Matemātikas eksāmena C4 problēmu risinājums (sākums).
Ja visas daudzstūra malas ir pieskaras lokam, tad tiek saukts aplis ierakstīts daudzstūrīun daudzstūris ir aprakstīts ap šo loku. 231. attēlā četrstūris EFMN ir aprakstīts netālu no apļa ar centru O, un četrstūris DKMN nav aprakstīts šī apļa tuvumā, jo sānu DK nepieskaras lokam.
Att. 231
232. attēlā trīsstūris ABC ir aprakstīts netālu no apļa ar centru O.
Att. 232
Pierādīsim teorēmu uz riņķa līnijas, kas ierakstīta trijstūrī.
Teorēma
Pierādījumi
Mēs uzskatām patvaļīgu trīsstūri ABC un ar burtu O apzīmējam tā bisektoru krustošanās punktu. Zīmējiet perpendikulus OK, OL un OM attiecīgi no punkta O līdz malām AB, BC un CA (sk. 232. att.). Tā kā punkts O ir vienādā attālumā no trijstūra ABC malām, tad OK \u003d OL \u003d OM. Tāpēc ap punktiem ar rādiusa OK centru O šķērso punkti K, L un M. Trijstūra ABC malas skar šo apli punktos K, L, M, jo tie ir perpendikulāri rādiusiem OK, OL un OM. Tāpēc aplis ar centra O rādiusu OK ir ierakstīts trijstūrī ABC. Teorēma ir pierādīta.
1. piezīme
Ņemiet vērā, ka trīsstūrī var ierakstīt tikai vienu apli.
Patiesībā pieņemsim, ka trīs apļus var ierakstīt divos apļos. Tad katra apļa centrs ir vienādā attālumā no trijstūra sāniem un tāpēc sakrīt ar trijstūra bisektoru krustošanās punktu O, un rādiuss ir vienāds ar attālumu no punkta O līdz trīsstūra malām. Tāpēc šie apļi sakrīt.
2. piezīme
Pievēršamies attēlam 232. Mēs redzam, ka trīsstūris ABC sastāv no trim trīsstūriem: ABO, ВСО un CAO. Ja katrā no šiem trijstūriem par pamatni ņemsim trijstūra ABC malu, tad trijstūrī ABC ierakstītā apļa rādiuss r būs augstums. Tāpēc trijstūra ABC laukumu S izsaka ar formulu
Tādējādi
3. piezīme
Atšķirībā no trīsstūra nevienā četrstūrī jūs varat ievadīt loku.
Apsveriet, piemēram, taisnstūri, kura blakus esošās malas nav vienādas, tas ir, taisnstūri, kas nav kvadrāts. Ir skaidrs, ka šādā taisnstūrī jūs varat “ievietot” apli, kas pieskaras tā trim pusēm (233. att., A), bet jūs nevarat “ievietot” apli tā, lai tas pieskaras visām četrām tā malām, tas ir, jūs nevarat ievadīt apli. Ja apli var ierakstīt četrstūrī, tad tā malām ir šāds ievērojams īpašums:
Att. 233
Šo īpašību var viegli iestatīt, izmantojot 233. attēlu, b, uz kura vienādi pieskares segmenti ir apzīmēti ar vienādiem burtiem. Faktiski AB + CD \u003d a + b + c + d, BC + AD-a + b + c + d, tāpēc AB + CD \u003d BC + AD. Izrādās, ka taisnīgums ir arī pretējs:
Aprakstīts aplis
Ja visas daudzstūra virsotnes atrodas uz apļa, tad tiek saukts aplis aprakstīts pie daudzstūra, un daudzstūris ir uzrakstīts šajā lokā. 234. attēlā četrstūris ABCD ir ierakstīts aplī ar centru O, un četrstūris AECD nav ierakstīts šajā aplī, jo virsotne E neatrodas uz apļa.
Att. 234
Trijstūris ABC 235. attēlā ir attēlots aplī ar centru O.
Att. 235
Ļaujiet mums pierādīt teorēmu uz apļa, kas apzīmēts trīsstūra tuvumā.
