Īsas reizināšanas formulas. Saīsinātās reizināšanas formulas - zināšanu hipermārkets

Viena no pirmajām algebras kursā apgūtajām tēmām ir saīsinātās reizināšanas formulas. 7. klasē tos izmanto visvienkāršākajās situācijās, kad izteiksmē jāatpazīst viena no formulām un jāveic polinoma faktorizācija vai, gluži otrādi, ātri jāpalielina summa vai starpība līdz kvadrātam vai kubam. Nākotnē FSU izmantos, lai ātri atrisinātu nevienādības un vienādojumus un pat aprēķinātu dažas skaitliskās izteiksmes bez kalkulatora.

Kā izskatās formulu saraksts

Ir 7 pamatformulas, kas ļauj ātri reizināt iekavās esošos polinomus.

Dažreiz šajā sarakstā ir iekļauts arī ceturtās pakāpes paplašinājums, kas izriet no uzrādītajām identitātēm un ir šāds:

a⁴ - b⁴ = (a - b) (a + b) (a² + b²).

Visām vienādībām ir pāris (summa - starpība), izņemot kvadrātu starpību. Kvadrātu summai formula nav dota.

Pārējās vienādības ir viegli atcerēties.:

Jāatceras, ka FSO strādā jebkurā gadījumā un jebkurām vērtībām a un b: tie var būt patvaļīgi skaitļi vai veselas izteiksmes.

Situācijā, ja pēkšņi nevarat atcerēties, kāda zīme ir formulā viena vai otra termina priekšā, varat atvērt iekavas un iegūt tādu pašu rezultātu kā pēc formulas izmantošanas. Piemēram, ja radās problēma, piemērojot starpības kuba FSO, jums ir jāpieraksta sākotnējā izteiksme un veikt reizināšanu pēc kārtas:

(a - b) ³ = (a - b) (a - b) (a - b) = (a² - ab - ab + b²) (a - b) = a³ - a²b - a²b + ab² - a²b + ab² + ab² — b³ = a³ — 3a²b + 3ab² — b³.

Rezultātā pēc visu līdzīgo terminu samazināšanas tika iegūts tāds pats polinoms kā tabulā. Tādas pašas manipulācijas var veikt ar visiem citiem FSO.

FSO pielietojums vienādojumu risināšanai

Piemēram, jums ir jāatrisina vienādojums, kas satur 3. pakāpes polinoms:

x³ + 3x² + 3x + 1 = 0.

Skolas mācību programmā nav ņemtas vērā universālas metodes kubisko vienādojumu risināšanai, un šādus uzdevumus visbiežāk risina ar vienkāršākām metodēm (piemēram, faktorizēšanu). Ja pamanāt, ka identitātes kreisā puse atgādina summas kubu, tad vienādojumu var uzrakstīt vienkāršāk:

(x + 1) ³ = 0.

Šāda vienādojuma sakni aprēķina mutiski: x = -1.

Līdzīgi tiek risinātas arī nevienlīdzības. Piemēram, mēs varam atrisināt nevienlīdzību x³ - 6x² + 9x> 0.

Pirmais solis ir izteiksmes faktorēšana. Vispirms jums ir jāizņem kronšteini x... Pēc tam jāņem vērā, ka izteiksmi iekavās var pārvērst starpības kvadrātā.

Pēc tam jāatrod punkti, kuros izteiksme iegūst nulles vērtības, un jāatzīmē tie skaitļu rindā. Konkrētā gadījumā tie būs 0 un 3. Pēc tam, izmantojot intervālu metodi, nosaka, kuros intervālos x atbildīs nevienlīdzības nosacījumam.

FSO var būt noderīgi, veicot daži aprēķini bez kalkulatora palīdzības:

703²–203² = (703 + 203) (703–203) = 906 ∙ 500 = 453 000.

Turklāt, faktorējot izteiksmes, jūs varat viegli veikt dažādu algebrisko izteiksmju daļu atcelšanu un vienkāršošanu.

Uzdevumu piemēri 7.-8.klasei

Noslēgumā mēs analizēsim un atrisināsim divas problēmas par saīsinātās reizināšanas formulu piemērošanu algebrā.

1. uzdevums. Vienkāršojiet izteiksmi:

(m + 3) ² + (3m + 1) (3m - 1) - 2m (5m + 3).

