Tetraedra tilpums. Parastais tetraedrs (piramīda)

No tetraedra tilpuma pamata formulas

kur S - jebkuras sejas laukums un H - līdz tam nokritušajam augstumam, var iegūt veselu virkni formulu, kas izteiktu tilpumu caur dažādiem tetraedra elementiem. Mēs dodam šīs tetraedra formulas Abcd.

(2) ,

kur ∠ ( AD,Abc) - leņķis starp malu AD un sejas plakne Abc;

(3) ,

kur ∠ ( Abc,Abd) - leņķis starp sejām Abc un Abd;

kur | Ab,Kompaktdisks| - attālums starp pretējām ribām Ab un Kompaktdisks, ∠ (Ab,Kompaktdisks) Ir leņķis starp šīm ribām.

Formulas (2) - (4) var izmantot, lai atrastu leņķu vērtības starp līnijām un plaknēm; Īpaši noderīga ir formula (4), ar kuru jūs varat atrast attālumu starp krustošanās līnijām Ab un Kompaktdisks.

(2) un (3) formulas ir līdzīgas formulai S = (1/2)abgrēks C trijstūra laukumam. Formula S = rp līdzīga formula

kur r Vai ir tetraedra ierakstītās sfēras rādiuss, total ir tā kopējā virsma (visu seju laukumu summa). Ir arī skaista formula, kas savieno tetraedra tilpumu ar rādiusu R viņa aprakstītā sfēra ( krell formula):

kur Δ ir trīsstūra laukums, kura malas ir skaitliski vienādas ar pretējo malu reizinājumiem ( Ab× Kompaktdisks, AC× Bd,AD× BC) No (2) formulas un kosinusa teorēmas trīsstūrveida leņķiem (sk. Sfērisko trigonometriju) mēs varam iegūt formulu, kas līdzīga Herona formulai trijstūriem.

Piezīme. Šī ir daļa no nodarbības ar ģeometrijas problēmām (stereometrijas sadaļa, piramīdas problēmas). Ja jums jāatrisina kāda problēma ģeometrijā, kuras šeit nav, rakstiet par to forumā. Uzdevumos kvadrātveida saknes simbola vietā tiek izmantota funkcija sqrt (), kurā sqrt ir kvadrātsaknes simbols, un iekavās norādīta radikāla izteiksme. Vienkāršiem sakņu izteicieniem var izmantot zīmi √.. Pareizais tetraedrs ir regulāra trīsstūrveida piramīda, kurā visas sejas ir vienādmalu trīsstūri.

Normālam tetraedram visi divdimensionālie leņķi malās un visi trīsstūrveida leņķi virsotnēs ir vienādi

Tetraedrim ir 4 sejas, 4 virsotnes un 6 malas.

Pareizās tetraedra pamata formulas ir norādītas tabulā.

Kur:
S - regulārā tetraedra virsmas laukums
V - tilpums
h ir augstums, kas nolaists līdz pamatnei
r ir riņķa līnijas rādiuss, kas ierakstīts tetraedrā
R ir apzīmētā apļa rādiuss
a - ribas garums

Praktiski piemēri

Uzdevums.
Atrodiet trīsstūrveida piramīdas virsmas laukumu ar katru malu, kas vienāda ar √3

Lēmums.
Tā kā visas trīsstūrveida piramīdas malas ir vienādas, tas ir pareizi. Regulāras trīsstūrveida piramīdas virsmas laukums ir S \u003d a 2 √3.
Tad
S \u003d 3√3

Atbilde: 3√3

Uzdevums.
Visas parasta trīsstūrveida piramīdas malas ir 4 cm. Atrodiet piramīdas tilpumu.

Lēmums.
Tā kā regulārā trīsstūrveida piramīdā piramīdas augstums tiek projicēts uz pamatnes centru, kas ir arī apzīmētā apļa centrs, tad

AO \u003d R \u003d √3 / 3 a
AO \u003d 4√3 / 3

Tādējādi piramīdas OM augstumu var atrast no labā trīsstūra AOM

AO 2 + OM 2 \u003d AM 2
OM 2 \u003d AM 2 - AO 2
OM 2 \u003d 4 2 - (4√3 / 3) 2
OM 2 \u003d 16 - 16/3
OM \u003d √ (32/3)
OM \u003d 4√2 / √3

Piramīdas tilpumu nosaka pēc formulas V \u003d 1/3 Sh
Turklāt pamatplatību var atrast pēc formulas S \u003d √3 / 4 a 2

V \u003d 1/3 (√3 / 4 * 16) (4√2 / √3)
V \u003d 16√2 / 3

Atbilde: 16√2 / 3 cm

Apsveriet patvaļīgu trīsstūri ABC un punktu D, kas neatrodas šī trīsstūra plaknē. Savienojiet šo punktu ar trīsstūra ABC virsotnēm. Rezultātā mēs iegūstam trijstūrus ADC, CDB, ABD. Virsmu, ko ierobežo četri trijstūri ABC, ADC, CDB un ABD, sauc par tetraedru un apzīmē ar DABC.
Trijstūri, kas veido tetraedru, tiek saukti par tā sejām.
Šo trīsstūru malas sauc par tetraedra malām. Un to virsotnes - tetraedra galotnes

Tetrahedron ir 4 puses, 6 ribas un 4 virsotnes.
Divas malas, kurām nav kopīgas virsotnes, sauc par pretējām.
Bieži vien ērtības labad tiek saukta viena no tetraedra sejām iemesls, un atlikušās trīs sejas ir sānu puses.

Tādējādi tetraedrs ir vienkāršākais daudzskaldnis, kura sejas ir četri trīsstūri.

Bet taisnība ir arī apgalvojumam, ka jebkura patvaļīga trīsstūrveida piramīda ir tetraedrs. Tad taisnība ir arī tas, ka tiek saukts tetraedrs piramīda, kuras pamatnē atrodas trīsstūris.

Garais tetraedrs sauc par segmentu, kas savieno virsotni ar punktu, kas atrodas pretējā pusē un ir perpendikulārs tai.
Vidējais tetraedrs sauc par segmentu, kas savieno virsotni ar pretējās sejas mediānu krustošanās punktu.
Bimediāna tetraedrs sauc par segmentu, kas savieno tetraedra šķērsojošo malu viduspunktus.

Tā kā tetraedrs ir piramīda ar trīsstūrveida pamatni, jebkura tetraedra tilpumu var aprēķināt pēc formulas

• S - jebkuras sejas laukums,
• H - uz šo pusi nolaists augstums

Regulārais tetraedrs - privāts skats uz tetraedru

Tetraedrons, kurā sauc visas vienādmalu trīsstūra puses taisnība.
Parastā tetraedra īpašības:

• Visas sejas ir vienādas.
• Visi parastā tetraedra plakanie leņķi ir 60 °
• Tā kā katra tās virsotne ir trīs regulāru trīsstūru virsotne, plakano leņķu summa katrā virsotnē ir 180 °
• Jebkura regulāra tetraedra virsotne tiek projicēta pretējās puses ortocentrā (līdz trīsstūra augstumu krustošanās punktam).

Ļaujiet mums dot regulāru tetraedru ABCD, kura malas ir vienādas ar a. DH ir tā augstums.
Mēs izgatavojam papildu konstrukcijas BM - trijstūra ABC augstums un DM - trijstūra ACD augstums.
BM augstums ir vienāds ar BM un vienāds ar
Apsveriet trīsstūri BDM, kur DH, kas ir tetraedra augstums, ir arī dotā trīsstūra augstums.
Trijstūra augstumu, kas nolaists uz sānu MB, var atrast, izmantojot formulu

kur
BM \u003d, DM \u003d, BD \u003d a,
p \u003d 1/2 (BM + BD + DM) \u003d
Aizstāt šīs vērtības augstuma formulā. Mēs iegūstam


Izņemiet 1 / 2a. Mēs iegūstam

Pielietojiet kvadrātu starpības formulu

Pēc nelielām pārvērtībām mēs iegūstam


Jebkura tetraedra tilpumu var aprēķināt pēc formulas
,
Kur ,

Aizstājot šīs vērtības, mēs iegūstam

Tādējādi pareizā tetraedra tilpuma formula

kur a –Tetraedra mala

Tetraedra tilpuma aprēķins, ja ir zināmas tā virsotņu koordinātas

Ļaujiet mums dot tetraedra virsotņu koordinātas

No virsotnes mēs zīmējam vektorus,.
Lai atrastu katra šī vektora koordinātas, no beigu koordinātas mēs atņemam atbilstošo sākuma koordinātu. Mēs iegūstam

Tetraedra definīcija

Tetraedrons - vienkāršākais daudzšķautņains korpuss, kura sejas un pamatne ir trīsstūri.

Tiešsaistes kalkulators

Tetraedrim ir četras sejas, no kurām katra veido trīs puses. Pie tetraedra ir četras virsotnes, no katras izdalās trīs ribas.

Šis ķermenis ir sadalīts vairākos veidos. To klasifikācija ir sniegta zemāk.

1. Izometriskais tetraedrs - visas tā sejas ir vienādi trīsstūri;
2. Ortentrisks tetraedrs - visi augstumi, kas novilkti no katras virsotnes uz pretējo virsmu, ir vienādi;
3. Taisnstūra tetraedrs - ribas, kas nāk no vienas virsotnes, veido 90 grādu leņķi viena ar otru;
4. Stiepļu rāmis;
5. Proporcionāli;
6. Incentric.

Tetraedru tilpuma formulas

Šīs ķermeņa tilpumu var atrast vairākos veidos. Mēs tos analizēsim sīkāk.

Caur jauktu vektoru produktu

Ja tetraedrs ir veidots uz trim vektoriem ar koordinātām:

A ⃗ \u003d (a x, y, a z) \\ vec (a) \u003d (a_x, a_y, a_z)a= (a x​ , a y​ , a z​ )
b ⃗ \u003d (b x, b y, b z) \\ vec (b) \u003d (b_x, b_y, b_z)b= (b x​ , b y​ , b z​ )
c ⃗ \u003d (c x, c y, c z) \\ vec (c) \u003d (c_x, c_y, c_z)c= (c x​ , c y​ , c z​ ) ,

tad šī tetraedra tilpums ir šo vektoru jaukts produkts, tas ir, šāds determinants:

Tetraedra tilpums caur determinantu

V \u003d 1 6 ∣ ∣ axayazbxbybzcxcycz ∣ V \u003d \\ frac (1) (6) \\ cdot \\ sākas (vmatrix) a_x & a_y & a_z \\\\ b_x & b_y & b_z \\\\ c_x & c_y & c_z \\\\ \\ beigas (vmatrix )V \u003d6 1 ​ ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ a x​ b x​ c x​ ​ a y​ b y​ c y​ ​ a z​ b z​ c z​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​

1. uzdevums

Ir zināmas oktaedra četru virsotņu koordinātas. A (1, 4, 9) A (1,4,9) A (1, 4, 9), B (8, 7, 3) B (8,7,3) B (8, 7, 3), C (1, 2, 3) C (1,2,3) C (1, 2, 3), D (7, 12, 1) D (7,12,1) D (7, 1, 2). Atrodiet tā tilpumu.

Lēmums

A (1, 4, 9) A (1,4,9) A (1, 4, 9)
B (8, 7, 3) B (8,7,3) B (8, 7, 3)
C (1, 2, 3) C (1,2,3) C (1, 2, 3)
D (7, 12, 1) D (7,12,1) D (7, 1, 2)

Pirmais solis ir noteikt vektoru koordinātas, uz kurām šī struktūra ir uzbūvēta.
Šim nolūkam ir jāatrod katra vektora koordinātas, atņemot divu punktu atbilstošās koordinātas. Piemēram, vektora koordinātas A B → \\ pārvirze (AB) A b, t.i., vektors, kas vērsts prom no punkta A a A līdz punktam B b B, tās ir punktu atbilstošo koordinātu atšķirības B b B un A a A:

AB → \u003d (8 - 1, 7 - 4, 3 - 9) \u003d (7, 3, - 6) \\ pārvirze (AB) \u003d (8-1, 7-4, 3-9) \u003d (7, 3, -6)A b= (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9 ) = (7 , 3 , − 6 )

AC → \u003d (1 - 1, 2 - 4, 3 - 9) \u003d (0, - 2, - 6) \\ pārvirze (AC) \u003d (1-1, 2-4, 3-9) \u003d (0, - 2, -6)A c= (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9 ) = (0 , − 2 , − 6 )
AD → \u003d (7 - 1, 12 - 4, 1 - 9) \u003d (6, 8, - 8) \\ overrightarrow (AD) \u003d (7-1, 12-4, 1-9) \u003d (6, 8, -8)A d= (7 − 1 , 1 2 − 4 , 1 − 9 ) = (6 , 8 , − 8 )

Tagad mēs atrodam šo vektoru jauktu produktu; šim nolūkam mēs sastādām trešās kārtas noteicošo faktoru, pieņemot, ka A B → \u003d a ⃗ \\ pārvirze (AB) \u003d \\ vec (a)A b= a, A C → \u003d b ⃗ \\ pārvirze (AC) \u003d \\ vec (b)A c= b, A D → \u003d c ⃗ \\ pārvirze (AD) \u003d \\ vec (c)A d= c.

∣ axayazbxbybzcxcycz ∣ \u003d ∣ 7 3 - 6 0 - 2 - 6 6 8 - 8 ∣ \u003d 7 ⋅ (- 2) ⋅ (- 8) + 3 ⋅ (- 6) ⋅ 6 + (- 6) ⋅ 0 ⋅ 8 - (- 6) ⋅ (- 2) ⋅ 6 - 7 ⋅ (- 6) ⋅ 8 - 3 ⋅ 0 ⋅ (- 8) \u003d 112 - 108 - 0 - 72 + 336 + 0 \u003d 268 \\ sākas (vmatrix) a_x & a_y & a_z \\\\ b_x & b_y & b_z \\\\ c_x & c_y & c_z \\\\ \\ beigas (vmatrix) \u003d \\ sākas (vmatrix) 7 & 3 & -6 \\\\ 0 & -2 & -6 \\\\ 6 & 8 & -8 \\\\ \\ beigas (vmatrix) \u003d 7 \\ cdot (-2) \\ cdot (-8) + 3 \\ cdot (-6) \\ cdot6 + (-6) \\ cdot0 \\ cdot8 - (-6) \\ cdot (-2) \\ cdot6 - 7 \\ cdot (-6) \\ cdot8 - 3 \\ cdot0 \\ cdot (-8) \u003d 112 - 108 - 0 - 72 + 336 + 0 \u003d 268∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ a x​ b x​ cx​ ​ ay​ by​ cy​ ​ az​ bz​ cz​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ 7 0 6 ​ 3 − 2 8 ​ − 6 − 6 − 8 ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = 7 ⋅ (− 2 ) ⋅ (− 8 ) + 3 ⋅ (− 6 ) ⋅ 6 + (− 6 ) ⋅ 0 ⋅ 8 − (− 6 ) ⋅ (− 2 ) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6 ) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8 ) = 1 1 2 − 1 0 8 − 0 − 7 2 + 3 3 6 + 0 = 2 6 8

Tas ir, tetraedra tilpums ir vienāds ar:

$V=61\cdot |$

Atbilde

$44.8\text{cm3 .}$

Vienādmalu tetraedra tilpuma formula tai blakus

Šī formula ir derīga tikai vienādmalu tetraedra tilpuma aprēķināšanai, tas ir, šādam tetraedram, kurā visas sejas ir vienādi regulārie trīsstūri.

Vienādmalu tetraedra tilpums

$V=12\sqrt{2\cdot a^3}$

a aa - tetraedra malas garums.

2. uzdevums

Nosaka tetraedra tilpumu, ja tā mala ir vienāda ar $11\text{cm.}$

Lēmums

$a=11$

Aizstājējs a aa tetraedra tilpuma formulā:

$V=12\sqrt{2\cdot a^{3=12\sqrt{2\cdot 11^{3\approx 156.8\text{cm3}}}}}$

Atbilde

$156.8\text{cm3 .}$