Kuru paralēlskaldni sauc par kubu. Kastes definīcijas

Vai (līdzvērtīgi) daudzstūris ar sešām sejām un katru no tām - paralelograms.

Paralēlskaldņa veidi

Ir vairāki paralēlskaldņu veidi:

• Taisnstūra paralēlskaldnis ir paralēlskaldnis, kura visas sejas ir taisnstūri.
• Taisns paralēlskaldnis ir paralēlskaldnis ar 4 taisnstūriem uz sānu virsmām.
• Slīps paralēlskaldnis ir paralēlskaldnis, kura sānu virsmas nav perpendikulāras pamatnēm.

Būtiski elementi

Divas paralēlskaldņa sejas, kurām nav kopīgas malas, sauc par pretējām, bet tās, kurām ir kopīga mala, sauc par blakus. Divas kastes virsotnes, kas nepieder vienai un tai pašai sejai, sauc par pretējām. Līnijas segmentu, kas savieno pretējas virsotnes, sauc par paralēlskaldņa diagonāli. Taisnstūra paralēlskaldņa trīs malu garumus, kuriem ir kopīga virsotne, sauc par mērījumiem.

Rekvizīti

• Paralēlskaldnis ir simetrisks attiecībā pret tā diagonāles vidusdaļu.
• Jebkuru segmentu ar galiem, kas pieder paralēlskaldņa virsmai un iet caur tā diagonāles vidusdaļu, tas sadala pa pusēm; jo īpaši visas paralēlskaldņa diagonāles satiekas vienā punktā un tiek tās sadalītas pa pusēm.
• Kastes pretējās virsmas ir paralēlas un vienādas.
• Taisnstūra paralēlskaldņa diagonāles garuma kvadrāts ir vienāds ar tā trīs izmēru kvadrātu summu.

Pamata formulas

Taisns paralēlskaldnis

Sānu virsmas laukums S b \u003d P o * h, kur P o ir pamatnes perimetrs, h ir augstums

Kopējā virsmas platība S p \u003d S b + 2S o, kur S o ir pamatplatība

Skaļums V \u003d S o * h

Taisnstūra paralēlskaldnis

Sānu virsmas laukums S b \u003d 2c (a + b), kur a, b ir pamatnes sāni, c ir taisnstūra paralēlskaldņa sānu mala

Kopējā virsmas platība S p \u003d 2 (ab + bc + ac)

Skaļums V \u003d abc, kur a, b, c - taisnstūra paralēlskaldņa mērījumi.

Kubs

Virsmas laukums: $S\; \backslash u003d\; 6a\; ^\; 2$
Skaļums: $V\; \backslash u003d\; a\; ^\; 3$kur $a$ - kuba mala.

Patvaļīgs paralēlskaldnis

Slīpā paralēlskaldņa tilpumu un attiecības bieži nosaka, izmantojot vektoru algebru. Paralēlskaldņa tilpums ir vienāds ar trīs vektoru jauktā produkta absolūto vērtību, ko nosaka paralēlskaldņa trīs puses, kas izriet no viena virsotnes. Attiecība starp paralēlskaldņa sānu malu garumiem un leņķiem starp tām dod apgalvojumu, ka šo trīs vektoru Grama determinants ir vienāds ar to jauktā produkta kvadrātu: 215.

Matemātiskajā analīzē

Matemātiskajā analīzē zem n dimensiju taisnstūra paralēlskaldņa $B$ saprast daudzus punktus $x\; \backslash u003d\; (x\_1,\; \backslash \backslash \; ldots,\; x\_n)$ laipns $B\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; (x\; |\; a\_1\; \backslash \backslash \; leqslant\; x\_1\; \backslash \backslash \; leqslant\; b\_1,\; \backslash \backslash \; ldots,\; a\_n\; \backslash \backslash \; leqslant\; x\_n\; \backslash \backslash \; leqslant\; b\_n\; \backslash \backslash )$

Uzrakstiet atsauksmi par rakstu "Box"

Piezīmes

Saites

Pareizi Pareizi neizliekta Izliekta Formulas, teorēmas, teorija Cits

Fragments, kas raksturo lodziņu

- Par dit que les rivaux se sont samierinās žēlastība l "angīna ... [Ir teikts, ka sāncenši tika samierināti šīs slimības dēļ.]
Vārds angīns tika atkārtots ar lielu prieku.
- Le vieux comte est touchant a ce qu "on dit. Il pleura comme un enfant quand le medecin lui a dit que le cas etait dangereux. [Viņi saka, ka vecais skaits ir ļoti aizkustinošs. Viņš raudāja kā bērns, kad ārsts teica bīstams gadījums.]
- Ak, ce serait une perte briesmīgi. C "est une femme ravissante. [Ak, tas būtu liels zaudējums. Tik jauka sieviete.]
- Vous parlez de la pauvre comtesse, - Anna Pavlovna sacīja, nākot augšā. - J "ai envoye savoir de ses nouvelles. On m" a dit qu "elle allait un peu mieux. Ak, sans doute, c" est la plus charmante femme du monde ", Anna Pavlovna smaidot par savu entuziasmu. - Nous appartenons a des camps differents, mais cela ne m "empeche pas de l" novērtētājs, comme elle le merite. Elle est bien malheureuse, [Jūs runājat par nabaga grāfieni ... Es nosūtīju, lai uzzinātu par viņas veselību. Man teica, ka viņa ir nedaudz labāka. Ak, bez šaubām, šī ir skaistākā sieviete pasaulē. Mēs piederam dažādām nometnēm, taču tas man netraucē viņu cienīt atbilstoši nopelniem. Viņa ir tik nelaimīga.] - piebilda Anna Pavlovna.
Uzskatot, ka ar šiem vārdiem Anna Pavlovna nedaudz pacēla slepenības plīvuru par grāfienes slimību, viens neuzmanīgs jaunietis ļāva sev paust izbrīnu, ka slaveni ārsti netika pieaicināti, bet dziedina grāfienei šarlatānu, kura var dot bīstamus līdzekļus.
"Vos informations peuvent etre bestures que les miennes," Anna Pavlovna pēkšņi uzsita nepieredzējušam jaunietim. - Mais je sais de bonne source que ce medecin est un homme tres savant et tres habile. C "est le medecin intime de la Reine d" Espagne. [Jūsu ziņas var būt patiesākas par manām ... bet no labiem avotiem zinu, ka šis ārsts ir ļoti mācīts un izveicīgs cilvēks. Tas ir Spānijas karalienes ārsts]
- Je trouve que c "est charmant! [Es uzskatu, ka tas ir burvīgi!] - viņš teica par diplomātisko papīru, kurā uz Vīni tika nosūtīti Austrijas baneri, kuru paņēma Vitgenšteins, le heros de Petropol [Petropoles varonis] (kā viņu iesauca) Pēterburga).
- Kā, kā ir? Anna Pavlovna pagriezās pret viņu, izraisot klusumu, lai dzirdētu motīvu, kuru viņa jau zināja.
Un Bilibins atkārtoja šādus viņa sacerētā diplomātiskā sūtījuma autentiskos vārdus:
- L "Empereur renvoie les drapeaux Autrichiens," sacīja Bilibins, "drapeaux amis et egares qu" il trouve hors de la route, [Imperators sūta Austrijas karodziņus, draudzīgus un pazaudētus banerus, kurus atrada pie īstā ceļa.] - pabeidza Bilibin atbrīvojot ādu.
- Burvīgs, burvīgs, [Burvīgs, burvīgs,] - sacīja princis Vasilijs.
- C "est la route de Varsovie peut etre, [Varbūt tas ir Varšavas ceļš.]" Skaļi un negaidīti teica princis Ipolits. Visi paskatījās uz viņu, nesaprotot, ko viņš ar to gribēja pateikt. Arī princis Ipolīts ar jautru pārsteigumu paskatījās apkārt Viņš, tāpat kā pārējie, nesaprata, ko nozīmē viņa teiktie vārdi. Diplomātiskās karjeras laikā viņš ne reizi vien pamanīja, ka šādi izteiktie vārdi pēkšņi izrādījās ļoti asprātīgi, un viņš tikai katram gadījumam teica šos vārdus, pirmais, kurš nāca pie mēles. "Varbūt tas izdosies ļoti labi," viņš domāja, "bet, ja tas neizdosies, viņi to varēs tur noorganizēt." Patiešām, kamēr valdīja neveikls klusums, ienāca šī nepietiekami patriotiskā seja, kas gaidīja apelāciju Anna Pavlovna, viņa, smaidīdama un kratīdama pirkstu pret Ippolitu, uzaicināja princi Vasiliju pie galda un, atnesusi viņam divas sveces un rokrakstu, lūdza viņu sākt.

Definīcija

Polihedrs mēs sauksim slēgtu virsmu, kas sastāv no daudzstūriem un ierobežo kādu telpas daļu.

Tiek saukti līniju segmenti, kas ir šo daudzstūru malas ribas daudzstūris, un paši daudzstūri ir šķautnes... Daudzstūru virsotnes sauc par daudzstūra virsotnēm.

