Reālo skaitļu aksiomas. Veselo skaitļu teorijas aksiomu izpēte Veselo skaitļu sistēma

Dotā veselo skaitļu teorijas aksiomu sistēma nav neatkarīga, kā norādīts 3.1.4. uzdevumā.

1. teorēma. Veselo skaitļu aksiomātiskā teorija ir konsekventa.

Pierādījums. Mēs pierādīsim veselo skaitļu aksiomātiskās teorijas konsekvenci, pamatojoties uz pieņēmumu, ka naturālo skaitļu aksiomātiskā teorija ir konsekventa. Lai to izdarītu, mēs izveidosim modeli, uz kura ir izpildītas visas mūsu teorijas aksiomas.

Vispirms izveidosim gredzenu. Apsveriet komplektu

N´ N = {(a, b)ï a, bÎ N}.

a, b) naturālie skaitļi. Ar šādu pāri mēs sapratīsim naturālo skaitļu atšķirību a–b. Bet, kamēr nav pierādīta veselu skaitļu sistēmas esamība, kurā pastāv šāda atšķirība, mums nav tiesību izmantot šādu apzīmējumu. Tajā pašā laikā šāda izpratne dod mums iespēju iestatīt pāru īpašības, kā mēs to vēlamies.

Mēs zinām, ka dažādas naturālo skaitļu atšķirības var būt vienādas ar vienu un to pašu veselu skaitli. Attiecīgi iepazīstināsim filmēšanas laukumā N´ N vienlīdzības attiecība:

(a, b) = (c, d) Û a + d = b + c.

Ir viegli redzēt, ka šī attiecība ir refleksīva, simetriska un pārejoša. Tāpēc tā ir ekvivalences attiecība, un tai ir tiesības saukties par vienlīdzību. Faktoru komplektu komplekts N´ N Z. Tās elementus sauksim par veseliem skaitļiem. Tie apzīmē ekvivalences klases pāru kopā. Klase, kurā ir pāris
(a, b), apzīmē ar [ a, b].

Z a, b] kā ar atšķirību a–b

[a, b] + [c, d] = [a+c, b+d];

[a, b] × [ c, d] = [ac+bd, ad+bc].

Jāpatur prātā, ka, stingri ņemot, darbības simbolu izmantošana šeit nav pilnīgi pareiza. Tas pats simbols + apzīmē naturālu skaitļu un pāru pievienošanu. Bet, tā kā vienmēr ir skaidrs, kurā kopā tiek veikta dotā darbība, šeit mēs neieviesīsim atsevišķu apzīmējumu šīm darbībām.

Ir jāpārbauda šo darbību definīciju pareizība, proti, vai rezultāti nav atkarīgi no elementu izvēles a Un b, definējot pāri [ a, b]. Patiešām, ļaujiet

[a, b] = [a 1 , b 1 ], [s, d] = [Ar 1 ,d 1 ].

Tas nozīmē, ka a+b 1 = b+a 1 , c+d 1 =d + Ar 1 . Pievienojot šīs vienādības, mēs iegūstam

a+b 1 + c+d 1 = b+a 1 +d + Ar 1 Þ[ a + b, c + d] = [a 1 +Ar 1 , b 1 + d 1] Þ

Þ [ a, b] + [c, d] = [a 1 , b 1 ] + [c 1 ,d 1 ].

Reizināšanas definīcijas pareizību nosaka līdzīgi. Bet šeit vispirms vajadzētu pārbaudīt, vai [ a, b] × [ c, d] = [a 1 , b 1 ] × [ c, d].

Tagad mums vajadzētu pārbaudīt, vai iegūtā algebra ir gredzens, tas ir, aksiomas (Z1) – (Z6).

Pārbaudīsim, piemēram, saskaitīšanas komutativitāti, tas ir, aksiomu (Z2). Mums ir

[c, d] + [a, b] = = [a+c, b+d] = [a, b] + [c, d].

Veselu skaitļu saskaitīšanas komutativitāte tiek atvasināta no saskaitīšanas komutativitātes naturāliem skaitļiem, kas tiek uzskatīta par jau zināmu.

Aksiomas (Z1), (Z5), (Z6) tiek pārbaudītas tādā pašā veidā.

Nulles lomu spēlē pāris. Apzīmēsim to ar 0 . Tiešām,

[a, b] + 0 = [a, b] + = [a+ 1,b+ 1] = [a, b].

Visbeidzot, -[ a, b] = [ba]. Tiešām,

[a, b] + [ba] = [a+b, b+a] = = 0 .

Tagad pārbaudīsim paplašinājuma aksiomas. Jāpatur prātā, ka konstruētajā gredzenā nav naturālu skaitļu kā tādu, jo gredzena elementi ir naturālu skaitļu pāru klases. Tāpēc mums jāatrod subalgebra, kas ir izomorfa naturālu skaitļu puslīnijai. Šeit atkal ideja par pāri [ a, b] kā ar atšķirību a–b. Dabiskais skaitlis n var attēlot kā divu dabisko atšķirību, piemēram, šādi: n = (n+ 1) – 1. Līdz ar to rodas priekšlikums nodibināt korespondenci f: N ® Z saskaņā ar noteikumu

f(n) = [n + 1, 1].

Šī sarakste ir injicējoša:

f(n) = f(m) Þ [ n + 1, 1]= [m+ 1, 1] Þ ( n + 1) + 1= 1 + (m+ 1) Þ n = m.

Līdz ar to mums ir savstarpēja sarakste N un dažas apakškopas Z, ko mēs apzīmējam ar N*. Pārbaudīsim, vai tas saglabā darbības:

f(n) + f(m) = [n + 1, 1]+ [m + 1, 1] = [n + m+ 2, 2]= [n + m+ 1, 1] = f(n+m);

f(n) × f(m) = [n+ 1, 1] × [ m + 1, 1] = [nm + n + m+ 2, n+m+ 2]= [nm+ 1, 1] = f(nm).

Tas nosaka to N* veidojas iekšā Z attiecībā uz saskaitīšanas un reizināšanas operācijām subalgebras izomorfs N

Apzīmēsim pāri [ n+ 1, 1] no N* n, cauri n a, b] mums ir

[a, b] = [a + 1, 1] + = [a + 1, 1] – [b + 1, 1] = a – b .

Tas beidzot pamato ideju par pāri [ a, b] kā naturālu skaitļu starpību. Tajā pašā laikā tika konstatēts, ka katrs elements no konstruētā komplekta Z tiek attēlots kā divu dabisko starpība. Tas palīdzēs pārbaudīt minimāluma aksiomu.

Ļaujiet M – apakškopa Z, kas satur N* un kopā ar jebkuriem elementiem A Un b to atšķirība a – b. Pierādīsim to šajā gadījumā M =Z. Patiešām, jebkurš elements no Z tiek attēlots kā divu naturālu skaitļu starpība, kuri pēc nosacījuma pieder M kopā ar tās atšķirībām.

Z

2. teorēma. Veselo skaitļu aksiomātiskā teorija ir kategoriska.

Pierādījums. Pierādīsim, ka jebkuri divi modeļi, kuros ir izpildītas visas šīs teorijas aksiomas, ir izomorfi.

Ļaujiet á Z 1 , +, ×, N 1 ñ un á Z 2, +, ×, N 2 ñ – divi mūsu teorijas modeļi. Stingri sakot, darbības tajās ir jānorāda ar dažādiem simboliem. Mēs atkāpsimies no šīs prasības, lai nepārblīvētu aprēķinus: katru reizi ir skaidrs, par kādu darbību mēs runājam. Elementi, kas pieder apskatāmajiem modeļiem, tiks nodrošināti ar atbilstošiem indeksiem 1 vai 2.

Mēs definēsim izomorfo kartēšanu no pirmā modeļa uz otro. Jo N 1 un N 2 ir naturālu skaitļu pusriņķi, tad ir izomorfa pirmā pusloka j kartēšana uz otro. Definēsim kartēšanu f: Z 1® Z 2. Katrs vesels skaitlis X 1 Î Z 1 tiek attēlots kā divu dabisko starpība:
X 1 = a 1 – b 1 . Mēs ticam

f (x 1) = j( a 1) – j( b 1).

Pierādīsim to f- izomorfisms. Kartēšana ir definēta pareizi: ja X 1 = plkst 1 kur y 1 = c 1 – d 1, tad

a 1 – b 1 = c 1 – d 1 Þ a 1 + d 1 = b 1 + c 1 Þ j( a 1 + d 1) = j( b 1 + c 1) Þ

Þ j( a 1) + j( d 1) = j( b 1)+j( c 1) Þ j( a 1)– j( b 1)= j( c 1) – j( d 1) Þ f(x 1) =f (y 1).

No tā izriet, ka f – viens pret vienu kartēšanu Z 1 colla Z 2. Bet jebkuram X 2 no Z 2 jūs varat atrast dabiskos elementus a 2 un b 2 tāds, ka X 2 = a 2 – b 2. Tā kā j ir izomorfisms, šiem elementiem ir apgriezti attēli a 1 un b 1 . nozīmē, x 2 = j( a 1) – j( b 1) =
= f (a 1 – b 1), un katram elementam no Z 2 ir prototips. Līdz ar to sarakste f viens pret vienu. Pārbaudīsim, vai tas saglabā darbības.

Ja X 1 = a 1 – b 1 , y 1 =c 1 –d 1, tad

X 1 + y 1 = (a 1 + c 1) – (b 1 +d 1),

f(X 1 + y 1) = j( a 1 + c 1) – j( b 1 +d 1) =j( a 1)+j( c 1) – j( b 1) – j( d 1) =

J( a 1) – j( b 1)+j( c 1)– j( d 1) =f(X 1) + f(y 1).

Līdzīgi tiek pārbaudīts, vai reizināšana ir saglabāta. Tas nosaka to f ir izomorfisms, un teorēma ir pierādīta.

Vingrinājumi

1. Pierādīt, ka jebkurš gredzens, kas ietver naturālu skaitļu sistēmu, ietver arī veselu skaitļu gredzenu.

2. Pierādīt, ka katrs minimāli sakārtots komutatīvais gredzens ar identitāti ir izomorfs veselu skaitļu gredzenam.

3. Pierādīt, ka katrs sakārtots gredzens ar vienu un bez nulles dalītājiem satur tikai vienu apakšzvanu, kas ir izomorfs veselu skaitļu gredzenam.

4. Pierādiet, ka otrās kārtas matricu gredzens virs reālo skaitļu lauka satur bezgalīgi daudz apakšzvanu, kas ir izomorfi veselu skaitļu gredzenam.

Racionālo skaitļu lauks

Racionālo skaitļu sistēmas definēšana un konstruēšana tiek veikta tāpat kā veselu skaitļu sistēmai.

Definīcija. Racionālo skaitļu sistēma ir minimāls lauks, kas ir veselu skaitļu gredzena paplašinājums.

Saskaņā ar šo definīciju mēs iegūstam šādu racionālo skaitļu sistēmas aksiomātisku konstrukciju.

Primārie noteikumi:

J– racionālo skaitļu kopa;

0, 1 – konstantes;

+, × – binārās darbības ieslēgtas Q;

Z– apakškopa J, veselu skaitļu kopa;

Å, Ä – binārās darbības ieslēgtas Z.

Aksiomas:

es Lauka aksiomas.

(1. ceturksnis) a+ (b+c) = (a+b) + c.

(2. ceturksnis) a + b = b + a.

(3. ceturksnis) (" a) a + 0 = a.

(4. ceturksnis) (" a)($(–a)) a + (–a) = 0.

(Q5) a× ( b× c) = (a× b) × c.

(Q6) a× b = b× a.

(Q7) A× 1 = A.

(Q8) (" a¹ 0)($ a –1) a × a –1 = 1.

(Q9) ( a+b) × c = a × c + b× c.

II. Paplašinājuma aksiomas.

(Q10) b Z, Å, Ä, 0, 1ñ – naturālu skaitļu gredzens.

(Q11) Z Í J.

(Q12) (" a, bÎ Z) a + b = aÅ b.

(Q13) (" a, bÎ Z) a× b = aÄ b.

III. Minimalitātes aksioma.

(Q14) MÍ J, ZÍ M, ("a, bÎ M)(b ¹ 0 ® a× b–1 О M)Þ M = J.

Numurs a× b–1 sauc par skaitļu koeficientu A Un b, apzīmēts a/b vai .

1. teorēma. Katru racionālo skaitli var attēlot kā divu veselu skaitļu koeficientu.

Pierādījums. Ļaujiet M– racionālu skaitļu kopa, ko var attēlot kā divu veselu skaitļu koeficientu. Ja n- tad vesels n = n/1 pieder M, tātad, ZÍ M. Ja a, bÎ M, Tas a = k/l, b = m/n, Kur k, l, m, nÎ Z. Tāpēc a/b=
= (kn) / (lm)Î M. Saskaņā ar aksiomu (Q14) M= J, un teorēma ir pierādīta.

2. teorēma. Racionālo skaitļu lauks var būt lineāri un stingri sakārtots un unikālā veidā. Kārtība racionālo skaitļu laukā ir Arhimēda un turpina secību veselu skaitļu gredzenā.

Pierādījums. Apzīmēsim ar J+ skaitļu kopa, kas attēlojama kā daļa, kur kl> 0. Ir viegli saprast, ka šis nosacījums nav atkarīgs no daļskaitļa veida.

Pārbaudīsim to J + – pozitīvā lauka daļa J. Tā kā veselam skaitlim kl ir iespējami trīs gadījumi: kl = 0, klÎ N, –kl Î N, tad a = iegūstam vienu no trim iespējām: a = 0, aО J+ , –aО J + . Turklāt, ja a = , b = pieder J+ , tad kl > 0, mn> 0. Tad a + b = , un ( kn + ml)ln = kln 2 + mnl 2 > 0. Tātad a + bО J + . To var pārbaudīt līdzīgi kā abО J + . Tādējādi J + – pozitīvā lauka daļa J.

Ļaujiet J++ – kaut kāda pozitīva šī lauka daļa. Mums ir

l =.l 2 О J ++ .

No šejienes NÍ J++. Saskaņā ar teorēmu 2.3.4. pieder arī naturālo skaitļu apgrieztās vērtības J++. Tad J + Í J++. Saskaņā ar teorēmu 2.3.6 J + =J++. Tāpēc arī pozitīvo daļu definētās kārtas sakrīt J+ un J ++ .

Jo Z + = NÍ J+ , tad secība ir J turpina pasūtījumu iekšā Z.

Lai tagad a => 0, b => 0. Tā kā secība Arhimēda veselo skaitļu gredzenā, tad pozitīvam kn Un ml ir kaut kas dabisks Ar tāds, ka Ar× kn>ml. No šejienes Ar a = Ar> = b. Tas nozīmē, ka secība racionālo skaitļu laukā ir Arhimēda.

Vingrinājumi

1. Pierādīt, ka racionālo skaitļu lauks ir blīvs, tas ir, jebkuriem racionāliem skaitļiem a < b ir racionāls r tāds, ka a < r < b.

2. Pierādiet, ka vienādojums X 2 = 2 nav risinājumu J.

3. Pierādīt, ka komplekts J saskaitāms.

3. teorēma. Racionālo skaitļu aksiomātiskā teorija ir konsekventa.

Pierādījums. Racionālo skaitļu aksiomātiskās teorijas konsekvence ir pierādīta tāpat kā veseliem skaitļiem. Lai to izdarītu, tiek izveidots modelis, uz kura tiek izpildītas visas teorijas aksiomas.

Par pamatu ņemam komplektu

Z´ Z* = {(a, b)ï a, bÎ Z, b ¹ 0}.

Šīs kopas elementi ir pāri ( a, b) veseli skaitļi. Ar šādu pāri mēs sapratīsim veselo skaitļu koeficientu a/b. Saskaņā ar to mēs iestatām pāru īpašības.

Iepazīstinām filmēšanas laukumā Z´ Z* vienlīdzības attiecība:

(a, b) = (c, d) Û reklāma = bc.

Mēs atzīmējam, ka tā ir ekvivalences attiecība un tai ir tiesības saukties par vienlīdzību. Faktoru komplektu komplekts Z´ Z* saskaņā ar šo vienlīdzības attiecību mēs apzīmējam ar J. Tās elementus sauksim par racionāliem skaitļiem. Klase, kurā ir pāris ( a, b), apzīmē ar [ a, b].

Ļaujiet mums iepazīstināt konstruētajā komplektā J saskaitīšanas un reizināšanas operācijas. Tas mums palīdzēs izprast elementu [ a, b] kā privātpersona a/b. Saskaņā ar to mēs pēc definīcijas pieņemam:

[a, b] + [c, d] = [ad+bc, bd];

[a, b] × [ c, d] = [maiņstrāva, bd].

Mēs pārbaudām šo darbību definīciju pareizību, proti, vai rezultāti nav atkarīgi no elementu izvēles a Un b, definējot pāri [ a, b]. Tas tiek darīts tāpat kā 3.2.1. teorēmas pierādījumā.

Nulles lomu spēlē pāris. Apzīmēsim to ar 0 . Tiešām,

[a, b] + 0 = [a, b] + = [a× 1+0× b, b× 1] = [a, b].

Pretējs [ a, b] ir pāris –[ a, b] = [–a, b]. Tiešām,

[a, b] + [–a, b]= [ab – ab, bb] = = 0 .

Vienība ir pāris = 1 . Atgriezties uz pāri [ a, b] - pāris [ ba].

Tagad pārbaudīsim paplašinājuma aksiomas. Izveidosim saraksti
f: Z ® J saskaņā ar noteikumu

f(n) = [n, 1].

Mēs pārbaudām, vai šī ir savstarpēja sarakste Z un dažas apakškopas J, ko mēs apzīmējam ar Z*. Mēs arī pārbaudām, vai tas saglabā darbības, kas nozīmē, ka tas nosaka izomorfismu starp Z un zem gredzena Z* V J. Tas nozīmē, ka paplašinājuma aksiomas ir pārbaudītas.

Apzīmēsim pāri [ n, 1] no Z*, kas atbilst naturālam skaitlim n, cauri n . Tad patvaļīgam pārim [ a, b] mums ir

[a, b] = [a, 1] × = [ a, 1] / [b, 1] = a /b .

Tas attaisno ideju par pāri [ a, b] kā veselu skaitļu koeficientu. Tajā pašā laikā tika konstatēts, ka katrs elements no konstruētā komplekta J tiek attēlots kā divu veselu skaitļu koeficients. Tas palīdzēs pārbaudīt minimāluma aksiomu. Pārbaudi veic saskaņā ar 3.2.1. teorēmu.

Tādējādi uzbūvētajai sistēmai J visas veselo skaitļu teorijas aksiomas ir izpildītas, tas ir, mēs esam izveidojuši šīs teorijas modeli. Teorēma ir pierādīta.

4. teorēma. Racionālo skaitļu aksiomātiskā teorija ir kategoriska.

Pierādījums ir līdzīgs 3.2.2. teorēmai.

5. teorēma. Arhimēda sakārtotais lauks ir racionālo skaitļu lauka paplašinājums.

Pierādījums ir vingrinājums.

6. teorēma.Ļaujiet F- Arhimēda sakārtots lauks, a > b, Kur a, bÎ F. Ir racionāls skaitlis Î F tāds, ka a > > b.

Pierādījums. Ļaujiet a > b³ 0. Tad a–b> 0 un ( a–b) –1 > 0. Ir dabisks T tāds, ka m×1 > ( a–b) –1 , no kurienes m –1 < a–b £ A. Turklāt ir dabiska k tāds, ka k× m-1 ³ a. Ļaujiet k ir mazākais skaitlis, uz kuru attiecas šī nevienlīdzība. Jo k> 1, tad varam likt k = n + 1, n Î N. Kurā
(n+ 1) × m-1 ³ a, n× m –1 < a. Ja n× m-1 £ b, Tas a = b + (a–b) > b+m-1 ³ n× m –1 + m –1 =
= (n+ 1) × m-1. Pretruna. nozīmē, a >n× m –1 > b.

Vingrinājumi

4. Pierādīt, ka jebkurš lauks, kas ietver veselu skaitļu gredzenu, ietver arī racionālo skaitļu lauku.

5. Pierādīt, ka katrs minimālais sakārtotais lauks ir izomorfs racionālo skaitļu laukam.

Reāli skaitļi

Veidojot aksiomātisku naturālu skaitļu teoriju, primārie termini būs “elements” vai “skaitlis” (ko šīs rokasgrāmatas kontekstā varam uzskatīt par sinonīmiem) un “kopa”, galvenās attiecības: “pieder” (elements). pieder komplektam), “vienlīdzība” un “ sekot līdzi”, apzīmēts ar / (lasiet “cipars ar gājienu seko ciparam a”, piemēram, divi seko trīs, tas ir, 2 / = 3, pēc skaitļa 10 seko skaitlis 11, tas ir, 10 / = 11 utt.).

Naturālo skaitļu kopa(dabas rindas, pozitīvi veseli skaitļi) ir kopa N ar ieviesto “sekot pēc” sakarību, kurā ir izpildītas šādas 4 aksiomas:

A 1. Kopā N ir elements, ko sauc vienība, kas neseko nevienam citam numuram.

A 2. Katram dabiskās sērijas elementam blakus ir tikai viens.

A 3. Katrs N elements seko ne vairāk kā vienam dabiskās sērijas elementam.

A 4.( Indukcijas aksioma) Ja kopas N apakškopa M satur vienu, kā arī kopā ar katru tās elementu a satur arī šādu elementu a / , tad M sakrīt ar N.

Tās pašas aksiomas var īsi uzrakstīt, izmantojot matemātiskos simbolus:

A 1 ( 1  N) ( a  N) a / ≠ 1

A 2 ( a  N) ( a /  N) a = b => a / = b /

A 3 a / = b / => a = b

Ja elements b seko elementam a (b = a /), tad teiksim, ka elements a ir pirms elementa b (vai pirms b). Šo aksiomu sistēmu sauc Peano aksiomu sistēmas(jo to 19. gadsimtā ieviesa itāļu matemātiķis Džuzepe Peano). Šī ir tikai viena no iespējamām aksiomu kopām, kas ļauj definēt naturālo skaitļu kopu; Ir arī citas līdzvērtīgas pieejas.

Vienkāršākās naturālo skaitļu īpašības

1. īpašums. Ja elementi ir atšķirīgi, tad tie, kas tiem seko, ir atšķirīgi, tas ir

a  b => a /  b / .

Pierādījums tiek veikta ar pretrunu: pieņemsim, ka a / = b /, tad (pēc A 3) a = b, kas ir pretrunā teorēmas nosacījumiem.

2. īpašums. Ja elementi ir atšķirīgi, tad tie, kas ir pirms tiem (ja tādi pastāv), atšķiras, tas ir

a /  b / => a  b.

Pierādījums: pieņemsim, ka a = b, tad saskaņā ar A 2 mums ir a / = b /, kas ir pretrunā ar teorēmas nosacījumiem.

3. īpašums. Neviens naturāls skaitlis nav vienāds ar nākamo.

Pierādījums: Ņemsim vērā kopu M, kas sastāv no tādiem naturāliem skaitļiem, kuriem šis nosacījums ir izpildīts

M = (a  N | a  a / ).

Mēs veiksim pierādījumu, pamatojoties uz indukcijas aksiomu. Pēc kopas M definīcijas tā ir naturālo skaitļu kopas apakškopa. Nākamais 1M, jo neseko nevienam naturālam skaitlim (A 1), kas nozīmē, ka arī a = 1 mums ir: 1  1 / . Tagad pieņemsim, ka daži a  M. Tas nozīmē, ka a  a / (pēc M definīcijas), no kurienes a /  (a /) / (īpašība 1), tas ir, a /  M. No visiem iepriekš, pamatojoties uz Izmantojot indukcijas aksiomas, mēs varam secināt, ka M = N, tas ir, mūsu teorēma ir patiesa visiem naturālajiem skaitļiem.

4. teorēma. Jebkuram naturālam skaitlim, kas nav 1, pirms tā ir skaitlis.

Pierādījums: Apsveriet komplektu

M = (1)  (c N | ( a  N) c = a / ).

Šī M ir naturālo skaitļu kopas apakškopa, viena nepārprotami pieder šai kopai. Šīs kopas otrā daļa ir elementi, kuriem ir priekšteči, tāpēc, ja a  M, tad a / pieder arī M (tā otrā daļa, jo a / ir priekštecis - tas ir a). Tādējādi, pamatojoties uz indukcijas aksiomu, M sakrīt ar visu naturālo skaitļu kopu, kas nozīmē, ka visi naturālie skaitļi ir vai nu 1, vai tie, kuriem ir iepriekšējais elements. Teorēma ir pierādīta.

Naturālo skaitļu aksiomātiskās teorijas konsekvence

Kā intuitīvu naturālo skaitļu kopas modeli varam uzskatīt rindu kopas: skaitlis 1 atbildīs |, skaitlis 2 || utt., tas ir, naturālā sērija izskatīsies šādi:

|, ||, |||, ||||, ||||| ….

Šīs rindu rindas var kalpot kā naturālu skaitļu paraugs, ja kā relāciju “sekot pēc” izmanto “vienas rindas piešķiršana skaitlim”. Visu aksiomu derīgums ir intuitīvi acīmredzams. Protams, šis modelis nav stingri loģisks. Lai izveidotu stingru modeli, jums ir nepieciešama cita acīmredzami konsekventa aksiomātiska teorija. Bet mūsu rīcībā šādas teorijas nav, kā minēts iepriekš. Tādējādi vai nu esam spiesti paļauties uz intuīciju, vai arī neizmantot modeļu metodi, bet atsaukties uz to, ka vairāk nekā 6 tūkstošus gadu, kuru laikā tika veikta naturālo skaitļu izpēte, nav pretrunu ar šīs aksiomas ir atklātas.

Peano aksiomu sistēmas neatkarība

Lai pierādītu pirmās aksiomas neatkarību, pietiek izveidot modeli, kurā aksioma A 1 ir nepatiesa, bet aksiomas A 2, A 3, A 4 ir patiesas. Uzskatīsim skaitļus 1, 2, 3 par primārajiem terminiem (elementiem) un definēsim attiecību “sekot” ar relācijām: 1 / = 2, 2 / = 3, 3 / = 1.

Šajā modelī nav neviena elementa, kas nesekotu nevienam citam (aksioma 1 ir nepatiesa), bet visas pārējās aksiomas ir izpildītas. Tādējādi pirmā aksioma nav atkarīga no pārējām.

Otrā aksioma sastāv no divām daļām – esamības un unikalitātes. Šīs aksiomas neatkarību (esamības izteiksmē) var ilustrēt ar divu skaitļu (1, 2) modeli ar relāciju “sekot”, ko definē viena sakarība: 1 / = 2:

Diviem trūkst nākamā elementa, bet aksiomas A 1, A 3, A 4 ir patiesas.

Šīs aksiomas neatkarību unikalitātes ziņā ilustrē modelis, kurā kopa N būs visu parasto naturālo skaitļu kopa, kā arī visu veidu vārdi (burtu kopas, kurām ne vienmēr ir nozīme). uz augšu no latīņu alfabēta burtiem (pēc burta z nākamais būs aa, tad ab ... az, tad ba ...; visiem iespējamiem divu burtu vārdiem, no kuriem pēdējais ir zz, sekos vārds aaa un tā tālāk). Mēs ieviešam attiecību “sekot”, kā parādīts attēlā:

Šeit ir patiesas arī aksiomas A 1, A 3, A 4, bet 1 uzreiz seko divi elementi 2 un a. Tādējādi 2. aksioma nav atkarīga no pārējām.

Aksiomas 3 neatkarību ilustrē modelis:

kurā A 1, A 2, A 4 ir patiesi, bet skaitlis 2 seko gan skaitļam 4, gan skaitļam 1.

Lai pierādītu indukcijas aksiomas neatkarību, mēs izmantojam kopu N, kas sastāv no visiem naturālajiem skaitļiem, kā arī trīs burtiem (a, b, c). Šajā modelī var ieviest šādu sakarību, kā parādīts nākamajā attēlā:

Šeit naturāliem skaitļiem tiek izmantota parastā sekojuma sakarība, bet burtiem sekojošo attiecību definē ar šādām formulām: a / = b, b / = c, c / = a. Ir skaidrs, ka 1 neseko nevienam naturālam skaitlim, katram ir nākamais, un tikai viens, katrs elements seko ne vairāk kā vienam elementam. Tomēr, ja mēs uzskatām kopu M, kas sastāv no parastiem naturāliem skaitļiem, tad tā būs šīs kopas apakškopa, kurā ir viens, kā arī nākamais elements katram elementam no M. Tomēr šī apakškopa nesakritīs ar visu modeli zem apsvērums, jo tajā nebūs burti a, b, c. Tādējādi indukcijas aksioma šajā modelī nav izpildīta, un tāpēc indukcijas aksioma nav atkarīga no pārējām aksiomām.

Naturālo skaitļu aksiomātiskā teorija ir kategorisks(pilnīgs šaurā nozīmē).

 (n /) =( (n)) / .

Pilnīgas matemātiskās indukcijas princips.

Indukcijas teorēma. Lai visiem naturālajiem skaitļiem formulēts kāds apgalvojums P(n) un patiess a) P(1), b) no tā, ka P(k) ir patiess, izriet, ka patiess ir arī P(k /). Tad apgalvojums P(n) ir patiess visiem naturālajiem skaitļiem.

Lai to pierādītu, ieviesīsim naturālu skaitļu n kopu M (M  N), kurai apgalvojums P(n) ir patiess. Izmantosim aksiomu A 4, tas ir, mēģināsim pierādīt, ka:

1. k  M => k /  M.

Ja izdodas, tad saskaņā ar aksiomu A 4 varam secināt, ka M = N, tas ir, P(n) ir patiess visiem naturālajiem skaitļiem.

1) Saskaņā ar teorēmas nosacījumu a) P(1) ir patiess, tāpēc 1  M.

2) Ja kāds k  M, tad (konstruējot M) P(k) ir patiess. Saskaņā ar teorēmas nosacījumu b) tas ietver P(k /) patiesumu, kas nozīmē k /  M.

Tādējādi saskaņā ar indukcijas aksiomu (A 4) M = N, kas nozīmē, ka P(n) ir patiess visiem naturālajiem skaitļiem.

Tādējādi indukcijas aksioma ļauj mums izveidot metodi teorēmu pierādīšanai “ar indukciju”. Šai metodei ir galvenā loma aritmētikas pamatteorēmu pierādīšanā attiecībā uz naturāliem skaitļiem. Tas sastāv no šādiem elementiem:

1) tiek pārbaudīts izziņas derīgumsn=1 (indukcijas bāze) ,

2) tiek pieņemts šī apgalvojuma derīgumsn= k, Kurk– patvaļīgs naturāls skaitlis(induktīva hipotēze) , un, ņemot vērā šo pieņēmumu, tiek noteikts paziņojuma derīgumsn= k / (indukcijas solis ).

Pierādījumu, kura pamatā ir noteikts algoritms, sauc par pierādījumu ar matemātisko indukciju .

Uzdevumi patstāvīgam risinājumam

Nr.1.1. Noskaidrojiet, kura no uzskaitītajām sistēmām apmierina Peano aksiomas (tie ir naturālo skaitļu kopas modeļi), nosakiet, kuras aksiomas ir apmierinātas un kuras nē.

a) N = (3, 4, 5...), n/ = n + 1;

b) N =(n  6, n  N), n/= n+1;

c) N =(n  – 2, n  Z), n/= n+1;

d) N =(n  – 2, n  Z), n/ = n + 2;

e) nepāra naturālie skaitļi, n / = n +1;

f) nepāra naturālie skaitļi, n / = n +2;

g) naturālie skaitļi ar attiecību n / = n + 2;

h) N = (1, 2, 3), 1 / = 3, 2 / = 3, 3 / = 2;

i) N = (1, 2, 3, 4, 5), 1 / = 2, 2 / = 3, 3 / = 4, 4 / = 5, 5 / = 1;

j) naturālie skaitļi, reizināti ar 3 ar attiecību n / = n + 3

k) Pāra naturāli skaitļi ar attiecību n / = n + 2

m) veseli skaitļi,
.

Veselu skaitļu sistēma

Atcerēsimies, ka dabiskās sērijas parādījās, lai uzskaitītu objektus. Bet, ja mēs vēlamies veikt dažas darbības ar objektiem, tad mums būs nepieciešamas aritmētiskās darbības ar skaitļiem. Tas ir, ja mēs vēlamies salikt ābolus vai sadalīt kūku, mums šīs darbības ir jātulko skaitļu valodā.

Lūdzu, ņemiet vērā, ka, lai ieviestu darbības + un * naturālo skaitļu valodā, ir jāpievieno aksiomas, kas nosaka šo darbību īpašības. Bet tad arī pati naturālo skaitļu kopa ir paplašinās.