Teorēma
Pierādījumi
Apsveriet patvaļīgu trīsstūri ABC. Norādīsim ar burtu O vidējo perpendikulu krustošanās punktu uz tā malām un uzzīmēsim segmentus OA, OV un OS (235. att.). Tā kā punkts O ir vienādā attālumā no trijstūra ABC virsotnēm, tad O A \u003d OB \u003d OS. Tāpēc apli ar rādiusa OA centru O šķērso visas trīs trīsstūra virsotnes un tāpēc apraksta trijstūra ABC tuvumā. Teorēma ir pierādīta.
1. piezīme
Pieraksti to ap trīsstūri var aprakstīt tikai vienu apli.
Patiesībā pieņemsim, ka ap trīsstūri var aprakstīt divus apļus. Tad katra no tiem centrs ir vienādā attālumā no tā virsotnēm un tāpēc sakrīt ar vidējo perpendikulu krustošanās punktu O līdz trijstūra malām, un rādiuss ir attālums no punkta O līdz trīsstūra virsotnēm. Tāpēc šie apļi sakrīt.
2. piezīme
Atšķirībā no trīsstūra ap četrstūri ne vienmēr ir iespējams aprakstīt apli.
Piemēram, jūs nevarat aprakstīt loku ap rombu, kas nav kvadrāts (paskaidrojiet, kāpēc). Ja ap četrstūri var aprakstīt apli, tad tā leņķiem ir šāds ievērojams īpašums:
Šo īpašību var viegli noteikt, atsaucoties uz 236. attēlu un izmantojot ierakstīto leņķa teorēmu. Patiešām,
no kurienes seko
Att. 236
Izrādās, ka taisnīgums ir arī pretējs:
Uzdevumi
689. Vienādās daļas trīsstūrī pamatne ir 10 cm, bet mala - 13 cm. Atrodiet šajā trijstūrī uzrakstītā apļa rādiusu.
690. Atrodiet vienādsānu trīsstūra pamatni, ja tajā uzrakstītā apļa centrs sadala no pamatnes novilkto augstumu proporcijā 12: 5, skaitot no augšas, un mala ir 60 cm.
691. Ierakstītā apļa tangences punkts vienādsānu trīsstūris, vienu no pusēm sadala daiviņās, kas vienādas ar 3 cm un 4 cm, skaitot no pamatnes. Atrodiet trijstūra perimetru.
692. Trijstūrī ABC ir ierakstīts aplis, kas saskaras ar malām AB, BC un CA punktos P, Q un R. Atrodiet AP, PB, BQ, QC, CB, RA, ja AB \u003d 10 cm, BC \u003d 12 cm, CA \u003d 5 cm
693. Taisnā leņķa trīsstūrī ir ierakstīts r rādiuss r.Atrod trijstūra perimetru, ja: a) hipotenūza ir 26 cm, r \u003d 4 cm; b) saskares punkts hipotenūzi sadala segmentos, kas ir vienādi ar 5 cm un 12 cm.
694. Atrodiet taisnleņķa trīsstūrī ierakstīta apļa diametru, ja trīsstūra hipotenūza ir c un kāju summa ir m.
695. Aprakstītā četrstūra divu pretējo malu summa ir 15 cm. Atrodiet šī četrstūra perimetru.
696. Pierādiet, ka, ja apli var ievadīt paralelogrammā, tad šī paralelograma ir romba.
697. Pierādiet, ka aprakstītā daudzstūra laukums ir vienāds ar pusi no tā perimetra reizinājuma ar uzrakstītā apļa rādiusu.
698. Aprakstītā četrstūra divu pretējo malu summa ir 12 cm, un tajā ierakstītā apļa rādiuss ir 5 cm. Atrodiet četrstūra laukumu.
Aprakstītā četrstūra divu pretējo malu summa ir 10 cm, un tā laukums ir 12 cm 2. Atrodiet šajā četrstūrī ierakstītā apļa rādiusu.
700. Pierādiet, ka apli var ierakstīt jebkurā rombā.
701. Uzzīmējiet trīs trīsstūrus: akūta leņķa, taisnstūrveida un nelīdzenu. Katrā no tām ievadiet loku.
702. Trijstūris ABC ir ierakstīts aplī tā, lai AB būtu apļa diametrs. Atrod trīsstūra leņķus, ja: a) BC \u003d 134 °; b) AC \u003d 70 °.
703. Apļa formā ir vienādsānu trīsstūris ABC ar gaisa kuģa pamatni. Atrodiet trīsstūra leņķus, ja BC \u003d 102 °.
704. Aplis ar centru O ir aprakstīts kā taisnais trīsstūris. a) Pierādiet, ka punkts O ir hipotenūzes vidusdaļa. b) Atrodiet trīsstūra malas, ja apļa diametrs ir d, un viens no asi stūri trīsstūris ir vienāds ar α.
705. Aplis ir aprakstīts netālu no taisnstūra ABC ar taisnu leņķi C. Atrodiet šī apļa rādiusu, ja: a) AC \u003d 8 cm, BC \u003d 6 cm; b) AS \u003d 18 cm, ∠B \u003d 30 °.
706. Atrodiet vienādmalu trīsstūra malu, ja ap to apvilktās apļa rādiuss ir 10 cm.
707. Leņķis, kas atrodas pretī vienādsānu trijstūra pamatnei, ir 120 °, trijstūra mala ir 8 cm. Atrodiet ap šo trijstūri apzīmētā apļa diametru.
708. Pierādiet, ka varat aprakstīt loku: a) pie jebkura taisnstūra; b) pie jebkura vienādsānu trapecveida.
709. Pierādiet, ka, ja apli var aprakstīt netālu no paralelogrammas, tad šī paralelograma ir taisnstūris.
710. Pierādiet, ka, ja ap trapecveida ir aprakstāms aplis, tad tas ir vienādsānu.
711. Uzzīmējiet trīs trīsstūrus: nelīdzenu, taisnstūrveida un vienādmalu. Katram no viņiem izveidojiet apzīmētu apli.
Pirms eksāmena ir mazāk laika, ieskaites eksāmens tiek veiktas biežāk, skolēnu un viņu skolotāju nervus velk arvien vairāk. Paredzot "intensīvas sagatavošanās" sezonas noslēguma un iestājpārbaudījumiem atklāšanu, es iesaku jums praktizēt C4 problēmu risināšanā no rokasgrāmatas, kuru izstrādājis Maskavas matemātikas studentu izaugsmes institūts. Uzdevumi tiek piedāvāti ar risinājumiem, tomēr būtu lietderīgi tos vispirms atrisināt pats.
3. variants Trijstūris Abc ierakstīts ap rādiusu 12. Ir zināms, ka Ab \u003d 6 un BC \u003d 4. Atrodi AC.
Lēmums:
No sinusa teorēmas trīsstūrim Abc mums ir:
No pamata trigonometriskās identitātes mēs secinām:
Tad pēc kosinusa teorēmas trīsstūrim Abc mums abos gadījumos:
Atbilde: √35 ± √15.
5. iespēja Trijstūrī Abcturēti augstumi BMun CN, O- ierakstītā apļa centrs. Ir zināms, ka BC \u003d24 , Mn \u003d12. Atrodiet ap trijstūri apzīmētā apļa rādiusu Boc.
Lēmums:
Divi iespējamie gadījumi: ∠A - ass un ∠A - mēms
Ir iespējami divi gadījumi:
1) Ļaujiet ∠ A - asa (attēls pa kreisi). Pierādīsim, ka trīsstūri Amn un Abc ir līdzīgas. Patiešām, punkti B, N, M un C gulēt uz apļa ar diametru BCtāpēc ∠ NMB = ∠NCBizgatavoti no taisnstūriem Bam un Bnc:
∠Amn = 90 0 — ∠NMB∠B \u003d90 0 —
∠NCB, kas acīmredzami nozīmē, ka ∠ Amn=
∠Bturklāt, A- kopīgi abiem trīsstūriem, tāpēc tie ir līdzīgi divos leņķos.
No labā trīsstūra Amb: cos∠ A = AM/Ab Anc: cos∠ A = AN/ACAcīmredzami, ka tās pašas attiecības ir līdzīgu trīsstūru malu attiecības. Amn un Abc, kas nozīmē, ka cos∠ A \u003d NM/BC \u003d1/2, kas nozīmē ∠ A \u003d60 0, Tā kā trijstūra leņķu summa ir 180 0, ∠ B +∠C \u003d
120 0. Trijstūrī ierakstītā apļa centrs, kā jūs zināt, atrodas tā bisektoru krustojumā. No tā mēs secinām, ka:
∠OBC +∠O CB \u003d
1/2 · (∠ B +∠C) \u003d
60 0, kas nozīmē ∠ BOC \u003d120 0. Ar sinusa teorēmu trīsstūrim Boc mums ir: BC/ sin∠ Boc =
2Rkur R R = 8√3.
2) Tagad ļaujiet ∠ A - mēms (labais attēls). No labā trīsstūra Abm mēs atrodam šo cos∠ Bam = AM/Ab, no labā trīsstūra VAR mēs atrodam šo cos∠ VAR \u003d AN/AC. ∠BAM \u003d∠C AN , tā kā tie ir vertikāli, tas nozīmē AM/Ab = AN/AC \u003d cos∠ Bam \u003d cos∠ Bac jo pēdējie divi stūri atrodas blakus. Vidējie trīsstūri Abc un Anm līdzīgi leņķī un divās proporcionālajās pusēs. Līdzības koeficients ir cos∠ BAC \u003d MN /BC \u003d -1/2, un leņķis ∠ BAC \u003d 120 0 .
Turpmākie apsvērumi ir līdzīgi. Tā kā trijstūra leņķu summa ir 180 0, ∠ B +∠C \u003d
60 0. Trijstūrī ierakstītā apļa centrs atrodas tā bisektoru krustojumā, tāpēc:
∠OBC +∠O CB \u003d
1/2 · (∠ B +∠C) \u003d
30 0, kas nozīmē ∠ BOC \u003d150 0. Ar sinusa teorēmu trīsstūrim Boc mums ir: BC/ sin∠ Boc =
2Rkur R- vēlamais riņķa līnijas rādiuss, kas apvilkts ap trīsstūri. No šejienes: R = 24.
Atbilde: 8√3 vai 24.
8. iespēja. Vienādsānu trapecveida perimetrs ir 52. Ir zināms, ka šajā trapecē var ievadīt apli, un sānu sadala ar skāriena punktu proporcijā 4: 9. Taisna līnija, kas iet caur apļa centru, un trapeces augšdaļa no trapecveida nogriež trīsstūri. Atrodiet šī trīsstūra laukuma attiecību pret trapecveida laukumu.
Lēmums:
C4 trapecveida problēmas risināšanas attēls
Pēc teorēmas par pieskares segmentiem KB = BP = PC = Cq = 4x, QD = DL = LA = AK = 9xtad trapecveida perimetrs ir 4 · (9 x + 4x) \u003d 52, no kurienes x \u003d 1. No šejienes mēs aprēķinām sānos Ab = Kompaktdisks \u003d 13 un bāzes BC = 8, AD \u003d 18. Tad Ah = (AD — BC) / 2 \u003d 5. No labā trīsstūra Bha pēc Pitagora teorēmas mēs atrodam trapecveida augstumu Bh \u003d 12, sin∠ A \u003d sin∠ D \u003d 12/13. Tad trapecveida laukums ir vienāds ar S = (BC + AD) · Bh/2 = 156.
Atkarībā no tā, kura līnija ir norādīta problēmas paziņojumā, ir iespējami divi gadījumi:
1) Ļaujiet šai līnijai šķērsot virsotni, kurā atrodas mazāka trapeces pamatne (attēlā - līnija BM) Stūrī ierakstītā apļa centrs atrodas uz tā bisektora, t.i., ∠ Abm = ∠MBC, ∠MBC = ∠Amb (atrodas šķērsām ar paralēlām līnijām BC, AD un secant BM), pēc tam ∠ Abm = ∠Amb un trīsstūris Abm - vienādsānu AM = Ab \u003d 13. Tad trijstūra laukums Abm \u003d 0,5 Ab · AM Sin∠ A \u003d 0,5 · 13 · 13 · 12/13 \u003d 78, un vēlamā attiecība ir 78/156 \u003d 1/2.