Mēs apsvērsim tikai izliektas daudzskaldnes (tas ir daudzskaldnis, kas atrodas katras plaknes vienā pusē, kurā atrodas tā seja).

Daudzstūri, no kuriem sastāv daudzstūris, veido tā virsmu. Telpas daļu, kuru attiecīgais daudzstūris ierobežo, sauc par tās interjeru.

Definīcija: prizma

Apsveriet divus vienādus daudzstūrus \\ (A_1A_2A_3 ... A_n \\) un \\ (B_1B_2B_3 ... B_n \\), kas atrodas paralēlās plaknēs, lai segmenti \\ (A_1B_1, \\ A_2B_2, ..., A_nB_n \\) ir paralēli. Politops, ko veido daudzstūri \\ (A_1A_2A_3 ... A_n \\) un \\ (B_1B_2B_3 ... B_n \\), kā arī paralelogrami \\ (A_1B_1B_2A_2, \\ A_2B_2B_3A_3, ... \\), sauc (\\ (n \\) -gonal) prizma.

Daudzstūri \\ (A_1A_2A_3 ... A_n \\) un \\ (B_1B_2B_3 ... B_n \\) tiek saukti par prizmas pamatiem, paralelogramiem \\ (A_1B_1B_2A_2, \\ A_2B_2B_3A_3, ... \\) - sānu sejas, segmenti \\ (A_1B_1, \\ A_2B_2, \\ ..., A_nB_n \\) - sānu ribas.
Tādējādi prizmas sānu malas ir paralēlas un vienādas viena ar otru.

Apsveriet piemēru - prizmu \\ (A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5 \\)ar izliektu piecstūri tās pamatnē.

Augstums prizmas ir perpendikulārs, kas novilkts no vienas pamatnes jebkura punkta uz citas bāzes plakni.

Ja sānu malas nav perpendikulāras pamatnei, tad tiek saukta šāda prizma slīpi (1. attēls), pretējā gadījumā - taisni... Taisnai prizmai sānu malas ir augstumi, un sānu malas ir vienādi taisnstūri.

Ja taisnas prizmas pamatā atrodas regulārs daudzstūris, tad prizma tiek saukta pareizi.

Definīcija: apjoma jēdziens

Tilpuma mērvienība ir vienības kubs (\\ (1 \\ reizes1 \\ reizes1 \\) vienību \\ (^ 3 \\) kubs, kur vienība ir noteikta mērvienība).

Mēs varam teikt, ka daudzskaldņa tilpums ir vietas daudzums, ko šis daudzstūris ierobežo. Pretējā gadījumā: tas ir lielums, kura skaitliskā vērtība parāda, cik reizes vienības kubs un tā daļas iekļaujas dotajā daudzstūrī.

Tilpumam ir tādas pašas īpašības kā laukumam:

1. Vienādu skaitļu apjomi ir vienādi.

2. Ja politopu veido vairāki nesakrustoti daudzskaldņi, tad tā tilpums ir vienāds ar šo daudzskaldņu tilpumu summu.

3. Tilpums ir vērtība, kas nav negatīva.

4. Tilpumu mēra cm \\ (^ 3 \\) (kubikcentimetros), m \\ (^ 3 \\) (kubikmetros) utt.

Teorēma

1. Prizmas sānu virsmas laukums ir vienāds ar pamatperimetra un prizmas augstuma reizinājumu.
Sānu virsmas laukums ir prizmas sānu virsmu laukumu summa.

2. Prizmas tilpums ir vienāds ar pamatnes laukuma reizinājumu ar prizmas augstumu: \

Definīcija: paralēlskaldnis

Paralēlskaldnis Ir prizma ar paralelogramu tās pamatnē.

Visas paralēlskaldņa sejas (to \\ (6 \\): \\ (4 \\) sānu virsmas un \\ (2 \\) pamatnes) ir paralelogramas, un pretējās sejas (paralēlas viena otrai) ir vienādas paralelogramas (2. attēls).

Paralēlskaldņa diagonāle Vai segments savieno divas paralēlskaldņa virsotnes, kas neatrodas uz vienas sejas (to \\ (8 \\): \\ (AC_1, \\ A_1C, \\ BD_1, \\ B_1D \\) utt.).

Taisnstūra paralēlskaldnis ir taisns paralēlskaldnis, kura pamatnē ir taisnstūris.
Tā kā tas ir taisns paralēlskaldnis, tad sānu sejas ir taisnstūri. Tādējādi visas taisnstūra paralēlskaldņa sejas ir taisnstūri.

Visas taisnstūra paralēlskaldņa diagonāles ir vienādas (tas izriet no trijstūru vienādības \\ (\\ trijstūris ACC_1 \u003d \\ trijstūris AA_1C \u003d \\ trijstūris BDD_1 \u003d \\ trijstūris BB_1D \\] utt.).

Komentēt

Tādējādi paralēlskaldnim ir visas prizmas īpašības.

Teorēma

Taisnstūra paralēlskaldņa sānu virsmas laukums ir \

Taisnstūra paralēlskaldņa kopējā platība ir \

Teorēma

Taisnstūra paralēlskaldņa tilpums ir vienāds ar tā trīs malu reizinājumu, kas stiepjas no vienas virsotnes (taisnstūra paralēlskaldņa trīs izmēri): \

Pierādījumi

Tā kā taisnstūra paralēlskaldņa sānu malas ir perpendikulāras pamatnei, tad tās ir arī tās augstumi, tas ir, \\ (h \u003d AA_1 \u003d c \\) tad pamatnē ir taisnstūris \\ (S _ (\\ teksts (bāze)) \u003d AB \\ cdot AD \u003d ab \\]... Tādējādi sniegtā formula seko.

Teorēma

Taisnstūra paralēlskaldņa diagonāle \\ (d \\) tiek atrasta pēc formulas (kur \\ (a, b, c \\) ir paralēlskaldņa izmēri) \\

Pierādījumi

Apsveriet fig. 3. Tā kā pamatnē ir taisnstūris, tad \\ (\\ trijstūris ABD \\) ir taisnstūrveida, tāpēc ar Pitagora teorēmu \\ (BD ^ 2 \u003d AB ^ 2 + AD ^ 2 \u003d a ^ 2 + b ^ 2 \\).

Tā kā tad visas sānu malas ir perpendikulāras pamatnēm \\ (BB_1 \\ perp (ABC) \\ Rightarrow BB_1 \\) perpendikulāri jebkurai taisnei šajā plaknē, t.i. \\ (BB_1 \\ perp BD \\). Tādējādi \\ (\\ trijstūris BB_1D \\) ir taisnstūrveida. Tad pēc Pitagora teorēmas \\ (B_1D \u003d BB_1 ^ 2 + BD ^ 2 \u003d a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 \\)utt.

Definīcija: kubs

Kubs ir taisnstūrveida paralēlskaldnis, kura visas sejas ir vienādi kvadrāti.

Tādējādi trīs dimensijas ir vienādas: \\ (a \u003d b \u003d c \\). Tādējādi ir taisnība tālāk

Teorēmas

1. Kuba ar malu \\ (a \\) tilpums ir \\ (V _ (\\ text (kubs)) \u003d a ^ 3 \\).

2. Kubas diagonāle tiek atrasta pēc formulas \\ (d \u003d a \\ sqrt3 \\).

3. Kuba kopējā platība \\ (S _ (\\ teksts (pilns kubs)) \u003d 6a ^ 2 \\).

Paralēlskaldnis ir četrstūrveida prizma, kuras pamatos ir paralelogrami. Paralēlskaldņa augstums ir attālums starp tā pamatu plaknēm. Attēlā augstumu parāda līnija ... Ir divu veidu paralēlskaldņi: taisni un slīpi. Parasti matemātikas pasniedzējs vispirms sniedz piemērotas prizmas definīcijas un pēc tam pārnes tās uz paralēlskaldni. Mēs darīsim to pašu.

Atgādināšu, ka prizmu sauc par taisnu, ja tās sānu malas ir perpendikulāras pamatnēm, ja perpendikularitātes nav, prizmu sauc par slīpu. Šo terminoloģiju pārmanto paralēlskaldnis. Taisns paralēlskaldnis ir nekas cits kā sava veida taisna prizma, kuras sānu mala sakrīt ar augstumu. Tiek saglabātas tādas jēdzienu definīcijas kā seja, mala un virsotne, kas ir kopīgas visai daudzskaldņu ģimenei. Parādās jēdziens pretējās puses. Paralēlskaldnei ir 3 pāri pretēju seju, 8 virsotnes un 12 malas.

Paralēlskaldņa diagonāle (prizmas diagonāle) ir segments, kas savieno divas daudzstūra virsotnes un neatrodas nevienā no tās sejām.

Diagonālā šķērsgriezums - paralēlskaldņa šķērsgriezums, kas iet caur tā diagonāli un pamatnes diagonāli.

Slīpa lodziņa īpašības:
1) Visas tās sejas ir paralelogramas, un pretējās sejas ir vienādas paralelogramas.
2) Paralēlskaldņa diagonāles vienā punktā krustojas un šajā brīdī tiek sadalītas uz pusēm.
3) Katrs paralēlskaldnis sastāv no sešām vienāda tilpuma trīsstūrveida piramīdām. Lai tos parādītu studentam, matemātikas pasniedzējam jānogriež puse no diagonālās sekcijas no paralēlskaldņa un atsevišķi jāsadala 3 piramīdās. Viņu pamatnēm jāatrodas uz sākotnējā paralēlskaldņa dažādām pusēm. Matemātikas pasniedzējs atradīs šī īpašuma pielietojumu analītiskajā ģeometrijā. To izmanto, lai izlaistu piramīdas tilpumu caur jauktu vektoru produktu.

Paralēlskaldņa tilpuma formulas:
1), kur ir pamatplatība, h ir augstums.
2) paralēlskaldņa tilpums ir vienāds ar šķērsgriezuma laukuma un sānu malas reizinājumu.
Matemātikas pasniedzējs: Kā jūs zināt, formula ir izplatīta visām prizmām, un, ja pasniedzējs to jau ir pierādījis, nav jēgas atkārtot to pašu paralēlskaldņam. Tomēr, strādājot ar vidējā līmeņa studentu (vāja formula nav noderīga), skolotājam ieteicams rīkoties tieši pretēji. Atstājiet prizmu mierā un veiciet glītu pierādījumu paralēlskaldņam.
3), kur ir vienas no sešām trīsstūrveida piramīdām, no kurām sastāv paralēlskaldnis, tilpums.
4) Ja, tad

Paralēlskaldņa sānu virsmas laukums ir visu seju laukumu summa:
Paralēlskaldņa pilna virsma ir visu tās seju laukumu summa, tas ir, laukums + divi pamatnes laukumi:

Par pasniedzēja darbu ar slīpu paralēlskaldni:
Matemātikas pasniedzējs bieži nenodarbojas ar problēmām uz slīpa paralēlskaldņa. Viņu parādīšanās varbūtība eksāmenā ir diezgan maza, un didaktika ir nepieklājīgi slikta. Vairāk vai mazāk pieklājīga paralēlskaldņa tilpuma problēma rada nopietnas problēmas, kas saistītas ar punkta H atrašanās vietas noteikšanu - tā augstuma pamatu. Šajā gadījumā matemātikas pasniedzējam var ieteikt sagriezt paralēlskaldni vienā no tā sešām piramīdām (kuras aplūkotas 3. īpašumā), mēģināt atrast tā apjomu un reizināt ar 6.

Ja paralēlskaldņa sānu malai ir vienādi leņķi ar pamatnes sāniem, tad H atrodas uz pamatnes ABCD leņķa A bisektora. Un, ja, piemēram, ABCD ir rombs, tad

Matemātikas pasniedzēja uzdevumi:
1) paralēlskaldņa malas ir vienādas ribas ar 2 cm malu un asu leņķi. Atrodiet paralēlskaldņa tilpumu.
2) Slīpa paralēlskaldņa sānu mala ir 5 cm. Tam perpendikulārais griezums ir četrstūris ar savstarpēji perpendikulārām diagonālēm, kuru garums ir 6 cm un 8 cm. Aprēķiniet paralēlskaldņa tilpumu.
3) Slīpā paralēlskaldnī ir zināms, ka un ABCD ir rombs ar 2 cm malu un leņķi. Nosakiet paralēlskaldņa tilpumu.

Pasniedzējs matemātikā, Aleksandrs Kolpakovs

Bieži studenti sašutuši jautā: "Kā tas man noderēs manā dzīvē?" Par jebkuru katra priekšmeta tēmu. Tēma par paralēlskaldņa tilpumu nav izņēmums. Un šeit jūs varat vienkārši pateikt: "Tas noderēs."

Piemēram, kā zināt, vai sūtījums iederēsies pastkastītē? Protams, jūs varat izvēlēties pareizo, izmantojot izmēģinājumu un kļūdu. Un, ja tas nav iespējams? Tad palīgā nāks aprēķini. Zinot kastes ietilpību, jūs varat aprēķināt sūtījuma apjomu (vismaz aptuveni) un atbildēt uz uzdoto jautājumu.

Paralēlskaldnis un tā veidi

Ja jūs burtiski tulkojat tā nosaukumu no sengrieķu valodas, izrādās, ka tas ir skaitlis, kas sastāv no paralēlām plaknēm. Ir šādas līdzvērtīgas paralēlskaldņa definīcijas:

• prizma ar paralelograma pamatni;
• daudzstūris, kura katra seja ir paralelograms.

