Kā atklāt moduli x 1. Vienādojumu risināšana ar moduli

Viena no grūtākajām tēmām studentiem ir tādu vienādojumu risināšana, kas satur mainīgo zem moduļa zīmes. Vispirms noskaidrosim, ar ko tas ir saistīts? Kāpēc, piemēram, vairums bērnu kvadrātvienādojumus lauž kā riekstus, bet viņiem ir tik daudz problēmu ar tik tālu no sarežģītas koncepcijas kā modulis?

Manuprāt, visas šīs grūtības ir saistītas ar skaidri formulētu noteikumu trūkumu vienādojumu risināšanai ar moduli. Tātad, risinot kvadrātvienādojumu, students noteikti zina, ka viņam vispirms jāpiemēro diskriminējošā formula un pēc tam kvadrātvienādojuma sakņu formulas. Ko darīt, ja vienādojumā ir atrasts modulis? Mēģināsim skaidri aprakstīt nepieciešamo rīcības plānu gadījumam, kad vienādojumā zem moduļa zīmes ir nezināmais. Mēs sniegsim vairākus piemērus katram gadījumam.

Bet vispirms atcerēsimies moduļa definīcija. Tātad, modulo numuru a pats šis numurs tiek saukts, ja a nenegatīvs un -a, ja numurs a mazāks par nulli. Jūs varat to uzrakstīt šādi:

|a| = a, ja a ≥ 0 un |a| = -a ja a< 0

Runājot par moduļa ģeometrisko nozīmi, jāatceras, ka katrs reālais skaitlis atbilst noteiktam punktam uz skaitļa ass - tā koordinēt. Tātad skaitļa modulis vai absolūtā vērtība ir attālums no šī punkta līdz skaitliskās ass sākumam. Attālums vienmēr tiek norādīts kā pozitīvs skaitlis. Tādējādi jebkura negatīva skaitļa modulis ir pozitīvs skaitlis. Starp citu, pat šajā posmā daudzi skolēni sāk apjukt. Modulī var būt jebkurš skaitlis, taču moduļa izmantošanas rezultāts vienmēr ir pozitīvs skaitlis.

Tagad pāriesim tieši uz vienādojumu risināšanu.

1. Apsveriet vienādojumu formā |x| = c, kur c ir reāls skaitlis. Šo vienādojumu var atrisināt, izmantojot moduļa definīciju.

Mēs sadalām visus reālos skaitļus trīs grupās: tie, kas ir lielāki par nulli, tie, kas ir mazāki par nulli, un trešā grupa ir skaitlis 0. Atrisinājumu rakstām diagrammas veidā:

(±c, ja c > 0

Ja |x| = c, tad x = (0, ja c = 0

(bez saknēm, ja ar< 0

1) |x| = 5, jo 5 > 0, tad x = ±5;

2) |x| = -5, jo -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0, tad x = 0.

2. Formas |f(x)| vienādojums = b, kur b > 0. Lai atrisinātu šo vienādojumu, ir jāatbrīvojas no moduļa. Mēs to darām šādi: f (x) = b vai f (x) = -b. Tagad jums ir jāatrisina katrs no iegūtajiem vienādojumiem atsevišķi. Ja sākotnējā vienādojumā b< 0, решений не будет.

1) |x + 2| = 4, jo 4 > 0, tad

x + 2 = 4 vai x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11, jo 11 > 0, tad

x 2 – 5 = 11 vai x 2 – 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 bez saknēm

3) |x 2 – 5x| = -8, jo -8< 0, то уравнение не имеет корней.

3. Formas |f(x)| vienādojums = g(x). Atbilstoši moduļa nozīmei šādam vienādojumam būs atrisinājumi, ja tā labā puse ir lielāka vai vienāda ar nulli, t.i. g(x) ≥ 0. Tad mums būs:

f(x) = g(x) vai f(x) = -g(x).

1) |2x – 1| = 5x – 10. Šim vienādojumam būs saknes, ja 5x – 10 ≥ 0. Šeit sākas šādu vienādojumu atrisināšana.

1. O.D.Z. 5x – 10 ≥ 0

2. Risinājums:

2x - 1 = 5x - 10 vai 2x - 1 = -(5x - 10)

3. Apvienojam O.D.Z. un risinājumu, mēs iegūstam:

Sakne x = 11/7 neatbilst O.D.Z., tā ir mazāka par 2, bet x = 3 atbilst šim nosacījumam.

Atbilde: x = 3

2) |x – 1| = 1 – x 2 .

1. O.D.Z. 1 – x 2 ≥ 0. Atrisināsim šo nevienādību, izmantojot intervāla metodi:

(1 – x) (1 + x) ≥ 0

2. Risinājums:

x – 1 = 1 – x 2 vai x – 1 = -(1 – x 2)

x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0

x = -2 vai x = 1 x = 0 vai x = 1

3. Mēs apvienojam risinājumu un O.D.Z.:

Piemērotas ir tikai saknes x = 1 un x = 0.

Atbilde: x = 0, x = 1.

4. Formas |f(x)| vienādojums = |g(x)|. Šāds vienādojums ir līdzvērtīgs šādiem diviem vienādojumiem f(x) = g(x) vai f(x) = -g(x).

1) |x 2 – 5x + 7| = |2x – 5|. Šis vienādojums ir līdzvērtīgs šādiem diviem:

x 2 - 5x + 7 = 2x - 5 vai x 2 - 5x +7 = -2x + 5

x 2 – 7x + 12 = 0 x 2 – 3x + 2 = 0

x = 3 vai x = 4 x = 2 vai x = 1

Atbilde: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. Ar aizstāšanas metodi (mainīgo aizstāšanu) atrisinātie vienādojumi. Šo risinājuma metodi visvieglāk izskaidrot ar konkrētu piemēru. Tātad, dosim kvadrātvienādojumu ar moduli:

x 2 – 6|x| + 5 = 0. Pēc moduļa īpašības x 2 = |x| 2, tāpēc vienādojumu var pārrakstīt šādi:

|x| 2 – 6|x| + 5 = 0. Veiksim aizstāšanu |x| = t ≥ 0, tad mums būs:

t 2 – 6t + 5 = 0. Atrisinot šo vienādojumu, mēs atklājam, ka t = 1 vai t = 5. Atgriezīsimies pie aizstāšanas:

|x| = 1 vai |x| = 5

x = ±1 x = ±5

Atbilde: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

Apskatīsim citu piemēru:

x 2 + |x| – 2 = 0. Pēc moduļa īpašības x 2 = |x| 2, tāpēc

|x| 2 + |x| – 2 = 0. Veiksim aizstāšanu |x| = t ≥ 0, tad:

t 2 + t – 2 = 0. Atrisinot šo vienādojumu, iegūstam t = -2 vai t = 1. Atgriezīsimies pie aizstāšanas:

|x| = -2 vai |x| = 1

Nav sakņu x = ± 1

Atbilde: x = -1, x = 1.

6. Cits vienādojumu veids ir vienādojumi ar “sarežģītu” moduli. Šādi vienādojumi ietver vienādojumus, kuriem ir “moduļi modulī”. Šāda veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot moduļa īpašības.

1) |3 – |x|| = 4. Mēs darbosimies tāpat kā otrā tipa vienādojumos. Jo 4 > 0, tad mēs iegūstam divus vienādojumus:

3 – |x| = 4 vai 3 – |x| = -4.

Tagad izteiksim moduli x katrā vienādojumā, tad |x| = -1 vai |x| = 7.

Mēs atrisinām katru no iegūtajiem vienādojumiem. Pirmajā vienādojumā nav sakņu, jo -1< 0, а во втором x = ±7.

Atbilde x = -7, x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. Mēs atrisinām šo vienādojumu līdzīgi:

3 + |x + 1| = 5 vai 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 vai x + 1 = -2. Nav sakņu.

Atbilde: x = -3, x = 1.

Ir arī universāla metode vienādojumu risināšanai ar moduli. Šī ir intervāla metode. Bet mēs to aplūkosim vēlāk.

blog.site, kopējot materiālu pilnībā vai daļēji, ir nepieciešama saite uz oriģinālo avotu.

Modulis ir viena no tām lietām, par kuru it kā visi ir dzirdējuši, bet patiesībā neviens īsti nesaprot. Tāpēc šodien būs lielā nodarbība, kas veltīta vienādojumu risināšanai ar moduļiem.

Es teikšu uzreiz: nodarbība nebūs grūta. Un vispār moduļi ir samērā vienkārša tēma. “Jā, protams, tas nav sarežģīti! Tas satriec manu prātu! ” - teiks daudzi skolēni, bet visi šie smadzeņu lūzumi rodas tāpēc, ka lielākajai daļai cilvēku galvā nav zināšanas, bet gan kaut kādas švakas. Un šīs nodarbības mērķis ir muļķības pārvērst zināšanās. :)

Nedaudz teorijas

Tātad, ejam. Sāksim ar vissvarīgāko: kas ir modulis? Atgādināšu, ka skaitļa modulis ir vienkārši tāds pats skaitlis, bet ņemts bez mīnusa zīmes. Tas ir, piemēram, $\left| -5 \right|=5$. Vai $\left| -129,5 \right|=129,5 ASV dolāri.

Vai tas ir tik vienkārši? Jā, vienkārši. Kāda tad ir pozitīva skaitļa absolūtā vērtība? Šeit ir vēl vienkāršāk: pozitīva skaitļa modulis ir vienāds ar pašu skaitli: $\left| 5 \right|=5$; $\left| 129,5 \right|=129,5 ASV dolāri utt.

