Funkcijas atvasinājums. Detalizēta teorija ar piemēriem

Ļoti viegli atcerēties.

Nu, neiesim tālu, nekavējoties apsvērsim apgriezto funkciju. Kura funkcija ir eksponenciālās funkcijas apgrieztā vērtība? Logaritms:

Mūsu gadījumā bāze ir skaitlis:

Šādu logaritmu (tas ir, logaritmu ar bāzi) sauc par “dabisku”, un mēs tam izmantojam īpašu apzīmējumu: tā vietā rakstām.

Ar ko tas ir vienāds? Protams, .

Arī dabiskā logaritma atvasinājums ir ļoti vienkāršs:

Piemēri:

1. Atrodiet funkcijas atvasinājumu.
2. Kāds ir funkcijas atvasinājums?

Atbildes: Eksponenciālais un naturālais logaritms ir unikāli vienkāršas funkcijas no atvasinātā viedokļa. Eksponenciālajām un logaritmiskajām funkcijām ar jebkuru citu bāzi būs atšķirīgs atvasinājums, ko mēs analizēsim vēlāk, kad būsiet cauri diferencēšanas noteikumiem.

Diferencēšanas noteikumi

Noteikumi par ko? Atkal jauns termins, atkal?!...

Diferenciācija ir atvasinājuma atrašanas process.

Tas ir viss. Kā vēl vienā vārdā var nosaukt šo procesu? Nav atvasinājums... Matemātiķi diferenciāli sauc par tādu pašu funkcijas pieaugumu pie. Šis termins cēlies no latīņu vārda differentia – atšķirība. Šeit.

Atvasinot visus šos noteikumus, mēs izmantosim divas funkcijas, piemēram, un. Mums būs nepieciešamas arī formulas to palielinājumam:

Kopumā ir 5 noteikumi.

Konstante tiek izņemta no atvasinātās zīmes.

Ja - kāds konstants skaitlis (konstante), tad.

Acīmredzot šis noteikums darbojas arī attiecībā uz atšķirību: .

Pierādīsim to. Lai tas būtu vai vienkāršāk.

Piemēri.

Atrodiet funkciju atvasinājumus:

1. punktā;
2. punktā;
3. punktā;
4. punktā.

Risinājumi:

1. (atvasinājums visos punktos ir vienāds, jo tā ir lineāra funkcija, atceries?);

Produkta atvasinājums

Šeit viss ir līdzīgi: ieviesīsim jaunu funkciju un atradīsim tās pieaugumu:

Atvasinājums:

Piemēri:

1. Atrast funkciju un atvasinājumus;
2. Atrodiet funkcijas atvasinājumu punktā.

Risinājumi:

Eksponenciālās funkcijas atvasinājums

Tagad pietiek ar jūsu zināšanām, lai uzzinātu, kā atrast jebkuras eksponenciālas funkcijas atvasinājumu, nevis tikai eksponentus (vai jūs jau esat aizmirsis, kas tas ir?).

Tātad, kur ir kāds skaitlis.

Mēs jau zinām funkcijas atvasinājumu, tāpēc mēģināsim reducēt savu funkciju uz jaunu bāzi:

Lai to izdarītu, mēs izmantosim vienkāršu noteikumu: . Pēc tam:

Nu, izdevās. Tagad mēģiniet atrast atvasinājumu un neaizmirstiet, ka šī funkcija ir sarežģīta.

Vai notika?

Lūk, pārbaudiet sevi:

Formula izrādījās ļoti līdzīga eksponenta atvasinājumam: tā, kā bija, tā paliek nemainīga, parādījās tikai faktors, kas ir tikai skaitlis, bet ne mainīgais.

Piemēri:
Atrodiet funkciju atvasinājumus:

Atbildes:

Tas ir tikai skaitlis, ko nevar aprēķināt bez kalkulatora, tas ir, to nevar pierakstīt vienkāršāk. Tāpēc atbildē to atstājam šādā formā.

Ņemiet vērā, ka šeit ir divu funkciju koeficients, tāpēc mēs izmantojam atbilstošo diferenciācijas noteikumu:

Šajā piemērā divu funkciju reizinājums:

Logaritmiskās funkcijas atvasinājums

Šeit ir līdzīgi: jūs jau zināt dabiskā logaritma atvasinājumu:

Tāpēc, lai atrastu patvaļīgu logaritmu ar citu bāzi, piemēram:

Mums šis logaritms jāsamazina līdz bāzei. Kā mainīt logaritma bāzi? Es ceru, ka atceraties šo formulu:

Tikai tagad tā vietā rakstīsim:

Saucējs ir vienkārši konstante (konstants skaitlis, bez mainīgā). Atvasinājumu iegūst ļoti vienkārši:

Eksponenciālo un logaritmisko funkciju atvasinājumi Vienotajā valsts pārbaudījumā gandrīz nekad nav atrodami, taču tos zināt nebūs lieki.

Sarežģītas funkcijas atvasinājums.

Kas ir "sarežģīta funkcija"? Nē, tas nav logaritms un nav arktangenss. Šīs funkcijas var būt grūti saprotamas (lai gan, ja jums šķiet sarežģīts logaritms, izlasiet tēmu "Logaritmi" un jums būs labi), taču no matemātiskā viedokļa vārds "sarežģīts" nenozīmē "grūti".

Iedomājieties mazu konveijera lenti: divi cilvēki sēž un veic darbības ar dažiem priekšmetiem. Piemēram, pirmais ietin šokolādes tāfelīti iesaiņojumā, bet otrais to sasien ar lenti. Rezultāts ir salikts priekšmets: šokolādes tāfelīte, kas ietīta un pārsieta ar lenti. Lai ēst šokolādes tāfelīti, jums ir jāveic apgrieztās darbības apgrieztā secībā.

Izveidosim līdzīgu matemātisko cauruļvadu: vispirms atradīsim skaitļa kosinusu un pēc tam iegūto skaitli kvadrātā. Tātad, mums tiek dots skaitlis (šokolāde), es atrodu tā kosinusu (iesaiņojums), un tad jūs kvadrātā to, ko es saņēmu (piesiet to ar lenti). Kas notika? Funkcija. Šis ir sarežģītas funkcijas piemērs: kad, lai atrastu tās vērtību, mēs veicam pirmo darbību tieši ar mainīgo un pēc tam otro darbību ar to, kas izriet no pirmās.

Citiem vārdiem sakot, sarežģīta funkcija ir funkcija, kuras arguments ir cita funkcija: .

Mūsu piemēram, .

Mēs varam viegli veikt tās pašas darbības apgrieztā secībā: vispirms jūs to kvadrātā, un tad es meklēju iegūtā skaitļa kosinusu: . Ir viegli uzminēt, ka rezultāts gandrīz vienmēr būs atšķirīgs. Sarežģītu funkciju svarīga iezīme: mainoties darbību secībai, mainās funkcija.

Otrais piemērs: (tas pats). .

Darbība, ko veicam pēdējā, tiks saukta "ārēja" funkcija, un darbība, kas veikta vispirms - attiecīgi "iekšējā" funkcija(tie ir neoficiāli nosaukumi, es tos izmantoju tikai, lai izskaidrotu materiālu vienkāršā valodā).

Mēģiniet pats noteikt, kura funkcija ir ārēja un kura iekšēja:

Atbildes: Iekšējo un ārējo funkciju atdalīšana ir ļoti līdzīga mainīgo mainīšanai: piemēram, funkcijā

1. Kādu darbību mēs veiksim vispirms? Vispirms aprēķināsim sinusu un tikai pēc tam sagriezīsim to kubā. Tas nozīmē, ka tā ir iekšēja funkcija, bet ārēja.
   Un sākotnējā funkcija ir to sastāvs: .
2. Iekšējais: ; ārējais: .
   Pārbaude:.
3. Iekšējais: ; ārējais: .
   Pārbaude:.
4. Iekšējais: ; ārējais: .
   Pārbaude:.
5. Iekšējais: ; ārējais: .
   Pārbaude:.

Mēs mainām mainīgos un iegūstam funkciju.

Tagad mēs izvilksim savu šokolādes tāfelīti un meklēsim atvasinājumu. Procedūra vienmēr ir apgriezta: vispirms meklējam ārējās funkcijas atvasinājumu, pēc tam rezultātu reizinām ar iekšējās funkcijas atvasinājumu. Saistībā ar sākotnējo piemēru tas izskatās šādi:

Vēl viens piemērs:

Tātad, beidzot formulēsim oficiālo noteikumu:

Algoritms sarežģītas funkcijas atvasinājuma atrašanai:

Šķiet vienkārši, vai ne?

Pārbaudīsim ar piemēriem:

Risinājumi:

1) Iekšējais: ;

Ārējais: ;

2) Iekšējais: ;

(Tikai nemēģiniet to tagad izgriezt! No zem kosinusa nekas neiznāk, atceries?)

3) Iekšējais: ;

Ārējais: ;

Uzreiz ir skaidrs, ka tā ir trīs līmeņu kompleksa funkcija: galu galā tā jau pati par sevi ir sarežģīta funkcija, un mēs no tās arī izņemam sakni, tas ir, veicam trešo darbību (ieliekam šokolādi iesaiņojumā). un ar lenti portfelī). Bet nav pamata baidīties: mēs joprojām “izpakosim” šo funkciju tādā pašā secībā kā parasti: no beigām.

Tas ir, vispirms mēs atšķiram sakni, tad kosinusu un tikai pēc tam izteiksmi iekavās. Un tad mēs to visu reizinām.

Šādos gadījumos ir ērti numurēt darbības. Tas ir, iedomāsimies, ko mēs zinām. Kādā secībā mēs veiksim darbības, lai aprēķinātu šīs izteiksmes vērtību? Apskatīsim piemēru:

Jo vēlāk darbība tiks veikta, jo “ārējāka” būs atbilstošā funkcija. Darbību secība ir tāda pati kā iepriekš:

Šeit ligzdošana parasti ir 4 līmeņu. Noteiksim darbības virzienu.

1. Radikāla izteiksme. .

2. Sakne. .

3. Sine. .

4. Kvadrāts. .

5. Saliekot visu kopā:

ATvasinājums. ĪSUMĀ PAR GALVENĀM LIETĀM

Funkcijas atvasinājums- funkcijas pieauguma attiecība pret argumenta pieaugumu bezgalīgi mazam argumenta pieaugumam:

Pamata atvasinājumi:

Atšķiršanas noteikumi:

Konstante tiek izņemta no atvasinātās zīmes:

Summas atvasinājums:

Produkta atvasinājums:

Koeficienta atvasinājums:

Sarežģītas funkcijas atvasinājums:

Algoritms sarežģītas funkcijas atvasinājuma atrašanai:

1. Mēs definējam “iekšējo” funkciju un atrodam tās atvasinājumu.
2. Mēs definējam “ārējo” funkciju un atrodam tās atvasinājumu.
3. Mēs reizinām pirmā un otrā punkta rezultātus.

Atvasinot pirmo tabulas formulu, mēs pāriesim no atvasinātās funkcijas definīcijas punktā. Ņemsim kur x- jebkurš reāls skaitlis, tas ir, x– jebkurš skaitlis no funkcijas definīcijas apgabala. Pierakstīsim funkcijas pieauguma un argumenta pieauguma attiecības robežu:

Jāņem vērā, ka zem robežzīmes tiek iegūta izteiksme, kas nav nulles nenoteiktība, kas dalīta ar nulli, jo skaitītājs nesatur bezgalīgi mazu vērtību, bet gan precīzi nulle. Citiem vārdiem sakot, nemainīgas funkcijas pieaugums vienmēr ir nulle.

Tādējādi konstantas funkcijas atvasinājumsir vienāds ar nulli visā definīcijas jomā.

Jaudas funkcijas atvasinājums.

Jaudas funkcijas atvasinājuma formulai ir forma , kur eksponents lpp- jebkurš reāls skaitlis.

Vispirms pierādīsim naturālā eksponenta formulu, tas ir, for p = 1, 2, 3,…

Mēs izmantosim atvasinājuma definīciju. Pierakstīsim jaudas funkcijas pieauguma un argumenta pieauguma attiecības robežu:

Lai vienkāršotu izteiksmi skaitītājā, mēs pievēršamies Ņūtona binominālajai formulai:

Tāpēc

Tas pierāda formulu pakāpes funkcijas atvasināšanai naturālajam eksponentam.

Eksponenciālās funkcijas atvasinājums.

Mēs piedāvājam atvasinātās formulas atvasinājumu, pamatojoties uz definīciju:

Mēs esam nonākuši pie nenoteiktības. Lai to paplašinātu, mēs ieviešam jaunu mainīgo un pie . Tad . Pēdējā pārejā mēs izmantojām formulu pārejai uz jaunu logaritmisko bāzi.

Aizstāsim ar sākotnējo ierobežojumu:

Ja atceramies otro ievērojamo robežu, mēs nonākam pie eksponenciālās funkcijas atvasinājuma formulas:

Logaritmiskās funkcijas atvasinājums.

Pierādīsim logaritmiskās funkcijas atvasinājuma formulu visiem x no definīcijas domēna un visām derīgajām bāzes vērtībām a logaritms Pēc atvasinājuma definīcijas mums ir:

Kā jūs pamanījāt, pierādīšanas laikā transformācijas tika veiktas, izmantojot logaritma īpašības. Vienlīdzība ir taisnība otrās ievērojamās robežas dēļ.

Trigonometrisko funkciju atvasinājumi.

Lai iegūtu formulas trigonometrisko funkciju atvasinājumiem, mums būs jāatgādina dažas trigonometrijas formulas, kā arī pirmā ievērojamā robeža.

Pēc sinusa funkcijas atvasinājuma definīcijas mums ir .

Izmantosim sinusu starpības formulu:

Atliek pievērsties pirmajam ievērojamajam ierobežojumam:

Tādējādi funkcijas atvasinājums grēks x Tur ir cos x.

Tieši tādā pašā veidā tiek pierādīta arī kosinusa atvasinājuma formula.

Tāpēc funkcijas atvasinājums cos x Tur ir – grēks x.

Izmantojot pārbaudītus diferenciācijas noteikumus (daļskaitļa atvasinājumu), mēs atvasināsim formulas tangensas un kotangensas atvasinājumu tabulai.

Hiperbolisko funkciju atvasinājumi.

Diferenciācijas noteikumi un eksponenciālās funkcijas atvasinājuma formula no atvasinājumu tabulas ļauj atvasināt formulas hiperboliskā sinusa, kosinusa, pieskares un kotangensa atvasinājumiem.

Apgrieztās funkcijas atvasinājums.

Lai izvairītos no neskaidrībām prezentācijas laikā, apakšindeksā apzīmēsim funkcijas argumentu, ar kuru tiek veikta diferencēšana, tas ir, tas ir funkcijas atvasinājums f(x) Autors x.

Tagad formulēsim noteikums apgrieztās funkcijas atvasinājuma atrašanai.

Ļaujiet funkcijām y = f(x) Un x = g(y) savstarpēji apgriezti, noteikti uz intervāliem un attiecīgi. Ja kādā punktā ir funkcijas galīgs nulles atvasinājums f(x), tad punktā ir apgrieztās funkcijas galīgs atvasinājums g(y), un . Citā ierakstā .

Šo noteikumu var pārformulēt jebkuram x no intervāla , tad mēs iegūstam .

Pārbaudīsim šo formulu derīgumu.

Atradīsim naturālā logaritma apgriezto funkciju (Šeit y ir funkcija un x- arguments). Atrisinot šo vienādojumu priekš x, mēs saņemam (šeit x ir funkcija un y– viņas arguments). Tas ir, un savstarpēji apgrieztas funkcijas.

No atvasinājumu tabulas mēs to redzam Un .

Pārliecināsimies, ka apgrieztās funkcijas atvasinājumu atrašanas formulas noved pie tādiem pašiem rezultātiem:

Kā redzat, mēs saņēmām tādus pašus rezultātus kā atvasinājumu tabulā.

Tagad mums ir zināšanas, lai pierādītu formulas apgriezto trigonometrisko funkciju atvasinājumiem.

Sāksim ar arcsīna atvasinājumu.

. Tad, izmantojot apgrieztās funkcijas atvasinājuma formulu, mēs iegūstam

Atliek tikai veikt pārvērtības.

Tā kā arcsinusa diapazons ir intervāls , Tas (skat. sadaļu par pamatelementārajām funkcijām, to īpašībām un grafikiem). Tāpēc mēs to neapsveram.

Tāpēc . Arksīna atvasinājuma definīcijas domēns ir intervāls (-1; 1) .

Loka kosinusam viss tiek darīts tieši tādā pašā veidā:

Atradīsim arktangenta atvasinājumu.

Apgrieztā funkcija ir .

Izteiksim arktangensu arkozīniskā izteiksmē, lai vienkāršotu iegūto izteiksmi.

Ļaujiet arctgx = z, Tad

Tāpēc

Loka kotangensa atvasinājums tiek atrasts līdzīgā veidā:

Jaudas funkcijas atvasinājuma formulas atvasināšana (x līdz a pakāpei). Tiek ņemti vērā atvasinājumi no x saknēm. Formula augstākas kārtas jaudas funkcijas atvasinājumam. Atvasinājumu aprēķināšanas piemēri.

Saturs

Skatīt arī: Jaudas funkcija un saknes, formulas un grafiks
Jaudas funkciju grafiki

Pamatformulas

X atvasinājums no a pakāpes ir vienāds ar x reizinājumu ar pakāpju mīnus viens:
(1) .

x n-tās saknes atvasinājums no m-tās pakāpes ir:
(2) .

Jaudas funkcijas atvasinājuma formulas atvasināšana

Gadījums x > 0

Apsveriet mainīgā x jaudas funkciju ar eksponentu a:
(3) .
Šeit a ir patvaļīgs reālais skaitlis. Vispirms apskatīsim lietu.

Lai atrastu funkcijas (3) atvasinājumu, mēs izmantojam jaudas funkcijas īpašības un pārveidojam to šādā formā:
.

Tagad mēs atrodam atvasinājumu, izmantojot:
;
.
Šeit .

Formula (1) ir pierādīta.

Formulas atvasināšana x pakāpes saknes atvasināšanai no m pakāpes

Tagad apsveriet funkciju, kas ir šādas formas sakne:
(4) .

Lai atrastu atvasinājumu, mēs pārveidojam sakni par jaudas funkciju:
.
Salīdzinot ar formulu (3), mēs to redzam
.
Tad
.

Izmantojot formulu (1), mēs atrodam atvasinājumu:
(1) ;
;
(2) .

Praksē formula (2) nav jāiegaumē. Daudz ērtāk ir vispirms pārveidot saknes par jaudas funkcijām un pēc tam atrast to atvasinājumus, izmantojot formulu (1) (skatiet piemērus lapas beigās).

Gadījums x = 0

Ja , tad jaudas funkcija ir definēta mainīgā x = vērtībai 0 . Atradīsim funkcijas (3) atvasinājumu pie x = 0 . Lai to izdarītu, mēs izmantojam atvasinājuma definīciju:
.

Aizstāsim x = 0 :
.
Šajā gadījumā ar atvasinājumu mēs saprotam labās puses robežu, kurai .

Tātad mēs atradām:
.
No tā ir skaidrs, ka , .
Pie , .
Pie , .
Šo rezultātu iegūst arī no formulas (1):
(1) .
Tāpēc formula (1) ir derīga arī x = 0 .

Lieta x< 0

Vēlreiz apsveriet funkciju (3):
(3) .
Noteiktām konstantes a vērtībām tas ir definēts arī mainīgā x negatīvajām vērtībām. Proti, lai a ir racionāls skaitlis. Tad to var attēlot kā nesamazināmu daļu:
,
kur m un n ir veseli skaitļi, kuriem nav kopīga dalītāja.

Ja n ir nepāra, tad jaudas funkcija tiek definēta arī mainīgā x negatīvajām vērtībām. Piemēram, ja n = 3 un m = 1 mums ir x kuba sakne:
.
Tas ir definēts arī mainīgā x negatīvajām vērtībām.

Atradīsim jaudas funkcijas (3) atvasinājumu konstantes a racionālajām vērtībām, kurām tā ir definēta. Lai to izdarītu, attēlosim x šādā formā:
.
Tad,
.
Mēs atrodam atvasinājumu, novietojot konstanti ārpus atvasinājuma zīmes un piemērojot noteikumu kompleksas funkcijas diferencēšanai:

.
Šeit . Bet
.
Kopš tā laika
.
Tad
.
Tas ir, formula (1) ir derīga arī:
(1) .

Augstākas kārtas atvasinājumi

Tagad atradīsim jaudas funkcijas augstākas kārtas atvasinājumus
(3) .
Mēs jau esam atraduši pirmās kārtas atvasinājumu:
.

Ņemot konstanti a ārpus atvasinājuma zīmes, mēs atrodam otrās kārtas atvasinājumu:
.
Līdzīgi mēs atrodam trešās un ceturtās kārtas atvasinājumus:
;

.

No tā ir skaidrs, ka patvaļīgas n-tās kārtas atvasinājums ir šāda forma:
.

ievērojiet, tas ja a ir naturāls skaitlis, tad n-tais atvasinājums ir nemainīgs:
.
Tad visi nākamie atvasinājumi ir vienādi ar nulli:
,
plkst.

Atvasinājumu aprēķināšanas piemēri

Piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu:
.

Pārvērsīsim saknes pakāpēs:
;
.
Tad sākotnējā funkcija iegūst šādu formu:
.

Pilnvaru atvasinājumu atrašana:
;
.
Konstantes atvasinājums ir nulle:
.

Ar šo video es sāku garu nodarbību sēriju par atvasinājumiem. Šī nodarbība sastāv no vairākām daļām.

Vispirms es pastāstīšu, kas ir atvasinājumi un kā tos aprēķināt, bet ne izsmalcinātā akadēmiskajā valodā, bet gan tā, kā es pats to saprotu un kā es to skaidroju saviem studentiem. Otrkārt, aplūkosim vienkāršāko uzdevumu risināšanas noteikumu, kurā meklēsim summu atvasinājumus, starpību atvasinājumus un jaudas funkcijas atvasinājumus.

Mēs apskatīsim sarežģītākus kombinētos piemērus, no kuriem jūs jo īpaši uzzināsit, ka līdzīgas problēmas, kas saistītas ar saknēm un pat daļām, var atrisināt, izmantojot pakāpju funkcijas atvasinājuma formulu. Turklāt, protams, būs daudz problēmu un dažādu sarežģītības līmeņu risinājumu piemēru.

Vispār sākotnēji grasījos ierakstīt īsu 5 minūšu video, bet kā sanāca, var redzēt. Tātad pietiek ar dziesmu tekstiem – ķersimies pie lietas.

Kas ir atvasinājums?

Tātad, sāksim no tālienes. Pirms daudziem gadiem, kad koki bija zaļāki un dzīve bija jautrāka, matemātiķi domāja par to: apsveriet vienkāršu funkciju, ko nosaka tās grafiks, nosauciet to par $y=f\left(x \right)$. Protams, grafiks neeksistē pats par sevi, tāpēc ir jāzīmē $x$ asis, kā arī $y$ ass. Tagad izvēlēsimies jebkuru punktu šajā diagrammā, pilnīgi jebkuru. Sauksim abscisi $((x)_(1))$, ordināta, kā jūs varētu nojaust, būs $f\left(((x)_(1)) \right)$.

Apskatīsim citu punktu tajā pašā diagrammā. Nav svarīgi, kurš, galvenais, lai tas atšķirtos no sākotnējā. Tam atkal ir abscisa, sauksim to par $((x)_(2))$, kā arī ordināta - $f\left(((x)_(2)) \right)$.

Tātad mums ir divi punkti: tiem ir dažādas abscises un līdz ar to dažādas funkciju vērtības, lai gan pēdējā nav nepieciešama. Bet patiešām svarīgi ir tas, ka no planimetrijas kursa mēs zinām: caur diviem punktiem var novilkt taisnu līniju un turklāt tikai vienu. Tātad izpildīsim to.

Tagad novelkam taisnu līniju cauri pirmajai no tām paralēli abscisu asij. Mēs iegūstam taisnleņķa trīsstūri. Sauksim to par $ABC$, taisnleņķi $C$. Šim trīsstūrim ir viena ļoti interesanta īpašība: fakts ir tāds, ka leņķis $\alpha $ faktiski ir vienāds ar leņķi, kurā taisne $AB$ krustojas ar abscisu ass turpinājumu. Spriediet paši:

1. taisne $AC$ pēc konstrukcijas ir paralēla $Ox$ asij,
2. līnija $AB$ krustojas ar $AC$ zem $\alpha $,
3. tātad $AB$ krustojas ar $Ox$ zem tā paša $\alpha $.

Ko mēs varam teikt par $\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$? Nekas konkrēts, izņemot to, ka trijstūrī $ABC$ posma $BC$ un $AC$ attiecība ir vienāda ar šī leņķa tangensu. Tātad pierakstīsim to:

Protams, $AC$ šajā gadījumā ir viegli aprēķināt:

Tāpat par $BC$:

Citiem vārdiem sakot, mēs varam rakstīt sekojošo:

\[\operatora nosaukums(tg)\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )=\frac(f\left(((x)_(2)) \right)-f\left( ((x)_(1)) \pa labi))(((x)_(2))-((x)_(1)))\]

Tagad, kad tas viss ir novērsts, atgriezīsimies pie diagrammas un apskatīsim jauno punktu $B$. Izdzēsīsim vecās vērtības un paņemsim $B$ kaut kur tuvāk $((x)_(1))$. Atkal apzīmēsim tās abscisu ar $((x)_(2))$ un tās ordinātu ar $f\left(((x)_(2)) \right)$.

Apskatīsim vēlreiz mūsu mazo trīsstūri $ABC$ un $\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$ tā iekšpusē. Pilnīgi skaidrs, ka šis būs pavisam cits leņķis, arī pieskares būs cita, jo segmentu $AC$ un $BC$ garumi ir būtiski mainījušies, bet leņķa pieskares formula nav mainījusies vispār. - šī joprojām ir saistība starp funkcijas izmaiņām un argumenta izmaiņām.

Visbeidzot, mēs turpinām virzīt $B$ tuvāk sākotnējam punktam $A$, kā rezultātā trīsstūris kļūs vēl mazāks, un taisne, kas satur segmentu $AB$, arvien vairāk izskatīsies pēc pieskares grafikam funkcija.

Rezultātā, ja mēs turpināsim tuvināt punktus, t.i., samazināt attālumu līdz nullei, tad taisne $AB$ patiešām pārtaps par grafika tangensu dotajā punktā un $\text( )\ !\!\alpha\!\ !\text( )$ pārveidosies no regulāra trijstūra elementa uz leņķi starp grafika pieskari un $Ox$ ass pozitīvo virzienu.

Un šeit mēs vienmērīgi pārejam pie $f$ definīcijas, proti, funkcijas atvasinājums punktā $((x)_(1))$ ir leņķa $\alpha $ tangenss starp pieskari grafiks punktā $((x)_(1))$ un $Ox$ ass pozitīvais virziens:

\[(f)"\left(((x)_(1)) \right)=\operatora nosaukums(tg)\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )\]

Atgriežoties pie mūsu grafika, jāatzīmē, ka jebkuru grafa punktu var izvēlēties kā $((x)_(1))$. Piemēram, ar tādiem pašiem panākumiem mēs varētu noņemt insultu attēlā parādītajā punktā.

Sauksim leņķi starp pieskares un ass pozitīvo virzienu $\beta$. Attiecīgi $f$ $((x)_(2))$ būs vienāds ar šī leņķa $\beta $ tangensu.

\[(f)"\left(((x)_(2)) \right)=tg\text( )\!\!\beta\!\!\text( )\]

Katram grafikas punktam būs savs tangenss un līdz ar to arī savas funkcijas vērtība. Katrā no šiem gadījumiem papildus punktam, kurā mēs meklējam starpības vai summas atvasinājumu vai jaudas funkcijas atvasinājumu, ir jāņem cits punkts, kas atrodas kādā attālumā no tā, un pēc tam jānovirza šo norādiet uz sākotnējo un, protams, noskaidrojiet, kā procesā Šāda kustība mainīs slīpuma leņķa tangensu.

Jaudas funkcijas atvasinājums

Diemžēl šāda definīcija mums nemaz neder. Visas šīs formulas, attēli, leņķi nesniedz mums ne mazāko priekšstatu par to, kā aprēķināt reālo atvasinājumu reālās problēmās. Tāpēc nedaudz atkāpsimies no formālās definīcijas un apsvērsim efektīvākas formulas un paņēmienus, ar kuriem jau var atrisināt reālas problēmas.

Sāksim ar vienkāršākajām konstrukcijām, proti, funkcijām $y=((x)^(n))$, t.i. jaudas funkcijas. Šajā gadījumā mēs varam ierakstīt sekojošo: $(y)"=n\cdot ((x)^(n-1))$. Citiem vārdiem sakot, pakāpe, kas bija eksponentā, tiek parādīta priekšējā reizinātājā, un pats eksponents tiek samazināts par vienību. Piemēram:

\[\begin(līdzināt)& y=((x)^(2)) \\& (y)"=2\cpunkts ((x)^(2-1))=2x \\\end(līdzināt) \]

Šeit ir vēl viena iespēja:

\[\begin(līdzināt)& y=((x)^(1)) \\& (y)"=((\left(x \right))^(\prime ))=1\cdot ((x) )^(0))=1\cdot 1=1 \\& ((\left(x \right))^(\prime ))=1 \\\end(līdzināt)\]

Izmantojot šos vienkāršos noteikumus, mēģināsim noņemt pieskārienu šādiem piemēriem:

Tātad mēs iegūstam:

\[((\left(((x)^(6)) \right))^(\prime ))=6\cdot ((x)^(5))=6((x)^(5)) \]

Tagad atrisināsim otro izteiksmi:

\[\begin(līdzināt)& f\left(x \right)=((x)^(100)) \\& ((\left(((x)^(100)) \right))^(\ prime ))=100\cdot ((x)^(99))=100((x)^(99)) \\\end(līdzināt)\]

Protams, tie bija ļoti vienkārši uzdevumi. Tomēr reālās problēmas ir sarežģītākas, un tās neaprobežojas tikai ar funkciju pakāpēm.

Tātad, noteikums Nr. 1 - ja funkcija ir uzrādīta pārējo divu formā, tad šīs summas atvasinājums ir vienāds ar atvasinājumu summu:

\[((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"\]

Tāpat divu funkciju starpības atvasinājums ir vienāds ar atvasinājumu starpību:

\[((\left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"\]

\[((\left(((x)^(2))+x \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \right))^(\ prime ))+((\left(x \right))^(\prime ))=2x+1\]

Turklāt ir vēl viens svarīgs noteikums: ja pirms dažiem $f$ ir konstante $c$, ar kuru šī funkcija tiek reizināta, tad visas šīs konstrukcijas $f$ tiek aprēķināts šādi:

\[((\left(c\cdot f \right))^(\prime ))=c\cdot (f)"\]

\[((\left(3((x)^(3)) \right))^(\prime ))=3((\left(((x)^(3)) \right))^(\ pirmskaitlis ))=3\cpunkts 3((x)^(2))=9((x)^(2))\]

Visbeidzot, vēl viens ļoti svarīgs noteikums: uzdevumos bieži ir atsevišķs termins, kas nesatur $x$ vispār. Piemēram, mēs to varam novērot mūsu šodienas izteicienos. Konstantes atvasinājums, t.i., skaitlis, kas nekādā veidā nav atkarīgs no $x$, vienmēr ir vienāds ar nulli, un nav svarīgi, ar ko ir vienāda konstante $c$:

\[((\left(c \right))^(\prime ))=0\]

Risinājuma piemērs:

\[((\left(1001 \right)))^(\prime ))=((\left(\frac(1)(1000) \right))^(\prime ))=0\]

Atkal galvenie punkti:

1. Divu funkciju summas atvasinājums vienmēr ir vienāds ar atvasinājumu summu: $((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"$;
2. Līdzīgu iemeslu dēļ divu funkciju atšķirības atvasinājums ir vienāds ar divu atvasinājumu starpību: $((\left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"$;
3. Ja funkcijai ir konstants koeficients, tad šo konstanti var izņemt kā atvasināto zīmi: $((\left(c\cdot f \right))^(\prime ))=c\cdot (f)"$;
4. Ja visa funkcija ir konstante, tad tās atvasinājums vienmēr ir nulle: $((\left(c \right))^(\prime ))=0$.

Apskatīsim, kā tas viss darbojas ar reāliem piemēriem. Tātad:

Mēs pierakstām:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(5))-3((x)^(2))+7 \right))^(\prime ))=((\left (((x)^(5)) \labais))^(\prime ))-((\left(3((x)^(2)) \right))^(\prime ))+(7) "= \\& =5((x)^(4))-3((\left(((x)^(2)) \right))^(\prime ))+0=5((x) ^(4))-6x \\\end(līdzināt)\]

Šajā piemērā mēs redzam gan summas atvasinājumu, gan starpības atvasinājumu. Kopumā atvasinājums ir vienāds ar $5((x)^(4))-6x$.

Pāriesim pie otrās funkcijas:

Pierakstīsim risinājumu:

\[\begin(align)& ((\left(3((x)^(2))-2x+2 \right))^(\prime ))=((\left(3(x)^( 2)) \labais))^(\prime ))-((\kreisais(2x \labais))^(\prime ))+(2)"= \\& =3((\left(((x)) ^(2)) \labais))^(\prime ))-2(x)"+0=3\cpunkts 2x-2\cpunkts 1=6x-2 \\\end(līdzināt)\]

Šeit mēs esam atraduši atbildi.

Pārejam pie trešās funkcijas - tā ir nopietnāka:

\[\begin(līdzināt)& ((\left(2((x)^(3))-3((x)^(2))+\frac(1)(2)x-5 \right)) ^(\prime ))=((\left(2((x)^(3)) \right))^(\prime ))-((\left(3((x)^(2)) \right ))^(\prime ))+((\left(\frac(1)(2)x \right))^(\prime ))-(5)"= \\& =2((\left(() (x)^(3)) \labais))^(\prime ))-3((\left(((x)^(2)) \right))^(\prime ))+\frac(1) (2)\cpunkts (x)"=2\cpunkts 3((x)^(2))-3\cpunkts 2x+\frac(1)(2)\cpunkts 1=6((x)^(2)) -6x+\frac(1)(2) \\\end(līdzināt)\]

Mēs esam atraduši atbildi.

Pārejam pie pēdējās izteiksmes - vissarežģītākās un garākās:

Tātad, mēs uzskatām:

\[\begin(līdzināt)& ((\left(6((x)^(7))-14((x)^(3))+4x+5 \right))^(\prime ))=( (\left(6((x)^(7)) \right))^(\prime ))-((\left(14((x)^(3)) \right))^(\prime )) +((\left(4x \right))^(\prime ))+(5)"= \\& =6\cdot 7\cdot ((x)^(6))-14\cdot 3((x) )^(2))+4\cpunkts 1+0=42((x)^(6))-42((x)^(2))+4 \\\beigas(līdzināt)\]

Taču risinājums ar to nebeidzas, jo mums tiek lūgts ne tikai noņemt insultu, bet arī aprēķināt tā vērtību noteiktā punktā, tāpēc izteiksmē mēs aizstājam -1, nevis $x$:

\[(y)"\left(-1 \right)=42\cpunkts 1-42\cpunkts 1+4=4\]

Dosimies tālāk un pāriesim pie vēl sarežģītākiem un interesantākiem piemēriem. Fakts ir tāds, ka formula, lai atrisinātu jaudas atvasinājumu $((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1) )$ ir vēl plašāks apjoms, nekā parasti tiek uzskatīts. Ar tās palīdzību jūs varat atrisināt piemērus ar daļskaitļiem, saknēm utt. To mēs tagad darīsim.

Sākumā vēlreiz pierakstīsim formulu, kas palīdzēs mums atrast jaudas funkcijas atvasinājumu:

Un tagad uzmanība: līdz šim par $n$ esam uzskatījuši tikai naturālus skaitļus, taču nekas neliedz mums ņemt vērā daļskaitļus un pat negatīvus skaitļus. Piemēram, mēs varam rakstīt sekojošo:

\[\begin(align)& \sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\ prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(2))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(2)\cdot ((x) ^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(x))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\\beigt(līdzināt)\]

Nekas sarežģīts, tāpēc redzēsim, kā šī formula mums palīdzēs sarežģītāku problēmu risināšanā. Tātad, piemērs:

Pierakstīsim risinājumu:

\[\begin(align)& \left(\sqrt(x)+\sqrt(x)+\sqrt(x) \right)=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime )) \\& ((\ pa kreisi(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\& ((\left(\sqrt(x) \right)))^( \prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot ((x) )^(-\frac(2)(3)))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x)^(2)))) \\& (( \left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(4))) \right))^(\prime )) =\frac(1)(4)((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1)(4)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x)) ^(3)))) \\\end(līdzināt)\]

Atgriezīsimies pie mūsu piemēra un uzrakstīsim:

\[(y)"=\frac(1)(2\sqrt(x))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^(2))))+\frac(1)(4 \sqrt(((x)^(3))))\]

Tas ir tik grūts lēmums.

Pārejam pie otrā piemēra - ir tikai divi termini, bet katrs no tiem satur gan klasisko pakāpi, gan saknes.

Tagad mēs uzzināsim, kā atrast jaudas funkcijas atvasinājumu, kas turklāt satur sakni:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))\sqrt(((x)^(2)))+((x)^(7))\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(3))\cdot \sqrt(((x)^(2))) \right))^(\prime )) =((\left(((x)^(3))\cdot ((x)^(\frac(2)(3))) \right))^(\prime ))= \\& =(( \left(((x)^(3+\frac(2)(3))) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(11)(3)) ))) \right))^(\prime ))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(\frac(8)(3)))=\frac(11)(3)\ cdot ((x)^(2\frac(2)(3)))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2 ))) \\& ((\left(((x)^(7))\cdot \sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(7)) ))\cdot ((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(7\frac(1)(3)) ))) \right))^(\prime ))=7\frac(1)(3)\cdot ((x)^(6\frac(1)(3)))=\frac(22)(3 )\cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x) \\\end(līdzināt)\]

Abi termini ir aprēķināti, atliek tikai pierakstīt galīgo atbildi:

\[(y)"=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2)))+\frac(22)(3) \cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x)\]

Mēs esam atraduši atbildi.

Daļas atvasinājums, izmantojot jaudas funkciju

Taču formulas iespējas jaudas funkcijas atvasinājuma risināšanai ar to nebeidzas. Fakts ir tāds, ka ar tās palīdzību jūs varat aprēķināt ne tikai piemērus ar saknēm, bet arī ar frakcijām. Tieši šī ir tā retā iespēja, kas ievērojami vienkāršo šādu piemēru risinājumu, bet bieži vien to ignorē ne tikai skolēni, bet arī skolotāji.

Tātad, tagad mēs mēģināsim apvienot divas formulas vienlaikus. No vienas puses, jaudas funkcijas klasiskais atvasinājums

\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

No otras puses, mēs zinām, ka izteiksmi formā $\frac(1)(((x)^(n)))$ var attēlot kā $((x)^(-n))$. Tāpēc

\[\left(\frac(1)(((x)^(n))) \right)"=((\left(((x)^(-n)) \right))^(\prime) )=-n\cdot ((x)^(-n-1))=-\frac(n)(((x)^(n+1)))\]

\[((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))=\left(((x)^(-1)) \right)=-1\cdot ((x) )^(-2))=-\frac(1)(((x)^(2)))\]

Tādējādi, izmantojot klasisko formulu, tiek aprēķināti arī vienkāršo daļskaitļu atvasinājumi, kur skaitītājs ir konstante un saucējs ir pakāpe. Apskatīsim, kā tas darbojas praksē.

Tātad, pirmā funkcija:

\[((\left(\frac(1)(((x)^(2))) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(-2)) \ pa labi))^(\prime ))=-2\cdot ((x)^(-3))=-\frac(2)(((x)^(3)))\]

Pirmais piemērs ir atrisināts, pāriesim pie otrā:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(7)(4((x)^(4)))-\frac(2)(3(x)^(3)))+\ frac(5)(2)((x)^(2))+2((x)^(3))-3((x)^(4)) \right))^(\prime ))= \ \& =((\left(\frac(7)(4((x)^(4))) \right))^(\prime ))-((\left(\frac(2)(3(() x)^(3))) \labais))^(\prime ))+((\left(2((x)^(3)) \right))^(\prime ))-((\left( 3((x)^(4)) \right))^(\prime )) \\& ((\left(\frac(7)(4(x)^(4))) \right))^ (\prime ))=\frac(7)(4)((\left(\frac(1)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))=\frac(7 )(4)\cdot ((\left(((x)^(-4)) \right))^(\prime ))=\frac(7)(4)\cdot \left(-4 \right) \cdot ((x)^(-5))=\frac(-7)(((x)^(5))) \\& ((\left(\frac(2)(3(x)^ (3))) \right))^(\prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\left(\frac(1)(((x)^(3))) \right) )^(\prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\left(((x)^(-3)) \right))^(\prime ))=\frac(2)( 3)\cdot \left(-3 \right)\cdot ((x)^(-4))=\frac(-2)(((x)^(4))) \\& ((\left( \frac(5)(2)((x)^(2)) \right))^(\prime ))=\frac(5)(2)\cdot 2x=5x \\& ((\left(2) ((x)^(3)) \labais))^(\prime ))=2\cdot 3((x)^(2))=6((x)^(2)) \\& ((\ pa kreisi(3((x)^(4)) \labais))^(\prime ))=3\cdot 4((x)^(3))=12((x)^(3)) \\\ beigas(līdzināt)\]...

Tagad mēs apkopojam visus šos terminus vienā formulā:

\[(y)"=-\frac(7)(((x)^(5)))+\frac(2)(((x)^(4)))+5x+6((x)^ (2))-12((x)^(3))\]

Esam saņēmuši atbildi.

Tomēr, pirms turpināt, vēlos pievērst jūsu uzmanību pašu oriģinālo izteicienu rakstīšanas formai: pirmajā izteiksmē mēs ierakstījām $f\left(x \right)=...$, otrajā: $y =...$ Daudzi skolēni apmaldās, ieraugot dažādas ierakstu formas. Kāda ir atšķirība starp $f\left(x \right)$ un $y$? Īsti nekas. Tie ir tikai dažādi ieraksti ar vienu un to pašu nozīmi. Vienkārši sakot $f\left(x \right)$, mēs, pirmkārt, runājam par funkciju, un, runājot par $y$, mēs visbiežāk domājam funkcijas grafiku. Pretējā gadījumā tas ir viens un tas pats, t.i., atvasinājums abos gadījumos tiek uzskatīts par vienu un to pašu.

Sarežģītas problēmas ar atvasinājumiem

Nobeigumā es vēlos apsvērt pāris sarežģītas apvienotas problēmas, kurās tiek izmantots viss, ko mēs šodien esam apsvēruši. Tie satur saknes, daļas un summas. Tomēr šie piemēri būs sarežģīti tikai šodienas video pamācībā, jo jūs gaidīs patiešām sarežģītas atvasinātās funkcijas.

Tātad, šodienas video nodarbības beigu daļa, kas sastāv no diviem apvienotiem uzdevumiem. Sāksim ar pirmo no tiem:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))-\frac(1)(((x)^(3)))+\sqrt(x) \right))^ (\prime ))=((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ))-((\left(\frac(1)(((x)^(3)) )) \right))^(\prime ))+\left(\sqrt(x) \right) \\& ((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ) )=3((x)^(2)) \\& ((\left(\frac(1)(((x)^(3))) \right))^(\prime ))=((\ pa kreisi(((x)^(-3)) \labais))^(\prime ))=-3\cdot ((x)^(-4))=-\frac(3)(((x)^ (4))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(((x)^(\frac(2)(3))))=\frac(1) (3\sqrt(((x)^(2)))) \\\end(līdzināt)\]

Funkcijas atvasinājums ir vienāds ar:

\[(y)"=3((x)^(2))-\frac(3)(((x)^(4)))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^ (2))))\]

Pirmais piemērs ir atrisināts. Apskatīsim otro problēmu:

Otrajā piemērā mēs rīkojamies līdzīgi:

\[((\left(-\frac(2))(((x)^(4)))+\sqrt(x)+\frac(4)(x\sqrt(((x)^(3)) )) \right))^(\prime ))=((\left(-\frac(2)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))+((\left (\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3)))) \right))^ (\prime ))\]

Aprēķināsim katru terminu atsevišķi:

\[\begin(align)& ((\left(-\frac(2)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))=-2\cdot ((\left( ((x)^(-4)) \labais))^(\prime ))=-2\cdot \left(-4 \right)\cdot ((x)^(-5))=\frac(8 )(((x)^(5))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac() 1)(4))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(4)\cdot ((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1 )(4\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3)))) \\& ((\ pa kreisi(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3)))) \right))^(\prime ))=((\left(\frac(4)(x\cdot) ((x)^(\frac(3)(4)))) \right))^(\prime ))=((\left(\frac(4)((x)^(1\frac(3) )(4)))) \right))^(\prime ))=4\cdot ((\left(((x)^(-1\frac(3)(4))) \right))^( \prime ))= \\& =4\cdot \left(-1\frac(3)(4) \right)\cdot ((x)^(-2\frac(3)(4)))=4 \cdot \left(-\frac(7)(4) \right)\cdot \frac(1)(((x)^(2\frac(3)(4))))=\frac(-7) (((x)^(2))\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=-\frac(7)(((x)^(2))\cdot \sqrt (((x)^(3)))) \\\end(līdzināt)\]

Visi termiņi ir aprēķināti. Tagad mēs atgriežamies pie sākotnējās formulas un saskaitām visus trīs terminus. Mēs saņemam, ka galīgā atbilde būs šāda:

\[(y)"=\frac(8)(((x)^(5)))+\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3))))-\frac(7) )(((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(3))))\]

Un tas arī viss. Šī bija mūsu pirmā nodarbība. Turpmākajās nodarbībās apskatīsim sarežģītākas konstrukcijas, kā arī uzzināsim, kāpēc vispār ir nepieciešami atvasinājumi.

Eksponenciālās (e pret x pakāpju) un eksponenciālās funkcijas (a no x pakāpes) atvasinājuma formulu pierādīšana un atvasināšana. Piemēri e^2x, e^3x un e^nx atvasinājumu aprēķināšanai. Formulas augstāku pasūtījumu atvasinājumiem.

Saturs

Skatīt arī: Eksponenciālā funkcija - īpašības, formulas, grafiks
Eksponents, e uz x pakāpju - īpašības, formulas, grafiks

Pamatformulas

Eksponenta atvasinājums ir vienāds ar pašu eksponentu (e atvasinājums no x pakāpes ir vienāds ar e ar x pakāpi):
(1) (e x )′ = e x.

Eksponenciālas funkcijas atvasinājums ar bāzi a ir vienāds ar pašu funkciju, kas reizināta ar a naturālo logaritmu:
(2) .

Eksponents ir eksponenciāla funkcija, kuras bāze ir vienāda ar skaitli e, kas ir šāda robeža:
.
Šeit tas var būt naturāls vai reāls skaitlis. Tālāk mēs iegūstam formulu (1) eksponenciāla atvasinājumam.

Eksponenciālās atvasinājuma formulas atvasināšana

Apsveriet eksponenciālo e pret x pakāpju:
y = e x .
Šī funkcija ir definēta ikvienam. Atradīsim tā atvasinājumu attiecībā pret mainīgo x. Pēc definīcijas atvasinājums ir šāds ierobežojums:
(3) .

Pārveidosim šo izteiksmi, lai to reducētu līdz zināmām matemātiskām īpašībām un likumiem. Lai to izdarītu, mums ir nepieciešami šādi fakti:
A) Eksponenta īpašība:
(4) ;
B) Logaritma īpašība:
(5) ;
IN) Nepārtrauktas funkcijas logaritma nepārtrauktība un ierobežojumu īpašība:
(6) .
Šeit ir funkcija, kurai ir ierobežojums, un šī robeža ir pozitīva.
G) Otrā ievērojamā ierobežojuma nozīme:
(7) .

Piemērosim šos faktus mūsu ierobežojumam (3). Mēs izmantojam īpašumu (4):
;
.

Veiksim aizstāšanu. Tad ; .
Sakarā ar eksponenciālā nepārtrauktību,
.
Tāpēc, kad,. Rezultātā mēs iegūstam:
.

Veiksim aizstāšanu. Tad . Pie , . Un mums ir:
.

Izmantosim logaritma īpašību (5):
. Tad
.

Ļaujiet mums piemērot īpašumu (6). Tā kā ir pozitīva robeža un logaritms ir nepārtraukts, tad:
.
Šeit mēs izmantojām arī otro ievērojamo robežu (7). Tad
.

Tādējādi mēs ieguvām formulu (1) eksponenciāla atvasinājumam.

Eksponenciālas funkcijas atvasinājuma formulas atvasināšana

Tagad mēs iegūstam formulu (2) eksponenciālās funkcijas atvasinājumam ar a pakāpes bāzi. Mēs ticam, ka un. Tad eksponenciālā funkcija
(8)
Definēts ikvienam.

Pārveidosim formulu (8). Lai to izdarītu, mēs izmantosim eksponenciālās funkcijas un logaritma īpašības.
;
.
Tātad, mēs pārveidojām formulu (8) šādā formā:
.

Augstākas kārtas e atvasinājumi no x pakāpes

Tagad atradīsim augstāku pasūtījumu atvasinājumus. Vispirms apskatīsim eksponentu:
(14) .
(1) .

Mēs redzam, ka funkcijas (14) atvasinājums ir vienāds ar pašu funkciju (14). Diferencējot (1), iegūstam otrās un trešās kārtas atvasinājumus:
;
.

Tas parāda, ka n-tās kārtas atvasinājums arī ir vienāds ar sākotnējo funkciju:
.

Eksponenciālās funkcijas augstākas kārtas atvasinājumi

Tagad apsveriet eksponenciālu funkciju ar a pakāpes bāzi:
.
Mēs atradām tā pirmās kārtas atvasinājumu:
(15) .

Diferencējot (15), iegūstam otrās un trešās kārtas atvasinājumus:
;
.

Mēs redzam, ka katra diferenciācija noved pie sākotnējās funkcijas reizināšanas ar . Tāpēc n-tās kārtas atvasinājumam ir šāda forma:
.

Skatīt arī: