Kā izrunāt saīsinātās reizināšanas formulas. Saīsinātās reizināšanas formulas

>> Matemātika: saīsinātās reizināšanas formulas

Saīsinātās reizināšanas formulas

Ir vairāki gadījumi, kad viena polinoma reizināšana ar citu rada kompaktu, viegli iegaumējamu rezultātu. Šādos gadījumos ir vēlams nereizināt katru reizi ar vienu polinoms no otras puses, bet izmantojiet gatavo rezultātu. Apskatīsim šos gadījumus.

1. Summas kvadrāts un starpības kvadrāts:

1. piemērs. Izteiksmē izvērst iekavas:

a) (Zx + 2) 2;

b) (5а 2 - 4b 3) 2

a) Mēs izmantojam formulu (1),ņemot vērā, ka Zx spēlē a lomu, bet skaitlis 2 spēlē b lomu.
Mēs iegūstam:

(Zx + 2) 2 = (Zx) 2 + 2 Zx 2 + 2 2 = 9x 2 + 12x + 4.

b) Mēs izmantojam formulu (2)ņemot vērā to lomā a advokāti 5a 2, un lomā b advokāti 4b 3... Mēs iegūstam:

(5a 2-4b 3) 2 = (5a 2) 2 - 2- 5a 2 4b 3 + (4b 3) 2 = 25a 4 -40a 2 b 3 + 16b 6.

Lietojot kvadrātu summas vai kvadrātu starpības formulas, ņemiet vērā to
(- a - b) 2 = (a + b) 2;
(b-a) 2 = (a-b) 2.

Tas izriet no fakta, ka (- a) 2 = a 2.

Ņemiet vērā, ka daži matemātiskie triki ir balstīti uz formulām (1) un (2), ļaujot jums veikt aprēķinus savā galvā.

Piemēram, jūs varat gandrīz mutiski kvadrātā skaitļus, kas beidzas ar 1 un 9. Patiešām

71 2 = (70 + 1) 2 = 70 2 + 2 70 1 + 1 2 = 4900 + 140 + 1 = 5041;
91 2 = (90 + I) 2 = 90 2 + 2 90 1 + 1 2 = 8100 + 180 + 1 = 8281;
69 2 = (70 - I) 2 = 70 2 - 2 70 1 + 1 2 = 4900 - 140 + 1 = 4761.

Dažreiz jūs varat ātri ievilkt kvadrātā skaitli, kas beidzas ar skaitli 2 vai 8. Piemēram,

102 2 = (100 + 2) 2 = 100 2 + 2 100 2 + 2 2 = 10 000 + 400 + 4 = 10 404;

48 2 = (50 - 2) 2 = 50 2 - 2 50 2 + 2 2 = 2500 - 200 + 4 = 2304.

Bet elegantākais triks ir skaitļu, kas beidzas ar 5, sadalīšana kvadrātā.
Veiksim atbilstošo argumentāciju 85 2.

Mums ir:

85 2 = (80 + 5) 2 = 80 2 + 2 80 5 + 5 2 =-80 (80+ 10)+ 25 = 80 90 + 25 = 7200 + 25 = 7225.

Ņemiet vērā, ka, lai aprēķinātu 85 2, pietika ar 8 reizināšanu ar 9 un pa labi no rezultāta piešķirt 25. To pašu var izdarīt arī citos gadījumos. Piemēram, 35 2 = 1225 (3 4 = 12 un 25 tika pievienots iegūtajam skaitlim labajā pusē);

65 2 = 4225; 1252 = 15625 (12 18 = 156 un 25 tika pievienots iegūtajam skaitlim labajā pusē).

Tā kā mēs runājam par dažādiem kurioziem apstākļiem, kas saistīti ar garlaicīgām (no pirmā acu uzmetiena) formulām (1) un (2), tad mēs šo sarunu papildināsim ar šādu ģeometrisko argumentāciju. Lai a un b ir pozitīvi skaitļi. Aplūkosim kvadrātu ar malām a + b un divos tā stūros izgriežam kvadrātus, kuru malas ir vienādas ar attiecīgi a un b (4. att.).

Kvadrāta laukums ar malu a + b ir (a + b) 2. Bet mēs sagriežam šo kvadrātu četrās daļās: kvadrāts ar malu a (tā laukums ir a 2), kvadrāts ar malu b (tā laukums ir b 2), divi taisnstūri ar malām a un b (katra tāda laukums taisnstūris ir ab). Tādējādi (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab, tas ir, mēs ieguvām formulu (1).

Reiziniet binomiālu a + b ar binomiālu a - b. Mēs iegūstam:
(a + b) (a - b) = a 2 - ab + bа - b 2 = a 2 - b 2.
tātad

Jebkura vienlīdzība matemātikā tiek izmantota gan no kreisās puses uz labo (tas ir, vienādības kreisā puse tiek aizstāta ar tās labo pusi), gan no labās puses uz kreiso (tas ir, vienādības labā puse tiek aizstāta ar kreiso pusi ). Ja formulu C) izmanto no kreisās puses uz labo, tad tas ļauj aizstāt produktu (a + b) (a - b) ar gatavo rezultātu a 2 - b 2. To pašu formulu var izmantot no labās puses uz kreiso, tad tā ļauj aizstāt kvadrātu starpību a 2 - b 2 ar reizinājumu (a + b) (a - b). Formulai (3) matemātikā dots īpašs nosaukums – kvadrātu atšķirība.

komentēt. Nejauciet jēdzienus "kvadrātu starpība" un "atšķirības kvadrāts". Kvadrātu atšķirība ir a 2 - b 2, kas nozīmē, ka mēs runājam par formulu (3); starpības kvadrāts ir (a - b) 2, kas nozīmē, ka mēs runājam par formulu (2). Parastā valodā formulu (3) lasa "no labās uz kreiso" šādi:

divu skaitļu (izteiksmju) kvadrātu starpība ir vienāda ar šo skaitļu (izteiksmju) summas reizinājumu ar to starpību,

2. piemērs. Veikt reizināšanu

(3x-2g) (3x + 2g)
Risinājums. Mums ir:
(Zx - 2y) (Zx + 2y) = (Zx) 2 - (2y) 2 = 9x 2 - 4y 2.

3. piemērs. Attēlojiet 16x4–9 binomiālu kā binomiālu reizinājumu.

Risinājums. Mums ir: 16x 4 = (4x 2) 2, 9 = З 2, kas nozīmē, ka dotais binoms ir kvadrātu starpība, t.i. tai var piemērot formulu (3), lasīt no labās uz kreiso pusi. Tad mēs iegūstam:

16 x 4–9 = (4 x 2) 2 – З 2 = (4 x 2 + 3) (4 x 2 –3)

Formula (3), tāpat kā formulas (1) un (2), tiek izmantota matemātiskiem trikiem. Skatīt:

79 81 = (80 - 1) (80 + 1) - 802 - I2 = 6400 - 1 = 6399;
42 38 = D0 + 2) D0 - 2) = 402 - 22 = 1600 - 4 = 1596.

Sarunu par kvadrātu atšķirības formulu noslēgsim ar interesantu ģeometrisku argumentāciju. Lai a un b ir pozitīvi skaitļi ar a> b. Aplūkosim taisnstūri ar malām a + b un a - b (5. att.). Tās laukums ir (a + b) (a - b). Izgrieziet taisnstūri ar malām b un a - b un pielīmējiet to pārējai daļai, kā parādīts 6. attēlā. Ir skaidrs, ka iegūtajam attēlam ir vienāds laukums, ti, (a + b) (a - b). Bet šis skaitlis var būt
veidojiet šādi: no kvadrāta ar malu a izgrieziet kvadrātu ar malu b (tas ir skaidri redzams 6. attēlā). Tādējādi jaunās figūras laukums ir vienāds ar a 2 - b 2. Tātad, (a + b) (a - b) = a 2 - b 2, tas ir, mēs saņēmām formulu (3).

3. Kubu starpība un kubu summa

Reiziniet binomiālu a - b ar trinomu a 2 + ab + b 2.
Mēs iegūstam:
(a - b) (а 2 + ab + b 2) = а а 2 + а ab + а b 2 - b а 2 - b аb -bb 2 = а 3 + а 2 b + аb 2 -а 2 b- ab 2 -b 3 = a 3 -b 3.

Tāpat

(a + b) (a 2 - ab + b 2) = a 3 + b 3

(pārbaudi pats). Tātad,

Formulu (4) parasti sauc kubu atšķirība, formula (5) ir kubu summa. Mēģināsim pārtulkot formulas (4) un (5) parastajā valodā. Pirms to izdarīt, ņemiet vērā, ka izteiksme a 2 + ab + b 2 ir līdzīga izteiksmei a 2 + 2ab + b 2, kas parādījās formulā (1) un deva (a + b) 2; izteiksme a 2 - ab + b 2 ir līdzīga izteiksmei a 2 - 2ab + b 2, kas parādījās formulā (2) un deva (a - b) 2.

Lai atšķirtu (valodā) šos izteiksmju pārus vienu no otra, katru no izteiksmēm a 2 + 2ab + b 2 un a 2 - 2ab + b 2 sauc par perfektu kvadrātu (summu vai starpību), un katru no izteiksmēm 2 + ab + b 2 un a 2 - ab + b 2 sauc par nepilnu kvadrātu (summu vai starpību). Tad tiek iegūts šāds formulu (4) un (5) tulkojums (lasīt "no labās uz kreiso") parastajā valodā:

starpība starp divu skaitļu (izteiksmju) kubiem ir vienāda ar šo skaitļu (izteiksmju) starpības un to summas nepilnā kvadrāta reizinājumu; divu skaitļu (izteiksmju) kubu summa ir vienāda ar šo skaitļu (izteiksmju) summas reizinājumu ar to starpības nepilno kvadrātu.

komentēt. Visas šajā sadaļā iegūtās formulas (1) - (5) tiek izmantotas gan no kreisās puses uz labo, gan no labās uz kreiso, tikai pirmajā gadījumā (no kreisās uz labo) saka, ka (1) - (5) ir saīsināta reizināšana. formulas, un otrajā gadījumā (no labās uz kreiso) sakiet, ka (1) - (5) ir faktorizācijas formulas.

4. piemērs. Veiciet reizināšanu (2x-1) (4x 2 + 2x +1).

Risinājums. Tā kā pirmais faktors ir starpība starp monomiem 2x un 1, bet otrais faktors ir to summas nepilnīgais kvadrāts, varat izmantot formulu (4). Mēs iegūstam:

(2x - 1) (4x 2 + 2x + 1) = (2x) 3 - I 3 = 8x 3 - 1.

5. piemērs. Attēlojiet binomiālu 27a 6 + 8b 3 kā polinomu reizinājumu.

Risinājums. Mums ir: 27a 6 = (2) 3, 8b 3 = (2b) 3. Tas nozīmē, ka dotais binomiāls ir kubu summa, tas ir, tam var piemērot formulu 95), lasot no labās uz kreiso pusi. Tad mēs iegūstam:

27a 6 + 8b 3 = (2) 3 + (2b) 3 = (2 + 2b) ((2) 2 - 2 2b + (2b) 2) = (2 + 2b) (9a 4 - 6a 2 b + 4b 2).

Palīdzība skolēnam tiešsaistē, Matemātika 7. klasei lejupielāde, kalendāra tematiskā plānošana

A. V. Pogorelovs, Ģeometrija 7.-11.klasei, Mācību grāmata izglītības iestādēm

Nodarbības saturs nodarbības izklāsts atbalsta rāmis nodarbības prezentācijas akseleratīvas metodes interaktīvās tehnoloģijas Prakse uzdevumi un vingrinājumi pašpārbaudes darbnīcas, apmācības, gadījumi, uzdevumi mājas uzdevumi diskusijas jautājumi retoriski jautājumi no studentiem Ilustrācijas audio, video klipi un multivide fotogrāfijas, attēli, diagrammas, tabulas, shēmas, humors, joki, joki, komiksi līdzības, teicieni, krustvārdu mīklas, citāti Papildinājumi tēzes raksti mikroshēmas ziņkārīgajiem apkrāptu lapas mācību grāmatas pamata un papildu terminu vārdnīca citi Mācību grāmatu un stundu pilnveidošanakļūdu labojumi apmācībā Inovācijas elementu fragmenta atjaunošana mācību grāmatā mācību stundā novecojušo zināšanu aizstāšana ar jaunām Tikai skolotājiem ideālas nodarbības kalendārais plāns gadam diskusiju programmas metodiskie ieteikumi Integrētas nodarbības

Saīsinātās reizināšanas formulas (ACF) tiek izmantotas skaitļu un izteiksmju paaugstināšanai un reizināšanai. Bieži vien šīs formulas ļauj veikt aprēķinus kompaktākus un ātrākus.

Šajā rakstā mēs uzskaitīsim saīsinātās reizināšanas pamatformulas, sagrupēsim tās tabulā, apsvērsim šo formulu izmantošanas piemērus, kā arī pakavēsimies pie saīsināto reizināšanas formulu pierādīšanas principiem.

Pirmo reizi FSU tēma tiek aplūkota kursa "Algebra" 7. klasei ietvaros. Zemāk ir 7 pamata formulas.

Saīsinātās reizināšanas formulas

1. summas kvadrāta formula: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
2. starpības kvadrāta formula: a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2
3. summas kuba formula: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
4. atšķirības kuba formula: a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
5. kvadrātu atšķirības formula: a 2 - b 2 = a - b a + b
6. kubu summas formula: a 3 + b 3 = a + b a 2 - a b + b 2
7. kubu starpības formula: a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2

Burti a, b, c šajās izteiksmēs var būt jebkuri cipari, mainīgie vai izteiksmes. Lietošanas ērtībai septiņas pamatformulas vislabāk ir iemācīties no galvas. Apkoposim tos tabulā un norādīsim tālāk, apvelkot ar rāmi.

Pirmās četras formulas ļauj aprēķināt attiecīgi divu izteiksmju summas vai starpības kvadrātu vai kubu.

Piektā formula aprēķina izteiksmju kvadrātu starpību ar to summas un starpības reizinājumu.

Sestā un septītā formula ir attiecīgi izteiksmju summas un starpības reizinājums ar starpības nepilno kvadrātu un summas nepilnīgo kvadrātu.

Saīsināto reizināšanas formulu dažreiz sauc arī par saīsinātajām reizināšanas identitātēm. Tas nav pārsteidzoši, jo katra vienlīdzība ir identitāte.

Risinot praktiskos piemērus, bieži tiek izmantotas saīsinātas reizināšanas formulas ar pārkārtotām kreisajām un labajām pusēm. Tas ir īpaši noderīgi, ja notiek polinoma faktorizācija.

Papildu saīsinātās reizināšanas formulas

Mēs neaprobežosimies tikai ar 7. klases kursu algebrā un pievienosim vēl dažas formulas mūsu FSU tabulai.

Pirmkārt, apsveriet Ņūtona binominālo formulu.

a + b n = C n 0 a n + C n 1 a n - 1 b + C n 2 a n - 2 b 2 +. ... + C n n - 1 a b n - 1 + C n n b n

Šeit C n k ir binomiālie koeficienti, kas atrodas paskāla trijstūra n rindā. Binomiālos koeficientus aprēķina pēc formulas:

C n k = n! k! (N - k)! = n (n - 1) (n - 2). ... (n - (k - 1)) k!

Kā redzat, FSE kvadrātam un starpības un summas kubam ir īpašs Ņūtona binominālās formulas gadījums attiecīgi n = 2 un n = 3.

Bet ko darīt, ja summā ir vairāk nekā divi termini, kas jāpaaugstina līdz spēkam? Noderēs trīs, četru vai vairāku terminu summas kvadrāta formula.

a 1 + a 2 +. ... + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 +. ... + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 +. ... + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 +. ... + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n

Vēl viena formula, kas var noderēt, ir divu terminu n-to pakāpju atšķirības formula.

a n - b n = a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 +. ... + a 2 b n - 2 + b n - 1

Šo formulu parasti iedala divās formulās – attiecīgi pāra un nepāra grādiem.

Vienmērīgiem rādītājiem 2m:

a 2 m - b 2 m = a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 +. ... + b 2 m - 2

Nepāra eksponentiem 2m + 1:

a 2 m + 1 - b 2 m + 1 = a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 +. ... + b 2 m

Formulas kvadrātu atšķirībai un kubu atšķirībai, jūs uzminējāt, ir šīs formulas īpašie gadījumi attiecīgi n = 2 un n = 3. Kubu starpībai b arī tiek aizstāts ar - b.

Kā lasīt saīsinātās reizināšanas formulas?

Katrai formulai dosim atbilstošos formulējumus, bet vispirms sapratīsim formulu lasīšanas principu. Ērtākais veids, kā to izdarīt, ir izmantot piemēru. Ņemsim pašu pirmo formulu divu skaitļu summas kvadrātam.

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2.

Viņi saka: divu izteiksmju a un b summas kvadrāts ir vienāds ar pirmās izteiksmes kvadrāta summu, izteiksmju dubulto reizinājumu un otrās izteiksmes kvadrātu.

Visas pārējās formulas tiek lasītas tādā pašā veidā. Kvadrātam starpība a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 mēs rakstām:

starpības kvadrāts starp abām izteiksmēm a un b ir vienāds ar šo izteiksmju kvadrātu summu, no kuras atņemtas pirmās un otrās izteiksmes divkāršs reizinājums.

Izlasiet formulu a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3. Divu izteiksmju a un b summas kubs ir vienāds ar šo izteiksmju kubu summu, kas ir trīs reizes lielāks par pirmās izteiksmes kvadrātu ar otro un trīs reizes ar otrās izteiksmes kvadrātu ar pirmo izteiksmi.

Mēs turpinām nolasīt formulu atšķirībai starp kubiem a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3. Divu izteiksmju a un b starpības kubs ir vienāds ar pirmās izteiksmes kubu mīnus trīs reizes pirmās izteiksmes un otrās izteiksmes kvadrāts, plus trīs reizes otrās izteiksmes un pirmās izteiksmes kvadrāts, atskaitot kubu no otrās izteiksmes.

Piektā formula a 2 - b 2 = a - b a + b (kvadrātu starpība) skan šādi: divu izteiksmju kvadrātu starpība ir vienāda ar starpības un abu izteiksmju summas reizinājumu.

Ērtības labad tādas izteiksmes kā a 2 + a b + b 2 un a 2 - a b + b 2 attiecīgi sauc par summas nepilno kvadrātu un starpības nepilno kvadrātu.

Paturot to prātā, kubu summas un starpības formulas būs šādas:

Divu izteiksmju kubu summa ir vienāda ar šo izteiksmju summas reizinājumu ar to starpības nepilno kvadrātu.

Atšķirība starp divu izteiksmju kubiem ir vienāda ar šo izteiksmju starpības un to summas nepilnā kvadrāta reizinājumu.

FSO pierādījums

Ir diezgan viegli pierādīt FSO. Pamatojoties uz reizināšanas īpašībām, mēs reizinām iekavās esošās formulu daļas.

Piemēram, apsveriet starpības kvadrāta formulu.

a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2.

Lai izteiksmi paaugstinātu līdz otrajai pakāpei, šī izteiksme ir jāreizina ar sevi.

a - b 2 = a - b a - b.

Paplašināsim iekavas:

a - b a - b = a 2 - a b - b a + b 2 = a 2 - 2 a b + b 2.

Formula ir pierādīta. Pārējie FSO tiek pierādīti līdzīgi.

FSU pielietojuma piemēri

Saīsināto reizināšanas formulu izmantošanas mērķis ir ātri un kodolīgi reizināt un eksponēt izteiksmes. Tomēr tā nav visa FSO darbības joma. Tos plaši izmanto izteiksmju saīsināšanai, daļskaitļu samazināšanai, polinomu faktorinēšanai. Šeit ir daži piemēri.

Piemērs 1. FSO

Vienkāršojiet izteiksmi 9 y - (1 + 3 y) 2.

Mēs izmantojam kvadrātu summas formulu un iegūstam:

9 g - (1 + 3 g) 2 = 9 g - (1 + 6 g + 9 g 2) = 9 g - 1 - 6 g - 9 g 2 = 3 g - 1 - 9 g 2

2. piemērs. FSO

Samaziniet daļu 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4.

Ņemiet vērā, ka izteiksme skaitītājā ir atšķirība starp kubiem, un saucējs ir kvadrātu atšķirība.

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z.

Mēs saīsinām un iegūstam:

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

FSO palīdz arī aprēķināt izteiksmju vērtības. Galvenais ir prast pamanīt, kur piemērot formulu. Parādīsim to ar piemēru.

Apvienosim kvadrātā skaitli 79. Apgrūtinošu aprēķinu vietā mēs rakstām:

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

Šķiet, ka sarežģīts aprēķins tika veikts ātri, izmantojot tikai saīsinātās reizināšanas formulas un reizināšanas tabulu.

Vēl viens svarīgs punkts ir binoma kvadrāta izvēle. Izteicienu 4 x 2 + 4 x - 3 var pārvērst par 2 x 2 + 2 · 2 · x · 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4. Šādas transformācijas tiek plaši izmantotas integrācijā.

Ja tekstā pamanāt kļūdu, lūdzu, atlasiet to un nospiediet Ctrl + Enter

Praksē ļoti bieži tiek izmantotas saīsinātās izteiksmes formulas, tāpēc vēlams tās visas apgūt no galvas. Līdz šim tas mums uzticīgi kalpos, ko iesakām drukāt un visu laiku turēt acu priekšā:

Pirmās četras formulas no apkopotās saīsināto reizināšanas formulu tabulas ļauj kvadrātā un kubā divu izteiksmju summu vai starpību. Piektais ir paredzēts īsai starpības un divu izteiksmju summas reizināšanai. Un sestā un septītā formula tiek izmantota, lai reizinātu divu izteiksmju a un b summu ar to nepilnīgo starpības kvadrātu (tas ir izteiksmes nosaukums formā a 2 - ab + b 2) un divu izteiksmju starpību. a un b attiecīgi ar to summas nepilno kvadrātu (a 2 + a b + b 2).

Atsevišķi jāatzīmē, ka katra vienādība tabulā ir identitāte. Tas izskaidro, kāpēc saīsinātās reizināšanas formulas sauc arī par saīsinātajām reizināšanas identitātēm.

Risinot piemērus, īpaši, ja notiek polinoma faktorizācija, FSO bieži tiek izmantots formā ar pārkārtotām kreisajām un labajām pusēm:

Pēdējām trim identitātēm tabulā ir savi nosaukumi. Tiek izsaukta formula a 2 - b 2 = (a - b) (a + b). pēc kvadrātu starpības formulas, a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 −a b + b 2) - kubu summas formula, a a 3 −b 3 = (a − b) (a 2 + a b + b 2) - kubu atšķirības formula... Lūdzu, ņemiet vērā, ka mēs nenosaucām FSU attiecīgajām formulām ar pārkārtotām daļām no iepriekšējās tabulas.

Papildu formulas

Saīsināto reizināšanas formulu tabulai nav par ļaunu pievienot vēl dažas identitātes.

Saīsināto reizināšanas formulu (FSU) pielietošanas jomas un piemēri

Saīsināto reizināšanas formulu (fsu) galvenais mērķis ir izskaidrots ar to nosaukumu, tas ir, tas sastāv no īsas izteiksmes reizināšanas. Tomēr FSU darbības joma ir daudz plašāka un neaprobežojas tikai ar īsu reizināšanu. Uzskaitīsim galvenos virzienus.

Neapšaubāmi, saīsinātās reizināšanas formulas centrālais pielietojums tika atrasts identisku izteiksmju pārveidojumu veikšanā. Visbiežāk šīs formulas tiek izmantotas procesā izteicienu vienkāršošana.

Piemērs.

Vienkāršojiet izteiksmi 9 y− (1 + 3 y) 2.

Risinājums.

Šajā izteiksmē kvadrātošanu var veikt saīsinātā formā, mēs to darām 9 g− (1 + 3 g) 2 = 9 g− (1 2 + 2 13 g + (3 g) 2)... Atliek tikai atvērt iekavas un pievienot līdzīgus terminus: 9 g− (1 2 + 2 1 3 g + (3 g) 2) = 9 g – 1–6 g – 9 y 2 = 3 g – 1–9 y 2.

Skaitītājā izteiksme ir starpība starp abu izteiksmju kubiem 2 x un z 2, bet saucējā - starpība starp šo izteiksmju kvadrātiem. Pēc atbilstošo formulu piemērošanas sākotnējā daļa iegūs formu ... Tagad jūs varat atcelt tos pašus faktorus skaitītājā un saucējā:.

Īsi apkoposim visu risinājumu:

Atbilde:

.

Saīsinātās reizināšanas formulas dažreiz ļauj racionāli novērtēt izteiksmju vērtības. Piemēram, parādīsim, kā skaitli 79 var kvadrātā, izmantojot kvadrātveida atšķirības formulu: 79 2 = (80-1) 2 = 80 2 -2 80 1 + 1 2 = 6 400-160 + 1 = 6 241. Šī pieeja ļauj veikt šādus aprēķinus pat mutiski.

Nobeigumā teiksim vēl vienu svarīgu transformāciju - binoma kvadrāta izvēle, kuras pamatā ir formula saīsinātai reizināšanai ar summas kvadrātu. Piemēram, 4 x 2 + 4 x − 3 var pārvērst par (2 x) 2 + 2 2 x 1 + 1 2 −4, un pirmie trīs vārdi tiek aizstāti, izmantojot summas formulas kvadrātu. Tātad izteiksme iegūst formu (2 x + 1) 2 −4. Šādas pārvērtības tiek plaši izmantotas, piemēram, priekš.

Bibliogrāfija.

• Algebra: pētījums. par 7 cl. vispārējā izglītība. iestādes / [Yu. N. Makaričevs, N. G. Mindjuks, K. I. Neškovs, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teļakovskis. - 17. izd. - M.: Izglītība, 2008 .-- 240 lpp. : slim. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• A. G. Mordkovičs Algebra. 7. klase. Plkst.14 1. daļa. Mācību grāmata izglītības iestāžu audzēkņiem / A. G. Mordkovičs. - 13. izd., Rev. - M .: Mnemozina, 2009 .-- 160 lpp.: Ill. ISBN 978-5-346-01198-9.
• Gusevs V.A., Mordkovičs A.G. Matemātika (rokasgrāmata tehnikumu reflektantiem): Mācību grāmata. rokasgrāmata - M .; Augstāks. shk., 1984.-351 lpp., ill.

Saīsinātās reizināšanas formulas. Treniņš.

Mēģiniet aprēķināt šādas izteiksmes šādā veidā:

Atbildes:

Vai arī, ja zināt pamata divciparu skaitļu kvadrātus, atcerieties, cik to būs? Atcerējās? ... labi! Tā kā mēs sadalām kvadrātā, mums ir jāreizina ar. Izrādās, ka.

Atcerieties, ka summas kvadrāta un starpības kvadrāta formulas ir derīgas ne tikai skaitliskām izteiksmēm:

Aprēķiniet šādas izteiksmes pats:

Atbildes:

Saīsinātās reizināšanas formulas. Apakšējā līnija.

Apkoposim un vienā rindā ierakstīsim formulas summas un starpības kvadrātam:

Tagad trenēsimies formulas “savākšanu” no paplašinātā skata uz skatu. Šī prasme mums būs nepieciešama vēlāk, pārveidojot lielas izteiksmes.

Pieņemsim, ka mums ir šāda izteiksme:

Mēs zinām, ka summas (vai starpības) kvadrāts ir viena skaitļa kvadrāts cita skaitļa kvadrāts un divreiz vairāk nekā šo skaitļu reizinājums.

Šajā uzdevumā ir viegli saskatīt viena skaitļa kvadrātu - šo. Attiecīgi viens no skaitļiem iekavās ir kvadrātsakne no, tas ir

Tā kā ir otrais termins, tas nozīmē, ka tas ir attiecīgi viena un otra skaitļa dubultprodukts:

Kur ir mūsu iekavās iekļautais otrais cipars.

Otrais cipars iekavās ir.

Pārbaudīsim. jābūt vienādam. Patiešām, tā ir, kas nozīmē, ka mēs atradām abus skaitļus iekavās: un. Atliek noteikt zīmi, kas atrodas starp tām. Kā jūs domājat, kāda zīme tur būs?

Taisnība! Kopš mēs pievienot dubultots produkts, tad starp cipariem būs pievienošanas zīme. Tagad pierakstiet pārveidoto izteiksmi. Vai jums izdevās? Jums vajadzētu būt kaut kam šādam:

Piezīme: terminu vietu maiņa neietekmē rezultātu (nav svarīgi, vai saskaitīšana vai atņemšana ir starp un).

Nemaz nav nepieciešams, lai termini pārveidotajā izteiksmē būtu tādi, kā rakstīts formulā. Apskatiet šo izteicienu:. Mēģiniet to pārveidot pats. Vai notika?

Praktizējiet to - pārveidojiet šādas izteiksmes:

Atbildes: Vai jums izdevās? Labosim tēmu. Izvēlieties no zemāk esošajām izteiksmēm tās, kuras var attēlot kā summas vai starpības kvadrātu.

1. - pierādīt, ka tas ir līdzvērtīgs.

1. - nevar attēlot kā kvadrātu; varētu iedomāties, ja tā vietā būtu.

Kvadrātu atšķirība

Vēl viena saīsinātās reizināšanas formula ir kvadrātu atšķirība.

Kvadrātu starpība nav atšķirības kvadrāts!

Atšķirība starp divu skaitļu kvadrātiem ir vienāda ar šo skaitļu summas reizinājumu ar to starpību:

Pārbaudīsim, vai šī formula ir pareiza. Lai to izdarītu, mēs reizinām, kā to darījām, atvasinot formulas summas un starpības kvadrātam:

Tādējādi mēs tikko pārbaudījām, vai formula patiešām ir pareiza. Šī formula arī vienkāršo sarežģītas skaitļošanas darbības. Sniegsim piemēru:

Jums jāaprēķina:. Protams, mēs varam kvadrātā, pēc tam kvadrātā un atņemt vienu no otra, taču formula mums atvieglo darbu:

Vai notika? Pārbaudīsim rezultātus:

Tāpat kā summas (starpības) kvadrātu, arī kvadrātu starpības formulu var izmantot ne tikai ar skaitļiem:

Spēja sadalīt kvadrātu starpību palīdzēs mums pārveidot sarežģītas matemātiskas izteiksmes.

Pievērs uzmanību:

Tā kā, noliekot kvadrātā pareizās izteiksmes starpību, mēs iegūstam

Esiet piesardzīgs un noskaidrojiet, kurš konkrētais termins tiek likts kvadrātā! Lai pastiprinātu tēmu, pārveidojiet šādus izteicienus:

Vai tu to pierakstīji? Salīdzināsim iegūtās izteiksmes:

Tagad, kad esat apguvis summas kvadrātu un starpības kvadrātu, kā arī kvadrātu starpību, mēģināsim atrisināt piemērus šo trīs formulu kombinācijai.

Elementāro izteiksmju pārveidošana (summas kvadrāts, starpības kvadrāts, kvadrātu atšķirība)

Pieņemsim, ka mums ir dots piemērs

Šis izteiciens ir jāvienkāršo. Paskatieties uzmanīgi, ko jūs redzat skaitītājā? Tieši tā, skaitītājs ir ideāls kvadrāts:

Vienkāršojot izteiksmi, atcerieties, ka norāde, kādā virzienā jāpārvietojas vienkāršošanā, atrodas saucējā (vai skaitītājā). Mūsu gadījumā, kad saucējs ir paplašināts un neko citu nevar izdarīt, mēs varam saprast, ka skaitītājs būs vai nu summas kvadrāts, vai starpības kvadrāts. Pievienojot, kļūst skaidrs, ka skaitītājs ir summas kvadrāts.

Mēģiniet pats pārveidot šādus izteicienus:

Vai notika? Salīdzinām atbildes un dodamies tālāk!

Summas kubs un starpības kubs

Formulas summas kubs un starpības kubs tiek parādītas tāpat kā summas kvadrāts un starpība kvadrātā: atverot iekavas, reizinot vienumus ar otru.

Ja summas kvadrātu un starpības kvadrātu ir ļoti viegli atcerēties, tad rodas jautājums "kā atcerēties kubus?"

Rūpīgi apskatiet divas aprakstītās formulas, salīdzinot ar līdzīgu terminu kvadrātu:

Kādu modeli tu redzi?

1. Kad tas ir uzcelts kvadrāts mums ir kvadrāts pirmais numurs un kvadrāts otrais; kad uzcelts kubā - ir kubs viens numurs un kubs cits numurs.

2. Kad uzcelts iekšā kvadrāts, mums ir dubultojies skaitļu reizinājums (skaitļi 1 grādos, kas ir par grādu mazāks par to, līdz kuram mēs paaugstinām izteiksmi); kad uzcelts kubs - trīskāršs reizinājums, kurā viens no skaitļiem ir kvadrātā (kas arī ir par 1 pakāpju mazāks par jaudu, līdz kurai mēs paaugstinām izteiksmi).

3. Kvadrājot, izvērstajā izteiksmē iekavās esošā zīme tiek atspoguļota, saskaitot (vai atņemot) dubultotu reizinājumu - ja saskaitīšana ir iekavās, tad saskaitām, ja atņemam, tad atņemam; veidojot kubu, noteikums ir: ja mums ir summas kubs, tad visas zīmes ir "+", un, ja kubs ir atšķirība, tad zīmes mainās: "" - "" - "" - "".

Viss iepriekš minētais, izņemot grādu atkarību, reizinot vārdus, ir parādīts attēlā.

Trenējamies? Izvērsiet iekavas šādās izteiksmēs:

Salīdziniet iegūtās izteiksmes:

Kubu starpība un summa

Apsveriet pēdējo formulu pāri, starpību un kubu summu.

Kā mēs atceramies, kvadrātu starpībā mums ir starpības un šo skaitļu summas reizinājums viens ar otru. Arī kubu starpībai un kubu summai ir divas iekavas:

1 iekava - skaitļu starpība (vai summa) pirmajā pakāpē (atkarībā no tā, vai atklājam starpību vai kubu summu);

2 iekava - nepilns kvadrāts (paskatieties tuvāk: ja mēs atņemtu (vai pievienotu) skaitļu dubultreizinājumu, būtu kvadrāts), zīme, reizinot skaitļus, ir pretēja sākotnējās izteiksmes zīmei.

Lai labotu tēmu, atrisināsim dažus piemērus:

Salīdziniet iegūtās izteiksmes:

Treniņš

Atbildes:

Apkoposim:

Ir 7 saīsinātas reizināšanas formulas:

PAPILDINĀJUMS

Saīsinātās reizināšanas formulas ir formulas, kuras zinot, jūs varat izvairīties no dažu standarta darbību veikšanas, vienkāršojot izteiksmes vai faktorējot polinomus. Saīsinātās reizināšanas formulas jāzina no galvas!

1. Summa kvadrātā divas izteiksmes ir vienādas ar pirmās izteiksmes kvadrātu plus divkāršs pirmās izteiksmes reizinājums ar otro plus otrās izteiksmes kvadrāts:
2. Starpība kvadrātā divas izteiksmes ir vienādas ar pirmās izteiksmes kvadrātu mīnus divreiz pirmās izteiksmes reizinājums ar otro plus otrās izteiksmes kvadrāts:
3. Kvadrātu atšķirība divas izteiksmes ir vienādas ar šo izteiksmju un to summas starpības reizinājumu:
4. Summas kubs no divām izteiksmēm ir vienāds ar pirmās izteiksmes kubu plus trīs reizes pirmās izteiksmes kvadrātu un otro plus trīs reizes pirmās izteiksmes reizinājumu un otrās izteiksmes kvadrātu plus otrās izteiksmes kubu:
5. Atšķirības kubs no divām izteiksmēm ir vienāds ar pirmās izteiksmes kubu, no kura atņemtas pirmās izteiksmes kvadrāta trīskāršais reizinājums ar otro plus trīskāršs pirmās izteiksmes reizinājums ar otrās izteiksmes kvadrātu mīnus otrās izteiksmes kubs:
6. Kubu summa divas izteiksmes ir vienādas ar pirmās un otrās izteiksmes summas reizinājumu ar šo izteiksmju starpības nepilno kvadrātu:
7. Kubu atšķirība divas izteiksmes ir vienādas ar pirmās un otrās izteiksmes starpības reizinājumu ar šo izteiksmju summas nepilno kvadrātu:

Tagad pierādīsim visas šīs formulas.

Saīsinātās reizināšanas formulas. Pierādījums.

1. .
Izteiksmes kvadrātā nozīmē tās reizināšanu ar sevi:
.

Atvērsim iekavas un dosim līdzīgas:

2. .
Mēs rīkojamies tāpat: reizinām starpību ar sevi, atveram iekavas un dodam līdzīgas:
.

3. .
Ņemsim izteiksmi labajā pusē un izvērsim iekavas:
.

4. .
Skaitli kubā var attēlot, šo skaitli reizinot ar kvadrātu:

Tāpat:

Kubu starpībā zīmes mijas.

6. .

.

7. .
Izvērsīsim iekavas labajā pusē:
.

Saīsināto reizināšanas formulu pielietojums, risinot piemērus

1. piemērs:

Atrodiet izteicienu nozīmi:

Risinājums:

1. Mēs izmantojam formulu summas kvadrātam:.
2. Mēs attēlojam šo skaitli kā starpību un izmantojam starpības kvadrāta formulu:.

2. piemērs:

Atrodiet izteiciena nozīmi:.

Risinājums:

Izmantojot formulu atšķirībai starp divu izteiksmju kvadrātiem, mēs iegūstam:

3. piemērs:

Vienkāršojiet izteicienu:

Risinājums divos veidos:

Izmantosim formulas summas kvadrātu un starpības kvadrātu:

II metode.

Izmantosim formulu, lai noteiktu atšķirību starp divu izteiksmju kvadrātiem:

TAGAD TAVS VĀRDS...

Esmu pastāstījis visu, ko zinu par saīsinātajām reizināšanas formulām.

Pastāsti man tagad, vai tu tos izmantosi? Ja nē, kāpēc ne?

Kā jums patīk šis raksts?

Varbūt jums ir jautājumi. Vai ieteikumi.

Raksti komentāros. Mēs lasām visus komentārus un atbildam uz visiem.

Un veiksmi eksāmenos!

Iepriekšējā nodarbībā mēs izdomājām faktoringu. Mēs apguvām divas metodes: kopīgā faktora izņemšanu no iekavām un grupēšanu. Šajā apmācībā nākamais efektīvais veids ir: saīsinātās reizināšanas formulas... Īsāk sakot - FSU.

Saīsinātās reizināšanas formulas (summas un starpības kvadrāts, summas un starpības kubs, kvadrātu starpība, kubu summa un starpība) ir būtiskas visās matemātikas nozarēs. Tos izmanto izteiksmju vienkāršošanā, vienādojumu risināšanā, polinomu reizināšanā, daļskaitļu atcelšanā, integrāļu risināšanā utt. utt. Īsāk sakot, ir viss iemesls, lai ar tiem tiktu galā. Saprast, no kurienes tie nāk, kāpēc tie ir vajadzīgi, kā tos atcerēties un kā tos pielietot.

Saprašana?)

No kurienes nāk saīsinātās reizināšanas formulas?

Vienādības 6 un 7 nav uzrakstītas ļoti pazīstamā veidā. It kā otrādi. Tas ir ar nolūku.) Jebkura vienlīdzība darbojas gan no kreisās uz labo, gan no labās uz kreiso pusi. Šādā ierakstā skaidrāk ir redzams, no kurienes nāk FSO.

Tie rodas reizināšanas rezultātā.) Piemēram:

(a + b) 2 = (a + b) (a + b) = a 2 + ab + ba + b 2 = a 2 + 2ab + b 2

Tas arī viss, nekādu zinātnisku triku. Mēs vienkārši reizinām iekavas un dodam līdzīgas. Tātad izrādās visas saīsinātās reizināšanas formulas. Saīsināts reizināšana ir tāpēc, ka pašās formulās nav iekavu reizināšanas un līdzīgu metienu. Saīsināti.) Rezultāts tiek dots uzreiz.

FSO ir jāzina no galvas. Bez pirmajiem trijiem nevar sapņot par trijnieku, bez pārējiem - par četrinieku un A.)

Kāpēc mums ir vajadzīgas saīsinātas reizināšanas formulas?

Ir divi iemesli mācīties, pat lai iegaumētu šīs formulas. Pirmais ir tas, ka gatava atbilde mašīnā krasi samazina kļūdu skaitu. Bet tas nav galvenais iemesls. Bet otrais...

Ja jums patīk šī vietne...

Starp citu, man jums ir vēl dažas interesantas vietnes.)

Jūs varat praktizēt piemēru risināšanu un uzzināt savu līmeni. Tūlītēja apstiprināšanas pārbaude. Mācīšanās - ar interesi!)

var iepazīties ar funkcijām un atvasinājumiem.