Indukcijas piemēri. Matemātiskās indukcijas metode: risinājumu piemēri

Atskaitīšana Tas ir veids, kā argumentēt no vispārīgiem noteikumiem līdz konkrētiem secinājumiem.

Deduktīvā spriešana tikai konkretizē mūsu zināšanas. Deduktīvais secinājums satur tikai to informāciju, kas atrodas saņemtajās telpās. Dedukcija ļauj iegūt jaunas patiesības no esošajām zināšanām ar tīras spriešanas palīdzību.

Atskaitījums dod 100% garantiju pareizam secinājumam (ar uzticamām telpām). Dedukcija no patiesības rada patiesību.

1. piemērs.

Visi metāli ir elastīgi(dzim O vismazāk derīgs pieņēmums vai galvenais arguments).

Bismuts ir metāls(uzticams priekšnoteikums).

Tāpēc bismuts ir plastmasa(pareizs secinājums).

Deduktīvās argumentācijas, kas rada patiesu secinājumu, sauc par siloģismu.

2. piemērs.

Visi politiķi, kas pieļauj pretrunas, ir joks(dzim O lielākā uzticamā premisa).

E Ltsin B.N. atzina pretrunas(uzticams priekšnoteikums).

Tāpēc E.B.N. ir joks(pareizs secinājums) .

Atskaitīšana no meliem nāk meli.

Piemērs.

Starptautiskā Valūtas fonda palīdzība vienmēr noved pie labklājības ikvienam(viltus pieņēmums).

SVF jau ilgu laiku palīdz Krievijai(uzticams priekšnoteikums).

Tāpēc Krievija plaukst(viltus secinājums).

Indukcija – argumentācijas veids no konkrētiem noteikumiem līdz vispārīgiem secinājumiem.

Induktīvais secinājums var saturēt informāciju, kas nav ietverta pieņemtajās telpās. Premisu derīgums nenozīmē induktīvā secinājuma derīgumu. Telpas padara secinājumu vairāk vai mazāk ticamu.

Indukcija nesniedz uzticamas, bet varbūtības zināšanas, kuras ir jāpārbauda.

1. piemērs.

G.M.S. — zirņu jezga, E.B.N. — zirņu jezga, Ch.A.B.(uzticamas telpas).

G.M.S., E.B.N., Ch.A.B. – politiķi(uzticamas telpas).

Tāpēc visi politiķi ir klauni(varbūtības secinājums).

Vispārinājums ir ticams. Tomēr ir politiķi, kas spēj domāt.

2. piemērs.

Pēdējos gados militārās mācības notiek 1., 2. un 3. apgabalā, palielinot vienību kaujas efektivitāti.(uzticamas telpas).

1., 2. un 3. apgabalā mācībās piedalījās Krievijas armijas vienības.(uzticamas telpas).

Līdz ar to pēdējos gados ir palielinājusies visu Krievijas armijas vienību kaujas efektivitāte(induktīvs nederīgs secinājums).

No konkrētiem noteikumiem loģiski neizriet vispārējs secinājums. Spilgti notikumi nepierāda, ka visur ir labklājība:

Faktiski Krievijas armijas kopējās kaujas spējas katastrofāli samazinās.

Indukcijas variants ir secinājums pēc analoģijas (pamatojoties uz divu objektu līdzību vienā parametrā, tiek izdarīts secinājums par to līdzību arī citos parametros).

Piemērs. Planētas Marss un Zeme daudzējādā ziņā ir līdzīgas. Uz Zemes ir dzīvība. Tā kā Marss ir līdzīgs Zemei, Marsā ir arī dzīvība.

Šis secinājums, protams, ir tikai varbūtējs.

Jebkurš induktīvs secinājums ir jāpārbauda.

Dmitrijs Mezencevs (projekta "Krievijas labas rīcības biedrība" koordinators) 2011.g.

Indukcija un dedukcija ir savstarpēji saistītas, viena otru papildinošas secinājumu metodes. Rodas veselums, kurā no spriedumiem, kuru pamatā ir vairāki secinājumi, dzimst jauns apgalvojums. Šo metožu mērķis ir iegūt jaunu patiesību no jau esošajām. Noskaidrosim, kas tas ir, un sniegsim dedukcijas un indukcijas piemērus. Rakstā tiks sniegtas detalizētas atbildes uz šiem jautājumiem.

Atskaitīšana

Tulkojumā no latīņu valodas (deductio) tas nozīmē “atskaitīšana”. Dedukcija ir konkrētā loģisks secinājums no vispārējā. Šis argumentācijas virziens vienmēr noved pie patiesa secinājuma. Metode tiek izmantota gadījumos, kad no vispārzināmas patiesības nepieciešams izdarīt nepieciešamo secinājumu par parādību. Piemēram, metāli ir siltumvadošas vielas, zelts ir metāls, mēs secinām: zelts ir siltumvadošs elements.

Dekarts tiek uzskatīts par šīs idejas pamatlicēju. Viņš apgalvoja, ka dedukcijas sākumpunkts sākas ar intelektuālo intuīciju. Viņa metode ietver šādas darbības:

1. Atzīt par patiesu tikai to, kas ir zināms ar maksimālu acīmredzamību. Nevajadzētu būt šaubām prātā, tas ir, jāspriež tikai pēc neapgāžamiem faktiem.
2. Sadaliet pētāmo parādību pēc iespējas vienkāršākās daļās, lai tās varētu viegli pārvarēt.
3. Pārejiet no vienkārša pakāpeniski uz sarežģītāku.
4. Detalizēti, bez izlaidumiem, apkopojiet kopējo attēlu.

Dekarts uzskatīja, ka ar šāda algoritma palīdzību pētnieks spēs atrast patieso atbildi.

Nav iespējams aptvert nekādas zināšanas, izņemot ar intuīciju, saprātu un dedukciju. Dekarts

Indukcija

Tulkojumā no latīņu valodas (inductio) tas nozīmē “vadība”. Indukcija ir vispārīga loģisks secinājums no konkrētiem spriedumiem. Atšķirībā no dedukcijas, spriešana noved pie iespējama secinājuma, jo tiek vispārināti vairāki pamati un bieži tiek izdarīti pārsteidzīgi secinājumi. Piemēram, zelts, tāpat kā varš, sudrabs un svins, ir cieta viela. Tas nozīmē, ka visi metāli ir cietas vielas. Secinājums nav pareizs, jo secinājums bija pārsteidzīgs, jo ir tāds metāls kā dzīvsudrabs, un tas ir šķidrums. Dedukcijas un indukcijas piemērs: pirmajā gadījumā secinājums izrādījās patiess. Un otrajā – iespējams.

