Saknes x funkcijas grafiks. Kvadrātsakne

Vai meklējāt x sakni no x vienādības? . Detalizēts risinājums ar aprakstu un paskaidrojumiem palīdzēs tikt galā ar pat vissarežģītākajām problēmām, un x ir y sakne, nav izņēmums. Palīdzēsim sagatavoties mājas darbiem, ieskaitēm, olimpiādēm, kā arī iestājai augstskolā.

Un neatkarīgi no piemēra, neatkarīgi no ievadītā matemātikas vaicājuma, mums jau ir risinājums. Piemēram, “x ir vienāds ar x sakne”. Mūsu dzīvē ir plaši izplatīta dažādu matemātisko problēmu, kalkulatoru, vienādojumu un funkciju izmantošana. Tos izmanto daudzos aprēķinos, konstrukciju būvniecībā un pat sportā. Cilvēks matemātiku ir izmantojis kopš seniem laikiem un kopš tā laika to lietojums ir tikai palielinājies. Tomēr tagad zinātne nestāv uz vietas un mēs varam baudīt tās darbības augļus, piemēram, tiešsaistes kalkulatoru, kas var atrisināt tādas problēmas kā x sakne no x ir vienāda, x sakne no y, sakne no x, sakne no x. x ir vienāds ar x, sakne no x ir vienāda ar x, sakne no x vienāds ar x, funkcija y sakne mīnus x, funkcija y mīnus sakne x,x sakne

y,x sakne

no x ir vienāds. Šajā lapā jūs atradīsiet kalkulatoru, kas palīdzēs atrisināt jebkuru jautājumu, ieskaitot x sakni no x vienāds. (piemēram, x sakne).

Kur jūs varat atrisināt jebkuru uzdevumu matemātikā, kā arī x sakne no x vienāda tiešsaistē?

Jūs varat atrisināt problēmu x sakne no x vienāds mūsu vietnē. Bezmaksas tiešsaistes risinātājs ļaus jums dažu sekunžu laikā atrisināt jebkuras sarežģītības tiešsaistes problēmu. Viss, kas jums jādara, ir vienkārši ievadīt savus datus risinātājā. Varat arī noskatīties video instrukcijas un uzzināt, kā pareizi ievadīt savu uzdevumu mūsu vietnē. Un, ja jums joprojām ir jautājumi, varat tos uzdot tērzēšanā kalkulatora lapas apakšējā kreisajā stūrī.

Es vēlreiz paskatījos uz zīmi... Un, ejam!

Sāksim ar kaut ko vienkāršu:

Tikai minūti. tas nozīmē, ka mēs to varam rakstīt šādi:

Vai sapratāt? Lūk, nākamais jums:

Vai iegūto skaitļu saknes nav precīzi iegūtas? Nav problēmu — šeit ir daži piemēri:

Ko darīt, ja ir nevis divi, bet vairāk reizinātāju? Tas pats! Sakņu pavairošanas formula darbojas ar vairākiem faktoriem: Tagad pilnīgi patstāvīgi:

Atbildes:

Labi darīts! Piekrītu, viss ir ļoti vienkārši, galvenais ir zināt reizināšanas tabulu!

Atgādināšu, ka vispārējā formula izskatās šādi:

Kas nozīmē, ka koeficienta sakne ir vienāda ar sakņu koeficientu.

Nu, apskatīsim dažus piemērus:

Tāda ir visa zinātne. Šeit ir piemērs:

Viss nav tik gludi kā pirmajā piemērā, taču, kā redzat, nav nekā sarežģīta.

Ko darīt, ja jūs saskaraties ar šo izteicienu:

Jums vienkārši jāpiemēro formula pretējā virzienā:

Un šeit ir piemērs:

Varat arī saskarties ar šo izteicienu:

Viss ir vienāds, tikai šeit jums jāatceras, kā tulkot daļskaitļus (ja neatceraties, apskatiet tēmu un atgriezieties!). Vai atceries? Tagad pieņemsim lēmumu!

Esmu pārliecināts, ka esat ar visu tikuši galā, tagad mēģināsim pacelt saknes līdz grādiem.

