Nosakiet, kuru līniju nosaka vienādojums, lai izveidotu zīmējumu. Līnijas vienādojuma jēdziens

9.§ Taisnes vienādojuma jēdziens.

Definējiet līniju, izmantojot vienādojumu

F formas vienlīdzība (x, y) = 0 sauc par vienādojumu ar diviem mainīgajiem x, y, ja tā nav taisnība visiem skaitļu pāriem x, y. Viņi saka divus skaitļus x = x 0 , y=y 0, izpildīt kādu formas vienādojumu F(x, y)=0, ja aizstājot šos skaitļus mainīgo vietā X un plkst vienādojumā tā kreisā puse pazūd.

Dotās taisnes vienādojums (piešķirtajā koordinātu sistēmā) ir tāds vienādojums ar diviem mainīgajiem, ko apmierina katra uz šīs taisnes esošā punkta koordinātas, nevis apmierina katra uz tās neatrastā punkta koordinātas.

Nākotnē izteiciena vietā "ņemot vērā līnijas vienādojumu F(x, y) = 0" mēs bieži teiksim īsāk: dota rinda F(x, y) = 0.

Doti divu līniju vienādojumi F(x, y) = 0 un Ф(x, y) = Q, tad sistēmas kopīgais risinājums

Norāda visus to krustpunktus. Precīzāk, katrs skaitļu pāris , kas ir šīs sistēmas kopīgs risinājums, nosaka vienu no krustošanās punktiem.

1)X 2 +y 2 = 8, x-y = 0;

2) X 2 +y 2 -16x+4plkst+18 = 0, x + y= 0;

3) X 2 +y 2 -2x+4plkst -3 = 0, X 2 + y 2 = 25;

4) X 2 +y 2 -8x+10 g. +40 = 0, X 2 + y 2 = 4.

163. Punkti ir doti polāro koordinātu sistēmā

Nosakiet, kuri no šiem punktiem atrodas uz taisnes, kas noteikta ar vienādojumu polārajās koordinātēs  = 2 cos , un kuri neatrodas uz tās. Kuru līniju nosaka šis vienādojums? (Parādi uz zīmējuma :)

164. Uz taisnes, kas noteikta ar vienādojumu  =
, atrodiet punktus, kuru polārie leņķi ir vienādi ar šādiem skaitļiem: a) ,b) - , c) 0, d) . Kuru līniju nosaka šis vienādojums?

(Izveidojiet to uz zīmējuma.)

165. Uz taisnes, kas noteikta ar vienādojumu  =
, atrodiet punktus, kuru polārie rādiusi ir vienādi ar šādiem skaitļiem: a) 1, b) 2, c)
. Kuru līniju nosaka šis vienādojums? (Izveidojiet to uz zīmējuma.)

166. Nosakiet, kuras taisnes polārajās koordinātēs nosaka ar šādiem vienādojumiem (veidojiet tos uz zīmējuma):

1)  = 5; 2)  = ; 3)  = ; 4)  cos  = 2; 5)  grēks  = 1;

6)  = 6 cos ; 7)  = 10 sin ; 8) grēks  =

Vienādību formā F(x, y) = 0 sauc par vienādojumu ar diviem mainīgajiem x, y, ja tas nav derīgs nevienam skaitļu pārim x, y. Viņi saka, ka divi skaitļi x \u003d x 0, y \u003d y 0 atbilst kādam vienādojumam formā F (x, y) \u003d 0, ja, kad šie skaitļi vienādojumā tiek aizstāti ar mainīgajiem x un y, tā ir pa kreisi. puse pazūd.

Dotās taisnes vienādojums (piešķirtajā koordinātu sistēmā) ir vienādojums divos mainīgos, ko apmierina katra punkta koordinātas, kas atrodas uz šīs taisnes, un neapmierina katra punkta koordinātas, kas uz tās neatrodas.

Tālāk izteiksmes “ievērojot taisnes F(x, y) = 0 vienādojumu” vietā mēs bieži teiksim īsāk: ja līnija F(x, y) = 0.

Ja ir doti vienādojumi divām taisnēm F(x, y) = 0 un Ф(x, y) = 0, tad sistēmas kopīgais risinājums

F(x, y) = 0, F(x, y) = 0

norāda visus to krustpunktus. Precīzāk, katrs skaitļu pāris, kas ir šīs sistēmas kopīgs risinājums, nosaka vienu no krustošanās punktiem,

157. Doti punkti *) M 1 (2; -2), M 2 (2; 2), M 3 (2; - 1), M 4 (3; -3), M 5 (5; -5), M 6 (3; -2). Nosakiet, kuri no dotajiem punktiem atrodas uz taisnes, kas definēta ar vienādojumu x + y = 0, un kuri neatrodas uz tās. Kuru līniju nosaka šis vienādojums? (Parādiet to zīmējumā.)

158. Uz taisnes, kas noteikta ar vienādojumu x 2 + y 2 \u003d 25, atrod punktus, kuru abscises ir vienādas ar šādiem skaitļiem: 1) 0, 2) -3, 3) 5, 4) 7; tajā pašā taisnē atrodiet punktus, kuru ordinātas ir vienādas ar šādiem skaitļiem: 5) 3, 6) -5, 7) -8. Kuru līniju nosaka šis vienādojums? (Parādiet to zīmējumā.)

159. Nosakiet, kuras līnijas nosaka šādi vienādojumi (veidojiet tos zīmējumā): 1) x - y \u003d 0; 2) x + y = 0; 3) x - 2 = 0; 4)x + 3 = 0; 5) y - 5 = 0; 6) y + 2 = 0; 7) x = 0; 8) y = 0; 9) x 2 — xy \u003d 0; 10) xy + y 2 = 0; 11) x 2 — y 2 \u003d 0; 12) xy = 0; 13) 2 - 9 = 0; 14) x 2 - 8x + 15 = 0; 15) y 2 + ar + 4 = 0; 16) x 2 y - 7xy + 10y = 0; 17) y — |x|; 18) x - |y|; 19) y + |x| = 0; 20) x + |y| = 0; 21) y = |x - 1|; 22) y = |x + 2|; 23) x 2 + y 2 = 16; 24) (x - 2) 2 + (y - 1) 2 \u003d 16; 25 (x + 5) 2 + (y-1) 2 = 9; 26) (x - 1) 2 + y 2 = 4; 27) x 2 + (y + 3) 2 = 1; 28) (x - 3) 2 + y 2 = 0; 29) x2 + 2y2 = 0; 30) 2x2 + 3y2 + 5 = 0; 31) (x - 2) 2 + (y + 3) 2 + 1 = 0.

160. Dotas rindas: l)x + y = 0; 2) x - y \u003d 0; 3) x 2 + y 2 - 36 = 0; 4) x 2 + y 2 - 2x + y \u003d 0; 5) x 2 + y 2 + 4x - 6y - 1 = 0. Nosakiet, kuri no tiem iet caur izcelsmi.

161. Rindas dotas: 1) x 2 + y 2 = 49; 2) (x - 3) 2 + (y + 4) 2 = 25; 3) (x + 6) 2 + (y - Z) 2 = 25; 4) (x + 5) 2 + (y - 4) 2 = 9; 5) x 2 + y 2 - 12x + 16y - 0; 6) x 2 + y 2 - 2x + 8y + 7 = 0; 7) x 2 + y 2 - 6x + 4y + 12 = 0. Atrodiet to krustošanās punktus: a) ar x asi; b) ar Oy asi.

162. Atrodiet divu taisnu krustpunktus:

1) x 2 + y 2 - 8; x - y \u003d 0;

2) x 2 + y 2 - 16x + 4y + 18 = 0; x + y = 0;

3) x 2 + y 2 - 2x + 4y - 3 = 0; x 2 + y 2 = 25;

4) x 2 + y 2 - 8y + 10y + 40 = 0; x 2 + y 2 = 4.

163. Punkti M 1 (l; π/3), M 2 (2; 0), M 3 (2; π/4), M 4 (√3; π/6) un M 5 ( 1; 2/3π ). Nosakiet, kuri no šiem punktiem atrodas uz taisnes, kas polārajās koordinātēs noteikta ar vienādojumu p = 2cosΘ, un kuri neatrodas uz tās. Kuru līniju nosaka šis vienādojums? (Parādiet to zīmējumā.)

164. Uz līnijas, kas noteikta ar vienādojumu p \u003d 3 / cosΘ, atrodiet punktus, kuru polārie leņķi ir vienādi ar šādiem skaitļiem: a) π / 3, b) - π / 3, c) 0, d) π / 6 . Kuru līniju nosaka šis vienādojums? (Izveidojiet to uz zīmējuma.)

165. Uz taisnes, kas definēta ar vienādojumu p \u003d 1 / sinΘ, atrodiet punktus, kuru polārie rādiusi ir vienādi ar šādiem skaitļiem: a) 1 6) 2, c) √2. Kuru līniju nosaka šis vienādojums? (Izveidojiet to uz zīmējuma.)

166. Nosakiet, kuras līnijas polārajās koordinātēs nosaka pēc šādiem vienādojumiem (veidojiet tos zīmējumā): 1) p \u003d 5; 2) Θ = π/2; 3) Θ = - π/4; 4) р cosΘ = 2; 5) p sinΘ = 1; 6.) p = 6cosΘ; 7) p = 10 sinΘ; 8) sinΘ = 1/2; 9) sinp = 1/2.

167. Uz zīmējuma izveidojiet šādas Arhimēda spirāles: 1) p = 20; 2) p = 50; 3) p = Θ/π; 4) p \u003d -Θ / π.

168. Uz zīmējuma izveidojiet šādas hiperboliskās spirāles: 1) p = 1/Θ; 2) p = 5/Θ; 3) р = π/Θ; 4) р= - π/Θ

169. Zīmējumā uzkonstruē šādas logaritmiskās spirāles: 1) p \u003d 2 Θ; 2) p = (1/2) Θ .

170. Nosakiet to segmentu garumu, kuros Arhimēda spirāle p = 3Θ sagriež staru, kas iziet no pola un ir slīps pret polāro asi leņķī Θ = π / 6. Izveidojiet zīmējumu.

171. Punkts C ņemts uz Arhimēda spirāles p \u003d 5 / πΘ, kuras polārais rādiuss ir 47. Nosakiet, cik daļās šī spirāle sagriež punkta C polāro rādiusu. Izveidojiet zīmējumu.

172. Uz hiperboliskās spirāles P \u003d 6 / Θ atrodiet punktu P, kura polārais rādiuss ir 12. Izveidojiet zīmējumu.

173. Uz logaritmiskās spirāles p \u003d 3 Θ atrodiet punktu P, kura polārais rādiuss ir 81. Izveidojiet zīmējumu.

Vissvarīgākais analītiskās ģeometrijas jēdziens ir plaknes taisnes vienādojums.

Definīcija. Taisnes (līknes) vienādojums plaknē Oxy sauc par vienādojumu, kas atbilst koordinātām x un y katru šīs taisnes punktu un neapmierina neviena punkta koordinātas, kas neatrodas uz šīs taisnes (1. att.).

Kopumā līnijas vienādojumu var uzrakstīt kā F(x,y)=0 vai y=f(x).

Piemērs. Atrodiet vienādojumu punktu kopai, kas atrodas vienādā attālumā no punktiem A(-4;2), B(-2;-6).

Risinājums. Ja M(x;y) ir patvaļīgs vēlamās līnijas punkts (2. att.), tad mums ir AM=BM vai

Pēc pārvērtībām mēs iegūstam

Acīmredzot tas ir taisnas līnijas vienādojums. MD- perpendikulārs atjaunots no segmenta vidus AB.

No visām līnijām lidmašīnā īpaša nozīme ir taisne. Tas ir lineāras funkcijas grafiks, ko praksē izmanto visbiežāk sastopamajos lineārajos ekonomiskajos un matemātiskajos modeļos.

Dažādi taisnes vienādojumu veidi:

1) ar slīpumu k un sākotnējo ordinātu b:

y = kx + b,

kur ir leņķis starp taisni un ass pozitīvo virzienu Ak!(3. att.).

Īpaši gadījumi:

- līnija iet cauri izcelsmi(4. att.):

– bisektors pirmais un trešais, otrais un ceturtais koordinātu leņķis:

y=+x, y=-x;

- taisni paralēli x asij un viņa pati VĒRSIS ass(5. att.):

y=b, y=0;

- taisni paralēli OY asij un viņa pati OY ass(6. att.):

x=a, x=0;

2) braucot garām šajā virzienā (ar slīpumu) k caur doto punktu (7. att.) :

.

Ja iepriekš minētajā vienādojumā k ir patvaļīgs skaitlis, tad vienādojums definē taisnu līniju saišķis iet caur punktu , izņemot taisnu līniju, kas ir paralēla asij Ak.

PiemērsA(3,-2):

a) leņķī pret asi OH;

b) paralēli asij OY.

Risinājums.

a) , y-(-2) = -1 (x-3) vai y=-x+1;

b) x=3.

3) izejot cauri diviem dotajiem punktiem (8. att.) :

.

Piemērs. Uzrakstiet taisnas līnijas vienādojumu, kas iet caur punktiem A(-5,4), B(3,-2).

Risinājums. ,

4) taisnes vienādojums segmentos (9. att.):

kur a, b- segmenti nogriezti uz asīm, attiecīgi Vērsis un Ak.

Piemērs. Uzrakstiet vienādojumu taisnei, kas iet caur punktu A(2,-1), ja šī līnija nogriežas no pozitīvās pusass Oy divreiz garāks segments nekā no pozitīvās pusass Vērsis(10. att.).

Risinājums. Pēc nosacījuma b=2a, tad. Nomainiet punkta koordinātas A(2,-1):

Kur a=1,5.

Visbeidzot mēs iegūstam:

Or y=-2x+3.

5) taisnes vispārīgais vienādojums:

Ax+By+C=0,

kur a un b tajā pašā laikā nav vienāds ar nulli.

Daži svarīgi taisnu līniju raksturlielumi :

1) attālums d no punkta līdz taisnei:

.

2) leņķis starp taisnēm un attiecīgi:

un .

3) paralēlo līniju stāvoklis:

vai .

4) līniju perpendikulitātes nosacījums:

vai .

1. piemērs. Uzrakstiet vienādojumu divām taisnēm, kas iet caur punktu A(5.1), no kuriem viens ir paralēls līnijai 3x+2y-7=0 un otrs ir perpendikulārs tai pašai taisnei. Atrodiet attālumu starp paralēlām līnijām.

Risinājums. 11. attēls.

1) paralēlas taisnes vienādojums Ax+By+C=0:

no paralēlisma nosacījuma ;

ņemot proporcionalitātes koeficientu, kas vienāds ar 1, mēs iegūstam A=3, B=2;

tad. 3x+2y+C=0;

nozīmē AR atrast, aizstājot koordinātas A(5,1),

3*5+2*1+C=0, kur C=-17;

paralēlas taisnes vienādojums ir 3x+2y-17=0.

2) perpendikulāras taisnes vienādojums no perpendikularitātes nosacījuma būs forma 2x-3y+C=0;

aizstājot koordinātas A(5.1), saņemam 2*5-3*1+C=0, kur C=-7;

perpendikulāras taisnes vienādojums ir 2x-3y-7=0.

3) attālums starp paralēlām līnijām var atrast kā attālumu no A(5.1) pirms dota tieši 3x+2y-7=0:

.

2. piemērs. Doti trīsstūra malu vienādojumi:

3x-4y+24=0 (AB), 4x+3y+32=0 (BC), 2x-y-4=0 (AC).

Uzrakstiet vienādojumu leņķa bisektrisei ABC.

Risinājums. Vispirms atrodiet virsotnes koordinātas V trīsstūris:

,

kur x=-8, y=0, tie. B(-8,0)(12. att.) .

Pēc attāluma no katra punkta bisektrise īpašību M(x,y), bisektori BD līdz sāniem AB un saule ir vienādi, t.i.

,

Mēs iegūstam divus vienādojumus

x+7y+8=0, 7x-y+56=0.

No 12. attēla vēlamās taisnes slīpums ir negatīvs (leņķis ar Ak strups), tāpēc pirmais vienādojums mums ir piemērots x+7y+8=0 vai y=-1/7x-8/7.

Apsveriet funkciju, kas dota ar formulu (vienādojumu)

Šī funkcija un līdz ar to arī vienādojums (11) plaknē atbilst precīzi noteiktai līnijai, kas ir šīs funkcijas grafiks (sk. 20. att.). No funkcijas grafika definīcijas izriet, ka šī taisne sastāv no tiem un tikai tiem plaknes punktiem, kuru koordinātas apmierina (11) vienādojumu.

Ļaujiet tagad

Līnija, kas ir šīs funkcijas grafiks, sastāv no tiem un tikai tiem plaknes punktiem, kuru koordinātas atbilst (12) vienādojumam. Tas nozīmē, ka, ja punkts atrodas uz norādītās taisnes, tad tā koordinātas atbilst vienādojumam (12). Ja punkts neatrodas uz šīs taisnes, tad tā koordinātas neapmierina (12) vienādojumu.

(12) vienādojums ir atrisināts attiecībā pret y. Apsveriet vienādojumu, kas satur x un y, kas nav atrisināts attiecībā pret y, piemēram, vienādojumu

Parādīsim, ka šim vienādojumam plaknē atbilst taisne, proti, aplis, kura centrs ir koordinātu sākumpunktā un kura rādiuss ir vienāds ar 2. Pārrakstīsim vienādojumu formā

Tā kreisā puse ir punkta attāluma no sākuma kvadrāts (sk. § 2, 2. punktu, 3. formula). No vienādības (14) izriet, ka šī attāluma kvadrāts ir 4.

Tas nozīmē, ka jebkurš punkts, kura koordinātas atbilst (14) vienādojumam un līdz ar to (13) vienādojumam, atrodas 2 attālumā no sākuma.

Šādu punktu lokuss ir aplis, kura centrs ir sākuma punktā un kura rādiuss ir 2. Šis aplis būs taisne, kas atbilst vienādojumam (13). Jebkura tā punkta koordinātas acīmredzami atbilst (13) vienādojumam. Ja punkts neatrodas uz mūsu atrastā apļa, tad tā attāluma kvadrāts no sākuma punkta būs vai nu lielāks, vai mazāks par 4, kas nozīmē, ka šāda punkta koordinātas neapmierina (13) vienādojumu.

Ļaujiet tagad, vispārīgā gadījumā, ņemot vērā vienādojumu

kuras kreisajā pusē ir izteiksme, kas satur x un y.

Definīcija. Ar vienādojumu (15) definētā taisne ir to punktu lokuss plaknē, kuru koordinātas atbilst šim vienādojumam.

Tas nozīmē, ka, ja taisni L nosaka vienādojums, tad jebkura L punkta koordinātas apmierina šo vienādojumu, un jebkura plaknes punkta koordinātas, kas atrodas ārpus L, neapmierina (15) vienādojumu.

Vienādojumu (15) sauc par līnijas vienādojumu

komentēt. Nevajadzētu domāt, ka jebkurš vienādojums definē jebkuru līniju. Piemēram, vienādojums nedefinē nevienu līniju. Patiešām, jebkurām un y reālajām vērtībām šī vienādojuma kreisā puse ir pozitīva, bet labā puse ir vienāda ar nulli, un tāpēc šis vienādojums nevar apmierināt neviena plaknes punkta koordinātas.

Taisni var definēt plaknē ne tikai ar vienādojumu, kas satur Dekarta koordinātas, bet arī ar vienādojumu polārajās koordinātēs. Līnija, ko definē vienādojums polārajās koordinātēs, ir to punktu lokuss plaknē, kuru polārās koordinātas apmierina šo vienādojumu.

Piemērs 1. Izveidojiet Arhimēda spirāli pie .

Risinājums. Izveidosim tabulu dažām polārā leņķa vērtībām un atbilstošajām polārā rādiusa vērtībām.

Mēs veidojam punktu polāro koordinātu sistēmā, kas, acīmredzot, sakrīt ar polu; tad, zīmējot asi leņķī pret polāro asi, uz šīs ass konstruējam punktu ar pozitīvu koordinātu; pēc tam līdzīgi konstruējam punktus ar pozitīvām polārā leņķa un polārā rādiusa vērtībām (šo punktu asis nav norādīti 30. attēlā).

Savienojot punktus kopā, mēs iegūstam vienu līknes atzaru, kas norādīts attēlā. 30 treknā līnija. Pārejot no 0 uz šo līknes atzaru veido bezgalīgs pagriezienu skaits.

definē līkni plaknē. Terminu grupu sauc par kvadrātisko formu, - lineāra forma. Ja kvadrātveida forma satur tikai mainīgo kvadrātus, tad tās formu sauc par kanonisko, bet ortonormālā pamata vektorus, kurā kvadrātveida formai ir kanoniska forma, sauc par kvadrātiskās formas galvenajām asīm.
Matrica sauc par kvadrātveida matricu. Šeit a 1 2 = a 2 1 . Lai reducētu matricu B līdz diagonālai formai, par pamatu jāņem šīs matricas īpašvektori, tad , kur λ 1 un λ 2 ir matricas B īpašvērtības.
Matricas B īpašvektoru bāzē kvadrātveida formai būs kanoniskā forma: λ 1 x 2 1 +λ 2 y 2 1 .
Šī darbība atbilst koordinātu asu pagriešanai. Tad izcelsme tiek novirzīta, tādējādi atbrīvojoties no lineārās formas.
Otrās kārtas līknes kanoniskā forma: λ 1 x 2 2 +λ 2 y 2 2 =a, turklāt:
a) ja λ 1 >0; λ 2 >0 ir elipse, jo īpaši, ja λ 1 =λ 2 tas ir aplis;
b) ja λ 1 > 0, λ 2<0 (λ 1 <0, λ 2 >0) mums ir hiperbola;
c) ja λ 1 =0 vai λ 2 =0, tad līkne ir parabola un pēc koordinātu asu pagriešanas izskatās λ 1 x 2 1 =ax 1 +by 1 +c (šeit λ 2 =0). Papildinot pilnu kvadrātu, mēs iegūsim: λ 1 x 2 2 =b 1 y 2 .

Piemērs. Dots līknes vienādojums 3x 2 +10xy+3y 2 -2x-14y-13=0 koordinātu sistēmā (0,i,j), kur i =(1,0) un j =(0,1).
1. Nosakiet līknes veidu.
2. Novietojiet vienādojumu kanoniskajā formā un izveidojiet līkni sākotnējā koordinātu sistēmā.
3. Atrodiet atbilstošās koordinātu transformācijas.

Risinājums. Kvadrātformu B=3x 2 +10xy+3y 2 nogādājam galvenajās asīs, tas ir, kanoniskajā formā. Šīs kvadrātiskās formas matrica . Atrodiet šīs matricas īpašvērtības un īpašvektorus:

Raksturīgais vienādojums:
; λ 1 \u003d -2, λ 2 \u003d 8. Kvadrātiskās formas veids: .
Sākotnējais vienādojums definē hiperbolu.
Ņemiet vērā, ka kvadrātiskās formas forma nav unikāla. Var rakstīt 8x 1 2 -2y 1 2 , bet līknes veids paliek nemainīgs - hiperbola.
Mēs atrodam kvadrātiskās formas galvenās asis, tas ir, matricas B īpašvektorus. .
Pašvektors, kas atbilst skaitlim λ=-2, ja x 1 =1: x 1 =(1,-1).
Kā vienības īpašvektoru mēs ņemam vektoru , kur ir vektora garums x 1 .
No sistēmas tiek atrastas otrā īpašvektora koordinātes, kas atbilst otrajai īpašvērtībai λ=8
.
1, j 1).
Saskaņā ar formulu (5) 4.3.3. pārejam uz jauno pamatu:
vai

; . (*)

Mēs ievadām izteiksmes x un y sākotnējā vienādojumā un pēc transformācijām iegūstam: .
Atlasiet pilnus kvadrātus: .
Mēs veicam koordinātu asu paralēlu tulkošanu uz jaunu sākumu: , .
Ja mēs ievadām šīs attiecības (*) un atrisinām šīs vienādības attiecībā uz x 2 un y 2, tad mēs iegūstam: , . Koordinātu sistēmā (0*, i 1 , j 1) šim vienādojumam ir šāda forma: .
Lai izveidotu līkni, mēs izveidojam jaunu vecajā koordinātu sistēmā: x 2 =0 ass vecajā koordinātu sistēmā ir norādīta ar vienādojumu xy-3=0, bet y 2 =0 ass ar vienādojumu x+ y-1=0. Jaunās koordinātu sistēmas sākumpunkts 0 * (2,-1) ir šo līniju krustpunkts.
Lai vienkāršotu uztveri, grafika zīmēšanas procesu sadalīsim 2 posmos:
1. Pāreja uz koordinātu sistēmu ar asīm x 2 =0, y 2 =0, kas vecajā koordinātu sistēmā dotas attiecīgi ar vienādojumiem x-y-3=0 un x+y-1=0.

2. Konstrukcija iegūtajā funkcijas grafa koordinātu sistēmā.

Diagrammas galīgā versija izskatās šādi: Risinājums: Lejupielādēt risinājumu

Exercise. Nosakiet, ka katrs no šiem vienādojumiem definē elipsi, un atrodiet tās centra C koordinātas, pusass, ekscentricitātes un virziena vienādojumus. Zīmējumā uzzīmējiet elipsi, norādot simetrijas asis, fokusus un virzienus.
Risinājums.