Izrādās dīvaina lieta: dažādiem numuriem var būt viens un tas pats modulis. Piemēram: $\left| -5 \right|=\left| 5 \right|=5$; $\left| -129,5 \right|=\left| 129,5\right|=129,5 ASV dolāri. Ir viegli redzēt, kādi ir tie skaitļi, kuru moduļi ir vienādi: šie skaitļi ir pretēji. Tādējādi mēs paši atzīmējam, ka pretējo skaitļu moduļi ir vienādi:

\[\pa kreisi| -a \right|=\left| a\right|\]

Vēl viens svarīgs fakts: modulis nekad nav negatīvs. Neatkarīgi no tā, kādu skaitli mēs ņemtu - vai tas būtu pozitīvs vai negatīvs - tā modulis vienmēr izrādās pozitīvs (vai, ārkārtējos gadījumos, nulle). Tāpēc moduli bieži sauc par skaitļa absolūto vērtību.

Turklāt, ja mēs apvienojam moduļa definīciju pozitīvam un negatīvam skaitlim, mēs iegūstam globālu moduļa definīciju visiem skaitļiem. Proti: skaitļa modulis ir vienāds ar pašu skaitli, ja skaitlis ir pozitīvs (vai nulle), vai vienāds ar pretēju skaitli, ja skaitlis ir negatīvs. To var uzrakstīt kā formulu:

Ir arī nulles modulis, bet tas vienmēr ir vienāds ar nulli. Turklāt nulle ir vienīgais skaitlis, kuram nav pretstata.

Tādējādi, ja ņemam vērā funkciju $y=\left| x \right|$ un mēģiniet uzzīmēt tā grafiku, jūs saņemsiet kaut ko līdzīgu:

Moduļu grafiks un vienādojuma risināšanas piemērs

No šī attēla uzreiz ir skaidrs, ka $\left| -m \right|=\left| m \right|$, un moduļa grafiks nekad nenokrīt zem x ass. Bet tas vēl nav viss: sarkanā līnija apzīmē taisni $y=a$, kas pozitīvam $a$ dod mums uzreiz divas saknes: $((x)_(1))$ un $((x) _(2)) $, bet par to parunāsim vēlāk. :)

Papildus tīri algebriskajai definīcijai ir arī ģeometriskā definīcija. Pieņemsim, ka skaitļu rindā ir divi punkti: $((x)_(1))$ un $((x)_(2))$. Šajā gadījumā izteiksme $\left| ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ ir vienkārši attālums starp norādītajiem punktiem. Vai, ja vēlaties, segmenta garums, kas savieno šos punktus:

Modulis ir attālums starp punktiem uz skaitļa līnijas

Šī definīcija arī nozīmē, ka modulis vienmēr nav negatīvs. Bet pietiekami daudz definīciju un teorijas - pāriesim pie reāliem vienādojumiem. :)

Pamatformula

Labi, mēs esam noskaidrojuši definīciju. Bet tas to nepadarīja vieglāku. Kā atrisināt vienādojumus, kas satur tieši šo moduli?

Mierīgi, vienkārši mierīgi. Sāksim ar visvienkāršākajām lietām. Apsveriet kaut ko līdzīgu šim:

\[\pa kreisi| x\right|=3\]

Tātad $x$ modulis ir 3. Ar ko $x$ varētu būt vienāds? Nu, spriežot pēc definīcijas, mēs esam diezgan apmierināti ar $x=3$. Tiešām:

\[\pa kreisi| 3\right|=3\]

Vai ir citi cipari? Šķiet, ka vāciņš norāda, ka ir. Piemēram, $x=-3$ ir arī $\left| -3 \right|=3$, t.i. prasītā vienlīdzība ir izpildīta.

Tātad varbūt, ja mēs meklēsim un domāsim, mēs atradīsim vairāk skaitļu? Bet atzīsim: skaitļu vairs nav. Vienādojums $\left| x \right|=3$ ir tikai divas saknes: $x=3$ un $x=-3$.

Tagad nedaudz sarežģīsim uzdevumu. Ļaujiet funkcijai $f\left(x \right)$ palikt zem moduļa zīmes, nevis mainīgā $x$, un ievietojiet patvaļīgu skaitli $a$ trīskāršā labajā pusē. Mēs iegūstam vienādojumu:

\[\pa kreisi| f\left(x \right) \right|=a\]

Tātad, kā mēs varam to atrisināt? Atgādināšu: $f\left(x \right)$ ir patvaļīga funkcija, $a$ ir jebkurš skaitlis. Tie. Vispār jebko! Piemēram:

\[\pa kreisi| 2x+1 \right|=5\]

\[\pa kreisi| 10x-5 \right|=-65\]

Pievērsīsim uzmanību otrajam vienādojumam. Par viņu uzreiz var teikt: viņam nav sakņu. Kāpēc? Viss ir pareizi: jo tas prasa, lai modulis būtu vienāds ar negatīvu skaitli, kas nekad nenotiek, jo mēs jau zinām, ka modulis vienmēr ir pozitīvs skaitlis vai, ārkārtējos gadījumos, nulle.

Bet ar pirmo vienādojumu viss ir jautrāk. Ir divas iespējas: vai nu zem moduļa zīmes ir pozitīva izteiksme un pēc tam $\left| 2x+1 \right|=2x+1$, vai šī izteiksme joprojām ir negatīva, un tad $\left| 2x+1 \right|=-\left(2x+1 \right)=-2x-1$. Pirmajā gadījumā mūsu vienādojums tiks pārrakstīts šādi:

\[\pa kreisi| 2x+1 \right|=5\Rightbultiņa 2x+1=5\]

Un pēkšņi izrādās, ka submodulārā izteiksme $2x+1$ ir patiešām pozitīva – tā ir vienāda ar skaitli 5. Tas ir mēs varam droši atrisināt šo vienādojumu - iegūtā sakne būs daļa no atbildes:

Īpaši neuzticīgie var mēģināt aizstāt atrasto sakni sākotnējā vienādojumā un pārliecināties, ka zem moduļa patiešām ir pozitīvs skaitlis.

Tagad apskatīsim negatīvas submodulāras izteiksmes gadījumu:

\[\left\( \begin(align)& \left| 2x+1 \right|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\end(līdzināt) \right.\Rightarrow -2x-1=5 \Labā bultiņa 2x+1=-5\]

Hmm! Atkal viss ir skaidrs: mēs pieņēmām, ka $2x+1 \lt 0$, un rezultātā saņēmām, ka $2x+1=-5$ - tiešām šī izteiksme ir mazāka par nulli. Mēs atrisinām iegūto vienādojumu, jau droši zinot, ka atrastā sakne mums būs piemērota:

Kopumā mēs atkal saņēmām divas atbildes: $x=2$ un $x=3$. Jā, aprēķinu apjoms izrādījās nedaudz lielāks nekā ļoti vienkāršajā vienādojumā $\left| x \right|=3$, bet nekas būtiski nav mainījies. Tātad varbūt ir kāds universāls algoritms?

Jā, šāds algoritms pastāv. Un tagad mēs to analizēsim.

Atbrīvošanās no moduļa zīmes

Dosim vienādojumu $\left| f\left(x \right) \right|=a$ un $a\ge 0$ (pretējā gadījumā, kā mēs jau zinām, nav sakņu). Tad jūs varat atbrīvoties no moduļa zīmes, izmantojot šādu noteikumu:

\[\pa kreisi| f\left(x \right) \right|=a\Rightarrow f\left(x \right)=\pm a\]

Tādējādi mūsu vienādojums ar moduli sadalās divās daļās, bet bez moduļa. Tā ir visa tehnoloģija! Mēģināsim atrisināt pāris vienādojumus. Sāksim ar šo

\[\pa kreisi| 5x+4 \right|=10\Rightarrow 5x+4=\pm 10\]

Apskatīsim atsevišķi, kad labajā pusē ir desmit pluss, un atsevišķi, kad ir mīnuss. Mums ir:

\[\begin(align)& 5x+4=10\Rightarrow 5x=6\Rightarrow x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\Rightarrow 5x=-14\Rightarrow x=-\frac(14)(5)=-2.8. \\\beigt(līdzināt)\]

Tas ir viss! Mēs saņēmām divas saknes: $x=1.2$ un $x=-2.8$. Viss risinājums aizņēma burtiski divas rindas.

Labi, bez šaubām, paskatīsimies uz kaut ko nedaudz nopietnāku:

\[\pa kreisi| 7-5x\right|=13\]

Atkal atveram moduli ar plus un mīnusiem:

\[\begin(align)& 7-5x=13\Rightarrow -5x=6\Rightarrow x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\labā bultiņa -5x=-20\labā bultiņa x=4. \\\beigt(līdzināt)\]

Atkal pāris rindiņas - un atbilde gatava! Kā jau teicu, moduļos nav nekā sarežģīta. Jums vienkārši jāatceras daži noteikumi. Tāpēc mēs turpinām un sākam ar patiesi sarežģītākiem uzdevumiem.

Labās puses mainīgā gadījums

Tagad apsveriet šo vienādojumu:

\[\pa kreisi| 3x-2 \right|=2x\]

Šis vienādojums būtiski atšķiras no visiem iepriekšējiem. Kā? Un tas, ka pa labi no vienādības zīmes ir izteiksme $2x$ - un mēs nevaram iepriekš zināt, vai tas ir pozitīvs vai negatīvs.

Ko darīt šajā gadījumā? Pirmkārt, mums tas reizi par visām reizēm jāsaprot ja vienādojuma labā puse izrādīsies negatīva, tad vienādojumam nebūs sakņu- mēs jau zinām, ka modulis nevar būt vienāds ar negatīvu skaitli.

Un, otrkārt, ja labā daļa joprojām ir pozitīva (vai vienāda ar nulli), tad jūs varat rīkoties tieši tāpat kā iepriekš: vienkārši atveriet moduli atsevišķi ar plus zīmi un atsevišķi ar mīnusa zīmi.

