Vidējais paātrinājums. Paātrinājums

Paātrinājums Ir vērtība, kas raksturo ātruma izmaiņu ātrumu.

Piemēram, automašīna, kas pārvietojas prom no vietas, palielina ātrumu, tas ir, tā pārvietojas paātrinātā ātrumā. Sākotnēji tā ātrums ir nulle. Pēc nobraukšanas automašīna pamazām paātrinās līdz noteiktam ātrumam. Ja ceļā iedegas sarkans luksofora signāls, automašīna apstāsies. Bet viņš neapstāsies nekavējoties, bet kādu laiku. Tas ir, tā ātrums samazināsies līdz nullei - automašīna pārvietosies lēni, līdz tā pilnībā apstājas. Tomēr fizikā nav jēdziena "palēninājums". Ja ķermenis pārvietojas, palēninot ātrumu, tad tas būs arī ķermeņa paātrinājums, tikai ar mīnusa zīmi (kā jūs atceraties, ātrums ir vektora lielums).

\u003e Vai ātruma izmaiņu attiecība pret laika intervālu, kurā šīs izmaiņas notika? Vidējo paātrinājumu var noteikt pēc formulas:

Attēls: 1.8. Vidējais paātrinājums.SI paātrinājuma vienība Ir 1 metrs sekundē sekundē (vai metrs sekundē kvadrātā), tas ir

Metrs sekundē kvadrātā ir vienāds ar taisnas kustības punkta paātrinājumu, kurā vienā sekundē šī punkta ātrums palielinās par 1 m / s. Citiem vārdiem sakot, paātrinājums nosaka, cik daudz ķermeņa ātrums mainās vienā sekundē. Piemēram, ja paātrinājums ir 5 m / s 2, tas nozīmē, ka ķermeņa ātrums katru sekundi palielinās par 5 m / s.

Ķermeņa (materiālais punkts) tūlītējs paātrinājums noteiktā laika brīdī ir fizisks lielums, kas vienāds ar robežu, līdz kurai vidējais paātrinājums mēdz būt, kad laika intervāls mēdz būt nulle. Citiem vārdiem sakot, tas ir paātrinājums, ko ķermenis attīsta ļoti īsā laika periodā:

Ar paātrinātu taisna kustība ķermeņa ātrums palielinās absolūtā vērtībā, tas ir

V 2\u003e v 1

un paātrinājuma vektora virziens sakrīt ar ātruma vektoru

Ja ķermeņa ātrums samazinās absolūtā vērtībā, tas ir

V 2< v 1

tad paātrinājuma vektora virziens ir pretējs ātruma vektora virzienam. Citiem vārdiem sakot, šajā gadījumā palēninās, un paātrinājums būs negatīvs (un< 0). На рис. 1.9 показано направление векторов ускорения при прямолинейном движении тела для случая ускорения и замедления.

Attēls: 1.9. Tūlītējs paātrinājums.

Pārvietojoties pa izliektu trajektoriju, mainās ne tikai ātruma modulis, bet arī tā virziens. Šajā gadījumā paātrinājuma vektors tiek attēlots kā divi komponenti (skatīt nākamo sadaļu).

Tangenciālais (tangenciālais) paātrinājums Vai paātrinājuma vektora komponents ir virzīts pa trajektorijas pieskaršanos noteiktā kustības trajektorijas punktā. Tangenciālais paātrinājums raksturo ātruma moduļa izmaiņas līkumainas kustības laikā.

Attēls: 1.10. Tangenciāls paātrinājums.

Tangenciālā paātrinājuma vektora virziens (sk. 1.10. Att.) Sakrīt ar lineārā ātruma virzienu vai ir pretējs tam. Tas ir, tangenciālā paātrinājuma vektors atrodas vienā un tajā pašā asī ar pieskares apli, kas ir ķermeņa trajektorija.

Normāls paātrinājums

Normāls paātrinājums Vai paātrinājuma vektora sastāvdaļa ir virzīta pa normālu uz kustības trajektoriju noteiktā ķermeņa trajektorijas punktā. Tas ir, normāla paātrinājuma vektors ir perpendikulārs kustības lineārajam ātrumam (sk. 1.10. Att.). Normāls paātrinājums raksturo ātruma izmaiņas virzienā, un to apzīmē ar burtu. Normālais paātrinājuma vektors ir virzīts pa trajektorijas izliekuma rādiusu.

Pilns paātrinājums

Pilns paātrinājums līkumainā kustībā tas sastāv no tangenciāliem un normāliem paātrinājumiem gar un tiek noteikts pēc formulas:

(saskaņā ar Pitagora teorēmu taisnstūrveida taisnstūrim).