Risinājums. Uzdevuma nosacījumā ir jāvienkāršo izteiksme, tas ir, jāatver iekavas, jāveic reizināšanas un kāpināšanas darbības, kā arī jāienes visi šādi termini. Nosacīti sadalīsim izteiksmi trīs daļās (atbilstoši terminu skaitam) un atveram iekavas pa vienai, kur iespējams, pielietojot FSO.

• (m + 3) ² = m² + 6 m + 9(summas kvadrāts);
• (3m + 1) (3m - 1) = 9m² - 1(kvadrātu starpība);
• Pēdējā termiņā reizināšana jāveic: 2 m (5 m + 3) = 10 m² + 6 m.

Aizstāsim iegūtos rezultātus sākotnējā izteiksmē:

(m² + 6m + 9) + (9m² - 1) - (10m² + 6m).

Ņemot vērā zīmes, mēs atvērsim iekavas un dosim līdzīgus terminus:

m² + 6m + 9 + 9m² 1 - 10m² - 6m = 8.

2. uzdevums. Atrisiniet vienādojumu, kas satur nezināmo k līdz 5. pakāpei:

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ - 4k² - 4k = k³.

Risinājums. Šajā gadījumā ir jāizmanto FSO un grupēšanas metode. Pēdējais un priekšpēdējais termins ir jāpārceļ uz identitātes labo pusi.

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ = k³ + 4k² + 4k.

Kopējais faktors tiek izņemts no labās un kreisās puses (k² + 4k +4):

k³ (k² + 4k + 4) = k (k² + 4k + 4).

Viss tiek pārsūtīts uz vienādojuma kreiso pusi tā, lai 0 paliktu labajā pusē:

k³ (k² + 4k + 4) - k (k² + 4k + 4) = 0.

Atkal, jums ir jāizņem kopīgais faktors:

(k³ - k) (k² + 4k + 4) = 0.

No pirmā iegūtā faktora jūs varat ņemt k... Saskaņā ar īsās reizināšanas formulu otrais koeficients būs vienāds ar (k + 2) ²:

k (k² - 1) (k + 2) ² = 0.

Izmantojot kvadrātu starpības formulu:

k (k - 1) (k + 1) (k + 2) ² = 0.

Tā kā reizinājums ir vienāds ar 0, ja vismaz viens no tā faktoriem ir nulle, nebūs grūti atrast visas vienādojuma saknes:

1. k = 0;
2. k - 1 = 0; k = 1;
3. k + 1 = 0; k = -1;
4. (k + 2)² = 0; k = -2.

Balstoties uz ilustratīviem piemēriem, jūs varat saprast, kā atcerēties formulas, to atšķirības, kā arī atrisināt vairākas praktiskas problēmas, izmantojot FSU. Uzdevumi ir vienkārši, un to izpildei nevajadzētu būt grūtībām.

Saīsinātās reizināšanas formulas (ACF) tiek izmantotas skaitļu un izteiksmju paaugstināšanai un reizināšanai. Bieži vien šīs formulas ļauj veikt aprēķinus kompaktākus un ātrākus.

Šajā rakstā mēs uzskaitīsim saīsinātās reizināšanas pamatformulas, sagrupēsim tās tabulā, apsvērsim šo formulu izmantošanas piemērus, kā arī pakavēsimies pie saīsināto reizināšanas formulu pierādīšanas principiem.

Pirmo reizi FSU tēma tiek aplūkota kursa "Algebra" 7. klasei ietvaros. Zemāk ir 7 pamata formulas.

Saīsinātās reizināšanas formulas

1. summas kvadrāta formula: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
2. starpības kvadrāta formula: a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2
3. summas kuba formula: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
4. atšķirības kuba formula: a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
5. kvadrātu atšķirības formula: a 2 - b 2 = a - b a + b
6. kubu summas formula: a 3 + b 3 = a + b a 2 - a b + b 2
7. kubu starpības formula: a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2

Burti a, b, c šajās izteiksmēs var būt jebkuri cipari, mainīgie vai izteiksmes. Lietošanas ērtībai septiņas pamatformulas vislabāk ir iemācīties no galvas. Apkoposim tos tabulā un norādīsim tālāk, apvelkot ar rāmi.

Pirmās četras formulas ļauj aprēķināt attiecīgi divu izteiksmju summas vai starpības kvadrātu vai kubu.

Piektā formula aprēķina izteiksmju kvadrātu starpību ar to summas un starpības reizinājumu.

