Skaitļu reizināšana un dalīšana ar pakāpēm. Noteikums jaudu reizināšanai ar dažādiem pamatiem
I. Pakāpju reizinājums ar vienādām bāzēm.
Divu pakāpju reizinājumu ar vienādu bāzi vienmēr var attēlot kā pakāpju ar bāzi x.
Pēc definīcijas x 7 ir septiņu faktoru reizinājums, no kuriem katrs ir vienāds ar x, un x 9 ir deviņu šādu faktoru reizinājums. Tāpēc x 7 x 9 ir vienāds ar koeficientu 7 + 9 reizinājumu. Katrs no tiem ir vienāds ar x, tas ir
x 7 x 9 = x 7+9 = x 16
Izrādās, ka, ja pakāpes a bāze ir patvaļīgs skaitlis, un m un n ir jebkuri naturāli skaitļi, tad vienādība ir patiesa:
a m a n = a m + n
Šī vienādība izsaka vienu no pakāpes īpašībām.
Divu pakāpju ar vienādu bāzi reizinājums ir vienāds ar pakāpju ar tādu pašu bāzi un eksponentu, kas vienāds ar šo pakāpju eksponentu summu.
Šī īpašība ir spēkā arī gadījumos, kad faktoru skaits ir lielāks par diviem.
Piemēram, trīs faktoru gadījumā mums ir:
a m a n a k = (a m a n)a k = a m+n a k = a m+n+k
Veicot transformācijas, ir ērti izmantot noteikumu: reizinot pakāpes ar vienādām bāzēm, bāzes tiek atstātas nemainīgas, un eksponenti tiek pievienoti.
Apsveriet piemērus.
1. piemērs
x 6 x 5 = x 6+5 = x 11
2. piemērs
a 7 a -8 = a -1
3. piemērs
6 1,7 6–0,9 = 6 1,7+(-0,9) = 6 1,7–0,9 = 6 0,8
II. Pakāpju koeficients ar vienādām bāzēm.
Divu pakāpju koeficientu ar vienādiem eksponentiem vienmēr var attēlot kā pakāpi ar vienu un to pašu bāzi.
Apsveriet piemērus.
1. piemērs. Koeficientu x 17: x 5 var attēlot kā pakāpju ar bāzi x:
x 17: x 5 = x 12,
jo pēc koeficienta definīcijas un, pamatojoties uz pakāpes īpašību x 5 x 12 \u003d x 17. Koeficienta eksponents (skaitlis 12) ir vienāds ar starpību starp dividendes un dalītāja eksponentiem (17 - 5):
x 17: x 5 = x 17-5
2. piemērs
8 16: 8 12 = 8 16-12 = 8 4
3. piemērs
a -8: a 6 = a -8-6 = a -14
4. piemērs
b 5: b -4 = b 5-(-4) = b 9
5. piemērs
9 1.5: 9 - 0.5 = 9 1.5 - (- 0.5) = 9 1.5 + 0.5 = 9 2
Veicot transformācijas, ir ērti izmantot noteikumu: sadalot pakāpju ar vienādām bāzēm, bāzes paliek nemainīgas, un dalītāja eksponents tiek atņemts no dividendes eksponenta.
6. piemērs
a 4: a 4 = a 4-4 = a 0
Izteiksmes a 0 vērtība jebkuram a ≠ 0 ir vienāda ar 1.
III. Paaugstināt grādu līdz spēkam.
Izteiksmes a 2 septīto pakāpi attēlo kā pakāpi ar bāzi a.
Pēc definīcijas pakāpe (a 2) 7 ir septiņu faktoru reizinājums, no kuriem katrs ir vienāds ar 2, tas ir
(a 2) 7 \u003d a 2 a 2 a 2 × a 2 a 2 a 2 a 2.
Piemērojot grāda īpašību, mēs iegūstam:
a 2 a 2 a 2 a 2 a 2 a 2 a 2 = a 2+2+2+2+2+2+2 = a 2 7 .
Izrādās, (a 2) 7 \u003d a 2 7 \u003d a 14.
Paaugstinot jaudu līdz pakāpei, bāze paliek nemainīga un eksponenti tiek reizināti:
(a m) n = a mn .
Apsveriet piemērus.
1. piemērs
(4 3) 4 = 4 3 4 = 4 12
2. piemērs
((-2) 2) 5 = (-2) 10 = 1024
blog.site, pilnībā vai daļēji kopējot materiālu, ir nepieciešama saite uz avotu.
Pēc skaitļa pakāpes noteikšanas ir loģiski runāt pakāpes īpašības. Šajā rakstā mēs sniegsim skaitļa pakāpes pamatīpašības, vienlaikus pieskaroties visiem iespējamiem eksponentiem. Šeit mēs sniegsim visu pakāpes īpašību pierādījumus, kā arī parādīsim, kā šīs īpašības tiek izmantotas, risinot piemērus.
Lapas navigācija.
Pakāpju īpašības ar naturālajiem rādītājiem
Pēc pakāpes definīcijas ar naturālo eksponentu a n pakāpe ir n faktoru reizinājums, no kuriem katrs ir vienāds ar a . Pamatojoties uz šo definīciju, un izmantojot reālo skaitļu reizināšanas īpašības, mēs varam iegūt un pamatot sekojošo pakāpes īpašības ar naturālo eksponentu:
- pakāpes galvenā īpašība a m ·a n =a m+n , tās vispārinājums ;
- parciālo pakāpju īpašība ar vienādām bāzēm a m:a n =a m−n ;
- produkta pakāpes īpašība (a b) n =a n b n , tās paplašinājums ;
- koeficients īpašums natūrā (a:b) n =a n:b n ;
- kāpināšana (a m) n =a m n , tās vispārinājums (((a n 1) n 2) ...) n k =a n 1 n 2 ... n k;
- grādu salīdzināšana ar nulli:
- ja a>0 , tad a n >0 jebkuram naturālam n ;
- ja a=0, tad a n=0;
- ja<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0, ja a<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
- ja a un b ir pozitīvi skaitļi un a
- ja m un n ir tādi naturāli skaitļi, ka m>n , tad pie 0
- ja m un n ir tādi naturāli skaitļi, ka m>n , tad pie 0
Mēs nekavējoties atzīmējam, ka visas rakstiskās vienādības ir identisks noteiktos apstākļos, un to labās un kreisās daļas var tikt nomainītas. Piemēram, galvenā īpašība daļai a m a n = a m + n ar izteicienu vienkāršošana bieži lieto formā a m+n = a m a n .
Tagad aplūkosim katru no tiem sīkāk.
Sāksim ar divu pakāpju ar vienādām bāzēm reizinājuma īpašību, ko sauc grāda galvenais īpašums: jebkuram reālam skaitlim a un jebkuriem naturāliem skaitļiem m un n vienādība a m ·a n =a m+n ir patiesa.
Pierādīsim grāda galveno īpašību. Pēc pakāpes definīcijas ar naturālo eksponentu pakāpju reizinājumu ar vienādām formas a m a n bāzēm var uzrakstīt kā reizinājumu. Pateicoties reizināšanas īpašībām, iegūto izteiksmi var uzrakstīt kā 
, un šis reizinājums ir a pakāpe ar naturālo eksponentu m+n , tas ir, a m+n . Tas pabeidz pierādījumu.
Sniegsim piemēru, kas apstiprina grāda galveno īpašību. Ņemsim grādus ar vienādām bāzēm 2 un naturālajām pakāpēm 2 un 3, atbilstoši pakāpes galvenajai īpašībai varam uzrakstīt vienādību 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . Pārbaudīsim tā derīgumu, kam mēs aprēķinām izteiksmju 2 2 · 2 3 un 2 5 vērtības. Veicot kāpināšanu, mēs esam 2 2 2 3 = (2 2) (2 2 2) = 4 8 = 32 un 2 5 =2 2 2 2 2=32, jo tiek iegūtas vienādas vērtības, tad vienādība 2 2 2 3 =2 5 ir pareiza, un tā apstiprina pakāpes galveno īpašību.
Pakāpes galveno īpašību, pamatojoties uz reizināšanas īpašībām, var vispārināt ar trīs vai vairāku grādu reizinājumu ar vienādām bāzēm un naturālajiem eksponentiem. Tātad jebkuram naturālu skaitļu skaitlim k n 1 , n 2 , …, n k vienādība a n 1 a n 2 a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.
Piemēram, (2,1) 3 (2,1) 3 (2,1) 4 (2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .
Jūs varat pāriet uz nākamo grādu īpašību ar dabisku indikatoru - daļēju pilnvaru īpašums ar vienādiem pamatiem: jebkuram reālam skaitlim, kas nav nulle, un patvaļīgiem naturāliem skaitļiem m un n, kas apmierina nosacījumu m>n , vienādība a m:a n =a m−n ir patiesa.
Pirms sniegt pierādījumus par šo īpašumu, pārrunāsim izziņas papildu nosacījumu nozīmi. Nosacījums a≠0 nepieciešams, lai izvairītos no dalīšanas ar nulli, jo 0 n =0, un, iepazīstoties ar dalīšanu, vienojāmies, ka ar nulli dalīt nav iespējams. Nosacījums m>n tiek ieviests, lai mēs netiktu tālāk par naturālajiem eksponentiem. Patiešām, m>n eksponentam a m-n ir naturāls skaitlis, pretējā gadījumā tas būs vai nu nulle (kas notiek m-n ), vai negatīvs skaitlis (kas notiek ar m Pierādījums. Daļas galvenā īpašība ļauj uzrakstīt vienādību a m−n a n =a (m−n)+n =a m. No iegūtās vienādības a m−n ·a n =a m un no tā izriet, ka m−n ir a m un a n pakāpju koeficients. Tas pierāda daļēju pilnvaru īpašību ar vienādām bāzēm. Ņemsim piemēru. Ņemsim divus grādus ar vienādām bāzēm π un naturālajiem eksponentiem 5 un 2, pakāpes aplūkotā īpašība atbilst vienādībai π 5: π 2 = π 5−3 = π 3. Tagad apsveriet produkta pakāpes īpašums: jebkuru divu reālu skaitļu a un b reizinājuma dabiskā pakāpe n ir vienāda ar pakāpju a n un b n reizinājumu, tas ir, (a b) n =a n b n . Patiešām, pēc pakāpes definīcijas ar naturālo eksponentu mums tā ir Šeit ir piemērs: Šī īpašība attiecas uz trīs vai vairāku faktoru reizinājuma pakāpi. Tas ir, k faktoru reizinājuma dabiskās jaudas īpašība n ir uzrakstīta kā (a 1 a 2 ... a k) n =a 1 n a 2 n ... a k n. Skaidrības labad mēs parādām šo īpašumu ar piemēru. Trīs faktoru reizinājumam ar pakāpju 7 mums ir . Nākamais īpašums ir dabas īpašums: reālo skaitļu a un b , b≠0 attiecība pret naturālo pakāpju n ir vienāda ar pakāpju a n un b n koeficientu, tas ir, (a:b) n =a n:b n . Pierādīšanu var veikt, izmantojot iepriekšējo īpašumu. Tātad (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, un vienādība (a:b) n b n =a n nozīmē, ka (a:b) n ir a n koeficients, kas dalīts ar b n . Uzrakstīsim šo rekvizītu, izmantojot konkrētu skaitļu piemēru: Tagad parunāsim paaugstināšanas īpašība: jebkuram reālam skaitlim a un jebkuriem naturāliem skaitļiem m un n pakāpē a m līdz pakāpei n ir vienāda ar a pakāpju ar eksponentu m·n , tas ir, (a m) n =a m·n . Piemēram, (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6 . Jaudas īpašības pakāpē pierādījums ir šāda vienādību ķēde: Aplūkoto īpašību var paplašināt līdz pakāpei pakāpes ietvaros un tā tālāk. Piemēram, jebkuriem naturāliem skaitļiem p, q, r un s, vienādība Atliek pakavēties pie pakāpju salīdzināšanas īpašībām ar dabisko eksponentu. Sāksim, pierādot nulles un pakāpes salīdzināšanas īpašību ar naturālo eksponentu. Vispirms pamatosim, ka a n >0 jebkuram a>0 . Divu pozitīvu skaitļu reizinājums ir pozitīvs skaitlis, kā izriet no reizināšanas definīcijas. Šis fakts un reizināšanas īpašības ļauj apgalvot, ka jebkura skaita pozitīvu skaitļu reizināšanas rezultāts arī būs pozitīvs skaitlis. Un a jauda ar naturālo eksponentu n pēc definīcijas ir n faktoru reizinājums, no kuriem katrs ir vienāds ar a. Šie argumenti ļauj mums apgalvot, ka jebkurai pozitīvai bāzei a n pakāpe ir pozitīvs skaitlis. Pamatojoties uz pierādīto īpašību 3 5 >0 , (0,00201) 2 >0 un Ir pilnīgi skaidrs, ka jebkuram naturālam n ar a=0 a n pakāpe ir nulle. Patiešām, 0 n =0·0·…·0=0. Piemēram, 0 3 = 0 un 0 762 = 0 . Pāriesim pie negatīvām bāzēm. Sāksim ar gadījumu, kad eksponents ir pāra skaitlis, apzīmē to kā 2 m , kur m ir naturāls skaitlis. Tad Visbeidzot, ja a bāze ir negatīvs skaitlis un eksponents ir nepāra skaitlis 2 m−1, tad Mēs pievēršamies īpašībai salīdzināt grādus ar tiem pašiem naturālajiem eksponentiem, kam ir šāds formulējums: no diviem grādiem ar vienādiem naturālajiem eksponentiem n ir mazāks par to, kura bāze ir mazāka, un vairāk par to, kuras bāze ir lielāka. Pierādīsim to. Nevienlīdzība a n nevienādību īpašības nevienādība tiek pierādīta formā a n (2,2) 7 un Atliek pierādīt pēdējo no uzskaitītajām pilnvaru īpašībām ar dabiskajiem eksponentiem. Formulēsim to. No diviem grādiem ar naturālajiem rādītājiem un vienādām pozitīvajām bāzēm, mazāk par vienu, grāds ir lielāks, kura rādītājs ir mazāks; un no diviem grādiem ar dabiskajiem rādītājiem un vienādām bāzēm, kas ir lielākas par vienu, pakāpe, kuras rādītājs ir lielāks, ir lielāks. Mēs vēršamies pie šī īpašuma pierādījuma. Pierādīsim, ka m>n un 0 Atliek pierādīt īpašuma otro daļu. Pierādīsim, ka m>n un a>1 gadījumā a m >a n ir patiess. Atšķirība a m −a n pēc n izņemšanas no iekavām iegūst formu a n ·(a m−n −1) . Šis reizinājums ir pozitīvs, jo a>1 a n pakāpe ir pozitīvs skaitlis, un starpība a m-n -1 ir pozitīvs skaitlis, jo m-n>0 sākotnējā nosacījuma dēļ, un a>1, a m-n pakāpe ir lielāka par vienu. Tāpēc a m − a n >0 un a m >a n , kas bija jāpierāda. Šo īpašību ilustrē nevienādība 3 7 >3 2 .
. Pēdējo reizinājumu, pamatojoties uz reizināšanas īpašībām, var pārrakstīt kā 
, kas ir vienāds ar a n b n .
.
.
.
. Lai iegūtu lielāku skaidrību, šeit ir piemērs ar konkrētiem skaitļiem: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10
.
.
. Katram no formas a·a reizinājumiem ir vienāds ar skaitļu a un a moduļu reizinājumu, tāpēc ir pozitīvs skaitlis. Tāpēc arī produkts būs pozitīvs. 
un grāds a 2 m . Šeit ir piemēri: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 un .
. Visi reizinājumi a·a ir pozitīvi skaitļi, šo pozitīvo skaitļu reizinājums arī ir pozitīvs, un to reizinot ar atlikušo negatīvo skaitli a iegūst negatīvu skaitli. Sakarā ar šo īpašību (−5) 3<0
, (−0,003) 17 <0
и 
.
.
Pakāpju īpašības ar veseliem eksponentiem
Tā kā pozitīvi veseli skaitļi ir naturāli skaitļi, tad visas pakāpju īpašības ar pozitīviem veseliem skaitļiem precīzi sakrīt ar pakāpēm ar naturālajiem eksponentiem, kas uzskaitītas un pierādītas iepriekšējā punktā.
Mēs definējām pakāpi ar negatīvu veselu eksponentu, kā arī pakāpi ar nulles eksponentu, lai visas pakāpes īpašības ar naturālajiem eksponentiem, kas izteiktas ar vienādībām, paliktu spēkā. Tāpēc visas šīs īpašības ir spēkā gan nulles eksponentiem, gan negatīviem eksponentiem, savukārt, protams, grādu bāzes nav nulles.
Tātad jebkuriem reāliem un nulles skaitļiem a un b, kā arī jebkuriem veseliem skaitļiem m un n ir taisnība grādu īpašības ar veseliem eksponentiem:
- a m a n \u003d a m + n;
- a m: a n = a m−n ;
- (a b) n = a n b n ;
- (a:b) n =a n:b n ;
- (a m) n = a m n ;
- ja n ir pozitīvs vesels skaitlis, a un b ir pozitīvi skaitļi, un a b-n;
- ja m un n ir veseli skaitļi un m>n , tad pie 0
Ja a=0, pakāpēm a m un a n ir jēga tikai tad, ja gan m, gan n ir pozitīvi veseli skaitļi, tas ir, naturāli skaitļi. Tātad tikko uzrakstītās īpašības ir spēkā arī gadījumos, kad a=0 un skaitļi m un n ir pozitīvi veseli skaitļi.
Nav grūti pierādīt katru no šīm īpašībām, šim nolūkam pietiek izmantot pakāpes definīcijas ar naturālu un veselu eksponentu, kā arī darbību īpašības ar reāliem skaitļiem. Piemēram, pierādīsim, ka jaudas īpašība attiecas gan uz pozitīviem veseliem skaitļiem, gan uz nepozitīviem veseliem skaitļiem. Lai to izdarītu, mums jāparāda, ka, ja p ir nulle vai naturāls skaitlis un q ir nulle vai naturāls skaitlis, tad vienādības (a p) q =a p q , (a − p) q =a (−p) q , (a p ) −q =a p (−q) un (a-p)-q =a (-p) (-q). Darīsim to.
Pozitīvajiem p un q vienādība (a p) q =a p·q tika pierādīta iepriekšējā apakšnodaļā. Ja p=0, tad mums ir (a 0) q =1 q =1 un a 0 q =a 0 =1, no kurienes (a 0) q =a 0 q. Līdzīgi, ja q=0, tad (a p) 0 =1 un a p 0 =a 0 =1, no kurienes (a p) 0 =a p 0 . Ja gan p=0, gan q=0, tad (a 0) 0 =1 0 =1 un a 0 0 =a 0 =1, no kurienes (a 0) 0 =a 0 0 .
Tagad pierādīsim, ka (a −p) q =a (−p) q . Pēc pakāpes definīcijas ar negatīvu veselu eksponentu , tad 
. Pēc koeficienta īpašības pakāpē mums ir 
. Tā kā 1 p =1·1·…·1=1 un , tad . Pēdējā izteiksme pēc definīcijas ir formas a −(p q) pakāpe, kuru, pamatojoties uz reizināšanas noteikumiem, var uzrakstīt kā (−p) q .
Līdzīgi 
.
UN 
.
Ar to pašu principu visas pārējās pakāpes īpašības var pierādīt ar veselu eksponentu, kas uzrakstīts vienādību formā.
Ierakstīto īpašību priekšpēdējā ir vērts pakavēties pie nevienādības a −n >b −n pierādījuma, kas ir patiess jebkuram negatīvam veselam skaitlim −n un jebkuram pozitīvam a un b, kuram nosacījums a . Tā kā ar nosacījumu a 0 . Produkts a n ·b n ir pozitīvs arī kā pozitīvo skaitļu a n un b n reizinājums. Tad iegūtā daļa ir pozitīva kā pozitīvo skaitļu b n − a n un a n b n koeficients. Tātad, no kurienes a −n >b −n , kas bija jāpierāda.
Pēdējā pakāpju īpašība ar veseliem eksponentiem tiek pierādīta tāpat kā analoģiskā pakāpju īpašība ar naturālajiem eksponentiem.
Pakāpju īpašības ar racionāliem eksponentiem
Mēs definējām pakāpi ar daļēju eksponentu, paplašinot pakāpes īpašības ar veselu eksponentu. Citiem vārdiem sakot, grādiem ar daļskaitļiem ir tādas pašas īpašības kā grādiem ar veseliem eksponentiem. Proti:
Pakāpju īpašību pierādījums ar daļskaitļa eksponentiem balstās uz pakāpes definīciju ar daļskaitli, uz un uz pakāpes īpašībām ar veselu eksponentu. Sniegsim pierādījumus.
Pēc pakāpes definīcijas ar daļēju eksponentu un , tad 
. Aritmētiskās saknes īpašības ļauj uzrakstīt šādas vienādības. Turklāt, izmantojot pakāpes īpašību ar veselu eksponentu, mēs iegūstam , no kurienes, izmantojot pakāpes definīciju ar daļēju eksponentu, mēs iegūstam 
, un iegūtās pakāpes eksponentu var pārvērst šādi: . Tas pabeidz pierādījumu.
Otrā pakāpju īpašība ar daļējiem eksponentiem tiek pierādīta tieši tādā pašā veidā: 
Pārējās vienādības tiek pierādītas ar līdzīgiem principiem: 
Pievēršamies nākamā īpašuma pierādījumam. Pierādīsim, ka jebkuram pozitīvam a un b , a b p . Racionālo skaitli p rakstām kā m/n , kur m ir vesels skaitlis un n ir naturāls skaitlis. Nosacījumi lpp<0 и p>0 šajā gadījumā būs līdzvērtīgs nosacījumiem m<0 и m>0 attiecīgi. Ja m>0 un a
Tāpat par m<0 имеем a m >b m , no kurienes , tas ir, un a p >b p .
Atliek pierādīt pēdējo no uzskaitītajiem īpašumiem. Pierādīsim, ka racionāliem skaitļiem p un q , p>q pie 0 
Un 
. Un pakāpes definīcija ar racionālu eksponentu ļauj pāriet uz nevienādībām un attiecīgi. No tā mēs izdarām galīgo secinājumu: p>q un 0
Pakāpju īpašības ar iracionāliem eksponentiem
No tā, kā tiek definēts grāds ar iracionālu eksponentu, var secināt, ka tam piemīt visas pakāpes ar racionālajiem eksponentiem īpašības. Tātad jebkuram a>0 , b>0 un iracionālajiem skaitļiem p un q ir taisnība grādu īpašības ar iracionāliem eksponentiem:
- a p a q = a p + q ;
- a p:a q = a p−q ;
- (a b) p = a p b p ;
- (a:b) p =a p:b p ;
- (a p) q = a p q ;
- jebkuriem pozitīviem skaitļiem a un b , a 0 nevienlīdzība a p b p ;
- neracionāliem skaitļiem p un q , p>q pie 0
No tā mēs varam secināt, ka pakāpēm ar jebkuriem reāliem eksponentiem p un q pie a>0 ir vienādas īpašības.
Bibliogrāfija.
- Viļenkins N.J., Žohovs V.I., Česnokovs A.S., Švartsbērda S.I. Matemātikas Zh mācību grāmata 5 šūnām. izglītības iestādēm.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: mācību grāmata 7 šūnām. izglītības iestādēm.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: mācību grāmata 8 šūnām. izglītības iestādēm.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: mācību grāmata 9 šūnām. izglītības iestādēm.
- Kolmogorovs A.N., Abramovs A.M., Dudņicins Ju.P. un citi.Algebra un analīzes sākums: mācību grāmata vispārējās izglītības iestāžu 10.-11.klasei.
- Gusevs V.A., Mordkovičs A.G. Matemātika (rokasgrāmata tehnikumu pretendentiem).
Pakāpju saskaitīšana un atņemšana
Acīmredzot skaitļus ar pakāpēm var pievienot tāpat kā citus lielumus , pievienojot tos pa vienam ar to zīmēm.
Tātad a 3 un b 2 summa ir a 3 + b 2 .
A 3 - b n un h 5 - d 4 summa ir a 3 - b n + h 5 - d 4.
Likmes vienādas pilnvaras tiem pašiem mainīgajiem var pievienot vai atņemt.
Tātad 2a 2 un 3a 2 summa ir vienāda ar 5a 2 .
Ir arī skaidrs, ka, ja mēs ņemam divus kvadrātus a, trīs kvadrātus a vai piecus kvadrātus a.
Bet grādi dažādi mainīgie Un dažādas pakāpes identiski mainīgie, jāpievieno, pievienojot tos to zīmēm.
Tātad 2 un 3 summa ir 2 + a 3 summa.
Ir skaidrs, ka a kvadrāts un a kubs nav ne divreiz lielāks par a kvadrātu, bet gan divreiz lielāks par a kubu.
A 3 b n un 3a 5 b 6 summa ir a 3 b n + 3a 5 b 6 .
Atņemšana pilnvaras tiek veiktas tāpat kā pievienošana, izņemot to, ka attiecīgi jāmaina apakšdaļas zīmes.
Vai:
2a 4 — (-6a 4) = 8a 4
3h 2b 6 - 4h 2b 6 \u003d -h 2b 6
5(a-h) 6-2(a-h) 6 = 3(a-h) 6
Jaudas reizināšana
Skaitļus ar pakāpēm var reizināt tāpat kā citus lielumus, ierakstot tos vienu pēc otra, ar vai bez reizināšanas zīmes starp tiem.
Tātad rezultāts, reizinot a 3 ar b 2, ir a 3 b 2 vai aaabb.
Vai:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 g
Rezultātu pēdējā piemērā var sakārtot, pievienojot tos pašus mainīgos.
Izteiksmei būs šāda forma: a 5 b 5 y 3 .
Salīdzinot vairākus skaitļus (mainīgos) ar pakāpēm, mēs varam redzēt, ka, ja kādus divus no tiem reizina, tad rezultāts ir skaitlis (mainīgais) ar jaudu, kas vienāda ar summa terminu pakāpes.
Tātad a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Šeit 5 ir reizināšanas rezultāta pakāpe, kas vienāda ar 2 + 3, terminu pakāpju summa.
Tātad a n .a m = a m+n .
Ja a n , a tiek ņemts par koeficientu tik reižu, cik ir n jauda;
Un a m , tiek ņemts par koeficientu tik reižu, cik grāds m ir vienāds ar;
Tāpēc, pilnvaras ar vienādām bāzēm var reizināt, saskaitot eksponentus.
Tātad a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Un x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
Vai:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
Reiziniet (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Atbilde: x 4 - y 4.
Reiziniet (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Šis noteikums attiecas arī uz skaitļiem, kuru eksponenti ir − negatīvs.
1. Tātad a -2 .a -3 = a -5 . To var uzrakstīt kā (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.
2. y-n .y-m = y-n-m .
3. a -n .a m = a m-n .
Ja a + b reizina ar a - b, rezultāts būs a 2 - b 2: tas ir
Rezultāts, reizinot divu skaitļu summu vai starpību, ir vienāds ar to kvadrātu summu vai starpību.
Ja divu skaitļu summa un starpība, kas izvirzīta līdz kvadrāts, rezultāts būs vienāds ar šo skaitļu summu vai starpību ceturtais grāds.
Tātad (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .
Pilnvaru sadale
Skaitļus ar pakāpēm var dalīt tāpat kā citus skaitļus, atņemot no dalītāja vai ievietojot tos daļskaitļa formā.
Tātad a 3 b 2 dalīts ar b 2 ir 3 .
Rakstot 5, dalītu ar 3, izskatās kā $\frac $. Bet tas ir vienāds ar 2. Ciparu virknē
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
jebkuru skaitli var dalīt ar citu, un eksponents būs vienāds ar atšķirība dalāmo skaitļu rādītāji.
Sadalot pakāpes ar vienu un to pašu bāzi, to eksponenti tiek atņemti..
Tātad, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Tas ir, $\frac = y$.
Un a n+1:a = a n+1-1 = a n . Tas ir, $\frac = a^n$.
Vai:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3
Noteikums ir spēkā arī cipariem ar negatīvs grādu vērtības.
Rezultāts, dalot -5 ar -3, ir -2.
Tāpat $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 vai $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$
Ir ļoti labi jāapgūst spēku reizināšana un dalīšana, jo šādas darbības algebrā tiek izmantotas ļoti plaši.
Piemēri piemēru risināšanai ar daļskaitļiem, kas satur skaitļus ar pakāpēm
1. Samaziniet eksponentus $\frac $ Atbilde: $\frac $.
2. Samaziniet eksponentus $\frac$. Atbilde: $\frac $ vai 2x.
3. Samaziniet eksponentus a 2 / a 3 un a -3 / a -4 un izveidojiet kopsaucēju.
a 2 .a -4 ir -2 pirmais skaitītājs.
a 3 .a -3 ir 0 = 1, otrais skaitītājs.
a 3 .a -4 ir -1 , kopējais skaitītājs.
Pēc vienkāršošanas: a -2 /a -1 un 1/a -1 .
4. Samaziniet eksponentus 2a 4 /5a 3 un 2 /a 4 un izveidojiet kopsaucēju.
Atbilde: 2a 3 / 5a 7 un 5a 5 / 5a 7 vai 2a 3 / 5a 2 un 5/5a 2.
5. Reiziniet (a 3 + b)/b 4 ar (a - b)/3.
6. Reiziniet (a 5 + 1)/x 2 ar (b 2 - 1)/(x + a).
7. Reiziniet b 4 /a -2 ar h -3 /x un a n /y -3 .
8. Sadaliet 4 /y 3 ar 3 /y 2 . Atbilde: a/g.
pakāpes īpašības
Atgādinām, ka šajā nodarbībā mēs saprotam pakāpes īpašības ar dabiskajiem rādītājiem un nulli. Pakāpes ar racionāliem rādītājiem un to īpašības tiks apspriestas mācību stundās 8. klasei.
Eksponentam ar dabisko eksponentu ir vairākas svarīgas īpašības, kas ļauj vienkāršot aprēķinus eksponenta piemēros.
Īpašums Nr. 1
Spēku produkts
Reizinot pakāpes ar to pašu bāzi, bāze paliek nemainīga, un eksponenti tiek pievienoti.
a m a n \u003d a m + n, kur "a" ir jebkurš skaitlis, un "m", "n" ir jebkuri naturāli skaitļi.
Šī spēku īpašība ietekmē arī trīs vai vairāku spēku reizinājumu.
- Vienkāršojiet izteiksmi.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15 - Klāt kā grādu.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17 - Klāt kā grādu.
(0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15 - Uzrakstiet koeficientu kā pakāpju
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2 - Aprēķināt.
Lūdzu, ņemiet vērā, ka norādītajā īpašumā runa bija tikai par spēku reizināšanu ar vienādām bāzēm.. Tas neattiecas uz to pievienošanu.
Jūs nevarat aizstāt summu (3 3 + 3 2) ar 3 5. Tas ir saprotams, ja
aprēķināt (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 un 3 5 = 243
Īpašums #2
Privātie grādi
Dalot pakāpes ar vienu un to pašu bāzi, bāze paliek nemainīga, un dalītāja eksponents tiek atņemts no dividendes eksponenta.
11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Piemērs. Atrisiniet vienādojumu. Mēs izmantojam daļēju grādu īpašību.
3 8: t = 3 4
Atbilde: t = 3 4 = 81
Izmantojot rekvizītus Nr. 1 un Nr. 2, varat viegli vienkāršot izteiksmes un veikt aprēķinus.
Piemērs. Vienkāršojiet izteiksmi.
4 5 m + 6 4 m + 2: 4 4 m + 3 = 4 5 m + 6 + m + 2: 4 4 m + 3 = 4 6 m + 8 − 4 m − 3 = 4 2 m + 5
Piemērs. Atrodiet izteiksmes vērtību, izmantojot pakāpes īpašības.
2 11 − 5 = 2 6 = 64
Lūdzu, ņemiet vērā, ka 2. īpašums aplūkoja tikai pilnvaru sadali ar tiem pašiem pamatiem.
Jūs nevarat aizstāt starpību (4 3–4 2) ar 4 1. Tas ir saprotams, ja jūs aprēķināt (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 un 4 1 = 4
Īpašums Nr. 3
Paaugstināšana
Paaugstinot pakāpju pakāpē, jaudas bāze paliek nemainīga, un eksponenti tiek reizināti.
(a n) m \u003d a n m, kur "a" ir jebkurš skaitlis, un "m", "n" ir jebkuri naturāli skaitļi.
Atgādinām, ka koeficientu var attēlot kā daļskaitli. Tāpēc nākamajā lapā sīkāk pakavēsimies pie tēmas par daļskaitļa paaugstināšanu pakāpē.
Kā reizināt spēkus
Kā reizināt spēkus? Kuras pilnvaras var reizināt un kuras nevar? Kā reizināt skaitli ar pakāpju?
Algebrā spēku reizinājumu var atrast divos gadījumos:
1) ja grādiem ir vienāds pamats;
2) ja grādiem ir vienādi rādītāji.
Reizinot pakāpes ar vienu un to pašu bāzi, bāzei jāpaliek nemainīgai un jāpievieno eksponenti:
Reizinot grādus ar tiem pašiem rādītājiem, kopējo rādītāju var izņemt iekavās:
Apsveriet, kā reizināt pilnvaras, izmantojot konkrētus piemērus.
Mērvienība eksponentā nav rakstīta, bet, reizinot grādus, tie ņem vērā:
Reizinot, grādu skaits var būt jebkurš. Jāatceras, ka reizināšanas zīmi nevar rakstīt pirms burta:
Izteiksmēs vispirms tiek veikta eksponēšana.
Ja jums ir jāreizina skaitlis ar pakāpju, vispirms jāveic eksponēšana un tikai pēc tam - reizināšana:
Jaudas reizināšana ar to pašu bāzi
Šī video apmācība ir pieejama abonējot
Vai jums jau ir abonements? Lai ienāktu
Šajā nodarbībā mēs uzzināsim, kā reizināt spēkus ar to pašu bāzi. Pirmkārt, mēs atgādinām pakāpes definīciju un formulējam teorēmu par vienlīdzības derīgumu . Tad mēs sniedzam piemērus tā pielietojumam konkrētiem skaitļiem un pierāda to. Teorēmu izmantosim arī dažādu uzdevumu risināšanai.
Tēma: Grāds ar dabas indikatoru un tā īpašībām
Nodarbība: spēku reizināšana ar vienādām bāzēm (formula)
1. Pamatdefinīcijas
Pamatdefinīcijas:
n- eksponents,
— n-skaitļa pakāpe.
2. 1. teorēmas apgalvojums
1. teorēma. Jebkuram numuram A un jebkura dabiska n Un k vienlīdzība ir patiesa:
Citiem vārdiem sakot: ja A- jebkurš skaitlis; n Un k naturālie skaitļi, tad:
Tāpēc 1. noteikums:
3. Uzdevumu skaidrošana
Secinājums:īpaši gadījumi apstiprināja teorēmas Nr.1 pareizību. Pierādīsim to vispārējā gadījumā, tas ir, jebkuram A un jebkura dabiska n Un k.
4. 1. teorēmas pierādījums
Dots skaitlis A- jebkura; cipariem n Un k- dabisks. Pierādīt:
Pierādījums ir balstīts uz grāda definīciju.
5. Piemēru risinājums, izmantojot 1. teorēmu
1. piemērs: Klāt kā grādu.
Lai atrisinātu šādus piemērus, mēs izmantojam 1. teorēmu.
un) 
6. 1. teorēmas vispārinājums
Šeit ir vispārinājums:
7. Piemēru risinājums, izmantojot 1. teorēmas vispārinājumu
8. Dažādu uzdevumu risināšana, izmantojot 1. teorēmu
2. piemērs: Aprēķināt (varat izmantot pamata grādu tabulu).
A) 
(pēc tabulas)
b) 
3. piemērs: Rakstiet kā jaudu ar 2. bāzi.
A) 
4. piemērs: Nosakiet skaitļa zīmi:
, A - negatīvs, jo eksponents pie -13 ir nepāra.
5. piemērs: Nomainiet ( ) ar jaudu ar pamatni r:
Mums ir, tas ir.
9. Rezumējot
1. Dorofejevs G.V., Suvorova S.B., Bunimovičs E.A. et al., Algebra 7. 6. izdevums. M.: Apgaismība. 2010. gads
1. Skolas palīgs (Avots).
1. Izteikt kā grādu:
a B C D E) 
3. Ierakstiet kā pakāpju ar 2. bāzi:
4. Nosakiet skaitļa zīmi:
A) 
5. Aizstāt ( ) ar skaitļa pakāpju ar bāzi r:
a) r 4 ( ) = r 15 ; b) ( ) r 5 = r 6
Pakāpju reizināšana un dalīšana ar vienādiem eksponentiem
Šajā nodarbībā mēs pētīsim pakāpju reizināšanu ar tiem pašiem eksponentiem. Vispirms atcerēsimies pamata definīcijas un teorēmas par pakāpju reizināšanu un dalīšanu ar vienādām bāzēm un jaudas palielināšanu pakāpē. Pēc tam formulējam un pierādām teorēmas par pakāpju reizināšanu un dalīšanu ar vienādiem eksponentiem. Un tad ar viņu palīdzību mēs atrisināsim vairākas tipiskas problēmas.
Atgādinājums par pamata definīcijām un teorēmām
Šeit a- grāda bāze
— n-skaitļa pakāpe.
1. teorēma. Jebkuram numuram A un jebkura dabiska n Un k vienlīdzība ir patiesa:
Reizinot pakāpes ar to pašu bāzi, tiek saskaitīti eksponenti, bāze paliek nemainīga.
2. teorēma. Jebkuram numuram A un jebkura dabiska n Un k, tāds, ka n > k vienlīdzība ir patiesa:
Sadalot pakāpes ar vienu un to pašu bāzi, eksponenti tiek atņemti, un bāze paliek nemainīga.
3. teorēma. Jebkuram numuram A un jebkura dabiska n Un k vienlīdzība ir patiesa:
Visas iepriekš minētās teorēmas bija par pilnvarām ar vienādām pamatojums, šajā nodarbībā tiks aplūkoti grādi ar to pašu rādītājiem.
Piemēri pakāpju reizināšanai ar vienādiem eksponentiem
Apsveriet šādus piemērus:
Izrakstīsim izteiksmes pakāpes noteikšanai.
Secinājums: No piemēriem to var redzēt 
, bet tas vēl ir jāpierāda. Mēs formulējam teorēmu un pierādām to vispārējā gadījumā, tas ir, jebkuram A Un b un jebkura dabiska n.
4. teorēmas apgalvojums un pierādījums
Par jebkuriem cipariem A Un b un jebkura dabiska n vienlīdzība ir patiesa:
Pierādījums 4. teorēma .
Pēc grāda definīcijas:
Tātad mēs to esam pierādījuši .
Lai reizinātu jaudas ar vienu un to pašu eksponentu, pietiek reizināt bāzes un atstāt eksponentu nemainīgu.
5. teorēmas apgalvojums un pierādījums
Mēs formulējam teorēmu pakāpju dalīšanai ar vienādiem eksponentiem.
Jebkuram numuram A Un b() un jebkura dabiska n vienlīdzība ir patiesa:
Pierādījums 5. teorēma .
Pierakstīsim un pēc pakāpes definīcijas:
Teorēmu formulējums vārdos
Tātad mēs to esam pierādījuši.
Lai sadalītu grādus ar vienādiem eksponentiem savā starpā, pietiek sadalīt vienu bāzi ar otru un atstāt eksponentu nemainīgu.
Tipisku problēmu risinājums, izmantojot 4. teorēmu
1. piemērs: Izpausties kā spēku produkts.
Lai atrisinātu šādus piemērus, mēs izmantojam 4. teorēmu.
Lai atrisinātu šādu piemēru, atcerieties formulas:
4. teorēmas vispārinājums
4. teorēmas vispārinājums:
Piemēru risināšana, izmantojot vispārinātu 4. teorēmu
Turpināja risināt tipiskas problēmas
2. piemērs: Rakstiet kā produkta pakāpi.
3. piemērs: Rakstiet kā pakāpju ar eksponentu 2.
Aprēķinu piemēri
4. piemērs: Aprēķiniet visracionālākajā veidā.
2. Merzļaks A.G., Polonskis V.B., Jakirs M.S. Algebra 7. M.: VENTANA-GRAF
3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. un citi Algebra 7 .M .: Izglītība. 2006. gads
2. Skolas palīgs (Avots).
1. Prezentēt kā spēku reizinājumu:
A) ; b) ; V) ; G) ;
2. Pierakstiet kā produkta pakāpi:
3. Uzrakstiet pakāpes formā ar rādītāju 2:
4. Rēķini visracionālākajā veidā.
Matemātikas stunda par tēmu "Varu reizināšana un dalīšana"
Sadaļas: Matemātika
Pedagoģiskais mērķis:
Uzdevumi:
Mācības darbības vienības: pakāpes noteikšana ar dabisko rādītāju; pakāpes sastāvdaļas; privātā definīcija; reizināšanas asociatīvais likums.
I. Studentu esošo zināšanu apguves demonstrācijas organizēšana. (1. darbība)
a) Zināšanu atjaunināšana:
2) Noformulēt pakāpes definīciju ar naturālo rādītāju.
a n \u003d a a a a ... a (n reizes)
b k \u003d b b b a ... b (k reizes) Pamato savu atbildi.
II. Praktikanta pašnovērtējuma organizēšana pēc attiecīgas pieredzes pakāpes. (2. darbība)
Pārbaude pašpārbaudei: (individuālais darbs divās versijās.)
A1) Izsakiet reizinājumu 7 7 7 7 x x x kā jaudu:
A2) Izsakiet kā reizinājumu grādu (-3) 3 x 2
A3) Aprēķiniet: -2 3 2 + 4 5 3
Uzdevumu skaitu ieskaitē izvēlos atbilstoši klases līmeņa sagatavotībai.
Pārbaudei es dodu atslēgu pašpārbaudei. Kritēriji: izturēts-nesekmīgs.
III. Izglītojošs un praktisks uzdevums (3.solis) + 4.solis (skolēni paši formulēs īpašības)
1) un 2) uzdevumu risināšanas gaitā skolēni piedāvā risinājumu, un es kā skolotājs organizēju stundu, lai atrastu veidu, kā vienkāršot pilnvaras, reizinot ar vienādām bāzēm.
Skolotājs: izdomājiet veidu, kā vienkāršot pilnvaras, reizinot ar vienu un to pašu bāzi.
Klasterī tiek parādīts ieraksts:
Nodarbības tēma ir formulēta. Pilnvaru reizināšana.
Skolotājs: izdomājiet noteikumu, kā sadalīt grādus ar vienādām bāzēm.
Pamatojums: kāda darbība pārbauda sadalīšanu? a 5: a 3 = ? ka a 2 a 3 = a 5
Atgriežos pie shēmas - klastera un papildinu ierakstu - ..dalot atņem un pievieno nodarbības tēmu. ...un grādu sadalījums.
IV. Saziņa ar studentiem par zināšanu robežām (kā minimums un kā maksimums).
Skolotājs: šodienas nodarbības minimuma uzdevums ir iemācīties pielietot pakāpju reizināšanas un dalīšanas īpašības ar vienādām bāzēm un maksimumu: kopā pielietot reizināšanu un dalīšanu.
Uzrakstiet uz tāfeles : a m a n = a m + n ; a m: a n = a m-n
V. Jauna materiāla izpētes organizācija. (5. darbība)
a) Pēc mācību grāmatas: Nr.403 (a, c, e) uzdevumi ar dažādu formulējumu
Nr.404 (a, e, f) patstāvīgais darbs, tad organizēju savstarpējo pārbaudi, atslēgas iedodu.
b) Uz kādu m vērtību attiecas vienādība? a 16 a m \u003d a 32; x h x 14 = x 28; x 8 (*) = x 14
Uzdevums: izdomājiet līdzīgus sadalīšanas piemērus.
c) Nr. 417(a), Nr. 418 (a) Lamatas skolēniem: x 3 x n \u003d x 3n; 3 4 3 2 = 9 6; a 16: a 8 \u003d a 2.
VI. Apgūtā apkopošana, diagnostiskā darba veikšana (kas mudina šo tēmu apgūt skolēnus, nevis skolotājus) (6.solis)
diagnostikas darbs.
Pārbaude(novietojiet taustiņus testa aizmugurē).
Uzdevuma iespējas: uzrādīt kā grādu koeficientu x 15: x 3; kā jaudu attēlo reizinājumu (-4) 2 (-4) 5 (-4) 7 ; kurai m ir vienādība a 16 a m = a 32 patiesa; atrodiet izteiksmes vērtību h 0: h 2 ar h = 0,2; aprēķiniet izteiksmes vērtību (5 2 5 0) : 5 2 .
Nodarbības kopsavilkums. Atspulgs. Es sadalu klasi divās grupās.
Atrodiet I grupas argumentus: par labu grāda īpašību zināšanām, bet II grupa - argumentus, kas teiks, ka var iztikt bez īpašībām. Mēs uzklausām visas atbildes, izdarām secinājumus. Nākamajās nodarbībās varat piedāvāt statistikas datus un nosaukt rubriku “Tas neiederas manā galvā!”
VII. Mājasdarbs.
Vēsturiska atsauce. Kādus skaitļus sauc par Fermā skaitļiem.
P.19. #403, #408, #417
Lietotas grāmatas:
Pakāpju īpašības, formulējumi, pierādījumi, piemēri.
Pēc skaitļa pakāpes noteikšanas ir loģiski runāt pakāpes īpašības. Šajā rakstā mēs sniegsim skaitļa pakāpes pamatīpašības, vienlaikus pieskaroties visiem iespējamiem eksponentiem. Šeit mēs sniegsim visu pakāpes īpašību pierādījumus, kā arī parādīsim, kā šīs īpašības tiek izmantotas, risinot piemērus.
Lapas navigācija.
Pakāpju īpašības ar naturālajiem rādītājiem
Pēc pakāpes definīcijas ar naturālo eksponentu a n pakāpe ir n faktoru reizinājums, no kuriem katrs ir vienāds ar a . Pamatojoties uz šo definīciju, un izmantojot reālo skaitļu reizināšanas īpašības, mēs varam iegūt un pamatot sekojošo pakāpes īpašības ar naturālo eksponentu:
- ja a>0 , tad a n >0 jebkuram naturālam n ;
- ja a=0, tad a n=0;
- ja a 2 m >0 , ja a 2 m−1 n ;
- ja m un n ir tādi naturāli skaitļi, ka m>n , tad 0m n un a>0 nevienādība a m >a n ir patiesa.
- a m a n \u003d a m + n;
- a m: a n = a m−n ;
- (a b) n = a n b n ;
- (a:b) n =a n:b n ;
- (a m) n = a m n ;
- ja n ir pozitīvs vesels skaitlis, a un b ir pozitīvi skaitļi, un a n n un a−n>b−n ;
- ja m un n ir veseli skaitļi un m>n , tad 0m n un a>1 nevienādība a m >a n ir izpildīta.
Mēs nekavējoties atzīmējam, ka visas rakstiskās vienādības ir identisks noteiktos apstākļos, un to labās un kreisās daļas var tikt nomainītas. Piemēram, galvenā īpašība daļai a m a n = a m + n ar izteicienu vienkāršošana bieži lieto formā a m+n = a m a n .
Tagad aplūkosim katru no tiem sīkāk.
Sāksim ar divu pakāpju ar vienādām bāzēm reizinājuma īpašību, ko sauc grāda galvenais īpašums: jebkuram reālam skaitlim a un jebkuriem naturāliem skaitļiem m un n vienādība a m ·a n =a m+n ir patiesa.
Pierādīsim grāda galveno īpašību. Pēc pakāpes definīcijas ar naturālo eksponentu pakāpju reizinājumu ar vienādām formas a m a n bāzēm var uzrakstīt kā reizinājumu. 
. Pateicoties reizināšanas īpašībām, iegūto izteiksmi var uzrakstīt kā 
, un šis reizinājums ir a pakāpe ar naturālo eksponentu m+n , tas ir, a m+n . Tas pabeidz pierādījumu.
Sniegsim piemēru, kas apstiprina grāda galveno īpašību. Ņemsim grādus ar vienādām bāzēm 2 un naturālajām pakāpēm 2 un 3, atbilstoši pakāpes galvenajai īpašībai varam uzrakstīt vienādību 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . Pārbaudīsim tā derīgumu, kam mēs aprēķinām izteiksmju 2 2 · 2 3 un 2 5 vērtības. Veicot eksponenci, mums ir 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2)=4 8=32 un 2 5 =2 2 2 2 2=32, jo mēs iegūstam vienādas vērtības, tad vienādība 2 2 2 3 = 2 5 ir patiess, un tas apstiprina grāda galveno īpašību.
Pakāpes galveno īpašību, pamatojoties uz reizināšanas īpašībām, var vispārināt ar trīs vai vairāku grādu reizinājumu ar vienādām bāzēm un naturālajiem eksponentiem. Tātad jebkuram naturālu skaitļu n 1 , n 2 , …, n k skaitlim k vienādība a n 1 a n 2 a n k =a n 1 +n 2 +…+n k ir patiesa.
Piemēram, (2.1) 3 (2.1) 3 (2.1) 4 (2.1) 7 = (2.1) 3+3+4+7 =(2.1) 17 .
Jūs varat pāriet uz nākamo grādu īpašību ar dabisku indikatoru - daļēju pilnvaru īpašums ar vienādiem pamatiem: jebkuram reālam skaitlim, kas nav nulle, un patvaļīgiem naturāliem skaitļiem m un n, kas apmierina nosacījumu m>n , vienādība a m:a n =a m−n ir patiesa.
Pirms sniegt pierādījumus par šo īpašumu, pārrunāsim izziņas papildu nosacījumu nozīmi. Nosacījums a≠0 nepieciešams, lai izvairītos no dalīšanas ar nulli, jo 0 n =0, un, iepazīstoties ar dalīšanu, vienojāmies, ka ar nulli dalīt nav iespējams. Nosacījums m>n tiek ieviests, lai mēs netiktu tālāk par naturālajiem eksponentiem. Patiešām, m>n eksponents a m-n ir naturāls skaitlis, pretējā gadījumā tas būs vai nu nulle (kas notiek, kad m-n) vai negatīvs skaitlis (kas notiek, kad m m-n a n =a (m-n) + n = a m No iegūtās vienādības a m−n a n = a m un no reizināšanas attiecības ar dalīšanu izriet, ka a m−n ir a m un a n parciālais pakāpums Tas pierāda parciālo pakāpju īpašību ar vienādām bāzēm.
Ņemsim piemēru. Ņemsim divus grādus ar vienādām bāzēm π un naturālajiem eksponentiem 5 un 2, pakāpes aplūkotā īpašība atbilst vienādībai π 5: π 2 = π 5−3 = π 3.
Tagad apsveriet produkta pakāpes īpašums: jebkuru divu reālu skaitļu a un b reizinājuma dabiskā pakāpe n ir vienāda ar pakāpju a n un b n reizinājumu, tas ir, (a b) n =a n b n .
Patiešām, pēc pakāpes definīcijas ar naturālo eksponentu mums tā ir 
. Pēdējo reizinājumu, pamatojoties uz reizināšanas īpašībām, var pārrakstīt kā 
, kas ir vienāds ar a n b n .
Šeit ir piemērs: 
.
Šī īpašība attiecas uz trīs vai vairāku faktoru reizinājuma pakāpi. Tas ir, k faktoru reizinājuma dabiskās pakāpes īpašība n ir uzrakstīta kā (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n .
Skaidrības labad mēs parādām šo īpašumu ar piemēru. Trīs faktoru reizinājumam ar pakāpju 7 mums ir .
Nākamais īpašums ir dabas īpašums: reālo skaitļu a un b , b≠0 attiecība pret naturālo pakāpju n ir vienāda ar pakāpju a n un b n koeficientu, tas ir, (a:b) n =a n:b n .
Pierādīšanu var veikt, izmantojot iepriekšējo īpašumu. Tātad (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, un no vienādības (a:b) n b n =a n izriet, ka (a:b) n ir a n un b n koeficients.
Uzrakstīsim šo rekvizītu, izmantojot konkrētu skaitļu piemēru: 
.
Tagad parunāsim paaugstināšanas īpašība: jebkuram reālam skaitlim a un jebkuriem naturāliem skaitļiem m un n pakāpē a m līdz pakāpei n ir vienāda ar a pakāpju ar eksponentu m·n , tas ir, (a m) n =a m·n .
Piemēram, (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6 .
Jaudas īpašības pakāpē pierādījums ir šāda vienādību ķēde: .
Aplūkoto īpašību var paplašināt līdz pakāpei pakāpes ietvaros un tā tālāk. Piemēram, jebkuriem naturāliem skaitļiem p, q, r un s, vienādība 
. Lielākai skaidrībai sniegsim piemēru ar konkrētiem skaitļiem: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .
Atliek pakavēties pie pakāpju salīdzināšanas īpašībām ar dabisko eksponentu.
Sāksim, pierādot nulles un pakāpes salīdzināšanas īpašību ar naturālo eksponentu.
Vispirms pamatosim, ka a n >0 jebkuram a>0 .
Divu pozitīvu skaitļu reizinājums ir pozitīvs skaitlis, kā izriet no reizināšanas definīcijas. Šis fakts un reizināšanas īpašības ļauj apgalvot, ka jebkura skaita pozitīvu skaitļu reizināšanas rezultāts arī būs pozitīvs skaitlis. Un a jauda ar naturālo eksponentu n pēc definīcijas ir n faktoru reizinājums, no kuriem katrs ir vienāds ar a. Šie argumenti ļauj mums apgalvot, ka jebkurai pozitīvai bāzei a n pakāpe ir pozitīvs skaitlis. Pamatojoties uz pierādīto īpašību 3 5 >0 , (0,00201) 2 >0 un 
.
Ir pilnīgi skaidrs, ka jebkuram naturālam n ar a=0 a n pakāpe ir nulle. Patiešām, 0 n =0·0·…·0=0. Piemēram, 0 3 = 0 un 0 762 = 0 .
Pāriesim pie negatīvām bāzēm.
Sāksim ar gadījumu, kad eksponents ir pāra skaitlis, apzīmē to kā 2 m , kur m ir naturāls skaitlis. Tad . Saskaņā ar negatīvo skaitļu reizināšanas likumu katrs no formas a a reizinājums ir vienāds ar skaitļu a un a moduļu reizinājumu, kas nozīmē, ka tas ir pozitīvs skaitlis. Tāpēc arī produkts būs pozitīvs. 
un grāds a 2 m . Šeit ir piemēri: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 un .
Visbeidzot, ja a bāze ir negatīvs skaitlis un eksponents ir nepāra skaitlis 2 m−1, tad . Visi reizinājumi a·a ir pozitīvi skaitļi, šo pozitīvo skaitļu reizinājums arī ir pozitīvs, un to reizinot ar atlikušo negatīvo skaitli a iegūst negatīvu skaitli. Pateicoties šai īpašībai, (−5) 3 17 n n ir n patieso nevienādību a kreiso un labo daļu reizinājums. nevienādību īpašības, pierādāmā nevienādība ir a n n formā. Piemēram, šīs īpašības dēļ nevienādības 3 7 7 un 
.
Atliek pierādīt pēdējo no uzskaitītajām pilnvaru īpašībām ar dabiskajiem eksponentiem. Formulēsim to. No diviem grādiem ar naturālajiem rādītājiem un vienādām pozitīvajām bāzēm, mazāk par vienu, grāds ir lielāks, kura rādītājs ir mazāks; un no diviem grādiem ar dabiskajiem rādītājiem un vienādām bāzēm, kas ir lielākas par vienu, pakāpe, kuras rādītājs ir lielāks, ir lielāks. Mēs vēršamies pie šī īpašuma pierādījuma.
Pierādīsim, ka m>n un 0m n . Lai to izdarītu, mēs ierakstām starpību a m − a n un salīdzinām to ar nulli. Rakstītā atšķirība pēc n izņemšanas no iekavām būs a n ·(a m−n −1) . Iegūtais reizinājums ir negatīvs kā pozitīva skaitļa a n un negatīva skaitļa a m−n −1 reizinājums (a n ir pozitīvs kā pozitīva skaitļa naturāls pakāpiens, un starpība a m−n −1 ir negatīva, jo m−n >0 sākotnējā nosacījuma m>n dēļ, no kā izriet, ka 0m−n tas ir mazāks par vienu). Tāpēc a m − a n m n , kas bija jāpierāda. Piemēram, mēs sniedzam pareizo nevienlīdzību.
Atliek pierādīt īpašuma otro daļu. Pierādīsim, ka m>n un a>1 gadījumā a m >a n ir patiess. Atšķirība a m −a n pēc n izņemšanas no iekavām iegūst formu a n ·(a m−n −1) . Šis reizinājums ir pozitīvs, jo a>1 a n pakāpe ir pozitīvs skaitlis, un starpība a m-n -1 ir pozitīvs skaitlis, jo m-n>0 sākotnējā nosacījuma dēļ, un a>1, a m-n pakāpe ir lielāka par vienu. Tāpēc a m − a n >0 un a m >a n , kas bija jāpierāda. Šo īpašību ilustrē nevienādība 3 7 >3 2 .
Pakāpju īpašības ar veseliem eksponentiem
Tā kā pozitīvi veseli skaitļi ir naturāli skaitļi, tad visas pakāpju īpašības ar pozitīviem veseliem skaitļiem precīzi sakrīt ar pakāpēm ar naturālajiem eksponentiem, kas uzskaitītas un pierādītas iepriekšējā punktā.
Mēs definējām grādu ar negatīvu veselu eksponentu, kā arī pakāpi ar nulles eksponentu, lai visas pakāpes īpašības ar naturālajiem eksponentiem, kas izteiktas ar vienādībām, paliktu spēkā. Tāpēc visas šīs īpašības ir spēkā gan nulles eksponentiem, gan negatīviem eksponentiem, savukārt, protams, grādu bāzes nav nulles.
Tātad jebkuriem reāliem un nulles skaitļiem a un b, kā arī jebkuriem veseliem skaitļiem m un n ir taisnība grādu īpašības ar veseliem eksponentiem:
Ja a=0, pakāpēm a m un a n ir jēga tikai tad, ja gan m, gan n ir pozitīvi veseli skaitļi, tas ir, naturāli skaitļi. Tātad tikko uzrakstītās īpašības ir spēkā arī gadījumos, kad a=0 un skaitļi m un n ir pozitīvi veseli skaitļi.
Nav grūti pierādīt katru no šīm īpašībām, šim nolūkam pietiek izmantot pakāpes definīcijas ar naturālu un veselu eksponentu, kā arī darbību īpašības ar reāliem skaitļiem. Piemēram, pierādīsim, ka jaudas īpašība attiecas gan uz pozitīviem veseliem skaitļiem, gan uz nepozitīviem veseliem skaitļiem. Lai to izdarītu, mums jāparāda, ka, ja p ir nulle vai naturāls skaitlis un q ir nulle vai naturāls skaitlis, tad vienādības (a p) q =a p q , (a − p) q =a (−p) q , (a p ) −q =a p (−q) un (a −p) −q =a (−p) (−q) . Darīsim to.
Pozitīvajiem p un q vienādība (a p) q =a p·q tika pierādīta iepriekšējā apakšnodaļā. Ja p=0, tad mums ir (a 0) q =1 q =1 un a 0 q =a 0 =1, no kurienes (a 0) q =a 0 q. Līdzīgi, ja q=0, tad (a p) 0 =1 un a p 0 =a 0 =1, no kurienes (a p) 0 =a p 0 . Ja gan p=0, gan q=0, tad (a 0) 0 =1 0 =1 un a 0 0 =a 0 =1, no kurienes (a 0) 0 =a 0 0 .
Tagad pierādīsim, ka (a −p) q =a (−p) q . Pēc pakāpes definīcijas ar negatīvu veselu eksponentu , tad 
. Pēc koeficienta īpašības pakāpē mums ir 
. Tā kā 1 p =1·1·…·1=1 un , tad . Pēdējā izteiksme pēc definīcijas ir formas a −(p q) pakāpe, kuru, pamatojoties uz reizināšanas noteikumiem, var uzrakstīt kā (−p) q .
Līdzīgi .
UN .
Ar to pašu principu visas pārējās pakāpes īpašības var pierādīt ar veselu eksponentu, kas uzrakstīts vienādību formā.
Ierakstīto īpašību priekšpēdējā ir vērts pakavēties pie nevienādības a −n >b −n pierādījuma, kas ir patiess jebkuram negatīvam veselam skaitlim −n un jebkuram pozitīvam a un b, kuram nosacījums a . Mēs rakstām un pārveidojam atšķirību starp šīs nevienlīdzības kreiso un labo daļu: 
. Tā kā ar nosacījumu a n n , tāpēc b n − a n >0 . Produkts a n ·b n ir pozitīvs arī kā pozitīvo skaitļu a n un b n reizinājums. Tad iegūtā daļa ir pozitīva kā pozitīvo skaitļu b n − a n un a n b n koeficients. Tātad, no kurienes a −n >b −n , kas bija jāpierāda.
Pēdējā pakāpju īpašība ar veseliem eksponentiem tiek pierādīta tāpat kā analoģiskā pakāpju īpašība ar naturālajiem eksponentiem.
Pakāpju īpašības ar racionāliem eksponentiem
Mēs definējām pakāpi ar daļēju eksponentu, paplašinot pakāpes īpašības ar veselu eksponentu. Citiem vārdiem sakot, grādiem ar daļskaitļiem ir tādas pašas īpašības kā grādiem ar veseliem eksponentiem. Proti:
- īpašība pilnvaru reizinājumam ar tādu pašu bāzi
ja a>0 , un ja un , tad a≥0 ; - daļēju pilnvaru īpašums ar vienādiem pamatiem
ja a>0; - frakcionēta produkta īpašība
ja a>0 un b>0 , un ja un , tad a≥0 un (vai) b≥0 ; - koeficienta īpašība daļējai pakāpei
ja a>0 un b>0 , un ja , tad a≥0 un b>0 ; - pakāpes īpašums pakāpē
ja a>0 , un ja un , tad a≥0 ; - pakāpju salīdzināšanas īpašība ar vienādiem racionālajiem eksponentiem: jebkuriem pozitīviem skaitļiem a un b, a 0 ir spēkā nevienādība a p p, un p p > b p ;
- pakāpju salīdzināšanas īpašība ar racionālajiem eksponentiem un vienādām bāzēm: racionālajiem skaitļiem p un q p>q 0p q un a>0 nevienādība a p >a q .
- a p a q = a p + q ;
- a p:a q = a p−q ;
- (a b) p = a p b p ;
- (a:b) p =a p:b p ;
- (a p) q = a p q ;
- jebkuriem pozitīviem skaitļiem a un b , a 0 ir spēkā nevienādība a p p, un p p > b p ;
- neracionāliem skaitļiem p un q , p>q pie 0p q , un a>0 nevienādība a p >a q .
Pakāpju īpašību pierādījums ar daļskaitļa eksponentiem balstās uz pakāpes definīciju ar daļskaitli, uz n-tās pakāpes aritmētiskās saknes īpašībām un uz pakāpes īpašībām ar veselu eksponentu. Sniegsim pierādījumus.
Pēc pakāpes definīcijas ar daļēju eksponentu un , tad . Aritmētiskās saknes īpašības ļauj uzrakstīt šādas vienādības. Turklāt, izmantojot pakāpes īpašību ar veselu eksponentu, mēs iegūstam , no kurienes, izmantojot pakāpes definīciju ar daļēju eksponentu, mēs iegūstam 
, un iegūtās pakāpes eksponentu var pārvērst šādi: . Tas pabeidz pierādījumu.
Otrā pakāpju īpašība ar daļējiem eksponentiem tiek pierādīta tieši tādā pašā veidā:
Pārējās vienādības tiek pierādītas ar līdzīgiem principiem:
Pievēršamies nākamā īpašuma pierādījumam. Pierādīsim, ka jebkuram pozitīvam a un b , a 0 ir spēkā nevienādība a p p, un p p > b p . Racionālo skaitli p rakstām kā m/n , kur m ir vesels skaitlis un n ir naturāls skaitlis. Nosacījumi p 0 šajā gadījumā būs attiecīgi līdzvērtīgi nosacījumiem m 0. Ja m>0 un am m . No šīs nevienādības pēc sakņu īpašības mums ir , un, tā kā a un b ir pozitīvi skaitļi, tad, pamatojoties uz pakāpes definīciju ar daļēju eksponentu, iegūto nevienādību var pārrakstīt kā , tas ir, a p p .
Līdzīgi, kad m m >b m , no kurienes , tas ir, un a p > b p .
Atliek pierādīt pēdējo no uzskaitītajiem īpašumiem. Pierādīsim, ka racionālajiem skaitļiem p un q , p>q pie 0p q , un a>0 nevienādība a p >a q . Racionālos skaitļus p un q vienmēr varam reducēt līdz kopsaucējam, iegūsim parastās daļskaitļus un , kur m 1 un m 2 ir veseli skaitļi, bet n ir naturāls skaitlis. Šajā gadījumā nosacījums p>q atbildīs nosacījumam m 1 >m 2, kas izriet no parasto daļskaitļu ar vienādiem saucējiem salīdzināšanas noteikuma. Tad pēc pakāpju salīdzināšanas ar vienādām bāzēm un naturālajiem eksponentiem 0m 1 m 2 un a>1 nevienādība a m 1 >a m 2 . Šīs nevienlīdzības sakņu īpašību ziņā var pārrakstīt attiecīgi kā 
Un 
. Un pakāpes definīcija ar racionālu eksponentu ļauj pāriet uz nevienādībām un attiecīgi. No šejienes mēs izdarām galīgo secinājumu: p>q un 0p q un a>0 nevienādība a p >a q .
Pakāpju īpašības ar iracionāliem eksponentiem
No tā, kā tiek definēts grāds ar iracionālu eksponentu, mēs varam secināt, ka tam ir visas pakāpes īpašības ar racionāliem eksponentiem. Tātad jebkuram a>0 , b>0 un iracionālajiem skaitļiem p un q ir taisnība grādu īpašības ar iracionāliem eksponentiem:
No tā mēs varam secināt, ka pakāpēm ar jebkuriem reāliem eksponentiem p un q pie a>0 ir vienādas īpašības.
- Algebra - 10. klase. Trigonometriskie vienādojumi Nodarbība un prezentācija par tēmu: "Vienkāršāko trigonometrisko vienādojumu risinājums" Papildu materiāli Cienījamie lietotāji, neaizmirstiet atstāt savus komentārus, atsauksmes, ieteikumus! Visi materiāli […]
- Atklāts konkurss uz amatu "PĀRDEVĒJS - KONSULTANTS": Pienākumi: mobilo tālruņu un mobilo sakaru pakalpojumu aksesuāru tirdzniecība Beeline, Tele2, MTS abonentiem Beeline un Tele2 tarifu plānu un pakalpojumu pieslēgšana, MTS konsultācijas […]
- Paralēlskaldnis ar formulu Paralēlskaldnis ir daudzskaldnis ar 6 skaldnēm, no kurām katra ir paralelograms. Kuboīds ir stacionārs, kura katra seja ir taisnstūris. Jebkuru paralēlskaldni raksturo 3 […]
- Pieņemt likumu par ģimenes viensētu Pieņemt federālo likumu par zemes gabala bezatlīdzības piešķiršanu katram Krievijas Federācijas pilsonim vai pilsoņu ģimenei, kas vēlas tajā iekārtot Ģimenes viensētu ar šādiem nosacījumiem: 1. Zeme ir atvēlēts […]
- Patērētāju tiesību aizsardzības biedrība Astana Lai mūsu vietnē saņemtu PIN kodu, lai piekļūtu šim dokumentam, nosūtiet SMS ar tekstu zan uz numuru GSM operatoru abonenti (Activ, Kcell, Beeline, NEO, Tele2) nosūtot SMS uz numuru, […]
- BRjanskas REĢIONA GOSTEKHNADZORAS PĀRBAUDE Valsts nodevas samaksas kvīts (lejupielāde-12,2 kb) Reģistrācijas pieteikumi fiziskām personām (Lejupielādēt-12 kb) Reģistrācijas pieteikumi juridiskām personām (Lejupielādēt-11,4 kb) 1. Reģistrējot jaunu automašīnu : 1.pieteikums 2.pase […]
- Н UN НН RAKSTĪBA DAŽĀDĀS RUNAS DAĻĀS 2. Nosauc šo noteikumu izņēmumus. 3. Kā atšķirt verbālo īpašības vārdu ar galotni -n- no divdabja ar […]
- Pivoevs V.M. Zinātnes filozofija un metodoloģija: mācību grāmata maģistrantiem un maģistrantiem Petrozavodska: PetrSU izdevniecība, 2013. - 320 lpp. ISBN 978-5-821-1647-0 PDF 3 mb […]
Pēdējā video pamācībā mēs uzzinājām, ka noteiktas bāzes pakāpe ir izteiksme, kas ir bāzes un pašas reizinājums, kas ņemts daudzumā, kas vienāds ar eksponentu. Tagad izpētīsim dažas no svarīgākajām spēku īpašībām un darbības.
Piemēram, sareizināsim divas dažādas jaudas ar vienu un to pašu bāzi:
Apskatīsim šo gabalu kopumā:
(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32
Aprēķinot šīs izteiksmes vērtību, mēs iegūsim skaitli 32. No otras puses, kā redzams no šī paša piemēra, 32 var attēlot kā vienas bāzes (divu) reizinājumu, ņemot 5 reizes. Un patiešām, ja jūs rēķināties, tad:
Tādējādi var droši secināt, ka:
(2) 3 * (2) 2 = (2) 5
Šis noteikums veiksmīgi darbojas jebkuram indikatoram un jebkuram pamatojumam. Šī pakāpes reizināšanas īpašība izriet no izteicienu nozīmes saglabāšanas noteikuma produktā pārveidojot. Jebkurai bāzei a divu izteiksmju (a) x un (a) y reizinājums ir vienāds ar a (x + y). Citiem vārdiem sakot, veidojot izteiksmes ar vienu un to pašu bāzi, galīgajam monomam ir kopējā pakāpe, kas veidojas, saskaitot pirmās un otrās izteiksmes pakāpi.
Iesniegtais noteikums lieliski darbojas arī, reizinot vairākas izteiksmes. Galvenais nosacījums ir, lai pamati visiem būtu vienādi. Piemēram:
(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8
Nav iespējams pievienot grādus un vispār veikt jebkādas spēka kopīgas darbības ar diviem izteiksmes elementiem, ja to pamati ir atšķirīgi.
Kā liecina mūsu video, reizināšanas un dalīšanas procesu līdzības dēļ jaudas pievienošanas noteikumi produkta laikā ir lieliski pārnesti uz dalīšanas procedūru. Apsveriet šo piemēru:
Veiksim izteiksmes pārveidošanu pilnā formā un reducēsim tos pašus elementus dividendē un dalītājā:
(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4
Šī piemēra gala rezultāts nav tik interesants, jo jau tā risināšanas gaitā ir skaidrs, ka izteiksmes vērtība ir vienāda ar kvadrātu divi. Un tas ir divskaitlis, ko iegūst, atņemot otrās izteiksmes pakāpi no pirmās pakāpes.
Lai noteiktu koeficienta pakāpi, no dividendes pakāpes ir jāatņem dalītāja pakāpe. Noteikums darbojas ar vienādu pamatu visām tā vērtībām un visiem dabiskajiem spēkiem. Abstraktā veidā mums ir:
(a) x / (a) y = (a) x - y
Nulles pakāpes definīcija izriet no noteikuma par identisku bāzu sadalīšanu ar pakāpēm. Acīmredzot šāda izteiksme ir:
(a) x / (a) x \u003d (a) (x - x) \u003d (a) 0
No otras puses, ja mēs sadalām vizuālā veidā, mēs iegūstam:
(a) 2 / (a) 2 = (a) (a) / (a) (a) = 1
Samazinot visus redzamos daļas elementus, vienmēr tiek iegūta izteiksme 1/1, tas ir, viens. Tāpēc ir vispāratzīts, ka jebkura bāze, kas paaugstināta līdz nullei, ir vienāda ar vienu:
Neatkarīgi no a vērtības.
Tomēr būtu absurdi, ja 0 (kas joprojām dod 0 jebkurai reizināšanai) kaut kādā veidā ir vienāds ar vienu, tāpēc tādai izteiksmei kā (0) 0 (nulle līdz nullei) vienkārši nav jēgas, un formulai (a) 0 \u003d 1 pievienojiet nosacījumu: "ja a nav vienāds ar 0".
Izpildīsim vingrojumu. Noskaidrosim izteiksmes vērtību:
(34) 7 * (34) 4 / (34) 11
Tā kā bāze visur ir vienāda un vienāda ar 34, galīgajai vērtībai būs tāda pati bāze ar pakāpi (saskaņā ar iepriekš minētajiem noteikumiem):
Citiem vārdiem sakot:
(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1
Atbilde: izteiksme ir vienāda ar vienu.
Izteiksmes, izteiksmju konvertēšana
Spēka izteiksmes (izteiksmes ar pilnvarām) un to transformācija
Šajā rakstā mēs runāsim par izteiksmju pārveidošanu ar pilnvarām. Pirmkārt, mēs pievērsīsimies transformācijām, kas tiek veiktas ar jebkāda veida izteiksmēm, tostarp jaudas izteiksmēm, piemēram, atverot iekavas, samazinot līdzīgus terminus. Un tad mēs analizēsim transformācijas, kas īpaši raksturīgas izteiksmēm ar pakāpēm: strādājot ar bāzi un eksponentu, izmantojot grādu īpašības utt.
Lapas navigācija.
Kas ir spēka izteiksmes?
Termins "spēka izteiksmes" praktiski nav atrodams skolu matemātikas mācību grāmatās, bet tas bieži parādās uzdevumu krājumos, kas īpaši paredzēti, lai sagatavotos, piemēram, vienotajam valsts eksāmenam un OGE. Izanalizējot uzdevumus, kuros jāveic jebkādas darbības ar spēka izteiksmēm, kļūst skaidrs, ka spēka izteiksmes tiek saprastas kā izteiksmes, kuru ierakstos ir pakāpes. Tāpēc jūs varat izmantot šādu definīciju:
Definīcija.
Spēka izpausmes ir izteicieni, kas satur pilnvaras.
Atvedīsim spēka izteiksmes piemēri. Turklāt mēs tos attēlosim atbilstoši tam, kā notiek uzskatu attīstība no pakāpes ar dabisku rādītāju līdz pakāpei ar reālu rādītāju.
Kā zināms, vispirms iepazīstas ar skaitļa pakāpi ar naturālo eksponentu, šajā posmā pirmās vienkāršākās pakāpju izteiksmes tipam 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0,1 ) 4 , 3 a 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 utt.
Nedaudz vēlāk tiek pētīta skaitļa pakāpe ar veselu eksponentu, kā rezultātā parādās pakāpes izteiksmes ar negatīvu veselu skaitļu pakāpēm, piemēram: 3 −2, 
, a −2 +2 b −3 + c 2 .
Vecākajās klasēs atkal atgriežas pie grādiem. Tur tiek ieviesta pakāpe ar racionālu eksponentu, kas noved pie atbilstošo jaudas izteiksmju parādīšanās: 
, , 
un tā tālāk. Visbeidzot tiek aplūkoti grādi ar iracionāliem eksponentiem un tos saturošas izteiksmes: , .
Lieta neaprobežojas tikai ar uzskaitītajām pakāpju izteiksmēm: tālāk mainīgais iekļūst eksponentā, un ir, piemēram, tādas izteiksmes 2 x 2 +1 vai 
. Un pēc iepazīšanās sāk parādīties izteiksmes ar pakāpēm un logaritmiem, piemēram, x 2 lgx −5 x lgx.
Tātad, mēs izdomājām jautājumu par to, kas ir spēka izteiksmes. Tālāk mēs uzzināsim, kā tos pārveidot.
Galvenie spēka izteiksmju transformāciju veidi
Izmantojot spēka izteiksmes, jūs varat veikt jebkuru no izteiksmju pamata identitātes pārveidojumiem. Piemēram, varat atvērt iekavas, aizstāt skaitliskās izteiksmes ar to vērtībām, pievienot līdzīgus terminus un tā tālāk. Protams, šajā gadījumā ir jāievēro pieņemtā darbību veikšanas kārtība. Sniegsim piemērus.
Piemērs.
Aprēķināt jaudas izteiksmes vērtību 2 3 ·(4 2 −12) .
Risinājums.
Atbilstoši darbību secībai mēs vispirms veicam darbības iekavās. Tur, pirmkārt, 4 2 jaudu aizstājam ar tā vērtību 16 (ja nepieciešams, skat.), otrkārt, aprēķinām starpību 16−12=4 . Mums ir 2 3 (4 2–12) = 2 3 (16–12) = 2 34.
Iegūtajā izteiksmē 2 3 jaudu aizstājam ar tā vērtību 8 , pēc kuras aprēķinām reizinājumu 8·4=32 . Šī ir vēlamā vērtība.
Tātad, 2 3 (4 2 -12) = 2 3 (16 - 12) = 2 3 4 = 8 4 = 32.
Atbilde:
2 3 (4 2–12) = 32 .
Piemērs.
Vienkāršojiet spēka izteiksmes 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.
Risinājums.
Acīmredzot šī izteiksme satur līdzīgus terminus 3 · a 4 · b − 7 un 2 · a 4 · b − 7 , un mēs varam tos samazināt: .
Atbilde:
3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.
Piemērs.
Izsakiet izteiksmi ar pilnvarām kā produktu.
Risinājums.
Lai tiktu galā ar uzdevumu, var attēlot skaitli 9 kā pakāpju 3 2 un pēc tam izmantot saīsināto reizināšanas formulu, kvadrātu starpību: 
Atbilde:
Ir arī vairākas identiskas transformācijas, kas raksturīgas spēka izteiksmēm. Tālāk mēs tos analizēsim.
Darbs ar bāzi un eksponentu
Ir grādi, kuru pamatā un/vai rādītājā nav tikai skaitļi vai mainīgie, bet gan dažas izteiksmes. Kā piemēru rakstīsim (2+0.3 7) 5−3.7 un (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) .
Strādājot ar šādām izteiksmēm, ir iespējams aizstāt gan izteiksmi pakāpes bāzē, gan izteiksmi rādītājā ar identiski vienādu izteiksmi tās mainīgo DPV. Citiem vārdiem sakot, saskaņā ar mums zināmajiem noteikumiem mēs varam atsevišķi konvertēt grāda bāzi un atsevišķi - rādītāju. Ir skaidrs, ka šīs transformācijas rezultātā tiek iegūta izteiksme, kas ir identiski vienāda ar sākotnējo.
Šādas transformācijas ļauj mums vienkāršot izteicienus ar spēku vai sasniegt citus mums nepieciešamos mērķus. Piemēram, augstāk minētajā pakāpju izteiksmē (2+0.3 7) 5−3.7 var veikt darbības ar skaitļiem bāzē un eksponentā, kas ļaus pāriet uz pakāpju 4.1 1.3. Un pēc iekavas atvēršanas un līdzīgu terminu ievietošanas pakāpes bāzē (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) iegūstam vienkāršākas formas pakāpju izteiksmi a 2·(x+1) ) .
Jaudas īpašību izmantošana
Viens no galvenajiem instrumentiem izteiksmju pārveidošanai ar pilnvarām ir vienādības, kas atspoguļo . Atgādināsim galvenos. Jebkuriem pozitīviem skaitļiem a un b un patvaļīgiem reāliem skaitļiem r un s ir spēkā šādas jaudas īpašības:
- a r a s =a r+s ;
- a r:a s =a r−s ;
- (a b) r = a r b r ;
- (a:b) r =a r:b r ;
- (a r) s =a r s .
Ņemiet vērā, ka naturālajiem, veseliem skaitļiem un pozitīviem eksponentiem ierobežojumi attiecībā uz skaitļiem a un b var nebūt tik stingri. Piemēram, naturāliem skaitļiem m un n vienādība a m ·a n =a m+n ir patiesa ne tikai pozitīvajiem a , bet arī negatīvajiem, un a=0 .
Skolā galvenā uzmanība spēka izpausmju transformācijā ir vērsta tieši uz spēju izvēlēties atbilstošu īpašību un pareizi to pielietot. Šajā gadījumā grādu bāzes parasti ir pozitīvas, kas ļauj bez ierobežojumiem izmantot grādu īpašības. Tas pats attiecas uz izteiksmju pārveidošanu, kas satur mainīgos pakāpju bāzēs - mainīgo lielumu pieļaujamo vērtību diapazons parasti ir tāds, ka bāzes ņem tikai pozitīvas vērtības, kas ļauj brīvi izmantot īpašības grādu. Kopumā jums pastāvīgi jājautā sev, vai šajā gadījumā ir iespējams pielietot kādu grādu īpašību, jo neprecīza īpašību izmantošana var izraisīt DPV sašaurināšanos un citas nepatikšanas. Šie punkti ir detalizēti un ar piemēriem apskatīti rakstā izteiksmju transformācija, izmantojot grādu īpašības. Šeit mēs aprobežojamies ar dažiem vienkāršiem piemēriem.
Piemērs.
Izteikt izteiksmi a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 kā pakāpju ar bāzi a .
Risinājums.
Pirmkārt, mēs pārveidojam otro koeficientu (a 2) −3 ar īpašību palielināt jaudu līdz pakāpei: (a 2) −3 =a 2 (−3) =a −6. Šajā gadījumā sākotnējā jaudas izteiksme būs 2.5 ·a −6:a −5.5 . Acīmredzot atliek izmantot pilnvaru reizināšanas un dalīšanas īpašības ar to pašu bāzi, kas mums ir
a 2,5 a -6:a -5,5 =
a 2,5-6:a-5,5 =a-3,5:a-5,5 =
a −3.5−(−5.5) =a 2 .
Atbilde:
a 2,5 (a 2) -3:a -5,5 \u003d a 2.
Jaudas īpašības tiek izmantotas, pārveidojot jaudas izteiksmes gan no kreisās uz labo, gan no labās uz kreiso.
Piemērs.
Atrodiet jaudas izteiksmes vērtību.
Risinājums.
Vienādība (a·b) r =a r ·b r, kas piemērota no labās uz kreiso pusi, ļauj pāriet no sākotnējās izteiksmes uz formas reizinājumu un tālāk. Un, reizinot jaudas ar to pašu bāzi, rādītāji summējas: 
.
Sākotnējās izteiksmes transformāciju bija iespējams veikt citā veidā: 
Atbilde:
.
Piemērs.
Ņemot vērā jaudas izteiksmi a 1,5 −a 0,5 −6 , ievadiet jaunu mainīgo t=a 0,5 .
Risinājums.
Pakāpi a 1,5 var attēlot kā 0,5 3 un tālāk, pamatojoties uz pakāpes īpašību pakāpē (a r) s =a r s, kas piemērota no labās uz kreiso pusi, pārveidot to formā (a 0,5) 3 . Tādējādi a 1,5 -a 0,5 -6 = (a 0,5) 3 -a 0,5 -6. Tagad ir viegli ieviest jaunu mainīgo t=a 0.5 , iegūstam t 3 −t−6 .
Atbilde:
t 3 −t−6 .
Pārvērš daļskaitļus, kas satur pakāpes
Spēka izteiksmes var saturēt daļskaitļus ar pakāpēm vai attēlot šādas daļas. Jebkurš pamata daļskaitļu pārveidojums, kas ir raksturīgs jebkura veida frakcijām, ir pilnībā piemērojams šādām daļām. Tas ir, daļskaitļus, kas satur grādus, var samazināt, samazināt līdz jaunam saucējam, strādāt atsevišķi ar to skaitītāju un atsevišķi ar saucēju utt. Lai ilustrētu iepriekš minētos vārdus, apsveriet vairāku piemēru risinājumus.
Piemērs.
Vienkāršojiet jaudas izteiksmi 
.
Risinājums.
Šī jaudas izteiksme ir daļa. Strādāsim ar tā skaitītāju un saucēju. Skaitītājā atveram iekavas un vienkāršojam pēc tam iegūto izteiksmi, izmantojot pakāpju īpašības, un saucējā uzrāda līdzīgus terminus: 
Un mēs arī mainām saucēja zīmi, ieliekot mīnusu daļskaitļa priekšā: 
.
Atbilde:
.
Pakāpju daļskaitļu samazināšana līdz jaunam saucējam tiek veikta līdzīgi kā racionālu daļu samazināšana līdz jaunam saucējam. Tajā pašā laikā tiek atrasts arī papildu koeficients un ar to tiek reizināts daļskaitļa skaitītājs un saucējs. Veicot šo darbību, ir vērts atcerēties, ka samazināšana līdz jaunam saucējam var izraisīt DPV sašaurināšanos. Lai tas nenotiktu, ir nepieciešams, lai papildu faktors nepazustu nevienai mainīgo vērtībām no sākotnējās izteiksmes ODZ mainīgajiem.
Piemērs.
Pārnes daļskaitļus uz jaunu saucēju: a) uz saucēju a, b) 
uz saucēju.
Risinājums.
a) Šajā gadījumā ir diezgan viegli izdomāt, kāds papildu faktors palīdz sasniegt vēlamo rezultātu. Tas ir koeficients a 0,3, jo a 0,7 a 0,3 = a 0,7+0,3 = a . Ņemiet vērā, ka mainīgā a pieņemamo vērtību diapazonā (tā ir visu pozitīvo reālo skaitļu kopa) pakāpe a 0,3 nepazūd, tāpēc mums ir tiesības reizināt dotās daļskaitļa skaitītāju un saucēju. ar šo papildu faktoru: 
b) Uzmanīgāk aplūkojot saucēju, mēs atklājam, ka 
un reizinot šo izteiksmi ar, tiks iegūta kubu summa un , tas ir, . Un tas ir jaunais saucējs, uz kuru mums ir jāatved sākotnējā daļa.
Tātad mēs atradām papildu faktoru. Izteiksme nepazūd mainīgo x un y pieņemamo vērtību diapazonā, tāpēc ar to varam reizināt daļskaitļa skaitītāju un saucēju: 
Atbilde:
A) 
, b) 
.
Arī pakāpes saturošu daļskaitļu samazināšanā nav nekā jauna: skaitītājs un saucējs tiek attēlots kā noteikts faktoru skaits, un tie paši skaitītāja un saucēja faktori tiek samazināti.
Piemērs.
Samaziniet daļu: a) 
, b).
Risinājums.
a) Pirmkārt, skaitītāju un saucēju var samazināt par skaitļiem 30 un 45, kas ir vienāds ar 15. Tāpat, protams, jūs varat samazināt par x 0,5 +1 un par 
. Lūk, kas mums ir: 
b) Šajā gadījumā tie paši faktori skaitītājā un saucējā nav uzreiz redzami. Lai tos iegūtu, ir jāveic iepriekšējas transformācijas. Šajā gadījumā tie sastāv no saucēja sadalīšanas faktoros pēc kvadrātu atšķirības formulas: 
Atbilde:
A) 
b) 
.
Daļskaitļu samazināšanu līdz jaunam saucējam un daļskaitļu samazināšanu galvenokārt izmanto, lai veiktu darbības ar daļskaitļiem. Darbības tiek veiktas saskaņā ar zināmiem noteikumiem. Saskaitot (atņemot) daļskaitļus, tās tiek reducētas līdz kopsaucējam, pēc tam tiek saskaitīti (atņemti) skaitītāji, un saucējs paliek nemainīgs. Rezultātā tiek iegūta daļa, kuras skaitītājs ir skaitītāju reizinājums, bet saucējs ir saucēju reizinājums. Dalīšana ar daļskaitli ir reizināšana ar tās apgriezto vērtību.
Piemērs.
Izpildiet norādītās darbības 
.
Risinājums.
Pirmkārt, mēs atņemam iekavās esošās daļas. Lai to izdarītu, mēs tos apvienojam ar kopsaucēju, kas ir 
, pēc tam atņemiet skaitītājus: 
Tagad mēs reizinām daļskaitļus: 
Acīmredzot ir iespējams samazinājums par jaudu x 1/2, pēc kura mums ir 
.
Varat arī vienkāršot jaudas izteiksmi saucējā, izmantojot kvadrātu atšķirības formulu: 
.
Atbilde:
Piemērs.
Vienkāršojiet jaudas izteiksmi 
.
Risinājums.
Acīmredzot šo daļu var samazināt par (x 2,7 +1) 2, tas dod daļu 
. Skaidrs, ka ar x pakāpēm ir jādara vēl kaut kas. Lai to izdarītu, mēs pārvēršam iegūto frakciju produktā. Tas dod mums iespēju izmantot spēku sadalīšanas īpašību ar vienādām bāzēm: 
. Un procesa beigās mēs pārejam no pēdējā produkta uz frakciju.
Atbilde:
.
Un mēs piebilstam, ka ir iespējams un daudzos gadījumos vēlams pārnest faktorus ar negatīviem eksponentiem no skaitītāja uz saucēju vai no saucēja uz skaitītāju, mainot eksponenta zīmi. Šādas pārvērtības bieži vien vienkāršo turpmākās darbības. Piemēram, jaudas izteiksmi var aizstāt ar .
Izteicienu pārvēršana ar saknēm un pilnvarām
Bieži vien izteiksmēs, kurās ir nepieciešamas dažas transformācijas, kopā ar grādiem ar daļskaitļa eksponentiem, ir arī saknes. Lai pārvērstu šādu izteiksmi vēlamajā formā, vairumā gadījumu pietiek ar to, ka iet tikai uz saknēm vai tikai uz pilnvarām. Bet, tā kā ir ērtāk strādāt ar grādiem, tie parasti pārvietojas no saknēm uz grādiem. Tomēr ir ieteicams veikt šādu pāreju, ja sākotnējās izteiksmes mainīgo ODZ ļauj aizstāt saknes ar grādiem bez nepieciešamības piekļūt modulim vai sadalīt ODZ vairākos intervālos (mēs to detalizēti apspriedām pants, pāreja no saknēm uz pakāpēm un otrādi Pēc iepazīšanās ar grādu ar racionālo eksponentu tiek ieviests grāds ar iracionālo rādītāju, kas ļauj runāt par pakāpi ar patvaļīgu reālo rādītāju.Šajā posmā skola sāk mācīties eksponenciālā funkcija, ko analītiski dod grāds, uz kura pamata ir skaitlis, un rādītājā - mainīgais. Tātad mēs saskaramies ar jaudas izteiksmēm, kas satur skaitļus pakāpes bāzē, bet eksponentā - izteiksmes ar mainīgajiem, un dabiski rodas nepieciešamība veikt šādu izteiksmju transformācijas.
Jāteic, ka norādītā tipa izteiksmju transformācija parasti ir jāveic risinot eksponenciālie vienādojumi Un eksponenciālās nevienlīdzības, un šīs pārvērtības ir pavisam vienkāršas. Lielākajā daļā gadījumu tie ir balstīti uz grāda īpašībām un galvenokārt ir vērsti uz jauna mainīgā ieviešanu nākotnē. Vienādojums ļaus mums tos parādīt 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.
Pirmkārt, eksponenti, kuru eksponentos tiek atrasta kāda mainīgā lieluma (vai izteiksmes ar mainīgajiem) un skaitļa summa, tiek aizstāti ar reizinājumiem. Tas attiecas uz izteiksmes pirmo un pēdējo vārdu kreisajā pusē:
5 2 x 5 1 -3 5 x 7 x -14 7 2 x 7 -1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.
Tālāk abas vienādības puses tiek dalītas ar izteiksmi 7 2 x , kas sākotnējam vienādojumam ņem tikai pozitīvas vērtības no ODZ mainīgā x (tas ir standarta paņēmiens šāda veida vienādojumu risināšanai, mēs nerunājam par tas ir tagad, tāpēc koncentrējieties uz sekojošām izteiksmju transformācijām ar pilnvarām ): 
Tagad tiek atceltas daļas ar pakāpēm, kas dod 
.
Visbeidzot, pakāpju attiecība ar vienādiem eksponentiem tiek aizstāta ar attiecību pakāpēm, kas noved pie vienādojuma 
, kas ir līdzvērtīgs 
. Veiktās transformācijas ļauj ieviest jaunu mainīgo, kas reducē sākotnējā eksponenciālā vienādojuma atrisinājumu līdz kvadrātvienādojuma atrisinājumam