2) Tagad ļaujiet nosacījumā minētajai līnijai šķērsot virsotni, kurā atrodas mazāka trapeces pamatne (attēlā līnija AN) Veiciet papildu konstrukciju: pagariniet pamatni BC un tieša AN līdz krustojumam punktā Y. Mēs līdzīgi pierādām, ka trīsstūris Aby - vienādsānu Ab = PĒC = 13, CY = PĒC — BC \u003d 5. Trijstūri CNY un UN līdzīgi divos leņķos (∠ UN = ∠CNY piemēram, vertikāli, ∠ CYA = ∠Yad guļus šķērsām ar paralēlām līnijām BC, AD un secant Jā), pēc tam DN : NC = AD : CY \u003d 18: 5, tad DN = 18/23 Kompaktdisks = 18/23 Ab \u003d 234/23. Tad trīsstūra laukums Adn \u003d 0,5 AD · DN Sin∠ D \u003d 0,5 · 18 · 234/23 · 12/13 \u003d 1944/23, un vēlamā attiecība ir 162/299.
Atbilde: 1/2 vai 162/299.
Sergejs Valerevičs
Sadaļas: Matemātika
Laika ģeometrijas pēdējās stundās praktiski nav izvēles risināt problēmas visā kursā kopumā. Un iekšā KIMy vienotais valsts pārbaudījums tradicionāli iekļauti uzdevumi, kuru risināšanai nepieciešamas zināšanas par planimetriju par tēmu “Ierakstīti un aprobežoti apļi”. Tāpēc piedāvātais materiāls palīdzēs ne tikai atsaukt atmiņā šo tēmu, bet arī sistematizēt iepriekš iegūtās zināšanas par planimetrisko problēmu risināšanu uzrakstītajos un aprakstītajos apļos, kā arī sagatavoties šādu problēmu risināšanai eksāmenā. Tiek pieņemts, ka studentam vismaz minimālajā līmenī pieder viss skolas ģeometrijas (planimetrijas) kurss.
Pirmais un vissvarīgākais solis ģeometriskas problēmas risināšanā ir zīmējuma izveidošana. Jūs nevarat iemācīties atrisināt pietiekami būtiskas problēmas, neizstrādājot spēcīgas prasmes “labu” zīmējumu veidošanai, neizstrādājot ieradumus (pat refleksus) - nesāciet risināt problēmu, kamēr neesat uzrakstījis “lielu un skaistu” zīmējumu. Algebriskā metode ar sekojošā algoritma kompilāciju ir uzlabota kā galvenā metode ģeometrisko problēmu risināšanai. Koncentrējoties uz algebrisko metodi, jums jābrīdina par pārmērīgu entuziasmu par algebru un skaitīšanu, neaizmirstiet, ka mēs joprojām runājam par ģeometriskām problēmām, un tāpēc, strādājot pie problēmas, jums vajadzētu meklēt ģeometriskās pazīmes, iemācīties meklēt un redzēt ģeometriju. Izdalot divus terminus, kas nosaka spēju atrisināt ģeometriskas problēmas - zīmēšanas plus metodi, mēs šeit pievienojam trešo - noteiktu teorēmu un atbalsta problēmu, zināmu ģeometrisko faktu, esamību.
I. Nepieciešamās teorēmas un atbalsta problēmas lokam, kas ierakstīts trijstūrī un četrstūrī, un aplim, kas aprakstīts netālu no trīsstūra un četrstūra. ( 1. papildinājums )
II. Problēmu risināšana pēc gataviem zīmējumiem (ir ērti lietot kodoskopu).
Tajā pašā laikā studenti mutiski izskaidro problēmu risināšanas gaitu, pēc gataviem rasējumiem formulē teorēmas un atbalsta uzdevumus, kas tiek izmantoti problēmu risināšanā.
Pabeigts zīmējums |
Dots |
Lēmums |
| AB \u003d BC | Pieskares līnijas segmenti ir vienādi: BM \u003d BK \u003d 5 AB \u003d BC \u003d 12 MC \u003d CN \u003d 7, AC \u003d 14, AK \u003d AN \u003d 7, PABC \u003d 12 + 12 + 14 \u003d 38 Atbilde: P ABC \u003d 38 |
|
| AB \u003d 6, |
Pieskares līnijas segmenti ir vienādi: AB \u003d BC 1)  , 2) AB \u003d BC, jo VO - bisektors 3) ABC - vienādmalu, PABC \u003d 6 3 \u003d 18 Atbilde: P ABC \u003d 18 |
|
|
AD ir apļa diametrs, AB \u003d 3, VD \u003d 4 1. Pierādiet: NM AD 2. R \u003d? |
1. Kopš AD ir diametrs, tad DB AN un AC DN, t.i. AC un DB ir UN augstums, tad NK ir augstums, jo tie krustojas vienā brīdī. Tātad NM AD. 2. AD \u003d \u003d 5, R \u003d Atbilde: R \u003d 2,5 |
| R \u003d? | AC - taisnstūra ABC apļa diametrs un hipotenūza, R \u003d 1,5 Atbilde: R \u003d 1,5 |
|
| AB \u003d 24, Labi \u003d 5 |
O ir vidējo perpendikulu krustošanās punkts uz sāniem. BKO - taisnstūrveida, VK \u003d AK \u003d 12, KO \u003d 5, BO \u003d \u003d 13 \u003d R Atbilde: R \u003d 13 |
III. Problēmu risināšana.
1. Atrodiet taisnleņķa trīsstūra perimetru, ja uzrakstītā apļa rādiuss ir 2 cm, bet hipotenūza - 13 cm.
 |
Ļaujiet AM \u003d AN \u003d x, tad AC \u003d x + 2, CB \u003d 2 + 13 - x \u003d 15 - x (x + 2) 2 + (15 - x) 2 \u003d 169 x 2 - 13x + 30 \u003d 0 x 1 \u003d 10, x 2 \u003d 3; AC \u003d 6, CB \u003d 12; P \u003d 30 cm Atbilde: P \u003d 30 cm. |
2. 3 cm apļa rādiuss, kas ierakstīts labajā trīsstūrī, O ir apzīmētā apļa centrs,,. Atrodiet trīsstūra laukumu.
 |
AO - bisektors, AKO - taisnstūrveida, grēks \u003d grēks 30 o \u003d  , AO \u003d 6, AN \u003d AK \u003d \u003d 3, AC \u003d 3 + 3, tg 60 apmēram \u003d, CB \u003d  S ABC \u003d  = Atbilde: S \u003d cm2. |
3. Trijstūra perimetrs 84. Ierakstītā apļa pieskares punkts vienu no pusēm sadala 12. un 14. segmentā. Atrodiet uzrakstītā apļa rādiusu un ABC laukumu, ja OB \u003d 18, O ir apzīmētā apļa centrs.
4. Vienādās daļas trīsstūrī attālums no uzrakstītā apļa centra līdz nevienmērīgā leņķa augšdaļai ir 5 cm. Lielā mala ir 10 cm. Atrodiet uzrakstītā apļa rādiusu.
 |
OB \u003d 5,  ,OM \u003d OB . =  , BH \u003d 5 + r, AH \u003d 2r, AHB - taisnstūrveida,  4r 2 \u003d 100 - (5 + r) 2, r 2 + 2r - 15 \u003d 0, r 1 \u003d - 5, r 2 \u003d 3 Atbilde: r \u003d 3 cm. |
5. Vienādās daļas trīsstūra pamatne, kas ierakstīta apļa rādiusā 5 cm, ir 6 cm. Atrodiet trijstūra perimetru.
| AHO - taisnstūrveida: OH \u003d 4, BH \u003d 4 + 5 \u003d 9, AB \u003d BC \u003d \u003d P \u003d Atbilde: P \u003d redzēt |