3.1. Tikpat mainīga kustība taisnā līnijā.

3.1.1. Tikpat mainīga kustība taisnā līnijā - kustība taisnā līnijā ar nemainīgu lielumu un virziena paātrinājumu:

3.1.2. Paātrinājums () - fizisks vektora lielums, kas parāda, cik daudz ātrums mainīsies 1 s laikā.

Vektora formā:

kur ir ķermeņa sākotnējais ātrums, ir ķermeņa ātrums laika brīdī t.

Projicēts uz ass Vērsis:

kur ir sākotnējā ātruma projekcija uz asi Vērsis, ir ķermeņa ātruma projekcija uz asi Vērsis pašlaik t.

Projekciju zīmes ir atkarīgas no vektoru virziena un ass Vērsis.

3.1.3. Paātrinājuma un laika projekcijas grafiks.

Ar tikpat mainīgu kustību paātrinājums ir nemainīgs, tāpēc tas būs taisnas līnijas, kas paralēlas laika asij (skat. Attēlu):

3.1.4. Ātrums ar vienādu kustību.

Vektora formā:

Projicēts uz ass Vērsis:

Vienmērīgi paātrinātai kustībai:

Vienlīdz lēnām kustībām:

3.1.5. Paredzētā ātruma un laika grafiks.

Ātruma projekcijas grafiks laika gaitā ir taisna.

Kustības virziens: ja grafiks (vai tā daļa) atrodas virs laika ass, ķermenis pārvietojas ass pozitīvajā virzienā Vērsis.

Paātrinājuma vērtība: jo lielāka slīpuma pieskare (jo stāvāk tā paceļas uz augšu vai pazeminās uz leju), jo lielāks ir paātrinājuma modulis; kur ir ātruma izmaiņas laika gaitā

Krustojums ar laika asi: ja grafiks šķērso laika asi, tad ķermenis bremzēja līdz krustošanās punktam (vienmērīga palēnināta kustība), un pēc krustošanās punkta tas sāka paātrināties pretējā puse (vienmērīgi paātrināta kustība).

3.1.6. Platības ģeometriskā nozīme zem grafika pa asīm

Platība zem diagrammas, atrodoties uz ass Oy ātrums ir uzzīmēts un uz ass Vērsis - laiks ir ceļš, kuru šķērso ķermenis.

Att. 3.5 parāda vienmērīgi paātrinātas kustības gadījumu. Ceļš šajā gadījumā būs vienāds ar trapeces laukumu: (3.9)

3.1.7. Ceļa formulas

Tikpat paātrināta kustība	Vienāda lēna kustība
(3.10)	(3.12)
(3.11)	(3.13)
(3.14)

Visas tabulā norādītās formulas darbojas tikai tad, ja tiek saglabāts kustības virziens, tas ir, pirms ātruma projekcijas pret laiku grafikā taisnas līnijas un laika ass krustošanās.

Ja notiek krustojums, kustību ir vieglāk sadalīt divos posmos:

pirms šķērsošanas (bremzēšanas):

Pēc šķērsošanas (paātrinājums, kustība iekšā) aizmugurējā puse)

Iepriekš minētajās formulās - laiks no kustības sākuma līdz krustojumam ar laika asi (laiks apstāties), - ceļš, kuru ķermenis ir veicis no kustības sākuma līdz krustojumam ar laika asi, - laiks, kas pagājis no laika ass šķērsošanas brīža līdz dotajam brīdim t- ceļš, pa kuru ķermenis gāja pretējā virzienā par laiku, kas pagājis no laika ass šķērsošanas brīža līdz pašreizējam brīdim t, ir pārvietošanās vektora modulis visam kustības laikam, L - ceļš, kuru ķermenis šķērso visas kustības laikā.

3.1.8. Pārvietojieties sekundē.

Laikā, kad ķermenis iet garām:

Laikā, kad ķermenis iet garām:

Tad th intervālā ķermenis iet garām:

Jebkuru laika periodu var uzskatīt par periodu. Visbiežāk ar.

Tad 1 sekundes laikā ķermenis iziet ceļu:

2. sekundē:

3. sekundē:

Ja paskatīsimies uzmanīgi, redzēsim to utt.