Apskatīsim, kā paplašinās naturālo skaitļu kopa. Vienkāršākā darbība, kas bija viena no pirmajām, ir pievienošana. Ja vēlamies definēt saskaitīšanas darbību, jādefinē tās apgrieztā – atņemšana. Faktiski, ja mēs zinām, kāds būs saskaitīšanas rezultāts, piemēram, 5 un 2, tad mums jāspēj atrisināt tādas problēmas kā: kas jāpievieno 4, lai iegūtu 11. Tas ir, problēmas, kas saistītas ar saskaitīšanu, noteikti tiks atrisinātas. prasa spēju veikt apgriezto darbību - atņemšanu. Bet, ja, saskaitot naturālus skaitļus, atkal tiek iegūts naturāls skaitlis, tad naturālos skaitļus atņemot iegūst rezultātu, kas neiekļaujas N. Vajadzēja dažus citus skaitļus. Pēc analoģijas ar saprotamu mazāka skaitļa atņemšanu no lielāka skaitļa tika ieviests noteikums par lielāka skaitļa atņemšanu no mazāka skaitļa - tā parādījās negatīvi veseli skaitļi.

Papildinot naturālo rindu ar operācijām + un -, mēs nonākam pie veselu skaitļu kopas.

Z=N+operācijas (+-)

Racionālo skaitļu sistēma kā aritmētikas valoda

Tagad apskatīsim nākamo sarežģītāko darbību - reizināšanu. Būtībā tas ir atkārtots papildinājums. Un veselu skaitļu reizinājums paliek vesels skaitlis.

Bet reizināšanas apgrieztā darbība ir dalīšana. Bet tas ne vienmēr dod vislabākos rezultātus. Un atkal mēs saskaramies ar dilemmu - vai nu pieņemt kā pieņemtu, ka dalīšanas rezultāts var “nepastāvēt”, vai arī nākt klajā ar jauna veida skaitļiem. Tā parādījās racionālie skaitļi.

Ņemsim veselu skaitļu sistēmu un papildināsim to ar aksiomām, kas definē reizināšanas un dalīšanas darbības. Mēs iegūstam racionālu skaitļu sistēmu.

Q=Z+operācijas (*/)

Tātad racionālo skaitļu valoda ļauj mums radīt visas aritmētiskās darbības pāri cipariem. Ar naturālo skaitļu valodu tam nepietika.

Sniegsim racionālo skaitļu sistēmas aksiomātisku definīciju.

Definīcija. Kopu Q sauc par racionālo skaitļu kopu, un tās elementus par racionālajiem skaitļiem, ja ir izpildīta šāda nosacījumu kopa, ko sauc par racionālo skaitļu aksiomātiku:

Saskaitīšanas darbības aksiomas. Par katru pasūtīto pāri x,y elementi no J kāds elements ir definēts x+yОQ, ko sauc par summu X Un plkst. Šajā gadījumā ir izpildīti šādi nosacījumi:

1. (nulles esamība) Ir tāds elements 0 (nulle), ka jebkuram XÎQ

X+0=0+X=X.

2. Jebkuram elementam XО Q ir elements - XО Q (pretēji X) tāds, ka

X+ (-X) = (-X) + X = 0.

3. (Komutativitāte) Jebkuram x,yО Q

4. (Asociativitāte) Jebkuram x,y,zО Q

x + (y + z) = (x + y) + z

Reizināšanas operācijas aksiomas.

Par katru pasūtīto pāri x, y elementi no Q kāds elements ir definēts xyО Q, ko sauc par produktu X Un u.Šajā gadījumā ir izpildīti šādi nosacījumi:

5. (Vienības elementa esamība) Ir tāds elements 1 О Q, ka jebkuram XО Q

X . 1 = 1. x = x

6. Jebkuram elementam XО Q , ( X≠ 0) ir apgriezts elements X-1 ≠0 tā, ka

X. x -1 = x -1. x = 1

7. (Asociativitāte) Jebkuram x, y, zО Q

X . (y . z) = (x . y) . z

8. (Komutativitāte) Jebkuram x, yО Q

Saskaitīšanas un reizināšanas savienojuma aksioma.

9. (Izplatība) Jebkuram x, y, zО Q

(x+y) . z = x . z+y . z

Kārtības aksiomas.

Jebkuri divi elementi x, y,О Q ieiet salīdzināšanas sakarībā ≤. Šajā gadījumā ir izpildīti šādi nosacījumi:

10. (X≤plkst)L ( plkst≤x) ó x=y

11. (X≤y) L ( y≤ z) => x≤z

12. Jebkuram x, yО Q vai x< у, либо у < x .

Attieksme< называется строгим неравенством,

Attiecību = sauc par elementu vienādību no Q.

Papildinājuma un kārtības saiknes aksioma.

13. Jebkuram x, y, z ОQ, (x £ y) Þ x+z £ y+z

Saiknes starp reizināšanu un secību aksioma.

14. (0 £ x)Ç(0 £ y) Þ (0 £ x´y)

Arhimēda nepārtrauktības aksioma.

15. Jebkuram a > b > 0 eksistē m О N un n О Q tā, ka m ³ 1, n< b и a= mb+n.

*****************************************

Tādējādi racionālo skaitļu sistēma ir aritmētikas valoda.

Tomēr ar šo valodu nepietiek, lai atrisinātu praktiskas skaitļošanas problēmas.

Aksiomātiskā metode matemātikā.

Dabisko rindu aksiomātiskās teorijas pamatjēdzieni un sakarības. Naturāla skaitļa definīcija.

Naturālo skaitļu saskaitīšana.

Naturālo skaitļu reizināšana.

Naturālo skaitļu kopas īpašības

Naturālo skaitļu atņemšana un dalīšana.

Aksiomātiskā metode matemātikā

Jebkuras matemātiskās teorijas aksiomātiskajā konstrukcijā tiek ievēroti šādi noteikumi: noteikti noteikumi:

1. Daži teorijas jēdzieni ir izvēlēti kā galvenais un tiek pieņemti bez definīcijas.

2. Ir formulēti aksiomas, kas šajā teorijā tiek pieņemti bez pierādījumiem, tie atklāj pamatjēdzienu īpašības.

3. Ir dota katra teorijas koncepcija, kas nav ietverta pamata sarakstā definīcija, tas izskaidro tā nozīmi, izmantojot galveno un iepriekšējo jēdzienu.

4. Katrs teorijas piedāvājums, kas nav ietverts aksiomu sarakstā, ir jāpierāda. Tādus priekšlikumus sauc teorēmas un pierādīt tos, pamatojoties uz aksiomām un teorēmām, kas ir pirms aplūkojamās.

Aksiomu sistēmai jābūt šādai:

a) konsekventi: mums jābūt pārliecinātiem, ka, izdarot visus iespējamos secinājumus no dotās aksiomu sistēmas, mēs nekad nenonāksim pie pretrunas;

b) neatkarīgs: neviena aksioma nedrīkst būt citu šīs sistēmas aksiomu sekas.

V) pilns, ja tās ietvaros vienmēr ir iespējams pierādīt vai nu doto apgalvojumu, vai tā noliegumu.

Par pirmo aksiomātiskās teorijas konstruēšanas pieredzi var uzskatīt Eiklida ģeometrijas izklāstu savā “Elementos” (3. gadsimtā pirms mūsu ēras). Būtisku ieguldījumu ģeometrijas un algebras konstruēšanas aksiomātiskās metodes attīstībā sniedza N.I. Lobačevskis un E. Galuā. 19. gadsimta beigās. Itāļu matemātiķis Peano izstrādāja aritmētikas aksiomu sistēmu.

Naturālo skaitļu aksiomātiskās teorijas pamatjēdzieni un sakarības. Naturāla skaitļa definīcija.

Kā pamatjēdziens (nenodefinēts) noteiktā komplektā N ir atlasīts attieksme , kā arī izmanto kopu teorētiskos jēdzienus, kā arī loģikas noteikumus.

Elements tūlīt aiz elementa A, apzīmēt A".

Attiecības "tieši sekot" atbilst šādām aksiomām:

Peano aksiomas:

1. aksioma. Pārpilnībā N tieši ir elements ne nākamais ne nevienam šī komplekta elementam. Sauksim viņu vienība un apzīmē ar simbolu 1 .

2. aksioma. Katram elementam A no N ir tikai viens elements A" , tūlīt pēc tam A .

3. aksioma. Katram elementam A no N ir ne vairāk kā viens elements, kam uzreiz seko A .

4. aksioma. Jebkura apakškopa M komplekti N sakrīt ar N , ja tam ir šādas īpašības: 1) 1 ietverts M ; 2) no tā, ka A ietverts M , no tā izriet, ka A" ietverts M.

1. definīcija. ķekars N , kuras elementiem tiek izveidota saistība "tieši sekot", kas atbilst aksiomām 1-4, tiek saukta naturālo skaitļu kopa, un tā elementi ir naturālie skaitļi.

Šī definīcija neko nesaka par kopas elementu būtību N . Tātad tas var būt jebkas. Izvēloties kā komplektu N kādu konkrētu kopu, kurai ir dota konkrēta sakarība “tieši seko”, apmierinot aksiomas 1-4, mēs iegūstam šīs sistēmas modelis aksioma.

Peano aksiomu sistēmas standarta modelis ir skaitļu virkne, kas radusies sabiedrības vēsturiskās attīstības procesā: 1,2,3,4,... Dabiskā rinda sākas ar skaitli 1 (aksioma 1); katram naturālajam skaitlim uzreiz seko viens naturāls skaitlis (2. aksioma); katrs naturālais skaitlis uzreiz seko ne vairāk kā vienam naturālajam skaitlim (3. aksioma); sākot no skaitļa 1 un virzoties secībā uz naturālajiem skaitļiem, kas atrodas uzreiz pēc cita, iegūstam visu šo skaitļu kopu (4. aksioma).

Tātad, mēs sākām naturālu skaitļu sistēmas aksiomātisku konstruēšanu, izvēloties pamata "tieši sekot" attiecības un aksiomas, kas apraksta tā īpašības. Teorijas turpmākā veidošana ietver zināmo naturālo skaitļu īpašību un operāciju ar tiem apsvēršanu. Tie ir jāatklāj definīcijās un teorēmās, t.i. ir atvasināti tīri loģiski no attiecības "tieši sekot" un aksiomas 1-4.

Pirmais jēdziens, ko mēs ieviesīsim pēc naturālā skaitļa definēšanas, ir attieksme "tūlīt pirms" , ko bieži izmanto, apsverot dabiskās sērijas īpašības.

2. definīcija. Ja naturāls skaitlis b tieši seko dabiskais skaitlis A, tas numurs A sauca tieši pirms tam(vai iepriekšējais) numurs b .

Attiecība "pirms" ir vairākus īpašumus.

Teorēma 1. Vienībai nav naturāla skaitļa pirms tam.

Teorēma 2. Katrs naturāls skaitlis A, kas nav 1, pirms tam ir viens skaitlis b, tāds, ka b"= A.

Naturālo skaitļu teorijas aksiomātiskā konstrukcija netiek aplūkota ne pamatskolās, ne vidusskolās. Tomēr tās attiecības "tieši seko" īpašības, kas atspoguļotas Peano aksiomās, ir matemātikas sākotnējā kursa izpētes priekšmets. Jau pirmajā klasē, apsverot pirmā desmitnieka skaitļus, kļūst skaidrs, kā katru skaitli var iegūt. Tiek lietoti jēdzieni “seko” un “pirms”. Katrs jauns skaitlis darbojas kā dabiskās skaitļu sērijas pētītā segmenta turpinājums. Studenti ir pārliecināti, ka katram skaitlim seko nākamais, un turklāt tikai viena lieta, ka naturālā skaitļu virkne ir bezgalīga.

Naturālo skaitļu saskaitīšana

Saskaņā ar aksiomātiskās teorijas konstruēšanas noteikumiem naturālu skaitļu saskaitīšanas definīcija jāievieš, izmantojot tikai attiecību "tieši sekot", un jēdzieni "dabiskais numurs" Un "iepriekšējais numurs".

Ievadīsim pievienošanas definīciju ar šādiem apsvērumiem. Ja uz kādu naturālu skaitli A pievieno 1, mēs iegūstam numuru A", tūlīt pēc tam A, t.i. A+ 1= a" un tāpēc mēs iegūstam noteikumu 1 pievienošanai jebkuram naturālam skaitlim. Bet kā pievienot skaitlim A dabiskais skaitlis b, atšķiras no 1? Izmantosim šādu faktu: ja zinām, ka 2 + 3 = 5, tad summa ir 2 + 4 = 6, kas uzreiz seko skaitļam 5. Tas notiek tāpēc, ka summā 2 + 4 otrais loceklis ir skaitlis, kas seko tieši skaitlis 3. Tādējādi 2 + 4 =2+3 " =(2+3)". Kopumā mums ir , .

Šie fakti veido pamatu naturālo skaitļu saskaitīšanas definīcijai aksiomātiskajā teorijā.

3. definīcija. Naturālo skaitļu pievienošana ir algebriska darbība, kurai ir šādas īpašības:

Numurs a + b sauca skaitļu summa A Un b , un paši skaitļi A Un b - noteikumiem.

OMSKAS VALSTS PEDAGOĢISKĀ UNIVERSITĀTE
Omskas Valsts pedagoģiskās universitātes filiāle TAR
BBK Publicēts ar redakcijas lēmumu un izdevniecība
22ya73 sektors Omskas Valsts pedagoģiskās universitātes filiālē Tarā
Ch67

Ieteikumi paredzēti pedagoģisko augstskolu studentiem, kuri apgūst disciplīnu "Algebra un skaitļu teorija". Šīs disciplīnas ietvaros atbilstoši valsts standartam 6.semestrī tiek apgūta sadaļa “Ciparu sistēmas”. Šajos ieteikumos ir sniegts materiāls par naturālu skaitļu sistēmu (Pīno aksiomu sistēma), veselu skaitļu un racionālu skaitļu sistēmu aksiomātisku konstruēšanu. Šī aksiomatika ļauj labāk izprast, kas ir skaitlis, kas ir viens no skolas matemātikas kursa pamatjēdzieniem. Materiāla labākai asimilācijai tiek dotas problēmas par atbilstošām tēmām. Ieteikumu beigās ir atbildes, norādījumi un problēmu risinājumi.

Recenzents: Pedagoģijas zinātņu doktors, Prof. Dalingers V.A.

c) Mozhan N.N.

Parakstīts publicēšanai - 22.10.98

Avīžu papīrs
Tirāža 100 eks.
Drukāšanas metode darbojas
Omskas Valsts pedagoģiskā universitāte, 644099, Omska, emb. Tuhačevskis, 14
filiāle, 644500, Tara, st. Školnaja, 69

1. DABISKI SKAITĻI.

Naturālo skaitļu sistēmas aksiomātiskajā konstruēšanā pieņemsim, ka kopas jēdziens, attiecības, funkcijas un citi kopu teorētiskie jēdzieni ir zināmi.

1.1 Peano aksiomu sistēma un vienkāršākās sekas.

Sākotnējie jēdzieni Peano aksiomātiskajā teorijā ir kopa N (ko mēs sauksim par naturālo skaitļu kopu), īpašais skaitlis nulle (0) no tā un binārā attiecība "seko" uz N, apzīmēta ar S(a) (vai a()).
AXIOMS:
1. ((a(N) a"(0) (Ir naturāls skaitlis 0, kas neseko nevienam skaitlim.)
2. a=b (a"=b" (Katram naturālajam skaitlim a seko naturāls skaitlis a" un tikai viens.)
3. a"=b" (a=b (katrs naturālais skaitlis seko ne vairāk kā vienam skaitlim.)
4. (indukcijas aksioma) Ja kopa M(N un M) atbilst diviem nosacījumiem:
A) 0(M;
B) ((a(N) a(M® a"(M, tad M=N.
Funkcionālajā terminoloģijā tas nozīmē, ka kartējums S:N®N ir injicējams. No 1. aksiomas izriet, ka kartējums S:N®N nav surjektīvs. 4. aksioma ir pamats apgalvojumu pierādīšanai “ar matemātiskās indukcijas metodi”.
Atzīmēsim dažas naturālu skaitļu īpašības, kas tieši izriet no aksiomām.
Īpašība 1. Katrs naturāls skaitlis a(0 seko vienam un tikai vienam skaitlim.
Pierādījums. Ar M apzīmē naturālo skaitļu kopu, kurā ir nulle, un visus tos naturālos skaitļus, kuri katrs seko kādam skaitlim. Pietiek parādīt, ka M=N, unikalitāte izriet no 3. aksiomas. Pielietosim 4. indukcijas aksiomu:
A) 0(M - pēc kopas M uzbūves;
B) ja a(M, tad a"(M, jo a" seko a.
Tas nozīmē, saskaņā ar aksiomu 4, M=N.
Rekvizīts 2. Ja a(b, tad a"(b).
Īpašība tiek pierādīta ar pretrunu, izmantojot 3. aksiomu. Sekojošā īpašība 3 tiek pierādīta līdzīgā veidā, izmantojot 2. aksiomu.
Rekvizīts 3. Ja a"(b), tad a(b.
Rekvizīts 4. ((a(N)a(a). (Naturāls skaitlis neseko pašam.)
Pierādījums. Lai M=(x (x(N, x(x")). Pietiek parādīt, ka M=N. Tā kā saskaņā ar aksiomu 1 ((x(N)x"(0, tad konkrēti 0"(0). , un līdz ar to ir izpildīts 4. aksiomas nosacījums A 0(M -). Ja x(M, tas ir, x(x), tad ar īpašību 2 x"((x")", kas nozīmē, ka nosacījums B) x ( M ® x"(M. Bet tad, saskaņā ar 4. aksiomu, M=N.
Ļaujiet ( ir kāds naturālu skaitļu īpašums. Fakts, ka skaitlim a ir īpašība (, mēs rakstīsim ((a).).
Uzdevums 1.1.1. Pierādiet, ka 4. aksioma no naturālo skaitļu kopas definīcijas ir līdzvērtīga šādam apgalvojumam: jebkurai īpašībai (, ja ((0) un, tad.
1.1.2.uzdevums. Trīs elementu kopā A=(a,b,c) unārā darbība ( ir definēta šādi: a(=c, b(=c, c(=a. Kura no Peano aksiomām ir patiesa šajā kopā). A ar operāciju (?
Uzdevums 1.1.3. Pieņemsim, ka A=(a) ir viena kopa, a(=a. Kura no Peano aksiomām ir patiesa kopai A ar operāciju (?
Uzdevums 1.1.4. Kopā N mēs definējam unāru darbību, pieņemot, ka jebkurai. Uzziniet, vai Pīno aksiomu apgalvojumi, kas formulēti operācijas izteiksmē, būs patiesi N.
Problēma 1.1.5. Ļaujiet būt. Pierādiet, ka A ir aizvērts saskaņā ar operāciju (. Pārbaudiet Pīno aksiomu patiesumu kopā A ar operāciju (.
Problēma 1.1.6. Lai paliek,. Definēsim unāru darbību uz A iestatījumu. Kura no Peano aksiomām ir patiesa kopā A ar operāciju?

1.2. Peano aksiomu sistēmas konsekvence un kategoriskums.

Aksiomu sistēmu sauc par konsekventu, ja no tās aksiomām nav iespējams pierādīt teorēmu T un tās noliegumu (T. Skaidrs, ka pretrunīgām aksiomu sistēmām matemātikā nav nozīmes, jo šādā teorijā var pierādīt jebko un tādu teorija neatspoguļo reālās pasaules likumus Tāpēc aksiomu sistēmas konsekvence ir absolūti nepieciešama prasība.
Ja teorēma T un tās noliegumi (T) nav atrodami aksiomātiskajā teorijā, tas nenozīmē, ka aksiomu sistēma ir konsekventa, šādas teorijas var parādīties nākotnē. Tāpēc ir jāpierāda aksiomu sistēmas konsekvence. visizplatītākais veids, kā pierādīt konsekvenci, ir interpretācijas metode, kuras pamatā ir fakts, ka, ja acīmredzami konsekventā teorijā S ir aksiomu sistēmas interpretācija, tad pati aksiomu sistēma ir konsekventa. Patiešām, ja aksiomu sistēma būtu nekonsekventa, tad tajā būtu pierādāmas teorēmas T un (T, bet tad šīs teorēmas būtu derīgas un tās interpretācijā, un tas ir pretrunā ar teorijas konsekvenci S. Interpretācijas metode ļauj pierādīt tikai teorijas relatīvo konsekvenci.
Peano aksiomu sistēmai var konstruēt daudzas dažādas interpretācijas. Kopu teorija ir īpaši bagāta ar interpretācijām. Norādīsim vienu no šīm interpretācijām. Mēs uzskatīsim kopas (, ((), (()), ((())),... par naturāliem skaitļiem; nulli uzskatīsim par īpašu skaitli (. Attiecība “seko”) jāinterpretē šādi: kopai M seko kopa (M), kuras vienīgais elements ir pats M. Tādējādi ("=((), ()"=(())) utt. aksiomas 1-4 var viegli pārbaudīt. Tomēr šādas interpretācijas efektivitāte ir maza: tā parāda, ka Peano aksiomu sistēma ir konsekventa, ja kopu teorija ir konsekventa. Bet kopu teorijas aksiomu sistēmas konsekvenci pierādīt ir vēl grūtāk uzdevums.Pīno aksiomu sistēmas pārliecinošākā interpretācija ir intuitīvā aritmētika, kuras konsekvenci apliecina tās attīstības gadsimtiem ilgā pieredze.
Konsekventu aksiomu sistēmu sauc par neatkarīgu, ja katru šīs sistēmas aksiomu nevar pierādīt kā teorēmu, pamatojoties uz citām aksiomām. Lai pierādītu, ka aksioma (nav atkarīga no citām sistēmas aksiomām
(1, (2, ..., (n, (1)
pietiek pierādīt, ka aksiomu sistēma ir konsekventa
(1, (2, ..., (n, ((2)
Patiešām, ja (tika pierādīts, pamatojoties uz atlikušajām sistēmas (1) aksiomām, tad sistēma (2) būtu pretrunīga, jo tajā teorēma (un aksioma ((.
Tātad, lai pierādītu aksiomas neatkarību (no pārējām sistēmas (1) aksiomām), pietiek izveidot aksiomu sistēmas (2) interpretāciju.
Aksiomu sistēmas neatkarība ir obligāta prasība. Dažkārt, lai izvairītos no “sarežģītu” teorēmu pierādīšanas, tiek konstruēta apzināti lieka (atkarīga) aksiomu sistēma. Tomēr “papildu” aksiomas apgrūtina aksiomu lomas teorijā izpēti, kā arī iekšējos loģiskos savienojumus starp dažādām teorijas sadaļām. Turklāt interpretāciju konstruēšana atkarīgām aksiomu sistēmām ir daudz grūtāka nekā neatkarīgām; Galu galā mums ir jāpārbauda “papildu” aksiomu derīgums. Šo iemeslu dēļ jautājumam par atkarību starp aksiomām ir piešķirta īpaša nozīme kopš seniem laikiem. Savulaik mēģinājumi pierādīt, ka 5. postulāts Eiklida aksiomās “Cur punktu A iet ne vairāk kā viena taisne, kas iet paralēli taisnei (” ir teorēma (tas ir, atkarīga no atlikušajām aksiomām), un noveda pie Lobačevska atklāšanas. ģeometrija.
Konsekventu sistēmu sauc par deduktīvi pabeigtu, ja jebkuru dotās teorijas priekšlikumu A var pierādīt vai atspēkot, tas ir, vai nu A, vai (A ir šīs teorijas teorēma. Ja ir priekšlikums, ko nevar ne pierādīt, ne atspēkot, tad aksiomu sistēmu sauc par deduktīvi nepilnīgu.Deduktīvais pilnība arī nav obligāta prasība.Piemēram grupu teorijas,gredzenu teorijas,lauku teorijas aksiomu sistēma ir nepilnīga;tā kā ir gan galīgas,gan bezgalīgas grupas,gredzeni,lauki , tad šajās teorijās nav iespējams ne pierādīt, ne atspēkot apgalvojumu : "Grupa (gredzens, lauks) satur ierobežotu skaitu elementu."
Jāatzīmē, ka daudzās aksiomātiskajās teorijās (proti, neformalizētajās) apgalvojumu kopu nevar uzskatīt par precīzi definētu un tāpēc nav iespējams pierādīt šādas teorijas aksiomu sistēmas deduktīvo pilnīgumu. Vēl vienu pabeigtības sajūtu sauc par kategoriskumu. Aksiomu sistēmu sauc par kategorisku, ja jebkuras divas tās interpretācijas ir izomorfas, tas ir, starp vienas un otras interpretācijas sākotnējo objektu kopām pastāv tāda viena pret vienu atbilstība, kas tiek saglabāta visās sākotnējās attiecībās. Kategoriskums ir arī neobligāts nosacījums. Piemēram, grupu teorijas aksiomu sistēma nav kategoriska. Tas izriet no fakta, ka ierobežota grupa nevar būt izomorfa bezgalīgai grupai. Taču, aksiomatizējot jebkuras skaitliskās sistēmas teoriju, kategoriskums ir obligāts; piemēram, naturālos skaitļus definējošo aksiomu sistēmas kategoriskais raksturs nozīmē, ka līdz izomorfismam ir tikai viena naturāla sērija.
Pierādīsim Peano aksiomu sistēmas kategoriskumu. Pieņemsim, ka (N1, s1, 01) un (N2, s2, 02) ir jebkuras divas Pīno aksiomu sistēmas interpretācijas. Ir jānorāda biobjektīvs (viens pret vienu) kartējums f:N1®N2, kuram ir izpildīti šādi nosacījumi:
a) f(s1(x)=s2(f(x)) jebkuram x no N1;
b) f(01)=02
Ja abas unāras darbības s1 un s2 apzīmē ar vienu un to pašu pirmskaitli, tad nosacījums a) tiks pārrakstīts formā
a) f(x()=f(x)(.
Definēsim bināro relāciju f uz kopas N1(N2) ar šādiem nosacījumiem:
1) 01f02;
2) ja xfy, tad x(fy(.
Pārliecināsimies, ka šī attiecība ir kartēšana no N1 uz N2, tas ir, katram x no N1
(((y(N2) xfy (1)
Ar M1 apzīmē visu elementu kopu x no N1, kurai ir izpildīts nosacījums (1). Tad
A) 01(M1 sakarā ar 1);
B) x(M1 ® x((M1, pamatojoties uz 2) un 1. punkta 1. īpašību.
No šejienes saskaņā ar 4. aksiomu mēs secinām, ka M1=N1, un tas nozīmē, ka attiecība f ir N1 kartēšana uz N2. Turklāt no 1) izriet, ka f(01)=02. Nosacījums 2) ir uzrakstīts šādā formā: ja f(x)=y, tad f(x()=y(. No tā izriet, ka f(x()=f(x)().). Tādējādi, lai parādītu f nosacījumu a). ) un b) ir izpildīti. Atliek pierādīt, ka kartējums f ir objektīvs.
Ar M2 apzīmēsim to elementu kopu no N2, no kuriem katrs ir viena un tikai viena elementa attēls no N1 zem kartējuma f.
Tā kā f(01)=02, tad 02 ir attēls. Turklāt, ja x(N2 un x(01), tad pēc 1. vienības īpašības 1 x seko kāds elements c no N1 un tad f(x)=f(c()=f(c)((02. Tas nozīmē 02 ir vienīgā elementa 01 attēls, tas ir, 02(M2.
Ļaujiet tālāk y(M2 un y=f(x), kur x ir vienīgais elementa y apgrieztais attēls. Tad ar nosacījumu a) y(=f(x)(=f(x()), tas ir, y(ir elementa x attēls (. Lai c ir jebkurš elementa y(, tas ir, f(c)=y(.) apgrieztais attēls. Tā kā y((02, tad c(01 un c ir iepriekšējā elements, kuru apzīmējam ar d. Tad y(=f(c)=f(d()=f(d)(), no kurienes ar 3. aksiomu y=f(d). Bet tā kā y(M2, tad d= x, no kurienes c=d(=x(. Mēs esam pierādījuši , ka, ja y ir unikāla elementa attēls, tad y( ir unikāla elementa attēls, tas ir, y(M2 ® y((M2. Abi). 4. aksiomas nosacījumi ir izpildīti un līdz ar to M2=N2, kas pabeidz kategoriskuma pierādījumu.
Visa pirmsgrieķu matemātika pēc būtības bija empīriska. Atsevišķi teorijas elementi noslīka praktisko problēmu risināšanas empīrisko metožu masā. Grieķi šo empīrisko materiālu pakļāva loģiskai apstrādei un mēģināja atrast sakarības starp dažādu empīrisko informāciju. Šajā ziņā Pitagoram un viņa skolai (5. gadsimtā pirms mūsu ēras) bija liela nozīme ģeometrijā. Aksiomātiskās metodes idejas skaidri izskanēja Aristoteļa darbos (4. gs. p.m.ē.). Tomēr šo ideju praktisko ieviešanu veica Eiklīds savos elementos (3. gs. p.m.ē.).
Pašlaik var izdalīt trīs aksiomātisko teoriju formas.
1). Saturīga aksiomātika, kas bija vienīgā līdz pagājušā gadsimta vidum.
2). Daļēji formāla aksiomatika, kas radās pagājušā gadsimta pēdējā ceturksnī.
3). Formālā (jeb formalizētā) aksiomātika, par kuras dzimšanas datumu var uzskatīt 1904. gadu, kad D. Hilberts publicēja savu slaveno programmu par formalizētās matemātikas pamatprincipiem.
Katra jauna forma nenoliedz iepriekšējo, bet gan ir tās attīstība un precizēšana, lai katras jaunās formas stingrības līmenis būtu augstāks par iepriekšējo.
Intensīvajai aksiomātikai raksturīgs tas, ka sākuma jēdzieniem ir intuitīvi skaidra nozīme jau pirms aksiomu formulēšanas. Tādējādi Eiklida elementos punkts nozīmē tieši to, ko mēs intuitīvi saprotam ar šo jēdzienu. Šajā gadījumā tiek izmantota parastā valoda un parasta intuitīvā loģika, kas datēta ar Aristoteli.
Pusformālās aksiomātiskās teorijas izmanto arī parasto valodu un intuitīvo loģiku. Tomēr atšķirībā no jēgpilnās aksiomātikas oriģinālajiem jēdzieniem nav piešķirta intuitīva nozīme, tos raksturo tikai aksiomas. Tas palielina stingrību, jo intuīcija zināmā mērā traucē stingrību. Turklāt tiek iegūts vispārīgums, jo katra šādā teorijā pierādītā teorēma būs derīga jebkurā interpretācijā. Pusformālās aksiomātiskās teorijas piemērs ir Hilberta teorija, kas izklāstīta viņa grāmatā “Ģeometrijas pamati” (1899). Pusformālo teoriju piemēri ir arī gredzenu teorija un vairākas citas teorijas, kas izklāstītas algebras kursā.
Formalizētas teorijas piemērs ir propozicionālais aprēķins, kas tiek pētīts matemātiskās loģikas kursā. Atšķirībā no substantīvās un pusformālās aksiomātikas formalizētajā teorijā tiek izmantota īpaša simboliska valoda. Proti, ir dots teorijas alfabēts, tas ir, noteikts simbolu kopums, kas spēlē tādu pašu lomu kā burti parastajā valodā. Jebkuru ierobežotu rakstzīmju secību sauc par izteiksmi vai vārdu. Starp izteiksmēm tiek izdalīta formulu klase un norādīts precīzs kritērijs, kas ļauj katrai izteiksmei noskaidrot, vai tā ir formula. Formulām ir tāda pati loma kā teikumiem parastajā valodā. Dažas formulas ir deklarētas aksiomas. Turklāt ir norādīti loģisko secinājumu noteikumi; Katrs šāds noteikums nozīmē, ka noteikta formula tieši izriet no noteiktas formulu kopas. Pati teorēmas pierādījums ir galīga formulu ķēde, kurā pēdējā formula ir pati teorēma un katra formula ir vai nu aksioma, vai iepriekš pierādīta teorēma, vai arī tieši izriet no iepriekšējām ķēdes formulām saskaņā ar kādu no secinājumu likumi. Tādējādi nav nekādu šaubu par pierādījumu stingrību: vai nu noteiktā ķēde ir pierādījums, vai tā nav; nav apšaubāmu pierādījumu. Šajā sakarā formalizētā aksiomātika tiek izmantota īpaši smalkos matemātisko teoriju pamatojuma jautājumos, kad parastā intuitīvā loģika var novest pie kļūdainiem secinājumiem, kas rodas galvenokārt mūsu parastās valodas neprecizitātes un neskaidrības dēļ.
Tā kā formalizētā teorijā par katru izteiksmi var pateikt, vai tā ir formula, tad formalizētās teorijas teikumu kopu var uzskatīt par noteiktu. Šajā sakarā principā var izvirzīt jautājumu par deduktīvās pilnības, kā arī konsekvences pierādīšanu, neizmantojot interpretāciju. Vairākos vienkāršos gadījumos to var panākt. Piemēram, propozicionālā aprēķina konsekvence ir pierādīta bez interpretācijas.
Neformalizētās teorijās daudzi priekšlikumi nav skaidri definēti, tāpēc ir bezjēdzīgi izvirzīt jautājumu par konsekvences pierādīšanu, neizmantojot interpretācijas. Tas pats attiecas uz jautājumu par deduktīvās pilnības pierādīšanu. Taču, ja tiek sastapts neformalizētas teorijas priekšlikums, ko nevar ne pierādīt, ne atspēkot, tad teorija acīmredzami ir deduktīvi nepilnīga.
Aksiomātiskā metode jau sen tiek izmantota ne tikai matemātikā, bet arī fizikā. Pirmos mēģinājumus šajā virzienā veica Aristotelis, bet aksiomātiskā metode īstu pielietojumu fizikā saņēma tikai Ņūtona darbos par mehāniku.
Saistībā ar zinātņu straujo matematizācijas procesu notiek arī aksiomatizācijas process. Pašlaik aksiomātiskā metode tiek izmantota pat dažās bioloģijas jomās, piemēram, ģenētikā.
Tomēr aksiomātiskās metodes iespējas nav neierobežotas.
Pirmkārt, mēs atzīmējam, ka pat formalizētās teorijās nav iespējams pilnībā izvairīties no intuīcijas. Pati formalizētajai teorijai bez interpretācijām nav nekādas nozīmes. Tāpēc rodas virkne jautājumu par formalizētas teorijas un tās interpretācijas saistību. Turklāt, tāpat kā formalizētās teorijās, tiek izvirzīti jautājumi par aksiomu sistēmas konsekvenci, neatkarību un pilnīgumu. Visu šādu jautājumu kopums veido citas teorijas saturu, ko sauc par formalizētas teorijas metateoriju. Atšķirībā no formalizētas teorijas, metateorijas valoda ir parasta ikdienas valoda, un loģiskā spriešana tiek veikta pēc parastās intuitīvās loģikas noteikumiem. Tādējādi no formalizētās teorijas pilnībā izstumta intuīcija atkal parādās tās metateorijā.
Bet tas nav galvenais aksiomātiskās metodes vājums. Jau minējām D. Hilberta programmu, kas lika pamatu formalizētajai aksiomātiskajai metodei. Hilberta galvenā ideja bija izteikt klasisko matemātiku kā formalizētu aksiomātisku teoriju un pēc tam pierādīt tās konsekvenci. Tomēr šī programma savos galvenajos punktos izrādījās utopiska. 1931. gadā austriešu matemātiķis K. Gēdels pierādīja savas slavenās teorēmas, no kurām izrietēja, ka abas Hilberta izvirzītās galvenās problēmas bija neiespējamas. Izmantojot savu kodēšanas metodi, viņam izdevās izteikt dažus patiesus pieņēmumus no metateorijas, izmantojot formālās aritmētikas formulas un pierādīt, ka šīs formulas formālajā aritmētikā nav izsecināmas. Tādējādi formalizētā aritmētika izrādījās deduktīvi nepilnīga. No Gēdela rezultātiem izrietēja, ka, ja šī nepierādāmā formula ir iekļauta aksiomu skaitā, tad būs vēl viena nepierādāma formula, kas izteiks kādu patiesu apgalvojumu. Tas viss nozīmēja, ka ne tikai visu matemātiku, bet pat aritmētiku – tās vienkāršāko daļu – nevarēja pilnībā formalizēt. Jo īpaši Gēdels izveidoja formulu, kas atbilst teikumam “Formalizētā aritmētika ir konsekventa” un parādīja, ka arī šī formula nav atvasināma. Šis fakts nozīmē, ka formalizētās aritmētikas konsekvenci nevar pierādīt pašā aritmētikas ietvaros. Protams, ir iespējams izveidot spēcīgāku formalizētu teoriju un izmantot tās līdzekļus, lai pierādītu formalizētās aritmētikas konsekvenci, taču tad rodas grūtāks jautājums par šīs jaunās teorijas konsekvenci.
Gēdela rezultāti norāda uz aksiomātiskās metodes ierobežojumiem. Un tomēr zināšanu teorijā nav absolūti nekāda pamata pesimistiskiem secinājumiem, ka pastāv neizzināmas patiesības. Tas, ka ir aritmētiskās patiesības, kuras nevar pierādīt formālajā aritmētikā, nenozīmē, ka pastāv neizzināmas patiesības, un nenozīmē, ka cilvēka domāšana ir ierobežota. Tas nozīmē tikai to, ka mūsu domāšanas iespējas neaprobežojas ar pilnībā formalizētām procedūrām un ka cilvēcei vēl ir jāatklāj un jāizgudro jauni pierādīšanas principi.

1.3.Naturālo skaitļu saskaitīšana

Naturālo skaitļu saskaitīšanas un reizināšanas operācijas nav postulētas Peano aksiomu sistēmā, mēs definēsim šīs darbības.
Definīcija. Naturālo skaitļu saskaitīšana ir bināra algebriska darbība + kopā N, kurai ir šādas īpašības:
1s. ((a(N) a+0=a;
2.c. ((a,b(N) a+b(=(a+b)(.
Rodas jautājums: vai ir šāda operācija, un, ja ir, vai tā ir vienīgā?
Teorēma. Ir tikai viens naturālo skaitļu pievienojums.
Pierādījums. Bināra algebriskā darbība kopā N ir kartēšana (:N(N®N. Ir jāpierāda, ka pastāv unikāla kartēšana (:N(N®N)) ar īpašībām: 1) ((x(N)) (x,0)=x ; 2) ((x,y(N) ((x,y()=((x,y)().). Ja katram naturālajam skaitlim x mēs pierādīsim kartējuma esamību) fx:N®N ar īpašībām 1() fx(0 )=x; 2() fx(y()=fx(y)(), tad funkcija ((x,y), ko definē vienādība ((x) ,y) (fx(y), atbildīs 1. un 2. noteikumam).
Kopā N mēs definējam bināro sakarību fx ar nosacījumiem:
a) 0fxx;
b) ja yfxz, tad y(fxz(.
Pārliecināsimies, ka šī attiecība ir kartēšana no N uz N, tas ir, katram y no N
(((z(N) yfxz (1))
Ar M apzīmē naturālo skaitļu kopu y, kurai ir izpildīts nosacījums (1). Tad no nosacījuma a) izriet, ka 0(M, un no nosacījuma b) un 1. klauzulas īpašības 1 izriet, ka ja y(M, tad y((M. No šejienes, pamatojoties uz 4. aksiomu, mēs secinām, ka M = N, un tas nozīmē, ka relācija fx ir kartēšana no N uz N. Šai kartēšanai ir izpildīti šādi nosacījumi:
1() fx(0)=x - sakarā ar a);
2() fx((y)=fx(y() — saskaņā ar b).
Tādējādi ir pierādīta papildinājuma esamība.
Pierādīsim unikalitāti. Ļaujiet + un ( ir jebkuras divas bināras algebriskas darbības kopā N ar īpašībām 1c un 2c. Mums jāpierāda, ka
((x,y(N) x+y=x(y
Fiksēsim patvaļīgu skaitli x un apzīmēsim ar S to naturālo skaitļu kopu y, kuriem vienādība
x+y=x(y (2)
veikta. Tā kā saskaņā ar 1c x+0=x un x(0=x, tad
A) 0 (S
Ļaujiet tagad y(S, tas ir, vienādība (2) ir izpildīta. Tā kā x+y(=(x+y)(, x(y(=(x(y)(un x+y=x(y),)), tad pēc aksiomas 2 x+y(=x(y(, tas ir, nosacījums ir izpildīts).
B) y(S ® y((S.
Tādējādi saskaņā ar 4. aksiomu S=N, kas pabeidz teorēmas pierādījumu.
Pierādīsim dažas pievienošanas īpašības.
1. Skaitlis 0 ir neitrāls saskaitīšanas elements, tas ir, a+0=0+a=a katram naturālajam skaitlim a.
Pierādījums. Vienādība a+0=a izriet no nosacījuma 1c. Pierādīsim vienādību 0+a=a.
Apzīmēsim ar M visu skaitļu kopu, uz kuru tā attiecas. Acīmredzot 0+0=0 un līdz ar to 0(M. Ļaujiet a(M, tas ir, 0+a=a. Tad 0+a(=(0+a)(=a(un līdz ar to a(M). Tas nozīmē, ka M=N, kas ir jāpierāda.
Tālāk mums vajag lemmu.
Lemma. a(+b=(a+b)(.
Pierādījums. Lai M ir visu naturālo skaitļu kopa b, kuriem vienādība a(+b=(a+b) ir patiesa jebkurai a vērtībai. Tad:
A) 0(M, jo a(+0=(a+0)(;
B) b(M ® b((M. Patiešām, no tā, ka b(M un 2c), mums ir
a(+b(=(a(+b)(=((a+b)())(=(a+b())(,
tas ir, b((M. Tas nozīmē M=N, kas ir tas, kas bija jāpierāda.
2. Naturālo skaitļu saskaitīšana ir komutatīva.
Pierādījums. Lai M=(a(a(N(((b(N)a+b=b+a).). Pietiek pierādīt, ka M=N). Mums ir):
A) 0(M — sakarā ar 1. īpašību.
B) a(M ® a((M. Patiešām, piemērojot lemmu un faktu, ka a(M), mēs iegūstam:
a(+b=(a+b)(=(b+a)(=b+a(.
Tas nozīmē a((M, un pēc aksiomas 4 M=N.
3. Papildinājums ir asociatīvs.
Pierādījums. Ļaujiet
M=(c(c(N(((a,b(N)(a+b)+c=a+(b+c)))
Nepieciešams pierādīt, ka M=N. Tā kā (a+b)+0=a+b un a+(b+0)=a+b, tad 0(M. Lai c(M, tas ir (a+b)+c=a+(b+c ) Tad
(a+b)+c(=[(a+b)+c](=a+(b+c)(=a+(b+c().
Tas nozīmē c((M un pēc aksiomas 4 M=N.
4. a+1=a(, kur 1=0(.
Pierādījums. a+1=a+0(=(a+0)(=a(.
5. Ja b(0, tad ((a(N)a+b(a.
Pierādījums. Lai M=(a(a(N(a+b(a).). Tā kā 0+b=b(0, tad 0(M.. Turklāt, ja a(M, tas ir, a+b(a),),), tad ar 2. rekvizīta 1. vienums (a+b)((a(vai a(+b(a(. Tātad a((M un M=N.
6. Ja b(0, tad ((a(N)a+b(0.
Pierādījums. Ja a=0, tad 0+b=b(0, bet ja a(0 un a=c(, tad a+b=c(+b=(c+b)(0.). Tātad jebkurā gadījumā a + b(0.
7. (Pievienojuma trihotomijas likums). Jebkuriem naturāliem skaitļiem a un b ir patiesa tikai viena no trim relācijām:
1) a=b;
2) b=a+u, kur u(0;
3) a=b+v, kur v(0.
Pierādījums. Fiksēsim patvaļīgu skaitli a un apzīmēsim ar M visu naturālo skaitļu kopu b, kuriem ir spēkā vismaz viena no relācijām 1), 2), 3). Nepieciešams pierādīt, ka M=N. Lai b=0. Tad, ja a=0, tad relācija 1 ir patiesa), un, ja a(0, tad relācija 3 ir patiesa), jo a=0+a. Tātad 0 (M.
Tagad pieņemsim, ka b(M, tas ir, izvēlētajam a ir izpildīta viena no relācijām 1), 2), 3). Ja a=b, tad b(=a(=a+1, tas ir, uz b(attiecība 2 ir spēkā). Ja b=a+u, tad b(=a+u(, tas ir, ja b() sakarība 2). Ja a=b+v, tad ir iespējami divi gadījumi: v=1 un v(1. Ja v=1, tad a=b+v=b", tas ir, b" relācijas 1 ir apmierināts). Ja tas pats v(1, tad v=c", kur c(0 un tad a=b+v=b+c"=(b+c)"=b"+c, kur c(0, ka ir, ja b" ir izpildīta sakarība 3). Tātad mēs esam pierādījuši, ka b(M®b"(M, un tāpēc M=N, tas ir, jebkurai a un b vismaz vienai no relācijām 1), 2), 3 ir izpildīts). Pārliecināsimies, ka nevar izpildīt divus no tiem vienlaicīgi. Patiešām: ja būtu izpildītas attiecības 1) un 2), tad tām būtu b=b+u, kur u(0, un tas ir pretrunā ar īpašību 5. 1) un 3) apmierināmības neiespējamība. Visbeidzot, ja būtu izpildītas attiecības 2) un 3), tad mums būtu a=(a+u)+v = a+ +(u+v), un tas ir nav iespējams 5. un 6. īpašību dēļ. 7. īpašība ir pilnībā pierādīta .
Uzdevums 1.3.1. Ļaujiet 1(=2, 2(=3, 3(=4, 4(=5, 5(=6, 6(=7, 7(=8, 8(=9).)). Pierādiet, ka 3+5=8, 2+4=6.

1.4. DABISKO SKAITĻU REIKINĀŠANA.

Definīcija 1. Naturālu skaitļu reizināšana ir tāda bināra darbība (kopā N, kurai ir izpildīti šādi nosacījumi:
1у. ((x(N) x(0=0;
2u. ((x,y(N) x(y"=x(y+x.
Atkal rodas jautājums: vai šāda operācija pastāv un, ja tāda ir, vai tā ir vienīgā?
Teorēma. Ir tikai viena operācija naturālu skaitļu reizināšanai.
Pierādīšana tiek veikta gandrīz tāpat kā pievienošana. Ir jāatrod kartējums (:N(N®N), kas atbilst nosacījumiem
1) ((x(N) ((x,0)=0;
2) ((x,y(N) ((x,y")= ((x,y)+x.
Nofiksēsim skaitli x patvaļīgi. Ja mēs pierādīsim katram x(N) kartējuma fx esamību: N®N ar īpašībām
1") fx(0)=0;
2") ((y(N) fx(y")=fx(y)+x,
tad funkcija ((x,y), kas definēta ar vienādību ((x,y)=fx(y) un izpildīs nosacījumus 1) un 2).
Tātad, teorēmas pierādījums tiek reducēts uz funkcijas fx(y) ar īpašībām 1") un 2") eksistences un unikalitātes pierādīšanu katram x. Izveidosim atbilstību kopai N saskaņā ar šādu noteikumu:
a) skaitlis nulle ir salīdzināms ar skaitli 0,
b) ja skaitlis y ir saistīts ar skaitli c, tad skaitlis y (saistīt skaitli c+x.
Pārliecināsimies, ka ar šādu salīdzinājumu katram skaitlim y ir unikāls attēls: tas nozīmēs, ka atbilstība ir N kartēšana uz N. Apzīmēsim ar M visu naturālo skaitļu y kopu, kam ir unikāls attēls. No nosacījuma a) un aksiomas 1 izriet, ka 0(M. Ļaujiet y(M. Tad no nosacījuma b) un aksiomas 2 izriet, ka y((M. Tas nozīmē M=N, t.i., mūsu atbilstība ir N kartēšana N apzīmēsim ar fx. Tad fx(0)=0 nosacījuma a) dēļ un fx(y()=fx(y)+x - nosacījuma b dēļ).
Tātad reizināšanas operācijas esamība ir pierādīta. Tagad pieņemsim (un ( ir jebkuras divas bināras darbības uz kopas N ar īpašībām 1у un 2у. Atliek pierādīt, ka ((x,y(N) x(y=x(y.). Fiksēsim patvaļīgu skaitli x un)
S=(y?y(N (x(y=x(y))
Tā kā, pamatojoties uz 1y, x(0=0 un x(0=0), tad 0(S. Ļaujiet y(S, tas ir, x(y=x(y. Tad)
x(y(=x(y+x=x(y+x=x(y(
un tāpēc y((S. Tas nozīmē S=N, kas pabeidz teorēmas pierādīšanu.
Atzīmēsim dažas reizināšanas īpašības.
1. Neitrālais elements attiecībā uz reizināšanu ir skaitlis 1=0(, tas ir ((a(N) a(1=1(a=a).
Pierādījums. a(1=a(0(=a(0+a=0+a=a. Līdz ar to ir pierādīta vienādība a(1=a. Atliek pierādīt vienādību 1(a=a. Lai M=(a). ?a(N (1(a=a). Tā kā 1(0=0, tad 0(M.) Ļaujiet a(M, tas ir, 1(a=a. Tad 1(a(=1(a+1=). a+1= a(, un līdz ar to a((M. Tas nozīmē, saskaņā ar 4. aksiomu, M=N, kas ir jāpierāda.
2. Reizināšanai ir spēkā pareizais sadales likums, tas ir
((a,b,c(N) (a+b)c=ac+bc.
Pierādījums. Lai M=(c (c(N) (((a,b(N) (a+b)c=ac+bc). Tā kā (a+b)0=0 un a(0+b(0=0 , tad 0(M. Ja c(M, tas ir (a+b)c=ac+bc, tad (a + b)(c(= (a + b)c +(a + b) = ac + bc + a+b=(ac+a)+(bc+b)=ac(+bc(. Tātad, c((M un M=N.
3. Naturālo skaitļu reizināšana ir komutatīva, tas ir ((a,b(N) ab=ba.
Pierādījums. Vispirms jebkuram b(N) pierādīsim vienādību 0(b=b(0=0. Vienādība b(0=0) izriet no nosacījuma 1y. Lai M=(b (b(N (0(b=0).). Tā kā 0( 0=0, tad 0(M. Ja b(M, tas ir, 0(b=0, tad 0(b(=0(b+0=0 un līdz ar to, b((M. Tātad M). =N, tas ir, vienādība 0(b=b(0) ir pierādīta visiem b(N. Lai tālāk S=(a (a(N (ab=ba). 0(b=b(0, tad). 0(S. Lai a (S, tas ir, ab=ba. Tad a(b=(a+1)b=ab+b=ba+b=ba(, tas ir, a((S. Tas nozīmē S =N, kas ir tas, kas bija jāpierāda.
4. Reizināšana ir sadaloša attiecībā pret saskaitīšanu. Šis īpašums izriet no īpašuma 3 un 4.
5. Reizināšana ir asociatīva, tas ir ((a,b,c(N) (ab)c=a(bc).
Pierādīšanu, tāpat kā saskaitīšanu, veic ar indukciju uz c.
6. Ja a(b=0, tad a=0 vai b=0, tas ir, N nav nulles dalītāju.
Pierādījums. Ļaujiet b(0 un b=c(. Ja ab=0, tad ac(=ac+a=0), kas saskaņā ar 3. punkta 6. īpašību nozīmē, ka a=0.
Uzdevums 1.4.1. Pieņemsim 1(=2, 2(=3, 3(=4, 4(=5, 5(=6, 6(=7, 7(=8, 8(=9).)). Pierādiet, ka 2(4=8, 3(3=9.
Lai n, a1, a2,...,an ir naturāli skaitļi. Skaitļu a1, a2,...,an summa ir skaitlis, ko apzīmē un nosaka nosacījumi; jebkuram naturālam skaitlim k
Skaitļu a1, a2,...,an reizinājums ir naturāls skaitlis, kuru apzīmē un nosaka nosacījumi: ; jebkuram naturālam skaitlim k
Ja, tad skaitlis tiek apzīmēts ar an.
Uzdevums 1.4.2. Pierādiet to
A) ;
b) ;
V) ;
G) ;
d) ;
e) ;
un) ;
h) ;
Un) .

1.5. DABISKO NUMURU SISTĒMAS KĀRTĪBA.

Attiecība “seko” ir antirefleksīva un antisimetriska, bet nav pārejoša, un tāpēc tā nav kārtības attiecība. Mēs definēsim secības attiecību, pamatojoties uz naturālu skaitļu saskaitīšanu.
Definīcija 1. a
Definīcija 2. a(b (((x(N)) b=a+x.
Pārliecināsimies, ka attiecība Atzīmēsim dažas naturālo skaitļu īpašības, kas saistītas ar vienādības un nevienlīdzības attiecībām.
1.
1.1 a=b (a+c=b+c.
1.2 a=b (ac=bc.
1.3a
1.4a
1,5 a+c=b+c (a=b.
1,6 ac=bc (c(0 (a=b.
1,7 a+c
1,8 ac
1.9a
1.10a
Pierādījums. Īpašības 1.1 un 1.2 izriet no saskaitīšanas un reizināšanas operāciju unikalitātes. Ja
2. ((a(N) a
Pierādījums. Tā kā a(=a+1, tad a
3. Mazākais elements N ir 0, un mazākais elements N\(0) ir skaitlis 1.
Pierādījums. Tā kā ((a(N) a=0+a, tad 0(a, un tāpēc 0) ir mazākais elements N. Turklāt, ja x(N\(0), tad x=y(, y(N). , vai x=y+1. No tā izriet, ka ((x(N\(0))) 1(x, tas ir, 1 ir mazākais elements N\(0).
4. Saistība ((a,b(N)((n(N)b(0 (nb > a.).
Pierādījums. Acīmredzot jebkuram naturālam skaitlim a ir tāds naturāls skaitlis n, ka
a Šāds skaitlis ir, piemēram, n=a(. Turklāt, ja b(N\(0), tad pēc īpašības 3
1(b)(2)
No (1) un (2), pamatojoties uz īpašībām 1.10 un 1.4, iegūstam aa.

1.6. PILNĪGS DABISKO NUMURU SISTĒMAS PASŪTĪJUMS.

Definīcija 1. Ja katra sakārtotās kopas netukša apakškopa (M; pārliecināsimies, ka kopējā secība ir lineāra. Lai a un b ir jebkuri divi elementi no pilnībā sakārtotās kopas (M; Lemma). . 1)a
Pierādījums.
1) a((b (b=a(+k, k, N (b=a+k(, k((N\(0)))
2) a(b (b=a+k, k(N (b(=a+k), k((N\(0))
Teorēma 1. Dabiskā secība naturālo skaitļu kopā ir kopējā secība.
Pierādījums. Lai M ir jebkura netukša naturālu skaitļu kopa, un S ir tās apakšējo robežu kopa N, tas ir, S=(x (x(N (((m(M) x(m).). No 3. īpašības). no 5. punkta izriet, ka 0(S. Ja būtu izpildīts arī 4. aksiomas otrais nosacījums n(S (n((S),), tad mums būtu S=N). Faktiski S(N); proti, ja a() M, tad a((S nevienādības a dēļ
2. teorēma. Jebkurai iepriekš ierobežotai netukšai naturālu skaitļu kopai ir lielākais elements.
Pierādījums. Lai M ir jebkura netukša naturālu skaitļu kopa, kas ir ierobežota iepriekš, un S ir tās augšējo robežu kopa, tas ir, S=(x(x(N (((m(M) m(x).)). Apzīmēsim ar x0 mazākais elements S. Tad nevienādība m(x0 attiecas uz visiem skaitļiem m no M, un striktā nevienādība m
Uzdevums 1.6.1. Pierādiet to
A) ;
b) ;
V) .
Problēma 1.6.2. Ļaujiet ( ir kāda naturālu skaitļu īpašība un k ir patvaļīgs naturāls skaitlis. Pierādiet, ka
a) jebkuram naturālam skaitlim ir īpašība (, tiklīdz 0 ir šī īpašība katram n (0
b) jebkuram naturālam skaitlim, kas ir lielāks vai vienāds ar k, ir īpašība (, tiklīdz k ir šī īpašība un katram n (k(n) no pieņēmuma, ka n ir īpašība (, no tā izriet, ka skaitlim n+1) ir arī šis īpašums;
c) jebkuram naturālam skaitlim, kas ir lielāks vai vienāds ar k, ir īpašība (, tiklīdz k ir šī īpašība un katram n (n>k), pieņemot, ka visi skaitļi t, kas definēti ar nosacījumu k(t

1.7. INDUKCIJAS PRINCIPS.

Izmantojot pilnu naturālo skaitļu sistēmas sakārtotību, var pierādīt šādu teorēmu, uz kuras balstās viena no pierādīšanas metodēm, ko sauc par matemātiskās indukcijas metodi.
Teorēma (indukcijas princips). Visi apgalvojumi no secības A1, A2, ..., An, ... ir patiesi, ja ir izpildīti šādi nosacījumi:
1) apgalvojums A1 ir patiess;
2) ja apgalvojumi Ak ir patiesi k
Pierādījums. Pieņemsim pretējo: nosacījumi 1) un 2) ir izpildīti, bet teorēma nav patiesa, tas ir, kopa M=(m(m(N\(0), Am ir nepatiesa) nav tukša). 6. punkta 1. teorēmai ir mazākais elements, kuru apzīmējam ar n. Tā kā saskaņā ar nosacījumu 1) A1 ir patiess un An ir nepatiess, tad 1(n, un tāpēc 1
Pierādot ar indukciju, var izdalīt divus posmus. Pirmajā posmā, ko sauc par indukcijas bāzi, tiek pārbaudīta nosacījuma 1) iespējamība. Otrajā posmā, ko sauc par indukcijas soli, tiek pierādīta nosacījuma 2) iespējamība. Šajā gadījumā visbiežāk ir gadījumi, kad pierādīt apgalvojumu patiesumu An nav nepieciešams izmantot apgalvojumu patiesumu Ak par k
Piemērs. Pierādīt nevienādību Put =Sk. Nepieciešams pierādīt apgalvojumu patiesumu Ak=(Sk 1. teorēmā minēto apgalvojumu secību var iegūt no predikāta A(n), kas definēts uz kopas N vai tās apakškopā Nk=(x (x(N) , x(k), kur k ir jebkurš fiksēts naturāls skaitlis.
Konkrēti, ja k=1, tad N1=N\(0), un apgalvojumu numerāciju var veikt, izmantojot vienādības A1=A(1), A2=A(2), ..., An=A (n), ... Ja k(1, tad apgalvojumu secību var iegūt, izmantojot vienādības A1=A(k), A2=A(k+1), ..., An=A(k+n -1), .. Saskaņā ar šādu apzīmējumu 1. teorēmu var formulēt citā formā.
2. teorēma. Predikāts A(m) ir identiski patiess uz kopas Nk, ja ir izpildīti šādi nosacījumi:
1) apgalvojums A(k) ir patiess;
2) ja apgalvojumi A(m) ir patiesi attiecībā uz m
Uzdevums 1.7.1. Pierādīt, ka naturālo skaitļu jomā šādiem vienādojumiem nav atrisinājumu:
a) x+y=1;
b) 3x=2;
c) x2=2;
d) 3x+2=4;
e) x2+y2=6;
f) 2x+1=2g.
Uzdevums 1.7.2. Pierādīt, izmantojot matemātiskās indukcijas principu:
a) (n3+(n+1)3+(n+2)3)(9;
b) ;
V) ;
G) ;
d) ;
e) .

1.8. DABISKO SKAITĻU ATŅEMŠANA UN SADALĪŠANA.

Definīcija 1. Naturālo skaitļu a un b starpība ir tāds naturāls skaitlis x, ka b+x=a. Atšķirību starp naturāliem skaitļiem a un b apzīmē ar a-b, un starpības atrašanas operāciju sauc par atņemšanu. Atņemšana nav algebriska darbība. Tas izriet no šādas teorēmas.
Teorēma 1. Atšķirība a-b pastāv tad un tikai tad, ja b(a. Ja atšķirība pastāv, tad ir tikai viena.
Pierādījums. Ja b(a, tad pēc attiecības definīcijas (ir tāds naturāls skaitlis x, ka b+x=a. Bet tas arī nozīmē, ka x=a-b. Un otrādi, ja pastāv atšķirība a-b, tad pēc definīcijas 1 ir a naturāls skaitlis x, ka b+x=a. Bet tas arī nozīmē, ka b(a.
Pierādīsim atšķirības a-b unikalitāti. Lai a-b=x un a-b=y. Tad saskaņā ar 1. definīciju b+x=a, b+y=a. Tādējādi b+x=b+y un līdz ar to x=y.
Definīcija 2. Divu naturālu skaitļu a un b(0) koeficients ir tāds naturāls skaitlis c, ka a=bc Koeficienta atrašanas operāciju sauc par dalīšanu.Jautājums par koeficienta esamību tiek atrisināts teorijā dalāmība.
Teorēma 2. Ja koeficients pastāv, tad ir tikai viens.
Pierādījums. Ļaujiet =x un =y. Tad saskaņā ar 2. definīciju a=bx un a=by. Tādējādi bx=by un līdz ar to x=y.
Ņemiet vērā, ka atņemšanas un dalīšanas darbības ir definētas gandrīz burtiski tāpat kā skolas mācību grāmatās. Tas nozīmē, ka 1.-7.punktā, balstoties uz Pīno aksiomām, ir ielikts stabils teorētiskais pamats naturālo skaitļu aritmētikai un tā tālākā izklāsta konsekventi tiek veikta skolas matemātikas kursā un universitātes kursā “Algebra un skaitļu teorija”. .
Uzdevums 1.8.1. Pierādiet šādu apgalvojumu derīgumu, pieņemot, ka pastāv visas atšķirības, kas parādās to formulējumos:
a) (a-b)+c=(a+c)-b;
b) (a-b)(c=a(c-b(c);
c) (a+b)-(c+b)=a-c;
d) a-(b+c)=(a-b)-c;
e) (a-b)+(c-d)=(a+c)-(b+d);
e) (a-b)-(c-d) = a-c;
g) (a+b)-(b-c)=a+c;
h) (a-b)-(c-d)=(a+d)-(b+c);
i) a-(b-c)=(a+c)-b;
j) (a-b)-(c+d)=(a-c)-(b+d);
k) (a-b)(c+d)=(ac+ad)-(bc+bd);
l) (a-b)(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc);
m) (a-b)2=(a2+b2)-2ab;
o) a2-b2=(a-b)(a+b).
Problēma 1.8.2. Pierādiet šo apgalvojumu derīgumu, pieņemot, ka pastāv visi to formulējumos redzamie koeficienti.
A) ; b) ; V) ; G) ; d) ; e) ; un) ; h) ; Un) ; Līdz); l) ; m) ; n) ; O) ; P); R) .
Problēma 1.8.3. Pierādiet, ka šādiem vienādojumiem nevar būt divi dažādi dabiski risinājumi: a) ax2+bx=c (a,b,c(N); b) x2=ax+b (a,b(N); c) 2x=ax2 + b (a, b(N).
Problēma 1.8.4. Atrisiniet šādus vienādojumus naturālajos skaitļos:
a) x2+(x+1)2=(x+2)2; b) x+y=x(y; c) ; d) x2+2y2=12; e) x2-y2=3; e) x+y+z=x(y(z.
Problēma 1.8.5. Pierādīt, ka naturālu skaitļu laukā nav atrisinājumu šādiem vienādojumiem: a) x2-y2=14; b) x-y=xy; V) ; G) ; e) x2=2x+1; e) x2=2y2.
Problēma 1.8.6. Atrisiniet šādas naturālo skaitļu nevienādības: a) ; b) ; V) ; d) x+y2 Uzdevums 1.8.7. Pierādīt, ka naturālo skaitļu laukā ir spēkā šādas attiecības: a) 2ab(a2+b2; b) ab+bc+ac(a2+b2+c2; c) c2=a2+b2 (a2+b2+c2 1,9 KVANTITATĪVĀ NOZĪME DABISKI SKAITĻI.
Praksē naturālie skaitļi galvenokārt tiek izmantoti elementu skaitīšanai, un šim nolūkam Peano teorijā ir jānosaka naturālo skaitļu kvantitatīvā nozīme.
Definīcija 1. Kopu (x (x(N, 1(x(n)))) sauc par naturālās sērijas segmentu un apzīmē ar (1;n(.
2. definīcija. Galīga kopa ir jebkura kopa, kas ir vienāda ar noteiktu naturālās rindas segmentu, kā arī tukša kopa. Kopu, kas nav ierobežota, sauc par bezgalīgu.
1. teorēma. Galīga kopa A nav ekvivalenta nevienai no tās apakškopām (tas ir, apakškopai, kas atšķiras no A).
Pierādījums. Ja A=(, tad teorēma ir patiesa, jo tukšai kopai nav pareizu apakškopu. Lai A((un A ir vienādi spēcīgi (1,n((A((1,n()).)). Teorēmu pierādīsim ar indukciju uz n. Ja n= 1, tas ir, A((1,1(, tad vienīgā pareizā kopas A apakškopa ir tukšā kopa. Ir skaidrs, ka A(un līdz ar to n=1 teorēma ir patiesa Pieņemsim, ka teorēma ir patiesa, ja n=m, tas ir, visām galīgajām kopām, kas ir ekvivalentas segmentam (1,m(), nav ekvivalentu pareizu apakškopu. Lai A ir jebkura kopa, kas vienāda ar segmentu (1,m) +1(un (:(1,m+1(®A - kāda segmenta bijektīva karte (1,m+1(in A. Ja ((k)) apzīmē ar ak), k=1,2,..). .,m+1, tad kopu A var uzrakstīt kā A=(a1, a2, ... , am, am+1).Mūsu uzdevums ir pierādīt, ka A nav ekvivalentu pareizu apakškopu Pieņemsim pretējo; lai B(A, B(A, B(A un f: A®B) ir bijektīva karte. Mēs varam izvēlēties šādas bijektīvas kartes (un f tādas, lai am+1(B un f(am+1)=am+ 1.
Apsveriet kopas A1=A\(am+1) un B1=B\(am+1). Tā kā f(am+1)=am+1, funkcija f veiks kopas A1 bijektīvu kartēšanu kopai B1. Tādējādi kopa A1 būs vienāda ar savu apakškopu B1. Bet tā kā A1((1,m(, tas ir pretrunā indukcijas pieņēmumam.
Secinājums 1. Naturālo skaitļu kopa ir bezgalīga.
Pierādījums. No Peano aksiomām izriet, ka kartējums S:N®N\(0), S(x)=x( ir bijektīvs. Tas nozīmē, ka N ir ekvivalents savai apakškopai N\(0) un, pamatojoties uz teorēmu 1, nav ierobežots.
Secinājums 2. Katra netukša galīgā kopa A ir ekvivalenta vienam un tikai vienam naturālās rindas segmentam.
Pierādījums. Ļaujiet A((1,m(un A(1,n(. Tad (1,m(((1,n(, no kuras pēc 1. teorēmas izriet, ka m=n. Patiešām, ja pieņemam, ka m
2. secinājums ļauj ieviest definīciju.
Definīcija 3. Ja A((1,n(, tad naturālo skaitli n sauc par kopas A elementu skaitu, un process, kurā tiek noteikta atbilstība viens pret vienu starp kopām A un (1,n() sauc par kopas A elementu skaitīšanu. Ir dabiski uzskatīt tukšās kopas skaitļa nulle elementu skaitu.
Ir lieki runāt par skaitīšanas milzīgo nozīmi praktiskajā dzīvē.
Ņemiet vērā, ka, zinot naturāla skaitļa kvantitatīvo nozīmi, būtu iespējams definēt reizināšanas darbību, izmantojot saskaitīšanu, proti:
.
Mēs apzināti negājām šo ceļu, lai parādītu, ka pašai aritmētikai nav vajadzīga kvantitatīvā jēga: naturāla skaitļa kvantitatīvā jēga ir nepieciešama tikai aritmētikas lietojumos.

1.10. DABISKO NUMURU SISTĒMA KĀ DISKRĒTS PILNĪGI PASŪTĪTS KOMPLEKTS.

Mēs esam parādījuši, ka naturālo skaitļu kopa ir pilnībā sakārtota attiecībā pret dabisko secību. Turklāt ((a(N) a
1. jebkuram skaitlim a(N ir blakus skaitlis, kas tam seko attiecībā uz rekvizīti 1 un 2 tiks saukti par diskrētu pilnībā sakārtotu kopu. Izrādās, ka pilnīga sakārtošana ar īpašībām 1 un 2 ir naturālu skaitļu sistēmas raksturīga īpašība. Patiešām, lai A=(A;() ir jebkura pilnīgi sakārtota kopa ar 1. un 2. īpašības. Definēsim kopai A relācija "seko" šādi: a(=b, ja b ir blakus elements, kas relācijā seko a (. Ir skaidrs, ka kopas A mazākais elements to dara) neseko nevienam elementam, un tāpēc Pīno aksioma 1 ir izpildīta.
Tā kā relācija (ir lineāra secība, tad jebkuram elementam a ir unikāls elements aiz tā un ne vairāk kā viens pirms tam blakus esošais elements. Tas nozīmē 2. un 3. aksiomu derīgumu. Tagad lai M ir jebkura kopas A apakškopa kas ir izpildīti šādi nosacījumi:
1) a0(M, kur a0 ir mazākais elements A;
2) a(M (a((M.
Pierādīsim, ka M=N. Pieņemsim pretējo, tas ir, A\M((. Apzīmēsim ar b mazāko elementu A\M. Tā kā a0(M, tad b(a0 un līdz ar to ir tāds elements c, ka c(). =b Kopš c
Tātad, mēs esam pierādījuši citas naturālo skaitļu sistēmas definīcijas iespēju.
Definīcija. Naturālo skaitļu sistēma ir jebkura labi sakārtota kopa, kurā ir izpildīti šādi nosacījumi:
1. jebkuram elementam aiz tā ir blakus elements;
2. jebkuram elementam, kas nav mazākais, pirms tā atrodas blakus elements.
Ir arī citas pieejas naturālo skaitļu sistēmas definēšanai, pie kurām mēs šeit nekavējamies.

2. VESELS SKAITTI UN RACIONĀLIE SKAITĻI.

2.1. VESELS SKAITĻU SISTĒMAS DEFINĪCIJA UN ĪPAŠĪBAS.
Ir zināms, ka veselu skaitļu kopa viņu intuitīvajā izpratnē ir gredzens attiecībā uz saskaitīšanu un reizināšanu, un šis gredzens satur visus naturālos skaitļus. Ir arī skaidrs, ka veselu skaitļu gredzenā nav pareizas apakšgrupas, kas saturētu visus naturālos skaitļus. Šīs īpašības, izrādās, var izmantot par pamatu stingrai veselu skaitļu sistēmas definīcijai. Šīs definīcijas pareizība tiks pierādīta 2.2. un 2.3. punktā.
Definīcijas 1. Veselu skaitļu sistēma ir algebriska sistēma, kurai ir izpildīti šādi nosacījumi:
1. Algebriskā sistēma ir gredzens;
2. Naturālo skaitļu kopa ir ietverta apakškopas gredzenā un saskaitīšana un reizināšana sakrīt ar naturālo skaitļu saskaitīšanu un reizināšanu, tas ir,
3. (minimitātes nosacījums). Z ir iekļaušanas minimālā kopa ar īpašībām 1 un 2. Citiem vārdiem sakot, ja gredzena apakšgrupa satur visus naturālos skaitļus, tad Z0=Z.
1. definīcijai var piešķirt paplašinātu aksiomātisku raksturu. Šīs aksiomātiskās teorijas sākotnējie jēdzieni būs:
1) Kopa Z, kuras elementus sauc par veseliem skaitļiem.
2) Īpašs vesels skaitlis, ko sauc par nulli un apzīmē ar 0.
3) Trīskāršās attiecības + un (.
Kā parasti, N apzīmē naturālu skaitļu kopu ar saskaitīšanu (un reizināšanu (). Saskaņā ar 1. definīciju veselu skaitļu sistēma ir algebriska sistēma (Z; +, (, N), kurai ir spēkā šādas aksiomas):
1. (Gredzena aksiomas.)
1.1.
Šī aksioma nozīmē, ka + ir bināra algebriska darbība kopā Z.
1.2. ((a,b,c(Z) (a+b)+c=a+(b+c).
1.3. ((a,b(Z) a+b=b+a.
1.4. ((a(Z) a+0=a, tas ir, skaitlis 0 ir neitrāls elements attiecībā uz saskaitīšanu.
1.5. ((a(Z)((a((Z) a+a(=0, tas ir, katram veselam skaitlim ir pretējs skaitlis a(.).
1.6. ((a,b(Z)((! d(Z) a(b=d.
Šī aksioma nozīmē, ka reizināšana ir bināra algebriska darbība kopā Z.
1.7. ((a,b,c(Z) (a(b)(c=a((b(c).).
1.8. ((a,b,c(Z) (a+b)(c=a(c+b(c), c((a+b)=c(a+c(b).
2. (Aksiomas, kas gredzenu Z saista ar naturālo skaitļu sistēmu.)
2.1. N(Z.
2.2. ((a,b(N) a+b=a(b.
2.3. ((a,b(N) a(b=a(b.
3. (Minimitātes aksioma.)
Ja Z0 ir gredzena Z apakšgrupa un N(Z0, tad Z0=Z.
Atzīmēsim dažas veselu skaitļu sistēmas īpašības.
1. Katru veselu skaitli var attēlot kā divu naturālu skaitļu starpību. Šis attēlojums ir neviennozīmīgs ar z=a-b un z=c-d, kur a,b,c,d(N, ja un tikai tad, ja a+d=b+c.
Pierādījums. Ar Z0 apzīmēsim visu veselo skaitļu kopu, no kuriem katru var attēlot kā divu naturālu skaitļu starpību. Acīmredzot ((a(N) a=a-0, un tāpēc N(Z0.
Tālāk pieņemsim x,y(Z0, tas ir, x=a-b, y=c-d, kur a,b,c,d(N. Tad x-y=(a-b)-(c-d)=(a+d)--( b +c)=(a(d)-(b(c), x(y=(a-b)(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc)=(a(c(b(d)-) ( a(d(b(c).) No šejienes ir skaidrs, ka x-y, x(y(Z0 un līdz ar to Z0) ir gredzena Z apakšgrupa, kas satur kopu N. Bet tad, pēc 3. aksiomas, Z0=Z un tādējādi tiek pierādīta 1. īpašības pirmā daļa. Otrais šīs īpašības apgalvojums ir acīmredzams.
2. Veselo skaitļu gredzens ir komutatīvais gredzens ar vienību, un šī gredzena nulle ir naturālais skaitlis 0, un šī gredzena vienība ir naturālais skaitlis 1.
Pierādījums. Pieņemsim x,y(Z. Saskaņā ar 1. rekvizītu x=a-b, y=c-d, kur a,b,c,d(N. Tad x(y=(a-b)((c-d)=(ac+bd)-( reklāma +bc)=(a(c(b(d)-(a(d(b(c),), y(x=(c-d)(a-b))=(ca+db)-(da+cb)=(c))) ( a(d(b)-(d(a(c(b).)). Līdz ar to naturālu skaitļu reizināšanas komutativitātes dēļ secinām, ka xy=yx. Reizināšanas komutativitāte gredzenā Z ir pierādīta. pārējie 2. īpašības apgalvojumi izriet no šādām acīmredzamām vienādībām, kurās 0 un 1 apzīmē naturālos skaitļus nulle un vienu: x+0=(a-b)+0=(a+(-b))+0=(a+0) +(-b)=(a(0)+ (-b)=a-b=x. x(1=(a-b)(1=a(1-b)(1=a(1-b(1=a-b=x) .

2.2. VESELU SKAITĻU SISTĒMAS ESAMĪBA.

Veselo skaitļu sistēma ir definēta 2.1. punktā kā minimālais iekļaušanas gredzens, kas satur visus naturālos skaitļus. Rodas jautājums: vai šāds gredzens pastāv? Citiem vārdiem sakot, vai aksiomu sistēma no 2.1 ir konsekventa? Lai pierādītu šīs aksiomu sistēmas konsekvenci, ir jākonstruē tās interpretācija acīmredzami konsekventā teorijā. Šādu teoriju var uzskatīt par naturālu skaitļu aritmētiku.
Tātad, sāksim konstruēt aksiomu sistēmas 2.1 interpretāciju. Mēs uzskatīsim komplektu par sākotnējo. Šajā kopā mēs definējam divas bināras darbības un bināro relāciju. Tā kā pāru saskaitīšana un reizināšana reducējas līdz naturālu skaitļu saskaitīšanai un reizināšanai, tad, tāpat kā naturāliem skaitļiem, pāru saskaitīšana un reizināšana ir komutatīva, asociatīva, un reizināšana ir sadaloša attiecībā pret saskaitīšanu. Pārbaudīsim, piemēram, pāru saskaitīšanas komutativitāti: +===+.
Apskatīsim attiecības ~ īpašības. Tā kā a+b=b+a, tad ~, tas ir, attiecība ~ ir refleksīva. Ja ~, tas ir, a+b1=b+a1, tad a1+b=b1+a, tas ir, ~. Tas nozīmē, ka attiecība ir simetriska. Ļaujiet tālāk ~ un ~. Tad vienādības a+b1=b+a1 un a1+b2=b1+a2 ir patiesas. Saskaitot šīs vienādības, iegūstam a+b2=b+a2, tas ir ~. Tas nozīmē, ka arī attiecība ~ ir pārejoša un līdz ar to ekvivalence. Ekvivalences klase, kas satur pāri, tiks apzīmēta ar. Tādējādi ekvivalences klasi var apzīmēt ar jebkuru no tās pāriem un tajā pašā laikā
(1)
Visu ekvivalences klašu kopu apzīmējam ar. Mūsu uzdevums ir parādīt, ka šī kopa ar atbilstošu saskaitīšanas un reizināšanas operāciju definīciju būs aksiomu sistēmas interpretācija no 2.1. Mēs definējam darbības ar kopu ar vienādībām:
(2)
(3)
Ja un, tas ir, kopā N vienādības a+b(=b+a(, c+d(=a+c()) ir patiesas, tad vienādība (a+c)+(b(+d() )=(b +d)+(a(+c()), no kura, pamatojoties uz (1), mēs iegūstam to. Tas nozīmē, ka vienādība (2) definē unikālu saskaitīšanas darbību kopā, neatkarīgi no pāru izvēle, kas apzīmē saskaitāmās klases.Tā tiek pārbaudīta līdzīgā veidā un klases reizināšanas unikalitāte.Tādējādi vienādības (2) un (3) nosaka kopas bināras algebriskas darbības.
Tā kā klašu saskaitīšana un reizināšana tiek samazināta līdz pāru saskaitīšanai un reizināšanai, šīs darbības ir komutatīvas, asociatīvas, un klašu reizināšana ir sadaloša attiecībā uz saskaitīšanu. No vienādībām secinām, ka klase ir neitrāls elements attiecībā uz saskaitīšanu un katrai klasei tai ir pretēja klase. Tas nozīmē, ka kopa ir gredzens, tas ir, ir izpildītas 1. grupas aksiomas no 2.1.
Apsveriet gredzena apakškopu. Ja a(b, tad ar (1) , un ja a
Kopā mēs definējam bināro attiecību (seko (; proti, klasei seko klase, kur x(ir naturāls skaitlis, kas seko x. Klase, kas seko dabiski, tiek apzīmēta ar (. Ir skaidrs, ka klase neseko jebkurai klasei un katrai klasei seko klase un turklāt tikai viena. Pēdējais nozīmē, ka relācija (seko (ir unāra algebriska darbība kopā N.
Apskatīsim kartēšanu. Acīmredzot šī kartēšana ir biobjektīva un nosacījumi f(0)= , f(x()==(=f(x)(). Tas nozīmē, ka kartējums f ir algebras izomorfisms (N;0,()). uz algebru (;, (). Citiem vārdiem sakot, algebra (;,() ir Pīno aksiomu sistēmas interpretācija. Identificējot šīs izomorfās algebras, tas ir, pieņemot, ka pati kopa N ir apakškopa Šī pati identifikācija acīmredzamās vienādībās noved pie vienādībām a(c =a+c, a(c=ac), kas nozīmē, ka saskaitīšana un reizināšana gredzenā apakškopā N sakrīt ar naturālu skaitļu saskaitīšanu un reizināšanu. Tādējādi, ir konstatēta 2. grupas aksiomu apmierināmība.Atliek pārbaudīt minimāluma aksiomas apmierināmību.
Lai Z0 ir jebkura gredzena apakšgrupa, kas satur kopu N un. Ņemiet vērā, ka un tāpēc . Bet tā kā Z0 ir gredzens, tad arī šo klašu atšķirība pieder pie gredzena Z0. No vienādībām -= (= secinām, ka (Z0 un līdz ar to Z0=. Ir pierādīta aksiomu sistēmas konsekvence 2.1. punktā).

2.3. VESELU SKAITĻU SISTĒMAS UNIKALITĀTE.

Ir tikai viena veselu skaitļu sistēma, kā tos intuitīvi saprot. Tas nozīmē, ka aksiomu sistēmai, kas nosaka veselus skaitļus, ir jābūt kategoriskai, tas ir, jebkurām divām šīs aksiomu sistēmas interpretācijām ir jābūt izomorfām. Kategorisks nozīmē, ka līdz izomorfismam pastāv tikai viena veselu skaitļu sistēma. Pārliecināsimies, vai tas tā tiešām ir.
Lai (Z1;+,(,N) un (Z2;(,(,N))) ir jebkuras divas 2.1.punkta aksiomu sistēmas interpretācijas.Pietiek, lai pierādītu šādas bijektīvas kartēšanas f:Z1®Z2 esamību. kuriem naturālie skaitļi paliek nemainīgi un izņemot Turklāt jebkuram elementam x un y no gredzena Z1 ir spēkā šādas vienādības:
(1)
. (2)
Ņemiet vērā, ka tā kā N(Z1 un N(Z2), tad
, a(b=a(b. (3)
Pieņemsim x(Z1 un x=a-b, kur a,b(N. Ar šo elementu x=a-b saistīsim elementu u=a(b, kur (atņemšana gredzenā Z2. Ja a-b=c-d, tad a+d) =b+c, ​​no kurienes, pamatojoties uz (3), a(d=b(c) un līdz ar to a(b=c(d. Tas nozīmē, ka mūsu atbilstība nav atkarīga no elementa x pārstāvja divu naturālu skaitļu starpības formu un līdz ar to nosaka kartējumu f: Z1®Z2, f(a-b)=a(b. Ir skaidrs, ka, ja v(Z2 un v=c(d, tad v=f(c-d). Tas nozīmē, ka katrs elements no Z2 ir attēls zem kartējuma f, un tāpēc kartējums f ir surjektīvs.
Ja x=a-b, y=c-d, kur a,b,c,d(N un f(x)=f(y), tad a(b=c(d. Bet tad a(d=b(d, in) spēks (3) a+d=b+c, ​​tas ir, a-b=c-d Mēs esam pierādījuši, ka vienādība f(x)=f(y) nozīmē vienādību x=y, tas ir, kartējums f ir injektīvs .
Ja a(N, tad a=a-0 un f(a)=f(a-0)=a(0=a. Tas nozīmē, ka naturālie skaitļi ir fiksēti zem kartējuma f. Turklāt, ja x=a-b, y=c-d, kur a,b,c,d(N, tad x+y=(a+c)- un f(x+y) = (a+c)((b+d)=(a(c) )((b (d)=(a(b)((c(d)=f(x)+f(y). Vienādības (1) derīgums ir pierādīts. Pārbaudīsim vienādību (2). Tā kā f( xy)=(ac+bd )((ad+bc)=(a(c(b(d)(a(d(b(c))) un, no otras puses, f(x)(f(y)=( a(b)((c(d)=(a(c(b(d))((a(d(b(c).). Tas nozīmē f(xy)=f(x))(f(y)), kas pabeidz) aksiomu sistēmas kategoriskuma pierādījums 2.1.lpp.

2.4. RACIONĀLO SKAITĻU SISTĒMAS DEFINĪCIJA UN ĪPAŠĪBAS.

Racionālo skaitļu kopa Q viņu intuitīvajā izpratnē ir lauks, kuram veselu skaitļu kopa Z ir apakšgrupa. Ir skaidrs, ka, ja Q0 ir lauka Q apakšlauks, kurā ir visi veseli skaitļi, tad Q0=Q. Mēs izmantosim šīs īpašības kā pamatu racionālo skaitļu sistēmas stingrai definīcijai.
Definīcija 1. Racionālo skaitļu sistēma ir algebriska sistēma (Q;+,(;Z), kurai ir izpildīti šādi nosacījumi:
1. algebriskā sistēma (Q;+,() ir lauks;
2. veselu skaitļu gredzens Z ir lauka Q apakšgrupa;
3. (minimalitātes nosacījums) ja lauka Q apakšlaukā Q0 ir apakšgrupa Z, tad Q0=Q.
Īsāk sakot, racionālo skaitļu sistēma ir minimāls iekļaušanas lauks, kas satur veselu skaitļu apakšgrupu. Ir iespējams sniegt detalizētāku aksiomātisku racionālo skaitļu sistēmas definīciju.
Teorēma. Katru racionālo skaitli x var attēlot kā divu veselu skaitļu koeficientu, tas ir
, kur a,b(Z, b(0. (1)
Šis attēlojums ir neskaidrs, un kur a,b,c,d(Z, b(0, d(0.
Pierādījums. Ar Q0 apzīmēsim visu formā (1) attēlojamo racionālo skaitļu kopu. Pietiek pārliecināties, ka Q0=Q. Pieņemsim, kur a,b,c,d(Z, b(0, d(0. Tad pēc lauka īpašībām mums ir: , un c(0. Tas nozīmē, ka Q0 ir slēgts atņemšanas un dalīšanas ar skaitļiem gadījumā nav vienāds ar nulli, un tāpēc ir lauka Q apakšlauks. Tā kā formā ir attēlojams jebkurš vesels skaitlis a, tad Z(Q0. No šejienes minimāluma nosacījuma dēļ izriet, ka Q0=Q. Pierādījums teorēmas otrā daļa ir acīmredzama.

2.5. RACIONĀLO SKAITĻU SISTĒMAS ESAMĪBA.

Racionālo skaitļu sistēma ir definēta kā minimāls lauks, kas satur veselu skaitļu apakšgrupu. Protams, rodas jautājums: vai šāds lauks pastāv, tas ir, vai aksiomu sistēma, kas nosaka racionālos skaitļus, ir konsekventa? Lai pierādītu konsekvenci, ir jākonstruē šīs aksiomu sistēmas interpretācija. Šajā gadījumā var paļauties uz veselu skaitļu sistēmas esamību. Veidojot interpretāciju, par sākumpunktu uzskatīsim kopu Z(Z\(0). Šajā kopā definējam divas bināras algebriskas darbības
, (1)
(2)
un binārā sakarība
(3)
Tieši šādas darbību un attiecību definīcijas lietderība izriet no tā, ka mūsu veidojamajā interpretācijā pāris izteiks konkrēto.
Ir viegli pārbaudīt, vai darbības (1) un (2) ir komutatīvas, asociatīvas un reizināšana ir sadaloša attiecībā uz saskaitīšanu. Visas šīs īpašības tiek pārbaudītas pret atbilstošajām veselo skaitļu saskaitīšanas un reizināšanas īpašībām. Pārbaudīsim, piemēram, pāru reizināšanas asociativitāti: .
Līdzīgi tiek pārbaudīts, vai relācija ~ ir ekvivalence, un tāpēc kopa Z(Z\(0) tiek sadalīta ekvivalences klasēs. Visu klašu kopu apzīmē ar, bet klasi, kas satur pāri, ar. , klasi var apzīmēt ar jebkuru no tās pāriem un, pamatojoties uz nosacījumu (3), mēs iegūstam:
. (4)
Mūsu uzdevums ir definēt kopas saskaitīšanas un reizināšanas darbību tā, lai tā būtu lauks. Mēs definējam šīs darbības ar vienādībām:
, (5)
(6)
Ja, tas ir, ab1=ba1 un, tas ir, cd1=dc1, tad šīs vienādības reizinot, mēs iegūstam (ac)(b1d1)=(bd)(a1c1), kas nozīmē, ka Tas mūs pārliecina, ka vienādība (6 ) patiešām definē unikālu darbību klašu kopai, kas nav atkarīga no pārstāvju izvēles katrā klasē. Tādā pašā veidā tiek pārbaudīta darbības unikalitāte (5).
Tā kā klašu saskaitīšana un reizināšana reducējas līdz pāru saskaitīšanai un reizināšanai, operācijas (5) un (6) ir komutatīvas, asociatīvas, un reizināšana ir sadaloša attiecībā pret saskaitīšanu.
No vienādībām secinām, ka klase ir neitrāli elementi attiecībā uz saskaitīšanu un katrai klasei ir pretējs elements. Tāpat no vienādībām izriet, ka klase ir neitrāls elements attiecībā uz reizināšanu un katrai klasei ir apgrieztā klase. Tas nozīmē, ka tas ir lauks attiecībā uz operācijām (5) un (6); ir izpildīts pirmais nosacījums 2.4. punkta definīcijā.
Tālāk apskatīsim komplektu. Acīmredzot,. Kopa ir slēgta ar atņemšanu un reizināšanu, un tāpēc tā ir lauka apakšrinda. Tiešām, . Tālāk apskatīsim kartēšanu, . Šīs kartēšanas surjektivitāte ir acīmredzama. Ja f(x)=f(y), tas ir, tad x(1=y(1 vai x=y. Līdz ar to f kartējums ir arī injicējams. Turklāt, . Tādējādi kartējums f ir gredzena izomorfisms gredzens. Nosakot, ka tie ir izomorfi gredzeni, var pieņemt, ka gredzens Z ir lauka apakšgrupa, tas ir, ir izpildīts 2. nosacījums 2.4. punkta definīcijā. Atliek pierādīt lauka minimālumu. Ļaut būt jebkuram lauka apakšlauks un, un ļaujiet. Tā kā, a, tad. Bet tā kā - lauks, tad arī šo elementu koeficients pieder laukam. Tādējādi tiek pierādīts, ka, ja , tad, tas ir. Sistēmas esamība racionālo skaitļu skaits ir pierādīts.

2.6. RACIONĀLO SKAITĻU SISTĒMAS UNIKALITĀTE.

Tā kā to intuitīvajā izpratnē ir tikai viena racionālo skaitļu sistēma, šeit izklāstītajai racionālo skaitļu aksiomātiskajai teorijai ir jābūt kategoriskai. Kategorisks nozīmē, ka līdz izomorfismam pastāv tikai viena racionālo skaitļu sistēma. Parādīsim, ka tas tā patiešām ir.
Lai (Q1;+, (; Z) un (Q2; (, (; Z))) ir jebkuras divas racionālu skaitļu sistēmas. Pietiek, lai pierādītu bijektīvas kartēšanas esamību, saskaņā ar kuru visi veseli skaitļi paliek fiksēti un turklāt , nosacījumi ir izpildīti
(1)
(2)
jebkuriem elementiem x un y no lauka Q1.
Elementu a un b koeficients laukā Q1 tiks apzīmēts ar, bet laukā Q2 ar a:b. Tā kā Z ir katra lauka Q1 un Q2 apakšgrupa, tad jebkuriem veseliem skaitļiem a un b vienādības ir patiesas
, . (3)
Ļaujiet un, kur, . Saistīsim ar šo elementu x elementu y=a:b no lauka Q2. Ja vienādība ir patiesa laukā Q1, kur, tad saskaņā ar teorēmu 2.4 gredzenā Z pastāv vienādība ab1=ba1 vai saskaņā ar (3) vienādība ir spēkā, un tad pēc šīs pašas teorēmas vienādība a:b= a1:b1 ir spēkā laukā Q2 . Tas nozīmē, ka, saistot elementu y=a:b no lauka Q2 ar elementu no lauka Q1, mēs definējam kartējumu, .
Jebkuru elementu no lauka Q2 var attēlot kā a:b, kur un tāpēc ir elementa attēls no lauka Q1. Tas nozīmē, ka kartējums f ir surjektīvs.
Ja, tad laukā Q1 un tad. Tādējādi kartējums f ir objektīvs un visi veseli skaitļi paliek fiksēti. Atliek pierādīt (1) un (2) vienādojumu pamatotību. Ļaujiet un, kur a,b,c,d(Z, b(0, d(0. Tad un, no kurienes), saskaņā ar (3) f(x+y)=f(x)(f(y). Līdzīgi, un kur.
Interpretāciju (Q1;+, (; Z) un (Q2; (, (; Z))) izomorfisms ir pierādīts.

ATBILDES, NORĀDĪJUMI, RISINĀJUMI.

1.1.1. Risinājums. Lai 4. aksiomas nosacījums ir patiess (tāda naturālu skaitļu īpašība, ka ((0) un. Pieņemsim. Tad M apmierina 4. aksiomas priekšnoteikumu, jo ((0)(0(M un.) Tāpēc M=N, i., jebkuram naturālam skaitlim ir īpašība (. Un otrādi. Pieņemsim, ka jebkurai īpašībai (no fakta, ka ((0) un, no tā izriet. Lai M ir N apakškopa tā, ka 0(M un.) Pierādīsim, ka M = N. Ieviesīsim īpašību (, pieņemot. Tad ((0), kopš, un. Līdz ar to M=N.
1.1.2. Atbilde: 1. un 4. Peano aksiomas apgalvojumi ir patiesi. 2. aksiomas apgalvojums ir nepatiess.
1.1.3. Atbilde: Pīno aksiomu apgalvojumi 2,3,4 ir patiesi. 1. aksiomas apgalvojums ir nepatiess.
1.1.4. Pīno aksiomu 1., 2., 3. apgalvojumi ir patiesi. 4. aksiomas apgalvojums ir nepatiess. Virziens: pierādi, ka kopa apmierina 4. aksiomas premisu, kas formulēta operācijas bet izteiksmē.
1.1.5. Padoms: lai pierādītu 4. aksiomas apgalvojuma patiesumu, apsveriet A apakškopu M, kas atbilst nosacījumiem: a) 1((M, b) , un kopa. Pierādiet to. Tad M=A.
1.1.6. 1., 2. un 3. Peano aksiomas apgalvojumi ir patiesi. Pīno 4. aksiomas apgalvojums ir nepatiess.
1.6.1. a) Risinājums: Vispirms pierādiet, ka, ja 1:00. Atpakaļ. Ļaujiet man
1.6.2. a) Risinājums: pieņemsim pretējo. Ar M apzīmē visu to skaitļu kopu, kuriem nav īpašības (. Pieņemot, ka M((. Pēc 1. teorēmas, M ir mazākais elements n(0. Jebkurš skaitlis x
1.8.1. f) Izmantojiet e) un c) punktus: (a-c)+(c-b)=(a+c)-(c+b)=a-b, tāpēc (a-b)-(c-b)=a-c.
h) Izmantojiet īpašumu.
k) Izmantojiet punktu b).
l) Izmantojiet punktus b) un punktus h).
1.8.2. c) Tāpēc mums ir . Tātad,.
d) Mums ir. Līdz ar to,.
un) .
1.8.3. a) Ja (un (ir dažādi vienādojuma ax2+bx=c risinājumi, tad a(2+b(=a(2+b().).). Savukārt, ja, piemēram, (b)) Ļaujiet (un ( ir dažādi vienādojuma risinājumi. If (. Tomēr (2=a(+b>a(, tāpēc, (>a. Mums ir pretruna).
c) Ļaujiet (un ( ir dažādas vienādojuma saknes un (>(. Tad 2((-()=(a(2+b))-(a(2+b)=a(()))(() (+( ) Tātad a((+()=2, bet (+(>2, tātad a((+())>2), kas nav iespējams).
1.8.4. a) x=3; b) x=y=2. Padoms: kopš un mums ir x=y; c) x=y(y+2), y - jebkurš naturāls skaitlis; d) x=y=2; e) x=2, y=1; f) Līdz permutācijām x=1, y=2, z=3. Risinājums: Pieņemsim, piemēram, x(y(z. Tad xyz=x+y+z(3z, t.i. xy(3. Ja xy=1, tad x=y=1 un z=2+z), kas nav iespējams. Ja xy=2, tad x=1, y=2. Šajā gadījumā 2z=3+z, t.i., z=3. Ja xy=3, tad x=1, y=3. Tad 3z=4+z, t.i., z=2, kas ir pretrunā ar pieņēmumu y(z.
1.8.5. b) Ja x=a, y=b ir vienādojuma atrisinājums, tad ab+b=a, t.i. a>ab, kas nav iespējams. d) Ja x=a, y=b ir vienādojuma atrisinājums, tad b
1.8.6. a) x=ky, kur k,y ir patvaļīgi naturāli skaitļi un y(1. b) x ir patvaļīgs naturāls skaitlis, y=1. c) x ir patvaļīgs naturāls skaitlis, y=1. d) Nav risinājuma. e) x1=1; x2=2; x3=3. e) x>5.
1.8.7. a) Ja a=b, tad 2ab=a2+b2. Ļaujiet, piemēram, a

LITERATŪRA

1. Redkovs M.I. Skaitliskās sistēmas. /Metodiskie ieteikumi kursa "Ciparu sistēmas" apguvei. 1. daļa.- Omska: Omskas Valsts pedagoģiskais institūts, 1984.- 46 lpp.
2. Eršova T.I. Skaitliskās sistēmas. /Metodiskā izstrāde praktiskajām nodarbībām.- Sverdlovska: SGPI, 1981. - 68 lpp.