Darbības ar pievienošanas formulas saknēm. Kā salocīt kvadrātveida saknes

Teorija

Sakņu saskaitīšana un atņemšana tiek pētīta matemātikas ievadkursā. Mēs pieņemam, ka lasītājs zina grāda jēdzienu.

1. definīcija

Grāda $ n $ pakāpe no reālā skaitļa $ a $ ir reāls skaitlis $ b $, kura $ n $ astotā pakāpe ir $ a $: $ b \u003d \\ sqrt [n] a, b ^ n \u003d a. $ Šeit $ a $ ir saknes izteiksme, $ n $ ir saknes eksponents, $ b $ ir saknes vērtība. Saknes zīmi sauc par radikālo.

Sakņu ekstrakcijas apgrieztā darbība ir eksponēšana.

Pamatdarbības ar aritmētiskām saknēm:

1. attēls. Pamatdarbības ar aritmētiskajām saknēm. Autors24 - studentu darbu apmaiņa tiešsaistē

Kā redzam, iepriekšminētajās darbībās nav formulas saskaitīšanai un atņemšanai. Šīs darbības ar saknēm tiek veiktas pārvērtību veidā. Šīm pārvērtībām jāizmanto saīsinātās reizināšanas formulas:

$ (\\ sqrt a - \\ sqrt b) (\\ sqrt a + \\ sqrt b) \u003d a-b; $

$ (\\ sqrta- \\ sqrtb) (\\ sqrt (a ^ 2) + \\ sqrt (ab) + \\ sqrt (b ^ 2)) \u003d a-b; $

$ (\\ sqrta + \\ sqrtb) (\\ sqrt (a ^ 2) - \\ sqrt (ab) + \\ sqrt (b ^ 2)) \u003d a + b; $

$ a \\ sqrt a + b \\ sqrt b \u003d (\\ sqrt a) ^ 3 + (\\ sqrt b) ^ 3 \u003d (\\ sqrt a + \\ sqrt b) (a- \\ sqrt (ab) + b); $

$ a \\ sqrt a-b \\ sqrt b \u003d (\\ sqrt a) ^ 3 - (\\ sqrt b) ^ 3 \u003d (\\ sqrt a- \\ sqrt b) (a + \\ sqrt (ab) + b). $

Ir vērts atzīmēt, ka saskaitīšanas un atņemšanas darbības ir atrodamas iracionālu izteiksmju piemēros: $ ab \\ sqrt (m-n); 1+ \\ sqrt3. $

Piemēri

Apskatīsim gadījumu piemērus, kad saucējā tiek piemērota iracionalitātes “iznīcināšana”. Ja pārvērtību rezultātā iracionāla izteiksme tiek iegūta gan skaitītājā, gan saucējā, tad ir jāsagrauj iracionalitāte saucējā.

1. piemērs

$ \\ frac (1) (\\ sqrt7- \\ sqrt6) \u003d \\ frac (\\ sqrt7 + \\ sqrt6) ((\\ sqrt7- \\ sqrt6) (\\ sqrt7 + \\ sqrt6)) \u003d \\ frac (\\ sqrt7 + \\ sqrt6) (7-6 ) \u003d \\ frac (\\ sqrt7 + \\ sqrt6) (1) \u003d \\ sqrt7 + \\ sqrt6. $

Šajā piemērā mēs reizinājām frakcijas skaitītāju un saucēju ar izteiksmi, kas konjugēts ar saucēju. Tādējādi saucējā tiek veikta kvadrātu starpības transformācija pēc formulas.

Sakņu formulas. Kvadrātveida sakņu īpašības.

Uzmanību!
Šai tēmai ir papildu tēmas.
Materiāli īpašajā 555. nodaļā.
Tiem, kas ir stingri "ne pārāk ..."
Un tiem, kas ir "ļoti ...")

Iepriekšējā nodarbībā mēs izdomājām, kas ir kvadrātsakne. Ir pienācis laiks izdomāt, kuri eksistē sakņu formulaskas ir saknes īpašības, un ko ar visu to var izdarīt.

Sakņu formulas, sakņu īpašības un darbības noteikumi ar saknēm - tas būtībā ir viens un tas pats. Ir pārsteidzoši maz kvadrātsakņu formulu. Kas, protams, priecē! Drīzāk jūs varat daudz rakstīt visu veidu formulas, taču praktiskam un pārliecinātam darbam ar saknēm pietiek tikai ar trim. Visi pārējie trīs rezultāti. Lai gan trīs sakņu formulās daudzi cilvēki nomaldās, jā ...

Sāksim ar vienkāršāko. Tur viņa ir:

Ja jums patīk šī vietne ...

Starp citu, man ir vēl pāris interesantas vietnes.)

Jūs varat praktizēt piemēru risināšanu un uzzināt savu līmeni. Pārbaude ar tūlītēju verifikāciju. Mācības - ar interesi!)

Jūs varat iepazīties ar funkcijām un atvasinājumiem.

1. fakts
\\ (\\ aizzīme \\) Ņemiet kādu negatīvu skaitli \\ (a \\) (t.i., \\ (a \\ geqslant 0 \\)). Tad (aritmētika) kvadrātsakne no cipara \\ (a \\) tiek izsaukts nenegatīvs cipars \\ (b \\), un, sakārtojot to, iegūstam numuru \\ (a \\): \\ [\\ sqrt a \u003d b \\ quad \\ teksts (tāds pats kā) \\ quad a \u003d b ^ 2 \\] No definīcijas izriet, ka \\ (a \\ geqslant 0, b \\ geqslant 0 \\). Šie ierobežojumi ir svarīgs kvadrātsaknes esamības nosacījums, un tie ir jāatceras!
Atgādiniet, ka jebkurš cipars kvadrātā dod rezultātu, kas nav negatīvs. Tas ir, \\ (100 ^ 2 \u003d 10000 \\ geqslant 0 \\) un \\ ((- 100) ^ 2 \u003d 10000 \\ geqslant 0 \\).
\\ (\\ aizzīme \\) Kas ir \\ (\\ sqrt (25) \\) vienāds ar? Mēs zinām, ka \\ (5 ^ 2 \u003d 25 \\) un \\ ((- 5) ^ 2 \u003d 25 \\). Tā kā pēc definīcijas mums jāatrod skaitlis, kas nav negatīvs, tad \\ (- 5 \\) neatbilst, tāpēc \\ (\\ sqrt (25) \u003d 5 \\) (kopš \\ (25 \u003d 5 ^ 2 \\)).
Vērtības \\ (\\ sqrt a \\) atrašanu sauc par skaitļa \\ (a \\) kvadrātsaknes iegūšanu, un skaitli \\ (a \\) sauc par saknes izteiksmi.
\\ (\\ aizzīme \\) Balstoties uz definīciju, izteiciens \\ (\\ sqrt (-25) \\), \\ (\\ sqrt (-4) \\) utt. nav jēgas.

2. fakts
Ātriem aprēķiniem būs noderīgi uzzināt dabisko skaitļu kvadrātu tabulu no \\ (1 \\) līdz \\ (20 \\): \\ [\\ sākt (masīvs) (| ll |) \\ hline 1 ^ 2 \u003d 1 & \\ quad11 ^ 2 \u003d 121 \\\\ 2 ^ 2 \u003d 4 & \\ quad12 ^ 2 \u003d 144 \\\\ 3 ^ 2 \u003d 9 & \\ quad13 ^ 2 \u003d 169 \\\\ 4 ^ 2 \u003d 16 & \\ quad14 ^ 2 \u003d 196 \\\\ 5 ^ 2 \u003d 25 & \\ quad15 ^ 2 \u003d 225 \\\\ 6 ^ 2 \u003d 36 & \\ quad16 ^ 2 \u003d 256 \\\\ 7 ^ 2 \u003d 49 & \\ quad17 ^ 2 \u003d 289 \\\\ 8 ^ 2 \u003d 64 & \\ quad18 ^ 2 \u003d 324 \\\\ 9 ^ 2 \u003d 81 & \\ quad19 ^ 2 \u003d 361 \\\\ 10 ^ 2 \u003d 100 & \\ quad20 ^ 2 \u003d 400 \\\\ \\ hline \\ end (masīvs) \\]

3. fakts
Kādas darbības var veikt ar kvadrātveida saknēm?
\\ (\\ lode \\) Kvadrātsakņu summa vai starpība NAV vienāda ar summas vai starpības kvadrātsakni, t.i. \\ [\\ sqrt a \\ pm \\ sqrt b \\ ne \\ sqrt (a \\ pm b) \\] Tādējādi, ja jums jāaprēķina, piemēram, \\ (\\ sqrt (25) + \\ sqrt (49) \\), tad sākotnēji jāatrod vērtības \\ (\\ sqrt (25) \\) un \\ (\\ sqrt (49) \\ Tātad, \\ [\\ sqrt (25) + \\ sqrt (49) \u003d 5 + 7 \u003d 12 \\] Ja, pievienojot \\ (\\ sqrt a + \\ sqrt b \\), vērtības \\ (\\ sqrt a \\) vai \\ (\\ sqrt b \\) nav atrodamas, šī izteiksme netiks pārveidota tālāk un paliks tāda, kāda tā ir. Piemēram, summā \\ (\\ sqrt 2+ \\ sqrt (49) \\) mēs varam atrast \\ (\\ sqrt (49) \\) - tas ir \\ (7 \\), bet \\ (\\ sqrt 2 \\) nekādā veidā nevar pārveidot, tātad \\ (\\ sqrt 2+ \\ sqrt (49) \u003d \\ sqrt 2 + 7 \\). Turklāt šo izteicienu diemžēl nekādā veidā nevar vienkāršot \\ (\\ aizzīme \\) kvadrātsakņu reizinājums / koeficients ir vienāds ar produkta / koeficienta kvadrātsakni, t.i. \\ [\\ sqrt a \\ cdot \\ sqrt b \u003d \\ sqrt (ab) \\ quad \\ text (s) \\ quad \\ sqrt a: \\ sqrt b \u003d \\ sqrt (a: b) \\] (ar nosacījumu, ka abām vienlīdzības pusēm ir jēga)
Piemērs: \\ (\\ sqrt (32) \\ cdot \\ sqrt 2 \u003d \\ sqrt (32 \\ cdot 2) \u003d \\ sqrt (64) \u003d 8 \\); \\ (\\ sqrt (768): \\ sqrt3 \u003d \\ sqrt (768: 3) \u003d \\ sqrt (256) \u003d 16 \\); \\ (\\ sqrt ((- 25) \\ cdot (-64)) \u003d \\ sqrt (25 \\ cdot 64) \u003d \\ sqrt (25) \\ cdot \\ sqrt (64) \u003d 5 \\ cdot 8 \u003d 40 \\). \\ (\\ aizzīme \\) Izmantojot šīs īpašības, ir ērti atrast lielu skaitļu kvadrātsaknes, faktorējot tās.
Apsveriet piemēru. Atrodiet \\ (\\ sqrt (44100) \\). Kopš \\ (44100: 100 \u003d 441 \\), pēc tam \\ (44100 \u003d 100 \\ cdot 441 \\). Pēc dalīšanas kritērija numuru \\ (441 \\) dala ar \\ (9 \\) (jo tā ciparu summa ir 9 un dalīta ar 9), tātad, \\ (441: 9 \u003d 49 \\), tas ir, \\ (441 \u003d 9 \\ Tātad mēs saņēmām:
\\ [\\ sqrt (44100) \u003d \\ sqrt (9 \\ cdot 49 \\ cdot 100) \u003d \\ sqrt9 \\ cdot \\ sqrt (49) \\ cdot \\ sqrt (100) \u003d 3 \\ cdot 7 \\ cdot 10 \u003d 210 \\] Apsveriet citu piemēru: \\ [\\ sqrt (\\ dfrac (32 \\ cdot 294) (27)) \u003d \\ sqrt (\\ dfrac (16 \\ cdot 2 \\ cdot 3 \\ cdot 49 \\ cdot 2) (9 \\ cdot 3)) \u003d \\ sqrt (\\ \u003d \\ dfrac (56) 3 \\] \\ (\\ aizzīme \\) Parādīsim, kā ievadīt skaitļus zem kvadrātsaknes zīmes, izmantojot izteiksmes \\ (5 \\ sqrt2 \\) piemēru (saīsināts apzīmējums no izteiksmes \\ (5 \\ cdot \\ sqrt2 \\)). Kopš \\ (5 \u003d \\ sqrt (25) \\), pēc tam
Mēs arī atzīmējam, ka, piemēram, \ 1) \\ (\\ sqrt2 + 3 \\ sqrt2 \u003d 4 \\ sqrt2 \\),
2) \\ (5 \\ sqrt3- \\ sqrt3 \u003d 4 \\ sqrt3 \\)
3) \\ (\\ sqrt a + \\ sqrt a \u003d 2 \\ sqrt a \\).
{!LANG-07288926434bd6d21b4ca0747521f054!}

Kāpēc ir tā, ka? Mēs izskaidrojam ar 1. piemēru). Kā jūs jau sapratāt, mēs nevaram kaut kā pārveidot numuru \\ (\\ sqrt2 \\). Iedomājieties, ka \\ (\\ sqrt2 \\) ir kaut kāds skaitlis \\ (a \\). Attiecīgi izteiciens \\ (\\ sqrt2 + 3 \\ sqrt2 \\) nav nekas līdzīgs \\ (a + 3a \\) (viens cipars \\ (a \\) plus vēl trīs tie paši cipari \\ (a \\)). Un mēs zinām, ka tas ir vienāds ar četriem šādiem skaitļiem \\ (a \\), tas ir, \\ (4 \\ sqrt2 \\).

4. fakts
\\ (\\ aizzīme \\) Bieži viņi saka: “jūs nevarat iegūt sakni”, kad, meklējot kāda skaitļa vērtību, jūs nevarat atbrīvoties no saknes (radikālās) zīmes \\ (\\ sqrt () \\ \\). Piemēram, sakni var iegūt no skaitļa \\ (16 \\), jo \\ (16 \u003d 4 ^ 2 \\), tāpēc \\ (\\ sqrt (16) \u003d 4 \\). Bet sakni no skaitļa \\ (3 \\), tas ir, atrast \\ (\\ sqrt3 \\), iegūt nav iespējams, jo nav tāda skaitļa, kas būtu kvadrātā \\ (3 \\).
Šādi skaitļi (vai izteicieni ar šādiem skaitļiem) ir neracionāli. Piemēram, skaitļi \\ (\\ sqrt3, \\ 1+ \\ sqrt2, \\ \\ sqrt (15) \\) utt. ir iracionāli.
Neracionāli ir arī skaitļi \\ (\\ pi \\) (skaitlis pi ir aptuveni vienāds ar \\ (3.14 \\)), \\ (e \\) (šo skaitli sauc par Eulera numuru, aptuveni tas ir \\ (2.7 \\)) utt.
\\ (\\ aizzīme \\) Mēs vēršam jūsu uzmanību uz to, ka jebkurš skaitlis būs vai nu racionāls, vai iracionāls. Un visi racionālie un iracionālie skaitļi kopā veido kopu, kuru sauc daudz reālu (reālu) skaitļu. Šo kopu apzīmē ar burtu \\ (\\ mathbb (R) \\).
Tātad visus skaitļus, kurus mēs šobrīd zinām, sauc par reāliem skaitļiem.

5. fakts
\\ (\\ aizzīme \\) Reālā skaitļa \\ (a \\) modulis ir negatīvs skaitlis \\ (| a | \\), kas vienāds ar attālumu no punkta \\ (a \\) līdz \\ (0 \\) reālajā rindā. Piemēram, \\ (| 3 | \\) un \\ (| -3 | \\) ir vienādi ar 3, jo attālumi no punktiem \\ (3 \\) un \\ (- 3 \\) līdz \\ (0 \\) ir vienādi un vienādi ar \\ (3) \\).
\\ (\\ aizzīme \\) Ja \\ (a \\) ir skaitlis, kas nav negatīvs, tad \\ (| a | \u003d a \\).
Piemērs: \\ (| 5 | \u003d 5 \\); \\ (\\ qquad | \\ sqrt2 | \u003d \\ sqrt2 \\). \\ (\\ aizzīme \\) Ja \\ (a \\) ir negatīvs skaitlis, tad \\ (| a | \u003d -a \\).
Piemērs: \\ (| -5 | \u003d - (- 5) \u003d 5 \\); \\ (\\ qquad | - \\ sqrt3 | \u003d - ((- \\ sqrt3) \u003d \\ sqrt3 \\).
Viņi saka, ka negatīviem skaitļiem modulis “ēd” mīnus, un pozitīvie skaitļi, kā arī skaitlis \\ (0 \\), modulis paliek nemainīgs.
BET šis noteikums ir piemērots tikai cipariem. Ja jums zem moduļa zīmes ir nezināms \\ (x \\) (vai kāds cits nezināms), piemēram, \\ (| x | \\), par kuru mēs nezinām, vai tas ir pozitīvs, nulle vai negatīvs, tad atbrīvojieties no moduļa mēs nevaram. Šajā gadījumā šī izteiksme paliek tāda pati: \\ (| x | \\). \\ (\\ aizzīme \\) Turētas šādas formulas: \\ [(\\ liels (\\ sqrt (a ^ 2) \u003d | a |)) \\] \\ [(\\ liels ((\\ sqrt (a)) ^ 2 \u003d a)), \\ teksts (paredzēts) a \\ geqslant 0 \\] Ļoti bieži tiek pieļauta šāda kļūda: viņi saka, ka \\ (\\ sqrt (a ^ 2) \\) un \\ ((\\ sqrt a) ^ 2 \\) ir viens un tas pats. Tas ir taisnība tikai tad, ja \\ (a \\) ir pozitīvs skaitlis vai nulle. Bet, ja \\ (a \\) ir negatīvs skaitlis, tad tā nav taisnība. Pietiek apsvērt šādu piemēru. \\ (A \\) vietā ņemiet numuru \\ (- 1 \\). Tad \\ (\\ sqrt ((- 1) ^ 2) \u003d \\ sqrt (1) \u003d 1 \\), bet izteiksme \\ ((\\ sqrt (-1)) ^ 2 \\) neeksistē (galu galā zem saknes zīmes tas nav iespējams. ielieciet negatīvos skaitļus!).
Tāpēc mēs vēršam jūsu uzmanību uz to, ka \\ (\\ sqrt (a ^ 2) \\) nav vienāds ar \\ ((\\ sqrt a) ^ 2 \\)! Piemērs: 1) \\ (\\ sqrt (\\ pa kreisi (- \\ sqrt2 \\ pa labi) ^ 2) \u003d | - \\ sqrt2 | \u003d \\ sqrt2 \\)jo \\ (- \\ sqrt2<0\) ;

\\ (\\ fantoms (00000) \\) 2) \\ (((\\ sqrt (2)) ^ 2 \u003d 2 \\). \\ (\\ aizzīme \\) Tā kā \\ (\\ sqrt (a ^ 2) \u003d | a | \\), tad \\ [\\ sqrt (a ^ (2n)) \u003d | a ^ n | \\] (izteiksme \\ (2n \\) apzīmē pāra skaitli)
Tas ir, ekstrahējot sakni no skaitļa, kas zināmā mērā ir, šī pakāpe tiek samazināta uz pusi.
Piemērs:
1) \\ (\\ sqrt (4 ^ 6) \u003d | 4 ^ 3 | \u003d 4 ^ 3 \u003d 64 \\)
2) \\ (\\ sqrt ((- 25) ^ 2) \u003d | -25 | \u003d 25 \\) (ņemiet vērā: ja jūs neliecat moduli, izrādās, ka skaitļa sakne ir \\ (- 25 \\); bet mēs atceramies , kas pēc saknes definīcijas tas nevar būt: mums, ekstrahējot sakni, vienmēr ir jāsaņem pozitīvs skaitlis vai nulle)
3) \\ (\\ sqrt (x ^ (16)) \u003d | x ^ 8 | \u003d x ^ 8 \\) (jo jebkurš skaitlis vienmērīgi nav negatīvs)

6. fakts
Kā salīdzināt divas kvadrātveida saknes?
\\ (\\ bullet \\) Kvadrātveida saknēm tā ir taisnība: if \\ (\\ sqrt a<\sqrt b\) , то \(a Piemērs:
1) salīdziniet \\ (\\ sqrt (50) \\) un \\ (6 \\ sqrt2 \\). Pirmkārt, konvertējiet otro izteiksmi uz \\ (\\ sqrt (36) \\ cdot \\ sqrt2 \u003d \\ sqrt (36 \\ cdot 2) \u003d \\ sqrt (72) \\). Tādējādi kopš \\ (50<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
2) Starp kādiem veseliem skaitļiem ir \\ (\\ sqrt (50) \\)?
Kopš \\ (\\ sqrt (49) \u003d 7 \\), \\ (\\ sqrt (64) \u003d 8 \\) un \\ (49<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
3) Salīdziniet \\ (\\ sqrt 2-1 \\) un \\ (0,5 \\). Pieņemsim, ka \\ (\\ sqrt2-1\u003e 0,5 \\): \\ [\\ sākt (izlīdzināts) & \\ sqrt 2-1\u003e 0,5 \\ \\ liels | +1 \\ quad \\ teksts ((pievienojiet vienu abām pusēm)) \\\\ & \\ sqrt2\u003e 0,5 + 1 \\ \\ liels | \\ ^ 2 \\ quad \\ teksts ((kvadrātveida abās pusēs)) \\\\ & 2\u003e 1,5 ^ 2 \\\\ & 2\u003e 2,25 \\ beigas (izlīdzināts) \\] Mēs redzam, ka esam saņēmuši nevienlīdzību. Tāpēc mūsu pieņēmums bija nepareizs un \\ (\\ sqrt 2-1<0,5\) .
Ņemiet vērā, ka noteikta skaitļa pievienošana abām nevienlīdzības pusēm neietekmē tā zīmi. Abu nevienādības daļu reizināšana / dalīšana ar pozitīvo skaitli arī neietekmē tās zīmi, un reizināšana / dalīšana ar negatīvu skaitli apvērš nevienādības zīmi!
Vienādojuma / nevienādības abu pušu sadrumstalotība var notikt TIKAI, ja abas puses nav negatīvas. Piemēram, nevienādībā no iepriekšējā piemēra ir iespējams abpusēji aplocīt nevienādību \\ (- 3<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)! \\ (\\ aizzīme \\) Atcerieties to \\ [\\ sākt (izlīdzināts) & \\ sqrt 2 \\ aptuveni 1,4 \\\\ & \\ sqrt 3 \\ aptuveni 1,7 \\ beigas (izlīdzināts) \\] Zinot šo skaitļu aptuveno vērtību, jums palīdzēs, salīdzinot numurus! \\ (\\ aizzīme \\) Lai iegūtu sakni (ja tā ir iegūta) no kāda liela skaita, kas nav norādīts kvadrātu tabulā, vispirms jānosaka, starp kuriem “simtiem” tas ir, pēc tam - starp kuriem “desmitiem”, un pēc tam nosaka šī skaitļa pēdējo ciparu. Mēs parādām, kā tas darbojas, izmantojot piemēru.
Veikt \\ (\\ sqrt (28224) \\). Mēs zinām, ka \\ (100 ^ 2 \u003d 10 \\ 000 000), \\ (200 ^ 2 \u003d 40 \\, 000 \\) utt. Ņemiet vērā, ka \\ (28224 \\) ir no \\ (10 \u200b\u200b\\ 000 \\) līdz \\ (40 \\, 000 \\). Tāpēc \\ (\\ sqrt (28224) \\) ir no \\ (100 \\) līdz \\ (200 \\).
Tagad mēs noteiksim, starp kuriem “desmitiem” ir mūsu skaitlis (tas ir, piemēram, starp \\ (120 \\) un \\ (130 \\)). No kvadrātu tabulas mēs zinām arī, ka \\ (11 ^ 2 \u003d 121 \\), \\ (12 ^ 2 \u003d 144 \\) utt., Tad \\ (110 ^ 2 \u003d 12100 \\), \\ (120 ^ 2 \u003d 14400 \\), \\ (130 ^ 2 \u003d 16900 \\), \\ (140 ^ 2 \u003d 19600 \\), \\ (150 ^ 2 \u003d 22500 \\), \\ (160 ^ 2 \u003d 25600 \\), \\ (170 ^ 2 \u003d 28900 \\). Tādējādi mēs redzam, ka \\ (28224 \\) atrodas starp \\ (160 ^ 2 \\) un \\ (170 ^ 2 \\). Tāpēc skaitlis \\ (\\ sqrt (28224) \\) ir no \\ (160 \\) līdz \\ (170 \\).
Mēģināsim noteikt pēdējo ciparu. Atcerēsimies, kādi vienvērtīgi skaitļi, kad kvadrāts dod beigās \\ (4 \\)? Tas ir \\ (2 ^ 2 \\) un \\ (8 ^ 2 \\). Tāpēc \\ (\\ sqrt (28224) \\) beigsies ar skaitli 2 vai 8. Pārbaudiet šo. Atrodi \\ (162 ^ 2 \\) un \\ (168 ^ 2 \\):
\\ (162 ^ 2 \u003d 162 \\ cdot 162 \u003d 26224 \\)
\\ (168 ^ 2 \u003d 168 \\ cdot 168 \u003d 28224 \\).
Tāpēc \\ (\\ sqrt (28224) \u003d 168 \\). Voila!

Lai adekvāti atrisinātu matemātikas vienoto valsts pārbaudījumu, pirmkārt, ir jāizpēta teorētiskais materiāls, kas iepazīstina ar daudzām teorēmām, formulām, algoritmiem utt. No pirmā acu uzmetiena varētu šķist, ka tas ir diezgan vienkāršs. Tomēr patiesībā diezgan grūts uzdevums ir atrast avotu, kurā matemātikas LIETOŠANAS teorija būtu viegli un skaidri izklāstīta studentiem ar jebkura līmeņa apmācību. Skolas grāmatas ne vienmēr var turēt pie rokas. Un atrast matemātikas eksāmena pamatformulas nav viegli, pat internetā.

Kāpēc ir tik svarīgi studēt matemātikas teoriju ne tikai tiem, kas nokārto eksāmenu?

1. Jo tas paplašina prātu. Matemātikas teorētiskā materiāla studijas ir noderīgas ikvienam, kurš vēlas saņemt atbildes uz visdažādākajiem jautājumiem, kas saistīti ar pasaules zināšanām. Viss dabā ir sakārtots un tam ir skaidra loģika. Tieši tas atspoguļojas zinātnē, ar kuras palīdzību ir iespējams izprast pasauli.
2. Jo tas attīsta intelektu. Apgūstot matemātikas eksāmena atsauces materiālus, kā arī risinot dažādas problēmas, cilvēks iemācās loģiski domāt un argumentēt, pareizi un skaidri formulēt domas. Viņš attīsta spēju analizēt, vispārināt, izdarīt secinājumus.

Mēs aicinām jūs personīgi novērtēt visas mūsu pieejas priekšrocības mācību materiālu sistematizēšanai un noformēšanai.

Sveicieni, kotonieši! Pagājušajā reizē mēs sīki izpētījām, kas ir saknes (ja neatceraties, iesaku izlasīt). Šīs nodarbības galvenais secinājums: ir tikai viena universāla sakņu definīcija, kas jums jāzina. Pārējais ir muļķības un laika izšķiešana.

Šodien mēs virzāmies tālāk. Mēs iemācīsimies saknes reizināt, mēs pētīsim dažas problēmas, kas saistītas ar reizināšanu (ja šīs problēmas netiks atrisinātas, tad eksāmenā tās var kļūt liktenīgas), un mēs apmācīsimies pareizi. Tāpēc krājieties popkornā, iegūstiet komfortu - un mēs sākam. :)

Arī jūs to vēl neesat nogaršojis?

Nodarbība izrādījās diezgan liela, tāpēc es to sadalīju divās daļās:

1. Pirmkārt, mēs analizēsim reizināšanas noteikumus. Liekas, ka Cap norāda uz mājienu: tas ir tad, kad ir divas saknes, starp tām ir “reizināšanas” zīme - un mēs vēlamies kaut ko darīt tā labā.
2. Tad mēs analizēsim pretējo situāciju: ir viena liela sakne, un mēs nepacietīgi to parādījām kā divu sakņu produktu. Ar kādām bailēm tas ir nepieciešams - atsevišķs jautājums. Mēs analizēsim tikai algoritmu.

Es nepacietīgajiem lūdzu nekavējoties pāriet uz otro daļu. Sāksim ar pārējo kārtībā.

Pareizināšanas pamatnoteikums

Sāksim ar visvienkāršākajām - klasiskajām kvadrātveida saknēm. Tie, kas apzīmēti ar $ \\ sqrt (a) $ un $ \\ sqrt (b) $. Viņiem viss parasti ir acīmredzams:

Reizināšanas noteikums. Lai reizinātu vienu kvadrātsakni ar otru, vienkārši jāreizina to radikālās izteiksmes un rezultāts jāraksta vispārējā radikāļa izteiksmē:

\\ [\\ sqrt (a) \\ cdot \\ sqrt (b) \u003d \\ sqrt (a \\ cdot b) \\]

Skaitļiem labajā vai kreisajā pusē nav papildu ierobežojumu: ja faktoru saknes pastāv, tad pastāv arī produkts.

Piemēri. Apsvērsim četrus piemērus ar cipariem vienlaikus:

\\ [\\ sākt (izlīdzināt) & \\ sqrt (25) \\ cdot \\ sqrt (4) \u003d \\ sqrt (25 \\ cdot 4) \u003d \\ sqrt (100) \u003d 10; \\\\ & \\ sqrt (32) \\ cdot \\ sqrt (2) \u003d \\ sqrt (32 \\ cdot 2) \u003d \\ sqrt (64) \u003d 8; \\\\ & \\ sqrt (54) \\ cdot \\ sqrt (6) \u003d \\ sqrt (54 \\ cdot 6) \u003d \\ sqrt (324) \u003d 18; \\\\ & \\ sqrt (\\ frac (3) (17)) \\ cdot \\ sqrt (\\ frac (17) (27)) \u003d \\ sqrt (\\ frac (3) (17) \\ cdot \\ frac (17) (27 )) \u003d \\ sqrt (\\ frac (1) (9)) \u003d \\ frac (1) (3). \\\\ \\ beigas (izlīdzināt) \\]

Kā redzat, šī noteikuma galvenais punkts ir iracionālu izteicienu vienkāršošana. Un, ja pirmajā piemērā mēs paši būtu ieguvuši 25 un 4 saknes bez jauniem noteikumiem, tad sākas alva: $ \\ sqrt (32) $ un $ \\ sqrt (2) $ netiek skaitīti paši, bet gan to produkts ir precīzs kvadrāts, tāpēc tā sakne ir vienāda ar racionālu skaitli.

Atsevišķi es gribētu atzīmēt pēdējo rindiņu. Tur abi sakņu izteicieni ir frakcijas. Pateicoties produktam, daudzi faktori tiek samazināti, un visa izteiksme pārvēršas par atbilstošu skaitli.

Protams, ne viss būs tik skaisti. Dažreiz zem saknēm notiks pilnīgs juceklis - nav skaidrs, ko ar to darīt un kā pārveidot pēc reizināšanas. Nedaudz vēlāk, kad jūs sākat pētīt neracionālus vienādojumus un nevienādības, parasti būs visu veidu mainīgie un funkcijas. Un ļoti bieži uzdevumu sastādītāji paļaujas tikai uz faktu, ka atrodat dažus līguma nosacījumus vai faktorus, pēc kuriem uzdevums tiks ievērojami vienkāršots.

Turklāt nav nepieciešams reizināt tikai divas saknes. Jūs varat reizināt trīs uzreiz, četrus - bet vismaz desmit! Noteikums no tā nemainīsies. Paskaties:

\\ [\\ sākt (izlīdzināt) & \\ sqrt (2) \\ cdot \\ sqrt (3) \\ cdot \\ sqrt (6) \u003d \\ sqrt (2 \\ cdot 3 \\ cdot 6) \u003d \\ sqrt (36) \u003d 6; \\\\ & \\ sqrt (5) \\ cdot \\ sqrt (2) \\ cdot \\ sqrt (0,001) \u003d \\ sqrt (5 \\ cdot 2 \\ cdot 0,001) \u003d \\\\ & \u003d \\ sqrt (10 \\ cdot \\ frac (1) (1000)) \u003d \\ sqrt (\\ frac (1) (100)) \u003d \\ frac (1) (10). \\\\ \\ beigas (izlīdzināt) \\]

Un atkal neliela piezīme par otro piemēru. Kā redzat, trešajā faktorā decimāldaļskaitlis stāv zem saknes - skaitļošanas procesā mēs to aizvietojam ar parasto frakciju, pēc kuras viss tiek viegli samazināts. Tātad: es ļoti iesakām atbrīvoties no decimāldaļām jebkurās neracionālās izteiksmēs (t.i., saturot vismaz vienu radikālu ikonu). Nākotnē tas ietaupīs daudz laika un nervu.

Bet tā bija novirze. Tagad mēs apsvērsim vispārīgāku gadījumu - kad patvaļīgs skaitlis $ n $ atrodas saknes eksponentā, nevis tikai “klasiskais” divi.

Patvaļīga indikatora gadījums

Tātad, ar sakārtotām kvadrātveida saknēm. Un ko darīt ar kubiku? Vai parasti ar patvaļīgas pakāpes saknēm $ n $? Jā, tas pats. Noteikums paliek tāds pats:

Lai reizinātu divas pakāpes $ n $ saknes, pietiek ar to radikālo izteiksmju reizināšanu un pēc tam rezultāta ierakstīšanu zem viena radikāla.

Vispār nekas sarežģīts. Vai tas, ka aprēķinu summa var būt lielāka. Apskatīsim dažus piemērus:

Piemēri. Aprēķiniet produktu:

\\ [\\ sākt (izlīdzināt) & \\ sqrt (20) \\ cdot \\ sqrt (\\ frac (125) (4)) \u003d \\ sqrt (20 \\ cdot \\ frac (125) (4)) \u003d \\ sqrt (625) \u003d pieci; \\\\ & \\ sqrt (\\ frac (16) (625)) \\ cdot \\ sqrt (0,16) \u003d \\ sqrt (\\ frac (16) (625) \\ cdot \\ frac (16) (100)) \u003d \\ sqrt (\\ frac (64) (((25) ^ (2)) \\ cdot 25)) \u003d \\\\ & \u003d \\ sqrt (\\ frac (((4) ^ (3)))) (((25) ^ (3) )))) \u003d \\ sqrt (((\\ pa kreisi (\\ frac (4) (25) \\ pa labi)) ^ (3))) \u003d \\ frac (4) (25). \\\\ \\ beigas (izlīdzināt) \\]

Un atkal uzmanība ir otrā izpausme. Mēs reizinām kubiskās saknes, atbrīvojamies no decimāldaļas, un rezultātā saucējā tiek iegūts skaitļu 625 un 25. reizinājums. Tas ir diezgan liels skaitlis - es personīgi nerēķināšu, ar ko tas ir vienāds.

Tāpēc skaitītājā un saucējā mēs vienkārši izvēlējāmies precīzu kubu un pēc tam izmantojām vienu no galvenajām īpašībām (vai, ja vēlaties, definīciju) $ n $ astotās pakāpes saknei:

\\ [\\ sākt (izlīdzināt) & \\ sqrt (((a) ^ (2n + 1))) \u003d a; \\\\ & \\ sqrt (((a) ^ (2n))) \u003d \\ pa kreisi | a \\ tiesības |. \\\\ \\ beigas (izlīdzināt) \\]

Šāda "krāpšana" var ievērojami ietaupīt laiku eksāmenā vai kontroldarbā, tāpēc atcerieties:

Nesteidzieties reizināt skaitļus radikālajā izteiksmē. Vispirms pārbaudiet: kas notiks, ja tur tiks “kodēta” precīza izteiksmes pakāpe?

Ar visu šīs piezīmes acīmredzamību man jāatzīst, ka vairums neapmācītu studentu neredz precīzus grādus tukšajā diapazonā. Tā vietā viņi reizina visu uz priekšu, un tad viņi ir pārsteigti: kāpēc viņi ieguva tik šausmīgus skaitļus? :)

Tomēr tas viss ir muļķīgi, salīdzinot ar to, ko mēs uzzinām tagad.

Sakņu pavairošana ar dažādiem rādītājiem

Nu, tagad mēs varam reizināt saknes ar vienādiem rādītājiem. Bet ko darīt, ja rādītāji ir atšķirīgi? Teiksim, kā reizināt parasto $ \\ sqrt (2) $ ar tādu crap, piemēram, $ \\ sqrt (23) $? Vai to pat ir iespējams izdarīt?

Jā, protams, jūs varat. Viss tiek darīts pēc šīs formulas:

Sakņu reizināšanas noteikums. Reizināt $ \\ sqrt [n] (a) $ ar $ \\ sqrt [p] (b) $, vienkārši veiciet šādu konvertēšanu:

\\ [\\ sqrt [n] (a) \\ cdot \\ sqrt [p] (b) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (p)) \\ cdot ((b) ^ (n)))]

Tomēr šī formula darbojas tikai tad, ja saknes izteicieni nav negatīvi. Tas ir ļoti svarīgs punkts, pie kura atgriezīsimies vēlāk.

Tikmēr apsveriet dažus piemērus:

\\ [\\ sākt (izlīdzināt) & \\ sqrt (3) \\ cdot \\ sqrt (2) \u003d \\ sqrt (((3) ^ (4)) \\ cdot ((2) ^ (3)) \u003d \u003d sqrt (81 \\ cdot 8) \u003d \\ sqrt (648); \\\\ & \\ sqrt (2) \\ cdot \\ sqrt (7) \u003d \\ sqrt (((2) ^ (5)) \\ cdot ((7) ^ (2))) \u003d \\ sqrt (32 \\ cdot 49) \u003d \\ sqrt (1568); \\\\ & \\ sqrt (5) \\ cdot \\ sqrt (3) \u003d \\ sqrt (((5) ^ (4)) \\ cdot ((3) ^ (2)) \u003d \\ sqrt (625 \\ cdot 9) \u003d \\ sqrt (5625). \\\\ \\ beigas (izlīdzināt) \\]

Kā redzat, nekas sarežģīts. Tagad izdomāsim, no kurienes radās nenegatīvisma prasība, un kas notiks, ja mēs to pārkāpsim. :)

Pareizināt saknes ir viegli

Kāpēc radikālām izpausmēm jābūt nenegatīvām?

Protams, jūs varat kļūt par skolas skolotājiem un ar gudru skatienu citēt mācību grāmatu:

Nenegativitātes prasība ir saistīta ar atšķirīgām pāra un nepāra grādu sakņu definīcijām (attiecīgi, arī to definīciju domēni ir atšķirīgi).

Nu, tas kļuva skaidrāks? Personīgi, lasot šīs muļķības 8. klasē, es sev sapratu kaut ko līdzīgu: “Nenegativitātes prasība ir saistīta ar * # & ^ @ (* # @ ^ #) ~%” - īsi sakot, es toreiz nesapratu nihromu. :)

Tāpēc tagad es visu paskaidrošu parastajā veidā.

Vispirms noskaidrojiet, no kurienes nāk iepriekš minētā reizināšanas formula. Šajā sakarā es atgādinu vienu svarīgu saknes īpašību:

\\ [\\ sqrt [n] (a) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (k))) \\]

Citiem vārdiem sakot, mēs varam droši paaugstināt radikālo izteiksmi līdz jebkurai dabiskai pakāpei $ k $ - kamēr saknes eksponents būs jāreizina ar tādu pašu pakāpi. Tāpēc mēs viegli varam samazināt saknes līdz kopējam rādītājam un pēc tam reizināt. Tādējādi tiek izmantota reizināšanas formula:

\\ [\\ sqrt [n] (a) \\ cdot \\ sqrt [p] (b) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (p))) \\ cdot \\ sqrt (((b) ^ (n))) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (p)) \\ cdot ((b) ^ (n))) \\]

Bet ir viena problēma, kas nopietni ierobežo visu šo formulu piemērošanu. Apsveriet šo numuru:

Saskaņā ar tikko doto formulu mēs varam pievienot jebkuru grādu. Mēģināsim pievienot $ k \u003d 2 $:

\\ [\\ sqrt (-5) \u003d \\ sqrt (((\\ kreisā (-5 \\ labā)) ^ (2)) \u003d \u003d sqrt (((5) ^ (2))) \\]

Mēs noņēmām mīnusu tikai tāpēc, ka kvadrāts sadedzina mīnusu (tāpat kā jebkuru citu vienmērīgu pakāpi). Un tagad mēs veiksim apgriezto pārveidi: “mēs samazināsim” eksponenta un pakāpes pakāpi. Galu galā jebkuru vienlīdzību var lasīt gan no kreisās uz labo, gan no labās uz kreiso:

\\ [\\ sākt (izlīdzināt) & \\ sqrt [n] (a) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (k))) \\ Rightarrow \\ sqrt (((a) ^ (k)) \u003d \u003d sqrt [n ] (a); \\\\ & \\ sqrt (((a) ^ (k))) \u003d \\ sqrt [n] (a) \\ Rightarrow \\ sqrt (((5) ^ (2))) \u003d \\ sqrt (((5) ^ ( 2))) \u003d \\ sqrt (5). \\\\ \\ beigas (izlīdzināt) \\]

Bet tad jūs saņemat kaut kādu nepatiku:

\\ [\\ sqrt (-5) \u003d \\ sqrt (5) \\]

Tas nevar būt, jo $ \\ sqrt (-5) \\ lt 0 $ un $ \\ sqrt (5) \\ gt 0 $. Tātad, pat grādiem un negatīviem skaitļiem mūsu formula vairs nedarbojas. Tad mums ir divas iespējas:

1. Ienākt sienā, norādot, ka matemātika ir muļķīga zinātne, kur “ir daži noteikumi, bet tas ir nepareizs”;
2. Ieviesiet papildu ierobežojumus, saskaņā ar kuriem formula darbosies 100%.

Pirmajā versijā mums pastāvīgi jāķer "nestrādājoši" gadījumi - tas ir grūti, ilgi un parasti ir neveiksmīgi. Tāpēc matemātiķi deva priekšroku otrajam variantam. :)

Bet neuztraucies! Praksē šis ierobežojums nekādā veidā neietekmē aprēķinus, jo visas iepriekš aprakstītās problēmas attiecas tikai uz nepāra pakāpi, un no tām var noņemt mīnusus.

Tāpēc mēs formulējam citu noteikumu, kas parasti attiecas uz visām darbībām ar saknēm:

Pirms sakņu reizināšanas pārliecinieties, vai radikālie izteicieni nav negatīvi.

Piemērs. Starp $ \\ sqrt (-5) $ varat noņemt mīnusus no saknes zīmes - tad viss būs normāli:

\\ [\\ sākt (izlīdzināt) & \\ sqrt (-5) \u003d - \\ sqrt (5) \\ lt 0 \\ Rightarrow \\\\ & \\ sqrt (-5) \u003d - \\ sqrt (((5) ^ (2))) \u003d - \\ sqrt (25) \u003d - \\ sqrt (((5) ^ (2))) \u003d - \\ sqrt (5) \\ lt 0 \\\\ \\ beigas (izlīdzināt) \\]

Vai jūtat atšķirību? Ja jūs atstājat mīnusu zem saknes, tad, kad radikālā izteiksme būs kvadrātā, tā pazudīs un sāksies crap. Un, ja jūs vispirms izveidojat mīnusu, tad jūs vismaz varat uzcelt kvadrātu / noņemt kvadrātu - skaitlis paliks negatīvs. :)

Tādējādi vispareizākais un visuzticamākais veids sakņu pavairošanai ir šāds:

1. Noņemiet visus mīnusus zem radikāļiem. Mīnusi ir sastopami tikai nepāra pavairotības saknēs - tos var likt saknes priekšā un, ja nepieciešams, samazināt (piemēram, ja ir divi no šiem mīnusiem).
2. Reizināšanu veiciet saskaņā ar noteikumiem, kas iepriekš apskatīti šodienas stundā. Ja saknes indeksi ir vienādi, vienkārši reiziniet radikālās izteiksmes. Un, ja tie ir atšķirīgi, mēs izmantojam ļauno formulu \\ [\\ sqrt [n] (a) \\ cdot \\ sqrt [p] (b) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (p)) \\ cdot ((b) ^ (n) )) \\].
3. 3. Izbaudi rezultātu un labās atzīmes. :)

Nu? Praktizēt to?

1. piemērs. Vienkāršojiet izteicienu:

\\ [\\ sākt (izlīdzināt) & \\ sqrt (48) \\ cdot \\ sqrt (- \\ frac (4) (3)) \u003d \\ sqrt (48) \\ cdot \\ left (- \\ sqrt (\\ frac (4) (3) )) \\ pa labi) \u003d - \\ sqrt (48) \\ cdot \\ sqrt (\\ frac (4) (3)) \u003d \\\\ & \u003d - \\ sqrt (48 \\ cdot \\ frac (4) (3)) \u003d - \\ \\ beigas (izlīdzināt) \\]

Šī ir vienkāršākā iespēja: saknes indeksi ir vienādi un nepāra, problēma ir tikai otrā faktora mīnusā. Mēs izņemam šo mīnusu nafig, pēc kura viss tiek viegli pārdomāts.

2. piemērs. Vienkāršojiet izteicienu:

\\ [\\ sākt (izlīdzināt) & \\ sqrt (32) \\ cdot \\ sqrt (4) \u003d \\ sqrt (((2) ^ (5))) \\ cdot \\ sqrt (((2) ^ (2))) \u003d \\ sqrt ((((\\ kreisā (((2) ^ (5)) \\ labā)) ^ (3)) \\ cdot ((\\ kreisā (((2) ^ (2)) \\ labā)) ^ (4) )) \u003d \\\\ & \u003d \\ sqrt (((2) ^ (15)) \\ cdot ((2) ^ (8))) \u003d \\ sqrt (((2) ^ (23))) \\\\ \\ ( izlīdzināt) \\]

Šeit daudziem būtu neērti no tā, ka iznākums bija iracionāls skaitlis. Jā, tā notiek: mēs nevarējām pilnībā atbrīvoties no saknes, bet vismaz mēs ievērojami vienkāršojām izteicienu.

3. piemērs. Vienkāršojiet izteicienu:

\\ [\\ sākt (izlīdzināt) & \\ sqrt (a) \\ cdot \\ sqrt (((a) ^ (4))) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (3)) \\ cdot ((\\ pa kreisi ((( a) ^ (4)) \\ labā)) ^ (6))) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (3)) \\ cdot ((a) ^ (24))) \u003d \\\\ & \u003d \\ sqrt ( ((a) ^ (27))) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (3 \\ cdot 9))) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (3))) \\ beigas (izlīdzināt) \\]

Es vēlētos pievērst jūsu uzmanību šim uzdevumam. Vienlaicīgi ir divi punkti:

1. Zem saknes nav noteikts skaitlis vai grāds, bet mainīgais $ a $. No pirmā acu uzmetiena tas ir nedaudz neparasti, taču patiesībā, risinot matemātiskas problēmas, visbiežāk nākas saskarties ar mainīgajiem.
2. Galu galā mums izdevās “samazināt” saknes indeksu un pakāpi radikālajā izteiksmē. Tas notiek diezgan bieži. Un tas nozīmē, ka bija iespējams ievērojami vienkāršot aprēķinus, ja neizmantojāt pamata formulu.

Piemēram, jūs varētu rīkoties šādi:

\\ [\\ sākt (izlīdzināt) & \\ sqrt (a) \\ cdot \\ sqrt (((a) ^ (4))) \u003d \\ sqrt (a) \\ cdot \\ sqrt (((\\ pa kreisi ((()) ^ ( 4)) \\ labā)) ^ (2))) \u003d \\ sqrt (a) \\ cdot \\ sqrt (((a) ^ (8))) \\\\ & \u003d \\ sqrt (a \\ cdot ((a) ^ ( 8))) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (9))) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (3 \\ cdot 3))) \u003d \\ sqrt (((a) ^ (3))) \\ Faktiski visas pārvērtības tika veiktas tikai ar otro radikāli. Un, ja sīki neizkrāso visus starpposmus, tad galu galā aprēķina apjoms ievērojami samazināsies.

Faktiski mēs jau saskārāmies ar līdzīgu uzdevumu iepriekš, kad atrisinājām piemēru $ \\ sqrt (5) \\ cdot \\ sqrt (3) $. Tagad to var krāsot daudz vienkāršāk:

\\ [\\ sākt (izlīdzināt) & \\ sqrt (5) \\ cdot \\ sqrt (3) \u003d \\ sqrt (((5) ^ (4)) \\ cdot ((3) ^ (2)) \u003d \u003d sqrt (( (\\ pa kreisi (((5) ^ (2)) \\ cdot 3 \\ pa labi)) ^ (2))) \u003d \\\\ & \u003d \\ sqrt (((pa kreisi (75 \\ pa labi)) ^ (2))) \u003d \\ sqrt (75). \\ beigas (izlīdzināt) \\]

{!LANG-c29791f18dd16ade86ce173c6f1e942b!}

Nu, ar sakņu reizināšanu sakārtoti. Tagad apsveriet apgriezto darbību: ko darīt, kad produkts atrodas zem saknes?

Matemātikā jebkurai darbībai ir savs pretējs pāris - būtībā šī ir viena no Hegeles dialektikas likuma izpausmēm: “pretstatu vienotība un cīņa”. Viena no darbībām šādā “pārī” ir vērsta uz skaita palielināšanu, bet otra, pretēji tai, ir vērsta uz samazināšanu. Piemēram, pretstats saskaitīšanai ir atņemšana, reizināšana atbilst dalīšanai. Pastāv arī savs dialektiskais para-pretstats eksponenciācijai. Tas ir par saknes iegūšanu.

Lai no skaitļa izdalītu šādas pakāpes sakni, ir jāaprēķina, kurš skaitlis jāpaaugstina līdz atbilstošai pakāpei, lai nonāktu pie dotā skaitļa. Diviem grādiem ir savi atsevišķi nosaukumi: otro pakāpi sauc par “kvadrātu”, bet trešo - par “kubu”. Attiecīgi šo grādu saknes ir jauki saukt par kvadrātsakni un kubisko. Darbības ar kubiskām saknēm ir citas diskusijas tēma, un tagad runāsim par kvadrātveida sakņu pievienošanu.

Sākumā dažos gadījumos kvadrātveida saknes vispirms ir vieglāk iegūt un pēc tam pievienot rezultātus. Pieņemsim, ka mums jāatrod šāda izteiciena nozīme:

Nepavisam nav grūti aprēķināt, ka kvadrātsakne no 16 ir 4, bet no 121 - uz 11. Tāpēc,

√16+√121=4+11=15

Tomēr tas ir vienkāršākais gadījums - šeit mēs runājam par pilniem kvadrātiem, t.i. par tādiem skaitļiem, ko iegūst, sadalot veselus skaitļus. Bet tas ne vienmēr notiek. Piemēram, skaitlis 24 nav pilnīgs kvadrāts (jūs nevarat atrast veselu skaitli, kas, ja to palielinātu līdz otrajai jaudai, iegūtu 24). Tas pats attiecas uz skaitli, piemēram, 54 ... Ko darīt, ja mums jāpievieno šo skaitļu kvadrātsaknes?

Šajā gadījumā atbildē mēs saņemam nevis skaitli, bet citu izteiksmi. Maksimālais, ko mēs šeit varam darīt, ir pēc iespējas vienkāršot oriģinālo izteicienu. Lai to izdarītu, jums ir jāizņem faktori no laukuma saknes. Apskatīsim, kā tas tiek darīts, kā piemēru izmantojot iepriekš minētos skaitļus:

Pirmkārt, mēs koeficientu 24 - lai no vienas no tām būtu viegli iegūt kvadrātsakni (t.i., lai tā būtu pilna kvadrāta). Ir tādi skaitļi - tas ir 4:

Tagad darīsim to pašu ar 54. Sastāvā šis skaitlis būs 9:

Tādējādi mēs iegūstam sekojošo:

√24+√54=√(4*6)+ √(9*6)

Tagad mēs iegūsim saknes no tā, no kā mēs varam tās iegūt: 2 * √6 + 3 * √6

Pastāv kopīgs faktors, ko mēs varam izņemt no iekavās:

(2+3)* √6=5*√6

Tas būs papildināšanas rezultāts - neko citu šeit nevar iegūt.

Tiesa, varat izmantot kalkulatora palīdzību - tomēr rezultāts būs aptuvens un ar milzīgu decimālzīmju skaitu:

√6=2,449489742783178

Pakāpeniski to noapaļojot, mēs iegūstam apmēram 2,5. Ja mēs joprojām vēlamies panākt loģisku secinājumu par iepriekšējā piemēra risinājumu, mēs varam šo rezultātu reizināt ar 5 - un iegūstam 12,5. Ar šādiem sākotnējiem datiem precīzāku rezultātu nevar iegūt.