Kā sadalīt vienādojumu ar stūri. Polinomu dalījums
Sāksim ar dažām definīcijām. Izteiksme formā $ P_n (x) = \ summa \ limits_ (i = 0) ^ (n) a_ (i) x ^ (ni) = a_ (0) x ^ (n) + a_ (1) x ^ (n-1) + a_ (2) x ^ (n-2) + \ ldots + a_ (n-1) x + a_n $. Piemēram, izteiksme $ 4x ^ (14) + 87x ^ 2 + 4x-11 $ ir polinoms, kura pakāpe ir $ 14 $. To var apzīmēt šādi: $ P_ (14) (x) = 4x ^ (14) + 87x ^ 2 + 4x-11 $.
Koeficientu $ a_0 $ sauc par polinoma $ P_n (x) $ vadošo koeficientu. Piemēram, polinomam $ 4x ^ (14) + 87x ^ 2 + 4x-11 $ vadošais koeficients ir $ 4 $ (skaitlis $ x ^ (14) $ priekšā). Skaitli $ a_n $ sauc par polinoma $ P_n (x) $ brīvo terminu. Piemēram, $ 4x ^ (14) + 87x ^ 2 + 4x-11 $, pārtveršana ir $ (- 11) $. Tagad pievērsīsimies teorēmai, uz kuru faktiski tiks balstīta materiāla prezentācija šajā lapā.
Jebkuriem diviem polinomiem $ P_n (x) $ un $ G_m (x) $ var atrast polinomus $ Q_p (x) $ un $ R_k (x) $ tā, ka vienādība
\ sākums (vienādojums) P_n (x) = G_m (x) \ cdot Q_p (x) + R_k (x) \ beigas (vienādojums)
un $ k< m$.
Frāze "polinomu $ P_n (x) $ sadaliet ar polinomu $ G_m (x) $" nozīmē "polinomu $ P_n (x) $ attēlot formā (1)". Mēs sauksim polinomu $ P_n (x) $ - dalāms, polinomu $ G_m (x) $ - dalītāju, polinomu $ Q_p (x) $ - $ P_n (x) $ daļu ar $ G_m (x) $, un polinoms $ R_k (x) $ ir atlikums, dalot $ P_n (x) $ ar $ G_m (x) $. Piemēram, polinomiem $ P_6 (x) = 12x ^ 6 + 3x ^ 5 + 16x ^ 4 + 6x ^ 3 + 8x ^ 2 + 2x + 1 $ un $ G_4 (x) = 3x ^ 4 + 4x ^ 2 + 2 $ jūs varat iegūt šādu vienādību:
$ 12x ^ 6 + 3x ^ 5 + 16x ^ 4 + 6x ^ 3 + 8x ^ 2 + 2x + 1 = (3x ^ 4 + 4x ^ 2 + 2) (4x ^ 2 + x) + 2x ^ 3 + 1 $$
Šeit polinoms $ P_6 (x) $ dalās, polinoms $ G_4 (x) $ ir dalītājs, polinoms $ Q_2 (x) = 4x ^ 2 + x $ ir $ P_6 (x) $ daļa ar $ G_4 (x) $ un polinoms $ R_3 (x) = 2x ^ 3 + 1 $ ir $ P_6 (x) $ dalījuma ar $ G_4 (x) $ atlikums. Ņemiet vērā, ka atlikuma pakāpe (t.i., 3) ir mazāka par dalītāja pakāpi (t.i., 4), tāpēc vienlīdzības nosacījums ir izpildīts.
Ja $ R_k (x) \ equiv 0 $, tad tiek teikts, ka polinoms $ P_n (x) $ dalās ar polinomu $ G_m (x) $ bez atlikuma. Piemēram, polinoms $ 21x ^ 6 + 6x ^ 5 + 105x ^ 2 + 30x $ dalās ar polinomu $ 3x ^ 4 + 15 $ bez atlikuma, jo spēkā ir vienādība:
$ 21x ^ 6 + 6x ^ 5 + 105x ^ 2 + 30x = (3x ^ 4 + 15) \ cdot (7x ^ 2 + 2x) $$
Šeit polinoms $ P_6 (x) = 21x ^ 6 + 6x ^ 5 + 105x ^ 2 + 30x $ ir dalāms; polinoms $ G_4 (x) = 3x ^ 4 + 15 $ - dalītājs; un polinoms $ Q_2 (x) = 7x ^ 2 + 2x $ ir $ P_6 (x) $ koeficients, kas dalīts ar $ G_4 (x) $. Atlikušais ir nulle.
Lai sadalītu polinomu polinomā, bieži tiek izmantots dalījums ar "kolonnu" vai, kā to sauc arī, "stūris". Apskatīsim šīs metodes ieviešanu, izmantojot piemērus.
Pirms pāriet pie piemēriem, es ievadīšu vēl vienu terminu. Viņš nav vispārpieņemts, un mēs to izmantosim tikai materiāla prezentēšanas ērtībai. Līdz šīs lapas beigām izteiksmi $ a_ (0) x ^ (n) $ sauksim kā polinoma $ P_n (x) $ vadošo elementu. Piemēram, polinomam $ 4x ^ (14) + 87x ^ 2 + 4x-11 $ vadošais elements ir $ 4x ^ (14) $.
