Funkcijas y sin grafiks 1. Funkcijas y=sin x grafiks
Video nodarbībā “Funkcija y = sinx, ee īpašības un grafiks” tiek prezentēts vizuālais materiāls par šo tēmu, kā arī komentāri par to. Demonstrācijas laikā tiek apskatīts funkcijas veids, tās īpašības, detalizēti aprakstīta uzvedība dažādos koordinātu plaknes segmentos, grafa pazīmes, kā arī aprakstīts sinusu saturošu trigonometrisko vienādojumu grafiskā risinājuma piemērs. Ar video nodarbības palīdzību skolotājam ir vieglāk formulēt skolēna izpratni par šo funkciju un iemācīt grafiski risināt problēmas.
Video nodarbībā tiek izmantoti rīki, kas atvieglo izglītojošas informācijas iegaumēšanu un izpratni. Grafiku prezentācijā un uzdevumu risinājuma aprakstīšanā tiek izmantoti animācijas efekti, kas palīdz izprast funkcijas uzvedību un secīgi prezentēt risinājuma gaitu. Arī materiāla izteikšana to papildina ar svarīgiem komentāriem, kas aizstāj skolotāja skaidrojumu. Tādējādi šo materiālu var izmantot arī kā uzskates līdzekli. Un kā patstāvīga stundas daļa, nevis skolotāja skaidrojums par jaunu tēmu.
Demonstrācija sākas, iepazīstinot ar nodarbības tēmu. Tiek parādīta sinusa funkcija, kuras apraksts ir iezīmēts iegaumēšanas lodziņā - s=sint, kurā arguments t var būt jebkurš reāls skaitlis. Šīs funkcijas īpašību apraksts sākas ar definīcijas domēnu. Jāatzīmē, ka funkcijas definīcijas apgabals ir visa reālo skaitļu ass, tas ir, D(f)=(- ∞;+∞). Otra īpašība ir sinusa funkcijas dīvainība. Skolēniem atgādinām, ka šī īpašība tika pētīta 9. klasē, kad tika konstatēts, ka nepāra funkcijai pastāv vienādība f(-x)=-f(x). Sinusam funkcijas nepāra apstiprinājums tiek demonstrēts uz vienības apļa, kas sadalīts ceturtdaļās. Zinot, kādu zīmi funkcija ieņem dažādās koordinātu plaknes ceturtdaļās, jāatzīmē, ka argumentiem ar pretējām zīmēm, izmantojot punktu L(t) un N(-t) piemēru, sinusam ir izpildīts dīvainības nosacījums. Tāpēc s=sint ir nepāra funkcija. Tas nozīmē, ka funkcijas grafiks ir simetrisks attiecībā pret izcelsmi.
Trešā sinusa īpašība parāda intervālus starp pieaugošām un samazinošām funkcijām. Tas norāda, ka šī funkcija segmentā palielinās un segmentā samazinās [π/2;π]. Īpašība ir parādīta attēlā, kas parāda vienības apli un, virzoties no punkta A pretēji pulksteņrādītāja virzienam, ordināta palielinās, tas ir, funkcijas vērtība palielinās līdz π/2. Pārejot no punkta B uz C, tas ir, kad leņķis mainās no π/2 uz π, ordinātu vērtība samazinās. Apļa trešajā ceturksnī, pārejot no punkta C uz punktu D, ordināta samazinās no 0 līdz -1, tas ir, sinusa vērtība samazinās. Pēdējā ceturksnī, pārejot no punkta D uz punktu A, ordinātu vērtība palielinās no -1 līdz 0. Tādējādi varam izdarīt vispārīgu secinājumu par funkcijas uzvedību. Ekrānā tiek parādīta izvade, kas sint palielinās segmentā [-(π/2)+2πk; (π/2)+2πk], samazinās intervālā [(π/2)+2πk; (3π/2)+2πk] jebkuram veselam skaitlim k.
Ceturtā sinusa īpašība ņem vērā funkcijas robežu. Jāatzīmē, ka sint funkcija ir ierobežota gan augšā, gan apakšā. Skolēniem tiek atgādināta informācija no 9. klases algebras, kad viņi tika iepazīstināti ar funkcijas ierobežotības jēdzienu. Ekrānā tiek parādīts no augšas ierobežotas funkcijas nosacījums, kuram ir noteikts skaitlis, kuram jebkurā funkcijas punktā ir spēkā nevienādība f(x)>=M. Mēs arī atgādinām zemāk ierobežotas funkcijas nosacījumu, kurai ir skaitlis m mazāks par katru funkcijas punktu. Sintam nosacījums -1 ir izpildīts<= sint<=1. То есть данная функция ограничена сверху и снизу. То есть она является ограниченной.
Piektais īpašums ņem vērā mazākās un lielākās funkcijas vērtības. Tiek atzīmēts mazākās vērtības -1 sasniegšana katrā punktā t=-(π/2)+2πk, bet lielākā – punktos t=(π/2)+2πk.
Pamatojoties uz aplūkotajām īpašībām, segmentam tiek izveidots sint funkcijas grafiks. Lai izveidotu funkciju, tiek izmantotas sinusa tabulas vērtības attiecīgajos punktos. Koordinātu plaknē ir atzīmētas punktu π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π koordinātas. Šajos punktos atzīmējot funkcijas tabulas vērtības un savienojot tās ar gludu līniju, mēs izveidojam grafiku.
Funkcijas sint grafika attēlošanai uz segmenta [-π;π] tiek izmantota funkcijas simetrijas īpašība attiecībā pret koordinātu izcelsmi. Attēlā parādīts, kā konstruēšanas rezultātā iegūtā taisne tiek vienmērīgi simetriski pārnesta uz nogriežņu [-π;0] koordinātu sākumpunktu.
Izmantojot sint funkcijas īpašību, kas izteikta redukcijas formulā sin(x+2π) = sin x, tiek atzīmēts, ka sinusa grafiks atkārtojas ik pēc 2π. Tādējādi uz intervāla [π; 3π] grafiks būs tāds pats kā uz [-π;π]. Tādējādi šīs funkcijas grafiks attēlo atkārtotus fragmentus [-π;π] visā definīcijas jomā. Atsevišķi jāatzīmē, ka šādu funkcijas grafiku sauc par sinusoīdu. Tiek ieviests arī sinusoidālā viļņa jēdziens - uz segmenta [-π;π] uzbūvēta grafa fragments, un uz segmenta veidots sinusoidālais loks . Šie fragmenti atkal tiek parādīti iegaumēšanai.
Jāatzīmē, ka sint funkcija ir nepārtraukta funkcija visā definīcijas jomā, kā arī tas, ka funkcijas vērtību diapazons atrodas segmenta [-1;1] vērtību kopā.
Video nodarbības beigās tiek apskatīts vienādojuma sin x=x+π grafisks risinājums. Acīmredzot vienādojuma grafiskais risinājums būs funkcijas grafika krustpunkts, ko dod izteiksme kreisajā pusē, un funkcija, ko dod izteiksme labajā pusē. Problēmas risināšanai tiek konstruēta koordinātu plakne, uz kuras iezīmēta atbilstošā sinusoīda y=sin x, un izveidota taisne, kas atbilst funkcijas y=x+π grafikam. Konstruētie grafiki krustojas vienā punktā B(-π;0). Tāpēc x=-π būs vienādojuma risinājums.
Video stunda “Funkcija y = sinx, ee īpašības un grafiks” palīdzēs palielināt tradicionālās matemātikas stundas efektivitāti skolā. Veicot tālmācību, varat izmantot arī vizuālo materiālu. Rokasgrāmata var palīdzēt apgūt tēmu skolēniem, kuriem nepieciešamas papildu nodarbības, lai dziļāk izprastu materiālu.
TEKSTA DEKODĒŠANA:
Mūsu nodarbības tēma ir “Funkcija y = sin x, tās īpašības un grafiks”.
Iepriekš jau esam iepazinušies ar funkciju s = sin t, kur tϵR (es ir vienāds ar sinusu te, kur te pieder reālo skaitļu kopai). Izpētīsim šīs funkcijas īpašības:
ĪPAŠĪBAS 1. Definīcijas apgabals ir reālu skaitļu kopa R (er), tas ir, D(f) = (- ; +) (de no ef apzīmē intervālu no mīnus bezgalības līdz plus bezgalībai).
ĪPAŠĪBA 2. Funkcija s = sin t ir nepāra.
9. klases stundās uzzinājām, ka funkcija y = f (x), x ϵX (y ir vienāda ar ef no x, kur x pieder kopai x ir liels) tiek saukta par nepāra, ja jebkurai vērtībai x no kopas. X vienlīdzība
f (- x) = - f (x) (eff no mīnus x ir vienāds ar mīnus ef no x).
Un tā kā punktu L un N ordinātas, kas ir simetriskas pret abscisu asi, ir pretējas, tad sin(- t) = -sint.
Tas ir, s = sin t ir nepāra funkcija, un funkcijas s = sin t grafiks ir simetrisks attiecībā pret sākuma punktu taisnstūra koordinātu sistēmā. tOs(te o es).
Apskatīsim ĪPAŠUMU 3. Intervālā [ 0; ] (no nulles līdz pi par diviem) funkcija s = sin t palielinās un samazinās segmentā [; ] (no pi ar diviem līdz pi).
Tas ir skaidri redzams attēlos: kad punkts pa skaitļa apli pārvietojas no nulles līdz pi par diviem (no punkta A uz B), ordināta pakāpeniski palielinās no 0 līdz 1, bet, pārvietojoties no pi par diviem uz pi (no punkts B līdz C), ordinātas pakāpeniski samazinās no 1 līdz 0.
Punktam pārvietojoties pa trešo ceturksni (no punkta C uz punktu D), kustīgā punkta ordināta samazinās no nulles līdz mīnus viens, savukārt, pārvietojoties pa ceturto ceturksni, ordināta palielinās no mīnus viena līdz nullei. Tāpēc mēs varam izdarīt vispārīgu secinājumu: funkcija s = sin t palielinās intervālā
(no mīnus pi par divi plus divi pi ka līdz pi par divi plus divi pi ka), un samazinās segmentā [; (no pi pa divi plus divi pi ka līdz trīs pi pa divi plus divi pi ka), kur
(ka pieder veselu skaitļu kopai).
ĪPAŠĪBA 4. Funkcija s = sint ir ierobežota augšā un zemāk.
No 9. klases kursa atcerieties ierobežotības definīciju: funkciju y = f (x) sauc par ierobežotu no apakšas, ja visas funkcijas vērtības nav mazākas par noteiktu skaitli m m tā, ka jebkurai vērtībai x no funkcijas definīcijas apgabala nevienādība f (x) ≥ m(ef no x ir lielāks vai vienāds ar em). Tiek uzskatīts, ka funkcija y = f (x) ir iepriekš ierobežota, ja visas funkcijas vērtības nav lielākas par noteiktu skaitli M, tas nozīmē, ka ir skaitlis M tā, ka jebkurai vērtībai x no funkcijas definīcijas apgabala nevienādība f (x) ≤ M(eff no x ir mazāks vai vienāds ar em.) Funkciju sauc par ierobežotu, ja tā ir ierobežota gan zemāk, gan augšpusē.
Atgriezīsimies pie mūsu funkcijas: ierobežotība izriet no tā, ka jebkurai te nevienādība ir patiesa - 1 ≤ sint≤ 1. (te sinuss ir lielāks vai vienāds ar mīnus viens, bet mazāks vai vienāds ar vienu).
ĪPAŠĪBA 5. Funkcijas mazākā vērtība ir vienāda ar mīnus viens, un funkcija sasniedz šo vērtību jebkurā formas t = punktā (te ir vienāds ar mīnus pi ar diviem plus diviem maksimumiem, un funkcijas lielākā vērtība ir vienāda uz vienu un tiek sasniegts ar funkciju jebkurā formas t = punktā (te ir vienāds ar pi reiz divi plus divi pi ka).
Funkcijas s = sin t lielākā un mazākā vērtība apzīmē s lielāko daļu. un s maks. .
Izmantojot iegūtās īpašības, mēs izveidosim funkcijas y = sin x grafiku (y ir vienāds ar sinusu x), jo mēs esam vairāk pieraduši rakstīt y = f (x), nevis s = f (t).
Sākumā izvēlēsimies mērogu: pa ordinātu asi ņemsim divas šūnas kā vienības segmentu, un gar abscisu asi divas šūnas ir pi ar trīs (kopš ≈ 1). Vispirms izveidosim segmentā funkcijas y = sin x grafiku. Mums ir nepieciešama šī segmenta funkciju vērtību tabula; lai to izveidotu, mēs izmantosim vērtību tabulu attiecīgajiem kosinusa un sinusa leņķiem:
Tādējādi, lai izveidotu argumentu un funkciju vērtību tabulu, tas ir jāatceras X(x) šis skaitlis ir attiecīgi vienāds ar leņķi intervālā no nulles līdz pi, un plkst(grieķu valodā) šī leņķa sinusa vērtība.
Atzīmēsim šos punktus koordinātu plaknē. Saskaņā ar ĪPAŠUMU 3 segmentā
[ 0; ] (no nulles līdz pi par diviem) funkcija y = sin x palielinās un samazinās segmentā [; ](no pi ar divi uz pi) un savienojot iegūtos punktus ar gludu līniju, iegūstam daļu no grafika. (1. att.)
Izmantojot nepāra funkcijas grafika simetriju attiecībā pret izcelsmi, iegūstam funkcijas y = sin x grafiku jau segmentā.
[-π; π ] (no mīnus pi līdz pi). (2. att.)
Atcerieties, ka sin(x + 2π)= sinx
(sinuss no x plus divi pi ir vienāds ar x sinusu). Tas nozīmē, ka punktā x + 2π funkcija y = sin x iegūst tādu pašu vērtību kā punktā x. Un tā kā (x + 2π)ϵ [π; 3π ](x plus divi pi pieder segmentam no pi līdz trim pi), ja xϵ[-π; π ], tad uz segmenta [π; 3π ] funkcijas grafiks izskatās tieši tāpat kā segmentā [-π; π]. Līdzīgi uz segmentiem , , [-3π; -π ] un tā tālāk, funkcijas y = sin x grafiks izskatās tāpat kā segmentā
[-π; π].(3. att.)
Līniju, kas ir funkcijas y = sin x grafiks, sauc par sinusoidālo vilni. Sinusoidālā viļņa daļa, kas parādīta 2. attēlā, tiek saukta par sinusoidālo vilni, savukārt 1. attēlā to sauc par sinusoidālo vilni vai pusvilni.
Izmantojot izveidoto grafiku, mēs pierakstām vēl dažas šīs funkcijas īpašības.
ĪPAŠĪBA 6. Funkcija y = sin x ir nepārtraukta funkcija. Tas nozīmē, ka funkcijas grafiks ir nepārtraukts, tas ir, tajā nav lēcienu vai punkciju.
ĪPAŠĪBA 7. Funkcijas y = sin x vērtību diapazons ir segments [-1; 1] (no mīnus viens līdz vienam) vai arī to var uzrakstīt šādi: (e no ef ir vienāds ar segmentu no mīnus viens līdz viens).
Apskatīsim PIEMĒRU. Grafiski atrisiniet vienādojumu sin x = x + π (sinuss x ir vienāds ar x plus pi).
Risinājums. Veidosim funkciju grafikus y = grēks X Un y = x + π.
Funkcijas y = sin x grafiks ir sinusoīds.
y = x + π ir lineāra funkcija, kuras grafiks ir taisne, kas iet caur punktiem ar koordinātām (0; π) un (- π ; 0).
Konstruētajiem grafikiem ir viens krustošanās punkts - punkts B(- π;0) (būt ar koordinātēm mīnus pi, nulle). Tas nozīmē, ka šim vienādojumam ir tikai viena sakne - punkta B abscisa - -π. Atbilde: X = - π.
Mēs noskaidrojām, ka trigonometrisko funkciju uzvedība un funkcijas y = grēks x it īpaši, visā skaitļu rindā (vai visām argumenta vērtībām X) pilnībā nosaka tā uzvedība intervālā 0 < X < π / 2 .
Tāpēc, pirmkārt, mēs attēlosim funkciju y = grēks x tieši šajā intervālā.
Izveidosim šādu mūsu funkcijas vērtību tabulu;
Atzīmējot atbilstošos punktus koordinātu plaknē un savienojot tos ar gludu līniju, iegūstam attēlā redzamo līkni
Iegūto līkni var izveidot arī ģeometriski, nesastādot funkciju vērtību tabulu y = grēks x .
1. Apļa ar rādiusu 1 pirmo ceturtdaļu sadaliet 8 vienādās daļās Apļa dalīšanas punktu ordinātas ir atbilstošo leņķu sinusi.
2.Apļa pirmā ceturtdaļa atbilst leņķiem no 0 līdz π / 2 . Tāpēc uz ass XŅemsim segmentu un sadalīsim to 8 vienādās daļās.
3. Zīmēsim taisnas līnijas paralēli asīm X, un no dalīšanas punktiem veidojam perpendikulu, līdz tie krustojas ar horizontālām līnijām.
4. Savienojiet krustojuma punktus ar gludu līniju.
Tagad apskatīsim intervālu π /
2
<
X <
π
.
Katra argumenta vērtība X no šī intervāla var attēlot kā
x = π / 2 + φ
Kur 0 < φ < π / 2 . Pēc samazināšanas formulām
grēks ( π / 2 + φ ) = cos φ = grēks( π / 2 - φ ).
Asu punkti X ar abscisēm π / 2 + φ Un π / 2 - φ simetriski viens otram ap ass punktu X ar abscisu π / 2 , un sinusi šajos punktos ir vienādi. Tas ļauj iegūt funkcijas grafiku y = grēks x intervālā [ π / 2 , π ], vienkārši simetriski attēlojot šīs funkcijas grafiku intervālā attiecībā pret taisni X = π / 2 .
Tagad izmanto īpašumu nepāra paritātes funkcija y = grēks x,
grēks (- X) = - grēks X,
šo funkciju ir viegli attēlot intervālā [- π , 0].
Funkcija y = sin x ir periodiska ar periodu 2π ;. Tāpēc, lai izveidotu visu šīs funkcijas grafiku, pietiek periodiski turpināt attēlā parādīto līkni pa kreisi un pa labi ar punktu 2π .
Iegūto līkni sauc sinusoidāls . Tas attēlo funkcijas grafiku y = grēks x.
Attēlā labi parādītas visas funkcijas īpašības y = grēks x , ko esam iepriekš pierādījuši. Atcerēsimies šīs īpašības.
1) Funkcija y = grēks x definēts visām vērtībām X , tāpēc tā domēns ir visu reālo skaitļu kopa.
2) Funkcija y = grēks x ierobežots. Visas vērtības, ko tas pieņem, ir no -1 līdz 1, ieskaitot šos divus skaitļus. Līdz ar to šīs funkcijas variācijas diapazonu nosaka nevienādība -1 < plkst < 1. Kad X = π / 2 + 2k π funkcija ņem lielākās vērtības, kas vienādas ar 1, un x = - π / 2 + 2k π - mazākās vērtības ir vienādas ar - 1.
3) Funkcija y = grēks x ir nepāra (sinusoīds ir simetrisks attiecībā pret izcelsmi).
4) Funkcija y = grēks x periodisks ar 2. periodu π .
5) 2n intervālos π < x < π + 2n π (n ir jebkurš vesels skaitlis) tas ir pozitīvs un intervālos π + 2k π < X < 2π + 2k π (k ir jebkurš vesels skaitlis) tas ir negatīvs. Pie x = k π funkcija iet uz nulli. Tāpēc šīs argumenta x vērtības (0; ± π ; ±2 π ; ...) sauc par funkcijas nullēm y = grēks x
6) Ar intervālu - π / 2 + 2n π < X < π / 2 + 2n π funkciju y = grēks x palielinās monotoni un ar intervāliem π / 2 + 2k π < X < 3π / 2 + 2k π tas monotoni samazinās.
Īpaša uzmanība jāpievērš funkcijas darbībai y = grēks x punkta tuvumā X = 0 .
Piemēram, grēks 0,012 ≈ 0,012; grēks (-0,05) ≈ -0,05;
sin 2° = grēks π 2 / 180 = grēks π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.
Tajā pašā laikā jāatzīmē, ka jebkurai x vērtībai
| grēks x| < | x | . (1)
Patiešām, lai attēlā parādītā apļa rādiuss būtu vienāds ar 1,
a /
AOB = X.
Tad grēks x= AC. Bet AC< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол X. Šī loka garums acīmredzami ir vienāds ar X, jo apļa rādiuss ir 1. Tātad pie 0< X < π / 2
grēks x< х.
Tādējādi funkcijas dīvainības dēļ y = grēks x ir viegli parādīt, ka tad, kad - π / 2 < X < 0
| grēks x| < | x | .
Visbeidzot, kad x = 0
| grēks x | = | x |.
Tādējādi par | X | < π / 2 ir pierādīta nevienlīdzība (1). Faktiski šī nevienlīdzība attiecas arī uz | x | > π / 2 sakarā ar to, ka | grēks X | < 1, a π / 2 > 1
Vingrinājumi
1.Pēc funkcijas grafika y = grēks x noteikt: a) grēks 2; b) grēks 4; c) grēks (-3).
2.Saskaņā ar funkciju grafiku y = grēks x
noteikt, kurš skaitlis no intervāla
[ - π /
2 ,
π /
2
] ir sinuss, kas vienāds ar: a) 0,6; b) -0,8.
3. Saskaņā ar funkcijas grafiku y = grēks x
noteikt, kuriem skaitļiem ir sinuss,
vienāds ar 1/2.
4. Atrodiet aptuveni (neizmantojot tabulas): a) sin 1°; b) grēks 0,03;
c) grēks (-0,015); d) grēks (-2°30").
Funkcijay = grēksx
Funkcijas grafiks ir sinusoīds.
Sinusoidālā viļņa pilnu neatkārtojamo daļu sauc par sinusoidālo vilni.
Pusi sinusoidālo vilni sauc par pussinuso vilni (vai loku).
Funkciju īpašībasy =
grēksx:
3) Šī ir nepāra funkcija. 4) Šī ir nepārtraukta funkcija.
6) Uz nogriežņa [-π/2; π/2] funkcija palielinās intervālā [π/2; 3π/2] – samazinās. 7) Intervālos funkcijai ir pozitīvas vērtības. 8) Palielinošās funkcijas intervāli: [-π/2 + 2πn; π/2 + 2πn]. 9) Funkcijas minimālie punkti: -π/2 + 2πn. |
Lai attēlotu funkciju grafiku y= grēks x Ir ērti izmantot šādus svarus:
Uz papīra lapas ar kvadrātu kā segmenta vienību ņemam divu kvadrātu garumu.
Uz ass x Izmērīsim garumu π. Tajā pašā laikā ērtības labad mēs piedāvājam 3.14 3 formā, tas ir, bez daļskaitļa. Tad uz papīra lapas šūnā π būs 6 šūnas (trīs reizes 2 šūnas). Un katra šūna saņems savu dabisko nosaukumu (no pirmās līdz sestajai): π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π. Tās ir nozīmes x.
Uz y ass atzīmējam 1, kas ietver divas šūnas.
Izmantojot mūsu vērtības, izveidosim funkciju vērtību tabulu x:
√3 | √3 |
Tālāk mēs izveidosim grafiku. Rezultāts ir pusvilnis, kura augstākais punkts ir (π/2; 1). Šis ir funkcijas grafiks y= grēks x segmentā. Konstruētajam grafam pievienosim simetrisku pusviļņu (simetrisku attiecībā pret izcelsmi, tas ir, uz segmentu -π). Šī pusviļņa virsotne atrodas zem x ass ar koordinātām (-1; -1). Rezultāts būs vilnis. Šis ir funkcijas grafiks y= grēks x uz segmenta [-π; π].
Jūs varat turpināt vilni, konstruējot to segmentā [π; 3π], [π; 5π], [π; 7π] utt. Visos šajos segmentos funkcijas grafiks izskatīsies tāpat kā segmentā [-π; π]. Jūs iegūsit nepārtrauktu viļņotu līniju ar identiskiem viļņiem.
Funkcijay = cosx.
Funkcijas grafiks ir sinusa vilnis (dažreiz saukts par kosinusa vilni).
Funkciju īpašībasy = cosx:
1) Funkcijas definīcijas apgabals ir reālu skaitļu kopa. 2) Funkciju vērtību diapazons ir segments [–1; 1] 3) Šī ir vienmērīga funkcija. 4) Šī ir nepārtraukta funkcija. 5) Grafika krustošanās punktu koordinātas: 6) Uz segmenta funkcija samazinās, uz segmenta [π; 2π] – palielinās. 7) Uz intervāliem [-π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] funkcijai ir pozitīvas vērtības. 8) Palielinoši intervāli: [-π + 2πn; 2πn]. 9) Funkcijas minimālie punkti: π + 2πn. 10) Funkcija ir ierobežota no augšas un apakšas. Funkcijas mazākā vērtība ir –1, 11) Šī ir periodiska funkcija ar periodu 2π (T = 2π) |
Funkcijay = mf(x).
Ņemsim iepriekšējo funkciju y= cos x. Kā jūs jau zināt, tā grafiks ir sinusoidāls vilnis. Ja šīs funkcijas kosinusu reizinām ar noteiktu skaitli m, tad vilnis paplašināsies no ass x(vai saruks, atkarībā no m vērtības).
Šis jaunais vilnis būs funkcijas y = mf(x) grafiks, kur m ir jebkurš reāls skaitlis.
Tādējādi funkcija y = mf(x) ir pazīstamā funkcija y = f(x), kas reizināta ar m.
Jam< 1, то синусоида сжимается к оси x pēc koeficientam. Jam > 1, tad sinusoīds tiek izstiepts no assx pēc koeficientam.
Veicot stiepšanu vai saspiešanu, vispirms varat uzzīmēt tikai vienu sinusoidālā viļņa pusviļņu un pēc tam pabeigt visu grafiku.
Funkcijay = f(kx).
Ja funkcija y =mf(x) noved pie sinusoīda stiepšanās no ass x vai saspiešana pret asi x, tad funkcija y = f(kx) noved pie stiepšanās no ass y vai saspiešana pret asi y.
Turklāt k ir jebkurš reāls skaitlis.
0< k< 1 синусоида растягивается от оси y pēc koeficientak. Jak > 1, tad sinusoīds tiek saspiests pret asiy pēc koeficientak.
Veidojot šīs funkcijas grafiku, vispirms varat izveidot vienu sinusoidālā viļņa pusviļņu un pēc tam izmantot to, lai pabeigtu visu grafiku.
Funkcijay = tgx.
Funkciju grafiks y= tg x ir tangenss.
Pietiek konstruēt daļu grafa intervālā no 0 līdz π/2, un tad to var simetriski turpināt intervālā no 0 līdz 3π/2.
Funkciju īpašībasy = tgx:
Funkcijay = ctgx
Funkciju grafiks y=ctg x ir arī tangentoīds (to dažreiz sauc par kotangentoīdu).
Funkciju īpašībasy = ctgx:
Kā attēlot funkcijas y=sin x grafiku? Vispirms apskatīsim intervāla sinusa grafiku.
Mēs piezīmjdatorā ņemam vienu segmentu 2 šūnu garumā. Uz Oy ass atzīmējam vienu.
Ērtības labad mēs noapaļojam skaitli π/2 līdz 1,5 (un nevis līdz 1,6, kā to nosaka noapaļošanas noteikumi). Šajā gadījumā segments ar garumu π/2 atbilst 3 šūnām.
Uz Vērša ass mēs atzīmējam nevis atsevišķus segmentus, bet segmentus ar garumu π/2 (ik pēc 3 šūnām). Attiecīgi segments ar garumu π atbilst 6 šūnām, un segments ar garumu π/6 atbilst 1 šūnai.
Izmantojot šo vienības segmenta izvēli, grafiks, kas attēlots uz piezīmju grāmatiņas lapas lodziņā, pēc iespējas vairāk atbilst funkcijas y=sin x grafikam.
Izveidosim intervāla sinusa vērtību tabulu:
Iegūtos punktus atzīmējam koordinātu plaknē:
Tā kā y=sin x ir nepāra funkcija, sinusa grafiks ir simetrisks attiecībā pret sākuma punktu - punktu O(0;0). Ņemot vērā šo faktu, turpināsim diagrammas zīmēšanu pa kreisi, pēc tam punktus -π:
Funkcija y=sin x ir periodiska ar periodu T=2π. Tāpēc funkcijas grafiks, kas uzņemts intervālā [-π;π], tiek atkārtots bezgalīgi daudz reižu pa labi un pa kreisi.
Šajā nodarbībā detalizēti aplūkosim funkciju y = sin x, tās pamatīpašības un grafiku. Nodarbības sākumā dosim trigonometriskās funkcijas y = sin t definīciju uz koordinātu apļa un aplūkosim funkcijas grafiku uz apļa un taisnes. Parādīsim šīs funkcijas periodiskumu grafikā un apsvērsim funkcijas galvenās īpašības. Nodarbības beigās risināsim vairākas vienkāršas problēmas, izmantojot funkcijas grafiku un tās īpašības.
Tēma: Trigonometriskās funkcijas
Nodarbība: Funkcija y=sinx, tās pamatīpašības un grafiks
Apsverot funkciju, ir svarīgi katru argumenta vērtību saistīt ar vienu funkcijas vērtību. Šis korespondences likums un to sauc par funkciju.
Definēsim korespondences likumu priekš .
Jebkurš reāls skaitlis atbilst vienam punktam uz vienības apļa.Punktam ir viena ordināta, ko sauc par skaitļa sinusu (1. att.).
Katra argumenta vērtība ir saistīta ar vienu funkcijas vērtību.
Acīmredzamas īpašības izriet no sinusa definīcijas.
Attēlā redzams, ka 
jo ir vienības apļa punkta ordināta.
Apsveriet funkcijas grafiku. Atcerēsimies argumenta ģeometrisko interpretāciju. Arguments ir centrālais leņķis, ko mēra radiānos. Gar asi mēs attēlosim reālos skaitļus vai leņķus radiānos, pa asi - atbilstošās funkcijas vērtības.
Piemēram, leņķis uz vienības apļa atbilst punktam grafikā (2. att.)
Esam ieguvuši funkcijas grafiku apgabalā, bet, zinot sinusa periodu, varam attēlot funkcijas grafiku visā definīcijas jomā (3. att.).
Funkcijas galvenais periods ir Tas nozīmē, ka grafiku var iegūt segmentā un pēc tam turpināt visā definīcijas jomā.
Apsveriet funkcijas īpašības:
1) Definīcijas darbības joma:
2) Vērtību diapazons: 
3) nepāra funkcija:
4) Mazākais pozitīvais periods:
5) Grafika un abscisu asi krustošanās punktu koordinātas: 
6) Grafika un ordinātu asi krustošanās punkta koordinātas:
7) Intervāli, kuros funkcija iegūst pozitīvas vērtības:
8) Intervāli, kuros funkcija iegūst negatīvas vērtības:
9) Intervālu palielināšana:
10) Samazinoši intervāli:
11) Minimālais punktu skaits: 
12) Minimālās funkcijas:
13) Maksimālais punktu skaits: 
14) Maksimālās funkcijas:
Mēs apskatījām funkcijas īpašības un tās grafiku. Rekvizīti tiks izmantoti atkārtoti, risinot problēmas.
Bibliogrāfija
1. Algebra un analīzes sākums, 10. klase (divās daļās). Mācību grāmata vispārējās izglītības iestādēm (profila līmenis), izd. A. G. Mordkovičs. -M.: Mnemosyne, 2009.
2. Algebra un analīzes sākums, 10. klase (divās daļās). Problēmu grāmata izglītības iestādēm (profila līmenis), red. A. G. Mordkovičs. -M.: Mnemosyne, 2007.
3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra un matemātiskā analīze 10. klasei (mācību grāmata skolu un klašu skolēniem ar padziļinātu matemātikas apguvi). - M.: Prosveshchenie, 1996.
4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Padziļināta algebras un matemātiskās analīzes izpēte.-M.: Izglītība, 1997.g.
5. Matemātikas uzdevumu krājums augstskolu reflektantiem (M.I. Skanavi redakcijā).- M.: Augstskola, 1992.g.
6. Merzļaks A.G., Polonskis V.B., Jakirs M.S. Algebriskais simulators.-K.: A.S.K., 1997.g.
7. Sahakjans S.M., Goldmens A.M., Deņisovs D.V. Problēmas par algebru un analīzes principiem (rokasgrāmata vispārējās izglītības iestāžu 10.-11. klašu skolēniem) - M.: Prosveshchenie, 2003.
8. Karp A.P. Problēmu krājums par algebru un analīzes principiem: mācību grāmata. pabalsts 10-11 klasēm. ar dziļumu pētīta Matemātika.-M.: Izglītība, 2006.g.
Mājasdarbs
Algebra un analīzes sākums, 10. klase (divās daļās). Problēmu grāmata izglītības iestādēm (profila līmenis), red.
A. G. Mordkovičs. -M.: Mnemosyne, 2007.
№№ 16.4, 16.5, 16.8.
Papildu tīmekļa resursi
3. Izglītības portāls eksāmenu sagatavošanai ().