Tādējādi mēs nonākam pie formulas:

Vārdos: ceļi, kurus ķermenis šķērso secīgos laika intervālos, ir saistīti viens ar otru kā nepāra skaitļu virkni, un tas nav atkarīgs no paātrinājuma, ar kuru ķermenis pārvietojas. Mēs uzsveram, ka šī attiecība ir spēkā

3.1.9. Ķermeņa koordinātu vienādojums ar vienādu kustību

Koordinātu vienādojums

Sākotnējā ātruma un paātrinājuma projekciju zīmes ir atkarīgas no savstarpēja vienošanās atbilstošie vektori un ass Vērsis.

Lai atrisinātu problēmas, vienādojumam jāpievieno vienādojums ātruma projekcijas mainīšanai uz asi:

3.2. Diagrammas kinemātiskie lielumi taisnā kustībā

3.3. Ķermeņa brīvais kritiens

Brīvais kritiens nozīmē šādu fizisko modeli:

1) Kritums notiek smaguma dēļ:

2) Gaisa pretestība nepastāv (dažreiz problēmās viņi raksta “nolaidība pret gaisa pretestību”);

3) Visi ķermeņi, neatkarīgi no to masas, krīt ar vienādu paātrinājumu (dažreiz viņi piebilst - "neatkarīgi no ķermeņa formas", bet mēs uzskatām tikai par materiāla punkta kustību, tāpēc ķermeņa forma vairs netiek ņemta vērā);

4) Gravitācijas paātrinājums ir vērsts stingri uz leju un ir vienāds uz Zemes virsmas (problēmu gadījumā mēs to bieži ņemam aprēķinu ērtībai);

3.3.1. Kustības vienādojumi, kas projicēti uz asi Oy

Atšķirībā no kustības pa horizontālu taisnu līniju, kad ne visi uzdevumi maina kustības virzienu, ar brīvu kritienu vislabāk ir nekavējoties izmantot vienādojumus, kas ierakstīti projekcijās uz asi Oy.

Ķermeņa koordinātu vienādojums:

Ātruma projekcijas vienādojums:

Parasti uzdevumos ir ērti izvēlēties asi Oy šādā veidā:

Asis Oy vērsts vertikāli uz augšu;

Izcelsme sakrīt ar zemes līmeni vai zemāko trajektorijas punktu.

Izmantojot šo izvēli, vienādojumi un tiks pārrakstīti šādi:

3.4. Lidmašīnas kustība Oxy.

Mēs apsvērām ķermeņa kustību ar paātrinājumu pa taisnu līniju. Tomēr tikpat mainīgā kustība ar to neaprobežojas. Piemēram, ķermenis, kas izmests leņķī pret horizontu. Veicot šādus uzdevumus, ir jāņem vērā kustība pa divām asīm uzreiz:

Vai vektora formā:

Ātruma projekcijas mainīšana uz abām asīm:

3.5. Atvasinātā un integrālā jēdziena piemērošana

Mēs šeit nedosim detalizētu atvasinājuma un integrāļa definīciju. Lai atrisinātu problēmas, mums ir nepieciešams tikai neliels formulu kopums.

Atvasinājums:

kur A, B un tas ir, nemainīgas vērtības.

Neatņemama:

Tagad redzēsim, kā attiecas atvasinājuma un integrāļa jēdziens fiziskie daudzumi... Matemātikā atvasinājumu apzīmē ar "" ", fizikā laika atvasinājumu apzīmē ar" ∙ "virs funkcijas.

Ātrums:

tas ir, ātrums ir rādiusa vektora atvasinājums.

Ātruma projekcijai:

Paātrinājums:

tas ir, paātrinājums ir ātruma atvasinājums.

Paātrinājuma projekcijai:

Tādējādi, ja ir zināms kustības likums, tad mēs viegli varam atrast gan ķermeņa ātrumu, gan paātrinājumu.

Tagad izmantosim integrāla jēdzienu.

Ātrums:

tas ir, ātrumu var atrast kā paātrinājuma laika integrālu.

Rādiusa vektors:

tas ir, rādiusa vektoru var atrast, ņemot ātruma funkcijas integrālu.

Tādējādi, ja funkcija ir zināma, tad mēs viegli varam atrast gan ķermeņa kustības ātrumu, gan likumu.

Konstantes formulās tiek noteiktas no sākotnējie nosacījumi - vērtības un laiks

3.6. Ātruma trīsstūris un pārvietojamais trīsstūris

3.6.1. Ātruma trīsstūris

Vektora formā ar nemainīgu paātrinājumu ātruma izmaiņu likumam ir forma (3.5):

Šī formula nozīmē, ka vektors ir vienāds ar vektoru vektoru summu, un vektoru summu vienmēr var parādīt attēlā (skat. Attēlu).

Katrā uzdevumā, atkarībā no apstākļiem, ātruma trijstūrim būs sava forma. Šis attēlojums ļauj risinājumā izmantot ģeometriskus apsvērumus, kas bieži vien vienkāršo problēmas risinājumu.

3.6.2. Pārvietojams trīsstūris

Vektora formā kustības likums pastāvīgā paātrinājumā ir:

Risinot problēmu, jūs varat ērtāk izvēlēties atskaites sistēmu, tādēļ, nezaudējot vispārīgumu, mēs varam izvēlēties atskaites sistēmu tā, ka tas ir, koordinātu sistēmas izcelsme tiek novietota vietā, kur sākotnējā brīdī ķermenis atrodas. Tad

tas ir, vektors ir vienāds ar vektoru vektoru summu un tiks attēlots attēlā (skat. Attēlu).

Tāpat kā iepriekšējā gadījumā, atkarībā no apstākļiem pārvietošanas trijstūrim būs sava forma. Šis attēlojums ļauj risinājumā izmantot ģeometriskus apsvērumus, kas bieži vien vienkāršo problēmas risinājumu.

Definīcija

Ķermeņa paātrinājums ko sauc par vektora vērtību, kas parāda ķermeņa kustības ātruma izmaiņu ātrumu. Norādiet paātrinājumu kā $ \\ overline (a) $.

Vidējais ķermeņa paātrinājums

Pieņemsim, ka reizēm $ t $ un $ t + \\ Delta t $ ātrumi ir vienādi ar $ \\ overline (v) (t) $ un $ \\ overline (v) (t + \\ Delta t) $. Izrādās, ka laikā $ \\ Delta t $ ātrums mainās pēc vērtības:

\\ [\\ Delta \\ overline (v) \u003d \\ overline (v) \\ left (t + \\ Delta t \\ right) - \\ overline (v) \\ left (t \\ right) \\ left (1 \\ right), \\]

tad ķermeņa vidējais paātrinājums ir:

\\ [\\ left \\ langle \\ overline (a) \\ right \\ rangle \\ left (t, \\ t + \\ Delta t \\ right) \u003d \\ frac (\\ Delta \\ overline (v)) (\\ Delta t) \\ left (2 \\ Tūlītējs ķermeņa paātrinājums

Novērtēsim laika intervālu $ \\ Delta t $ līdz nullei, tad no (2) vienādojuma iegūstam:

\\ [\\ overline (a) \u003d (\\ mathop (\\ lim) _ (\\ Delta t \\ to 0) \\ frac (\\ Delta \\ overline (v)) (\\ Delta t) \u003d \\ frac (d \\ overline (v) ) (dt) \\ pa kreisi (3 \\ pa labi). \\) \\]

Formula (3) ir momentānā paātrinājuma definīcija. Tā kā Dekarta koordinātu sistēmā:

\\ [\\ overline (r) \u003d x \\ left (t \\ right) \\ overline (i) + y \\ left (t \\ right) \\ overline (j) + z \\ left (t \\ right) \\ overline (k) \\ mēs iegūstam:

\\ [\\ overline (a) \u003d \\ overline (i) \\ frac (d ^ 2x) (dt ^ 2) + \\ overline (j) \\ frac (d ^ 2y) (dt ^ 2) + \\ overline (k) \\

{!LANG-1e3436bc36f3ff70bb00137d9bf6e0a7!}

{!LANG-4c2ec0659e6eb7792d00fd40575eb56b!}

No izteiksmes (6) izriet, ka paātrinājuma projekcijas uz koordinātu asīm (X, Y, Z) ir:

\\ [\\ kreisais \\ (\\ begin (masīvs) (c) a_x \u003d \\ frac (d ^ 2x) (dt ^ 2), \\\\ a_y \u003d \\ frac (d ^ 2y) (dt ^ 2) \\\\ a_z \u003d \\ Šajā gadījumā paātrinājuma modulis tiek atrasts saskaņā ar izteicienu:

Lai noskaidrotu jautājumu par ķermeņa kustības paātrinājuma virzienu, mēs attēlojam ātruma vektoru kā:

\\ [\\ overline (v) \u003d v \\ overline (\\ tau) \\ left (8 \\ right), \\]

kur $ v $ ir ķermeņa ātruma modulis; $ \\ overline (\\ tau) $ - vienības vektors, kas pieskaras materiāla punkta trajektorijai. Ja izteiksmi (8) aizstāj ar momentāno ātrumu, mēs iegūstam:

\\ [\\ overline (a) \u003d (\\ frac (d \\ overline (v)) (dt) \u003d \\ frac (d) (dt) \\ left (v \\ overline (\\ tau) \\ right) \u003d \\ overline (\\ tau ) \\ frac (dv) (dt) + v \\ frac (d \\ overline (\\ tau)) (dt) \\ pa kreisi (9 \\ pa labi). \\) \\]

Vienības pieskares vektoru $ \\ overline (\\ tau) $ nosaka trajektorijas punkts, kuru savukārt raksturo attālums ($ s $) no sākuma punkta. Tātad vektors $ \\ overline (\\ tau) $ ir $ s $ funkcija:

\\ [\\ overline (\\ tau) \u003d \\ overline (\\ tau) \\ left (s \\ right) \\ left (10 \\ right). \\]

Parametrs $ s $ ir laika funkcija. Mēs iegūstam:

\\ [\\ frac (d \\ overline (\\ tau)) (dt) \u003d \\ frac (d \\ overline (\\ tau)) (ds) \\ frac (ds) (dt) \\ pa kreisi (11 \\ pa labi), \\]

kur vektors $ \\ overline (\\ tau) $ nemaina modulo. Tas nozīmē, ka vektors $ \\ frac (d \\ overline (\\ tau)) (ds) $ ir perpendikulārs $ \\ overline (\\ tau) $. Vektors $ \\ overline (\\ tau) (\\ rm \\) $ pieskaras trajektorijai, $ \\ frac (d \\ overline (\\ tau)) (ds) $ ir perpendikulārs šai tangentei, tas ir, vērsts gar normālo, ko sauc par galveno ... Vienības vektors galvenā normālā virzienā tiks apzīmēts ar $ \\ overline (n) $.

vērtība $ \\ left | \\ frac (d \\ overline (\\ tau)) (ds) \\ right | \u003d \\ frac (1) (R) $, kur $ R $ ir trajektorijas izliekuma rādiuss.

Un tāpēc mēs saņēmām:

\\ [\\ frac (d \\ overline (\\ tau)) (ds) \u003d \\ frac (\\ overline (n)) (R) \\ pa kreisi (12 \\ pa labi). \\]

Ņemot vērā, ka $ \\ frac (ds) (dt) \u003d v $, no (9) mēs varam rakstīt šādi:

\\ [\\ overline (a) \u003d \\ overline (\\ tau) \\ frac (dv) (dt) + v \\ frac (\\ overline (n)) (R) v \u003d \\ overline (\\ tau) \\ frac (dv) ( dt) + \\ frac (v ^ 2) (R) \\ overline (n) \\ left (13 \\ right). \\]

Izteiksme (13) parāda, ka ķermeņa kopējais paātrinājums sastāv no diviem komponentiem, kas ir savstarpēji perpendikulāri. Tangenciālais paātrinājums ($ (\\ overline (a)) _ (\\ tau) $), kas vērsts tangenciāli uz kustības trajektoriju un ir vienāds ar:

\\ [(\\ overline (a)) _ (\\ tau) \u003d \\ overline (\\ tau) \\ frac (dv) (dt) (14) \\]

{!LANG-16b4a444ec33804ea0c9d0327fb278df!}

un normāls (centrālais) paātrinājums ($ (\\ overline (a)) _ n $), kas vērsts perpendikulāri trajektorijas pieskarei ķermeņa punktā gar galveno normālu (līdz trajektorijas izliekuma centram) un vienāds ar:

\\ [(\\ overline (a)) _ n \u003d \\ frac (v ^ 2) (R) \\ overline (n) \\ pa kreisi (15 \\ pa labi). \\]

Pilna paātrinājuma modulis ir:

Starptautiskās mērvienību sistēmas (SI) paātrinājuma vienības ir metri sekundē kvadrātā:

\\ [\\ left \u003d \\ frac (m) (s ^ 2). \\]

Taisnvirziena ķermeņa kustība

Ja materiāla punkta trajektorija ir taisna, tad paātrinājuma vektors tiek virzīts pa to pašu taisni, kur ātruma vektors. Mainās tikai ātruma vērtība.

Mainīgu kustību sauc par paātrinātu, ja materiāla punkta ātrums pastāvīgi palielinās absolūtā vērtībā. Šajā gadījumā $ a\u003e 0 $, paātrinājuma un ātruma vektori tiek kopīgi virzīti.

