Cum să găsiți volumul unei bile conectate cu. Volumul bilei
Mingea și sfera sunt în primul rând figuri geometrice, iar dacă mingea este un corp geometric, atunci sfera este suprafața mingii. Aceste cifre erau încă interesate de mii de ani în urmă î.Hr.
Ulterior, când s-a descoperit că Pământul este o sferă, iar cerul este o sferă cerească, s-a dezvoltat o nouă direcție fascinantă în geometrie - geometria pe o sferă sau geometria sferică. Pentru a vorbi despre mărimea și volumul mingii, trebuie mai întâi să îi dai o definiție.
minge
O bilă cu raza R centrată în punctul O în geometrie este un corp creat de toate punctele din spațiu care au o proprietate comună. Aceste puncte sunt situate la o distanță care să nu depășească raza mingii, adică să umple întregul spațiu mai puțin decât raza mingii în toate direcțiile de la centrul său. Dacă luăm în considerare doar acele puncte care sunt echidistante din centrul mingii, vom lua în considerare suprafața acesteia sau învelișul mingii.
Cum pot primi o minge? Putem tăia un cerc din hârtie și putem începe să-l rotim în jurul propriului diametru. Adică diametrul cercului va fi axa de rotație. O figură educată - va exista o minge. Prin urmare, mingea este numită și corpul revoluției. Deoarece poate fi format prin rotirea unei figuri plate - un cerc.
Ia-ți niște avion și taie-ne mingea cu ea. La fel cum am tăiat o portocală cu un cuțit. Piesa pe care am tăiat-o din bilă se numește segment sferic.
În Grecia antică, ei știau că nu numai să lucreze cu mingea și sfera, la fel ca în figurile geometrice, de exemplu, să le folosească în construcție, dar, de asemenea, au putut să calculeze suprafața mingii și volumul bilei.
Sfera este altfel numită suprafața mingii. O sferă nu este un corp - este o suprafață a unui corp de revoluție. Cu toate acestea, de vreme ce atât Pământul, cât și multe corpuri au o formă sferică, de exemplu, o picătură de apă, studiul relațiilor geometrice din sfera a devenit larg răspândit.
De exemplu, dacă conectăm două puncte ale unei sfere între ele printr-o linie dreaptă, atunci această linie dreaptă va fi numită coardă, iar dacă această coardă trece prin centrul sferei, care coincide cu centrul mingii, atunci coarda va fi numită diametrul sferei.
Dacă desenăm o linie dreaptă care atinge sfera într-un singur punct, atunci această linie se va numi tangentă. În plus, această tangentă cu sfera în acest punct va fi perpendiculară pe raza sferei desenată la punctul de tangență.
Dacă continuăm coarda către o linie dreaptă într-o direcție și în cealaltă din sferă, atunci această coardă va deveni numită secantă. Sau putem spune altfel - secant la o sferă conține coarda ei.
Volumul bilei
Formula pentru calculul volumului bilei este:
unde R este raza mingii.
Dacă doriți să găsiți volumul unui segment sferic - utilizați formula:
V seg \u003d πh 2 (R-h / 3), h este înălțimea segmentului sferic.
Suprafața unei bile sau a unei sfere
Pentru a calcula aria unei sfere sau suprafața unei bile (este același lucru):
unde R este raza sferei.
Arhimede a fost foarte îndrăgit de minge și sferă, a cerut chiar să lase un desen pe mormântul său pe care mingea este înscrisă în cilindru. "Arhimede a crezut că volumul bilei și suprafața acesteia sunt egale cu două treimi din volumul și suprafața cilindrului în care este înscrisă mingea."
unde V este doritul volumul bilei, π - 3.14, R este raza.
Astfel, cu o rază de 10 centimetri volumul bilei este egal cu:
| V | 3,14 × 10 3 | = 4186,7 | centimetri cubi. |
În geometrie minge acesta este definit ca un anumit corp, care este un ansamblu din toate punctele de spațiu care sunt situate de la centru la o distanță nu mai mult de unul dat, numit raza bilei. Suprafața mingii se numește sferă și se formează prin rotirea unui semicerc în jurul diametrului acesteia, care rămâne nemișcat.
Acest corp geometric este adesea întâlnit de ingineri de proiectare și de arhitecți, care de multe ori trebuie calculați volumul bilei. De exemplu, în proiectarea suspensiei din față a majorității mașinilor moderne, sunt utilizate așa-numitele rulmenți cu bile, în care, așa cum puteți ghici din numele propriu-zis, bilele sunt unul dintre elementele principale. Cu ajutorul lor, butucurile roților direcționate și manetelor sunt conectate. Cât de corect va fi calculat volumul lor, în multe privințe, depinde nu numai de durabilitatea acestor noduri și de corectitudinea muncii lor, dar și de siguranța traficului.
