Atlikums pēc dalīšanas ar 45. Dalīšana ar atlikumu
Apskatīsim vienkāršu piemēru:
15:5=3
Šajā piemērā dabiskais skaitlis 15 ir sadalīts pilnībālīdz 3, atlikušo daļu nav.
Dažreiz dabisko skaitli nevar pilnībā sadalīt. Piemēram, apsveriet uzdevumu:
Skapī bija 16 rotaļlietas. Grupā bija pieci bērni. Katrs bērns paņēma vienādu rotaļlietu skaitu. Cik rotaļlietu ir katram bērnam?
Lēmums:
Sadaliet skaitli 16 ar 5 ar kolonnu un iegūstiet:
Mēs zinām, ka 16 ar 5 nav dalāmi. Tuvākais mazākais skaitlis, kas dalās ar 5, ir 15 un 1 atlikušajā. Skaitli 15 mēs varam uzrakstīt kā 5⋅3. Rezultātā (16 - dividendes, 5 - dalītājs, 3 - nepilnīgs koeficients, 1 - atlikums). Saņemts formula dalīšana ar atlikušo daļu,ar kuru jūs varat padarīt pārbaudot lēmumu.
a=
b⋅
c+
d
a - dalāmais,
b - dalītājs,
c - nepilnīgs koeficients,
d Ir atlikušais.
Atbilde: katrs bērns paņems 3 rotaļlietas, un viena rotaļlieta paliks.
Pārējā dalījuma daļa
Atlikumam vienmēr jābūt mazākam par dalītāju.
Ja dalīšanas laikā atlikums ir nulle, tas nozīmē, ka dividendes ir jāsadala pilnībā vai nav atlikuma uz dalītāju.
Ja dalīšanas laikā atlikusī daļa ir lielāka par dalītāju, tas nozīmē, ka atrastais skaitlis nav lielākais. Ir lielāks skaits, kas sadalīs dividendes, un atlikusī daļa būs mazāka par dalītāju.
Jautājumi par tēmu "Dalīšana ar atlikumu":
Vai atlikusī daļa var būt lielāka par dalītāju?
Atbilde ir nē.
Vai atlikusī daļa var būt vienāda ar dalītāju?
Atbilde ir nē.
Kā atrast dividenžu pēc nepilnīgas koeficienta, dalītāja un atlikuma?
Atbilde: nepilnīgas koeficienta, dalītāja un atlikuma vērtības tiek aizstātas ar formulu, un mēs atrodam dividenžu. Formula:
a \u003d b⋅c + d
1. piemērs:
Veiciet dalīšanu ar atlikušo daļu un pārbaudiet: a) 258: 7 b) 1873: 8
Lēmums:
a) Sadaliet ar kolonnu:
258 - dividendes,
7 - dalītājs,
36 - nepilnīgs koeficients,
6 ir atlikums. Atlikums mazāks par dalītāju 6<7.
7⋅36+6=252+6=258
b) Mēs dalām ar kolonnu:
1873. gads - dividendes,
8 - dalītājs,
234 - nepilnīgs koeficients,
1 ir atlikums. Atlikums mazāks par dalītāju 1<8.
Aizstāsim formulu un pārbaudīsim, vai piemērs ir atrisināts pareizi:
8⋅234+1=1872+1=1873
2. piemērs:
Kādi ir atlikumi, kas iegūti, dalot dabiskos skaitļus: a) 3 b) 8?
Atbilde:
a) Atlikums ir mazāks par dalītāju, līdz ar to mazāks par 3. Mūsu gadījumā atlikums var būt 0, 1 vai 2.
b) Atlikums ir mazāks par dalītāju, līdz ar to mazāks par 8. Mūsu gadījumā atlikums var būt 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 vai 7.
3. piemērs:
Kāds ir lielākais atlikums, ko var iegūt, dalot dabiskos skaitļus: a) 9 b) 15?
Atbilde:
a) Atlikums ir mazāks par dalītāju, līdz ar to mazāks par 9. Bet mums jānorāda lielākais atlikums. Tas ir, tuvākais skaitlis dalītājam. Šis skaitlis ir 8.
b) Atlikums ir mazāks par dalītāju, līdz ar to mazāks par 15. Bet mums jānorāda lielākais atlikums. Tas ir, tuvākais skaitlis dalītājam. Šis skaitlis ir 14.
4. piemērs:
Atrodiet dividendes: a) a: 6 \u003d 3 (pārējie 4) b) c: 24 \u003d 4 (pārējie 11)
Lēmums:
a) Mēs atrisinām, izmantojot formulu:
a \u003d b⋅c + d
(a - dividende, b - dalītājs, c - daļēja koeficients, d - atlikusī daļa.)
a: 6 \u003d 3 (pārējie 4)
(a - dividende, 6 - dalītājs, 3 - nepilnīga koeficients, 4 - atlikusī.) Aizstāj skaitļus formulā:
a \u003d 6⋅3 + 4 \u003d 22
Atbilde: a \u003d 22
b) Atrisināsim, izmantojot formulu:
a \u003d b⋅c + d
(a - dividende, b - dalītājs, c - daļēja koeficients, d - atlikusī daļa.)
no: 24 \u003d 4 (atlikušais 11)
(c - dividendes, 24 - dalītājs, 4 - nepilnīgs koeficients, 11 - atlikums.) Aizstāj skaitļus formulā:
c \u003d 24⋅4 + 11 \u003d 107
Atbilde: c \u003d 107
Uzdevums:
Vads 4m. nepieciešams sagriezt gabalos 13cm. Cik no šiem gabaliem jūs iegūsiet?
Lēmums:
Pirmkārt, jums jāpārvērš metri centimetros.
4m. \u003d 400cm.
Jūs varat to sadalīt pēc kolonnas vai domājam, ka mēs to iegūstam:
400: 13 \u003d 30 (pārējie 10)
Pārbaudīsim:
13⋅30+10=390+10=400
Atbilde: izrādīsies 30 gabali un paliks 10 cm stieples.
Šajā rakstā mēs analizēsim veselu skaitļu dalīšana ar atlikumu... Sāksim ar vispārīgo veselu skaitļu dalīšanas principu ar atlikumu, formulēsim un pierādīsim teorēmu par veselu skaitļu dalāmību ar atlikumu, izsekosim saites starp dividenžu, dalītāju, nepilnīgu koeficientu un atlikumu. Tālāk mēs izskanēsim likumus, saskaņā ar kuriem tiek veikta veselu skaitļu dalīšana ar atlikumu, un apsvērsim šo noteikumu piemērošanu, risinot piemērus. Pēc tam mēs uzzināsim, kā pārbaudīt veselu skaitļu dalīšanas ar atlikumu rezultātu.
Lapas navigācija.
Izpratne par atlikušo veselo sadalījumu
Mēs uzskatīsim veselu skaitļu dalīšanu ar atlikumu kā dalīšanas vispārinājumu ar atlikušajiem dabiskajiem skaitļiem. Tas ir saistīts ar faktu, ka dabiskie skaitļi ir veselu skaitļu neatņemama sastāvdaļa.
Sāksim ar aprakstā izmantotajiem terminiem un apzīmējumiem.
Pēc analoģijas ar dabisko skaitļu dalīšanu ar atlikumu pieņemsim, ka dalīšanas rezultāts ar divu veselu skaitļu a un b atlikumu (b nav vienāds ar nulli) ir divi veseli skaitļi c un d. Tiek saukti skaitļi a un b dalāms un dalītājs attiecīgi skaitlis d - atgādinājums no dalot a ar b, un tiek saukts vesels skaitlis c nepilnīgs privāts (vai vienkārši privātsja atlikums ir nulle).
Piekritīsim pieņemt, ka atlikums ir nenegatīvs vesels skaitlis un tā vērtība nepārsniedz b, tas ir, (mēs sastapāmies ar šādām nevienlīdzību ķēdēm, kad runājām par trīs vai vairāk veselu skaitļu salīdzināšanu).
Ja skaitlis c ir nepilnīgs koeficients un skaitlis d ir vesela skaitļa a dalīšanas ar veselu skaitli b atlikums, tad šo faktu īsi uzrakstīsim kā formas a vienādību: b \u003d c (atlikusī d).
Ņemiet vērā, ka, dalot veselu skaitli a ar veselu skaitli b, atlikums var būt nulle. Šajā gadījumā a tiek dalīts ar b bez atlikumiem (vai pilnībā). Tādējādi veselu skaitļu dalīšana bez atlikuma ir īpašs veselu skaitļu dalīšanas gadījums ar atlikumu.
Ir arī vērts teikt, ka, dalot nulli ar kādu veselu skaitli, mēs vienmēr nodarbojamies ar dalīšanu bez atlikuma, jo šajā gadījumā koeficients būs vienāds ar nulli (skat. Teorijas sadaļu par nulles dalīšanu ar veselu skaitli), un atlikusī daļa arī būs vienāda ar nulli.
Mēs esam izlēmuši par terminoloģiju un apzīmējumiem, tagad izdomāsim, ko nozīmē veselu skaitļu dalīšana ar atlikumu.
Arī negatīva vesela skaitļa a dalīšana ar pozitīvu veselu skaitli b var būt jēga. Lai to izdarītu, uzskatiet negatīvu veselu skaitli par parādu. Iedomāsimies šādu situāciju. Parāds, kas veido posteņus, jāmaksā b cilvēkiem, veicot tādu pašu ieguldījumu. Nepabeigtās koeficienta c absolūtā vērtība šajā gadījumā noteiks katra no šiem cilvēkiem parāda summu, un atlikusī d parādīs, cik daudz priekšmetu paliks pēc parāda samaksas. Sniegsim piemēru. Pieņemsim, ka 2 cilvēkiem vajag 7 ābolus. Ja pieņemam, ka katrs no viņiem ir parādā 4 ābolus, tad pēc parāda samaksas viņiem būs 1 ābols. Šī situācija atbilst vienādībai (−7): 2 \u003d −4 (atpūta 1).
Mēs nedosim nozīmi dalījumam ar patvaļīga vesela skaitļa a atlikumu ar negatīvu veselu skaitli, bet mēs atstāsim to tiesības pastāvēt.
Dalāmības teorēma veseliem skaitļiem ar atlikumu
Kad mēs runājām par dabisko skaitļu dalīšanu ar atlikumu, mēs noskaidrojām, ka dividendes a, dalītāja b, nepilnīga koeficienta c un atlikuma d ir saistītas ar vienādību a \u003d b c + d. Veseliem skaitļiem a, b, c un d ir viena un tā pati saistība. Šo savienojumu ir apstiprinājuši šādi atlikusī dalāmības teorēma.
Teorēma.
Jebkuru veselu skaitli a var unikāli attēlot ar veselu skaitli un nulles skaitli b formā a \u003d b q + r, kur q un r ir daži veseli skaitļi un.
Pierādījumi.
Pirmkārt, mēs pierādām iespēju attēlot a \u003d b q + r.
Ja veseli skaitļi a un b ir tādi, ka a ir vienmērīgi dalāms ar b, tad pēc definīcijas pastāv vesels skaitlis q tā, ka a \u003d b q. Šajā gadījumā vienādība a \u003d bq + r atbilst r \u003d 0.