Ekonomiskā sfēra

Dedukcija un indukcija ekonomikā ir pētniecības metodes, kas līdzvērtīgas tādām kā novērošana, eksperiments, modelēšana, zinātnisko abstrakciju metode, analīze un sintēze, sistēmiskā pieeja, vēsturiskā un ģeogrāfiskā metode. Izmantojot induktīvo metodi, pētījumi sākas ar ekonomisko parādību novērošanu, tiek uzkrāti fakti un pēc tam uz to pamata tiek veikts vispārinājums. Pielietojot deduktīvo metodi, tiek formulēta ekonomikas teorija, pēc tam uz tās pamata tiek pārbaudītas hipotēzes. Tas ir, no teorijas uz faktiem, pētījumi iet no vispārīga uz konkrētu.

Sniegsim dedukcijas un indukcijas piemērus ekonomikā. Maizes, gaļas, graudaugu un citu preču sadārdzināšanās liek secināt, ka cenas mūsu valstī aug. Šī ir indukcija. Paziņojums par dzīves dārdzības pieaugumu liek domāt, ka cenas pieaugs gāzei, elektrībai, citiem komunālajiem pakalpojumiem un patēriņa precēm. Tas ir atskaitījums.

Psiholoģijas joma

Pirmo reizi mūsu aplūkotās psiholoģijas parādības savos darbos pieminēja kāds angļu domātājs, kura nopelns bija racionālo un empīrisko zināšanu apvienošana. Hobss uzstāja, ka var būt tikai viena patiesība, kas sasniegta ar pieredzi un saprātu. Viņaprāt, zināšanas sākas ar jūtīgumu kā pirmo soli uz vispārināšanu. Parādību vispārīgās īpašības tiek noteiktas, izmantojot indukciju. Zinot darbības, jūs varat uzzināt cēloni. Pēc visu iemeslu noskaidrošanas mums ir nepieciešams pretējs ceļš, dedukcija, kas ļauj saprast jaunas un atšķirīgas darbības un parādības. un dedukcijas psiholoģijā saskaņā ar Hobsu liecina, ka tie ir savstarpēji aizvietojami viena kognitīvā procesa posmi, kas pāriet viens no otra.

Loģikas sfēra

Pateicoties tādam varonim kā Šerloks Holmss, mēs esam pazīstami ar diviem veidiem. Artūrs Konans Doils iepazīstināja visu pasauli ar deduktīvo metodi. Šerloks novērojumu sāka ar kopējo nozieguma priekšstatu un noveda pie konkrētā, tas ir, viņš izpētīja katru aizdomās turamo, katru detaļu, motīvus un fiziskās iespējas un, izmantojot loģiskus secinājumus, izdomāja noziedznieku, strīdoties ar dzelžainiem pierādījumiem. .

Dedukcija un indukcija loģikā ir vienkārša, nemanot mēs to lietojam ikdienā ikdienā. Mēs bieži reaģējam ātri, uzreiz izdarot nepareizu secinājumu. Atskaitīšana ir ilgāka domāšana. Lai to attīstītu, jums pastāvīgi jāizaicina savas smadzenes. Lai to izdarītu, jūs varat atrisināt problēmas no jebkuras jomas, matemātika, fizika, ģeometrija, pat mīklas un krustvārdu mīklas palīdzēs attīstīt domāšanu. Grāmatas, uzziņu grāmatas, filmas, ceļojumi – viss, kas paplašina redzesloku dažādās darbības jomās, sniegs nenovērtējamu palīdzību. Novērošana palīdzēs izdarīt pareizo loģisko secinājumu. Katra, pat visnenozīmīgākā detaļa var kļūt par viena liela attēla daļu.

Sniegsim piemēru par dedukcijas un indukcijas loģikā. Jūs redzat apmēram 40 gadus vecu sievieti, viņas rokā ir rokassomiņa ar neaiztaisītu rāvējslēdzēju, jo tajā ir liels piezīmju grāmatiņu skaits. Viņa ir ģērbusies pieticīgi, bez volāniem un volāniem detaļām, uz rokas ir plāns pulkstenis un balta krīta zīme. Secināsiet, ka visticamāk viņa strādā par skolotāju.

Pedagoģijas sfēra

Skolas izglītībā bieži tiek izmantota indukcijas un dedukcijas metode. Metodiskā literatūra skolotājiem tiek organizēta induktīvi. Šis domāšanas veids ir plaši piemērojams tehnisko ierīču izpētē un praktisku problēmu risināšanā. Un ar deduktīvās metodes palīdzību ir vieglāk aprakstīt lielu skaitu faktu, izskaidrojot to vispārīgos principus vai īpašības. Dedukcijas un indukcijas piemērus pedagoģijā var novērot jebkurā nodarbībā. Bieži vien fizikā vai matemātikā skolotājs dod formulu, un tad stundas laikā skolēni risina uzdevumus, kas atbilst šim gadījumam.

Jebkurā darbības jomā indukcijas un dedukcijas metodes vienmēr ir noderīgas. Un, lai to izdarītu, jums nav jābūt superdetektīvam vai ģēnijam zinātnes jomās. Sniedziet savai domāšanai treniņu, attīstiet smadzenes, trenējiet atmiņu, un turpmāk sarežģīti uzdevumi tiks atrisināti instinktīvā līmenī.

Atskaitīšana Tas ir veids, kā argumentēt no vispārīgiem noteikumiem līdz konkrētiem secinājumiem.

Deduktīvā spriešana tikai konkretizē mūsu zināšanas. Deduktīvais secinājums satur tikai to informāciju, kas atrodas saņemtajās telpās. Dedukcija ļauj iegūt jaunas patiesības no esošajām zināšanām ar tīras spriešanas palīdzību.

Atskaitījums dod 100% garantiju pareizam secinājumam (ar uzticamām telpām). Dedukcija no patiesības rada patiesību.

1. piemērs.

Visi metāli ir elastīgi(dzim O vismazāk derīgs pieņēmums vai galvenais arguments).

Bismuts ir metāls(uzticams priekšnoteikums).

Tāpēc bismuts ir plastmasa(pareizs secinājums).

Deduktīvās argumentācijas, kas rada patiesu secinājumu, sauc par siloģismu.

2. piemērs.

Visi politiķi, kas pieļauj pretrunas, ir joks(dzim O lielākā uzticamā premisa).

E Ltsin B.N. atzina pretrunas(uzticams priekšnoteikums).

Tāpēc E.B.N. ir joks(pareizs secinājums) .

Atskaitīšana no meliem nāk meli.

Piemērs.

Starptautiskā Valūtas fonda palīdzība vienmēr noved pie labklājības ikvienam(viltus pieņēmums).

SVF jau ilgu laiku palīdz Krievijai(uzticams priekšnoteikums).

Tāpēc Krievija plaukst(viltus secinājums).

Indukcija – argumentācijas veids no konkrētiem noteikumiem līdz vispārīgiem secinājumiem.

Induktīvais secinājums var saturēt informāciju, kas nav ietverta pieņemtajās telpās. Premisu derīgums nenozīmē induktīvā secinājuma derīgumu. Telpas padara secinājumu vairāk vai mazāk ticamu.

Indukcija nesniedz uzticamas, bet varbūtības zināšanas, kuras ir jāpārbauda.

1. piemērs.

G.M.S. — zirņu jezga, E.B.N. — zirņu jezga, Ch.A.B.(uzticamas telpas).

G.M.S., E.B.N., Ch.A.B. – politiķi(uzticamas telpas).

Tāpēc visi politiķi ir klauni(varbūtības secinājums).

Vispārinājums ir ticams. Tomēr ir politiķi, kas spēj domāt.

2. piemērs.

Pēdējos gados militārās mācības notiek 1., 2. un 3. apgabalā, palielinot vienību kaujas efektivitāti.(uzticamas telpas).

1., 2. un 3. apgabalā mācībās piedalījās Krievijas armijas vienības.(uzticamas telpas).

Līdz ar to pēdējos gados ir palielinājusies visu Krievijas armijas vienību kaujas efektivitāte(induktīvs nederīgs secinājums).

No konkrētiem noteikumiem loģiski neizriet vispārējs secinājums. Spilgti notikumi nepierāda, ka visur ir labklājība:

Faktiski Krievijas armijas kopējās kaujas spējas katastrofāli samazinās.

Indukcijas variants ir secinājums pēc analoģijas (pamatojoties uz divu objektu līdzību vienā parametrā, tiek izdarīts secinājums par to līdzību arī citos parametros).

Piemērs. Planētas Marss un Zeme daudzējādā ziņā ir līdzīgas. Uz Zemes ir dzīvība. Tā kā Marss ir līdzīgs Zemei, Marsā ir arī dzīvība.

Šis secinājums, protams, ir tikai varbūtējs.

Jebkurš induktīvs secinājums ir jāpārbauda.

Dmitrijs Mezencevs (projekta "Krievijas labas rīcības biedrība" koordinators) 2011.g.

Secinājums ir loģiska darbība, kuras rezultātā no viena vai vairākiem pieņemtiem apgalvojumiem (premisām) tiek iegūts jauns apgalvojums - secinājums (seka).

Atkarībā no tā, vai ir saistība starp telpām un secinājumu loģiskas sekas, var izšķirt divu veidu secinājumus.

Deduktīvajā spriešanā šī saistība balstās uz loģisku likumu, kura dēļ secinājums ar loģisku nepieciešamību izriet no pieņemtajām premisām. Kā jau minēts, šāda secinājuma atšķirīgā iezīme ir tā, ka tas vienmēr ved no patiesām premisām līdz patiesam secinājumam.

Deduktīvie secinājumi ietver, piemēram, šādus secinājumus:

Ja dots skaitlis dalās ar 6, tad tas dalās ar 3.

Šis skaitlis dalās ar 6.

Šis skaitlis dalās ar 3.

Ja hēlijs ir metāls, tas ir elektriski vadošs.

Hēlijs nav elektriski vadošs.

Hēlijs nav metāls.

Līnija, kas atdala telpas no noslēguma, aizstāj vārdu “tāpēc”.

Induktīvajos secinājumos saikne starp premisām un secinājumu balstās nevis uz loģikas likumu, bet gan uz dažiem faktiskiem vai psiholoģiskiem pamatiem, kuriem nav tīri formāla rakstura.Šādā secinājumā secinājums loģiski neizriet no premisām un var saturēt tajās neesošu informāciju. Tādējādi telpu uzticamība nenozīmē no tiem induktīvi iegūtā apgalvojuma ticamību. Indukcija rada tikai iespējamus vai ticamus secinājumus, kuriem nepieciešama turpmāka pārbaude.

Indukcijas piemēri ietver argumentāciju:

Argentīna ir republika; Brazīlija ir republika; Venecuēla ir republika;

Ekvadora ir republika.

Argentīna, Brazīlija, Venecuēla, Ekvadora ir Latīņamerikas valstis.

Visas Latīņamerikas valstis ir republikas.

Itālija ir republika; Portugāle ir republika; Somija ir republika;

Francija ir republika.

Itālija, Portugāle, Somija, Francija ir Rietumeiropas valstis.

Visas Rietumeiropas valstis ir republikas.

Indukcija nesniedz pilnīgu garantiju jaunas patiesības iegūšanai no esošajām. Maksimums, par ko varam runāt, ir noteikts varbūtības pakāpe izsecinātais paziņojums. Tādējādi gan pirmā, gan otrā induktīvā secinājuma premisas ir patiesas, bet pirmā secinājums ir patiess, bet otrā - nepatiess. Patiešām, visas Latīņamerikas valstis ir republikas; bet Rietumeiropas valstu vidū ir ne tikai republikas, bet arī monarhijas, piemēram, Anglija, Beļģija un Spānija.

Īpaši raksturīgi atskaitījumi ir loģiskās pārejas no vispārējām zināšanām uz konkrētām. Visos gadījumos, kad nepieciešams aplūkot kādu parādību, pamatojoties uz jau zināmu vispārīgu principu un izdarīt nepieciešamo secinājumu par šo parādību, mēs secinām dedukcijas veidā (Visi dzejnieki ir rakstnieki; Ļermontovs ir dzejnieks; tātad Ļermontovs ir rakstnieks).

Spriedums, kas ved no zināšanām par dažiem objektiem uz vispārīgām zināšanām par visiem noteiktas klases objektiem, ir tipiskas indukcijas, jo vienmēr pastāv iespēja, ka vispārinājums izrādīsies pārsteidzīgs un nepamatots (Platons ir filozofs; Aristotelis ir filozofs; ka nozīmē, ka visi cilvēki ir filozofi).

Tajā pašā laikā nevar identificēt dedukciju ar pāreju no vispārīgā uz konkrēto, bet indukciju ar pāreju no konkrētā uz vispārīgo. Dedukcija ir loģiska pāreja no vienas patiesības uz otru, indukcija ir pāreja no uzticamām zināšanām uz iespējamām. Induktīvie secinājumi ietver ne tikai vispārinājumus, bet arī salīdzinājumus vai analoģijas, secinājumus par parādību cēloņiem utt.

Dedukcijai ir īpaša loma apgalvojumu pamatošanā. Ja attiecīgais noteikums loģiski izriet no jau pieņemtajiem noteikumiem, tas ir pamatots un pieņemams tādā pašā mērā kā pēdējais. Tas ir stingri loģisks veids, kā pamatot apgalvojumus, izmantojot tīru spriešanu un neprasot atsaukties uz novērojumiem, intuīciju utt.

Uzsverot dedukcijas nozīmi attaisnošanas procesā, tomēr nevajadzētu to nodalīt no indukcijas vai nenovērtēt to par zemu. Gandrīz visi vispārīgie principi, tostarp, protams, zinātniskie likumi, ir induktīvās vispārināšanas rezultāts. Šajā ziņā indukcija ir mūsu zināšanu pamats. Pats par sevi tas negarantē tā patiesumu un derīgumu. Bet tas rada pieņēmumus, saista tos ar pieredzi un tādējādi piešķir tiem zināmu ticamību, vairāk vai mazāk augstu varbūtības pakāpi. Pieredze ir cilvēka zināšanu avots un pamats. Indukcija, sākot no pieredzē aptvertā, ir nepieciešams līdzeklis tās vispārināšanai un sistematizēšanai.

Dedukcija ir tādu secinājumu atvasināšana, kas ir tikpat derīgi kā pieņemtās premisas.

Parastā spriešanā dedukcija pilnā un paplašinātā veidā parādās tikai retos gadījumos. Visbiežāk mēs nenorādam visas izmantotās pakas, bet tikai dažas no tām. Vispārīgi apgalvojumi, kurus var uzskatīt par labi zināmiem, parasti tiek izlaisti. Secinājumi, kas izriet no pieņemtajām premisām, ne vienmēr ir skaidri formulēti. Ļoti loģiskā saikne, kas pastāv starp sākotnējo un izsecināto apgalvojumu, tikai dažkārt tiek apzīmēta ar tādiem vārdiem kā “tāpēc” un “nozīmē”.

Bieži vien atskaitījums ir tik saīsināts, ka par to var tikai nojaust. Var būt grūti atjaunot to pilnā formā, norādot visus nepieciešamos elementus un to savienojumus.

Deduktīvās spriešanas veikšana, neko neizlaižot vai nesaīsinot, ir apgrūtinoša. Cilvēks, kurš norāda uz visām premisām saviem secinājumiem, rada kaut kāda pedanta iespaidu. Un tajā pašā laikā, kad rodas šaubas par izdarītā secinājuma pamatotību, ir jāatgriežas pie paša argumentācijas sākuma un jāatveido tas pēc iespējas pilnīgākā formā. Bez tā ir grūti vai pat neiespējami atklāt kļūdu.

Daudzi literatūras kritiķi uzskata, ka Šerloku Holmsu A. Konans Doils “nokopēja” no Džozefa Bela, Edinburgas universitātes medicīnas profesora. Pēdējais bija pazīstams kā talantīgs zinātnieks ar retām novērošanas spējām un teicami pārvalda dedukcijas metodi. Starp viņa studentiem bija topošais slavenā detektīva tēla veidotājs.

Kādu dienu Konans Doils savā autobiogrāfijā stāsta, ka klīnikā ieradās pacients, un Bells viņam jautāja:

Vai esi dienējis armijā?

Jā, ser! - Stāvot pie uzmanības, pacients atbildēja.

Kalnu strēlnieku pulkā?

Tieši tā, doktora kungs!

Nesen pensijā?

Jā, ser!

Vai jūs bijāt seržants?

Jā, ser! - pacients braši atbildēja.

Vai esat bijis Barbadosā?

Tieši tā, doktora kungs!

Studenti, kas piedalījās šajā dialogā, izbrīnīti skatījās uz profesoru. Bells paskaidroja, cik vienkārši un loģiski bija viņa secinājumi.

Šis vīrietis, izrādījis pieklājību un pieklājību pie ieejas birojā, tomēr cepuri nenoņēma. Armijas ieradums darīja savu. Ja pacients būtu ilgu laiku bijis pensijā, viņš jau sen būtu iemācījies civilās manieres. Autoritatīvā pozā, pēc tautības viņš nepārprotami ir skots, un tas liecina par to, ka viņš bija komandieris. Kas attiecas uz uzturēšanos Barbadosā, tad apmeklētājs ir slims ar ziloņu sēnīti (ziloņu slimību) - šāda slimība ir izplatīta šo vietu iedzīvotājiem.

Šeit deduktīvā spriešana ir ārkārtīgi saīsināta. Jo īpaši ir izlaisti visi vispārīgie apgalvojumi, bez kuriem atskaitīšana nebūtu iespējama.

Iepriekš ieviestais jēdziens “pareiza spriešana (secinājums)” attiecas tikai uz deduktīvu spriešanu. Tikai tas var būt pareizi vai nepareizi. Induktīvajā spriešanā secinājums nav loģiski saistīts ar pieņemtajām premisām. Tā kā “pareizība” ir loģiskās saiknes starp premisām un secinājumiem īpašība un šī saikne netiek pieņemta ar induktīvu spriešanu, šāds secinājums nevar būt ne pareizs, ne nepareizs. Dažreiz, pamatojoties uz to, induktīvā spriešana vispār netiek iekļauta secinājumu skaitā.

"No vienas ūdens lāses... cilvēks, kurš prot loģiski domāt, var secināt par Atlantijas okeāna vai Niagāras ūdenskrituma esamību, pat ja viņš nekad nav redzējis ne vienu, ne otru un nav dzirdējis par tiem... No cilvēka nagiem, no rokām, apaviem, viņa bikšu krokas ceļgalos, pēc ādas sabiezēšanas uz īkšķa un rādītājpirksta, pēc sejas izteiksmes un krekla aprocēm - no tik sīkumiem nav grūti uzminēt viņa profesiju. Un nav šaubu, ka tas viss kopā pamudinās zinošu novērotāju izdarīt pareizos secinājumus.

Šis ir citāts no pasaules literatūras slavenākā konsultanta detektīva Šerloka Holmsa politikas raksta. Balstoties uz mazākajām detaļām, viņš izveidoja loģiski nevainojamu spriešanas ķēdes un atrisināja sarežģītus noziegumus, bieži vien neizejot no sava dzīvokļa Beikerstrītā. Holmss izmantoja paša radītu deduktīvās metodi, kas, kā uzskatīja viņa draugs doktors Vatsons, nolika noziegumu atrisināšanu uz eksaktās zinātnes robežas.

Protams, Holmss nedaudz pārspīlēja dedukcijas nozīmi tiesu ekspertīzē, taču viņa argumentācija par deduktīvo metodi darīja savu. “Atskaitījums” no īpaša termina, ko pazīst tikai daži, ir pārtapis par plaši lietotu un pat modernu jēdzienu. Pareizas spriešanas mākslas un galvenokārt deduktīvās spriešanas mākslas popularizēšana nav mazāks Holmsa nopelns kā visi viņa atrisinātie noziegumi. Viņam izdevās “loģikai piešķirt sapņa šarmu, izejot cauri iespējamo izrēķinu kristāla labirintam līdz vienam spīdošam secinājumam” (V. Nabokovs).

Atskaitīšana ir īpašs secinājumu gadījums.

Plašā nozīmē secinājums ir loģiska darbība, kuras rezultātā no viena vai vairākiem pieņemtiem apgalvojumiem (premisām) tiek iegūts jauns apgalvojums - secinājums (secinājums, sekas).

Atkarībā no tā, vai starp premisām un secinājumu pastāv loģisku seku saikne, var izšķirt divu veidu secinājumus.

Deduktīvajā spriešanā šī saistība balstās uz loģisku likumu, kura dēļ secinājums ar loģisku nepieciešamību izriet no pieņemtajām premisām. Šāda secinājuma atšķirīgā iezīme ir tāda, ka tas vienmēr noved pie patiesa secinājuma no patiesām premisām.

Induktīvajos secinājumos saikne starp premisām un secinājumu balstās nevis uz loģikas likumu, bet gan uz dažiem faktiskiem vai psiholoģiskiem pamatiem, kuriem nav tīri formāla rakstura. Šādā secinājumā secinājums loģiski neizriet no smidzinājumiem un var saturēt informāciju, kuras tajos nav. Tādējādi telpu uzticamība nenozīmē no tiem induktīvi iegūtā apgalvojuma ticamību. Indukcija rada tikai iespējamus vai ticamus secinājumus, kuriem nepieciešama turpmāka pārbaude.

Deduktīvie secinājumi ietver, piemēram, šādus:

Ja līst lietus, zeme ir mitra.

Līst.

Zeme ir slapja.

Ja hēlijs ir metāls, tas ir elektriski vadošs.

Hēlijs nav elektriski vadošs.

Hēlijs nav metāls.

Līnija, kas atdala telpas no noslēguma, aizstāj vārdu “tāpēc”.

Indukcijas piemēri ietver argumentāciju:

Argentīna ir republika; Brazīlija ir republika;

Venecuēla ir republika; Ekvadora ir republika.

Argentīna, Brazīlija, Venecuēla, Ekvadora ir Latīņamerikas valstis.

Visas Latīņamerikas valstis ir republikas.

Itālija ir republika; Portugāle ir republika; Somija ir republika; Francija ir republika.

Itālija, Portugāle, Somija, Francija ir Rietumeiropas valstis.

Visas Rietumeiropas valstis ir republikas.

Indukcija nesniedz pilnīgu garantiju jaunas patiesības iegūšanai no esošajām. Maksimums, par ko mēs varam runāt, ir noteikta apgalvojuma atvasināšanas varbūtības pakāpe. Tādējādi gan pirmā, gan otrā induktīvā secinājuma premisas ir patiesas, bet pirmā secinājums ir patiess, bet otrā - nepatiess. Patiešām, visas Latīņamerikas valstis ir republikas; bet Rietumeiropas valstu vidū ir ne tikai republikas, bet arī monarhijas, piemēram, Anglija, Beļģija un Spānija.

Īpaši raksturīgi secinājumi ir loģiskas pārejas no vispārīgām zināšanām uz konkrētiem veidiem:

Visi cilvēki ir mirstīgi.

Visi grieķi ir cilvēki.

Tāpēc visi grieķi ir mirstīgi.

Visos gadījumos, kad ir nepieciešams aplūkot kādas parādības, pamatojoties uz jau zināmu vispārīgu noteikumu un izdarīt nepieciešamos secinājumus par šīm parādībām, mēs secinām dedukcijas veidā. Spriedums, kas ved no zināšanām par dažiem objektiem (privātās zināšanas) uz zināšanām par visiem noteiktas klases objektiem (vispārējās zināšanas), ir tipiskas indukcijas. Vienmēr pastāv iespēja, ka vispārinājums izrādīsies pārsteidzīgs un nepamatots (“Napoleons ir komandieris; Suvorovs ir komandieris; tāpēc katrs cilvēks ir komandieris”).

Tajā pašā laikā nevar identificēt dedukciju ar pāreju no vispārīgā uz konkrēto, bet indukciju ar pāreju no konkrētā uz vispārīgo. Argumentā “Šekspīrs rakstīja sonetus; tāpēc nav taisnība, ka Šekspīrs nav rakstījis sonetus” ir dedukcija, taču nav pārejas no vispārīgā uz konkrēto. Parasti tiek uzskatīts, ka arguments "Ja alumīnijs ir kaļams vai māls ir kaļams, tad alumīnijs ir kaļams" ir induktīvs, taču nav pārejas no konkrētā uz vispārējo. Dedukcija ir tādu secinājumu atvasināšana, kas ir tikpat uzticami kā pieņemtās premisas, indukcija ir iespējamu (ticamu) secinājumu atvasināšana. Induktīvie secinājumi ietver gan pārejas no konkrētā uz vispārējo, gan analoģiju, cēloņsakarību noteikšanas metodes, seku apstiprināšanu, mērķa pamatojumu utt.

Ir saprotama īpašā interese par deduktīvo spriešanu. Tie ļauj iegūt jaunas patiesības no esošajām zināšanām, turklāt ar tīras spriešanas palīdzību, neizmantojot pieredzi, intuīciju, veselo saprātu utt. Dedukcija dod 100% panākumu garantiju, nevis vienkārši nodrošina vienu vai otru – varbūt augstu – patiesa secinājuma varbūtību. Sākot no patiesām premisām un deduktīvi spriežot, mēs noteikti iegūsim uzticamas zināšanas visos gadījumos.

Uzsverot dedukcijas nozīmi zināšanu izvēršanas un pamatojuma procesā, tomēr nevajadzētu to nodalīt no indukcijas un nenovērtēt to par zemu. Gandrīz visi vispārīgie noteikumi, tostarp zinātniskie likumi, ir induktīvās vispārināšanas rezultāti. Šajā ziņā indukcija ir mūsu zināšanu pamats. Pati par sevi tas negarantē tā patiesumu un pamatotību, bet rada pieņēmumus, saista tos ar pieredzi un tādējādi piešķir tiem zināmu ticamību, vairāk vai mazāk augstu varbūtības pakāpi. Pieredze ir cilvēka zināšanu avots un pamats. Indukcija, sākot no pieredzē aptvertā, ir nepieciešams līdzeklis tās vispārināšanai un sistematizēšanai.

Visi iepriekš apspriestie argumentācijas modeļi bija deduktīvās spriešanas piemēri. Propozicionālā loģika, modālā loģika, kategoriskā siloģisma loģiskā teorija ir visas deduktīvās loģikas sadaļas.

Tātad dedukcija ir tādu secinājumu atvasināšana, kas ir tikpat uzticami kā pieņemtās premisas.

Parastā spriešanā dedukcija pilnā un paplašinātā veidā parādās tikai retos gadījumos. Visbiežāk mēs nenorādam visas izmantotās pakas, bet tikai dažas. Vispārīgi apgalvojumi, kurus var uzskatīt par labi zināmiem, parasti tiek izlaisti. Secinājumi, kas izriet no pieņemtajām premisām, ne vienmēr ir skaidri formulēti. Ļoti loģiskā saikne, kas pastāv starp sākotnējo un izsecināto apgalvojumu, tikai dažkārt tiek apzīmēta ar tādiem vārdiem kā “tāpēc” un “nozīmē”.

Bieži vien atskaitījums ir tik saīsināts, ka par to var tikai nojaust. Var būt grūti atjaunot to pilnā formā, norādot visus nepieciešamos elementus un to savienojumus.

"Pateicoties ilgstošam ieradumam," reiz atzīmēja Šerloks Holmss, "manī tik ātri rodas secinājumu ķēde, ka esmu nonācis pie secinājuma, pat nepamanot starppriekšnoteikumus. Tomēr viņi tur bija, šīs pakas,"

Deduktīvās spriešanas veikšana, neko neizlaižot vai nesaīsinot, ir diezgan apgrūtinoša. Cilvēks, kurš norāda uz visām premisām saviem secinājumiem, rada sīka pedanta iespaidu. Un tajā pašā laikā, kad rodas šaubas par izdarītā secinājuma pamatotību, ir jāatgriežas pie paša argumentācijas sākuma un jāatveido tas pēc iespējas pilnīgākā formā. Bez tā ir grūti vai pat neiespējami atklāt kļūdu.

Daudzi literatūras kritiķi uzskata, ka Šerloku Holmsu A. Konans Doils “nokopēja” no Džozefa Bela, Edinburgas universitātes medicīnas profesora. Pēdējais bija pazīstams kā talantīgs zinātnieks ar retām novērošanas spējām un teicami pārvalda dedukcijas metodi. Starp viņa studentiem bija topošais slavenā detektīva tēla veidotājs.

Kādu dienu Konans Doils savā autobiogrāfijā stāsta, ka klīnikā ieradās pacients, un Bells viņam jautāja:

– Vai dienējāt armijā?

- Jā, ser! – stāvot pie uzmanības, pacients atbildēja.

– Kalnu strēlnieku pulkā?

- Tieši tā, doktora kungs!

– Vai esat nesen aizgājis pensijā?

- Jā, ser!

- Vai jūs bijāt seržants?

- Jā, ser! – pacients braši atbildēja.

– Vai jūs bijāt izvietots Barbadosā?

- Tieši tā, doktora kungs!

Studenti, kas piedalījās šajā dialogā, izbrīnīti skatījās uz profesoru. Bells paskaidroja, cik vienkārši un loģiski bija viņa secinājumi.

Šis vīrietis, izrādījis pieklājību un pieklājību pie ieejas birojā, tomēr cepuri nenoņēma. Armijas ieradums darīja savu. Ja pacients būtu ilgu laiku bijis pensijā, viņš jau sen būtu iemācījies civilās manieres. Autoritatīvā pozā, pēc tautības viņš nepārprotami ir skots, un tas liecina par to, ka viņš bija komandieris. Kas attiecas uz uzturēšanos Barbadosā, tad apmeklētājs cieš no ziloņa (ziloņu slimības) - šāda slimība ir izplatīta šo vietu iedzīvotāju vidū.

Šeit deduktīvā spriešana ir ārkārtīgi saīsināta. Jo īpaši ir izlaisti visi vispārīgie apgalvojumi, bez kuriem atskaitīšana nebūtu iespējama.

Šerloks Holmss kļuva par ļoti populāru tēlu.Par viņu un viņa radītāju pat izskanēja joki.

Piemēram, Romā Konans Doils uzņem taksometra vadītāju, un viņš saka: “Ak, Doila kungs, es sveicu jūs pēc ceļojuma uz Konstantinopoli un Milānu!” "Kā jūs varējāt zināt, no kurienes es nācu?" – Konans Doils bija pārsteigts par Šerloka Holmsa ieskatu. "Saskaņā ar uzlīmēm uz jūsu kofera," kučieris viltīgi pasmaidīja.

Šis ir vēl viens atskaitījums, ļoti īss un vienkāršs.

Deduktīvā spriešana ir pamatotas pozīcijas atvasināšana no citiem, iepriekš pieņemtiem noteikumiem. Ja izvirzīto pozīciju var loģiski (deduktīvi) izsecināt no jau izveidotajiem noteikumiem, tas nozīmē, ka tas ir pieņemams tādā pašā mērā kā šie noteikumi. Dažu apgalvojumu attaisnošana, atsaucoties uz citu apgalvojumu patiesumu vai pieņemamību, nav vienīgā dedukcijas funkcija argumentācijas procesos. Deduktīvā spriešana kalpo arī apgalvojumu pārbaudei (netieši apstiprināšanai): no pārbaudītās pozīcijas deduktīvi tiek atvasinātas tās empīriskās sekas; šo seku apstiprinājums tiek vērtēts kā induktīvs arguments par labu sākotnējai pozīcijai. Deduktīvā spriešana tiek izmantota arī, lai viltotu apgalvojumus, parādot, ka to sekas ir nepatiesas. Neveiksmīga falsifikācija ir novājināta verifikācijas versija: pārbaudāmās hipotēzes empīrisko seku atspēkošana ir arguments, kaut arī ļoti vājš, šīs hipotēzes atbalstam. Visbeidzot, dedukciju izmanto, lai sistematizētu teoriju vai zināšanu sistēmu, izsekotu loģiskās sakarības, tajā ietvertos apgalvojumus un konstruētu skaidrojumus un izpratni, pamatojoties uz teorijas piedāvātajiem vispārīgajiem principiem. Teorijas loģiskās struktūras noskaidrošana, tās empīriskā pamata nostiprināšana un vispārīgo premisu noteikšana ir nozīmīgs ieguldījums tās apgalvojumu pamatošanā.

Deduktīvā argumentācija ir universāla, piemērojama visās zināšanu jomās un jebkurai auditorijai. "Un, ja svētlaime nav nekas cits kā mūžīgā dzīvība," raksta viduslaiku filozofs I. S. Eriugena, "un mūžīgā dzīvība ir patiesības atziņa, tad

Svētlaime nav nekas cits kā patiesības zināšanas. Šī teoloģiskā spriešana ir deduktīvā spriešana, proti, siloģisms.

Deduktīvās argumentācijas īpatsvars dažādās zināšanu jomās ir būtiski atšķirīgs. To ļoti plaši izmanto matemātikā un matemātiskajā fizikā un tikai reizēm vēsturē vai estētikā. Atsaucoties uz dedukcijas apjomu, Aristotelis rakstīja: "No oratora nevajadzētu prasīt zinātniskus pierādījumus, tāpat kā no matemātiķa nedrīkst prasīt emocionālu pārliecināšanu." Deduktīvā argumentācija ir ļoti spēcīgs instruments, un tāpat kā jebkurš šāds rīks ir jāizmanto šauri. Mēģinot izveidot deduktīvu argumentu jomās vai auditorijās, kas tam nav piemērotas, rodas virspusēja spriešana, kas var radīt tikai pārliecināšanas ilūziju.

Atkarībā no tā, cik plaši tiek izmantota deduktīvā argumentācija, visas zinātnes parasti iedala deduktīvajās un induktīvajās. Pirmajā deduktīvā argumentācija tiek izmantota galvenokārt vai pat ekskluzīvi. Otrkārt, šādai argumentācijai ir tikai acīmredzami palīgfunkcija, un pirmajā vietā ir empīriskā argumentācija, kurai ir induktīvs, varbūtības raksturs. Matemātika tiek uzskatīta par tipisku deduktīvu zinātni; dabaszinātnes ir induktīvo zinātņu piemērs. Taču šī gadsimta sākumā plaši izplatītais zinātņu dalījums deduktīvajās un induktīvajās šobrīd lielā mērā ir zaudējis savu nozīmi. Tā ir vērsta uz zinātni, kas tiek uzskatīta statiski kā uzticamu un galīgi noteiktu patiesību sistēma.

Dedukcijas jēdziens ir vispārīgs metodoloģisks jēdziens. Loģikā tas atbilst pierādījuma jēdzienam.

Pierādījums ir argumentācija, kas nosaka apgalvojuma patiesumu, atsaucoties uz citiem apgalvojumiem, par kuru patiesumu vairs nav šaubu.

Pierādījumā izšķir tēzi - apgalvojumu, kas jāpierāda, un pamatu jeb argumentus - tos apgalvojumus, ar kuru palīdzību tēze tiek pierādīta. Piemēram, apgalvojumu "Platīns vada elektrību" var pierādīt ar šādiem patiesiem apgalvojumiem: "Platīns ir metāls" un "Visi metāli vada elektrību".

Pierādījuma jēdziens ir viens no centrālajiem loģikas un matemātikas jēdzieniem, taču tam nav viennozīmīgas definīcijas, kas būtu piemērojama visos gadījumos un jebkurā zinātniskajā teorijā.

Loģika nepretendē pilnībā atklāt intuitīvo jeb "naivo" pierādījumu jēdzienu. Pierādījumi veido diezgan neskaidru pierādījumu kopumu, ko nevar aptvert ar vienu universālu definīciju. Loģikā ir pieņemts runāt nevis par pierādāmību kopumā, bet gan par pierādāmību noteiktas konkrētas sistēmas vai teorijas ietvaros. Tajā pašā laikā ir pieļaujama dažādu pierādījumu jēdzienu esamība, kas saistīti ar dažādām sistēmām. Piemēram, pierādījums intuīcijas loģikā un uz to balstītā matemātika būtiski atšķiras no pierādījuma klasiskajā loģikā un uz to balstītās matemātikas. Klasiskā pierādījumā jo īpaši var izmantot izslēgtā vidus likumu, dubultās noliegšanas (noņemšanas) likumu un vairākus citus loģiskus likumus, kuru intuīcijas loģikā nav.

Pamatojoties uz izmantoto metodi, pierādījumus iedala divos veidos. Ar tiešu pierādīšanu uzdevums ir atrast tik pārliecinošus argumentus, no kuriem loģiski izriet tēze. Netiešās liecības nosaka tēzes pamatotību, atklājot tai pretstatā pieņēmuma maldīgumu, antitēzi.

Piemēram, jums jāpierāda, ka četrstūra leņķu summa ir 360°. No kādiem apgalvojumiem varētu izrietēt šī tēze? Ņemiet vērā, ka diagonāle sadala četrstūri divos trīsstūros. Tas nozīmē, ka tā leņķu summa ir vienāda ar divu trīsstūru leņķu summu. Ir zināms, ka trijstūra leņķu summa ir 180°. No šiem noteikumiem mēs secinām, ka četrstūra leņķu summa ir 360°. Vēl viens piemērs. Ir jāpierāda, ka kosmosa kuģi pakļaujas kosmosa mehānikas likumiem. Ir zināms, ka šie likumi ir universāli: tiem pakļaujas visi ķermeņi jebkurā kosmosa punktā. Ir arī acīmredzams, ka kosmosa kuģis ir kosmisks ķermenis. Ņemot to vērā, mēs izveidojam atbilstošo deduktīvo secinājumu. Tas ir tiešs pierādījums attiecīgajam apgalvojumam.

Netiešajā pierādījumā argumentācija notiek apļveida veidā. Tā vietā, lai tieši meklētu argumentus, lai no tiem izsecinātu pierādāmo pozīciju, tiek formulēta šīs nostājas antitēze, noliegums. Tālāk vienā vai otrā veidā tiek parādīta antitēzes nekonsekvence. Saskaņā ar izslēgtā vidus likumu, ja viens no pretrunīgajiem apgalvojumiem ir nepatiess, otrajam ir jābūt patiesam. Antitēze ir nepatiesa, kas nozīmē, ka tēze ir patiesa.

Tā kā netiešie pierādījumi izmanto pierādāmā priekšlikuma noliegumu, tiek uzskatīts, ka tas ir pierādījums ar pretrunu.

Pieņemsim, ka mums ir jāveido netiešs šādas ļoti triviālas tēzes pierādījums: “Kvadrāts nav aplis”, Tiek izvirzīta antitēze: “Kvadrāts ir aplis”, Ir nepieciešams parādīt šī apgalvojuma nepatiesību. Šim nolūkam mēs no tā iegūstam sekas. Ja vismaz viens no tiem izrādīsies nepatiess, tas nozīmēs, ka arī pats apgalvojums, no kura izriet sekas, ir nepatiess. Īpaši nepatiess ir šāds secinājums: kvadrātam nav stūru. Tā kā antitēze ir nepatiesa, sākotnējai tēzei ir jābūt patiesai.

Vēl viens piemērs. Ārsts, pārliecinot pacientu, ka viņam nav gripas, strīdas šādi. Ja tiešām būtu gripa, būtu tai raksturīgi simptomi: galvassāpes, drudzis utt. Bet nekā tāda nav. Tas nozīmē, ka nav gripas.

Tas atkal ir netiešs pierādījums. Tēzes tieša pamatojuma vietā tiek izvirzīta antitēze, ka pacientam tiešām ir gripa. No antitēzes izriet sekas, taču tās atspēko objektīvi dati. Tas liecina, ka pieņēmums par gripu ir nepareizs. No tā izriet, ka tēze “Gripas nav” ir patiesa.

Pierādījumi ar pretrunīgumu ir izplatīti mūsu argumentācijā, īpaši argumentācijā. Prasmīgi lietojot, tie var būt īpaši pārliecinoši.

Pierādījuma jēdziena definīcija ietver divus galvenos loģikas jēdzienus: patiesības jēdzienu un loģisko seku jēdzienu. Abi šie jēdzieni nav skaidri, un tāpēc arī ar tiem definēto pierādījumu jēdzienu nevar klasificēt kā skaidru.

Daudzi apgalvojumi nav ne patiesi, ne nepatiesi, tie atrodas ārpus “patiesības kategorijas”, vērtējumiem, normām, padomiem, deklarācijām, zvērestiem, solījumiem utt. neaprakstiet nekādas situācijas, bet norādiet, kādām tām jābūt, kādā virzienā tās jāpārveido. Aprakstam ir jāatbilst realitātei. Veiksmīgu padomu (pasūtījumu utt.) raksturo kā efektīvu vai lietderīgu, bet ne kā patiesu. Apgalvojums "Ūdens vārās" ir patiess, ja ūdens patiešām vārās; komanda "Uzvāri ūdeni!" var būt lietderīgi, bet tam nav nekāda sakara ar patiesību. Acīmredzot, operējot ar izteicieniem, kuriem nav patiesības vērtības, var un vajag būt gan loģiski, gan demonstratīvi. Tādējādi rodas jautājums par būtisku pierādījumu jēdziena paplašināšanu, kas definēts patiesības izteiksmē. Tajā jāietver ne tikai apraksti, bet arī vērtējumi, normas utt. Pierādījumu pārdefinēšanas uzdevums vēl nav atrisināts ne ar aplēšu loģiku, ne ar deontisko (normatīvo) loģiku. Tādējādi pierādījumu jēdziens nav pilnībā skaidrs.

Turklāt nav vienota loģisko seku jēdziena. Principā ir bezgalīgs skaits loģisko sistēmu, kas pretendē uz šī jēdziena definīciju. Neviena no mūsdienu loģikā pieejamajām loģiskā likuma un loģisko seku definīcijām nav brīva no kritikas un no tā, ko parasti sauc par "loģisko seku paradoksiem".

Pierādījuma modelis, kam vienā vai otrā pakāpē cenšas sekot visas zinātnes, ir matemātisks pierādījums. Ilgu laiku tika uzskatīts, ka tas ir skaidrs un neapstrīdams process. Mūsu gadsimtā attieksme pret matemātisko pierādījumu ir mainījusies. Paši matemātiķi sadalījās naidīgās grupās, katrai no kurām ir sava pierādījumu interpretācija. Iemesls tam galvenokārt bija priekšstatu maiņa par pierādījuma pamatā esošajiem loģiskajiem principiem. Ir zudusi pārliecība par savu unikalitāti un nekļūdīgumu. Loģisms bija pārliecināts, ka ar loģiku pietiek, lai attaisnotu visu matemātiku; pēc formālistiem (D. Hilberts u.c.) ar loģiku vien tam nepietiek un loģiskās aksiomas jāpapildina ar matemātiskām; kopu teorētiskās kustības pārstāvji īpaši neinteresējās par loģiskiem principiem un ne vienmēr tos skaidri norādīja; Intuīcijas piekritēji principiālu apsvērumu dēļ uzskatīja par nepieciešamu loģikā vispār neiedziļināties. Strīdi par matemātisko pierādījumu ir parādījuši, ka nav tādu pierādīšanas kritēriju, kas nebūtu atkarīgi no laika, no tā, ko cenšas pierādīt, vai no tiem, kas kritērijus izmanto. Matemātiskais pierādījums vispār ir pierādījumu paradigma, taču pat matemātikā pierādījums nav absolūts un galīgs.