Ja ātruma modulis samazinās, kustību sauc par palēninātu ($ a

Materiālā punkta kustību sauc par vienādi mainīgu un taisnu, ja kustība notiek ar pastāvīgu paātrinājumu ($ \\ overline (a) \u003d const $). Ar tikpat mainīgu kustību momentānais ātrums ($ \\ overline (v) $) un materiāla punkta paātrinājums ir saistīti ar izteicienu:

\\ [\\ overline (v) \u003d (\\ overline (v)) _ 0+ \\ overline (a) t \\ \\ pa kreisi (3 \\ pa labi), \\]

kur $ (\\ overline (v)) _ 0 $ ir ķermeņa ātrums sākotnējā laika brīdī.

Uzdevumu piemēri ar risinājumu

1. piemērs

Uzdevums: Divu materiālo punktu kustības nosaka šādi kinemātiskie vienādojumi: $ x_1 \u003d A + Bt-Ct ^ 2 $ un $ x_2 \u003d D + Et + Ft ^ 2, $, kuriem šo divu punktu paātrinājumi ir vienādi brīdī, kad to ātrumi ir vienādi, ja $ A $, B, C, D, EF ir lielas nulles konstantes.

Lēmums: Atradīsim pirmā materiāla punkta paātrinājumu:

\\ [(a_1 \u003d a) _ (x1) \u003d \\ frac (d ^ 2x_1) (dt ^ 2) \u003d \\ frac (d ^ 2) (dt ^ 2) \\ pa kreisi (A + Bt-Ct ^ 2 \\ pa labi) \u003d -2C \\ (\\ frac (m) (c ^ 2)). \\]

Otrajā būtiskajā brīdī paātrinājums būs:

\\ [(a_2 \u003d a) _ (x2) \u003d \\ frac (d ^ 2x_2) (dt ^ 2) \u003d \\ frac (d ^ 2) (dt ^ 2) \\ pa kreisi (D + Et + Ft ^ 2 \\ pa labi) \u003d 2F \\ pa kreisi (\\ frac (m) (c ^ 2) \\ pa labi). \\]

Mēs noskaidrojām, ka punkti pārvietojas ar pastāvīgu paātrinājumu, kas nav atkarīgs no laika, tāpēc nav nepieciešams meklēt brīdi, kurā ātrumi ir vienādi.

Atbilde: $ a_1 \u003d -2C \\ frac (m) (c ^ 2) $, $ a_2 \u003d 2F \\ frac (m) (c ^ 2) $

2. piemērs

Uzdevums: Materiālā punkta kustību dod vienādojums: $ \\ overline (r) \\ left (t \\ right) \u003d A \\ left (\\ overline (i) (\\ cos \\ left (\\ omega t \\ right) + \\ overline (j) (\\ sin \\ left (\\ omega t \\ right) \\) \\) \\ right), $ kur $ A $ un $ \\ omega $ ir konstantes. Uzzīmē punkta trajektoriju, uzzīmē uz tā šī punkta paātrinājuma vektoru. Kāds šajā gadījumā ir punkta centripetālā paātrinājuma modulis ($ a_n $)?

Lēmums: Apsveriet mūsu punkta kustības vienādojumu:

\\ [\\ overline (r) \\ left (t \\ right) \u003d A \\ left (\\ overline (i) (\\ cos \\ left (\\ omega t \\ right) + \\ overline (j) (\\ sin \\ left (\\ omega t \\ pa labi) \\) \\) \\ pa labi) \\ \\ pa kreisi (2,1 \\ pa labi). \\]

Koordinācijas apzīmējumā vienādojums (2.1) atbilst vienādojumu sistēmai:

\\ [kreisais \\ (\\ sākt (masīvs) (c) x \\ kreisais (t \\ labais) \u003d A (\\ rm cos) \\ kreisais (\\ omega t \\ labais), \\\\ y (t) \u003d A (\\ sin \\ kreisais (\\ omega t \\ labais) \\) \\ end (masīvs) \\ kreisais (2.2 \\ labais). \\ labais. \\]

Kvadrātosim katru sistēmas (2.2) vienādojumu un saskaitīsim tos:

Esam ieguvuši rādiusa $ A $ vienādojumu (1. attēls).

Centripetālā paātrinājuma lielumu, ņemot vērā to, ka trajektorijas rādiuss ir vienāds ar A, var atrast kā:

Ātruma projekcijas uz koordinātu asīm ir:

\\ [\\ left \\ (\\ begin (masīvs) (c) v_x \u003d \\ frac (dx \\ left (t \\ right)) (dt) \u003d - A \\ \\ omega \\ (\\ rm sin) \\ left (\\ omega t \\ \\ labi]. \\ labi. \\]

Ātruma vērtība ir vienāda ar:

Rezultātu (2.6) aizstāj ar (2.4), normālais paātrinājums ir:

Ir viegli pierādīt, ka punkta kustība mūsu gadījumā ir vienmērīga kustība pa apli un pilns punkta paātrinājums ir vienāds ar centripetālo paātrinājumu. Lai to izdarītu, varat ņemt ātrumu projekciju atvasinājumu (2.5) attiecībā pret laiku un izmantot izteicienu:

gūt:

Atbilde: $ a_n \u003d A (\\ omega) ^ 2 $

Paātrinājums - fizisks vektora lielums, kas raksturo to, cik ātri ķermenis (materiāls punkts) maina tā kustības ātrumu. Paātrinājums ir svarīgs materiāla punkta kinemātiskais raksturojums.

