Kā ātri iegūt kvadrātsaknes. Kas ir kvadrātsakne? Kā aprēķināt kvadrātsakni no simts

Diezgan bieži, risinot problēmas, mēs saskaramies ar lieliem skaitļiem, no kuriem mums ir jāizņem kvadrātsakne. Daudzi studenti nolemj, ka tā ir kļūda, un sāk no jauna atrisināt visu piemēru. Nekādā gadījumā nevajadzētu to darīt! Tam ir divi iemesli:

1. Problēmās parādās liela skaita saknes. Īpaši tekstos;
2. Ir algoritms, pēc kura šīs saknes tiek aprēķinātas gandrīz mutiski.

Mēs šodien apsvērsim šo algoritmu. Varbūt dažas lietas jums šķitīs nesaprotamas. Bet, ja jūs pievērsīsiet uzmanību šai nodarbībai, jūs saņemsiet spēcīgu ieroci pret kvadrātsaknes .

Tātad, algoritms:

1. Ierobežojiet nepieciešamo sakni virs un zemāk līdz skaitļiem, kas ir 10 reizinātāji. Tādējādi mēs samazināsim meklēšanas diapazonu līdz 10 skaitļiem;
2. No šiem 10 skaitļiem atsijājiet tos, kas noteikti nevar būt saknes. Rezultātā paliks 1-2 cipari;
3. Kvadrātiņā šos 1-2 skaitļus. Tas, kura kvadrāts ir vienāds ar sākotnējo skaitli, būs sakne.

Pirms šī algoritma izmantošanas praksē, apskatīsim katru atsevišķu soli.

Sakņu ierobežojums

Pirmkārt, mums ir jānoskaidro, starp kuriem skaitļiem atrodas mūsu sakne. Ir ļoti vēlams, lai skaitļi būtu desmit reizes:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Mēs iegūstam skaitļu sēriju:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Ko šie skaitļi mums stāsta? Tas ir vienkārši: mēs iegūstam robežas. Ņemiet, piemēram, skaitli 1296. Tas atrodas no 900 līdz 1600. Tāpēc tā sakne nevar būt mazāka par 30 un lielāka par 40:

[Paraksts attēlam]

Tas pats attiecas uz jebkuru citu skaitli, no kura var atrast kvadrātsakni. Piemēram, 3364:

[Paraksts attēlam]

Tādējādi nesaprotama skaitļa vietā mēs iegūstam ļoti konkrētu diapazonu, kurā atrodas sākotnējā sakne. Lai vēl vairāk sašaurinātu meklēšanas apgabalu, pārejiet uz otro darbību.

Acīmredzami nevajadzīgu skaitļu likvidēšana

Tātad, mums ir 10 skaitļi - saknes kandidāti. Mēs tos ieguvām ļoti ātri, bez sarežģītas domāšanas un reizināšanas kolonnā. Ir pienācis laiks doties tālāk.

Ticiet vai nē, bet tagad kandidātu skaitu samazināsim līdz diviem – atkal bez sarežģītiem aprēķiniem! Pietiek zināt īpašo noteikumu. Šeit tas ir:

Kvadrāta pēdējais cipars ir atkarīgs tikai no pēdējā cipara oriģinālais numurs.

Citiem vārdiem sakot, vienkārši paskatieties uz kvadrāta pēdējo ciparu, un mēs uzreiz sapratīsim, kur beidzas sākotnējais skaitlis.

Pēdējā vietā var būt tikai 10 cipari. Mēģināsim noskaidrot, par ko tie pārvēršas, ja tos saliek kvadrātā. Apskatiet tabulu:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

Šī tabula ir vēl viens solis ceļā uz saknes aprēķināšanu. Kā redzat, skaitļi otrajā rindā izrādījās simetriski attiecībā pret pieciem. Piemēram:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Kā redzat, abos gadījumos pēdējais cipars ir vienāds. Tas nozīmē, ka, piemēram, 3364 saknei jābeidzas ar 2 vai 8. No otras puses, mēs atceramies ierobežojumu no iepriekšējās rindkopas. Mēs iegūstam:

[Paraksts attēlam]

Sarkanie kvadrāti norāda, ka mēs vēl nezinām šo skaitli. Bet sakne atrodas diapazonā no 50 līdz 60, uz kura ir tikai divi skaitļi, kas beidzas ar 2 un 8:

[Paraksts attēlam]

Tas arī viss! No visām iespējamām saknēm mēs atstājām tikai divus variantus! Un tas ir grūtākajā gadījumā, jo pēdējais cipars var būt 5 vai 0. Un tad uz saknēm būs tikai viens kandidāts!

Galīgie aprēķini

Tātad mums ir palikuši 2 kandidātu numuri. Kā jūs zināt, kura no tām ir sakne? Atbilde ir acīmredzama: kvadrātā abus skaitļus. Tas, kas kvadrātā dod sākotnējo skaitli, būs sakne.

Piemēram, skaitlim 3364 mēs atradām divus kandidātu skaitļus: 52 un 58. Salīdzināsim tos kvadrātā:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 - 2) 2 = 3600 - 2 60 2 + 4 = 3364.

Tas arī viss! Izrādījās, ka sakne ir 58! Tajā pašā laikā, lai vienkāršotu aprēķinus, es izmantoju formulas summas un starpības kvadrātiem. Pateicoties tam, man pat nebija jāreizina skaitļi kolonnā! Tas ir vēl viens aprēķinu optimizācijas līmenis, bet, protams, pilnīgi neobligāts :)

Sakņu aprēķināšanas piemēri

Teorija, protams, ir laba. Bet pārbaudīsim to praksē.

[Paraksts attēlam]

Vispirms noskaidrosim, starp kuriem skaitļiem atrodas skaitlis 576:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Tagad apskatīsim pēdējo numuru. Tas ir vienāds ar 6. Kad tas notiek? Tikai tad, ja sakne beidzas ar 4 vai 6. Mēs iegūstam divus skaitļus:

Atliek tikai kvadrātā katru skaitli un salīdzināt ar oriģinālu:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Lieliski! Pirmais kvadrāts izrādījās vienāds ar sākotnējo skaitli. Tātad šī ir sakne.

Uzdevums. Aprēķiniet kvadrātsakni:

[Paraksts attēlam]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Apskatīsim pēdējo ciparu:

1369 → 9;
33; 37.

Kvadrātveida:

33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 - 3) 2 = 1600 - 2 40 3 + 9 = 1369.

Šeit ir atbilde: 37.

Uzdevums. Aprēķiniet kvadrātsakni:

[Paraksts attēlam]

Mēs ierobežojam skaitu:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Apskatīsim pēdējo ciparu:

2704 → 4;
52; 58.

Kvadrātveida:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

Saņēmām atbildi: 52. Otrais cipars vairs nebūs jāliek kvadrātā.

Uzdevums. Aprēķiniet kvadrātsakni:

[Paraksts attēlam]

Mēs ierobežojam skaitu:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Apskatīsim pēdējo ciparu:

4225 → 5;
65.

Kā redzat, pēc otrā soļa ir palikusi tikai viena iespēja: 65. Šī ir vēlamā sakne. Bet tomēr pieņemsim to kvadrātā un pārbaudīsim:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

Viss ir pareizi. Mēs pierakstām atbildi.

Secinājums

Diemžēl nav labāk. Apskatīsim iemeslus. Ir divi no tiem:

• Jebkurā parastā matemātikas eksāmenā, vai tas būtu valsts eksāmens vai vienotais valsts eksāmens, kalkulatoru izmantošana ir aizliegta. Un, ja nodarbībās ienesat kalkulatoru, jūs varat viegli izmest no eksāmena.
• Neesiet kā stulbi amerikāņi. Kas nav kā saknes - tās nevar pievienot divus pirmskaitļus. Un, kad viņi redz frakcijas, viņi parasti kļūst histēriski.

Starp daudzajām zināšanām, kas liecina par lasītprasmi, alfabēts ir pirmajā vietā. Nākamais, tikpat “zīmes” elements ir saskaitīšanas-reizināšanas prasmes un tām blakus, bet pēc nozīmes pretējas aritmētiskās atņemšanas-dalīšanas darbības. Tālā skolas bērnībā apgūtās prasmes uzticīgi kalpo dienu un nakti: TV, avīzes, SMS un visur, kur mēs lasām, rakstām, skaitam, saskaitām, atņemam, reizinām. Un sakiet man, vai jums bieži ir nācies savā dzīvē izvilkt saknes, izņemot vasarnīcu? Piemēram, tāda izklaidējoša problēma, kā kvadrātsakne no skaitļa 12345... Vai kolbās vēl ir šaujampulveris? Vai mēs varam tikt galā? Nekas nevar būt vienkāršāks! Kur ir mans kalkulators... Un bez tā roku cīņa ir vāja?

Vispirms noskaidrosim, kas tas ir – skaitļa kvadrātsakne. Vispārīgi runājot, “ņemt skaitļa sakni” nozīmē veikt aritmētisku darbību, kas ir pretēja paaugstināšanai līdz pakāpei - šeit jums ir pretstatu vienotība dzīvē. Pieņemsim, ka kvadrāts ir skaitļa reizinājums ar sevi, t.i., kā mācīja skolā, X * X = A vai citā apzīmējumā X2 = A, un vārdos - “X kvadrātā ir vienāds ar A”. Tad apgrieztā problēma izklausās šādi: skaitļa A kvadrātsakne ir skaitlis X, kas kvadrātā ir vienāds ar A.

Ņemot kvadrātsakni

No skolas kurss Aritmētika zina aprēķinu metodes “kolonnā”, kas palīdz veikt jebkurus aprēķinus, izmantojot pirmās četras aritmētiskās darbības. Diemžēl... Kvadrātveida, un ne tikai kvadrātveida saknēm, tādi algoritmi neeksistē. Un kā šajā gadījumā izvilkt kvadrātsakni bez kalkulatora? Pamatojoties uz definīciju kvadrātsakne Secinājums ir tikai viens - ir jāizvēlas rezultāta vērtība, secīgi uzskaitot skaitļus, kuru kvadrāts tuvojas radikālas izteiksmes vērtībai. Tas arī viss! Pirms ir pagājusi stunda vai divas, jūs varat aprēķināt jebkuru kvadrātsakni, izmantojot labi zināmo reizināšanas metodi “kolonnā”. Ja jums ir prasmes, tas prasīs tikai dažas minūtes. Pat ne pārāk pieredzējis kalkulatora vai datora lietotājs to var izdarīt vienā rāvienā - progress.

Bet, ja nopietni, kvadrātsaknes aprēķins bieži tiek veikts, izmantojot “artilērijas dakšas” tehniku: vispirms ņemiet skaitli, kura kvadrāts aptuveni atbilst radikālajai izteiksmei. Labāk, ja “mūsu kvadrāts” ir nedaudz mazāks par šo izteiksmi. Tad viņi pielāgo skaitli pēc savas prasmes un izpratnes, piemēram, reizina ar divi, un... vēlreiz kvadrātā. Ja rezultāts vairāk numuru zem saknes, secīgi pielāgojot sākotnējo numuru, pakāpeniski tuvojoties savam “kolēģim” zem saknes. Kā redzat - nav kalkulatora, tikai iespēja skaitīt “kolonnā”. Protams, ir daudz zinātniski pierādītu un optimizētu algoritmu kvadrātsaknes aprēķināšanai, taču “lietošanai mājās” iepriekšminētā tehnika sniedz 100% pārliecību par rezultātu.

Jā, gandrīz aizmirsu, lai apstiprinātu mūsu paaugstināto lasītprasmi, aprēķināsim kvadrātsakni no iepriekš norādītā skaitļa 12345. Mēs to darām soli pa solim:

1. Ņemsim, tīri intuitīvi, X=100. Aprēķināsim: X * X = 10000. Intuīcija ir vislabākajā līmenī – rezultāts ir mazāks par 12345.

2. Mēģināsim, arī tīri intuitīvi, X = 120. Tad: X * X = 14400. Un atkal ar intuīciju viss kārtībā - rezultāts ir lielāks par 12345.

3. Augstāk mēs saņēmām “dakšiņu” 100 un 120. Izvēlamies jaunus skaitļus - 110 un 115. Iegūstam attiecīgi 12100 un 13225 - dakša sašaurinās.

4. Mēģināsim “varbūt” X=111. Iegūstam X * X = 12321. Šis skaitlis jau ir diezgan tuvs 12345. Atbilstoši nepieciešamajai precizitātei “iederību” var turpināt vai apturēt pie iegūtā rezultāta. Tas arī viss. Kā jau solīts – viss ļoti vienkārši un bez kalkulatora.

Tikai nedaudz vēstures...

Pitagorieši, skolas audzēkņi un Pitagora sekotāji, nāca klajā ar ideju par kvadrātsakņu izmantošanu 800 gadus pirms mūsu ēras. un tad “ieskrējām” ar jauniem atklājumiem skaitļu jomā. Un no kurienes tas radās?

1. Atrisinot uzdevumu ar saknes izvilkšanu, rezultāts tiek iegūts jaunas klases skaitļu formā. Tos sauca par neracionāliem, citiem vārdiem sakot, par “nesaprātīgiem”, jo. tie nav rakstīti kā pilns skaitlis. Klasiskākais šāda veida piemērs ir kvadrātsakne no 2. Šis gadījums atbilst kvadrāta diagonāles aprēķināšanai, kura mala ir vienāda ar 1 - tā ir Pitagora skolas ietekme. Izrādījās, ka trīsstūrī ar ļoti specifisku malu lielumu hipotenūzai ir izmērs, kas izteikts ar skaitli, kuram “nav gala”. Tā viņi parādījās matemātikā

2. Ir zināms, ka izrādījās, ka šī matemātiskā darbība satur vēl vienu āķi - izvelkot sakni, mēs nezinām, kurš skaitlis, pozitīvs vai negatīvs, ir radikālas izteiksmes kvadrāts. Šī nenoteiktība, vienas darbības dubultais rezultāts, tiek reģistrēts šādā veidā.

Ar šo parādību saistīto problēmu izpēte ir kļuvusi par matemātikas virzienu, ko sauc par komplekso mainīgo teoriju, kurai ir liela praktiska nozīme matemātiskajā fizikā.

Interesanti, ka tas pats visuresošais I. Ņūtons savā “Universālajā aritmētikā” izmantoja saknes apzīmējumu - radikālis, un tieši mūsdienu saknes apzīmējuma forma ir zināma kopš 1690. gada no francūža Rolle grāmatas “Rokasgrāmata”. Algebra”.

"Tirdzniecības" revolūcija
Komkovs Sergejs 26.12.2012

Uz Krievijas tikko pabeigtās pievienošanās PTO fona tiek iznīcināta RGTEU - vadošā Krievijas universitāte tirdzniecības (un, pirmkārt, ārējās tirdzniecības) attiecību sistēmā, kā arī tās rektora, slavenā politiķa Sergeja Baburina atlaišana izskatās ne tikai pēc stulbuma. Tas viss ļoti izskatās pēc iepriekš izplānotas provokācijas.

Šķiet, ka Pasaules Tirdzniecības organizācija un galvenokārt ASV, kam tajā ir galvenā loma, bija nopietni nobažījušās iespējamās sekas pievienošanās šai krievu organizācijai.

Bet tad viņi jau laikus atcerējās, ka viņu izaudzinātā un koptā organizācija Krievijā veiksmīgi darbojas jau ilgu laiku - Augstskola Ekonomika. Tas tika izveidots 1992. gadā ar Pasaules Bankas naudu ar mērķi iznīcināt visu mūsu valstī intelektuālais potenciāls tauta. Viņas vadībā šodien darbojas galvenais kolektīvais “ietekmes aģents” šajā jomā – Krievijas Izglītības un zinātnes ministrija.

Var runāt daudz un ad infinitum par tikko kaltā ministra Livanova kunga stulbumu un neprasmi, kuram ir grūtības atšķirt izglītības veidus un jomas. Bet pats Livanova kungs ir absolūta nulle bez nūjas. No kura lūpām ikreiz, kad tās tiek atvērtas, noteikti izlec kādas jaunas muļķības. Aiz viņa slejas krāsainākas figūras. Piemēram, visu mūsu valsts ekonomisko transformāciju galvenais “ideologs” ASV pilsonis Jevgeņijs Jasins un viņa palīgs HSE rektors Jaroslavs Kuzminovs.

Tieši viņi pēc Pasaules Bankas amerikāņu padomnieku rosinājuma, aktīvi strādājot uz Ekonomikas augstskolas bāzes, izdomāja kritērijus tā sauktajai Krievijas universitāšu “uzraudzībai”.

Un nevienam vairs nav noslēpums, ka saskaņā ar šiem “kritērijiem” nozīmīgākās Krievijas augstskolas iekļuva kategorijā “neefektīvas”. Universitātes ar bagātu vēsturi un tradīcijām, ar milzīgu radošais potenciāls. Piemēram, MARCHI, RSUH, Literārais institūts.

Šajā kategorijā ietilpa arī Krievijas Valsts tirdzniecības un ekonomikas universitāte - RGTEU. Lai gan daudzos savos rādītājos šī universitāte var dot simts punktu pārsvaru tieši tai “Pleškai”, kurai viņi tik pēkšņi nolēma tai pievienoties. Un, pirmkārt, jautājumos par speciālistu sagatavošanu sistēmai ārējā tirdzniecība.

RGTEU ir ne tikai milzīgs starptautiskās attiecības. Tajā rūpīgi tiek pētītas ārvalstu tirdzniecības attīstības iezīmes. Šīs universitātes sienās vadošie ekonomikas un politiķiem miers, ārvalstu vēstnieki. Šīs universitātes goda doktori ir vadošie pasaules līderi. Piemēram, Fidels Kastro un Ugo Čavess.

Un tie, kā jūs zināt, ir Amerikas "zvērināti draugi". Tātad instrumenti, lai iznīcinātu šādu bīstamu izglītības iestāde. Lai Krievija, nedod Dievs, nenovirzās no “patiesā ceļa” un nenodod amerikāņu klientu intereses.

Un paša rektora – Krievijā un tālu aiz tās robežām pazīstama politiķa un zinātnieka – personība mūsu amerikāņu onkuļiem izcēlās kā kauls rīklē.

Sergejs Baburins nebija tikai viens no parlamenta opozīcijas līderiem, ieņemot iepriekšējo sastāvu Valsts dome Krievijai kā vicespīkera vieta. Viņš bija aktīvs Krievijas jaunās politikas atbalstītājs visā postpadomju telpā. Tieši viņš 2006. gadā aktīvi palīdzēja Abhāzijas iedzīvotājiem izkļūt no dziļākās politiskās krīzes. Kurā, starp citu, viņu atkal iedzina tie paši stulbie valdības ierēdņi un Krievijas prezidenta administrācija, paklausot amerikāņu padomnieku gribai.

Pateicoties Sergeja Baburina pūlēm, progresīvie spēki, kuru vadīja Sergejs Bagapšs, ieguva virsroku Abhāzijā. Kopš 2008. gada Abhāzija ir kļuvusi par Krievijas galveno stratēģisko partneri Ziemeļkaukāzā.

Šāda pozīcija ir saprātīga, līdzsvarota patriotisma izpausme. Tāpēc Baburins vairākus gadus ir vadījis Krievijas Tautas savienību un ir ikgadējo tradicionālo krievu gājienu organizators. Nevis tās ar kāškrustiem un fašistiskajiem saukļiem "Krievija ir tikai krieviem!" Un visiem valsts iedzīvotājiem ir saprotami runāt ar prasībām respektēt Krievijas nacionālās intereses jautājumos ārpolitika un pilda saviem cilvēkiem dotos sociālos solījumus.

Bet tas ir tieši tas, kas nepatīk amerikāņu rokaspuišiem, kuri ir iesakņojušies savos birojos Krievijas valdība. Jo viņiem prasība ievērot mūsu nacionālās intereses ir kā nazis pie sirds.

Tā nu kādam ienāca prātā ar vienu sitienu nogalināt divus putnus: universitāti, kas sagatavo speciālistus veiksmīgai Krievijas ārējai tirdzniecībai, un tās patriotisko rektoru.

Parasti muļķi ir vislabāk piemēroti šāda veida darbībām. Jo, kā mēs zinām, viņi nezina, ko viņi patiesībā dara. Bet šajā konkrētajā gadījumā var rasties ļoti nopietna kļūda, kas var izraisīt nopietnas sekas. sociālās sekas visai valstij.

Mūsu ierēdņi, kuri ir alkatīgi pret valdības grautiņiem un uzskatot sevi par pilnīgi taisniem jebkurā netaisnīgā darbībā, ir aizmirsuši visvienkāršāko patiesību: viņiem nav varas pār jauneklīgām dvēselēm un jaunības impulsiem.

Tieši šāds impulss pagājušā gadsimta 60. gadu beigās aizslaucīja ģenerāļa De Golla valdību Francijā. Arī tur viss sākās ar it kā nekaitīgām lietām. Un tas beidzās ar vispārēju haosu, nemieriem, automašīnu un biroju dedzināšanu.

Jaunieši (īpaši organizētā studentu jaunatne) nav bankrotējušu opozīcijas politiķu bars, kas ir bijuši pie varas un līdz ar to ir ļoti aizvainoti. Studentu jaunatne vienmēr un visos laikos ir bijusi viens no galvenajiem revolūcijas virzītājspēkiem. Un mūsdienu jaunatne nav izņēmums no noteikuma. Tieši otrādi. Tieši mūsdienu jaunatne, kas ir īpaši jūtīga pret sabiedrībā radušos sociālo netaisnību un nevienlīdzību, ir spējīga spert stāvākos un radikālākos soļus. Un, ja valdība mēģinās pielietot spēku, tas tai būs liktenīgs. Jo jaunieši viņai to nekad nepiedos.

Kad Livanova kungs un Co paziņoja par nodomu sākt problēmas risināšanu ar spēku augstākā izglītība Slēdzot un apvienojot universitātes, viņi faktiski parakstīja savu nāves spriedumu. Viņi pat nedomāja par to, kādus dziļus spēkus viņi ceļ. Un tas beigsies traģiski ne tikai tiem, kas šodien atrodas vadošos amatos Izglītības un zinātnes ministrijā, bet visiem Krievijas vadība vispār. Jo pat lokāli apspiests jauniešu dumpis neaizmirst. Tas nobriest ar jauns spēks. Bet kur un kad tas piemeklēs, neviens nevar paredzēt.

Tātad notikumi RGTEU tikai no pirmā acu uzmetiena izskatās pēc kaut kādas “tirdzniecības revolūcijas”. Patiesībā viņi ir priekšvēstneši citam – skarbākam un asiņainam sociālajam karam, kurā uzvarētāju nebūs.

Zaudētājs ir zināms iepriekš. Tā ir mūsu Dzimtene. Valsts, kuru mēs joprojām dažreiz ar zināmu lepnumu saucam par Krieviju.

Līdz ar to Izglītības un zinātnes ministrijas vadības šodienas rīcība attiecībā uz vienu izglītības iestādi un attiecībā pret vienu rektoru ir uzskatāma par sociālā kara rosināšanu citas valsts vārdā un labā.

Un to sauc: Nacionālā nodevība.

Izlemjot dažādi uzdevumi Matemātikas un fizikas kursos skolēni un studenti bieži saskaras ar nepieciešamību iegūt otrās, trešās vai n-tās pakāpes saknes. Protams, gadsimtā informācijas tehnoloģijasŠo problēmu nebūs grūti atrisināt, izmantojot kalkulatoru. Tomēr rodas situācijas, kad elektronisko palīgu nav iespējams izmantot.

Piemēram, daudzi eksāmeni neļauj ņemt līdzi elektroniku. Turklāt jums var nebūt pie rokas kalkulatora. Šādos gadījumos ir lietderīgi zināt vismaz dažas metodes radikāļu manuālai aprēķināšanai.

Kvadrātsakņu atrašana, izmantojot kvadrātu tabulu

Viens no vienkāršākajiem veidiem, kā aprēķināt saknes, ir izmantojot īpašu tabulu. Kas tas ir un kā to pareizi lietot?

Izmantojot tabulu, varat atrast jebkura skaitļa kvadrātu no 10 līdz 99. Tabulas rindās ir desmitu vērtības, bet kolonnās ir vienību vērtības. Šūnā rindas un kolonnas krustpunktā ir divciparu skaitļa kvadrāts. Lai aprēķinātu kvadrātu 63, jāatrod rinda ar vērtību 6 un kolonna ar vērtību 3. Krustojumā atradīsim šūnu ar skaitli 3969.

Tā kā saknes izvilkšana ir kvadrātēšanas apgrieztā darbība, lai veiktu šo darbību, ir jārīkojas pretēji: vispirms jāatrod šūna ar skaitli, kuras radikāli vēlaties aprēķināt, pēc tam izmantojiet kolonnas un rindas vērtības, lai noteiktu atbildi. . Piemēram, apsveriet iespēju aprēķināt kvadrātsakni no 169.

Tabulā atrodam šūnu ar šo skaitli, horizontāli nosakām desmitniekus - 1, vertikāli atrodam vienības - 3. Atbilde: √169 = 13.

Līdzīgi varat aprēķināt kuba un n-tās saknes, izmantojot atbilstošās tabulas.

Metodes priekšrocība ir tās vienkāršība un papildu aprēķinu trūkums. Trūkumi ir acīmredzami: metodi var izmantot tikai ierobežotam skaitļu diapazonam (skaitlim, kuram tiek atrasta sakne, jābūt diapazonā no 100 līdz 9801). Turklāt tas nedarbosies, ja norādītais numurs nav tabulā.

Galvenā faktorizācija

Ja kvadrātu tabula nav pie rokas vai izrādījās neiespējami atrast sakni ar tās palīdzību, varat mēģināt aprēķina skaitli zem saknes primārajos faktoros. Galvenie faktori ir tie, kas pilnībā (bez atlikuma) var dalīties tikai ar sevi vai ar vienu. Piemēri varētu būt 2, 3, 5, 7, 11, 13 utt.

Apskatīsim saknes aprēķināšanu, kā piemēru izmantojot √576. Sadalīsim to galvenajos faktoros. Mēs iegūstam šādu rezultātu: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². Izmantojot sakņu pamatīpašību √a² = a, mēs atbrīvosimies no saknēm un kvadrātiem un pēc tam aprēķināsim atbildi: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​= 24.

Ko darīt, ja kādam no reizinātājiem nav sava pāra? Piemēram, apsveriet √54 aprēķinu. Pēc faktorizācijas mēs iegūstam rezultātu šādā formā: √54 = √(2 ∙ 3 ​​∙ 3 ∙ 3) = √3² ∙ √(2 ∙ 3) = 3√6. Nenoņemamo daļu var atstāt zem saknes. Lielākajai daļai ģeometrijas un algebras problēmu tā tiks uzskatīta par galīgo atbildi. Bet, ja ir nepieciešams aprēķināt aptuvenās vērtības, varat izmantot metodes, kas tiks apspriestas tālāk.

Herona metode

Ko darīt, ja jums vismaz aptuveni jāzina, ar ko ir vienāda izvilktā sakne (ja nav iespējams iegūt veselu skaitli)? Ātri un skaisti precīzs rezultāts sniedz Herona metodes pielietojumu. Tās būtība ir izmantot aptuvenu formulu:

√R = √a + (R - a) / 2√a,

kur R ir skaitlis, kura sakne ir jāaprēķina, a ir tuvākais skaitlis, kura saknes vērtība ir zināma.

Apskatīsim, kā metode darbojas praksē, un novērtēsim, cik tā ir precīza. Aprēķināsim, ar ko √111 ir vienāds. Skaitlim 111 tuvākais skaitlis, kura sakne ir zināma, ir 121. Tādējādi R = 111, a = 121. Aizvietojiet vērtības formulā:

√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.

Tagad pārbaudīsim metodes precizitāti:

10,55² = 111,3025.

Metodes kļūda bija aptuveni 0,3. Ja metodes precizitāte ir jāuzlabo, varat atkārtot iepriekš aprakstītās darbības:

√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

Pārbaudīsim aprēķina precizitāti:

10,536² = 111,0073.

Pēc formulas atkārtotas pielietošanas kļūda kļuva pavisam nenozīmīga.

Saknes aprēķināšana ar garo dalīšanu

Šī kvadrātsaknes vērtības noteikšanas metode ir nedaudz sarežģītāka nekā iepriekšējās. Tomēr tā ir visprecīzākā starp citām aprēķina metodēm bez kalkulatora.

Pieņemsim, ka jums ir jāatrod kvadrātsakne ar precizitāti līdz 4 cipariem aiz komata. Analizēsim aprēķina algoritmu, izmantojot patvaļīga skaitļa 1308.1912 piemēru.

1. Sadaliet papīra lapu 2 daļās ar vertikālu līniju un pēc tam novelciet vēl vienu līniju pa labi, nedaudz zem augšējās malas. Kreisajā pusē rakstīsim skaitli, sadalot to grupās pa 2 cipariem, virzoties pa labi un pa kreisi no komata. Pats pirmais cipars kreisajā pusē var būt bez pāra. Ja cipara labajā pusē trūkst zīmes, tad jāpievieno 0. Mūsu gadījumā rezultāts būs 13 08.19 12.
2. Atlasīsim lielāko skaitli, kura kvadrāts ir mazāks vai vienāds ar pirmo ciparu grupu. Mūsu gadījumā tas ir 3. Rakstīsim to augšējā labajā stūrī; 3 ir rezultāta pirmais cipars. Apakšējā labajā pusē mēs norādām 3 × 3 = 9; tas būs nepieciešams turpmākajiem aprēķiniem. No 13 kolonnā mēs atņemam 9, mēs iegūstam atlikumu 4.
3. Piešķirsim nākamo skaitļu pāri atlikumam 4; mēs saņemam 408.
4. Augšējā labajā pusē esošo skaitli reiziniet ar 2 un pierakstiet to apakšējā labajā stūrī, pievienojot tam _ x _ =. Mēs iegūstam 6_ x _ =.
5. Domuzīmju vietā jāaizstāj ar to pašu skaitli, kas ir mazāks vai vienāds ar 408. Iegūstam 66 × 6 = 396. Mēs rakstām 6 no augšējās labās puses, jo tas ir rezultāta otrais cipars. No 408 atņemiet 396, iegūstam 12.
6. Atkārtosim 3.–6. darbību. Tā kā uz leju pārvietotie cipari atrodas skaitļa daļējā daļā, augšpusē pa labi aiz 6 ir jānoliek komata. Pierakstīsim dubulto rezultātu ar domuzīmēm: 72_ x _ =. Piemērots skaitlis būtu 1: 721×1 = 721. Pierakstīsim to kā atbildi. Atņemsim 1219 - 721 = 498.
7. Iepriekšējā rindkopā doto darbību secību veiksim vēl trīs reizes, lai iegūtu nepieciešamais daudzums decimālzīmes. Ja turpmākajiem aprēķiniem nav pietiekami daudz rakstzīmju, pašreizējam skaitlim kreisajā pusē jāpievieno divas nulles.

Rezultātā mēs saņemam atbildi: √1308.1912 ≈ 36.1689. Ja pārbaudāt darbību, izmantojot kalkulatoru, varat pārliecināties, vai visas zīmes ir identificētas pareizi.

Bitu kvadrātsaknes aprēķins

Metode ir ļoti precīza. Turklāt tas ir diezgan saprotams un neprasa iegaumēt formulas vai sarežģītu darbību algoritmu, jo metodes būtība ir izvēlēties pareizo rezultātu.

Izvilksim skaitļa 781 sakni. Sīkāk apskatīsim darbību secību.

1. Noskaidrosim, kurš kvadrātsaknes vērtības cipars būs visnozīmīgākais. Lai to izdarītu, saliksim kvadrātā 0, 10, 100, 1000 utt. un noskaidrosim, starp kuriem no tiem atrodas radikālais skaitlis. Mēs iegūstam 10²< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
2. Izvēlēsimies desmitnieku vērtību. Lai to izdarītu, mēs pēc kārtas palielināsim ar pakāpēm 10, 20, ..., 90, līdz iegūstam skaitli, kas ir lielāks par 781. Mūsu gadījumā mēs iegūstam 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900. rezultāta n vērtība būs 20 robežās< n <30.
3. Līdzīgi kā iepriekšējā darbībā, tiek atlasīta vienību cipara vērtība. Kvadrātēsim 21,22, ..., 29 pa vienam: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 28. Mēs iegūstam, ka 7824.²< n < 28.
4. Katrs nākamais cipars (desmitdaļas, simtdaļas utt.) tiek aprēķināts tādā pašā veidā, kā parādīts iepriekš. Aprēķini tiek veikti, līdz tiek sasniegta nepieciešamā precizitāte.

Video

Šis video parādīs, kā atrast kvadrātsaknes, neizmantojot kalkulatoru.

Problēma par saknes atrašanu matemātikā ir apgriezta problēma, kas saistīta ar skaitļa paaugstināšanu pakāpē. Ir dažādas saknes: otrās pakāpes saknes, trešās pakāpes saknes, ceturtās pakāpes saknes un tā tālāk. Tas ir atkarīgs no tā, uz kādu jaudu skaitlis sākotnēji tika palielināts. Sakni apzīmē ar simbolu: √ ir kvadrātsakne, tas ir, otrās pakāpes sakne, ja saknei ir pakāpe, kas ir lielāka par otro, tad atbilstošā pakāpe tiek piešķirta virs saknes zīmes. Skaitlis, kas atrodas zem saknes zīmes, ir radikāla izteiksme. Atrodot sakni, ir vairāki noteikumi, kas palīdzēs nekļūdīties saknes atrašanā:

• Negatīvā skaitļa pāra sakne (ja pakāpe ir 2, 4, 6, 8 utt.) NAV. Ja radikālā izteiksme ir negatīva, bet tiek meklēta nepāra pakāpes sakne (3, 5, 7 un tā tālāk), tad rezultāts būs negatīvs.
• Jebkuras pakāpes sakne vienmēr ir viena: √1 = 1.
• Nulles sakne ir nulle: √0 = 0.

Kā atrast 100 sakni

Ja uzdevumā nav teikts, kāda pakāpes sakne ir jāatrod, tad tas parasti nozīmē, ka ir jāatrod otrās pakāpes sakne (kvadrāts).
Atradīsim √100 = ? Mums jāatrod skaitlis, kas, paaugstinot līdz otrajai pakāpei, dod skaitli 100. Acīmredzot šāds skaitlis ir skaitlis 10, jo: 10 2 = 100. Tāpēc √100 = 10: kvadrātsakne no 100 ir 10.