Logaritmu apgūšana no nulles. Kas ir logaritms

Tātad, mūsu priekšā ir divu cilvēku pilnvaras. Ja jūs ņemat numuru no apakšējās rindas, tad jūs varat viegli atrast pakāpi, kādā jums ir jāpaaugstina divi, lai iegūtu šo numuru. Piemēram, lai iegūtu 16, jums jāpaaugstina divi līdz ceturtajai pakāpei. Un, lai iegūtu 64, jums jāpaaugstina divi līdz sestajam spēkam. To var redzēt no tabulas.

Un tagad - faktiski logaritma definīcija:

Argumenta x logaritma bāze a ir jauda, \u200b\u200blīdz kurai skaitlis a jāpaaugstina, lai iegūtu skaitli x.

Apzīmējumi: reģistrēt a x \u003d b, kur a ir bāze, x ir arguments, b faktiski ir tas, kas ir logaritms.

Piemēram, 2 3 \u003d 8 ⇒ log 2 8 \u003d 3 (2 no 8 logaritma bāze ir trīs, jo 2 3 \u003d 8). Ar tādu pašu veiksmes žurnālu 2 64 \u003d 6, jo 2 6 \u003d 64.

Operāciju skaitļa logaritma atrašanai noteiktā bāzē sauc par logaritmu. Tātad, pievienosim jaunu tabulu:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 \u003d 1	log 2 4 \u003d 2	log 2 8 \u003d 3	log 2 16 \u003d 4	log 2 32 \u003d 5	log 2 64 \u003d 6

Diemžēl ne visi logaritmi tiek aprēķināti tik viegli. Piemēram, mēģiniet atrast žurnālu 2 5. Skaitlis 5 tabulā nav, bet loģika nosaka, ka logaritms atradīsies kaut kur segmentā. Jo 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Šādus skaitļus sauc par neracionāliem: skaitļus aiz komata var rakstīt bezgalīgi, un tie nekad neatkārtojas. Ja logaritms izrādās iracionāls, labāk to atstāt tā: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Ir svarīgi saprast, ka logaritms ir izteiksme ar diviem mainīgajiem (pamats un arguments). Sākumā daudzi ir neizpratnē par to, kur ir pamats un kur ir arguments. Lai izvairītos no kaitinošiem pārpratumiem, vienkārši ieskatieties attēlā:

Pirms mums nav nekas cits kā logaritma definīcija. Atcerieties: logaritms ir pakāpeuz kuru jāceļ bāze, lai iegūtu argumentu. Tā ir pamatne, kas tiek pacelta līdz spēkam - attēlā tā ir izcelta sarkanā krāsā. Izrādās, ka pamatne vienmēr ir apakšā! Es teicu šo brīnišķīgo likumu saviem studentiem jau pirmajā stundā - un neskaidrības nerodas.

Mēs izdomājām definīciju - atliek iemācīties skaitīt logaritmus, t.i. atbrīvoties no žurnāla zīmes. Vispirms mēs atzīmējam, ka no definīcijas izriet divi svarīgi fakti:

Argumentam un rādiusam vienmēr jābūt lielākam par nulli. Tas izriet no pakāpes definīcijas ar racionālu rādītāju, līdz kuram tiek samazināta logaritma definīcija.
Bāzei jābūt atšķirīgai no vienas, jo tā joprojām ir vienāda jebkurā pakāpē. Tāpēc jautājums "cik lielā mērā būtu jāceļ viens, lai iegūtu divus" ir bezjēdzīgs. Nav tādas pakāpes!

Šādi ierobežojumi tiek saukti derīgo vērtību diapazons (ODZ). Izrādās, ka logaritma ODZ izskatās šādi: log a x \u003d b ⇒ x\u003e 0, a\u003e 0, a ≠ 1.

Ņemiet vērā, ka skaitlim b (logaritma vērtībai) nav ierobežojumu. Piemēram, logaritms var būt negatīvs: log 2 0,5 \u003d −1, jo 0,5 \u003d 2 −1.

Tomēr tagad mēs apsveram tikai skaitliskas izteiksmes, kur jums nav jāzina logaritma ODV. Visus ierobežojumus uzdevumu sastādītāji jau ir ņēmuši vērā. Bet, kad ienāks logaritmiskie vienādojumi un nevienlīdzība, DHS prasības kļūs obligātas. Patiešām, pamatā un argumentā var būt ļoti spēcīgas konstrukcijas, kas ne vienmēr atbilst iepriekš minētajiem ierobežojumiem.

Tagad aplūkosim vispārējo shēmu logaritmu aprēķināšanai. Tas sastāv no trim posmiem:

Pārstāviet bāzi a un argumentu x kā jaudu, kuras mazākā iespējamā bāze ir lielāka par vienu. Pa ceļam labāk atbrīvoties no decimāldaļām;
Atrisiniet mainīgā b vienādojumu: x \u003d a b;
Iegūtais skaitlis b būs atbilde.

Tas ir viss! Ja logaritms izrādīsies neracionāls, tas būs redzams jau pirmajā solī. Ļoti būtiska ir prasība, lai bāze būtu lielāka par vienu: tas samazina kļūdu iespējamību un ievērojami vienkāršo aprēķinus. Līdzīgi ar decimāldaļām: ja jūs tos nekavējoties pārveidosiet parastajos, kļūdu būs daudzkārt mazāk.

Apskatīsim, kā šī shēma darbojas, ar konkrētiem piemēriem:

Uzdevums. Aprēķiniet logaritmu: log 5 25

Pārstāvēsim pamatu un argumentu kā piecu spēku: 5 \u003d 5 1; 25 \u003d 5 2;
Sastādīsim un atrisināsim vienādojumu:
log 5 25 \u003d b ⇒ (5 1) b \u003d 5 2 ⇒ 5 b \u003d 5 2 ⇒ b \u003d 2;
Saņēmu atbildi: 2.

Uzdevums. Aprēķiniet logaritmu:

Uzdevums. Aprēķiniet logaritmu: log 4 64

Pārstāvēsim pamatu un argumentu kā divu spēku: 4 \u003d 2 2; 64 \u003d 2 6;
Sastādīsim un atrisināsim vienādojumu:
log 4 64 \u003d b ⇒ (2 2) b \u003d 2 6 ⇒ 2 2b \u003d 2 6 ⇒ 2b \u003d 6 ⇒ b \u003d 3;
Saņēmu atbildi: 3.

Uzdevums. Aprēķiniet logaritmu: log 16 1

Pārstāvēsim pamatu un argumentu kā divu spēku: 16 \u003d 2 4; 1 \u003d 2 0;
Sastādīsim un atrisināsim vienādojumu:
log 16 1 \u003d b ⇒ (2 4) b \u003d 2 0 ⇒ 2 4b \u003d 2 0 ⇒ 4b \u003d 0 ⇒ b \u003d 0;
Saņēmu atbildi: 0.

Uzdevums. Aprēķiniet žurnālu: log 7 14

Mēs pārstāvam pamatu un argumentu kā septiņu spēku: 7 \u003d 7 1; 14 nav attēlots kā septiņu spēks, jo 7 1< 14 < 7 2 ;
No iepriekšējās rindkopas izriet, ka logaritms netiek ņemts vērā;
Atbilde nav izmaiņa: log 7 14.