Paaugstināšana

Kas notiek, ja kvadrātsakne ir kvadrātā? Tas ir vienkārši, atcerieties skaitļa kvadrātsaknes nozīmi - tas ir skaitlis, kura kvadrātsakne ir vienāda ar.

Tātad, ja mēs kvadrātā ņemam skaitli, kura kvadrātsakne ir vienāda, ko mēs iegūstam?

Nu protams!

Apskatīsim piemērus:

Tas ir vienkārši, vai ne? Ko darīt, ja sakne ir citā pakāpē? Viss kārtībā!

Ievērojiet to pašu loģiku un atcerieties īpašības un iespējamās darbības ar grādiem.

Izlasiet teoriju par tēmu “”, un viss jums kļūs ārkārtīgi skaidrs.

Piemēram, šeit ir izteiksme:

Šajā piemērā pakāpe ir pāra, bet ja tā ir nepāra? Atkal izmantojiet eksponentu īpašības un faktorējiet visu:

Šķiet, ka viss ir skaidrs, bet kā iegūt skaitļa sakni pakāpē? Šeit, piemēram, ir:

Diezgan vienkārši, vai ne? Ko darīt, ja grāds ir lielāks par diviem? Mēs ievērojam to pašu loģiku, izmantojot grādu īpašības:

Nu vai viss skaidrs? Pēc tam pats atrisiniet piemērus:

Un šeit ir atbildes:

Ieejot zem saknes zīmes

Ko mēs neesam iemācījušies darīt ar saknēm! Atliek vien vingrināties skaitļa ievadīšanā zem saknes zīmes!

Tas ir patiešām viegli!

Pieņemsim, ka mums ir pierakstīts skaitlis

Ko mēs ar to varam darīt? Nu, protams, paslēpiet trīs zem saknes, atceroties, ka trīs ir kvadrātsakne!

Kāpēc mums tas ir vajadzīgs? Jā, lai paplašinātu mūsu iespējas, risinot piemērus:

Kā jums patīk šī sakņu īpašība? Vai tas padara dzīvi daudz vieglāku? Man tas ir tieši pareizi! Tikai Jāatceras, ka zem kvadrātsaknes zīmes varam ievadīt tikai pozitīvus skaitļus.

Atrisiniet šo piemēru pats -
Vai jums izdevās? Apskatīsim, kas jums jāsaņem:

Labi darīts! Jums izdevās ievadīt numuru zem saknes zīmes! Pāriesim pie kaut kā tikpat svarīga – apskatīsim, kā salīdzināt skaitļus, kas satur kvadrātsakni!

Sakņu salīdzinājums

Kāpēc mums jāiemācās salīdzināt skaitļus, kuros ir kvadrātsakne?

Ļoti vienkārši. Bieži vien lielos un garos eksāmenā sastaptos izteicienos mēs saņemam neracionālu atbildi (atcerieties, kas tas ir? Mēs par to jau runājām šodien!)

Saņemtās atbildes ir jānovieto uz koordinātu līnijas, piemēram, lai noteiktu, kurš intervāls ir piemērots vienādojuma risināšanai. Un šeit rodas problēma: eksāmenā nav kalkulatora, un bez tā, kā jūs varat iedomāties, kurš skaitlis ir lielāks un kurš ir mazāks? Tas arī viss!

Piemēram, nosakiet, kurš ir lielāks: vai?

Jūs nevarat pateikt uzreiz. Nu, izmantosim izjaukto īpašību ievadīt skaitli zem saknes zīmes?

Tad uz priekšu:

Nu skaidrs, ko lielāks skaits zem saknes zīmes, jo lielāka pati sakne!

Tie. ja, tad,.

No tā mēs stingri secinām, ka. Un neviens mūs nepārliecinās par pretējo!

Sakņu iegūšana no liela skaita

Pirms tam mēs ievadījām reizinātāju zem saknes zīmes, bet kā to noņemt? Jums tas vienkārši jāiekļauj faktoros un jāizvelk tas, ko iegūstat!

