Logaritmisko izteiksmju transformācija. Izteiksmju konvertēšana, izmantojot logaritmu īpašības, piemēri, risinājumi Logaritmisko izteiksmju konvertēšana piemēri

Pieņemamais logaritma diapazons (ODZ).

Tagad parunāsim par ierobežojumiem (ODZ - mainīgo lielumu pieļaujamo vērtību apgabals).

Mēs atceramies, ka, piemēram, kvadrātsakni nevar ņemt no negatīviem skaitļiem; vai ja mums ir daļskaitlis, tad saucējs nevar būt vienāds ar nulli. Logaritmiem ir līdzīgi ierobežojumi:

Tas ir, gan argumentam, gan bāzei jābūt lielākai par nulli, un bāze nevar būt vienāda.

Kāpēc ir tā, ka?

Sāksim vienkārši: teiksim tā. Tad, piemēram, skaitlis neeksistē, jo neatkarīgi no tā, kādu grādu mēs celtu, tas vienmēr izrādās. Turklāt tas neeksistē nevienam. Bet tajā pašā laikā tas var būt vienāds ar jebko (tā paša iemesla dēļ - tas ir vienāds ar jebkuru grādu). Tāpēc objekts neinteresē, un tas tika vienkārši izmests no matemātikas.

Mums ir līdzīga problēma gadījumā: jebkurā pozitīvā pakāpē - tas, bet to vispār nevar pacelt negatīvā pakāpē, jo radīsies dalīšana ar nulli (to atgādinu).

Kad mēs saskaramies ar problēmu, kas saistīta ar paaugstināšanu līdz daļējai pakāpei (kas tiek attēlota kā sakne:. Piemēram, (tas ir), bet neeksistē.

Tāpēc negatīvus iemeslus ir vieglāk izmest, nekā ar tiem sajaukt.

Nu, tā kā bāze a mums ir tikai pozitīva, tad neatkarīgi no tā, kādā pakāpē mēs to pacelsim, mēs vienmēr saņemsim stingri pozitīvu skaitli. Tātad argumentam jābūt pozitīvam. Piemēram, tas neeksistē, jo tas nekādā mērā nebūs negatīvs skaitlis (un pat nulle, tāpēc tas arī neeksistē).

Problēmās ar logaritmiem pirmais solis ir pierakstīt ODZ. Es sniegšu piemēru:

Atrisināsim vienādojumu.

Atgādiniet definīciju: logaritms ir jauda, ​​līdz kurai jāpaaugstina bāze, lai iegūtu argumentu. Un pēc nosacījuma šī pakāpe ir vienāda ar: .

Mēs iegūstam parasto kvadrātvienādojumu: . Mēs to atrisinām, izmantojot Vietas teorēmu: sakņu summa ir vienāda, un reizinājums. Viegli paņemt, tie ir cipari un.

Bet, ja uzreiz ņemat un atbildē pierakstāt abus šos skaitļus, par uzdevumu var iegūt 0 punktu. Kāpēc? Padomāsim par to, kas notiks, ja mēs šīs saknes aizstājam sākotnējā vienādojumā?

Tas ir acīmredzami nepatiess, jo bāze nevar būt negatīva, tas ir, sakne ir "trešā puse".

Lai izvairītos no šādiem nepatīkamiem trikiem, jums ir jāpieraksta ODZ pat pirms vienādojuma risināšanas:

Pēc tam, saņēmuši saknes un, mēs nekavējoties izmetam sakni un uzrakstām pareizo atbildi.

1. piemērs(mēģiniet to atrisināt pats) :

Atrodiet vienādojuma sakni. Ja saknes ir vairākas, atbildē norādiet mazāko.

Risinājums:

Vispirms uzrakstīsim ODZ:

Tagad mēs atceramies, kas ir logaritms: ar kādu spēku jums jāpaaugstina bāze, lai iegūtu argumentu? Otrajā. Tas ir:

Šķiet, ka mazākā sakne ir vienāda. Bet tas tā nav: saskaņā ar ODZ sakne ir trešā puse, tas ir, tā vispār nav šī vienādojuma sakne. Tādējādi vienādojumam ir tikai viena sakne: .

Atbilde: .

Pamatlogaritmiskā identitāte

Atgādiniet logaritma definīciju vispārīgi:

Logaritma vietā aizstājiet otro vienādību:

Šo vienlīdzību sauc logaritmiskā identitāte. Lai gan pēc būtības šī vienlīdzība vienkārši ir rakstīta savādāk logaritma definīcija:

Tas ir spēks, kas jums jāpalielina, lai iegūtu.

Piemēram:

Atrisiniet šādus piemērus:

2. piemērs

Atrodiet izteiksmes vērtību.

Risinājums:

Atgādiniet noteikumu no sadaļas:, tas ir, paaugstinot pakāpi līdz jaudai, rādītāji tiek reizināti. Pielietosim to:

3. piemērs

Pierādiet to.

Risinājums:

Logaritmu īpašības

Diemžēl uzdevumi ne vienmēr ir tik vienkārši - bieži vien vispirms ir jāvienkāršo izteiksme, jāieved ierastajā formā, un tikai tad būs iespējams aprēķināt vērtību. Visvieglāk to izdarīt, zinot logaritmu īpašības. Tātad, apgūsim logaritmu pamatīpašības. Es pierādīšu katru no tiem, jo ​​jebkuru noteikumu ir vieglāk atcerēties, ja zini, no kurienes tas nāk.

Visas šīs īpašības ir jāatceras, bez tām nevar atrisināt lielāko daļu logaritmu problēmu.

Un tagad par visām logaritmu īpašībām sīkāk.

1. īpašums:

Pierādījums:

Lai tad.

Mums ir: , h.t.d.

2. īpašība: logaritmu summa

Logaritmu summa ar tādu pašu bāzi ir vienāda ar reizinājuma logaritmu: .

Pierādījums:

Lai tad. Lai tad.

Piemērs: Atrodiet izteiksmes vērtību: .

Risinājums:.

Tikko apgūtā formula palīdz vienkāršot logaritmu summu, nevis atšķirību, lai šos logaritmus nevarētu uzreiz apvienot. Bet jūs varat rīkoties otrādi - "sadaliet" pirmo logaritmu divās daļās: Un šeit ir solītais vienkāršojums:
.
Kāpēc tas ir vajadzīgs? Nu, piemēram: kāda tam nozīme?

Tagad tas ir skaidrs.

Tagad padariet to viegli sev:

Uzdevumi:

Atbildes:

3. īpašums: logaritmu atšķirība:

Pierādījums:

Viss ir tieši tāpat kā 2. punktā:

Lai tad.

Lai tad. Mums ir:

Piemērs no pēdējā punkta tagad ir vēl vienkāršāks:

Sarežģītāks piemērs: . Uzminiet paši, kā izlemt?

Šeit jāatzīmē, ka mums nav vienas formulas par logaritmiem kvadrātā. Tas ir kaut kas līdzīgs izteicienam — to nevar uzreiz vienkāršot.

Tāpēc atkāpsimies no logaritmu formulām un padomāsim, kādas formulas mēs matemātikā parasti lietojam visbiežāk? Jau kopš 7. klases!

Šis -. Jāpierod, ka tās ir visur! Un eksponenciālajās, trigonometriskajās un iracionālajās problēmās tie ir atrodami. Tāpēc tie ir jāatceras.

Ja paskatās uzmanīgi uz pirmajiem diviem terminiem, kļūst skaidrs, ka tas tā ir kvadrātu atšķirība:

Atbilde, lai pārbaudītu:

Vienkāršojiet sevi.

Piemēri

Atbildes.

4. īpašība: eksponenta atvasināšana no logaritma argumenta:

Pierādījums: Un šeit mēs arī izmantojam logaritma definīciju: pieņemsim, tad. Mums ir: , h.t.d.

Šo noteikumu varat saprast šādi:

Tas nozīmē, ka argumenta pakāpe tiek virzīta uz priekšu no logaritma kā koeficients.

Piemērs: Atrodiet izteiksmes vērtību.

Risinājums: .

Izlemiet paši:

Piemēri:

Atbildes:

5. īpašums: eksponenta atvasināšana no logaritma bāzes:

Pierādījums: Lai tad.

Mums ir: , h.t.d.
Atcerieties: no pamatojums grāds tiek atveidots kā otrādi numuru, atšķirībā no iepriekšējā gadījuma!

6. īpašība: eksponenta atvasināšana no logaritma bāzes un argumenta:

Vai arī, ja grādi ir vienādi: .

7. īpašums: pāreja uz jaunu bāzi:

Pierādījums: Lai tad.

Mums ir: , h.t.d.

8. īpašums: logaritma bāzes un argumenta apmaiņa:

Pierādījums:Šis ir īpašs 7. formulas gadījums: ja mēs aizstājam, mēs iegūstam: , p.t.d.

Apskatīsim vēl dažus piemērus.

4. piemērs

Atrodiet izteiksmes vērtību.

Mēs izmantojam logaritmu Nr. 2 īpašību - logaritmu summa ar vienādu bāzi ir vienāda ar reizinājuma logaritmu:

5. piemērs

Atrodiet izteiksmes vērtību.

Risinājums:

Mēs izmantojam logaritmu Nr. 3 un Nr. 4 īpašību:

6. piemērs

Atrodiet izteiksmes vērtību.

Risinājums:

Izmantojot īpašuma numuru 7 — pārejiet uz 2. bāzi:

7. piemērs

Atrodiet izteiksmes vērtību.

Risinājums:

Kā jums patīk raksts?

Ja lasāt šīs rindas, tad esat izlasījis visu rakstu.

Un tas ir forši!

Tagad pastāstiet mums, kā jums patīk raksts?

Vai esat iemācījušies atrisināt logaritmus? Ja nē, kāda ir problēma?

Rakstiet mums zemāk esošajos komentāros.

Un jā, lai veicas eksāmenos.

Vienotajā valsts eksāmenā un OGE un vispār dzīvē

Uzskaitītās vienādības, pārveidojot izteiksmes ar logaritmiem, tiek izmantotas gan no labās puses uz kreiso, gan no kreisās uz labo.

Ir vērts atzīmēt, ka nav nepieciešams iegaumēt īpašību sekas: veicot pārveidojumus, jūs varat iztikt ar logaritmu pamatīpašībām un citiem faktiem (piemēram, tiem, kuriem b≥0), no kuriem atbilstošā seko sekas. Šīs pieejas "blakusparādība" ir tikai tāda, ka risinājums būs nedaudz ilgāks. Piemēram, lai iztiktu bez sekām, kuras izsaka ar formulu , un, sākot tikai no logaritmu pamatīpašībām, jums būs jāveic šādas formas transformāciju ķēde: .

To pašu var teikt par pēdējo īpašumu no iepriekš minētā saraksta, kas atbilst formulai , jo tas izriet arī no logaritmu pamatīpašībām. Galvenais ir saprast, ka pozitīvā skaitļa pakāpei ar logaritmu eksponentā vienmēr ir iespējams apmainīt pakāpes bāzi un skaitli zem logaritma zīmes. Taisnības labad jāatzīmē, ka piemēri, kas ietver šāda veida transformāciju ieviešanu, praksē ir reti sastopami. Tālāk sniegsim dažus piemērus.

Skaitlisko izteiksmju konvertēšana ar logaritmiem

Mēs atcerējāmies logaritmu īpašības, tagad ir pienācis laiks uzzināt, kā tos pielietot praksē, lai pārveidotu izteiksmes. Ir dabiski sākt ar skaitlisko izteiksmju pārveidošanu, nevis izteiksmēm ar mainīgajiem, jo ​​tajās ir ērtāk un vieglāk apgūt pamatus. Tātad mēs darīsim to un sāksim ar ļoti vienkāršiem piemēriem, lai uzzinātu, kā izvēlēties vēlamo logaritma īpašību, bet mēs pakāpeniski sarežģīsim piemērus līdz vietai, kurā būs jāpiemēro vairākas īpašības. rindu, lai iegūtu gala rezultātu.

Vēlamās logaritmu īpašības izvēle

Logaritmu īpašību nav nemaz tik maz, un skaidrs, ka no tiem jāprot izvēlēties atbilstošo, kas konkrētajā gadījumā novedīs pie vēlamā rezultāta. Parasti to nav grūti izdarīt, salīdzinot pārveidojamā logaritma vai izteiksmes formu ar logaritmu īpašības izteikušo formulu kreisās un labās daļas veidiem. Ja kādai no formulām kreisā vai labā puse sakrīt ar doto logaritmu vai izteiksmi, tad visticamāk tieši šī īpašība ir jāpiemēro transformācijas laikā. Sekojošie piemēri to skaidri parāda.

Sāksim ar izteiksmju pārveidošanas piemēriem, izmantojot logaritma definīciju, kas atbilst formulai a log a b =b , a>0 , a≠1 , b>0 .

Piemērs.

Ja iespējams, aprēķiniet: a) 5 log 5 4 , b) 10 log(1+2 π) , c) , d) 2 log 2 (−7) , e) .

Risinājums.

Piemērā burts a) skaidri parāda struktūru a log a b , kur a=5 , b=4 . Šie skaitļi atbilst nosacījumiem a>0 , a≠1 , b>0 , tāpēc var droši izmantot vienādību a log a b =b . Mums ir 5 log 5 4=4 .

b) Šeit a=10 , b=1+2 π , nosacījumi a>0, a≠1, b>0 ir izpildīti. Šajā gadījumā notiek vienādība 10 lg(1+2 π) =1+2 π.

c) Un šajā piemērā ir runa par formas a log a b pakāpi, kur un b=ln15 . Tātad .

Neskatoties uz piederību vienai formai a log a b (šeit a=2 , b=−7 ), izteiksmi zem burta d) nevar pārvērst ar formulu a log a b =b . Iemesls ir tāds, ka tam nav jēgas, jo tajā zem logaritma zīmes ir negatīvs skaitlis. Turklāt skaitlis b=−7 neizpilda nosacījumu b>0, kas neļauj izmantot formulu a log a b =b, jo tam nepieciešami nosacījumi a>0, a≠1, b>0. Tātad, mēs nevaram runāt par vērtības 2 log 2 (−7) aprēķināšanu. Šajā gadījumā, ierakstot 2 log 2 (−7) = −7, būtu kļūda.

Tāpat piemērā zem burta e) nav iespējams sniegt formas risinājumu , jo sākotnējai izteiksmei nav jēgas.

Atbilde:

a) 5 log 5 4 =4, b) 10 log(1+2 π) =1+2 π , c) , d), e) izteicieniem nav jēgas.

Bieži vien ir lietderīgi pozitīvo skaitli pārvērst par kāda pozitīva skaitļa, kas nav viens, pakāpju ar logaritmu eksponentā. Tas ir balstīts uz to pašu logaritma definīciju a log a b =b , a>0 , a≠1 , b>0 , bet formula tiek piemērota no labās puses uz kreiso, tas ir, formā b=a log a b . Piemēram, 3=e ln3 vai 5=5 log 5 5 .

Pāriesim pie logaritmu īpašību izmantošanas izteiksmju pārveidošanai.

Piemērs.

Atrodiet izteiksmes vērtību: a) log −2 1, b) log 1 1, c) log 0 1, d) log 7 1, e) ln1, f) log1, g) log 3,75 1, h) log 5 π 7 1 .

Risinājums.

Piemēros zem burtiem a), b) un c) ir dotas izteiksmes log −2 1 , log 1 1 , log 0 1, kurām nav jēgas, jo logaritma bāzē nedrīkst būt negatīvs skaitlis, nulle vai viens, jo mēs esam definējuši logaritmu tikai pozitīvai un nevienības bāzei. Tāpēc piemēros a) - c) nevar būt ne runas par izteiksmes vērtības atrašanu.

Visos citos uzdevumos, acīmredzot, logaritmu bāzēs ir attiecīgi pozitīvi un bezvienības skaitļi 7, e, 10, 3,75 un 5 π 7, un vienības visur atrodas zem logaritmu zīmēm. Un mēs zinām vienotības logaritma īpašību: log a 1=0 jebkuram a>0 , a≠1 . Tādējādi izteiksmju b) - f) vērtības ir vienādas ar nulli.

Atbilde:

a), b), c) izteiksmēm nav jēgas, d) log 7 1=0, e) ln1=0, f) log1=0, g) log 3,75 1=0, h) log 5 e 7 1 =0.

Piemērs.

Aprēķināt: a) , b) lne , c) lg10 , d) log 5 π 3 -2 (5 π 3 -2), e) log −3 (−3) , f) log 1 1 .

Risinājums.

Skaidrs, ka jāizmanto bāzes logaritma īpašība, kas atbilst formulai log a a=1 pie a>0 , a≠1 . Patiešām, uzdevumos zem visiem burtiem skaitlis zem logaritma zīmes sakrīt ar tā bāzi. Tādējādi es gribu uzreiz teikt, ka katras dotās izteiksmes vērtība ir 1. Tomēr nesteidzieties ar secinājumiem: uzdevumos zem burtiem a) - d) izteiksmju vērtības patiešām ir vienādas ar vienu, un uzdevumos e) un f) oriģinālajām izteiksmēm nav jēgas, tāpēc tas nevar teikt, ka šo izteiksmju vērtības ir vienādas ar 1.

Atbilde:

a) , b) lne=1 , c) lg10=1 , d) log 5 π 3 −2 (5 π 3 −2)=1, e), f) izteicieniem nav jēgas.

Piemērs.

Atrodiet vērtību: a) log 3 3 11 , b) , c) , d) log −10 (−10) 6 .

Risinājums.

Acīmredzot zem logaritmu zīmēm ir dažas bāzes pakāpes. Pamatojoties uz to, mēs saprotam, ka šeit noder bāzes pakāpes īpašība: log a a p =p, kur a>0, a≠1 un p ir jebkurš reāls skaitlis. Ņemot to vērā, mums ir šādi rezultāti: a) log 3 3 11 =11 , b) , v) . Vai piemēram var uzrakstīt līdzīgu vienādību zem burta d) formā log −10 (−10) 6 =6? Nē, jūs nevarat, jo log −10 (−10) 6 nav jēgas.

Atbilde:

a) log 3 3 11 = 11, b) , v) d) izteiksmei nav jēgas.

Piemērs.

Izteikt izteiksmi kā logaritmu summu vai starpību vienā un tajā pašā bāzē: a) , b) , c) log((-5) (-12)) .

Risinājums.

a) Produkts atrodas zem logaritma zīmes, un mēs zinām reizinājuma logaritma īpašību log a (xy)=log a x+log ay , a>0 , a≠1 , x>0 , y> 0 . Mūsu gadījumā skaitlis logaritma bāzē un skaitļi produktā ir pozitīvi, tas ir, tie atbilst izvēlētās īpašības nosacījumiem, tāpēc mēs varam to droši lietot: .

b) Šeit izmantojam koeficienta logaritma īpašību, kur a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 . Mūsu gadījumā logaritma bāze ir pozitīvs skaitlis e, skaitītājs un saucējs π ir pozitīvi, kas nozīmē, ka tie atbilst īpašuma nosacījumiem, tāpēc mums ir tiesības izmantot izvēlēto formulu: .

c) Pirmkārt, ņemiet vērā, ka izteiksmei lg((-5) (-12)) ir jēga. Bet tajā pašā laikā mums nav tiesību piemērot reizinājuma logaritma formulu log a (xy)=log a x+log ay , a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 , jo skaitļi −5 un −12 ir negatīvi un neatbilst nosacījumiem x>0 , y>0 . Tas ir, nav iespējams veikt šādu pārveidošanu: log((-5)(-12))=log(-5)+log(-12). Bet ko darīt? Šādos gadījumos sākotnējā izteiksme ir iepriekš jāpārveido, lai izvairītos no negatīviem skaitļiem. Mēs detalizēti runāsim par līdzīgiem gadījumiem, kad vienā no logaritma zīmēm tiek pārveidotas izteiksmes ar negatīviem skaitļiem, bet pagaidām mēs sniegsim risinājumu šim piemēram, kas ir skaidrs jau iepriekš un bez paskaidrojumiem: lg((-5)(-12))=lg(5 12)=lg5+lg12.

Atbilde:

a) , b) , c) lg((-5) (-12))=lg5+lg12 .

Piemērs.

Vienkāršojiet izteiksmi: a) log 3 0,25 + log 3 16 + log 3 0,5, b) .

Risinājums.

Šeit mums palīdzēs visas tās pašas reizinājuma logaritma īpašības un koeficienta logaritms, ko izmantojām iepriekšējos piemēros, tikai tagad mēs tos pielietosim no labās uz kreiso pusi. Tas ir, mēs pārvēršam logaritmu summu reizinājuma logaritmā, bet logaritmu starpību - koeficienta logaritmā. Mums ir
a) log 3 0,25+log 3 16+log 3 0,5 = log 3 (0,25 16 0,5) = log 3 2.
b) .

Atbilde:

a) log 3 0,25+log 3 16+log 3 0,5=log 3 2, b) .

Piemērs.

Atbrīvojieties no pakāpes zem logaritma zīmes: a) log 0,7 5 11, b) , c) log 3 (−5) 6 .

Risinājums.

Ir viegli saprast, ka mums ir darīšana ar tādiem izteicieniem kā log a b p . Atbilstošā logaritma īpašība ir log a b p =p log a b , kur a>0 , a≠1 , b>0 , p ir jebkurš reāls skaitlis. Tas ir, pie nosacījumiem a>0 , a≠1 , b>0 no pakāpes log a b p logaritma varam pāriet uz reizinājumu p·log a b . Veiksim šo transformāciju ar dotajām izteiksmēm.

a) Šajā gadījumā a=0,7 , b=5 un p=11 . Tātad log 0,7 5 11 = 11 log 0,7 5 .

b) Šeit ir izpildīti nosacījumi a>0, a≠1, b>0. Tātad

c) Izteiksmei log 3 (−5) 6 ir tāda pati struktūra log a b p , a=3 , b=−5 , p=6 . Bet attiecībā uz b nosacījums b>0 nav izpildīts, tāpēc nav iespējams piemērot formulu log a b p =p log a b . Tātad, kāpēc jūs nevarat paveikt darbu? Tas ir iespējams, taču ir nepieciešama iepriekšēja izteiksmes pārveidošana, ko mēs sīkāk apspriedīsim tālāk rindkopā zem virsraksta. Risinājums būs šāds: log 3 (−5) 6 = log 3 5 6 = 6 log 3 5.

Atbilde:

a) log 0,7 5 11 = 11 log 0,7 5,
b)
c) log 3 (−5) 6 =6 log 3 5 .

Diezgan bieži pakāpes logaritma formula, veicot transformācijas, ir jāpiemēro no labās puses uz kreiso formā p log a b \u003d log a b p (tas prasa vienādus nosacījumus a, b un p). Piemēram, 3 ln5=ln5 3 un lg2 log 2 3=log 2 3 lg2 .

Piemērs.

a) Aprēķināt log 2 5 vērtību, ja zināms, ka lg2≈0,3010 un lg5≈0,6990. b) Uzrakstiet daļu kā logaritmu 3. bāzei.

Risinājums.

a) Formula pārejai uz jaunu logaritma bāzi ļauj mums attēlot šo logaritmu kā decimālo logaritmu attiecību, kuru vērtības mums ir zināmas: . Atliek tikai veikt aprēķinus, kas mums ir .

b) Šeit pietiek izmantot formulu pārejai uz jaunu bāzi un lietot to no labās puses uz kreiso, tas ir, formā . Mēs saņemam .

Atbilde:

a) log 2 5≈2,3223, b) .

Šajā posmā mēs esam diezgan rūpīgi apsvēruši vienkāršāko izteiksmju transformāciju, izmantojot logaritmu pamatīpašības un logaritma definīciju. Šajos piemēros mums bija jāizmanto viens īpašums un nekas cits. Tagad ar tīru sirdsapziņu varat pāriet pie piemēriem, kuru pārveidošanai ir jāizmanto vairākas logaritmu īpašības un citas papildu transformācijas. Mēs tos aplūkosim nākamajā rindkopā. Bet pirms tam īsi pakavēsimies pie logaritmu pamatīpašību seku piemērošanas piemēriem.

Piemērs.

a) Atbrīvojieties no saknes zem logaritma zīmes. b) Pārvērtiet daļskaitli par 5. bāzes logaritmu. c) Atbrīvojieties no pakāpēm zem logaritma zīmes un tās pamatnē. d) Aprēķināt izteiksmes vērtību . e) Aizstājiet izteiksmi ar pakāpju ar 3. bāzi.

Risinājums.

a) Ja atgādinām secību no pakāpes logaritma īpašības , tad uzreiz vari atbildēt: .

b) Šeit mēs izmantojam formulu no labās uz kreiso, mums ir .

c) Šajā gadījumā formula noved pie rezultāta . Mēs saņemam .

d) Un šeit pietiek ar to, ka tiek piemērota formula, kurai atbilst formula . Tātad .

e) Logaritma īpašība ļauj sasniegt vēlamo rezultātu: .

Atbilde:

a) . b) . v) . G) . e) .

Konsekventa vairāku īpašību lietošana

Reālie uzdevumi izteiksmju pārveidošanai, izmantojot logaritmu īpašības, parasti ir sarežģītāki nekā tie, kurus mēs aplūkojām iepriekšējā punktā. Tajos, kā likums, rezultāts netiek iegūts vienā solī, bet risinājums jau sastāv no vienas īpašības secīgas pielietošanas pēc otras kopā ar papildus identiskām pārveidojumiem, piemēram, iekavas atvēršanu, līdzīgu terminu samazināšanu, daļskaitļu samazināšanu utt. . Tāpēc pievērsīsimies šādiem piemēriem. Šeit nav nekā sarežģīta, galvenais ir rīkoties uzmanīgi un konsekventi, ievērojot darbību veikšanas secību.

Piemērs.

Aprēķiniet izteiksmes vērtību (log 3 15–log 3 5) 7 log 7 5.

Risinājums.

Logaritmu starpību iekavās ar koeficienta logaritma īpašību var aizstāt ar logaritmu log 3 (15:5) un pēc tam aprēķināt tā vērtību log 3 (15:5)=log 3 3=1 . Un izteiksmes 7 log 7 5 vērtība pēc logaritma definīcijas ir 5 . Aizstājot šos rezultātus sākotnējā izteiksmē, mēs iegūstam (log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =1 5=5.

Šeit ir risinājums bez paskaidrojumiem:
(log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =log 3 (15:5) 5=
= log 3 3 5=1 5=5 .

Atbilde:

(log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =5.

Piemērs.

Kāda ir skaitliskās izteiksmes log 3 log 2 2 3 −1 vērtība?

Risinājums.

Vispirms pārveidosim logaritmu, kas atrodas zem logaritma zīmes, pēc pakāpes logaritma formulas: log 2 2 3 =3. Tātad log 3 log 2 2 3 = log 3 3 un tad log 3 3 = 1 . Tātad log 3 log 2 2 3 −1=1−1=0 .

Atbilde:

log 3 log 2 2 3 −1=0 .

Piemērs.

Vienkāršojiet izteiksmi.

Risinājums.

Formula konvertēšanai uz jaunu logaritma bāzi ļauj logaritmu attiecību pret vienu bāzi attēlot kā log 3 5 . Šajā gadījumā sākotnējā izteiksme būs formā . Pēc logaritma definīcijas 3 log 3 5 =5, tas ir , un iegūtās izteiksmes vērtība, pamatojoties uz to pašu logaritma definīciju, ir vienāda ar divi.

Šeit ir īsa risinājuma versija, kas parasti tiek sniegta: .

Atbilde:

.

Lai netraucēta pāreja uz nākamās rindkopas informāciju, apskatīsim izteiksmes 5 2+log 5 3 un lg0.01 . To struktūra neatbilst nevienai no logaritmu īpašībām. Tātad, kas notiek, ja tos nevar pārveidot, izmantojot logaritmu īpašības? Tas ir iespējams, ja veicat iepriekšējas transformācijas, kas sagatavo šīs izteiksmes logaritmu īpašību pielietošanai. Tātad 5 2+log 5 3 =5 2 5 log 5 3 =25 3=75, un lg0,01=lg10 −2 = −2 . Tālāk mēs detalizēti sapratīsim, kā tiek veikta šāda izteiksmju sagatavošana.

Izteiksmju sagatavošana logaritmu īpašību pielietošanai

Logaritmi konvertētajā izteiksmē ļoti bieži apzīmējuma struktūrā atšķiras no formulu kreisās un labās daļas, kas atbilst logaritmu īpašībām. Bet tikpat bieži šo izteiksmju pārveidošana ietver logaritmu īpašību izmantošanu: to lietošanai ir nepieciešama tikai iepriekšēja sagatavošana. Un šī sagatavošana sastāv no noteiktu identisku pārveidojumu veikšanas, kas nodrošina logaritmu formu, kas ir ērta īpašību pielietošanai.

Taisnības labad jāatzīmē, ka gandrīz jebkura izteiksmju transformācija var darboties kā sākotnējās transformācijas, sākot no līdzīgu terminu banālas samazināšanas līdz trigonometrisko formulu lietošanai. Tas ir saprotams, jo konvertētajās izteiksmēs var būt jebkādi matemātiski objekti: iekavas, moduļi, daļskaitļi, saknes, grādi utt. Tādējādi ir jābūt gatavam veikt jebkuru nepieciešamo transformāciju, lai turpmāk gūtu labumu no logaritmu īpašībām.

Uzreiz teiksim, ka šajā sadaļā mēs neizvirzām sev uzdevumu klasificēt un analizēt visas iespējamās provizoriskās transformācijas, kas ļauj nākotnē pielietot logaritmu īpašības vai logaritma definīciju. Šeit mēs pievērsīsimies tikai četriem no tiem, kas ir raksturīgākie un visbiežāk sastopamie praksē.

Un tagad sīkāk par katru no tiem, pēc kura mūsu tēmas ietvaros atliek tikai nodarboties ar izteiksmju pārveidošanu ar mainīgajiem zem logaritmu zīmēm.

Pakāpju izvēle zem logaritma zīmes un tās bāzē

Sāksim uzreiz ar piemēru. Ļaujiet mums izveidot logaritmu. Acīmredzot šajā formā tā struktūra neveicina logaritmu īpašību izmantošanu. Vai ir iespējams kaut kā pārveidot šo izteiksmi, lai to vienkāršotu, vai vēl labāk aprēķināt tās vērtību? Lai atbildētu uz šo jautājumu, aplūkosim skaitļus 81 un 1/9 mūsu piemēra kontekstā. Šeit ir viegli redzēt, ka šos skaitļus var attēlot kā pakāpju 3, patiešām, 81 = 3 4 un 1/9 = 3 −2 . Šajā gadījumā formā tiek parādīts sākotnējais logaritms un kļūst iespējams piemērot formulu . Tātad, .

Analizētā piemēra analīze rada šādu domu: ja iespējams, varat mēģināt izcelt pakāpi zem logaritma zīmes un tās pamatnē, lai pielietotu pakāpes logaritma īpašību vai tā sekas. Atliek tikai izdomāt, kā izdalīt šos grādus. Mēs sniegsim dažus ieteikumus šajā jautājumā.

Dažreiz ir pilnīgi acīmredzams, ka skaitlis zem logaritma zīmes un/vai tā bāzē apzīmē kādu veselu skaitļu jaudu, kā tas ir iepriekš apskatītajā piemērā. Gandrīz pastāvīgi nākas saskarties ar divu pakāpēm, kas ir labi zināmas: 4=2 2, 8=2 3, 16=2 4, 32=2 5, 64=2 6, 128=2 7, 256=2 8 , 512 = 2 9 , 1024 = 2 10 . To pašu var teikt par trīskārša pakāpēm: 9=3 2 , 27=3 3 , 81=3 4 , 243=3 5 , ... Vispār jau nekaitē, ja ir naturālu skaitļu pakāpju tabula desmit laikā. Tāpat nav grūti strādāt ar veselu skaitļu pakāpēm desmit, simts, tūkstotis utt.

Piemērs.

Aprēķiniet vērtību vai vienkāršojiet izteiksmi: a) log 6 216 , b) , c) log 0,000001 0,001 .

Risinājums.

a) Acīmredzot 216=6 3, tātad log 6 216=log 6 6 3 =3.

b) Naturālo skaitļu pakāpju tabula ļauj attēlot skaitļus 343 un 1/243 kā pakāpes attiecīgi 7 3 un 3 −4. Tāpēc ir iespējama šāda dotā logaritma transformācija:

c) Tā kā 0,000001=10–6 un 0,001=10–3, tad log 0,000001 0,001 = log 10 -6 10 -3 = (-3)/(-6) = 1/2.

Atbilde:

a) log 6 216=3, b) , c) log 0,000001 0,001=1/2 .

Sarežģītākos gadījumos, lai izceltu skaitļu spējas, jums ir jāizmanto.

Piemērs.

Mainiet izteiksmi uz vienkāršāku formu log 3 648 log 2 3 .

Risinājums.

Apskatīsim, kāda ir skaitļa 648 sadalīšanās primārajos faktoros:

Tas ir, 648=2 3 3 4 . Pa šo ceļu, log 3 648 log 2 3=log 3 (2 3 3 4) log 2 3.

Tagad mēs pārvēršam reizinājuma logaritmu logaritmu summā, pēc kura mēs izmantojam pakāpes logaritma īpašības:
log 3 (2 3 3 4) log 2 3=(log 3 2 3 + log 3 3 4) log 2 3=
=(3 log 3 2+4) log 2 3 .

Ņemot vērā pakāpes logaritma īpašību sekas, kas atbilst formulai , reizinājums log32 log23 ir reizinājums , un zināms, ka tas ir vienāds ar vienu. Ņemot to vērā, mēs iegūstam 3 log 3 2 log 2 3+4 log 2 3=3 1+4 log 2 3=3+4 log 2 3.

Atbilde:

log 3 648 log 2 3=3+4 log 2 3.

Diezgan bieži izteiksmes zem logaritma zīmes un tā pamatnē ir dažu skaitļu sakņu un/vai pakāpju reizinājumi vai attiecības, piemēram, , . Līdzīgas izteiksmes var attēlot kā pakāpi. Lai to izdarītu, tiek veikta un piemērota pāreja no saknēm uz grādiem. Šīs transformācijas ļauj atlasīt grādus zem logaritma zīmes un tā bāzē un pēc tam lietot logaritmu īpašības.

Piemērs.

Aprēķināt: a) , b).

Risinājums.

a) Izteiksme logaritma bāzē ir pakāpju reizinājums ar vienādām bāzēm ar atbilstošo pakāpju īpašību, kas mums ir 5 2 5 -0,5 5 -1 =5 2-0,5-1 = 5 0,5.

Tagad pārveidosim daļu zem logaritma zīmes: pāriesim no saknes uz pakāpi, pēc kura izmantosim grādu attiecības īpašību ar vienādām bāzēm: .

Atliek iegūtos rezultātus aizstāt ar sākotnējo izteiksmi, izmantot formulu un pabeidziet transformāciju:

b) Tā kā 729=3 6 un 1/9=3 −2 , sākotnējo izteiksmi var pārrakstīt kā .

Pēc tam izmantojiet eksponenta saknes īpašību, pārejiet no saknes uz eksponentu un izmantojiet pakāpju attiecības īpašību, lai logaritma bāzi pārvērstu pakāpē: .

Ņemot vērā pēdējo rezultātu, mums ir .

Atbilde:

a) , b).

Ir skaidrs, ka vispārīgā gadījumā, lai iegūtu pilnvaras zem logaritma zīmes un tā bāzē, var būt nepieciešamas dažādas dažādu izteiksmju transformācijas. Sniegsim pāris piemērus.

Piemērs.

Kāda ir izteiksmes vērtība: a) , b) .

Risinājums.

Tālāk mēs atzīmējam, ka dotajai izteiksmei ir forma log A B p , kur A=2 , B=x+1 un p=4 . Šāda veida skaitliskās izteiksmes mēs pārveidojām atbilstoši pakāpes logaritma log abp \u003d p log ab īpašībai, tāpēc ar doto izteiksmi es vēlos darīt to pašu, un no log 2 (x + 1) 4 iet. līdz 4 log 2 (x + 1) . Un tagad aprēķināsim sākotnējās izteiksmes vērtību un izteiksmi, kas iegūta pēc transformācijas, piemēram, ar x=−2 . Mums ir log 2 (−2+1) 4 =log 2 1=0 , un 4 log 2 (-2+1) = 4 log 2 (-1)- bezjēdzīga izteiksme. Tas rada pamatotu jautājumu: "Ko mēs izdarījām nepareizi"?

Un iemesls ir šāds: mēs veicām transformāciju log 2 (x+1) 4 =4 log 2 (x+1) , pamatojoties uz formulu log abp =p log ab , bet mums ir tiesības izmantot tikai šo formulu ja nosacījumi a >0 , a≠1 , b>0 , p - jebkurš reāls skaitlis. Tas ir, mūsu veiktā transformācija notiek, ja x+1>0 , kas ir tas pats x>−1 (A un p nosacījumi ir izpildīti). Taču mūsu gadījumā mainīgā x ODZ sākotnējai izteiksmei sastāv ne tikai no intervāla x> −1 , bet arī no intervāla x<−1 . Но для x<−1 мы не имели права осуществлять преобразование по выбранной формуле.

Nepieciešamība ņemt vērā ODZ

Turpināsim analizēt mūsu izvēlētās izteiksmes log 2 (x+1) 4 transformāciju, un tagad redzēsim, kas notiek ar ODZ, pārejot uz izteiksmi 4 log 2 (x+1) . Iepriekšējā rindkopā mēs atradām sākotnējās izteiksmes ODZ — šī ir kopa (−∞, −1)∪(−1, +∞) . Tagad atradīsim mainīgā x pieņemamo vērtību apgabalu izteiksmei 4 log 2 (x+1) . To nosaka nosacījums x+1>0 , kas atbilst kopai (−1, +∞) . Ir skaidrs, ka, pārejot no log 2 (x+1) 4 uz 4·log 2 (x+1), pieļaujamo vērtību diapazons sašaurinās. Un mēs vienojāmies izvairīties no reformām, kas noved pie ODZ sašaurināšanās, jo tas var radīt dažādas negatīvas sekas.

Šeit ir vērts atzīmēt, ka ir lietderīgi kontrolēt ODZ katrā transformācijas solī un neļaut tam sašaurināt. Un, ja pēkšņi kādā transformācijas posmā notika ODZ sašaurināšanās, tad ir vērts ļoti rūpīgi paskatīties, vai šī transformācija ir pieļaujama un vai mums bija tiesības to veikt.

Taisnības labad sakām, ka praksē parasti ir jāstrādā ar izteiksmēm, kurās mainīgo ODZ ir tāda, kas ļauj bez ierobežojumiem izmantot logaritmu īpašības mums jau zināmajā formā, gan no kreisās uz labo. un no labās uz kreiso, veicot transformācijas. Jūs ātri pierodat pie tā un sākat veikt pārvērtības mehāniski, nedomājot par to, vai tās bija iespējams veikt. Un tādos brīžos, kā laime, cauri izslīd sarežģītāki piemēri, kuros logaritmu īpašību neprecīza pielietošana noved pie kļūdām. Tāpēc jums vienmēr jābūt modram un jāpārliecinās, ka ODZ nesamazinās.

Nav slikti atsevišķi izcelt galvenās transformācijas, kuru pamatā ir logaritmu īpašības, kas jāveic ļoti uzmanīgi, kas var izraisīt ODZ sašaurināšanos un rezultātā kļūdas:

Dažas izteiksmju transformācijas atbilstoši logaritmu īpašībām var izraisīt arī pretējo – ODZ paplašināšanos. Piemēram, pārejot no 4 log 2 (x+1) uz log 2 (x+1) 4, ODZ tiek paplašināts no kopas (−1, +∞) līdz (−∞, −1)∪(−1, +∞ ) . Šādas transformācijas notiek, ja sākotnējā izteiksmē paliekat ODZ. Tātad tikko minētā transformācija 4 log 2 (x+1)=log 2 (x+1) 4 notiek ODZ mainīgajā x sākotnējai izteiksmei 4 log 2 (x+1), tas ir, kad x+1> 0 , kas ir tāds pats kā (−1, +∞) .

Tagad, kad esam apsprieduši nianses, kurām jāpievērš uzmanība, pārveidojot izteiksmes ar mainīgajiem, izmantojot logaritmu īpašības, atliek izdomāt, kā pareizi veikt šīs konversijas.

X+2>0. Vai tas darbojas mūsu gadījumā? Lai atbildētu uz šo jautājumu, apskatīsim mainīgā x DPV. To nosaka nevienlīdzību sistēma , kas ir līdzvērtīgs nosacījumam x+2>0 (ja nepieciešams, skatiet rakstu nevienādību sistēmu risinājums). Tādējādi mēs varam droši pielietot pakāpes logaritma īpašību.

Mums ir
3 log(x+2) 7 −log(x+2) −5 log(x+2) 4 =
=3 7 log(x+2)−log(x+2)−5 4 log(x+2)=
=21 log(x+2)−log(x+2)−20 log(x+2)=
=(21-1-20)lg(x+2)=0 .

Varat rīkoties citādi, jo ODZ ļauj to izdarīt, piemēram, šādi:

Atbilde:

3 log(x+2) 7 −log(x+2) −5 log(x+2) 4 =0.

Un ko darīt, ja ODZ nav izpildīti nosacījumi, kas saistīti ar logaritmu īpašībām? Mēs to aplūkosim ar piemēriem.

Ļaujiet mums vienkāršot izteiksmi lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 . Šīs izteiksmes transformācija, atšķirībā no izteiksmes no iepriekšējā piemēra, neļauj brīvi izmantot pakāpes logaritma īpašību. Kāpēc? Mainīgā x ODZ šajā gadījumā ir divu intervālu x>−2 un x savienība<−2 . При x>−2 mēs varam droši pielietot pakāpes logaritma īpašību un rīkoties tāpat kā iepriekš minētajā piemērā: log(x+2) 4 −log(x+2) 2 =4 log(x+2)−2 log(x+2)=2 log(x+2). Bet ODZ satur vēl vienu intervālu x+2<0 , для которого последнее преобразование будет некорректно. Что же делать при x+2<0 ? В подобных случаях на помощь приходит . Определение модуля позволяет выражение x+2 при x+2<0 представить как −|x+2| . Тогда при x+2<0 от lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 переходим к log(−|x+2|) 4 −log(−|x+2|) 2 un tālāk, pateicoties lg|x+2| jaudas īpašībām 4−lg|x+2| 2. Iegūto izteiksmi var pārveidot atbilstoši pakāpes logaritma īpašībai, jo |x+2|>0 jebkurai mainīgā vērtībai. Mums ir log|x+2| 4−lg|x+2| 2 =4 log|x+2|−2 log|x+2|=2 log|x+2|. Tagad jūs varat atbrīvoties no moduļa, jo tas ir paveicis savu darbu. Tā kā mēs transformējamies pie x+2<0 , то 2·lg|x+2|=2·lg(−(x+2)) . Итак, можно считать, что мы справились с поставленной задачей. Ответ: . Полученный результат можно записать компактно с использованием модуля как .

Apskatīsim vēl vienu piemēru, lai padarītu pazīstamu darbu ar moduļiem. Iedomāsimies pēc izteiciena pāriet uz lineāro binomiālu x−1 , x−2 un x−3 logaritmu summu un starpību. Vispirms atrodam ODZ:

Intervālā (3, +∞) izteiksmju x−1, x−2 un x−3 vērtības ir pozitīvas, tāpēc varam droši pielietot summas un starpības logaritma īpašības:

Un intervālā (1, 2) izteiksmes x-1 vērtības ir pozitīvas, un izteiksmes x-2 un x-3 vērtības ir negatīvas. Tāpēc aplūkojamajā intervālā mēs attēlojam x−2 un x−3, izmantojot moduli kā −|x−2| un −|x−3| attiecīgi. Kurā

Tagad mēs varam pielietot reizinājuma logaritma un koeficienta īpašības, jo aplūkotajā intervālā (1, 2) izteiksmju vērtības x−1 , |x−2| un |x−3| - pozitīvs.

Mums ir

Iegūtos rezultātus var apvienot:

Kopumā līdzīga argumentācija ļauj, pamatojoties uz reizinājuma, attiecības un pakāpes logaritma formulām, iegūt trīs praktiski noderīgus rezultātus, kas ir diezgan ērti lietojami:

• Divu patvaļīgu izteiksmju X un Y reizinājuma logaritmu formā log a (X·Y) var aizstāt ar logaritmu summu log a |X|+log a |Y| , a>0, a≠1.
• Speciālo logaritmu log a (X:Y) var aizstāt ar logaritmu starpību log a |X|−log a |Y| , a>0 , a≠1 , X un Y ir patvaļīgas izteiksmes.
• No kādas izteiksmes B logaritma līdz pāra pakāpei p formā log a B p var pāriet uz izteiksmi p log a |B| , kur a>0, a≠1, p ir pāra skaitlis un B ir patvaļīga izteiksme.

Līdzīgi rezultāti ir sniegti, piemēram, M. I. Skanavi rediģētajās instrukcijās eksponenciālo un logaritmisko vienādojumu risināšanai matemātikas uzdevumu krājumā augstskolu reflektantiem.

Piemērs.

Vienkāršojiet izteiksmi .

Risinājums.

Būtu labi pielietot pakāpes, summas un starpības logaritma īpašības. Bet vai mēs to varam izdarīt šeit? Lai atbildētu uz šo jautājumu, mums jāzina ODZ.

Definēsim to:

Ir pilnīgi skaidrs, ka izteiksmēm x+4 , x−2 un (x+4) 13 mainīgā x iespējamo vērtību diapazonā var būt gan pozitīvas, gan negatīvas vērtības. Tāpēc mums būs jāstrādā caur moduļiem.

Moduļa rekvizīti ļauj pārrakstīt kā , so

Tāpat nekas neliedz izmantot pakāpes logaritma īpašību un pēc tam izmantot līdzīgus terminus:

Cita transformāciju secība noved pie tāda paša rezultāta:

un tā kā izteiksme x−2 var iegūt gan pozitīvas, gan negatīvas vērtības ODZ, ja tiek ņemts pāra eksponents 14

Sadaļas: Matemātika

Nodarbības veids: zināšanu vispārināšanas un sistematizēšanas nodarbība

Mērķi:

• papildināt studentu zināšanas par logaritmiem un to īpašībām kā daļu no vispārināšanas atkārtošanas un sagatavošanās eksāmenam;
• veicināt izglītojamo garīgās aktivitātes attīstību, teorētisko zināšanu pielietošanas prasmes, veicot vingrinājumus;
• veicināt audzēkņu personisko īpašību, paškontroles un savas darbības pašnovērtējuma prasmju attīstību; audzināt centību, pacietību, neatlaidību, neatkarību.

Aprīkojums: dators, projektors, prezentācija (1.pielikums), kartītes ar mājas darbiem (var pievienot failu ar uzdevumu elektroniskajā dienasgrāmatā).

Nodarbību laikā

I. Organizatoriskais moments. Sveiki, gatavojieties nodarbībai.

II. Mājasdarbu apspriešana.

III. Ziņa par nodarbības tēmu un mērķi. Motivācija.(1. slaids) Prezentācija.

Turpinām vispārinošo matemātikas kursa atkārtošanu, gatavojoties eksāmenam. Un šodien nodarbībā mēs runāsim par logaritmiem un to īpašībām.

Uzdevumi logaritmu aprēķināšanai un logaritmisko izteiksmju pārveidošanai noteikti ir gan pamata, gan profila līmeņa vadības un mērīšanas materiālos. Tāpēc mūsu nodarbības mērķis ir atjaunot priekšstatus par jēdziena “logaritms” nozīmi un atjaunināt logaritmisko izteiksmju konvertēšanas prasmes. Pierakstiet piezīmju grāmatiņās stundas tēmu.

IV. Zināšanu atjaunināšana.

1. /Mutiski/ Vispirms atcerēsimies to, ko sauc par logaritmu. (2. slaids)

(Pozitīva skaitļa b logaritms attiecībā pret bāzi a (kur a > 0, a? 1) ir eksponents, līdz kuram jāpalielina skaitlis a, lai iegūtu skaitli b)

Log a b = n<->a n \u003d b, (a> 0, a 1, b> 0)

Tātad “LOGARIFM” ir “EXPONENTS”!

(3. slaids) Tad a n = b var pārrakstīt kā = b ir galvenā logaritmiskā identitāte.

Ja bāze a \u003d 10, tad logaritmu sauc par decimāldaļu un apzīmē ar lgb.

Ja a \u003d e, tad logaritmu sauc par dabisku un apzīmē ar lnb.

2. /Rakstiski/ (4. slaids) Aizpildiet tukšumus, lai iegūtu pareizos vienādības:

žurnāls? x + Pieteikties a ? = Piesakies? (?y)

log a ? - Baļķi? y = žurnāls? (x/?)

Pieteikties x ? = pLog ? (?)

Pārbaude:

viens; viens; a,y,x; x,a,a,y; p,a,x.

Tās ir logaritmu īpašības. Un vēl viena īpašumu grupa: (5. slaids)

Pārbaude:

a,1,n,x; n,x,p,a; x,b,a,y; a,x,b; a,1,b.

V. Mutiskais darbs

(6. slaids) Nr.1. Aprēķināt:

a B C D) ; e) .

Atbildes : a) 4; b) - 2; in 2; d) 7; e) 27.

(7. slaids) Nr.2. Atrast X:

a) ; b) (Atbildes: a) 1/4; b) 9).

Nr.3. Vai ir jēga apsvērt šādu logaritmu:

a) ; b) ; v) ? (Nav)

VI. Patstāvīgs darbs grupās, spēcīgi studenti - konsultanti. (8. slaids)

#1 Aprēķināt: .

#2 Vienkāršot:

Nr. 3. Atrodiet izteiksmes if vērtību

#4 Vienkāršojiet izteicienu:

#5 Aprēķiniet:

#6 Aprēķināt:

#7 Aprēķiniet:

#8 Aprēķināt:

Pēc pabeigšanas - sagatavotā risinājuma pārbaude un apspriešana vai ar dokumentu kameras palīdzību.

VII. Paaugstinātas sarežģītības uzdevuma risināšana(spēcīgs students ir uz tāfeles, pārējie ir burtnīcās) (9. slaids)

Atrodiet izteiksmes vērtību:

VIII. Mājasdarbi (uz kartēm) ir diferencēti.(10. slaids)

Nr.1. Aprēķināt:

Nr.2. Atrodiet izteiksmes vērtību:

F.F.Lisenko un citi.Matemātika. Tematiskie testi 10. - 11. klase. 1. daļa / Rostova pie Donas: "Leģions", 2008

VV Kočagins Intensīvs treniņš. LIETOJIET matemātiku. / M: “Eksmo”, 2008

INTERNETA RESURSI:

1. L.V. Artamonova, matemātikas skolotāja, Moskaļenska liceja prezentācija “Logaritmu zemē”
2. A.A.Kukševa, SM “Egorjevskas vidusskola” Prezentācija “Logaritmi un to īpašības”

pamata īpašības.

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

tādi paši pamatojumi

log6 4 + log6 9.

Tagad nedaudz sarežģīsim uzdevumu.

Logaritmu risināšanas piemēri

Ko darīt, ja logaritma bāzē vai argumentā ir pakāpe? Tad šīs pakāpes eksponentu var izņemt no logaritma zīmes saskaņā ar šādiem noteikumiem:

Protams, visiem šiem noteikumiem ir jēga, ja tiek ievērots ODZ logaritms: a > 0, a ≠ 1, x >

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību:

Pāreja uz jaunu pamatu

Ļaujiet dot logaritma logaksu. Tad jebkuram ciparam c, kurā c > 0 un c ≠ 1, vienādība ir patiesa:

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību:

Skatīt arī:

Logaritma pamatīpašības

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Eksponents ir 2,718281828…. Lai atcerētos eksponentu, varat izpētīt noteikumu: eksponents ir 2,7 un divas reizes pārsniedz Ļeva Tolstoja dzimšanas gadu.

Logaritmu pamatīpašības

Zinot šo noteikumu, jūs uzzināsit gan precīzu eksponenta vērtību, gan Ļeva Tolstoja dzimšanas datumu.

Logaritmu piemēri

Paņemiet izteiksmju logaritmu

1. piemērs
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Mēs aprēķinām pēc īpašībām 3,5

2.

3.

2. piemērs Atrast x ja

Piemērs 3. Dota logaritmu vērtība

Aprēķināt log(x), ja

Logaritmu pamatīpašības

Logaritmus, tāpat kā jebkuru skaitli, var saskaitīt, atņemt un pārveidot visos iespējamos veidos. Bet, tā kā logaritmi nav gluži parasti skaitļi, šeit ir noteikumi, kurus sauc pamata īpašības.

Šie noteikumi ir jāzina – bez tiem nevar atrisināt nevienu nopietnu logaritmisku uzdevumu. Turklāt tādu ir ļoti maz – visu var apgūt vienā dienā. Tātad sāksim.

Logaritmu saskaitīšana un atņemšana

Apsveriet divus logaritmus ar vienādu bāzi: logax un logay. Pēc tam tos var pievienot un atņemt, un:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

Tātad logaritmu summa ir vienāda ar reizinājuma logaritmu, un atšķirība ir koeficienta logaritms. Lūdzu, ņemiet vērā: galvenais šeit ir - tādi paši pamatojumi. Ja bāzes atšķiras, šie noteikumi nedarbojas!

Šīs formulas palīdzēs aprēķināt logaritmisko izteiksmi pat tad, ja tās atsevišķās daļas netiek ņemtas vērā (skatiet nodarbību "Kas ir logaritms"). Apskatiet piemērus un skatiet:

Tā kā logaritmu bāzes ir vienādas, mēs izmantojam summas formulu:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log2 48 − log2 3.

Bāzes ir vienādas, mēs izmantojam atšķirības formulu:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log3 135 − log3 5.

Atkal, bāzes ir vienādas, tāpēc mums ir:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Kā redzat, sākotnējās izteiksmes sastāv no "sliktiem" logaritmiem, kas netiek apskatīti atsevišķi. Bet pēc pārvērtībām izrādās diezgan normāli skaitļi. Daudzi testi ir balstīti uz šo faktu. Jā, kontrole - līdzīgi izteicieni visā nopietnībā (dažkārt - praktiski bez izmaiņām) tiek piedāvāti eksāmenā.

Eksponenta noņemšana no logaritma

Ir viegli saprast, ka pēdējais noteikums seko viņu pirmajiem diviem. Bet tomēr labāk to atcerēties – dažos gadījumos tas ievērojami samazinās aprēķinu apjomu.

Protams, visiem šiem noteikumiem ir jēga, ja tiek ievērots ODZ logaritms: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Un vēl viena lieta: iemācīties pielietot visas formulas ne tikai no kreisās puses uz labo, bet arī otrādi, t.i. jūs varat ievadīt skaitļus pirms logaritma zīmes pašā logaritmā. Tas ir tas, kas visbiežāk tiek prasīts.

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log7 496.

Atbrīvosimies no argumenta pakāpes pēc pirmās formulas:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību:

Ņemiet vērā, ka saucējs ir logaritms, kura bāze un arguments ir precīzas pakāpes: 16 = 24; 49 = 72. Mums ir:

Es domāju, ka pēdējais piemērs ir jāprecizē. Kur ir pazuduši logaritmi? Līdz pēdējam brīdim strādājam tikai ar saucēju.

Logaritmu formulas. Logaritmi ir risinājumu piemēri.

Viņi uzrādīja tur esošā logaritma bāzi un argumentu grādu veidā un izņēma rādītājus - viņi ieguva “trīsstāvu” daļu.

Tagad apskatīsim galveno frakciju. Skaitītājam un saucējam ir vienāds skaitlis: log2 7. Tā kā log2 7 ≠ 0, mēs varam samazināt daļu - 2/4 paliks saucējā. Saskaņā ar aritmētikas likumiem četriniekus var pārnest uz skaitītāju, kas arī tika izdarīts. Rezultāts ir atbilde: 2.

Pāreja uz jaunu pamatu

Runājot par logaritmu saskaitīšanas un atņemšanas noteikumiem, īpaši uzsvēru, ka tie darbojas tikai ar vienādām bāzēm. Ko darīt, ja bāzes atšķiras? Ko darīt, ja tās nav precīzas viena un tā paša skaitļa pilnvaras?

Palīgā nāk formulas pārejai uz jaunu bāzi. Mēs tos formulējam teorēmas veidā:

Ļaujiet dot logaritma logaksu. Tad jebkuram ciparam c, kurā c > 0 un c ≠ 1, vienādība ir patiesa:

Jo īpaši, ja ievietojam c = x, mēs iegūstam:

No otrās formulas izriet, ka ir iespējams apmainīt logaritma bāzi un argumentu, taču šajā gadījumā tiek “apgriezta” visa izteiksme, t.i. logaritms ir saucējā.

Šīs formulas reti sastopamas parastajās skaitliskās izteiksmēs. To, cik tie ir ērti, var novērtēt tikai risinot logaritmiskos vienādojumus un nevienādības.

Tomēr ir uzdevumi, kurus nemaz nevar atrisināt, izņemot pāreju uz jaunu pamatu. Apskatīsim pāris no šiem:

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log5 16 log2 25.

Ņemiet vērā, ka abu logaritmu argumenti ir precīzi eksponenti. Izņemsim rādītājus: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Tagad apgriezīsim otro logaritmu:

Tā kā reizinājums nemainās no faktoru permutācijas, mēs mierīgi sareizinājām četri un divi un pēc tam izdomājām logaritmus.

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log9 100 lg 3.

Pirmā logaritma bāze un arguments ir precīzas pilnvaras. Pierakstīsim to un atbrīvosimies no rādītājiem:

Tagad atbrīvosimies no decimālā logaritma, pārejot uz jaunu bāzi:

Pamatlogaritmiskā identitāte

Bieži vien risināšanas procesā ir nepieciešams attēlot skaitli kā logaritmu noteiktai bāzei. Šajā gadījumā formulas mums palīdzēs:

Pirmajā gadījumā skaitlis n kļūst par eksponentu argumentā. Skaitlis n var būt pilnīgi jebkas, jo tā ir tikai logaritma vērtība.

Otrā formula patiesībā ir pārfrāzēta definīcija. To sauc šādi:

Patiešām, kas notiks, ja skaitlis b paaugstinās tādā pakāpē, ka skaitlis b šajā pakāpē dod skaitli a? Tieši tā: tas ir tas pats cipars a. Vēlreiz uzmanīgi izlasiet šo rindkopu - daudzi cilvēki tajā “karājas”.

Tāpat kā jaunās bāzes konvertēšanas formulas, arī pamata logaritmiskā identitāte dažkārt ir vienīgais iespējamais risinājums.

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību:

Ņemiet vērā, ka log25 64 = log5 8 - tikko izņēma kvadrātu no bāzes un logaritma argumentu. Ņemot vērā noteikumus jaudu reizināšanai ar to pašu bāzi, mēs iegūstam:

Ja kāds nezina, tas bija īsts Vienotā valsts pārbaudījuma uzdevums 🙂

Logaritmiskā vienība un logaritmiskā nulle

Noslēgumā es sniegšu divas identitātes, kuras ir grūti nosaukt par īpašībām - drīzāk tās ir sekas no logaritma definīcijas. Viņi pastāvīgi tiek atrasti problēmās un pārsteidzošā kārtā rada problēmas pat "progresīviem" studentiem.

1. logaa = 1 ir. Atcerieties vienreiz un uz visiem laikiem: logaritms jebkurai bāzei a no pašas šīs bāzes ir vienāds ar vienu.
2. loga 1 = 0 ir. Bāze a var būt jebkas, bet, ja arguments ir viens, logaritms ir nulle! Jo a0 = 1 ir tiešas definīcijas sekas.

Tās ir visas īpašības. Noteikti praktizējiet to pielietošanu praksē! Nodarbības sākumā lejupielādējiet apkrāptu lapu, izdrukājiet to un atrisiniet problēmas.

Skatīt arī:

Skaitļa b logaritms līdz bāzei a apzīmē izteiksmi. Aprēķināt logaritmu nozīmē atrast tādu jaudu x (), pie kuras vienādība ir patiesa

Logaritma pamatīpašības

Iepriekš minētās īpašības ir jāzina, jo uz to pamata gandrīz visas problēmas un piemēri tiek atrisināti, pamatojoties uz logaritmiem. Atlikušās eksotiskās īpašības var iegūt, veicot matemātiskas manipulācijas ar šīm formulām

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Aprēķinot logaritmu summas un starpības formulas (3.4), sastopamas diezgan bieži. Pārējie ir nedaudz sarežģīti, taču vairākos uzdevumos tie ir neaizstājami sarežģītu izteiksmju vienkāršošanai un to vērtību aprēķināšanai.

Bieži sastopami logaritmu gadījumi

Daži no izplatītākajiem logaritmiem ir tādi, kuros bāze ir pat desmit, eksponenciāla vai divkārša.
Desmit bāzes logaritmu parasti sauc par desmit bāzes logaritmu un vienkārši apzīmē ar lg(x).

No protokola redzams, ka pamatlietas protokolā nav ierakstītas. Piemēram

Dabiskais logaritms ir logaritms, kura bāze ir eksponents (apzīmē ln(x)).

Eksponents ir 2,718281828…. Lai atcerētos eksponentu, varat izpētīt noteikumu: eksponents ir 2,7 un divas reizes pārsniedz Ļeva Tolstoja dzimšanas gadu. Zinot šo noteikumu, jūs uzzināsit gan precīzu eksponenta vērtību, gan Ļeva Tolstoja dzimšanas datumu.

Un vēl viens svarīgs logaritms ir

Funkcijas logaritma atvasinājums ir vienāds ar vienu, kas dalīts ar mainīgo

Integrālo jeb antiderivatīvo logaritmu nosaka atkarība

Iepriekš minētais materiāls ir pietiekams, lai atrisinātu plašu ar logaritmiem un logaritmiem saistītu uzdevumu klasi. Lai asimilētu materiālu, es sniegšu tikai dažus izplatītus piemērus no skolas mācību programmas un universitātēm.

Logaritmu piemēri

Paņemiet izteiksmju logaritmu

1. piemērs
a). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Mēs aprēķinām pēc īpašībām 3,5

2.
Pēc logaritmu atšķirības īpašībām mums ir

3.
Izmantojot īpašības 3.5, mēs atrodam

Šķietami sarežģīta izteiksme, izmantojot virkni noteikumu, tiek vienkāršota līdz formai

Logaritma vērtību atrašana

2. piemērs Atrast x ja

Risinājums. Aprēķiniem mēs izmantojam rekvizītus 5 un 13 līdz pēdējam termiņam

Aizstāt ierakstā un sērot

Tā kā bāzes ir vienādas, mēs vienādojam izteiksmes

Logaritmi. Pirmais līmenis.

Dota logaritmu vērtība

Aprēķināt log(x), ja

Risinājums: izmantojiet mainīgā logaritmu, lai rakstītu logaritmu caur terminu summu

Tas ir tikai sākums iepazīšanai ar logaritmiem un to īpašībām. Praktizējiet aprēķinus, bagātiniet savas praktiskās iemaņas – iegūtās zināšanas drīzumā būs nepieciešamas logaritmisko vienādojumu risināšanai. Izpētījuši šādu vienādojumu risināšanas pamatmetodes, mēs paplašināsim jūsu zināšanas par citu tikpat svarīgu tēmu - logaritmiskās nevienādības ...

Logaritmu pamatīpašības

Logaritmus, tāpat kā jebkuru skaitli, var saskaitīt, atņemt un pārveidot visos iespējamos veidos. Bet, tā kā logaritmi nav gluži parasti skaitļi, šeit ir noteikumi, kurus sauc pamata īpašības.

Šie noteikumi ir jāzina – bez tiem nevar atrisināt nevienu nopietnu logaritmisku uzdevumu. Turklāt tādu ir ļoti maz – visu var apgūt vienā dienā. Tātad sāksim.

Logaritmu saskaitīšana un atņemšana

Apsveriet divus logaritmus ar vienādu bāzi: logax un logay. Pēc tam tos var pievienot un atņemt, un:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax − logay = log(x: y).

Tātad logaritmu summa ir vienāda ar reizinājuma logaritmu, un atšķirība ir koeficienta logaritms. Lūdzu, ņemiet vērā: galvenais šeit ir - tādi paši pamatojumi. Ja bāzes atšķiras, šie noteikumi nedarbojas!

Šīs formulas palīdzēs aprēķināt logaritmisko izteiksmi pat tad, ja tās atsevišķās daļas netiek ņemtas vērā (skatiet nodarbību "Kas ir logaritms"). Apskatiet piemērus un skatiet:

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log6 4 + log6 9.

Tā kā logaritmu bāzes ir vienādas, mēs izmantojam summas formulu:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log2 48 − log2 3.

Bāzes ir vienādas, mēs izmantojam atšķirības formulu:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log3 135 − log3 5.

Atkal, bāzes ir vienādas, tāpēc mums ir:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Kā redzat, sākotnējās izteiksmes sastāv no "sliktiem" logaritmiem, kas netiek apskatīti atsevišķi. Bet pēc pārvērtībām izrādās diezgan normāli skaitļi. Daudzi testi ir balstīti uz šo faktu. Jā, kontrole - līdzīgi izteicieni visā nopietnībā (dažkārt - praktiski bez izmaiņām) tiek piedāvāti eksāmenā.

Eksponenta noņemšana no logaritma

Tagad nedaudz sarežģīsim uzdevumu. Ko darīt, ja logaritma bāzē vai argumentā ir pakāpe? Tad šīs pakāpes eksponentu var izņemt no logaritma zīmes saskaņā ar šādiem noteikumiem:

Ir viegli saprast, ka pēdējais noteikums seko viņu pirmajiem diviem. Bet tomēr labāk to atcerēties – dažos gadījumos tas ievērojami samazinās aprēķinu apjomu.

Protams, visiem šiem noteikumiem ir jēga, ja tiek ievērots ODZ logaritms: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Un vēl viena lieta: iemācīties pielietot visas formulas ne tikai no kreisās puses uz labo, bet arī otrādi, t.i. jūs varat ievadīt skaitļus pirms logaritma zīmes pašā logaritmā.

Kā atrisināt logaritmus

Tas ir tas, kas visbiežāk tiek prasīts.

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log7 496.

Atbrīvosimies no argumenta pakāpes pēc pirmās formulas:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību:

Ņemiet vērā, ka saucējs ir logaritms, kura bāze un arguments ir precīzas pakāpes: 16 = 24; 49 = 72. Mums ir:

Es domāju, ka pēdējais piemērs ir jāprecizē. Kur ir pazuduši logaritmi? Līdz pēdējam brīdim strādājam tikai ar saucēju. Viņi uzrādīja tur esošā logaritma bāzi un argumentu grādu veidā un izņēma rādītājus - viņi ieguva “trīsstāvu” daļu.

Tagad apskatīsim galveno frakciju. Skaitītājam un saucējam ir vienāds skaitlis: log2 7. Tā kā log2 7 ≠ 0, mēs varam samazināt daļu - 2/4 paliks saucējā. Saskaņā ar aritmētikas likumiem četriniekus var pārnest uz skaitītāju, kas arī tika izdarīts. Rezultāts ir atbilde: 2.

Pāreja uz jaunu pamatu

Runājot par logaritmu saskaitīšanas un atņemšanas noteikumiem, īpaši uzsvēru, ka tie darbojas tikai ar vienādām bāzēm. Ko darīt, ja bāzes atšķiras? Ko darīt, ja tās nav precīzas viena un tā paša skaitļa pilnvaras?

Palīgā nāk formulas pārejai uz jaunu bāzi. Mēs tos formulējam teorēmas veidā:

Ļaujiet dot logaritma logaksu. Tad jebkuram ciparam c, kurā c > 0 un c ≠ 1, vienādība ir patiesa:

Jo īpaši, ja ievietojam c = x, mēs iegūstam:

No otrās formulas izriet, ka ir iespējams apmainīt logaritma bāzi un argumentu, taču šajā gadījumā tiek “apgriezta” visa izteiksme, t.i. logaritms ir saucējā.

Šīs formulas reti sastopamas parastajās skaitliskās izteiksmēs. To, cik tie ir ērti, var novērtēt tikai risinot logaritmiskos vienādojumus un nevienādības.

Tomēr ir uzdevumi, kurus nemaz nevar atrisināt, izņemot pāreju uz jaunu pamatu. Apskatīsim pāris no šiem:

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log5 16 log2 25.

Ņemiet vērā, ka abu logaritmu argumenti ir precīzi eksponenti. Izņemsim rādītājus: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Tagad apgriezīsim otro logaritmu:

Tā kā reizinājums nemainās no faktoru permutācijas, mēs mierīgi sareizinājām četri un divi un pēc tam izdomājām logaritmus.

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log9 100 lg 3.

Pirmā logaritma bāze un arguments ir precīzas pilnvaras. Pierakstīsim to un atbrīvosimies no rādītājiem:

Tagad atbrīvosimies no decimālā logaritma, pārejot uz jaunu bāzi:

Pamatlogaritmiskā identitāte

Bieži vien risināšanas procesā ir nepieciešams attēlot skaitli kā logaritmu noteiktai bāzei. Šajā gadījumā formulas mums palīdzēs:

Pirmajā gadījumā skaitlis n kļūst par eksponentu argumentā. Skaitlis n var būt pilnīgi jebkas, jo tā ir tikai logaritma vērtība.

Otrā formula patiesībā ir pārfrāzēta definīcija. To sauc šādi:

Patiešām, kas notiks, ja skaitlis b paaugstinās tādā pakāpē, ka skaitlis b šajā pakāpē dod skaitli a? Tieši tā: tas ir tas pats cipars a. Vēlreiz uzmanīgi izlasiet šo rindkopu - daudzi cilvēki tajā “karājas”.

Tāpat kā jaunās bāzes konvertēšanas formulas, arī pamata logaritmiskā identitāte dažkārt ir vienīgais iespējamais risinājums.

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību:

Ņemiet vērā, ka log25 64 = log5 8 - tikko izņēma kvadrātu no bāzes un logaritma argumentu. Ņemot vērā noteikumus jaudu reizināšanai ar to pašu bāzi, mēs iegūstam:

Ja kāds nezina, tas bija īsts Vienotā valsts pārbaudījuma uzdevums 🙂

Logaritmiskā vienība un logaritmiskā nulle

Noslēgumā es sniegšu divas identitātes, kuras ir grūti nosaukt par īpašībām - drīzāk tās ir sekas no logaritma definīcijas. Viņi pastāvīgi tiek atrasti problēmās un pārsteidzošā kārtā rada problēmas pat "progresīviem" studentiem.

1. logaa = 1 ir. Atcerieties vienreiz un uz visiem laikiem: logaritms jebkurai bāzei a no pašas šīs bāzes ir vienāds ar vienu.
2. loga 1 = 0 ir. Bāze a var būt jebkas, bet, ja arguments ir viens, logaritms ir nulle! Jo a0 = 1 ir tiešas definīcijas sekas.

Tās ir visas īpašības. Noteikti praktizējiet to pielietošanu praksē! Nodarbības sākumā lejupielādējiet apkrāptu lapu, izdrukājiet to un atrisiniet problēmas.

Uzdevumi, kuru risinājums ir logaritmisko izteiksmju konvertēšana, diezgan bieži atrodams eksāmenā.

Lai veiksmīgi tiktu galā ar tām ar minimālu laika patēriņu, papildus logaritmiskajām pamatidentitātēm ir jāzina un pareizi jāizmanto vēl dažas formulas.

Tas ir: a log a b = b, kur a, b > 0, a ≠ 1 (Tas izriet tieši no logaritma definīcijas).

log a b = log c b / log c a vai log a b = 1/log b a
kur a, b, c > 0; a, c ≠ 1.

log a m b n = (m/n) log |a| |b|
kur a, b > 0, a ≠ 1, m, n Є R, n ≠ 0.

a log c b = b log c a
kur a, b, c > 0 un a, b, c ≠ 1

Lai parādītu ceturtās vienādības derīgumu, mēs ņemam kreisās un labās puses logaritmu bāzē a. Mēs iegūstam log a (a log c b) = log a (b log c a) vai log c b = log c a log a b; log c b = log c a (log c b / log c a); baļķis ar b = baļķis ar b.

Mēs esam pierādījuši logaritmu vienādību, kas nozīmē, ka arī izteiksmes zem logaritmiem ir vienādas. Formula 4 ir pierādīta.

1. piemērs

Aprēķināt 81 log 27 5 log 5 4 .

Risinājums.

81 = 3 4 , 27 = 3 3 .

log 27 5 = 1/3 log 3 5, log 5 4 = log 3 4 / log 3 5. Tāpēc

log 27 5 log 5 4 = 1/3 log 3 5 (log 3 4 / log 3 5) = 1/3 log 3 4.

Tad 81 log 27 5 log 5 4 = (3 4) 1/3 log 3 4 = (3 log 3 4) 4/3 = (4) 4/3 = 4 3 √4.

Jūs pats varat izpildīt tālāk norādīto uzdevumu.

Aprēķināt (8 log 2 3 + 3 1 / log 2 3) - log 0,2 5.

Kā mājienu, 0,2 = 1/5 = 5 -1 ; log 0,2 5 = -1.

Atbilde: 5.

2. piemērs

Aprēķināt (√11) žurnāls √3 9 log 121 81 .

Risinājums.

Aizstāsim izteiksmes: 9 = 3 2 , √3 = 3 1/2 , log √3 9 = 4,

121 = 11 2, 81 = 3 4, log 121 81 = 2 log 11 3 (tika izmantota 3. formula).

Tad (√11) log √3 9- log 121 81 = (11 1/2) 4-2 log 11 3 = (11) 2- log 11 3 = 11 2 / (11) log 11 3 = 11 2 / ( 11 log 11 3) = 121/3.

3. piemērs

Aprēķināt log 2 24 / log 96 2 - log 2 192 / log 12 2.

Risinājums.

Mēs aizstāsim piemērā ietvertos logaritmus ar logaritmiem ar 2. bāzi.

log 96 2 = 1/log 2 96 = 1/log 2 (2 5 3) = 1/(log 2 2 5 + log 2 3) = 1/(5 + log 2 3);

log 2 192 = log 2 (2 6 3) = (log 2 2 6 + log 2 3) = (6 + log 2 3);

log 2 24 = log 2 (2 3 3) = (log 2 2 3 + log 2 3) = (3 + log 2 3);

log 12 2 = 1/log 2 12 = 1/log 2 (2 2 3) = 1/(log 2 2 2 + log 2 3) = 1/(2 + log 2 3).

Tad log 2 24 / log 96 2 – log 2 192 / log 12 2 = (3 + log 2 3) / (1/(5 + log 2 3)) – ((6 + log 2 3) / (1/( 2 + log 2 3)) =

= (3 + log 2 3) (5 + log 2 3) – (6 + log 2 3) (2 + log 2 3).

Pēc iekavu atvēršanas un līdzīgu terminu samazināšanas iegūstam skaitli 3. (Vienkāršojot izteiksmi, log 2 3 var apzīmēt ar n un vienkāršot izteiksmi

(3 + n) (5 + n) – (6 + n) (2 + n)).

Atbilde: 3.

Jūs varat patstāvīgi veikt šādas darbības:

Aprēķināt (log 3 4 + log 4 3 + 2) log 3 16 log 2 144 3.

Šeit nepieciešams veikt pāreju uz logaritmiem 3. bāzē un sadalīšanu lielu skaitļu pirmfaktoros.

Atbilde: 1/2

4. piemērs

Tiek doti trīs skaitļi A \u003d 1 / (log 3 0,5), B \u003d 1 / (log 0,5 3), C \u003d log 0,5 12 - log 0,5 3. Sakārtojiet tos augošā secībā.

Risinājums.

Pārveidosim skaitļus A \u003d 1 / (log 3 0,5) \u003d log 0,5 3; C \u003d log 0,5 12 - log 0,5 3 \u003d log 0,5 12/3 \u003d log 0,5 4 \u003d -2.

Salīdzināsim tos

log 0,5 3 > log 0,5 4 = -2 un log 0,5 3< -1 = log 0,5 2, так как функция у = log 0,5 х – убывающая.

vai 2< log 0,5 3 < -1. Тогда -1 < 1/(log 0,5 3) < -1/2.

Atbilde. Tāpēc skaitļu izvietošanas secība: C; A; V.

5. piemērs

Cik veselu skaitļu ir intervālā (log 3 1 / 16 ; log 2 6 48).

Risinājums.

Noteiksim, starp kādiem skaitļa 3 pakāpēm ir skaitlis 1/16. Mēs iegūstam 1/27< 1 / 16 < 1 / 9 .

Tā kā funkcija y \u003d log 3 x palielinās, tad log 3 (1/27)< log 3 (1 / 16) < log 3 (1 / 9); -3 < log 3 (1 / 16) < -2.

log 6 48 = log 6 (36 4 / 3) = log 6 36 + log 6 (4 / 3) = 2 + log 6 (4 / 3). Salīdziniet žurnālu 6 (4/3) un 1/5. Un šim nolūkam mēs salīdzinām skaitļus 4/3 un 6 1/5. Palieliniet abus skaitļus līdz 5. pakāpei. Mēs iegūstam (4/3) 5 = 1024 / 243 = 4 52 / 243< 6. Следовательно,

žurnāls 6 (4/3)< 1 / 5 . 2 < log 6 48 < 2 1 / 5 . Числа, входящие в двойное неравенство, положительные. Их можно возводить в квадрат. Знаки неравенства при этом не изменятся. Тогда 4 < log 6 2 48 < 4 21 / 25.

Tāpēc intervāls (log 3 1 / 16 ; log 6 48) ietver intervālu [-2; 4] un uz tā novietoti veseli skaitļi -2; - viens; 0; viens; 2; 3; 4.

Atbilde: 7 veseli skaitļi.

6. piemērs

Aprēķināt 3 lglg 2/ lg 3 - lg20.

Risinājums.

3 lg lg 2/ lg 3 = (3 1/ lg3) lg lg 2 = (3 lo g 3 10) lg lg 2 = 10 lg lg 2 = lg2.

Tad 3 lglg2/lg3 - lg 20 = lg 2 - lg 20 = lg 0,1 = -1.

Atbilde: -1.

7. piemērs

Ir zināms, ka log 2 (√3 + 1) + log 2 (√6 - 2) = A. Atrodiet log 2 (√3 -1) + log 2 (√6 + 2).

Risinājums.

Cipari (√3 + 1) un (√3 - 1); (√6 - 2) un (√6 + 2) ir konjugēti.

Veiksim šādu izteiksmju transformāciju

√3 – 1 = (√3 – 1) (√3 + 1)) / (√3 + 1) = 2/(√3 + 1);

√6 + 2 = (√6 + 2) (√6 - 2)) / (√6 - 2) = 2/(√6 - 2).

Tad log 2 (√3 – 1) + log 2 (√6 + 2) = log 2 (2/(√3 + 1)) + log 2 (2/(√6 – 2)) =

2 2 baļķis – 2 baļķis (√3 + 1) + 2 log 2 – 2 (√6 – 2) = 1 – baļķis 2 (√3 + 1) + 1 – baļķis 2 (√6 – 2) =

2 — log 2 (√3 + 1) — log 2 (√6–2) = 2 – A.

Atbilde: 2 - A.

8. piemērs.

Vienkāršojiet un atrodiet izteiksmes aptuveno vērtību (log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 ... log 10 9.

Risinājums.

Mēs samazinām visus logaritmus līdz kopējai bāzei 10.

(log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 … log 10 9 = (log 2 / log 3) (log 3 / log 4) (log 4 / log 5) (log 5 / lg 6) ... . .. (lg 8 / lg 9) lg 9 \u003d lg 2 ≈ 0,3010. (Aptuveno lg 2 vērtību var atrast, izmantojot tabulu, slaidu kārtulu vai kalkulatoru).

Atbilde: 0,3010.

9. piemērs.

Aprēķiniet log a 2 b 3 √(a 11 b -3), ja log √ a b 3 = 1. (Šajā piemērā a 2 b 3 ir logaritma bāze).

Risinājums.

Ja log √ a b 3 = 1, tad 3/(0,5 log a b = 1. Un log a b = 1/6.

Tad log a 2 b 3√(a 11 b -3) = 1/2 log a 2 b 3 (a 11 b -3) = log a (a 11 b -3) / (2log a (a 2 b 3) ) = (log aa 11 + log ab -3) / (2 (log aa 2 + log ab 3)) = (11 - 3log ab) / (2(2 + 3log ab)), ka log un b = 1/6 mēs iegūstam (11 – 3 1/6) / (2(2 + 3 1/6)) = 10,5/5 = 2,1.

Atbilde: 2.1.

Jūs varat patstāvīgi veikt šādas darbības:

Aprēķināt log √3 6 √2.1, ja log 0.7 27 = a.

Atbilde: (3 + a) / (3a).

10. piemērs

Aprēķināt 6,5 4/ log 3 169 3 1/ log 4 13 + log125.

Risinājums.

6,5 4/ log 3 169 3 1/ log 4 13 + log 125 = (13/2) 4/2 log 3 13 3 2/ log 2 13 + 2 log 5 5 3 = (13/2) 2 log 13 3 3 2 log 13 2 + 6 = (13 log 13 3 / 2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = (3/2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = (3 2) /(2 log 13 3) 2) (2 log 13 3) 2 + 6.

(2 log 13 3 = 3 log 13 2 (formula 4))

Mēs iegūstam 9 + 6 = 15.

Atbilde: 15.

Vai jums ir kādi jautājumi? Vai neesat pārliecināts, kā atrast logaritmiskās izteiksmes vērtību?
Lai saņemtu pasniedzēja palīdzību - reģistrējieties.
Pirmā nodarbība bez maksas!

vietne, pilnībā vai daļēji kopējot materiālu, ir nepieciešama saite uz avotu.