Neliela piezīme par pēdējo piemēru. Kā pārliecināties, ka skaitlis nav precīzs cita skaitļa spēks? Tas ir ļoti vienkārši - vienkārši ņemiet to vērā galvenajos faktoros. Un, ja šādus faktorus nevar savākt jaudās ar vienādiem rādītājiem, tad sākotnējais skaitlis nav precīza jauda.

Uzdevums. Uzziniet, vai skaitļa precīzās pilnvaras ir: 8; 48; 81; 35; četrpadsmit.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - precīzs grāds, jo ir tikai viens faktors;
48 \u003d 6 · 8 \u003d 3 · 2 · 2 · 2 · 2 \u003d 3 · 2 4 - nav precīza pakāpe, jo ir divi faktori: 3 un 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 3 \u003d 3 4 - precīzs grāds;
35 \u003d 7,5 - atkal nav precīza pakāpe;
14 \u003d 7,2 - atkal nav precīza pakāpe;

Ņemiet vērā arī to, ka paši pirmie skaitļi vienmēr ir precīzi viņu spēki.

Decimāldaļas logaritms

Daži logaritmi ir tik izplatīti, ka tiem ir īpašs nosaukums un apzīmējums.

X decimālais logaritms ir logaritma bāze 10, t.i. jauda, \u200b\u200blīdz kurai skaitlis 10 jāpaaugstina, lai iegūtu skaitli x. Apzīmējums: lg x.

Piemēram, lg 10 \u003d 1; lg 100 \u003d 2; lg 1000 \u003d 3 - utt.

Turpmāk, kad mācību grāmatā parādās tāda frāze kā “Atrast lg 0,01”, jums jāzina: tā nav drukas kļūda. Šis ir decimāldaļas logaritms. Tomēr, ja neesat pieradis pie šāda apzīmējuma, vienmēr varat to pārrakstīt:
log x \u003d log 10 x

Viss, kas attiecas uz parastajiem logaritmiem, attiecas arī uz decimāldaļu.

Dabiskais logaritms

Ir vēl viens logaritms, kuram ir savs apzīmējums. Savā ziņā tas ir pat svarīgāks par decimāldaļu. Tas ir dabiskais logaritms.

X dabiskais logaritms ir logaritma bāze e, t.i. jauda, \u200b\u200blīdz kurai skaitlis e jāpaaugstina, lai iegūtu skaitli x. Apzīmējums: ln x.

Daudzi jautās: kāds vēl ir skaitlis e? Tas ir iracionāls skaitlis, tā precīzo nozīmi nevar atrast un pierakstīt. Es sniegšu tikai pirmos skaitļus:
e \u003d 2,718281828459 ...

Mēs neiedziļināsimies, kāds ir šis skaitlis un kāpēc tas ir vajadzīgs. Vienkārši atcerieties, ka e ir dabiskā logaritma pamats:
ln x \u003d log e x

Tādējādi ln e \u003d 1; ln 2 \u003d 2; ln e 16 \u003d 16 - utt. No otras puses, ln 2 iracionāls skaitlis. Parasti jebkura racionāla skaitļa dabiskais logaritms ir iracionāls. Protams, izņemot vienības: ln 1 \u003d 0.

Dabiskajiem logaritmiem ir patiesi visi noteikumi, kas attiecas uz parastajiem logaritmiem.

B (b\u003e 0) logaritms, lai pamatotu a (a\u003e 0, a ≠ 1) Vai eksponents, pie kura jāpalielina skaitlis a, lai iegūtu b.

B līdz 10 bāzes logaritmu var uzrakstīt kā lg (b), un logaritma bāze e (dabiskais logaritms) ir ln (b).

Bieži lieto, risinot problēmas ar logaritmiem:

Logaritmu īpašības

Ir četri galvenie logaritmu īpašības.

Ļaujiet a\u003e 0, a ≠ 1, x\u003e 0 un y\u003e 0.

Īpašība 1. Produkta logaritms

Produkta logaritms ir vienāda ar logaritmu summu:

log a (x ⋅ y) \u003d log a x + log a y

Īpašība 2. Dalījuma logaritms

Dalījuma logaritms ir vienāds ar logaritmu starpību:

log a (x / y) \u003d reģistrēt a x - reģistrēt a y

Īpašība 3. Pakāpes logaritms

Grāda logaritms ir vienāds ar logaritma jaudas reizinājumu:

Ja logaritma bāze ir spēkā, darbojas cita formula:

Īpašība 4. Saknes logaritms

Šo īpašību var iegūt no pakāpes logaritma rekvizīta, jo n-tās pakāpes sakne ir vienāda ar grādu 1 / n:

Formula pārejai no logaritma vienā bāzē uz logaritmu citā bāzē

Šo formulu bieži lieto, risinot dažādas logaritmu problēmas:

Īpašs gadījums:

Logaritmu (nevienlīdzības) salīdzinājums

Pieņemsim, ka mums ir 2 funkcijas f (x) un g (x) zem logaritmiem ar vienādām bāzēm, un starp tām ir nevienlīdzības zīme:

Lai tos salīdzinātu, vispirms jāaplūko logaritmu bāze a:

Ja a\u003e 0, tad f (x)\u003e g (x)\u003e 0
Ja 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Kā atrisināt problēmas ar logaritmiem: piemēri

Logaritma uzdevumi iekļauts USE matemātikā 11. pakāpes 5. un 7. uzdevumā, uzdevumus ar risinājumiem varat atrast mūsu vietnē attiecīgajās sadaļās. Arī uzdevumi ar logaritmiem atrodami matemātikas uzdevumu bankā. Visus piemērus var atrast, meklējot vietnē.

Kas ir logaritms

Skolas matemātikas kursos logaritmi vienmēr tiek uzskatīti par sarežģītu tēmu. Logaritmam ir daudz dažādu definīciju, taču lielākajā daļā mācību grāmatu kaut kā tiek izmantotas visgrūtākās un neveiksmīgākās.

Mēs definēsim logaritmu vienkārši un skaidri. Lai to izdarītu, izveidojiet tabulu:

Tātad, mūsu priekšā ir divu cilvēku pilnvaras.

Logaritmi - īpašības, formulas, kā atrisināt

Ja jūs ņemat numuru no apakšējās rindas, tad jūs varat viegli atrast pakāpi, kādā jums ir jāpaaugstina divi, lai iegūtu šo numuru. Piemēram, lai iegūtu 16, jums jāpaaugstina divi līdz ceturtajai pakāpei. Un, lai iegūtu 64, jums jāpaaugstina divi līdz sestajam spēkam. To var redzēt no tabulas.

Un tagad - faktiski logaritma definīcija:

bāze a no argumenta x ir jauda, \u200b\u200blīdz kurai skaitlis a jāpaaugstina, lai iegūtu skaitli x.

Apzīmējumi: reģistrēt a x \u003d b, kur a ir bāze, x ir arguments, b faktiski ir tas, kas ir logaritms.

Piemēram, 2 3 \u003d 8 ⇒log 2 8 \u003d 3 (žurnāla bāze 2 no 8 ir trīs, jo 2 3 \u003d 8). Ar tādu pašu veiksmes žurnālu 2 64 \u003d 6, jo 2 6 \u003d 64.

Tiek saukta operācija skaitļa logaritma atrašanai noteiktā bāzē. Tātad, pievienosim jaunu tabulu:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 \u003d 1	log 2 4 \u003d 2	log 2 8 \u003d 3	log 2 16 \u003d 4	log 2 32 \u003d 5	log 2 64 \u003d 6

Kā skaitīt logaritmus

Mēs izdomājām definīciju - atliek iemācīties skaitīt logaritmus, t.i. atbrīvoties no žurnāla zīmes. Vispirms mēs atzīmējam, ka no definīcijas izriet divi svarīgi fakti:

Argumentam un rādiusam vienmēr jābūt lielākam par nulli. Tas izriet no pakāpes definīcijas ar racionālu rādītāju, līdz kuram tiek samazināta logaritma definīcija.
Bāzei jābūt atšķirīgai no vienas, jo tā joprojām ir vienāda jebkurā pakāpē. Tāpēc jautājums "cik lielā mērā būtu jāceļ viens, lai iegūtu divus" ir bezjēdzīgs. Nav tādas pakāpes!

Šādi ierobežojumi tiek saukti derīgo vērtību diapazons (ODZ). Izrādās, ka logaritma ODZ izskatās šādi: log a x \u003d b ⇒x\u003e 0, a\u003e 0, a ≠ 1.

Ņemiet vērā, ka skaitlim b (logaritma vērtībai) nav ierobežojumu. Piemēram, logaritms var būt negatīvs: log 2 0,5 \u003d −1, jo 0,5 \u003d 2 −1.

Tagad aplūkosim vispārējo shēmu logaritmu aprēķināšanai. Tas sastāv no trim posmiem:

Pārstāviet bāzi a un argumentu x kā jaudu, kuras mazākā iespējamā bāze ir lielāka par vienu. Pa ceļam labāk atbrīvoties no decimāldaļām;
Atrisiniet mainīgā b vienādojumu: x \u003d a b;
Iegūtais skaitlis b būs atbilde.

Apskatīsim, kā šī shēma darbojas, ar konkrētiem piemēriem:

Uzdevums. Aprēķiniet logaritmu: log 5 25

Pārstāvēsim pamatu un argumentu kā piecu spēku: 5 \u003d 5 1; 25 \u003d 5 2;

Sastādīsim un atrisināsim vienādojumu:
log 5 25 \u003d b ⇒ (5 1) b \u003d 5 2 ⇒5 b \u003d 5 2 ⇒ b \u003d 2;

Saņēmu atbildi: 2.

Uzdevums. Aprēķiniet logaritmu:

Uzdevums. Aprēķiniet logaritmu: log 4 64

Pārstāvēsim pamatu un argumentu kā divu spēku: 4 \u003d 2 2; 64 \u003d 2 6;
Sastādīsim un atrisināsim vienādojumu:
log 4 64 \u003d b ⇒ (2 2) b \u003d 2 6 ⇒2 2b \u003d 2 6 ⇒2b \u003d 6 ⇒ b \u003d 3;
Saņēmu atbildi: 3.

Uzdevums. Aprēķiniet logaritmu: log 16 1

Pārstāvēsim pamatu un argumentu kā divu spēku: 16 \u003d 2 4; 1 \u003d 2 0;
Sastādīsim un atrisināsim vienādojumu:
log 16 1 \u003d b ⇒ (2 4) b \u003d 2 0 ⇒2 4b \u003d 2 0 ⇒4b \u003d 0 ⇒ b \u003d 0;
Saņēmu atbildi: 0.

Uzdevums. Aprēķiniet žurnālu: log 7 14

Mēs pārstāvam pamatu un argumentu kā septiņu spēku: 7 \u003d 7 1; 14 nav attēlots kā septiņu spēks, jo 7 1< 14 < 7 2 ;
No iepriekšējās rindkopas izriet, ka logaritms netiek ņemts vērā;
Atbilde nav izmaiņa: log 7 14.

Neliela piezīme par pēdējo piemēru. Kā nodrošināt, ka skaitlis nav precīzs cita skaitļa spēks? Tas ir ļoti vienkārši - vienkārši ņemiet to vērā galvenajos faktoros. Ja paplašināšanai ir vismaz divi dažādi faktori, skaitlis nav precīza jauda.

Uzdevums. Uzziniet, vai skaitļa precīzās pilnvaras ir: 8; 48; 81; 35; četrpadsmit.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 ir precīza pakāpe, jo ir tikai viens faktors;
48 \u003d 6 · 8 \u003d 3 · 2 · 2 · 2 · 2 \u003d 3 · 2 4 - nav precīza pakāpe, jo ir divi faktori: 3 un 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 3 \u003d 3 4 - precīzs grāds;
35 \u003d 7,5 - atkal nav precīza pakāpe;
14 \u003d 7 2 - atkal nav precīza pakāpe;

Ņemiet vērā arī to, ka paši pirmie skaitļi vienmēr ir precīzi viņu spēki.

Decimāldaļas logaritms

Daži logaritmi ir tik izplatīti, ka tiem ir īpašs nosaukums un apzīmējums.

x ir 10 pamatlogaritms, t.i. jauda, \u200b\u200blīdz kurai skaitlis 10 jāpaaugstina, lai iegūtu skaitli x. Apzīmējums: lg x.

Piemēram, lg 10 \u003d 1; lg 100 \u003d 2; lg 1000 \u003d 3 - utt.

Viss, kas attiecas uz parastajiem logaritmiem, attiecas arī uz decimāldaļu.

Dabiskais logaritms

Ir vēl viens logaritms, kuram ir savs apzīmējums. Savā ziņā tas ir pat svarīgāks par decimāldaļu. Tas ir dabiskais logaritms.

argumenta x ir logaritma bāze e, t.i. jauda, \u200b\u200blīdz kurai skaitlis e jāpaaugstina, lai iegūtu skaitli x. Apzīmējums: ln x.

Daudzi jautās: kāds vēl ir skaitlis e? Tas ir iracionāls skaitlis, tā precīzo nozīmi nevar atrast un pierakstīt. Es sniegšu tikai pirmos skaitļus:
e \u003d 2,718281828459 ...

Mēs neiedziļināsimies, kāds ir šis skaitlis un kāpēc tas ir vajadzīgs. Vienkārši atcerieties, ka e ir dabiskā logaritma pamats:
ln x \u003d log e x

Dabiskajiem logaritmiem ir patiesi visi noteikumi, kas attiecas uz parastajiem logaritmiem.

Skatīt arī:

Logaritms. Logaritma īpašības (logaritma jauda).

Kā es varu skaitli attēlot kā logaritmu?

Mēs izmantojam logaritma definīciju.

Logaritms ir rādītājs, kādā pakāpē ir jāpaaugstina pamatne, lai iegūtu skaitli zem logaritma zīmes.

Tādējādi, lai kādu skaitli c attēlotu logaritma formā līdz pamatnei a, jauda ir jāpadara ar tādu pašu pamatu kā logaritma pamatne zem logaritma zīmes un šis skaitlis c jāieraksta eksponentā:

Pilnīgi jebkuru skaitli var attēlot logaritma formā - pozitīvs, negatīvs, vesels, daļējs, racionāls, iracionāls:

Lai nesajauktu a un c kontroles vai eksāmena stresa apstākļos, varat izmantot šo noteikumu, lai iegaumētu:

tas, kas atrodas zemāk, iet uz leju, tas, kas atrodas augšā, iet uz augšu.

Piemēram, skaitli 2 vēlaties attēlot kā logaritmu pamatam 3.