Bija iespējams izvēlēties citu ceļu un paplašināties citos faktoros:

Nav slikti, vai ne? Jebkura no šīm pieejām ir pareiza, izlemiet, kā vēlaties.

Faktorings ir ļoti noderīgs, risinot tādas nestandarta problēmas kā:

Nebaidīsimies, bet rīkosimies! Sadalīsim katru faktoru zem saknes atsevišķos faktoros:

Tagad izmēģiniet to pats (bez kalkulatora! Tas nebūs eksāmenā):

Vai šīs ir beigas? Neapstāsimies pusceļā!

Tas arī viss, nav tik biedējoši, vai ne?

Vai tas izdevās? Labi darīts, tieši tā!

Tagad izmēģiniet šo piemēru:

Bet piemērs ir grūts rieksts, tāpēc jūs nevarat uzreiz saprast, kā tam pieiet. Bet, protams, mēs ar to varam tikt galā.

Nu, sāksim faktoringu? Nekavējoties atzīmēsim, ka skaitli var dalīt ar (atcerieties dalāmības zīmes):

Tagad izmēģiniet to pats (atkal, bez kalkulatora!):

Nu, vai tas izdevās? Labi darīts, tieši tā!

Apkoposim to

1. Nenegatīva skaitļa kvadrātsakne (aritmētiskā kvadrātsakne) ir nenegatīvs skaitlis, kura kvadrāts ir vienāds ar.
   .
2. Ja no kaut kā vienkārši ņemam kvadrātsakni, mēs vienmēr iegūstam vienu nenegatīvu rezultātu.
3. Aritmētiskās saknes īpašības:
4. Salīdzinot kvadrātsaknes jāatceras, ka jo lielāks skaitlis zem saknes zīmes, jo lielāka pati sakne.

Kā ir kvadrātsakne? Vai viss skaidrs?

Mēs centāmies jums bez liekas ķibeles izskaidrot visu, kas eksāmenā jāzina par kvadrātsakni.

Tagad ir tava kārta. Rakstiet mums, vai šī tēma jums ir grūta vai nē.

Vai uzzinājāt ko jaunu vai viss jau bija skaidrs?

Raksti komentāros un veiksmi eksāmenos!

Nodarbība un prezentācija par tēmu: "Kvadrātsaknes funkcijas grafiks. Grafika definīcijas un uzbūves joma"

Papildu materiāli
Cienījamie lietotāji, neaizmirstiet atstāt savus komentārus, atsauksmes, vēlmes. Visi materiāli ir pārbaudīti ar pretvīrusu programmu.

Mācību līdzekļi un simulatori Interneta veikalā Integral 8. klasei
Mordkoviča A.G. elektroniskā mācību grāmata mācību grāmatai.
Elektroniskā algebras darba burtnīca 8. klasei

Kvadrātsaknes funkcijas grafiks

Puiši, mēs jau esam tikušies ar funkciju grafiku veidošanu un vairāk nekā vienu reizi. Mēs veidojām komplektus lineārās funkcijas un parabolas. Kopumā jebkuru funkciju ir ērti rakstīt kā $y=f(x)$. Šis ir vienādojums ar diviem mainīgajiem - katrai x vērtībai mēs iegūstam y. Pēc dažu izdarīšanas dotā operācija f, mēs kartējam visu iespējamo x kopu uz kopu y. Gandrīz jebkuru matemātisko darbību varam uzrakstīt kā funkciju f.

Parasti, attēlojot funkcijas, mēs izmantojam tabulu, kurā ierakstām x un y vērtības. Piemēram, funkcijai $y=5x^2$ ir ērti izmantot šādu tabulu: Atzīmējiet iegūtos punktus Dekarta koordinātu sistēmā un uzmanīgi savienojiet tos ar gludu līkni. Mūsu funkcija nav ierobežota. Tikai ar šiem punktiem mēs varam aizstāt absolūti jebkuru vērtību x no dotā definīcijas domēna, tas ir, tos x, kuriem izteiksmei ir jēga.

Vienā no iepriekšējām nodarbībām mēs apguvām jaunu kvadrātsaknes iegūšanas operāciju. Rodas jautājums: vai, izmantojot šo darbību, mēs varam definēt kādu funkciju un izveidot tās grafiku? Izmantosim priekšrocības vispārējs skats funkcijas $y=f(x)$. Atstāsim to vietā y un x, un f vietā ieviesīsim kvadrātsaknes operāciju: $y=\sqrt(x)$.
Zinot matemātisko darbību, varējām definēt funkciju.

Kvadrātsaknes funkcijas grafiks

Grafikosim šo funkciju. Pamatojoties uz kvadrātsaknes definīciju, mēs to varam aprēķināt tikai no nenegatīviem skaitļiem, tas ir, $x≥0$.
Izveidosim tabulu:
Atzīmēsim savus punktus koordinātu plaknē.

Viss, kas mums jādara, ir rūpīgi savienot iegūtos punktus.

Puiši, pievērsiet uzmanību: ja mūsu funkcijas grafiks ir pagriezts uz sāniem, mēs iegūstam parabolas kreiso zaru. Faktiski, ja vērtību tabulas rindas ir apmainītas (augšējā līnija ar apakšējo), tad mēs iegūstam vērtības tikai parabolai.

Funkcijas $y=\sqrt(x)$ domēns

Izmantojot funkcijas grafiku, ir diezgan viegli aprakstīt īpašības.
1. Definīcijas joma: $$.
b) $$.

Risinājums.
Mēs varam atrisināt mūsu piemēru divos veidos. Katrā vēstulē mēs aprakstīsim dažādas metodes.

A) Atgriezīsimies pie iepriekš konstruētās funkcijas grafika un atzīmēsim vajadzīgos segmenta punktus. Ir skaidri redzams, ka $x=9$ funkcija ir lielāka par visām pārējām vērtībām. Tas nozīmē augstākā vērtība tas sasniedz šo punktu. Ja $x=4$, funkcijas vērtība ir mazāka par visiem citiem punktiem, kas nozīmē, ka šī ir mazākā vērtība.

$y_(visvairāk)=\sqrt(9)=3$, $y_(visvairāk)=\sqrt(4)=2$.

B) Mēs zinām, ka mūsu funkcija palielinās. Tas nozīmē, ka katra lielāka argumenta vērtība atbilst lielākai funkcijas vērtībai. Augstākās un zemākās vērtības tiek sasniegtas segmenta beigās:

$y_(visvairāk)=\sqrt(11)$, $y_(visvairāk)=\sqrt(2)$.

2. piemērs.
Atrisiniet vienādojumu:

$\sqrt(x)=12-x$.

Risinājums.
Vienkāršākais veids ir izveidot divus funkcijas grafikus un atrast to krustpunktu.
Grafikā skaidri redzams krustojuma punkts ar koordinātām $(9;3)$. Tas nozīmē, ka $x=9$ ir mūsu vienādojuma risinājums.
Atbilde: $x=9$.

Puiši, vai varam būt pārliecināti, ka šim piemēram nav vairāk risinājumu? Viena no funkcijām palielinās, otra samazinās. Kopumā tiem vai nu nav kopīgu punktu, vai arī tie krustojas tikai vienā.

3. piemērs.

Izveidojiet un nolasiet funkcijas grafiku:

$\begin (cases) -x, x 9. \end (cases)$

Mums ir jākonstruē trīs funkcijas daļēji grafiki, katrs savā intervālā.

Aprakstīsim mūsu funkcijas īpašības:
1. Definīcijas domēns: $(-∞;+∞)$.
2. $y=0$ pie $x=0$ un $x=12$; $у>0$ par $хϵ(-∞;12)$; $y 3. Funkcija samazinās uz intervāliem $(-∞;0)U(9;+∞)$. Funkcija pieaug intervālā $(0;9)$.
4. Funkcija ir nepārtraukta visā definīcijas jomā.
5. Nav maksimālās vai minimālās vērtības.
6. Vērtību diapazons: $(-∞;+∞)$.

Problēmas, kas jārisina patstāvīgi

1. Atrodiet segmenta kvadrātsaknes funkcijas lielāko un mazāko vērtību:
a) $$;
b) $$.
2. Atrisiniet vienādojumu: $\sqrt(x)=30-x$.
3. Izveidojiet un nolasiet funkcijas grafiku: $\begin (cases) 2-x, x 4. \end (cases)$
4. Izveidojiet un nolasiet funkcijas grafiku: $y=\sqrt(-x)$.

Kvadrātsakne kā elementāra funkcija.

Kvadrātsakne -Šo elementāra funkcija un īpašs gadījums jaudas funkcija plkst. Aritmētiskā kvadrātsakne ir gluda pie , un pie nulles tā ir taisna nepārtraukta, bet nav diferencējama.

Kā funkcija sarežģīta mainīgā sakne ir divu vērtību funkcija, kuras lapas saplūst pie nulles.

Kvadrātsaknes funkcijas grafiks.

1. Datu tabulas aizpildīšana:

X
plkst

2. Saņemtos punktus uzzīmējam koordinātu plaknē.

3. Savienojiet šos punktus un iegūstiet kvadrātsaknes funkcijas grafiku:

Kvadrātsaknes funkcijas grafika pārveidošana.

Noskaidrosim, kādas funkciju transformācijas ir jāveic, lai izveidotu funkciju grafikus. Definēsim transformāciju veidus.

	Konversijas veids	Pārvēršana
		Funkcijas pārsūtīšana pa asi OY par 4 vienībām uz augšu.
	iekšējais	Funkcijas pārsūtīšana pa asi VĒRSIS par 1 vienību pa labi.
	iekšējais	Grafiks tuvojas asij OY 3 reizes un saspiež pa asi Ak!.
		Grafiks attālinās no ass VĒRSIS OY.
	iekšējais	Grafiks attālinās no ass OY 2 reizes un izstiepts pa asi Ak!.

Bieži vien funkciju transformācijas tiek apvienotas.

Piemēram, jums ir jāatzīmē funkcija . Šis ir kvadrātsaknes grafiks, kas jāpārvieto par vienu vienību uz leju pa asi OY un vienu vienību pa labi gar asi Ak! un tajā pašā laikā izstiepjot to 3 reizes pa asi OY.

Gadās, ka tieši pirms funkcijas grafika konstruēšanas ir nepieciešamas iepriekšējas identitātes transformācijas vai funkciju vienkāršojumi.

Pašvaldības izglītības iestāde

vidēji vidusskola №1

Art. Brjuhovetskaja

pašvaldības veidošanās Bryukhovetsky rajons

Matemātikas skolotājs

Gučenko Angela Viktorovna

2014. gads

Funkcija y =
, tā īpašības un grafiks

Nodarbības veids: apgūt jaunu materiālu

Nodarbības mērķi:

Nodarbībā atrisinātās problēmas:

iemācīt studentiem strādāt patstāvīgi;

izdarīt pieņēmumus un minējumus;

prast vispārināt pētāmos faktorus.

Aprīkojums: tāfele, krīts, multivides projektors, izdales materiāls

Nodarbības laiks.

Nodarbības tēmas noteikšana kopā ar skolēniem -1 min.

Nodarbības mērķu un uzdevumu noteikšana kopā ar skolēniem -1 min.

Zināšanu papildināšana (frontālā aptauja) –3 min.

Mutiskais darbs -3 min.

Jauna materiāla skaidrojums, pamatojoties uz problēmsituāciju radīšanu -7 min.

Fizminutka -2 min.

Grafa uzzīmēšana kopā ar klasi, konstrukcijas sastādīšana piezīmju grāmatiņās un funkcijas īpašību noteikšana, darbs ar mācību grāmatu -10 min.

Iegūto zināšanu nostiprināšana un grafu transformācijas prasmju praktizēšana –9 min .

Nodarbības rezumēšana, konstatēšana atsauksmes – 3 min.

Mājas darbs -1 min.

Kopā 40 minūtes.

Nodarbības gaita.