1. piemērs
Sadaliet $ 10x ^ 5 + 3x ^ 4-12x ^ 3 + 25x ^ 2-2x + 5 $ ar $ 5x ^ 2-x + 2 $, izmantojot garo dalīšanu.
Tātad, mums ir divi polinomi, $ P_5 (x) = 10x ^ 5 + 3x ^ 4-12x ^ 3 + 25x ^ 2-2x + 5 $ un $ G_2 (x) = 5x ^ 2-x + 2 $. Pirmā pakāpe ir USD 5, bet otrā pakāpe ir USD 2. Polinoms $ P_5 (x) $ ir dalītājs, un polinoms $ G_2 (x) $ ir dalītājs. Mūsu uzdevums ir atrast koeficientu un atlikumu. Uzstādīto uzdevumu risināsim soli pa solim. Mēs izmantosim to pašu apzīmējumu kā skaitļu dalīšanai:
Pirmais solis
Mēs dalām polinoma augstāko elementu $ P_5 (x) $ (t.i., $ 10x ^ 5 $) ar polinoma $ Q_2 (x) $ augstāko elementu (t.i., $ 5x ^ 2 $):
$$ \ frac (10x ^ 5) (5x ^ 2) = 2x ^ (5-2) = 2x ^ 3. $$
Rezultātā iegūtā izteiksme $ 2x ^ 3 $ ir koeficienta pirmais elements:
Reiziniet polinomu $ 5x ^ 2-x + 2 $ ar $ 2x ^ 3 $, iegūstot:
$$ 2x ^ 3 \ cdot (5x ^ 2-x + 2) = 10x ^ 5-2x ^ 4 + 4x ^ 3 $$
Pierakstīsim rezultātu:
Tagad mēs atņemam no polinoma $ 10x ^ 5 + 3x ^ 4-12x ^ 3 + 25x ^ 2-2x + 5 $ polinomu $ 10x ^ 5-2x ^ 4 + 4x ^ 3 $:
$ 10x ^ 5 + 3x ^ 4-12x ^ 3 + 25x ^ 2-2x + 5- (10x ^ 5-2x ^ 4 + 4x ^ 3) = 5x ^ 4-16x ^ 3 + 25x ^ 2-2x + 5 $ $
Tas noslēdz pirmo soli. Iegūto rezultātu var uzrakstīt izvērstā veidā:
$ 10x ^ 5 + 3x ^ 4-12x ^ 3 + 25x ^ 2-2x + 5 = (5x ^ 2-x + 2) \ cdot 2x ^ 3 + 5x ^ 4-16x ^ 3 + 25x ^ 2-2x +5 $$
Tā kā polinoma $ 5x ^ 4-16x ^ 3 + 25x ^ 2-2x + 5 $ (ti, 4) pakāpe ir lielāka par polinoma pakāpi $ 5x ^ 2-x + 2 $ (ti, 2), tad procesa dalīšana ir jāturpina. Pāriesim pie otrā posma.
Otrais solis
Tagad mēs strādāsim ar polinomiem $ 5x ^ 4-16x ^ 3 + 25x ^ 2-2x + 5 $ un $ 5x ^ 2-x + 2 $. Tādā pašā veidā kā pirmajā solī, mēs sadalām pirmā polinoma augšējo elementu (t.i., $ 5x ^ 4 $) ar otrā polinoma augstāko elementu (t.i., $ 5x ^ 2 $):
$$ \ frac (5x ^ 4) (5x ^ 2) = x ^ (4-2) = x ^ 2. $$
Iegūtā izteiksme $ x ^ 2 $ ir koeficienta otrais elements. Pievienojiet koeficientam $ x ^ 2 $
Reiziniet polinomu $ 5x ^ 2-x + 2 $ ar $ x ^ 2 $, iegūstot:
$$ x ^ 2 \ cdot (5x ^ 2-x + 2) = 5x ^ 4-x ^ 3 + 2x ^ 2 $$
Pierakstīsim rezultātu:
Tagad atņemiet no polinoma $ 5x ^ 4-16x ^ 3 + 25x ^ 2-2x + 5 $ polinomu $ 5x ^ 4-x ^ 3 + 2x ^ 2 $:
$ 5x ^ 4-16x ^ 3 + 25x ^ 2-2x + 5- (5x ^ 4-x ^ 3 + 2x ^ 2) = - 15x ^ 3 + 23x ^ 2-2x + 5 $$
Mēs pievienojam šo polinomu zem rindas:
Tas noslēdz otro soli. Iegūto rezultātu var uzrakstīt izvērstā formā:
$ 10x ^ 5 + 3x ^ 4-12x ^ 3 + 25x ^ 2-2x + 5 = (5x ^ 2-x + 2) \ cdot (2x ^ 3 + x ^ 2) -15x ^ 3 + 23x ^ 2 -2x + 5 USD
Tā kā polinoma $ -15x ^ 3 + 23x ^ 2-2x + 5 $ (ti, 3) pakāpe ir lielāka par polinoma $ 5x ^ 2-x + 2 $ (ti 2) pakāpi, mēs turpinām dalīšanu. process. Pāriesim uz trešo soli.
Trešais solis
Tagad mēs strādāsim ar polinomiem $ -15x ^ 3 + 23x ^ 2-2x + 5 $ un $ 5x ^ 2-x + 2 $. Tādā pašā veidā kā iepriekšējās darbībās, mēs sadalām pirmā polinoma augstāko elementu (t.i., $ -15x ^ 3 $) ar otrā polinoma augstāko elementu (t.i., $ 5x ^ 2 $):
$$ \ frac (-15x ^ 3) (5x ^ 2) = - 3x ^ (2-1) = - 3x ^ 1 = -3x. $$
Rezultātā iegūtā izteiksme $ (- 3x) $ ir koeficienta trešais elements. Pievienojiet koeficientam $ -3x $
Reiziniet polinomu $ 5x ^ 2-x + 2 $ ar $ (- 3x) $, iegūstot:
$$ -3x \ cdot (5x ^ 2-x + 2) = - 15x ^ 3 + 3x ^ 2-6x $$
Pierakstīsim rezultātu:
Tagad mēs atņemam no polinoma $ -15x ^ 3 + 23x ^ 2-2x + 5 $ polinomu $ -15x ^ 3 + 3x ^ 2-6x $:
$$ -15x ^ 3 + 23x ^ 2-2x + 5 - (- 15x ^ 3 + 3x ^ 2-6x) = 20x ^ 2 + 4x + 5 $$
Mēs pievienojam šo polinomu zem rindas:
Tas noslēdz trešo posmu. Iegūto rezultātu var uzrakstīt izvērstā formā:
$ 10x ^ 5 + 3x ^ 4-12x ^ 3 + 25x ^ 2-2x + 5 = (5x ^ 2-x + 2) \ cdot (2x ^ 3 + x ^ 2-3x) + 20x ^ 2 + 4x +5 $$
Tā kā polinoma $ 20x ^ 2 + 4x + 5 $ (t.i. 2) pakāpe ir vienāda ar polinoma $ 5x ^ 2-x + 2 $ (t.i. 2) pakāpi, mēs turpinām dalīšanas procesu. Pārejam uz ceturto soli.
Ceturtais solis
Tagad mēs strādāsim ar polinomiem $ 20x ^ 2 + 4x + 5 $ un $ 5x ^ 2-x + 2 $. Tādā pašā veidā kā iepriekšējās darbībās, mēs sadalām pirmā polinoma augšējo elementu (t.i., $ 20x ^ 2 $) ar otrā polinoma augstāko elementu (t.i., $ 5x ^ 2 $):
$$ \ frac (20x ^ 2) (5x ^ 2) = 4x ^ (2-2) = 4x ^ 0 = 4. $$
Iegūtais skaitlis $ 4 $ ir koeficienta ceturtais elements. Pievienojiet 4 $ privātajam
Reiziniet polinomu $ 5x ^ 2-x + 2 $ ar $ 4 $, iegūstot:
4 $ \ cdot (5 x ^ 2 x + 2) = 20 x ^ 2–4 x + 8 $
Pierakstīsim rezultātu:
Tagad no polinoma $ 20x ^ 2 + 4x + 5 $ atņemiet polinomu $ 20x ^ 2-4x + 8 $.
Paziņojums, apgalvojums
atgādinājums nepilnīgs privātais.
komentēt
Jebkuriem polinomiem $ A (x) $ un $ B (x) $ ($ B (x) $ pakāpe ir lielāka par 0), ir unikāli polinomi $ Q (x) $ un $ R (x) $ no paziņojuma nosacījums.
- Polinoma $ x ^ (4) + 3x ^ (3) + 5 $ dalījuma atlikums ar $ x ^ (2) + 1 $ ir $ 3x + 4 $: $ x ^ (4) + 3x ^ ( 3) +5 = (x ^ (2) + 3x +1) (x ^ (2) + 1) + 3x + 4. $
- Polinoma $ x ^ (4) + 3x ^ (3) + 5 $ dalījuma atlikums ar $ x ^ (4) + 1 $ ir $ 3x ^ (3) + 4 $: $ x ^ (4) + 3x ^ ( 3) +5 = 1 \ cdot (x ^ (2) + 1) + 3x ^ (3) + 4. $
- Polinoma $ x ^ (4) + 3x ^ (3) + 5 $ dalīšanas atlikums ar $ x ^ (6) + 1 $ ir $ x ^ (4) + 3x ^ (3) +5 $: $ x ^ (4) + 3x ^ (3) +5 = 0 \ cdot (x ^ (6) + 1) + x ^ (4) + 3x ^ (3) + 5. $
Paziņojums, apgalvojums
Jebkuriem diviem polinomiem $ A (x) $ un $ B (x) $ (kur polinoma $ B (x) $ pakāpe nav nulle), ir attēlojums polinoma $ A (x) $ formā. formā $ A (x) = Q (x) B (x) + R (x) $, kur $ Q (x) $ un $ R (x) $ ir polinomi un $ R (x) $ pakāpe ir mazāks par $ B (x) pakāpi. $
Pierādījums
Mēs pierādīsim apgalvojumu ar indukciju par polinoma pakāpi $ A (x) $ Apzīmējiet to ar $ n $. Ja $ n = 0 $, apgalvojums ir patiess: $ A (x) $ var attēlot kā $ A (x) = 0 \ cdot B (x) + A (x). $ Tagad ļaujiet apgalvojumam pierādīt, ka polinomi ar pakāpi $ n \ leq m $. Pierādīsim apgalvojumu polinomiem ar pakāpi $ k = n + 1. $
Lai polinoma $ B (x) $ pakāpe ir vienāda ar $ m $. Apsveriet trīs gadījumus: $ k< m$, $k = m$ и $k >m $ un pierādiet apgalvojumu par katru no tiem.
- $ k< m$
Polinomu $ A (x) $ var attēlot kā$ A (x) = 0 \ cdot B (x) + A (x). $
Apgalvojums ir pilnīgs.
- $ k = m $
Ļaujiet polinomiem $ A (x) $ un $ B (x) $ būt formā$ A (x) = a_ (n + 1) x ^ (n + 1) + a_ (n) x ^ (n) + \ punkti + a_ (1) x + a_ (0), \: \ mbox (kur ) \: a_ (n + 1) \ neq 0; $
$ B (x) = b_ (n + 1) x ^ (n + 1) + b_ (n) x ^ (n) + \ punkti + b_ (1) x + b_ (0), \: \ mbox (kur ) \: b_ (n + 1) \ neq 0. $
Mēs pārstāvam $ A (x) $ kā
$ A (x) = \ dfrac (a_ (n + 1)) (b_ (n + 1)) B (x) - \ Big (\ dfrac (a_ (n + 1)) (b_ (n + 1)) B (x) - A (x) \ Big). $
Ņemiet vērā, ka polinoma $ \ dfrac (a_ (n + 1)) (b_ (n + 1)) B (x) - A (x) $ pakāpe ir ne vairāk kā $ n + 1 $, tad šis attēlojums ir vēlamo un apgalvojums ir apmierināts.
- $ k> m $
Mēs attēlojam polinomu $ A (x) $ as$ A (x) = x (a_ (n + 1) x ^ (n) + a_ (n) x ^ (n-1) + \ punkti + a_ (1)) + a_ (0), \: \ mbox (kur) \: a_ (n + 1) \ neq 0. $
Apsveriet polinomu $ A "(x) = a_ (n + 1) x ^ (n) + a_ (n) x ^ (n-1) + \ punkti + a_ (1). $ Uz to attiecas indukcijas hipotēze, tāpēc var attēlot kā $ A "(x) = Q" (x) B (x) + R "(x) $, kur polinoma $ R pakāpe" (x) $ ir mazāka par $ m $, tad $ A (x) $ attēlojumu var pārrakstīt kā
$ A (x) = x (Q "(x) B (x) + R" (x)) + a_ (0) = xQ "(x) B (x) + xR" (x) + a_ (0) .$
Ņemiet vērā, ka polinoma $ xR "(x) $ pakāpe ir mazāka par $ m + 1 $, tas ir, mazāka par $ k $. Tad indukcijas hipotēze attiecas uz $ xR" (x) $ un to var attēlot kā $ xR "(x) = Q" "(x) B (x) + R" "(x) $, kur polinoma $ R" "(x) $ pakāpe ir mazāka par $ m $. Pārrakstiet attēlojumu par $ A (x) $ kā
$ A (x) = xQ "(x) B (x) + Q" "(x) B (x) + R" "(x) + a_ (0) = $
$ = (xQ "(x) + xQ" "(x)) B (x) + R" "(x) + a_ (0). $
Polinoma $ R "" (x) + a_ (0) $ pakāpe ir mazāka par $ m $, tāpēc apgalvojums ir patiess.
Apgalvojums ir pierādīts.
Turklāt tiek izsaukts polinoms $ R (x) $ atgādinājums dalot $ A (x) $ ar $ B (x) $ un $ Q (x) $ - nepilnīgs privātais.
Ja atlikums $ R (x) $ ir nulles polinoms, tad tiek uzskatīts, ka $ A (x) $ dalās ar $ B (x) $.
Šodien mēs iemācīsimies sadalīt polinomus savā starpā, un mēs veiksim sadalīšanu ar stūri pēc analoģijas ar parastajiem skaitļiem. Tas ir ļoti noderīgs paņēmiens, kas diemžēl netiek mācīts lielākajā daļā skolu. Tāpēc uzmanīgi klausieties šo video pamācību. Šādā sadalījumā nav nekā grūta.
Vispirms sadalīsim divus skaitļus savā starpā:
Kā jūs to varat izdarīt? Pirmkārt, mēs nogriežam tik daudz ciparu, lai iegūtā skaitliskā vērtība būtu lielāka par to, ar kuru mēs dalām. Ja mēs nogriežam vienu bitu, mēs iegūstam piecus. Acīmredzot septiņpadsmit neietilpst piecos, tāpēc ar to nepietiek. Mēs ņemam divus ciparus - mēs saņemsim 59 - tas jau ir vairāk nekā septiņpadsmit, lai mēs varētu veikt operāciju. Tātad, cik reizes septiņpadsmit iekļaujas 59? Ņemsim trīs. Reizinām un pierakstām rezultātu zem 59. Kopā saņēmām 51. Atņemam un saņēmām “astoņi”. Tagad nojaucam nākamo kategoriju – piecas. Sadaliet 85 ar septiņpadsmit. Mēs ņemam piecus. Mēs reizinām septiņpadsmit ar pieci un iegūstam 85. Atņemiet un iegūstam nulli.
Mēs risinām piemērus no dzīves
Problēmas numurs 1
Tagad veiksim tās pašas darbības, bet ne ar skaitļiem, bet ar polinomiem. Ņemsim šo kā piemēru:
\ [\ frac (((x) ^ (2)) + 8x + 15) (x + 5) = x + 3 \]
Lūdzu, ņemiet vērā, ja, dalot skaitļus savā starpā, mēs domājām, ka dividende vienmēr ir lielāka par dalītāju, tad, sadalot polinomus ar leņķi, ir nepieciešams, lai dividendes pakāpe būtu lielāka par dalītāju. . Mūsu gadījumā viss ir kārtībā - strādājam ar otrās un pirmās pakāpes konstrukcijām.
Tātad pirmais solis: salīdziniet pirmos elementus. Jautājums: kas jums jāreizina $ x $, lai iegūtu $ ((x) ^ (2)) $? Acīmredzot vēl viens $ x $. Reiziniet $ x + 5 $ ar tikko atrasto skaitli $ x $. Mums ir $ ((x) ^ (2)) + 5 $, ko mēs atņemam no dividendes. Atlikuši 3 $ $. Tagad nojaucam nākamo termiņu – piecpadsmit. Apskatīsim vēlreiz pirmos elementus: $ 3x $ un $ x $. Ar ko jāreizina $ x $, lai iegūtu $ 3x $? Acīmredzot trīs. Reiziniet $ x + 5 $ termiņu ar trīs. Atņemot, mēs iegūstam nulli.
Kā redzat, visa dalīšanas darbība ar stūri ir samazināta līdz augstāko koeficientu salīdzināšanai dividendei un dalītājam. Tas ir pat vienkāršāk nekā skaitļu dalīšana. Nav nepieciešams piešķirt noteiktu ciparu skaitu - mēs vienkārši salīdzinām vecākos elementus katrā solī. Tas ir viss algoritms.
Problēmas numurs 2
Pamēģināsim vēlreiz:
\ [\ frac (((x) ^ (2)) + x-2) (x-1) = x + 2 \]
Pirmais solis: apskatīsim augstākas izredzes. Cik daudz jāreizina $ x $, lai ierakstītu $ ((x) ^ (2)) $? Mēs reizinām terminu ar terminu. Lūdzu, ņemiet vērā, ka, atņemot, mēs saņemam tieši $ 2x $, jo
Nojaucam -2 un atkal salīdzinām pirmo iegūto koeficientu ar dalītāja vadošo elementu. Kopumā mēs saņēmām "jauku" atbildi.
Pāriesim pie otrā piemēra:
\ [\ frac (((x) ^ (3)) + 2 ((x) ^ (2)) - 9x-18) (x + 3) = ((x) ^ (2)) - x-6 \ ]
Šoreiz dividende ir trešās pakāpes polinoms. Salīdzināsim pirmos elementus. Lai iegūtu $ ((x) ^ (3)) $, jums jāreizina $ x $ ar $ ((x) ^ (2)) $. Pēc atņemšanas mēs nojaucam $ 9x $. Reiziniet dalītāju ar $ -x $ un atņemiet. Rezultātā mūsu sejas izteiksme tika pilnībā sadalīta. Mēs pierakstām atbildi.
Problēma numurs 3
Pārejot pie pēdējā uzdevuma:
\ [\ frac (((x) ^ (3)) + 3 ((x) ^ (2)) + 50) (x + 5) = ((x) ^ (2)) - 2x + 10 \]
Salīdziniet $ ((x) ^ (3)) $ un $ x $. Acīmredzot, jums ir jāreizina ar $ ((x) ^ (2)) $. Rezultātā redzam, ka saņēmām ļoti "jauku" atbildi. Mēs to pierakstām.
Tas ir viss algoritms. Šeit ir divi galvenie punkti:
- Vienmēr salīdziniet dividendes un dalītāja pirmo pakāpi – mēs to atkārtojam katrā solī;
- Ja sākotnējā izteiksmē trūkst pakāpju, tie jāpievieno, dalot ar stūri, bet ar nulles koeficientiem, pretējā gadījumā atbilde būs nepareiza.
Šajā sadalījumā vairs nav nekādu smalkumu un viltību.
Šodienas nodarbības materiāls nekur nav un nekad nav atrodams tā "tīrā" veidā. Skolās to māca reti. Taču spēja sadalīt polinomus savā starpā ļoti palīdzēs, risinot augstākas pakāpes vienādojumus, kā arī visa veida “paaugstinātas grūtības” problēmas. Bez šīs metodes jums būs jāizņem polinomi, jāizvēlas koeficienti - un rezultāts nekādā gadījumā nav garantēts. Taču polinomus var dalīt arī ar stūri – tāpat kā parastos skaitļus! Diemžēl šo tehniku skolās nemāca. Daudzi skolotāji uzskata, ka polinomu sadalīšana ar leņķi ir kaut kas ārprātīgi grūts no augstākās matemātikas jomas. Es steidzos jums apliecināt: tas tā nav. Turklāt polinomus ir pat vieglāk dalīt nekā parastos skaitļus! Noskaties nodarbību - un pārliecinies pats. :) Kopumā noteikti ņemiet šo tehniku ekspluatācijā. Spēja sadalīt polinomus savā starpā jums ļoti noderēs augstākas pakāpes vienādojumu risināšanā un citos nestandarta uzdevumos.
Es ceru, ka šis video palīdzēs tiem, kas strādā ar polinomiem, īpaši augstākiem grādiem. Tas attiecas gan uz vidusskolēniem, gan augstskolu studentiem. Un tas man ir viss. Uz redzēšanos!
Šajā rakstā tiks aplūkota racionālā daļa, tās veselo daļu sadalījums. Daļskaitļi var būt pareizi un nepareizi. Ja skaitītājs daļskaitlī ir mazāks par saucēju, tā ir pareiza daļa, bet pretēja ir nepareiza.
Apsveriet parasto daļskaitļu piemērus: 1 2, 9 29, 8 17, nepareizi: 16 3, 21 20, 301 24.
Mēs aprēķināsim daļas, kuras var atcelt, tas ir, 12 16 ir 3 4, 21 14 ir 3 2.
Izvēloties veselu skaitļa daļu, tiek veikts skaitītāja dalīšanas process ar saucēju. Tad šādu daļskaitli var attēlot kā veselā skaitļa un daļskaitļa daļu summu, kur daļskaitli uzskata par dalījuma atlikuma un saucēja attiecību.
1. piemērs
Atrodiet atlikušo daļu, kad 27 dala ar 4.
Risinājums
Ir nepieciešams veikt dalījumu ar kolonnu, tad mēs to iegūstam
Tas nozīmē, ka 27 4 = visa daļa + aptuveni atlikušā vērtība = 6 + 3 4
Atbilde: atlikums 3.
2. piemērs
Izvēlieties veselas daļas 331 12 un 41 57.
Risinājums
Mēs dalām saucēju ar skaitītāju, izmantojot stūri:
Tāpēc mums ir, ka 331 12 = 27 + 7 12.
Otrā daļa ir pareiza, kas nozīmē, ka visa daļa ir vienāda ar nulli.
Atbilde: veselas daļas 27 un 0.
Apsveriet polinomu klasifikāciju, citiem vārdiem sakot, daļēju racionālu funkciju. To uzskata par pareizu, ja skaitītāja pakāpe ir mazāka par saucēja pakāpi, pretējā gadījumā to uzskata par nepareizu.
1. definīcija
Polinoma dalīšana ar polinomu notiek saskaņā ar dalīšanas ar leņķi principu un funkcijas uzrādīšanu kā veselu skaitļu un daļēju daļu summu.
Lai sadalītu polinomu lineārā binomā, tiek izmantota Hornera shēma.
3. piemērs
Sadaliet x 9 + 7 x 7 - 3 2 x 3 - 2 ar monomālu 2 x 2.
Risinājums
Izmantojot dalīšanas īpašību, mēs to rakstām
x 9 + 7 x 7 - 3 2 x 3 - 2 2 x 2 = x 9 2 x 2 + 7 x 7 2 x 2 - 3 2 x 3 2 x 2 + x 2 2 x 2 - 2 2 x 2 = = 1 2 x 7 + 7 2 x 5 - 3 4 x + 1 2 - 2 2 x - 2.
Bieži vien šāda veida transformācijas tiek veiktas, ņemot integrāļus.
4. piemērs
Sadaliet polinomu ar polinomu: 2 x 3 + 3 ar x 3 + x.
Risinājums
Dalīšanas zīmi var uzrakstīt kā daļskaitli, piemēram, 2 x 3 + 3 x 3 + x. Tagad jums ir jāizvēlas visa daļa. Mēs to darām, izmantojot garo dalījumu. Mēs to sapratām
Tātad, mēs iegūstam, ka veselā skaitļa daļai ir vērtība - 2 x + 3, tad visa izteiksme tiek uzrakstīta kā 2 x 3 + 3 x 3 + x = 2 + - 2 x + 3 x 3 + x
5. piemērs
Sadaliet un atrodiet atlikušo 2 x 6 - x 5 + 12 x 3 - 72 x 2 + 3 ar x 3 + 2 x 2 - 1.
Risinājums
Nofiksēsim formas daļu 2 x 6 - x 5 + 12 x 3 - 72 x 2 + 3 x 3 + 2 x 2 - 1.
Skaitītāja pakāpe ir lielāka par saucēja pakāpi, kas nozīmē, ka mums ir nepareiza daļa. Atlasiet visu daļu, izmantojot garo dalīšanu. Mēs to sapratām
Sadalīsim vēlreiz un iegūstam:
Tādējādi mēs iegūstam, ka atlikums ir vienāds ar - 65 x 2 + 10 x - 3, no kā izriet:
2 x 6 - x 5 + 12 x 3 - 72 x 2 + 3 x 3 + 2 x 2 - 1 = 2 x 3 - 5 x 2 + 10 x - 6 + - 65 x 2 + 10 x - 3 x 3 + 2 x 2 - 1
Ir gadījumi, kad nepieciešams papildus veikt daļdaļas transformāciju, lai varētu identificēt dalījuma atlikumu. Tas izskatās šādi:
3 x 5 + 2 x 4 - 12 x 2 - 4 x 3 - 3 = 3 x 2 x 3 - 3 - 3 x 2 x 3 - 3 + 3 x 5 + 2 x 4 - 12 x 2 - 4 x 3 - 3 = = 3 x 2 x 3 - 3 + 2 x 4 - 3 x 2 - 4 x 3 - 3 = 3 x 2 + 2 x 4 - 3 x 2 - 4 x 3 - 3 = = 3 x 2 + 2 xx 3 - 3 - 2 xx 3 - 3 + 2 x 4 - 3 x 2 - 4 x 3 - 3 = = 3 x 2 + 2 x (x 3 - 3) - 3 x 2 + 6 x - 4 x 3 - 3 = 3 x 2 + 2 x + - 3 x 2 + 6 x - 4 x 3 - 3
Tas nozīmē, ka atlikums, dalot 3 x 5 + 2 x 4 - 12 x 2 - 4 ar x 3 - 3, iegūst vērtību - 3 x 2 + 6 x - 4. Lai ātri atrastu rezultātu, izmantojiet saīsinātās reizināšanas formulas.
6. piemērs
Sadaliet 8 x 3 + 36 x 2 + 54 x + 27 ar 2 x + 3.
Risinājums
Iedalījumu rakstīsim kā daļskaitli. Mēs iegūstam 8 x 3 + 36 x 2 + 54 x + 27 2 x + 3. Ņemiet vērā, ka izteiksmi skaitītājā var pievienot, izmantojot summas kuba formulu. Mums tas ir
8 x 3 + 36 x 2 + 54 x + 27 2 x + 3 = (2 x + 3) 3 2 x + 3 = (2 x + 3) 2 = 4 x 2 + 12 x + 9
Dotais polinoms dalās bez atlikuma.
Risinājumam tiek izmantota ērtāka risinājuma metode, un polinoma dalīšana ar polinomu tiek uzskatīta par universālāko, tāpēc to bieži izmanto, izolējot veselu skaitļa daļu. Galīgajā ierakstā jāiekļauj dalīšanas polinoms.
Ja tekstā pamanāt kļūdu, lūdzu, atlasiet to un nospiediet Ctrl + Enter
Lai tas tiek prasīts
(2x 3 - 7x 2 + x + 1) ÷ (2x - 1).
Šeit ir norādīts reizinājums (2x 3 - 7x 2 + x + 1) un viens faktors (2x - 1), - jums jāatrod cits faktors. Šajā piemērā uzreiz ir skaidrs (bet kopumā to nevar noteikt), ka otrs, meklētais, faktors vai koeficients, arī ir polinoms. Tas ir skaidrs, jo šim produktam ir 4 termini, un šis faktors ir tikai 2. Tomēr nav iespējams iepriekš pateikt, cik terminu ir vēlamajam faktoram: var būt 2 termini, 3 termini utt. Atgādinot, ka galvenais termins reizinājuma reizinājums vienmēr izrādās, reizinot viena faktora vadošo vārdu ar cita faktora vadošo vārdu (skat. polinoma reizināšanu ar polinomu) un ka nevar būt tādi termini, mēs esam pārliecināti, ka 2x 3 (visnozīmīgākais šī produkta termiņš) tiks iegūts, reizinot 2x (šī faktora vadošais termins) ar nezināmo vecāko vajadzīgā faktora locekli. Lai atrastu pēdējo, jums ir jādala 2x 3 ar 2x - mēs iegūstam x 2. Šis ir privātpersonas vecākais loceklis.
Atgādiniet, ka tad, kad polinoms tiek reizināts ar polinomu, jums ir jāreizina katrs viena polinoma termins ar katru otra polinomu. Tāpēc šis reizinājums (2x 3 - 7x 2 + x + 1) ir dalītāja (2x - 1) reizinājums ar visiem koeficienta nosacījumiem. Bet tagad mēs varam atrast dalītāja reizinājumu pēc koeficienta pirmā (visnozīmīgākā) vārda, tas ir, (2x - 1) ∙ x 2; mēs iegūstam 2x 3 - 2. Zinot dalītāja reizinājumu ar visiem koeficienta locekļiem (tas = 2x 3 - 7x 2 + x + 1) un zinot dalītāja reizinājumu ar koeficienta 1. daļu (tas = 2x 3 - x 2), atņemot mēs varam atrast dalītāja reizinājumu ar visiem pārējiem, izņemot 1., privātā locekļus. Mēs saņemam
(2x 3 - 7x 2 + x + 1) - (2x 3 - x 2) = 2x 3 - 7x 2 + x + 1 - 2x 3 + x 2 = -6x 2 + x + 1.
Šī atlikušā reizinājuma nozīmīgākajam vārdam (–6x 2) ir jāatspoguļo koeficienta dalītāja nozīmīgākā vārda (2x) reizinājums ar pārējā (izņemot 1. terminu) nozīmīgāko daļu. No šejienes mēs atrodam pārējās ierindas vecāko locekli. Mums vajag –6x 2 ÷ 2x, sanāk –3x. Šis ir otrais meklētā koeficienta termiņš. Atkal varam atrast dalītāja (2x - 1) reizinājumu ar otro, tikko atrasto koeficienta biedru, tas ir, ar –3x.
Mēs iegūstam (2x - 1) ∙ (-3x) = -6x 2 + 3x. No visa šī reizinājuma mēs jau esam atņēmuši dalītāja reizinājumu ar koeficienta 1. daļu un ieguvuši atlikumu –6x 2 + x + 1, kas ir dalītāja reizinājums ar otru, izņemot 1., locekļus. no koeficienta. Atņemot no tā tikko atrasto reizinājumu –6x 2 + 3x, iegūstam atlikumu, kas ir dalītāja reizinājums ar visu pārējo, izņemot 1. un 2., koeficienta locekļus:
-6x 2 + x + 1 - (-6x 2 + 3x) = -6x 2 + x + 1 + 6x 2 - 3x = -2x + 1.
Dalot šī atlikušā produkta vecāko termiņu (–2x) ar dalītāja vecāko termiņu (2x), iegūstam pārējā koeficienta vecāko termiņu jeb tā trešo termiņu (–2x) ÷ 2x = –1, - šis ir koeficienta 3. loceklis.
Reizinot dalītāju ar to, mēs iegūstam
(2x - 1) ∙ (-1) = -2x + 1.
Atņemot šo dalītāja reizinājumu ar koeficienta 3. vārdu no visas līdz šim atlikušās reizinājuma, t.i.
(-2x + 1) - (-2x + 1) = -2x + 1 + 2x - 1 = 0,
redzēsim, ka mūsu piemērā reizinājums ir sadalīts pārējos, izņemot 1., 2. un 3., koeficienta dalībniekus = 0, no kā secinām, ka koeficientam vairs nav dalībnieku, t.i.
(2x 3 - 7x 2 + x + 1) ÷ (2x - 1) = x 2 - 3x - 1.
No iepriekšējā redzam: 1) ir ērti sakārtot dividenžu un dalītāja nosacījumus dilstošās pakāpēs, 2) nepieciešams noteikt kādu aprēķinu veikšanas kārtību. Par šādu ērtu secību var uzskatīt tādu, kas tiek izmantota aritmētikā, dalot daudzciparu skaitļus. Pēc tam visus iepriekšējos aprēķinus sakārtojam šādi (malā ir sniegti vēl daži īsi paskaidrojumi):
Šeit nepieciešamās atņemšanas tiek veiktas, mainot atņemtā vārdu zīmes, un šīs mainīgās zīmes raksta no augšas.
Tātad, tas ir rakstīts
Tas nozīmē: atņemtais bija 2x 3 - x 2, un pēc zīmju maiņas mēs saņēmām -2x 3 + x 2.
Sakarā ar pieņemto aprēķinu izkārtojumu, sakarā ar to, ka dividendes un dalītāja nosacījumi ir sakārtoti dilstošās pakāpēs un sakarā ar to, ka burta x pakāpes abos polinomos katru reizi samazinās par 1, tas pagriezās. noskaidrojiet, ka viens zem otra ir rakstīti līdzīgi termini (piemēram: –7x 2 un + x 2), kāpēc tos ir viegli izmest. Var pamanīt, ka ne visi dividenžu dalībnieki ir nepieciešami katrā aprēķina brīdī. Piemēram, +1 vārds nav vajadzīgs brīdī, kad tika atrasts koeficienta 2. loceklis, un šo aprēķinu daļu var vienkāršot.
Vairāk piemēru:
1. (2a 4 - 3ab 3 - b 4 - 3a 2 b 2) ÷ (b 2 + a 2 + ab).
Sakārtosim burtus a un dividendi un dalītāju dilstošā pakāpē:
(Ņemiet vērā, ka šeit, tā kā dividendē nav termina ar 3, pirmajā atņemšanā izrādījās, ka viens zem otra nav parakstīti līdzīgi termini –a 2 b 2 un –2a 3 b. Protams, tie nevar samazināt līdz vienam termiņam, un abi ir rakstīti zem rindas pēc darba stāža).
Abos piemēros jums ir jābūt uzmanīgākam pret līdzīgiem dalībniekiem: 1) bieži vien zem cita tiek rakstīti nelīdzīgi termini, un 2) dažreiz (kā, piemēram, pēdējā piemērā, termini –4a n un –an at pirmā atņemšana) līdzīgi termini iznāk rakstīti nevis zem cita.
Ir iespējams veikt polinomu dalīšanu citā secībā, proti: katru reizi meklējot zemāko daļu vai visu vai atlikušo koeficientu. Šajā gadījumā ir ērti sakārtot šos polinomus jebkura burta augošā pakāpē. Piemēram:
