Norādiet leņķa jēdzienu starp taisnām līnijām. Leņķis starp taisnām līnijām

Ļaujiet diviem vektoriem, kas nav nulle, un tos piešķir plaknē vai trīsdimensiju telpā. Atbrīvojieties no patvaļīga punkta O pārnēsātāji un. Tad ir spēkā šī definīcija.

Definīcija.

Leņķis starp vektoriem un sauca leņķi starp stariem OA un OB.

Leņķis starp vektoriem tiks apzīmēts ar.

Leņķis starp vektoriem var ņemt vērtības no 0 uz vai, kas ir tas pats, no līdz.

Kad vektori un līdzvirziena, kad vektori un pretējs virziens.

Definīcija.

Vektori un tiek saukti perpendikulārija leņķis starp tām ir (radiāns).

Ja vismaz viens no vektoriem ir nulle, tad leņķis nav noteikts.

Leņķa atrašana starp vektoriem, piemēri un risinājumi.

Leņķa kosinuss starp vektoriem un līdz ar to arī pats leņķis vispārīgā gadījumā ir atrodams, izmantojot vektoru punktveida produktu vai izmantojot kosinusa teorēmu trijstūrim, kas uzbūvēts uz vektoriem, un.

Pārbaudīsim šos gadījumus.

Pēc definīcijas vektoru skalārais reizinājums ir. Ja vektori ir vienādi ar nulli, tad pēdējās vienlīdzības abas puses mēs varam sadalīt ar vektoru garumu reizinājumu un, un mēs iegūstam formula leņķa kosinusa atrašanai starp vektoriem, kas nav nulle:. Šo formulu var izmantot, ja ir zināmi vektoru garumi un to punktu reizinājums.

Piemērs.

Aprēķiniet leņķa kosinusu starp vektoriem un atrodiet arī pašu leņķi, ja vektoru garumi ir vienādi 3 un 6 attiecīgi, un to skalārais reizinājums ir -9 .

Lēmums.

Problēmas paziņojumā ir norādīti visi daudzumi, kas nepieciešami formulas piemērošanai. Mēs aprēķinām leņķa kosinusu starp vektoriem un:.

Tagad mēs atrodam leņķi starp vektoriem:.

Atbilde:

Pastāv problēmas, kad vektorus norāda koordinātas taisnstūra koordinātu sistēmā plaknē vai telpā. Šajos gadījumos, lai atrastu leņķa kosinusu starp vektoriem, varat izmantot to pašu formulu, bet koordinātu formā. Saņemsim to.

Vektora garums ir tā koordinātu kvadrātu summas kvadrātsakne, vektoru skalārais reizinājums ir vienāds ar atbilstošo koordinātu reizinājumu summu. Tātad, leņķa kosinusa aprēķināšanas formula starp vektoriem plaknei ir forma, un vektoriem trīsdimensiju telpā -.

Piemērs.

Atrodiet leņķi starp vektoriem taisnstūra koordinātu sistēmā.

Lēmums.

Jūs varat nekavējoties izmantot formulu:

Vai arī varat izmantot formulu, lai atrastu kosinusu leņķim starp vektoriem , iepriekš aprēķinot vektoru garumus un punktu punktu pēc koordinātām:

Atbilde:

Problēma tiek samazināta līdz iepriekšējam gadījumam, kad tiek norādītas trīs punktu koordinātas (piemēram, UN, IN un NO) taisnstūrveida koordinātu sistēmā un vēlaties atrast kādu leņķi (piemēram,).

Patiešām, leņķis ir vienāds ar leņķi starp vektoriem un. Šo vektoru koordinātas aprēķina kā: gala punktu un vektora sākuma punktu atbilstošo koordinātu atšķirība.

Piemērs.

Plaknē Dekarta koordinātu sistēmā ir dotas trīs punktu koordinātas. Atrodiet leņķa kosinusu starp vektoriem un.

Lēmums.

Ļaujiet mums noteikt vektoru koordinātas un pēc doto punktu koordinātām:

Tagad mēs izmantosim formulu, lai koordinātās atrastu leņķi starp vektoriem plaknē:

Atbilde:

Leņķi starp vektoriem, un to var arī aprēķināt ar kosinusa teorēma... Ja jūs atliktu no punkta O vektoriem un pēc tam ar kosinusa teorēmu trijstūrī OAV mēs varam pierakstīt, kas ir līdzvērtīgs vienādībai, no kurienes mēs atrodam leņķa kosinusu starp vektoriem. Lai izmantotu iegūto formulu, mums ir nepieciešami tikai vektoru garumi un, kurus viegli atrod vektoru koordinātas un. Tomēr šo metodi praktiski neizmanto, jo leņķa kosinuss starp vektoriem ir vieglāk atrodams pēc formulas.

Ortogonālās projekcijas aprēķins (pašu projekcija):

Vektora projekcija uz l asi ir vienāda ar vektora moduļa reizinājumu ar leņķa φ kosinusu starp vektoru un asi, t.i. pr cosφ.

Doc: Ja φ \u003d< , то пр l =+ = *cos φ.

Ja φ\u003e (φ≤), tad pr l \u003d - \u003d - * cos (-φ) \u003d cosφ (sk. 10. attēlu)

Ja φ \u003d, tad pr l \u003d 0 \u003d cos φ.

Sekas: Vektora projekcija uz asi ir pozitīva (negatīva), ja vektors ar asi veido akūtu (neredzētu) leņķi, un ir vienāds ar nulli, ja šis leņķis ir taisns leņķis.

Sekas: Vienādu vektoru projekcijas uz vienu asi ir vienādas.

Vektoru summas ortogonālās projekcijas aprēķins (pašprojekcija):

Vairāku vektoru summas projekcija uz vienu asi ir vienāda ar to projekciju summu uz šo asi.

Doc: Ļaujiet, piemēram, \u003d + +. Mums ir pr l \u003d + \u003d + + -, t.i. pr l (+ +) \u003d pr l + pr l + pr l (sk. 11. attēlu)

Fig. vienpadsmit

Vektora reizinājuma aprēķināšana ar skaitli:

Ja vektoru reizina ar skaitli λ, tā projekcija uz asi tiek reizināta arī ar šo skaitli, t.i. pr l (λ *) \u003d λ * pr l.

Doc: Ja λ\u003e 0, tad mums ir pr l (λ *) \u003d * cos φ \u003d λ * φ \u003d λ * pr l

Kad λl (λ *) \u003d * cos (-φ) \u003d - * (-cosφ) \u003d * cosφ \u003d λ * pr l.

Īpašums ir derīgs arī

Tādējādi lineāras operācijas ar vektoriem noved pie atbilstošām lineārām operācijām šo vektoru projekcijās.

Sastāv no diviem dažādiem stariem, kas izstaro no tā paša punkta. Tiek saukti stari. malas Y., un to kopīgā izcelsme ir Y augšdaļa. Ļaujiet [ VA),[ Saule) - stūra malas, IN - tās virsotne ir plakne, ko nosaka Y malas. Skaitlis plakni sadala divās figūrās. i \u003d\u003d l, 2, ko sauc arī. Vai plakans leņķis, saukts. plakanā W iekšējais laukums.
Tiek saukti divi stūri. vienādi (vai saskaņoti), ja tos var izlīdzināt tā, lai to attiecīgās malas un virsotnes sakristu. No jebkura plaknes stara dotajā virzienā no tās jūs varat atlikt vienīgo Y, kas vienāds ar doto Y. Y salīdzinājums tiek veikts divos veidos. Ja U. uzskata par staru pāri ar kopēju izcelsmi, tad, lai precizētu jautājumu, kurš no diviem U ir lielāks, vienā plaknē ir jāapvieno U. galotnes un viens to sānu pāris (sk. 1. att.). Ja izrādās, ka vienas W otrā puse atrodas otras W iekšpusē, tad viņi saka, ka pirmā W. ir mazāka par otro. Otrs Y. salīdzināšanas veids ir balstīts uz Y. salīdzināšanu ar noteiktu skaitli. Vienāda Y. atbildīs tiem pašiem grādiem vai (skat. Zemāk), lielāks Y. - lielāks skaitlis, mazāks - mazāks.

Zvanīja divi U. blakus, ja tām ir kopēja virsotne un viena mala, un pārējās divas malas veido taisnu līniju (sk. 2. att.). Parasti tiek saukti U., kuriem ir kopīga virsotne un viena kopīga puse. blakus. U. piezvanīja. vertikāli, ja vienas malas ir pagarinājumi, kas pārsniedz otras Y sānu augšpusi. Vertikālā Y. ir vienādas ar otru. U., pie kuras malas veido taisnu līniju, sauc. izvietoti. Tiek izsaukta puse no dislocētajiem U. tiešo Y. Tiešo Y. var līdzvērtīgi definēt atšķirīgi: Y., vienāds ar tai blakus esošo, sauc. tieša. Plakana Y. iekšpuse, kas nepārsniedz izstrādāto, ir izliekta domēna plaknē. W mērvienība tiek uzskatīta par tiešās W 90 daļu, ko sauc par. grāds.

Tiek izmantots arī mērs Y. Radiāna mēra Y skaitliskā vērtība ir vienāda ar loka garumu, ko Y malas sagriež no vienības apļa. Viens radiāns tiek attiecināts uz U, kas atbilst lokam, kurš ir vienāds ar tā rādiusu. Nesalocīts U. ir vienāds ar radiāniem.
Divu taisnu līniju krustojumā, kas atrodas tajā pašā plaknē, trešo taisno līniju veido U. (sk. 3. att.): 1 un 5, 2 un 6, 4 un 8, Z un 7 - sauc. atbilstošs; 2 un 5, 3 un 8 - iekšēji vienpusēji; 1 un 6, 4 un 7 - ārēji vienpusēji; 3 un 5, 2 un 8 - atrodas šķērsām; 1 un 7, 4 un 6 - atrodas šķērsām.

Praktiski. Ja problēmas rodas, ieteicams U. uzskatīt par fiksēta stara apgriezienu ap tā sākumu noteiktā pozīcijā. Atkarībā no Y. griešanās virziena šajā gadījumā var uzskatīt gan pozitīvu, gan negatīvu. Tādējādi U. šajā ziņā var būt jebkura vērtība. U. kā trigonometrijas teorijā tiek ņemta vērā stara rotācija. funkcijas: jebkurai argumenta vērtībai (Y.) var noteikt trigonometriskās vērtības. funkcijas. U. jēdziens ģeometriskā formā. sistēma, kas balstīta uz punktu-vektora aksiomatiku, būtiski atšķiras no Y. kā figūras definīcijām - šajā aksiomatikā Y. tiek saprasts kā noteikta metrika. daudzums, kas saistīts ar diviem vektoriem, izmantojot skalārā vektora reizināšanu. Proti, katrs vektoru pāris a un b nosaka noteiktu leņķi - skaitli, kas ar formulu saistīts ar vektoriem

kur ( a, b) - vektoru dotprodukts.
U. jēdziens kā plakana figūra un kā noteikta skaitliskā vērtība tiek izmantots dažādos ģeometriskos. problēmas, kurās vērtība tiek noteikta īpašā veidā. Tātad zem Y. starp krustojošajām līknēm, kurām krustošanās vietā ir noteiktas pieskares, saprotiet Y., ko veido šie pieskares punkti.
Leņķi starp taisnu līniju un plakni uzskata par leņķi, ko veido taisna līnija un tās taisnstūra projekcija uz plakni; to mēra diapazonā no 0

Matemātikas enciklopēdija. - M .: Padomju enciklopēdija... I. M. Vinogradovs. 1977.-1985.

Sinonīmi:

Uzziniet, kas ir "ANGLE" citās vārdnīcās:

ogles - leņķis / ёк / ... Morfēmiskā un pareizrakstības vārdnīca

Vīrs. lūzums, lūzums, ceļgala, elkoņa, izvirzījums vai halle (depresija) ap vienu seju. Leņķis ir lineārs, pa divām divām pretējām līnijām un to intervālu; plakne vai plaknes leņķis, divu plakņu vai sienu sanākšana; stūris ir biezs, ciets, sanāk vienā ... Dahla skaidrojošā vārdnīca

Leņķis, ap leņķi, pie stūra (iekšpusē) un (mat.) Leņķī, m. 1. Plaknes daļa starp divām taisnām līnijām, kas nāk no viena punkta (mat.). Stūra augšdaļa. Stūra malas. Leņķa mērīšana pa grādiem. Pareizā leņķī. (90 °). Asu stūri. (mazāk nekā 90 °). Netīrs leņķis.… Ušakova skaidrojošā vārdnīca

LEŅĶIS - (1) uzbrukuma leņķis starp gaisa plūsmas virzienu uz gaisa kuģa spārnu un spārna sekcijas hordu. Pacelšanas vērtība ir atkarīga no šī leņķa. Leņķi, kurā pacēlums ir maksimālais, sauc par kritisko uzbrukuma leņķi. Vai ... Lielā politehniskā enciklopēdija

- (plakana) ģeometriska figūra, ko veido divi stari (leņķa malas), kas rodas no viena punkta (leņķa virsotnes). Jebkurš leņķis ar virsotni noteikta apļa centrā (centrālais leņķis) nosaka loka AB apli, kuru ierobežo punkti ... Lielā enciklopēdiskā vārdnīca

Stūra galva, ap stūri, lācīgs stūris, bez gala stūra, visos stūros .. Krievu valodas sinonīmu un izteikumu vārdnīcā līdzīga vārdnīca. zem. ed. N. Abramova, M .: Krievu valodas vārdnīcas, 1999. augšējais stūris, stūra punkts; gultnis, pajumte, deviņi, punkts, ... Sinonīmu vārdnīca

leņķis - leņķis, ģints. leņķis; piedāvājums par stūri, stūrī (uz) un matemātiķu runā stūrī; pl. leņķi, ģints. stūriem. Prepozicionālas un stabilas kombinācijas: ap stūri, un tas ir pieļaujams stūrim (iet iekšā, ietiniet utt.), No stūra uz stūri (pārvietojiet, novietojiet utt.), Stūri ... Izrunu un stresa grūtību vārdnīca mūsdienu krievu valodā

LEŅĶIS, stūris, apmēram stūris, (stūrī), vīrs. 1. (stūrī.). Ģeometrijā: plakana figūra, ko veido divi stari (3 vērtībās), kas rodas no viena punkta. Stūra augšdaļa. Tieši y. (90 °). Asu u. (mazāk nekā 90 °). Stulbi y. (vairāk nekā 90 °). Ārējie un iekšējie ... Ožegova skaidrojošā vārdnīca

leņķis - LEŅĶIS, leņķis, m. Ceturtdaļas likmes, kad tiek paziņots, kartes mala ir salocīta. ◘ Dūzis un lāpstas karaliene ar leņķi // Nogalināts. A. I. Poležajevs. Diena Maskavā, 1832. gads. ◘ Pēc vakariņām viņš izkliedē zelta gabalus uz galda, sakrata kārtis; ponters plaisa ar klājiem, ... 19. gadsimta karšu terminoloģija un žargons

Šis materiāls ir veltīts šādai koncepcijai kā leņķis starp divām krustojošām taisnām līnijām. Pirmajā rindkopā mēs paskaidrosim, kas tas ir, un parādīsim to ilustrācijās. Tad mēs analizēsim, kādā veidā jūs varat atrast šī leņķa sinusu, kosinusu un pašu leņķi (mēs atsevišķi apskatīsim gadījumus ar plakni un trīsdimensiju atstarpi), sniegsim nepieciešamās formulas un parādīsim ar piemēriem, kā tās tiek piemērotas praksē.

Lai saprastu, kāds ir leņķis, kas veidojas, kad krustojas divas taisnas līnijas, mums jāatceras pati leņķa, perpendikulāra un krustojuma punkta definīcija.

1. definīcija

Mēs saucam par divām līnijām, kas krustojas, ja tām ir viens kopīgs punkts. Šo punktu sauc par divu līniju krustošanās punktu.

Katru līniju ar krustojuma punktu dala staros. Šajā gadījumā abas taisnās līnijas veido 4 leņķus, no kuriem divi ir vertikāli, un divi ir blakus. Ja mēs zinām viena no tiem izmēru, tad mēs varam noteikt citus atlikušos.

Pieņemsim, ka mēs zinām, ka viens no leņķiem ir vienāds ar α. Šajā gadījumā vertikālais leņķis attiecībā pret to arī būs vienāds ar α. Lai atrastu atlikušos leņķus, mums jāaprēķina starpība 180 ° - α. Ja α ir vienāds ar 90 grādiem, tad visi leņķi būs taisni. Līnijas, kas krustojas taisnā leņķī, tiek sauktas par perpendikulāri (atsevišķs raksts ir veltīts perpendikularitātes jēdzienam).

Apskatiet attēlu:

Pāriesim pie galvenās definīcijas formulēšanas.

2. definīcija

Leņķis, ko veido divas krustojošās līnijas, ir mazāks no 4 leņķiem, ko veido abas līnijas.

No definīcijas jāizdara svarīgs secinājums: leņķa lielumu šajā gadījumā izteiks ar jebkuru reālu skaitli intervālā (0, 90] .Ja taisnās līnijas ir perpendikulāras, tad leņķis starp tām jebkurā gadījumā būs vienāds ar 90 grādiem.

Spēja atrast leņķa lielumu starp divām krustojošām taisnām līnijām ir noderīga daudzu praktisku problēmu risināšanai. Risinājuma metodi var izvēlēties no vairākām iespējām.

Iesācējiem mēs varam izmantot ģeometriskās metodes. Ja mēs kaut ko zinām par papildu leņķiem, tad mēs tos varam saistīt ar nepieciešamo leņķi, izmantojot vienlīdzīgu vai līdzīgu formu īpašības. Piemēram, ja mēs zinām trijstūra malas un mums jāaprēķina leņķis starp taisnām līnijām, uz kurām atrodas šīs puses, tad kosinusa teorēma mums ir piemērota. Ja mums ir taisnstūra trīsstūris stāvoklī, tad aprēķiniem noderēs arī zināšanas par leņķa sinusu, kosinusu un tangenci.

Koordinātu metode ir ļoti ērta arī šāda veida problēmu risināšanā. Izskaidrosim, kā to pareizi lietot.

Mums ir taisnstūrveida (Dekarta) koordinātu sistēma O x y, kurā norādītas divas līnijas. Apzīmēsim tos ar burtiem a un b. Šajā gadījumā taisnās līnijas var aprakstīt, izmantojot jebkurus vienādojumus. Sākotnējām līnijām ir krustošanās punkts M. Kā noteikt vajadzīgo leņķi (apzīmēsim to ar α) starp šīm līnijām?

Sāksim ar pamatprincipa noteikšanu leņķa noteikšanai noteiktos apstākļos.

Mēs zinām, ka tādi jēdzieni kā virziens un parastais vektors ir cieši saistīti ar taisnas līnijas jēdzienu. Ja mums ir kādas taisnas līnijas vienādojums, mēs varam ņemt no tā šo vektoru koordinātas. Mēs to varam izdarīt uzreiz divām krustojošām līnijām.

Leņķi, ko veido divas krustojas taisnas līnijas, var atrast, izmantojot:

• leņķis starp virziena vektoriem;
• leņķis starp normāliem vektoriem;
• leņķis starp vienas taisnas līnijas parasto vektoru un otras virziena vektoru.

Tagad mēs apsvērsim katru metodi atsevišķi.

1. Pieņemsim, ka mums ir taisna līnija a ar virziena vektoru a → \u003d (a x, a y) un taisna līnija b ar virziena vektoru b → (b x, b y). Tagad no krustojuma mēs atspēkojam divus vektorus a → un b →. Pēc tam mēs redzēsim, ka viņi katrs atradīsies uz savas līnijas. Tad mums ir četras iespējas attiecībā uz viņu relatīvo stāvokli. Skatīt attēlu:

Ja leņķis starp diviem vektoriem nav izteikts, tad tas būs nepieciešamais leņķis starp taisnām krustojošām līnijām a un b. Ja tas ir pārmērīgs, tad meklētais leņķis būs vienāds ar leņķi, kas atrodas blakus leņķim a →, b → ^. Tādējādi α \u003d a →, b → ^ ja a →, b → ^ ≤ 90 ° un α \u003d 180 ° - a →, b → ^ ja a →, b → ^\u003e 90 °.

Balstoties uz to, ka vienāda leņķa kosinusi ir vienādi, iegūtās vienādības varam pārrakstīt šādi: cos α \u003d cos a →, b → ^, ja a →, b → ^ ≤ 90 °; cos α \u003d cos 180 ° - a →, b → ^ \u003d - cos a →, b → ^, ja a →, b → ^\u003e 90 °.

Otrajā gadījumā tika izmantotas samazināšanas formulas. Tādējādi

cos α cos a →, b → ^, cos a →, b → ^ ≥ 0 - cos a →, b → ^, cos a →, b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

Uzrakstīsim pēdējo formulu vārdos:

3. definīcija

Leņķa kosinuss, ko veido divas krustojošās taisnas līnijas, būs vienāds ar leņķa kosinusa moduli starp tā virziena vektoriem.

Kopējais leņķa kosinusa formulas skats starp diviem vektoriem a → \u003d (a x, a y) un b → \u003d (b x, b y) izskatās šādi:

cos a →, b → ^ \u003d a →, b → ^ a → b → \u003d a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

No tā mēs varam atvasināt kosinusa formulu starp divām dotajām taisnēm:

cos α \u003d a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 \u003d a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Tad pats leņķis ir atrodams, izmantojot šādu formulu:

α \u003d a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Šeit a → \u003d (a x, a y) un b → \u003d (b x, b y) ir doto līniju virziena vektori.

Sniegsim problēmas risināšanas piemēru.

1. piemērs

Taisnstūra koordinātu sistēmā plaknē tiek dotas divas krustojošās taisnās līnijas a un b. Tos var aprakstīt ar parametriskiem vienādojumiem x \u003d 1 + 4 · λ y \u003d 2 + λ λ ∈ R un x 5 \u003d y - 6 - 3. Aprēķiniet leņķi starp šīm līnijām.

Lēmums

Mums ir parametra vienādojums stāvoklī, kas nozīmē, ka šai taisnei mēs varam uzreiz pierakstīt tās virziena vektora koordinātas. Lai to izdarītu, parametrā mums jāņem koeficientu vērtības, t.i. taisnei x \u003d 1 + 4 λ y \u003d 2 + λ λ R būs virziena vektors a → \u003d (4, 1).

Otro taisno līniju apraksta, izmantojot kanonisko vienādojumu x 5 \u003d y - 6 - 3. Šeit mēs varam ņemt koordinātas no saucējiem. Tādējādi šai līnijai ir virziena vektors b → \u003d (5, - 3).

Tālāk mēs ejam tieši pie leņķa atrašanas. Lai to izdarītu, mēs vienkārši aizstājam pieejamās abu vektoru koordinātas ar iepriekšminēto formulu α \u003d a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2. Mēs iegūstam sekojošo:

α \u003d a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 \u003d a r c cos 17 17 34 \u003d a r c cos 1 2 \u003d 45 °

Atbilde: Šīs taisnās līnijas veido 45 grādu leņķi.

Līdzīgu problēmu mēs varam atrisināt, atrodot leņķi starp normālajiem vektoriem. Ja mums ir taisna līnija a ar normālu vektoru na → \u003d (nax, nay) un taisna līnija b ar normālu vektoru nb → \u003d (nbx, nby), tad leņķis starp tiem būs vienāds ar leņķi starp na → un nb → vai leņķi, kas būs blakus na →, nb → ^. Šī metode ir parādīta attēlā:

Formulas, lai aprēķinātu kosinusu leņķim starp taisnām līnijām un šo leņķi, izmantojot parasto vektoru koordinātas, izskatās šādi:

cos α \u003d cos n a →, n b → ^ \u003d n a x n b x + n a y + n b yn a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2 α \u003d a r c cos n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2

Šeit n a → un n b → apzīmē divu doto līniju parasto vektoru.

2. piemērs

Taisnstūra koordinātu sistēmā tiek dotas divas taisnas līnijas, izmantojot vienādojumus 3 x + 5 y - 30 \u003d 0 un x + 4 y - 17 \u003d 0. Atrodiet leņķa starp tiem sinusu un kosinusu un paša šī leņķa vērtību.

Lēmums

Sākotnējās taisnās līnijas tiek dotas, izmantojot parastos taisnās līnijas vienādojumus formā A x + B y + C \u003d 0. Normāls vektors tiek apzīmēts ar n → \u003d (A, B). Atrodiet pirmās taisnās līnijas pirmā normālā vektora koordinātas un pierakstiet tās: n a → \u003d (3, 5). Otrajai taisnajai līnijai x + 4 y - 17 \u003d 0 normālajam vektoram būs koordinātas n b → \u003d (1, 4). Tagad pievienosim iegūtās vērtības formulai un aprēķināsim kopējo vērtību:

cos α \u003d cos n a →, n b → ^ \u003d 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 \u003d 23 34 17 \u003d 23 2 34

Ja mēs zinām leņķa kosinusu, tad mēs varam aprēķināt tā sinusu, izmantojot pamata trigonometrisko identitāti. Tā kā leņķis α, ko veido taisnas līnijas, nav izliekts, tad sin α \u003d 1 - cos 2 α \u003d 1 - 23 2 34 2 \u003d 7 2 34.

Šajā gadījumā α \u003d a r c cos 23 2 34 \u003d a r c sin 7 2 34.

Atbilde: cos α \u003d 23 2 34, sin α \u003d 7 2 34, α \u003d a r c cos 23 2 34 \u003d a r c sin 7 2 34

Analizēsim pēdējo gadījumu - leņķa atrašanu starp taisnām līnijām, ja mēs zinām vienas taisnes virziena vektora un otra parastā vektora koordinātas.

Pieņemsim, ka līnijai a ir virziena vektors a → \u003d (a x, a y), un līnija b ir parasts vektors n b → \u003d (n b x, n b y). Mums ir jāatliek šie vektori no krustošanās vietas un jāapsver visas iespējas to relatīvajai pozīcijai. Skatīt attēlu:

Ja leņķis starp dotajiem vektoriem nepārsniedz 90 grādus, izrādās, ka tas papildinās leņķi starp a un b taisnā leņķī.

a →, n b → ^ \u003d 90 ° - α, ja a →, n b → ^ ≤ 90 °.

Ja tas ir zemāks par 90 grādiem, tad iegūstam sekojošo:

a →, n b → ^\u003e 90 °, tad a →, n b → ^ \u003d 90 ° + α

Izmantojot vienāda leņķa kosinusu vienādības noteikumu, mēs rakstām:

cos a →, n b → ^ \u003d cos (90 ° - α) \u003d sin α kā →, n b → ^ ≤ 90 °.

cos a →, n b → ^ \u003d cos 90 ° + α \u003d - sin α kā a →, n b → ^\u003e 90 °.

Tādējādi

sin α \u003d cos a →, nb → ^, a →, nb → ^ ≤ 90 ° - cos a →, nb → ^, a →, nb → ^\u003e 90 ° ⇔ sin α \u003d cos a →, nb → ^, a →, nb → ^\u003e 0 - cos a →, nb → ^, a →, nb → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

Formulēsim secinājumu.

4. definīcija

Lai atrastu leņķa sinusu starp divām taisnām līnijām, kas krustojas plaknē, jāaprēķina leņķa kosinusa modulis starp pirmās līnijas virziena vektoru un otrās normālo vektoru.

Pierakstīsim nepieciešamās formulas. Leņķa sinusa atrašana:

sin α \u003d cos a →, n b → ^ \u003d a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Stūra atrašana:

α \u003d a r c sin \u003d a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Šeit a → ir pirmās līnijas virziena vektors, un n b → ir normālais otrās līnijas vektors.

3. piemērs

Divas krustojošās taisnas līnijas iegūst ar vienādojumiem x - 5 \u003d y - 6 3 un x + 4 y - 17 \u003d 0. Atrodiet krustojuma leņķi.

Lēmums

No dotajiem vienādojumiem ņemam virziena koordinātas un parastos vektorus. Izrādās a \u003d \u003d (- 5, 3) un n → b \u003d (1, 4). Mēs ņemam formulu α \u003d a r c sin \u003d a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 un apsveram:

α \u003d a r c sin \u003d - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 \u003d a r c sin 7 2 34

Ņemiet vērā, ka mēs izmantojām vienādojumus no iepriekšējās problēmas un ieguvām tieši tādu pašu rezultātu, bet atšķirīgā veidā.

Atbilde: α \u003d a r c sin 7 2 34

Šeit ir vēl viens veids, kā atrast vēlamo leņķi, izmantojot doto taisno līniju slīpumus.

Mums ir līnija a, kas tiek dota taisnstūra koordinātu sistēmā, izmantojot vienādojumu y \u003d k 1 x + b 1, un līnija b, kas tiek definēta kā y \u003d k 2 x + b 2. Tie ir taisnu līniju ar slīpumu vienādojumi. Lai atrastu krustojuma leņķi, izmantojiet formulu:

α \u003d a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1, kur k 1 un k 2 ir doto līniju nogāzes. Lai iegūtu šo ierakstu, tika izmantotas formulas leņķa noteikšanai caur normālo vektoru koordinātām.

4. piemērs

Plaknē ir divas krustojošas taisnas līnijas, kuras iegūst ar vienādojumiem y \u003d - 3 5 x + 6 un y \u003d - 1 4 x + 17 4. Aprēķiniet krustojuma leņķi.

Lēmums

Mūsu līniju slīpums ir k 1 \u003d - 3 5 un k 2 \u003d - 1 4. Pievienojiet tos formulai α \u003d a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 un aprēķiniet:

α \u003d a r c cos - 3 5 - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 - 1 4 2 + 1 \u003d a r c cos 23 20 34 24 17 16 \u003d a r c cos 23 2 34

Atbilde: α \u003d a r c cos 23 2 34

Šī punkta secinājumos jāatzīmē, ka šeit sniegtās formulas leņķa atrašanai nav jāapgūst no sirds. Lai to izdarītu, pietiek ar zināmām norādīto virzienu vadotņu un / vai parasto vektoru koordinātām un jāspēj tās noteikt, izmantojot dažāda veida vienādojumus. Bet leņķa kosinusa aprēķināšanas formulu labāk atcerēties vai pierakstīt.

Kā aprēķināt leņķi starp krustojošām līnijām telpā

Šāda leņķa aprēķinu var samazināt, aprēķinot virziena vektoru koordinātas un nosakot leņķa vērtību, ko veido šie vektori. Šādiem piemēriem tiek izmantota tā pati argumentācija, ko mēs sniedzām iepriekš.

Teiksim, ka mums ir taisnstūrveida koordinātu sistēma, kas atrodas 3D telpā. Tajā ir divas līnijas a un b ar krustojuma punktu M. Lai aprēķinātu virziena vektoru koordinātas, mums jāzina šo līniju vienādojumi. Mēs apzīmējam virziena vektorus a → \u003d (a x, a y, a z) un b → \u003d (b x, b y, b z). Lai aprēķinātu leņķa kosinusu starp tiem, mēs izmantojam formulu:

cos α \u003d cos a →, b → ^ \u003d a →, b → a → b → \u003d a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Lai atrastu pašu leņķi, mums nepieciešama šāda formula:

α \u003d a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

5. piemērs

Mums ir taisna līnija, kas definēta trīsdimensiju telpā, izmantojot vienādojumu x 1 \u003d y - 3 \u003d z + 3 - 2. Ir zināms, ka tas krustojas ar O z asi. Aprēķiniet šī leņķa krustošanās leņķi un kosinusu.

Lēmums

Apzīmēsim leņķi, kas jāaprēķina ar burtu α. Pierakstīsim virziena vektora koordinātas pirmajai taisnai līnijai - a → \u003d (1, - 3, - 2). Piemērotajai asij kā virzienu varam ņemt koordinātu vektoru k → \u003d (0, 0, 1). Mēs esam saņēmuši nepieciešamos datus un varam tos pievienot vēlamajai formulai:

cos α \u003d cos a →, k → ^ \u003d a →, k → a → k → \u003d 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 \u003d 2 8 \u003d 1 2

Rezultātā mēs ieguvām, ka nepieciešamais leņķis būs vienāds ar r c cos 1 2 \u003d 45 °.

Atbilde: cos α \u003d 1 2, α \u003d 45 °.

Ja tekstā pamanāt kļūdu, lūdzu, atlasiet to un nospiediet Ctrl + Enter

Definīcija

Tiek izsaukta ģeometriska figūra, kas sastāv no visiem plaknes punktiem, kas norobežoti starp diviem stariem, kas izstaro no viena punkta plakans leņķis.

Definīcija

Leņķis starp abiemkrustojas taisni ir mazākā plaknes leņķa vērtība šo taisno līniju krustojumā. Ja divas taisnas līnijas ir paralēlas, tad leņķis starp tām tiek pieņemts par nulli.

Leņķa vērtība starp divām krustojošām taisnām līnijām (ja izmērāt plakanus leņķus radiānos) var svārstīties no nulles līdz $ \\ dfrac (\\ pi) (2) $.

Definīcija

Leņķis starp divām šķērsotām līnijām sauc par vērtību, kas vienāda ar leņķi starp divām krustojošām taisnām līnijām, kas ir paralēlas krustojumam. Leņķis starp taisnām līnijām $ a $ un $ b $ tiek apzīmēts $ \\ leņķis (a, b) $.

Ieviestās definīcijas pareizība izriet no sekojošās teorēmas.

Paralēlā plaknes leņķa teorēma

Divu izliektu, plakanu leņķu ar attiecīgi paralēlām un vienādi vērstām malām lielumi ir vienādi.

Pierādījumi

Ja stūri ir atlocīti, tad tie abi ir vienādi ar $ \\ pi $. Ja tie nav izlocīti, tad atlieciet vienādus segmentus $ ON \u003d O_1ON_1 $ un $ OM \u003d O_1M_1 $ attiecīgajās leņķu malās $ \\ leņķis AOB $ un $ \\ leņķis A_1O_1B_1 $.

Četrstūris $ O_1N_1NO $ ir paralelogramma, jo tā pretējās malas $ ON $ un $ O_1N_1 $ ir vienādas un paralēlas. Tāpat četrstūris $ O_1M_1MO $ ir paralēla diagramma. Līdz ar to $ NN_1 \u003d OO_1 \u003d MM_1 $ un $ NN_1 \\ paralēli OO_1 \\ paralēli MM_1 $, tāpēc USD NN_1 \u003d MM_1 $ un $ NN_1 \\ paralēli MM_1 $ ar pārejas palīdzību. Četrstūris $ N_1M_1MN $ ir paralelograma, jo tā pretējās malas ir vienādas un paralēlas. Tas nozīmē, ka segmenti $ NM $ un $ N_1M_1 $ ir vienādi. Trijstūri $ ONM $ un $ O_1N_1M_1 $ ir vienādi ar trijstūru vienlīdzības trešo zīmi, kas nozīmē, ka atbilstošie leņķi $ \\ leņķis NOM $ un $ \\ leņķis N_1O_1M_1 $ ir vienādi.