Vienkāršākais kustības veids ir vienmērīga kustība taisnā līnijā, kad ķermeņa ātrums ir nemainīgs un ķermenis pārvietojas pa to pašu ceļu uz visiem vienādiem laika intervāliem.

Bet lielākā daļa kustību ir nevienmērīgas. Dažās jomās ķermeņa ātrums ir lielāks, citās tas ir mazāks. Automašīna sāk kustēties arvien ātrāk. un apstāšanās palēninās.

Paātrinājums ir ātruma maiņas ātrums. Ja, piemēram, ķermeņa paātrinājums ir 5 m / s 2, tad tas nozīmē, ka uz katru sekundi ķermeņa ātrums mainās par 5 m / s, tas ir, 5 reizes ātrāk nekā paātrinājumā 1 m / s 2.

Ja ķermeņa ātrums nevienmērīgas kustības laikā jebkuros vienādos laika intervālos mainās vienādi, tad kustība tiek saukta vienmērīgi paātrināta.

Paātrinājuma mērvienība SI ir paātrinājums, pie kura katru sekundi ķermeņa ātrums mainās par 1 m / s, tas ir, metru sekundē sekundē. Šī vienība ir apzīmēta kā 1 m / s2 un tiek dēvēta par “metru sekundē kvadrātā”.

Tāpat kā ātrumu, arī ķermeņa paātrinājumu raksturo ne tikai skaitliskā vērtība, bet arī virziens. Tas nozīmē, ka paātrinājums ir arī vektora lielums. Tāpēc attēlos tas ir attēlots kā bulta.

Ja ķermeņa ātrums palielinās ar vienmērīgi paātrinātu taisnvirziena kustību, tad paātrinājums tiek virzīts tajā pašā virzienā kā ātrums (A att.); ja ķermeņa ātrums noteiktā kustībā samazinās, tad paātrinājums tiek virzīts pretējā virzienā (b att.).

Vidējais un tūlītējais paātrinājums

Materiālā punkta vidējais paātrinājums noteiktā laika posmā ir tā ātruma izmaiņu attiecība, kas notika šajā laikā, un šī intervāla ilguma:

\\ (\\ lt \\ vec a \\ gt \u003d \\ dfrac (\\ Delta \\ vec v) (\\ Delta t) \\)

Materiālā punkta momentānais paātrinājums noteiktā laika momentā ir tā vidējā paātrinājuma robeža pie \\ (\\ Delta t \\ līdz 0 \\). Paturot prātā funkcijas atvasinājuma definīciju, momentāno paātrinājumu var definēt kā ātruma atvasinājumu attiecībā pret laiku:

\\ (\\ vec a \u003d \\ dfrac (d \\ vec v) (dt) \\)

Tangenciāls un normāls paātrinājums

Ja ātrumu ierakstām kā \\ (\\ vec v \u003d v \\ hat \\ tau \\), kur \\ (\\ hat \\ tau \\) ir trajektorijas pieskares vienības vektors, tad (divdimensiju koordinātu sistēmā):

\\ (\\ vec a \u003d \\ dfrac (d (v \\ hat \\ tau)) (dt) \u003d \\)

\\ (\u003d \\ dfrac (dv) (dt) \\ hat \\ tau + \\ dfrac (d \\ hat \\ tau) (dt) v \u003d \\)

\\ (\u003d \\ dfrac (dv) (dt) \\ hat \\ tau + \\ dfrac (d (\\ cos \\ theta \\ vec i + sin \\ theta \\ vec j)) (dt) v \u003d \\)

\\ (\u003d \\ dfrac (dv) (dt) \\ hat \\ tau + (-sin \\ theta \\ dfrac (d \\ theta) (dt) \\ vec i + cos \\ theta \\ dfrac (d \\ theta) (dt) \\ vec j)) v \\)

\\ (\u003d \\ dfrac (dv) (dt) \\ hat \\ tau + \\ dfrac (d \\ theta) (dt) v \\ hat n \\),

kur \\ (\\ theta \\) ir leņķis starp ātruma vektoru un abscisu; \\ (\\ hat n \\) - ātruma perpendikulāra vienības vektors.