Sestā un septītā formula ir attiecīgi izteiksmju summas un starpības reizinājums ar starpības nepilno kvadrātu un summas nepilnīgo kvadrātu.

Saīsināto reizināšanas formulu dažreiz sauc arī par saīsinātajām reizināšanas identitātēm. Tas nav pārsteidzoši, jo katra vienlīdzība ir identitāte.

Risinot praktiskos piemērus, bieži tiek izmantotas saīsinātas reizināšanas formulas ar pārkārtotām kreisajām un labajām pusēm. Tas ir īpaši noderīgi, ja notiek polinoma faktorizācija.

Papildu saīsinātās reizināšanas formulas

Mēs neaprobežosimies tikai ar 7. klases kursu algebrā un pievienosim vēl dažas formulas mūsu FSU tabulai.

Pirmkārt, apsveriet Ņūtona binominālo formulu.

a + b n = C n 0 a n + C n 1 a n - 1 b + C n 2 a n - 2 b 2 +. ... + C n n - 1 a b n - 1 + C n n b n

Šeit C n k ir binomiālie koeficienti, kas atrodas paskāla trijstūra n rindā. Binomiālos koeficientus aprēķina pēc formulas:

C n k = n! k! (N - k)! = n (n - 1) (n - 2). ... (n - (k - 1)) k!

Kā redzat, FSE kvadrātam un starpības un summas kubam ir īpašs Ņūtona binominālās formulas gadījums attiecīgi n = 2 un n = 3.

Bet ko darīt, ja summā ir vairāk nekā divi termini, kas jāpaaugstina līdz spēkam? Noderēs trīs, četru vai vairāku terminu summas kvadrāta formula.

a 1 + a 2 +. ... + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 +. ... + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 +. ... + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 +. ... + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n

Vēl viena formula, kas var noderēt, ir divu terminu n-to pakāpju atšķirības formula.

a n - b n = a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 +. ... + a 2 b n - 2 + b n - 1

Šo formulu parasti iedala divās formulās – attiecīgi pāra un nepāra grādiem.

Vienmērīgiem rādītājiem 2m:

a 2 m - b 2 m = a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 +. ... + b 2 m - 2

Nepāra eksponentiem 2m + 1:

a 2 m + 1 - b 2 m + 1 = a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 +. ... + b 2 m

Formulas kvadrātu atšķirībai un kubu atšķirībai, jūs uzminējāt, ir šīs formulas īpašie gadījumi attiecīgi n = 2 un n = 3. Kubu starpībai b arī tiek aizstāts ar - b.

Kā lasīt saīsinātās reizināšanas formulas?

Katrai formulai dosim atbilstošos formulējumus, bet vispirms sapratīsim formulu lasīšanas principu. Ērtākais veids, kā to izdarīt, ir izmantot piemēru. Ņemsim pašu pirmo formulu divu skaitļu summas kvadrātam.

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2.

Viņi saka: divu izteiksmju a un b summas kvadrāts ir vienāds ar pirmās izteiksmes kvadrāta summu, izteiksmju dubulto reizinājumu un otrās izteiksmes kvadrātu.

Visas pārējās formulas tiek lasītas tādā pašā veidā. Kvadrātam starpība a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 mēs rakstām:

starpības kvadrāts starp abām izteiksmēm a un b ir vienāds ar šo izteiksmju kvadrātu summu, no kuras atņemtas pirmās un otrās izteiksmes divkāršs reizinājums.

Izlasiet formulu a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3. Divu izteiksmju a un b summas kubs ir vienāds ar šo izteiksmju kubu summu, kas ir trīs reizes lielāks par pirmās izteiksmes kvadrātu ar otro un trīs reizes ar otrās izteiksmes kvadrātu ar pirmo izteiksmi.

Mēs turpinām nolasīt formulu atšķirībai starp kubiem a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3. Divu izteiksmju a un b starpības kubs ir vienāds ar pirmās izteiksmes kubu mīnus trīs reizes pirmās izteiksmes un otrās izteiksmes kvadrāts, plus trīs reizes otrās izteiksmes un pirmās izteiksmes kvadrāts, atskaitot kubu no otrās izteiksmes.

Piektā formula a 2 - b 2 = a - b a + b (kvadrātu starpība) skan šādi: divu izteiksmju kvadrātu starpība ir vienāda ar starpības un abu izteiksmju summas reizinājumu.

Ērtības labad tādas izteiksmes kā a 2 + a b + b 2 un a 2 - a b + b 2 attiecīgi sauc par summas nepilno kvadrātu un starpības nepilno kvadrātu.

Paturot to prātā, kubu summas un starpības formulas būs šādas:

Divu izteiksmju kubu summa ir vienāda ar šo izteiksmju summas reizinājumu ar to starpības nepilno kvadrātu.

Atšķirība starp divu izteiksmju kubiem ir vienāda ar šo izteiksmju starpības un to summas nepilnā kvadrāta reizinājumu.

FSO pierādījums

Ir diezgan viegli pierādīt FSO. Pamatojoties uz reizināšanas īpašībām, mēs reizinām iekavās esošās formulu daļas.

Piemēram, apsveriet starpības kvadrāta formulu.

a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2.

Lai izteiksmi paaugstinātu līdz otrajai pakāpei, šī izteiksme ir jāreizina ar sevi.

a - b 2 = a - b a - b.

Paplašināsim iekavas:

a - b a - b = a 2 - a b - b a + b 2 = a 2 - 2 a b + b 2.

Formula ir pierādīta. Pārējie FSO tiek pierādīti līdzīgi.

FSU pielietojuma piemēri

Saīsināto reizināšanas formulu izmantošanas mērķis ir ātri un kodolīgi reizināt un eksponēt izteiksmes. Tomēr tā nav visa FSO darbības joma. Tos plaši izmanto izteiksmju saīsināšanai, daļskaitļu samazināšanai, polinomu faktorinēšanai. Šeit ir daži piemēri.

Piemērs 1. FSO

Vienkāršojiet izteiksmi 9 y - (1 + 3 y) 2.

Mēs izmantojam kvadrātu summas formulu un iegūstam:

9 g - (1 + 3 g) 2 = 9 g - (1 + 6 g + 9 g 2) = 9 g - 1 - 6 g - 9 g 2 = 3 g - 1 - 9 g 2

2. piemērs. FSO

Samaziniet daļu 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4.

Ņemiet vērā, ka izteiksme skaitītājā ir atšķirība starp kubiem, un saucējs ir kvadrātu atšķirība.

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z.

Mēs saīsinām un iegūstam:

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

FSO palīdz arī aprēķināt izteiksmju vērtības. Galvenais ir prast pamanīt, kur piemērot formulu. Parādīsim to ar piemēru.

Apvienosim kvadrātā skaitli 79. Apgrūtinošu aprēķinu vietā mēs rakstām:

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

Šķiet, ka sarežģīts aprēķins tika veikts ātri, izmantojot tikai saīsinātās reizināšanas formulas un reizināšanas tabulu.

Vēl viens svarīgs punkts ir binoma kvadrāta izvēle. Izteicienu 4 x 2 + 4 x - 3 var pārvērst par 2 x 2 + 2 · 2 · x · 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4. Šādas transformācijas tiek plaši izmantotas integrācijā.

Ja tekstā pamanāt kļūdu, lūdzu, atlasiet to un nospiediet Ctrl + Enter

Aprēķinot algebriskos polinomus, lai vienkāršotu aprēķinus, izmantojiet saīsinātās reizināšanas formulas... Kopumā ir septiņas šādas formulas. Jums tie visi ir jāzina no galvas.

Jāatceras arī, ka "a" un "b" vietā formulas var saturēt gan skaitļus, gan jebkurus citus algebriskos polinomus.

Kvadrātu atšķirība

Atcerieties!

Kvadrātu atšķirība divi skaitļi ir vienādi ar šo skaitļu un to summas starpības reizinājumu.

a 2 - b 2 = (a - b) (a + b)

• 15 2-2 2 = (15 - 2) (15 + 2) = 13 17 = 221
• 9a 2 - 4b 2 c 2 = (3a - 2bc) (3a + 2bc)

Summa kvadrātā

Atcerieties!

Divu skaitļu summas kvadrāts ir vienāds ar pirmā skaitļa kvadrātu plus divreiz pirmā skaitļa reizinājumu ar otro plus otrā skaitļa kvadrātu.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Ņemiet vērā, ka ar šo īso reizināšanas formulu to ir viegli izdarīt atrodiet lielu skaitļu kvadrātus neizmantojot kalkulatoru vai garo reizināšanu. Paskaidrosim ar piemēru:

Atrodiet 112 2.

• Sadalīsim 112 to skaitļu summā, kuru kvadrātus mēs labi atceramies.
  112 = 100 + 1
• Iekavās ierakstīsim skaitļu summu un virs iekavām liksim kvadrātu.
  112 2 = (100 + 12) 2
• Izmantosim formulu summas kvadrātam:
  112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 100 12 + 12 2 = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544

Atcerieties, ka kvadrātu summas formula ir derīga arī jebkuram algebriskajam polinomam.

• (8a + c) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2

Brīdinājums!

(a + b) 2 nav vienāds ar (a 2 + b 2)

Starpība kvadrātā

Atcerieties!

Divu skaitļu starpības kvadrāts ir vienāds ar pirmā skaitļa kvadrātu mīnus divreiz pirmā skaitļa reizinājums ar otro plus otrā skaitļa kvadrāts.

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

Ir arī vērts atcerēties ļoti noderīgu transformāciju:

(a–b) 2 = (b–a) 2

Iepriekš minēto formulu pierāda, vienkārši paplašinot iekavas:

(a - b) 2 = a 2 -2ab + b 2 = b 2 - 2ab + a 2 = (b - a) 2

Summas kubs

Atcerieties!

Divu skaitļu summas kubs ir vienāds ar pirmā skaitļa kubu, kuram pieskaitīts trīskāršs pirmā skaitļa kvadrāts, un otrā plus trīs reizes ar otrā skaitļa kvadrātu plus otrā skaitļa kubu.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Kā atcerēties summas kubu

Atcerēties šo "biedējošā" izskata formulu ir pavisam vienkārši.

• Iemācieties sākt ar "3".
• Diviem polinomiem vidū ir koeficienti 3.
• Atcerieties, ka jebkurš skaitlis līdz nullei ir 1. (a 0 = 1, b 0 = 1). Ir viegli redzēt, ka formulā ir "a" pakāpes samazinājums un "b" pakāpes pieaugums. Par to varat pārliecināties:
  (a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Brīdinājums!

(a + b) 3 nav vienāds ar a 3 + b 3

Atšķirības kubs

Atcerieties!

Atšķirības kubs no diviem skaitļiem ir vienāds ar pirmā skaitļa kubu mīnus trīs reizes pirmā skaitļa kvadrāts un otrā plus trīs reizes pirmā skaitļa reizinājums un otrā skaitļa kvadrāts mīnus otrā skaitļa kubs.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Šī formula tiek atcerēta tāpat kā iepriekšējā, bet tikai ņemot vērā zīmju "+" un "-" maiņu. Pirms pirmā termina "a 3" ir "+" (mēs to nerakstām saskaņā ar matemātikas noteikumiem). Tas nozīmē, ka pirms nākamā dalībnieka būs "-", pēc tam atkal "+" un tā tālāk.

(a - b) 3 = + a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Kubu summa

Nejaukt ar summas kubu!

Atcerieties!

Kubu summa ir vienāds ar divu skaitļu summas reizinājumu ar starpības nepilno kvadrātu.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)

Kubu summa ir divu iekavu reizinājums.

• Pirmā iekava ir divu skaitļu summa.
• Otrā iekava ir nepilnīgs skaitļu starpības kvadrāts. Izteiksmi sauc par atšķirības nepilnu kvadrātu:
  (a 2 — ab + b 2)
  Šis kvadrāts ir nepilnīgs, jo pa vidu dubultā reizinājuma vietā ir parastais skaitļu reizinājums.

Kubu atšķirība

Nevajadzētu sajaukt ar atšķirības kubu!

Atcerieties!

Kubu atšķirība ir vienāds ar divu skaitļu starpības reizinājumu ar summas nepilno kvadrātu.

a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Esiet piesardzīgs, rakstot rakstzīmes.

Saīsināto reizināšanas formulu pielietošana

Jāatceras, ka visas iepriekš dotās formulas tiek izmantotas arī no labās uz kreiso pusi.

Daudzi apmācību piemēri ir paredzēti, lai palīdzētu jums atgūt polinomu, izmantojot formulas.

• a 2 + 2a + 1 = (a + 1) 2
• (ac - 4b) (ac + 4b) = a 2 c 2 - 16b 2

Tabulu ar visām saīsinātās reizināšanas formulām varat lejupielādēt sadaļā “

Polinoma reizināšana ar polinomu

! Uz reizināt polinomu ar polinomu, jums ir jāreizina katrs viena polinoma vārds ar katru cita polinoma terminu un jāpievieno iegūtie produkti.

Esi uzmanīgs! Katram terminam ir sava zīme.

Saīsinātās reizināšanas formulas polinomi - tie, kā likums, ir 7 (septiņi) bieži sastopami polinomu reizināšanas gadījumi.

Definīcijas unSaīsinātās reizināšanas formulas. tabula

2. tabula. Saīsināto reizināšanas formulu definīcijas (noklikšķiniet, lai palielinātu)

Trīs saīsinātas kvadrātu reizināšanas formulas

1. Summas kvadrāta formula.

Summa kvadrātā divas izteiksmes ir vienādas ar pirmās izteiksmes kvadrātu plus divreiz pirmās izteiksmes reizinājums ar otro plus otrās izteiksmes kvadrāts.

Lai labāk izprastu formulu, vispirms vienkāršosim izteiksmi (izvērsiet formulas summas kvadrātam)

Tagad veiksim faktorizāciju (formulu sakļauksim)

Faktoringa darbību secība:

1. noteikt, kuri monomi ir kvadrātā ( 5 un 3 m);
2. pārbaudiet, vai dubultotais produkts atrodas formulas vidū (2 5 3m = 30 m);
3. pieraksti atbildi (5 + 3 m) 2.

2. Atšķirības kvadrātveida formula

Starpība kvadrātā divas izteiksmes ir vienādas ar pirmās izteiksmes kvadrātu, no kuras atņemts divreiz pirmās izteiksmes reizinājums ar otro plus otrās izteiksmes kvadrāts.

Pirmkārt, vienkāršosim izteiksmi (izvērsiet formulu):

Un tad, gluži pretēji, veiksim faktorizāciju (formulu sabruksim):

3. Kvadrātu atšķirības formula

Divu izteiksmju summas reizinājums pēc to starpības ir vienāds ar šo izteiksmju kvadrātu starpību.

Sakļaut formulu (veiciet reizināšanu)

Tagad paplašināsim formulu (faktorizēt)

Četras saīsinātas reizināšanas formulas kubiem

4. Divu skaitļu summas kuba formula

Divu izteiksmju summas kubs ir vienāds ar pirmās izteiksmes kubu, pieskaitot trīs reizes pirmās izteiksmes kvadrātu un otro plus trīs reizes ar otrās izteiksmes kvadrātu plus otrās izteiksmes kubu.

Darbību secība, "locot" formulu:

1. atrodiet monomus, kas tika pacelti kubā (šeit 4x un 1 );
2. pārbaudīt vidējo termiņu atbilstību formulai;
3. pieraksti atbildi.

5. Divu skaitļu starpības kuba formula

Abu izteiksmju starpības kubs ir vienāds ar pirmās izteiksmes kubu, no kura atņemts trīs reizes pirmās izteiksmes kvadrāts un otrās plus trīs reizes pirmās izteiksmes reizinājums un otrās izteiksmes kvadrāts, no kura atņemts izteiksmes kubs. otrā izteiksme.

6. Kubu summas formula

Divu izteiksmju kubu summa ir vienāda ar pirmās un otrās izteiksmes summas reizinājumu ar šo izteiksmju starpības nepilno kvadrātu.

Un atpakaļ:

7. Kubu atšķirības formula

Atšķirība starp divu izteiksmju kubiem ir vienāda ar pirmās un otrās izteiksmes starpības reizinājumu ar šo izteiksmju summas nepilno kvadrātu.

Saīsināto reizināšanas formulu pielietošana. tabula

Piemērs formulu izmantošanai praksē (mutiskā skaitīšana).

Uzdevums: Atrodiet kvadrāta laukumu ar malu a = 71 cm.

Risinājums: S = a 2. Izmantojot summas kvadrāta formulu, mums ir

71 2 = (70 + 1) 2 = 70 2 + 2 * 70 * 1 + 1 2 = 4900 + 140 + 1 = 5041 cm 2

Atbilde: 5041 cm2

Izteiksme ( a + b) 2 ir summas kvadrāts cipariem a un b... Pēc pakāpes definīcijas izteiksme ( a + ba + b)(a + b). Tāpēc no summas kvadrāta varam secināt, ka

(a + b) 2 = (a + b)(a + b) = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2 ,

tas ir, divu skaitļu summas kvadrāts ir vienāds ar pirmā skaitļa kvadrātu, pieskaitot divreiz pirmā skaitļa reizinājumu ar otro, plus otrā skaitļa kvadrātu.

summas kvadrāta formula

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Polinoms a 2 + 2ab + b 2 sauc par summas kvadrāta sadalīšanos.

Jo a un b apzīmē jebkurus skaitļus vai izteiksmes, tad noteikums dod mums iespēju saīsinātā veidā kvadrātā jebkuru izteiksmi, ko var uzskatīt par divu terminu summu.

Piemērs. Kvadrātveida izteiksme 3 x 2 + 2xy.

Risinājums: lai neveiktu papildu pārveidojumus, izmantojam summas kvadrāta formulu. Mums vajadzētu iegūt pirmā skaitļa kvadrāta summu, pirmā skaitļa reizinājumu divreiz ar otro un otrā skaitļa kvadrātu:

(3x 2 + 2xy) 2 = (3x 2) 2 + 2(3x 2 2 xy) + (2xy) 2

Tagad, izmantojot monomālu reizināšanas un eksponēšanas noteikumus, mēs vienkāršojam iegūto izteiksmi:

(3x 2) 2 + 2(3x 2 2 xy) + (2xy) 2 = 9x 4 + 12x 3 y + 4x 2 y 2

Starpība kvadrātā

Izteiksme ( a - b) 2 ir starpība kvadrātā cipariem a un b... Izteiksme ( a - b) 2 ir divu polinomu reizinājums ( a - b)(a - b). Tāpēc no starpības kvadrātā varam secināt, ka

(a - b) 2 = (a - b)(a - b) = a 2 - ab - ab + b 2 = a 2 - 2ab + b 2 ,

tas ir, divu skaitļu starpības kvadrāts ir vienāds ar pirmā skaitļa kvadrātu, mīnus divreiz pirmā skaitļa reizinājums ar otro, plus otrā skaitļa kvadrāts.

No noteikuma izriet, ka ģenerālis kvadrātu starpības formula, bez starppārveidojumiem, izskatīsies šādi:

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

Polinoms a 2 - 2ab + b 2 sauc par starpības kvadrātā sadalīšanos.

Šis noteikums attiecas uz izteiksmju saīsinātu kvadrātu, ko var attēlot kā divu skaitļu starpību.

Piemērs. Iedomājieties starpības kvadrātu kā trīs termiņu:

(2a 2 - 5ab 2) 2

Risinājums: izmantojot starpības kvadrāta formulu, mēs atrodam:

(2a 2 - 5ab 2) 2 = (2a 2) 2 - 2(2a 2 5 ab 2) + (5ab 2) 2

Tagad pārveidosim izteiksmi par standarta polinomu:

(2a 2) 2 - 2(2a 2 5 ab 2) + (5ab 2) 2 = 4a 4 - 20a 3 b 2 + 25a 2 b 4

Kvadrātu atšķirība

Izteiksme a 2 - b 2 ir kvadrātu atšķirība cipariem a un b... Izteiksme a 2 - b 2 ir saīsināts veids, kā reizināt divu skaitļu summu ar to starpību:

(a + b)(a - b) = a 2 + ab - ab - b 2 = a 2 - b 2 ,

tas ir, divu skaitļu summas reizinājums ar to starpību ir vienāds ar šo skaitļu kvadrātu starpību.

No noteikuma izriet, ka ģenerālis kvadrātu atšķirības formula izskatās šādi:

a 2 - b 2 = (a + b)(a - b)

Šis noteikums attiecas uz to izteiksmju saīsinātu reizināšanu, kuras var attēlot: vienu kā divu skaitļu summu, bet otru kā tādu pašu skaitļu starpību.

Piemērs. Pārvērtiet darbu par binomiju:

(5a 2 + 3)(5a 2 - 3)

Risinājums:

(5a 2 + 3)(5a 2 - 3) = (5a 2) 2 - 3 2 = 25a 4 - 9

Piemērā mēs izmantojām formulu kvadrātu atšķirībai no labās puses uz kreiso, tas ir, mums tika dota formulas labā puse, un mēs to pārveidojām pa kreisi:

(a + b)(a - b) = a 2 - b 2

Praksē visas trīs aplūkotās formulas atkarībā no situācijas tiek piemērotas gan no kreisās puses uz labo, gan no labās uz kreiso.