Mums ir divi skaitļi - 2 un 3. Šie skaitļi ir pamats un eksponents, kurus mēs uzrakstīsim zem logaritma zīmes. Atliek noteikt, kurš no šiem skaitļiem jāpieraksta pakāpes bāzē un kurš - augšup, eksponentā.

Bāze 3 logaritma apzīmējumā atrodas apakšā, kas nozīmē, ka tad, kad mēs attēlojam divus kā logaritmu uz pamatni 3, 3 arī tiks pierakstīti līdz pamatnei.

2 stāv virs trim. Rakstot divu spēku, mēs to ierakstām virs trim, tas ir, ar eksponentu:

Logaritmi. Pirmais līmenis.

Logaritmi

Logaritms pozitīvs skaitlis b saprāta dēļ akur a\u003e 0, a ≠ 1, sauc par eksponentu, uz kuru skaitlis jāpaaugstina a, Iegūt b.

Logaritma definīcija var īsi uzrakstīt šādi:

Šī vienlīdzība ir spēkā b\u003e 0, a\u003e 0, a ≠ 1. To parasti sauc logaritmiskā identitāte.
Tiek saukta darbība, kas saistīta ar skaitļa logaritma atrašanu ņemot logaritmu.

Logaritma īpašības:

Produkta logaritms:

Sadalījuma koeficienta logaritms:

Logaritma pamatnes nomaiņa:

Pakāpes logaritms:

Saknes logaritms:

Jaudas logaritms:

Decimāldaļas un naturālie logaritmi.

Decimāldaļas logaritms numuri izsauc šī numura 10 pamatlogaritmu un raksta & nbsp lg b
Dabiskais logaritms numuri izsauc šī numura bāzes logaritmu ekur e - iracionāls skaitlis, aptuveni vienāds ar 2,7. Šajā gadījumā viņi raksta ln b.

Citas piezīmes par algebru un ģeometriju

Logaritmu pamatīpašības

Logaritmus, tāpat kā jebkurus skaitļus, var visādi pievienot, atņemt un pārveidot. Bet, tā kā logaritmi nav gluži parastie skaitļi, šeit ir likumi, kurus sauc pamatīpašības.

Ir obligāti jāzina šie noteikumi - bez tiem nevar atrisināt nevienu nopietnu logaritmisko problēmu. Turklāt to ir ļoti maz - visu var iemācīties vienā dienā. Tātad sāksim.

Logaritmu saskaitīšana un atņemšana

Apsveriet divus logaritmus ar vienādām bāzēm: reģistrējiet a x un reģistrējiet a y. Tad tos var saskaitīt un atņemt, un:

log a x + log a y \u003d log a (x y);
log a x - log a y \u003d log a (x: y).

Tātad, logaritmu summa ir vienāda ar produkta logaritmu, un atšķirība ir koeficienta logaritms. Lūdzu, ņemiet vērā, ka šeit galvenais punkts ir - identisks pamatojums... Ja iemesli ir atšķirīgi, šie noteikumi nedarbojas!

Šīs formulas palīdzēs jums aprēķināt logaritmisko izteiksmi pat tad, ja tās atsevišķās daļas netiek skaitītas (skat. Nodarbību "Kas ir logaritms"). Apskatiet piemērus - un skatiet:

Log 6 4 + log 6 9.

Tā kā logaritmu bāzes ir vienādas, mēs izmantojam summas formulu:
log 6 4 + log 6 9 \u003d log 6 (4 9) \u003d log 6 36 \u003d 2.

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log 2 48 - log 2 3.

Bāzes ir vienādas, mēs izmantojam starpības formulu:
log 2 48 - log 2 3 \u003d log 2 (48: 3) \u003d log 2 16 \u003d 4.

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log 3 135 - log 3 5.

Atkal bāzes ir vienādas, tāpēc mums ir:
log 3 135 - log 3 5 \u003d log 3 (135: 5) \u003d log 3 27 \u003d 3.

Kā redzat, oriģinālās izteiksmes sastāv no "sliktiem" logaritmiem, kas netiek atsevišķi ieskaitīti. Bet pēc transformācijām tiek iegūti pilnīgi normāli skaitļi. Daudzi testi ir balstīti uz šo faktu. Bet kāda kontrole - šādi izteicieni visā nopietnībā (dažreiz - praktiski nemainīgi) tiek piedāvāti eksāmenā.

Eksponenta noņemšana no logaritma

Tagad nedaudz sarežģīsim uzdevumu. Ko darīt, ja logaritma pamats vai arguments balstās uz grādu? Tad šīs pakāpes eksponentu var izņemt no logaritma zīmes saskaņā ar šādiem noteikumiem:

Ir viegli saprast, ka pēdējais noteikums seko pirmajiem diviem. Bet labāk to visu atcerēties vienādi - dažos gadījumos tas ievērojami samazinās aprēķina apjomu.

Protams, visiem šiem noteikumiem ir jēga, ja tiek ievērots logaritma ODL: a\u003e 0, a ≠ 1, x\u003e 0. Un vēl viena lieta: iemācieties pielietot visas formulas ne tikai no kreisās uz labo pusi, bet arī otrādi, t.i. skaitļus logaritma zīmes priekšā ir iespējams ievadīt pašā logaritmā.

Kā atrisināt logaritmus

Tas ir tas, kas visbiežāk tiek prasīts.

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log 7 49 6.

Atbrīvosimies no pakāpes argumentā, izmantojot pirmo formulu:
log 7 49 6 \u003d 6 log 7 49 \u003d 6 2 \u003d 12

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes nozīmi:

Ņemiet vērā, ka saucējs satur logaritmu, kura pamats un arguments ir precīzas pilnvaras: 16 \u003d 2 4; 49 \u003d 7 2. Mums ir:

Es domāju, ka pēdējais piemērs ir jāprecizē. Kur pazuda logaritmi? Līdz pat pēdējam brīdim mēs strādājam tikai ar saucēju. Mēs uzrādījām pamatu un tajā stāvošā logaritma argumentu grādu formā un izvedām rādītājus - mēs saņēmām "trīsstāvu" daļu.

Tagad apskatīsim pamata daļu. Skaitītājā un saucējā ir viens un tas pats skaitlis: log 2 7. Tā kā log 2 7 ≠ 0, mēs varam atcelt daļu - saucējs paliks 2/4. Saskaņā ar aritmētikas noteikumiem četrus var pārcelt uz skaitītāju, kas tika izdarīts. Rezultāts bija atbilde: 2.

Pāreja uz jaunu pamatu

Runājot par logaritmu saskaitīšanas un atņemšanas noteikumiem, es īpaši uzsvēru, ka tie darbojas tikai ar tām pašām bāzēm. Ko darīt, ja iemesli ir atšķirīgi? Ko darīt, ja tās nav precīzas tā paša skaitļa pilnvaras?

Palīdz formulas pārejai uz jaunu pamatu. Formulēsim tos teorēmas formā:

Ļaujiet logaritmam log a x dot. Tad jebkuram skaitlim c, piemēram, c\u003e 0 un c ≠ 1, ir šāda vienādība:

Jo īpaši, ja mēs ievietojam c \u003d x, mēs iegūstam:

No otrās formulas izriet, ka ir iespējams apmainīt logaritma pamatu un argumentu, bet visa izteiksme ir "apgriezta", tas ir, logaritms parādās saucējā.