Pa šo ceļu,

\\ (\\ vec a \u003d \\ vec a _ (\\ tau) + \\ vec a_n \\),

kur \\ (\\ vec a _ (\\ tau) \u003d \\ dfrac (dv) (dt) \\ hat \\ tau \\) - tangenciāls paātrinājums, \\ (\\ vec a_n \u003d \\ dfrac (d \\ theta) (dt) v \\ hat n \\) - normāls paātrinājums.

Ņemot vērā, ka ātruma vektors ir vērsts tangenciāli uz kustības trajektoriju, tad \\ (\\ hat n \\) ir trajektorijas normāla vienības vektors, kas ir virzīts uz trajektorijas izliekuma centru. Tādējādi normāls paātrinājums tiek virzīts uz trajektorijas izliekuma centru, savukārt tangenciālais paātrinājums - tangenciāli. Tangenciālais paātrinājums raksturo ātruma lieluma izmaiņu ātrumu, bet normāls - tā virziena izmaiņu ātrumu.

Kustību pa izliektu trajektoriju katrā laika momentā var attēlot kā rotāciju ap trajektorijas izliekuma centru ar leņķa ātrumu \\ (\\ omega \u003d \\ dfrac v r \\), kur r ir trajektorijas izliekuma rādiuss. Šajā gadījumā

\\ (a_ (n) \u003d \\ omega v \u003d (\\ omega) ^ 2 r \u003d \\ dfrac (v ^ 2) r \\)

Paātrinājuma mērīšana

Paātrinājumu mēra metros (dalot) sekundē līdz otrajai jaudai (m / s 2). Paātrinājuma lielums nosaka, cik daudz mainīsies ķermeņa ātrums laika vienībā, ja tas pastāvīgi pārvietojas ar šādu paātrinājumu. Piemēram, ķermenis, kas katru sekundi pārvietojas ar paātrinājumu 1 m / s 2, maina ātrumu par 1 m / s.

Paātrinājuma vienības

• metrs uz kvadrāt sekundi, m / s², SI atvasināta vienība
• centimetrs uz kvadrāt sekundi, cm / s², CGS atvasināta vienība

Javascript jūsu pārlūkprogrammā ir atspējots.
Lai veiktu aprēķinus, jums jāiespējo ActiveX vadīklas!

Kad ķermeņi pārvietojas, to ātrumi parasti mainās vai nu absolūtā vērtībā, vai virzienā, vai vienlaikus gan absolūtā vērtībā, gan virzienā.

Ja jūs iemetat akmeni leņķī pret horizontu, tad tā ātrums mainīsies gan lielumā, gan virzienā.

Ķermeņa ātruma izmaiņas var notikt gan ļoti ātri (lodes kustība urbumā, šaujot no šautenes), gan samērā lēni (vilciena kustība, kad to izsūta). Lai jebkurā laika posmā varētu atrast ātrumu, jāievada vērtība, kas raksturo ātruma izmaiņu ātrumu. Šo vērtību saucpaātrinājums.

Vai ātruma izmaiņu attiecība pret laika intervālu, kurā šīs izmaiņas notika. Vidējo paātrinājumu var noteikt pēc formulas:

kur - paātrinājuma vektors .

Paātrinājuma vektora virziens sakrīt ar ātruma maiņas virzienu Δ \u003d - 0 (šeit 0 ir sākotnējais ātrums, tas ir, ātrums, ar kuru ķermenis sāka paātrināties).

Laika t1 brīdī (sk. 1.8. Attēlu) ķermeņa ātrums ir 0. Laikā t2 ķermenim ir ātrums. Saskaņā ar vektoru atņemšanas likumu mēs atrodam ātruma izmaiņu vektoru Δ \u003d - 0. Tad paātrinājumu var noteikt šādi:

Attēls: 1.8. Vidējais paātrinājums.

SI paātrinājuma vienība Ir 1 metrs sekundē sekundē (vai metrs sekundē kvadrātā), tas ir

Metrs sekundē kvadrātā ir vienāds ar taisnas kustības punkta paātrinājumu, kurā vienā sekundē šī punkta ātrums palielinās par 1 m / s. Citiem vārdiem sakot, paātrinājums nosaka, cik daudz ķermeņa ātrums mainās vienā sekundē. Piemēram, ja paātrinājums ir 5 m / s 2, tas nozīmē, ka ķermeņa ātrums katru sekundi palielinās par 5 m / s.