Atrodiet taisnas līnijas vienādojumu caur 2 punktiem. Taisnas līnijas, kas šķērso divus punktus, vienādojums

Šis raksts atklāj taisnas līnijas vienādojuma atvasināšanu, kas iet caur diviem dotajiem punktiem taisnstūra koordinātu sistēmā, kas atrodas plaknē. Iegūsim taisnas līnijas vienādojumu, kas iet caur diviem dotajiem punktiem taisnstūra koordinātu sistēmā. Mēs skaidri parādīsim un atrisināsim vairākus piemērus, kas saistīti ar nodoto materiālu.

Pirms iegūt taisnas līnijas vienādojumu, kas iet caur diviem dotajiem punktiem, jāpievērš uzmanība dažiem faktiem. Ir aksioma, kas saka, ka caur diviem nesakrītošiem plaknes punktiem ir iespējams novilkt taisnu līniju un tikai vienu. Citiem vārdiem sakot, divus norādītos plaknes punktus definē taisna līnija, kas iet caur šiem punktiem.

Ja plakni norāda taisnstūra koordinātu sistēma Oxy, tad jebkura tajā attēlotā taisne atbilst plaknes taisnes vienādojumam. Pastāv arī savienojums ar līnijas virziena vektoru.Šie dati ir pietiekami, lai izveidotu līnijas vienādojumu, kas iet caur diviem dotajiem punktiem.

Apskatīsim līdzīgas problēmas risināšanas piemēru. Nepieciešams sastādīt taisnās līnijas vienādojumu, kas iet caur diviem nesakritīgiem punktiem M 1 (x 1, y 1) un M 2 (x 2, y 2), kas atrodas Dekarta koordinātu sistēmā.

Taisnas līnijas kanoniskajā vienādojumā plaknē, kuras forma ir x - x 1 ax \u003d y - y 1 ay, ir norādīta taisnstūra koordinātu sistēma O x y ar taisnu līniju, kas ar to krustojas punktā ar koordinātām M 1 (x 1, y 1) ar vadotni vektors a → \u003d (cirvis, ay).

Nepieciešams sastādīt taisnes a kanonisko vienādojumu, kas iet caur diviem punktiem ar koordinātām M 1 (x 1, y 1) un M 2 (x 2, y 2).

Līnijai a ir virziena vektors M 1 M 2 → ar koordinātām (x 2 - x 1, y 2 - y 1), jo tā krustojas ar punktiem M 1 un M 2. Ieguvām nepieciešamos datus, lai pārveidotu kanonisko vienādojumu ar virziena vektora M 1 M 2 → \u003d (x 2 - x 1, y 2 - y 1) koordinātām un uz tām gulošo punktu M 1 (x 1, y 1) koordinātām un M 2 (x 2, y 2). Iegūstam formas x - x 1 x 2 - x 1 \u003d y - y 1 y 2 - y 1 vai x - x 2 x 2 - x 1 \u003d y - y 2 y 2 - y 1 vienādojumu.

Apsveriet zemāk redzamo attēlu.

Pēc aprēķiniem mēs pierakstām taisnas līnijas parametru vienādojumus plaknē, kas iet caur diviem punktiem ar koordinātām M 1 (x 1, y 1) un M 2 (x 2, y 2). Iegūstam vienādojumu formā x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ vai x \u003d x 2 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 2 + (y 2 - y 1) λ.

Apskatīsim tuvāk vairāku piemēru risinājumu.

1. piemērs

Pierakstiet taisnas līnijas vienādojumu, kas iet caur 2 dotajiem punktiem ar koordinātām M 1 - 5, 2 3, M 2 1, - 1 6.

Lēmums

Kanoniskais vienādojums taisnai līnijai, kas krustojas divos punktos ar koordinātām x 1, y 1 un x 2, y 2, iegūst formu x - x 1 x 2 - x 1 \u003d y - y 1 y 2 - y 1. Pēc problēmas nosacījuma mums ir, ka x 1 \u003d - 5, y 1 \u003d 2 3, x 2 \u003d 1, y 2 \u003d - 1 6. Nomainiet skaitliskās vērtības vienādojumā x - x 1 x 2 - x 1 \u003d y - y 1 y 2 - y 1. No šejienes mēs iegūstam, ka kanoniskais vienādojums iegūst formu x - (- 5) 1 - (- 5) \u003d y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 \u003d y - 2 3 - 5 6.

Atbilde: x + 5 6 \u003d y - 2 3 - 5 6.

Ja jums ir jāatrisina problēma ar cita veida vienādojumu, tad vispirms varat doties uz kanonisko, jo no tā ir vieglāk nonākt pie jebkura cita.

2. piemērs

Izveidojiet taisnes, kas šķērso punktus ar koordinātām M 1 (1, 1) un M 2 (4, 2), koordinātu sistēmā O x y vispārīgo vienādojumu.

Lēmums

Pirmkārt, jums ir jāpieraksta attiecīgās taisnes, kas iet caur diviem dotajiem punktiem, kanoniskais vienādojums. Iegūstam formas x - 1 4 - 1 \u003d y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 \u003d y - 1 1 vienādojumu.

Novedīsim kanonisko vienādojumu vajadzīgajā formā, tad mēs iegūsim:

x - 1 3 \u003d y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 \u003d 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 \u003d 0

Atbilde: x - 3 y + 2 \u003d 0.

Šādu uzdevumu piemēri tika izskatīti skolas mācību grāmatās algebras stundās. Skolas problēmas izšķīrās ar to, ka bija zināms taisnas līnijas vienādojums ar slīpumu, kam bija forma y \u003d k x + b. Ja jums jāatrod slīpuma k vērtība un skaitlis b, kuram vienādojums y \u003d kx + b definē līniju O x y sistēmā, kas iet caur punktiem M 1 (x 1, y 1) un M 2 (x 2, y 2) , kur x 1 ≠ x 2. Kad x 1 \u003d x 2 , tad slīpums iegūst bezgalības vērtību, un taisni М 1 М 2 nosaka vispārējs nepilnīgs formas vienādojums x - x 1 \u003d 0 .

Jo punkti M 1 un M 2atrodas taisnā līnijā, tad to koordinātas apmierina vienādojumu y 1 \u003d k x 1 + b un y 2 \u003d k x 2 + b. Nepieciešams atrisināt vienādojumu sistēmu y 1 \u003d k x 1 + b y 2 \u003d k x 2 + b k un b.

Lai to izdarītu, atrodiet k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 vai k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Ar šādām k un b vērtībām taisnās līnijas vienādojums, kas iet caur dotajiem diviem punktiem, iegūst šādu formu y \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 vai y \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Atcerēties tik milzīgu formulu skaitu vienlaikus nederēs. Lai to izdarītu, problēmu risinājumos ir jāpalielina atkārtojumu skaits.

3. piemērs

Pierakstiet taisnās līnijas vienādojumu ar slīpumu, kas iet caur punktiem ar koordinātām M 2 (2, 1) un y \u003d k x + b.

Lēmums

Lai atrisinātu problēmu, mēs izmantojam formulu ar slīpumu, kuras forma ir y \u003d k x + b. Koeficientiem k un b jābūt tādai vērtībai, ka šis vienādojums atbilst taisnei, kas iet caur diviem punktiem ar koordinātām M 1 (- 7, - 5) un M 2 (2, 1).

Punkti M 1 un M 2 atrodas taisnā līnijā, tad to koordinātām jāmaina vienādojums y \u003d k x + b patiesā vienādība. No tā mēs iegūstam, ka - 5 \u003d k (- 7) + b un 1 \u003d k 2 + b. Apvienojiet vienādojumu sistēmā - 5 \u003d k · - 7 + b 1 \u003d k · 2 + b un atrisiniet.

Pēc aizstāšanas mēs iegūstam

5 \u003d k - 7 + b 1 \u003d k 2 + b ⇔ b \u003d - 5 + 7 k 2 k + b \u003d 1 ⇔ b \u003d - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k \u003d 1 ⇔ ⇔ b \u003d - 5 + 7 kk \u003d 2 3 ⇔ b \u003d - 5 + 7 2 3 k \u003d 2 3 ⇔ b \u003d - 1 3 k \u003d 2 3

Tagad vērtības k \u003d 2 3 un b \u003d - 1 3 tiek aizstātas ar vienādojumu y \u003d k x + b. Mēs iegūstam, ka vēlamais vienādojums, kas iet caur dotajiem punktiem, būs vienādojums formā y \u003d 2 3 x - 1 3.

Šis veids, kā to atrisināt, nosaka daudz laika izšķiešanu. Ir veids, kā uzdevums tiek atrisināts burtiski divos posmos.

Mēs uzrakstām līnijas kanonisko vienādojumu, kas iet caur M 2 (2, 1) un M 1 (- 7, - 5), kura forma ir x - (- 7) 2 - (- 7) \u003d y - (- 5) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 \u003d y + 5 6.

Tagad mēs pievēršamies vienādojumam slīpumā. Mēs to iegūstam: x + 7 9 \u003d y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) \u003d 9 (y + 5) ⇔ y \u003d 2 3 x - 1 3.

Atbilde: y \u003d 2 3 x - 1 3.

Ja trīsdimensiju telpā ir taisnstūra koordinātu sistēma O x y z ar diviem dotiem nesakrītošiem punktiem ar koordinātām M 1 (x 1, y 1, z 1) un M 2 (x 2, y 2, z 2), taisne M 1 M 2, nepieciešams iegūt šīs taisnes vienādojumu.

Mums ir šādi formas x - x 1 ax \u003d y - y 1 ay \u003d z - z 1 az kanoniskie vienādojumi un formas x \u003d x 1 + ax λ y \u003d y 1 + ay λ z \u003d z 1 + az λ parametru vienādojumi. prot iestatīt līniju koordinātu sistēmā O x y z, kas iet caur punktiem, kuriem ir koordinātas (x 1, y 1, z 1) ar virziena vektoru a → \u003d (ax, ay, az).

Taisni M 1 M 2 ir virziena vektors formā M 1 M 2 → \u003d (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1), kur līnija iet caur punktu M 1 (x 1, y 1, z 1) un M 2 (x 2, y 2, z 2), tātad kanoniskais vienādojums var būt formas x - x 1 x 2 - x 1 \u003d y - y 1 y 2 - y 1 \u003d z - z 1 z 2 - z 1 vai x - x 2 x 2 - x 1 \u003d y - y 2 y 2 - y 1 \u003d z - z 2 z 2 - z 1, savukārt, parametriskais x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ z \u003d z 1 + (z 2 - z 1) λ vai x \u003d x 2 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 2 + (y 2 - y 1) Λ z \u003d z2 + (z2 - z1) λ.

Apsveriet zīmējumu, kurā parādīti 2 dotie punkti telpā un taisnas līnijas vienādojums.

4. piemērs

Uzrakstiet taisnas līnijas vienādojumu, kas noteikts trīsdimensiju telpas taisnstūra koordinātu sistēmā O x y z, kas iet caur diviem dotajiem punktiem ar koordinātām M 1 (2, - 3, 0) un M 2 (1, - 3, - 5).

Lēmums

Ir nepieciešams atrast kanonisko vienādojumu. Tā kā mēs runājam par trīsdimensiju telpu, tas nozīmē, ka tad, kad taisnā līnija iet caur dotajiem punktiem, vēlamais kanoniskais vienādojums iegūst formu x - x 1 x 2 - x 1 \u003d y - y 1 y 2 - y 1 \u003d z - z 1 z 2 - z 1 ...

Pēc hipotēzes mums ir, ka x 1 \u003d 2, y 1 \u003d - 3, z 1 \u003d 0, x 2 \u003d 1, y 2 \u003d - 3, z 2 \u003d - 5. No tā izriet, ka nepieciešamos vienādojumus var uzrakstīt šādi:

x - 2 1 - 2 \u003d y - (- 3) - 3 - (- 3) \u003d z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 \u003d y + 3 0 \u003d z - 5

Atbilde: x - 2 - 1 \u003d y + 3 0 \u003d z - 5.

Ja tekstā pamanāt kļūdu, lūdzu, atlasiet to un nospiediet Ctrl + Enter

Apsvērsim, kā, izmantojot piemērus, sastādīt taisnes, kas šķērso divus punktus, vienādojumu.

1. piemērs.

Izveidojiet taisnes, kas šķērso punktus A (-3; 9) un B (2; -1), vienādojumu.

1. metode - sastādiet taisnes ar slīpumu vienādojumu.

Taisnas līnijas vienādojumam ar slīpumu ir forma. Aizstājot punktu A un B koordinātas taisnas vienādojumā (x \u003d -3 un y \u003d 9 - pirmajā gadījumā x \u003d 2 un y \u003d -1 - otrajā), iegūstam vienādojumu sistēmu, no kuras atrodam k un b vērtības:

Pievienojot 1. un 2. vienādojumu terminu pēc termina, mēs iegūstam: -10 \u003d 5k, no kurienes k \u003d -2. Aizstājot k \u003d -2 otrajā vienādojumā, mēs atrodam b: -1 \u003d 2 · (-2) + b, b \u003d 3.

Tādējādi y \u003d -2x + 3 ir vēlamais vienādojums.

2. metode - sastādiet taisnās līnijas vispārīgo vienādojumu.

Taisnās līnijas vispārīgais vienādojums ir. Aizstājot vienādojumā punktu A un B koordinātas, iegūstam sistēmu:

Tā kā nezināmo skaits ir lielāks nekā vienādojumu skaits, sistēma nav atrisināma. Bet jūs varat izteikt visus mainīgos caur vienu. Piemēram, caur b.

Reizinot sistēmas pirmo vienādojumu ar -1 un pievienojot terminu pēc termiņa ar otro:

mēs iegūstam: 5a-10b \u003d 0. Tādējādi a \u003d 2b.

Iegūto izteiksmi aizstāj ar otro vienādojumu: 2,2b -b + c \u003d 0; 3b + c \u003d 0; c \u003d -3b.
Aizstāj a \u003d 2b, c \u003d -3b vienādojumā ax + ar + c \u003d 0:

2bx + ar-3b \u003d 0. Atliek abas daļas sadalīt pa b:

Tiešās līnijas vispārīgo vienādojumu var viegli samazināt līdz taisnes ar slīpumu vienādojumam:

3. metode - sastādiet taisnas līnijas vienādojumu, kas iet caur 2 punktiem.

Taisnas līnijas, kas šķērso divus punktus, vienādojumam ir:

Šajā vienādojumā aizstājiet punktu A (-3; 9) un B (2; -1) koordinātas

(tas ir, x 1 \u003d -3, y 1 \u003d 9, x 2 \u003d 2, y 2 \u003d -1):

un vienkāršojiet:

no kurienes 2x + y-3 \u003d 0.

Skolas kursā visbiežāk tiek izmantots taisnes un slīpuma vienādojums. Bet vienkāršākais veids ir atvasināt un izmantot formulu taisnas līnijas vienādojumam, kas iet caur diviem punktiem.

Komentēt.

Ja, aizstājot doto punktu koordinātas, kāds no vienādojuma saucējiem

izrādās vienāds ar nulli, tad vēlamo vienādojumu iegūst, pielīdzinot nulli no attiecīgā skaitītāja.

2. piemērs.

Izveidojiet taisnas līnijas vienādojumu, kas iet caur diviem punktiem C (5; -2) un D (7; -2).

Punktu C un D koordinātas mēs aizstājam ar taisnas līnijas vienādojumu, kas iet caur 2 punktiem.

Ļaujiet līnijai iet caur punktiem M 1 (x 1; y 1) un M 2 (x 2; y 2). Caur punktu M 1 šķērsojošās taisnes vienādojumam ir forma y-y 1 \u003d k (x - x 1), (10.6)

kur k - joprojām nezināms koeficients.

Tā kā taisne iet caur punktu M 2 (x 2 y 2), šī punkta koordinātām jāatbilst vienādojumam (10.6): y 2 -y 1 \u003d k (x 2 -x 1).

No šejienes atrodam Atrastās vērtības aizstāšana k (10.6.) vienādojumā iegūstam taisnās līnijas vienādojumu, kas iet caur punktiem M 1 un M 2:

Tiek pieņemts, ka šajā vienādojumā x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Ja x 1 \u003d x 2, tad taisne, kas iet caur punktiem M 1 (x 1, y I) un M 2 (x 2, y 2), ir paralēla ordinātu asij. Tās vienādojumam ir forma x \u003d x 1 .

Ja y 2 \u003d y I, tad taisnes vienādojumu var uzrakstīt kā y \u003d y 1, taisne M 1 M 2 ir paralēla abscisu asij.

Taisnas līnijas vienādojums segmentos

Ļaujiet taisnei krustot Ox asi punktā M 1 (a; 0) un Oy asi - punktā M 2 (0; b). Vienādojums kļūst:
tie.
... Šo vienādojumu sauc taisnās līnijas vienādojums segmentos, jo skaitļi a un b norāda, kurus segmentus koordinātu asīs nogriež taisna līnija.

Taisnas līnijas vienādojums, kas iet caur noteiktu punktu perpendikulāri dotajam vektoram

Atrodīsim taisnas līnijas vienādojumu, kas iet caur noteiktu punktu Mo (x O; y o) perpendikulāri dotajam nulles vektoram n \u003d (A; B).

Uz taisnas līnijas ņem patvaļīgu punktu M (x; y) un ņem vērā vektoru M 0 M (x - x 0; y - y o) (skat. 1. attēlu). Tā kā vektori n un M o M ir perpendikulāri, to skalārais reizinājums ir nulle: tas ir,

A (x - xo) + B (y - yo) \u003d 0. (10.8)

Tiek izsaukts vienādojums (10.8) taisnas līnijas vienādojums, kas iet caur noteiktu punktu perpendikulāri dotajam vektoram .

Vektoru n \u003d (A; B), perpendikulāri taisnei, sauc par normālu šīs līnijas normālais vektors .

Vienādojumu (10.8) var pārrakstīt kā Cirvis + Wu + C \u003d 0 , (10.9)

kur A un B ir normālā vektora koordinātas, C \u003d -Aх о - Ву о - brīvais termins. Vienādojums (10.9) ir taisnās līnijas vispārīgais vienādojums (skat. 2. attēlu).

1. attēls 2. attēls

Kanoniskie līnijas vienādojumi

,

Kur
- punkta koordinātas, caur kuru iet taisne, un
- virziena vektors.

Otrās kārtas līkņu loks

Aplis ir visu plaknes punktu kopums, kas atrodas vienādā attālumā no noteiktā punkta un ko sauc par centru.

Rādiusa apļa kanoniskais vienādojums R centrā centrā
:

Jo īpaši, ja likmes centrs sakrīt ar izcelsmi, tad vienādojums izskatīsies šādi:

Elipse

Elipse ir punktu kopa plaknē, kuru attālumu summa ir katra no tām līdz diviem dotajiem punktiem un , ko sauc par perēkļiem, ir nemainīgi
lielāks par attālumu starp perēkļiem
.

Elipsijas, kuras fokusi atrodas uz Ox ass, kanoniskais vienādojums, un koordinātu izcelsme pa vidu starp fokusiem ir forma
r dea pusvadora ass garums;b - pusmollora ass garums (2. attēls).

Saikne starp elipses parametriem
un ko izsaka attiecība:

(4)

Ekscentriskuma elipsesauc par interfokālā attāluma attiecību2.c uz galveno asi2.a:

Direktori elipses sauc par taisnām līnijām, kas ir paralēlas asi Oy, kas atrodas attālumā no šīs ass. Directrix vienādojumi:
.

Ja elipses vienādojumā
, tad elipses fokusi atrodas uz Oy ass.

Tātad,

Ļaujiet dot divus punktus M 1 (x 1, y 1) un M 2 (x 2, y 2)... Taisnās līnijas vienādojumu ierakstām formā (5), kur k joprojām nezināms koeficients:

Kopš punkta M 2pieder noteiktai taisnei, tad tās koordinātas apmierina vienādojumu (5):. Izsakot no tā un aizstājot to ar (5) vienādojumu, iegūstam vēlamo vienādojumu:

Ja šo vienādojumu var pārrakstīt formā, kas ir ērtāka iegaumēšanai:

(6)

Piemērs.Pierakstiet taisnes, kas šķērso punktus M 1 (1.2) un M 2 (-2.3), vienādojumu

Lēmums. ... Izmantojot proporcijas īpašību un veicot nepieciešamās transformācijas, iegūstam taisnes līnijas vispārīgo vienādojumu:

Leņķis starp divām taisnām līnijām

Apsveriet divas līnijas l 1 un l 2:

l 1:,, un

l 2: , ,

φ ir leņķis starp tiem (). 4. attēlā parādīts:

No šejienes vai

Izmantojot formulu (7), var noteikt vienu no leņķiem starp taisnēm. Otrais leņķis ir.

Piemērs... Divas taisnas līnijas dod vienādojumi y \u003d 2x + 3 un y \u003d -3x + 2. atrodiet leņķi starp šīm līnijām.

Lēmums... No vienādojumiem var redzēt, ka k 1 \u003d 2, un k 2 \u003d -3. aizstājot šīs vērtības formulā (7), mēs atrodam

... Tādējādi leņķis starp šīm līnijām ir vienāds.

Divu līniju paralēluma un perpendikularitātes nosacījumi

Ja taisni l 1 un l 2 ir paralēli φ=0 un tgφ \u003d 0... no formulas (7) izriet, ka no kurienes k 2 \u003d k 1... Tādējādi divu taisnu līniju paralēluma nosacījums ir to nogāžu vienādība.

Ja taisni l 1 un l 2 tad ir perpendikulāri φ \u003d π / 2, α 2 \u003d π / 2 + α 1. ... Tādējādi divu taisnu līniju perpendikularitātes nosacījums ir tāds, ka to nogāzes ir abpusējas lieluma un pretējas zīmes.

Attālums no punkta līdz līnijai

Teorēma. Ja tiek piešķirts punkts M (x 0, y 0), tad attālumu līdz taisnei Ax + Vy + C \u003d 0 nosaka kā

Pierādījumi. Ļaujiet punktam M 1 (x 1, y 1) būt perpendikulāra bāzei, kas no punkta M nokritusi uz doto līniju. Tad attālums starp punktiem M un M 1:

Koordinātas x 1 un y 1 var atrast kā vienādojumu sistēmas risinājumu:

Sistēmas otrais vienādojums ir taisnas līnijas vienādojums, kas iet caur noteiktu punktu M 0 perpendikulārs dotajai taisnei.

Ja pārveidosim pirmo sistēmas vienādojumu formā:

A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + Ar 0 + C \u003d 0,

tad, risinot, mēs iegūstam:

Aizvietojot šīs izteiksmes vienādojumā (1), mēs atrodam:

Teorēma ir pierādīta.

Piemērs. Nosakiet leņķi starp taisnēm: y \u003d -3x + 7; y \u003d 2x + 1.

k1 \u003d -3; k2 \u003d 2 tgj \u003d; j \u003d p / 4.

Piemērs. Parādiet, ka taisnās līnijas 3x - 5y + 7 \u003d 0 un 10x + 6y - 3 \u003d 0 ir perpendikulāras.

Mēs atrodam: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 k 2 \u003d -1, tāpēc taisnās līnijas ir perpendikulāras.

Piemērs. Ir norādītas trijstūra A (0; 1), B (6; 5), C (12; -1) virsotnes. Atrodiet vienādojumu augstumam, kas iegūts no C virsotnes.

Atrodam malas AB vienādojumu :; 4x \u003d 6g - 6;

2x - 3y + 3 \u003d 0;

Nepieciešamais augstuma vienādojums ir: Ax + By + C \u003d 0 vai y \u003d kx + b.

k \u003d. Tad y \u003d. Tā kā augstums iet caur punktu C, tad tā koordinātas apmierina doto vienādojumu: no kurienes b \u003d 17. Kopā :.

Atbilde: 3x + 2g - 34 \u003d 0.

Attālumu no punkta līdz taisnei nosaka perpendikulārais garums, kas nokritis no punkta līdz taisnei.

Ja līnija ir paralēla projekcijas plaknei (h | | P 1), tad, lai noteiktu attālumu no punkta UN uz taisnu h nepieciešams pazemināt perpendikulu no punkta UN horizontāli h.

Apsveriet sarežģītāku piemēru, kad taisne ir vispārējā stāvoklī. Ļaujiet noteikt attālumu no punkta M uz taisnu un vispārējā nostāja.

Uzdevums noteikt attālums starp paralēlām līnijām atrisināta līdzīgi kā iepriekšējā. Vienā līnijā tiek ņemts punkts, no kura perpendikulārs tiek nolaists uz citu līniju. Perpendikula garums ir vienāds ar attālumu starp paralēlām līnijām.

Otrās kārtas līkne sauc par līniju, ko nosaka otrās pakāpes vienādojums attiecībā pret pašreizējām Dekarta koordinātām. Parasti Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F \u003d 0,

kur A, B, C, D, E, F ir reālie skaitļi un vismaz viens no skaitļiem A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0.

Aplis

Apļa centrs Vai punktu lokuss plaknē ir vienādā attālumā no plaknes C (a, b) punkta.

Apli izsaka šāds vienādojums:

Kur x, y ir patvaļīga apļa punkta koordinātas, R ir apļa rādiuss.

Apkārtmēru vienādojums

1. Nav termina ar x, y

2. Vienādi koeficienti pie x 2 un y 2

Elipse

Elipse sauc par punktu lokusu plaknē, kuru attālumu summu no diviem dotajiem šīs plaknes punktiem sauc par foci (nemainīgu vērtību).

Kanoniskais elipses vienādojums:

X un y pieder elipsei.

a - elipsijas daļēji galvenā ass

b - elipses pusminora ass

Elipsei ir 2 simetrijas asis OX un OY. Elipses simetrijas asis ir tās asis, to krustošanās punkts ir elipses centrs. Tiek saukta ass, uz kuras atrodas fokuss fokusa ass... Elipses un asu krustošanās punkts ir elipses virsotne.

Saspiešanas (stiepšanās) attiecība: ε \u003d s / a - ekscentriskums (raksturo elipses formu), jo mazāks tas ir, jo mazāk elipse ir iegarena gar fokusa asi.

Ja elipses centri nav centrā C (α, β)

Hiperbola

Hiperbols sauc par plaknes punktu lokalizāciju, attālumu starpības absolūtā vērtība, no kurām katra no diviem šīs plaknes dotajiem punktiem, ko sauc par fokusiem, ir nemainīga vērtība, kas nav nulle.

Kanoniskais hiperbola vienādojums

Hiperbolai ir 2 simetrijas asis:

a ir simetrijas reālā semiaksis

b - iedomāta simetrijas pusass

Hiperbola asimptoti:

Parabola

Parabola sauc par punktu lokusu plaknē, kas atrodas vienādā attālumā no noteiktā punkta F, ko sauc par fokusu un norādīto taisni, ko sauc par tiešo.

Kanoniskais parabola vienādojums:

Y 2 \u003d 2px, kur p ir attālums no fokusa līdz direktorijam (parabola parametrs)

Ja parabola virsotne C (α, β), tad parabola vienādojums (y-β) 2 \u003d 2p (x-α)

Ja fokusa asi uzskata par ordinātu asi, tad parabola vienādojums būs šāds: x 2 \u003d 2qу