Nodarbības tēmas noteikšana kopā ar skolēniem (1 min).

Nodarbības tēmu nosaka skolēni, izmantojot virzošos jautājumus:

funkciju- darbs, ko veic orgāns, organisms kopumā.

funkciju- programmas vai ierīces iespēja, iespēja, prasme.

funkciju- pienākums, aktivitāšu loks.

funkciju varonis literārā darbā.

funkciju- apakšprogrammas veids datorzinātnēs

funkciju matemātikā - viena lieluma atkarības likums no cita.

Stundas mērķu un uzdevumu noteikšana kopā ar skolēniem (1 min).

Skolotājs ar skolēnu palīdzību formulē un izrunā mērķus un uzdevumus šī nodarbība.

Zināšanu papildināšana (frontālā aptauja – 3 min).

Mutiskais darbs – 3 min.

Frontālais darbs.

(A un B pieder, C nepieder)

Jaunā materiāla skaidrojums (pamatojoties uz problēmsituāciju radīšanu – 7 min).

Problēmsituācija: apraksta nezināmas funkcijas īpašības.

Sadaliet klasi 4-5 cilvēku komandās, izdaliet veidlapas atbildēm uz uzdotajiem jautājumiem.

Veidlapa Nr.1

y=0, ar x=?

Funkciju definīcijas apgabals.

Funkciju vērtību kopa.

Uz katru jautājumu atbild viens no komandu pārstāvjiem, pārējās komandas ar signālkartēm balso “par” vai “pret” un, ja nepieciešams, papildina klasesbiedru atbildes.

Kopā ar klasi izdariet secinājumu par definīcijas apgabalu, vērtību kopu un funkcijas y= nullēm.

Problēmsituācija : mēģināt izveidot nezināmas funkcijas grafiku (notiek diskusija komandās, risinājuma meklēšana).

Skolotājs atgādina funkciju grafiku konstruēšanas algoritmu. Skolēni komandās mēģina attēlot funkcijas y= grafiku uz formām, pēc tam apmainās ar veidlapām savā starpā pašpārbaudei un savstarpējai pārbaudei.

Fizminutka (Klauns)

Grafika konstruēšana kopā ar klasi ar noformējumu kladēs – 10 min.

Pēc vispārīgas diskusijas uzdevumu konstruēt funkcijas y= grafiku katrs skolēns izpilda individuāli piezīmju grāmatiņā. Šajā laikā skolotājs sniedz diferencētu palīdzību skolēniem. Kad skolēni ir pabeiguši uzdevumu, uz tāfeles tiek parādīts funkcijas grafiks un studentiem tiek lūgts atbildēt uz šādiem jautājumiem:

Secinājums: Kopā ar skolēniem izdariet secinājumus par funkcijas īpašībām un izlasiet tos no mācību grāmatas:

Iegūto zināšanu nostiprināšana un grafu transformācijas prasmju praktizēšana – 9 min.

Studenti strādā pie savas kartes (atbilstoši iespējām), pēc tam maina un pārbauda viens otru. Pēc tam uz tāfeles tiek parādīti grafiki, un skolēni novērtē savu darbu, salīdzinot to ar tāfeli.

Karte Nr.1

Karte Nr.2

Secinājums: par grafu transformācijām

1) paralēla pārnešana pa op-amp asi

2) nobīde pa OX asi.

9. Nodarbības rezumēšana, atgriezeniskās saites sniegšana – 3 min.

SLIDI – ievietojiet trūkstošos vārdus

Šīs funkcijas definīcijas domēns, visi skaitļi, izņemot ...(negatīvs).

Funkcijas grafiks atrodas... (es) ceturtdaļas.

Ja arguments x = 0, vērtība... (funkcijas) y = ... (0).

Funkcijas lielākā vērtība... (neeksistē) mazākā vērtība - … (vienāds ar 0)

10. Mājas darbs (ar komentāriem – 1 min).

Saskaņā ar mācību grāmatu- §13

Saskaņā ar problēmu grāmatu– Nr.13.3, Nr.74 (nepilnīgu kvadrātvienādojumu atkārtošana)