Tādējādi mēs formulējam noteikumu patvaļīgām funkcijām $f\left(x \right)$ un $g\left(x \right)$ :

\[\pa kreisi| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\Rightarrow \left\(\begin(līdzināt)& f\left(x \right)=\pm g\left(x \right) ), \\& g\left(x \right)\ge 0. \\\end(līdzināt) \right.\]

Saistībā ar mūsu vienādojumu mēs iegūstam:

\[\pa kreisi| 3x-2 \right|=2x\RightArrow \left\( \begin(align)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\end(līdzināt) \right.\]

Nu kaut kā tiksim galā ar prasību $2x\ge 0$. Galu galā mēs varam muļķīgi aizstāt saknes, ko iegūstam no pirmā vienādojuma, un pārbaudīt, vai nevienlīdzība ir spēkā vai nē.

Tātad atrisināsim pašu vienādojumu:

\[\begin(align)& 3x-2=2\Rightarrow 3x=4\Rightarrow x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\labā bultiņa 3x=0\labā bultiņa x=0. \\\beigt(līdzināt)\]

Nu, kura no šīm divām saknēm atbilst prasībai $2x\ge 0$? Jā abi! Tāpēc atbilde būs divi skaitļi: $x=(4)/(3)\;$ un $x=0$. Tas ir risinājums. :)

Man ir aizdomas, ka dažiem studentiem jau sāk palikt garlaicīgi? Nu, apskatīsim vēl sarežģītāku vienādojumu:

\[\pa kreisi| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\]

Lai gan tas izskatās ļauni, patiesībā tas joprojām ir tas pats vienādojums formā “modulis ir vienāds ar funkciju”:

\[\pa kreisi| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\]

Un tas tiek atrisināts tieši tādā pašā veidā:

\[\pa kreisi| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\Labā bultiņa \pa kreisi\( \begin(līdzināt)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \left(x-((x)^(3)) \right), \\& x-((x) )^(3))\ge 0. \\\end(līdzināt) \pa labi.\]

Ar nevienlīdzību tiksim galā vēlāk - tas kaut kā ir par ļaunu (patiesībā tas ir vienkārši, bet mēs to neatrisināsim). Pagaidām labāk ir rīkoties ar iegūtajiem vienādojumiem. Apskatīsim pirmo gadījumu - tas ir, kad modulis tiek paplašināts ar plus zīmi:

\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]

Nu nav prāta, ka jāsavāc viss no kreisās puses, jāatnes līdzīgi un jāskatās, kas notiks. Un notiek šādi:

\[\begin(līdzināt)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\beigt(līdzināt)\]

Mēs izņemam kopējo koeficientu $((x)^(2))$ no iekavām un iegūstam ļoti vienkāršu vienādojumu:

\[((x)^(2))\left(2x-3 \right)=0\labā bultiņa \pa kreisi[ \begin(līdzināt)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\beigas(līdzināt) \pa labi.\]

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1,5.\]

Šeit mēs izmantojām svarīgu reizinājuma īpašību, kuras dēļ mēs aprēķinājām sākotnējo polinomu: reizinājums ir vienāds ar nulli, ja vismaz viens no faktoriem ir vienāds ar nulli.

Tagad tieši tādā pašā veidā tiksim galā ar otro vienādojumu, ko iegūst, paplašinot moduli ar mīnusa zīmi:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\left(x-((x)^(3)) \right); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\left(-3x+2 \right)=0. \\\beigt(līdzināt)\]

Atkal tas pats: reizinājums ir vienāds ar nulli, ja vismaz viens no faktoriem ir vienāds ar nulli. Mums ir:

\[\left[ \begin(align)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\end(līdzināt) \right.\]

Nu, mums ir trīs saknes: $x=0$, $x=1.5$ un $x=(2)/(3)\;$. Nu, kurš no šī komplekta tiks iekļauts galīgajā atbildē? Lai to izdarītu, atcerieties, ka mums ir papildu ierobežojums nevienlīdzības veidā:

Kā šo prasību ņemt vērā? Vienkārši aizstāsim atrastās saknes un pārbaudīsim, vai nevienlīdzība attiecas uz šiem $x$. Mums ir:

\[\begin(align)& x=0\labā bultiņa x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1,5\Labā bultiņa x-((x)^(3))=1,5-((1,5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\Labā bultiņa x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0; \\\beigt(līdzināt)\]

Tādējādi sakne $x=1.5$ mums neder. Un atbildē būs tikai divas saknes:

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(2) (3).\]

Kā redzat, arī šajā gadījumā nebija nekā sarežģīta - vienādojumi ar moduļiem vienmēr tiek atrisināti, izmantojot algoritmu. Jums vienkārši ir labi jāizprot polinomi un nevienādības. Tāpēc mēs pārejam pie sarežģītākiem uzdevumiem - jau būs nevis viens, bet divi moduļi.

Vienādojumi ar diviem moduļiem

Līdz šim esam pētījuši tikai vienkāršākos vienādojumus – bija viens modulis un vēl kaut kas. Mēs nosūtījām šo “kaut ko citu” uz citu nevienādības daļu, prom no moduļa, lai galu galā viss tiktu reducēts uz vienādojumu formā $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$ vai pat vienkāršāk $\left| f\left(x \right) \right|=a$.

Bet bērnudārzs beidzies – laiks apsvērt ko nopietnāku. Sāksim ar šādiem vienādojumiem:

\[\pa kreisi| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\]

Šis ir vienādojums formā “modulis ir vienāds ar moduli”. Būtiski svarīgs punkts ir citu terminu un faktoru trūkums: tikai viens modulis kreisajā pusē, vēl viens modulis labajā pusē - un nekas vairāk.

Kāds tagad domās, ka šādus vienādojumus ir grūtāk atrisināt nekā tos, ko esam pētījuši līdz šim. Bet nē: šos vienādojumus ir vēl vieglāk atrisināt. Šeit ir formula:

\[\pa kreisi| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\Rightarrow f\left(x \right)=\pm g\left(x \right)\]

Visi! Mēs vienkārši pielīdzinām submodulāras izteiksmes, vienai no tām ieliekot plusa vai mīnusa zīmi. Un tad mēs atrisinām iegūtos divus vienādojumus - un saknes ir gatavas! Bez papildu ierobežojumiem, bez nevienlīdzības utt. Viss ir ļoti vienkārši.

Mēģināsim atrisināt šo problēmu:

\[\pa kreisi| 2x+3 \right|=\left| 2x-7 \right|\]

Elementārais Vatsons! Moduļu paplašināšana:

\[\pa kreisi| 2x+3 \right|=\left| 2x-7 \right|\Rightbultiņa 2x+3=\pm \left(2x-7 \right)\]

Apskatīsim katru gadījumu atsevišķi:

\[\begin(align)& 2x+3=2x-7\Rightarrow 3=-7\Rightarrow \emptyset ; \\& 2x+3=-\kreisais(2x-7 \labais)\bultiņa pa labi 2x+3=-2x+7. \\\beigt(līdzināt)\]

Pirmajam vienādojumam nav sakņu. Jo kad ir $3=-7$? Pie kādām vērtībām $x$? “Kas pie velna ir $x$? Vai tu esi nomētāts ar akmeņiem? Tur vispār nav $x$,” jūs sakāt. Un tev būs taisnība. Mēs esam ieguvuši vienādību, kas nav atkarīga no mainīgā $x$, un tajā pašā laikā pati vienādība ir nepareiza. Tāpēc arī nav sakņu. :)

Ar otro vienādojumu viss ir nedaudz interesantāks, bet arī ļoti, ļoti vienkāršs:

Kā redzat, viss tika atrisināts burtiski pāris rindās - mēs neko citu no lineārā vienādojuma negaidījām. :)

Rezultātā galīgā atbilde ir: $x=1$.

Tā kā? Grūti? Protams, nē. Mēģināsim ko citu:

\[\pa kreisi| x-1 \right|=\left| ((x)^(2))-3x+2 \right|\]

Atkal mums ir vienādojums ar formu $\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|$. Tāpēc mēs to nekavējoties pārrakstām, atklājot moduļa zīmi:

\[((x)^(2))-3x+2=\pm \left(x-1 \right)\]

Varbūt kāds tagad jautās: “Ei, kādas muļķības? Kāpēc “plus-mīnuss” parādās labajā pusē, nevis kreisajā pusē? Nomierinies, es tagad visu paskaidrošu. Patiešām, labā nozīmē mums vajadzēja pārrakstīt mūsu vienādojumu šādi:

Pēc tam jums jāatver iekavas, jāpārvieto visi termini vienā vienādības zīmes pusē (jo vienādojums acīmredzot abos gadījumos būs kvadrātveida) un pēc tam atrodiet saknes. Bet jāatzīst: ja “plus-mīnus” parādās pirms trim vārdiem (īpaši, ja viens no šiem terminiem ir kvadrātveida izteiksme), tas kaut kā izskatās sarežģītāk nekā situācija, kad “plus-mīnus” parādās tikai pirms diviem terminiem.

Bet nekas neliedz mums pārrakstīt sākotnējo vienādojumu šādi:

\[\pa kreisi| x-1 \right|=\left| ((x)^(2))-3x+2 \right|\Rightrow \left| ((x)^(2))-3x+2 \right|=\left| x-1 \right|\]

Kas notika? Nekas īpašs: viņi vienkārši samainīja kreiso un labo pusi. Mazums, kas galu galā padarīs mūsu dzīvi mazliet vieglāku. :)

Kopumā mēs atrisinām šo vienādojumu, apsverot iespējas ar plusu un mīnusu:

\[\begin(align)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\bultiņa pa labi ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\left(x-1 \right)\bultiņa pa labi ((x)^(2))-2x+1=0. \\\beigt(līdzināt)\]

Pirmajam vienādojumam ir saknes $x=3$ un $x=1$. Otrais parasti ir precīzs kvadrāts:

\[((x)^(2))-2x+1=((\left(x-1 \right))^(2))\]

Tāpēc tai ir tikai viena sakne: $x=1$. Bet mēs jau esam ieguvuši šo sakni agrāk. Tādējādi galīgajā atbildē tiks iekļauti tikai divi skaitļi:

\[((x)_(1))=3;\quad ((x)_(2))=1.\]

Misija pabeigta! Var paņemt no plaukta pīrāgu un apēst. Ir 2 no tiem, tavējais ir vidējais. :)

Svarīga piezīme. Identisku sakņu klātbūtne dažādiem moduļa paplašināšanas variantiem nozīmē, ka sākotnējie polinomi tiek faktorizēti, un starp šiem faktoriem noteikti būs kopīgs. Tiešām:

\[\begin(align)& \left| x-1 \right|=\left| ((x)^(2))-3x+2 \pa labi|; \\& \left| x-1 \right|=\left| \left(x-1 \right)\left(x-2 \right) \right|. \\\beigt(līdzināt)\]

Viens no moduļa rekvizītiem: $\left| a\cdot b \right|=\left| a \right|\cdot \left| b \right|$ (t.i., reizinājuma modulis ir vienāds ar moduļa reizinājumu), tāpēc sākotnējo vienādojumu var pārrakstīt šādi:

\[\pa kreisi| x-1 \right|=\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|\]

Kā redzat, mums patiešām ir kopīgs faktors. Tagad, ja jūs savācat visus moduļus vienā pusē, varat izņemt šo faktoru no kronšteina:

\[\begin(align)& \left| x-1 \right|=\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \pa labi|; \\& \left| x-1 \right|-\left| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \right|=0; \\& \left| x-1 \right|\cdot \left(1-\left| x-2 \right| \right)=0. \\\beigt(līdzināt)\]

Tagad atcerieties, ka reizinājums ir vienāds ar nulli, ja vismaz viens no faktoriem ir vienāds ar nulli:

\[\left[ \begin(align)& \left| x-1 \right|=0, \\& \left| x-2 \right|=1. \\\beigas(līdzināt) \pa labi.\]

Tādējādi sākotnējais vienādojums ar diviem moduļiem ir samazināts līdz diviem vienkāršākajiem vienādojumiem, par kuriem mēs runājām pašā nodarbības sākumā. Šādus vienādojumus var atrisināt burtiski pāris rindās. :)

Šī piezīme var šķist nevajadzīgi sarežģīta un praktiski nepiemērojama. Tomēr patiesībā jūs varat saskarties ar daudz sarežģītākām problēmām nekā tās, kuras mēs šodien aplūkojam. Tajos moduļus var apvienot ar polinomiem, aritmētiskām saknēm, logaritmiem utt. Un šādās situācijās ļoti, ļoti noderīga var būt iespēja pazemināt vienādojuma kopējo pakāpi, kaut ko izraujot no iekavām. :)

Tagad es gribētu apskatīt citu vienādojumu, kas no pirmā acu uzmetiena var šķist traks. Daudzi studenti tajā iestrēgst, pat tie, kuri domā, ka labi saprot moduļus.

Tomēr šo vienādojumu ir pat vieglāk atrisināt nekā iepriekš aplūkoto. Un, ja jūs saprotat, kāpēc, jūs iegūsit vēl vienu triku, lai ātri atrisinātu vienādojumus ar moduļiem.

Tātad vienādojums ir šāds:

\[\pa kreisi| x-((x)^(3)) \right|+\left| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\]

Nē, tā nav drukas kļūda: tas ir pluss starp moduļiem. Un mums jāatrod, cik $x$ divu moduļu summa ir vienāda ar nulli. :)

Kas vispār par problēmu? Bet problēma ir tā, ka katrs modulis ir pozitīvs skaitlis vai, ārkārtējos gadījumos, nulle. Kas notiek, ja pievienosiet divus pozitīvus skaitļus? Acīmredzot atkal pozitīvs skaitlis:

\[\begin(align)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0,004+0,0001=0,0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\end(līdzināt)\]

Pēdējā rindiņa var sniegt jums priekšstatu: vienīgā reize, kad moduļu summa ir nulle, ir tad, ja katrs modulis ir nulle:

\[\pa kreisi| x-((x)^(3)) \right|+\left| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\bultiņa pa labi \pa kreisi\( \begin(līdzināt)& \left| x-((x)^(3)) \right|=0, \\& \left| ((x)^(2))+x-2 \right|=0. \\\end(līdzināt) \pa labi.\]

Un kad modulis ir vienāds ar nulli? Tikai vienā gadījumā - kad submodulārā izteiksme ir vienāda ar nulli:

' x=-2 \\& x=1 \\\end(līdzināt) \pa labi.\]

Tādējādi mums ir trīs punkti, kuros pirmais modulis tiek atiestatīts uz nulli: 0, 1 un −1; kā arī divi punkti, kuros otrais modulis tiek atiestatīts uz nulli: −2 un 1. Tomēr abi moduļi ir jāatiestata uz nulli vienlaikus, tāpēc starp atrastajiem skaitļiem ir jāizvēlas tie, kas ir iekļauti abi komplekti. Acīmredzot ir tikai viens šāds skaitlis: $x=1$ — tā būs galīgā atbilde.

Šķelšanas metode

Nu, mēs jau esam aptvēruši daudzas problēmas un apguvuši daudzas metodes. Vai jūs domājat, ka tas ir viss? Bet nē! Tagad mēs apskatīsim galīgo tehniku ​​- un tajā pašā laikā vissvarīgāko. Mēs runāsim par vienādojumu sadalīšanu ar moduli. Par ko mēs vispār runāsim? Atgriezīsimies nedaudz atpakaļ un apskatīsim dažus vienkāršus vienādojumus. Piemēram šis:

\[\pa kreisi| 3x-5 \right|=5-3x\]

Principā mēs jau zinām, kā atrisināt šādu vienādojumu, jo tā ir standarta konstrukcija formā $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$. Bet mēģināsim paskatīties uz šo vienādojumu no nedaudz cita leņķa. Precīzāk, apsveriet izteiksmi zem moduļa zīmes. Atgādināšu, ka jebkura skaitļa modulis var būt vienāds ar pašu skaitli vai arī tas var būt pretējs šim skaitlim:

\[\pa kreisi| a \right|=\left\( \begin(align)& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\end(līdzināt) \right.\]

Faktiski šī neskaidrība ir visa problēma: tā kā skaitlis zem moduļa mainās (tas ir atkarīgs no mainīgā), mums nav skaidrs, vai tas ir pozitīvs vai negatīvs.

Bet ko tad, ja sākotnēji pieprasāt, lai šis skaitlis būtu pozitīvs? Piemēram, mēs pieprasām, lai $3x-5 \gt 0$ - šajā gadījumā mēs garantējam, ka zem moduļa zīmes iegūsim pozitīvu skaitli, un mēs varam pilnībā atbrīvoties no šī moduļa:

Tādējādi mūsu vienādojums pārvērtīsies par lineāru, ko var viegli atrisināt:

Tiesa, visām šīm domām ir jēga tikai ar nosacījumu $3x-5 \gt 0$ - mēs paši ieviesām šo prasību, lai nepārprotami atklātu moduli. Tāpēc aizstāsim atrasto $x=\frac(5)(3)$ ar šo nosacījumu un pārbaudīsim:

Izrādās, ka norādītajai vērtībai $x$ mūsu prasība nav izpildīta, jo izteiksme izrādījās vienāda ar nulli, un mums ir nepieciešams, lai tā būtu stingri lielāka par nulli. Skumji. :(

Bet tas ir labi! Galu galā ir vēl viens variants $3x-5 \lt 0$. Turklāt: ir arī gadījums $3x-5=0$ - tas arī jāņem vērā, pretējā gadījumā risinājums būs nepilnīgs. Tātad, apsveriet gadījumu $3x-5 \lt 0$:

Acīmredzot modulis tiks atvērts ar mīnusa zīmi. Bet tad rodas dīvaina situācija: gan pa kreisi, gan pa labi sākotnējā vienādojumā izcelsies viena un tā pati izteiksme:

Interesanti, kur $x$ izteiksme $5-3x$ būs vienāda ar izteiksmi $5-3x$? Pat kapteinim Acīmredzamība no šādiem vienādojumiem aizrīsies ar siekalām, taču mēs zinām: šis vienādojums ir identitāte, t.i. tā ir taisnība jebkurai mainīgā vērtībai!

Tas nozīmē, ka mums derēs jebkurš $x$. Tomēr mums ir ierobežojums:

Citiem vārdiem sakot, atbilde nebūs viens skaitlis, bet gan vesels intervāls:

Visbeidzot, jāapsver vēl viens gadījums: $3x-5=0$. Šeit viss ir vienkārši: zem moduļa būs nulle, un arī nulles modulis ir vienāds ar nulli (tas izriet tieši no definīcijas):

Bet tad sākotnējais vienādojums $\left| 3x-5 \right|=5-3x$ tiks pārrakstīts šādi:

Mēs jau ieguvām šo sakni iepriekš, aplūkojot gadījumu $3x-5 \gt 0$. Turklāt šī sakne ir vienādojuma $3x-5=0$ risinājums - tas ir ierobežojums, ko mēs paši ieviesām, lai atiestatītu moduli. :)

Tādējādi, papildus intervālam, mēs būsim apmierināti arī ar skaitli, kas atrodas šī intervāla pašās beigās:

Sakņu apvienošana moduļu vienādojumos

Kopējā galīgā atbilde: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$ Atbildē uz diezgan vienkāršu (būtībā lineāru) vienādojumu ar moduli nav ļoti bieži redzēt šādas muļķības, Nu, pierodiet pie tā: moduļa grūtības ir tādas, ka atbildes šādos vienādojumos var izrādīties pilnīgi neparedzamas.

Daudz svarīgāks ir kaut kas cits: mēs tikko esam analizējuši universālu algoritmu vienādojuma ar moduli atrisināšanai! Un šis algoritms sastāv no šādām darbībām:

1. Pielīdziniet katru vienādojuma moduli ar nulli. Mēs iegūstam vairākus vienādojumus;
2. Atrisiniet visus šos vienādojumus un atzīmējiet saknes uz skaitļu līnijas. Rezultātā taisne tiks sadalīta vairākos intervālos, katrā no kuriem unikāli tiek atklāti visi moduļi;
3. Atrisiniet katra intervāla sākotnējo vienādojumu un apvienojiet atbildes.

Tas ir viss! Atliek tikai viens jautājums: ko darīt ar 1. solī iegūtajām saknēm? Pieņemsim, ka mums ir divas saknes: $x=1$ un $x=5$. Viņi sadalīs skaitļu līniju 3 daļās:

Skaitļa līnijas sadalīšana intervālos, izmantojot punktus

Tātad, kādi ir intervāli? Ir skaidrs, ka no tiem ir trīs:

1. Kreisākais: $x \lt 1$ — pati mērvienība nav iekļauta intervālā;
2. Centrālā: $1\le x \lt 5$ - šeit viens ir iekļauts intervālā, bet pieci nav iekļauti;
3. Pa labi: $x\ge 5$ — šeit ir iekļauti tikai pieci!

Es domāju, ka jūs jau saprotat modeli. Katrs intervāls ietver kreiso galu un neietver labo.

No pirmā acu uzmetiena šāds ieraksts var šķist neērts, neloģisks un vispār kaut kāds traks. Bet ticiet man: pēc nelielas prakses jūs atklāsiet, ka šī pieeja ir visuzticamākā un netraucē viennozīmīgi atvērt moduļus. Labāk ir izmantot šādu shēmu, nevis katru reizi domāt: dot kreiso/labo galu pašreizējam intervālam vai “iemest” nākamajā.

Ar to nodarbība noslēdzas. Lejupielādējiet problēmas, lai atrisinātu pats, praktizējieties, salīdziniet ar atbildēm - un tiekamies nākamajā nodarbībā, kas būs veltīta nevienlīdzībām ar moduļiem. :)

Šodien, draugi, nebūs ne puņķu, ne sentimentalitātes. Tā vietā es jūs nosūtīšu bez jautājumiem cīņā ar vienu no visbriesmīgākajiem pretiniekiem 8.-9.klases algebras kursā.

Jā, jūs visu sapratāt pareizi: mēs runājam par nevienādībām ar moduli. Apskatīsim četrus pamata paņēmienus, ar kuriem jūs iemācīsities atrisināt aptuveni 90% šādu problēmu. Kā ar atlikušajiem 10%? Nu, mēs par tiem runāsim atsevišķā nodarbībā. :)

Tomēr, pirms analizēt kādu no metodēm, es vēlētos jums atgādināt divus faktus, kas jums jau ir jāzina. Pretējā gadījumā jūs riskējat vispār nesaprast šodienas nodarbības materiālu.

Kas jums jau ir jāzina

Šķiet, ka Captain Obviousness norāda, ka, lai atrisinātu nevienlīdzības ar moduli, jums jāzina divas lietas:

1. Kā tiek atrisinātas nevienlīdzības;
2. Kas ir modulis?

Sāksim ar otro punktu.

Moduļa definīcija

Šeit viss ir vienkārši. Ir divas definīcijas: algebriskā un grafiskā. Sākumā - algebriskā:

Definīcija. Skaitļa $x$ modulis ir vai nu pats skaitlis, ja tas nav negatīvs, vai tam pretējs skaitlis, ja sākotnējais $x$ joprojām ir negatīvs.

Tas ir rakstīts šādi:

\[\pa kreisi| x \right|=\left\( \begin (līdzināt) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(līdzināt) \right.\]

Vienkārši izsakoties, modulis ir “skaitlis bez mīnusa”. Un tieši šajā dualitātē (dažās vietās ar sākotnējo numuru nekas nav jādara, bet citviet būs jānoņem kaut kāds mīnuss) ir visas grūtības iesācējiem.

Ir arī ģeometriskā definīcija. To arī ir noderīgi zināt, bet mēs tam pievērsīsimies tikai sarežģītos un dažos īpašos gadījumos, kur ģeometriskā pieeja ir ērtāka nekā algebriskā (spoileris: ne šodien).

Definīcija. Ciparu rindā atzīmēsim punktu $a$. Pēc tam modulis $\left| x-a \right|$ ir attālums no punkta $x$ līdz punktam $a$ šajā taisnē.

Ja jūs uzzīmējat attēlu, jūs iegūsit kaut ko līdzīgu:

Grafiskā moduļa definīcija

Vienā vai otrā veidā no moduļa definīcijas uzreiz izriet tā galvenā īpašība: skaitļa modulis vienmēr ir nenegatīvs lielums. Šis fakts būs sarkans pavediens, kas iet cauri visam mūsu šodienas stāstījumam.

Nevienlīdzību risināšana. Intervāla metode

Tagad apskatīsim nevienlīdzību. To ir ļoti daudz, bet mūsu uzdevums tagad ir spēt atrisināt vismaz vienkāršāko no tiem. Tie, kas reducē uz lineārām nevienādībām, kā arī uz intervālu metodi.

Man ir divas lielas nodarbības par šo tēmu (starp citu, ļoti, ĻOTI noderīgas - iesaku tās izpētīt):

1. Intervāla metode nevienādībām (īpaši skatieties video);
2. Frakcionālās racionālās nevienlīdzības ir ļoti plaša mācība, bet pēc tās jums vairs nebūs nekādu jautājumu.

Ja jūs to visu zināt, ja frāze "pāriesim no nevienlīdzības uz vienādojumu" nerada neskaidru vēlmi sist pret sienu, tad esat gatavs: laipni lūdzam ellē stundas galvenajā tēmā. :)

1. Formas “Moduls ir mazāks par funkciju” nevienādības

Šī ir viena no visbiežāk sastopamajām moduļu problēmām. Ir nepieciešams atrisināt formas nevienlīdzību:

\[\pa kreisi| f\right| \ltg\]

Funkcijas $f$ un $g$ var būt jebkas, taču parasti tie ir polinomi. Šādas nevienlīdzības piemēri:

\[\begin(līdzināt) & \left| 2x+3 \pa labi| \lt x+7; \\ & \left| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0; \\ & \left| ((x)^(2))-2\left| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\end(līdzināt)\]

Tos visus var atrisināt burtiski vienā rindā saskaņā ar šādu shēmu:

\[\pa kreisi| f\right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(līdzināt) \pa labi.\pa labi)\]

Ir viegli redzēt, ka mēs atbrīvojamies no moduļa, bet pretī mēs iegūstam dubultu nevienādību (vai, kas ir tas pats, divu nevienādību sistēmu). Bet šī pāreja ņem vērā pilnīgi visas iespējamās problēmas: ja skaitlis zem moduļa ir pozitīvs, metode darbojas; ja tas ir negatīvs, tas joprojām darbojas; un pat ar visneadekvātāko funkciju $f$ vai $g$ vietā, metode joprojām darbosies.

Protams, rodas jautājums: vai tas nevarētu būt vienkāršāk? Diemžēl tas nav iespējams. Šī ir visa moduļa būtība.

Tomēr pietiks ar filozofēšanu. Atrisināsim pāris problēmas:

Uzdevums. Atrisiniet nevienlīdzību:

\[\pa kreisi| 2x+3 \pa labi| \lt x+7\]

Risinājums. Tātad mūsu priekšā ir klasiska formas nevienlīdzība “modulis ir mazāks” - nav pat ko pārveidot. Mēs strādājam pēc algoritma:

\[\begin(līdzināt) & \left| f\right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \left| 2x+3 \pa labi| \lt x+7\Labā bultiņa -\kreisais(x+7\pa labi) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(līdzināt)\]

Nesteidzieties atvērt iekavas, kurām priekšā ir “mīnuss”: ir pilnīgi iespējams, ka steigas dēļ jūs pieļausit aizvainojošu kļūdu.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(līdzināt) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(līdzināt) \right.\]

\[\left\( \begin (līdzināt) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(līdzināt) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(līdzināt) \right.\]

Problēma tika samazināta līdz divām elementārām nevienlīdzībām. Atzīmēsim to risinājumus paralēlās skaitļu taisnēs:

Daudzu krustojums

Atbilde būs šo kopu krustpunkts.

Atbilde: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Uzdevums. Atrisiniet nevienlīdzību:

\[\pa kreisi| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]

Risinājums. Šis uzdevums ir nedaudz grūtāks. Pirmkārt, izolēsim moduli, pārvietojot otro terminu pa labi:

\[\pa kreisi| ((x)^(2))+2x-3 \pa labi| \lt -3\left(x+1 \right)\]

Acīmredzot mums atkal ir nevienlīdzība formā “modulis ir mazāks”, tāpēc mēs atbrīvojamies no moduļa, izmantojot jau zināmo algoritmu:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]

Tagad uzmanību: kāds teiks, ka esmu mazliet izvirtulis ar visām šīm iekavām. Bet ļaujiet man vēlreiz atgādināt, ka mūsu galvenais mērķis ir pareizi atrisināt nevienlīdzību un saņemt atbildi. Vēlāk, kad būsi lieliski apguvis visu, kas šajā nodarbībā aprakstīts, vari pats to sagrozīt kā gribi: atver iekavas, pievieno mīnusus utt.

Sākumā mēs vienkārši atbrīvosimies no dubultā mīnusa kreisajā pusē:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\left(x+1\right)\]

Tagad atvērsim visas dubultās nevienlīdzības iekavas:

Pāriesim pie dubultās nevienlīdzības. Šoreiz aprēķini būs nopietnāki:

\[\left\( \begin(līdzināt) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(līdzināt) \pa labi.\]

\[\left\( \begin(līdzināt) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( līdzināt)\pa labi.\]

Abas nevienādības ir kvadrātiskas, un tās var atrisināt, izmantojot intervālu metodi (tāpēc es saku: ja jūs nezināt, kas tas ir, labāk moduļus vēl neņemt). Pārejam pie vienādojuma pirmajā nevienādībā:

\[\begin(līdzināt) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\beigt(līdzināt)\]

Kā redzat, izvade ir nepilnīgs kvadrātvienādojums, kuru var atrisināt elementāri. Tagad aplūkosim sistēmas otro nevienlīdzību. Tur jums būs jāpiemēro Vietas teorēma:

\[\begin(līdzināt) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\beigt(līdzināt)\]

Mēs atzīmējam iegūtos skaitļus uz divām paralēlām līnijām (atsevišķi pirmajai nevienādībai un atsevišķi otrajai):

Atkal, tā kā mēs risinām nevienādību sistēmu, mūs interesē iekrāsoto kopu krustpunkts: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Šī ir atbilde.

Atbilde: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Es domāju, ka pēc šiem piemēriem risinājuma shēma ir ārkārtīgi skaidra:

1. Izolējiet moduli, pārvietojot visus pārējos terminus uz nevienlīdzības pretējo pusi. Tādējādi iegūstam formas $\left| nevienādību f\right| \ltg$.
2. Atrisiniet šo nevienlīdzību, atbrīvojoties no moduļa saskaņā ar iepriekš aprakstīto shēmu. Kādā brīdī būs jāpāriet no dubultās nevienlīdzības uz divu neatkarīgu izteiksmju sistēmu, no kurām katru jau var atrisināt atsevišķi.
3. Visbeidzot, atliek tikai krustot šo divu neatkarīgo izteiksmju risinājumus - un tas ir viss, mēs saņemsim galīgo atbildi.

Līdzīgs algoritms pastāv arī šāda veida nevienādībām, ja modulis ir lielāks par funkciju. Tomēr ir daži nopietni “bet”. Mēs tagad runāsim par šiem "bet".

2. Formas “Modulis ir lielāks par funkciju” nevienādības

Tie izskatās šādi:

\[\pa kreisi| f\right| \gtg\]

Līdzīgs iepriekšējam? Liekas. Un tomēr šādas problēmas tiek risinātas pavisam savādāk. Formāli shēma ir šāda:

\[\pa kreisi| f\right| \gt g\Labā bultiņa \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(līdzināt) \right.\]

Citiem vārdiem sakot, mēs aplūkojam divus gadījumus:

1. Pirmkārt, mēs vienkārši ignorējam moduli un atrisinām parasto nevienlīdzību;
2. Pēc tam būtībā mēs paplašinām moduli ar mīnusa zīmi un pēc tam reizinim abas nevienādības puses ar −1, kamēr man ir zīme.

Šajā gadījumā opcijas tiek apvienotas ar kvadrātiekava, t.i. Mūsu priekšā ir divu prasību kombinācija.

Lūdzu, ņemiet vērā vēlreiz: tā nav sistēma, bet gan kopums atbildē kopas ir apvienotas, nevis krustojas. Tā ir būtiska atšķirība no iepriekšējā punkta!

Kopumā daudzi skolēni ir pilnībā sajaukti ar arodbiedrībām un krustojumiem, tāpēc atrisināsim šo jautājumu uz visiem laikiem:

• "∪" ir arodbiedrības zīme. Faktiski tas ir stilizēts burts “U”, kas mums nāca no angļu valodas un ir saīsinājums vārdam “Union”, t.i. "Asociācijas".
• "∩" ir krustojuma zīme. Šīs muļķības nenāca ne no kurienes, bet vienkārši parādījās kā pretpunkts “∪”.

Lai to būtu vēl vieglāk atcerēties, vienkārši pievelciet kājas šīm zīmēm, lai izgatavotu brilles (tikai tagad nepārmetiet man narkomānijas un alkoholisma veicināšanu: ja jūs nopietni mācāties šo stundu, tad jūs jau esat narkomāns):

Atšķirība starp krustojumu un kopu savienību

Tulkojumā krievu valodā tas nozīmē sekojošo: savienība (kopumā) ietver elementus no abām kopām, tāpēc tas nekādā ziņā nav mazāks par katru no tiem; bet krustpunktā (sistēmā) ietilpst tikai tie elementi, kas vienlaikus atrodas gan pirmajā kopā, gan otrajā. Tāpēc kopu krustpunkts nekad nav lielāks par avota kopām.

Tātad kļuva skaidrāks? Tas ir lieliski. Pāriesim pie prakses.

Uzdevums. Atrisiniet nevienlīdzību:

\[\pa kreisi| 3x+1 \pa labi| \gt 5-4x\]

Risinājums. Mēs rīkojamies saskaņā ar shēmu:

\[\pa kreisi| 3x+1 \pa labi| \gt 5-4x\Labā bultiņa \pa kreisi[ \begin(līdzināt) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(līdzināt) \ pa labi.\]

Mēs atrisinām katru iedzīvotāju nevienlīdzību:

\[\left[ \begin(līdzināt) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(līdzināt) \right.\]

\[\left[ \begin(līdzināt) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(līdzināt) \right.\]

\[\left[ \begin (līdzināt) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(līdzināt) \right.\]

Mēs atzīmējam katru iegūto kopu uz skaitļu līnijas un pēc tam apvienojam:

Komplektu savienība

Ir pilnīgi skaidrs, ka atbilde būs $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Atbilde: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Uzdevums. Atrisiniet nevienlīdzību:

\[\pa kreisi| ((x)^(2))+2x-3 \pa labi| \gt x\]

Risinājums. Nu? Nekas - viss ir vienāds. Mēs pārejam no nevienādības ar moduli uz divu nevienādību kopu:

\[\pa kreisi| ((x)^(2))+2x-3 \pa labi| \gt x\Labā bultiņa \left[ \begin(līdzināt) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\beigas(līdzināt) \pa labi.\]

Mēs atrisinām katru nevienlīdzību. Diemžēl saknes tur nebūs īpaši labas:

\[\begin(līdzināt) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\beigt(līdzināt)\]

Arī otrā nevienlīdzība ir nedaudz mežonīga:

\[\begin(līdzināt) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\beigt(līdzināt)\]

Tagad šie skaitļi jāatzīmē uz divām asīm - katrai nevienādībai viena ass. Tomēr punkti jāatzīmē pareizā secībā: jo lielāks skaitlis, jo tālāk punkts virzās pa labi.

Un šeit mūs sagaida iestatījums. Ja viss ir skaidrs ar cipariem $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (termiņi pirmā skaitītājā daļskaitlis ir mazāks par otrās skaitītāja vārdiem, tātad arī summa ir mazāka), ar skaitļiem $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ arī nebūs nekādu grūtību (pozitīvs skaitlis acīmredzot vairāk negatīvs), tad ar pēdējo pāris viss nav tik skaidrs. Kurš ir lielāks: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ vai $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Punktu izvietojums uz skaitļu līnijām un faktiski atbilde būs atkarīgs no atbildes uz šo jautājumu.

Tātad salīdzināsim:

\[\begin(matrica) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrica)\]

Mēs izolējām sakni, saņēmām nenegatīvus skaitļus abās nevienlīdzības pusēs, tāpēc mums ir tiesības kvadrātā abas puses:

\[\begin(matrica) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matrica)\]

Manuprāt, nav prāta, ka $4\sqrt(13) \gt 3$, tātad $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, pēdējie punkti uz asīm tiks izvietoti šādi:

Neglītu sakņu gadījums

Atgādināšu, ka mēs risinām kopu, tāpēc atbilde būs savienība, nevis ēnotu kopu krustojums.

Atbilde: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \right)$

Kā redzat, mūsu shēma lieliski darbojas gan vienkāršām, gan ļoti sarežģītām problēmām. Vienīgais “vājais punkts” šajā pieejā ir tas, ka jums ir pareizi jāsalīdzina neracionālie skaitļi (un ticiet man: tās nav tikai saknes). Bet atsevišķa (un ļoti nopietna) nodarbība tiks veltīta salīdzināšanas jautājumiem. Un mēs ejam tālāk.

3. Nevienlīdzība ar nenegatīvām “astēm”

Tagad mēs nonākam pie visinteresantākās daļas. Šīs ir formas nevienlīdzības:

\[\pa kreisi| f\right| \gt \left| g\right|\]

Vispārīgi runājot, algoritms, par kuru mēs tagad runāsim, ir pareizs tikai modulim. Tas darbojas visās nevienlīdzībās, kur ir garantētas nenegatīvas izteiksmes kreisajā un labajā pusē:

Ko darīt ar šiem uzdevumiem? Tikai atceries:

Nevienlīdzībās ar nenegatīvām “astēm” abas puses var pacelt uz jebkuru dabisko spēku. Papildu ierobežojumu nebūs.

Pirmkārt, mūs interesēs kvadrātošana - tas sadedzina moduļus un saknes:

\[\begin(līdzināt) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\beigt(līdzināt)\]

Vienkārši nejauciet to ar kvadrāta saknes ņemšanu:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \right|\ne f\]

Tika pieļautas neskaitāmas kļūdas, kad students aizmirsa uzstādīt moduli! Bet tas ir pavisam cits stāsts (tie it kā iracionāli vienādojumi), tāpēc mēs par to tagad neiedziļināsimies. Labāk atrisināsim pāris problēmas:

Uzdevums. Atrisiniet nevienlīdzību:

\[\pa kreisi| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \right|\]

Risinājums. Uzreiz ievērosim divas lietas:

1. Tā nav stingra nevienlīdzība. Punkti uz skaitļu līnijas tiks pārdurti.
2. Abas nevienlīdzības puses acīmredzami nav negatīvas (tā ir moduļa īpašība: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Tāpēc mēs varam kvadrātēt abas nevienādības puses, lai atbrīvotos no moduļa un atrisinātu problēmu, izmantojot parasto intervāla metodi:

\[\begin(līdzināt) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right)) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\\beigt(līdzināt)\]

Pēdējā solī es nedaudz krāpjos: mainīju terminu secību, izmantojot moduļa vienmērīgumu (faktiski izteiksmi $1-2x$ reizināju ar −1).

\[\begin(līdzināt) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ pa labi)\labie)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(līdzināt)\]

Mēs risinām, izmantojot intervāla metodi. Pārejam no nevienlīdzības uz vienādojumu:

\[\begin(līdzināt) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\beigt(līdzināt)\]

Atrastās saknes atzīmējam uz skaitļu līnijas. Vēlreiz: visi punkti ir noēnoti, jo sākotnējā nevienlīdzība nav stingra!

Atbrīvošanās no moduļa zīmes

Atgādināšu tiem, kas ir īpaši spītīgi: mēs ņemam zīmes no pēdējās nevienlīdzības, kas tika pierakstīta pirms pāriešanas uz vienādojumu. Un mēs krāsojam tajā pašā nevienlīdzībā nepieciešamās zonas. Mūsu gadījumā tas ir $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

Labi, tagad viss ir beidzies. Problēma ir atrisināta.

Atbilde: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Uzdevums. Atrisiniet nevienlīdzību:

\[\pa kreisi| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \right|\]

Risinājums. Mēs visu darām tāpat. Es nekomentēšu - paskatieties uz darbību secību.

Kvadrātveida:

\[\begin(līdzināt) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left) | ((x)^(2))+3x+4 \labais| \labais))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \pa labi))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ pa labi))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(līdzināt)\]

Intervāla metode:

\[\begin(līdzināt) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Labā bultiņa x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\beigt(līdzināt)\]

Skaitļa rindā ir tikai viena sakne:

Atbilde ir vesels intervāls

Atbilde: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

Neliela piezīme par pēdējo uzdevumu. Kā precīzi atzīmēja viens no maniem studentiem, abas submodulārās izteiksmes šajā nevienlīdzībā ir acīmredzami pozitīvas, tāpēc moduļa zīmi var izlaist, nekaitējot veselībai.

Bet tas ir pavisam cits domāšanas līmenis un cita pieeja – to nosacīti var saukt par seku metodi. Par to - atsevišķā nodarbībā. Tagad pāriesim uz šodienas nodarbības pēdējo daļu un apskatīsim universālu algoritmu, kas vienmēr darbojas. Pat tad, kad visas iepriekšējās pieejas bija bezspēcīgas. :)

4. Opciju uzskaitīšanas metode

Ko darīt, ja visas šīs metodes nepalīdz? Ja nevienlīdzību nevar reducēt uz nenegatīvām astēm, ja nav iespējams izolēt moduli, ja kopumā ir sāpes, skumjas, melanholija?

Tad uz skatuves parādās visas matemātikas “smagā artilērija” — brutālā spēka metode. Attiecībā uz nevienādībām ar moduli tas izskatās šādi:

1. Izrakstiet visas submodulārās izteiksmes un iestatiet tās vienādas ar nulli;
2. Atrisiniet iegūtos vienādojumus un atzīmējiet atrastās saknes vienā skaitļa rindā;
3. Taisne tiks sadalīta vairākās daļās, kurās katram modulim ir fiksēta zīme un tāpēc tā ir unikāli atklāta;
4. Atrisiniet nevienlīdzību katrā šādā sadaļā (var atsevišķi apsvērt saknes-robežas, kas iegūtas 2. darbībā - uzticamības labad). Apvienojiet rezultātus - šī būs atbilde. :)

Tā kā? Vāji? Viegli! Tikai uz ilgu laiku. Apskatīsim praksē:

Uzdevums. Atrisiniet nevienlīdzību:

\[\pa kreisi| x+2 \pa labi| \lt \left| x-1 \right|+x-\frac(3) (2)\]

Risinājums. Šīs muļķības nav saistītas ar nevienlīdzību, piemēram, $\left| f\right| \lt g$, $\left| f\right| \gt g$ vai $\left| f\right| \lt \left| g \right|$, tāpēc rīkojamies uz priekšu.

Mēs izrakstām submodulāras izteiksmes, pielīdzinām tās nullei un atrodam saknes:

\[\begin(salīdzināt) & x+2=0\bultiņa pa labi x=-2; \\ & x-1=0\Labā bultiņa x=1. \\\beigt(līdzināt)\]

Kopumā mums ir divas saknes, kas skaitļu līniju sadala trīs daļās, kurās katrs modulis tiek atklāts unikāli:

Skaitļu līnijas sadalīšana ar submodulāru funkciju nullēm

Apskatīsim katru sadaļu atsevišķi.

1. Ļaujiet $x \lt -2 $. Tad abas submodulārās izteiksmes ir negatīvas, un sākotnējā nevienādība tiks pārrakstīta šādi:

\[\begin(līdzināt) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\end(līdzināt)\]

Mums ir diezgan vienkāršs ierobežojums. Krustosim to ar sākotnējo pieņēmumu, ka $x \lt -2$:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1.5 \\\end(līdzināt) \right.\Rightrow x\in \varnothing \]

Acīmredzot mainīgais $x$ nevar vienlaikus būt mazāks par –2 un lielāks par 1,5. Risinājumu šajā jomā nav.

1.1. Apskatīsim atsevišķi robežgadījumu: $x=-2$. Vienkārši aizstāsim šo skaitli ar sākotnējo nevienlīdzību un pārbaudīsim: vai tā ir taisnība?

\[\begin(līdzināt) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=-2) \ \ & 0 \lt \left| -3\labais|-2-1,5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing . \\\beigt(līdzināt)\]

Ir acīmredzams, ka aprēķinu ķēde mūs ir novedusi pie nepareizas nevienlīdzības. Tāpēc arī sākotnējā nevienādība ir nepatiesa, un atbildē nav iekļauta $x=-2$.

2. Ļaujiet tagad $-2 \lt x \lt 1 $. Kreisais modulis jau tiks atvērts ar “plus”, bet labais joprojām tiks atvērts ar “mīnusu”. Mums ir:

\[\begin(līdzināt) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\end(līdzināt)\]

Atkal mēs krustojamies ar sākotnējo prasību:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2.5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(līdzināt) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Un atkal risinājumu kopa ir tukša, jo nav skaitļu, kas būtu gan mazāki par –2,5, gan lielāki par –2.

2.1. Un atkal īpašs gadījums: $x=1$. Mēs aizstājam sākotnējo nevienlīdzību:

\[\begin(līdzināt) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1,5 \right|)_(x=1)) \\ & \left| 3\pa labi| \lt \left| 0\right|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0,5\Rightarrow \varnothing . \\\beigt(līdzināt)\]

Līdzīgi kā iepriekšējā “īpašā gadījuma” atbildē nepārprotami nav iekļauts skaitlis $x=1$.

3. Pēdējais rindas fragments: $x \gt 1$. Šeit visi moduļi tiek atvērti ar plus zīmi:

\[\begin(līdzināt) & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x \gt 4,5 \\ \end(līdzināt)\ ]

Un atkal mēs krustojam atrasto kopu ar sākotnējo ierobežojumu:

' ]

Beidzot! Mēs esam atraduši intervālu, kas būs atbilde.

Atbilde: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Visbeidzot, viena piezīme, kas var paglābt jūs no muļķīgām kļūdām, risinot reālas problēmas:

Nevienādību risinājumi ar moduļiem parasti attēlo nepārtrauktas kopas uz skaitļu līnijas - intervāliem un segmentiem. Izolēti punkti ir daudz retāk sastopami. Un vēl retāk gadās, ka risinājuma robeža (segmenta beigas) sakrīt ar aplūkojamā diapazona robežu.

Līdz ar to, ja atbildē nav iekļautas robežas (tie paši “īpašie gadījumi”), tad laukumi pa kreisi un pa labi no šīm robežām atbildē gandrīz noteikti netiks iekļauti. Un otrādi: robeža ievadīja atbildi, kas nozīmē, ka daži apgabali ap to arī būs atbildes.

Ņemiet to vērā, pārskatot savus risinājumus.

Starp piemēri katram modulim Bieži vien ir vienādojumi, kur jums ir jāatrod moduļa saknes modulī, tas ir, formas vienādojums
||a*x-b|-c|=k*x+m .
Ja k=0, tas ir, labā puse ir vienāda ar konstanti (m), tad ir vieglāk meklēt risinājumu vienādojumi ar moduļiem grafiski. Zemāk ir norādīta metode dubulto moduļu atvēršana izmantojot praksē izplatītus piemērus. Labi izprotiet vienādojumu aprēķināšanas algoritmu ar moduļiem, lai jums nebūtu problēmu viktorīnās, testos un vienkārši zināt.

1. piemērs. Atrisiniet vienādojumu modulo |3|x|-5|=-2x-2.
Risinājums: Vienmēr sāciet atvērt vienādojumus no iekšējā moduļa
|x|=0 <->x=0.
Punktā x=0 vienādojums ar moduli tiek dalīts ar 2.
Pie x< 0 подмодульная функция отрицательная, поэтому при раскрытии знак меняем на противоположный
|-3x-5|=-2x-2.
Ja x>0 vai vienāds, paplašinot iegūto moduli
|3x-5|=-2x-2 .
Atrisināsim vienādojumu negatīvajiem mainīgajiem (x< 0) . Оно разлагается на две системы уравнений. Первое уравнение получаем из условия, что функция после знака равенства неотрицательна. Второе - раскрывая модуль в одной системе принимаем, что подмодульная функция положительная, в иной отрицательная - меняем знак правой или левой части (зависит от методики преподавания).

No pirmā vienādojuma iegūstam, ka risinājums nedrīkst pārsniegt (-1), t.i.

Šis ierobežojums pilnībā attiecas uz jomu, kuru mēs risinām. Pārvietosim mainīgos un konstantes uz pretējām vienādības pusēm pirmajā un otrajā sistēmā

un atrast risinājumu


Abas vērtības pieder aplūkotajam intervālam, tas ir, tās ir saknes.
Apsveriet vienādojumu ar moduļiem pozitīviem mainīgajiem
|3x-5|=-2x-2.
Paplašinot moduli, mēs iegūstam divas vienādojumu sistēmas

No pirmā vienādojuma, kas ir kopīgs abām sistēmām, mēs iegūstam pazīstamo nosacījumu

kura krustojumā ar kopu, uz kuras meklējam risinājumu, dod tukšu kopu (krustošanās punktu nav). Tātad vienīgās moduļa ar moduli saknes ir vērtības
x=-3; x=-1,4.

2. piemērs. Atrisiniet vienādojumu ar moduli ||x-1|-2|=3x-4.
Risinājums: Sāksim, atverot iekšējo moduli
|x-1|=0 <=>x=1.
Submodulāra funkcija maina zīmi vienā. Mazākām vērtībām tas ir negatīvs, lielākām - pozitīvs. Saskaņā ar to, paplašinot iekšējo moduli, mēs iegūstam divus vienādojumus ar moduli
x |-(x-1)-2|=3x-4;
x>=1 -> |x-1-2|=3x-4.
Noteikti pārbaudiet moduļa vienādojuma labo pusi; tam ir jābūt lielākam par nulli.
3x-4>=0 -> x>=4/3.
Tas nozīmē, ka pirmais vienādojums nav jāatrisina, jo tas tika uzrakstīts x< 1, что не соответствует найденному условию. Раскроем модуль во втором уравнении
|x-3|=3x-4 ->
x-3=3x-4 vai x-3=4-3x;
4-3=3x-x vai x+3x=4+3;
2x=1 vai 4x=7;
x=1/2 vai x=7/4.
Mēs saņēmām divas vērtības, no kurām pirmā tiek noraidīta, jo tā neietilpst vajadzīgajā intervālā. Visbeidzot, vienādojumam ir viens risinājums x=7/4.

3. piemērs. Atrisiniet vienādojumu ar moduli ||2x-5|-1|=x+3.
Risinājums: Atvērsim iekšējo moduli
|2x-5|=0 <=>x=5/2=2,5.
Punkts x=2,5 sadala skaitļa līniju divos intervālos. Respektīvi, submodulāra funkcija maina zīmi, ejot cauri 2.5. Pierakstīsim risinājuma nosacījumu vienādojuma ar moduli labajā pusē.
x+3>=0 -> x>=-3.
Tātad risinājums var būt vērtības, kas nav mazākas par (-3) . Izvērsīsim moduli iekšējā moduļa negatīvajai vērtībai
|-(2x-5)-1|=x+3;
|-2x+4|=x+3.
Šis modulis sniegs arī 2 vienādojumus, kad tas tiks paplašināts
-2x+4=x+3 vai 2x-4=x+3;
2x+x=4-3 vai 2x-x=3+4;
3x=1; x=1/3 vai x=7 .
Mēs noraidām vērtību x=7, jo mēs meklējām risinājumu intervālā [-3;2,5]. Tagad mēs atveram iekšējo moduli x> 2.5. Mēs iegūstam vienādojumu ar vienu moduli
|2x-5-1|=x+3;
|2x-6|=x+3.
Paplašinot moduli, iegūstam šādus lineāros vienādojumus
-2x+6=x+3 vai 2x-6=x+3;
2x+x=6-3 vai 2x-x=3+6;
3x=3; x=1 vai x=9 .
Pirmā vērtība x=1 neatbilst nosacījumam x>2.5. Tātad šajā intervālā mums ir viena vienādojuma sakne ar moduli x=9, un kopā ir divas (x=1/3) Ar aizstāšanu var pārbaudīt veikto aprēķinu pareizību
Atbilde: x=1/3; x=9.

4. piemērs. Atrodiet risinājumus dubultā moduļa ||3x-1|-5|=2x-3.
Risinājums: Izvērsīsim vienādojuma iekšējo moduli
|3x-1|=0 <=>x=1/3.
Punkts x=2,5 sadala skaitļa līniju divos intervālos un doto vienādojumu divos gadījumos. Mēs pierakstām risinājuma nosacījumu, pamatojoties uz vienādojuma formu labajā pusē
2x-3>=0 -> x>=3/2=1,5.
No tā izriet, ka mūs interesē vērtības>=1,5. Tādējādi modulārais vienādojums apsveriet divus intervālus
,
|-(3x-1)-5|=2x-3;
|-3x-4|=2x-3.
Iegūtais modulis, izvēršot to, tiek sadalīts 2 vienādojumos
-3x-4=2x-3 vai 3x+4=2x-3;
2x+3x=-4+3 vai 3x-2x=-3-4;
5x=-1; x=-1/5 vai x=-7 .
Abas vērtības neietilpst intervālā, tas ir, tās nav vienādojuma ar moduļiem risinājumi. Tālāk mēs paplašināsim moduli x>2.5. Mēs iegūstam šādu vienādojumu
|3x-1-5|=2x-3;
|3x-6|=2x-3.
Paplašinot moduli, iegūstam 2 lineārus vienādojumus
3x-6=2x-3 vai –(3x-6)=2x-3;
3x-2x=-3+6 vai 2x+3x=6+3;
x=3 vai 5x=9; x=9/5=1,8.
Otrā atrastā vērtība neatbilst nosacījumam x>2,5, mēs to noraidām.
Visbeidzot mums ir viena vienādojuma sakne ar moduļiem x=3.
Veicot pārbaudi
||3*3-1|-5|=2*3-3 3=3 .
Vienādojuma sakne ar moduli tika aprēķināta pareizi.
Atbilde: x=1/3; x=9.

Jūsu privātuma saglabāšana mums ir svarīga. Šī iemesla dēļ mēs esam izstrādājuši Privātuma politiku, kurā aprakstīts, kā mēs izmantojam un uzglabājam jūsu informāciju. Lūdzu, pārskatiet mūsu privātuma praksi un informējiet mūs, ja jums ir kādi jautājumi.

Personiskās informācijas vākšana un izmantošana

Personiskā informācija attiecas uz datiem, kurus var izmantot, lai identificētu vai sazinātos ar konkrētu personu.

Jums var tikt lūgts sniegt savu personisko informāciju jebkurā laikā, kad sazināsieties ar mums.

Tālāk ir sniegti daži piemēri par to, kāda veida personas informāciju mēs varam vākt un kā mēs varam izmantot šādu informāciju.

Kādu personas informāciju mēs apkopojam:

• Kad jūs iesniedzat pieteikumu vietnē, mēs varam apkopot dažādu informāciju, tostarp jūsu vārdu, tālruņa numuru, e-pasta adresi utt.

Kā mēs izmantojam jūsu personisko informāciju:

• Mūsu apkopotā personas informācija ļauj mums sazināties ar jums par unikāliem piedāvājumiem, akcijām un citiem notikumiem un gaidāmajiem pasākumiem.
• Laiku pa laikam mēs varam izmantot jūsu personisko informāciju, lai nosūtītu svarīgus paziņojumus un paziņojumus.
• Mēs varam izmantot personas informāciju arī iekšējiem mērķiem, piemēram, auditu, datu analīzes un dažādu pētījumu veikšanai, lai uzlabotu mūsu sniegtos pakalpojumus un sniegtu jums ieteikumus par mūsu pakalpojumiem.
• Ja jūs piedalāties balvu izlozē, konkursā vai līdzīgā akcijā, mēs varam izmantot jūsu sniegto informāciju šādu programmu administrēšanai.

Informācijas izpaušana trešajām personām

Mēs neizpaužam no jums saņemto informāciju trešajām personām.

Izņēmumi:

• Ja nepieciešams - saskaņā ar likumu, tiesas procedūru, tiesvedībā un/vai pamatojoties uz publiskiem pieprasījumiem vai valdības iestāžu lūgumiem Krievijas Federācijas teritorijā - izpaust savu personas informāciju. Mēs varam arī izpaust informāciju par jums, ja konstatēsim, ka šāda izpaušana ir nepieciešama vai piemērota drošības, tiesībaizsardzības vai citiem sabiedrībai svarīgiem mērķiem.
• Reorganizācijas, apvienošanas vai pārdošanas gadījumā mēs varam nodot mūsu apkopoto personas informāciju attiecīgajai trešajai pusei.

Personiskās informācijas aizsardzība

Mēs veicam piesardzības pasākumus, tostarp administratīvus, tehniskus un fiziskus, lai aizsargātu jūsu personisko informāciju pret pazaudēšanu, zādzību un ļaunprātīgu izmantošanu, kā arī no nesankcionētas piekļuves, izpaušanas, pārveidošanas un iznīcināšanas.

Jūsu privātuma ievērošana uzņēmuma līmenī

Lai nodrošinātu jūsu personiskās informācijas drošību, mēs saviem darbiniekiem paziņojam par privātuma un drošības standartiem un stingri īstenojam privātuma praksi.