsu privātums mums ir svarīgs. Šī iemesla dēļ mēs esam izstrādājuši Privātuma politiku, kurā aprakstīts, kā mēs izmantojam un uzglabājam jūsu informāciju. Lūdzu, izlasiet mūsu privātuma politiku un informējiet mūs, ja jums ir kādi jautājumi.

Personiskās informācijas vākšana un izmantošana

Personiskā informācija attiecas uz datiem, kurus var izmantot, lai identificētu vai sazinātos ar konkrētu personu.

Jums var tikt lūgts sniegt savu personisko informāciju jebkurā laikā, kad sazināsieties ar mums.

Tālāk ir sniegti daži piemēri par to, kāda veida personas informāciju mēs varam vākt un kā mēs varam izmantot šādu informāciju.

Kādu personas informāciju mēs apkopojam:

• Kad jūs iesniedzat pieteikumu vietnē, mēs varam apkopot dažādu informāciju, tostarp jūsu vārdu, tālruņa numuru, e-pasta adresi utt.

Kā mēs izmantojam jūsu personisko informāciju:

• Mūsu savākts Personīgā informācijaļauj mums sazināties ar jums un informēt par unikāliem piedāvājumiem, akcijām un citiem pasākumiem un gaidāmajiem pasākumiem.
• Laiku pa laikam mēs varam izmantot jūsu personisko informāciju, lai nosūtītu jums svarīgus paziņojumus un ziņojumus.
• Mēs varam izmantot personas informāciju arī iekšējiem mērķiem, piemēram, auditu, datu analīzes un dažādu pētījumu veikšanai, lai uzlabotu mūsu sniegtos pakalpojumus un sniegtu jums ieteikumus par mūsu pakalpojumiem.
• Ja piedalāties balvu izlozē, konkursā vai līdzīgā stimulā, mēs varam izmantot jūsu sniegto informāciju, lai pārvaldītu šādas programmas.

Izpaušana trešajām personām

Mēs neizpaužam no jums saņemto informāciju trešajām personām.

Izņēmumi:

• Ja nepieciešams - saskaņā ar likumu, tiesas kārtību, tiesvedībā un/vai pamatojoties uz publiskiem pieprasījumiem vai lūgumiem no plkst. valdības aģentūras Krievijas Federācijas teritorijā - atklājiet savu personīgo informāciju. Mēs varam arī izpaust informāciju par jums, ja konstatēsim, ka šāda izpaušana ir nepieciešama vai piemērota drošības, tiesībaizsardzības vai citiem sabiedrības interešu mērķiem.
• Reorganizācijas, apvienošanas vai pārdošanas gadījumā mēs varam nodot mūsu apkopoto personas informāciju attiecīgajai trešajai personai, kas pārņēmusi.

Personiskās informācijas aizsardzība

Mēs veicam piesardzības pasākumus, tostarp administratīvus, tehniskus un fiziskus, lai aizsargātu jūsu personisko informāciju pret pazaudēšanu, zādzību un ļaunprātīgu izmantošanu, kā arī no nesankcionētas piekļuves, izpaušanas, pārveidošanas un iznīcināšanas.

Jūsu privātuma saglabāšana uzņēmuma līmenī

Lai nodrošinātu jūsu personiskās informācijas drošību, mēs saviem darbiniekiem paziņojam par privātuma un drošības praksi un stingri īstenojam privātuma praksi.

E A → ⋅ B C → + E B → ⋅ C A → + E C → ⋅ A B → = 0 (\displaystyle (\overrightarrow (EA))\cdot (\overrightarrow (BC))+(\overrightarrow (EB))\cdot (\ virs labā bultiņa (CA))+(\overright arrow (EC))\cdot (\overright arrow (AB))=0)

(Lai pierādītu identitāti, jāizmanto formulas

A B → = E B → − E A → , B C → = E C → − E B → , C A → = E A → − E C → (\displaystyle (\overrightarrow (AB))=(\overrightarrow (EB))-(\overrightarrow (EA) )),\,(\overrightarrow (BC))=(\overrightarrow (EC))-(\overrightarrow (EB)),\,(\overrightarrow (CA))=(\overrightarrow (EA))-(\overrightarrow (EK)))

Punkts E jāuzskata par trijstūra divu augstumu krustpunktu.)

• Ortocentrs izogonāli konjugēts ar centru ierobežots aplis .
• Ortocentrs atrodas uz vienas līnijas ar centroīdu, centru ierobežots aplis un deviņu punktu apļa centrs (skat. Eilera līniju).
• Ortocentrs akūts trīsstūris ir tā ortotrijstūrī ierakstīta riņķa centrs.
• Trijstūra centrs, ko apraksta ortocentrs ar virsotnēm dotā trijstūra malu viduspunktos. Pēdējo trīsstūri sauc par papildu trīsstūri attiecībā pret pirmo trīsstūri.
• Pēdējo īpašību var formulēt šādi: Ap trijstūri norobežota apļa centrs kalpo ortocentrs papildu trīsstūris.
• Punkti, simetriski ortocentrs trijstūris attiecībā pret tā malām atrodas uz ierobežotā apļa.
• Punkti, simetriski ortocentrs trijstūri attiecībā pret malu viduspunktiem arī atrodas uz ierobežotā apļa un sakrīt ar punktiem, kas ir diametrāli pretēji attiecīgajām virsotnēm.
• Ja PAR ir ierobežotā apļa ΔABC centrs, tad O H → = O A → + O B → + O C → (\displeja stils (\overrightarrow (OH))=(\overrightarrow (OA))+(\overrightarrow (OB))+(\overrightarrow (OC))) ,
• Attālums no trijstūra virsotnes līdz ortocentram ir divreiz lielāks par attālumu no ierobežotā apļa centra līdz pretējai malai.
• Jebkurš segments, kas novilkts no ortocentrs vienmēr sadala Eilera apli uz pusēm, līdz tas krustojas ar norobežoto apli. Ortocentrs ir šo divu apļu viendabīguma centrs.
• Hamiltona teorēma. Trīs līnijas segmenti, kas savieno ortocentru ar akūtā leņķa trijstūra virsotnēm, sadala to trīs trīsstūros, kuriem ir tāds pats Eilera aplis (deviņu punktu aplis) kā sākotnējam akūtleņķa trijstūrim.
• Hamiltona teorēmas sekas:
  • Trīs līniju segmenti, kas savieno ortocentru ar akūtā leņķa trijstūra virsotnēm, sadala to trīs daļās Hamiltona trīsstūris kam ir vienādi ierobežotu apļu rādiusi.
  • Trīs ierobežoto apļu rādiusi Hamiltona trīsstūri ir vienādi ar apļa rādiusu, kas ir ierobežots ap sākotnējo akūtā leņķa trīsstūri.
• Akūtā trijstūrī ortocentrs atrodas trīsstūra iekšpusē; strupā - ārpus trijstūra; taisnstūrveida formā - taisna leņķa virsotnē.

Vienādsānu trīsstūra augstuma īpašības

• Ja trijstūrī divi augstumi ir vienādi, tad trijstūris ir vienādsānu (Šteinera-Lemusa teorēma), un trešais augstums ir gan leņķa, no kura tas iziet, mediāna un bisektrise.
• Ir arī otrādi: vienādsānu trīsstūrī divi augstumi ir vienādi, un trešais augstums ir gan mediāna, gan bisektrise.
• Vienādmalu trīsstūrim visi trīs augstumi ir vienādi.

Trijstūra augstumu pamatu īpašības

• Pamati augstumi veido tā saukto ortotrijstūri, kuram ir savas īpašības.
• Aplis, kas aprakstīts netālu no ortotrijstūra, ir Eilera aplis. Uz šī apļa atrodas arī trīs trijstūra malu viduspunkti un trīs nogriežņu viduspunkti, kas savieno ortocentru ar trijstūra virsotnēm.
• Vēl viens pēdējā īpašuma formulējums:
  • Eilera teorēma deviņu punktu lokam. Pamati trīs augstumi patvaļīgs trīsstūris, tā trīs malu viduspunkti ( tās iekšējās pamati mediānas) un trīs segmentu viduspunkti, kas savieno tā virsotnes ar ortocentru, visi atrodas uz viena apļa (uz deviņu punktu aplis).
• Teorēma. Jebkurā trīsstūrī savienojošais līnijas posms pamatojums divi augstumi trijstūris nogriež dotajam līdzīgu trīsstūri.
• Teorēma. Trijstūrī līnijas posms savienojas pamatojums divi augstumi trīsstūri no divām pusēm antiparalēli trešā persona, ar kuru viņam nav kopīgu punktu. Apli vienmēr var novilkt caur tā diviem galiem, kā arī caur divām trešās minētās malas virsotnēm.

Citas trīsstūra augstumu īpašības

Trijstūra minimālā augstuma īpašības

Trijstūra minimālajam augstumam ir daudz ekstrēmu īpašību. Piemēram:

• Trijstūra minimālās ortogonālās projekcijas uz taisnēm, kas atrodas trijstūra plaknē, garums ir vienāds ar mazāko no tā augstumiem.
• Minimālajam taisnajam griezumam plaknē, caur kuru var izvilkt neelastīgu trīsstūrveida plāksni, jābūt vienādam ar šīs plāksnes mazāko augstumu.
• Nepārtraukti kustoties diviem punktiem pa trijstūra perimetru vienam pret otru, maksimālais attālums starp tiem kustības laikā no pirmās tikšanās uz otro nedrīkst būt mazāks par trijstūra mazākā augstuma garumu.
• Trijstūra minimālais augstums vienmēr ir šajā trīsstūrī.

Pamata attiecības

• h a = b sin ⁡ γ = c sin ⁡ β , (\displaystyle h_(a)=b\sin \gamma =c\sin \beta ,)
• h a = 2 S a , (\displaystyle h_(a)=(\frac (2S)(a)),) Kur S (\displaystyle S)- trīsstūra laukums, a (\displaystyle a)- trijstūra malas garums, uz kura ir pazemināts augstums.
• h a 2 = 1 2 (b 2 + c 2 − 1 2 (a 2 + (b 2 - c 2) 2 a 2)) (\displaystyle h_(a)^(2)=(\frac (1)(2) ))(b^(2)+c^(2)-(\frac (1)(2))(a^(2)+(\frac ((b^(2)-c^(2))^ (2))(a^(2))))))
• h a = b c 2 R , (\displaystyle h_(a)=(\frac (bc)(2R)),) Kur bc (\displaystyle bc)- sānu produkts, R − (\displaystyle R-) ierobežotā apļa rādiuss
• h a: h b: h c = 1 a: 1 b: 1 c = b c: a c: a b (\displeja stils h_(a):h_(b):h_(c)=(\frac (1)(a)):( \frac (1) (b)):(\frac (1) (c))=bc:ac:ab)
• 1 h a + 1 h b + 1 h c = 1 r (\displaystyle (\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_ (c)))=(\frac (1)(r))), Kur r (\displaystyle r) ir ierakstītā apļa rādiuss.
• S = 1 (1 h a + 1 h b + 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h b − 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h c - 1 h b) ⋅ (1 h b + 1 h c - 1 h a) (\displaystyle S =(\frac (1)(\sqrt (((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_(c) ))))))(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))-(\frac (1)(h_(c))) )(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1)(h_(b))))(\ cdot )((\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1)(h_(a)))))))), Kur S (\displaystyle S)- trīsstūra laukums.
• a = 2 h a ⋅ (1 h a + 1 h b + 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h b − 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h c - 1 h b) ⋅ (1 h b + 1 h c - 1 h a) (\ displaystyle a=(\frac (2)(h_(a)(\cdot )(\sqrt (((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b))) +(\frac (1)(h_(c))))(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))-(\ frac (1)(h_(c))))(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1) )(h_(b))))(\cdot )((\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1)(h_ (a))))))))), a (\displaystyle a)- trijstūra mala, uz kuru krīt augstums h a (\displaystyle h_(a)).
• Vienādsānu trīsstūra augstums, kas nolaists līdz pamatnei: h c = 1 2 4 a 2 − c 2, (\displaystyle h_(c)=(\frac (1)(2))(\sqrt (4a^(2)-c^(2))),)

Kur c (\displaystyle c)- bāze, a (\displaystyle a) - pusē.

Teorēma par taisnleņķa trijstūra augstumu

Ja augstums taisnleņķa trijstūrī A B C (\displaystyle ABC) garums h (\displaystyle h), kas novilkta no taisna leņķa virsotnes, dala hipotenūzu ar garumu c (\displaystyle c) segmentos m (\displaystyle m) Un n (\displaystyle n) kas atbilst kājām b (\displaystyle b) Un a (\displaystyle a), tad šādas vienādības ir patiesas.

Lai atrisinātu daudzas ģeometriskas problēmas, jums jāatrod dotās figūras augstums. Šie uzdevumi ir piemērotā vērtība. Veicot būvdarbus, augstuma noteikšana palīdz aprēķināt nepieciešamo summu materiāliem, kā arī noteikt, cik precīzi tiek veidotas nogāzes un atveres. Bieži vien, lai izveidotu modeļus, jums ir jābūt priekšstatam par īpašībām

Daudzi cilvēki, neskatoties uz labām atzīmēm skolā, veidojot parasto ģeometriskās formas rodas jautājums, kā atrast trijstūra vai paralelograma augstumu. Un tas ir visgrūtākais. Tas ir tāpēc, ka trīsstūris var būt akūts, strups, vienādsānu vai taisnstūris. Katram no tiem ir savi būvniecības un aprēķina noteikumi.

Kā grafiski atrast trijstūra augstumu, kurā visi leņķi ir asi

Ja visi trijstūra leņķi ir asi (katrs leņķis trijstūrī ir mazāks par 90 grādiem), tad, lai atrastu augstumu, rīkojieties šādi.

1. Pēc dotajiem parametriem konstruējam trīsstūri.
2. Ieviesīsim notāciju. A, B un C būs figūras virsotnes. Katrai virsotnei atbilstošie leņķi ir α, β, γ. Šiem stūriem pretējās malas ir a, b, c.
3. Augstums ir perpendikuls no leņķa virsotnes līdz trijstūra pretējai malai. Lai atrastu trijstūra augstumus, konstruējam perpendikulu: no leņķa α virsotnes uz malu a, no leņķa β virsotnes uz malu b utt.
4. Augstuma un malas a krustošanās punkts tiks apzīmēts ar H1, un pats augstums būs h1. Augstuma un malas b krustošanās punkts būs H2, augstums attiecīgi h2. C malai augstums būs h3 un krustošanās punkts H3.

Augstums trīsstūrī ar neasu leņķi

Tagad apsveriet, kā atrast trīsstūra augstumu, ja tāds ir (lielāks par 90 grādiem). Šajā gadījumā augstums, kas novilkts no strupa leņķa, būs trijstūra iekšpusē. Atlikušie divi augstumi būs ārpus trīsstūra.

Lai leņķi α un β mūsu trijstūrī ir asi, un leņķis γ ir neass. Tad, lai konstruētu augstumus, kas iznāk no leņķiem α un β, ir jāturpina tiem pretējās trijstūra malas, lai uzzīmētu perpendikulu.

Kā atrast vienādsānu trīsstūra augstumu

Šim skaitlim ir divi vienādas puses un pamatni, savukārt leņķi pie pamatnes arī ir vienādi viens ar otru. Šī malu un leņķu vienādība atvieglo augstumu konstruēšanu un to aprēķināšanu.

Vispirms uzzīmēsim pašu trīsstūri. Lai malas b un c, kā arī leņķi β, γ ir attiecīgi vienādi.

Tagad zīmēsim augstumu no leņķa α virsotnes, apzīmēsim to ar h1. Šim augstumam būs gan bisektrise, gan mediāna.

Pamatam var izgatavot tikai vienu konstrukciju. Piemēram, uzzīmējiet mediānu - segmentu, kas savieno vienādsānu trijstūra virsotni un pretējo malu, pamatni, lai atrastu augstumu un bisektrisi. Un, lai aprēķinātu augstuma garumu pārējām divām pusēm, varat izveidot tikai vienu augstumu. Tādējādi, lai grafiski noteiktu, kā aprēķināt vienādsānu trīsstūra augstumu, pietiek atrast divus augstumus no trim.

Kā atrast taisnleņķa trijstūra augstumu

Ir daudz vieglāk noteikt taisnleņķa trīsstūra augstumus nekā citiem. Tas ir tāpēc, ka pašas kājas veido taisnu leņķi, kas nozīmē, ka tās ir augstumā.

Lai izveidotu trešo augstumu, kā parasti, tiek novilkts perpendikuls, kas savieno taisnā leņķa virsotni un pretējo pusi. Rezultātā, lai šajā gadījumā izveidotu trīsstūri, ir nepieciešama tikai viena konstrukcija.