Tās veidi izceļas atkarībā no tā, kura figūra atrodas tās pamatnē un kā sānu ribas ir virzītas. Kopumā viņi runā par slīps paralēlskaldnis, kura pamatne un visas sejas ir paralelogramas. Ja iepriekšējā skata sānu virsmas kļūst par taisnstūri, tad to vajadzēs izsaukt jau tagad tieša... Un plkst taisnstūrveida un pamatnei ir arī 90º leņķi.

Turklāt viņi mēģina attēlot pēdējo ģeometrijā, lai būtu pamanāms, ka visas malas ir paralēlas. Šeit, starp citu, ir galvenā atšķirība starp matemātiķiem un māksliniekiem. Pēdējiem ir svarīgi nodot ķermeni saskaņā ar perspektīvas likumu. Un šajā gadījumā ribu paralēlisms ir pilnīgi neredzams.

Par ieviesto apzīmējumu

Zemāk esošajās formulās tabulā norādītie apzīmējumi ir derīgi.

Slīpi paralēlskaldņu formulas

Pirmais un otrais apgabaliem:

Trešais ir paralēlskaldņa tilpuma aprēķināšanai:

Tā kā pamats ir paralelograms, tā laukuma aprēķināšanai būs jāizmanto atbilstošās izteiksmes.

Taisnstūra paralēlskaldņa formulas

Līdzīgi kā pirmajā daļā, apgabaliem ir divas formulas:

Un vēl viens par apjomu:

Pirmais uzdevums

Stāvoklis. Jums tiek piešķirts taisnstūra paralēlskaldnis, kura tilpumu vēlaties atrast. Ir zināma diagonāle - 18 cm - un tas, ka tā veido attiecīgi 30 un 45 grādu leņķi ar sānu sejas un sānu malas plakni.

Lēmums. Lai atbildētu uz problēmu, jums jāzina visas malas trīs taisnstūra trīsstūros. Viņi sniegs nepieciešamās vērtības malām, pa kurām jāaprēķina tilpums.

Vispirms jums jānoskaidro, kur atrodas 30º leņķis. Lai to izdarītu, jums jānoņem sānu sejas diagonāle no tās pašas virsotnes, no kuras tika novilkta paralelograma galvenā diagonāle. Leņķis starp tiem būs tas, kas jums nepieciešams.

Pirmais trīsstūris, kas dod vienu no bāzes sānu vērtībām, ir nākamais. Tajā ir nepieciešamā puse un divas uzzīmētas diagonāles. Tas ir taisnstūrveida. Tagad jums jāizmanto pretējās kājas (pamatnes puse) un hipotenūza (pa diagonāli) attiecība. Tas ir vienāds ar sinusu 30º. Tas ir, pamatnes nezināmo pusi noteiks kā diagonāli un sinusu 30º vai ½. Lai to apzīmē ar burtu "a".

Otrais būs trīsstūris ar zināmo diagonāli un malu, ar kuru tas veido 45º. Tas ir arī taisnstūrveida, un jūs atkal varat izmantot kājas un hipotenūzes attiecību. Citiem vārdiem sakot, sānu mala ir vērsta uz diagonāli. Tas ir vienāds ar kosinusa 45º. Tas ir, "c" aprēķina kā diagonāles un kosinusa reizinājumu 45 °.

c \u003d 18 * 1 / √2 \u003d 9 √2 (cm).

Tajā pašā trīsstūrī jums jāatrod cita kāja. Tas ir nepieciešams, lai pēc tam saskaitītu trešo nezināmo - "in". Lai to apzīmē ar burtu "x". To ir viegli aprēķināt pēc Pitagora teorēmas:

x \u003d √ (18 2 - (9√2) 2) \u003d 9√2 (cm).

Tagad mums jāapsver vēl viens taisnleņķa trīsstūris. Tajā ir jau zināmās puses "c", "x" un tā, kuru nepieciešams saskaitīt, "b":

в \u003d √ ((9√2) 2–9 2 \u003d 9 (cm).

Visi trīs daudzumi ir zināmi. Jūs varat izmantot apjoma formulu un aprēķināt to:

V \u003d 9 * 9 * 9√2 \u003d 729√2 (cm 3).

Atbilde: paralēlskaldņa tilpums ir 729√2 cm 3.

Otrais uzdevums

Stāvoklis. Nepieciešams atrast paralēlskaldņa tilpumu. Tā zina paralelograma malas, kas atrodas pamatnē, 3 un 6 cm, kā arī aso leņķi - 45º. Sānu ribas slīpums uz pamatni ir 30º un ir vienāds ar 4 cm.

Lēmums.Lai atbildētu uz problēmu, jums jāņem formula, kas tika uzrakstīta slīpa paralēlskaldņa tilpumam. Bet abi lielumi tajā nav zināmi.

Pamatnes laukumu, tas ir, paralelogramu, noteiks formula, kurā jums jāreizina zināmās puses un asā leņķa sinusa starp tām.

Sо \u003d 3 * 6 grēks 45º \u003d 18 * (√2) / 2 \u003d 9 √2 (cm 2).

Otrais nezināmais ir augstums. To var izdarīt no jebkuras no četrām virsotnēm virs pamatnes. To var atrast no taisnleņķa trīsstūra, kurā augstums ir kāja, un sānu mala ir hipotenūza. Šajā gadījumā 30 ° leņķis atrodas pretī nezināmajam augstumam. Tādējādi jūs varat izmantot kājas un hipotenūza attiecību.

n \u003d 4 * grēks 30º \u003d 4 * 1/2 \u003d 2.

Tagad visas vērtības ir zināmas, un tilpumu var aprēķināt:

V \u003d 9 √2 * 2 \u003d 18 √2 (cm 3).

Atbilde: tilpums ir 18 √2 cm 3.

Trešais uzdevums

Stāvoklis. Atrodiet paralēlskaldņa tilpumu, ja ir zināms, ka tas ir taisns. Tās pamatnes malas veido paralelogramu un ir vienādas ar 2 un 3 cm. Asais leņķis starp tām ir 60 °. Paralēlskaldņa mazākā diagonāle ir vienāda ar pamatnes lielāko diagonāli.

Lēmums.Lai uzzinātu paralēlskaldņa tilpumu, izmantojiet formulu ar pamatnes laukumu un augstumu. Abi lielumi nav zināmi, bet tos ir viegli aprēķināt. Pirmais ir augstums.

Tā kā paralēlskaldņa mazākā diagonāle ir tāda paša izmēra kā lielāka pamatne, tās var apzīmēt ar vienu burtu d. Lielāks paralelograma leņķis ir 120 °, jo ar aso tas veido 180 °. Ļaujiet pamatnes otro diagonāli apzīmēt ar burtu "x". Tagad divām bāzes diagonālēm mēs varam uzrakstīt kosinusa teorēmas:

d 2 \u003d a 2 + b 2 - 2av cos 120º,

x 2 \u003d a 2 + b 2 - 2av cos 60º.

Nav jēgas atrast vērtības bez kvadrātiem, kopš tā laika tās atkal tiks paceltas otrajā varā. Pēc datu aizstāšanas izrādās:

d 2 \u003d 2 2 + 3 2 - 2 * 2 * 3 cos 120º \u003d 4 + 9 + 12 * ½ \u003d 19,

x 2 \u003d a 2 + b 2 - 2av cos 60º \u003d 4 + 9 - 12 * ½ \u003d 7.

Tagad augstums, tas ir paralēlskaldņa sānu mala, būs kāja trīsstūrī. Hipotenūza būs zināma ķermeņa diagonāle, un otrā kāja būs "x". Jūs varat uzrakstīt Pitagora teorēmu:

h 2 \u003d d 2 - x 2 \u003d 19 - 7 \u003d 12.

Tādējādi: n \u003d √12 \u003d 2√3 (cm).

Tagad otrais nezināmais ir bāzes laukums. To var aprēķināt, izmantojot otrajā uzdevumā minēto formulu.

Sо \u003d 2 * 3 grēks 60º \u003d 6 * √3 / 2 \u003d 3√3 (cm 2).

Apvienojot visu apjoma formulā, mēs iegūstam:

V \u003d 3√3 * 2√3 \u003d 18 (cm 3).

Atbilde: V \u003d 18 cm 3.

Ceturtais uzdevums

Stāvoklis. Nepieciešams noskaidrot paralēlskaldņa tilpumu, kas atbilst šādiem nosacījumiem: pamatne - kvadrāts ar 5 cm malu; sānu sejas ir rombi; viena no virsotnēm virs pamatnes atrodas vienādā attālumā no visām virsotnēm, kas atrodas pamatnē.

Lēmums.Vispirms jums jātiek galā ar stāvokli. Ar pirmo punktu nav jautājumu par laukumu. Otrais, par rombiem, skaidri norāda, ka paralēlskaldnis ir slīps. Turklāt visas tā malas ir 5 cm, jo \u200b\u200brombas malas ir vienādas. Un no trešā kļūst skaidrs, ka trīs no tā paņemtās diagonāles ir vienādas. Tie ir divi, kas atrodas uz sānu virsmām, un pēdējais atrodas paralēlskaldņa iekšpusē. Un šīs diagonāles ir vienādas ar malu, tas ir, to garums ir arī 5 cm.

Lai noteiktu skaļumu, jums būs nepieciešama formula, kas uzrakstīta slīpam paralēlskaldnim. Atkal, tajā nav zināmu daudzumu. Tomēr pamatnes laukumu ir viegli aprēķināt, jo tas ir kvadrāts.

S apmēram \u003d 5 2 \u003d 25 (cm 2).

Situācija ar augstumu ir nedaudz sarežģītāka. Tas būs trīs skaitļos: paralēlskaldnis, četrstūra piramīda un vienādsānu trijstūris. Būtu jāizmanto pēdējais apstāklis.

Tā kā tā ir augstums, tā ir kāja taisnleņķa trīsstūrī. Hipotenūza tajā būs zināmā mala, un otrā kāja ir vienāda ar pusi no kvadrāta diagonāles (augstums ir arī vidējais). Un pamatnes diagonāli ir viegli atrast:

d \u003d √ (2 * 5 2) \u003d 5√2 (cm).

Augstums būs jāaprēķina kā mala otrās pakāpes un diagonāles puses kvadrāta starpība, un pēc tam neaizmirstiet izvilkt kvadrātsakni:

n \u003d √ (5 2 - (5/2 * √2) 2) \u003d √ (25 - 25/2) \u003d √ (25/2) \u003d 2,5 √2 (cm).

V \u003d 25 * 2,5 √2 \u003d 62,5 √2 (cm 3).

Atbilde: 62,5 √2 (cm 3).

vai (līdzvērtīgi) daudzstūris ar sešām paralelograma virsmām. Sešstūris.

Paralelogrami, kas veido paralēlskaldni, ir šķautnesno šī paralēlskaldņa ir šo paralelogramu malas paralēlskaldņa malas, un paralelogramu virsotnes ir virsotnes paralēlskaldnis... Paralēlskaldnei katra seja ir paralelograms.

Parasti tiek izdalītas un izsauktas visas 2 pretējās sejas paralēlskaldņu pamatnes, un atlikušās sejas ir paralēlskaldņa sānu sejas... Kastes malas, kas nepieder pie pamatnēm, ir sānu ribas.

2 kastes sejas, kurām ir kopīga mala, ir saistītiun tiem, kuriem nav kopīgu malu - pretēji.

Segments, kas savieno 2 virsotnes, kas nepieder pie 1. sejas, ir pa paralēlskaldņa diagonāli.

Taisnstūra paralēlskaldņa malu garumi, kas nav paralēli, ir lineārie izmēri (mērījumi) paralēlskaldņa. Taisnstūra paralēlskaldnei ir 3 lineāri izmēri.

Paralēlskaldņa veidi.

Ir vairāki paralēlskaldņu veidi:

Tieša ir paralēlskaldnis, kura mala ir perpendikulāra pamatnes plaknei.

Taisnstūra paralēlskaldnis, kurā visi 3 izmēri ir vienāda lieluma, ir kubs ... Katra no kuba sejām ir vienāda laukumi .

Patvaļīgs paralēlskaldnis.Tilpumu un attiecības slīpajā paralēlskaldnē galvenokārt nosaka, izmantojot vektoru algebru. Paralēlskaldņa tilpums ir vienāds ar jauktu 3 vektoru jauktā produkta absolūto vērtību, ko nosaka paralēlskaldņa 3 malas (kas rodas no vienas virsotnes). Attiecība starp paralēlskaldņa maliņu garumiem un leņķiem starp tām parāda apgalvojumu, ka šo 3 vektoru Grama determinants ir vienāds ar to jauktā produkta kvadrātu.

Kastes īpašības.

• Paralēlskaldnis ir simetrisks attiecībā pret tā diagonāles vidusdaļu.
• Jebkuru segmentu ar galiem, kas pieder paralēlskaldņa virsmai un iet cauri tā diagonāles vidum, tas sadala divās vienādās daļās. Visas paralēlskaldņa diagonāles krustojas 1. punktā un ar to tiek sadalītas divās vienādās daļās.
• Kastes pretējās puses ir paralēlas un vienādas pēc izmēra.
• Taisnstūra paralēlskaldņa diagonāles garuma kvadrāts ir