Formula vektora garuma aprēķināšanai telpā. Kā atrast vektora koordinātas
Pirmkārt, jums ir jāsaprot pats vektora jēdziens. Lai ieviestu ģeometriskā vektora definīciju, atcerēsimies, kas ir segments. Ieviesīsim šādu definīciju.
1. definīcija
Segments ir taisnas daļas daļa, kurai punktu formā ir divas robežas.
Segmentam var būt 2 virzieni. Lai norādītu virzienu, vienu no segmenta robežām sauksim par tā sākumu, bet otru - par beigām. Virziens ir norādīts no tā sākuma līdz segmenta beigām.
2. definīcija
Vektors vai virzīts segments ir segments, kuram ir zināms, kura no segmenta robežām tiek uzskatīta par sākumu un kura ir tā beigas.
Apzīmējums: Divi burti: $ \\ overline (AB) $ - (kur $ A $ ir tā sākums un $ B $ ir tā beigas).
Viens mazs burts: $ \\ overline (a) $ (1. attēls).
Ļaujiet mums tagad tieši ieviest vektoru garumu jēdzienu.
3. definīcija
Vektora $ \\ overline (a) $ garums ir segmenta $ a $ garums.
Apzīmējums: $ | \\ overline (a) | $
Vektora garuma jēdziens ir saistīts, piemēram, ar tādu jēdzienu kā divu vektoru vienādība.
4. definīcija
Divi vektori tiks saukti par vienādiem, ja tie atbilst diviem nosacījumiem: 1. tie ir kopvirziena; 1. Viņu garumi ir vienādi (2. attēls).
Lai definētu vektorus, tiek ieviesta koordinātu sistēma un noteiktas vektora koordinātas ievadītajā sistēmā. Kā mēs zinām, jebkuru vektoru var izvērst kā $ \\ overline (c) \u003d m \\ overline (i) + n \\ overline (j) $, kur $ m $ un $ n $ ir reāli skaitļi, un $ \\ overline (i ) $ un $ \\ overline (j) $ ir vienību vektori attiecīgi uz $ Ox $ un $ Oy $ asīm.
5. definīcija
Vektora $ \\ overline (c) \u003d m \\ overline (i) + n \\ overline (j) $ izplešanās koeficienti tiks saukti par šī vektora koordinātām ieviestajā koordinātu sistēmā. Matemātiski:
$ \\ overline (c) \u003d (m, n) $
Kā es varu atrast vektora garumu?
Lai iegūtu formulu patvaļīga vektora garuma aprēķināšanai no tā dotajām koordinātām, apsveriet šādu problēmu:
1. piemērs
Dots: vektors $ \\ overline (α) $ ar koordinātām $ (x, y) $. Atrodiet: šī vektora garumu.
Ļaujiet lidmašīnā ieviest Dekarta koordinātu sistēmu $ xOy $. Atstājiet $ \\ overline (OA) \u003d \\ overline (a) $ no ieviestās koordinātu sistēmas sākuma. Konstruēsim konstruētā vektora projekcijas $ OA_1 $ un $ OA_2 $ attiecīgi uz asīm $ Ox $ un $ Oy $ (3. attēls).
Mūsu konstruētais vektors $ \\ overline (OA) $ būs punkta $ A $ rādiusa vektors, tāpēc tam būs koordinātas $ (x, y) $, kas nozīmē
$ \u003d x $, $ [OA_2] \u003d y $
Tagad mēs varam viegli atrast nepieciešamo garumu, izmantojot Pitagora teorēmu, ko mēs iegūstam
$ | \\ overline (α) | ^ 2 \u003d ^ 2 + ^ 2 $
$ | \\ overline (α) | ^ 2 \u003d x ^ 2 + y ^ 2 $
$ | \\ overline (α) | \u003d \\ sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) $
Atbilde: $ \\ sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) $.
Izeja:Lai atrastu vektora garumu, kuram ir koordinātas, jāatrod šo koordinātu summas kvadrāta sakne.
Uzdevumu paraugi
2. piemērs
Atrodiet attālumu starp punktiem $ X $ un $ Y $, kuriem ir šādas koordinātas: $ (- 1.5) $ un $ (7.3) $.
Jebkurus divus punktus var viegli saistīt ar vektora jēdzienu. Apsveriet, piemēram, vektoru $ \\ overline (XY) $. Kā mēs jau zinām, šāda vektora koordinātas var atrast, atņemot sākuma punkta ($ X $) atbilstošās koordinātas no gala punkta koordinātām ($ Y $). Mēs to saprotam
Tiek sauktas abscisu un ordinātu asis koordinātas vektors. Formā ir ierasts norādīt vektora koordinātas (x, y), un pats vektors kā: \u003d (x, y).
Formula divdimensiju problēmu vektora koordinātu noteikšanai.
Divdimensiju problēmas gadījumā vektors ar zināmu punktu koordinātas A (x 1; y 1) un B (x 2 ; y 2 ) jūs varat aprēķināt:
\u003d (x 2 - x 1; y 2 - y 1).
Formula telpisko problēmu vektora koordinātu noteikšanai.
Telpiskās problēmas gadījumā vektors ar zināmu punktu koordinātasA (x 1; y 1;z 1 ) un B (x 2 ; y 2 ; z 2 ) var aprēķināt, izmantojot formulu:
= (x 2 - x 1 ; y 2 - y 1 ; z 2 - z 1 ).
Koordinātas dod visaptverošu vektora raksturlielumu, jo koordinātas var izmantot paša vektora konstruēšanai. Zinot koordinātas, to ir viegli aprēķināt un vektora garums... (3. īpašums zemāk).
Vektoru koordinātu īpašības.
1. Jebkurš vienādi vektori vienā koordinātu sistēmā ir vienādas koordinātas.
2. Koordinātas kolināri vektori proporcionāls. Ar nosacījumu, ka neviens no vektoriem nav nulle.
3. Jebkura vektora garuma kvadrāts ir vienāds ar tā kvadrātu summu koordinātas.
4. Operācijas laikā vektoru reizināšana ieslēgts reālais skaitlis katra tā koordināta tiek reizināta ar šo skaitli.
5. Pievienojot vektorus, aprēķiniet atbilstošo summu vektoru koordinātas.
6. Skalārais produkts divi vektori ir vienādi ar to attiecīgo koordinātu reizinājumu summu.
Pirmkārt, jums ir jāsaprot pats vektora jēdziens. Lai ieviestu ģeometriskā vektora definīciju, atcerēsimies, kas ir segments. Ieviesīsim šādu definīciju.
1. definīcija
Segments ir taisnas daļas daļa, kurai punktu formā ir divas robežas.
Segmentam var būt 2 virzieni. Lai norādītu virzienu, vienu no segmenta robežām sauksim par tā sākumu, bet otru - par beigām. Virziens ir norādīts no tā sākuma līdz segmenta beigām.
2. definīcija
Vektors vai virzīts segments ir segments, kuram ir zināms, kura no segmenta robežām tiek uzskatīta par sākumu un kura ir tā beigas.
Apzīmējums: Divi burti: $ \\ overline (AB) $ - (kur $ A $ ir tā sākums un $ B $ ir tā beigas).
Viens mazs burts: $ \\ overline (a) $ (1. attēls).
Ļaujiet mums tagad tieši ieviest vektoru garumu jēdzienu.
3. definīcija
Vektora $ \\ overline (a) $ garums ir segmenta $ a $ garums.
Apzīmējums: $ | \\ overline (a) | $
Vektora garuma jēdziens ir saistīts, piemēram, ar tādu jēdzienu kā divu vektoru vienādība.
4. definīcija
Divi vektori tiks saukti par vienādiem, ja tie atbilst diviem nosacījumiem: 1. tie ir kopvirziena; 1. Viņu garumi ir vienādi (2. attēls).
Lai definētu vektorus, tiek ieviesta koordinātu sistēma un noteiktas vektora koordinātas ievadītajā sistēmā. Kā mēs zinām, jebkuru vektoru var izvērst kā $ \\ overline (c) \u003d m \\ overline (i) + n \\ overline (j) $, kur $ m $ un $ n $ ir reāli skaitļi, un $ \\ overline (i ) $ un $ \\ overline (j) $ ir vienību vektori attiecīgi uz $ Ox $ un $ Oy $ asīm.
5. definīcija
Vektora $ \\ overline (c) \u003d m \\ overline (i) + n \\ overline (j) $ izplešanās koeficienti tiks saukti par šī vektora koordinātām ieviestajā koordinātu sistēmā. Matemātiski:
$ \\ overline (c) \u003d (m, n) $
Kā es varu atrast vektora garumu?
Lai iegūtu formulu patvaļīga vektora garuma aprēķināšanai no tā dotajām koordinātām, apsveriet šādu problēmu:
1. piemērs
Dots: vektors $ \\ overline (α) $ ar koordinātām $ (x, y) $. Atrodiet: šī vektora garumu.
Ļaujiet lidmašīnā ieviest Dekarta koordinātu sistēmu $ xOy $. Atstājiet $ \\ overline (OA) \u003d \\ overline (a) $ no ieviestās koordinātu sistēmas sākuma. Konstruēsim konstruētā vektora projekcijas $ OA_1 $ un $ OA_2 $ attiecīgi uz asīm $ Ox $ un $ Oy $ (3. attēls).
Mūsu konstruētais vektors $ \\ overline (OA) $ būs punkta $ A $ rādiusa vektors, tāpēc tam būs koordinātas $ (x, y) $, kas nozīmē
$ \u003d x $, $ [OA_2] \u003d y $
Tagad mēs varam viegli atrast nepieciešamo garumu, izmantojot Pitagora teorēmu, ko mēs iegūstam
$ | \\ overline (α) | ^ 2 \u003d ^ 2 + ^ 2 $
$ | \\ overline (α) | ^ 2 \u003d x ^ 2 + y ^ 2 $
$ | \\ overline (α) | \u003d \\ sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) $
Atbilde: $ \\ sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) $.
Izeja:Lai atrastu vektora garumu, kuram ir koordinātas, jāatrod šo koordinātu summas kvadrāta sakne.
Uzdevumu paraugi
2. piemērs
Atrodiet attālumu starp punktiem $ X $ un $ Y $, kuriem ir šādas koordinātas: $ (- 1.5) $ un $ (7.3) $.
Jebkurus divus punktus var viegli saistīt ar vektora jēdzienu. Apsveriet, piemēram, vektoru $ \\ overline (XY) $. Kā mēs jau zinām, šāda vektora koordinātas var atrast, atņemot sākuma punkta ($ X $) atbilstošās koordinātas no gala punkta koordinātām ($ Y $). Mēs to saprotam
Pirmkārt, jums ir jāsaprot pats vektora jēdziens. Lai ieviestu ģeometriskā vektora definīciju, atcerēsimies, kas ir segments. Ieviesīsim šādu definīciju.
1. definīcija
Segments ir taisnas daļas daļa, kurai punktu formā ir divas robežas.
Segmentam var būt 2 virzieni. Lai norādītu virzienu, vienu no segmenta robežām sauksim par tā sākumu, bet otru - par beigām. Virziens ir norādīts no tā sākuma līdz segmenta beigām.
2. definīcija
Vektors vai virzīts segments ir segments, kuram ir zināms, kura no segmenta robežām tiek uzskatīta par sākumu un kura ir tā beigas.
Apzīmējums: Divi burti: $ \\ overline (AB) $ - (kur $ A $ ir tā sākums un $ B $ ir tā beigas).
Viens mazs burts: $ \\ overline (a) $ (1. attēls).
Ļaujiet mums tagad tieši ieviest vektoru garumu jēdzienu.
3. definīcija
Vektora $ \\ overline (a) $ garums ir segmenta $ a $ garums.
Apzīmējums: $ | \\ overline (a) | $
Vektora garuma jēdziens ir saistīts, piemēram, ar tādu jēdzienu kā divu vektoru vienādība.
4. definīcija
Divi vektori tiks saukti par vienādiem, ja tie atbilst diviem nosacījumiem: 1. tie ir kopvirziena; 1. Viņu garumi ir vienādi (2. attēls).
Lai definētu vektorus, tiek ieviesta koordinātu sistēma un noteiktas vektora koordinātas ievadītajā sistēmā. Kā mēs zinām, jebkuru vektoru var izvērst kā $ \\ overline (c) \u003d m \\ overline (i) + n \\ overline (j) $, kur $ m $ un $ n $ ir reāli skaitļi, un $ \\ overline (i ) $ un $ \\ overline (j) $ ir vienību vektori attiecīgi uz $ Ox $ un $ Oy $ asīm.
5. definīcija
Vektora $ \\ overline (c) \u003d m \\ overline (i) + n \\ overline (j) $ izplešanās koeficienti tiks saukti par šī vektora koordinātām ieviestajā koordinātu sistēmā. Matemātiski:
$ \\ overline (c) \u003d (m, n) $
Kā es varu atrast vektora garumu?
Lai iegūtu formulu patvaļīga vektora garuma aprēķināšanai no tā dotajām koordinātām, apsveriet šādu problēmu:
1. piemērs
Dots: vektors $ \\ overline (α) $ ar koordinātām $ (x, y) $. Atrodiet: šī vektora garumu.
Ļaujiet lidmašīnā ieviest Dekarta koordinātu sistēmu $ xOy $. Atstājiet $ \\ overline (OA) \u003d \\ overline (a) $ no ieviestās koordinātu sistēmas sākuma. Konstruēsim konstruētā vektora projekcijas $ OA_1 $ un $ OA_2 $ attiecīgi uz asīm $ Ox $ un $ Oy $ (3. attēls).
Mūsu konstruētais vektors $ \\ overline (OA) $ būs punkta $ A $ rādiusa vektors, tāpēc tam būs koordinātas $ (x, y) $, kas nozīmē
$ \u003d x $, $ [OA_2] \u003d y $
Tagad mēs varam viegli atrast nepieciešamo garumu, izmantojot Pitagora teorēmu, ko mēs iegūstam
$ | \\ overline (α) | ^ 2 \u003d ^ 2 + ^ 2 $
$ | \\ overline (α) | ^ 2 \u003d x ^ 2 + y ^ 2 $
$ | \\ overline (α) | \u003d \\ sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) $
Atbilde: $ \\ sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) $.
Izeja:Lai atrastu vektora garumu, kuram ir koordinātas, jāatrod šo koordinātu summas kvadrāta sakne.
Uzdevumu paraugi
2. piemērs
Atrodiet attālumu starp punktiem $ X $ un $ Y $, kuriem ir šādas koordinātas: $ (- 1.5) $ un $ (7.3) $.
Jebkurus divus punktus var viegli saistīt ar vektora jēdzienu. Apsveriet, piemēram, vektoru $ \\ overline (XY) $. Kā mēs jau zinām, šāda vektora koordinātas var atrast, atņemot sākuma punkta ($ X $) atbilstošās koordinātas no gala punkta koordinātām ($ Y $). Mēs to saprotam
12. Vektora garums, segmenta garums, leņķis starp vektoriem, vektoru perpendikularitātes stāvoklis.
Vector - tā ir virziena līnija, kas savieno divus punktus telpā vai plaknē.Vektorus parasti apzīmē ar maziem burtiem vai ar sākuma un beigu punktu. Virsū parasti novieto domuzīmi.
Piemēram, vektors, kas vērsts no punkta A līdz punktam B, mēs varam apzīmēt a ,
Nulles vektors 0 vai 0 - tas ir vektors, kura sākuma un beigu punkti ir vienādi, t.i. A = B. Tādējādi 0 = – 0 .
Vektora garums (modulis)a ir to pārstāvošā segmenta garums AB, apzīmēts ara | ... Jo īpaši | 0 | = 0.
Tiek saukti vektori kolinārsja to virzītie segmenti atrodas uz paralēlām līnijām. Kolināri vektori a un b ir izraudzīti a || b .
Tiek saukti trīs vai vairāk vektori koplānārsja viņi guļ vienā plaknē.
Vektoru pievienošana. Tā kā vektori ir vadīts segmentus, tad var veikt to pievienošanu ģeometriski. (Vektoru algebriskā pievienošana ir aprakstīta zemāk, nodaļā "Vienības ortogonālie vektori"). Izliksimies tā
a \u003d AB un b = Kompaktdisks,
tad vektors __ __
a + b = AB+ CD
ir divu darbību veikšanas rezultāts:
a) paralēla pārsūtīšana viens no vektoriem tā, lai tā sākumpunkts sakristu ar otrā vektora beigu punktu;
b) ģeometriskais papildinājums, t.i. konstruējot iegūto vektoru, kas iet no fiksētā vektora sākuma punkta līdz nodotā \u200b\u200bvektora beigu punktam.
Vektoru atņemšana. Šī darbība tiek samazināta līdz iepriekšējai, aizstājot atņemto vektoru ar pretējo: a – b = a + (– b ) .
Papildināšanas likumi.
Es a + b = b + a (Pastāvīgais likums).
II. (a + b ) + c = a + (b + c ) (Skaitīšanas likums).
III. a + 0 = a .
IV. a + (– a ) = 0 .
Likumi par vektora reizināšanu ar skaitli.
Es 1 · a = a , 0 · a = 0 , m· 0 = 0 , (– 1) · a = – a .
II. ma = a m, | ma | = | m | · | a | .
III. m (na ) \u003d (m n)a . (Apm.
reizināšanas ar skaitli likums).
IV. (m + n) a = ma + na , (S p r e d e l un t
m(a + b ) = ma + mb . reizināšanas ar skaitli likums).
Vektoru punktu reizinājums. __ __
Leņķis starp nulles vektoriem AB un CD - tas ir leņķis, ko veido vektori, kad tie tiek paralēli pārvietoti, pirms punkti sakrīt A un C. Vektoru punktu reizinājums a un b sauc par skaitli, kas vienāds ar to garumu reizinājums ar leņķa starp tiem kosinusu:
Ja viens no vektoriem ir nulle, tad to skalārais reizinājums ir vienāds ar nulli saskaņā ar definīciju:
( a, 0 ) = ( 0 , b ) = 0 .
Ja abi vektori nav nulles, tad leņķa starp tiem kosinusu aprēķina pēc formulas:
Skalārais produkts ( a, a ) vienāds ar | a | 2 sauc skalārais kvadrāts.Vektora garums a un tā skalārais kvadrāts ir saistīts ar attiecību:
Divu vektoru punktu reizinājums:
- pozitīvija leņķis starp vektoriem akūta;
- negatīvi, ja leņķis starp vektoriem stulbi.
Divu nulles vektoru skalārais rezultāts tad ir nulle un tikai tad, ja leņķis starp tiem ir pareizs, t.i. kad šie vektori ir perpendikulāri (ortogonāli):
Punktu produkta īpašības. Jebkuriem vektoriem a, b, c un jebkuru numuru mir spēkā šādas attiecības:
Es (a, b ) = ( ba ) . (Pastāvīgais likums)
II. (ma, b ) = m( a, b ) .
III.(a + b, c ) = (a, c ) + (b, c ). (Normatīvais likums)
Vienības ortogonālie vektori. Jebkurā taisnstūra koordinātu sistēmā jūs varat ievadīt vienība pa pāriem ortogonālos vektorusi , j un k kas saistīti ar koordinātu asīm: i - ar asi X, j - ar asi Jā un k - ar asi Z... Saskaņā ar šo definīciju:
(i , j ) = (i , k ) = (j , k ) = 0,
| i | = | j | = | k | = 1.
Jebkurš vektors a var izteikt šajos vektoros unikālā veidā: a = x i + y j + z k . Vēl viena apzīmējuma forma: a = (x, y, z). Šeit x, y, z - koordinātasvektors a šajā koordinātu sistēmā. Saskaņā ar ortogonālo vektoru pēdējo sakarību un īpašībām i, j , k divu vektoru punktu reizinājumu var izteikt atšķirīgi.
Ļaujiet būt a = (x, y, z); b = (u, v, w). Tad ( a, b ) = xu + yv + zw.
Divu vektoru skalārais reizinājums ir vienāds ar atbilstošo koordinātu reizinājumu kopsummu.
Vektora garums (modulis) a = (x, y, z ) ir vienāds ar:
Turklāt tagad mēs iegūstam iespēju diriģēt algebriskais darbības ar vektoriem, proti, vektoru saskaitīšanu un atņemšanu var veikt pa koordinātām:
a + b \u003d (x + u, y + v, z + w) ;
a – b \u003d (x– u, y– v, z– w) .
Vektoru vektoru produkts. Vector produkts [a, b ] vektoria unb (tādā secībā) vektoru sauc:
Ir vēl viena vektora garuma formula [ a, b ] :
| [ a, b ] | = | a | | b | grēks ( a, b ) ,
i., garums ( modulis ) vektoru vektoru produktsa un b ir vienāds ar šo vektoru garumu (moduļu) reizinājumu ar leņķa sinusu starp tiem.Citiem vārdiem sakot: vektora garums (modulis)[ a, b ] skaitliski ir vienāds ar paralelograma laukumu, kas uzbūvēts uz vektoriem a un b .
Vektoru produktu īpašības.
EsVector [ a, b ] ir perpendikulāra (ortogonāls)abi vektori a un b .
(Lūdzu, pierādi!).
II.[ a, b ] = – [ ba ] .
III. [ ma, b ] = m[ a, b ] .
IV. [ a + b, c ] = [ a, c ] + [ b, c ] .
V. [ a, [ b, c ] ] = b (a, c ) – c ( a, b ) .
Vi. [ [ a, b ] , c ] = b (a, c ) – a (b, c ) .
Nepieciešams un pietiekams nosacījums kolinearitātei vektori a = (x, y, z) un b = (u, v, w) :
Nepieciešams un pietiekams nosacījums koplanaritātei vektori a = (x, y, z), b = (u, v, w) un c = (p, q, r) :
PRI mani r. Doti vektori: a \u003d (1, 2, 3) un b = (– 2 , 0 ,4).
Aprēķiniet to punktu un vektoru reizinājumus un leņķi
starp šiem vektoriem.
Risinājums. Izmantojot atbilstošās formulas (skatīt iepriekš), mēs iegūstam:
a). skalārais produkts:
( a, b ) \u003d 1 (- 2) + 2 0 + 3 4 \u003d 10;
b). vektora produkts:
| " |