În tehnologie, componente precum rulmenții cu bile sunt răspândite pe scară largă, cu ajutorul cărora osiile sunt fixate în părțile fixe ale diferitelor unități și ansambluri și este asigurată rotația lor. Trebuie menționat că atunci când sunt calculate, designerii au nevoie găsește volumul mingii (sau mai bine zis, bile plasate într-o cușcă) cu un grad ridicat de precizie. În ceea ce privește fabricarea de bile metalice pentru rulmenți, acestea sunt realizate din sârmă metalică folosind un proces tehnologic complex, care include etapele de turnare, întărire, șlefuire brută, șlefuire fină și șlefuire. Apropo, acele bile care sunt incluse în proiectarea tuturor pixurilor sunt realizate utilizând exact aceeași tehnologie.
Destul de des, bile sunt utilizate și în arhitectură, iar acolo sunt cel mai adesea elemente decorative ale clădirilor și ale altor structuri. În majoritatea cazurilor, acestea sunt fabricate din granit, care necesită adesea multă muncă manuală. Desigur, nu este necesară respectarea unei precizii atât de ridicate la fabricarea acestor bile ca cele utilizate în diferite unități și mecanisme.
Fără mingi, un joc atât de interesant și popular precum biliardul este de neconceput. Pentru producerea lor, sunt utilizate diverse materiale (os, piatră, metal, materiale plastice) și sunt utilizate diverse procese tehnologice. Una dintre principalele cerințe pentru bilele de biliard este rezistența ridicată și capacitatea lor de a rezista la sarcini mecanice mari (în principal șoc). În plus, suprafața lor ar trebui să fie o sferă exactă pentru a asigura o rulare lină și uniformă pe suprafața meselor de biliard.
În cele din urmă, nici un singur An nou sau un pom de Crăciun nu se poate descurca fără corpuri geometrice precum bile. În cele mai multe cazuri, aceste decorațiuni sunt realizate din sticlă prin metoda de suflare, iar în fabricarea lor, cea mai mare atenție este acordată nu exactității dimensionale, ci esteticii produselor. Procesul tehnologic este aproape complet automatizat și manual balurile de Crăciun sunt ambalate doar.
Figurile sferice ne înconjoară aproape peste tot, cu toate acestea, suntem atât de obișnuiți cu ei încât nu îi acordăm nicio atenție. Între timp, se întâmplă că trebuie să cunoaștem volumul oricăreia dintre ele. Dar toată lumea știe să găsească volumul bilei ? Să ne aducem în amintiri școlare pentru a restabili cursul geometriei în cap? Nu vă complicați sarcina. Să activăm mai bine logica și să abordăm această problemă.
Instrucțiuni:
- Să începem cu un exemplu atunci când nu avem nevoie de formula pentru volumul mingii - imaginați-ne că avem posibilitatea de a face calcule mod practic . Una dintre cele mai ușoare metode de a face acest lucru este să urmăriți pe urmele lui Arhimede, determinând volumul nu al mingii în sine, ci apa deplasata de el . Pentru a face acest lucru, puneți-l într-un recipient adecvat ca mărime, după remarcarea nivelului apei. După scufundarea întregii sfere în lichid, efectuați măsurători repetate. Acum rămâne de găsit diferența între numerele rezultate. Desigur, cel mai bine este să plasați mingea într-un recipient cu divizii, de exemplu în cupă de măsurare - dacă dimensiunea permite. Astfel, vom obține imediat caracteristica dorită - de obicei diviziunile sunt arătate în mililitri. În caz contrar, doar convertiți numărul în metri cubi.
- Dacă sunteți sigur din ce material este făcută sfera, încercați să o determinați densitate - Aceste informații vor fi găsite probabil în vastitatea rețelei mondiale. În această situație, trebuie doar să cântărești această figură, apoi să folosești formula simplă a volumului bilei, împărțind greutatea obiectului la densitatea acesteia: V \u003d m / p.
- Se poate întâmpla ca opțiunile anterioare să nu vă fie disponibile. Nu disperați - dacă puteți afla raza mingii, formula potrivită va veni în ajutorul nostru, mai complexă decât cea anterioară, dar accesibilă. Trebuie să înmulțim numărul Pi cu 4, iar apoi să înmulțim numărul rezultat cu valoarea de rază în cub. Drept urmare, împărțiți-l pe toate și obțineți volumul bilei: V \u003d 4 * π * r³ / 3. Să ne uităm la un exemplu simplu: raza unei sfere este 30 cm., atunci volumul cifrei va fi: 4 * 3.14 * 30³ / 3 \u003d 11340cm³ ≈ 0.113m³.
- De asemenea, se întâmplă că este mult mai ușor de găsit diametrul unei figuri decât raza sa. Această opțiune este și mai bună - nu puteți face astfel de calcule complexe, formula devine mult mai simplă. Trebuie doar să înmulțim diametrul în cub cu numărul Pi și apoi să împărțim numărul rezultat cu șase: V \u003d π * d³ / 6. De exemplu, ați aflat că diametrul sferei dvs. este de 25 cm. Atunci volumul său va fi egal cu: 3,14 * 25³ / 6 \u003d 8177,08333cm³ ≈ 0,818m³.
Înainte de a începe să studiați conceptul de bilă, care este volumul bilei, pentru a lua în considerare formula pentru calcularea parametrilor acesteia, trebuie să vă amintiți conceptul de cerc, studiat mai devreme în cursul geometriei. La urma urmei, majoritatea acțiunilor în spațiul tridimensional sunt similare sau urmează din geometria bidimensională, ajustată pentru apariția unei a treia coordonate și a unui al treilea grad.
Ce este un cerc?
Un cerc este o figură pe un plan cartezian (prezentat în figura 1); cel mai adesea, definiția sună ca „locația geometrică a tuturor punctelor din plan, distanța de la care până la un anumit punct (centru) nu depășește un anumit număr non-negativ numit raza”.
După cum puteți vedea din figură, punctul O este centrul figurii, iar setul de absolut toate punctele care umplu cercul, de exemplu, A, B, C, K, E, sunt situate nu mai departe de raza specificată (nu depășiți cercul prezentat în Fig. 2).
Dacă raza este zero, cercul se transformă într-un punct.
Înțelegerea problemelor
Studenții confundă adesea aceste concepte. Ușor de reținut prin desenarea unei analogii. Cercul pe care copiii îl răsucesc în lecțiile de educație fizică este un cerc. Dându-și seama sau amintind că primele litere ale ambelor cuvinte sunt „O”, copiii vor înțelege mnemonic diferența.
Introducerea conceptului de „minge”
O bilă este un corp (Fig. 3) delimitat de o anumită suprafață sferică. Ce fel de „suprafață sferică” va deveni clară din definiția sa: aceasta este locația geometrică a tuturor punctelor de pe suprafață, distanța de la care la un anumit punct (centru) nu depășește un anumit număr non-negativ, numit raza. După cum puteți vedea, conceptele de cerc și de suprafață sferică sunt similare, numai spațiile în care sunt amplasate diferă. Dacă înfățișăm o bilă într-un spațiu bidimensional, obținem un cerc a cărui graniță este un cerc (limita mingii este o suprafață sferică). În figură vedem o suprafață sferică cu raze OA \u003d OB.
Mingea este închisă și deschisă
În spațiile vectoriale și metrice, sunt considerate, de asemenea, două concepte legate de o suprafață sferică. Dacă mingea include în sine această sferă, atunci se numește închis, dar dacă nu, atunci în acest caz mingea este deschisă. Acestea sunt concepte mai „avansate”, sunt studiate în institute atunci când sunt introduse în analiză. Pentru o utilizare simplă, chiar internă, vor fi suficiente acele formule care sunt studiate în cursul de stereometrie din clasele 10-11. Aceste concepte sunt disponibile pentru aproape fiecare persoană educată medie care va fi luată în considerare mai jos.
Conceptele pe care trebuie să le cunoașteți pentru următoarele calcule
Radius și diametru.
Raza bilei și diametrul acesteia sunt determinate în același mod ca cercul.
Radius - un segment care conectează orice punct de la limita mingii și un punct care este centrul mingii.
Diametru - un segment care leagă două puncte pe limita mingii și trece prin centrul acesteia. Figura 5a demonstrează clar ce segmente sunt razele mingii, iar figura 5b arată diametrele sferei (segmente care trec prin punctul O).
Secțiunea din sfera (sfera)
Orice secțiune a unei sfere este un cerc. Dacă trece prin centrul mingii, atunci se numește cerc mare (un cerc cu un diametru de AB), secțiunile rămase se numesc cercuri mici (un cerc cu diametrul DC).
Zona acestor cercuri este calculată după următoarele formule:
Aici S este denumirea zonei, R este raza, D este diametrul. Există, de asemenea, o constantă egală cu 3,14. Dar nu confundați acest lucru pentru a calcula aria unui cerc mare, utilizați raza sau diametrul mingii (sferei) în sine și pentru a determina zona, dimensiunile razei unui cerc mic sunt necesare.
Nenumărate secțiuni transversale care trec prin două puncte cu același diametru situate pe limita mingii. Ca exemplu, planeta noastră: două puncte la polii nord și sud, care sunt capetele axei pământului și, în sens geometric, capetele diametrului și meridianele care trec prin aceste două puncte (figura 7). Adică, numărul de cercuri mari dintr-o sferă tinde la infinit în cantitate.
Piese cu bile
Dacă o „bucată” este tăiată din sfera cu ajutorul unui anumit plan (figura 8), atunci va fi denumită segment sferic sau sferic. Va avea o înălțime - perpendiculara de la centrul planului secant la suprafața sferică O 1 K. Punctul K de pe suprafața sferică la care vine înălțimea se numește vertexul segmentului sferic. Un cerc mic cu o rază de O 1 T (în acest caz, conform figurii, planul nu a trecut prin centrul sferei, dar dacă secțiunea trece prin centru, cercul secțiunii va fi mare), format atunci când segmentul sferic este tăiat, va fi numit baza piesei noastre bila - un segment sferic.
Dacă conectăm fiecare punct al bazei segmentului sferic cu centrul sferei, obținem o figură numită „sector sferic”.
Dacă două planuri care sunt paralele între ele trec printr-o sferă, atunci partea din sfera care este închisă între ele se numește strat sferic (figura 9, care arată o sferă cu două planuri și separat, un strat sferic).
Suprafața (partea evidențiată din figura 9 din dreapta) a acestei părți a sferei se numește centură (din nou, pentru o mai bună înțelegere, putem desena o analogie cu globul, și anume cu zonele sale climatice - arctică, tropicală, temperată etc.), iar cercurile secțiunii vor fi bazele strat sferic. Înălțimea stratului - parte a diametrului tras perpendicular pe planurile secante din centrele bazelor. Există și conceptul de sferă sferică. Se formează în cazul în care planurile care sunt paralele între ele nu intersectează sfera, ci o atingem la un moment dat.
Formule pentru calcularea volumului unei bile și a suprafeței sale
O bilă se formează prin rotirea în jurul unui semicerc sau cerc cu diametru fix. Pentru a calcula diverșii parametri ai acestui obiect, nu vor fi necesare atât de multe date.
Volumul bilei, a cărei formulă este indicată mai sus, este derivat prin integrare. Să aruncăm o privire asupra punctelor.
Considerăm un cerc într-un plan bidimensional, deoarece, așa cum am menționat mai sus, este cercul care stă la baza construcției bilei. Folosim doar a patra parte a acesteia (figura 10).
Luăm un cerc cu o rază de unitate și centru la origine. Ecuația unui astfel de cerc este următoarea: X 2 + Y 2 \u003d R 2. De aici exprimăm Y: Y 2 \u003d R 2 - X 2.
Aveți grijă să rețineți că funcția rezultată este non-negativă, continuă și în scădere pe segmentul X (0; R), deoarece valoarea lui X în cazul în care considerăm un sfert din cerc este de la zero la valoarea razei, adică la unitate.
Următorul lucru pe care îl facem este să rotim cercul nostru în jurul abscisei. Drept urmare, obținem o emisferă. Pentru a-i determina volumul, vom recurge la metode de integrare.
Deoarece acest volum este doar o jumătate de bilă, dublăm rezultatul, de unde obținem că volumul bilei este:
Nuanțe mici
Dacă este necesar să se calculeze volumul unei bile prin diametrul acesteia, nu uitați că raza este jumătate din diametru și înlocuiți această valoare în formula de mai sus.
De asemenea, formula pentru volumul bilei poate fi atinsă prin zona suprafeței sale de margine - sfera. Reamintim că aria sferei este calculată prin formula S \u003d 4πr 2, integrând care, ajungem și la formula de mai sus pentru volumul bilei. Din aceste formule, se poate exprima raza dacă starea problemei are o valoare a volumului.
O bilă este un corp geometric de revoluție format prin rotirea unui cerc sau semicerc în jurul diametrului său. De asemenea, o minge este un spațiu delimitat de o suprafață sferică. Există multe obiecte sferice reale și probleme conexe, a căror soluție necesită determinarea volumului mingii.
Mingă și sferă
Cercul este cea mai veche figură geometrică, iar savanții antici i-au atașat sens sacru. Un cerc este un simbol al timpului și spațiului nesfârșit, un simbol al universului și al ființei. Potrivit lui Pitagora, cercul este cea mai frumoasă dintre figuri. În spațiul tridimensional, un cerc se transformă într-o sferă la fel de perfectă, cosmică și frumoasă ca un cerc.
Sfera din greaca veche înseamnă „minge”. O sferă este o suprafață formată dintr-un număr infinit de puncte echidistante din centrul figurii. Spațiul limitat de o sferă este o sferă. O minge este o figură geometrică ideală, forma căreia iau multe obiecte reale. De exemplu, în viața reală, bile de tun, rulmenții sau bilele au forma unei bile, în natură - picături de apă, coroane de copaci sau fructe de pădure, în spațiu - stele, meteori sau planete.
Volumul bilei
Determinarea volumului unei figuri sferice este o sarcină dificilă, deoarece un astfel de corp geometric nu poate fi împărțit în cuburi sau prisme triunghiulare, ale căror formule de volum sunt deja cunoscute. Știința modernă ne permite să calculăm volumul unei bile folosind o anumită integrală, dar cum a fost formula volumului derivată în Grecia antică, când încă nu a auzit de integrale? Arhimede a calculat volumul bilei folosind un con și un cilindru, deoarece formele de volum ale acestor figuri erau deja determinate de filosoful grec vechi și matematicianul Democrit.
Arhimede a prezentat jumătate din minge folosind același con și cilindru, raza fiecărei figuri fiind egală cu înălțimea sa R \u200b\u200b\u003d h. Vechiul om de știință a prezentat conul și cilindrul împărțite într-un număr infinit de cilindri mici. Arhimede și-a dat seama că dacă scădem volumul conului Vk din volumul cilindrului Vc, el ar primi volumul unei emisfere Vsh:
0,5 Vsh \u003d Vc - Vk
Volumul conului este calculat printr-o formulă simplă:
Vk \u003d 1/3 × Deci × h,
dar știind că Deci, în acest caz, este aria cercului și h \u003d R, atunci formula se transformă în:
Vk \u003d 1/3 × pi × R × R 2 \u003d 1/3 pi × R3
Volumul cilindrului se calculează după formula:
Vc \u003d pi × R 2 × h,
dar presupunând că înălțimea cilindrului este egală cu raza lui, obținem:
Vc \u003d pi × R3.
Folosind aceste formule, Arhimede a primit:
0,5 Vsh \u003d pi × R 3 - 1/3 pi × R 3 sau Vsh \u003d 4/3 pi × R 3
Definiția modernă a formulei de volum a bilei este derivată din integralitatea suprafeței sferice, însă rezultatul rămâne același
Vsh \u003d 4/3 pi × R3
Calculul volumului mingii poate fi necesar atât în \u200b\u200bviața reală, cât și în rezolvarea problemelor abstracte. Pentru a calcula volumul unei bile folosind un calculator online, va trebui să aflați un singur parametru din care să alegeți: diametrul sau raza unei sfere. Să ne uităm la câteva exemple.
Exemple de viață
ghiulele
Să zicem că doriți să știți cât de mult este nevoie de fontă pentru a arunca o bulă de tun de calibru șase metri. Știți că diametrul unui astfel de miez este de 9,6 centimetri. Introduceți acest număr în celula calculatorului „Diametru” și veți primi un răspuns în formular
Astfel, pentru a topi o bilă de tun cu un calibru dat, veți avea nevoie de 463 de centimetri cubi sau 0,463 litri de fontă.
baloane
Vă rugăm să fiți curioși cât este nevoie de aer pentru a pompa un balon perfect sferic. Știți că raza bilei selectate este de 10 cm. Introduceți această valoare în celula calculatorului Radius și veți obține rezultatul
Aceasta înseamnă că pentru a pompa o astfel de bilă, veți avea nevoie de 4188 centimetri cubi sau 4,18 litri de aer.
concluzie
Nevoia de a determina volumul mingii poate apărea într-o varietate de situații: de la sarcini școlare abstracte la probleme de cercetare științifică și producție. Pentru a rezolva întrebări de orice complexitate, utilizați calculatorul nostru online, care vă va prezenta instantaneu rezultatul exact și calculele matematice necesare.