Šīs formulas reti sastopamas parastajās skaitliskajās izteiksmēs. Novērtēt, cik ērti tie ir, iespējams, tikai risinot logaritmiskos vienādojumus un nevienādības.

Tomēr ir uzdevumi, kurus parasti neatrisina, izņemot pāreju uz jaunu pamatu. Apsveriet pāris no šiem:

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log 5 16 log 2 25.

Ņemiet vērā, ka abu logaritmu argumenti satur precīzus grādus. Izņemsim rādītājus: log 5 16 \u003d log 5 2 4 \u003d 4log 5 2; log 2 25 \u003d log 2 5 2 \u003d 2 log 2 5;

Tagad "uzsāksim" otro logaritmu:

Tā kā produkts nemainās no faktoru permutācijas, mēs mierīgi reizinājām četrus un divus un pēc tam tikām galā ar logaritmiem.

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes vērtību: log 9 100 · lg 3.

Pirmā logaritma pamats un arguments ir precīzi grādi. Pierakstīsim to un atbrīvosimies no metrikas:

Tagad atbrīvosimies no komata logaritma, pārejot uz jauno bāzi:

Pamata logaritmiskā identitāte

Bieži vien risināšanas procesā skaitlim jāatspoguļo kā logaritms uz noteiktu bāzi.

Šajā gadījumā formulas mums palīdzēs:

Pirmajā gadījumā skaitlis n kļūst par argumenta eksponentu. Skaitlis n var būt pilnīgi jebkurš, jo tas ir tikai logaritma vērtība.

Otrā formula faktiski ir pārfrāzēta definīcija. To sauc:

Patiesībā, kas notiek, ja skaitlis b tiek paaugstināts līdz tādai pakāpei, ka skaitlis b šai jaudai dod skaitli a? Pareizi: jūs saņemat tieši šo skaitli a. Vēlreiz uzmanīgi izlasiet šo rindkopu - daudzi cilvēki uz tās "karājas".

Tāpat kā formulas pārejai uz jaunu bāzi, pamata logaritmiskā identitāte dažkārt ir vienīgais iespējamais risinājums.

Uzdevums. Atrodiet izteiksmes nozīmi:

Ņemiet vērā, ka log 25 64 \u003d log 5 8 - tikai pārvietoja kvadrātu no pamatnes un logaritma argumenta. Ņemot vērā noteikumus grādu reizināšanai ar to pašu bāzi, mēs iegūstam:

Ja kāds nav zinātājs, tā bija reāla eksāmena problēma 🙂

Logaritmiskā vienība un logaritmiskā nulle

Noslēgumā es sniegšu divas identitātes, kuras diez vai var saukt par īpašībām - drīzāk tās ir logaritma definīcijas sekas. Viņi pastāvīgi sastopas ar problēmām un, pārsteidzoši, rada problēmas pat "progresīviem" studentiem.

log a a \u003d 1 ir. Atcerieties vienreiz un uz visiem laikiem: jebkuras bāzes a logaritms no šīs bāzes ir vienāds ar vienu.
log a 1 \u003d 0 ir. Bāze a var būt jebkas, bet, ja arguments ir viens, logaritms ir nulle! Jo 0 \u003d 1 ir tiešas definīcijas sekas.

Tas ir visas īpašības. Noteikti praktizējiet to ieviešanu praksē! Nodarbības sākumā lejupielādējiet apkrāptu lapu, izdrukājiet to un atrisiniet problēmas.

Logaritma pieņemamo vērtību diapazons (ODV)

Tagad parunāsim par ierobežojumiem (ODZ ir mainīgo atļauto vērtību diapazons).

Mēs atceramies, ka, piemēram, kvadrātsakni nevar iegūt no negatīviem skaitļiem; vai, ja mums ir frakcija, tad saucējs nevar būt nulle. Logaritmiem ir līdzīgi ierobežojumi:

Tas ir, gan argumentam, gan bāzei jābūt lielākai par nulli, un bāze arī nevar būt vienāda.

Kāpēc ir tā, ka?

Sāksim ar vienkāršu: teiksim tā. Tad, piemēram, skaitlis nepastāv, jo neatkarīgi no tā, kādu grādu mēs paaugstinām, tas vienmēr izrādās. Turklāt nevienam tā nepastāv. Bet tajā pašā laikā tas var būt vienāds ar jebko (tā paša iemesla dēļ - jebkura pakāpe ir vienāda). Tāpēc objekts neinteresē, un tas vienkārši tika izmests no matemātikas.

Mums ir līdzīga problēma šajā gadījumā: jebkurā pozitīvajā pakāpē tā ir, bet to vispār nevar paaugstināt līdz negatīvai pakāpei, jo izrādīsies dalījums ar nulli (atcerieties to).

Kad mēs saskaramies ar problēmu, kā paaugstināt daļu no spēka (kas tiek attēlots kā sakne:. Piemēram, (tas ir), bet neeksistē.

Tāpēc negatīvos pamatus ir vieglāk izmest, nekā sajaukt ar viņiem.

Nu, tā kā bāzes a mums ir tikai pozitīvs, tad neatkarīgi no tā, cik daudz mēs to paaugstinām, mēs vienmēr saņemam stingri pozitīvu skaitli. Tādējādi argumentam jābūt pozitīvam. Piemēram, tā nepastāv, jo tas nekādā ziņā nebūs negatīvs skaitlis (un pat nulle, tāpēc arī tā nepastāv).

Problēmu gadījumā ar logaritmiem pirmais solis ir ODV pierakstīšana. Lūk, piemērs:

Atrisināsim vienādojumu.

Atcerieties definīciju: logaritms ir pakāpe, līdz kurai jāpalielina bāze, lai iegūtu argumentu. Un pēc nosacījuma šī pakāpe ir vienāda ar:

Mēs iegūstam parasto kvadrātvienādojumu :. Atrisināsim to, izmantojot Vieta teorēmu: sakņu summa ir vienāda, un reizinājums. Viegli izvēlēties, tie ir skaitļi un.

Bet, ja jūs uzreiz ņemat un pierakstat atbildē abus šos skaitļus, varat iegūt 0 punktus par problēmu. Kāpēc? Padomāsim par to, kas notiek, ja šīs saknes aizstājam ar sākotnējo vienādojumu?

Tas ir acīmredzami nepareizi, jo bāze nevar būt negatīva, tas ir, sakne ir "ārpus".

Lai izvairītos no šādiem nepatīkamiem trikiem, pirms vienādojuma risināšanas jums jāpieraksta ODV:

Tad, saņēmuši saknes, mēs nekavējoties izmetam sakni un uzrakstām pareizo atbildi.

1. piemērs (mēģiniet pats to atrisināt) :

Atrodiet vienādojuma sakni. Ja saknes ir vairākas, atbildē norādiet mazāko no tām.

Lēmums:

Vispirms uzrakstīsim ODZ:

Tagad atcerēsimies, kas ir logaritms: cik lielā mērā jāpaaugstina bāze, lai iegūtu argumentu? Otrkārt. T.i .:

Šķiet, ka mazākā sakne ir vienāda. Bet tas tā nav: saskaņā ar ODZ sakne ir ārēja, tas ir, tā nebūt nav šī vienādojuma sakne. Tādējādi vienādojumam ir tikai viena sakne:.

Atbilde: .

Pamata logaritmiskā identitāte

Atcerēsimies logaritma definīciju kopumā:

Logaritma vietā aizvietosim otrajā vienādībā:

Šī vienlīdzība tiek saukta pamata logaritmiskā identitāte... Kaut arī būtībā šī vienlīdzība ir vienkārši uzrakstīta citādi logaritma definīcija:

Šī ir pakāpe, kas jāceļ, lai saņemtu.

Piemēram:

Atrisiniet šādus piemērus:

2. piemērs.

Atrodiet izteiksmes nozīmi.

Lēmums:

Atgādināsim sadaļas noteikumu: tas ir, paaugstinot jaudu spēkam, rādītāji tiek reizināti. Pielietosim to:

3. piemērs.

Pierādi to.

Lēmums:

Logaritmu īpašības

Diemžēl uzdevumi ne vienmēr ir tik vienkārši - bieži vien vispirms ir jāvienkāršo izteiksme, jāpadara tā parastajā formā, un tikai pēc tam būs iespējams aprēķināt vērtību. Vieglākais veids, kā to izdarīt, ir zināt logaritmu īpašības... Tātad apgūsim logaritmu pamatīpašības. Es pierādīšu katru no tiem, jo \u200b\u200bjebkuru noteikumu ir vieglāk atcerēties, ja zināt, no kurienes tas nāk.

Jāatceras visas šīs īpašības, bez tām nevar atrisināt lielāko daļu problēmu ar logaritmiem.

Un tagad par visām logaritmu īpašībām sīkāk.

1. īpašums:

Pierādījumi:

Ļaujiet, tad.

Mums ir :, h.t.d.

2. īpašība: logaritmu summa

Logaritmu summa ar vienādām bāzēm ir vienāda ar produkta logaritmu: .

Pierādījumi:

Ļaujiet, tad. Ļaujiet, tad.

Piemērs:Atrodiet izteiciena nozīmi:.

Lēmums:.

Tikko iemācītā formula palīdz vienkāršot logaritmu summu, nevis atšķirību, tāpēc šos logaritmus nevar uzreiz apvienot. Bet jūs varat rīkoties gluži pretēji - “sadalīt” pirmo logaritmu divās daļās: un šeit ir solītā vienkāršošana:
.
Kāpēc tas ir vajadzīgs? Nu, piemēram: kāda tam nozīme?

Tagad tas ir acīmredzami.

Tagad vienkāršojiet sevi:

Uzdevumi:

Atbildes:

3. īpašība: Logaritmu atšķirība:

Pierādījumi:

Viss ir tieši tāds pats kā 2. punktā:

Ļaujiet, tad.

Ļaujiet, tad. Mums ir:

Pēdējās rindkopas piemērs tagad kļūst vēl vienkāršāks:

Sarežģītāks piemērs:. Vai jūs varat uzminēt, kā izlemt?

Šeit jāatzīmē, ka mums nav vienas formulas par kvadrātā esošajiem logaritmiem. Tas ir kaut kas līdzīgs izteicienam - to nevar uzreiz vienkāršot.

Tāpēc atkāpsimies no formulām par logaritmiem un padomāsim, kādas formulas matemātikā izmantojam visbiežāk? Pat sākot no 7. klases!

Tā -. Jums jāpierod pie tā, ka viņi ir visur! Un eksponenciālās, trigonometriskās un iracionālās problēmās tie tiek atrasti. Tāpēc tie ir jāatceras.

Ja rūpīgi aplūkojat pirmos divus terminus, kļūst skaidrs, ka tas kvadrātu starpība:

Atbilde pārbaudei:

Vienkāršojiet sevi.

Piemēri

Atbildes.

4. rekvizīts: Eksponenta noņemšana no logaritma argumenta:

Pierādījumi:Un šeit mēs izmantojam arī logaritma definīciju: ļaujiet, tad. Mums ir :, h.t.d.

Jūs varat saprast šo noteikumu šādi:

Tas ir, argumenta pakāpe tiek izvirzīta priekšā logaritmam kā koeficients.

Piemērs:Atrodiet izteiksmes nozīmi.

Lēmums: .

Izlemiet pats:

Piemēri:

Atbildes:

5. īpašība: Eksponenta noņemšana no logaritma pamatnes:

Pierādījumi:Ļaujiet, tad.

Mums ir :, h.t.d.
Atcerieties: no pamatojumu pakāpe tiek atveidota kā reverss numurs, atšķirībā no iepriekšējā gadījuma!

6. rekvizīts: Eksponenta noņemšana no bāzes un logaritma arguments:

Vai arī, ja grādi ir vienādi:.

7. īpašums: Pāreja uz jaunu bāzi:

Pierādījumi:Ļaujiet, tad.

Mums ir :, h.t.d.

8. rekvizīts: Bāzes un logaritma argumenta maiņa:

Pierādījumi:Tas ir īpašs 7. formulas gadījums: ja mēs aizstājam, mēs iegūstam :, p.t.d.

Apskatīsim vēl dažus piemērus.

4. piemērs.

Atrodiet izteiksmes nozīmi.

Mēs izmantojam 2. logaritmu rekvizītu - logaritmu summa ar tādu pašu bāzi ir vienāda ar produkta logaritmu:

5. piemērs.

Atrodiet izteiksmes nozīmi.

Lēmums:

Mēs izmantojam 3. un 4. logaritma īpašību:

6. piemērs.

Atrodiet izteiksmes nozīmi.

Lēmums:

Izmantojot īpašumu Nr. 7 - pārejiet uz 2. bāzi:

7. piemērs.

Atrodiet izteiksmes nozīmi.

Lēmums:

Kā jums patīk raksts?

Ja lasāt šīs rindas, esat izlasījis visu rakstu.

Un tas ir forši!

Tagad pastāstiet mums, kā jums patīk raksts?

Vai esat iemācījušies atrisināt logaritmus? Ja nē, kāda ir problēma?

Rakstiet mums zemāk esošajos komentāros.

Jā, lai veicas ar eksāmeniem.

Par eksāmenu un eksāmenu un vispār dzīvē

Sabiedrībai attīstoties un ražošanai kļūstot sarežģītākai, attīstījās arī matemātika. Pāreja no vienkāršas uz sarežģītu. No parastās uzskaites ar saskaitīšanas un atņemšanas metodi ar to atkārtotu atkārtošanos nonācām pie reizināšanas un dalīšanas jēdziena. Reizināšanas reizināšanas darbības samazināšana ir kļuvusi par eksponences jēdzienu. Pirmās tabulas par skaitļu atkarību no bāzes un palielināšanas līdz spēkam skaitu VIII gadsimtā apkopoja indiešu matemātiķis Varasens. No tiem, un jūs varat saskaitīt logaritmu rašanās laiku.

Vēsturiska skice

Eiropas atdzimšana 16. gadsimtā stimulēja arī mehānikas attīstību. T bija nepieciešams liels skaitļošanas apjomskas saistīti ar daudzciparu skaitļu reizināšanu un dalīšanu. Senie galdi lieliski kalpoja. Tie ļāva sarežģītas operācijas aizstāt ar vienkāršākām - saskaitīšanu un atņemšanu. Liels solis uz priekšu bija 1544. gadā publicētais matemātiķa Maikla Stiefela darbs, kurā viņš realizēja daudzu matemātiķu ideju. Tas ļāva tabulas izmantot ne tikai grādiem prīmu formā, bet arī patvaļīgām racionālām.

1614. gadā skots Džons Napjē, attīstot šīs idejas, vispirms ieviesa jauno terminu "skaitļa logaritms". Lai aprēķinātu sinusu un kosinusu, kā arī pieskares logaritmus, tika sastādītas jaunas sarežģītas tabulas. Tas ievērojami samazināja astronomu darbu.

Sāka parādīties jaunas tabulas, kuras zinātnieki veiksmīgi izmantoja trīs gadsimtus. Pagāja ilgs laiks, līdz jauna darbība algebrā ieguva gatavo formu. Tika dota logaritma definīcija un pētītas tā īpašības.

Tikai 20. gadsimtā, parādoties kalkulatoram un datoram, cilvēce pameta senos galdus, kas veiksmīgi darbojās 13. gadsimtā.

Mūsdienās b bāzes logaritmu saucam par skaitli x, kas ir a jauda, \u200b\u200blai izveidotu skaitli b. To raksta formulas veidā: x \u003d log a (b).

Piemēram, log 3 (9) būs 2. Tas ir acīmredzami, ja ievērojat definīciju. Ja 3 tiek paaugstināts līdz 2, tad mēs iegūstam 9.

Tātad formulētā definīcija nosaka tikai vienu ierobežojumu, skaitļiem a un b jābūt reāliem.

Logaritmu šķirnes

Klasisko definīciju sauc par reālo logaritmu, un tā faktiski ir vienādojuma a x \u003d b risinājums. Opcija a \u003d 1 ir robežlīnija un neinteresē. Piezīme: 1 jebkurā pakāpē ir vienāds ar 1.

Logaritma reālā vērtība definēts tikai tad, ja radikss un arguments ir lielāks par 0, un radikss nedrīkst būt vienāds ar 1

Īpaša vieta matemātikā spēlēt logaritmus, kurus nosauks atkarībā no to bāzes lieluma:

Noteikumi un ierobežojumi

Logaritmu pamatīpašība ir noteikums: produkta logaritms ir vienāds ar logaritmisko summu. log abp \u003d log a (b) + log a (p).

Kā šī apgalvojuma variants būs: log с (b / p) \u003d log с (b) - log с (p), koeficienta funkcija ir vienāda ar funkciju starpību.

No iepriekšējiem diviem noteikumiem ir viegli saprast, ka: log a (b p) \u003d p * log a (b).

Citas īpašības ietver:

Komentēt. Nepieļaujiet bieži pieļautu kļūdu - summas logaritms nav vienāds ar logaritmu summu.

Daudzus gadsimtus logaritma atrašana bija diezgan darbietilpīgs uzdevums. Matemātiķi izmantoja labi zināmo polinomu sadalīšanās logaritmiskās teorijas formulu:

ln (1 + x) \u003d x - (x ^ 2) / 2 + (x ^ 3) / 3 - (x ^ 4) / 4 +… + ((-1) ^ (n + 1)) * (( x ^ n) / n), kur n ir dabiskais skaitlis, kas lielāks par 1, kas nosaka aprēķina precizitāti.

Logaritmi ar citām bāzēm tika aprēķināti, izmantojot teorēmu par pāreju no vienas bāzes uz otru un produkta logaritma īpašību.

Tā kā šī metode ir ļoti laikietilpīga un risinot praktiskas problēmas grūti īstenot, tad mēs izmantojām iepriekš sastādītas logaritmu tabulas, kas ievērojami paātrināja visu darbu.

Dažos gadījumos tika izmantoti īpaši sastādīti logaritmu grafiki, kas deva mazāku precizitāti, bet ievērojami paātrināja vēlamās vērtības meklēšanu. Funkcijas y \u003d log a (x) līkne, kas veidota no vairākiem punktiem, ļauj izmantot regulāru lineālu, lai atrastu funkcijas vērtības jebkurā citā punktā. Ilgu laiku inženieri šiem nolūkiem izmantoja tā saukto grafu papīru.

17. gadsimtā parādījās pirmie papildu analogie skaitļošanas apstākļi, kas līdz 19. gadsimtam ieguva pilnīgu formu. Visveiksmīgāko ierīci sauc par slaidu kārtulu. Ar visu ierīces vienkāršību tās izskats ievērojami paātrināja visu inženiertehnisko aprēķinu procesu, un to ir grūti pārvērtēt. Pašlaik šī ierīce jau ir maz pazīstama.

Kalkulatoru un datoru parādīšanās padarīja jebkuru citu ierīci bezjēdzīgu.

Vienādojumi un nevienlīdzības

Lai atrisinātu dažādus vienādojumus un nevienlīdzības, izmantojot logaritmus, tiek izmantotas šādas formulas:

Pāreja no vienas bāzes uz otru: log a (b) \u003d log c (b) / log c (a);
Iepriekšējās versijas rezultātā: log a (b) \u003d 1 / log b (a).

Lai novērstu nevienlīdzību, ir noderīgi zināt:

Logaritma vērtība būs pozitīva tikai tad, ja gan pamats, gan arguments ir lielāks vai mazāks par vienu; ja tiek pārkāpts vismaz viens nosacījums, logaritma vērtība būs negatīva.
Ja logaritma funkcija tiek lietota nevienlīdzības labajā un kreisajā pusē un logaritma pamats ir lielāks par vienu, tad nevienlīdzības zīme tiek saglabāta; pretējā gadījumā tas mainās.

Uzdevumu piemēri

Apsvērsim vairākas iespējas logaritmu un to īpašību izmantošanai. Piemēri ar vienādojumu risināšanu:

Apsveriet iespēju logaritmu ievietot strāvā:

3. uzdevums. Aprēķiniet 25 ^ log 5 (3). Risinājums: problēmas apstākļos ieraksts ir līdzīgs šādam (5 ^ 2) ^ log5 (3) vai 5 ^ (2 * log 5 (3)). Uzrakstīsim to savādāk: 5 ^ log 5 (3 * 2) vai skaitļa kvadrātu kā argumentu funkcijai var uzrakstīt kā pašas funkcijas kvadrātu (5 ^ log 5 (3)) ^ 2. Izmantojot logaritmu īpašības, šī izteiksme ir 3 ^ 2. Atbilde: aprēķina rezultātā iegūstam 9.

Praktiska izmantošana

Būdams tīri matemātisks rīks, šķiet tālu no reālās dzīves, ka logaritms pēkšņi ieguva lielu nozīmi objektu aprakstīšanai reālajā pasaulē. Ir grūti atrast zinātni, kur tā netiktu izmantota. Tas pilnībā attiecas ne tikai uz dabisko, bet arī uz humanitāro zināšanu jomām.

Logaritmiskās atkarības

Šeit ir daži skaitlisko atkarību piemēri:

Mehānika un fizika

Vēsturiski mehānika un fizika vienmēr ir attīstījušās, izmantojot matemātiskās izpētes metodes, un vienlaikus kalpoja par stimulu matemātikas, tostarp logaritmu, attīstībai. Lielākās daļas fizikas likumu teorija ir rakstīta matemātikas valodā. Šeit ir tikai divi fizisko likumu aprakstīšanas piemēri, izmantojot logaritmu.

Izmantojot Tsiolkovska formulu, kas ir pamats kosmosa izpētes teorijai, ir iespējams atrisināt tik sarežģīta daudzuma kā raķetes ātruma aprēķināšanas problēmu:

V \u003d I * ln (M1 / M2), kur

V ir lidmašīnas galīgais ātrums.
I ir motora īpašais impulss.
M 1 ir raķetes sākotnējā masa.
M 2 ir galīgā masa.

Vēl viens svarīgs piemērs - tas ir cita izcila zinātnieka Maksa Planka formulas pielietojums, kas kalpo, lai novērtētu līdzsvara stāvokli termodinamikā.

S \u003d k * ln (Ω), kur

S - termodinamiskā īpašība.
k ir Boltzmana konstante.
Ω ir dažādu stāvokļu statistiskais svars.

Ķīmija

Mazāk acīmredzama būtu formulu izmantošana ķīmijā, kas satur logaritmu attiecību. Mēs arī sniegsim tikai divus piemērus:

Nernsta vienādojums, barotnes redokspotenciāla stāvoklis attiecībā pret vielu aktivitāti un līdzsvara konstanti.
Arī tādu konstantu kā autoprolīzes indekss un šķīduma skābums aprēķins nav pilnīgs bez mūsu funkcijas.

Psiholoģija un bioloģija

Un nav pilnīgi skaidrs, kāds ir psiholoģijas sakars ar to. Izrādās, ka sajūtas stiprumu šī funkcija labi raksturo kā stimula intensitātes vērtības apgriezto attiecību pret zemāko intensitātes vērtību.

Pēc iepriekš minētajiem piemēriem vairs nav pārsteidzoši, ka logaritmu tēma tiek plaši izmantota bioloģijā. Par bioloģiskām formām, kas atbilst logaritmiskām spirālēm, var rakstīt sējumus.

Citas jomas

Šķiet, ka pasaules pastāvēšana nav iespējama bez saiknes ar šo funkciju, un tā pārvalda visus likumus. It īpaši, ja dabas likumi ir saistīti ar ģeometrisko progresēšanu. Ir vērts atsaukties uz MatProfi vietni, un šādos piemēros ir daudz šādu darbības jomu:

Saraksts var būt bezgalīgs. Apguvis šīs funkcijas pamatlikumus, jūs varat ienirt bezgalīgas gudrības pasaulē.

Pozitīva skaitļa b logaritms, lai pamatotu a (a\u003e 0, a nav vienāds ar 1), ir skaitlis c tāds, ka a c \u003d b: log a b \u003d c ⇔ a c \u003d b (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0) & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp

Lūdzu, ņemiet vērā: pozitīva skaitļa logaritms nav noteikts. Arī logaritma bāzei jābūt pozitīvam skaitlim, kas nav vienāds ar 1. Piemēram, ja mēs kvadrātveida -2, mēs iegūstam skaitli 4, bet tas nenozīmē, ka logaritms uz bāzes 2 no 4 ir 2.

Pamata logaritmiskā identitāte

log a b \u003d b (a\u003e 0, a ≠ 1) (2)

Ir svarīgi, lai šīs formulas labās un kreisās puses definēšanas jomas būtu atšķirīgas. Kreisā puse ir definēta tikai b\u003e 0, a\u003e 0 un a ≠ 1. Labā puse ir definēta jebkuram b un nav pilnīgi atkarīga no a. Tādējādi pamata logaritmiskās "identitātes" izmantošana, risinot vienādojumus un nevienlīdzības, var izraisīt izmaiņas GDV.

Divas acīmredzamas logaritma definīcijas sekas

log a a \u003d 1 (a\u003e 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 \u003d 0 (a\u003e 0, a ≠ 1) (4)

Patiešām, paaugstinot skaitli a līdz pirmajai jaudai, mēs iegūstam to pašu skaitli, bet, paaugstinot līdz nullei, - vienu.

Produkta logaritms un koeficienta logaritms

log a (b c) \u003d log a b + log a c (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, c\u003e 0) (5)

Reģistrēt a b c \u003d reģistrēt a b - reģistrēt a c (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, c\u003e 0) (6)

Es gribētu brīdināt skolēnus par šo formulu nepārdomātu izmantošanu, risinot logaritmiskos vienādojumus un nevienlīdzības. Kad tos lieto "no kreisās uz labo", ODZ sašaurinās, un, pārejot no logaritmu summas vai starpības uz produkta vai koeficienta logaritmu, ODV paplašinās.

Patiešām, izteiksme log a (f (x) g (x)) ir definēta divos gadījumos: kad abas funkcijas ir stingri pozitīvas vai ja f (x) un g (x) ir mazākas par nulli.

Pārvēršot šo izteiksmi par summu log a f (x) + log a g (x), mēs esam spiesti aprobežoties tikai ar gadījumu, kad f (x)\u003e 0 un g (x)\u003e 0. Ir pieļaujamo vērtību diapazona sašaurināšanās, un tas ir kategoriski nepieņemami, jo tas var izraisīt risinājumu zaudēšanu. Līdzīga problēma pastāv arī formulai (6).

Pakāpi var izteikt ārpus logaritma zīmes

log a b p \u003d p log a b (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0) (7)

Un es atkal gribētu aicināt uz precizitāti. Apsveriet šādu piemēru:

Reģistrēt a (f (x) 2 \u003d 2 reģistrēt a f (x)

Acīmredzami vienādības kreisā puse ir definēta visām f (x) vērtībām, izņemot nulli. Labā puse ir paredzēta tikai f (x)\u003e 0! Ņemot enerģiju no logaritma, mēs atkal sašaurinām ODV. Reversā procedūra paplašina derīgo vērtību diapazonu. Visas šīs piezīmes attiecas ne tikai uz 2. pakāpi, bet arī uz jebkuru pat pakāpi.

Formula pārejai uz jaunu bāzi

log a b \u003d log c b log c a (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, c\u003e 0, c ≠ 1) (8)

Tas ir retais gadījums, kad ODV transformācijas laikā nemainās. Ja esat pamatoti izvēlējies radix c (pozitīvs un nav vienāds ar 1), formula pārejai uz jaunu radix ir pilnīgi droša.

Ja par jauno bāzi c izvēlamies skaitli b, iegūstam svarīgu (8) formulas īpašu gadījumu:

Žurnāls a b \u003d 1 žurnāls b a (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, b ≠ 1) (9)

Daži vienkārši piemēri ar logaritmiem

1. piemērs. Aprēķiniet: lg2 + lg50.
Lēmums. lg2 + lg50 \u003d lg100 \u003d 2. Mēs izmantojām logaritmu summas formulu (5) un decimāldaļas logaritma definīciju.

2. piemērs. Aprēķiniet: lg125 / lg5.
Lēmums. lg125 / lg5 \u003d log 5 125 \u003d 3. Mēs izmantojām formulu pārejai uz jaunu bāzi (8).

Formulu tabula, kas saistīta ar logaritmiem

log a b \u003d b (a\u003e 0, a ≠ 1)

log a a \u003d 1 (a\u003e 0, a ≠ 1)

log a 1 \u003d 0 (a\u003e 0, a ≠ 1)

log a (b c) \u003d log a b + log a c (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, c\u003e 0)

log a b c \u003d log a b - log a c (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, c\u003e 0)

log a b p \u003d p log a b (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0)

log a b \u003d log c b log c a (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, c\u003e 0, c ≠ 1)

log a b \u003d 1 log b a (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, b ≠ 1)

Līdzīgi raksti