Funkcijas noteikšanas metodes - Knowledge Hypermarket. Funkcijas jēdziens

Funkcijas norādīšana nozīmē kārtulas norādīšanu, kas ļauj katrai argumenta vērtībai atrast atbilstošo funkcijas vērtību. Ir trīs galvenie veidi, kā norādīt funkcijas: analītisks, tabulas un grafisks.

Funkcijas noteikšanas analītiskā metode

ir tas, ka atbilstība starp un tiek sniegta ar formulām, piemēram,

Tabulas metode funkcijas norādīšanai

Funkciju var norādīt, izmantojot tabulas, kas norāda dažas mainīgo vērtības un atbilstošās mainīgās vērtības. Šīs tabulas var iegūt vai nu tieši no pieredzes, vai ar noteiktu matemātisko aprēķinu palīdzību.

Grafisks veids, kā norādīt funkciju

Fizikālo mērījumu praksē tiek izmantota vēl viena funkciju precizēšanas metode - grafiskā, kurā tiek noteikta atbilstība starp neatkarīgajiem un atkarīgajiem mainīgajiem, izmantojot grafiku, ko parasti ieraksta ar speciāliem instrumentiem.

Netieša funkciju piešķiršana

Citu funkcijas norādīšanas veidu, tā sauktās implicītās funkcijas definīcijas, apsvēršana ir saistīta ar vienādojuma ar diviem mainīgajiem jēdzienu.

Apsveriet vienādojumu

Lai ir tāda kopa, ka katram skaitlim ir vismaz viens skaitlis, kas apmierina vienādojumu.

Apzīmēsim vienu no šiem skaitļiem ar un saliksim to saskaņā ar skaitli . Rezultātā mēs iegūstam funkciju, kas definēta kopā un tāda, ka

Šajā gadījumā viņi saka, ka funkcija ir netieši norādīta ar vienādojumu. Šis vienādojums vispārīgi runājot nosaka nevis vienu, bet vairākas funkcijas.

Tātad funkciju sauc par implicītu, ja to sniedz vienādojums ar diviem mainīgajiem, kas nav atrisināts attiecībā uz . Turpretim funkciju, kas definēta ar vienādojumu ar diviem mainīgajiem, kas atrisināta attiecībā pret , sauc par skaidru.

Termins “netiešā funkcija” neatspoguļo funkcionālās atkarības būtību, bet tikai to, kā tā ir norādīta. To pašu funkciju var norādīt gan tieši, gan netieši. Piemēram, funkcijas

Ir doti galvenie funkciju norādīšanas veidi: skaidri analītiskais; intervāls; parametrisks; netiešs; funkcijas norādīšana, izmantojot sēriju; tabulas; grafisks. Šo metožu pielietošanas piemēri

Saturs

Skatīt arī: Funkcijas definīcija

Ir šādi veidi, kā norādīt funkciju y = f (x):

1. Skaidra analītiskā metode, izmantojot tādu formulu kā y = f (x).
2. Intervāls.
3. Parametri: x = x (t) , y = y(t).
4. Netiešs, piemēram, F vienādojuma atrisināšana (x, y) = 0.
5. Sērijas veidā, kas sastāv no zināmām funkcijām.
6. Tabulveida.
7. Grafisks.

Skaidrs analītisks veids, kā norādīt funkciju

Plkst skaidrā veidā, funkcijas vērtību nosaka pēc formulas, kas attēlo vienādojumu y = f (x). Šī vienādojuma kreisajā pusē ir atkarīgais mainīgais y, bet labajā pusē ir izteiksme, kas sastāv no neatkarīgā mainīgā x, konstantēm, zināmām funkcijām un saskaitīšanas, atņemšanas, reizināšanas un dalīšanas operācijām. Zināmas funkcijas ir elementāras funkcijas un speciālās funkcijas, kuru vērtības var aprēķināt, izmantojot datortehnoloģiju.

Šeit ir daži piemēri, kā tieši norādīt funkciju ar neatkarīgu mainīgo x un atkarīgo mainīgo y:
;
;
.

Funkcijas noteikšanas intervāla metode

Plkst intervāla metode funkcijas norādīšanai, definīcijas domēns ir sadalīts vairākos intervālos, un funkcija ir norādīta atsevišķi katram intervālam.

Šeit ir daži funkcijas norādīšanas intervāla metodes piemēri:

Funkcijas parametru noteikšanas metode

Plkst parametriskā metode, tiek ieviests jauns mainīgais, ko sauc par parametru. Pēc tam iestatiet x un y vērtības kā parametra funkciju, izmantojot precīzo iestatīšanas metodi:
(1)

Šeit ir piemēri parametriskam funkcijas norādīšanas veidam, izmantojot parametru t:

Parametriskās metodes priekšrocība ir tāda, ka vienu un to pašu funkciju var norādīt bezgalīgi daudzos veidos. Piemēram, funkciju var definēt šādi:

Vai arī varat rīkoties šādi:

Šī izvēles brīvība dažos gadījumos ļauj izmantot šo metodi, lai atrisinātu vienādojumus (sk. “Diferenciālvienādojumi, kas nesatur nevienu no mainīgajiem”). Lietojumprogrammas būtība ir tāda, ka vienādojumā aizstājam divas funkcijas un mainīgo x un y vietā. Pēc tam vienu no tiem uzstādām pēc saviem ieskatiem, lai pēc iegūtā vienādojuma varētu noteikt otru.

Šo metodi izmanto arī aprēķinu vienkāršošanai. Piemēram, elipses ar pusass a un b punktu koordinātu atkarību var attēlot šādi:
.
Parametriskā formā šai atkarībai var piešķirt vienkāršāku formu:
.

Vienādojumi (1) nav vienīgais veids, kā parametriski norādīt funkciju. Varat ievadīt nevis vienu, bet vairākus parametrus, savienojot tos ar papildu vienādojumiem. Piemēram, varat ievadīt divus parametrus un . Tad funkcijas definīcija izskatīsies šādi:

Šeit parādās papildu vienādojums, kas attiecas uz parametriem. Ja parametru skaits ir n , tad ir jābūt n - 1 papildu vienādojumi.

Vairāku parametru izmantošanas piemērs ir parādīts lapā “Jēkabi diferenciālvienādojums”. Tur risinājums tiek meklēts šādā formā:
(2) .
Rezultāts ir vienādojumu sistēma. Lai to atrisinātu, tiek ieviests ceturtais parametrs t. Pēc sistēmas atrisināšanas tiek iegūti trīs vienādojumi, kas saista četrus parametrus un .

Netiešs veids, kā norādīt funkciju

Plkst netiešā veidā, funkcijas vērtību nosaka no vienādojuma risinājuma.

Piemēram, elipses vienādojums ir:
(3) .
Tas ir vienkāršs vienādojums. Ja ņemam vērā tikai elipses augšējo daļu, tad mainīgo y varam izteikt kā funkciju no x tieši:
(4) .
Bet pat tad, ja ir iespējams reducēt (3) līdz precīzam funkcijas (4) norādīšanas veidam, pēdējā formula ne vienmēr ir ērti lietojama. Piemēram, lai atrastu atvasinājumu, ir ērti diferencēt vienādojumu (3), nevis (4):
;
.

Tuvumā tiek iestatīta funkcija

Ļoti svarīgs funkcijas definēšanas veids ir sērijas attēlojums, kas sastāv no zināmām funkcijām. Šī metode ļauj izpētīt funkciju, izmantojot matemātiskās metodes, un aprēķināt tās vērtības pielietotajām problēmām.

Visizplatītākais attēlojums ir funkcijas definēšana, izmantojot pakāpju sēriju. Tas izmanto vairākas funkcijas:
.
Tiek izmantotas arī sērijas ar negatīvām pakāpēm:
.
Piemēram, sinusa funkcijai ir šāds paplašinājums:
(5) .
Šādi paplašinājumi tiek plaši izmantoti skaitļošanā, jo tie ļauj reducēt aprēķinus līdz aritmētiskām darbībām.

Kā ilustrāciju, aprēķināsim 30° sinusa vērtību, izmantojot izvērsumu (5).
Gādu pārvēršana radiānos:
.
Mēs aizstājam ar (5):



.

Matemātikā kopā ar pakāpju rindām plaši izmanto izvērsumus trigonometriskajās rindās funkcijās un , kā arī citās speciālajās funkcijās. Izmantojot sērijas, var veikt aptuvenus integrāļu, vienādojumu (diferenciāļu, integrāļu, parciālo atvasinājumu) aprēķinus un pētīt to risinājumus.

Tabulas metode funkcijas norādīšanai

Plkst tabulas metode funkcijas norādīšanai mums ir tabula, kurā ir neatkarīgā mainīgā x vērtības un atkarīgā mainīgā y atbilstošās vērtības. Neatkarīgajiem un atkarīgajiem mainīgajiem var būt dažādi apzīmējumi, taču šeit mēs izmantojam x un y. Lai noteiktu funkcijas vērtību noteiktai vērtībai x, mēs izmantojam tabulu, lai atrastu vērtību x, kas ir vistuvāk mūsu vērtībai. Pēc tam mēs nosakām atbilstošo atkarīgā mainīgā y vērtību.

Lai precīzāk noteiktu funkcijas vērtību, mēs pieņemam, ka funkcija starp divām blakus esošām x vērtībām ir lineāra, tas ir, tai ir šāda forma:
.
Šeit ir tabulā atrastās funkciju vērtības ar atbilstošajām argumentu vērtībām.
Apskatīsim piemēru. Ļaujiet mums atrast funkcijas vērtību pie . No tabulas mēs atrodam:
.
Tad

.
Precīza vērtība:
.
No šī piemēra ir skaidrs, ka lineārās aproksimācijas izmantošana palielināja funkcijas vērtības noteikšanas precizitāti.

Tabulu metodi izmanto lietišķajās zinātnēs. Pirms datortehnoloģiju attīstības to plaši izmantoja inženierzinātnēs un citos aprēķinos. Tagad statistikā un eksperimentālajās zinātnēs eksperimentālo datu vākšanai un analīzei izmanto tabulu metodi.

Grafisks veids, kā norādīt funkciju

Plkst grafiski, funkcijas vērtība tiek noteikta no grafika, neatkarīgā mainīgā vērtības tiek attēlotas pa abscisu asi, bet atkarīgais mainīgais tiek attēlots pa ordinātu asi.

Grafiskā metode sniedz vizuālu funkcijas darbības attēlojumu. Funkcijas pētījuma rezultāti bieži tiek ilustrēti ar grafiku. No grafika var noteikt aptuveno funkcijas vērtību. Tas ļauj izmantot grafisko metodi lietišķajos un inženiertehniskajos aprēķinos.

Skatīt arī:

Ja vilciens pārvietojas ar nemainīgu ātrumu v km/h, tad laikā t nobraukto attālumu s km aprēķina pēc formulas s = vt. Šeit v apzīmē kādu skaitli, un s un t mainās katrā kustības brīdī. Pie noteikta nemainīga ātruma mēs atradīsim s vērtību atkarībā no kustības laika t. Tad tiek saukts t neatkarīgs mainīgais vai arguments, s sauc atkarīgais mainīgais vai funkcija. Attiecību starp argumentu t un funkciju s raksta s(t).

Apzīmējums s(t) nozīmē ka tiek veikti patvaļīgi ceļa posmi un tiek noteikts, kādā laikā (ar noteiktu nemainīgu ātrumu v) šo ceļu var veikt. Piemēram, ja automašīna pārvietojas ar ātrumu 50 km/h, tad 100 km nobraukšanai būs nepieciešami 100 km: 50 km/h = 2 stundas, 25 km nobraukšanai vajadzēs 1/2 stundu, lai nobrauktu 150 km/h – 3 h.

Ja ir doti divi mainīgie x un y, tad viņi saka, ka mainīgais y ir mainīgā funkcija X, ja starp šiem mainīgajiem tiek dota šāda atkarība, kas pieļauj katru vērtību X skaidri definējiet nozīmi u.

Uzrakstiet F = y(x) nozīmē, ka tiek apsvērta funkcija, kas pieļauj jebkuru neatkarīgā mainīgā vērtību X(no tiem, ko parasti var pieņemt arguments x) atrodiet atbilstošo atkarīgā mainīgā vērtību u.

Funkcijas noteikšanas metodes.

Funkciju var norādīt ar formulu, piemēram:

y = 3x2–2.

Ņemot vērā neatkarīgā mainīgā x patvaļīgas vērtības, atkarīgā mainīgā y atbilstošās vērtības tiek aprēķinātas, izmantojot šo formulu. Piemēram, ja x = -0,5, tad, izmantojot formulu, mēs atklājam, ka atbilstošā y vērtība ir vienāda ar

3 · (-0,5) 2 - 2 = -1,25

Ņemot jebkuru vērtību, ko arguments x var iegūt formulā y = 3x 2 – 2, varat to izmantot, lai aprēķinātu vienīgo funkcijas vērtību, kas tai atbilst.

Funkciju var norādīt, piemēram, ar tabulu:

Izmantojot šo tabulu, var noteikt, ka argumenta vērtība – 1 atbilst funkcijas vērtībai 1; vērtība x = 2 atbilst y = 10 utt. Šajā gadījumā jebkura argumenta vērtība, kas iekļauta tabulā, atbilst tikai vienai funkcijas vērtībai.

Funkciju var norādīt ar grafiku. Izmantojot grafiku, varat noteikt, kura funkcijas vērtība atbilst noteiktai argumenta vērtībai. Parasti tā ir aptuvenā funkcijas vērtība.

Funkcijas īpašības, kas jāņem vērā, veidojot tās grafiku:

1) Funkcijas apjoms.

funkcijas domēns, tas ir, tās vērtības, kuras var iegūt funkcijas F =y (x) arguments x.

2) Palielinošo un samazinošo funkciju intervāli.

Funkciju sauc par palielināšanu uz aplūkojamo intervālu, ja lielāka argumenta vērtība atbilst lielākai funkcijas y(x) vērtībai. Tas nozīmē, ka, ja no aplūkojamā intervāla tiek ņemti divi patvaļīgi argumenti x 1 un x 2 un x 1 > x 2, tad y(x 1) > y(x 2).

Funkciju sauc par samazinošu uz aplūkojamo intervālu, ja lielāka argumenta vērtība atbilst mazākai funkcijas y(x) vērtībai. Tas nozīmē, ka, ja no aplūkojamā intervāla tiek ņemti divi patvaļīgi argumenti x 1 un x 2, un x 1< х 2 , то у(х 1) < у(х 2).

3) Funkcijas nulles.

Punktus, kuros funkcija F = y (x) krustojas ar abscisu asi (tos iegūst, atrisinot vienādojumu y(x) = 0), sauc par funkcijas nullēm.

4) Pāra un nepāra funkcijas.

Funkciju sauc par pat, ja visām argumentu vērtībām no darbības jomas

y(-x) = y(x).

Pāra funkcijas grafiks ir simetrisks attiecībā pret ordinātu.

Funkciju sauc par nepāra, ja visām argumenta vērtībām no definīcijas domēna

y(-x) = -y(x).

Pāra funkcijas grafiks ir simetrisks attiecībā pret izcelsmi.

Daudzas funkcijas nav ne pāra, ne nepāra.

5) Funkcijas periodiskums.

Funkcija tiek izsaukta periodisks, ja ir tāds skaitlis P, ka visām argumenta vērtībām no definīcijas domēna

y(x + P) = y(x).

Vai joprojām ir jautājumi? Vai nezināt, kā attēlot funkciju grafiku?
Lai saņemtu palīdzību no pasniedzēja, reģistrējieties.
Pirmā nodarbība bez maksas!

tīmekļa vietni, kopējot materiālu pilnībā vai daļēji, ir nepieciešama saite uz avotu.

Ko nozīmē vārdi? "iestatīt funkciju"? Tie nozīmē: paskaidrojiet visiem, kas vēlas zināt, ko specifiska funkcija mēs runājam. Turklāt paskaidrojiet skaidri un nepārprotami!

Kā es to varu izdarīt? Kā iestatīt funkciju?

Jūs varat uzrakstīt formulu. Jūs varat uzzīmēt grafiku. Jūs varat izveidot galdu. Jebkurš veids ir kāds noteikums, pēc kura mēs varam uzzināt i vērtību mūsu izvēlētajai x vērtībai. Tie. "iestatīt funkciju", tas nozīmē parādīt likumu, likumu, pēc kura x pārvēršas par y.

Parasti ir dažādi uzdevumi jau gatavs funkcijas. Viņi mums dod jau ir iestatīti. Izlemiet paši, jā, izlemiet.) Bet... Visbiežāk ar formulām strādā skolēni (un pat studenti). Viņi pierod, ziniet... Viņi tā pierod, ka jebkurš elementārs jautājums, kas saistīts ar atšķirīgu funkcijas norādīšanas veidu, uzreiz apbēdina cilvēku...)

Lai izvairītos no šādiem gadījumiem, ir lietderīgi izprast dažādus funkciju norādīšanas veidus. Un, protams, izmantojiet šīs zināšanas "grūtiem" jautājumiem. Tas ir pavisam vienkārši. Ja zināt, kas ir funkcija...)

Iet?)

Funkcijas noteikšanas analītiskā metode.

Universālākais un spēcīgākais veids. Analītiski definēta funkcijašī ir funkcija, kas tiek dota formulas. Patiesībā tas ir viss skaidrojums.) Funkcijas, kas ir pazīstamas visiem (es gribu ticēt!), piemēram: y = 2x, vai y = x 2 utt. un tā tālāk. ir norādīti analītiski.

Starp citu, ne katra formula var definēt funkciju. Ne katra formula atbilst stingrajam nosacījumam no funkcijas definīcijas. Proti - uz katru X var būt tikai viens igrek. Piemēram, formulā y = ±x, Priekš viens vērtības x=2, izrādās divi y vērtības: +2 un -2. Šo formulu nevar izmantot, lai definētu unikālu funkciju. Parasti tās nedarbojas ar daudzvērtīgām funkcijām šajā matemātikas nozarē, aprēķinos.

Kas ir labs funkcijas norādīšanas analītiskajā veidā? Jo, ja jums ir formula, jūs zināt par funkciju Visi! Jūs varat izveidot zīmi. Izveidojiet grafiku. Izpētiet šo funkciju pilnībā. Precīzi paredzēt, kur un kā šī funkcija darbosies. Visas matemātiskās analīzes pamatā ir šī funkciju noteikšanas metode. Teiksim, tabulas atvasinājuma iegūšana ir ārkārtīgi sarežģīta...)

Analītiskā metode ir diezgan pazīstama un nerada problēmas. Izņemot dažas šīs metodes variācijas, ar kurām saskaras skolēni. Es runāju par parametriskām un implicītām funkcijām.) Bet šādas funkcijas ir īpašā nodarbībā.

Pāriesim pie mazāk pazīstamiem funkcijas norādīšanas veidiem.

Tabulas metode funkcijas norādīšanai.

Kā norāda nosaukums, šī metode ir vienkārša zīme. Šajā tabulā katrs x atbilst ( ir sastādīts saskaņā) kāda spēles nozīme. Pirmajā rindā ir argumenta vērtības. Otrajā rindā ir atbilstošās funkciju vērtības, piemēram:

1. tabula.

x	- 3	- 1	0	2	3	4
y	5	2	- 4	- 1	6	5

Lūdzu, pievērsiet uzmanību! Šajā piemērā spēle ir atkarīga no X vienalga. Es to izdomāju ar nolūku.) Nav nekāda modeļa. Tas ir labi, tas notiek. nozīmē, tieši tā Esmu norādījis šo īpašo funkciju. Tieši tā Es izveidoju noteikumu, saskaņā ar kuru X pārvēršas par Y.

Jūs varat izlīdzēties cits plāksne, kurā ir raksts. Šī zīme norādīs cits funkcija, piemēram:

2. tabula.

x	- 3	- 1	0	2	3	4
y	- 6	- 2	0	4	6	8

Vai jūs uztvērāt modeli? Šeit visas spēles vērtības tiek iegūtas, reizinot x ar divi. Šeit ir pirmais “kutelīgs” jautājums: vai funkciju, kas definēta, izmantojot 2. tabulu, var uzskatīt par funkciju y = 2x? Pagaidām padomājiet, atbilde būs zemāk, grafiskā veidā. Tur viss ir ļoti skaidrs.)

Kas ir labs tabulas metode funkcijas norādīšanai? Jā, jo jums nekas nav jāskaita. Viss jau ir izrēķināts un ierakstīts tabulā.) Bet nekā laba vairāk nav. Mēs nezinām funkcijas vērtību X, kuras nav tabulā.Šajā metodē šādas x vērtības ir vienkārši neeksistē. Starp citu, tas ir mājiens uz sarežģītu jautājumu.) Mēs nevaram uzzināt, kā funkcija darbojas ārpus tabulas. Mēs neko nevaram darīt. Un šīs metodes skaidrība atstāj daudz ko vēlēties... Grafiskā metode ir laba skaidrībai.

Grafisks veids, kā norādīt funkciju.

Šajā metodē funkcija tiek attēlota ar grafiku. Arguments (x) tiek attēlots pa abscisu asi, bet funkcijas vērtība (y) tiek attēlota pa ordinātu asi. Saskaņā ar grafiku jūs varat arī izvēlēties jebkuru X un atrodiet atbilstošo vērtību plkst. Grafiks var būt jebkurš, bet... ne tikai viens.) Strādājam tikai ar nepārprotamām funkcijām. Šādas funkcijas definīcijā ir skaidri norādīts: katrs X tiek sastādīts saskaņā vienīgais plkst. Viens viena spēle, nevis divas vai trīs... Piemēram, paskatīsimies uz apļa grafiku:

Aplis ir kā aplis... Kāpēc tas nevarētu būt funkcijas grafiks? Noskaidrosim, kura spēle atbildīs X vērtībai, piemēram, 6? Pārvietojam kursoru virs grafika (vai pieskaramies planšetdatora zīmējumam), un... redzam, ka šis x atbilst divi spēles nozīme: y=2 un y=6.

Divi un seši! Tāpēc šāds grafiks nebūs grafisks funkcijas piešķiršana. Ieslēgts viens x veido divi spēle. Šis grafiks neatbilst funkcijas definīcijai.

Bet, ja ir izpildīts nepārprotamības nosacījums, grafiks var būt pilnīgi jebkas. Piemēram:

Šī pati greizība ir likums, saskaņā ar kuru X var pārvērst par Y. Viennozīmīgi. Mēs vēlējāmies uzzināt funkcijas nozīmi x = 4, Piemēram. Mums jāatrod četri uz x ass un jāskatās, kura spēle atbilst šim x. Pārvietojam peli virs attēla un redzam, ka funkcijas vērtība plkst Priekš x=4 vienāds ar pieciem. Mēs nezinām, kāda formula nosaka šo X pārveidošanu par Y. Un tas nav nepieciešams. Viss ir noteikts pēc grafika.

Tagad mēs varam atgriezties pie “grūtā” jautājuma par y=2x. Uzzīmēsim šo funkciju. Šeit viņš ir:

Protams, veidojot šo grafiku, mēs neņēmām bezgalīgu skaitu vērtību X. Mēs paņēmām vairākas vērtības un aprēķinājām y, uztaisīja zīmi - un viss ir gatavs! Lasītprasmīgākie cilvēki izmantoja tikai divas X vērtības! Un tas ir pareizi. Taisnai līnijai jums nav nepieciešams vairāk. Kāpēc papildu darbs?

Bet mēs noteikti zināja kas varētu būt x jebkurš. Vesels skaitlis, daļskaitlis, negatīvs... Jebkurš. Tas ir saskaņā ar formulu y=2x tas ir redzams. Tāpēc mēs drosmīgi savienojām punktus grafikā ar nepārtrauktu līniju.

Ja funkcija mums ir dota 2. tabulā, tad mums būs jāņem x vērtības tikai no galda. Jo citus X (un Y) mums nedod, un nav kur dabūt. Šīs vērtības šajā funkcijā nav. Grafiks izdosies no punktiem. Pārvietojam peles kursoru virs attēla un redzam 2. tabulā norādītās funkcijas grafiku. Es neuzrakstīju x-y vērtības uz asīm, jūs to izdomāsit pa šūnai?)

Šeit ir atbilde uz "grūto" jautājumu. Funkcija, kas norādīta 2. tabulā, un funkcija y=2x - savādāk.

Grafiskā metode ir laba tās skaidrības dēļ. Jūs varat uzreiz redzēt, kā funkcija darbojas, kur tā palielinās. kur tas samazinās. No diagrammas jūs varat uzreiz uzzināt dažas svarīgas funkcijas īpašības. Un tēmā ar atvasinājumiem uzdevumi ar grafikiem ir visur!

Kopumā analītiskās un grafiskās funkcijas definēšanas metodes iet roku rokā. Darbs ar formulu palīdz izveidot grafiku. Un grafikā bieži tiek ieteikti risinājumi, kurus jūs pat nepamanītu formulā... Mēs būsim draugi ar grafikiem.)

Gandrīz ikviens students zina trīs veidus, kā definēt funkciju, ko mēs tikko apskatījām. Bet uz jautājumu: "Un ceturtais!?" - pamatīgi sasalst.)

Ir tāds veids.

Funkcijas verbāls apraksts.

Jā jā! Funkciju var diezgan nepārprotami norādīt vārdos. Lieliskā un varenā krievu valoda ir spējīga uz daudz ko!) Teiksim, funkcija y=2x var norādīt ar šādu verbālu aprakstu: Katra argumenta x reālā vērtība ir saistīta ar tā dubulto vērtību. Kā šis! Noteikums ir izveidots, funkcija ir norādīta.

Turklāt jūs varat mutiski norādīt funkciju, kuru ir ārkārtīgi grūti, ja ne neiespējami definēt, izmantojot formulu. Piemēram: Katra dabiskā argumenta x vērtība ir saistīta ar ciparu summu, kas veido x vērtību. Piemēram, ja x=3, Tas y=3. Ja x=257, Tas y=2+5+7=14. Un tā tālāk. Ir problemātiski to pierakstīt formulā. Bet zīmi ir viegli izgatavot. Un sastādiet grafiku. Starp citu, grafiks izskatās smieklīgi...) Izmēģiniet to.

Verbālā apraksta metode ir diezgan eksotiska. Bet dažreiz tas notiek. Es to atvedu šeit, lai sniegtu jums pārliecību negaidītās un neparastās situācijās. Jums vienkārši jāsaprot vārdu nozīme "funkcija norādīta..."Šeit tas ir, šī nozīme:

Ja pastāv viens pret vienu atbilstības likums starp X Un plkst- tas nozīmē, ka ir funkcija. Kāds likums, kādā formā tas ir izteikts - formula, planšete, grafiks, vārdi, dziesmas, dejas - lietas būtību nemaina. Šis likums ļauj mums noteikt atbilstošo Y vērtību no X vērtības. Visi.

Tagad šīs dziļās zināšanas izmantosim dažos nestandarta uzdevumos.) Kā solīts nodarbības sākumā.

1. vingrinājums:

Funkcija y = f(x) ir dota 1. tabulā:

1. tabula.

Atrodiet funkcijas p(4) vērtību, ja p(x)= f(x) - g(x)

Ja vispār nesaprotat, kas ir kas, izlasiet iepriekšējo nodarbību “Kas ir funkcija?” Par šādiem burtiem un iekavām ir rakstīts ļoti skaidri.) Un, ja jūs mulsina tikai tabulas forma, tad mēs to sakārtosim šeit.

No iepriekšējās nodarbības ir skaidrs, ka, ja p(x) = f(x) - g(x), Tas p(4) = f(4) - g(4). Vēstules f Un g nozīmē noteikumus, saskaņā ar kuriem katram X tiek piešķirta sava spēle. Par katru burtu ( f Un g) - jūsu noteikums. Kas ir norādīts ar atbilstošo tabulu.

Funkcijas vērtība f(4) nosaka no 1. tabulas. Tā būs 5. Funkcijas vērtība g(4) nosaka saskaņā ar 2. tabulu. Tas būs 8. Paliek grūtākais.)

p(4) = 5 - 8 = -3

Šī ir pareizā atbilde.

Atrisiniet nevienādību f(x) > 2

Tieši tā! Ir jāatrisina nevienlīdzība, kuras (parastajā formā) izcili nav! Vienīgais, kas jādara, ir vai nu atteikties no uzdevuma, vai izmantot savu galvu. Mēs izvēlamies otro un apspriežam.)

Ko nozīmē atrisināt nevienlīdzību? Tas nozīmē, ka jāatrod visas x vērtības, pie kurām ir izpildīts mums dotais nosacījums f(x) > 2. Tie. visas funkciju vērtības ( plkst) ir jābūt lielākam par diviem. Un mūsu diagrammā mums ir katra spēle... Un ir vairāk divnieku un mazāk... Un skaidrības labad novelkam robežu gar šiem diviem! Pārvietojam kursoru virs zīmējuma un redzam šo apmali.

Stingri sakot, šī robeža ir funkcijas grafiks y=2, bet ne par to ir runa. Svarīgi ir tas, ka tagad diagramma ļoti skaidri parāda, kur pie kāda X, funkciju vērtības, t.i. y, vairāk nekā divas. Tie ir vairāk X > 3. Plkst X > 3 visa mūsu funkcija pāriet augstāks robežas y=2. Tas ir risinājums. Bet vēl ir par agru izslēgt galvu!) Man vēl jāpieraksta atbilde...

Grafikā redzams, ka mūsu funkcija nesniedzas pa kreisi un pa labi līdz bezgalībai. To norāda punkti diagrammas beigās. Funkcija beidzas ar to. Tāpēc mūsu nevienādībā visiem x, kas pārsniedz funkcijas robežas, nav nozīmes. Šo X funkciju nodrošināšanai neeksistē. Un mēs faktiski atrisinām nevienlīdzību funkcijai...

Pareizā atbilde būs:

3 < X ≤ 6

Vai arī citā formā:

X ∈ (3; 6]

Tagad viss ir tā, kā tam jābūt. Trīs atbildē nav iekļauti, jo sākotnējā nevienlīdzība ir stingra. Un seši ieslēdzas, jo un funkcija pie sešiem pastāv, un nevienlīdzības nosacījums ir izpildīts. Esam veiksmīgi atrisinājuši nevienlīdzību, kas (parastajā formā) neeksistē...

Tādā veidā dažas zināšanas un elementāra loģika glābj jūs nestandarta gadījumos.)

Analītiskās funkcijas piešķiršana

Ir dota funkcija %%y = f(x), x \in X%% skaidrā analītiskā veidā, ja tiek dota formula, kas norāda matemātisko darbību secību, kas jāveic ar argumentu %%x%%, lai iegūtu šīs funkcijas vērtību %%f(x)%%.

Piemērs

• %% y = 2 x^2 + 3x + 5, x \in \mathbb(R)%%;
• %% y = \frac(1)(x - 5), x \neq 5%%;
• %% y = \sqrt(x), x \geq 0%%.

Tā, piemēram, fizikā ar vienmērīgi paātrinātu taisnvirziena kustību ķermeņa ātrumu nosaka pēc formulas %%v = v_0 + a t%%, un formulas ķermeņa %%s%% pārvietošanai ar vienmērīgu paātrinājumu. kustība laika intervālā no %%0%% līdz %% t%% tiek rakstīta šādi: %% s = s_0 + v_0 t + \frac(a t^2)(2) %%.

Pa daļām definētas funkcijas

Dažreiz aplūkojamo funkciju var norādīt ar vairākām formulām, kas darbojas dažādās tās definīcijas apgabala daļās, kurās mainās funkcijas arguments. Piemēram: $$ y = \begin(cases) x ^ 2,~ if~x< 0, \\ \sqrt{x},~ если~x \geq 0. \end{cases} $$

Šāda veida funkcijas dažreiz sauc salikts vai pa daļām norādīts. Šādas funkcijas piemērs ir %%y = |x|%%

Funkciju domēns

Ja funkcija ir norādīta skaidri analītiski, izmantojot formulu, bet nav norādīts funkcijas definīcijas domēns kopas %%D%% formā, tad ar %%D%% mēs vienmēr domāsim kopu argumenta %%x%% vērtībām, kurām šī formula ir jēga . Tātad funkcijai %%y = x^2%% definīcijas domēns ir kopa %%D = \mathbb(R) = (-\infty, +\infty)%%, jo arguments %%x%% var pieņemt jebkuras vērtības skaitļa līnija. Un funkcijai %%y = \frac(1)(\sqrt(1 - x^2))%% definīcijas domēns būs vērtību kopa %%x%%, kas apmierina nevienādību %%1 - x^2 > 0%%, t .e. %%D = (-1, 1)%%.

Priekšrocības, ko sniedz analītiska funkcija

Ņemiet vērā, ka precīzā analītiskā funkcijas norādīšanas metode ir diezgan kompakta (formula, kā likums, aizņem maz vietas), ir viegli reproducējama (formulu nav grūti uzrakstīt) un ir vispiemērotākā matemātisku darbību un transformāciju veikšanai. par funkcijām.

Dažas no šīm operācijām – algebriskās (saskaitīšana, reizināšana u.c.) – ir labi zināmas no skolas matemātikas kursa, citas (diferencēšana, integrēšana) tiks pētītas turpmāk. Tomēr šī metode ne vienmēr ir skaidra, jo funkcijas atkarība no argumenta ne vienmēr ir skaidra, un dažreiz ir nepieciešami apgrūtinoši aprēķini, lai atrastu funkcijas vērtības (ja tādas ir nepieciešamas).

Netieša funkciju piešķiršana

Funkcija %%y = f(x)%% noteikta netiešā analītiskā veidā, ja ir dota attiecība $$F(x,y) = 0, ~~~~~~~~~~~(1)$$ savieno funkcijas %%y%% un argumenta %% vērtības. x%%. Ja norādāt argumenta vērtības, tad, lai atrastu %%y%% vērtību, kas atbilst noteiktai vērtībai %%x%%, jums jāatrisina vienādojums %%(1)%% %% y%% pie šīs konkrētās vērtības %%x%%.

Ņemot vērā vērtību %%x%%, vienādojumam %%(1)%% var nebūt risinājuma vai var būt vairāki risinājumi. Pirmajā gadījumā norādītā vērtība %%x%% nepieder netieši norādītās funkcijas definīcijas domēnam, bet otrajā gadījumā tā norāda daudzvērtīga funkcija, kam noteiktai argumenta vērtībai ir vairāk nekā viena nozīme.

Ņemiet vērā, ka, ja vienādojumu %%(1)%% var skaidri atrisināt attiecībā uz %%y = f(x)%%, tad mēs iegūstam to pašu funkciju, bet jau skaidri analītiski norādītu. Tātad vienādojums %%x + y^5 - 1 = 0%%

un vienādība %%y = \sqrt(1 - x)%% definē to pašu funkciju.

Parametrisko funkciju specifikācija

Ja %%y%% atkarība no %%x%% nav norādīta tieši, bet tā vietā tiek dota abu mainīgo %%x%% un %%y%% atkarība no kāda trešā palīgmainīgā %%t%% formā

$$ \begin(cases) x = \varphi(t),\\ y = \psi(t), \end(cases) ~~~t \in T \subseteq \mathbb(R), ~~~~~ ~~~~~(2) $$par ko viņi runā parametrisks funkcijas precizēšanas metode;

tad palīgmainīgo %%t%% sauc par parametru.

Ja ir iespējams izslēgt parametru %%t%% no vienādojumiem %%(2)%%, tad mēs nonākam pie funkcijas, ko definē %%y%% tieša vai netieša analītiskā atkarība no %%x%% . Piemēram, no relācijām $$ \begin(cases) x = 2 t + 5, \\ y = 4 t + 12, \end(cases), ~~~t \in \mathbb(R), $$ izņemot % parametram %t%% iegūstam atkarību %%y = 2 x + 2%%, kas definē taisni %%xOy%% plaknē.

Grafiskā metode

Grafiskās funkcijas definīcijas piemērs

Iepriekš minētie piemēri parāda, ka funkcijas norādīšanas analītiskā metode atbilst tai grafiskais attēls, ko var uzskatīt par ērtu un vizuālu funkcijas aprakstīšanas formu. Dažreiz lietots grafiskā metode funkcijas norādīšana, kad %%y%% atkarība no %%x%% ir norādīta ar līniju plaknē %%xOy%%. Tomēr, neskatoties uz visu skaidrību, tas zaudē precizitāti, jo argumenta vērtības un atbilstošās funkcijas vērtības no grafika var iegūt tikai aptuveni. Iegūtā kļūda ir atkarīga no diagrammas atsevišķu punktu abscisu un ordinātu mērījumu mēroga un precizitātes. Turpmāk funkcijas grafikam piešķirsim tikai funkcijas darbības ilustrēšanas lomu un tāpēc aprobežosimies ar grafiku “skiču” konstruēšanu, kas atspoguļo funkciju galvenās iezīmes.

Tabulas metode

Piezīme tabulas metode funkciju piešķiršana, kad dažas argumentu vērtības un atbilstošās funkciju vērtības tiek ievietotas tabulā noteiktā secībā. Šādi tiek konstruētas labi zināmās trigonometrisko funkciju tabulas, logaritmu tabulas utt. Eksperimentālos pētījumos, novērojumos un testos izmērīto lielumu attiecības parasti tiek parādītas tabulas veidā.

Šīs metodes trūkums ir tāds, ka nav iespējams tieši noteikt funkciju vērtības argumentu vērtībām, kas nav iekļautas tabulā. Ja ir pārliecība, ka argumentu vērtības, kas nav uzrādītas tabulā, pieder attiecīgās funkcijas definīcijas jomai, tad atbilstošās funkcijas vērtības var aptuveni aprēķināt, izmantojot interpolāciju un ekstrapolāciju.

Piemērs

x	3	5.1	10	12.5
y	9	23	80	110

Funkciju precizēšanas algoritmiskās un verbālās metodes

Funkciju var iestatīt algoritmisks(vai programmatūra) tādā veidā, ko plaši izmanto datoru aprēķinos.

Visbeidzot, var atzīmēt aprakstošs(vai verbāls) veids, kā norādīt funkciju, kad noteikums funkciju vērtību saskaņošanai ar argumentu vērtībām ir izteikts vārdos.

Piemēram, funkcija %%[x] = m~\forall (x \in )