6. Trijstūra ABC perimetrs ir 72 cm AB \u003d BC, AB: AC \u003d 13:10. Atrodiet apzīmētā trīsstūra rādiusu.
AB + BC + AC \u003d 72,  ,  AC \u003d 20, AB \u003d BC \u003d \u003d 26, BH \u003d \u003d 24 BN \u003d NA \u003d 13,  , R \u003d  Atbilde: R \u003d redzēt |
7. Nepārliektā leņķa vienādsānu trīsstūra pamatne ir 24 cm, un apvilktās apļa rādiuss ir 13 cm. Atrodiet trīsstūra malu.
8. Aplis, kura diametrs ir trijstūra ABC maiņstrāva, šķērso šī trīsstūra mediānu krustošanās punktu. Atrodiet skaļruņa malas garuma un pret to novilktās mediānas garuma attiecību.
 |
AO \u003d OC \u003d R \u003d OM, BM \u003d 2R, BO \u003d 3R, Atbilde:. |
9. Atrodiet vienādsānu trapecveida laukumu ap apli ar rādiusu 4, ja ir zināms, ka trapecveida puse ir 10.
 |
S ABCD \u003d Jo ierakstīts aplis, pēc tam AB + CD \u003d AD + BC \u003d 20 h \u003d 2r \u003d 8,  , S ABCD \u003d 10 8 \u003d 80 Atbilde: 80. |
10. Dan rombus ABCD. Ap trijstūri ABD apzīmētais aplis krusto lielu romba AC diagonāli punktā E. Atrodiet CE, ja AB \u003d, BD \u003d 16.
IV. Neatkarīga risinājuma uzdevumi.
1. Taisnā leņķa trīsstūrī apļa rādiuss ir 2 cm, bet apzīmētā apļa rādiuss ir 5 cm. Atrodiet lielāku trīsstūra kāju.
Atbilde: (6; 8).
2. Aplis ar centru O ir aprakstīts netālu no vienādsānu trijstūra ar pamatni AC un leņķi pie pamatnes 75 °. Atrodiet tā rādiusu, ja BOC trīsstūra laukums ir 16.
Atbilde: (8).
3. Atrodiet apļa rādiusu, kas apzīmēts ar asu leņķa trīsstūri ABC, ja augstums BH ir 12 un ir zināms, ka,.
Atbilde: (4).
4. Viena no taisnstūra trīsstūriem ir 15, bet otrās kājas projekcija uz hipotenūzi ir 16. Atrodiet ap šo trijstūri apzīmētā apļa diametru.
Atbilde: (25).
5. Aplis ir ierakstīts vienādsānu trijstūrī ABC. Paralēli tās pamatnei AS tika novilkta pieskare lokam, kas šķērso malas punktos D un E. Atrodiet apļa rādiusu, ja DE \u003d 8, AC \u003d 18.
Atbilde: (6).
6. Aplis ir aprakstīts blakus trīsstūrim ABC. Trijstūra AM vidusdaļa tiek pagarināta līdz krustojumam ar apli punktā K. Atrodiet maiņstrāvas pusi, ja AM \u003d 18, MK \u003d 8, BK \u003d 10.
Atbilde: (15).
7. Aplis, kas ierakstīts vienādsānu trijstūrī, pieskaras tā malām punktos K un A. K punkts sadala šī trīsstūra malu 15. un 10. segmentā, skaitot no pamatnes. Atrodiet segmenta KA garumu.
Atbilde: (12).
8. Trijstūra ABC leņķis B ir 60 °, ap ABC aprakstītā apļa rādiuss ir 2. Atrodiet apļa rādiusu, kas iet caur punktiem A un C, un apļa centru, kas ierakstīts ABC.
Atbilde: (2).
9. Trijstūra malas ir 5, 6 un 7. Atrodiet to segmentu attiecību, kuros šī trijstūra lielākā leņķa bisektors tiek dalīts ar trijstūrī uzrakstītā apļa centru.
Atbilde: (11: 7).
10. Apļa rādiuss, kas ierakstīts taisnstūrī, ir vienāds ar tā kāju starpību pa pusēm. Atrodiet lielākas kājas attiecību pret mazāku.
,. Atrodiet ap trijstūri apzīmētā apļa hipotenūzi un rādiusu.
